КОНОС ХЭСЭГ, зөв ​​дугуй конусыг оройг нь дайрдаггүй хавтгайтай огтолж авсан шугамууд. Конус хэлбэрийн хэсгүүд байдаг гурван төрөл. 1) Таслах хавтгай нь конусын бүх гентриксийг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолж байна (Зураг, а); огтлолцлын шугам нь хаалттай зууван муруй - эллипс, тойрог гэх мэт онцгой тохиолдолТаслах хавтгай нь конусын тэнхлэгт перпендикуляр байх үед эллипсийг олж авна. 2) Таслах хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнд параллель байна (Зураг, b); хөндлөн огтлолын хувьд үр дүн нь хязгааргүйд хүрэх нээлттэй муруй юм - нэг хөндийд бүхэлдээ хэвтэж буй парабол. 3) Зүсэх онгоц нь конусын хоёр хөндийг огтолж байна (Зураг, в); огтлолцлын шугам - гипербола нь хязгааргүй хүртэл үргэлжилсэн хоёр ижил хаалттай хэсгээс (гиперболын мөчрүүд) бүрдэх бөгөөд тус бүр нь конусын өөрийн хөндийн дээр байрладаг.

IN аналитик геометрконус хэсгүүд нь хоёр дахь эрэмбийн бодит, задрахгүй шугамууд юм. Конус огтлол нь тэгш хэмийн төвтэй (төв), өөрөөр хэлбэл эллипс эсвэл гиперболтой тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. Декарт системкоординатуудыг (координатын гарал үүслийг төв рүү шилжүүлэх замаар) 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 хэлбэрт оруулах боломжтой бөгөөд энд 11, 12, 22, 33 нь тогтмол байна. Эдгээр муруйнуудын тэгшитгэлийг илүү их хэмжээгээр багасгаж болно энгийн үзэмж

Ах 2 + Βу 2 = С, (*)

хэрэв координатын тэнхлэгийн чиглэлийн хувьд бид үндсэн чиглэл гэж нэрлэгддэг конус хэсгийн үндсэн тэнхлэгийн (тэгш хэмийн тэнхлэг) чиглэлийг сонгоно. Хэрэв А ба В тогтмолууд байвал ижил шинж тэмдэг(С тэмдэгтэй давхцаж), дараа нь (*) тэгшитгэл нь эллипсийг тодорхойлно; Хэрэв A ба B нь өөр өөр тэмдэгтэй бол энэ нь гипербол болно.

Параболын тэгшитгэлийг (*) хэлбэрт оруулах боломжгүй. Координатын тэнхлэгүүдийг зөв сонгосноор (нэг координатын тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн цорын ганц тэнхлэг, нөгөө нь параболын оройгоор дамжин өнгөрч буй перпендикуляр шулуун шугам юм) түүний тэгшитгэлийг y 2 хэлбэрт оруулж болно. = 2 пиксел.

Конус хэсгүүдматематикчдад мэдэгдэж байсан Эртний Грек. Зууван, гипербола, парабола нь конус хэлбэрийн хэсгүүд болохыг Менахмус (МЭӨ 340 орчим) олж мэдсэн. Ихэнх бүрэн эссэЭдгээр муруйлтуудад зориулсан , Пергийн Аполлониус (МЭӨ 200 орчим) "Конус хэсгүүд" юм. Цаашдын хөгжилКонус огтлолын онол нь 17-р зуунд проекктив (Ж.Дезаргес, Б. Паскаль) ба координатын (Р. Декарт, П. Ферма) аргуудыг бий болгосонтой холбоотой юм. Координатын системийг зөв сонгосноор (абсцисса тэнхлэг нь конус огтлолын тэгш хэмийн тэнхлэг, ордны тэнхлэг нь конус хэсгийн оройтой шүргэгч), конус огтлолын тэгшитгэлийг y 2 = 2рх хэлбэрт оруулав. + λх 2, энд р ба λ нь тогтмол, р≠0. λ = 0-ийн хувьд энэ тэгшитгэл нь λ-ийн хувьд параболыг тодорхойлно<0 - эллипс, при λ>0 нь гипербол юм. Сүүлчийн тэгшитгэлд агуулагдах конус огтлолын энэ шинж чанарыг эртний Грекийн геометрүүд мэддэг байсан бөгөөд Пергийн Аполлониусыг хуваарилах шалтгаан болсон юм. тодорхой төрөлӨнөөдрийг хүртэл хадгалагдан үлдсэн конус хэлбэрийн хэсгүүдийн нэрс: "парабола" гэдэг үг нь хэрэглээ гэсэн утгатай (Грекийн геометрийн хувьд өгөгдсөн талбайн y 2 тэгш өнцөгтийг өгөгдсөн 2p суурьтай тэнцүү тэгш өнцөгт болгон хувиргахыг өгөгдсөн хэрэглээний програм гэж нэрлэдэг. энэ суурьтай тэгш өнцөгт); "зууван" гэсэн үг нь сул тал (сул талтай програм); "Гипербол" гэдэг үг нь илүүдэл (илүүдэлтэй програм) юм.

Конус огтлолын стереометрийн тодорхойлолтыг хавтгай дээрх цэгүүдийн багц хэлбэрээр эдгээр муруйнуудын планиметрийн тодорхойлолтоор сольж болно. Жишээлбэл, эллипс нь өгөгдсөн хоёр цэг (фокус) хүртэлх зайны нийлбэр нь ижил утгатай цэгүүдийн багц юм. Эдгээр муруйн гурван төрлийг хамарсан конус огтлолын өөр нэг төлөвлөлтийн тодорхойлолтыг өгөх боломжтой: конус огтлол гэдэг нь тухайн цэг (фокус) хүртэлх зайг өгөгдсөн цэг хүртэлх зайтай харьцуулсан цэгүүдийн багц юм. өгөгдсөн шулуун шугам (директрикс) нь өгөгдсөнтэй тэнцүү байна эерэг тоо(хязгаарлалт) e<1 коническое сечение - эллипс; при е >1 - гипербол; e = 1 үед - парабол.

Эдгээр шугамууд нь тайлбарт ихэвчлэн олддог тул конус хэсгийн сонирхлыг үргэлж хадгалсаар ирсэн янз бүрийн үзэгдэлбайгаль болон дотор хүний ​​үйл ажиллагаа. Конус зүсэлтүүд нь И.Кеплер (1609) ажиглалтаар тогтоосны дараа онцгой ач холбогдолтой болж, И.Ньютон (1687) гаригуудын хөдөлгөөний хуулиудыг онолын хувьд (түүний нэг нь гариг, сүүлт од гэж заасан) үндэслэлтэй болгосон. нарны системНар байрладаг голомтын аль нэгэнд нь конус хэсгүүдийн дагуу хөдөлнө).

Лит.: Харуул Б.Л ван дер. Сэрэх шинжлэх ухаан. 2-р хэвлэл. М., 2006; Александров P. S. Аналитик геометрийн лекцүүд. 2-р хэвлэл. М., 2008.

Хотын боловсролын байгууллага

Дундаж Иж бүрэн сургууль №4

Конус хэсгүүд

Дууссан

Спиридонов Антон

11А ангийн сурагч

Шалгасан

Коробейникова А.Т.

Тобольск - 2006 он

Оршил

Конус огтлолын тухай ойлголт

Конус хэсгийн төрлүүд

Сурах

Конус хэлбэрийн хэсгүүдийг барих

Аналитик хандлага

Өргөдөл

Өргөдөл

Ном зүй

Оршил.

Зорилго: конус хэсгүүдийг судлах.

Зорилтууд: конус огтлолын төрлүүдийг ялгаж сурах, кинетик хэсгүүдийг барьж, аналитик аргыг ашиглах.

Конус зүсэлтийг МЭӨ 4-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн геометр Менахмус кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудлыг шийдэхдээ ашиглахыг анх санал болгосон. Энэ даалгавар нь дараах домогтой холбоотой юм.

Нэгэн өдөр Делос арал дээр тахлын тахал гарчээ. Арлын оршин суугчид тахал өвчнийг зогсоохын тулд Афин дахь Аполлоны сүмд байрладаг шоо хэлбэртэй алтан тахилын ширээг хоёр дахин томруулах шаардлагатай гэж хэлсэн таамаглагчид хандав. Арлынхан шинэ тахилын ширээ хийсэн бөгөөд түүний хавирга нь өмнөх хавиргаас хоёр дахин том байв. Гэсэн хэдий ч тахал зогссонгүй. Уурласан оршин суугчид түүний зааврыг буруугаар ойлгосон гэж мэлмийлэгчээс сонссон - шоогийн ирмэгийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагагүй, харин түүний эзэлхүүнийг, өөрөөр хэлбэл, шоо ирмэгийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай байв. Нөхцөлөөр геометрийн алгебр, Грекийн математикчид ашиглаж байсан, асуудал гэсэн үг: дагуу энэ сегмент a: x = x: y = y: 2a байх x ба y хэрчмүүдийг ол. Дараа нь x сегментийн урт нь тэнцүү байх болно.

Өгөгдсөн пропорцийг тэгшитгэлийн систем гэж үзэж болно.

Харин x 2 =ay ба y 2 =2ax нь параболын тэгшитгэл юм. Тиймээс асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Хэрэв бид xy=2a 2 гиперболын тэгшитгэлийг системээс мөн гаргаж болохыг харгалзан үзвэл парабол ба гиперболын огтлолцох цэгүүдийг олж ижил асуудлыг шийдэж болно.

Конус хэсгүүдийг авахын тулд Менахмус конусыг - цочмог, тэгш өнцөгт эсвэл мохоо - генератрисын аль нэгэнд перпендикуляр хавтгайгаар огтолжээ. Цочмог өнцгийн конусын хувьд түүний генатрикстай перпендикуляр хавтгайн зүсэлт нь эллипс хэлбэртэй байна. Мохоо конус нь гипербол, тэгш өнцөгт конус нь параболыг өгдөг.

МЭӨ 3-р зуунд амьдарч байсан Пергийн Аполлониус танилцуулсан муруйнуудын нэр эндээс гаралтай: эллипс (έλλείψίς), энэ нь алдаа, дутагдал (конусын өнцгийн шулуун шугам) гэсэн утгатай. ; гипербола (ύπέρβωλη) - хэтрүүлэг, давамгайлал (шулуун шугам дээрх конусын өнцөг); парабола (παραβολη) - ойролцоо, тэгш байдал (конусын өнцөг) зөв өнцөг). Дараа нь Грекчүүд огтлох онгоцны налууг өөрчилснөөр бүх гурван муруйг нэг конус дээр авах боломжтой болохыг анзаарсан. Энэ тохиолдолд та хоёр хөндийгөөс бүрдсэн конусыг авч, тэдгээр нь хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг гэж бодох хэрэгтэй (Зураг 1).

Хэрэв бид дугуй конусын тэнхлэгт перпендикуляр хэсгийг зурж, дараа нь зүсэх хавтгайг эргүүлж, конустай огтлолцох хэсгийн нэг цэгийг хөдөлгөөнгүй орхивол тойрог эхлээд хэрхэн сунгаж, эллипс болж хувирахыг харах болно. Дараа нь эллипсийн хоёр дахь орой нь хязгааргүйд очих ба эллипсийн оронд парабол, дараа нь онгоц конусын хоёр дахь хөндийг огтолж, гиперболыг авах болно.

Конус огтлолын тухай ойлголт.

Конус огтлол гэдэг нь зөв дугуй конусыг оройг нь дайрдаггүй хавтгайтай огтлолцсоноор олж авдаг хавтгай муруй юм. Аналитик геометрийн үүднээс авч үзвэл конус огтлол нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн байрлал юм. Сүүлчийн хэсэгт авч үзсэн доройтсон тохиолдлыг эс тооцвол конус зүсэлт нь эллипс, гипербол эсвэл парабол юм (Зураг 2).

Эргэх үед зөв гурвалжинхөлний аль нэгнийх нь ойролцоо гипотенуз нь баруун дугуй конусын гадаргуу гэж нэрлэгддэг конус гадаргууг дүрсэлдэг бөгөөд энэ нь оройг дайран өнгөрөх тасралтгүй цуврал шугам гэж үзэж болох ба генераторууд гэж нэрлэгддэг, бүх генераторууд нэг тойрог дээр байрладаг. , генератор гэж нэрлэдэг. Генератор бүр нь эргэдэг гурвалжны гипотенузыг (түүний мэдэгдэж буй байрлалд) илэрхийлдэг бөгөөд хоёр чиглэлд хязгааргүй хүртэл сунгасан байдаг. Тиймээс generatrix бүр оройн хоёр талд сунадаг бөгөөд үүний үр дүнд гадаргуу нь хоёр хөндийтэй байдаг: тэдгээр нь нийтлэг орой дээр нэг цэг дээр нийлдэг. Хэрэв ийм гадаргуу нь хавтгайгаар огтлолцсон бол уг хэсэг нь муруй үүсгэх бөгөөд үүнийг конус хэсэг гэж нэрлэдэг. Энэ нь гурван төрлийн байж болно:

1) хэрэв хавтгай нь конус хэлбэрийн гадаргууг бүх генератрисын дагуу огтолж байвал зөвхөн нэг хөндийг задалж, эллипс гэж нэрлэгддэг битүү муруйг олж авна;

2) хэрчих хавтгай нь хоёр хөндийгөөр огтлолцсон бол хоёр салаатай муруйг олж авах бөгөөд үүнийг гипербола гэж нэрлэдэг;

3) хэрчих хавтгай нь генераторуудын аль нэгтэй зэрэгцээ байвал параболыг олж авна.

Хэрэв огтлох хавтгай нь үүсгэгч тойрогтой параллель байвал тойрог гарч ирэх бөгөөд үүнийг эллипсийн онцгой тохиолдол гэж үзэж болно. Зүсэх хавтгай нь конус гадаргууг зөвхөн нэг оройгоор огтолж чаддаг бөгөөд дараа нь хэсэг нь эллипсийн онцгой тохиолдол болох цэгийг үүсгэдэг.

Хэрэв оройгоор дамжин өнгөрөх онгоц нь хоёр хөндийгөөр огтлолцдог бол энэ хэсэг нь гиперболын онцгой тохиолдол гэж үздэг огтлолцсон хос шугамыг үүсгэдэг.

Хэрэв орой нь хязгааргүй алслагдсан бол конус гадаргуу нь цилиндр хэлбэртэй болж, түүний хэсэг нь хавтгайгаар, генераторуудтай зэрэгцээ, параболын тусгай тохиолдол болгон хос зэрэгцээ шугамыг өгдөг. Конус огтлолыг ерөнхий хэлбэр нь 2-р дарааллын тэгшитгэлээр илэрхийлдэг

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

ба 2-р эрэмбийн муруй гэж нэрлэдэг.

Конус хэсгийн төрлүүд.

Конус хэсгүүд нь гурван төрлийн байж болно.

1) зүсэх онгоц нь конусын бүх төрлийг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолдог; огтлолцлын шугам нь хаалттай зууван муруй - эллипс; Таслах хавтгай нь конусын тэнхлэгт перпендикуляр байх үед эллипсийн онцгой тохиолдол болох тойрог үүсдэг.

2) Таслах хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнд параллель байна; хөндлөн огтлолын хувьд үр дүн нь хязгааргүйд хүрэх нээлттэй муруй юм - нэг хөндийд бүхэлдээ хэвтэж буй парабол.

3) Таслах хавтгай нь конусын хоёр хөндийг огтолж байна; огтлолцлын шугам - гипербола - конусын хоѐр хөндийн дээр байрлах хязгааргүй (гиперболын мөчрүүд) хүртэл үргэлжилсэн хоёр ижил нээлттэй хэсгээс бүрдэнэ.

Сурах.

Конус огтлол нь тэгш хэмийн төвтэй (төв), өөрөөр хэлбэл эллипс эсвэл гиперболтой тохиолдолд түүний тэгшитгэлийг (координатын гарал үүслийг төв рүү шилжүүлэх замаар) дараах хэлбэрт оруулж болно.

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Ийм (төв гэж нэрлэдэг) конус хэсгүүдийн цаашдын судалгаагаар тэдгээрийн тэгшитгэлийг илүү энгийн хэлбэрт оруулж болохыг харуулж байна.

Сүх 2 + Ву 2 = С,

хэрэв бид координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдийн үндсэн чиглэлийг сонговол - конус огтлолын үндсэн тэнхлэгийн (тэгш хэмийн тэнхлэг) чиглэлүүд. Хэрэв A ба B нь ижил тэмдэгтэй (C тэмдэгтэй давхцаж байгаа бол) тэгшитгэл нь эллипсийг тодорхойлно; Хэрэв A ба B нь өөр өөр тэмдэгтэй бол энэ нь гипербол болно.

Параболын тэгшитгэлийг (Ax 2 + By 2 = C) хэлбэрт оруулж болохгүй. Координатын тэнхлэгүүдийг зөв сонгосноор (нэг координатын тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн цорын ганц тэнхлэг, нөгөө нь параболын оройгоор дамжин өнгөрч буй перпендикуляр шулуун шугам юм) түүний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулж болно.

КОНОС ХЭСЭГТ БАРИЛГА.

Конус огтлолыг хавтгай ба конусын огтлолцол болгон судалснаар эртний Грекийн математикчид мөн тэдгээрийг хавтгай дээрх цэгүүдийн замнал гэж үздэг байв. Эллипсийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол байдаг; парабол - өгөгдсөн цэг ба өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж; гипербола - цэгүүдийн байршлын хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байна.

Хавтгай муруй гэж конус огтлолын эдгээр тодорхойлолтууд нь сунгасан утас ашиглан тэдгээрийг барих аргыг санал болгож байна.

Зууван. Хэрэв өгөгдсөн урттай утаснуудын төгсгөлүүд нь F 1 ба F 2 цэгүүдэд бэхлэгдсэн байвал (Зураг 3) нягт сунасан утсаар гулсаж буй харандааны цэгээр дүрсэлсэн муруй нь эллипс хэлбэртэй байна. F 1 ба F 2 цэгүүдийг эллипсийн фокусууд гэж нэрлэдэг бөгөөд эллипсийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн хоорондох V 1 V 2 ба v 1 v 2 сегментүүдийг гол ба жижиг тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Хэрэв F 1 ба F 2 цэгүүд давхцаж байвал эллипс нь тойрог болж хувирна (Зураг 3).

Гипербола. Гиперболыг бүтээхдээ харандааны үзүүр болох P цэгийг Зураг 4, а-д үзүүлсэн шиг F 1 ба F 2 цэгүүдэд суурилуулсан шонгийн дагуу чөлөөтэй гулсдаг утас дээр бэхэлсэн бөгөөд PF 2 сегментийг авахаар зайг сонгоно. F 1 F 2 зайнаас бага тогтмол утгаар PF 1 сегментээс урт байна. Энэ тохиолдолд утаснуудын нэг төгсгөл нь F 1 бэхэлгээний доор, утасны хоёр төгсгөл нь F 2 бэхэлгээний дээгүүр дамждаг. (Харандааны үзүүр нь утасны дагуу гулсахгүй байх ёстой, тиймээс утсан дээр жижиг гогцоо хийж, цэгийг дундуур нь утасдаж бэхэлсэн байх ёстой.) Бид гиперболын нэг мөчрийг (PV 1 Q) зурж, үүнийг шалгана. утас нь үргэлж чанга хэвээр байх ба F 2 цэгийн хажуугаар утасны хоёр үзүүрийг доош татаж, P цэг нь F 1 F 2 сегментийн доор байх үед утсыг хоёр төгсгөлөөс нь барьж, болгоомжтой суллана. Бид эхлээд F 1 ба F 2 зүүг солих замаар гиперболын хоёр дахь салбарыг зурна (Зураг 4).

Гиперболын мөчрүүд нь мөчрүүдийн хооронд огтлолцсон хоёр шулуун шугам руу ойртдог. Гиперболын асимптотууд гэж нэрлэгддэг эдгээр шулуун шугамуудыг Зураг 4, b-д үзүүлсний дагуу байгуулав. Булан

Эдгээр шугамын коэффициентүүд нь асимптотуудын хоорондох өнцгийн биссектрисын сегмент хаана байгаатай тэнцүү, сегментэд перпендикуляр F 2 F 1 ; v 1 v 2 сегментийг гиперболын коньюгат тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба V 1 V 2 сегментийг түүний хөндлөн тэнхлэг гэнэ. Иймд асимптотууд нь тэнхлэгүүдтэй параллель v 1, v 2, V 1, V 2 дөрвөн цэгийг дайран өнгөрөх талуудтай тэгш өнцөгтийн диагональууд юм. Энэ тэгш өнцөгтийг бүтээхийн тулд v 1 ба v 2 цэгүүдийн байршлыг зааж өгөх хэрэгтэй. Тэд ижил зайд, тэнцүү байна

О тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгээс энэ томьёо нь Ov 1 ба V 2 O хөлтэй ба гипотенуз F 2 O бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна гэж үздэг.

Хэрэв гиперболын асимптотууд харилцан перпендикуляр байвал гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Нийтлэг асимптоттой боловч хөндлөн ба коньюгат тэнхлэгүүдийг дахин зохион байгуулсан хоёр гиперболыг харилцан коньюгат гэж нэрлэдэг.

Парабола. Зууван ба гиперболын голомтуудыг Аполлониус мэддэг байсан боловч параболын фокусыг анх Паппус (3-р зууны хоёрдугаар хагас) тогтоосон бөгөөд энэ муруйг тухайн цэгээс (фокус) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлсон байдаг. мөн өгөгдсөн шулуун шугамыг захирал гэж нэрлэдэг. Паппусын тодорхойлолтыг үндэслэн чангалсан утас ашиглан парабол барихыг Милетийн Исидор (VI зуун) санал болгосон (Зураг 5).

Захирагчийг түүний ирмэг нь чиглүүлэлттэй давхцахаар байрлуулж, AC зургийн хөлийг энэ ирмэг дээр байрлуулцгаая. ABC гурвалжин. АВ урттай утаснуудын нэг үзүүрийг гурвалжны В оройд, нөгөөг нь F параболын фокус дээр бэхэлцгээе. Утсыг харандааны үзүүрээр татаад үзүүрийг нь дарна. хувьсах цэгЗурах гурвалжны AB чөлөөт хөл рүү P. Гурвалжин захирагчийн дагуу хөдөлж байх үед P цэг нь F фокус ба чиглүүлэлттэй параболын нумыг дүрслэх болно. нийт уртутас нь AB-тай тэнцүү, утас нь гурвалжны чөлөөт хөлтэй зэргэлдээ байрладаг тул PF утас нь AB хөлний үлдсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл PA-тай тэнцүү байх ёстой. Параболын V-ийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг ба F ба V-ийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг параболын тэнхлэг гэнэ. Хэрэв фокусын дундуур тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам татвал параболоор таслагдсан энэ шулуун шугамын сегментийг фокусын параметр гэнэ. Эллипс ба гиперболын хувьд фокусын параметрийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ХАНДЛАГА

Алгебрийн ангилал. Алгебрийн хэллэгээр конус огтлолыг декартын координатын систем дэх координатууд нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай муруй гэж тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл бүх конус огтлолын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно

Энд бүх A, B, C коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш байна. Ашиглах замаар зэрэгцээ шилжүүлэгба тэнхлэгүүдийн эргэлт, тэгшитгэлийг (1) хэлбэрт оруулж болно

сүх 2 + 2-оор + c = 0

Эхний тэгшитгэлийг (1) тэгшитгэлээс B 2 > AC, хоёр дахь нь B 2 = AC-ийн хувьд олж авна. Тэгшитгэл нь эхний хэлбэрт орсон конус огтлолыг төв гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь төрлийн q > 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон конус огтлолыг төв бус гэж нэрлэдэг. Эдгээр хоёр ангилалд есөн ангилал багтдаг янз бүрийн төрөлилтгэлцүүрүүдийн тэмдгээс хамаарч конус зүсэлт.

1) Хэрэв a, b, c коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй бол координат нь тэгшитгэлийг хангах бодит цэг байхгүй болно. Ийм конус зүсэлтийг төсөөллийн эллипс (эсвэл a = b бол төсөөллийн тойрог) гэж нэрлэдэг.

2) Хэрэв a ба b тэмдэг нь ижил, в нь эсрэг тэмдэгтэй бол конус хэсэг нь эллипс болно; a = b үед - тойрог.

3) Хэрэв a ба b байвал өөр өөр шинж тэмдэг, тэгвэл конус хэсэг нь гипербол болно.

4) Хэрэв a ба b тэмдэгтүүд өөр бөгөөд c = 0 бол конус хэсэг нь огтлолцсон хоёр шулуунаас бүрдэнэ.

5) Хэрэв a ба b нь ижил тэмдэгтэй ба c = 0 бол тэгшитгэлийг хангасан муруйн дээр зөвхөн нэг бодит цэг байх ба конус огтлол нь хоёр төсөөлөл огтлолцсон шугам юм. Энэ тохиолдолд бид мөн цэгт наалдсан эллипс эсвэл хэрэв a = b бол цэгт наалдсан тойрог гэж ярьдаг.

6) Хэрэв a эсвэл b нь тэгтэй тэнцүү, бусад коэффициентүүд нь өөр өөр тэмдэгтэй бол конус огтлол нь хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ.

7) Хэрэв a эсвэл b нь тэгтэй тэнцүү, үлдсэн коэффициентүүд нь ижил тэмдэгтэй байвал тэгшитгэлийг хангасан нэг ч бодит цэг байхгүй болно. Энэ тохиолдолд конус хэсэг нь хоёр төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ гэж тэд хэлдэг.

8) Хэрэв c = 0, a эсвэл b нь мөн тэг бол конус огтлол нь хоёр бодит давхцсан шулуунаас бүрдэнэ. (Тэгшитгэл нь a = b = 0-ийн хувьд конус огтлолыг тодорхойлдоггүй, учир нь энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэл(1) хоёрдугаар зэрэг биш.)

9) Хоёрдахь төрлийн тэгшитгэл нь p ба q нь тэгээс ялгаатай бол параболыг тодорхойлно. Хэрэв p > 0 ба q = 0 бол бид муруйг 8-р алхамаас авна. Хэрэв p = 0 бол анхны тэгшитгэл (1) нь хоёрдугаар зэргийн биш тул тэгшитгэл нь конус огтлолыг тодорхойлохгүй.

Өргөдөл

Конус зүсэлт нь байгаль, технологид ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нарыг тойрон эргэдэг гаригуудын тойрог зам нь эллипс хэлбэртэй байдаг. Тойрог нь эллипсийн онцгой тохиолдол бөгөөд үүнд гол тэнхлэгжижигтэй тэнцүү. Параболик толь нь түүний тэнхлэгтэй параллель туссан бүх цацрагууд нэг цэгт (фокус) нийлдэг шинж чанартай байдаг. Үүнийг параболик толь ашигладаг ихэнх тусгал дуран, түүнчлэн радарын антенн болон параболын тусгал бүхий тусгай микрофонд ашигладаг. Параболик цацруулагчийн фокус дээр байрлуулсан гэрлийн эх үүсвэрээс цацраг туяа гарч ирдэг зэрэгцээ туяа. Тийм ч учраас параболик толь нь өндөр хүчин чадалтай прожектор, машины гэрэлд ашиглагддаг. Гипербол бол олон чухал зүйлийн график юм физик харилцаажишээлбэл, Бойлийн хууль (даралт ба эзэлхүүний хамаарал хамгийн тохиромжтой хий) ба Омын хууль, үүнийг тодорхойлсон цахилгаантогтмол хүчдэлийн эсэргүүцлийн функцээр

Өргөдөл

Ном зүй.

1. Алексеев. Бодлого ба шийдэл дэх Абелийн теорем. 2001 он

2. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П.. Зааварфизик-математикийн факультетийн 1-р курсын оюутнуудад зориулсан сурган хүмүүжүүлэх институтууд. Москвагийн "гэгээрэл" 1974 он

3. Верещагин Н.К., А.Шэн. лекцүүд математик логикба алгоритмын онол. 1999 он

4. Гельфанд И.М.. лекцүүд шугаман алгебр. 1998.

5. Гладки А.В орчин үеийн логик. 2001

6. М.Е.Казарян.Дифференциал геометрийн курс (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Лобачевскийн геометр 2004 он

8. Прасолов В.В.. Планиметрийн асуудлууд 2001 он

9. Sheinman O.K.. Төлөөлөлийн онолын үндэс. 2004 он

УЛСЫН ТӨСӨВ

МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

МОСКВА хотууд

"ЦАГДААГИЙН КОЛЛЕЖ"

Математикийн хичээлийн тухай хураангуй

Сэдэв: "Конус зүсэлт ба тэдгээрийн технологи дахь хэрэглээ"

Гүйцэтгэсэн

15-р взводын кадет

Алексеева А.И.

Багш аа

Зайцева О.Н.

Москва

2016

Агуулга:

Оршил

1. Конус огтлолын тухай ойлголт…………………………………………………5

2. Конус огтлолын төрлүүд…………………………………………7.

3. Судалгаа………………………………………………………..8

4. Конус огтлолын шинж чанарууд.... ……………………………………….9

5. Конус хэлбэрийн хэсэг барих………………………………….10

6. Аналитик хандлага………………………………………………………14

7. Өргөдөл…………………………………………………………….16

8. Конусын дундуур……………………………………………………..17

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Оршил

Конус зүсэлтийг МЭӨ 4-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн геометр Менахмус кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудлыг шийдэхдээ ашиглахыг анх санал болгосон. Энэ даалгавар нь дараах домогтой холбоотой юм.

Нэгэн өдөр Делос арал дээр тахлын тахал гарчээ. Арлын оршин суугчид тахал өвчнийг зогсоохын тулд Афин дахь Аполлоны сүмд байрладаг шоо хэлбэртэй алтан тахилын ширээг хоёр дахин томруулах шаардлагатай гэж хэлсэн таамаглагчид хандав. Арлынхан шинэ тахилын ширээ хийсэн бөгөөд түүний хавирга нь өмнөх хавиргаас хоёр дахин том байв. Гэсэн хэдий ч тахал зогссонгүй. Уурласан оршин суугчид түүний зааврыг буруугаар ойлгосон гэж мэлмийлэгчээс сонссон - шоогийн ирмэгийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагагүй, харин түүний эзэлхүүнийг, өөрөөр хэлбэл, шоо ирмэгийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай байв.

Конус хэсгүүдийг авахын тулд Менахмус конусыг - цочмог, тэгш өнцөгт эсвэл мохоо - генератрисын аль нэгэнд перпендикуляр хавтгайгаар огтолжээ. Цочмог өнцгийн конусын хувьд түүний генатрикстай перпендикуляр хавтгайн зүсэлт нь эллипс хэлбэртэй байна. Мохоо конус нь гипербол, тэгш өнцөгт конус нь параболыг өгдөг.

МЭӨ 3-р зуунд амьдарч байсан Пергийн Аполлониус танилцуулсан муруйнуудын нэрс эндээс гаралтай: эллипс, энэ нь өө сэв, дутагдал (шулуун шугам руу конусын өнцөг); гипербол - хэтрүүлэг, давуу байдал (шулуун шугам дээрх конусын өнцөг); парабол - ойролцоо, тэгш байдал (конусын өнцгийг зөв өнцгөөр). Дараа нь Грекчүүд огтлох онгоцны налууг өөрчилснөөр бүх гурван муруйг нэг конус дээр авах боломжтой болохыг анзаарсан. Энэ тохиолдолд та хоёр хөндийгөөс бүрдсэн конусыг авч, тэдгээрийг хязгааргүй хүртэл сунгаж байна гэж бодох хэрэгтэй (Зураг 1).

Хэрэв бид дугуй конусын тэнхлэгт перпендикуляр хэсгийг зурж, дараа нь зүсэх хавтгайг эргүүлж, конустай огтлолцох хэсгийн нэг цэгийг хөдөлгөөнгүй орхивол тойрог эхлээд хэрхэн сунгаж, эллипс болж хувирахыг харах болно. Дараа нь эллипсийн хоёр дахь орой нь хязгааргүйд очих ба эллипсийн оронд парабол, дараа нь онгоц конусын хоёр дахь хөндийг огтолж, гиперболыг авах болно.

Урт хугацаандОдон орон судлаачид болон физикчид тэдгээрийг нухацтай сонирхож эхлэх хүртэл конус зүсэлт нь хэрэглээг олж чадаагүй юм. Эдгээр шугамууд нь байгальд байдаг (түүний жишээ бол селестиел биетүүдийн замнал юм) бөгөөд олон зүйлийг графикаар дүрсэлсэн байдаг. физик үйл явц(энд гипербол нь тэргүүлэх байр суурь эзэлдэг: ядаж Омын хууль ба Бойл-Марриоттын хуулийг санацгаая), механик, оптикт хэрэглэхийг дурдахгүй. Практикт ихэвчлэн инженерчлэл, барилгын ажилд эллипс ба параболатай тулгардаг.

Зураг 1

диаграм

Конус огтлолын тухай ойлголт

Конус огтлол гэдэг нь зөв дугуй конусыг оройг нь дайрдаггүй хавтгайтай огтлолцсоноор олж авдаг хавтгай муруй юм. Аналитик геометрийн үүднээс авч үзвэл конус огтлол нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн байрлал юм. Сүүлчийн хэсэгт авч үзсэн доройтсон тохиолдлыг эс тооцвол конус зүсэлт нь эллипс, гипербол эсвэл парабол юм (Зураг 2).

Зураг 2

Тэгш өнцөгт гурвалжныг нэг хөлөө тойрон эргүүлэхэд гипотенуз нь түүний өргөтгөлүүдтэй баруун дугуй конусын гадаргуу гэж нэрлэгддэг конус гадаргууг дүрсэлдэг бөгөөд энэ нь оройг дайран өнгөрөх тасралтгүй цуваа шугам гэж үзэж болох ба генераторууд, бүх генераторууд. үйлдвэрлэх гэж нэрлэгддэг нэг тойрог дээр тулгуурладаг. Генератор бүр нь эргэдэг гурвалжны гипотенузыг (түүний мэдэгдэж буй байрлалд) илэрхийлдэг бөгөөд хоёр чиглэлд хязгааргүй хүртэл сунгасан байдаг. Тиймээс generatrix бүр оройн хоёр талд сунадаг бөгөөд үүний үр дүнд гадаргуу нь хоёр хөндийтэй байдаг: тэдгээр нь нийтлэг орой дээр нэг цэг дээр нийлдэг. Хэрэв ийм гадаргуу нь хавтгайгаар огтлолцсон бол уг хэсэг нь муруй үүсгэх бөгөөд үүнийг конус хэсэг гэж нэрлэдэг. Энэ нь гурван төрлийн байж болно:

1) хэрэв хавтгай нь конус хэлбэрийн гадаргууг бүх генератрисын дагуу огтолж байвал зөвхөн нэг хөндийг задалж, эллипс гэж нэрлэгддэг битүү муруйг олж авна;

2) хэрчих хавтгай нь хоёр хөндийгөөр огтлолцсон бол хоёр салаатай муруйг олж авах бөгөөд үүнийг гипербола гэж нэрлэдэг;

3) хэрчих хавтгай нь генераторуудын аль нэгтэй зэрэгцээ байвал параболыг олж авна.

Хэрэв огтлох хавтгай нь үүсгэгч тойрогтой параллель байвал тойрог гарч ирэх бөгөөд үүнийг эллипсийн онцгой тохиолдол гэж үзэж болно. Зүсэх хавтгай нь конус гадаргууг зөвхөн нэг оройгоор огтолж чаддаг бөгөөд дараа нь хэсэг нь эллипсийн онцгой тохиолдол болох цэгийг үүсгэдэг.

Хэрэв оройг дайран өнгөрч буй онгоц хоёр хавтгайг огтолж байвал огтлолцсон хос шугамыг үүсгэдэг бөгөөд үүнийг гиперболын онцгой тохиолдол гэж үздэг.

Хэрэв орой нь хязгааргүй алслагдсан бол конус гадаргуу нь цилиндр хэлбэртэй болж, генераторуудтай параллель хавтгайгаар огтлолцох нь параболын онцгой тохиолдол болгон хос зэрэгцээ шугамыг өгдөг. Конус огтлолыг ерөнхий хэлбэр нь 2-р дарааллын тэгшитгэлээр илэрхийлдэг

Сүх 2 +Хөөх+C + Dx + Ээ + Ф= 0 ба 2-р эрэмбийн муруй гэж нэрлэдэг.
(конус хэсэг)

Конус хэлбэрийн төрлүүд хэсгүүд .

Конус хэсгүүд нь гурван төрлийн байж болно.

1) зүсэх онгоц нь конусын бүх төрлийг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолдог; огтлолцлын шугам нь хаалттай зууван муруй - эллипс; Таслах хавтгай нь конусын тэнхлэгт перпендикуляр байх үед эллипсийн онцгой тохиолдол болох тойрог үүсдэг.

2) Таслах хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнд параллель байна; хөндлөн огтлолын хувьд үр дүн нь хязгааргүйд хүрэх нээлттэй муруй юм - нэг хөндийд бүхэлдээ хэвтэж буй парабол.

3) Таслах хавтгай нь конусын хоёр хөндийг огтолж байна; огтлолцлын шугам - гипербола - конусын хоѐр хөндийн дээр байрлах хязгааргүй (гиперболын мөчрүүд) хүртэл үргэлжилсэн хоёр ижил нээлттэй хэсгээс бүрдэнэ.

(Зураг 1) парабол (зураг 2) эллипс (зураг 3) гипербол

Сурах

Конус огтлол нь тэгш хэмийн төвтэй (төв), өөрөөр хэлбэл эллипс эсвэл гиперболтой тохиолдолд түүний тэгшитгэлийг (координатын гарал үүслийг төв рүү шилжүүлэх замаар) дараах хэлбэрт оруулж болно.

а 11 x 2 +2xy+a 22 y 2 =а 33 .

Ийм (төв гэж нэрлэдэг) конус хэсгүүдийн цаашдын судалгаагаар тэдгээрийн тэгшитгэлийг илүү энгийн хэлбэрт оруулж болохыг харуулж байна.

Өө 2 + Ву 2 = C,

хэрэв бид координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдийн үндсэн чиглэлийг сонговол - конус огтлолын үндсэн тэнхлэгийн (тэгш хэмийн тэнхлэг) чиглэлүүд. Хэрэв A ба B нь ижил тэмдэгтэй (C тэмдэгтэй давхцаж байгаа бол) тэгшитгэл нь эллипсийг тодорхойлно; Хэрэв A ба B нь өөр өөр тэмдэгтэй бол энэ нь гипербол болно.

Параболын тэгшитгэлийг (Ah 2 + Ву 2 = C) боломжгүй юм. Координатын тэнхлэгүүдийг зөв сонгосноор (нэг координатын тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн цорын ганц тэнхлэг, нөгөө нь параболын оройгоор дамжин өнгөрч буй перпендикуляр шулуун шугам юм) түүний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулж болно.

y 2 = 2px.

КОНУСАН ХЭСЭГТИЙН ШИНЖ

Паппусын тодорхойлолтууд. Параболын фокусыг тогтоох нь Паппуст ерөнхийдөө конус огтлолын өөр тодорхойлолт өгөх санааг өгсөн. F-г үзье тогтоосон цэг(фокус), L нь F-ээр дамждаггүй өгөгдсөн шулуун шугам (шууд), DF ба DL нь хөдөлж буй P цэгээс F фокус ба L чиглүүлэлт хүртэлх зай юм. Дараа нь Паппын харуулсанчлан конус хэсгүүдийг дараах байдлаар тодорхойлно геометрийн газрууд DF:DL харьцаа нь сөрөг бус тогтмол байх P цэгүүд. Энэ харьцааг конус огтлолын хазгай e гэж нэрлэдэг. Хэзээ e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - гипербол; e = 1 үед - парабол. Хэрэв F нь L дээр байрладаг бол локусууд нь шугаман хэлбэртэй (бодит эсвэл төсөөлөл) байдаг бөгөөд тэдгээр нь доройтсон конус хэсгүүд юм. Зууван ба гиперболын гайхалтай тэгш хэм нь эдгээр муруй бүр нь хоёр чиглүүлэлт, хоёр голомттой болохыг харуулж байгаа бөгөөд энэ нөхцөл байдал нь Кеплерийг 1604 онд парабол нь хоёр дахь фокус, хоёр дахь чиглүүлэлттэй байдаг гэсэн санааг төрүүлжээ. алсын цэгба шулуун. Үүний нэгэн адил тойрог нь голомт нь төвтэй давхцаж, чиглүүлэлтүүд нь хязгааргүй байдаг эллипс гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд хазайлт e нь тэг байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө. Конус хэсгүүдийн шинж чанарууд нь үнэхээр шавхагдашгүй бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь тодорхойлох боломжтой. Чухал газарПаппус, Декартын геометр (1637), Ньютоны Принсипиа (1687) зэрэг математикийн цуглуулгад дөрвөн шулуун шугамтай харьцуулахад цэгүүдийн геометрийн байршлын асуудлыг тусгасан болно. Хэрэв хавтгай дээр дөрвөн мөр L өгөгдсөн бол 1 , Л 2 , Л 3 ба L4 (хоёр нь давхцаж болно) ба P цэг нь P-ээс L хүртэлх зайны үржвэр юм. 1 болон Л 2 P-ээс L хүртэлх зайны үржвэртэй пропорциональ байна 3 болон Л 4 , тэгвэл P цэгүүдийн байрлал нь конус зүсэлт болно.

КОНОС ХЭСЭГТ БАРИЛГА

Конус огтлолыг хавтгай ба конусын огтлолцол болгон судалснаар эртний Грекийн математикчид мөн тэдгээрийг хавтгай дээрх цэгүүдийн замнал гэж үздэг байв. Эллипсийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол байдаг; парабол - өгөгдсөн цэг ба өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж; гипербола - цэгүүдийн байршлын хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байна.

Хавтгай муруй гэж конус огтлолын эдгээр тодорхойлолтууд нь сунгасан утас ашиглан тэдгээрийг барих аргыг санал болгож байна.

Зууван. Хэрэв өгөгдсөн урттай утаснуудын төгсгөлүүд F цэгүүдэд бэхлэгдсэн бол 1 болон Ф 2 (Зураг 3), дараа нь нягт сунасан утсаар гулсаж буй харандааны цэгээр дүрсэлсэн муруй нь эллипс хэлбэртэй байна. F оноо 1 ба F2-г эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг ба V сегментүүдийг 1 В 2 ба v 1 v 2 координатын тэнхлэгүүдтэй эллипсийн огтлолцох цэгүүдийн хооронд - том ба бага тэнхлэгүүд. Хэрэв F цэгүүд байвал 1 болон Ф 2 давхцаж, дараа нь эллипс тойрог болж хувирна (Зураг 3).

Зураг 3

Гипербола. Гиперболыг бүтээхдээ харандааны үзүүр болох P цэгийг F цэгүүдэд суурилуулсан шонгийн дагуу чөлөөтэй гулсдаг утасн дээр тогтооно. 1 болон Ф 2 , Зураг 4, а-д үзүүлсэн шиг зайг PF сегментийг сонгохоор сонгосон 2 PF сегментээс урт 1 F зайнаас бага тогтмол утгаар 1 Ф 2 . Энэ тохиолдолд утасны нэг төгсгөл нь F зүү дор дамждаг 1 , ба утасны хоёр үзүүр нь F зүү дээр дамждаг 2 . (Харандааны үзүүр нь утсанд гулсахгүй байх ёстой тул утасн дээр жижиг гогцоо хийж, цэгийг нь сүвээр бэхлэх хэрэгтэй.) Гиперболын нэг салаа (PV) 1 Q) бид зурж, утсыг үргэлж чангалж, утасны хоёр үзүүрийг F цэгээс доош татах замаар зурдаг. 2 , мөн P цэг F сегментийн доор байх үед 1 Ф 2 , утсыг хоёр үзүүрээс нь барьж, болгоомжтой суллана. Бид эхлээд F зүүг солих замаар гиперболын хоёр дахь мөчрийг зурна 1 болон Ф 2 (Зураг 4).

Зураг 4

Гиперболын мөчрүүд нь мөчрүүдийн хооронд огтлолцсон хоёр шулуун шугам руу ойртдог. Эдгээр шугамыг гиперболын асимптот гэж нэрлэдэг. Өнцгийн коэффициентүүдЭдгээр шугамын F сегменттэй перпендикуляр асимптотуудын хоорондох өнцгийн биссектрисын сегмент хаана байгаатай тэнцүү байна. 2 Ф 1 ; сегмент v 1 v 2 гиперболын коньюгат тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба сегмент V 1 В 2 - түүний хөндлөн тэнхлэг. Тиймээс асимптотууд нь дөрвөн v цэгийг дайран өнгөрөх талуудтай тэгш өнцөгтийн диагональууд юм. 1 , v 2 , В 1 , В 2 тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ. Энэ тэгш өнцөгтийг барихын тулд v цэгүүдийн байршлыг зааж өгөх хэрэгтэй 1 ба v 2 . Тэдгээр нь ижил зайд, тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгтэй тэнцүү байна O. Энэ томьёо нь Ov хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна гэж үздэг. 1 болон В 2 O ба гипотенуз F 2 О.

Хэрэв гиперболын асимптотууд харилцан перпендикуляр байвал гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Нийтлэг асимптоттой боловч хөндлөн ба коньюгат тэнхлэгүүдийг дахин зохион байгуулсан хоёр гиперболыг харилцан коньюгат гэж нэрлэдэг.

Парабола. Зууван ба гиперболын голомтуудыг Аполлониус мэддэг байсан боловч параболын фокусыг анх Паппус (3-р зууны хоёрдугаар хагас) тогтоосон бөгөөд энэ муруйг тухайн цэгээс (фокус) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлсон байдаг. мөн өгөгдсөн шулуун шугамыг захирал гэж нэрлэдэг. Паппусын тодорхойлолтыг үндэслэн чангалсан утас ашиглан парабол барихыг Милетийн Исидор (VI зуун) санал болгосон (Зураг 5).

Зураг 5

ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ХАНДЛАГА

Алгебрийн ангилал. Алгебрийн хэллэгээр конус огтлолыг декартын координатын систем дэх координатууд нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай муруй гэж тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл бүх конус огтлолын тэгшитгэлийг A, B, C бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш байхаар ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно. Зэрэгцээ орчуулга ба тэнхлэгүүдийн эргэлтийг ашиглан тэгшитгэлийг (1) хэлбэрт оруулж болно

сүх 2 + by 2 + c = 0

эсвэл

px 2 +q y = 0.

Эхний тэгшитгэлийг (1) тэгшитгэлээс B2 > AC, хоёр дахь нь B хувьд авна 2 = AC. Тэгшитгэл нь эхний хэлбэрт орсон конус огтлолыг төв гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь төрлийн q > 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон конус огтлолыг төв бус гэж нэрлэдэг. Эдгээр хоёр ангилалд коэффициентийн шинж тэмдгүүдээс хамааран есөн төрлийн конус зүсэлтүүд байдаг.

1) Хэрэв a, b, c коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй бол координат нь тэгшитгэлийг хангах бодит цэг байхгүй болно. Ийм конус зүсэлтийг төсөөллийн эллипс (эсвэл a = b бол төсөөллийн тойрог) гэж нэрлэдэг.

2) Хэрэв a ба b тэмдэг нь ижил, в нь эсрэг тэмдэгтэй бол конус хэсэг нь эллипс болно; a = b үед - тойрог.

3) Хэрэв a ба b нь өөр өөр тэмдэгтэй бол конус хэсэг нь гипербол болно.

4) Хэрэв a ба b тэмдэгтүүд өөр бөгөөд c = 0 бол конус хэсэг нь огтлолцсон хоёр шулуунаас бүрдэнэ.

5) Хэрэв a ба b нь ижил тэмдэгтэй ба c = 0 байвал муруйн дээрх тэгшитгэлийг хангасан цорын ганц бодит цэг байх ба конус огтлол нь хоёр төсөөлөл огтлолцсон шулуун байна. Энэ тохиолдолд бид мөн цэгт наалдсан эллипс эсвэл хэрэв a = b бол цэгт наалдсан тойрог гэж ярьдаг.

6) Хэрэв a эсвэл b нь тэгтэй тэнцүү, бусад коэффициентүүд нь өөр өөр тэмдэгтэй бол конус огтлол нь хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ.

7) Хэрэв a эсвэл b нь тэгтэй тэнцүү, үлдсэн коэффициентүүд нь ижил тэмдэгтэй байвал тэгшитгэлийг хангасан нэг ч бодит цэг байхгүй болно. Энэ тохиолдолд конус хэсэг нь хоёр төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ гэж тэд хэлдэг.

8) Хэрэв c = 0, a эсвэл b нь мөн тэг бол конус огтлол нь хоёр бодит давхцсан шулуунаас бүрдэнэ. (Тэгшитгэл нь a = b = 0-ийн хувьд конус огтлолыг тодорхойлохгүй, учир нь энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэл (1) нь хоёрдугаар зэргийн биш юм.)

9) Хоёрдахь төрлийн тэгшитгэл нь p ба q нь тэгээс ялгаатай бол параболыг тодорхойлно. Хэрэв p > 0 ба q = 0 бол бид муруйг 8-р алхамаас авна. Хэрэв p = 0 бол анхны тэгшитгэл (1) нь хоёрдугаар зэргийн биш тул тэгшитгэл нь конус огтлолыг тодорхойлохгүй.

Өргөдөл

Конус зүсэлт нь байгаль, технологид ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нарыг тойрон эргэдэг гаригуудын тойрог зам нь эллипс хэлбэртэй байдаг. Тойрог нь том тэнхлэг нь жижиг тэнхлэгтэй тэнцүү байх эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Параболик толь нь түүний тэнхлэгтэй параллель туссан бүх цацрагууд нэг цэгт (фокус) нийлдэг шинж чанартай байдаг. Үүнийг параболик толь ашигладаг ихэнх тусгал дуран, түүнчлэн радарын антенн болон параболын тусгал бүхий тусгай микрофонд ашигладаг. Параболик цацруулагчийн фокус дээр байрлуулсан гэрлийн эх үүсвэрээс параллель цацрагийн туяа гардаг. Тийм ч учраас параболик толь нь өндөр хүчин чадалтай прожектор, машины гэрэлд ашиглагддаг. Гипербола нь Бойлийн хууль (идеал хийн даралт ба эзэлхүүний хамаарал) ба цахилгаан гүйдлийг тогтмол хүчдэлийн эсэргүүцлийн функц гэж тодорхойлдог Ом хууль зэрэг олон чухал физик харилцааны график юм.

Нарны аймгийн бүх биет нарны эргэн тойронд эллипс хэлбэрээр хөдөлдөг. Тэнгэрийн биетүүдбусдаас нарны аймаг руу орох одны системүүд, Нарны эргэн тойронд гиперболын тойрог замд хөдөлж, хэрэв тэдний хөдөлгөөнд нарны аймгийн гаригууд мэдэгдэхүйц нөлөө үзүүлэхгүй бол түүнийг ижил тойрог замд үлдээдэг. Тэд дэлхийг тойрон эллипс хэлбэрээр хөдөлдөг хиймэл дагуулуудТэгээд байгалийн хиймэл дагуул- Сар, тиймээ сансрын хөлөг, бусад гаригууд руу хөөргөсөн бөгөөд бусад гаригууд эсвэл нарны таталцлыг харьцуулах хүртэл хөдөлгүүрүүдийн төгсгөлд парабол эсвэл гиперболын дагуу (хурднаас хамаарч) хөдөлнө. хүндийн хүч(Зураг 3).

Конусын дундуур

Эллипс ба түүний онцгой тохиолдол - тойрог, парабол, гиперболыг туршилтаар олж авахад хялбар байдаг. Жишээлбэл, зайрмагны боргоцой нь конусын дүрд маш тохиромжтой байх болно. Оюун санааны нь түүний generatrics нэг зурж, доор эвэр бууруулах өөр өөр өнцөгТүүнд. Даалгавар бол зөвхөн дөрвөн оролдлого хийж, зүсмэлүүд дээр бүх боломжит конус хэсгүүдийг олж авах явдал юм. Туршилтыг гар чийдэнгээр хийх нь бүр ч хялбар: орон зай дахь байрлалаас хамааран гэрлийн конус нь өрөөний ханан дээр толбо үүсгэдэг. янз бүрийн хэлбэрүүд. Толбо бүрийн хил нь конус хэлбэрийн нэг хэсэг юм. Гар чийдэнг босоо хавтгайд эргүүлснээр та нэг муруй нөгөөг нь хэрхэн сольж байгааг харах болно: тойрог нь эллипс болж, дараа нь парабол болж, эргээд гипербол болж хувирдаг.

Математикч ижил асуудлыг онолын хувьд хоёр өнцгийг харьцуулах замаар шийддэг: α - конусын тэнхлэг ба генератрикс ба β - огтлох хавтгай ба конусын тэнхлэгийн хоорондох. Үр дүн нь энд байна: α-ийн хувьд< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β нь гиперболын салбар юм. Хэрэв бид генераторуудыг сегмент биш харин шулуун шугам гэж үзвэл хязгааргүй гэж үзнэ тэгш хэмтэй дүрсбүхий хоёр боргоцойноос нийтлэг дээд, эллипс нь битүү муруй, парабол нь нэг хязгааргүй мөчир, гипербол хоёроос бүрдэх нь тодорхой болно.

Хамгийн энгийн конус хэсэг - тойрог - утас, хадаас ашиглан зурж болно. Утасны нэг үзүүрийг цаасан дээр наасан хадаастай, нөгөөг нь харандаагаар уяж, чанга татахад хангалттай. Хийсэн бүрэн эргэлт, харандаа нь тойрог тоймлох болно. Эсвэл та луужин ашиглаж болно: түүний шийдлийг өөрчилснөөр та бүхэл бүтэн тойргийг хялбархан зурж болно.

АШИГЛАСАН АШИГЛАЛТЫН ЖАГСААЛТ

1.Верещагин Н.К., А.Шэнь. Математик логик, алгоритмын онолын лекцүүд. 1999 он

2. Прасолов В.В.. Лобачевскийн геометр 2004 он

4. Прасолов В.В.. Лобачевскийн геометр 2004 он

КОНИК ХЭСЭГ
зөв дугуй конусыг түүний оройгоор дамждаггүй хавтгайтай огтлолцох замаар олж авсан хавтгай муруйнууд (Зураг 1). Аналитик геометрийн үүднээс авч үзвэл конус огтлол нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн байрлал юм. Сүүлийн хэсэгт авч үзсэн доройтсон тохиолдлоос бусад конус хэсгүүд нь эллипс, гипербол, парабол юм.

Конус зүсэлт нь байгаль, технологид ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нарыг тойрон эргэдэг гаригуудын тойрог зам нь эллипс хэлбэртэй байдаг. Тойрог нь том тэнхлэг нь жижиг тэнхлэгтэй тэнцүү байх эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Параболик толь нь түүний тэнхлэгтэй параллель туссан бүх цацрагууд нэг цэгт (фокус) нийлдэг шинж чанартай байдаг. Үүнийг параболик толь ашигладаг ихэнх тусгал дуран, түүнчлэн радарын антенн болон параболын тусгал бүхий тусгай микрофонд ашигладаг. Параболик цацруулагчийн фокус дээр байрлуулсан гэрлийн эх үүсвэрээс параллель цацрагийн туяа гардаг. Тийм ч учраас параболик толь нь өндөр хүчин чадалтай прожектор, машины гэрэлд ашиглагддаг. Гипербола нь Бойлийн хууль (идеал хийн даралт ба эзэлхүүний хамаарал) ба цахилгаан гүйдлийг тогтмол хүчдэлийн эсэргүүцлийн функц гэж тодорхойлдог Ом хууль зэрэг олон чухал физик харилцааны график юм.
бас үзнэ үүТЭНГЭРИЙН МЕХАНИК.
ЭРТНИЙ ТҮҮХ
Конус огтлолыг нээсэн хүн бол Платоны шавь, Македоны Александрын багш Менахмус (МЭӨ 4-р зуун) гэж тооцогддог. Менахмус кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудлыг шийдэхийн тулд парабол болон тэгш талт гиперболыг ашигласан. 4-р зууны төгсгөлд Аристаеус, Евклид нарын бичсэн конус хэлбэрийн трактууд. МЭӨ алдагдсан боловч тэдгээрээс авсан материалууд өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн Пергийн Аполлониус (МЭӨ 260-170 оны орчим) алдартай конус хэсгүүдэд багтсан болно. Аполлониус конусын үүсгүүрийн таслагч хавтгай нь перпендикуляр байх шаардлагыг орхиж, түүний налуу өнцгийг өөрчилснөөр шулуун эсвэл налуу нэг дугуй конусаас бүх конус хэсгүүдийг гаргаж авсан. Бид Аполлонд өртэй ба орчин үеийн нэрсмуруй - эллипс, парабол ба гипербол. Аполлониус бүтээн байгуулалтдаа хоёр хөндий ашигласан дугуй конус(Зураг 1-ийн адил), тэгэхээр анх удаа гипербола нь хоёр салаатай муруй болох нь тодорхой болсон. Аполлониусын үеэс конусын зүсэлтүүдийг конусын генатрикс руу зүсэх хавтгайн налуугаас хамааран гурван төрөлд хуваадаг. Зүсэх хавтгай нь конусын бүх генератрицуудыг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтлох үед эллипс (Зураг 1а) үүсдэг; парабол (Зураг 1, б) - зүсэх хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнд параллель байх үед; гипербола (Зураг 1, в) - зүсэх онгоц нь конусын хоёр хөндийгөөр огтлолцох үед.
КОНОС ХЭСЭГТ БАРИЛГА
Конус огтлолыг хавтгай ба конусын огтлолцол болгон судалснаар эртний Грекийн математикчид мөн тэдгээрийг хавтгай дээрх цэгүүдийн замнал гэж үздэг байв. Эллипсийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол байдаг; парабол - өгөгдсөн цэг ба өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж; гипербола - цэгүүдийн байршлын хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байна. Хавтгай муруй гэж конус огтлолын эдгээр тодорхойлолтууд нь сунгасан утас ашиглан тэдгээрийг барих аргыг санал болгож байна.
Зууван.Хэрэв өгөгдсөн урттай утаснуудын төгсгөлүүд нь F1 ба F2 цэгүүдэд бэхлэгдсэн байвал (Зураг 2) нягт сунасан утсаар гулсаж буй харандааны цэгээр дүрсэлсэн муруй нь эллипс хэлбэртэй байна. F1 ба F2 цэгүүдийг эллипсийн фокусууд гэж нэрлэдэг бөгөөд эллипсийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн хоорондох V1V2 ба v1v2 сегментүүдийг гол ба жижиг тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Хэрэв F1 ба F2 цэгүүд давхцвал эллипс тойрог болж хувирна.

O тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгээс энэ томьёо нь Ov1 ба V2O хөлтэй, гипотенуз F2O бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна гэж үздэг. Хэрэв гиперболын асимптотууд харилцан перпендикуляр байвал гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Нийтлэг асимптоттой боловч хөндлөн ба коньюгат тэнхлэгүүдийг дахин зохион байгуулсан хоёр гиперболыг харилцан коньюгат гэж нэрлэдэг.
Парабола.Зууван ба гиперболын голомтуудыг Аполлониус мэддэг байсан ч параболын фокусыг анх Паппус (3-р зууны 2-р хагас) тогтоосон бөгөөд энэ муруйг тухайн цэгээс (фокус) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлсон байдаг. мөн өгөгдсөн шулуун шугамыг захирал гэж нэрлэдэг. Паппусын тодорхойлолт дээр үндэслэн сунгасан утас ашиглан парабол барихыг Милетийн Исидор (6-р зуун) санал болгосон. Захирагчийг түүний ирмэг нь LLў чиглүүлэлттэй давхцахаар байрлуулъя (Зураг 4) ба ABC гурвалжны АС хөлийг энэ ирмэг дээр холбоно. АВ урттай утаснуудын нэг үзүүрийг гурвалжны В оройд, нөгөө үзүүрийг параболын F фокус дээр бэхлэе. Утсыг харандааны үзүүрээр татаад P хувьсах цэгийн үзүүрийг дарна. зургийн гурвалжны чөлөөт хөл AB. Гурвалжин захирагчийн дагуу хөдөлж байх үед P цэг нь F фокус ба LLў чиглүүлэгчтэй параболын нумыг дүрслэх болно, учир нь утасны нийт урт нь AB-тай тэнцүү тул утас нь гурвалжны чөлөөт хөлтэй зэргэлдээ байна. Тиймээс PF утас нь үлдсэн хэсэг нь AB хөлний үлдсэн хэсгүүдтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. PA. Параболын V-ийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг ба F ба V-ийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг параболын тэнхлэг гэнэ. Хэрэв фокусын дундуур тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам татвал параболоор таслагдсан энэ шулуун шугамын сегментийг фокусын параметр гэнэ. Эллипс ба гиперболын хувьд фокусын параметрийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

A, B, C коэффициентүүд бүгд тэг биш байна. Зэрэгцээ хөрвүүлэлт ба тэнхлэгүүдийн эргэлтийг ашиглан (1) тэгшитгэлийг ax2 + by2 + c = 0 хэлбэрт оруулж болно.
эсвэл px2 + qy = 0. Эхний тэгшитгэлийг (1) B2 No AC, хоёр дахь нь B2 = AC-тай тэгшитгэлээс авна. Тэгшитгэл нь эхний хэлбэрт орсон конус огтлолыг төв гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь төрлийн q No 0-тэй тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон конус огтлолыг төв бус гэж нэрлэдэг. Эдгээр хоёр ангилалд коэффициентийн шинж тэмдгүүдээс хамааран есөн төрлийн конус зүсэлтүүд байдаг. 1) Хэрэв a, b, c коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй бол координат нь тэгшитгэлийг хангах бодит цэг байхгүй болно. Ийм конус зүсэлтийг төсөөллийн эллипс (эсвэл a = b бол төсөөллийн тойрог) гэж нэрлэдэг. 2) Хэрэв a ба b тэмдэг нь ижил, в нь эсрэг тэмдэгтэй бол конус хэсэг нь эллипс болно (Зураг 1,а); үед a = b - тойрог (Зураг 6, b).

Хаана - тогтмол коэффициент. a тоо нь параболын фокусын параметрийн уртыг илэрхийлнэ. Хэрэв конусын орой дээрх өнцөг хурц байвал RQ сегмент нь AE сегменттэй тэнцүү биш байна; харин y2 = RQ×QS харьцаа нь хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Энд a ба b тогтмолууд, эсвэл тэнхлэгүүдийг шилжүүлсний дараа тэгшитгэл

Энэ нь эллипсийн тэгшитгэл юм. Эллипсийн х огтлолцол (x = a ба x = -a) ба y-ийн огтлолцол (y = b ба y = -b) нь том ба бага тэнхлэгийг тус тус тодорхойлно. Хэрэв конусын орой дээрх өнцөг нь мохоо байвал конус ба хавтгайн огтлолцлын муруй нь гиперболын хэлбэртэй байх ба тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл тэнхлэгүүдийг шилжүүлсний дараа

Энэ тохиолдолд x2 = a2-ээр өгөгдсөн х огтлолцол нь хөндлөн тэнхлэгийг, y2 = -b2-ээр өгөгдсөн у огтлолцол нь коньюгат тэнхлэгийг тодорхойлно. Хэрэв (4а) тэгшитгэлийн a ба b тогтмолууд тэнцүү бол гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Тэнхлэгүүдийг эргүүлснээр түүний тэгшитгэлийг xy = k хэлбэрт оруулна.
Одоо (3), (2) ба (4) тэгшитгэлээс бид Аполлониусаас гурван үндсэн конус хэсэгт өгсөн нэрсийн утгыг ойлгож чадна. "Элипс", "парабола", "гипербола" гэсэн нэр томъёоноос гаралтай Грек үгс, "дутуу", "тэнцүү", "дээд" гэсэн утгатай. (3), (2) ба (4) тэгшитгэлээс харахад y2 (2b2/a) эллипсийн хувьд x нь тодорхой байна. Аль ч тохиолдолд хаалтанд оруулсан утга нь муруйн фокусын параметртэй тэнцүү байна. Аполлон өөрөө зөвхөн гурвыг л авч үзсэн ерөнхий төрөлконус хэсгүүд (дээр жагсаасан 2, 3, 9-р төрлүүд), гэхдээ түүний арга нь бүх бодит хоёр дахь эрэмбийн муруйг авч үзэх боломжийг олгодог. Хэрэв зүсэх онгоцыг конусын дугуй суурьтай зэрэгцээ сонгосон бол хөндлөн огтлол нь тойрог хэлбэртэй болно. Хэрэв огтлох онгоц нь зөвхөн нэг юм нийтлэг цэгконус, түүний оройгоор та 5-р төрлийн хэсгийг авна; хэрэв энэ нь орой ба конус руу шүргэгчийг агуулж байвал бид 8-р төрлийн хэсгийг авна (Зураг 6, b); хэрчсэн хавтгай нь конусын хоёр генатрикийг агуулж байвал хэсэг нь 4-р хэлбэрийн муруйг үүсгэдэг (Зураг 6a); Оройг хязгааргүйд шилжүүлэхэд конус нь цилиндр болж хувирдаг бөгөөд хэрэв онгоц нь хоёр генатриктай бол 6-р төрлийн хэсгийг авна. Хэрэв тойргийг ташуу өнцгөөс харвал эллипс шиг харагдана. X = x, Y = (a/b) y орлуулалтыг ашиглан X2 + Y2 = a2 тойргийг эллипс болгон хувиргавал Архимедийн мэддэг тойрог ба эллипсийн хоорондын хамаарал тодорхой болно. тэгшитгэлээр өгөгдсөн(3а). i2 = -1 байх X = x, Y = (ai/b) y хувиргалт нь тойргийн тэгшитгэлийг (4а) хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог. Үүнээс үзэхэд гиперболыг төсөөлж буй жижиг тэнхлэгтэй эллипс, эсвэл эсрэгээр, эллипсийг төсөөллийн коньюгат тэнхлэгтэй гипербол гэж үзэж болно. Тойргийн ординатууд x2 + y2 = a2 ба эллипс (x2/a2) + (y2/b2) = 1 хоорондын хамаарал нь эллипсийн талбайн хувьд Архимедийн A = pab томъёонд шууд хүргэдэг. Кеплер тойрогтой ойрхон эллипсийн периметрийн ойролцоогоор p (a + b) томъёог мэддэг байсан ч яг 18-р зуунд л яг тодорхой илэрхийлэлийг олж авсан. эллипс интегралыг оруулсны дараа. Архимедийн харуулсанчлан параболын сегментийн талбай нь бичээстэй гурвалжны талбайн гуравны дөрөвтэй тэнцэх боловч параболын нумын уртыг зөвхөн 17-р зууны дараа л тооцоолж болно. Дифференциал тооцоог зохион бүтээсэн.
ТӨСЛИЙН ХАНДЛАГА
Проекктив геометр нь хэтийн төлөвийг бий болгохтой нягт холбоотой байдаг. Хэрэв та тунгалаг цаасан дээр тойрог зурж, гэрлийн эх үүсвэрийн доор байрлуулбал энэ тойрог нь доорх хавтгайд тусна. Түүнээс гадна, хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь тойргийн төвөөс шууд байрладаг бөгөөд хавтгай ба тунгалаг хуудас нь зэрэгцээ байвал проекц нь мөн тойрог байх болно (Зураг 8). Гэрлийн эх үүсвэрийн байрлалыг алга болох цэг гэж нэрлэдэг. Үүнийг V үсгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв V нь тойргийн төвөөс дээш байрлалгүй эсвэл хавтгай нь цаасан дээр параллель биш бол тойргийн проекц нь эллипс хэлбэртэй болно. Хавтгай илүү их налуутай бол эллипсийн гол тэнхлэг (тойрогны проекц) уртасч, эллипс аажмаар парабол болж хувирдаг; VP шулуун шугамтай параллель хавтгай дээр проекц нь параболын хэлбэртэй байна; илүү их налуутай бол проекц нь гиперболын аль нэг салбар хэлбэртэй болно.

Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг. - Нээлттэй нийгэм. 2000 .

Бусад толь бичгүүдэд "КОНИК ХЭСЭГ" гэж юу болохыг хараарай.

Конус зүсэлт: тойрог, эллипс, парабол (хэсгийн хавтгай нь конусын генератрикстэй параллель), гипербола. Конус хэсэг буюу конус нь дугуй конустай хавтгайн огтлолцол юм. Зууван, ... ... Википедиа гэсэн гурван үндсэн төрөл байдаг

Янз бүрийн чиглэлд хавтгайтай конус огтлолцсоны үр дүнд үүссэн муруй; тэдгээрийн төрөл: эллипс, гипербол, парабол. Бүрэн толь бичиг гадаад үгс, орос хэлэнд хэрэглэгдэх болсон. Попов М., 1907. КОНИК ХЭСЭГ гэж нэрлэгддэг. муруй ...... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

Дугуй конусын огтлолцлын шугамууд (үзнэ үү. Конус гадаргуу) түүний оройгоор дамжин өнгөрөх онгоцууд. -аас хамааран харьцангуй байрлалконус ба огтлох хавтгай, гурван төрлийн конус хэсгийг олж авдаг: эллипс, парабол, гипербол ... Том нэвтэрхий толь бичиг

КОНИК ХЭСЭГ

- зөв дугуй конусыг түүний оройгоор дамждаггүй хавтгайтай огтлолцох замаар олж авсан хавтгай муруйнууд. Аналитик геометрийн үүднээс авч үзвэл конус огтлол нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн байрлал юм. Муухай тохиолдлоос бусад тохиолдолд конус хэсэг нь эллипс, гипербол, парабол юм.

Конус зүсэлт нь байгаль, технологид ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нарыг тойрон эргэдэг гаригуудын тойрог зам нь эллипс хэлбэртэй байдаг. Тойрог нь том тэнхлэг нь жижиг тэнхлэгтэй тэнцүү байх эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Параболик толь нь түүний тэнхлэгтэй параллель туссан бүх цацрагууд нэг цэгт (фокус) нийлдэг шинж чанартай байдаг. Үүнийг параболик толь ашигладаг ихэнх тусгал дуран, түүнчлэн радарын антенн болон параболын тусгал бүхий тусгай микрофонд ашигладаг. Параболик цацруулагчийн фокус дээр байрлуулсан гэрлийн эх үүсвэрээс параллель цацрагийн туяа гардаг. Тийм ч учраас параболик толь нь өндөр хүчин чадалтай прожектор, машины гэрэлд ашиглагддаг. Гипербола нь Бойлийн хууль (идеал хийн даралт ба эзэлхүүний хамаарал) ба цахилгаан гүйдлийг тогтмол хүчдэлийн эсэргүүцлийн функц гэж тодорхойлдог Ом хууль зэрэг олон чухал физик харилцааны график юм.

Конус огтлолыг нээсэн хүн бол Платоны шавь, Македоны Александрын багш Менахмус (МЭӨ 4-р зуун) гэж тооцогддог. Менахмус кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудлыг шийдэхийн тулд парабол болон тэгш талт гиперболыг ашигласан. 4-р зууны төгсгөлд Аристаеус, Евклид нарын бичсэн конус хэлбэрийн трактууд. МЭӨ алдагдсан боловч тэдгээрээс авсан материалууд өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн Пергийн Аполлониус (МЭӨ 260-170 оны орчим) алдартай конус хэсгүүдэд багтсан болно. Аполлониус конусын үүсгүүрийн таслагч хавтгай нь перпендикуляр байх шаардлагыг орхиж, түүний налуу өнцгийг өөрчилснөөр шулуун эсвэл налуу нэг дугуй конусаас бүх конус хэсгүүдийг гаргаж авсан. Мөн бид муруйнуудын орчин үеийн нэрс болох эллипс, парабол, гипербола Аполлониустай холбоотой. Аполлониус бүтээн байгуулалтдаа хоёр хуудас дугуй конус ашигласан тул гипербола нь хоёр салаатай муруй болох нь анх удаа тодорхой болсон. Аполлониусын үеэс конусын зүсэлтүүдийг конусын генатрикс руу зүсэх хавтгайн налуугаас хамааран гурван төрөлд хуваадаг. Зүсэгч хавтгай нь конусын бүх генератрицуудыг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолж байх үед эллипс үүсдэг; парабол - огтлох хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнд параллель байх үед; гипербола - огтлох хавтгай нь конусын хоёр хөндийгөөр огтлолцох үед.

Конус огтлолыг хавтгай ба конусын огтлолцол болгон судалснаар эртний Грекийн математикчид мөн тэдгээрийг хавтгай дээрх цэгүүдийн замнал гэж үздэг байв. Эллипсийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол байдаг; парабол - өгөгдсөн цэг ба өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж; гипербола - цэгүүдийн байршлын хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байна. Хавтгай муруй гэж конус огтлолын эдгээр тодорхойлолтууд нь сунгасан утас ашиглан тэдгээрийг барих аргыг санал болгож байна.

Зууван ба гиперболын голомтуудыг Аполлониус мэддэг байсан ч параболын фокусыг анх Паппус (3-р зууны 2-р хагас) тогтоосон бөгөөд энэ муруйг тухайн цэгээс (фокус) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлсон байдаг. мөн өгөгдсөн шулуун шугамыг захирал гэж нэрлэдэг. Паппусын тодорхойлолт дээр үндэслэн сунгасан утас ашиглан парабол барихыг Милетийн Исидор (6-р зуун) санал болгосон.

Параболын фокусыг тогтоох нь Паппуст ерөнхийдөө конус огтлолын өөр тодорхойлолт өгөх санааг өгсөн. Өгөгдсөн цэг (фокус), L нь F-ийг өнгөрөөгүй шулуун шугам (шууд) байх ба хөдөлж буй P цэгээс F фокус ба L директрикс хүртэлх зайг DF ба DL тус тус тэмдэглэе. Дараа нь Паппын харуулсанчлан конус зүсэлтүүд нь DF/DL харьцаа нь сөрөг бус тогтмол байх P цэгүүдийн байрлалаар тодорхойлогддог. Энэ харьцааг конус огтлолын хазгай e гэж нэрлэдэг. Хэзээ e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - гипербол; e = 1 үед - парабол. Хэрэв F нь L дээр байрладаг бол локусууд нь шугаман хэлбэртэй (бодит эсвэл төсөөлөл) байдаг бөгөөд тэдгээр нь доройтсон конус хэсгүүд юм. Зууван ба гиперболын гайхалтай тэгш хэм нь эдгээр муруй бүр нь хоёр чиглүүлэлт, хоёр голомттой болохыг харуулж байгаа бөгөөд энэ нөхцөл байдал нь Кеплерийг 1604 онд парабол нь хоёр дахь фокус, хоёр дахь чиглүүлэлт - хязгааргүй ба шулуун цэгтэй гэсэн санааг төрүүлжээ. . Үүний нэгэн адил тойрог нь голомт нь төвтэй давхцаж, чиглүүлэлтүүд нь хязгааргүй байдаг эллипс гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд хазайлт e нь тэг байна.

Уран зохиол
Ван дер Ваерден Б.Л. Сэрэх шинжлэх ухаан. М., 1959 Александров П.С. Аналитик геометрийн лекцүүд. М., 1968