Logaritmanın tabanını değiştirme formülü. Logaritmalar: örnekler ve çözümler

Başlıca özellikler verilmiştir doğal logaritma, grafik, tanım alanı, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılım güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.

Tanım

Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.

Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.

dayalı tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = fonksiyonunun grafiği x olarak.

Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak) üstel grafikten elde edilir ayna görüntüsü y = x düz çizgisine göre.

Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x.

Tanım alanında monoton bir şekilde artar. 0 x'te →

doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞). X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu

Pozitif üssü a olan x a, logaritmadan daha hızlı büyür.

Doğal logaritmanın özellikleri

Tanım alanı, değerler kümesi, ekstremum, artış, azalma

Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.

lnx değerleri

1 = 0

Doğal logaritmalar için temel formüller

Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:

Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları

Baz değiştirme formülü

Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:

Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üstür.

Eğer öyleyse

Eğer öyleyse.

Türev lnx
.
Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral
.
İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:

Bu yüzden,

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve tartışma φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.

Kuvvet serisi genişletmesi

Genişleme gerçekleştiğinde:

Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Talimatlar

Verilenleri yazın logaritmik ifade. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Karmaşık bir fonksiyon verilmişse türevini çarpmak gerekir. dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevi hesaplamayla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman kazandıracaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki fark nedir? IR rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Ve denklemi çözdükten sonra kesmek gerekiyor yabancı kökler. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler karekökü olmayan , sağ taraf ve sonra kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılana kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Değişken Değiştirme Yöntemi

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, gösteriniz kabul edilen atama Logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra temel logaritmik özdeşliği ele alacağız.

Sayfada gezinme.

logaritmanın tanımı

Logaritma kavramı bir problemi çözerken ortaya çıkar. belli bir anlamda tersi, üssü bulmanız gerektiğinde bilinen değer derece ve bilinen esas.

Ancak bu kadar önsöz yeter, artık "logaritma nedir" sorusunu yanıtlamanın zamanı geldi? İlgili tanımı verelim.

Tanım.

b'nin a tabanına göre logaritması burada a>0, a≠1 ve b>0, sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üstür.

Bu aşamada, söylenen "logaritma" kelimesinin hemen iki takip sorusunu gündeme getirmesi gerektiğine dikkat çekiyoruz: "hangi sayı" ve "hangi temelde?" Başka bir deyişle, logaritma yoktur, yalnızca bir sayının bir tabana göre logaritması vardır.

Hemen giriş yapalım logaritma gösterimi: Bir b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritmasının ve 10 tabanına göre logaritmasının sırasıyla kendi özel isimleri lnb ve logb vardır, yani log e b değil lnb yazarlar ve log 10 b değil lgb yazarlar.

Şimdi şunu verebiliriz: .
Ve kayıtlar mantıklı değil, çünkü ilkinde logaritma işareti altında negatif sayı ikincisinde tabanında negatif bir sayı, üçüncüsünde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve tabanında bir birim vardır.

Şimdi konuşalım logaritma okuma kuralları. Log a b, "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin 2 tabanına göre logaritmasıdır. karekök beş üzerinden. e tabanına göre logaritmaya denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin ln7, yedinin doğal logaritması ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanındaki logaritmanın ayrıca özel isim – ondalık logaritma ve lgb "b'nin ondalık logaritması" olarak okunur. Örneğin, lg1 birin ondalık logaritmasıdır ve lg2,75 iki virgül yedi beş yüzde birinin ondalık logaritmasıdır.

Logaritmanın tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrıca durmakta fayda var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan, denilen formun eşitliği bunu yapmamıza yardımcı olacaktır.

a≠1 ile başlayalım. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan eşitlik yalnızca b=1 olduğunda doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir kuvvet olabilir gerçek sayı. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 varsayılmaktadır.

a>0 koşulunun uygunluğunu gerekçelendirelim. Logaritmanın tanımına göre a=0 ile yalnızca b=0 ile mümkün olan bir eşitliğe sahip oluruz. Ancak log 0 0, sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırın sıfırdan farklı herhangi bir kuvveti sıfırdır. a≠0 koşulu bu belirsizlikten kaçınmamızı sağlar. Ve ne zaman bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, b>0 koşulu a>0 eşitsizliğinden kaynaklanır, çünkü a pozitif tabanlı bir kuvvetin değeri her zaman pozitiftir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için diyelim ki, logaritmanın belirtilen tanımı, logaritma işaretinin altındaki sayının tabanın belirli bir kuvveti olduğunda logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanıyor. Aslında, bir logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu belirtmemize olanak tanır. Yani loga a p =p eşitliği doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 olduğunu, ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

İlkel düzey cebirin unsurlarından biri logaritmadır. İsim geliyor Yunan dili“sayı” veya “kuvvet” kelimesinden gelir ve son sayıyı bulmak için tabandaki sayının yükseltilmesi gereken kuvvet anlamına gelir.

Logaritma türleri

• log a b – b sayısının a tabanına göre logaritması (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – ondalık logaritma (10 tabanına göre logaritma, a = 10);
• ln b – doğal logaritma (e tabanına göre logaritma, a = e).

Logaritmalar nasıl çözülür?

B'nin a tabanına göre logaritması, b'nin a tabanına yükseltilmesini gerektiren bir üstür. Elde edilen sonuç şu şekilde telaffuz edilir: "b'nin a tabanına göre logaritması." Çözüm logaritmik problemler bunu belirlemen gerekiyor bu derece sayılara göre belirtilen sayılar. Logaritmayı belirlemek veya çözmek ve gösterimin kendisini dönüştürmek için bazı temel kurallar vardır. Bunları kullanarak çözüm yapılır logaritmik denklemler türevler bulunur, integraller çözülür ve daha birçok işlem yapılır. Temel olarak logaritmanın çözümü onun basitleştirilmiş gösterimidir. Aşağıda temel formüller ve özellikler verilmiştir:

Herhangi bir a için; a > 0; a ≠ 1 ve herhangi bir x için; y > 0.

• a log a b = b – temel logaritmik özdeşlik
• 1 = 0'ı günlüğe kaydet
• log a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 için
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yeni bir tabana geçme formülü
• log a x = 1/log x a

Logaritmalar nasıl çözülür - çözmek için adım adım talimatlar

• İlk önce gerekli denklemi yazın.

Lütfen unutmayın: Taban logaritması 10 ise, giriş kısaltılır ve sonuçta ondalık logaritma elde edilir. Eğer buna değerse doğal sayı e, sonra bunu doğal logaritmaya indirgeyerek yazıyoruz. Bu, tüm logaritmaların sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltildiği kuvvet olduğu anlamına gelir.

Çözüm doğrudan bu derecenin hesaplanmasında yatmaktadır. Bir ifadeyi logaritmayla çözmeden önce kurala göre yani formüller kullanılarak sadeleştirilmesi gerekir. Yazıda biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.

İki ile logaritma toplama ve çıkarma farklı sayılar, burun aynı gerekçelerle, sırasıyla b ve c sayılarının çarpımı veya bölümü olan bir logaritmayla değiştirin. Bu durumda başka bir üsse geçme formülünü uygulayabilirsiniz (yukarıya bakın).

Logaritmayı basitleştirmek için ifadeler kullanırsanız dikkate alınması gereken bazı sınırlamalar vardır. Ve bu şudur: logaritmanın tabanı a yalnızca pozitif bir sayıdır, fakat bire eşit. a gibi b sayısı da sıfırdan büyük olmalıdır.

Bir ifadeyi basitleştirerek logaritmayı hesaplayamayacağınız durumlar vardır. sayısal form. Böyle bir ifadenin mantıklı olmadığı görülür çünkü kuvvetlerin çoğu irrasyonel sayılardır. Bu durumda sayının kuvvetini logaritma olarak bırakın.

Bir sayının logaritması N dayalı A üs denir X oluşturmanız gereken A numarayı almak için N

Şartıyla
,
,

Logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor
yani
- bu eşitlik temel logaritmik özdeşliktir.

10 tabanına dayalı logaritmalara ondalık logaritma denir. Yerine
yazmak
.

Tabana göre logaritmalar e doğal olarak adlandırılır ve belirlenir
.

Logaritmanın temel özellikleri.

Birin logaritması herhangi bir taban için sıfıra eşittir.

Ürünün logaritması toplamına eşit Faktörlerin logaritmaları.

3) Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir

Faktör
logaritmalardan tabana geçiş modülü denir A tabandaki logaritmalara B .

2-5 özelliklerini kullanarak, karmaşık bir ifadenin logaritmasını logaritmalar üzerinde yapılan basit aritmetik işlemlerin sonucuna indirgemek genellikle mümkündür.

Örneğin,

Bir logaritmanın bu tür dönüşümlerine logaritma denir. Logaritmanın tersi olan dönüşümlere potansiyasyon denir.

Bölüm 2. Yüksek matematiğin unsurları.

1. Sınırlar

Fonksiyonun sınırı
sonlu bir sayıdır A eğer xx 0 önceden belirlenmiş her biri için
öyle bir sayı var ki
en kısa sürede
, O
.

Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz küçük bir miktarda farklılık gösterir:
, nerede- b.m.v., yani.
.

Örnek. İşlevi düşünün
.

Çabalarken
, işlev sen sıfıra doğru eğilim gösterir:

1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.

Sınır sabit değer bu sabit değere eşit

.

Tutar (fark) limiti sonlu sayı fonksiyonlar bu fonksiyonların limitlerinin toplamına (farkına) eşittir.

Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti ürüne eşit Bu fonksiyonların sınırları.

Paydanın limiti sıfır değilse, iki fonksiyonun bölümünün limiti, bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

Harika Sınırlar

,
, Nerede

1.2. Limit Hesaplama Örnekleri

Ancak tüm limitler bu kadar kolay hesaplanmıyor. Çoğu zaman, limitin hesaplanması şu türden bir belirsizliğin ortaya çıkarılmasına indirgenir: veya .

.

2. Bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte sürekli
.

Argüman biraz artış var
. Daha sonra fonksiyon bir artış alacaktır
.

Bağımsız değişken değeri fonksiyon değerine karşılık gelir
.

Bağımsız değişken değeri
fonksiyon değerine karşılık gelir.

Buradan, .

Bu oranın limitini bulalım.
. Eğer bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun türevi denir.

Tanım 3 Verilen bir fonksiyonun türevi
argümanla argümanın artışı keyfi olarak sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.

Bir fonksiyonun türevi
aşağıdaki gibi belirlenebilir:

; ; ; .

Tanım 4Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma.

2.1. Türevin mekanik anlamı.

Katı bir cismin ya da maddesel bir noktanın doğrusal hareketini düşünelim.

Zamanın bir noktasında izin ver hareket noktası
uzaktaydı başlangıç ​​pozisyonundan
.

Bir süre sonra
mesafe kat etti
. Davranış =- ortalama hız maddi nokta
. Bunu dikkate alarak bu oranın limitini bulalım.
.

Bu nedenle tanım anlık hız Maddi bir noktanın hareketi yolun zamana göre türevinin bulunmasına bağlıdır.

2.2. Geometrik anlam türev

Grafiksel olarak tanımlanmış bir fonksiyonumuz olsun
.

Pirinç. 1. Türevin geometrik anlamı

Eğer
, sonra işaret et
, noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket edecek
.

Buradan
yani argümanın belirli bir değeri için türevin değeri Belirli bir noktada tanjantın eksenin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantına sayısal olarak eşittir
.

2.3. Masa temel formüller farklılaşma.

Güç fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Ters trigonometrik fonksiyon

2.4. Farklılaşma kuralları.

Türevi

Fonksiyonların toplamının (farkının) türevi

İki fonksiyonun çarpımının türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevi

2.5. Türevi karmaşık fonksiyon.

Fonksiyon verilsin
şeklinde temsil edilebilecek şekilde

Ve
değişken burada o zaman bir ara argümandır

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun ara argümana göre türevi ile ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.

Örnek 1.

Örnek 2.

3. Diferansiyel fonksiyon.

Olsun
, belirli bir aralıkta türevlenebilir
ve izin ver en bu fonksiyonun bir türevi var

,

o zaman yazabiliriz

(1),

Nerede - sonsuz küçük bir miktar,

ne zamandan beri

Tüm eşitlik koşullarını (1) ile çarpmak
sahibiz:

Nerede
- b.m.v. daha yüksek sipariş.

Büyüklük
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmiş

.

3.1. Diferansiyelin geometrik değeri.

Fonksiyon verilsin
.

Şekil 2. Diferansiyelin geometrik anlamı.

.

Açıkçası, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki teğetin koordinatındaki artışa eşittir.

3.2. Çeşitli mertebelerden türevler ve diferansiyeller.

eğer varsa
, Daha sonra
birinci türev denir.

Birinci türevin türevine ikinci dereceden türev denir ve şöyle yazılır:
.

Fonksiyonun n'inci dereceden türevi
(n-1)'inci dereceden türev olarak adlandırılır ve şöyle yazılır:

.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.

.

.

3.3 Çözüm biyolojik problemler farklılaşmayı kullanıyor.

Görev 1. Çalışmalar, bir mikroorganizma kolonisinin büyümesinin yasalara uygun olduğunu göstermiştir.
, Nerede N – mikroorganizmaların sayısı (bin olarak), T – zaman (günler).

b) Bu dönemde koloninin nüfusu artacak mı yoksa azalacak mı?

Cevap. Koloninin boyutu artacaktır.

Görev 2. Göldeki su, patojen bakterilerin içeriğini izlemek için periyodik olarak test edilir. Başından sonuna kadar T testten sonraki günler, bakteri konsantrasyonu orana göre belirlenir

.

Gölde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve içinde yüzmek mümkün olacak mı?

Çözüm: Bir fonksiyon, türevi sıfır olduğunda maksimum veya minimuma ulaşır.

,

Maksimum veya minimumun 6 gün sonra olacağını belirleyelim. Bunu yapmak için ikinci türevi alalım.

Cevap: 6 gün sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacaktır.