Хэвийн магадлалын тархалтын хууль

Үүнийг хэтрүүлэлгүйгээр философийн хууль гэж хэлж болно. Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн янз бүрийн объект, үйл явцыг ажиглахдаа ямар нэг зүйл хангалтгүй, хэм хэмжээ байдаг гэсэн баримттай байнга тулгардаг.


Энд үндсэн үзэл баримтлал байна нягтын функцуудхэвийн магадлалын тархалт, би таныг энэхүү сонирхолтой хичээлд урьж байна.

Та ямар жишээ өгч чадах вэ? Тэдэнд зүгээр л харанхуй байдаг. Энэ нь жишээлбэл, хүмүүсийн өндөр, жин (зөвхөн биш), тэдний биеийн хүч чадал, сэтгэцийн чадваргэх мэт. "Үндсэн масс" байдаг. (нэг шалтгаанаар)мөн хоёр чиглэлд хазайлт байдаг.

Энэ янз бүрийн шинж чанаруудамьгүй объектууд (ижил хэмжээтэй, жин). Энэ бол үйл явцын санамсаргүй үргэлжлэх хугацаа юм ..., дахин нэг гунигтай жишээ санаанд орж, гэрлийн чийдэнгийн "насан турш" гэж хэлье :) Физикээс би агаарын молекулуудыг санаж байсан: тэдний дунд удаан байдаг, бас байдаг. хурдан, гэхдээ ихэнх нь "стандарт" хурдаар хөдөлдөг.

Дараа нь бид төвөөс өөр нэг стандарт хазайлтаар хазайж, өндрийг тооцоолно.

Зураг дээрх цэгүүдийг тэмдэглэх (ногоон) Энэ нь хангалттай гэдгийг бид харж байна.

Эцсийн шатанд графикийг анхааралтай зурж, мөн ялангуяа болгоомжтойүүнийг тусгана гүдгэр / хотгор! За, та x тэнхлэг гэдгийг аль эрт ойлгосон байх хэвтээ асимптот, мөн түүний ард "авирах" нь туйлын хориотой!

At цахим бүртгэлШийдлийн графикийг Excel дээр бүтээхэд хялбар бөгөөд би гэнэтийн байдлаар энэ сэдвээр богино хэмжээний видео бичлэг хийсэн. Гэхдээ эхлээд ердийн муруйн хэлбэр нь ба гэсэн утгуудаас хамаарч хэрхэн өөрчлөгддөг талаар ярилцъя.

"a"-г нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах үед (байнгын "сигма"-тай)график хэлбэрээ хадгалсан ба баруун/зүүн тийш хөдөлдөгтус тус. Тиймээс, жишээлбэл, функц нь хэлбэрийг авах үед Манай график 3 нэгж зүүн тийш "шилждэг" - яг координатын гарал үүсэл рүү:


Математикийн тэг хүлээлттэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүн нь бүрэн байгалийн нэрийг авсан - төвтэй; түүний нягтын функц – бүр, мөн график нь ордны тэгш хэмтэй байна.

"Сигма" өөрчлөгдсөн тохиолдолд (тогтмол "a"-тай), график нь "хууль хэвээрээ" боловч хэлбэрээ өөрчилдөг. Томрвол наймалж тэмтрүүлээ тэнийлгэх шиг намхан, сунадаг. Мөн эсрэгээр, графикийг багасгах үед нарийсч, өндөр болдог- Энэ нь "гайхсан наймалж" болж хувирав. Тиймээ, хэзээ буурах"сигма" хоёр удаа: өмнөх график хоёр удаа нарийсч, сунгасан:

Бүх зүйл бүрэн нийцэж байна графикийн геометрийн хувиргалт.

Нэгж сигма утгатай хэвийн тархалтыг гэнэ хэвийн болгосон, мөн хэрэв байгаа бол төвтэй(бидний хэрэг), тэгвэл ийм хуваарилалт гэж нэрлэгддэг стандарт. Энэ нь аль хэдийн олдсон илүү энгийн нягтын функцтэй Лапласын орон нутгийн теорем: . Стандарт түгээлт нь практикт өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд тун удахгүй бид түүний зорилгыг ойлгох болно.

За одоо киногоо үзэцгээе:

Тийм ээ, туйлын зөв - ямар нэгэн байдлаар энэ нь сүүдэрт үлдэв магадлалын тархалтын функц. Түүнийг санацгаая тодорхойлолт:
- санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бүх бодит утгыг "нэмэх" хязгаар хүртэл "дагадаг" хувьсагчаас БАГА утгыг авах магадлал.

Интеграл дотор ихэвчлэн өөр үсэг ашигладаг бөгөөд тэмдэглэгээтэй "давхцах" зүйл байхгүй, учир нь энд утга бүр нь дараахтай холбоотой байдаг. буруу интеграл , энэ нь заримтай тэнцүү байна тооинтервалаас.

Бараг бүх утга нь тохиромжгүй байдаг үнэн зөв тооцоолол, гэхдээ бидний саяхан харсанчлан орчин үеийн тооцоолох хүчин чадалтай бол үүнд ямар ч бэрхшээл гарахгүй. Тиймээс, функцийн хувьд Стандарт түгээлтийн хувьд харгалзах Excel функц нь ерөнхийдөө нэг аргумент агуулдаг:

=NORMSDIST(z)

Нэг, хоёр - тэгээд та дууслаа:

Зураг дээр бүхний хэрэгжилтийг тодорхой харуулсан түгээлтийн функцийн шинж чанарууд, мөн энд байгаа техникийн нюансуудаас та анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй хэвтээ асимптотуудба гулзайлтын цэг.

Одоо сэдвийн гол ажлуудын нэгийг санацгаая, тухайлбал, ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг хэрхэн олохыг олж мэдье. интервалаас утгыг авна. Геометрийн хувьд энэ магадлал нь тэнцүү байна талбайхаргалзах хэсэгт хэвийн муруй ба x тэнхлэгийн хооронд:

гэхдээ би ойролцоогоор үнэ цэнийг авахыг оролддог үндэслэлгүй тул ашиглах нь илүү оновчтой юм "хөнгөн" томъёо:
.

! Бас санаж байна , Юу

Энд та Excel-ийг дахин ашиглаж болно, гэхдээ хэд хэдэн чухал "гэхдээ" байдаг: нэгдүгээрт, энэ нь үргэлж бэлэн байдаггүй, хоёрдугаарт, "бэлэн" үнэ цэнэ нь багшаас асуулт гаргах магадлалтай. Яагаад?

Би энэ тухай өмнө нь олон удаа ярьж байсан: нэгэн цагт (мөн тийм ч удалгүй) ердийн тооны машин тансаг байсан. боловсролын уран зохиолАсуудлыг шийдвэрлэх "гарын авлагын" арга хэвээр хадгалагдсаар байна. Үүний мөн чанар нь юм стандартчилах"альфа" ба "бета" утгуудын утгыг, өөрөөр хэлбэл шийдлийг стандарт хуваарилалт руу багасгах:

Анхаарна уу : функцийг авахад хялбар ерөнхий тохиолдол шугаман ашиглах орлуулалт. Дараа нь бас:

болон гүйцэтгэсэн орлуулалтаас дараах томъёог гаргана. үнэт зүйлсээс шилжих санамсаргүй хуваарилалт- стандарт хуваарилалтын харгалзах утгуудад.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Үнэн бол бидний өвөг дээдэс үнэ цэнийг нарийн тооцоолж, тусгай хүснэгтэд нэгтгэсэн бөгөөд энэ нь терверийн олон номонд байдаг. Гэхдээ илүү олон удаа үнэт зүйлсийн хүснэгт байдаг бөгөөд бид үүнийг аль хэдийн авч үзсэн болно Лапласын интеграл теорем:

Хэрэв бид Лаплас функцийн утгуудын хүснэгтийг ашиглах боломжтой , дараа нь бид үүнийг шийднэ:

Бутархай утгуудУламжлал ёсоор бид стандарт хүснэгтэд заасны дагуу аравтын бутархайн 4 орон хүртэл дугуйрдаг. Мөн хяналтын хувьд байдаг 5-р цэг зохион байгуулалт.

Би танд сануулж байна , төөрөгдүүлэхгүйн тулд үргэлж хянаж байдаг, ЯМАР функцийн хүснэгт таны нүдний өмнө байна.

Хариулаххувиар өгөх шаардлагатай тул тооцоолсон магадлалыг 100-аар үржүүлж, үр дүнд нь утга учиртай тайлбар өгөх шаардлагатай.

- 5-аас 70 м-ийн өндөрт нисэх үед бүрхүүлийн 15.87% нь унах болно.

Бид бие даан бэлтгэл хийдэг:

Жишээ 3

Үйлдвэрийн холхивчийн диаметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд математикийн тооцоолол нь 1.5 см, стандарт хазайлт нь 0.04 см-ийн хэмжээтэй байна.

Жишээ шийдэл болон доор би Лаплас функцийг хамгийн түгээмэл сонголт болгон ашиглах болно. Дашрамд хэлэхэд, үг хэллэгийн дагуу интервалын төгсгөлийг энд авч үзэхэд оруулж болно гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч энэ нь чухал биш юм.

Энэ жишээн дээр бид аль хэдийн уулзсан онцгой тохиолдол– математикийн хүлээлттэй харьцуулахад интервал тэгш хэмтэй байх үед. Ийм нөхцөлд үүнийг дараах хэлбэрээр бичиж, Лаплас функцийн хачирхалтай байдлыг ашиглан ажлын томъёог хялбаршуулж болно.

Delta параметрийг дуудна хазайлтматематикийн хүлээлтээс, давхар тэгш бус байдлыг ашиглан "савлаж" болно модуль:

– санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга математикийн хүлээлтээс -ээс бага хазайх магадлал.

Шийдэл нэг мөрөнд багтах нь сайн хэрэг :)
– санамсаргүй байдлаар авсан холхивчийн диаметр нь 1.5 см-ээс 0.1 см-ээс ихгүй ялгаатай байх магадлал.

Энэ даалгаврын үр дүн нь эв нэгдэлтэй ойрхон байсан ч би илүү найдвартай байхыг хүсч байна, тухайлбал диаметр нь ямар хил хязгаарыг олж мэдэхийг хүсч байна. бараг бүх хүнхолхивч. Үүнд ямар нэг шалгуур бий юу? Байгаа! Асуулт гэж нэрлэгддэг асуултанд хариулдаг

гурван сигма дүрэм

Үүний мөн чанар нь үүнд оршино практик найдвартай нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалаас утгыг авах явдал юм .

Үнэн хэрэгтээ хүлээгдэж буй утгаас хазайх магадлал нь дараахаас бага байна.
эсвэл 99.73%

Холхивчийн хувьд эдгээр нь 1.38-аас 1.62 см-ийн диаметртэй 9973 ширхэг, ердөө 27 ширхэг "стандарт бус" хувь юм.

Практик судалгаанд гурван сигма дүрмийг ихэвчлэн эсрэг чиглэлд ашигладаг: хэрэв статистикийн хувьдЭнэ нь бараг бүх үнэт зүйл болох нь тогтоогдсон судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 6 стандарт хазайлтын интервалд багтах бол энэ утгыг ердийн хуулийн дагуу хуваарилсан гэж үзэх үндэслэлтэй шалтгаанууд бий. Баталгаажуулалтыг онолыг ашиглан хийдэг статистик таамаглал , би эрт орой хэзээ нэгэн цагт хүрнэ гэж найдаж байна :)

Энэ хооронд бид Зөвлөлтийн хатуу ширүүн асуудлуудыг шийдсээр байна.

Жишээ 4

Жинлэх алдааны санамсаргүй утгыг математикийн тэг хүлээлттэй ердийн хуулийн дагуу хуваарилдаг. стандарт хазайлт 3 грамм. Үнэмлэхүй утгаараа 5 граммаас ихгүй алдаатай дараагийн жинлэх магадлалыг ол.

Шийдэлмаш энгийн. Нөхцөлөөр бид дараагийн жингийн үед тэр даруй тэмдэглэнэ (ямар нэгэн зүйл эсвэл хэн нэгэн)Бид бараг 100% үр дүнг 9 грамм нарийвчлалтайгаар авах болно. Гэхдээ асуудал нь илүү нарийн хазайлттай бөгөөд томъёоны дагуу :

– дараагийн жинг 5 граммаас хэтрэхгүй алдаатай хийх магадлал.

Хариулах:

Шийдвэрлэсэн асуудал нь ижил төстэй зүйлээс үндсэндээ өөр юм. Жишээ 3тухай хичээл жигд хуваарилалт. Алдаа гарлаа дугуйлаххэмжилтийн үр дүн, энд бид хэмжилтийн санамсаргүй алдааны тухай ярьж байна. Үүний улмаас ийм алдаа гардаг техникийн шинж чанартөхөөрөмж өөрөө (зөвшөөрөгдөх алдааны хүрээг ихэвчлэн түүний паспорт дээр заасан байдаг), мөн туршилт хийгчийн буруугаас бид жишээ нь "нүдээр" ижил масштабын зүүгээс уншилт хийх үед.

Бусад хүмүүсийн дунд бас гэж нэрлэгддэг системтэйхэмжилтийн алдаа. Аль хэдийн болсон санамсаргүй бустөхөөрөмжийн буруу тохируулга эсвэл ашиглалтын улмаас гарсан алдаа. Жишээлбэл, зохицуулалтгүй шалны жин нь килограммуудыг тогтмол "нэмэх" боломжтой бөгөөд худалдагч нь үйлчлүүлэгчдийг системтэйгээр жинлүүлдэг. Эсвэл системтэй биш тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч ямар ч тохиолдолд ийм алдаа нь санамсаргүй биш бөгөөд түүний хүлээлт тэгээс өөр байна.

…Би яаралтай борлуулалтын сургалт явуулж байна =)

Бид өөрсдөө шийддэг урвуу асуудал:

Жишээ 5

Роллерийн диаметр нь санамсаргүй хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний стандарт хазайлт нь мм-тэй тэнцүү байна. Математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалын уртыг олоорой, үүнд булны диаметрийн урт унах магадлалтай.

Цэг 5* дизайны зохион байгуулалттуслах. Математикийн хүлээлт энд тодорхойгүй байгаа ч энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд саад болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

БА шалгалтын даалгавар, би материалыг нэгтгэхэд маш их зөвлөж байна:

Жишээ 6

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний параметрүүд (математикийн хүлээлт) ба (стандарт хазайлт) тодорхойлно. Шаардлагатай:

а) магадлалын нягтыг бичиж, түүний графикийг бүдүүвчээр дүрслэх;
б) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол ;
в) үнэмлэхүй утга нь -ээс ихгүй хазайх магадлалыг ол;
г) "гурван сигма" дүрмийг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг ол.

Ийм асуудлуудыг хаа сайгүй санал болгодог бөгөөд олон жилийн турш би олон зуун, хэдэн зуун асуудлыг шийдэж чадсан. Гараар зураг зурах, цаасан ширээ ашиглах дадлага хийхээ мартуузай;)

За, би танд жишээ хэлье нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэн:

Жишээ 7

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна . Олоорой, математикийн хүлээлт, тархалт, тархалтын функц, нягтын график, тархалтын функцийг бүтээх, олох.

Шийдэл: Юуны өмнө нөхцөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний мөн чанарын талаар юу ч хэлээгүй гэдгийг анхаарцгаая. Экспонент байгаа нь өөрөө юу ч гэсэн үг биш: энэ нь жишээлбэл, заалтэсвэл бүр дур зоргоороо тасралтгүй хуваарилалт. Тиймээс хуваарилалтын "хэвийн байдал" -ыг зөвтгөх шаардлагатай хэвээр байна.

Функцээс хойш -д тодорхойлсон ямар ч бодит үнэ цэнэ, мөн энэ хэлбэрийг багасгаж болно , дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн хуулийн дагуу тархдаг.

Энд байна. Үүний төлөө бүрэн дөрвөлжин сонгоно ууболон зохион байгуулах гурван давхар хэсэг:


Шалгуур үзүүлэлтийг анхны хэлбэрт нь буцаан шалгахаа мартуузай.

, энэ нь бидний харахыг хүссэн зүйл юм.

Тиймээс:
- By эрх мэдэл бүхий үйл ажиллагааны дүрэм"чимхэх" Энд бид нэн даруй тодорхой зүйлийг бичиж болно тоон шинж чанар:

Одоо параметрийн утгыг олъё. Хэвийн тархалтын үржүүлэгч нь дараах хэлбэртэй байна.
, эндээс бид функцээ илэрхийлж, орлуулж байна:
, үүний дараа бид дахин бичлэгийг нүдээрээ үзэж, үүссэн функц нь хэлбэртэй байгаа эсэхийг шалгах болно .

Нягтын графикийг байгуулъя:

ба тархалтын функцийн график :

Хэрэв танд Excel эсвэл ердийн тооны машин байхгүй бол сүүлийн графикийг гараар хялбархан барьж болно! Тухайн үед түгээлтийн функц нь утгыг авдаг тэгээд энд байна

Хэвийн тархалт

Бид тархалт, олон өнцөгт (эсвэл хувийн олон өнцөгт), тархалтын муруй гэсэн ойлголтуудыг аль хэдийн мэддэг болсон. Эдгээр ойлголтуудын онцгой тохиолдол бол "хэвийн тархалт" ба "хэвийн муруй" юм. Гэхдээ энэ сонголт нь аливаа шинжлэх ухааны мэдээлэл, түүний дотор сэтгэлзүйн мэдээллийг шинжлэхэд маш чухал юм. Баримт нь хэвийн тархалтыг графикаар дүрсэлсэн явдал юм хэвийн муруйобъектив бодит байдалд ховор тохиолддог хамгийн тохиромжтой хуваарилалт байдаг. Гэхдээ түүний хэрэглээ нь бэлэн хэлбэрээр олж авсан өгөгдлийг боловсруулах, тайлбарлах ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх, хялбаршуулдаг. Түүнээс гадна, зөвхөн хэвийн тархалтын хувьд өгөгдсөн корреляцын коэффициентийг бусад тохиолдолд ийм функцийг гүйцэтгэдэггүй бөгөөд тэдгээрийн тооцоолол нь тайлбарлахад хэцүү парадоксуудад хүргэдэг;

IN шинжлэх ухааны судалгаатаамаглалыг ихэвчлэн хүлээн зөвшөөрдөг ОБодит өгөгдлийн тархалтын хэвийн байдал, үүний үндсэн дээр тэдгээрийг боловсруулж, дараа нь бодит тархалт ердийнхөөс хэр их ялгаатай болохыг тодруулж, зааж өгдөг бөгөөд үүнд хэд хэдэн тусгай статистикийн аргууд байдаг. Дүрмээр бол ихэнх тохиолдолд энэ таамаглал нь нэлээд хүлээн зөвшөөрөгддөг сэтгэцийн үзэгдлүүдба тэдгээрийн шинж чанар нь хэвийн хэмжээнд маш ойрхон тархалттай байдаг.

Тэгэхээр хэвийн тархалт гэж юу вэ, эрдэмтдийн сонирхлыг татдаг онцлог нь юу вэ? ЕрдийнХэмжигдэхүүний үүсэх ба үүсэхгүй байх магадлал ижил байхаар тархалтыг гэнэ. Сонгодог дүрслэл бол зоос шидэх явдал юм. Хэрэв зоос шударга бөгөөд шидэлт нь адилхан хийгдсэн бол толгой эсвэл сүүл авах магадлал ижил байна. Өөрөөр хэлбэл, "толгой" нь ижил магадлалтайгаар унаж, унахгүй байж болно, "сүүл" -д мөн адил хамаарна.

Бид "магадлал" гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Үүнийг тодруулъя. Магадлалнь үйл явдлын хүлээгдэж буй давтамж юм (тохиолдол - тоо хэмжээ биш). Магадлал нь бодит болсон үйл явдлын тоо (давтамж) болох бутархайгаар илэрхийлэгддэг. Вхуваагч - дээд тал нь боломжит тооэдгээр үйл явдлууд. Хэзээ дээж (тоо боломжит тохиолдлууд) хязгаарлагдмал, тэгвэл магадлалын тухай биш харин ярих нь дээр Обидний аль хэдийн танил болсон давтамж. Магадлал санал болгож байна хязгааргүй тоодээж Гэвч практик дээр энэ нарийн мэдрэмжийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог.

Математикчдын магадлалын онолын сонирхол Верөнхийдөө, ялангуяа хэвийн тархалт гарч ирдэг ВОролцогчдын хүслийн улмаас XVII зуун мөрийтэй тоглоомхамгийн бага эрсдэлтэй хамгийн их хожлын томъёог олох. Алдарт математикч Ж.Бернулли (1654-1705), П.С.Лаплас (1749-1827) нар эдгээр асуултыг асуув. Эхлээд математик тайлбарзоосыг олон удаа шидэх үед "толгой" авах магадлалын тархалтын диаграммын сегментүүдийг холбосон муруй, өгөгдсөн. Абрахам де Мойвр(1667-1754). Энэ муруй нь маш ойрхон байна хэвийн муруйтүүний өгсөн тодорхой тайлбар агуу математикч K. F. Gauss(1777-1855), түүний нэрийг өнөөг хүртэл хадгалсаар байна. Нормаль (Гаусс) муруйн график ба томьёо дараах байдалтай байна.

Энд P нь магадлал (илүү нарийвчлалтай, магадлалын нягт), өөрөөр хэлбэл дээрх муруйны өндөр юм. өгөгдсөн үнэ цэнэ Z; e - суурь байгалийн логарифм(2.718...); π= 3.142...; M – түүврийн дундаж; σ – стандарт хазайлт.

Ердийн муруйн шинж чанарууд

1. Дундаж (M), горим (Mo) болон медиан (Me) нь ижил байна.

2. Дундаж М-тэй харьцуулахад тэгш хэм.

3. Хоёрдмол утгагүйгээр зөвхөн хоёр параметрээр тодорхойлогддог - M ба o.

4. Муруйн "салбарууд" нь абсцисса Z-г хэзээ ч огтолдоггүй бөгөөд асимптот байдлаар ойртдог.

5. M = 0 ба o = 1-ийн хувьд бид нэгж хэвийн муруйг олж авдаг, учир нь түүний доорх талбай нь 1-тэй тэнцүү байна.

6. Нэгж муруйн хувьд: P m = 0.3989, муруйн доорх талбай нь:

-σ - +σ = 68.26%; -2σ - + 2σ = 95.46%; -Зσ - + Зσ = 99.74%.

7. Нэгж бус хэвийн муруйн хувьд (M ≠0, σ ≠1) талбайн хэв маяг хадгалагдана. Ялгаа нь зуутын нэг юм.

Хэвийн тархалтын өөрчлөлтүүд

Доор үзүүлсэн өөрчлөлтүүд нь зөвхөн хэвийн тархалтад хамаарахгүй, харин аль нэгэнд хамаарна. Гэсэн хэдий ч тодорхой болгохын тулд бид тэдгээрийг энд толилуулж байна.

1. Асимметри – төв утгатай харьцуулахад тэгш бус хуваарилалт.

Харамсалтай нь параметрийн гэр бүл нь магадлалын онол, математик статистикийн сурах бичиг зохиогчдын оюун санаанд л байдаг. IN бодит амьдралбайхгүй. Тиймээс эконометрикийг голчлон ашигладаг параметрийн аргууд, үүнд ажиглалтын үр дүнгийн хуваарилалт дурын хэлбэртэй байж болно.

Нэгдүгээрт, хэвийн тархалтын жишээг ашиглан бид боломжгүй байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно практик хэрэглэээдийн засгийн тодорхой өгөгдлийн тархалтыг тодорхойлох параметрийн гэр бүлүүд. Дараа нь бид хэт давсан ажиглалтыг үгүйсгэх параметрийн аргуудад дүн шинжилгээ хийж, параметрийн статистикийн хэд хэдэн аргыг практикт ашиглах боломжгүй, тэдгээрийн хүргэж буй дүгнэлтийн алдааг харуулах болно. Дараа нь бид тоон санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарууд болох математикийн хүлээлт, медиан, дисперс, стандарт хазайлт, хэмжигдэхүүнүүдийн итгэлцлийн үнэлгээний параметрт бус аргуудыг шинжлэх болно. хэлбэлзлийн коэффициент. Лекцийг бие даасан эсвэл холбогдох хоёр дээжийн нэгэн төрлийн байдлыг шалгах аргуудаар дуусгана.

Ажиглалтын тархалт ихэвчлэн хэвийн байдаг уу?

Эконометрик ба эдийн засаг-математик загваруудад, ялангуяа маркетинг, менежментийн үйл явц, аж ахуйн нэгж, бүс нутгийн менежмент, нарийвчлал, тогтвортой байдлыг судлах, оновчтой болгоход ашигладаг. технологийн процессуудНайдвартай байдал, аюулгүй байдлыг хангах, түүний дотор байгаль орчны аюулгүй байдал, техникийн төхөөрөмж, объектын үйл ажиллагаа, зохион байгуулалтын схемийг боловсруулах, магадлалын онол, математик статистикийн үзэл баримтлал, үр дүнгийн асуудалд ихэвчлэн ашиглагддаг. Энэ тохиолдолд магадлалын тархалтын нэг буюу өөр параметрийн бүлгийг ихэвчлэн ашигладаг. Хамгийн алдартай хэвийн тархалт. Мөн логарифм хэлбэрээр ашигладаг хэвийн тархалт, экспоненциал тархалт, гамма тархалт, Вейбулл-Гнеденкогийн тархалт гэх мэт.

Загваруудын бодит байдалтай нийцэж байгаа эсэхийг шалгах нь мэдээжийн хэрэг. Хоёр асуулт гарч ирнэ. Бодит хуваарилалт нь загварт ашигласанаас ялгаатай юу? Энэ ялгаа нь дүгнэлтэд хэр нөлөөлж байна вэ?

Доорх нь ердийн тархалт ба түүн дээр үндэслэсэн эрс ялгаатай ажиглалтаас (хачирхалтай үзүүлэлтүүдийг) үгүйсгэх аргуудын жишээг ашиглан бодит тархалт нь сонгодог параметрийн гэр бүлд багтсанаас бараг үргэлж ялгаатай байдаг бөгөөд өгөгдсөн гэр бүлээс одоо байгаа хазайлт нь буруу дүгнэлт хийж байгааг харуулж байна. хэлэлцэж буй хэрэгт эдгээр гэр бүлийн ашиглалтын үндсэн дээр татгалзах тухай.

Хэмжилтийн үр дүнг хэвийн гэж үзэх үндэслэл бий юу?

Заримдаа хэмжилтийн алдаа гарсан тохиолдолд (эсвэл бусад санамсаргүй хувьсагч) нь олон жижиг хүчин зүйлсийн нэгдсэн үйл ажиллагааны үр дүнд тодорхойлогддог бол магадлалын онолын төв хязгаарын теорем (CLT)-ийн дагуу энэ утгыг ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр (тархалтын хувьд) сайн ойртуулдаг. Хэрэв жижиг хүчин зүйлүүд бие биенээсээ хамааралгүй, нэмэлт нөлөө үзүүлдэг бол энэ мэдэгдэл үнэн болно. Хэрэв тэдгээр нь үржүүлэх чадвартай бол ижил CLT-ийн улмаас тэдгээрийг логарифмын хувьд хэвийн тархалтаар ойртуулах ёстой. Хэрэглээний асуудлуудад жижиг хүчин зүйлийн үйл ажиллагааны үржвэрээс илүү нэмэлт чанарыг нотлох нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг. Хэрэв хамаарал байгаа бол ерөнхий шинж чанар, нэмэлт эсвэл үржүүлэх хэлбэр рүү буураагүй бөгөөд экспоненциал, Вейбулл-Гнеденко, гамма болон бусад тархалтыг өгдөг загваруудыг хүлээн зөвшөөрөх ямар ч шалтгаан байхгүй тул эцсийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын талаар бараг юу ч мэдэгддэггүй. тогтмол байдал зэрэг математик шинж чанарууд.

Тодорхой өгөгдлийг боловсруулахдаа хэмжилтийн алдаа гардаг гэж заримдаа үздэг хэвийн тархалт. Хэвийн таамаглал дээр баригдсан сонгодог загваруудрегресс, тархалт, хүчин зүйлийн шинжилгээ, хэмжилзүйн загварууд нь дотоодын зохицуулалт, техникийн баримт бичиг, олон улсын стандартад хоёуланд нь олддог. Ашиглалтын аюулгүй байдлыг хангахын тулд системийг зохион бүтээхэд ашигладаг тодорхой шинж чанаруудын хүрч болох хамгийн дээд түвшинг тооцоолох загварууд нь ижил таамаглал дээр суурилдаг. эдийн засгийн бүтэц, техникийн төхөөрөмж, объект. Гэсэн хэдий ч онолын үндэстийм таамаг байхгүй. Туршилтаар алдааны хуваарилалтыг судлах шаардлагатай.

Туршилтын үр дүн юу харуулж байна вэ? Нэг сэдэвт өгөгдсөн хураангуй нь ихэнх тохиолдолд хэмжилтийн алдааны хуваарилалт хэвийн хэмжээнээс ялгаатай болохыг харуулж байна. Ийнхүү Механик ба цахилгааны инженерийн хүрээлэнд (Варна, Болгар) аналог цахилгаан хэмжих хэрэгслийн масштабын шалгалт тохируулгын алдааны хуваарилалтыг судалжээ. Чехословак, ЗХУ, Болгарт үйлдвэрлэсэн төхөөрөмжүүдийг судалсан. Алдаа хуваарилах хууль нь адилхан болсон. Энэ нь нягтралтай

Цахилгаан ба цахилгаан бус хэмжилтийн үед өөр өөр зохиогчдын судалсан 219 бодит алдааны хуваарилалтын параметрүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн. цахилгаан хэмжигдэхүүнүүдолон төрлийн (цахилгаан) төхөөрөмжүүд. Энэхүү судалгааны үр дүнд 111 тархалт, i.e. ойролцоогоор 50% нь нягтралтай тархалтын ангилалд хамаарна

градусын параметр хаана байна; - шилжилтийн параметр; - масштабын параметр; - гамма функцмаргаанаас;

Тарту дахь хэрэглээний математикийн лабораторид улсын их сургуульАрхивын бодит статистик мэдээллийн 2500 дээжид шинжилгээ хийсэн. 92% -д нь хэвийн байдлын таамаглалыг үгүйсгэх шаардлагатай байв.

Туршилтын өгөгдлийн тайлбараас харахад хэмжилтийн алдаа нь ихэнх тохиолдолд ердийнхөөс ялгаатай тархалттай байдаг. Энэ нь ялангуяа Оюутны тестийн ихэнх програмууд сонгодог гэсэн үг юм регрессийн шинжилгээ Харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэвийн байдлын суурь аксиом буруу байгаа тул ердийн онол дээр үндэслэсэн статистикийн бусад аргууд нь зөвтгөгддөггүй.

Одоогийн статистикийн мэдээллийн шинжилгээний практикт гарсан өөрчлөлтийг зөвтгөх, зөвтгөхийн тулд "хууль бусаар" ашиглах үед мэдээллийн шинжилгээний процедурын шинж чанарыг судлах шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой. Татгалзах процедурын судалгаагаар тэдгээр нь хэвийн байдлаас хазайхад туйлын тогтворгүй байдаг тул бодит өгөгдлийг боловсруулахад ашиглах нь зохисгүй болохыг харуулсан (доороос үзнэ үү); иймээс дур зоргоороо сонгосон журам нь хэвийн байдлаас хазайхад тэсвэртэй гэж маргах боломжгүй.

Заримдаа хоёр дээжийн нэгэн төрлийн байдлын Оюутны тестийг ашиглахын өмнө хэвийн байдлыг шалгахыг санал болгодог. Хэдийгээр үүнд зориулсан олон тест байдаг ч хэвийн байдлыг шалгах нь нэгэн төрлийн байдлыг шалгахаас (Оюутны төрлийн статистик болон параметрийн бус тестийг ашиглах) илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа шаардсан статистикийн процедур юм. Хэвийн байдлыг найдвартай тогтоохын тулд маш олон тооны ажиглалт хийх шаардлагатай. Тиймээс ажиглалтын үр дүнгийн тархалтын функц нь зарим нэг хэвийн хэмжээнээс 0.01-ээс ихгүй ялгаатай болохыг баталгаажуулахын тулд (аргументын аль ч утгын хувьд) 2500 орчим ажиглалт хийх шаардлагатай. Ихэнх эдийн засаг, техник, биоанагаах ухаан болон бусад хэрэглээний судалгааажиглалтын тоо мэдэгдэхүйц бага байна. Энэ нь ялангуяа эдийн засгийн бүтэц, техникийн байгууламжийн аюулгүй ажиллагааг хангахтай холбоотой асуудлыг судлахад ашигладаг өгөгдөлд үнэн юм.

Заримдаа тэд CPT-ийг ашиглан алдааны хуваарилалтыг хэвийн хэмжээнд ойртуулахыг оролддог, үүнд хэмжих төхөөрөмжийн технологийн схемд тусгай нэмэгч орно. Энэ арга хэмжээний ашиг тусыг үнэлж үзье. Тархалтын функцтэй, бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байг Ийм бодолтой байна

Нэмэгчийн өгсөн хэвийн байдалд ойртсон үзүүлэлт нь

Сүүлчийн хамаарал дахь баруун тэгш бус байдал нь номонд олж авсан Берри-Эссений тэгш бус байдлын тогтмол байдлын тооцооллоос, зүүн талынх нь монографийн жишээн дээр гардаг. Учир нь ердийн хууль , дүрэмт хувцасны хувьд, хоёр цэгийн хувьд (энэ нь доод хязгаар юм). Тиймээс "амжилтгүй" тархалтын хувьд хэвийн тархалт хүртэлх зайг (Колмогоровын хэмжүүрээр) 0.01-ээс ихгүй байлгахын тулд дор хаяж дискрет багцад байх магадлал бүхий нэр томъёо шаардлагатай болно. аравтын тоо-тай өгсөн дугаараравтын орон нь 0-тэй тэнцүү.

Дээр дурдсанаас үзэхэд хэмжилтийн үр дүн болон статистикийн өгөгдөл нь ердийнхөөс их бага ялгаатай тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр загварчлах ёстой гэсэн шинж чанартай байдаг. Ихэнх тохиолдолд хуваарилалт нь ердийнхөөс эрс ялгаатай байдаг, хэвийн тархалтыг зарим төрлийн ойролцоо гэж үзэж болох боловч хэзээ ч бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь сонгодог статистикийн процедурын шинж чанарыг сонгодог бус хэлбэрээр судлах шаардлагатай гэсэн үг юм магадлалын загварууд (Оюутны тестийг доор хэрхэн хийсэнтэй төстэй), тогтвортой (хэвийн байдлаас хазайлт байгаа эсэхийг харгалзан үзсэн) болон параметрийн бус, түүний дотор хуваарилалтгүй горимыг боловсруулж, практикт өргөнөөр хэрэгжүүлэх шаардлагатай байна. статистик боловсруулалтөгөгдөл.

Бусад параметрийн гэр бүлийн хувьд энд орхигдсон зүйл нь ижил төстэй дүгнэлтэд хүргэдэг. Үр дүнг дараах байдлаар томъёолж болно. Бодит өгөгдлийн тархалт бараг хэзээ ч тодорхой параметрийн гэр бүлд хамаарахгүй. Бодит тархалт нь параметрийн гэр бүлд багтсанаас үргэлж ялгаатай байдаг. Ялгаа нь том эсвэл жижиг байж болох ч үргэлж байдаг. Эдгээр ялгаа нь эконометрикийн шинжилгээнд хэр чухал болохыг ойлгохыг хичээцгээе.

Ердийн тархалт (Гауссын тархалт) үргэлж тоглодог гол үүрэгмагадлалын онолын хувьд энэ нь олон хүчин зүйлийн нөлөөллийн үр дүнд маш олон удаа тохиолддог тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь хувь нэмэр бага байдаг. Төв хязгаарын теорем(CPT), бараг бүх зүйлд програм олдог хэрэглээний шинжлэх ухаан, статистикийн аппаратыг бүх нийтийн болгох. Гэсэн хэдий ч үүнийг ашиглах боломжгүй тохиолдол маш олон удаа тохиолддог бөгөөд судлаачид үр дүнг Гаусс руу тохируулахыг бүх талаар хичээдэг. Энэ тухай өөр хандлагаХэрэв хуваарилалтад олон хүчин зүйл нөлөөлсөн бол би одоо танд хэлье.

CPT-ийн товч түүх.Ньютоныг амьд байхдаа Абрахам де Мойвр цуврал дахь үйл явдлын төвлөрсөн болон хэвийн болсон ажиглалтын тоог нэгтгэх теоремыг баталжээ. бие даасан туршилтуудхэвийн тархалтад хүргэнэ. 19, 20-р зууны эхэн үед энэ теорем нь ерөнхий дүгнэлт гаргах шинжлэх ухааны загвар болж байсан. Лаплас хэргийг нотолсон жигд хуваарилалт, Пуассон - орон нутгийн теоремөөр өөр магадлал бүхий хэргийн хувьд. Пуанкаре, Лежендре, Гаусс нар ажиглалтын алдааны тухай баялаг онол, аргыг боловсруулсан. хамгийн бага квадратууд, алдааг хэвийн тархалтад ойртуулахад тулгуурлан. Чебышев моментийн аргыг боловсруулж, санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн илүү хүчтэй теоремыг баталжээ. 1900 онд Ляпунов Чебышев, Марков нарт түшиглэн CLT-ийг одоогийн байдлаар нь нотолсон боловч зөвхөн гуравдагч эрэмбийн моментууд байдаг. Зөвхөн 1934 онд Феллер үүнийг зогсоож, хоёр дахь эрэмбийн мөчүүд байх нь зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хоёулаа гэдгийг харуулсан. хангалттай нөхцөл.

CLT-ийг дараах байдлаар томъёолж болно: хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан, ижил тархалттай, тэгээс өөр хязгаарлагдмал дисперстэй бол эдгээр хувьсагчдын нийлбэрүүд (төвтэй ба нормчлогдсон) хэвийн хуультай нийлдэг. Чухам ийм хэлбэрээр энэ теоремыг их дээд сургуулиудад заадаг бөгөөд математикийн чиглэлээр мэргэжлийн бус ажиглагч, судлаачид ихэвчлэн ашигладаг. Юу нь болохгүй байгаа юм бэ? Үнэн хэрэгтээ энэ теорем нь Гаусс, Пуанкаре, Чебышев болон 19-р зууны бусад суут хүмүүсийн ажиллаж байсан салбарт төгс хэрэглэгдэх боломжтой, тухайлбал: ажиглалтын алдааны онол, статистик физик, MNCs, хүн ам зүйн судалгаа, магадгүй өөр зүйл. Гэхдээ нээлтийн өвөрмөц чанаргүй эрдэмтэд ерөнхийд нь дүгнэж, энэ теоремыг бүх зүйлд хэрэглэхийг хүсдэг, эсвэл ердийн тархалтыг зүгээр л оршин тогтнох боломжгүй газар чихээр нь чирэхийг хүсдэг. Хэрэв та жишээ авахыг хүсч байвал надад байна.

Тагнуулын коэффициент IQ. Эхний ээлжинд хүмүүсийн оюун ухаан хэвийн тархсан гэсэн үг. Ер бусын чадварыг харгалзан үзэхгүй, харин ижил хүчин зүйлээр тусад нь харгалзан үзэхийн тулд урьдчилан бэлтгэсэн туршилтыг явуулдаг. логик сэтгэлгээ, сэтгэцийн дизайн, тооцоолох чадвар, хийсвэр сэтгэлгээбас өөр зүйл. Ихэнх хүмүүсийн хүртээмжгүй асуудлыг шийдвэрлэх чадвар, эсвэл шалгалтыг маш хурдан хугацаанд давах чадварыг ямар ч байдлаар тооцдоггүй бөгөөд шалгалтыг эрт давсан нь ирээдүйд үр дүнг (гэхдээ оюун ухааныг биш) нэмэгдүүлдэг. Тэгээд филистүүд "хэн ч тэднээс хоёр дахин ухаантай байж чадахгүй", "ухаантай хүмүүсээс авч, хувааж авцгаая" гэж итгэдэг.

Хоёр дахь жишээ: санхүүгийн үзүүлэлтүүдийн өөрчлөлт. Хувьцааны үнэ, валютын ханш, барааны опционы өөрчлөлтийг судлах нь математик статистикийг ашиглахыг шаарддаг бөгөөд ялангуяа энд хуваарилалтын төрлөөр алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Тохиолдолд: 1997 онд Нобелийн шагналЭдийн засгийн шинжлэх ухаанд хувьцааны үзүүлэлтүүдийн өсөлтийг хэвийн хуваарилах таамаглалд үндэслэн Блэк-Скоулзийн загварыг санал болгосныхоо төлөө төлсөн. цагаан чимээ). Гэсэн хэдий ч зохиогчид үүнийг тодорхой хэлсэн энэ загвартодруулах шаардлагатай боловч ихэнх дараагийн судлаачдын хийхээр шийдсэн зүйл бол Пуассоны тархалтыг ердийн тархалтад нэмэх явдал байв. Эндээс харахад Пуассоны тархалт нь CLT-ийг дэндүү сайн хангаж байгаа бөгөөд 20 гишүүнтэй энэ нь ердийн тархалтаас ялгагдахааргүй тул урт хугацааны цувааг судлахад алдаа гарах нь ойлгомжтой. Доорх зургийг хараарай (мөн энэ нь маш ноцтой эдийн засгийн сэтгүүлээс авсан), энэ нь нэлээд хэдий ч үүнийг харуулж байна их тооажиглалт, илэрхий гажуудал, тархалтын хэвийн байдлын талаар таамаглал дэвшүүлсэн.

Хуваарилалт хэвийн бус байх нь маш тодорхой цалинхотын хүн амын дунд, дискэн дээрх файлуудын хэмжээ, хот, улс орны хүн ам.

Эдгээр жишээнүүдийн нийтлэг зүйл бол "хүнд сүүл" гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл дунджаас хол байдаг утгууд, ихэвчлэн баруун талд мэдэгдэхүйц тэгш бус байдал байдаг. Энгийнээс гадна өөр ямар хуваарилалт байж болохыг авч үзье. Өмнө дурьдсан Пуассоноос эхэлцгээе: энэ нь сүүлтэй, гэхдээ бид хуулийг дагаж мөрддөг бүлгүүдийн хувьд давтагдахыг хүсч байна (аж ахуйн нэгжийн файлын хэмжээ, хэд хэдэн хотын цалинг тооцоолох) эсвэл масштабтай (загварын интервалыг дур мэдэн нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах Блэк - Скоулз), ажиглалтаас харахад сүүл ба тэгш бус байдал арилдаггүй, харин CLP-ийн дагуу Пуассоны тархалт хэвийн болох ёстой. Үүнтэй ижил шалтгаанаар Эрланг, бета, логнормаль болон бусад тархалтын тархалттай бүх хувилбарууд тохиромжгүй. Паретогийн тархалтыг таслах л үлдлээ, гэхдээ энэ нь горимтой давхцаж байгаа тул тохиромжгүй. хамгийн бага утга, энэ нь дээжийн өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхэд бараг хэзээ ч тохиолддоггүй.

Хуваарилалтууд байгаа шаардлагатай шинж чанарууд, байдаг ба тогтвортой тархалт гэж нэрлэдэг.Тэдний түүх бас маш сонирхолтой бөгөөд гол теорем нь Феллерийн ажлаас нэг жилийн дараа буюу 1935 онд хамтын хүчин чармайлтаар батлагдсан. Францын математикчПол Леви ба Зөвлөлтийн математикчА.Я. Хичин. CLT нь тархсан байх нөхцөлийг үүнээс хассан; Тогтвортой санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал, тархалтын функцийг ердийнхөөс ялгаатай нь илэрхийлдэггүй (ховор тохиолдлоос бусад тохиолдолд тэдгээрийн талаар мэддэг бүх зүйл бол шинж чанар юм); урвуу хувиргалтФурьегийн тархалтын нягт, гэхдээ мөн чанарыг ойлгохын тулд энэ нь мэдэгдэхгүй байж болно).
Тиймээс теорем: хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан бөгөөд ижил тархсан бол эдгээр хувьсагчдын нийлбэр тогтвортой хуультай нийлдэг.

Одоо тодорхойлолт. Санамсаргүй хувьсагч Xзөвхөн логарифм байвал тогтвортой байх болно онцлог функцхэлбэрээр толилуулъя:

Үнэндээ энд тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй, та зөвхөн дөрвөн параметрийн утгыг тайлбарлах хэрэгтэй. Сигма ба му параметрүүд нь ердийн масштаб ба хазайлт бөгөөд хэвийн тархалтын хувьд хэрэв байгаа бол му нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байх ба альфа нэгээс их байвал энэ нь оршино. Бета параметр нь 0-тэй тэнцүү бол тэгш хэмтэй байна. Гэхдээ альфа бол шинж чанарын үзүүлэлт бөгөөд хэмжигдэхүүний моментууд ямар дарааллаар байдгийг илэрхийлдэг, энэ нь хоёр руу ойртох тусам илүү хуваарилалтхэвийнтэй төстэй, хоёртой тэнцүү байх үед тархалт хэвийн болж, зөвхөн энэ тохиолдолд том эрэмбийн моментууд байдаг, мөн хэвийн тархалтын үед тэгш бус байдал доройтдог. Альфа нь нэгтэй, бета нь тэгтэй тэнцүү бол Коши тархалт, альфа нь хагас, бета нь нэгтэй тэнцүү бол Леви тархалтыг авдаг, бусад тохиолдолд ямар ч төлөөлөл байхгүй. ийм хэмжигдэхүүнүүдийн нягтын хуваарилалтын квадратуудад.
20-р зуунд тогтвортой хэмжигдэхүүн ба үйл явцын тухай баялаг онол (Левийн процесс гэж нэрлэдэг) боловсруулж, тэдгээрийн хоорондын уялдаа холбоог бий болгосон. бутархай интеграл, танилцуулсан янз бүрийн арга замуудпараметржилт, загварчлалын хувьд параметрүүдийг хэд хэдэн аргаар тооцоолж, тооцооллын тууштай, тогтвортой байдлыг харуулсан. Зургийг хар, энэ нь 15 дахин томорсон фрагмент бүхий Леви үйл явцын загварчилсан замыг харуулж байна.

Бенуа Манделброт ийм үйл явц, тэдгээрийг санхүү дэх хэрэглээг судалж байхдаа фракталуудыг гаргаж ирэв. Гэсэн хэдий ч энэ нь хаа сайгүй тийм ч сайн байгаагүй. 20-р зууны хоёрдугаар хагас нь хэрэглээний болон кибернетик шинжлэх ухааны ерөнхий чиг хандлагын дор өнгөрч, энэ нь цэвэр математикийн хямралыг илтгэж, хүн бүр бүтээхийг хүсч байсан ч бодохыг хүсээгүй, гуманистууд сэтгүүл зүйгээ математикийн салбарыг эзэлжээ. Жишээ нь: Америкийн Мостеллерийн бичсэн “Шийдвэртэй тавин зугаатай магадлалын асуудал” ном, даалгавар №11:

Зохиогчийн энэ асуудлыг шийдэх шийдэл нь зүгээр л нийтлэг ойлголтын ялагдал юм:

Зөрчилтэй ГУРВАН хариулт өгсөн 25-р асуудалд ч мөн адил.

Гэхдээ эргээд орцгооё тогтвортой хуваарилалт. Өгүүллийн үлдсэн хэсэгт би тэдэнтэй ажиллахад нэмэлт бэрхшээл гарах ёсгүй гэдгийг харуулахыг хичээх болно. Тухайлбал, тоон болон байдаг статистикийн аргууд, параметрүүдийг тооцоолох, түгээлтийн функцийг тооцоолох, тэдгээрийг загварчлах, өөрөөр хэлбэл бусад түгээлтийн нэгэн адил ажиллах боломжийг олгодог.

Тогтвортой санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн загварчлал.Бүх зүйлийг харьцуулах замаар сурдаг тул би эхлээд энгийн утгыг бий болгох хамгийн тохиромжтой аргыг (Box-Muller арга) эргэн саная: хэрэв үндсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (тэгш тархсан) байвал.