Doğrusal bir denklem nasıl belirlenir. Basit doğrusal denklemleri çözme

• Değişkenli eşitliğe denklem denir.
• Bir denklemi çözmek onun birçok kökünü bulmak anlamına gelir. Bir denklemin bir, iki, birkaç, birçok kökü olabilir veya hiç kökü olmayabilir.
• Belirli bir denklemin gerçek eşitliğe dönüştüğü değişkenin her değerine denklemin kökü denir.
• Kökleri aynı olan denklemlere eşdeğer denklemler denir.
• Denklemin herhangi bir terimi, terimin işaretini tersine değiştirirken eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir.
• Bir denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Örnekler. Denklemi çözün.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında topladık ve ücretsiz üyeler– eşitliğin sağ tarafında. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı:

1,2x = -6. Getirilmiş benzer terimler kurala göre:

x = -6 : 1.2. Eşitliğin her iki tarafı değişkenin katsayısına bölündü, çünkü

x = -5. Ondalık kesirleri bölme kuralına göre bölme ondalık:

Bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölendeki ve bölendeki virgülleri, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız ve ardından bir doğal sayıya bölmeniz gerekir:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Cevap: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasasını kullanarak parantezleri açtık: (a-b) ∙ c = bir ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

2x = 11. Kurala göre benzer terimler verildi: benzer terimleri getirmek için bunların katsayılarını toplamanız ve ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir (yani ortak harf kısmını elde edilen sonuca ekleyin).

x = 11 : 2. Eşitliğin her iki tarafı da değişkenin katsayısına bölündü, çünkü Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Parantezleri, önüne “-” işareti gelen parantez açma kuralına göre açtık: parantezlerin önünde “-” işareti varsa parantezleri ve “-” işaretini çıkarıp parantez içindeki terimleri zıt işaretlerle yazın.

7x-2x-x = -9+3. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

4x = -6. Kurala göre benzer terimler verildi: benzer terimleri getirmek için bunların katsayılarını toplamanız ve ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir (yani ortak harf kısmını elde edilen sonuca ekleyin).

x = -6 : 4. Eşitliğin her iki tarafı da değişkenin katsayısına bölündü, çünkü Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Denklemin her iki tarafını da en küçüğü olan 12 ile çarpın ortak payda bu kesirlerin paydaları için.

3x-15 = 84-8x+44. Çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasasını kullanarak parantezleri açtık: İki sayının farkını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, çıkanı ayrı ayrı çarpabilir, üçüncü sayıyı ayrı ayrı çıkartabilir ve ardından ikinci sonucu birinci sonuçtan çıkarabilirsiniz.(a-b) ∙ c = bir ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

Doğrusal denklemler. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Doğrusal denklemler.

Doğrusal denklemler en fazla değildir karmaşık konu okul matematik. Ancak burada eğitimli bir öğrenciyi bile şaşırtabilecek bazı hileler var. Hadi çözelim mi?)

Tipik olarak doğrusal bir denklem aşağıdaki formun bir denklemi olarak tanımlanır:

balta + B = 0 Nerede a ve B– herhangi bir sayı.

2x + 7 = 0. Burada a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Burada a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Özellikle şu kelimeleri fark etmezseniz: "burada a ve b herhangi bir sayıdır"... Ve bunu fark edip dikkatsizce düşünürseniz?) Sonuçta, eğer a=0, b=0(herhangi bir sayı mümkün mü?), o zaman komik bir ifadeyle karşılaşıyoruz:

Ama hepsi bu değil! Eğer, diyelim ki, a=0, A b=5, Bunun tamamen saçma bir şey olduğu ortaya çıkıyor:

Bu sinir bozucu ve matematiğe olan güveni zedeliyor, evet...) Özellikle sınavlarda. Ancak bu garip ifadelerden X'i de bulmanız gerekiyor! Bu hiç mevcut değil. Ve şaşırtıcı bir şekilde bu X'i bulmak çok kolaydır. Bunu yapmayı öğreneceğiz. Bu derste.

Doğrusal bir denklem görünümünden nasıl tanınır? Neye bağlı dış görünüş.) İşin püf noktası, doğrusal denklemlerin yalnızca formdaki denklemler olmamasıdır balta + B = 0 aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmeler yoluyla bu forma indirgenebilecek denklemler. Ve düşüp düşmeyeceğini kim bilebilir?)

Bazı durumlarda doğrusal bir denklem açıkça tanınabilir. Diyelim ki elimizde sadece birinci dereceye kadar bilinmeyenlerin ve sayıların olduğu bir denklem var. Ve denklemde yok kesirler bölünür Bilinmeyen , bu önemli! Ve bölünerek sayı, veya sayısal bir kesir - bu hoş karşılanır! Örneğin:

Bu doğrusal bir denklemdir. Burada kesirler var ama karede, küpte vb. x yok, paydada da x yok, yani. HAYIR x'e bölme. Ve işte denklem

doğrusal olarak adlandırılamaz. Burada X'lerin hepsi birinci derecededir, ancak x ile ifadeye göre bölme. Sadeleştirmeler ve dönüşümlerden sonra doğrusal bir denklem, ikinci dereceden bir denklem veya istediğiniz herhangi bir şeyi elde edebilirsiniz.

Bazı karmaşık örneklerde doğrusal denklemi neredeyse çözene kadar tanımanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Bu çok üzücü. Ancak ödevlerde kural olarak denklemin biçimi sorulmuyor, değil mi? Ödevler denklem istiyor karar vermek. Bu beni mutlu ediyor.)

Doğrusal denklemlerin çözümü. Örnekler.

Çözümün tamamı doğrusal denklemler denklemlerin özdeş dönüşümlerinden oluşur. Bu arada, bu dönüşümler (ikisi!) çözümlerin temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Başka bir deyişle çözüm herhangi denklem tam da bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemlerde çözüm bu dönüşümlere dayanır ve tam bir cevapla biter. Bağlantıyı takip etmek mantıklı değil mi?) Üstelik orada doğrusal denklem çözme örnekleri de var.

Öncelikle en basit örneğe bakalım. Herhangi bir tuzak olmadan. Bu denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım.

x - 3 = 2 - 4x

Bu doğrusal bir denklemdir. X'lerin hepsi birinci kuvvettedir, X'lere bölünme yoktur. Ama aslında bunun nasıl bir denklem olduğu bizim için önemli değil. Bunu çözmemiz gerekiyor. Buradaki şema basittir. X'li her şeyi denklemin sol tarafında, X'siz (sayılar) her şeyi sağ tarafta toplayın.

Bunu yapmak için aktarmanız gerekir - 4x giriş Sol Taraf elbette işaret değişikliğiyle ve - 3 - Sağa. Bu arada, bu Denklemlerin ilk özdeş dönüşümü.Şaşırmış? Bu, bağlantıyı takip etmediğiniz, ancak boşuna olduğu anlamına gelir...) Şunu elde ederiz:

x + 4x = 2 + 3

İşte benzerlerini düşünüyoruz:

Tam mutluluk için neye ihtiyacımız var? Evet, böylece solda saf bir X var! Beşi yolda. Yardımla beşten kurtulmak denklemlerin ikinci özdeş dönüşümü. Yani denklemin her iki tarafını da 5'e bölüyoruz. Hazır bir cevap alıyoruz:

Temel bir örnek elbette. Bu ısınmak için.) Burada neden aynı dönüşümleri hatırladığım çok açık değil mi? TAMAM. Boğayı boynuzlarından tutalım.) Daha sağlam bir şeye karar verelim.

Örneğin, işte denklem:

Nereden başlayalım? X'lerle - sola mı, X'ler olmadan - sağa mı? Öyle olabilir. Küçük adımlarla uzun yol. Veya bunu evrensel ve güçlü bir şekilde hemen yapabilirsiniz. Elbette cephanenizde aynı denklem dönüşümleri varsa.

Sana soruyorum anahtar soru: Bu denklemin en sevmediğiniz yanı nedir?

100 kişiden 95'i cevap verecek: kesirler ! Cevap doğru. Öyleyse onlardan kurtulalım. Bu nedenle hemen başlıyoruz ikinci kimlik dönüşümü. Paydanın tamamen azalması için soldaki kesri neyle çarpmanız gerekir? Doğru, saat 3'te. Peki sağda mı? 4'e kadar. Ama matematik her iki tarafı da çarpmamıza izin veriyor aynı numara. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Her iki tarafı da 12 ile çarpalım! Onlar. ortak bir paydaya. Sonra hem üç hem de dört azalacak. Her parçayı çarpmanız gerektiğini unutmayın Baştan sona. İşte ilk adım şöyle görünüyor:

Parantezleri genişletiyoruz:

Not! Pay (x+2) Parantez içine aldım! Bunun nedeni kesirleri çarparken payın tamamının çarpılmasıdır! Artık kesirleri azaltabilirsiniz:

Kalan parantezleri genişletin:

Örnek değil ama saf zevk!) Şimdi büyüyü hatırlayalım genç sınıfları: X ile - sola, X olmadan - sağa! Ve bu dönüşümü uygulayın:

İşte benzerlerinden bazıları:

Ve her iki parçayı da 25'e bölün, yani. ikinci dönüşümü tekrar uygulayın:

Bu kadar. Cevap: X=0,16

Lütfen unutmayın: Orijinal kafa karıştırıcı denklemi güzel bir forma dönüştürmek için iki (sadece iki!) kimlik dönüşümleri– bir denklemin işaret değişikliği ile sola-sağa çevrilmesi ve aynı sayı ile çarpılması-bölülmesi. Bu evrensel yöntem! Bu şekilde çalışacağız herhangi denklemler! Kesinlikle herhangi biri. Bu yüzden bu özdeş dönüşümleri her zaman bıkkınlıkla tekrar ediyorum.)

Gördüğünüz gibi doğrusal denklemleri çözme prensibi basittir. Denklemi alıp basitleştiriyoruz kimlik dönüşümleri bir yanıt almadan önce. Buradaki asıl problem çözüm prensibinde değil, hesaplamalardadır.

Ama... En temel doğrusal denklemleri çözme sürecinde öyle sürprizler vardır ki, sizi büyük bir şaşkınlığa sürükleyebilirler...) Neyse ki, bu türden yalnızca iki sürpriz olabilir. Bunlara özel durumlar diyelim.

Doğrusal denklemlerin çözümünde özel durumlar.

İlk sürpriz.

diyelim ki anladın en temel denklem, gibi bir şey:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Biraz sıkıldık, X ile sola, X olmadan - sağa hareket ettiriyoruz... İşaret değişikliğiyle her şey mükemmel... Anlıyoruz:

2x-5x+3x=5-2-3

Sayıyoruz ve... ah!!! Şunu elde ederiz:

Bu eşitliğe kendi başına itiraz edilemez. Gerçekten sıfır sıfıra eşit. Ama X kayıp! Ve cevaba şunu yazmalıyız: x neye eşittir? Aksi takdirde çözüm sayılmaz, değil mi...) Kilitlenme?

Sakinlik! Bu gibi şüpheli durumlarda en genel kurallar sizi kurtaracaktır. Denklemler nasıl çözülür? Bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu şu anlama gelir, yerine konulduğunda x'in tüm değerlerini bulun orijinal denklem, bize gerçek eşitliği verecektir.

Ama gerçek eşitliğimiz var çoktan olmuş! 0=0, ne kadar daha doğru?! Geriye bunun hangi x'te olacağını bulmak kalıyor. X'in hangi değerleri yerine konulabilir? orijinal denklem eğer bu x'ler yine de sıfıra indirilecekler mi? Hadi?)

Evet!!! X'ler değiştirilebilir herhangi! Hangisini istiyorsun? En az 5, en az 0,05, en az -220. Hala küçülecekler. Bana inanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz.) X'in herhangi bir değerini yerine koyun orijinal Denklem ve hesaplayın. Her zaman işe yarayacak Saf gerçek: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 vb.

İşte cevabınız: x - herhangi bir sayı.

Cevap farklı matematiksel sembollerle yazılabilir, özü değişmez. Bu tamamen doğru ve eksiksiz bir cevaptır.

İkinci sürpriz.

Aynı temel doğrusal denklemi alalım ve içindeki yalnızca bir sayıyı değiştirelim. Buna karar vereceğiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Aynı özdeş dönüşümlerden sonra ilgi çekici bir şey elde ederiz:

Bunun gibi. Doğrusal bir denklem çözdük ve garip bir eşitlik elde ettik. Konuşuyorum matematik dili, aldık sahte eşitlik Ve konuşuyorum basit bir dille, Bu doğru değil. Çılgın. Ama yine de bu saçmalık, bunun için çok iyi bir neden. doğru karar denklemler.)

Yine genel kurallara göre düşünüyoruz. Orijinal denklemde yerine konulduğunda x'ler bize ne verir? doğru eşitlik mi? Evet, hiçbiri! Böyle bir X yok. Ne koyarsanız koyun her şey azalacak, sadece saçmalık kalacak.)

İşte cevabınız: hiçbir çözüm yok.

Bu aynı zamanda tamamen eksiksiz bir cevaptır. Matematikte bu tür yanıtlara sıklıkla rastlanır.

Bunun gibi. Şimdi, umarım herhangi bir (sadece doğrusal değil) denklemin çözümü sırasında X'lerin ortadan kaybolması kafanızı hiç karıştırmaz. Bu zaten tanıdık bir konudur.)

Artık doğrusal denklemlerdeki tüm tuzakları ele aldığımıza göre, bunları çözmek mantıklı olacaktır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Denklem çözmeyi öğrenmek cebirin öğrencilere sunduğu temel görevlerden biridir. Bir bilinmeyenden oluştuğunda en basitinden başlayıp giderek daha karmaşık olanlara doğru ilerliyoruz. Birinci gruptaki denklemlerle yapılması gereken işlemlere hakim değilseniz diğerlerini anlamanız zor olacaktır.

Konuşmaya devam etmek için notasyon üzerinde anlaşmanız gerekir.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemin genel formu ve çözüm ilkesi

Bu şekilde yazılabilecek herhangi bir denklem:

a * x = b,

isminde doğrusal. Bu Genel formül. Ancak ödevlerde sıklıkla doğrusal denklemler örtülü biçimde yazılır. Daha sonra genel kabul görmüş bir notasyon elde etmek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir. Bu eylemler şunları içerir:

• parantez açma;
• tüm terimleri birlikte taşımak değişken denklemin sol tarafına, geri kalanı sağa;
• benzer terimlerin azaltılması.

Bir kesrin paydasında bilinmeyen bir miktarın olması durumunda, ifadenin anlamlı olmayacağı değerlerini belirlemeniz gerekir. Başka bir deyişle denklemin tanım alanını bilmeniz gerekir.

Tüm doğrusal denklemlerin çözülmesindeki prensip, denklemin sağ tarafındaki değerin değişkenin önündeki katsayıya bölünmesine dayanır. Yani "x" b/a'ya eşit olacaktır.

Lineer denklemlerin özel durumları ve çözümleri

Akıl yürütme sırasında doğrusal denklemlerin aşağıdakilerden birini aldığı anlar ortaya çıkabilir. özel türler. Her birinin özel bir çözümü var.

İlk durumda:

a * x = 0 ve a ≠ 0.

Böyle bir denklemin çözümü her zaman x = 0 olacaktır.

İkinci durumda “a” sıfıra eşit değeri alır:

0 * x = 0.

Böyle bir denklemin cevabı herhangi bir sayı olacaktır. Yani, o var sonsuz sayı kökler

Üçüncü durum şöyle görünür:

0 * x = içinde≠ 0'da.

Bu denklem mantıklı değil. Çünkü onu tatmin edecek kökler yoktur.

İki değişkenli doğrusal denklemin genel görünümü

İsminden, içinde zaten iki bilinmeyen miktarın olduğu anlaşılıyor. İki değişkenli doğrusal denklemler Bunun gibi:

a * x + b * y = c.

Girişte iki bilinmeyen olduğundan cevap bir çift sayı gibi görünecektir. Yani tek bir değer belirtmek yeterli değildir. Bu eksik bir cevap olacaktır. Denklemin özdeşlik haline geldiği bir miktar çifti denklemin çözümüdür. Üstelik cevapta alfabede ilk sırada gelen değişken her zaman önce yazılır. Bazen bu rakamların onu tatmin ettiğini söylüyorlar. Üstelik bu tür çiftlerden sonsuz sayıda olabilir.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem nasıl çözülür?

Bunu yapmak için doğru olduğu ortaya çıkan herhangi bir sayı çiftini seçmeniz yeterlidir. Kolaylık sağlamak için, bilinmeyenlerden birini asal sayıya eşit olarak alıp ikinciyi bulabilirsiniz.

Çözerken genellikle denklemi basitleştirecek adımları uygulamanız gerekir. Bunlara kimlik dönüşümleri denir. Ayrıca aşağıdaki özellikler denklemler için her zaman doğrudur:

• her dönem şuraya aktarılabilir: karşı kısım işaretini zıt işaretle değiştirerek eşitlik;
• Sıfıra eşit olmadığı sürece herhangi bir denklemin sol ve sağ taraflarının aynı sayıya bölünmesine izin verilir.

Doğrusal denklemlerle ilgili görev örnekleri

İlk görev. Doğrusal denklemleri çözün: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Bu listede ilk sırada yer alan denklemde 20'yi 4'e bölmeniz yeterlidir. Sonuç 5 olacaktır. Cevap: x = 5.

Üçüncü denklem bir kimlik dönüşümünün gerçekleştirilmesini gerektirir. Parantezlerin açılması ve benzer terimlerin getirilmesinden oluşacaktır. İlk adımdan sonra denklem şu şekli alacaktır: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. O zaman tüm bilinmeyenleri denklemin sol tarafına, geri kalanını da sağa taşımanız gerekir. Denklem şu şekilde görünecektir: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Benzer terimleri ekledikten sonra: 14x = 16. Artık ilkiyle aynı görünüyor ve çözümünü bulmak kolay. Cevap x=8/7 olacaktır. Ancak matematikte tam parçayı bileşik kesirden ayırmanız gerekir. Daha sonra sonuç dönüştürülecek ve "x" bir bütüne ve yedide bire eşit olacaktır.

Geri kalan örneklerde değişkenler paydadadır. Bu, öncelikle denklemlerin hangi değerlerde tanımlandığını bulmanız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için paydaların sıfıra gittiği sayıları hariç tutmanız gerekir. İlk örnekte “-4”, ikinci örnekte “-3”. Yani bu değerlerin cevaptan çıkarılması gerekir. Bundan sonra eşitliğin her iki tarafını da paydadaki ifadelerle çarpmanız gerekiyor.

Parantezleri açıp benzer terimleri bir araya getirdiğimizde bu denklemlerden ilkinde şu sonucu elde ederiz: 5x + 15 = 4x + 16, ikincisinde ise 5x + 15 = 4x + 12. Dönüşümlerden sonra ilk denklemin çözümü x = olacaktır. -1. İkincisi “-3”e eşit çıkıyor, bu da şu anlama geliyor: en yeni çözümler bulunmamaktadır.

İkinci görev. Denklemi çözün: -7x + 2y = 5.

İlk bilinmeyenin x = 1 olduğunu varsayalım, o zaman denklem -7 * 1 + 2y = 5 formunu alacaktır. Sağ Taraf Eşitlik sağlanınca faktör “-7” olup işareti artıya çevrildiğinde 2y = 12 olur. Bu da y = 6 anlamına gelir. Cevap: x = 1, y = 6 denkleminin çözümlerinden biri.

Tek değişkenli eşitsizliğin genel biçimi

Tüm olası durumlar eşitsizlikler için burada sunulmaktadır:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Genel olarak basit bir doğrusal denklem gibi görünür, yalnızca eşittir işaretinin yerini eşitsizlik alır.

Eşitsizliklerin kimlik dönüşümlerine ilişkin kurallar

Tıpkı doğrusal denklemler gibi eşitsizlikler de belirli yasalara göre değiştirilebilir. Bunlar aşağıdakilere indirgeniyor:

1. eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına herhangi bir harf veya sayısal ifade ve eşitsizlik işareti aynı kalacaktır;
2. Ayrıca aynı şeyle çarpabilir veya bölebilirsiniz pozitif sayı, bu yine işareti değiştirmez;
3. Aynı negatif sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde, eşitsizlik işareti ters çevrildiği sürece eşitlik doğru kalacaktır.

Çift eşitsizliklere genel bakış

Problemlerde aşağıdaki eşitsizlikler gösterilebilir:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Her iki taraftaki eşitsizlik işaretleriyle sınırlı olduğundan çift olarak adlandırılır. Sıradan eşitsizliklerle aynı kurallar kullanılarak çözülür. Ve cevabı bulmak bir dizi özdeş dönüşümden geçiyor. En basiti elde edilene kadar.

Çift eşitsizlikleri çözmenin özellikleri

Bunlardan ilki onun resmi koordinat ekseni. için bu yöntemi kullanın basit eşitsizlikler gerekli değil. Ama içinde zor vakalar sadece gerekli olabilir.

Bir eşitsizliği tasvir etmek için, akıl yürütme sırasında elde edilen tüm noktaları eksen üzerinde işaretlemeniz gerekir. Bu ve geçersiz değerler delikli noktalarla gösterilen ve dönüşümlerden sonra elde edilen eşitsizliklerden elde edilen değerler. Burada da noktaların doğru çizilmesi önemlidir. Eşitsizlik katı ise< или >, daha sonra bu değerler delinir. Kesin olmayan eşitsizliklerde noktalar gölgelendirilmelidir.

Daha sonra eşitsizliklerin anlamını belirtmek gerekir. Bu, gölgeleme veya yaylar kullanılarak yapılabilir. Bunların kesişimi cevabı gösterecektir.

İkinci özellik ise kaydedilmesiyle ilgilidir. Burada sunulan iki seçenek var. Birincisi nihai eşitsizliktir. İkincisi aralıklar şeklindedir. Onunla birlikte zorluklar ortaya çıkıyor. Boşluklardaki cevap her zaman üyelik işaretli ve rakamlı parantezli bir değişkene benzer. Bazen birkaç boşluk olur, o zaman parantezlerin arasına “ve” sembolünü yazmanız gerekir. Bu işaretler şuna benzer: ∈ ve ∩. Ara parantezleri de bir rol oynar. Nokta cevaptan çıkarıldığında yuvarlak olan yerleştirilir ve dikdörtgen olan bu değeri içerir. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içindedir.

Eşitsizlikleri çözme örnekleri

1. 7 - 5x ≥ 37 eşitsizliğini çözün.

Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: -5x ≥ 30. “-5”e bölerek şu ifadeyi elde ederiz: x ≤ -6. Bu zaten cevaptır, ancak başka bir şekilde de yazılabilir: x ∈ (-∞; -6).

2. Çifte eşitsizliği çözün -4< 2x + 6 ≤ 8.

Öncelikle her yerden 6 çıkarmanız gerekir: -10.< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на sayı ekseni, sonucun -5 ile 1 arasında olacağını hemen anlayabilirsiniz. Üstelik ilk nokta hariç tutulur, ikincisi dahil edilir. Yani eşitsizliğin cevabı: x ∈ (-5; 1).

İlk önce ne olduğunu anlamalısın.

Basit bir tanım var Doğrusal Denklem, içinde verilmiştir normal okul: “değişkenin yalnızca birinci kuvvete göründüğü bir denklem.” Ancak tamamen doğru değil: Denklem doğrusal değil, buna bile indirgenmiyor, ikinci dereceden indirgeniyor.

Daha kesin tanım bu: Doğrusal Denklem kullanan bir denklemdir eşdeğer dönüşümler forma indirgenebilir, burada title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Aslında bir denklemin doğrusal olup olmadığını anlamak için öncelikle basitleştirilmesi, yani sınıflandırmasının net olacağı bir forma getirilmesi gerekir. Unutmayın, kökleri değişmediği sürece bir denklemle istediğinizi yapabilirsiniz; öyledir. eşdeğer dönüşüm. En basit eşdeğer dönüşümler şunları içerir:

1. parantez açma
2. benzerini getirmek
3. bir denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak ve/veya bölmek
4. aynı sayının veya ifadenin her iki tarafından toplama ve/veya çıkarma*

Örnek 1:
(parantezleri açalım)
(soldaki sayının işaretini, sağdaki değişkenleri değiştirerek her iki parçaya da ekleme ve çıkarma/aktarma)
(benzerlerini verelim)
(denklemin her iki tarafını da 3'e bölün)

Böylece orijinaliyle aynı köklere sahip bir denklem elde ederiz. Okuyucuya şunu hatırlatalım. "denklemi çözün"- tüm köklerini bulmak ve başkalarının olmadığını kanıtlamak anlamına gelir ve "denklemin kökü"- bu, bilinmeyenin yerine konulduğunda denklemi gerçek eşitliğe dönüştürecek bir sayıdır. Son denklemde denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren sayıyı bulmak çok basit; bu sayı. Başka kimlik numarası yok verilen denklem yapmayacağım. Cevap:

Örnek 2:
(denklemin her iki tarafıyla çarpın ile çarpmadığımızdan emin olduktan sonra : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(parantezleri açalım)
(terimleri taşıyalım)
(benzerlerini verelim)
(her iki parçayı da bölüyoruz)

Bu, kabaca tüm doğrusal denklemlerin çözülme şeklidir. Genç okuyucular için büyük ihtimalle verilen açıklama karmaşık görünüyordu, bu yüzden bir versiyon sunuyoruz "5. sınıf için doğrusal denklemler"

Bir doğrusal denklem sistemi, her biri k değişken içeren n tane doğrusal denklemin birleşimidir. Bu şekilde yazılmıştır:

Birçoğu, yüksek cebirle ilk kez karşılaştıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanıyor. Okul cebirinde bu genellikle olur, ancak yüksek cebir için bu genellikle doğru değildir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1, k 2, ..., k n), yani. bu denklemde x 1, x 2, ..., x n değişkenleri yerine ikame edildiğinde doğru sayısal eşitliği verir.

Buna göre bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ile bilinmeyenlerin sayısı çakışmayabileceğinden üç durum mümkündür:

1. Sistem tutarsızdır, yani. tüm çözümlerin kümesi boştur. Sistemi çözmek için hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın kolaylıkla tespit edilen oldukça nadir bir durum.
2. Sistem ortak ve kararlıdır, yani. tam olarak tek bir çözümü var. Klasik versiyon, okul günlerinden beri iyi biliniyor.
3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. “Sistemin var” demek yeterli değil. sonsuz kümeçözümler” - bu setin nasıl yapılandırıldığını açıklamak gerekir.

Bir x i değişkeni, sistemin yalnızca bir denkleminde yer alıyorsa ve katsayısı 1 ise izin verilen olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, diğer denklemlerde x i değişkeninin katsayısı sıfıra eşit olmalıdır.

Her denklemde izin verilen bir değişken seçersek, tüm denklem sistemi için izin verilen değişkenlerin bir kümesini elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de çözümlenmiş olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı orijinal sistem, izin verilen farklı sistemlere indirgenebilir, ancak şimdilik bununla ilgilenmiyoruz. İzin verilen sistem örnekleri şunlardır:

Her iki sistem de x 1 , x 3 ve x 4 değişkenlerine göre çözümlenir. Ancak aynı başarı ile ikinci sistemin x 1, x 3 ve x 5'e göre çözümlendiği ileri sürülebilir. En son denklemi x 5 = x 4 formunda yeniden yazmak yeterlidir.

Şimdi daha fazlasına bakalım Genel dava. Toplamda r'ye izin verilen k değişkenimiz olsun. O zaman iki durum mümkündür:

1. İzin verilen değişken sayısı r, toplam k değişken sayısına eşittir: r = k. r = k izin verilen değişken olan bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem ortak ve kesindir, çünkü x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. İzin verilen değişkenlerin sayısı r daha az toplam sayısı değişkenler k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Yani yukarıdaki sistemlerde x 2, x 5, x 6 (birinci sistem için) ve x 2, x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:

Lütfen dikkat: bu çok önemli nokta! Ortaya çıkan sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak aynı değişkene izin verilebilir veya serbest olabilir. Çoğu öğretmen yüksek Matematik Değişkenlerin sözlüksel sıraya göre yazılması önerilir; artan endeks. Ancak bu tavsiyeye uyma zorunluluğunuz yoktur.

Teorem. n denklemden oluşan bir sistemde x 1, x 2, ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1, x r + 2, ..., x k serbestse, o zaman:

1. Serbest değişkenlerin değerlerini (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) ayarlayıp ardından x 1, x 2 değerlerini bulursak, ..., x r, kararlardan birini alıyoruz.
2. İki çözümde serbest değişkenlerin değerleri çakışırsa, izin verilen değişkenlerin değerleri de çakışır, yani. çözümler eşittir.

Bu teoremin anlamı nedir? Çözülmüş bir denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için serbest değişkenleri izole etmek yeterlidir. Daha sonra serbest değişkenlere atama Farklı anlamlar, Alacağız hazır çözümler. Hepsi bu; bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözüm yok.

Sonuç: Çözülmüş denklem sistemi her zaman tutarlıdır. Çözümlenen bir sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşitse sistem belirli, azsa sistem belirsiz olacaktır.

Ve her şey yoluna girecek, ancak şu soru ortaya çıkıyor: Orijinal denklem sisteminden çözümlenmiş bir çözüm nasıl elde edilir? Bunun için var