Арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох вэ. Арифметик прогресс

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.

Гэсэн хэдий ч \(d\) нь сөрөг тоо байж болно. Жишээ нь, арифметик прогрессоор \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дууддаг гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд, дээр дурдсан мэдээлэл нь бараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад) шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Жишээ (OGE). Арифметик прогресснөхцөлөөр өгөгдсөн \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогресс өгөгдсөн дараах нөхцөлүүд: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тооны гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог нэмснээр олж авдаг. явцын ялгаа).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгойгоор" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид дөрөв \(385\) удаа нэмэх шаардлагатай юу? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Та тоолохоос залхах болно ...

Тиймээс, ийм тохиолдолд тэд асуудлыг "толгойгоор нь" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба \(n\) эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон явцын зөрүүг мэдэхийн тулд гурван зуу, сая дахь элементийг ч хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) - сүүлчийн нийлбэр гишүүн;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) – эхний элементүүдийн шаардлагатай \(n\) нийлбэр;
\(a_1\) – эхний нийлбэр гишүүн;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) – нийт элементийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо чамд бүх зүйл байна шаардлагатай мэдээлэлбараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элемент хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Үзэл баримтлал тооны дараалалнатурал тоо бүрийн заримтай тохирч байгааг илтгэнэ бодит үнэ цэнэ. Ийм цуврал тоо нь дурын эсвэл байж болно тодорхой шинж чанарууд- дэвшил. IN сүүлчийн тохиолдолдарааллын дараагийн элемент (гишүүн) бүрийг өмнөхийг ашиглан тооцоолж болно.

Арифметик прогресс - дараалал тоон утгууд, түүний хөрш нэр томъёо нь бие биенээсээ ижил тоогоор ялгаатай ( ижил төстэй өмч 2-оос эхлэн цувралын бүх элементүүд). Энэ тоо– өмнөх болон дараагийн гишүүний хоорондын зөрүү тогтмол байх ба үүнийг прогрессийн зөрүү гэнэ.

Прогрессийн ялгаа: тодорхойлолт

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j нь N натурал тооны олонлогт хамаарах j утгуудаас бүрдэх дарааллыг авч үзье. Арифметик Прогресс нь түүний тодорхойлолтын дагуу a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – гэсэн дараалал юм. a(j-1) = d. d утга нь энэ прогрессийн хүссэн зөрүү юм.

d = a(j) – a(j-1).

Онцлох:

• Өсөн нэмэгдэж буй прогресс, энэ тохиолдолд d > 0. Жишээ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Прогресс буурах, дараа нь d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Ялгааны прогресс ба түүний дурын элементүүд

Хэрэв прогрессийн 2 дурын гишүүн (i-р, k-р) мэдэгдэж байвал өгөгдсөн дарааллын зөрүүг хамаарал дээр үндэслэн тодорхойлж болно.

a(i) = a(k) + (i – k)*d, энэ нь d = (a(i) – a(k))/(i-k) гэсэн утгатай.

Прогрессийн ялгаа ба түүний эхний нэр томъёо

Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн дарааллын элементийн дугаар мэдэгдэж байгаа тохиолдолд үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлоход тусална.

Прогрессийн зөрүү ба түүний нийлбэр

Прогрессийн нийлбэр нь түүний нөхцлийн нийлбэр юм. Эхний j элементийн нийт утгыг тооцоолохын тулд тохирох томъёог ашиглана уу.

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, гэхдээ хойш a(j) = a(1) + d(j – 1), дараа нь S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Арифметик прогресс гэдэг нь тоо тус бүр өмнөхөөсөө ижил хэмжээгээр их (эсвэл бага) тоонуудын цуваа юм.

Энэ сэдэв нь ихэвчлэн төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг. Үсгийн индексүүд n-р улиралпрогресс, прогрессийн ялгаа - энэ бүхэн ямар нэгэн байдлаар будлиантай, тийм ээ... Арифметик прогрессийн утгыг олж мэдье, тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна.)

Арифметик прогрессийн тухай ойлголт.

Арифметик прогресс бол маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой ойлголт юм. Танд эргэлзээ байна уу? дэмий л.) Өөрөө хараарай.

Би дуусаагүй цуврал тоо бичнэ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Та энэ цувралыг сунгаж чадах уу? Тавын дараа ямар тоо гарах вэ? Хүн бүр... өө..., товчхондоо 6, 7, 8, 9 гэх мэт тоонууд дараа нь ирнэ гэдгийг бүгд ойлгох болно.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Би танд дуусаагүй цуврал тоонуудыг өгч байна:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Та загварыг барьж, цувралыг сунгаж, нэрлэх боломжтой болно долоо дахьэгнээний дугаар?

Хэрэв та энэ тоо 20 гэдгийг ойлгосон бол баяр хүргэе! Та зөвхөн мэдэрсэнгүй гол цэгүүдарифметик прогресс,гэхдээ тэдгээрийг бизнест амжилттай ашигласан! Хэрэв та үүнийг ойлгоогүй бол үргэлжлүүлэн уншина уу.

Одоо мэдрэмжээс үндсэн санааг математикт хөрвүүлцгээе.)

Эхний гол цэг.

Арифметик прогресс нь тоонуудын цувааг хэлнэ.Энэ нь эхэндээ төөрөгдөлд ордог. Бид тэгшитгэлийг шийдэж, график зурж, энэ бүхэнд дассан ... Гэхдээ энд бид цувралыг сунгаж, цувралын дугаарыг олоорой ...

Зүгээр дээ. Прогресс бол математикийн шинэ салбартай анхны танилцах явдал юм. Хэсгийг "Цуврал" гэж нэрлэдэг бөгөөд тусгайлан тоо, илэрхийллийн цувралаар ажилладаг. Үүнд дас.)

Хоёр дахь гол цэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дурын тоо өмнөхөөсөө өөр байна ижил хэмжээгээр.

Эхний жишээнд энэ ялгаа нь нэг юм. Ямар ч тоог авсан өмнөхөөсөө нэгээр илүү байна. Хоёр дахь нь - гурав. Аливаа тоо өмнөх тооноос гурав илүү байна. Чухамдаа яг энэ мөч нь бидэнд загварыг ойлгож, дараагийн тоог тооцоолох боломжийг олгодог.

Гурав дахь гол цэг.

Энэ мөч гайхалтай биш, тиймээ ... Гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Энд байна: тус бүр дэвшлийн тообайрандаа зогсож байна.Эхний тоо байдаг, долоо дахь нь байдаг, дөчин тав дахь нь байдаг гэх мэт. Хэрэв та тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар холивол загвар алга болно. Арифметик прогресс мөн алга болно. Үлдсэн зүйл нь зөвхөн цуваа тоо юм.

Энэ бол бүх зүйл.

Мэдээжийн хэрэг, in шинэ сэдэвшинэ нэр томъёо, нэр томъёо гарч ирэв. Та тэднийг мэдэх хэрэгтэй. Үгүй бол та даалгаврыг ойлгохгүй. Жишээлбэл, та дараахь зүйлийг шийдэх хэрэгтэй болно.

Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Урам зориг өгч байна уу?) Захидал, зарим индекс ... Мөн даалгавар нь илүү хялбар байж болохгүй. Та зүгээр л нэр томъёо, тэмдэглэгээний утгыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо бид энэ асуудлыг эзэмшиж, даалгавар руугаа буцах болно.

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Арифметик прогрессЭнэ нь тоо бүр өмнөхөөсөө ялгаатай тоонуудын цуваа юм ижил хэмжээгээр.

Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг . Энэ ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийн ялгаань ямар нэгэн прогрессийн тоо байх хэмжээ юм илүүөмнөх нэг.

Нэг чухал цэг. Үгэнд анхаарлаа хандуулна уу "илүү".Математикийн хувьд энэ нь прогрессийн тоо бүр байна гэсэн үг юм нэмэх замаарөмнөх тооноос арифметик прогрессийн зөрүү.

Тооцоолохын тулд хэлье хоёрдугаартцувралын дугаар, та хэрэгтэй эхлээдтоо нэмэхэнэ нь арифметик прогрессийн ялгаа юм. Тооцооллын хувьд тав дахь- ялгаа зайлшгүй шаардлагатай нэмэхруу дөрөв дэх,сайн гэх мэт.

Арифметик прогрессийн ялгааБайж магадгүй эерэг,дараа нь цувралын тоо бүр бодит болж хувирна өмнөхөөсөө илүү.Энэ дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.Жишээ нь:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Энд тоо бүрийг олж авна нэмэх замаарэерэг тоо, өмнөх нэг рүү +5.

Ялгаа нь байж болно сөрөг,Дараа нь цувралын тоо бүр байх болно өмнөхөөсөө бага.Энэ дэвшил гэж нэрлэгддэг (та үүнд итгэхгүй байх болно!) буурч байна.

Жишээ нь:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Эндээс тоо бүрийг бас авдаг нэмэх замаарөмнөх, гэхдээ аль хэдийн сөрөг тоо, -5.

Дашрамд хэлэхэд, дэвшилттэй ажиллахдаа түүний мөн чанарыг нэн даруй тодорхойлох нь маш ашигтай байдаг - энэ нь нэмэгдэж байгаа эсвэл буурч байгаа эсэх. Энэ нь шийдвэр гаргах, алдаагаа олж илрүүлэх, хэтэрхий оройтохоос өмнө засахад маш их тусалдаг.

Арифметик прогрессийн ялгааихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг г.

Яаж олох вэ г? Маш энгийн. Цувралын аль ч тооноос хасах шаардлагатай өмнөхтоо. Хасах. Дашрамд хэлэхэд, хасах үр дүнг "ялгаа" гэж нэрлэдэг.)

Жишээлбэл, тодорхойлъё. гАрифметик прогрессийг нэмэгдүүлэхийн тулд:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Бид цувралаас хүссэн тоогоо авдаг, жишээ нь 11. Түүнээс хасдаг өмнөх дугаартэдгээр. 8:

Энэ бол зөв хариулт юм. Энэхүү арифметик прогрессийн хувьд ялгаа нь гурав байна.

Та авч болно аливаа дэвшлийн тоо,учир нь тодорхой дэвшлийн хувьд d-үргэлж ижил.Ядаж хаа нэгтээ эгнээний эхэнд, ядаж дунд нь, ядаж хаа нэгтээ. Та зөвхөн эхний тоог авч болохгүй. Зүгээр л эхний тоо учраас өмнөх байхгүй.)

Дашрамд хэлэхэд үүнийг мэдэж байгаа d=3, энэ прогрессийн долоо дахь тоог олох нь маш энгийн. Тав дахь тоо дээр 3-ыг нэмье - бид зургаа дахь тоог авна, энэ нь 17 болно. Зургаа дахь тоо дээр гурвыг нэмье, бид долоо дахь тоо - хориныг авна.

Тодорхойлъё гбуурах арифметик прогрессийн хувьд:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Шинж тэмдгүүдээс үл хамааран тодорхойлохыг танд сануулж байна гямар ч дугаараас хэрэгтэй өмнөхийг нь ав.Дурын прогрессийн тоог сонгоно уу, жишээ нь -7. Түүний өмнөх тоо -2. Дараа нь:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Арифметик прогрессийн ялгаа нь ямар ч тоо байж болно: бүхэл тоо, бутархай, иррационал, дурын тоо.

Бусад нэр томъёо, тэмдэглэгээ.

Цуврал дахь дугаар бүрийг дууддаг арифметик прогрессийн гишүүн.

Прогрессийн гишүүн бүр өөрийн гэсэн дугаартай.Тоонууд нь ямар ч заль мэхгүйгээр хатуу дарааллаар байна. Эхний, хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Жишээлбэл, 2, 5, 8, 11, 14, ... хоёр нь эхний гишүүн, тав нь хоёрдугаарт, арван нэг нь дөрөв дэх, за, та ойлгож байна ...) Тодорхой ойлгоно уу - тоонууд өөрсдөөтуйлын юу ч байж болно, бүхэл, бутархай, сөрөг, юу ч байж болно, гэхдээ тоонуудын дугаарлалт- хатуу дарааллаар!

Прогрессийг хэрхэн бичих вэ ерөнхий үзэл? Асуулт байхгүй! Цувралын тоо бүр үсэг хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Арифметик прогрессийг илэрхийлэхийн тулд үсгийг ихэвчлэн ашигладаг а. Гишүүний дугаарыг баруун доод талд байгаа индексээр заана. Бид нэр томъёог таслалаар (эсвэл цэг таслалаар) дараах байдлаар бичдэг.

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- энэ бол эхний тоо, a 3- гурав дахь гэх мэт. Гоёмсог зүйл байхгүй. Энэ цувралыг дараах байдлаар товчхон бичиж болно. (а н).

Хөгжил дэвшил гардаг хязгаарлагдмал ба хязгааргүй.

Эцсийндэвшилттэй байна хязгаарлагдмал тоо хэмжээгишүүд. Тав, гучин найм, юу ч байсан. Гэхдээ энэ бол хязгаартай тоо.

Хязгааргүйдэвшил - байна хязгааргүй тоогишүүд, таны таамаглаж байгаачлан.)

Бичнэ үү хязгаарлагдмал прогрессТа ийм цувралыг, бүх нэр томъёо, төгсгөлд нь цэгээр дамжуулж болно:

1, 2, 3, 4, 5.

Эсвэл ийм олон гишүүн байвал:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

IN богино тэмдэглэлта гишүүдийн тоог нэмж оруулах шаардлагатай болно. Жишээлбэл (хорин гишүүний хувьд) дараах байдалтай байна.

(a n), n = 20

Хязгааргүй прогрессийг энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил эгнээний төгсгөлд байгаа эллипсээр таньж болно.

Одоо та даалгавруудыг шийдэж чадна. Даалгаврууд нь энгийн бөгөөд зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход зориулагдсан.

Арифметик прогрессийн даалгаврын жишээ.

Дээр өгөгдсөн даалгаврыг нарийвчлан авч үзье.

1. Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Бид даалгаврыг шилжүүлдэг ойлгомжтой хэл. Хязгааргүй арифметик прогресс өгөгдсөн. Энэ дэвшлийн хоёр дахь тоо мэдэгдэж байна: a 2 = 5.Явцын ялгаа нь мэдэгдэж байна: d = -2.5.Бид энэ дэвшлийн эхний, гурав, дөрөв, тав, зургаа дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Тодорхой болгохын тулд би асуудлын нөхцлийн дагуу цуврал бичих болно. Эхний зургаан нэр томъёо, хоёр дахь хугацаа нь тав байна:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + г

Илэрхийлэлд орлуулах a 2 = 5Тэгээд d = -2.5. Хасах талаар бүү мартаарай!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Гурав дахь нэр томъёо нь хоёр дахь хугацаанаас бага болсон. Бүх зүйл логиктой. Хэрэв энэ тоо өмнөхөөсөө их байвал сөрөгутга, энэ нь тоо нь өмнөхөөсөө бага байх болно гэсэн үг юм. Ахиц дэвшил буурч байна. За, үүнийг анхаарч үзье.) Бид цувралынхаа дөрөв дэх гишүүнийг тоолно:

a 4 = a 3 + г

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = a 4 + г

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = а 5 + г

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ингээд гурав, зургаа хүртэлх хугацааг тооцсон. Үр дүн нь дараах цуврал юм.

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Эхний нэр томъёог олоход л үлдлээ a 1 By алдартай хоёрдугаарт. Энэ нь нөгөө чиглэлд зүүн тийшээ алхам юм.) Тэгэхээр арифметик прогрессийн зөрүү г-д нэмж болохгүй a 2, А авч явах:

a 1 = a 2 - г

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ингээд л болоо. Даалгаврын хариулт:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Энэ даалгаврыг бид шийдэж чадсан гэдгийг энд тэмдэглэхийг хүсч байна давтагдахарга зам. Энэ аймшигтай үгзүгээр л явцын гишүүнийг хайж байна гэсэн үг өмнөх (зэргэлдээх) дугаарын дагуу.Доор бид ахиц дэвшилтэй ажиллах бусад аргуудыг авч үзэх болно.

Энэхүү энгийн даалгавраас нэг чухал дүгнэлт хийж болно.

Санаж байна уу:

Хэрэв бид ядаж нэг гишүүн ба арифметик прогрессийн зөрүүг мэддэг бол энэ прогрессийн аль ч гишүүнийг олж чадна.

Чи санаж байна уу? Энэхүү энгийн дүгнэлт нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно сургуулийн курсэнэ сэдвээр. Бүх даалгавар эргэн тойронд эргэлддэг гурван үндсэнпараметрүүд: арифметик прогрессийн гишүүн, прогрессийн ялгавар, прогрессийн гишүүний тоо.Бүгд.

Мэдээжийн хэрэг, өмнөх бүх алгебрыг хүчингүй болгохгүй.) Тэгш бус байдал, тэгшитгэл болон бусад зүйлсийг прогрессид хавсаргасан. Гэхдээ явцынх нь дагуу- бүх зүйл гурван параметрийн эргэн тойронд эргэлддэг.

Жишээлбэл, энэ сэдвээр алдартай зарим даалгавруудыг авч үзье.

2. n=5, d = 0.4, a 1 = 3.6 бол төгсгөлтэй арифметик прогрессийг цуваа хэлбэрээр бич.

Энд бүх зүйл энгийн. Бүх зүйлийг аль хэдийн өгсөн. Та арифметик прогрессийн гишүүдийг хэрхэн тоолж, тоолж, бичихийг санаж байх хэрэгтэй. Даалгаврын нөхцөлд "эцсийн" ба "" гэсэн үгсийг алдахгүй байхыг зөвлөж байна. n=5". Нүүрээ бүрэн хөхрөх хүртэл тоолохгүйн тулд.) Энэ дэвшилд ердөө 5 (таван) гишүүн байна:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

а 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Хариултыг бичихэд л үлдлээ.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Өөр нэг даалгавар:

3. 7 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойл. a 1 = 4.1; d = 1.2.

Хмм... Хэн мэдэх вэ? Ямар нэг зүйлийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хэрхэн-хэрхэн... Прогрессийг цуврал хэлбэрээр бичээд тэнд долоо байх уу үгүй ​​юу гэдгийг хараарай! Бид тоолно:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Одоо бид долоотой байгаа нь тодорхой харагдаж байна хальтирсан 6.5-аас 7.7 хооронд! Долоо нь бидний цуврал тоонд ороогүй тул долоо нь өгөгдсөн прогрессийн гишүүн болохгүй.

Хариулт: үгүй.

Энд үндэслэсэн асуудал байна бодит сонголтТЕГ:

4. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15; X; 9; 6; ...

Энд төгсгөлгүй, эхлэлгүй бичсэн цуврал байна. Гишүүдийн дугаар ч ялгаагүй г. Зүгээр дээ. Асуудлыг шийдэхийн тулд арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход хангалттай. Юу боломжтойг харцгаая мэдэхэнэ цувралаас? Гурван үндсэн үзүүлэлт юу вэ?

Гишүүдийн дугаар? Энд нэг ч тоо байхгүй.

Гэхдээ гурван тоо байдаг ба - анхаарлаа хандуулаарай! - үг "тогтвортой"нөхцөлд. Энэ нь тоонууд нь цоорхойгүй, хатуу дараалалтай байна гэсэн үг юм. Энэ эгнээнд хоёр байна уу? хөрш мэдэгдэж байгаа тоонууд? Тийм ээ, надад байна! Эдгээр нь 9 ба 6. Тиймээс бид арифметик прогрессийн зөрүүг тооцоолж болно! Зургаагаас хас өмнөхтоо, өөрөөр хэлбэл. ес:

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. X-ийн өмнөх тоо хэд байх вэ? Арван тав. Энэ нь X-г хялбархан олох боломжтой гэсэн үг юм энгийн нэмэлт. Арифметик прогрессийн зөрүүг 15 дээр нэмнэ.

Ингээд л болоо. Хариулт: x=12

Дараах асуудлуудыг бид өөрсдөө шийддэг. Анхаар: Эдгээр асуудлууд нь томьёо дээр үндэслээгүй болно. Зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгохын тулд.) Бид зүгээр л тоо, үсгийн цуваа бичээд, харж, тооцоолдог.

5. a 5 = -3 бол арифметик прогрессийн эхний эерэг гишүүнийг ол; d = 1.1.

6. 5.5 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн гэдгийг мэддэг бөгөөд a 1 = 1.6; d = 1.3. Энэ гишүүний n тоог тодорхойл.

7. Арифметик прогрессод a 2 = 4 гэдгийг мэддэг; a 5 = 15.1. 3-ыг ол.

8. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Х үсгээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

9. Галт тэрэг буудлаас хөдөлж, хурдыг минутанд 30 метрээр жигд нэмэгдүүлэв. Таван минутын дараа галт тэрэгний хурд ямар байх вэ? Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

10. Арифметик прогрессод a 2 = 5 гэдгийг мэддэг; a 6 = -5. 1-ийг олоорой.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Бүх зүйл бүтсэн үү? Гайхалтай! Та дараах хичээлүүдэд арифметик прогрессийг илүү өндөр түвшинд эзэмших боломжтой.

Бүх зүйл болсонгүй гэж үү? Асуудалгүй. Тусгай 555-р хэсэгт эдгээр бүх асуудлыг хэсэг хэсгээр нь ангилсан болно.) Мэдээжийн хэрэг, ийм даалгаврын шийдлийг нэн даруй тод, ойлгомжтой байдлаар онцолсон энгийн практик техникийг тайлбарласан болно!

Дашрамд хэлэхэд, галт тэрэгний тааварт хүмүүс ихэвчлэн бүдэрдэг хоёр асуудал байдаг. Нэг нь зөвхөн дэвшлийн хувьд, хоёр дахь нь математик, физикийн аливаа асуудлын хувьд ерөнхий юм. Энэ бол хэмжээсүүдийг нэгээс нөгөө рүү орчуулах явдал юм. Эдгээр асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг харуулж байна.

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн үндсэн утга ба түүний үндсэн параметрүүдийг авч үзсэн. Энэ нь энэ сэдвээр бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Нэмэх гтоонууд руу, цуврал бичвэл бүх зүйл шийдэгдэх болно.

Хурууны шийдэл нь энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил маш богино эгнээний хэсгүүдэд сайн ажилладаг. Хэрэв цуврал нь илүү урт байвал тооцоолол илүү төвөгтэй болно. Жишээлбэл, хэрэв та асуултын 9-р асуудалд орлуулна уу "таван минут"дээр "гучин таван минут"асуудал улам дордох болно.)

Мөн мөн чанартаа энгийн боловч тооцооллын хувьд утгагүй ажлууд байдаг, жишээлбэл:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Тэгээд яахав, бид 1/6-г олон, олон удаа нэмэх гэж байна уу?! Та өөрийгөө алж чадна!?

Та чадна.) Хэрэв та мэдэхгүй бол энгийн томъёо, энэ нь танд ийм ажлуудыг нэг минутын дотор шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энэ томъёо нь дараагийн хичээл дээр байх болно. Тэгээд энэ асуудал тэнд шийдэгддэг. Нэг минутын дотор.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, тийм: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд цуврал хоорондын ялгаа байнгын тооаль хэдийн тавтай тэнцэж байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ямар ч үндэс байхгүй. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр ердөө $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Тэгээд нэгэн зэрэг хос чухал сэтгэгдэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсээр ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн байна төгсгөлгүй дэвшил. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За яахав: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшил нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна. ижил тоо: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар бүгдээрээ гурван тохиолдолялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага эсвэл бага хэмжээгээр олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх тоог) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, шийдлийн номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Ингээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-ийг орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулах замаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Ингээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, түүний эхний гишүүн сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдахаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тэгэхээр, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Үүнийг олохыг хичээцгээе: хэзээ болтол (жишээ нь натурал тоо$n$) нэр томъёоны сөрөг тал хадгалагдана:

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөр нь зарим тайлбарыг шаарддаг. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байдаг (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний ба зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид аналогиар үргэлжлүүлнэ өмнөх даалгавар. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл энэ тэгш бус байдлын тухай- 56 дугаар.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгавар дээр бүх зүйл бүтсэн хатуу тэгш бус байдал, тэгэхээр $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөх арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр яах вэ? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тэй тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна: бид $((a)_(n))$-аас зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Хараад үзээрэй:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Учир нь заасан тоонуудПрогрессийн гишүүд бол тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: төв элемент$x+1$-ийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд нь арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө шийдэж байна хамгийн сүүлийн үеийн даалгавар, бид өөр нэгэнтэй таарлаа сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо байвал хоёр дахь нь дунд байна эхлээд арифметикэцэст нь эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь бидэнд шууд утгаараа "дизайн" хийх боломжийг олгоно. шаардлагатай дэвшил, асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

-руу буцаж орцгооё тооны тэнхлэг. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд магадгүй. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх прогрессийн хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс алхам алхаж эхлэх юм бол. эсрэг талууд(бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээрээ холдох), дараа нь Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшинбидний дээр дурдсан бэрхшээлээс илүү хүндрэлүүд. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би үүнийг гаргаж авсан нийтлэг үржүүлэгчХоёр дахь хаалтаас 11. Тиймээс шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: хамгийн бага утгаэнэ парабола абсциссатай орой дээрээ $((d)_(0))$-г авдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийг ашиглан тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо−66 ба −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь анхны дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний болон таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байна. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол одоогоорБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байгаа бол 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Бүр илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ үүнийг өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Иймд бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарах бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42 дугаарын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байв: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус хамт олон 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэжээ. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном боосон бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүх зүйл адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн чухал, маш чухал зүйлийг судлах дараагийн хичээл рүү аюулгүй шилжиж болно. ашигтай үр дагавартүүнээс.