Düzenli üçgen piramidin hacmi nasıl bulunur? Piramit yüksekliği

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders Hedefleri.

Eğitici: Bir piramidin hacmini hesaplamak için bir formül türetin

Gelişimsel: Öğrencilerin akademik disiplinlere olan bilişsel ilgisini, bilgilerini pratikte uygulama yeteneğini geliştirmek.

Eğitim: Dikkati geliştirin, doğruluk sağlayın, öğrencilerin ufkunu genişletin.

Ekipman ve materyaller: bilgisayar, ekran, projektör, “Piramitin Hacmi” sunumu.

1. Ön anket. Slaytlar 2, 3

Piramit denilen şey, piramidin tabanı, kaburgaları, yüksekliği, ekseni, özdeyişi. Hangi piramit düzenli, dört yüzlü, kesik piramit olarak adlandırılır?

Bir piramit düz bir yüzeyden oluşan bir çokyüzlüdür çokgen, puan, bu çokgenin düzleminde yer almıyor ve tüm segmentler bu noktayı çokgenin noktalarına bağlarız.

Bu nokta isminde tepe piramitler ve düz bir çokgen piramidin tabanıdır. Segmentler Piramidin tepesinin tabanın köşelerine bağlanmasına ne ad verilir? kaburga . Yükseklik piramitler - dik, piramidin tepesinden taban düzlemine indirildi. Özlem - yan kenar yüksekliği düzenli piramit. Piramit, hangi üssünde doğru n-gon, A yükseklik tabanı ile çakışıyor tabanın merkezi isminde doğru n-gonal piramit. Eksen Düzenli bir piramidin yüksekliğini içeren düz çizgidir. Düzenli bir üçgen piramit tetrahedron olarak adlandırılır. Piramit taban düzlemine paralel bir düzlemle kesişirse piramidi kesecektir, benzer verildi. Geriye kalan kısma denir kesik piramit.

2. Piramidin hacmini hesaplamak için formülün türetilmesi V=SH/3 Slayt 4, 5, 6

1. SABC tepe noktası S ve ABC tabanı olan bir üçgen piramit olsun.

2. Bu piramidi taban ve yükseklikleri aynı olan bir üçgen prizmaya ekleyelim.

3. Bu prizma üç piramitten oluşur:

1) bu SABC piramidinin.

2) piramitler SCC 1 B 1.

3) ve piramitler SCBB 1.

4. İkinci ve üçüncü piramitler eşit CC 1 B 1 ve B 1 BC tabanlarına ve S köşesinden BB 1 C 1 C paralelkenarının yüzüne kadar çizilen toplam yüksekliğe sahiptirler. Dolayısıyla eşit hacimlere sahiptirler.

5. Birinci ve üçüncü piramitler de eşit SAB ve BB 1 S tabanlarına ve C köşesinden ABB 1 S paralelkenarının yüzüne çizilen yüksekliklere sahiptir. Dolayısıyla hacimleri de eşittir.

Bu, üç piramidin de aynı hacme sahip olduğu anlamına gelir. Bu hacimlerin toplamı prizmanın hacmine eşit olduğundan piramitlerin hacimleri SH/3'e eşittir.

Herhangi bir cilt üçgen piramit taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

3. Yeni malzemenin konsolidasyonu. Alıştırmaların çözümü.

1) Sorun № 33 A.N.'nin ders kitabından. Pogorelova. Slaytlar 7, 8, 9

Üs tarafında mı? ve b yan kenarı, tabanı aşağıdaki gibi olan düzenli bir piramidin hacmini bulun:

1) üçgen,

2) dörtgen,

3) altıgen.

Düzenli bir piramitte yükseklik, tabanın etrafında çevrelenen bir dairenin merkezinden geçer. Sonra: (Ek)

4. Tarihsel bilgi piramitler hakkında. Slaytlar 15, 16, 17

Çağdaşlarımızdan bir dizi kuran ilk kişi olağandışı olaylar Piramitle ilişkilendirilen kişi Fransız bilim adamı Antoine Bovy idi. Yirminci yüzyılın 30'lu yıllarında Cheops piramidini keşfederken, yanlışlıkla içine düşen küçük hayvanların cesetlerini keşfetti. kraliyet odası mumyalanmış. Bovey bunun nedenini kendisine piramidin şekliyle açıkladı ve ortaya çıktığı gibi yanılmadı. Eserleri temel oluşturdu modern araştırma Bunun sonucunda son 20 yılda piramitlerin enerjisinin pratik öneme sahip olabileceğini doğrulayan birçok kitap ve yayın ortaya çıktı.

Piramitlerin Gizemi

Bazı araştırmacılar, piramidin, Evrenin yapısı, güneş sistemi ve insan hakkında, geometrik şekliyle veya daha doğrusu piramidin yarısını temsil eden bir oktahedron şeklinde kodlanmış büyük miktarda bilgi içerdiğini iddia ediyor. Tepesi yukarıya doğru olan piramit yaşamı, yukarıdan aşağıya doğru olan ise ölümü, diğer dünyayı simgelemektedir. Tıpkı Davut Yıldızı'nın (Magen David) bileşenleri gibi, yukarıya doğru yönlendirilen üçgen Yüksek Zihne, Tanrı'ya yükselişi, tepesi aşağı doğru olan üçgen ise ruhun Dünya'ya inişini, maddi varoluşu simgelemektedir.

Piramitte Evren hakkındaki bilgilerin şifrelendiği kodun dijital değeri olan 365 sayısı tesadüfen seçilmedi. Her şeyden önce bu gezegenimizin yıllık yaşam döngüsüdür. Ayrıca 365 sayısı 3, 6 ve 5 rakamlarından oluşuyor. Ne anlama geliyor? Eğer içindeyse güneş sistemi Güneş 1 numaradan geçiyor, Merkür - 2, Venüs - 3, Dünya - 4, Mars - 5, Jüpiter - 6, Satürn - 7, Uranüs - 8, Neptün - 9, Plüton - 10, sonra 3 numara Venüs, 6 - Jüpiter ve 5 – Mars. Sonuç olarak Dünya bu gezegenlerle özel bir şekilde bağlantılıdır. 3, 6 ve 5 sayılarını topladığımızda 1'i Güneş, 4'ü Dünya olmak üzere 14 elde ediyoruz.

14 sayısı genel olarak küresel önem: özellikle insan elinin yapısı buna dayanmaktadır, her birinin parmaklarının toplam falanks sayısı da 14'tür. Bu kod aynı zamanda takımyıldızla da ilgilidir. Büyükayıİçinde bizim Güneş'imizin de bulunduğu, içinde bir başka yıldızın daha bulunduğu, Mars ile Jüpiter arasında yer alan Phaethon adlı gezegeni yok eden, ardından Plüton'un güneş sisteminde ortaya çıktığı ve geri kalan gezegenlerin özelliklerinin değiştiği.

Pek çok ezoterik kaynak, Dünya üzerindeki insanlığın dünya çapında dört kez felaket yaşadığını iddia ediyor. Üçüncü Lemurya ırkı, Evrenin İlahi bilimini biliyordu, daha sonra bu gizli doktrin yalnızca inisiyelere aktarıldı. Yıldız yılının döngülerinin ve yarım döngülerinin başında piramitler inşa ettiler. Hayatın şifresini keşfetmeye yaklaşmışlardı. Atlantis uygarlığı pek çok şeyi başardı, ancak belirli bir bilgi düzeyinde, ırkların değişmesiyle birlikte başka bir gezegensel felaket tarafından durduruldular. Muhtemelen inisiyeler bize piramitlerin kozmik yasaların bilgisini içerdiğini iletmek istediler...

Piramit şeklindeki özel cihazlar, bilgisayar, TV, buzdolabı ve diğer elektrikli ev aletlerinden gelen bir kişi üzerindeki negatif elektromanyetik radyasyonu etkisiz hale getirir.

Kitaplardan biri, bir arabanın yolcu bölmesine yerleştirilen bir piramidin yakıt tüketimini azalttığı ve egzoz gazlarındaki CO içeriğini azalttığı bir durumu anlatıyor.

Piramitlerde saklanan bahçe bitkileri tohumlarının daha iyi çimlenme ve verime sahip olduğu görüldü. Yayınlar, ekimden önce tohumların piramit suyunda bekletilmesini bile tavsiye etti.

Piramitlerin yararlı etkileri olduğu bulunmuştur. çevresel durum. Dairelerde, ofislerde ve yazlık evlerde patojenik bölgeleri ortadan kaldırarak olumlu bir aura yaratın.

Hollandalı araştırmacı Paul Dickens kitabında piramitlerin iyileştirici özelliklerinden örnekler veriyor. Onların yardımıyla baş ağrılarını, eklem ağrılarını hafifletebileceğinizi, küçük kesiklerden kanamayı durdurabileceğinizi ve piramitlerin enerjisinin metabolizmayı uyardığını ve bağışıklık sistemini güçlendirdiğini fark etti.

Bazı modern yayınlar, piramit içinde tutulan ilaçların tedavi süresini kısalttığını ve pozitif enerjiyle doyurulmuş pansuman malzemesinin yara iyileşmesini desteklediğini belirtiyor.

Kozmetik kremler ve merhemler etkilerini artırır.

Alkollü olanlar da dahil olmak üzere içeceklerin tadı güzelleşir ve% 40 votkada bulunan su şifalı hale gelir. Doğru, standart 0,5 litrelik bir şişeyi pozitif enerjiyle şarj etmek için yüksek bir piramide ihtiyacınız olacak.

Bir gazete makalesi, mücevherlerin bir piramidin altında saklanması durumunda kendi kendini temizlediğini ve özel bir parlaklık kazandığını, değerli ve yarı değerli taşların pozitif biyoenerji biriktirip yavaş yavaş serbest bıraktığını söylüyor.

Amerikalı bilim adamlarına göre tahıl, un, tuz, şeker, kahve, çay gibi gıda ürünleri piramidin içine girdikten sonra lezzetlerini geliştiriyor ve ucuz sigaralar asil muadillerine benzemeye başlıyor.

Bu pek çok kişi için geçerli olmayabilir, ancak küçük bir piramitte eski tıraş bıçakları kendiliğinden keskinleşir ve büyük bir piramitte su -40 santigrat derecede donmaz.

Çoğu araştırmacıya göre tüm bunlar piramit enerjisinin varlığının kanıtıdır.

Varlığının 5000 yılı boyunca piramitler, insanın bilginin zirvesine ulaşma arzusunu kişileştiren bir tür sembol haline geldi.

5. Dersi özetlemek.

Kullanılmış literatürün listesi.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Geometri 10-11, "Prosveshcheniye" yayınevi.

3) Ansiklopedi “Bilgi Ağacı” Marshall K.

Dersin amaçları ve hedefleri:

Gövdelerin hacmi ve kesik bir piramidin hacmi için temel formülü kullanarak bir piramidin hacmi için formüller türetin.
sistemleştirmek teorik bilgi Bir piramidin hacmini bulma konusunda.
Tepe noktası tabanın yakınında yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin merkezine yansıtılan bir piramidin hacmini bulma becerisini geliştirin.
çözüm becerilerini geliştirmek tipik görevler Bir piramidin ve kesik bir piramidin hacmi için formüllerin uygulanması üzerine.

Ders ilerlemesi

BEN.Açıklamayeni malzeme.

Teoremin kanıtı bir multimedya projektörü kullanılarak gerçekleştirilir.

Teoremi kanıtlayalım: piramidin hacmiüçte biri, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı.

Kanıt:

Önce üçgen piramit için teoremi, sonra da keyfi bir piramit için kanıtlıyoruz.

1. Üçgen bir piramit düşünün OABC hacim V ile taban alanı S ve yükseklik H. Ekseni çizelim ah (OM2- yükseklik), bölümü düşünün bir 1 B 1 C 1 eksene dik bir düzleme sahip piramit Ah ve dolayısıyla taban düzlemine paraleldir. ile belirtelim X apsis noktası M 1 bu düzlemin x ekseni ile kesişimi ve içinden S(X)- kesit alanı. Hadi ifade edelim S(X) başından sonuna kadar S, H Ve X. Dikkat

Aslında , buradan, .

Sağ Üçgenler , aynı zamanda benzerdir (ortaktırlar) dar açıüst ile HAKKINDA).

Şimdi başvuralım temel formül cisimlerin hacimlerini hesaplamak için A = 0, b =H alıyoruz

2. Şimdi yüksekliği olan keyfi bir piramit için teoremi kanıtlayalım H ve taban alanı S. Böyle bir piramit toplam yüksekliğe sahip üçgen piramitlere bölünebilir H. Kanıtladığımız formülü kullanarak her bir üçgen piramidin hacmini ifade edelim ve bu hacimleri toplayalım. Basamaklama ortak çarpan, parantez içinde üçgen piramitlerin tabanlarının toplamını elde ederiz, yani. Orijinal piramidin tabanlarının S alanı.

Böylece orijinal piramidin hacmi . Teorem kanıtlandı.

II. Hazır çizimler kullanarak sorunları çözebilirsiniz.

Görev 1. (Şekil 3)

Verilen:ABCD- düzenli piramit AB = 3; reklam= . Bulmak: A) Stemel; B) JSC; V) YAPMAK G) V .

Görev 2. (Şekil 4)

Verilen:ABCDF- düzenli piramit .

Görev 3. (Şekil 5)

Verilen:ABCDEKF- düzenli piramit

Bulmak: A) Stemel ; B) V.

Görev4. (şek.. 6)

Bulmak: V.

Görev doğrulama, bir multimedya projektörü kullanılarak gerçekleştirilir. detaylı analiz adım adım çözüm.

Görev 1. (Şekil 3)

a) (formül normal bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılır)
AB = = 3, elimizde

B) (eşkenar üçgenin kenarını kullanan çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı formülü) .

Görev 2. (Şekil 4)

1) Bu nedenle şunu düşünelim:
– ikizkenar, OS = FO = 2.

Görev 3. (Şekil 5)

Görev 4. (Şekil 6)

III. Kesilmiş bir piramidin hacmini hesaplamak için formülün çıktısının kontrol edilmesi (öğrencinin tahtadaki mesajı bir multimedya projektörü kullanılarak yapılır)

Öğrenci cevabı:

Kesik bir piramidin hacmini hacim farkı olarak kabul ediyoruz tam piramit ve ondan bir uçakla kesilen, tabana paralel(Şekil 1).

Bu ifadeyi yerine koyalım X ilk formülde,

Multimedya projektörü aracılığıyla doğrulama ile test şeklinde çalışın.

1.B eğik prizma yan kaburga 7 cm'ye eşit olup, dik kesiti bacakları 4 cm ve 3 cm olan dik üçgendir. Prizmanın hacmini bulun.

a) 10 cm3, b) 42 cm3, c) 60 cm3, d) 30 cm3.

2. Doğru şekilde altıgen piramit Tabanının e tarafı 2 cm'dir. Piramidin hacmi 6 cm3'tür. Yükseklik nedir?

3. Piramidin hacmi 56 cm3, taban alanı 14 cm2'dir. Yükseklik nedir?

a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.

4. Yüksekliği 5 cm, taban kenarları 3 cm olan düzgün üçgen piramidin hacmi nedir?

5. Doğru şekilde dörtgen piramit yüksekliği 9 cm. Tabanın kenarı 4 cm. Piramidin hacmini bulun.

a) 50 cm3, b) 48 cm3, c) 16 cm3.

6. Düzgün dörtgen piramidin hacmi 27 cm3, yüksekliği 9 cm'dir. Tabanın kenarını bulun.

a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.

7. Kesik bir piramidin hacmi 210 cm3, alt tabanın alanı 36 cm2, üst kısmı 9 cm2'dir. Piramidin yüksekliğini bulun.

a) 1cm, b) 15cm, c) 10cm.

8. Eşit boyutlu prizma ve düzgün dörtgen piramit eşit yükseklik. Prizmanın tabanının alanı S ise piramidin tabanının kenarı nedir?

Cevap tablosu.

Görev	1	2	3	4	5	6	7	8
Cevap	B	A	B	A	B	V	V	V

Ödev: 1. 695v, No. 697, No. 690 problemlerini çözün

2. Düşünün temel görevler

Görev 1.

Piramidin yan kenarlarının eşit (veya eşit) olup olmadığını kanıtlayın eşit açılar taban düzlemi ile), daha sonra piramidin tepesi tabanın etrafında tanımlanan dairenin merkezine yansıtılır.

Bunu kanıtla dihedral açılar piramidin tabanı eşitse (veya piramidin tepesinden çizilen yan yüzlerin yükseklikleri eşitse), o zaman piramidin tepesi, piramidin tabanına yazılan dairenin merkezine yansıtılır.

En basitlerinden biri hacimsel rakamlarüçgen bir piramittir çünkü oluşur en küçük sayı uzayda bir figürün oluşturulabileceği yüzler. Bu yazıda düzgün üçgen piramidin hacmini bulmak için kullanılabilecek formüllere bakacağız.

Üçgen piramit

Buna göre genel tanım piramit, tüm köşeleri bu çokgenin düzleminde bulunmayan bir noktaya bağlı olan bir çokgendir. İkincisi bir üçgen ise, şeklin tamamına üçgen piramit denir.

Söz konusu piramit bir taban (üçgen) ve üç yan yüzden (üçgen) oluşur. Üçünün birleştiği nokta yan yüzler, şeklin köşe noktası denir. Bu tepe noktasından tabana inen dik piramidin yüksekliğidir. Dik olanın tabanla kesişme noktası, üçgenin kenarortaylarının tabandaki kesişme noktasıyla çakışıyorsa, o zaman düzenli bir piramitten bahsediyoruz. Aksi takdirde eğimli olacaktır.

Belirtildiği gibi üçgen piramidin tabanı bir üçgen olabilir genel tip. Bununla birlikte, eğer eşkenar ise ve piramidin kendisi düzse, o zaman normal bir üç boyutlu figürden söz ederler.

Herhangi bir üçgen piramidin 4 yüzü, 6 kenarı ve 4 köşesi vardır. Tüm kenarların uzunlukları eşitse, böyle bir şekle tetrahedron denir.

genel tip

Düzenli üçgen piramidi yazmadan önce bunun ifadesini veriyoruz. fiziksel miktar genel tip bir piramit için. Bu ifade şuna benzer:

Burada S o tabanın alanı, h ise şeklin yüksekliğidir. Bu eşitlik her türlü piramit çokgen tabanı için geçerli olacağı gibi koni için de geçerli olacaktır. Tabanda kenar uzunluğu a ve yüksekliği ho olan bir üçgen varsa, hacim formülü aşağıdaki gibi yazılacaktır:

Düzenli üçgen piramidin hacmi için formüller

Düzenli bir üçgen piramit vardır eşkenar üçgenüssünde. Bu üçgenin yüksekliğinin kenarının uzunluğuna şu eşitlikle bağlı olduğu bilinmektedir:

Bu ifadeyi önceki paragrafta yazılan üçgen piramidin hacmi formülüne koyarsak şunu elde ederiz:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Düzenli bir piramidin hacmi üçgen taban tabanın kenar uzunluğunun ve şeklin yüksekliğinin bir fonksiyonudur.

Herhangi birinden beri düzenli çokgen yarıçapı çokgenin kenarının uzunluğunu benzersiz olarak belirleyecek bir daire içine yazılabilirse, bu formül karşılık gelen r yarıçapı boyunca yazılabilir:

Bu formül, üçgenin a tarafının uzunluğu boyunca çevrelenen dairenin r yarıçapının aşağıdaki ifadeyle belirlendiğini hesaba katarsak, önceki formülden kolayca elde edilebilir:

Bir tetrahedronun hacmini belirleme problemi

Sorunu çözmek için yukarıdaki formülleri nasıl kullanacağınızı göstereceğiz. belirli görevler geometri.

Bir tetrahedronun kenar uzunluğunun 7 cm olduğu bilinmektedir. Düzenli bir üçgen piramit-tetrahedronun hacmini bulun.

Tüm tabanların birbirine eşit olduğu bir tetrahedronun düzenli olduğunu hatırlayın. Üçgen hacim formülünü kullanmak için iki miktarı hesaplamanız gerekir:

üçgenin kenarının uzunluğu;
figürün yüksekliği.

İlk miktar problem koşullarından bilinmektedir:

Yüksekliği belirlemek için şekilde gösterilen şekli dikkate alın.

işaretlendi ABC üçgeni ABC açısı 90o olan dikdörtgen şeklindedir. AC kenarı hipotenüstür ve uzunluğu a'dır. Basit geometrik akıl yürütme kullanılarak BC tarafının uzunluğuna sahip olduğu gösterilebilir:

BC uzunluğunun üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olduğuna dikkat edin.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Şimdi h ve a'yı yerine koyabilirsiniz karşılık gelen formül hacim için:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Böylece bir tetrahedronun hacminin formülünü elde ettik. Hacmin sadece kenarın uzunluğuna bağlı olduğu görülebilir. Sorun koşullarındaki değeri ifadeye koyarsak, cevabı alırız:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm3.

Bu değeri aynı kenara sahip bir küpün hacmiyle karşılaştırırsak tetrahedronun hacminin 8,5 kat daha az olduğunu buluruz. Bu, tetrahedronun bazı şekillerde gerçekleştirilen kompakt bir şekil olduğunu gösterir. doğal maddeler. Örneğin metan molekülü tetrahedral bir şekle sahiptir ve elmastaki her karbon atomu diğer dört atoma bağlanarak bir tetrahedron oluşturur.

Homotetik piramit problemi

Merak edileni çözelim geometrik problem. Belirli bir V1 hacmine sahip üçgen şeklinde düzenli bir piramit olduğunu varsayalım. Hacmi orijinalinden üç kat daha küçük olan homotetik bir piramit elde etmek için bu şeklin boyutunun kaç kat küçültülmesi gerekir?

Orijinal düzenli piramidin formülünü yazarak sorunu çözmeye başlayalım:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Problem koşullarının gerektirdiği şeklin hacmi, parametrelerinin k katsayısı ile çarpılmasıyla elde edilsin. Sahibiz:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Şekillerin hacimlerinin oranı koşuldan bilindiğinden k katsayısının değerini elde ederiz:

k = ∛(V2 /V1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Piramidin k katsayısı için de benzer bir değer elde edeceğimizi unutmayın. keyfi tip ve sadece normal üçgen için değil.

En basit üç boyutlu figürlerden biri üçgen piramittir, çünkü uzayda bir figürün oluşturulabileceği en az sayıda yüzden oluşur. Bu yazıda düzgün üçgen piramidin hacmini bulmak için kullanılabilecek formüllere bakacağız.

Üçgen piramit

Genel tanıma göre piramit, tüm köşeleri bu çokgenin düzleminde bulunmayan bir noktaya bağlı olan bir çokgendir. İkincisi bir üçgen ise, şeklin tamamına üçgen piramit denir.

Söz konusu piramit bir taban (üçgen) ve üç yan yüzden (üçgen) oluşur. Üç yan yüzün birleştiği noktaya şeklin tepe noktası denir. Bu tepe noktasından tabana inen dik piramidin yüksekliğidir. Dik olanın tabanla kesişme noktası, üçgenin kenarortaylarının tabandaki kesişme noktasıyla çakışıyorsa, o zaman düzenli bir piramitten bahsediyoruz. Aksi takdirde eğimli olacaktır.

Belirtildiği gibi üçgen piramidin tabanı genel bir üçgen tipi olabilir. Bununla birlikte, eğer eşkenar ise ve piramidin kendisi de düz ise, o zaman normal bir üç boyutlu figürden söz edilir.

Herhangi bir üçgen piramidin 4 yüzü, 6 kenarı ve 4 köşesi vardır. Tüm kenarların uzunlukları eşitse, böyle bir şekle tetrahedron denir.

Genel bir üçgen piramidin hacmi

Düzenli üçgen piramidin hacminin formülünü yazmadan önce, genel tip bir piramit için bu fiziksel miktarın ifadesini veriyoruz. Bu ifade şuna benzer:

Konuyla ilgili: "Küresel Finans": şirketin çalışanlarından ve müşterilerinden gelen incelemeleri

V = 1/6*a*h o *h.

Düzenli üçgen piramidin hacmi için formüller

Düzenli üçgen piramidin tabanında bir eşkenar üçgen bulunur. Bu üçgenin yüksekliğinin kenarının uzunluğuna şu eşitlikle bağlı olduğu bilinmektedir:

Bu ifadeyi önceki paragrafta yazılan üçgen piramidin hacmi formülüne koyarsak şunu elde ederiz:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Tabanı üçgen olan düzgün bir piramidin hacmi, tabanın kenar uzunluğunun ve şeklin yüksekliğinin bir fonksiyonudur.

Herhangi bir normal çokgen, yarıçapı çokgenin kenarının uzunluğunu benzersiz olarak belirleyecek bir daire içine yazılabildiğinden, bu formül, karşılık gelen r yarıçapı cinsinden yazılabilir:

V = √3/4*sa*r2 .

Bu formül, üçgenin a tarafının uzunluğu boyunca çevrelenen dairenin r yarıçapının aşağıdaki ifadeyle belirlendiğini hesaba katarsak, önceki formülden kolayca elde edilebilir:

Bir tetrahedronun hacmini belirleme problemi

Belirli geometri problemlerini çözerken yukarıdaki formüllerin nasıl kullanılacağını göstereceğiz.

Bir tetrahedronun kenar uzunluğunun 7 cm olduğu bilinmektedir. Düzenli bir üçgen piramit-tetrahedronun hacmini bulun.

Bir tetrahedronun, tüm tabanların birbirine eşit olduğu düzenli bir üçgen piramit olduğunu hatırlayın. Normal bir üçgen piramidin hacmine ilişkin formülü kullanmak için iki miktarı hesaplamanız gerekir:

Konuyla ilgili: Bu alışılmadık malzemeler yakında araba koltukları yapımında kullanılacak

üçgenin kenarının uzunluğu;
figürün yüksekliği.

İlk miktar problem koşullarından bilinmektedir:

Yüksekliği belirlemek için şekilde gösterilen şekli dikkate alın.

İşaretli ABC üçgeni, ABC açısının 90 o olduğu bir dik üçgendir. AC kenarı hipotenüstür ve uzunluğu a'dır. Basit geometrik akıl yürütme kullanılarak BC tarafının uzunluğuna sahip olduğu gösterilebilir:

BC uzunluğunun üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olduğuna dikkat edin.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Artık hacim için karşılık gelen formülde h ve a'yı değiştirebilirsiniz:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Böylece bir tetrahedronun hacminin formülünü elde ettik. Hacmin sadece kenarın uzunluğuna bağlı olduğu görülebilir. Sorun koşullarındaki değeri ifadeye koyarsak, cevabı alırız:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm3.

Bu değeri aynı kenara sahip bir küpün hacmiyle karşılaştırırsak tetrahedronun hacminin 8,5 kat daha az olduğunu buluruz. Bu, tetrahedronun bazı doğal maddelerde oluşan kompakt bir şekil olduğunu gösterir. Örneğin metan molekülü tetrahedral bir şekle sahiptir ve elmastaki her karbon atomu diğer dört atoma bağlanarak bir tetrahedron oluşturur.

Homotetik piramit problemi

Burada hacim kavramı ile ilgili örneklere bakacağız. Bu tür görevleri çözmek için piramidin hacminin formülünü bilmeniz gerekir:

h – piramidin yüksekliği

Taban herhangi bir çokgen olabilir. Ama çoğu problemde Birleşik Devlet Sınavında kural olarak normal piramitlerden bahsediyoruz. Size onun özelliklerinden birini hatırlatayım:

Düzenli bir piramidin tepesi tabanının merkezine yansıtılır

Düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitlerin izdüşümüne bakın (ÜST GÖRÜNÜM):

Bir piramidin hacmini bulmayla ilgili sorunların tartışıldığı blogda yapabilirsiniz.Görevleri ele alalım:

27087. Taban kenarları 1 ve yüksekliği üçün köküne eşit olan düzgün üçgen piramidin hacmini bulun.

S– piramidin tabanının alanı

H– piramidin yüksekliği

Piramidin tabanının alanını bulalım, bu düzgün üçgen. Formülü kullanalım - bir üçgenin alanı, bitişik kenarların çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir, yani:

Cevap: 0,25

27088. Taban kenarları 2 ve hacmi 2 olan düzgün üçgen piramidin yüksekliğini bulunuz. köke eşitüçte biri.

Bir piramidin yüksekliği ve tabanının özellikleri gibi kavramlar hacim formülüyle ilişkilidir:

S– piramidin tabanının alanı

H– piramidin yüksekliği

Taban olan üçgenin kenarlarını bildiğimiz için hacmin kendisini biliyoruz, tabanın alanını da bulabiliriz. Belirtilen değerleri bilerek yüksekliği kolayca bulabiliriz.

Tabanın alanını bulmak için formülü kullanırız - bir üçgenin alanı, bitişik kenarların çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir, yani:

Böylece bu değerleri hacim formülünde yerine koyarak piramidin yüksekliğini hesaplayabiliriz:

Yükseklik üçtür.

Cevap: 3

27109. Düzgün bir dörtgen piramidin yüksekliği 6, yan kenarı 10'dur. Hacmini bulun.

Piramidin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

S– piramidin tabanının alanı

H– piramidin yüksekliği

Yüksekliğini biliyoruz. Tabanın alanını bulmanız gerekiyor. Size normal bir piramidin tepesinin tabanının merkezine yansıtıldığını hatırlatmama izin verin. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanı bir karedir. Köşegenini bulabiliriz. Bir dik üçgen düşünün (mavi renkle vurgulanmıştır):

Karenin merkezini B noktasına birleştiren parça bacaktır. yarıya eşit bir karenin köşegenleri. Bu ayağı Pisagor teoremini kullanarak hesaplayabiliriz:

Bu BD = 16 anlamına gelir. Dörtgen alanı formülünü kullanarak karenin alanını hesaplayalım:

Buradan:

Buna göre piramidin hacmi:

Cevap: 256

27178. Düzgün dörtgen piramitte yükseklik 12, hacim ise 200'dür. Bu piramidin yan kenarını bulun.

Piramidin yüksekliği ve hacmi biliniyor, bu da taban olan karenin alanını bulabileceğimiz anlamına geliyor. Karenin alanını bildiğimiz için köşegenini bulabiliriz. Daha sonra, Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgeni göz önünde bulundurarak yan kenarını hesaplıyoruz:

Karenin alanını bulalım (piramidin tabanı):

Karenin köşegenini hesaplayalım. Alanı 50 olduğundan kenar ellinin köküne eşit olacaktır ve Pisagor teoremine göre:

O noktası BD köşegenini ikiye böler, yani bacak dik üçgen OB = 5.

Böylece piramidin yan kenarının neye eşit olduğunu hesaplayabiliriz:

Cevap: 13

245353. Şekilde gösterilen piramidin hacmini bulun. Tabanı, bitişik kenarları dik olan ve yan kenarlarından biri taban düzlemine dik ve 3'e eşit olan bir çokgendir.