düşünelim Poisson dağılımı, matematiksel beklentisini, dağılımını ve modunu hesaplayalım. MS EXCEL fonksiyonu POISSON.DIST()'ı kullanarak dağılım fonksiyonunun ve olasılık yoğunluğunun grafiklerini oluşturacağız. Dağılım parametresini tahmin edelim, matematiksel beklenti ve standart sapma.

Önce kurutalım resmi tanım dağılımları inceledikten sonra aşağıdaki durumlara örnekler veriyoruz: Poisson dağılımı(İngilizce) Poissondağıtım) rastgele bir değişkeni tanımlamak için yeterli bir modeldir.

Belirli bir zaman diliminde (veya belirli bir madde hacminde) ortalama λ( frekansıyla rastgele olaylar meydana gelirse lambda), ardından olayların sayısı X, Bu süre zarfında meydana gelen Poisson dağılımı.

Poisson dağılımının uygulanması

Örnekler ne zaman Poisson dağılımı yeterli bir modeldir:

• alınan çağrı sayısı telefon santrali belirli bir süre için;
• belirli bir süre boyunca radyoaktif bozunmaya uğrayan parçacıkların sayısı;
• Sabit uzunlukta bir kumaş parçasındaki kusur sayısı.

Poisson dağılımı Aşağıdaki koşullar yerine getirilirse yeterli bir modeldir:

• olaylar birbirinden bağımsız olarak gerçekleşir; sonraki bir olayın olasılığı bir öncekine bağlı değildir;
• ortalama olay oranı sabittir. Sonuç olarak, bir olayın olasılığı gözlem aralığının uzunluğuyla orantılıdır;
• iki olay aynı anda gerçekleşemez;
• olay sayısı 0 değerini almalıdır; 1; 2…

Not: İyi bir ipucu, gözlemlenebilir rastgele değişken sahip olmak Poisson dağılımı, yaklaşık olarak eşit olduğu gerçeğidir (aşağıya bakınız).

Aşağıda, aşağıdaki durumların örnekleri verilmiştir: Poisson dağılımı yapamamak uygulanacak:

• bir saat içinde üniversiteden ayrılan öğrenci sayısı (ortalama öğrenci akışı sabit olmadığı için: dersler sırasında az sayıda öğrenci vardır ve dersler arasındaki teneffüs sırasında öğrenci sayısı keskin bir şekilde artar);
• Kaliforniya'da yılda 5 puan büyüklüğündeki depremlerin sayısı (bir deprem benzer büyüklükte artçı şoklara neden olabileceğinden olaylar bağımsız değildir);
• hastaların yoğun bakımda geçirdiği gün sayısı (çünkü hastaların yoğun bakımda geçirdiği gün sayısı her zaman 0'dan büyüktür).

Not: Poisson dağılımı daha doğru bir yaklaşımdır ayrık dağılımlar: Ve .

Not: İlişki hakkında Poisson dağılımı Ve Binom dağılımı makalede okuyabilirsiniz. İlişki hakkında Poisson dağılımı Ve Üstel dağılım hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.

MS EXCEL'de Poisson dağılımı

MS EXCEL'de, 2010 sürümünden başlayarak, Dağılımlar Poisson POISSON.DIST() işlevi var, İngilizce adı- POISSON.DIST(), yalnızca belirli bir süre içinde ne olacağının olasılığını hesaplamanıza olanak vermez X olaylar (işlev olasılık yoğunluğu p(x), yukarıdaki formüle bakın), fakat aynı zamanda (belirli bir zaman periyodunda en azından X olaylar).

MS EXCEL 2010'dan önce, EXCEL'de hesaplama yapmanızı da sağlayan POISSON() işlevi vardı. dağıtım fonksiyonu Ve olasılık yoğunluğu p(x). POISSON(), uyumluluk amacıyla MS EXCEL 2010'da bırakılmıştır.

Örnek dosya grafikler içeriyor olasılık yoğunluk dağılımı Ve kümülatif dağılım fonksiyonu.

Poisson dağılımı eğimli bir şekle sahiptir ( uzun kuyruk olasılık fonksiyonunun sağ tarafında), ancak parametre arttıkça λ giderek daha simetrik hale gelir.

Not: Ortalama Ve dağılım(kare) parametreye eşittir Poisson dağılımı– λ (bkz. örnek sayfa dosyası Örnek).

Görev

Tipik Uygulama Poisson dağılımları Kalite kontrolde, bir cihazda veya cihazda ortaya çıkabilecek kusurların sayısının bir modelidir.

Örneğin, bir çipteki ortalama kusur sayısı λ (lambda) 4'e eşit olduğunda, rastgele seçilen bir çipin 2 veya daha az kusura sahip olma olasılığı: = POISON.DAĞ(2,4;DOĞRU)=0,2381

Fonksiyondaki üçüncü parametre = TRUE olarak ayarlanmıştır, dolayısıyla fonksiyon geri dönecektir integral fonksiyonu dağıtım yani sayının olma olasılığı rastgele olaylar 0 ila 4 (dahil) aralığında olacaktır.

Bu durumda hesaplamalar aşağıdaki formüle göre yapılır:

Rastgele seçilen bir mikro devrenin tam olarak 2 kusura sahip olma olasılığı: = POISSON.DAĞ(2,4;YANLIŞ)=0,1465

Fonksiyondaki üçüncü parametre = YANLIŞ olarak ayarlanmıştır, dolayısıyla fonksiyon olasılık yoğunluğunu döndürecektir.

Rastgele seçilen bir mikro devrenin 2'den fazla kusura sahip olma olasılığı şuna eşittir: =1-POISSON.DAĞ(2,4,DOĞRU) =0,8535

Not: Eğer X bir tamsayı değilse, formülü hesaplarken . Formüller =POISON.DAĞ( 2 ; 4; YALAN) Ve =POISON.DAĞ( 2,9 ; 4; YALAN) aynı sonucu döndürecektir.

Rastgele sayı üretimi ve λ tahmini

λ değerleri için >15 , Poisson dağılımı iyi yaklaştırılmış Normal dağılım aşağıdaki parametrelerle: μ =λ , σ2 =λ .

Bu dağılımlar arasındaki ilişki hakkında daha fazla ayrıntıyı makalede bulabilirsiniz. Ayrıca yaklaşıklık örnekleri ve bunun ne zaman mümkün olabileceğine ve hangi doğrulukla açıklanacağına ilişkin koşullar da vardır.

TAVSİYE: Diğer MS EXCEL dağıtımlarını yazıdan okuyabilirsiniz.

Kısa teori

Her birinde olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız testler yapılsın. Bu testlerde bir olayın meydana gelme olasılığını belirlemek için Bernoulli formülü kullanılmaktadır. Büyükse veya kullanın. Ancak bu formül küçükse uygun değildir. Bu durumlarda (büyük, küçük) asimptotik yönteme başvururlar. Poisson formülü.

Kendimize şu olasılığı bulma görevini koyalım: büyük sayı Her birinde olayın olasılığının çok küçük olduğu testlerde olay tam olarak bir kez gerçekleşecektir. Önemli bir varsayımda bulunalım: Ürün sabit bir değere sahiptir, yani. Bu, bir olayın farklı deneme serilerinde ortalama meydana gelme sayısı anlamına gelir; en farklı anlamlar, değişmeden kalır.

Sorun çözümü örneği

Sorun 1

Üsse 10.000 elektrik lambası verildi. Lambanın yolculuk sırasında kırılma olasılığı 0,0003'tür. Alınan lambalardan beşinin kırılma olasılığını bulun.

Çözüm

Poisson formülünün uygulanabilirlik koşulu:

Bireysel bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığı sıfıra yeterince yakınsa, o zaman deneme sayısının büyük değerleri için bile olasılık şu şekilde hesaplanır: yerel teorem Laplace'ın yeterince doğru olmadığı ortaya çıktı. Bu gibi durumlarda Poisson tarafından türetilen formülü kullanın.

Olay olsun - 5 lamba kırılsın

Poisson formülünü kullanalım:

Bizim durumumuzda:

Cevap

Sorun 2

İşletmenin 1000 adet ekipmanı var belirli tip. Bir ekipmanın bir saat içinde arızalanma olasılığı 0,001'dir. Saat başına ekipman arızası sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın. Sayısal özellikleri bulun.

Çözüm

Rastgele değişken - ekipman arızalarının sayısı, değer alabilir

Poisson yasasını kullanalım:

Bu olasılıkları bulalım:

Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı, bu dağılımın parametresine eşittir:

Ortalamaçözüm maliyeti deneme çalışması 700 - 1200 ruble (ancak tüm sipariş için en az 300 ruble). Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (bir günden birkaç saate kadar). Bir sınav/test için çevrimiçi yardımın maliyeti 1000 ruble'dir. Bileti çözmek için.

Daha önce görev koşullarını gönderdikten ve ihtiyacınız olan çözüm için zaman dilimini size bildirdikten sonra doğrudan sohbete bir istek bırakabilirsiniz. Tepki süresi birkaç dakikadır.

En genel durumçeşitli türler olasılık dağılımları bir binom dağılımıdır. Uygulamada karşılaşılan en yaygın özel dağılım türlerini belirlemek için onun çok yönlülüğünü kullanalım.

Binom dağılımı

Bir A olayı olsun. A olayının gerçekleşme olasılığı eşittir P A olayının gerçekleşmeme olasılığı 1’dir P bazen şu şekilde belirlenir: Q. İzin vermek N test sayısı, M A olayının bu durumlarda meydana gelme sıklığı N testler.

biliniyor ki toplam olasılık herkes olası kombinasyonlar sonuçlar bire eşittir, yani:

1 = P N + N · P N 1 (1 P) + C N N 2 · P N 2 (1 P) 2 + + C N M · P M· (1 P) N – M+ + (1 P) N .

Beklenti M binom dağılımı şuna eşittir:

M = N · P ,

Nerede N test sayısı, P A olayının gerçekleşme olasılığı

Standart sapma σ :

σ = kare( N · P· (1 P)) .

Örnek 1. Olasılığı olan bir olayın olasılığını hesaplayın P= 0,5, N= 10 deneme gerçekleşecek M= 1 kez. Sahibiz: C 10 1 = 10 ve ayrıca: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Görüldüğü üzere bu olayın gerçekleşme ihtimali oldukça düşüktür. Bu öncelikle olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğinin kesinlikle belli olmamasıyla açıklanıyor, çünkü olasılık 0,5 ve buradaki şans “50'ye 50”; ikincisi ise olayın tam olarak onda bir (ne eksik ne fazla) gerçekleşeceğinin hesaplanması gerekmektedir.

Örnek 2. Olasılığı olan bir olayın olasılığını hesaplayın P= 0,5, N= 10 deneme gerçekleşecek M= 2 kez. Sahibiz: C 10 2 = 45 ve ayrıca: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Bu olayın gerçekleşme olasılığı arttı!

Örnek 3. Olayın gerçekleşme olasılığını artıralım. Bunu daha olası hale getirelim. Olasılığı olan bir olayın olasılığını hesaplayın P= 0,8, N= 10 deneme gerçekleşecek M= 1 kez. Sahibiz: C 10 1 = 10 ve ayrıca: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Olasılık ilk örnektekinden daha az oldu! Cevap ilk bakışta tuhaf görünüyor, ancak olayın olasılığı oldukça yüksek olduğundan yalnızca bir kez gerçekleşmesi pek mümkün değil. Bunun bir kereden fazla gerçekleşmesi daha olasıdır. Gerçekten de sayılıyor P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (bir olayın gerçekleşme olasılığı) N= 10 deneme 0, 1, 2, 3, , 10 kez gerçekleşecek), şunu göreceğiz:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(en yüksek olasılık!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Elbette P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Normal dağılım

Miktarları tasvir edersek P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , PÖrnek 3'te hesapladığımız Şekil 10'daki grafikte, dağılımlarının normal dağılım yasasına yakın bir forma sahip olduğu ortaya çıkıyor (bkz. Şekil 27.1) (bkz. ders 25. Normal dağılmış rastgele değişkenlerin modellenmesi).

A olayının oluşma ve gerçekleşmeme olasılıkları yaklaşık olarak aynıysa, iki terimli yasa normal hale gelir, yani koşullu olarak şunu yazabiliriz: P≈ (1 P) . Örneğin, alalım N= 10 ve P= 0,5 (yani P= 1 P = 0.5 ).

Örneğin bir doğum hastanesinde aynı gün doğan 10 çocuktan kaç erkek, kaç kız çocuğunun olacağını teorik olarak hesaplamak istersek böyle bir soruna anlamlı bir şekilde ulaşmış oluruz. Daha doğrusu kız ve erkek çocuklarını değil, sadece erkek çocuk doğması, 1 erkek 9 kız doğması, 2 erkek 8 kız doğması vb. olasılıklarını sayacağız. Basitlik açısından, bir erkek ve bir kız çocuğu sahibi olma olasılığının aynı ve 0,5 olduğunu varsayalım (ancak gerçekte durum böyle değildir, “Yapay Zeka Sistemlerinin Modellenmesi” dersine bakınız).

3 erkek ve 7 kız çocuğuna sahip olma olasılığı 7 erkek ve 3 kız çocuğuna sahip olma olasılığına eşit olduğundan dağılımın simetrik olacağı açıktır. En yüksek doğum olasılığı 5 erkek ve 5 kız olacaktır. Bu olasılık 0,25 bu arada o kadar da büyük değil mutlak değer. Ayrıca aynı anda 10 veya 9 erkek çocuk doğma olasılığı, 10 çocuktan 5 ± 1 erkek çocuk doğma olasılığından çok daha azdır. Binom dağılımı bu hesaplamayı yapmamıza yardımcı olacaktır. Bu yüzden.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Elbette P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Miktarları grafikte gösterelim P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (bkz. Şekil 27.2).

Yani koşullar altında M ≈ N/2 ve P≈ 1 P veya P≈ 0,5 binom dağılımı yerine normal olanı kullanabilirsiniz. Büyük değerler için N matematiksel beklenti ve varyans arttıkça grafik sağa kayar ve giderek daha düz hale gelir N : M = N · P , D = N · P· (1 P) .

Bu arada, binom kanunu normale dönme eğilimindedir ve arttıkça N merkeze göre bu oldukça doğal limit teoremi(bkz. ders 34. İstatistiksel sonuçların kaydedilmesi ve işlenmesi).

Şimdi şu durumda binom yasasının nasıl değiştiğini düşünün: P ≠ Q yani P> 0 . Bu durumda normal dağılım hipotezi uygulanamaz ve binom dağılımı Poisson dağılımına dönüşür.

Poisson dağılımı

Poisson dağılımı özel durum binom dağılımı (ile N>> 0 ve P>0 (nadir olaylar)).

Matematikten, binom dağılımının herhangi bir üyesinin değerini yaklaşık olarak hesaplamanıza olanak tanıyan bir formül bilinmektedir:

Nerede A = N · P Poisson parametresi (matematiksel beklenti) ve varyansı matematiksel beklentiye eşittir. Bu geçişi açıklayan matematiksel hesaplamaları sunalım. Binom dağılım yasası

P M = C N M · P M· (1 P) N – M

koyarsanız yazılabilir P = A/N , formda

Çünkü Pçok küçükse yalnızca sayılar dikkate alınmalıdır M, karşılaştırıldığında küçük N. İş

birliğe çok yakın. Aynı şey boyut için de geçerli

Büyüklük

çok yakın e – A. Buradan şu formülü elde ederiz:

Örnek. Kutu şunları içerir: N= 100 parça, hem kaliteli hem de arızalı. Kusurlu bir ürün alma olasılığı P= 0,01. Diyelim ki bir ürünü çıkartıyoruz, arızalı olup olmadığını tespit edip geri koyuyoruz. Bunu yaparak elimizdeki 100 üründen ikisinin arızalı olduğu ortaya çıktı. Bunun olasılığı nedir?

Binom dağılımından şunu elde ederiz:

Poisson dağılımından şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi değerlerin yakın olduğu ortaya çıktı, bu nedenle nadir olaylar durumunda, özellikle daha az hesaplama çabası gerektirdiğinden Poisson yasasını uygulamak oldukça kabul edilebilir.

Poisson yasasının biçimini grafiksel olarak gösterelim. Örnek olarak parametreleri ele alalım P = 0.05 , N= 10. Daha sonra:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Elbette P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Şu tarihte: N> ∞ Poisson dağılımı şöyle olur normal hukuk merkezi limit teoremine göre (bkz.

Poisson dağılımı.

En çok düşünelim tipik durum Poisson dağılımının göründüğü yer. Hadi olay A uzayın sabit bir alanında (aralık, alan, hacim) veya sabit yoğunlukta bir zaman diliminde belirli sayıda ortaya çıkar. Daha spesifik olmak gerekirse, olayların akışı olarak adlandırılan olayların zaman içinde sıralı olarak ortaya çıkmasını düşünün. Grafiksel olarak olayların akışı, zaman ekseninde yer alan birçok nokta ile gösterilebilir.

Bu, hizmet sektöründeki bir çağrı akışı (ev aletlerinin onarımı, ambulans çağırma vb.), telefon santraline yapılan bir çağrı akışı, sistemin bazı bölümlerinin arızası, radyoaktif bozunma, kumaş veya metal levha parçaları ve her birindeki kusurların sayısı vb. Poisson dağılımı, yalnızca olumlu sonuçların (“başarılar”) sayısını belirlemenin gerekli olduğu problemlerde en kullanışlıdır.

Küçük parçalara bölünmüş bir üzümlü çörek hayal edin eşit boyut. Dolayı rastgele dağılım kuru üzümlerin tüm parçaların onları içermesi beklenemez aynı numara. Bu parçaların içerdiği ortalama kuru üzüm sayısı bilindiğinde Poisson dağılımı, herhangi bir parçanın kuru üzüm içerme olasılığını verir. X=k(k= 0,1,2,...,)kuru üzüm sayısı.

Başka bir deyişle Poisson dağılımı, uzun bir parça serisinin hangi bölümünün 0'a, 1'e, 2'ye vb. eşit olacağını belirler. öne çıkanların sayısı.

Aşağıdaki varsayımları yapalım.

1. Belirli bir zaman aralığında belirli sayıda olayın meydana gelme olasılığı, zaman eksenindeki konumuna değil, yalnızca bu aralığın uzunluğuna bağlıdır. Bu durağanlığın özelliğidir.

2. Yeterince kısa bir süre içinde birden fazla olayın meydana gelmesi pratik olarak imkansızdır; koşullu olasılık Aynı aralıkta başka bir olayın meydana gelmesi ® 0'da sıfıra doğru yönelir. Bu sıradanlığın özelliğidir.

3. Oluşma olasılığı verilen numara Sabit bir zaman dilimindeki olayların sayısı, diğer zaman dilimlerinde ortaya çıkan olayların sayısına bağlı değildir. Bu, sonradan etkinin olmamasının özelliğidir.

Yukarıdaki önermeleri karşılayan olay akışına ne ad verilir? en basit.

Oldukça kısa bir zaman dilimini ele alalım. Özellik 2'ye göre olay bu aralıkta bir kez ortaya çıkabilir veya hiç görünmeyebilir. Bir olayın gerçekleşme olasılığını şu şekilde ifade edelim: R ve görünmeme – aracılığıyla q = 1-P. Olasılık R sabittir (özellik 3) ve yalnızca değere bağlıdır (özellik 1). Bir olayın aralıktaki oluşum sayısının matematiksel beklentisi 0×'a eşit olacaktır. Q+ 1× P = P. Daha sonra birim zaman başına olayların ortalama oluşum sayısına akış yoğunluğu adı verilir ve şu şekilde gösterilir: A, onlar. A = .

düşünelim son bölüm zaman T ve şuna böl: N parçalar = . Bu aralıkların her birinde olayların meydana gelişi bağımsızdır (özellik 2). Belirli bir zaman diliminde olasılığını belirleyelim. T sabit akış yoğunluğunda A etkinlik tam olarak görünecek X = k bir daha görünmeyecek n–k. Bir olay her birinde olabileceğinden N boşluklar 1 defadan fazla görünmez, daha sonra görünümü için k bir süre içinde bir kez T herhangi bir yerde görünmesi gerekir k toplamdan aralıklar N. Bu tür kombinasyonların toplamı vardır ve her birinin olasılığı eşittir. Sonuç olarak, olasılıkların toplama teoremi ile istenen olasılık için elde ederiz bilinen formül Bernoulli

Bu eşitlik yaklaşık bir eşitlik olarak yazılmıştır, çünkü türetilmesinin ilk öncülü özellik 2'dir ve bu özellik ne kadar küçük olursa o kadar doğru bir şekilde yerine getirilir. Tam eşitlik elde etmek için ® 0'daki limite geçelim veya aynı şey, N® . Değişimden sonra alacağız.

P = A= ve Q = 1 – .

Hadi tanıştıralım yeni parametre = en, bir segmentteki bir olayın ortalama oluşum sayısı anlamına gelir T. Basit dönüşümler yapıp faktörlerdeki limite geçtikten sonra elde ederiz.

= 1, = ,

Sonunda elde ettik

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... – baz doğal logaritma.

Tanım. Rastgele değişken X yalnızca tam sayıları kabul eden, pozitif değerler 0, 1, 2, ... parametresiyle Poisson dağılımına sahiptir:

İçin k = 0, 1, 2, ...

Poisson dağılımı önerildi Fransız matematikçi S.D. Poisson (1781-1840). Nispeten nadir, karşılıklı olarak rastgele olasılıkların hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için kullanılır. bağımsız olaylar birim zaman, uzunluk, alan ve hacim başına.

a)'nın büyük ve b) olduğu durum için k= ise Stirling formülü geçerlidir:

Sonraki değerleri hesaplamak için yinelenen bir formül kullanılır

P(k + 1) = P(k).

Örnek 1. Belirli bir günde 1000 kişiden: a) hiçbiri, b) bir, c) iki, d) üç kişi doğmuş olma olasılığı nedir?

Çözüm. Çünkü P= 1/365 ise Q= 1 – 1/365 = 364/365"1.

Daha sonra

A) ,

B) ,

V) ,

G) .

Dolayısıyla 1000 kişilik örneklem varsa, belirli bir günde doğan ortalama insan sayısı buna göre 65 olacaktır; 178; 244; 223.

Örnek 2. Olasılıkla hangi değeri belirleyin R olay en az bir kez ortaya çıktı.

Çözüm. Etkinlik A= (en az bir kez görünür) ve = (bir kez bile görünmez). Buradan .

Buradan Ve .

Örneğin, R= 0,5, için R= 0,95 .

Örnek 3. Tek dokumacının çalıştırdığı tezgâhlarda bir saatte 90 iplik kopması meydana gelir. 4 dakika içinde en az bir ipliğin kopması olasılığını bulun.

Çözüm. Koşullara göre t = 4 dakika ve dakika başına ortalama mola sayısı, buradan itibaren . Gerekli olasılık .

Özellikler. Parametreli Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı şuna eşittir:

M(X) = D(X) = .

Bu ifadeler doğrudan hesaplamalarla elde edilir:

Değiştirmenin yapıldığı yer burası N = k– 1 ve gerçek şu ki .

Çıktıda kullanılanlara benzer dönüşümler gerçekleştirerek M(X), elde ederiz

Poisson dağılımı genel olarak binom dağılımına yaklaşmak için kullanılır N

Pratik olarak önemli birçok uygulamada Poisson dağılımı önemli bir rol oynar. Sayıların çoğu ayrık miktarlar Aşağıdaki özelliklere sahip bir Poisson sürecinin uygulamalarıdır:

• Belirli bir olası sonuç aralığında belirli bir olayın kaç kez meydana geldiğiyle ilgileniyoruz rastgele deney. Olası sonuçların alanı bir zaman aralığı, bir bölüm, bir yüzey vb. olabilir.
• Belirli bir olayın olasılığı, olası sonuçların tüm alanları için aynıdır.
• Olası sonuçların bir alanında meydana gelen olayların sayısı, diğer alanlarda meydana gelen olayların sayısından bağımsızdır.
• Olası sonuçların aynı alanda olması olasılığı bu olay birden fazla kez meydana gelir ve olası sonuçların aralığı azaldıkça sıfıra yönelir.

Poisson sürecinin anlamını daha iyi anlamak için, merkezi bir banka şubesini ziyaret eden müşteri sayısını incelediğimizi varsayalım. iş bölgesiöğle yemeği sırasında, yani saat 12'den 13'e kadar. Bir dakika içinde gelen müşteri sayısını belirlemek istediğinizi varsayalım. Bu durum yukarıda sıralanan özelliklere sahip mi? Birincisi, bizi ilgilendiren olay bir müşterinin gelişidir ve olası sonuçların aralığı bir dakikalık aralıktır. Bir dakika içinde bankaya kaç müşteri gelecek - hiçbiri mi, bir mi, iki mi yoksa daha fazla mı? İkinci olarak, bir müşterinin bir dakika içinde gelme olasılığının tüm bir dakikalık aralıklar için aynı olduğunu varsaymak mantıklıdır. Üçüncüsü, herhangi bir dakikalık aralıkta bir müşterinin gelişi, herhangi bir diğer bir dakikalık aralıkta başka bir müşterinin gelişinden bağımsızdır. Ve son olarak, zaman aralığının sıfıra yaklaşması örneğin 0,1 saniyenin altına düşmesi durumunda bankaya birden fazla müşterinin gelme olasılığı da sıfıra yaklaşır. Yani öğle yemeği sırasında bir dakika içinde bankaya gelen müşteri sayısı Poisson dağılımı ile açıklanmaktadır.

Poisson dağılımının λ ( ile gösterilen bir parametresi vardır. yunan mektubu“lambda”) belirli bir alandaki olası sonuçların ortalama başarılı deneme sayısıdır. Poisson dağılımının varyansı da λ, standart sapması ise . Başarılı denemelerin sayısı X Poisson rastgele değişkeni 0'dan sonsuza kadar değişir. Poisson dağılımı aşağıdaki formülle tanımlanır:

Nerede P(X)- olasılık X başarılı denemeler, λ - beklenen başarı sayısı, e- doğal logaritma tabanı 2,71828'e eşit, X- birim zaman başına başarı sayısı.

Örneğimize dönelim. Diyelim ki öğle tatilinde bankaya dakikada ortalama üç müşteri geliyor. Belirli bir anda iki müşterinin bankaya gelme olasılığı nedir? Bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı nedir?

Formül (1)'i λ = 3 parametresi ile uygulayalım. O halde belirli bir dakika içinde iki müşterinin bankaya gelme olasılığı şuna eşittir:

Bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞)'a eşittir. Tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması gerektiğinden formülün sağ tarafındaki serinin terimleri X ≤ 2 olayına eklenme olasılığını temsil etmektedir. Yani bu serinin toplamı 1'e eşittir – P(X ≤ 2). Böylece, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Şimdi formül (1)'i kullanarak şunu elde ederiz:

Yani bir dakika içinde bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı 0,423 (veya %42,3), bir dakika içinde ikiden fazla müşterinin bankaya gelme olasılığı 0,577 (veya %57,7) olmaktadır.

Bu tür hesaplamalar, özellikle λ parametresi yeterince büyükse sıkıcı görünebilir. Kaçınmak için karmaşık hesaplamalar Birçok Poisson olasılığı özel tablolarda bulunabilir (Şekil 1). Örneğin, ortalama olarak dakikada üç müşteri bankaya geliyorsa, belirli bir dakikada iki müşterinin bankaya gelme olasılığı çizginin kesişim noktasındadır. X= 2 ve λ sütunu = 3. Böylece 0,2240 veya %22,4'e eşit olur.

Pirinç. 1. λ = 3'te Poisson olasılığı

Günümüzde =POISSON.DIST() işlevine sahip Excel elinizin altındaysa herhangi birinin tabloları kullanması pek olası değildir (Şekil 2). Bu fonksiyonun üç parametresi vardır: Başarılı denemelerin sayısı X, ortalama beklenen başarılı deneme sayısı λ, parametre İntegral, iki değer alarak: YANLIŞ – bu durumda başarılı deneme sayısının olasılığı hesaplanır X(Yalnızca X), DOĞRU – bu durumda başarılı deneme sayısının 0'dan 0'a kadar olan olasılığı X.

Pirinç. 2. Hesaplama Excel olasılıklarıλ = 3'te Poisson dağılımı

Poisson dağılımını kullanarak binom dağılımının yaklaşımı

eğer sayı N büyük ve sayı R- küçükse, binom dağılımına Poisson dağılımı kullanılarak yaklaşılabilir. Nasıl daha büyük sayı N Ve daha az sayı R yaklaşım doğruluğu ne kadar yüksek olursa. Binom dağılımına yaklaşmak için aşağıdaki Poisson modeli kullanılır.

Nerede P(X)- olasılık X ile başarı verilen parametreler N Ve R, N- numune büyüklüğü, R- gerçek başarı olasılığı, e- doğal logaritmanın tabanı, X- örnekteki başarı sayısı (X = 0, 1, 2,…, N).

Teorik olarak Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişken 0'dan ∞'a kadar değerler alır. Bununla birlikte, binom dağılımına yaklaşmak için Poisson dağılımının kullanıldığı durumlarda, Poisson rastgele değişkeni, aralarındaki başarıların sayısıdır. N gözlemler - sayıyı aşamaz N. Formül (2)'den, sayıların artmasıyla şu sonucu çıkar: N ve sayının azalması R tespit olasılığı büyük sayı başarı oranı azalıyor ve sıfıra yaklaşıyor.

Yukarıda bahsedildiği gibi Poisson dağılımının µ beklentisi ve varyansı σ 2 λ'ya eşittir. Bu nedenle, Poisson dağılımını kullanarak binom dağılımını tahmin ederken, matematiksel beklentiyi tahmin etmek için formül (3) kullanılmalıdır.

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Standart sapmaya yaklaşmak için formül (4) kullanılır.

Formül (4) kullanılarak hesaplanan standart sapmanın şu eğilimde olduğunu lütfen unutmayın: standart sapma Binom modelinde – başarı olasılığı P sıfıra eğilimlidir ve buna bağlı olarak başarısızlık olasılığı 1 – s birlik olma eğilimindedir.

Belirli bir tesiste üretilen lastiklerin %8'inin arızalı olduğunu varsayalım. Binom dağılımına yaklaşmak amacıyla Poisson dağılımının kullanımını göstermek için, 20 lastikten oluşan bir örnekte kusurlu bir lastik bulma olasılığını hesaplayalım. Formül (2)'yi uygulayalım, şunu elde edelim

Eğer yaklaşık değeri yerine gerçek binom dağılımını hesaplayacak olsaydık aşağıdaki sonucu elde ederdik:

Ancak bu hesaplamalar oldukça sıkıcıdır. Ancak olasılıkları hesaplamak için Excel'i kullanırsanız Poisson dağılımı yaklaşımını kullanmak gereksiz hale gelir. Şek. Şekil 3, Excel'deki hesaplamaların karmaşıklığının aynı olduğunu göstermektedir. Ancak bu bölümün bazı koşullar altında binom dağılımı ile Poisson dağılımının benzer sonuçlar verdiğini anlamak açısından faydalı olduğunu düşünüyorum.

Pirinç. 3. Excel'deki hesaplamaların karmaşıklığının karşılaştırılması: (a) Poisson dağılımı; (b) binom dağılımı

Yani, bu ve önceki iki notta üç ayrı not sayısal dağılımlar: ve Poisson. Bu dağılımların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu daha iyi anlamak için küçük bir soru ağacı sunuyoruz (Şekil 4).

Pirinç. 4. Ayrık olasılık dağılımlarının sınıflandırılması

Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 320–328