• özlü söz- normal bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliği (ayrıca kısa çizgi, normal çokgenin ortasından yanlarından birine indirilen dik uzunluğun uzunluğudur);
• yan yüzler (ASB, BSC, CSD, DSA) - tepe noktasında buluşan üçgenler;
• yan kaburgalar ( GİBİ , B.S. , CS , D.S. ) — ortak yönler yan kenarlar;
• piramidin tepesi (t.S) - yan kaburgaları birleştiren ve taban düzleminde yer almayan bir nokta;
• yükseklik ( BU YÜZDEN ) - piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen dikey bir bölüm (böyle bir bölümün uçları piramidin tepesi ve dikin tabanı olacaktır);
• piramidin çapraz bölümü- piramidin üst kısmından ve tabanın köşegeninden geçen bir bölümü;
• temel (ABCD) - piramidin tepe noktasına ait olmayan bir çokgen.

Piramidin özellikleri.

1. Tüm yan kaburgalar mevcut olduğunda aynı boyutta, Daha sonra:

• piramidin tabanına yakın bir daire tanımlamak kolaydır ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan kaburgalar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturur;
• Üstelik bunun tersi de doğrudur; yan kaburgalar taban düzlemi ile oluştuğunda eşit açılar veya piramidin tabanına yakın bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtıldığında, bu da piramidin tüm yan kenarlarının aynı boyutta olduğu anlamına gelir.

2. Yan yüzler taban düzlemine aynı değerde bir eğim açısına sahip olduğunda:

• piramidin tabanına yakın bir daire tanımlamak kolaydır ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan yüzlerin yükseklikleri eşit uzunluktadır;
• yan yüzeyin alanı, tabanın çevresinin ve yan yüzün yüksekliğinin ½ çarpımına eşittir.

3. Piramidin tabanında çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen varsa, bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir (gerekli ve yeterli bir koşul). Kürenin merkezi, piramidin kendilerine dik kenarlarının ortasından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, hem herhangi bir üçgenin hem de herhangi bir üçgenin etrafında olduğu sonucuna varıyoruz. düzenli piramit küreyi tanımlayabilir.

4. Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri 1. noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli koşul) bir piramite küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacak.

En basit piramit.

Açı sayısına bağlı olarak piramidin tabanı üçgen, dörtgen vb. şeklinde ayrılır.

Bir piramit olacak üçgen, dörtgen, vb., piramidin tabanı bir üçgen, bir dörtgen vb. olduğunda. Üçgen bir piramit bir tetrahedrondur - bir tetrahedron. Dörtgen - beşgen vb.

Video eğitimi 2: Piramit sorunu. Piramidin hacmi

Video eğitimi 3: Piramit sorunu. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kaburgaları, yüksekliği, yan yüzey; üçgen piramit; düzenli piramit

Piramit- Bu hacimsel gövde tabanında bir çokgen bulunan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan.

Piramidin özel bir durumu, tabanında daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarına bakalım:

Özlem- bu, piramidin üstünü yan yüzün alt kenarının ortasına bağlayan bir segmenttir. Başka bir deyişle bu, piramidin kenarının yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız her üçgenin bir tane olduğunu görebilirsiniz. ortak mektup– S. Yani bu, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi adı verilen bir noktada birleştiği anlamına gelir.

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına (üçgenler durumunda - yüksekliklerin kesişme noktasında) bağlayan OS segmentine denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm piramidin tepesinden geçen düzlemin yanı sıra tabanın köşegenlerinden biri olarak adlandırılır.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğuna göre, toplam alan yan yüzey, her yüzün alanını bulup toplamanız gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Piramitte tepe noktasına ait olmayan tek düzleme ne ad verilir? temel piramitler.

Şekilde tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen de olabilir.

Özellikler:

Kenarları aynı uzunlukta olan piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüzde aynıdır.
• Aynı zamanda yeterli koşul Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiği ve tüm kenarların farklı uzunluklarda olduğunu varsayabileceğimiz gerçeğine ek olarak, taban ile yüzlerin her kenarı arasındaki açıların aynı olduğunu da düşünebiliriz.

Yan yüzleri ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Piramidin tabanı etrafında, tepe noktası tam olarak merkeze yansıtılan bir daireyi tanımlayabileceksiniz.
• Yüksekliğin her bir yan kenarını tabana çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tabanın çevresini bulup yüksekliğin uzunluğunun yarısıyla çarpmak yeterlidir.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi poligonun bulunduğuna bağlı olarak bunlar üçgen, dörtgen vb. olabilir. Piramidin tabanı yatıyorsa düzenli çokgen(İle eşit taraflar), o zaman böyle bir piramit düzenli olarak adlandırılacaktır.

Düzenli üçgen piramit

Piramit. Kesilmiş piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan bir çokyüzlüdür ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir köşe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). Piramit denir doğru tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın ortasına doğru çıkıntı yapıyorsa (Şekil 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir dörtyüzlü .

Yan kaburga Bir piramidin yan yüzünün tabana ait olmayan tarafı Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine kadar olan mesafedir. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzleri eşittir ikizkenar üçgenler. Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne ad verilir? özlü söz . Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme piramidin kesiti denir.

Yan yüzey alanı piramit tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Alan tam yüzey tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamına denir.

Teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit olarak eğimliyse, piramidin tepesi tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramitte tüm yan kenarlar varsa eşit uzunluklar, daha sonra piramidin tepesi tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.

3. Bir piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı bir dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için doğru formül şöyledir:

Nerede V- hacim;

S tabanı– üs alanı;

H– piramidin yüksekliği.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ha bir– özlü söz;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S tabanı– üs alanı;

V– düzenli bir piramidin hacmi.

Kesilmiş piramit piramidin taban ile kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir, tabana paralel piramitler (Şek. 17). Düzenli kesik piramit Düzenli bir piramidin taban ile piramidin tabanına paralel kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir.

Gerekçeler kesik piramit - benzer çokgenler. Yan yüzler – yamuklar. Yükseklik Kesik bir piramidin tabanları arasındaki mesafedir. Diyagonal kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir bölümdür. Çapraz bölüm kesik piramidin aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlemle kesitidir.

Kesik bir piramit için aşağıdaki formüller geçerlidir:

(4)

Nerede S 1 , S 2 – üst ve alt tabanların alanları;

S dolu– toplam yüzey alanı;

S tarafı– yan yüzey alanı;

H- yükseklik;

V– kesik bir piramidin hacmi.

Düzenli bir kesik piramit için formül doğrudur:

Nerede P 1 , P 2 – tabanların çevreleri;

ha bir– düzenli kesik piramidin özeti.

Örnek 1. Düzenli bir üçgen piramitte tabandaki dihedral açı 60°'dir. Yan kenarın eğim açısının taban düzlemine teğetini bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit düzenlidir, yani tabanda bir eşkenar üçgen vardır ve tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Dihedral açı tabanda - bu, piramidin yan yüzünün taban düzlemine eğim açısıdır. Doğrusal açı açıdır A iki dik arasında: vb. Piramidin tepesi üçgenin merkezine (çevrel dairenin merkezi ve üçgenin yazılı dairesi) yansıtılır. ABC). Yan kenarın eğim açısı (örneğin S.B.) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. Kaburga için S.B. bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir BU YÜZDEN Ve O.B.. Segmentin uzunluğuna izin verin BD 3'e eşittir A. Nokta HAKKINDA bölüm BD parçalara ayrılmıştır: ve Bulduğumuz yerden BU YÜZDEN: Şunu buluyoruz:

Cevap:

Örnek 2. Doğru kesiklinin hacmini bulun dörtgen piramit tabanlarının köşegenleri cm ve cm ise yüksekliği 4 cm ise.

Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanını bulmak için taban karelerinin köşegenlerini bilerek kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'ye eşittir. Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve tüm verileri formülde yerine koyarak kesik piramidin hacmini hesaplarız:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3. Tabanlarının kenarları 10 cm ve 4 cm, piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 19).

Bu piramidin yan yüzü ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Tabanlar duruma göre verilir, sadece yüksekliği bilinmez. Onu nereden bulacağız A 1 e bir noktadan dik A 1 alt taban düzleminde, A 1 D– itibaren dik A başına 1 klima. A 1 e= 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak için AlmanyaÜstten görünümü gösteren ek bir çizim yapalım (Şek. 20). Nokta HAKKINDA– üst ve alt tabanların merkezlerinin projeksiyonu. o zamandan beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM– dairenin içine yazılan yarıçap ve OM– bir daire içine yazılan yarıçap:

MK = DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4. Piramidin tabanında ikizkenar bir yamuk bulunur; tabanları A Ve B (A> B). Her bir yan yüz, piramidin taban düzlemine eşit bir açı oluşturur J. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşit ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktasının tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılacağı ifadesini kullanalım. Nokta HAKKINDA– köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin dik izdüşümüdür CSD tabanın düzlemine. Alan teoremine göre ortogonal projeksiyon düz şekilşunu elde ederiz:

Aynı şekilde şu anlama gelir Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi ABCD. Bir yamuk çizelim ABCD ayrı ayrı (Şek. 22). Nokta HAKKINDA- yamuk içine yazılmış bir dairenin merkezi.

Bir daire yamuk içine yazılabildiğinden, o zaman veya Pisagor teoreminden elimizdeki

Hipotez: piramit şeklinin mükemmelliğinin şunlardan kaynaklandığına inanıyoruz: matematik yasaları, kendi formuna gömülü.

Hedef: piramidi inceledikten sonra geometrik gövde, formunun mükemmelliğini açıklamak için.

Görevler:

1. Ver matematiksel tanım piramit.

2. Piramidi geometrik bir cisim olarak inceleyin.

3. Neyi anlayın matematik bilgisi Mısırlılar onu piramitlerine koydular.

Özel sorular:

1. Geometrik bir cisim olarak piramit nedir?

2. Piramidin benzersiz şeklini nasıl açıklayabiliriz? matematiksel nokta görüş?

3. Piramidin geometrik harikalarını ne açıklıyor?

4. Piramit şeklinin mükemmelliğini ne açıklıyor?

Piramidin tanımı.

PİRAMİT (Yunan pyramis'inden, gen. Pyramidos) - tabanı çokgen olan bir çokyüzlü ve geri kalan yüzler üçgenlerdir. ortak üst(çizim). Tabanın köşe sayısına göre piramitler üçgen, dörtgen vb. olarak sınıflandırılır.

PİRAMİT - anıtsal bir bina geometrik şekil piramitler (bazen basamaklı veya kule şeklinde). Piramitler, M.Ö. 3.-2. binyıllarda eski Mısır firavunlarının dev mezarlarına verilen isimdir. e., kozmolojik kültlerle ilişkili eski Amerikan tapınak kaidelerinin yanı sıra (Meksika, Guatemala, Honduras, Peru'da).

bu mümkün Yunanca kelime"piramit" nereden geliyor Mısır ifadesi per-em-us yani piramidin yüksekliğini ifade eden terimden. Seçkin Rus Mısırbilimci V. Struve, Yunanca "puram...j" kelimesinin eski Mısır dilindeki "p"-mr" kelimesinden geldiğine inanıyordu.

Tarihten. Atanasyan'ın yazarlarının “Geometri” ders kitabındaki materyali inceledim. Butuzov ve diğerleri, şunu öğrendik: Bir n-gon A1A2A3 ... An ve n üçgenlerinden PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1'den oluşan bir çokyüzlüye piramit denir. A1A2A3...An poligonu piramidin tabanıdır ve PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 üçgenleri piramidin yan yüzleridir, P piramidin tepesidir, PA1, PA2,.. bölümleridir. ., PAn yan kenarlardır.

Ancak piramidin bu tanımı her zaman mevcut değildi. Örneğin, matematik üzerine bize ulaşan teorik incelemelerin yazarı olan eski Yunan matematikçi Öklid, piramidi, bir düzlemden bir noktaya yakınlaşan düzlemlerle sınırlanan katı bir şekil olarak tanımlar.

Ancak bu tanım zaten eski zamanlarda eleştirildi. Yani Heron önerdi aşağıdaki tanım piramit: "Bu, bir noktada birleşen üçgenlerle sınırlanmış ve tabanı çokgen olan bir şekildir."

Grubumuz bu tanımları karşılaştırarak “vakıf” kavramının net bir formülasyonuna sahip olmadıkları sonucuna varmıştır.

Bu tanımları inceledik ve 1794 yılında “Geometrinin Elemanları” adlı eserinde piramidi şu şekilde tanımlayan Adrien Marie Legendre'nin tanımını bulduk: “Piramit, bir noktada birleşip aynı noktada biten üçgenlerden oluşan katı bir şekildir. farklı taraflar düz taban."

Bize öyle geliyor ki son tanım piramit hakkında net bir fikir veriyor çünkü hakkında konuşuyoruz tabanın düz olmasıdır. Piramidin başka bir tanımı da 19. yüzyıldan kalma bir ders kitabında yer aldı: "Piramit, bir düzlemle kesişen katı bir açıdır."

Geometrik bir cisim olarak piramit.

O. Bir piramit, yüzlerinden biri (taban) bir çokgen olan, geri kalan yüzler (yanlar) ortak bir tepe noktasına (piramidin tepe noktası) sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine çizilen dikmeye ne ad verilir? yükseklikH piramitler.

Keyfi piramite ek olarak, doğru piramit tabanında düzenli bir çokgen vardır ve kesik piramit.

Şekilde PABCD piramidi var, ABCD tabanı ve PO yüksekliği.

Toplam yüzey alanı piramit tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır.

Sfull = Yan Taraf + Smain, Nerede Taraf– yan yüzlerin alanlarının toplamı.

Piramidin hacmi aşağıdaki formülle bulunur:

V=1/3Sbas. H, nerede Sbas. - üs alanı, H- yükseklik.

Düzenli bir piramidin yan yüzünün alanı şu şekilde ifade edilir: Sside. =1/2P H burada P tabanın çevresidir, H- yan yüzün yüksekliği (normal bir piramidin özeti). Eğer piramit tabana paralel A'B'C'D' düzlemiyle kesişiyorsa:

1) yan kaburgalar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;

2) kesitte tabana benzer bir A'B'C'D' çokgeni elde edilir;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" genişlik = "287" yükseklik = "151">

Kesik piramidin tabanları– benzer çokgenler ABCD ve A`B`C`D`, yan yüzler yamuktur.

Yükseklik kesik piramit - tabanlar arasındaki mesafe.

Kesilmiş hacim piramit şu formülle bulunur:

v=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align = "left" width = "91" height = "96"> Düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanı şu şekilde ifade edilir: Syan = ½(P+P') H burada P ve P' tabanların çevreleridir, H- yan yüzün yüksekliği (düzenli kesik piraminin özeti)

Bir piramidin bölümleri.

Bir piramidin tepesinden geçen düzlemlere göre bölümleri üçgenlerdir.

Bir piramidin birbirine bitişik olmayan iki yan kenarından geçen kesite ne ad verilir? diyagonal bölüm.

Bölüm bir noktadan geçiyorsa yan kaburga ve tabanın yanı, daha sonra piramidin taban düzlemindeki izi bu taraf olacaktır.

Piramidin ön yüzündeki bir noktadan geçen bir kesit ve taban düzleminde verilen bir kesit izi varsa inşaat şu şekilde yapılmalıdır:

· belirli bir yüzün düzleminin kesişme noktasını ve piramidin kesitinin izini bulun ve bunu belirtin;

içinden geçen düz bir çizgi çizin verilen nokta ve ortaya çıkan kesişim noktası;

· sonraki yüzler için bu adımları tekrarlayın.

Bu, bir dik üçgenin bacaklarının 4:3 oranına karşılık gelir. Bacakların bu oranı, "mükemmel", "kutsal" veya "Mısır" üçgeni olarak adlandırılan, kenarları 3:4:5 olan iyi bilinen dik üçgene karşılık gelir. Tarihçilere göre “Mısır” üçgenine büyülü bir anlam verildi. Plutarch, Mısırlıların evrenin doğasını "kutsal" bir üçgene benzettiklerini yazdı; sembolik olarak dikey bacağı kocaya, tabanı karısına ve hipotenüsü her ikisinden de doğan şeye benzetmişlerdi.

3:4:5 üçgeni için eşitlik doğrudur: 32 + 42 = 52, bu da Pisagor teoremini ifade eder. Mısırlı rahiplerin 3:4:5 üçgenine dayalı bir piramit dikerek sürdürmek istedikleri bu teorem değil miydi? Mısırlılar tarafından Pisagor tarafından keşfedilmeden çok önce bilinen Pisagor teoremini açıklayacak daha başarılı bir örnek bulmak zordur.

Böylece, parlak yaratıcılar Mısır piramitleri Bilgilerinin derinliğiyle uzak torunları şaşırtmaya çalıştılar ve bunu Cheops piramidi için "ana geometrik fikir" olarak "altın" seçerek başardılar dik üçgen ve Khafre piramidi için - “kutsal” veya “Mısır” üçgeni.

Bilim adamları araştırmalarında sıklıkla Altın Oran oranlarına sahip piramitlerin özelliklerini kullanıyorlar.

Matematikte ansiklopedik sözlük Altın Bölümün aşağıdaki tanımı verilmiştir - bu harmonik bir bölünmedir, aşırı ve ortalama oranda bir bölünmedir - AB parçasını iki parçaya böler, böylece daha büyük kısmı AC, tüm AB parçası ile onun arasındaki ortalama orantılıdır. daha küçük kısım NE.

Bir segmentin Altın bölümünün cebirsel olarak belirlenmesi AB = bir x'in yaklaşık olarak 0,62a'ya eşit olduğu a: x = x: (a – x) denkleminin çözümüne indirgenir. X oranı 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 kesirleri olarak ifade edilebilir, burada 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci sayılarıdır.

AB segmentinin Altın Bölümünün geometrik yapısı şu şekilde gerçekleştirilir: B noktasında AB'ye dik olan bölüm geri yüklenir, üzerine BE = 1/2 AB segmenti yerleştirilir, A ve E bağlanır, DE = BE çıkartılır ve son olarak AC = AD olur, o zaman AB eşitliği sağlanır: CB = 2:3.

Altın oran sanat eserlerinde, mimaride sıklıkla kullanılır ve doğada bulunur. Canlı örnekler Parthenon Apollo Belvedere'nin heykelidir. Parthenon'un inşası sırasında binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı kullanılmış ve bu oran 0,618'dir. Etrafımızdaki nesneler de Altın Oranın örneklerini veriyor; örneğin birçok kitabın ciltlerinin en-boy oranı 0,618'e yakın. Bitkilerin ortak gövdesindeki yaprakların dizilişine bakıldığında, her iki yaprak çifti arasında üçüncüsünün Altın Oran'da (kaydırak) yer aldığını fark edebilirsiniz. Her birimiz Altın Oranı "elimizde" "taşırız" - bu, parmakların falankslarının oranıdır.

Birkaç matematiksel papirüsün keşfi sayesinde, Mısırbilimciler eski Mısır hesaplama ve ölçüm sistemleri hakkında bir şeyler öğrendiler. İçlerinde yer alan görevler katipler tarafından çözüldü. En ünlülerinden biri Rhind Matematiksel Papirüsü'dür. Mısırbilimciler bu sorunları inceleyerek eski Mısırlıların bu sorunlarla nasıl başa çıktıklarını öğrendiler. farklı miktarlarda Kesirlerin sıklıkla kullanıldığı ağırlık, uzunluk ve hacim ölçülerinin hesaplanmasında ortaya çıkan ve bunların açılarla nasıl başa çıktığı.

Eski Mısırlılar, bir dik üçgenin yüksekliğinin tabanına oranına dayanan açı hesaplama yöntemini kullandılar. Degrade dilinde herhangi bir açıyı ifade ettiler. Eğim gradyanı "sed" adı verilen tam sayı oranıyla ifade edildi. Richard Pillins, Firavunlar Zamanında Matematik kitabında şöyle açıklıyor: "Normal bir piramidin ikincisi, dört piramidin herhangi birinin eğimidir. üçgen yüzler taban düzlemine, bir dikey birim yükseliş başına yatay birimlerin sayısıyla ölçülür. Dolayısıyla bu ölçü birimi, eğim açısının modern kotanjantına eşdeğerdir. Bu nedenle Mısır dilindeki "seced" kelimesi bizim modern kelime"gradyan"".

Piramitlerin sayısal anahtarı, yüksekliklerinin tabana oranında yatmaktadır. Pratik açıdan bu, piramidin inşası boyunca doğru eğim açısını sürekli kontrol etmek için gerekli şablonları yapmanın en kolay yoludur.

Mısırbilimciler, her firavunun kendi bireyselliğini ifade etmeyi arzuladığına, dolayısıyla her piramidin eğim açılarındaki farklılıklara bizi ikna etmekten mutluluk duyacaktır. Ama başka bir sebep de olabilir. Belki de hepsi farklı oranlarda gizlenmiş farklı sembolik çağrışımları somutlaştırmak istiyordu. Bununla birlikte, Khafre piramidinin açısı (üçgene dayalı olarak (3:4:5)) Rhind Mathematical Papyrus'taki piramitlerin sunduğu üç problemde görünmektedir). Yani bu tutum eski Mısırlılar tarafından iyi biliniyordu.

Eski Mısırlıların 3:4:5 üçgeninden haberdar olmadıklarını iddia eden Mısırbilimcilere karşı adil olmak gerekirse, hipotenüs 5'in uzunluğundan hiç bahsedilmemişti. Ancak matematik problemleri Piramitlerle ilgili sorulara her zaman ikinci açıya (yüksekliğin tabana oranı) göre karar verilir. Hipotenüsün uzunluğundan hiç bahsedilmediği için Mısırlıların üçüncü kenarın uzunluğunu hiçbir zaman hesaplamadıkları sonucuna varıldı.

Gize piramitlerinde kullanılan yükseklik-taban oranları şüphesiz eski Mısırlılar tarafından biliniyordu. Her piramit için bu ilişkilerin keyfi olarak seçilmiş olması mümkündür. Ancak bu, tüm Mısır alfabesinde sayı sembolizmine verilen önemle çelişmektedir. güzel sanatlar. Bu tür ilişkilerin önemli olması muhtemeldir çünkü bunlar spesifik ifadeleri ifade etmiştir. dini fikirler. Başka bir deyişle, Giza kompleksinin tamamı belirli bir ilahi temayı yansıtacak şekilde tasarlanmış tutarlı bir tasarıma tabi tutuldu. Bu, tasarımcıların neden seçtiğini açıklıyor farklı açılarüç piramidin eğimi.

Orion Gizemi'nde Bauval ve Gilbert, Giza piramitlerini Orion takımyıldızına, özellikle de Orion'un Kuşağı yıldızlarına bağlayan ikna edici kanıtlar sundular. Aynı takımyıldızı İsis ve Osiris mitinde de mevcuttur ve her piramidi birer piramit olarak görmek için neden vardır. Üç ana tanrıdan birinin temsili: Osiris, İsis ve Horus.

"GEOMETRİK" MUCİZELER.

Mısır'ın görkemli piramitleri arasında özel yer almak Büyük Firavun Keops Piramidi (Khufu). Keops piramidinin şeklini ve boyutunu analiz etmeye başlamadan önce Mısırlıların hangi ölçü sistemini kullandığını hatırlamalıyız. Mısırlıların üç birim uzunluğu vardı: yedi "avuç içi"ne (66,5 mm) eşit olan bir "arşın" (466 mm), bu da dört "parmağa" (16,6 mm) eşitti.

Ukraynalı bilim adamı Nikolai Vasyutinsky'nin harika kitabında verilen argümanları takip ederek Cheops piramidinin boyutlarını analiz edelim (Şekil 2). Altın oran" (1990).

Çoğu araştırmacı, örneğin piramidin tabanının kenar uzunluğunun şu şekilde olduğu konusunda hemfikirdir: GF eşit L= 233,16 m Bu değer neredeyse tam olarak 500 “dirseğe” karşılık gelmektedir. “Dirsek” uzunluğunun 0,4663 m'ye eşit olduğu kabul edilirse 500 “dirsek”e tam uyum sağlanacaktır.

Piramidin yüksekliği ( H) araştırmacılar tarafından 146,6 ile 148,2 m arasında çeşitli şekillerde tahmin edilmektedir ve piramidin kabul edilen yüksekliğine bağlı olarak tüm oranlar değişmektedir. geometrik elemanlar. Piramidin yüksekliğine ilişkin tahminlerdeki farklılıkların nedeni nedir? Gerçek şu ki, kesin olarak konuşursak, Cheops piramidi kesiktir. Üst platformu bugün yaklaşık 10'10 m ölçülerindeyken, bir asır önce 6'6 m idi.Açıkçası piramidin tepesi sökülmüş ve orijinaline uymuyor.

Piramidin yüksekliğini değerlendirirken yapının “taslağı” gibi fiziksel bir faktörü hesaba katmak gerekir. İçin uzun zaman muazzam basıncın etkisi altında (1 m2 başına 500 tona ulaşan) alt yüzey) Piramidin yüksekliği orijinal yüksekliğine göre azalmıştır.

Piramidin orijinal yüksekliği ne kadardı? Bu yükseklik, piramidin temel "geometrik fikri" bulunarak yeniden oluşturulabilir.

Şekil 2.

1837'de İngiliz Albay G. Wise piramidin yüzlerinin eğim açısını ölçtü: eşit olduğu ortaya çıktı A= 51°51". Bu değer bugün hala çoğu araştırmacı tarafından tanınmaktadır. Belirtilen değer açı teğete karşılık gelir (tg A), 1,27306'ya eşit. Bu değer piramidin yüksekliğinin oranına karşılık gelir klima tabanının yarısına kadar C.B.(Şekil 2), yani AC / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Ve burada araştırmacıları büyük bir sürpriz bekliyordu!.png" width="25" height="24">= 1.272. Bu değeri tg değeriyle karşılaştırmak A= 1,27306, bu değerlerin birbirine çok yakın olduğunu görüyoruz. Eğer açıyı alırsak A= 51°50", yani bunu yalnızca bir yay dakikası kadar azaltın, ardından değer A 1.272'ye eşit olacak yani değere denk gelecektir. 1840 yılında G. Wise'ın ölçümlerini tekrarladığını ve açının değerinin ne olduğunu açıklığa kavuşturduğunu belirtmek gerekir. A=51°50".

Bu ölçümler araştırmacıları şu sonuca götürdü: ilginç hipotez: Cheops piramidinin ACB üçgeni AC ilişkisine dayanıyordu / C.B. = = 1,272!

Şimdi dik üçgeni düşünün ABC bacakların oranı AC / C.B.= (Şekil 2). Şimdi dikdörtgenin kenar uzunlukları ise ABC tarafından belirlemek X, sen, z ve ayrıca oranın da dikkate alınması gerekir. sen/X= ise Pisagor teoremine göre uzunluk z aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Eğer kabul edersek X = 1, sen= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" genişlik = "143" yükseklik = "27">

Şekil 3."Altın" sağ üçgen.

Kenarların ilişkili olduğu bir dik üçgen T:altın" sağ üçgen.

O halde, Cheops piramidinin ana "geometrik fikrinin" "altın" dik üçgen olduğu hipotezini temel alırsak, buradan Cheops piramidinin "tasarım" yüksekliğini kolayca hesaplayabiliriz. Şuna eşittir:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Şimdi Cheops piramidi için "altın" hipotezinden çıkan başka bağıntıları türetelim. Özellikle piramidin dış alanının taban alanına oranını bulacağız. Bunu yapmak için bacağın uzunluğunu alıyoruz C.B. birim başına, yani: C.B.= 1. Ancak piramidin tabanının kenar uzunluğu GF= 2 ve tabanın alanı EFGH eşit olacak SEFGH = 4.

Şimdi Keops piramidinin yan yüzünün alanını hesaplayalım SD. Çünkü yükseklik ABüçgen AEF eşit T, o zaman yan yüzün alanı şuna eşit olacaktır: SD = T. O zaman piramidin dört yan yüzünün toplam alanı 4'e eşit olacaktır. T ve piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır! İşte bu - Cheops piramidinin ana geometrik gizemi!

Gruba " geometrik harikalar"Keops piramitleri, aralarındaki ilişkinin gerçek ve hayali özelliklerine atfedilebilir. farklı boyutlar piramidin içinde.

Kural olarak, belirli "sabitleri", özellikle de 3.14159'a eşit "pi" sayısını (Ludolfo numarası) aramak için elde edilirler; zemin doğal logaritmalar"e" (Neper'in sayısı), 2,71828'e eşit...; "F" sayısı, "altın bölüm" sayısı, örneğin 0,618'e eşit... vb.

Örneğin şunları adlandırabilirsiniz: 1) Herodot'un özelliği: (Yükseklik)2 = 0,5 sanat. temel x Özlem; 2) V.'nin Mülkiyeti Fiyat: Yükseklik: 0,5 md. taban = "F"nin karekökü; 3) M. Eist'in Özelliği: Tabanın çevresi: 2 Yükseklik = "Pi"; farklı bir yorumda - 2 yemek kaşığı. temel : Yükseklik = "Pi"; 4) G. Kenarın Özelliği: Yazılı dairenin yarıçapı: 0,5 md. temel = "K"; 5) K. Kleppisch'in Mülkiyeti: (Mad. main.)2: 2(Mad. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Mad. main. x Apothem) : ((2 md. main. x Apothem) . main X Apothem) + (v. main)2). Ve benzeri. Özellikle iki bitişik piramidi birbirine bağlarsanız, bu tür birçok özelliği ortaya çıkarabilirsiniz. Örneğin “A. Arefyev'in Özellikleri” olarak Keops piramidi ile Kefren piramidinin hacimleri arasındaki farkın Mikerin piramidinin hacminin iki katına eşit olduğundan bahsedilebilir...

Birçok ilginç hükümlerÖzellikle piramitlerin “altın orana” göre inşası D. Hambidge “Mimaride dinamik simetri” ve M. Gick “Doğada ve sanatta orantı estetiği” kitaplarında anlatılmaktadır. Hatırlayalım ki “altın oran”, bir parçanın, A kısmı B kısmından kaç kat daha büyük, A kısmı A + B parçasının tamamından kaç kat daha küçük olacak şekilde bölünmesidir. A/B oranı “F” == 1.618 sayısına eşittir.. “Altın oranın” kullanımı yalnızca bireysel piramitlerde değil, aynı zamanda Giza'daki piramit kompleksinin tamamında da belirtilmektedir.

Ancak en merak edilen şey, aynı Keops piramidinin bu kadar çok harika özelliği "içeremeyeceği"dir. Belirli bir özelliği tek tek ele alarak "takılabilir" ama hepsi aynı anda uymuyor - örtüşmüyor, birbiriyle çelişiyor. Bu nedenle, örneğin tüm özellikleri kontrol ederken, başlangıçta piramidin tabanının (233 m) aynı tarafını alırsak, farklı özelliklere sahip piramitlerin yükseklikleri de farklı olacaktır. Başka bir deyişle, Cheops'a dışarıdan benzeyen ancak karşılık gelen belirli bir piramit "ailesi" vardır. farklı özellikler. "Geometrik" özelliklerde özellikle mucizevi hiçbir şey olmadığına dikkat edin - çoğu, şeklin kendi özelliklerinden tamamen otomatik olarak ortaya çıkar. Bir "mucize" yalnızca eski Mısırlılar için açıkça imkansız olan bir şey olarak düşünülmelidir. Bu, özellikle Keops piramidinin veya Giza'daki piramit kompleksinin ölçümlerinin bazı astronomik ölçümlerle karşılaştırıldığı ve "çift" sayıların belirtildiği "kozmik" mucizeleri içerir: bir milyon kat daha az, bir milyar kat daha az ve yakında. Bazı "kozmik" ilişkileri ele alalım.

İfadelerden biri şu: “Piramit tabanının kenarını tam olarak bir yılın uzunluğuna bölerseniz, yılın tam olarak 10 milyonda birini elde edersiniz.” dünyanın ekseni". Hesaplayın: 233'ü 365'e bölün, 0,638 elde ederiz. Dünyanın yarıçapı 6378 km'dir.

Bir diğer ifade ise aslında öncekinin tam tersi. F. Noetling, kendisinin icat ettiği "Mısır arşını" kullanırsanız piramidin tarafının "en doğru süreye" karşılık geleceğini belirtti. güneş yılı, günün en yakın milyarda biri olarak ifade edilir" - 365.540.903.777.

P. Smith'in açıklaması: "Piramitin yüksekliği, Dünya'dan Güneş'e olan mesafenin tam olarak milyarda biri kadardır." Genellikle alınan yükseklik 146,6 m olmasına rağmen Smith bunu modern radar ölçümlerine göre yarı ana eksen olarak 148,2 m olarak almıştır. dünyanın yörüngesi 149.597.870 + 1,6 km'dir. Bu, Dünya'dan Güneş'e olan ortalama mesafedir, ancak günberi noktasında bu mesafe, günöte noktasına göre 5.000.000 kilometre daha azdır.

Son bir ilginç açıklama:

"Keops, Khafre ve Mykerinus piramitlerinin kütlelerinin, Dünya, Venüs, Mars gezegenlerinin kütleleri gibi birbirleriyle ilişkili olmasını nasıl açıklayabiliriz?" Hesaplayalım. Üç piramidin kütleleri şunlardır: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Üç gezegenin kütle oranları: Venüs - 0,815; Dünya - 1000; Mars - 0,108.

Dolayısıyla, şüpheciliğe rağmen, ifadelerin yapısının iyi bilinen uyumuna dikkat çekiyoruz: 1) piramidin yüksekliği, "uzaya giden" bir çizgi gibi, Dünya'dan Güneş'e olan mesafeye karşılık gelir; 2) piramidin tabanının “alt tabakaya”, yani Dünya'ya en yakın tarafı sorumludur dünya yarıçapı ve dünyevi dolaşım; 3) piramidin hacimleri (okunan kütleler), Dünya'ya en yakın gezegenlerin kütlelerinin oranına karşılık gelir. Benzer bir “şifrenin” örneğin Karl von Frisch tarafından analiz edilen arı dilinde de izleri sürülebilir. Ancak şimdilik bu konu hakkında yorum yapmaktan kaçınacağız.

PİRAMİT ŞEKLİ

Piramitlerin ünlü dört yüzlü şekli hemen ortaya çıkmadı. İskitler toprak tepeler - höyükler şeklinde mezarlar yaptılar. Mısırlılar taştan "tepeler" - piramitler inşa ettiler. Bu ilk olarak MÖ 28. yüzyılda Yukarı ve Aşağı Mısır'ın birleşmesinden sonra gerçekleşti. III hanedanı Firavun Djoser (Zoser) ülkenin birliğini güçlendirmekle görevlendirildi.

Ve burada, tarihçilere göre, önemli rol güçlendirmede merkezi hükümet oynandı" yeni konsept Kralın "tanrılaştırılması" Kraliyet mezarları daha büyük bir ihtişamla ayırt edilse de, prensipte saray soylularının mezarlarından farklı değildiler, aynı yapılardı - mumyanın bulunduğu lahitin bulunduğu odanın üstünde. , küçük taşlardan oluşan dikdörtgen bir tümsek döküldü ve buraya büyük taş bloklardan yapılmış küçük bir bina yerleştirildi - "mastaba" (Arapça - "tezgah") selefi Sanakht, Firavun Djoser'in mastabasının bulunduğu yere. ilk piramidi inşa etti ve bir mimari formdan diğerine gözle görülür bir geçiş aşamasıydı.

Böylece daha sonra büyücü olarak kabul edilen ve Yunanlılar tarafından tanrı Asklepios ile özdeşleştirilen bilge ve mimar İmhotep, firavunu “yükseltmiştir”. Sanki arka arkaya altı mastaba dikilmiş gibiydi. Dahası, ilk piramit, tahmini yüksekliği 66 metre olan (Mısır standartlarına göre - 1000 "avuç içi") 1125 x 115 metrelik bir alanı kaplıyordu. İlk başta mimar bir mastaba inşa etmeyi planladı, ancak dikdörtgen değil, kare planlıydı. Daha sonra genişletildi, ancak uzantı daha alçak yapıldığı için iki basamak varmış gibi görünüyordu.

Bu durum mimarı tatmin etmemiş ve İmhotep devasa düz mastabanın üst platformuna giderek yukarıya doğru azalarak üç tane daha yerleştirmiştir. Mezar piramidin altında bulunuyordu.

Birkaç basamaklı piramit daha biliniyor, ancak daha sonra inşaatçılar bize daha tanıdık olan tetrahedral piramitler inşa etmeye başladılar. Peki neden üçgen ya da sekizgen olmasın? Dolaylı bir cevap, hemen hemen tüm piramitlerin dört ana yön boyunca mükemmel bir şekilde yönlendirilmiş olması ve dolayısıyla dört tarafa sahip olması gerçeğiyle verilmektedir. Ayrıca piramit, dörtgen bir mezar odasının kabuğu olan bir “ev” idi.

Peki yüzlerin eğim açısını ne belirledi? “Oranlar Prensibi” kitabında buna bir bölümün tamamı ayrılmıştır: “Piramitlerin eğim açılarını ne belirleyebilirdi?” Özellikle “büyük piramitlerin çekildiği görüntünün Antik krallık- tepe noktasında dik açılı bir üçgen.

Uzayda bu bir yarı oktahedrondur: tabanın kenarlarının ve yanlarının eşit olduğu, yüzlerin eşit olduğu bir piramit eşkenar üçgenler". Hambidge, Gick ve diğerlerinin kitaplarında bu konuyla ilgili bazı değerlendirmeler yapılmıştır.

Yarı oktahedron açının avantajı nedir? Arkeolog ve tarihçilerin açıklamalarına göre bazı piramitler kendi ağırlıkları altında çöktü. İhtiyaç duyulan şey, enerji açısından en güvenilir olan bir açı olan "uzun ömür açısı" idi. Tamamen ampirik olarak bu açı, ufalanan kuru kum yığınındaki tepe açısından alınabilir. Ancak doğru verileri elde etmek için bir model kullanmanız gerekir. Sıkıca sabitlenmiş dört top alarak üzerlerine beşincisini yerleştirmeniz ve eğim açılarını ölçmeniz gerekir. Ancak burada bir hata yapabilirsiniz, bu nedenle teorik bir hesaplama yardımcı olur: topların merkezlerini çizgilerle (zihinsel olarak) birleştirmelisiniz. Taban, bir kenarı yarıçapın iki katına eşit olan bir kare olacaktır. Kare, kenarlarının uzunluğu da yarıçapın iki katına eşit olacak olan piramidin sadece tabanı olacaktır.

Böylece, topların 1:4 gibi sıkı bir şekilde paketlenmesi bize düzenli bir yarı oktahedron verecektir.

Ancak neden benzer bir şekle doğru çekim yapan pek çok piramit yine de onu koruyamıyor? Piramitler muhtemelen yaşlanıyor. Ünlü sözün aksine:

"Dünyadaki her şey zamandan korkar ve zaman da piramitlerden korkar", piramitlerin binaları yaşlanmak zorundadır, içlerinde sadece dış hava koşulları süreçleri meydana gelebilir ve gelmelidir, aynı zamanda içlerinde meydana gelebilecek iç "büzülme" süreçleri de meydana gelebilir. piramitlerin daha alçak olmasına neden olur. Büzülme de mümkündür çünkü D. Davidovits'in çalışmasının ortaya koyduğu gibi, eski Mısırlılar kireç parçacıklarından, yani "betondan" blok yapma teknolojisini kullanmışlardır. Kahire'nin 50 km güneyinde bulunan Medum Piramidi'nin yıkılmasının nedenini tam olarak benzer süreçler açıklayabilir. 4600 yaşında, taban ölçüleri 146 x 146 m, yüksekliği 118 m'dir. V. Zamarovsky, "Neden bu kadar biçimsiz?" diye soruyor. "Zamanın yıkıcı etkilerine ve "taşın diğer binalarda kullanılmasına" yapılan olağan göndermeler burada uygun değil.

Sonuçta bloklarının ve kaplama levhalarının çoğu günümüze kadar yerinde, harabe halinde kalmıştır." Göreceğimiz gibi, bazı hükümler bize ünlü Keops Piramidi'nin de "buruşmuş" olduğunu düşündürmektedir. her durumda, tüm eski görüntülerde piramitler sivri uçludur ...

Piramitlerin şekli de taklit yoluyla oluşturulmuş olabilir: bazı doğal örnekler, örneğin "mucize mükemmellik", bazıları oktahedron formundaki kristaller.

Benzer kristaller elmas ve altın kristalleri olabilir. karakteristik büyük sayı Firavun, Güneş, Altın, Elmas gibi kavramlar için "örtüşen" işaretler. Her yerde - asil, parlak (parlak), harika, kusursuz vb. Benzerlikler tesadüfi değildir.

Bilindiği üzere güneş kültü dinin önemli bir bölümünü oluşturmaktaydı. Eski Mısır. "Piramitlerin en büyüğünün adını nasıl tercüme edersek edelim" diyor modern yardımlar- "Khufu'nun gökkubbesi" veya "Khufu'nun gökkubbesi", bu, kralın güneş olduğu anlamına geliyordu." Eğer Khufu, gücünün parlaklığıyla kendisini ikinci güneş olarak hayal ettiyse, o zaman oğlu Djedef-Ra oldu. Mısır krallarından kendisine “Ra'nın oğlu”, yani Güneş'in oğlu diyen ilk kişi. Hemen hemen tüm halklar arasında Güneş, “güneş metali”, altın ile sembolize ediliyordu. altın” - Mısırlılar bizim için buna böyle diyorlardı gün ışığı. Mısırlılar altını çok iyi biliyorlardı, altın kristallerinin oktahedron şeklinde görünebileceği doğal formlarını biliyorlardı.

Burada "örnek formlar" ne kadar ilginç ve " güneş taşı" - elmas. Elmasın adı tam olarak Arap dünyasından geldi, “almas” en sert, en sert, yok edilemez. Eski Mısırlılar elması ve özelliklerini oldukça iyi biliyorlardı. Bazı yazarlara göre elmaslı bronz tüpler bile kullandılar delme için kesiciler.

Şu anda elmasların ana tedarikçisi Güney Afrika ancak Batı Afrika da elmas bakımından zengindir. Mali Cumhuriyeti topraklarına “Elmas Ülkesi” bile deniyor. Bu arada, paleo-ziyaret hipotezini destekleyenlerin büyük umutlar beslediği Dogonlar Mali topraklarında yaşıyor (aşağıya bakın). Eski Mısırlıların bu bölgeyle temaslarının sebebi elmas olamaz. Bununla birlikte, öyle ya da böyle, eski Mısırlıların elmas ve altın kristallerinin oktahedronlarını tam olarak kopyalayarak, elmas gibi "yok edilemez" ve altın gibi "parlak" firavunları, Güneş'in oğulları ile karşılaştırılabilecek şekilde tanrılaştırmaları mümkündür. doğanın en harika yaratımlarına.

Çözüm:

Piramidi geometrik bir cisim olarak inceledikten, onun unsurlarını ve özelliklerini tanıdıktan sonra, piramidin şeklinin güzelliği hakkındaki fikrin geçerliliğine ikna olduk.

Araştırmamız sonucunda en değerli matematik bilgisini toplayan Mısırlıların bunu bir piramitte somutlaştırdığı sonucuna vardık. Bu nedenle piramit gerçekten doğanın ve insanın en mükemmel eseridir.

KULLANILAN REFERANSLARIN LİSTESİ

"Geometri: Ders Kitabı. 7 – 9. sınıflar için. genel eğitim kurumlar\, vb. - 9. baskı - M.: Eğitim, 1999.

Okulda matematik tarihi, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geometri 10-11. Sınıflar, M: “Aydınlanma”, 2000

Peter Tompkins "Sırlar" büyük piramit Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

İnternet kaynakları

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html