Багшийн теоремийн ажил олон үе шаттай. Эдгээр үе шатуудын голыг онцолж үзье: 1) мэдлэгийг шинэчлэх, теоремыг судлах сэдэл; 2) теоремыг томъёолох, түүний агуулгыг өөртөө шингээх; 3) теоремын баталгаа; 4) теоремыг нэгтгэх, хэрэглэх
Тодорхой тохиолдол бүрт аль үе шатыг ямар хэмжээгээр ашиглах, алийг нь орхихыг багш өөрөө шийддэг гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь тухайн ангийн онцлог, багшийн өмнөх туршлага, ойлголтын теоремын нарийн төвөгтэй байдал гэх мэтээс хамаарна.
1-р шат - мэдлэгийг шинэчлэх(үндсэн давталт) мөн теоремыг судлах сэдэл.
Лавлагааны давталтыг зохион байгуулах технологи: багш
– нотлох баримтыг хамгийн их алхамд хуваана;
- нотлох баримтыг үндэслэсэн математикийн бүх баримтыг тодорхойлох;
– эдгээрийг бүгдийг нь оюутнуудад хэр зэрэг мэддэг эсэхэд дүн шинжилгээ хийх;
- харилцан яриа, урд талын судалгаа, бэлтгэл ажлын систем хэлбэрээр лавлагааны давталтыг зохион байгуулдаг (ихэнхдээ "бэлэн зураг дээр" - доороос үзнэ үү).
Теоремыг судлах сэдэл нь багш ихэвчлэн шийдэлтэй холбоотой байдаг практик асуудал, үүнд теоремд тусгагдсан баримт зайлшгүй шаардлагатай (30-р хуудасны жишээг үзнэ үү).
2-р шат - теоремын томъёололыг танилцуулж, агуулгыг нь эзэмших.
Теоремыг томъёолох хоёр үндсэн аргыг тайлбарлая.
1-р арга. Багш өөрөө теоремыг урьдчилсан сэдэл бүхий эсвэлгүйгээр томъёолдог.
Найрлагандаа яарах шаардлагагүй. Зөвхөн энгийн бөгөөд ойлгомжтой байвал та үг хэллэгээр эхэлж болно. Хэрэв томъёолол нь энгийн биш бол багш эхлээд дүрс зурж, теоремын нөхцөл, дүгнэлтийг олж мэдээд самбар дээр бичээд дараа нь бүрэн томъёолно.
Аргын давуу тал нь товч, тодорхой, цаг хугацаа хэмнэх; сул тал - формализм ба догматизм боломжтой.
2-р арга. Оюутнууд теоремыг бие даан боловсруулахад бэлтгэгдсэн.
Планиметрийн хувьд энэ зорилгоор холбогдох дүрсийг бүтээх, хэмжих дасгалуудыг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ. Оюутнуудад дугуйны хөвчүүдийн тухай теоремыг бие даан олж мэдэхийг багш зөвлөж байна дараагийн асуултуудболон даалгавар:
– Тойрог дотор тэгш бус хоёр хөвч зур.
– Аль нь төвд ойр байгааг нүдээр тогтооно.
- Дүгнэлтээ гарга.
Аргын давуу тал нь оюутнуудын бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх, геометрийг судлах сонирхлыг нэмэгдүүлэх явдал юм. Сул талууд - маш их цаг хугацаа, чухал бус нарийн ширийн зүйлд анхаарлаа сарниулах боломжтой.
Теоремыг томъёолсны дараа бид тодруулга дээр ажилладаг: бид нэр томъёог тодорхойлж, теоремын нөхцөл, дүгнэлтийг тодруулна. Үүний зэрэгцээ өгөгдөл, юуг нотлох шаардлагатайг товч бүртгэх; зураг зурж байна.
Зурах шаардлага:
- ерөнхийд нь дүрсэлсэн байх ёстой, үгүй онцгой тохиолдол;
- зургийн хэмжээ нь оновчтой байх ёстой;
– зураг дээр өгөгдөл болон хайсан зүйлсийг өнгөөр тодруулж, тусгай тэмдэг, тэмдэглэгээг тэмдэглэнэ.
3-р шат - теоремыг батлах.
Өмнө нь (3.2-ыг үзнэ үү) бид үндсэн логикийг тодорхойлсон математик аргуудтеоремын баталгаа.
Сурах бичиг нь нотлох аргын сонголтыг голчлон тодорхойлдог: логик (шууд эсвэл шууд бус, аналитик, нийлэг эсвэл зөрчилдөөнтэй арга) ба математик (геометрийн хувиргалт эсвэл гурвалжны тэгш байдал эсвэл ижил төстэй арга).
Багш бүх төрлийн нотлох баримтын бүтцийг сайн ойлгож, нийлэг нотлох баримтыг орчуулах чадвартай байх ёстой. аналитик ба эсрэгээр; хичээл дээр аналитик эсвэл синтетик үндэслэлийг ухамсартайгаар сонгох (оюутны нас, сургалтын түвшин, ангийн онцлог, боломжит цаг хугацаа гэх мэт).
Оюутнууд нотлох үйл явц нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан математикийн баримтуудыг ашиглан үндэслэл бүхий тууштай үндэслэлийн хэлхээг бий болгохоос бүрддэг гэдгийг ойлгох ёстой. Дүгнэлт нь түүний сүүлчийн холбоос юм.
Бидний мэдэж байгаагаар энэ гинжин хэлхээний алхам бүр нь силлогизм юм. Сургуульд "syllogism", "major premise", "maor premise" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлэх ямар ч боломжгүй, шаардлагагүй юм. Ихэвчлэн суурь сургуульд геометрийн хичээл заахдаа "алхам", "үе шат" гэсэн нэр томъёог ашигладаг: нотлох алхам бүрт мэдэгдэл, түүний үндэслэлийг зааж өгдөг.
Эхлээд нотлох баримтын бүтцийг ойлгохын тулд түүнийг олсны дараа түүнийг хоёр багана хэлбэрээр зохион бүтээх нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь мэдэгдэл, нөгөө нь үндэслэлийг агуулсан болно.
Жишээ. Зэрэгцээ шугамын тэмдэг.
Теорем: Хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол шулуунууд параллель байна.
Хамгийн том бэрхшээл бол нотлох логикийг эзэмших явдал юм. Бие даасан ажил болгон ашиглаж болох тусгай картууд энд маш их тус болно. гэрийн даалгавар, ганцаарчилсан ярилцлага хийх даалгавар гэх мэт 1
Тэдгээрийг хийх техник нь энгийн: "мэдэгдэл" ба "үндэслэл" баганын зарим цэгүүдийг орхисноор бид картын хуудас болгон ашиглаж болох картын сонголтуудын аль нэгийг авах болно. хэвлэсэн суурь(Оюутан нотлох баримтын дутуу хэсгүүдийг бөглөнө).
Картыг ашиглах арга: карт гаргаж, бөглөхийг хүссэн хоосон суудал; Янз бүрийн бүлгийн оюутнуудад өөр өөр текстийн агуулга бүхий картуудыг санал болгодог бөгөөд ингэснээр математикийн хичээлийг хувь хүн болгодог.
Учир нь оюутнуудыг нотлох баримтыг судлахад бэлтгэх олон багш нар теорем ашигладаг нотлох баримтын төлөвлөгөө гаргах арга. Ихэвчлэн хоёр үе шаттай байдаг.
1 хандлага. Өгсөн бэлэн төлөвлөгөөШинэ теоремын баталгаа бол оюутнууд үүнийг төлөвлөгөө ашиглан өөрсдөө батлахыг хүсдэг.
Жишээ.Теоремд “Хэрэв дөрвөлжин хэлбэртэй бол эсрэг талуудхосоороо тэнцүү бол энэ нь параллелограмм байна" гэж дараах төлөвлөгөөг санал болгож байна.
1. Диагональ зур
2. Үүссэн гурвалжнуудын тэгш байдлыг батал
3. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын параллель байдлыг батал
4. Дүгнэлт гаргах.
Төлөвлөгөөг ангийнханд жишээ нь интерактив самбар, мультимедиа проектор эсвэл кодын проектор ашиглан дэлгэц дээр харуулдаг. үүн шиг шинэ дүрэмт хувцасОюутнууд даалгаврыг онцгой сонирхолтойгоор хүлээж авдаг. Төлөвлөгөө дэлгэцэн дээр гарч ирмэгц тэд чимээгүй болно - тэд боддог. Дараа нь олон хүн хариулах хүсэлтэй байгаагаа илэрхийлдэг. Энэ сонирхол нэмэгдсэнийг бид хэрхэн тайлбарлах вэ?
Нэгдүгээрт, төлөвлөгөө нь теоремын нотолгоог оюутнуудын аль хэдийн дагаж мөрдөж болох энгийн, энгийн алхмуудад хуваадаг. Хэрэв тэд үүнийг хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар хараахан сураагүй бол тэдэнд төлөвлөгөө өгөх нь утгагүй юм.
Хоёрдугаарт, оюутнууд төлөвлөгөөний тусламжтайгаар нотлох боломжтой болно гэж боддог шинэ теорем. Сонсож, цээжилж болохгүй, харин өөрөө нотлох хэрэгтэй. Энэ нь тэдэнд үнэхээр таалагддаг.
Гуравдугаарт, төлөвлөгөө нь нотолгоог бүхэлд нь хамарч, бүрэн ойлголттой болох боломжийг олгодог. Улмаар цээжлэх сэтгэлгээ нь ойлгоход хүндрэл учруулдаг бол сөрөг нөлөө сулардаг. Энэ нь өөртөө итгэх итгэлийг бий болгож, ажиллах хүсэл эрмэлзэл нэмэгддэг.
2 дахь хандлага. Оюутнуудад хичээл заадаг аль хэдийн батлагдсан теоремын төлөвлөгөө гаргах.Эхлээд энэ ажлыг хамтад нь, дараа нь бие даан хийдэг. Түүгээр ч барахгүй энд багш төлөвлөгөө гаргах жишээг дахин дахин үзүүлэх шаардлагатай болдог. Оюутнууд чөлөөтэй ойлгодог бэлэн төлөвлөгөө, гэхдээ тэд төлөвлөгөө гаргах ур чадвараа шууд хөгжүүлдэггүй. Хэд хэдэн теоремуудыг батлахын тулд нэгийг өгсөн тохиолдолд маш сайн үр дүн гардаг. ерөнхий төлөвлөгөө. Нийтлэг санаагаар нэгдсэн ийм теоремуудыг ялангуяа үр бүтээлтэй сурдаг.
Өмнө дурьдсанчлан, планиметрийн сурах бичгүүдэд теоремуудын товч синтетик нотолгоо байдаг. Багш нь оюутнуудад дараахь зүйлийг системтэйгээр заах ёстой.
1) алхамуудаас нотлох баримтуудыг бий болгох;
2) товчилсон номын нотолгоог үндэслэлийг харуулсан алхамуудын нарийвчилсан хэлхээ болгон хувиргах;
3) бие даасан теоремуудын нотолгоог бүрэн бүртгэх.
Теоремыг алхам алхмаар бүрэн батлах жишээг өгье.
Жишээ. Шугамын параллелизмын тестийн бүрэн нотолгоо (баталгааны томъёолол ба хураангуйг өмнөх хуудсанд өгсөн болно).
Шугамын уулзвар дээр байг АТэгээд Всекант -тайБид өнцөгтэй, жишээлбэл, 2 ба 3 – босоо, 1 ба 3 – хөндлөн хэвтсэн.
1. 3 ба 2-аас хойш – босоо өнцөг, дараа нь 3 = 2 (босоо өнцөг нь тэнцүү).
2. 1 = 2 ба 3 = 2 тул 1 = 3 (жинхэнэ тэгш байдлын баруун талууд тэнцүү бол зүүн талууд нь тэнцүү байна).
3. 1 ба 3 нь шулуунуудын огтлолцол дээрх хөндлөн өнцөг тул АТэгээд Всекант -тайба 1 = 3, тэгвэл А В(хэрэв хоёр шулуун шугам хөндлөн огтлолцох үед хэвтэх өнцөг нь тэнцүү бол шулуун шугамууд параллель байна).
Теорем нь батлагдсан .
Баталгаажуулах явцад теоремын нөхцлийг бүрэн ашиглах шаардлагатай. Үүний нэг арга бол нөхцөлийн энэ болон бусад хэсгийг ямар үе шатанд, хэрхэн хэрэглэж байгаа, тэдгээрийг бүгдийг нь нотлох баримтад ашиглаж байгаа эсэхийг ярилцах явдал юм.
Нотлох баримтыг нэгтгэхийн тулд үүнийг өргөн ашигладаг давхар нотлох хүлээн авалт: нэгдүгээрт, зөвхөн санаа, төлөвлөгөөг хэлэлцдэг; нотлох баримтыг хэсэгчлэн үзүүлэв. Үүний дараа нотлох баримтыг бүх нарийн ширийн зүйл, нарийн ширийн зүйлийг бүрэн эхээр нь толилуулж байна.
V.F-ийн туршилтанд. Шаталов нотолгооны хэт олон давталтыг ихэвчлэн санаа эсвэл төлөвлөгөөний түвшинд ашигладаг.
4-р шат - теоремыг нэгтгэх, хэрэглэх
Теоремыг нэгтгэх үе шат нь теоремын мөн чанар, санаа, нотлох арга, түүний бие даасан алхамуудыг ойлгож байгаа эсэхийг тодорхойлох ажил орно. Бэхэлгээний техник нь дараахь байж болно.
- оюутнуудтай ярилцахдаа нотлох үндсэн санаа, арга, үе шатуудыг дахин онцлон тэмдэглэ.
- нотлох баримтын бие даасан алхамуудыг тайлбарлахыг санал болгох;
– нотлоход ашигласан бүх аксиом, теорем, тодорхойлолтыг жагсаах;
– энэ болон бусад нөхцөлийг хаана ашигласан, бүгдийг нь ашигласан эсэхийг олж мэдэх;
- нотлох өөр аргууд байгаа эсэх;
- засахдаа зураг дээрх тэмдэглэгээ, мөн зураг өөрөө гэх мэтийг өөрчлөх нь ашигтай байдаг.
Теоремыг хэрэглэх нь түүнийг ашигласан асуудлыг шийдвэрлэх явцад зохион байгуулагддаг. Сурах бичиг нь тодорхой теоремыг хэрэгжүүлэхэд чиглэсэн асуудлын системийг байнга санал болгодоггүй гэдгийг санах нь зүйтэй туршлагатай багшнөхөж болно. Мөн энэ теоремуудыг төлөвлөгөөний болон стереометрийн дараагийн хичээлүүдэд бусад теоремуудыг батлахад ашигладаг.
Сэдэв 13. Теорем ба нотолгоо
Энэ сэдвээр та нартай танилцах болно өвөрмөц онцлогМатематик нь физик болон бусад шинжлэх ухаантай харьцуулахад зөвхөн батлагдсан үнэн эсвэл хуулийг хүлээн зөвшөөрдөг. Үүнтэй холбогдуулан теоремын тухай ойлголтыг шинжилж, зарим төрлийн теоремууд, тэдгээрийг батлах аргуудыг авч үзэх болно.
09-13-03. Математикийн өвөрмөц онцлог
Онол
1.1. Хэрэв бид математик, физикийг харьцуулж үзвэл эдгээр шинжлэх ухаан хоёулаа ажиглалт, нотолгоог хоёуланг нь ашигладаг. -тай хамт туршилтын физикбайдаг онолын физикМатематикийн теоремууд гэх мэт зарим мэдэгдлүүд нь зарим саналуудыг бусдаас дэс дараалан хасаж физик хуулиудад тулгуурлан нотлогддог. Гэсэн хэдий ч физикийн хуулиудбаталгаажсан үед л үнэн гэж хүлээн зөвшөөрнө их тоотуршилтууд. Эдгээр хуулиудыг цаг хугацааны явцад боловсронгуй болгож болно.
Математик нь мөн ажиглалтыг ашигладаг.
Жишээ 1: Үүнийг ажиглаж байна
Бид эхний мянганы нийлбэр сондгой гэсэн таамаглал дэвшүүлж болно натурал тоонууд 1000000-тай тэнцэнэ.
Энэ мэдэгдлийг баталгаажуулж болно шууд тооцоолол, зарцуулсан их хэмжээнийцаг.
Мөн аливаа натурал тооны хувьд анхны сондгой тооны нийлбэр нь -тэй тэнцүү байна гэсэн ерөнхий таамаглал дэвшүүлж болно. Бүх натурал тоонуудын багц нь хязгааргүй тул энэ мэдэгдлийг шууд тооцооллоор баталгаажуулах боломжгүй юм. Гэхдээ нотлох боломжтой учраас гаргасан таамаг нь зөв юм.
Жишээ 2. Бид олон гурвалжны өнцгийг хэмжиж болно..gif" height="20"> хэрэв бид Евклидийн тав дахь постулатыг аксиом болгон авбал үнэн. батлагдсан 7-р ангид.
Жишээ 3. Олон гишүүнт орлуулах
1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын оронд бид авна анхны тоонууд 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Аль ч тохиолдолд гэж үзэж болно. байгалийн үнэ цэнэ квадрат гурвалжинанхны тоо юм. Шалгалт нь энэ нь 1-ээс 39 хүртэлх натурал тоонуудын хувьд үнэн болохыг харуулсан. Гэсэн хэдий ч үр дүн нь нийлмэл тоо учраас буруу таамаглалтай байна:
Теоремын үнэнийг тогтоохын тулд ажиглалтаас илүү нотлох баримтыг ашиглах нь математикийн онцлог шинж юм.
Бүр олон тооны ажиглалтаас гаргасан дүгнэлтийг авч үздэг математикийн хуульзөвхөн тэр үед батлагдсан.
1.2. Дүгнэлт, дүгнэлтийн тухай үнэн зөв дүн шинжилгээ хийхгүйгээр зарим дүгнэлтийг бусдаас дэс дараалан гаргаж авсан нотолгоо гэх зөн совингийн ойлголтоор хязгаарлъя. Теоремын үзэл баримтлалд илүү дэлгэрэнгүй дүн шинжилгээ хийцгээе.
Теоремыг ихэвчлэн нотлох баримтаар үнэн нь тогтоогдсон мэдэгдэл гэж нэрлэдэг. Теоремын тухай ойлголт нь нотлох үзэл баримтлалын хамт хөгжиж, боловсронгуй болсон.
IN сонгодог мэдрэмжТеорем гэдэг нь бусдаас тодорхой санал гаргаснаар нотлогдсон өгүүлбэр юм. Энэ тохиолдолд заримыг нь сонгох ёстой анхны хуулиудэсвэл аксиомууд, үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн.
Геометрийн аксиомын системийг эртний Грекийн математикч Евклид "Элементүүд" хэмээх алдарт бүтээлдээ анх бүтээжээ. Евклидийн элементүүд дэх аксиомуудыг дагаж, теоремууд ба доор байгуулах бодлого нийтлэг нэрсанал болгож байна. Теоремуудыг хатуу дарааллаар байрлуулсан.
Теорем бүрийг эхлээд хэлж, дараа нь юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг өгүүлдэг. Дараа нь нотлох баримтыг өмнө нь батлагдсан санал, аксиомын бүх ишлэлээр үзүүлэв. Заримдаа нотлох баримт нь нотлох шаардлагатай үгсээр төгсдөг. Бүх зүйл рүү орчуулсан Европын хэлүүд 13 номыг багтаасан Евклидийн элементүүд нь 18-р зууныг хүртэл сургууль, их дээд сургуулиудад геометр судлах цорын ганц сурах бичиг хэвээр байв.
1.3. Юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг тодорхойлоход хялбар болгохын тулд теоремуудыг if..., тэгвэл... хэлбэрээр томьёолно. Хэрэв, дараа нь хоёрын хоорондох теоремыг томъёолох эхний хэсгийг гэнэ. нөхцөлтеорем ба үүний дараа бичигдсэн хоёр дахь хэсгийг нэрлэнэ дүгнэлттеоремууд.
Теоремын нөхцөл нь өгөгдсөн зүйлийн тайлбарыг агуулдаг бөгөөд дүгнэлт нь нотлох шаардлагатай зүйлсийг агуулдаг.
Заримдаа теоремын энэ хэлбэрийг нэрлэдэг логик хэлбэртеоремууд бөгөөд хэрэв-then хэлбэр гэж товчилно.
Жишээ 4. Дараах теоремыг авч үзье.
Хэрэв тэгш натурал тоо бол сондгой тоо болно.
Энэ теоремын нөхцөл нь аливаа тэгш тоо..gif" өргөн "32 өндөр = 19" өндөр "19"> сондгой.
Ихэнхдээ нөхцөл, дүгнэлтийг өөр өөр үг ашиглан бичдэг.
Жишээ 5. Жишээ 1-ийн теоремыг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
Тэгш натурал тоо байг. Дараа нь сондгой тоо байна.
Энэ тохиолдолд хэрэв тэд let гэдэг үгийг ашигладаг бол үгийн оронд, дараа нь үгийн оронд дараа нь үгийг бичнэ.
Жишээ 6. Жишээ 1-ийн теоремыг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно.
Натурал тоо нь тэгш байдгаас үзэхэд .gif" width="13" height="15"> тоо нь сондгой гэсэн үг юм.
Энэ тохиолдолд if гэсэн үгийг орхигдуулж, дараа нь intails гэсэн үгийн оронд хэрэглэнэ.
Заримдаа теоремын өөр төрлийн тэмдэглэгээг ашигладаг.
1.4. Зарим тохиолдолд теоремын нөхцөлийг томъёолохдоо бичдэггүй. Энэ нөхцөл байдал ямар хэлбэртэй байж болох нь текстээс тодорхой болсон үед тохиолддог.
Жишээ 8. Та теоремыг мэднэ: гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог.
IN логик хэлбэрЭнэ теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хэрэв та аль нэг гурвалжинд бүх медианыг зурвал эдгээр медианууд нэг цэгт огтлолцоно.
Жишээ 9. Анхны тооны олонлогийн хязгааргүй байдлын тухай теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хэрэв бүх анхны тоонуудын олонлог бол энэ нь хязгааргүй болно.
Математикийн теоремуудын хоорондын холбоог тогтоохын тулд тэдгээрийг ашигладаг тусгай хэл, энэ бүлгийн дараагийн догол мөрөнд хэсэгчлэн авч үзэх болно.
Хяналтын асуултууд
1. Математикийн ажиглалтын ямар жишээг та мэдэх вэ?
2. Та геометрийн ямар аксиомуудыг мэдэх вэ?
3. Теоремын аль тэмдэглэгээг теоремын логик хэлбэр гэж нэрлэдэг вэ?
4. Теоремын нөхцөл ямар байх вэ?
5. Теоремын дүгнэлтийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
6. Теорем бичих ямар хэлбэрийг та мэдэх вэ?
Даалгавар, дасгалууд
1. Та ажигласнаар ямар таамаглал дэвшүүлж болох вэ:
a) хоёр зэргэлдээ натурал тооны үржвэр;
б) хоёр зэргэлдээ натурал тооны нийлбэр;
в) дараалсан гурван натурал тооны нийлбэр;
г) гурван сондгой тооны нийлбэр;
г) сүүлийн цифрүүдВ аравтын тэмдэглэгээтоонууд .gif" өргөн "13 өндөр = 15" өндөр "15">;
е) нэг цэгээр дамжин өнгөрөх янз бүрийн шулуун шугамаар хавтгай хуваагдсан хэсгүүдийн тоо;
g) хавтгайг янз бүрийн шулуун шугамаар хуваасан хэсгүүдийн тоо, тэдгээрийн шулуун шугамууд хос хосоороо параллель, огтлолцох .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > хэлбэрийн тоонууд , энд натурал тоо;
г) хоёр иррационал тооны нийлбэр?
3. Мохоо гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүдийг ажигласнаар ямар таамаглал дэвшүүлж болох вэ?
4. Теоремыг логик хэлбэрээр бич.
а) хэмжээ дотоод булангуудгүдгэр https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
б) дурын хоёр тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжинижил төстэй;
в) тэгш байдал ямар ч бүхэл тоонд биелнэ ба ;
г) тэгш өнцөгт гурвалжны суурь руу татсан өндөр нь энэ гурвалжны орой дээрх өнцгийг хоёр хуваасан;
г) аль ч хувьд сөрөг бус тоотэгш бус байдал хангагдсан;
д) хоёрын нийлбэр эсрэг талын булангуудтойрог дотор бичсэн дөрвөн өнцөгт нь 180;
g) тоо нь оновчтой тоо биш;
h) 10-аас их бүх анхны тоо сондгой;
i) дөрвөлжингийн диагональууд нь огтлолцох цэг дээр тэнцүү, перпендикуляр ба хоёр хуваагдсан;
и) бичээстэй бүх дөрвөн өнцөгтөөс өгөгдсөн тойрог, талбай нь хамгийн том талбайтай;
к) тэгш анхны тоо байна;
l) анхны тоог хоёр өөр сондгой натурал тооны нийлбэрээр илэрхийлж болохгүй;
м) эхний натурал тоонуудын шоо нийлбэр нь зарим натурал тооны квадрат юм.
5.* Өгөгдсөн теорем бүр өмнөх даалгавар, үүнийг хэд хэдэн өөр аргаар бичнэ үү.
Хариултууд ба чиглэлүүд
Даалгавар 1. Та ажигласнаар ямар таамаг дэвшүүлж болох вэ:
a) хоёр зэргэлдээ натурал тооны үржвэр;
б) хоёр зэргэлдээ натурал тооны нийлбэр;
в) дараалсан гурван натурал тооны нийлбэр;
г) гурван сондгой тооны нийлбэр;
г)аравтын бутархайн тэмдэглэгээний сүүлийн цифрүүдбайгалийн жамаар;
д) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> онгоц хуваагдсан хэсгүүдийн тоо https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" өргөн "17" өндөр "15"> шулуун шугамууд нь хос зэрэгцэн зэрэгцээ, огтлолцдог.gif" өргөн "13 өндөр = 20" өндөр "20"> онгоц хуваагдсан хэсгүүдийн тоо https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> зөвхөн дөрвөн оронтой тоо авах боломжтой:
0, 1, 5, 6; д)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" өндөр "20 src=">.gif" өргөн "13" өндөр="20 src=">.gif" өргөн "13" өндөр "15"> -gon-той тэнцүү байна;
б) дурын хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин ижил төстэй;
в) тэгш байдалямар ч бүхэл тоонд ажилланаТэгээд;
Аксиом нотлох баримт шаарддаггүй илэрхий үнэн байдаг.
Теорем эсвэл санал бол нотлох баримт шаарддаг үнэн юм.
Баталгаа нь энэхүү саналыг ил тод болгож буй үндэслэлүүдийн багц юм.
Түүний тусламжтайгаар өгөгдсөн санал нь аксиомын зайлшгүй үр дагавар эсвэл аль хэдийн нотлогдсон бусад санал болохыг олж мэдсэн тохиолдолд нотолгоо зорилгодоо хүрдэг.
Аливаа нотолгоо нь зөв дүгнэлт хийснээр үнэн өгүүлбэрээс худал дүгнэлт гаргах боломжгүй гэсэн зарчим дээр суурилдаг.
Теоремын найрлага. Теорем бүр а) нөхцөл, б) дүгнэлт, үр дагавар гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ.
Нөхцөл байдлыг заримдаа таамаглал гэж нэрлэдэг. Энэ нь өгөгдсөн тул заримдаа өгөгдсөн нэрийг хүлээн авдаг.
Эсрэг теорем. Өгөгдсөн теоремын дүгнэлт нь нөхцөл болж, нөхцөл нь дүгнэлт болсон өгүүлбэрийг урвуу теорем гэнэ..
Энэ тохиолдолд энэ теоремшулуун гэж нэрлэдэг.
Шууд ба урвуу хоёр теоремыг хамтдаа урвуу теорем гэж нэрлэдэг.
Тэд хоорондоо маш их харилцаатай байдаг тул тэдгээрийн аль нэгийг нь шууд сонгосон бол нөгөөг нь урвуу байдлаар авч болно.
Хоёр харилцан урвуу саналд тэдгээрийн аль нэг нь нөгөөгийнхөө зайлшгүй үр дагавар болгон дагадаг.
Хэрэв теоремын эхний байранд нөхцөлийг үсгээр, хоёрдугаарт дүгнэлтийг үсгээр тэмдэглэвэл шууд теоремыг (Аа) илэрхийллээр бүдүүвчээр илэрхийлж болно. илэрхийллийн урвуу(aA).
(Аа) илэрхийлэл нь саналыг бүдүүвчээр илэрхийлдэг: хэрэв A нь тохиолдол бол a нь тохиолдол юм.
Хэрэв төлөө энэ санал(Аа) ба теорем (aA) биелнэ, тэгвэл (Аа) ба (аА) теоремуудыг хоёуланг нь харилцан урвуу теорем гэнэ.
Ийм харилцан урвуу хоёр теоремын жишээ нь дараах теоремууд байж болно.
Эхний теорем. Гурвалжинд эсрэг талын тэнцүү талууд байрладаг тэнцүү өнцөг .
Хоёр дахь теорем. Гурвалжинд эсрэг талын тэнцүү өнцөгүүд оршдог тэнцүү талууд .
Эхний теоремд өгөгдсөн нөхцөл нь гурвалжны талуудын тэгш байдал, дүгнэлт нь эсрэг талын өнцгүүдийн тэгш байдал, хоёрдугаарт эсрэгээр байх болно.
Теорем бүр эсрэгээрээ байдаггүй.
Эсрэг заалтгүй арифметик өгүүлбэрийн жишээ нь дараах байдалтай байна. теорем. Хэрэв хоёр бүтээгдэхүүн ижил хүчин зүйлтэй бол бүтээгдэхүүнүүд тэнцүү байна..
Урвуу таамаглал нь үнэн биш юм. Үнэн хэрэгтээ, бүтээгдэхүүн тэнцүү байна гэдэг нь хүчин зүйлүүд нь тэнцүү байна гэсэн үг биш юм.
Эсрэг өгүүлбэрт тохирохгүй геометрийн өгүүлбэрийн жишээ теорем: квадрат бүрт диагональууд тэнцүү байна.
Үүний эсрэгээр: хэрэв дөрвөлжингийн диагональууд тэнцүү бол энэ нь дөрвөлжин болно.
Энэ таамаглал буруу, учир нь диагональ нь нэгээс илүү квадратад тэнцүү байна.
Эсрэг таамаглал нь үргэлж үнэн байдаггүй тул эсрэг санал нь тусгай нотолгоо шаарддаг.
Онолын хувьд геометрийн нотолгооӨгүүлбэр нь түүний эсрэг заалтыг хэзээ хүлээн зөвшөөрч байгааг мэдэх нь заримдаа маш чухал байдаг.
Энэ зорилгод дараахь зүйлс үйлчилж болно. буцаах дүрэм. Хэзээ, бүх зүйл боломжтой гэж үзвэл ба өөр өөр нөхцөл байдалБүх боломжит болон өөр өөр дүгнэлтүүд нийцэж байгаа тул эсрэг санал нь хэрэгждэг.
Үүнийг жишээ болгон авч үзье.
Шууд санал. Хэрэв хоёр гурвалжин хоёр тэнцүү талтай болтэгвэл тэнцүү талуудын хоорондох өнцөг нь нөгөө гурвалжны харгалзах өнцгөөс их, тэнцүү эсвэл бага байхаас хамаарч гурав дахь тал нь нөгөө гурвалжны гурав дахь талаас их, тэнцүү эсвэл бага байх болно.
Энэ өгүүлбэрт өнцгийн талаархи гурван өөр, боломжит таамаглал нь эсрэг талын тухай гурван өөр, боломжит дүгнэлттэй тохирч байгаа тул урвуу байдлын дүрмийн дагуу энэхүү теорем нь урвуу таамаглал:
Хоёр гурвалжин хоёр тэнцүү талтай бол тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь нөгөө гурвалжны харгалзах өнцгөөс их, тэнцүү эсвэл бага байх ба гурав дахь тал нь гурав дахь талаас их, тэнцүү эсвэл бага байхаас хамаарна. өгөгдсөн гурвалжны.
Эсрэг заалтаас гадна шууд теорем нь эсрэг талтай байж болно.
Эсрэг теорем Нөхцөлийг үгүйсгэх нь дүгнэлтийг үгүйсгэх гэсэн үг байдаг.
Эсрэг теорем нь эсрэгээрээ байж болно.
Эдгээр бүх теоремуудыг нэгтгэн дүгнэхийн тулд бид тэдгээрийг схемийн дагуу дараах ерөнхий хэлбэрээр үзүүлэв.
Шууд буюу үндсэн теорем. Хэрэв нөхцөл эсвэл шинж чанар нь А байгаа бол дүгнэлт эсвэл B шинж чанар хамаарна.
Урвуу. Хэрэв B тохиолдвол А гарч ирнэ.
Эсрэг. Хэрэв А тохиолдохгүй бол B тохиолдохгүй.
Эсрэгээрээ. Хэрэв В тохиолдохгүй бол А тохиохгүй.
Дараах жишээнүүд нь тодорхой тохиолдлуудыг харуулж байна харилцан харилцааэдгээр теоремууд:
Шууд теорем. Хэрэв өгөгдсөн хоёр шулуун гуравны нэгийг огтолбол харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол өгөгдсөн шулуунууд параллель байна.
Эсрэг теорем. Хэрэв хоёр шулуун параллель байвал гурав дахь нь огтлолцох үед харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна.
Эсрэг. Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгийг огтолж байгаа бол харгалзах өнцөг нь тэнцүү биш бол шугамууд параллель биш байна.
Эсрэгээрээ. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ биш бол харгалзах өнцөг нь тэнцүү биш байна.
Теоремуудын геометрийн танилцуулгад эдгээр гурван теоремоос зөвхөн хоёрыг нь батлахад хангалттай бөгөөд үлдсэн хоёр теорем нь баталгаагүйгээр хүчинтэй болно.
Теоремуудын энэхүү холболт нь нотлох арга техник дээр суурилдаг эсрэг теоремихэнхдээ зөвхөн эсрэг теоремыг батлахад л өөрсдийгөө хязгаарладаг.
Геометрийн нотолгооны аргууд
Нотлох үүднээс геометрийн теоремуудХоёр үндсэн арга байдаг: синтетикТэгээд аналитик.
Эдгээр аргуудыг заримдаа богино гэж нэрлэдэг синтезТэгээд шинжилгээ.
Синтез Өгөгдсөн санал нь аль хэдийн батлагдсан өөр нэг зүйлийн зайлшгүй үр дагавар болох нотлох арга байдаг.
Синтезийн хувьд нотлох баримтын гинжин хэлхээ нь мэдэгдэж буй өгүүлбэрээс эхэлж, энэ өгүүлбэрээр төгсдөг. Баталгаажуулах явцад эх өгүүлбэрийг аксиом эсвэл аль хэдийн мэдэгдэж байсан өөр өгүүлбэртэй харьцуулдаг. Синтетик арга нь урьдчилж заагаагүй шинэ өгүүлбэр гаргахад тохиромжтой. Энэ саналыг батлахын тулд энэ нь олон таагүй байдлыг харуулж байна. Үүнд: a) тухайн санал зайлшгүй шаардлагатай үр дагавар болох нь нотлогдохын тулд мэдэгдэж буй теоремуудын алийг нь сонгох ёстой, б) сонгосон саналын үр дагавараас аль нь саналыг батлахад хүргэж байгааг харуулдаггүй.
Тиймээс синтезийг шинэ үнэнийг олж илрүүлэх арга биш, харин тэдгээрийг илэрхийлэх арга гэж нэрлэдэг.
Гэсэн хэдий ч синтетик аргаар теоремуудыг танилцуулахдаа ч гэсэн яагаад үүнийг биш, өөр санал биш, энэ нь өөр үр дагавар биш гэдгийг нотлох баримтын гинжин хэлхээний анхны үнэнээр сонгосон нь тодорхойгүй байгаа нь таагүй зүйл юм. .
Синтетик нотлох аргын жишээ бол дараах теорем юм.
Теорем. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
Дан ABC гурвалжин(зураг 224).
Бид A + B + C = 2d гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. Хувьсах гүйдэлтэй параллель DE шулуун шугамыг зуръя.
Шулуун шугамын нэг талд байрлах өнцгүүдийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
α + B + γ = 2d
Дараа нь өмнөх тэгшитгэл дэх α ба γ өнцгүүдийг тэдгээртэй тэнцүү өнцгөөр сольж үзвэл бид:
A + B + C = 2d (CHD).
Энд нотлох гинжин хэлхээний анхны санал нь шулуун шугамын нэг талд байрлах өнцгүүдийн нийлбэрийн тухай теорем юм.
Үүнийг хоёр зэрэгцээ ба гурав дахь шууд бус огтлолцол дахь хөндлөн хэвтэх өнцгийн тэгш байдлын тухай теоремуудтай холбон тайлбарлав.
Батлагдсан теорем нь санал болгож буй бүх теоремуудын зайлшгүй үр дагавар бөгөөд нотлох гинжин хэлхээний сүүлчийн дүгнэлт юм.
Шинжилгээ Синтезийн эсрэг арга байдаг. Шинжилгээнд үндэслэлийн хэлхээ нь нотлогдох теоремоос эхэлж, аль хэдийн мэдэгдэж байсан өөр үнэнээр төгсдөг..
Шинжилгээ нь хоёр хэлбэрээр явагддаг. Батлагдсан саналаас бид түүний шууд үндэс эсвэл шууд үр дагавар болох санал руу шилжиж болно.
Өгөгдсөн саналаас түүний шууд үндэс болох санал руу шилжихдээ бид энэ саналыг зайлшгүй шаардлагатай үр дагавар гэж үздэг.
Өгөгдсөн саналаас шууд үр дагавар руу шилжихдээ бид энэ саналыг гинжин дүгнэлтийн үндэс болгон авч үздэг.
Шинжилгээний эхний арга. Үндэслэл рүү шилжих замаар дүн шинжилгээ хийхдээ тэд шаардлагатай үр дагавар болох хамгийн ойрын эхний өгүүлбэрийг хайж байна. Хэрэв энэ санал өмнө нь нотлогдсон бол энэ санал бас батлагдсан, гэхдээ үгүй бол хоёр дахь саналыг хайж олоорой. суурьэхнийх нь хувьд.
Бид бүрэн батлагдсан саналд хүрэх хүртэл суурь руу шилжих шилжилтийг үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ санал нь сүүлийн батлагдсан саналын зайлшгүй үр дагавар болж гарч ирнэ.
Өгүүлбэр бүрийг үсгээр тэмдэглэж, нөгөө өгүүлбэрийн үндэс эсвэл үр дагавар болох эсэхээс хамааран урд эсвэл ард байрлуулснаар бид шинжилгээний энэ аргыг схемээр илэрхийлж болно.
Энд M нь өгөгдсөн санал, L нь хамгийн ойрын үндэс, H нь бүрэн батлагдсан санал юм. Хэрэв H санал үнэн бол K санал үнэн; хэрэв K үнэн бол L нь үнэн; хэрэв L үнэн бол M нь бас үнэн.
Шинжилгээний хоёр дахь аргаөгөгдсөн саналаас түүний үр дагавар руу шилжихээс бүрддэг. Зарим үнэний үндсийг олохоос илүү шаардлагатай үр дагаврыг олох нь илүү хялбар байдаг тул энэ аргыг илүү олон удаа ашигладаг. Энэ аргыг ашигласнаар өгөгдсөн саналаас түүний шууд үр дагавар болох теоремыг гаргаж авдаг. Хэрэв энэ үр дүн нь өмнө нь батлагдсан санал юм бол тэд тэнд зогсох; Хэрэв тийм биш бол тэд дараагийн хамгийн ойрын үр дагаварт шилжиж, ерөнхийдөө бүрэн батлагдсан саналд хүрэх хүртлээ үр дүнгийн энэ дараалсан гаралтыг үргэлжлүүлнэ.
Хэрэв сүүлчийн өгүүлбэр үнэн биш бол энэ нь үнэн биш, учир нь зөв өгүүлбэрээс буруу үр дагавар гарах боломжгүй юм.
Хэрэв сүүлчийн өгүүлбэр үнэн бол энэ өгүүлбэрийн үнэнд итгэхийн тулд тодорхой нөхцөлүүдийг хангасан байх шаардлагатай.
Схемийн хувьд шинжилгээний энэ аргыг хэлбэрээр илэрхийлж болно
M - N - O - P - Q - R - S
Энд M нь өгөгдсөн өгүүлбэр, N нь түүний шууд үр дагавар болох өгүүлбэр, S нь бидний бүрэн итгэлтэй байгаа хүчин төгөлдөр байдлын сүүлчийн өгүүлбэр юм.
R ба S хоёр саналаас, хэрэв R нь үнэн бол S санал нь бас үнэн гэсэн холболттой байгаа тул хэрэв S үнэн бол R санал бас үнэн гэж бид үргэлж урвуу дүгнэж чадахгүй.
Сүүлчийн дүгнэлтийг батлахын тулд R ба S теоремууд харилцан санал байх шаардлагатай.
Тиймээс, R ба S теоремууд нь R - S схем ба S - R схемийг хангасан ийм холболттой байгаа эсэхийг шалгахын тулд R ба S саналууд харилцан хамааралтай болохыг батлах шаардлагатай.
Ийнхүү сүүлчийн S өгүүлбэрийн үнэнээс өгөгдсөн М өгүүлбэр үнэн гэсэн дүгнэлт гаргахын тулд хоёр зэргэлдээх өгүүлбэр бүрийг батлах шаардлагатай. үнэ цэнэтэй саналууд R ба S, P ба R, O ба P, N ба O, M ба N нь урвуу байдлын хуулийг хангаж байна.
Хэрэв энэ нь нотлогдвол саналын гинжийг эргүүлж, M - N - O - P - Q - R - S схемийн хажууд байж болно.
S - R - Q - P - O - N - М
Үүнээс бид хэрэв S санал үнэн бол М санал бас үнэн гэж дүгнэх эрхтэй.
Хоёр өгүүлбэрийн урвуу байдлыг батлахад хэцүү байдаг тул аналитик аргыг синтетиктай хослуулах замаар үүнээс зайлсхийх болно. Үүний үр дагавар болох M саналаас S саналыг гаргасны дараа тэд M саналыг S саналын зайлшгүй үр дагавар гэж буцааж гаргах боломжтой эсэхийг шалгадаг.
Хэрэв синтез гэж нэрлэгддэг арга юм хасалтэсвэл дүгнэлт, дараа нь шинжилгээг дуудаж болно бууруулах(цутгах, зааварчилгаа).
Жишээ аналитик аргаДараах теорем нь нотлох баримт болж чадна.
Теорем. Параллелограммын диагональууд хагасаар огтлолцдог.
Баталгаа. Хэрэв диагональ нь хагасаар огтлолцсон бол AOB ба DOC гурвалжин тэнцүү байна (Зураг 225). AOB ба DOC гурвалжнуудын тэгш байдал нь параллелограммын эсрэг талууд болох AB = CD, хөндлөн хэвтэх өнцөг нь ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ байдгаас үүдэлтэй.
Тиймээс, өгөгдсөн өгүүлбэрийг нөгөө өгүүлбэрээр дараалан сольж, аль хэдийн нотлогдсон өгүүлбэрт хүрэх хүртэл ийм орлуулалтыг хийж байгааг бид харж байна.
Синтезийг анализтай харьцуулах. Аналитик арга нь өгөгдсөн теоремыг нотлоход илүү нарийвчлалтай хүргэдэг, учир нь өгөгдсөн теоремоос түүний хамгийн ойр суурь буюу үр дагавар руу шилжих нь илүү хялбар байдаг.
Теоремыг батлахын тулд яагаад нэг юм уу өөр замыг сонгосныг анализ хийх нь синтезээс илүү тайлбарладаг ч нэг өгүүлбэрийг нөгөө өгүүлбэрээр дараалан солих үед бид үргэлж мэддэг өгүүлбэрт хүрч чадахгүй гэсэн утгаараа нотлох баримт дахь тодорхойгүй байдал бүрэн арилдаггүй. , учир нь үүнийг батлахын тулд өгөгдсөн саналын үр дагавар эсвэл аль үндэслэлийг сонгох ёстой нь заримдаа харагдахгүй байдаг. Баталгаажуулахын тулд шинэ туслах шугам татах шаардлагатай үед бэрхшээл улам бүр нэмэгддэг. Заримдаа тэдгээрийн аль нь өгөгдсөн теоремыг нотлоход туслах зөв заалтуудыг өгөхөд хэцүү байдаг.
Бусад хүмүүсийн нэгэн адил шинжилгээ логик заль мэх, зөвхөн үүнийг хялбар болгож, өгөгдсөн саналын нотлох баримтыг олоход тусалдаг, гэхдээ үргэлж нотлох баримтад хүргэдэггүй.
Эдгээр мөрүүдээс гадна байдаг шууд бус аргазөрчилдөөнөөр нотлох эсвэл утгагүй байдалд хүргэх арга гэж нэрлэгддэг нотолгоо.
Зөрчилдөөнөөр нотлох арга өгөгдсөн саналыг нотлохын тулд эсрэгээр нь таамаглах боломжгүй гэдэгт итгэлтэй байх явдал юм..
Үүний үндсэн дээр энэхүү нотлох баримтыг зөрчилдөөний нотолгоо гэж нэрлэдэг. Өгөгдсөн болон эсрэг талын хоёр саналын нэг нь гарцаагүй биелэх бүрт зорилгодоо хүрдэг.
Энэ тохиолдолд өгөгдсөн зүйлийг батлахын тулд эсрэг саналыг хүлээн зөвшөөрч, үүнээс аль хэдийн батлагдсан аксиом эсвэл теоремтой зөрчилдсөн үр дагаврыг гаргаж авдаг. Хэрэв энэ өгүүлбэрийн нэг үр дагавар нь худал бол эсрэг өгүүлбэр нь худал, тиймээс өгөгдсөн өгүүлбэр үнэн болно.
Энэ аргыг өгөгдөлтэй урвуу эсвэл эсрэг тэсрэг теоремуудыг батлахад ихэвчлэн ашигладаг.
Энэ арга нь өгөгдсөн саналаас үр дагаврыг нь дараалан хийдэг шинжилгээний хоёр дахь арга гэдгийг анзаарахад хэцүү биш юм.
Энэ аргын хэрэглээний жишээ бол дээр өгөгдсөн теоремын баталгаа юм: гурвалжин дахь тэнцүү талууд нь ижил өнцгүүдийн эсрэг байрладаг (теорем 26).
Геометрийн хувьд геометрийн үнэний агуулгаас хамаарах аргуудыг бас ашигладаг. Геометрийн үнэн нь геометрийн өргөтгөлтэй холбоотой. Эдгээр өргөтгөлүүд байна тодорхой шинж чанарууд, гадны мэдрэхүйд захирагддаг. Геометрийн өргөтгөлийг бүхэлд нь авч үзэх боломжтой бөгөөд гадаад мэдрэхүйгээр ажиглах боломжтой. Хамгийн мэдрэмжтэй эргэцүүлэл нь нотлох баримтыг үнэмшүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. Геометрийн хувьд үүнгүйгээр хийх боломжгүй юм.
Геометрийн техникт дараахь зүйлс орно. ногдуулах арга, пропорциональ арга, хязгаарлалтын арга.
Хэрэглээний арга Энэ нь нэг геометрийн хэмжигдэхүүнийг нөгөө дээр давхарласан байх явдал юм. Ийм байдлаар геометрийн өргөтгөлүүдийг давхарласан үед нийлсэн, нийлээгүй эсэхээс хамаарч тэгш эсвэл тэгш бус гэдэгт итгэлтэй байдаг.
Пропорциональ байдлын арга геометрийн өргөтгөлүүдэд пропорцын шинж чанарыг ашиглахаас бүрдэнэ. Энэ аргыг холбогдох теоремуудыг батлахад ашигладаг ижил төстэй тооба пропорциональ сегментүүдэд.
Хязгаарлалтын аргаЭнэ нь өгөгдсөн өргөтгөлүүдийн оронд шинж чанараараа өгөгдсөнтэй ойролцоо өргөтгөлүүдийн шинж чанарыг авч үзэх бөгөөд заримыг нь авч үзсэний үр дүнд гарсан дүгнэлтийг бусад ижил төстэй өргөтгөлүүдэд ашиглах явдал юм.
Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх арга
Шийдвэр гаргахдаа геометрийн асуудлуудсинтез ба анализыг теоремуудыг батлахтай адил ашигладаг.
Асуудлыг нийлэг аргаар шийдэхдээ тэд хэрхэн шийдэхээ мэддэг өөр нэг асуудлыг авч, дараа нь түүний шийдлээс дараагийн асуудлын шийдлийг зайлшгүй шаардлагатай үр дагавар болгон гаргаж, энэ асуудлын шийдэлд хүрэх хүртлээ үүнийг хийдэг.
Асуудлыг шийдэх синтетик арга нь нийлэг нотлох аргатай адил сул талуудтай.
Тиймээс асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд шинжилгээг илүү олон удаа, илүү амжилттай ашигладаг.
Асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ нь орлоно энэ даалгаваршинэ. Бид үүнийг шинэ асуудал гэж нэрлэх болно сольж байна.
Хэрэв хоёр асуудал нь хоёр дахь нөхцөл нь эхний нөхцлийн зайлшгүй үр дагавар болох ийм харилцаатай байвал бид эхний асуудлыг нэрлэнэ. анхан шатны, хоёр дахь нь - дериватив.
Шинжилгээ хийх хоёр арга бий.
Эхний арга. Орлуулах асуудлыг сонгосон бөгөөд ингэснээр энэ асуудлын нөхцөл нь шинэ солих асуудлын нөхцлийн зайлшгүй үр дагавар, өөрөөр хэлбэл бидний нэр томъёогоор энэ асуудлаас эхнийх рүү шилжих болно. анхны даалгавар. Хэрэв энэ асуудлыг шийдэх арга нь мэдэгдэж байгаа бол энэ асуудлыг шийдэх арга нь анхны асуудлын шийдлийн зайлшгүй үр дагавар юм. Хэрэв түүний шийдэл тодорхойгүй бол тэд үүнээс хоёр дахь, гурав дахь анхны бодлого руу шилжиж, шийдэл нь тодорхой болсон асуудлыг олж авах хүртэл үүнийг үргэлжлүүлнэ.
Үүнийг шийдсэний дараа сүүлчийн даалгавар, Үүний зэрэгцээ тэд энэ асуудлын шийдэлд тууштай хүрч байна.
Хоёр дахь арга зам. Өгөгдсөн асуудлаас нөхцөл нь түүний нөхцлийн үр дагавар болох нөгөө бодлого руу шилжих боломжтой, өөрөөр хэлбэл тухайн асуудлаас түүний дериватив руу шилжих боломжтой.
Ийм байдлаар нэг асуудлыг нөгөө деривативаар нь дараалан орлуулснаар бид шийдэл нь аль хэдийн тодорхой болсон асуудалд хүрч чадна. Энэ асуудлыг шийдэх нь заримдаа энэ асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болгодог.
Өгөгдсөн асуудлаас түүний дериватив руу шилжих шилжилтийг илүү олон удаа ашигладаг, учир нь ямар нэгэн үнэний үндэс хайхаас илүү үр дагаварт шилжих нь илүү хялбар байдаг.
Шинжилгээний энэ тохиолдолд ихэвчлэн асуудлыг шийдсэн гэж үздэг бөгөөд энэ таамаглалаас энэ асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой харилцаа холбоо үүсдэг.
Өгөгдсөн даалгавраас түүнийг орлуулахад шилжихдээ хоёр даалгавар нь харилцан эргэх шинж чанартай байх эсэхийг анхаарах нь маш чухал юм. Хоёр асуудлын нөхцөл дэх энэхүү харилцан хамаарал нь нэг даалгавар нөгөөгийнхөө хувьд анхдагч байхын зэрэгцээ түүний дериватив байж болох үед үүсдэг; Өөрөөр хэлбэл, хоёр даалгавар нь нэгнийх нь нөхцөл нь нөгөөгийнхөө зайлшгүй үр дагавар байж болох ба эсрэгээр ийм харилцаатай байх үед.
Хэрэв одоогийн болон шинэ гэсэн хоёр асуудал ийм шинж чанартай байвал шинэ даалгаварүүнийг бүрэн орлодог. Энэ тохиолдолд аль нэгнийх нь бүх шийдэл нь нөгөөгийнх нь шийдэл байх болно.
Хэрэв хоёр асуудлын нөхцөл нь харилцан урвуу байдлын шинж чанартай биш бол энэ асуудлыг шинээр сольсноор бид нэмэлт шийдлүүдийг олох эсвэл зарим шийдлүүдийг алдаж болно.
Хэрэв орлуулах асуудал нь өгөгдсөн асуудлын дериватив бол бид нэмэлт шийдлүүдийг олох болно; Хэрэв энэ нь өгөгдсөн нэгний хувьд анхдагч бол бид алдагдсан шийдлүүдийг олж чадна.
Тэд ихэвчлэн өгөгдсөн асуудлаас дериватив асуудал руу шилждэг тул шаардлагагүй шийдлийг олж авах шаардлагатай болдог.
Шаардлагагүй шийдлүүдийг ялгаж, алдагдсаныг олохын тулд олсон бүх шийдлүүдийг шалгана.
Баталгаажуулалт гадны (шаардлагагүй) шийдлүүдийг салгах арга бий юу. Энэ нь дүн шинжилгээг нөхөж өгдөг.
Асуудлын аналитик шийдэл нь асуудлыг шийдэхийн тулд хийх шаардлагатай бүтээн байгуулалтыг заана. Энэ бүтээн байгуулалтыг хийхдээ тэд асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийхээс эсрэгээр ажилладаг, өөрөөр хэлбэл синтетик аргыг ашигладаг. Энэхүү синтетик арга нь ихэвчлэн олсон шийдлүүдийн бодит баталгаажуулалтыг орлож чаддаг.
Синтез ба анализын хосолсон хэрэглээ нь эдгээр шийдлийн аргуудын зөвхөн нэгийг нь ашиглах үед гарч болох алдаанаас зайлсхийх боломжийг олгодог.
Үүнтэй ижил асуудлыг синтетик болон аналитик аргаар шийдье. Дараах даалгаврыг жишээ болгож болно.
Даалгавар. Хуваах энэ сегмент AB нь туйлын болон дундаж харьцаатай.
Шийдэл. АВ сегментийн төгсгөлөөс BO перпендикуляр байгуулъя хагастай тэнцүү AB (зураг 226). O төвөөс бид BO радиустай тойргийг дүрсэлж, О төвийг А цэгтэй холбож, AB сегмент дээр AD-тай тэнцүү AC сегментийг зурвал AC эсвэл AD сегмент шаардлагатай болно.
Баталгаа. AB шугам нь тойрогтой шүргэгч байна
бидэнд байгаа газар:
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
DE = AB ба AD = AC тул өмнөх пропорциональд бид дараах байдалтай байна.
AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC
Бид пропорцийг хаанаас авах вэ
Энэ шийдэл нь синтетик юм. Үүний дотор бид түүнээс холддог алдартай теоремшүргэгчийн шинж чанарууд ба энэ теоремын зайлшгүй үр дагавар болох энэхүү асуудлын шийдлийн тухай.
Аналитик шийдэл. Асуудлыг шийдсэн тул АС сегмент олдсон гэж үзье
AB/AC = AC/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
Сүүлийн пропорцоос харахад AB нь шүргэгч, AB + АС нь огтлолцдог, АС нь түүний гаднах хэсэг, AB нь дотоод сегмент нь тодорхой байна.
Үүнээс үүдэн гарч байна барилга. В төгсгөлөөс ½AB-тай тэнцүү перпендикуляр байгуулж, тойрог зурж, О-г А-тай холбож, AC = AD хэсгийг AB сегмент дээр байрлуулах шаардлагатай.
Тэр нь аналитик шийдэлБид энэ асуудлыг хангах нөхцөлийг (1) даалгаврыг хангах нөхцөлөөр (2) орлуулна.
Нөхцөл (2) нь асуудлыг өөрөө барилгын аргаар шийдвэрлэх арга замыг зааж өгдөг.
Дүрмээр бол аналитик аргыг ашиглан асуудлын шийдлийг олсны дараа тэд синтетик үндэслэлийн аргыг ашиглан уг бүтээн байгуулалт нь асуудлыг үнэхээр шийдэж байгааг нотлох бүтээн байгуулалтыг хийдэг бөгөөд энэ нотолгоогоор тэд арилгах зорилготой баталгаажуулалтыг орлуулдаг. гадны шийдэл.
IN энэ жишээнд(1) ба (2) нөхцөлийг хангасан асуудлуудын хооронд бүрэн буцаах боломжтой байдаг, учир нь (1) нөхцөл нь (2) зайлшгүй үр дагавар болон эсрэгээр нөхцөлийг агуулдаг тул энд алдагдсан эсвэл хөндлөнгийн шийдэл байхгүй.
Асуудлыг шийдвэрлэх хоёрдогч болон туслах аргуудыг судлах нь түүний эмчилгээний бүрэн, бүрэн дуусаагүй байна. Одоогоор бид тэдгээрийг нарийвчлан судлахаас зайлсхийх болно.
Э.В. Петрова, Владимир хотын 25-р дунд сургуулийн математикийн багш
Нотлох баримт бол итгүүлэх үндэслэл юм. (Ю.А. Шиханович)
Теоремыг судлах, нотлох.Хэрэгжилт орчин үеийн үүрэгматематик нь сайжруулахыг санал болгож байна математикийн сургалтоюутнууд, чухал газархэв маягийг олж илрүүлэх, тэдгээрийг зөвтгөх, практикт хэрэгжүүлэх чадварт анхаарлаа төвлөрүүлдэг. Алгоритм, эвристик үүсгэх, хийсвэр сэтгэлгээоюутнуудыг мөн нотлох үйл явцад голчлон явуулдаг. Математик заах нь математик заах явцад таних, эзэмших шаардлагатай мэдлэг олж авах үйл ажиллагааны арга барилыг заах явдал юм. янз бүрийн схемүүдматематикт ашигладаг үндэслэл. Туршилтын шинжлэх ухаанд бид тодорхой мэдэгдлийг шалгахын тулд ажиглалт, туршилтанд байнга ханддаг. Математикийн хувьд байдал огт өөр. Теоремыг бусад саналуудаас логикоор гаргаж авсан тохиолдолд л батлагдсан гэж үзнэ. Тиймээс оюутнуудад нотлох баримтыг заах асуудал нь математик заах арга зүйн гол асуудлын нэг байсаар ирсэн.
Одоогийн байдлаар боловсролыг хүмүүнжүүлэх үйл явц нь боловсролыг хувь хүний хөгжил, ёс суртахууныг төлөвшүүлэхэд чиглүүлж байгаа бөгөөд үүнийг нотлох баримтыг заах замаар хөнгөвчлөх, нотлох баримтыг олох, тэдгээрийг харьцуулах, сурахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. мөн хамгийн энгийнийг нь сонгох.
Теоремыг батлах гэж юу гэсэн үг вэ, баталгаа гэж юу вэ?
Хэрэв та найздаа ямар нэг зүйлд итгүүлэх эсвэл түүнтэй маргахдаа өөрийн үзэл бодол, үзэл бодлоо хамгаалах юм бол та үндсэндээ нотлох баримт гаргаж байна (чадвартай эсвэл чадваргүй - энэ бол өөр асуулт).
Математикийн нотолгоонь анхны аксиом, тодорхойлолт, теоремын нөхцөл ба өмнө нь батлагдсан теоремоос шаардлагатай дүгнэлт хүртэл логик үр дагаврын хэлхээ байх ёстой.Оюутнуудын нотлох чадварыг хөгжүүлэх гол ачааг геометрийн хичээл үүрдэг. Д.Поля онцоллоо чухал үүрэг, геометрийн системийг бий болгоход ямар нотлох баримтууд тоглодог вэ: "Геометрийн системийг нотлох баримтаар бэхжүүлдэг. Теорем бүр өмнөх аксиомууд, тодорхойлолтууд, теоремуудтай ямар нэг баталгаагаар холбогддог. Ийм нотлох баримтыг ойлгохгүйгээр системийн мөн чанарыг ойлгох боломжгүй юм." Түүхэнд геометрийн хувьд академик сэдэвБайгаа их ач холбогдолбидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг судалж, бүтээх таатай нөхцөлоюутнуудыг бүтээлч байдалд нэвтрүүлэх судалгааны үйл ажиллагаа. Геометрийг судлах нь нотлох чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг, жишээлбэл. логик, үндэслэлтэй сэтгэх чадвар. Логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх нь сурах бичиг, багшийн өгсөн теоремуудын нотолгоог судлах, асуудлыг шийдвэрлэх явцад үүсдэг.Теоремыг батлах гэж юу гэсэн үг вэ, баталгаа гэж юу вэ? Баталгаажуулах өргөн утгаараа- энэ бол бодлын үнэнийг бусад заалтуудын тусламжтайгаар зөвтгөх логик үндэслэл юм. Математикийн хувьд, жишээлбэл, зургаар харуулсан тодорхой харилцааг дурдах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Математикийн нотолгоо нь теоремын анхны аксиом, тодорхойлолт, нөхцөл ба өмнө нь батлагдсан теоремуудаас шаардлагатай дүгнэлт хүртэл логик үр дагаврын хэлхээ байх ёстой.
Тиймээс, теоремыг батлахдаа бид үүнийг өмнө нь батлагдсан теоремууд болгон бууруулж, тэдгээр нь эргээд бусдад гэх мэт. Энэхүү бууралтын үйл явц нь төгсгөлтэй байх ёстой нь ойлгомжтой, тиймээс аливаа нотолгоо нь эцсийн эцэст нотлогдож буй теоремыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн анхны тодорхойлолт, аксиом болгон бууруулдаг.
Баталгаажуулах үйл явц - хэцүү үйл явцсэтгэлгээ, энэ нь зөвхөн энгийнээс илүү рүү аажмаар үүсдэг нарийн төвөгтэй бүтэц. Тиймээс сургалтын нотолгоо юм нарийн төвөгтэй систем, бүтэц нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондох олон тооны холболтоор тодорхойлогддог.
13-14 насандаа сургуулийн сурагчдын тархи хийсвэр, үндэслэлтэй, үндэслэлтэй сэтгэх чадварыг эзэмших чадвартай болдог. Нотолгоонд суурилсан сэтгэлгээний хөгжил хоёр үе шат дамждаг гэж П.П.Блонский тэмдэглэв. IN өсвөр насСургуулийн хүүхэд нотлох баримтыг бие даан ашиглахаас илүүтэй өөртөө шингээж авдаг, тэр ч байтугай түүнийг бий болгодоггүй: энэ насанд нотлох баримт нь санах ойн асуудал юм. Залуу насандаа тэд аль хэдийн мэдэгдэхүйц гүйцэтгэлтэй байдаг шүүмжлэлтэй сэтгэлгээөгсөн нотлох баримт болон өөрсдийн нотлох баримтыг хүсэх.Дээр дурдсан бүх зүйл нь теоремуудыг судлах, нотлохдоо сургуулийн сурагчдын бие даасан танин мэдэхүйн стратегийг судлах шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүргэж байна.
Энэ асуудал дээр анх удаа ажиллаж байна.Эхлээд би судалгааны зорилго, зорилт, таамаглалыг тодорхойлсон.
Зорилтот: 8-р ангид теоремуудыг судлах, нотлох бие даасан стратеги тодорхойлох, боловсруулах.
Даалгаварууд:
1. Асуулгад үндэслэн теоремуудыг судлах, нотлох хувь хүний стратегийг тодорхойлох (шинжилгээний хуудасны элементүүдтэй).
2. Гарсан үр дүнгийн талаар ярилцаж, судалгаа хийж дуусгах, теоремуудыг нотлох замаар амжилттай үйл ажиллагааны сан бүрдүүлэх замаар оюутнуудын бие даасан стратегийг боловсруулах.
3. талаар зөвлөгөө боловсруулах амжилттай суралцахгеометрийн теоремууд.
4. CRPS технологийг ашиглахаас өмнө болон дараа нь теоремуудыг эзэмшсэн оюутнуудын үр дүнд дүн шинжилгээ хийж, сурагчдын амжилттай үйл ажиллагааны тухай сануулагч боловсруулж, туршина.
Таамаглал: Оюутнууд теоремуудыг судлахдаа өөрсдийн үйлдлүүдийг ойлгох нь геометрийн асуудлыг нотлох, шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлж, илүү их амжилтанд хүрэх боломжийг олгоно. өндөр үр дүнсургалт.
Сургуулийн сурах бичиггеометр нь теоремуудын бэлэн баталгааг харуулдаг боловч нотлох үйл явцыг өөрөө заадаггүй.Оюутнууд теоремуудыг ойлгох, тэдгээрийн нотолгоог хуулбарлахад ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.. "Теорем" гэсэн үгнээс өмнө олон оюутнуудын айдас нь сайн мэддэг. Аажмаар үүсэх онолын дагуу зорилготой ажил нь үүнийг даван туулахад тусалдаг сэтгэцийн үйлдлүүдП.Я. Галперин. Теорем, тэдгээрийн нотолгоог өөртөө шингээж авах, геометрийн асуудлыг шийдэж сурахын тулд энэ онолын дагуу зохион байгуулах шаардлагатай байна. бие даасан үйл ажиллагааоюутнууд. Оюутнуудад теоремыг бие даан батлахыг заах шаардлагатай.
Нотлох баримтыг заахдаа бид оюутнуудад бэлэн нотлох баримтыг задлан шинжлэх, тэдгээрийг хуулбарлах, баримтыг бие даан олж илрүүлэх, нотлох баримтын бусад аргыг хайх, мөн дэвшүүлсэн саналыг няцаах арга барилыг ойлгох ёстой.
Би туршилтаа гэнэтийн хариулт авсан асуултаас эхэлсэн.
Эхний шатанд сурагчдаас теоремыг танилцуулж, батлахдаа хийж буй үйлдлээ тайлбарлахыг хүссэн. Үүний үр дүнд дараахь сонголтуудыг олж авав.
***
Би сурах бичгээс теоремыг уншсан.
Би зааж байна.
Би хичээл дээр теоремыг баталж байна.
***
Би шүлэг шиг заадаг. Би чамд хэлэхэд би төөрчих вий гэж айж байна.
. ***
1. Би сурах бичгээс теоремыг сурдаг.
2. Би өөртөө зориулж нотлох баримтыг товч бичнэ.
3. Би теоремыг тэмдэглэл ашиглан нотолж байна.
4. Би ээждээ нотлох баримтаа хэлдэг.
5. Хичээл дээр би теоремыг багшид нотолж өгдөг.
Шинжилгээ хийсний дараа хувь хүний стратегиЗалуус яагаад теоремыг батлахад хэцүү байдгийг би ойлгосон. Энэ нь тэд "теорем сурах" гэдэг нь юу гэсэн үг болохыг үндсэндээ ойлгодоггүйгээс болдог.Дараа нь би бэрхшээлийн шалтгааныг тодорхойлсон. Энэ ба чанар муутаймэдлэг, түүнийг хэрэгжүүлэх чадваргүй байх, сэтгэцийн үйл ажиллагааны талаархи мэдлэг дутмаг, логик алхмуудын хооронд холбоо тогтоох чадваргүй байх, хүсэл эрмэлзэл муу гэх мэт. "Теоремыг батлах" шаардлагыг хэрэгжүүлэхэд хэд хэдэн үйлдлүүд орно. Эдгээр үйлдлүүдийг эзэмшихгүйгээр оюутны сэтгэлгээнд теоремуудыг батлахад ахиц дэвшил гаргах боломжийг олгох холбоо үүсэхгүй. Эдгээрийн дотор сэтгэцийн үйл ажиллагааҮүнд: теоремын нөхцөл, дүгнэлтийг тодруулж, амаар болон графикаар тэмдэглэж, нотлох баримтыг хэсэг болгон хувааж, тус бүрд нь дүн шинжилгээ хийж, дүгнэлт хийж цааш үргэлжлүүлнэ. Иймд үйл ажиллагааны нотлох баримтыг хэрэгжүүлэхэд шаардлагатай үйлдлийг сурагчдын сэтгэлгээнд төлөвшүүлэх шаардлагатай байна.
"Гурвалжны ижил төстэй байдлын анхны шинж тэмдэг" теоремыг судлахдаа би оюутнуудад зориулсан асуулга эмхэтгэсэн. Эдгээр асуултууд нь биднийг теоремын агуулга, нотлох үе шатуудын талаар бодоход хүргэсэн бөгөөд үүний зэрэгцээ оюутнуудын сэтгэлгээнд шаардлагатай холбоог бий болгосон.
Санал асуулга.
Та теоремтой танилцаж эхлэхийн тулд ямар үйлдэл ашигласан бэ?
Энэ теорем гэдгийг та яаж ойлгох вэ?
Теоремын нотолгоог судлахад таныг юу түлхэж байна вэ?
Та теоремыг хэдэн удаа уншсан бэ?
Юу өгсөн бэ?
Юуг нотлох шаардлагатай вэ?
Зураг нь теоремыг батлахад туслах уу?
Теоремын баталгааг хэрхэн судалж эхэлсэн бэ?
Теоремын баталгааг хэсэг болгон хувааж болох уу?
Ямар баримт, теорем, тодорхойлолтуудын талаарх мэдлэг танд хэрэгтэй байсан бэ?
Теоремыг батлахад юу саад болсон бэ?
Теоремыг батлахад юу тусалсан бэ?
Теорем батлагдсан гэдгийг яаж ойлгосон бэ?
Та өөртөө ямар нээлт хийсэн бэ?
Та аз жаргалтай байна уу? Энэ нь танд ямар сэтгэгдэл төрүүлж байна вэ?
Теорем судлах гэж байгаа хүмүүст та ямар зөвлөгөө өгөх вэ? ?
Эдгээр асуултын зарим хариултыг энд оруулав.
Жулиа:
Сурах бичгээ нээгээд, теоремоо олж үзээд танилцсан.
Би үүнийг уншсан.
Сонирхож байгаад л судалж эхэлсэн.
Би теоремыг 2 удаа уншсан.
Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдгийг өгөв.
Нэг гурвалжны 2 өнцөг 2-той тэнцүү байвал яах вэ харгалзах өнцөгөөр гурвалжин, тэгвэл ийм гурвалжин ижил төстэй байна.
Тиймээ.
Текстээс.
Тиймээ.
Тиймээ.
Төвлөрөл дутмаг, олон шинэ үг.
Зурах.
Би теорем юуны тухай болохыг ойлгоод нотлох баримтыг харлаа.
-----------
Антон:
Сурах бичгийн нээлтээс.
Энэ бол теорем гэж тэнд бичсэн байна.
Теоремын мэдлэг, үнэлгээ.
2 удаа.
Хоёр гурвалжин.
Гурвалжны ижил төстэй байдал.
Тиймээ.
Уншихаас.
Тиймээ.
Ижил төстэй гурвалжны талбайн харьцааны тухай теорем.
Зарим шаардлагатай баримтуудыг үл тоомсорлодог.
Санах ой тусалсан.
Сурах бичигт теорем батлагдсан гэж бичсэн байдаг.
Би шинэ теорем сурсан.
Тийм ээ, би баяртай байна.
Болгоомжтой байгаарай.
Алина:
Би сурах бичгээс өөрт хэрэгтэй теоремыг хайж олоод уншаад зохиолыг нь ойлгохыг хичээдэг.
Дүрэмд энэ баримтыг нотлох баримт дагалддаг тул энэ бол теорем гэж би ойлгож байна.
Асуудлыг шийдвэрлэх чадвар, ойлголт.
Би теоремыг санах хүртлээ 4-6 удаа уншсан.
Өгөгдсөн 2 гурвалжин, ижил өнцгийг зааж өгсөн болно.
Эдгээр хоёр гурвалжны ижил төстэй байдал.
Зураг нь надад юу нотлогдох ёстойг илүү сайн ойлгож, нөхцөл байдлыг ойлгоход тусална.
Эхлээд би нотолгоог бүхэлд нь уншиж, дараа нь зураг зурж, анхааралтай уншиж, нотолгоог задалж эхэлнэ.
Өгөгдсөн зүйл - асуудлыг шийдвэрлэх арга зам - нотолгоо - дүгнэлт.
Гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн теорем, ижил төстэй гурвалжны тодорхойлолт, ижил төстэй гурвалжны талбайн харьцааны теорем зэрэг нь нотлоход надад тусалсан.
Юу ч саад болсонгүй.
-ийн тодорхойлолтыг мэдэх ижил төстэй гурвалжин, бусад теорем, баримтуудын мэдлэг.
Дүгнэлт өгөгдсөн бөгөөд бид нотлох шаардлагатай зүйлээ олж авсны дараа би "теорем батлагдсан" гэсэн үгээр төгсдөг.
Би гурвалжны ижил төстэй байдлын шинэ тэмдгийг олж мэдсэн бөгөөд анх удаа би өөрөө шинэ теоремын баталгааг олж мэдсэн.
Текстийг сайтар судалж, теоремыг чимээгүйхэн сур. Эхлээд теоремын томъёололд суралцаж, нотлоход туслах материалыг санаарай.
Виктория:
Би сурах бичгээ нээгээд өөрт хэрэгтэй теоремоо олж уншаад санахыг хичээв.
Энэ бол нотлох шаардлагатай санал юм.
Миний урам зориг: а) сайн дүн авах, учир нь энэ нь миний эцэг эх, миний ирээдүйд маш чухал; б) Теоремыг судлах нь хөгждөг логик сэтгэлгээ, мөн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд логик хэрэгтэй. Энэ нь би теоремуудыг судалснаар асуудлыг шийдэж сурдаг гэсэн үг.
Өгөгдсөн: 2 гурвалжин, тэдгээрийн ижил өнцөг.
Бид хоёр гурвалжин ижил төстэй гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Тиймээ. Зураг нь теоремуудыг батлах, асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их тусалдаг. Заримдаа зураг нь асуудлын шийдлийг санал болгодог.
Теоремын нотолгоог сурах бичгээс хэд хэдэн удаа уншиж, дэвтэр дээрээ товч бичээд дараа нь теорем, нотолгоог амаар давтахыг оролдсон.
Магадгүй 2 хэсэгт.
Өмнө нь 7-р ангиасаа хүртэл олж авсан мэдлэг маань надад хэрэг болсон.
Надад юу ч саад болоогүй. Хамгийн гол нь энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй байгааг мэдэх явдал юм.
Теоремыг батлахад сурах бичиг, мэдэхгүй зүйлээ мэдэх хүсэл надад тусалсан.
Өөр нотлох зүйл байхгүй гэж би логикоор шийдсэн.
Энэ теорем нь миний хувьд аль хэдийн нээлт болсон;
Би энэ теоремоо баталж чадсандаа сэтгэл хангалуун, сэтгэл ханамж, бүх зүйлийг ойлгосон бахархал.
Теорем, нотолгоог анхааралтай уншиж, ойлгохыг хичээ, хэд хэдэн удаа унш, теоремыг хэн нэгэнд эсвэл толинд нотлохыг зөвлөж байна, энэ асуумжийг таны өмнө байлгахыг зөвлөж байна.
Энэхүү асуулгын хуудсыг ашиглан залуус өөрсдөө теоремыг баталжээ. Оюутнуудад зориулсан энэ ажилер бусын, сонирхолтой, хэцүү байсан. Бид бүх хариултыг хянаж, нэгтгэн дүгнэж, тэдгээрийн олон янз байдлыг тэмдэглэж, хамгийн ихийг нь тодорхойлсон оновчтой үйлдэлэнэ ажлыг гүйцэтгэх үед. Дараагийн хичээл дээр судалгаанд хамрагдсан бүх оюутнууд теоремыг эерэг оноогоор баталж чадсан.
Дараа нь бид шавь нартайгаа теоремыг судлах, нотлох стратегийн талаар ярилцаж, тэдний үйлдлийн нийтлэг ба өөр хэв маягийг тодорхойлж, амжилттай үйлдлүүдийн банкийг бий болгож, эцсийн ажил"Миний алхамууд."
Хүүхдүүд гурвалжингийн ижил төстэй байдлын хоёр дахь шинж тэмдгийг "Миний алхам" жагсаалтыг ашиглан өөрсдөө нотолсон. Гэхдээ ижил төстэй байдлын гуравдахь шалгуурыг судлахдаа (энэ хичээлийг видео бичлэг дээр бичсэн бөгөөд хичээлийн хураангуйг доор өгөв) бид теоремын баталгааны сануулагчийг эмхэтгэж чадсан бөгөөд үүнийг бид бусад теоремуудыг нотлоход амжилттай ашигласан. анги болон энэ зэрэглэлийн өөр ангид.
Санамж.
Теоремуудыг судалж, нотлохдоо дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
Теорем дахь нэр томьёог тэдгээрийн тэмдэглэж буй ойлголтын тодорхойлолт эсвэл тэдгээрийн шинж чанараар соль.
Нөхцөл ба дүгнэлтийн элементүүдийг "өгөгдсөн" ба "нотлох" гэсэн үгсээр тусгаарла.
"Өгөгдсөн" баганад мэдэгдэж буй бүх хэмжигдэхүүнийг бичнэ үү.
"Нотлох баримт" баганад юуг нотлох шаардлагатайг бичнэ үү.
Тодорхой бөгөөд цэвэрхэн зураг зурах. Үүнийг тэмдэглэ латин үсгээранх мэдэгдэж байгаа зүйл.
Теоремыг хэсэг болгон хуваа.
Хэсэг бүрийг тус тусад нь нотлох.
Нотлох баримтаа "тиймээс анхны зөвшөөрөлЭнэ нь зөв, теорем нь батлагдсан."
Сурах бичгээ хааж, теоремоо хэн нэгэнд баталж, туршаад үзээрэй.
Түүний өмнө сануулагч тавиад одоо ямар ч хүүхэд теоремыг бие даан ойлгож, баталж чадна. Энэхүү тэмдэглэл нь теоремын нөхцлөөс мэдээлэл гаргаж, тусгаарлахад тусална бие даасан элементүүд, тэдгээрийг нэгтгэж, бие даасан дүгнэлт хийж, нотлох баримтын үе шат бүрт тавигдах шаардлагыг томъёолж, ажлын явцад мэдлэгээ үнэлж, "цоорхой" -ыг арилгах. Бидний ажил математикч мэргэжил нэгт нөхдийн маань сонирхлыг багагүй татсан.
CRPS технологийг ашигласнаар геометрийн теоремуудыг судлах, нотлох эерэг динамик байдалд хүрэх боломжтой болсон. Одоо 8-р ангийн бүх сурагчид багшийн "теорем сур" гэсэн үг ямар утгатай болохыг ойлгож байна. Залуус бие даагчдад татагдаж эхлэв танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа, тэдний урам зориг өөрчлөгдөж, өөртөө итгэх итгэл бий болсон өөрийн хүч, өөрийн үйл ажиллагаанд хариуцлагатай хандах хандлага бий болсон. CRPS-ийн үндсэн зарчмуудтай танилцсаны дараа теоремыг амжилттай судалж, нотлох нэг стратеги энд байна.
Саша:
Би сурах бичгээс теоремыг анхааралтай уншсан.
Би үг бүрийг уншиж, шинэ нэр томьёо, хэллэгүүдийг тэмдэглэв.
Би нотлох баримтыг уншиж байна.
Бүх зүйл надад ойлгомжтой эсэхийг би шийддэг.
Хэрэв ямар нэг зүйл ойлгомжгүй байвал би үг бүрийг нь анхаарч дахин уншдаг.
Хэрэв бүх зүйл тодорхой бол би юу өгсөн, юуг нотлох шаардлагатайг олж мэдээд бичдэг.
Би бүх өгөгдлийг харуулсан теоремын нөхцөлийг хангасан зураг зурдаг.
Би нотлох баримтыг дахин анхааралтай уншлаа.
Би нотлох баримтыг логик хэсгүүдэд хуваахыг хичээдэг.
Би теоремыг хэсэг хэсгээр нь нотолж, шаардлагатай дүгнэлтийг гаргадаг.
Би теоремыг дахин уншсан.
Сурах бичгийг хааж, зураг ашиглан теоремыг баталж байна.
Ингээд л би теоремыг сурсан, нотолсон!
Одоо би теоремыг судлах явцад олж авсан мэдлэгээ хэрэгжүүлэхийг хичээх болно.
Ажиглалт, стратегийн дүн шинжилгээ, оюутнуудтай хийсэн яриа нь ажлын хэтийн төлөвийг тодорхойлох боломжийг олгосон - теоремыг эвристик нотлох стратегийг судлах хэрэгцээ, зөрчилдөөнөөр нотлох.
Хичээлийн хөгжил
Сэдэв: геометр.
Багш: Петрова Елена Владимировна
Анги: 8 "г"
Хичээлийн сэдэв: гурвалжингийн ижил төстэй байдлын гурав дахь шинж тэмдэг.
Хичээлийн зорилго: теоремыг судлах, нотлох тухай тэмдэглэл эмхэтгэх, гурвалжингийн ижил төстэй байдлын гурав дахь шалгуурыг судлахдаа үүнийг шалгах.
Үйл ажиллагааны үндсэн дээр боловсруулсан хичээлийн зорилго:
- боловсролын: геометрийг судлах сэдлийг хөгжүүлэх; үүсэх хүндэтгэлтэй ханддагөөр үзэл бодол, өөр үзэл бодол; хувийн асуудлыг шийдвэрлэхэд бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.
- боловсролын : Теоремыг амжилттай судлах, нотлоход туслах санамж бичгийг бүтээ бие даан суралцах
гурвалжингийн ижил төстэй байдлын гурав дахь шалгуур.
- хөгжиж буй: дүн шинжилгээ хийх, гол зүйлийг тодруулах, харьцуулах, нэгтгэх, системчлэх, ойлголтыг тайлбарлах, нотлох чадварыг хөгжүүлэх.
Үе шат
Тайзны нэр
Даалгаврууд
Багшийн үйл ажиллагаа (заах арга, техник)
Оюутны үйл ажиллагаа (боловсролын үйл ажиллагааг зохион байгуулах хэлбэр)
Хүлээгдэж буй үр дүн (мэдлэг, ур чадвар, үйл ажиллагааны арга)
Хүсэл эрмэлзэл боловсролын үйл ажиллагаа
Боловсролын үйл ажиллагаанд хамруулах дотоод хэрэгцээг бий болгох нөхцлийг бүрдүүлэх
Надад хоёр гурвалжин бий. Нэгнийх нь тал нь 3 см, 5 см, 4 см, нөгөө нь 12 см, 20 см, 16 см эдгээр гурвалжнууд ижил төстэй эсэхийг яаж мэдэх вэ?
Нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийж, асуудлыг шийдэхийг хичээ.
Оюутнууд энэ асуудлыг шийдэх талаар бодох боловч шийдэж чадахгүй.
Асуудлын байршил, шалтгааныг тодорхойлох.
Шалтгааныг олж мэд: яагаад бид тавьсан асуултанд хариулж чадахгүй байна вэ?
Оюутнуудын үйл ажиллагааг хүндрэлийн шалтгаан руу хөтлөх байдлаар зохион байгуул.
Хэлэлцүүлгийн явцад оюутнууд энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд юу саад болж байгааг, мөн хүнд байдлаас гарахад юу тусалж болохыг олж мэдэв.
Оюутнууд асуудлыг шийдвэрлэх хангалттай мэдлэггүй гэдгээ ойлгодог
Асуудлаас гарах төсөл боловсруулах.
Оюутнуудад нөхцөл байдлаас гарах арга замыг олоход нь тусал
Багш нь харилцан яриа өрнүүлж, үйл ажиллагаанд нь урам зориг өгөх замаар зорилгоо тодорхойлоход тусалдаг.
Оюутнууд зорилго тавьж, зорилгодоо хүрэх арга замыг сонгох - гурвалжингийн ижил төстэй шинж тэмдгийг судлах.
Нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид теоремуудыг судлах, нотлох гарын авлагыг бий болгох шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Төлөвлөсөн төлөвлөгөөний хэрэгжилт
Бүх нийтийн сануулагч үүсгэх.
Багш нь үйл явцыг удирдан чиглүүлдэг
Оюутнууд теоремыг амжилттай судлахын тулд өмнөх хичээлүүдэд тодорхойлсон “миний алхмууд” дээр үндэслэн тус тусад нь тэмдэглэл үүсгэх; Дараа нь хэлэлцүүлгийн явцад бид бүх нийтийн санамжийг бий болгодог.
Сурах бичгээс дурын теоремыг амжилттай нотлох санамж үүсгэх.
Дууссан төслийн хэрэгжилт.
Гурвалжны ижил төстэй байдлын гуравдахь шалгуурыг сурах бичгийг ашиглана уу.
Багш нь үйл явцыг удирдан чиглүүлдэг
Суралцагчид сурах бичгийг ашиглан өөрт шинэлэг теоремд дүн шинжилгээ хийж, тэмдэглэлийн тусламжтайгаар түүний нотолгоог дэвтэртээ дүрслэн бичдэг.
Теоремд дүн шинжилгээ хийж, түүний нотолгоог тэмдэглэлийн дэвтэрт тэмдэглэв.
Гадны яриан дахь програмчлалын үндсэн нэгтгэлт
Теоремын бүх ойлгомжгүй цэгүүдийг олж мэд
Багш нь оюутнуудад тулгарч буй бэрхшээлийг хэрхэн даван туулж байсныг баримтжуулж тусалдаг.
Тэмдэглэлийн дэвтэр дээрх тэмдэглэлийг нотлох төлөвлөгөөтэй уялдуулж, үүссэн асуултуудыг тодруулж, дүгнэлт гарга.
.Хийсэн ажилд дүн шинжилгээ хийж, нотлох баримтыг амаар хянана
Мэдлэгийн системд оруулах, давтах.
Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын гурав дахь шалгуурыг батал.
Багш эмхэтгэсэн тэмдэглэлийг ашиглан самбар дээрх теоремыг батлахыг санал болгож байна.
Сурагчид теоремыг самбар дээр өөрийн үзэмжээр нотолно.
Залуусаас нэг нь самбар дээр хариулах боломжтой болно.
Анги дахь сургалтын үйл ажиллагааны талаархи эргэцүүлэл.
Зорилгодоо хүрсэн түвшинг тэмдэглэнэ.
Оюутнууд одоо энэ асуудлыг шийдэж болно гэдгийг ойлгож байна, өөрөөр хэлбэл. Оюутны өөрийгөө үнэлэх үнэлэмж нэмэгддэг.
Энэ төрлийн үйл ажиллагаа нь оюутнуудад таалагдах бөгөөд энэ нь теоремыг сурах, батлах хамгийн үр дүнтэй арга гэдгийг ойлгох болно.
