Poglejmo konkreten primer.
Hitrost razpada radija je sorazmerna z razpoložljivo količino R. Poiščite zakon razpada radija, če je znano, da bo po 1600 letih ostala polovica prvotne količine. Kolikšen odstotek radija bo razpadel po 100 letih?
rešitev. Pustiti R- količina radija naenkrat t, A R 0 je njegova začetna količina. Potem je stopnja razpada radija enaka in je negativna vrednost, Ker R se sčasoma zmanjša. Glede na pogoje problema imamo: , kjer k>0 je sorazmernostni koeficient, ki ga je treba določiti. Integrirajmo nastalo enačbo:
Vse kar ostane je najti k in C. Za določitev poljubne konstante Z izkoristimo začetno stanje: R=R 0 in začetni trenutekčas t=0. Potem R 0 =Z. Torej, zakon razpada radija ima obliko
Za iskanje k uporabimo naslednji pogoj: pri t=1600. Od tod
Tako končno dobimo
Pri t=100 imamo
Zato je po 100 letih razpadlo 4,2 % prvotne zaloge radija.
Reši probleme.
6.26. Telo se v 10 minutah ohladi s 100 na 60° Z. Temperatura okolja je 20° Z. Glede na to, da je hitrost ohlajanja telesa sorazmerna temperaturni razliki med telesom in zrakom, ki ga obdaja, določite, koliko časa bo trajalo, da se telo ohladi na 30°. Z. Opomba. Pustiti T- telesna temperatura naenkrat t. Potem diferencialni zakon hlajenje telesa izgleda
.
6.27. Motorni čoln v mirni vodi se giblje s hitrostjo 1,5 m/s. 4 s po izklopu motorja se je njegova hitrost zmanjšala na 1 m/s. Ob predpostavki, da je vodni upor sorazmeren s hitrostjo čolna, poiščite njegovo hitrost 50 sekund po zaustavitvi motorja. Opomba. Pustiti V- hitrost čolna po izklopu motorja v trenutku t. Nato odvisnost med V in t izgleda kot 
, kjer je m masa čolna.
6.28. Absorpcija svetlobni tok tanek sloj voda je sorazmerna z debelino plasti in pretokom, ki pada na njeno površino. Pri prehodu skozi plast debeline 2 m se absorbira 1/3 začetnega svetlobnega toka. Ugotovite, koliko odstotkov začetnega svetlobnega toka bo doseglo globino 4 m. Opomba. Pustiti Q- svetlobni tok, ki pada na površino v globini h. Potem dQ = - kQdh.
6.29. Hitrost telesa V vržen dol iz začetna hitrost V 0, določena z enakostjo V=V 0 +GT. Poiščite enačbo gibanja tega telesa.
6.30. Hitrost razmnoževanja nekaterih bakterij je sorazmerna z začetna količina bakterije. Poiščite odvisnost spremembe števila bakterij od časa.
6.31. Poiščite zakon rasti celic skozi čas, če je hitrost rasti prstnih celic sorazmerna z dolžino celice l V ta trenutek. Opomba. Pustiti 
, Kje a,b sta konstanti, ki označuje procese sinteze in razgradnje.
6.32. Po katerem zakonu poteka uničenje celic v zvočnem polju, če je hitrost njihovega uničenja sorazmerna z začetnim številom n.
6.33. Hitrost krajšanja mišic opisuje enačba 
, Kje X 0 - popolno skrajšanje, X- skrajšanje v danem trenutku. Poiščite zakon krčenja mišic, če t=0 je bila količina krajšanja enaka nič.
Konec dela -
Ta tema spada v razdelek:
V višji matematiki
višje poklicno izobraževanje.. Država Perm medicinska akademija.. poimenovan po akademiku E. Wagnerju..
Če potrebujete dodatni material na to temo, ali pa niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo uporabo iskanja v naši bazi del:
Kaj bomo naredili s prejetim materialom:
Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:
| Tweet |
Vse teme v tem razdelku:
Diferencialne enačbe
§1.Osnovni pojmi. Enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo in njene odvode ali diferenciale različnih vrst, se imenuje diferencial
Homogene diferencialne enačbe
Enačbo oblike imenujemo homogena enačba. Homogeno enačbo reduciramo na enačbo z odsekom
Verjetnost naključnega dogodka je kvantitativna ocena objektivne možnosti nastopa določenega dogodka.
V matematični statistiki verjetnost naključni dogodek poimenuj mejo, h kateri teži relativna frekvenca dogodkov
Naključne spremenljivke
Običajno za opis distribucije naključna spremenljivka Morda bo dovolj, če jih nekaj opredelimo numerične značilnosti(parametri). Najpogostejši so: pričakovana vrednost(povprečno
Ocena populacijskih parametrov iz njenega vzorca
Splošna populacija Naključna spremenljivka je niz vseh vrednosti dane spremenljivke, ki jo je treba preučiti. Vendar pa v realne razmere eksperimentirati je nemogoče preučiti vse
Intervalna ocena. Intervalna ocena
z majhnim vzorcem. Distribucija študentov Točkovna ocena, zlasti pri majhnem vzorcu, se lahko bistveno razlikujejo od resničnih parametrov splošne populacije
Preizkušanje hipotez. Merila pomembnosti
Zelo pogosto se raziskovalec sooči z nalogo ugotoviti, ali so razlike med aritmetičnima sredinama dveh vzorcev
Narava razmerja med znaki
Vsa raznolikost povezav med posamezna znamenja, lahko lastnosti pojavov ali parametrov delujočega objekta razdelimo v dve glavni skupini: funkcionalne in statistične. zadaj
Uporaba parnega korelacijskega koeficienta
Recimo, da se za eno vrsto objekta izvajajo neodvisne meritve različnih parametrov. Iz teh podatkov je mogoče pridobiti kvalitativno nove informacije– o razmerju med temi parametri. Na primer
Elementi regresijske analize
Ko je razpoložljivost vzpostavljena korelacijsko povezavo med dvema proučevanima značilnostma (pojavoma) lahko poskušamo vzpostaviti vzorec odvisnosti ene lastnosti
Statistična obdelava podatkov meritev višine
Delo statistično obdeluje podatke iz merjenja rasti določene skupine prebivalstva. Treba je zgraditi histogram, izračunati aritmetično sredino
Pravila zaokroževanja
Čeprav se pravila za zaokroževanje štejejo za znana, se je treba spomniti, da: 1. Če je prva števka, ki jo je treba zavreči, večja od pet, se zadnja ohranjena števka poveča za eno, če zavrže
Izračuni s približnimi številkami
Natančnost rezultata matematične operacije s približnimi številkami je določeno s številom pomembnih številk v teh številkah. Pomembne številkeštevilo je število zanesljivo ugotovljenih števk
Medicinske univerze
Avtorji in sestavljalci: Kirko G.E., Kustova Y.R., Afanasyev A.L., Koryakina A.G., Smirnova Z.A., Zernina N.V., Sazonova N.K., Cheremnykh M.R. Urednik N
Ločljive enačbe
Pojem diferencialne enačbe
Enačba, ki vsebuje neodvisno spremenljivko x, želeno funkcijo y=f (x), kot tudi njene odvode y", y" itd., se imenuje navadni diferencial enačba. Splošni obrazec diferencialna enačba:
F (x, y, y", y"",…, y (n)) = 0,(29)
Vrstni red diferencialne enačbe se imenuje vrstni red najvišjega odvoda, vključenega v to enačbo.
na primer y"+xy-5=0– enačba prvega reda, y""+6y"+x=0– enačba drugega reda.
Splošna oblika enačbe prvega reda:
F(x, y, y") = 0 , (30)
Splošna rešitev diferencialna enačba je funkcija, ki izpolnjuje dva pogoja: prvič, ta funkcija mora zadostiti dani diferencialni enačbi, tj. ko se nadomesti v enačbo, jo mora spremeniti v identiteto; drugič, količina poljubne konstante v tej funkciji morajo biti enaki v redu te enačbe.
Splošna rešitev diferencialne enačbe n- vrstni red ima obliko:
y = f (x, C 1, C 2, ...., C n) , (31)
in splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda
y = f (x, C), (32)
Od splošna rešitev z izračunom integracijskih konstant na podlagi danih dodatnih pogojev lahko najdemo zasebne rešitve te enačbe.
Diferencialne enačbe opisujejo različne procese v fiziki, kemiji, biologiji, farmaciji.
Iz enačb prvega reda upoštevajte enačbe z ločljive spremenljivke.
Ločljiva enačba izgleda kot y"= (x,y), in njegov desni del lahko predstavimo kot produkt dveh posamezne funkcije: . Potem
Pretvorimo to enačbo tako, da spremenljivke delimo na desno in levo:
Splošni pogled na enačbo ločene spremenljivke
f (y)dy= (x)dx .
Enačba je rešena neposredna integracija: levo po spremenljivki pri in na desni po spremenljivki X Z:
oz F (y) = Ф (х) + С.
Če rešimo to enačbo, ugotovimo:
Tako je algoritem za reševanje diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami naslednji:
a) če enačba vsebuje odvod, ga predstavi v obliki ;
b) transformirajte enačbo tako, da prenesete vse njene člene, ki vsebujejo pri , V leva stran ki vsebuje X- na desno;
c) integrirati čez splošna pravila levo stran argumenta pri in prav - z argumentom X z dodatkom integracijske konstante Z.
d) z rešitvijo nastale enačbe poiščite želeno funkcijo.
Primer 16. Poiščite splošno rešitev enačbe y"=2xy in posebno rešitev, ki ustreza stanju
y=2 pri x=0, (33)
rešitev. Predstavljajmo si izpeljanko y" v obliki razmerja diferencialov:
Ločimo spremenljivke:
Integrirajmo nastalo enačbo:
ln y=x +C.
Ker enačba vključuje lny, potem je bolj priročno izraziti konstanto v obliki logaritma:
lny=x +lnC
lny- lnС=x
ln =x
Če potenciramo to enakost, dobimo:
Zato in za splošno rešitev, ki jo imamo
y=Ce, (34)
Za iskanje določene rešitve zamenjamo začetni pogoj (33) v (34):
Tisti. С=2 in zahtevana posebna rešitev bo imela obliko
Problem hitrosti razmnoževanja bakterij.Hitrost razmnoževanja bakterij je sorazmerna z njihovim številom. V začetnem trenutku je bilo 100 bakterij, v treh urah se je njihovo število podvojilo. Ugotovite odvisnost števila bakterij od časa.
rešitev. Naj bo N število bakterij v času t. Potem glede na stanje
Kje k- sorazmernostni koeficient. Enačba (36) je ločljiva enačba in njena rešitev ima obliko:
Iz začetnega pogoja je znano, da. torej
Od dodatni pogoj. Potem
Tako za zahtevano funkcijo dobimo:
Težava je povečati količino encima.V kulturi pivskega kvasa je hitrost rasti aktivnega encima sorazmerna z njegovo začetno količino x. Začetna količina encima a se je v eni uri podvojila. Poiščite odvisnost x(t).
rešitev. Glede na pogoje problema ima diferencialna enačba procesa obliko
Kje k– sorazmernostni koeficient. Splošna rešitev enačbe (39) (enačba z ločljivimi spremenljivkami) ima obliko:
Konstanta Z iz začetnega pogoja ugotovimo:
Znano je tudi, da. Pomeni
Zato končno imamo
3. Namen dejavnosti učencev pri pouku:
Študent mora vedeti:
1. Definicije odvoda in diferenciala funkcije.
2. Fizično in geometrijski pomen izpeljanka.
3. Tabela odvodov osnovnih elementarnih funkcij.
4. Pravila razlikovanja.
5. Analitični in geometrijski pomeni diferenciala.
6. Pojma nedoločenega in določenega integrala.
7. Tabela osnovnih integralov.
8. Osnovne lastnosti nedoločenih in določenih integralov.
9. Osnovne metode integracije.
10. Definicija navadne diferencialne enačbe.
11. Pojem splošne in partikularne rešitve diferencialne enačbe.
12. Definicija diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami in algoritem za njeno reševanje.
Študent mora znati:
1.Izračunaj odvode in diferenciale funkcij.
2. Uporabite diferencial funkcije v približnih izračunih.
3.Računanje nedoločenih in določenih integralov z različnimi metodami.
4.Izračunajte povprečne vrednosti funkcij, območij ploščate figure, delo spremenljiva sila.
5. Poiščite rešitve diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami.
1. Problemi, ki vodijo do koncepta odvodne funkcije.
2. Geometrijske in fizični pomen izpeljanka.
3. Odvod kompleksne funkcije.
4. Diferencialna funkcija. Geometrični in analitični pomeni diferenciala.
5.Uporaba diferencialne funkcije pri približnih izračunih.
6.Protiodvod funkcije. Nedoločen integral. Osnovne lastnosti niso določen integral.
7.Osnovne metode integracije.
8. Problemi, ki vodijo do pojma določenega integrala.
9. Newton-Leibnizova formula. Osnovne lastnosti določenega integrala.
10. Uporaba določenega integrala: računanje ploščin ravninskih likov, računanje povprečnih vrednosti funkcij, računanje dela spremenljive sile.
11.Diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami.
1. Poiščite odvode in diferenciale funkcij:
2)y= ; 5) y=arccosx;
3) y=e 3x+1 ; 6) y= ;
2. Rešite težavo:
Določite pospešek točke v navedenih časih, če je hitrost točke, ki se giblje premočrtno, podana z enačbami:
a) V = t 2 + 2 t, t = 3 s; b) V = 4 sin , t = .
3. Izračunajte prirastek funkcije, ki ustreza spremembi argumenta iz x 1 v x 2 :
1) y = 2 x 3 - 4x; x 1 = 1; x 2 = 1,02;
2) y = 3 x 2 - 2x; x 1 = 2; x 2 = 2,001;
4. Poišči integrale z metodo razširitve:
2) 
; 4) ;
5. Poiščite integrale z metodo spreminjanja spremenljivke:
6. Poiščite integrale z metodo integracije po delih:
7. Izračunajte določene integrale z metodo spremembe spremenljivke:
8. Izračunajte določene integrale z metodo integracije po delih:
9. Izračunaj ploščine figur, omejeno s črtami:
1) y=x 2 in y= x 3.
2) in y=x.
10. Poiščite povprečne vrednosti funkcij:
1) y=cosx na segmentu.
2) na segmentu .
11. Izračunajte delo, ki ga opravi spremenljiva sila:
1) pri premikanju materialna točka po abscisni osi od lege z absciso do lege z absciso
3) glede na to: ;
4) glede na to: .
5. Seznam vprašanj za preverjanje izhodišče znanje:
1. Definiraj odvod funkcije.
2. Oblikujte osnovna pravila razlikovanja.
3. Zapišite formulo za odvod kompleksne funkcije.
4. Kakšen je fizikalni in geometrijski pomen odvoda funkcije?
5. Kaj imenujemo diferencial funkcije?
6. Kakšen je geometrijski pomen diferenciala funkcije?
7.Podajte definicijo antiderivativne funkcije.
8.Navedite glavne lastnosti nedoločen integral.
9. Zapišite formulo za integracijo po delih.
10.Daj geometrijska interpretacija določen integral.
11. Zapišite Newton-Leibnizovo formulo
12.Podajte definicijo navadne diferencialne enačbe.
13. Kakšna je razlika med partikularno in splošno rešitvijo diferencialne enačbe?
6. Seznam vprašanj za preverjanje končne ravni znanja:
1. Kakšen je fizikalni pomen odvoda drugega reda?
2. Kakšen je analitični pomen diferenciala?
3. Kako se razlika uporablja za izračun napak?
4. Katera dva glavna problema, povezana s fizikalno in geometrijsko interpretacijo odvoda, sta rešena z integracijo?
5. Kako preveriti pravilnost iskanja nedoločenega integrala?
6. Ali je možno z diferenciacijo preveriti rezultat izračuna določenega integrala?
7.Kaj je osnova za uporabo določenega integrala za izračun ploščin ravninskih likov?
9. Podajte zaporedje za rešitev diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami.
7. Kronokarta trening:
1. Organiziranje časa- 5 minut.
2. Analiza teme – 30 min.
3. Reševanje primerov in nalog - 60 min.
4. Trenutni nadzor znanja -35 min.
5. Povzetek lekcije – 5 min.
8. Seznam poučna literatura k lekciji:
1. Morozov Yu.V. Osnove višja matematika in statistiko. M., "Medicina", 2004, §§ 2.1-2.7, 2.10-2.16, 5.1-5.4, 6.1-6.7, 7.1, 7.2.
2. Pavluškov I.V. in drugi Osnove višje matematike in matematična statistika. M., "GEOTAR-Media", 2006, §§2.1, 2.2, 4.1, 4.2, 5.1-5.6, 6.1-6.3.
Metodologija za sestavo in rešitev uporabni problemi teorija navadnih diferencialnih enačb
Sestava diferencialne enačbe glede na pogoje problema (mehanske, fizikalne, kemijske ali tehnične) je sestavljena iz določanja matematičnega razmerja med spremenljivimi količinami in njihovimi prirastki.
V številnih primerih se diferencialna enačba dobi brez upoštevanja prirastkov - zaradi njihovega predhodnega upoštevanja. Na primer, ko predstavljamo hitrost z izrazom, ne vključimo prirastkov ∆s in ∆t, čeprav sta dejansko upoštevana zaradi dejstva, da
.
Pospešek na neki točki v času t izraženo z odvisnostjo:
.
Pri sestavljanju diferencialnih enačb se prirastki takoj nadomestijo z ustreznimi diferenciali. Preučevanje katerega koli procesa se zmanjša na:
1) določiti njegove posamezne trenutke;
2) ustanoviti običajno pravo njegov napredek.
Poseben moment procesa (ti elementarni proces) izrazimo z enačbo, ki povezuje spremenljivke proces s svojimi diferenciali ali odvodi - diferencialna enačba; pravo splošni napredek proces je izražen z enačbo, ki povezuje spremenljive količine procesa, vendar brez diferencialov teh količin.
Ni celovitih pravil za sestavljanje diferencialnih enačb. V večini primerov se tehnika reševanja tehničnih problemov z uporabo teorije navadnih diferencialnih enačb zmanjša na naslednje:
1. Podrobna analiza pogojev problema in izdelava risbe, ki pojasnjuje njeno bistvo.
2. Sestavljanje diferencialne enačbe za obravnavani proces.
3.Integracija sestavljene diferencialne enačbe in določitev splošne rešitve te enačbe.
4. Določitev določene rešitve problema na podlagi danih začetnih pogojev.
5. Po potrebi določitev pomožne pare
metrov (na primer koeficient sorazmernosti itd.),
v ta namen uporabi dodatne pogoje problema.
6. Izpeljava splošnega zakona obravnavanega procesa in števila
odlična definicija iskane veličine.
7. Analiza odgovora in preverjanje izhodiščnega položaja problema.
Nekatera od teh priporočil so odvisna od narave
naloge morda manjkajo.
Kot pri sestavljanju algebraične enačbe, je pri reševanju aplikativnih problemov z uporabo diferencialnih enačb veliko odvisno od spretnosti, pridobljenih z vajo. Vendar pa še vedno tukaj v večji meri zahteva iznajdljivost in globoko razumevanje bistva preučevanih procesov.
Oglejmo si postopek reševanja naslednjih težav:
Naloga 3.1.
Temperatura kruha odstranimo iz pečice 20 minut. pade s 100 0 na 60 0 (slika 3.1). Temperatura zraka je 25 0. Koliko časa po začetku ohlajanja bo temperatura kruha padla na 30 0?
rešitev:
Na podlagi Newtonovega zakona je hitrost ohlajanja telesa sorazmerna razliki v telesni temperaturi in okolju. To je neenakomeren proces. Ker se med procesom spreminja temperaturna razlika, se spreminja tudi hitrost ohlajanja telesa. Diferencialna enačba za hlajenje kruha bo:
kjer je T temperatura kruha;
t – temperatura okoliškega zraka (v našem primeru 25 0);
k – sorazmernostni koeficient;
Hitrost hlajenja kruha.
Naj bo čas ohlajanja.
Nato z ločitvijo spremenljivk dobimo:
ali za pogoje te težave:
Videti to
z integracijo dobimo:
Potenciramo obe strani zadnje enakosti, imamo:
potem končno
Na osnovi začetnega pogoja določimo poljubno konstanto C: pri min je T = 100 o.
ali C=75.
Vrednost je določena na podlagi tega dodatnega pogoja: pri min, T = 60 o.
Dobimo:
in 
.
Tako bo enačba za hlajenje kruha pod pogoji našega problema v obliki:
. (2)
Iz enačbe (2) enostavno določimo potreben čas pri temperaturi kruha T = 30 o:
oz.
Končno najdemo:
min.
Torej, po 1 uri 11 minut. Kruh ohladimo na temperaturo 30 o C.
Problem 3.2. Toplovod (premer 20 cm) je zaščiten z 10 cm debelo izolacijo; koeficient toplotne prevodnosti k=1,00017. Temperatura cevi 160o; temperatura zunanjega pokrova je 30° (slika 8). Poiščite porazdelitev temperature znotraj izolacije in količino toplote, ki jo oddaja ena linearni meter cevi.
rešitev. Če je telo v stacionarnem toplotnem stanju in je temperatura T v vsaki točki funkcija samo ene koordinate x, potem je po Fourierjevem zakonu toplotne prevodnosti količina oddane toplote na sekundo.
Vsi povezani (poimenovani) v problemi velikosti, so izraženi z argumentom x, funkcijo y in njenim odvodom: .
1. Načela sestavljanja diferencialnih enačb.
Za sestavljanje in integracijo diferencialnih enačb dajejo razne naloge fizika, biologija, kemija itd.
Na primer, pri reševanju problemov je želena krivulja predstavljena kot graf neke funkcije, na primer y=y(x)
Vse povezane (poimenovane) količine v nalogah so izražene preko argumenta x, funkcije y in njenega odvoda: 
.
Relacija, dobljena pod tem pogojem, je diferencialna enačba.
Enačba (1) je zahtevana enačba za iskanje neznane funkcije y.
Pri odločanju telesne težave postopek sestavljanja diferencialov. Enačba je razdeljena na 3 stopnje:
1) eno izmed količin izberemo kot neodvisno spremenljivko, drugo pa kot odvisno spremenljivko. Najpogosteje kot neodvisno spremenljivko izberemo čas t, kot želene funkcije pa prostorske koordinate x, y, z.
2) ugotovite, koliko se bo želena funkcija X spremenila, če neodvisna spremenljivka t prejme dovolj majhen prirastek
, to pomeni, da poskušamo oceniti razliko med vrednostmi, podanimi v problemu.
3) dobljeno neenakost delimo z in gremo na lim, ko zaradi prehoda na limito dobimo razl. Enačba, iz katere lahko najdete želeno funkcijo.
3. Izrek obstoja za rešitev Cauchyjevega diferenčnega problema prvega reda.
Pogoj (2) se imenuje začetno stanje ali Cauchyjevi pogoji .(2)
S Cauchyjevim problemom mislimo na problem iskanja rešitve enačbe (1), ki izpolnjuje podatke (2)
Geometrijsko to pomeni, da je treba iz celotne množice integralnih krivulj izbrati integralno krivuljo, ki poteka skozi .
Seveda se postavlja vprašanje, ali enačba (1) sploh ima rešitev in če obstaja, koliko jih izpolnjuje pogoj (2).
Izrek 1. (izrek obstoja edinstvenosti rešitve) – če sta funkcija f in njen parcialni odvod zvezni v domeni D, je rešitev diferencialne enačbe (1), ki izpolnjuje začetne pogoje (2), bistvena in edinstveno.
Mn.: 1973.- 560 str.
Učbenik za matematične, kemijske, biološke, geofizikalne fakultete univerz in pedagoških inštitutov. Ta vodnik za pisanje navadnih diferencialnih enačb, kot tudi najenostavnejše enačbe namenjeno širokemu krogu ljudi, ki se srečujejo s pripravo diferencialnih enačb pri izobraževalnem in industrijskem delu in praksi. Pri aplikacijah matematike v različnih vejah znanosti se pojavljajo diferencialne enačbe pomembno mesto. Uporaba osebnega računalnika je najbolj učinkovito in razširjeno sredstvo za reševanje aplikativnih problemov v naravoslovju in tehnologiji.
Oblika: pdf
Velikost: 5 MB
Oglejte si, prenesite:yandex.disk
KAZALO
Predgovor ". I 3
POGLAVJE I. OSNOVNI POJMI TEORIJE DIFERENCIALNIH ENAČB 5
§ 1. Diferencialne enačbe 5
§ 2. Klasifikacija diferencialnih enačb. 5
§ 3. Splošna družina rešitev, posebne in posebne rešitve 6
§ 4. Elementarne diferencialne enačbe 7.
§ 5. Identifikacija posameznih rešitev 8
§ 6. Konstrukcija rešitve v obliki potenčne vrste 10
§ 7. Metoda zaporednih približkov IN
§ 8. Nadaljevanje rešitev 12
POGLAVJE II. SESTAVLJANJE DIFERENCIALNIH ENAČB GLEDE NA POGOJE UPORABNIH PROBLEMOV
§ 1. Splošna načela.. tz
§ 2. Metodologija za sestavljanje diferencialnih enačb 13
§ 3. Shema za sestavljanje diferencialne enačbe 15
POGLAVJE III. TEŽAVE, KI VODIJO DO DIFERENCIALNIH ENAČB PRVEGA RESTA, REŠENE GLEDE NA ODVOD
§ 1. Privlačnost med palico in materialno točko........ ^B"
§ 2. Gibanje teles konstantna masa 18
§ 3. Gibanje teles spremenljiva masa(razen zunanje sile) ..... 26
§ 4. Napetost elastične niti.. 30
§ 5. Delo praznjenja posod 34
§ 6. Spreminjanje svetlosti svetlobe v stekleni plošči....... 35
§ 7. Ogrevanje telesa 37
§ 8. Sprememba stanja plinov v posodah 40
POGLAVJE IV. TEŽAVE, KI VODIJO DO DIFERENCIALNIH ENAČB Z LOČENIMI SPREMENLJIVKAMI
§ 1. Hlajenje teles, 43
§ 2. Ogrevanje teles. 46
§ 3. Porazdelitev temperature v telesih, 48
§ 4. Žarek enake napetosti 51
§ 5. Pritisk žita na stene skladišča. 53
§ 6. Barometrična formula in globok pritisk. 55
§ 7. Premočrtno vodoravno gibanje....."? 58
§ 8. Navpično gibanje teles 65
§ 9. Padec teles s spremenljivo maso. . ,SI
§ 10. Krivočrtno gibanje(krivulja zasledovanja) 83
§ 11. Vrtenje teles v tekočini. 86
§ 12. Zakon univerzalna gravitacija 88
§ 13. Radioaktivni razpad., 94
§ 14. Električni naboji 95
§ 15. Površina rezalnika, .. 99
§ 16. Trenje jermenskega pogona,.., 101
§ 17. Pretok tekočine iz posod 103
§ 18. Polnilne posode ... 108
§ 19. Vzpostavitev nivoja v komunikacijskih posodah .. 108
§ 20. Krivulja depresije “,.,.. ON
§ 21. Izčrpavanje raztopine...... s .. 112
§ 22. Razpustitev trdne snovi OD
§ 23. Prezračevanje proizvodni prostori. . . , . , . 119
§ 24. Plinske mešanice. . 120
§ 25. Ionizacija plinov. 121
§ 26. Kemijske reakcije 122
§ 27. Rast prebivalstva 133
§ 28. Rastni procesi v naravi in pridelavi 142
§ 29. Ekologija populacij 150
§ 30. Gostota mravelj zunaj mravljišča. . . . * , . . 157
§ 31. Rast denarnih vlog 161
POGLAVJE V. TEŽAVE, KI VODIJO DO HOMOGENIH DIFERENCIALNIH ENAČB PRVEGA REDA,
§ 1. Izogonalne trajektorije. TBZ
§ 2. Geometrijske aplikacije. 165
§ 3. Zrcalo za ostrenje vzporedni žarki. 170
§ 4. Tirnice letenja zrakoplova 171
POGLAVJE VI. TEŽAVE, KI VODIJO DO DIFERENCIALNIH ENAČB V POPOLNIH DIFERENCIALIH
§ 1. Parabolično zrcalo 180
§ 2. Koncentracija snovi v tekočini 182
POGLAVJE VII. TEŽAVE, KI VODIJO DO LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB PRVEGA REDA
§ 1. Geometrijske aplikacije
§ 2. Gibanje materialne točke 188
§ 3. Temperatura hladilnega telesa
§ 4. Ogrevanje telesa pri stacionarnem toplotnem toku
§ 5. Električna vezja
§ 6. Predlogi za racionalizacijo
§ 7. Delo srca
§ 8. Problem cigaret.
POGLAVJE VIII. TEŽAVE, KI VODIJO DO POSEBNIH DIFERENCIALNIH ENAČB PRVEGA REDA (ENAČBE BERNOULLI, RICCATI, LAGRANGE IN CLERAU)
§ 1. Bernoullijeva enačba
§ 2. Riccatijeva enačba
| 3. Lagrangeova enačba
§ 4. Clairautova enačba
POGLAVJE IX. TEŽAVE, KI VODIJO DO DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA, REŠENE GLEDE NA DRUGI ODVOD (y"=c)
§ I. Drsenje telesa pod kotom!
§ 2. Gibanje v vodoravna ravnina z uporom, ki je sorazmeren gravitaciji 220
§ 3. Izmet navzgor (brez upoštevanja trenja) 231
§ 4. Porazdelitev toplote v palici 231
§ 5. Razdalja med rešetkami železniški most. . . ... 233
POGLAVJE X. TEŽAVE, KI VODIJO DO NEPOPOLNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA C 236^
I. Enačbe, kot je y"=f(x)
§ 1. Prehodna krivulja železniški tir 237
§ 2. Premočrtno gibanje snovna točka v vodoravni ravnini 230
§ 3. Elastična linija žarkov 242
II. Enačbe, kot je "/"=/(("/)
§" 4. Geometrijske aplikacije 255
§ 5. Gibanje materialne točke pod vplivom gravitacije. 256
III. Enačbe, kot je y"=f(y")
§ 6. Določitev krivulje s polmerom krivine 257
§ 7. Horizontalno gibanje telesa ob trenju 259
§ 8. Gibanje v navpični ravnini 274
§ 9. Ravnotežje težke niti 280
§ 10. Prožna moč enakega upora 283
IV. Enačbe, kot je y"=f(x,y")
§ II. Krivulja in polmer krivine 285
V. Enačbe tipa y"-f(y, y")
§ 12. Iskanje enačbe krivulje z uporabo normale in polmera ukrivljenosti. . . 286
POGLAVJE XI. TEŽAVE, KI VODIJO DO LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S KONSTANTNIMI KOEFICENTI 288\
I. Nepopolne linearne diferencialne enačbe
§ JAZ. Harmonične vibracije 296
§ 2. Gibanje telesa brez trenja 307
§ 3. Diferenčni manometer 312
§ 4. Porazdelitev toplote v palicah 313
§ 5. Vzdolžno upogibanje ravne palice 320
§ 6. Gibanje kroglice v cevi (Amperov problem) 328
II. Linearne diferencialne enačbe
§ 7. Dušena nihanja 330
§ 8. Dušena nihanja v električni tokokrog 335
§ 9. Nihanje magnetne igle brez in z dušilcem 3
§ 10. Prisilne vibracije mehanski sistemi 350
POGLAVJE XII. TEŽAVE, KI VODIJO DO DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA Z RACIONALNIMI KOEFICIENTI 363
I. Eulerjeva enačba ^*-^
§ 1. Porazdelitev temperature v vzdolžnem robu paraboličnega preseka 303
II. Linearno homogena enačba z racionalni koeficienti
§ 2. Debelostenska cilindrična lupina pod pritiskom (Laméjev problem). . 366
III. Linearno nehomogena enačba z razmerjem in ile ter koeficienti
§ 3. Pretok tekočine v cevovodu Ya74
§ 4. Upogibanje okrogle plošče, 970
POGLAVJE XIII. NALOGE. KI VODI DO POSEBNIH LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S SPREMENLJIVimi KOEFICENTI (ENAČBE BESSEL, LEGENDRE IN MATHIEU) Г 385 ^
I. Besselova enačba
§ 1. Stabilnost palice v obliki prisekanega stožca, stisnjene z vzdolžno silo 390
§ 2. Stabilnost cilindrične palice pod lastno težo 392
§ 3. Stabilnost vrtenja gibke niti 395
§ 4. Porazdelitev temperature v obročastem rebru pravokotnega profila 398
P. Posplošena Besselova enačba
§ 5. Nihalo spremenljive dolžine 400
§ 6. Stabilnost palice spremenljivega prečnega prereza pod vplivom spremenljive porazdeljene obremenitve 402
III. Parcialne diferencialne enačbe
§ 7. Nihanje okrogle membrane 405
IV. Legendrova enačba
§ 8. Električni potencial dva enakovredna naboja 413
§ 9. Parcialna diferencialna enačba potenciala. . . 415
§ 10. Možnost privabljanja množic 417
V. Mathieujeva enačba
§ 11. Dinamična stabilnost palice pod delovanjem spremenljive zvezne sile 424
POGLAVJE XIV. TEŽAVE, KI VODIJO DO SISTEMOV LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB PRVEGA REDA (436
§ 1. Razgradnja snovi
§ 2. Krivulja relativnega zasledovanja (442
§ 3. Tlak v sistemu dveh povezanih jeklenk s plinom 445
§ 4. Napeto stanje diska pod delovanjem centrifugalnih sil. . . 447
§ 5. Pretvorba ene snovi v drugo 453
POGLAVJE XV. TEŽAVE, KI VODIJO DO NEPOPOLNIH DIFERENCIALNIH ENAČB VIŠJEGA REDA
§ 1. Odklon neprekinjenega žarka od porazdeljene obremenitve. . . TZv
POGLAVJE XVI. NALOGE. KI VODI DO LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB TRETJEGA REDA S KONSTANTNIMI KOEFICENTI (463)
§ 1. Parni stroj z regulatorjem ^4W
POGLAVJE XVII. PROBLEMI, KI VODIJO DO LINEARNIH HOMOGENIH DIFERENCIALNIH ENAČB VIŠJEGA REDA S KONSTANTNIMI KOEFICENTI
§ 1. Vibracije gredi zaradi delovanja centrifugalnih sil, ^~?72
§ 2. Nosilec (železniška tirnica) na elastičnem temelju 477
§ 3. Nihanja homogenega žarka (redukcija parcialne diferencialne enačbe na navadno). . . 482
POGLAVJE XVIII. TEŽAVE, KI VODIJO DO LINEARNIH NEHOMOGENIH DIFERENCIALNIH ENAČB ČETRTEGA REDA S KONSTANTNIMI KOEFICENTI 485
§ I. Deformacija sten cilindričnega rezervoarja 487
§ 2. Železniški prag 490
POGLAVJE XIX. NALOGE. KI VODI DO SISTEMOV DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA 495
§ 1. Gibanje materialne točke pod vplivom odbojne sile, sorazmerne z razdaljo * 497
§ 2. Izmet telesa pod kotom 500
§ 3. Spuščanje tovora z letala na dano točko 503
§ 4. Gibanje planetov 504
§ 5. Sistem dveh povezanih električna vezja 509
§ 6. Sprememba potenciala električni vod v času (redukcija sistema parcialnih diferencialnih enačb na sistem navadnih enačb) 513
§ 7. Stacionarne linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti v teoriji sistemov sodobna tehnologija in naravoslovje. . 519
PROBLEMI ZA SAMOSTOJNO REŠEVANJE 529
I. Diferencialne enačbe prvega reda.... 529
II. Diferencialne enačbe drugega reda... 545
III. Sistemi diferencialnih enačb prvega reda. . . . 555
IV. Sistemi diferencialnih enačb drugega reda. 557
PREDGOVOR
Pri aplikacijah matematike na različne industrije v znanosti zavzemajo pomembno mesto diferencialne enačbe. Uporaba IR je najbolj učinkovito in razširjeno sredstvo za reševanje aplikativnih problemov v naravoslovju in tehnologiji. Veliko realnih procesov je opisanih preprosto in v celoti z uporabo diferencialnih enačb. Zato je pozornost, ki jo SI namenja vprašanju sestavljanja diferencialnih enačb, povsem razumljiva.
Številne in raznolike aplikacije teorije navadnih diferencialnih enačb pa zahtevajo predvsem poznavanje ustreznih teoretičnih določil in zakonitosti naravoslovja, tehnike in drugih panog, ki se običajno preučujejo po diferencialnih enačbah. Zaradi tega pri reševanju diferencialnih enačb praktični problemi Prevajanju se še vedno namenja premalo pozornosti. Tisti, ki so zaključili ta tečaj, nimajo dovolj veščin za reševanje problemov, ki jih postavlja življenje in proizvodnja. Poleg tega so v učbenikih in učnih pripomočkih vprašanja o sestavljanju diferencialnih enačb običajno omejena na osnovne naloge geometrijski ali kinematični tip. Zato se je pri predstavitvi priporočljivo vrniti k sestavljanju diferencialnih enačb posebne discipline, kot tudi v procesu praktičnega ali raziskovalnega dela.
Avtorjev cilj je ustvarjanje učna pomoč, ki bi široko pokrival različne probleme naravoslovja in tehnike ter prispeval k obvladovanju sodobnih metod sestavljanja diferencialnih enačb za aplikativne probleme, ki nastajajo v procesu proizvodnje ali znanstvene dejavnosti.
Značilnost obvladovanja veščin sestavljanja diferencialnih enačb je preučevanje številnih primerov. V zvezi s tem je tukaj bistvenega pomena popolnost predstavitve.
Knjiga vsebuje 325 nalog za sestavljanje diferencialnih enačb, od tega je 194 nalog podrobno analiziranih.
Obravnavani problemi so razvrščeni glede na njihovo matematično naravo: opisani z navadnimi diferencialnimi enačbami prvega, drugega, tretjega in četrtega reda, sistemi teh enačb prvega in drugega reda ter parcialnimi diferencialnimi enačbami, ki jih je mogoče reducirati na navadne diferencialne enačbe. .
Za neodvisna odločitev Izbranih je bilo 131 nalog, ki so večinoma podobne obravnavanim in so opremljene z odgovori, težje pa s kratkimi pojasnili rešitve.
Učbenik je namenjen študentom vseh oddelkov matematičnih, fizikalnih, strojnih, kemijskih, bioloških, geofizikalnih, ekonomskih fakultet univerz. pedagoških zavodih, pa tudi višje tehnične izobraževalne ustanove.
Knjiga je namenjena širok krog bralcem, ki se z diferencialnimi enačbami srečujejo v izobraževalni, metodološki, industrijski in raziskovalni praksi.
