Eşitsizlik sistemi.
Örnek 1. Bir ifadenin alanını bulun
Çözüm.İşaretin altında karekök olmalıdır negatif olmayan sayı Bu, iki eşitsizliğin aynı anda karşılanması gerektiği anlamına gelir: Böyle durumlarda sorunun bir eşitsizlikler sisteminin çözümüne indirgendiğini söylüyorlar

Ancak henüz böyle bir matematiksel modelle (eşitsizlikler sistemi) karşılaşmadık. Bu, örneğin çözümünü henüz tamamlayamadığımız anlamına gelir.

Bir sistemi oluşturan eşitsizlikler küme paranteziyle birleştirilir (aynı şey denklem sistemlerinde de geçerlidir). Örneğin, kayıt

2x - 1 > 3 ve 3x - 2 eşitsizliklerinin olduğu anlamına gelir< 11 образуют систему неравенств.

Bazen bir eşitsizlik sistemi çift eşitsizlik şeklinde yazılır. Örneğin bir eşitsizlik sistemi

çift ​​eşitsizlik 3 olarak yazılabilir<2х-1<11.

9.sınıf cebir dersinde sadece iki eşitsizlik sistemini ele alacağız.

Eşitsizlik sistemini düşünün

Belirli çözümlerinden birkaçını seçebilirsiniz, örneğin x = 3, x = 4, x = 3,5. Aslında x = 3 için ilk eşitsizlik 5 > 3, ikincisi ise 7 formunu alır.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Aynı zamanda x = 5 değeri eşitsizlik sisteminin çözümü değildir. X = 5 olduğunda, ilk eşitsizlik 9 > 3 formunu alır - doğru bir sayısal eşitsizlik, ikincisi ise 13 formunu alır< 11- неверное числовое неравенство .
Bir eşitsizlik sistemini çözmek, onun tüm özel çözümlerini bulmak anlamına gelir. Yukarıda gösterilen tahminin bir eşitsizlik sistemini çözmeye yönelik bir yöntem olmadığı açıktır. İÇİNDE aşağıdaki örnekİnsanların bir eşitsizlik sistemini çözerken genellikle nasıl akıl yürüttüklerini göstereceğiz.

Örnek 3. Eşitsizlik sistemini çözün:

Çözüm.

A) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek 2x > 4, x > 2'yi buluruz; sistemin ikinci eşitsizliğini çözersek 3x'i buluruz< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x > 2'yi buluruz; Sistemin ikinci eşitsizliğini çözerek şunu buluruz: Bu aralıkları, ilk aralık için üst taramayı, ikinci aralık için alt taramayı kullanarak tek bir koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim (Şekil 23). Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistem eşitsizliklerinin çözümlerinin kesişimi olacaktır, yani. her iki taramanın çakıştığı aralık. Söz konusu örnekte bir ışın elde ediyoruz

V) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x'i buluruz< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Ele alınan örnekte yürütülen akıl yürütmeyi genelleştirelim. Eşitsizlik sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım

Örneğin, (a, b) aralığının fx 2 > g(x) eşitsizliğinin bir çözümü olduğunu ve (c, d) aralığının da f 2 (x) > s 2 (x) eşitsizliğinin bir çözümü olduğunu varsayalım. ). Bu aralıkları, ilk aralık için üst taramayı, ikinci aralık için alt taramayı kullanarak tek bir koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim (Şekil 25). Bir eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki eşitsizliklerin çözümlerinin kesişimidir; her iki taramanın çakıştığı aralık. Şek. 25 (c, b) aralığıdır.

Şimdi yukarıda Örnek 1'de elde ettiğimiz eşitsizlik sistemini kolaylıkla çözebiliriz:

Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x > 2'yi buluruz; sistemin ikinci eşitsizliğini çözerken x'i buluruz< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Tabii ki, eşitsizlikler sistemi aşağıdakilerden oluşmak zorunda değildir: doğrusal eşitsizliklerşu ana kadar olduğu gibi; Herhangi bir rasyonel (ve sadece rasyonel değil) eşitsizlikler ortaya çıkabilir. Teknik olarak, rasyonel, doğrusal olmayan eşitsizlikler sistemiyle çalışmak elbette daha karmaşıktır, ancak burada (doğrusal eşitsizlik sistemleriyle karşılaştırıldığında) temelde yeni hiçbir şey yoktur.

Örnek 4. Eşitsizlik sistemini çözün

Çözüm.

1) Elimizdeki eşitsizliği çözün
Sayı doğrusu üzerinde -3 ve 3 noktalarını işaretleyelim (Şekil 27). Çizgiyi üç aralığa bölerler ve her aralıkta p(x) = (x- 3)(x + 3) ifadesi sabit bir işareti korur - bu işaretler Şekil 2'de gösterilmiştir. 27. p(x) > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu aralıklarla (bunlar Şekil 27'de gölgelendirilmiştir) ve p(x) = 0 eşitliğinin geçerli olduğu noktalarla, yani; noktalar x = -3, x = 3 (bunlar Şekil 27'de koyu dairelerle işaretlenmiştir). Böylece, Şekil 2'de. 27 sunuldu geometrik modeli Birinci eşitsizliğin çözümleri.

2) Elimizdeki eşitsizliği çözün
Sayı doğrusu üzerinde 0 ve 5 noktalarını işaretleyelim (Şekil 28). Çizgiyi üç aralığa bölerler ve her aralıkta ifade<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (Şekil 28'de gölgeli) ve g (x) - O eşitliğinin sağlandığı noktalar, yani. noktalar x = 0, x = 5 (bunlar Şekil 28'de koyu dairelerle işaretlenmiştir). Böylece, Şekil 2'de. Şekil 28 sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümü için geometrik bir model sunmaktadır.

3) Sistemin birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini aynı koordinat çizgisi üzerinde, birinci eşitsizliğin çözümleri için üst taramayı, ikinci eşitsizliğin çözümleri için alt taramayı kullanarak işaretleyelim (Şekil 29). Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistem eşitsizliklerinin çözümlerinin kesişimi olacaktır, yani. her iki taramanın çakıştığı aralık. Böyle bir aralık bir segmenttir.

Örnek 5. Eşitsizlik sistemini çözün:

Çözüm:

A)İlk eşitsizlikten x >2'yi buluyoruz. İkinci eşitsizliği ele alalım. Kare üç terimli x 2 + x + 2'nin gerçek kökleri yoktur ve baş katsayısı (x 2'nin katsayısı) pozitiftir. Bu, tüm x'ler için x 2 + x + 2>0 eşitsizliğinin geçerli olduğu ve dolayısıyla sistemin ikinci eşitsizliğinin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir. Bu eşitsizlik sistemi açısından ne anlama geliyor? Bu, sistemin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.

B)İlk eşitsizlikten x > 2'yi buluyoruz ve ikinci eşitsizlik x'in herhangi bir değeri için karşılanıyor. Bu eşitsizlik sistemi açısından ne anlama geliyor? Bu, çözümünün x>2 formuna sahip olduğu anlamına gelir, yani. birinci eşitsizliğin çözümüyle örtüşmektedir.

Cevap:

a) çözüm yok; B) x >2.

Bu örnek aşağıdaki yararlı öğelerin bir örneğidir

1. Tek değişkenli birden fazla eşitsizliğin olduğu bir sistemde tek bir eşitsizliğin çözümü yoksa, sistemin çözümü de yoktur.

2. Tek değişkenli iki eşitsizliğin olduğu bir sistemde, değişkenin herhangi bir değeri için bir eşitsizlik sağlanıyorsa, sistemin çözümü sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümüdür.

Bu bölümü bitirirken, başta verilen sayı sorununa dönelim ve bunu dedikleri gibi tüm kurallara göre çözelim.

Örnek 2(bkz. s. 29). amaçlanan doğal sayı. İstenilen sayının karesine 13 eklenirse toplamın şu olacağı bilinmektedir: daha fazla iş planlanan sayı ile 14 sayısı. Planlanan sayının karesine 45 eklerseniz, toplam, planlanan sayı ile 18 sayısının çarpımından az olacaktır. Hangi sayı planlanmaktadır?

Çözüm.

İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.
Yukarıda gördüğümüz gibi amaçlanan x sayısı eşitsizlik sistemini karşılamalıdır.

İkinci aşama. Derlenmiş matematiksel model ile çalışarak sistemin ilk eşitsizliğini forma dönüştürelim.
x2- 14x+ 13 > 0.

Üç terimli x 2 - 14x + 13'ün köklerini bulalım: x 2 = 1, x 2 = 13. y = x 2 - 14x + 13 parabolünü kullanarak (Şekil 30), ilgilendiğimiz eşitsizliğin şu olduğu sonucuna varırız: x'te memnun kaldım< 1 или x > 13.

Sistemin ikinci eşitsizliğini x2 - 18 2 + 45 formuna dönüştürelim.< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri bu derste ele alınan konulardan biridir. lise cebirde. Zorluk seviyesi açısından en zoru değil, çünkü basit kuralları var (bununla ilgili daha sonra biraz sonra). Kural olarak, okul çocukları eşitsizlik sistemlerini çözmeyi oldukça kolay öğreniyorlar. Bunun nedeni aynı zamanda öğretmenlerin öğrencilerini bu konuda basitçe “eğitmeleri”dir. Ve bunu yapmaktan başka bir şey yapamıyorlar çünkü gelecekte başka yöntemler kullanılarak incelenecek matematiksel büyüklükler ve aynı zamanda OGE ve Birleşik Devlet Sınavında da test edilmiştir. İÇİNDE okul ders kitapları Eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri konusu çok detaylı bir şekilde ele alınmıştır, bu nedenle eğer bu konuyu inceleyecekseniz, onlara başvurmak en iyisidir. Bu makale yalnızca daha büyük materyalleri özetlemektedir ve bazı eksiklikler olabilir.

Eşitsizlik sistemi kavramı

Eğer dönersen bilimsel dil O zaman “eşitsizlikler sistemi” kavramını tanımlayabiliriz. Bu, çeşitli eşitsizlikleri temsil eden matematiksel bir modeldir. Bu model elbette bir çözüm gerektirir ve bu, görevde önerilen sistemdeki tüm eşitsizliklerin genel cevabı olacaktır (genellikle şu şekilde yazılır, örneğin: “Eşitsizlik sistemini çözün 4 x + 1 > 2 ve 30 - x > 6..."). Ancak çözüm türlerine ve yöntemlerine geçmeden önce başka bir şeyi anlamalısınız.

Eşitsizlik sistemleri ve denklem sistemleri

Çalışma sürecinde yeni konuçok sık yanlış anlaşılmalar ortaya çıkar. Bir yandan her şey net ve bir an önce görevleri çözmeye başlamak istiyorsunuz ama diğer yandan bazı anlar “gölgede” kalıyor ve tam olarak anlaşılamıyor. Ayrıca, halihazırda edinilmiş bilgilerin bazı unsurları yenileriyle iç içe geçmiş olabilir. Bu "örtüşmenin" sonucu olarak sıklıkla hatalar meydana gelir.

Bu nedenle konumuza geçmeden önce denklemler ve eşitsizlikler arasındaki farkları ve sistemlerini hatırlamalıyız. Bunu yapabilmek için verilerin neyi temsil ettiğini bir kez daha netleştirmemiz gerekiyor. matematiksel kavramlar. Bir denklem her zaman bir eşitliktir ve her zaman bir şeye eşittir (matematikte bu kelime "=" işaretiyle gösterilir). Eşitsizlik, bir niceliğin diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğu ya da aynı olmadıklarına dair bir ifade içeren bir modeldir. Bu nedenle, ilk durumda eşitlikten, ikincisinde ise adın kendisinden ne kadar açık gelse de, ilk verilerin eşitsizliğinden bahsetmek uygundur. Denklem ve eşitsizlik sistemleri pratikte birbirinden farklı değildir ve bunları çözme yöntemleri aynıdır. Tek fark, ilk durumda eşitliklerin, ikinci durumda ise eşitsizliklerin kullanılmasıdır.

Eşitsizlik türleri

İki tür eşitsizlik vardır: sayısal ve bilinmeyen değişkenli. İlk tür, birbirine eşit olmayan, örneğin 8 > 10, sağlanan değerleri (sayıları) temsil eder. İkincisi, bilinmeyen bir değişken içeren (bazı harflerle gösterilir) eşitsizliklerdir. Latin alfabesi, çoğunlukla X). Bu değişkenin bulunması gerekiyor. Matematiksel model, kaç tane olduğuna bağlı olarak, tek değişkenli (tek değişkenli bir eşitsizlik sistemi oluştururlar) veya birden fazla değişkenli (birden fazla değişkenli bir eşitsizlik sistemi oluştururlar) eşitsizlikler arasında ayrım yapar.

Son iki tip, yapım derecelerine ve çözümün karmaşıklık düzeyine göre basit ve karmaşık olarak ikiye ayrılır. Basit eşitsizliklere doğrusal eşitsizlikler de denir. Onlar da katı ve katı olmayan olarak ikiye ayrılırlar. Katı olanlar özellikle bir miktarın mutlaka daha az ya da daha fazla olması gerektiğini "söylerler", dolayısıyla bu saf eşitsizliktir. Birkaç örnek verilebilir: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 vb. Katı olmayanlar eşitliği de içerir. Yani bir değer başka bir değerden büyük veya ona eşit (“≥” işareti) ya da başka bir değerden küçük veya ona eşit (“≤” işareti) olabilir. Doğrusal eşitsizliklerde bile değişken kökte, karede veya herhangi bir şeye bölünemez, bu nedenle “basit” olarak adlandırılırlar. Karmaşık olanlar, bulunması için yürütme gerektiren bilinmeyen değişkenleri içerir. Daha matematiksel işlemler. Genellikle bir kare, küp veya bir kökün altında bulunurlar, modüler, logaritmik, kesirli vb. olabilirler. Ancak görevimiz eşitsizlik sistemlerinin çözümünü anlama ihtiyacı olduğundan, doğrusal bir eşitsizlik sisteminden bahsedeceğiz. . Ancak bundan önce özellikleri hakkında birkaç söz söylemek gerekir.

Eşitsizliklerin özellikleri

Eşitsizliklerin özellikleri aşağıdakileri içerir:

1. Kenarların sırasını değiştirmek için bir işlem kullanıldığında eşitsizlik işareti tersine çevrilir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ise t 2 ≥ t 1).
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı sayıyı kendisine eklemenizi sağlar (örneğin, eğer t 1 ≤ t 2 ise t 1 + sayı ≤ t 2 + sayı).
3. İşareti aynı yönde olan iki veya daha fazla eşitsizlik, sol ve sağ taraflarının toplanmasına izin verir (örneğin, t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 ise t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ise) .
4. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı şeyle çarpılabilir veya bölünebilir pozitif sayı(örneğin, eğer t 1 ≤ t 2 ve sayı ≤ 0 ise sayı · t 1 ≥ sayı · t 2).
5. Pozitif terimleri ve aynı yönde işareti olan iki veya daha fazla eşitsizlik birbirleriyle çarpılmalarına izin verir (örneğin, eğer t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t ise) 4 ≥ 0 ise t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı negatif sayıyla çarpılmasına veya bölünmesine izin verir, ancak bu durumda eşitsizliğin işareti değişir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ve sayı ≤ 0 ise, o zaman · t 1 sayısı) ≥ sayı · t 2).
7. Tüm eşitsizlikler geçişlilik özelliğine sahiptir (örneğin, eğer t 1 ≤ t 2 ve t 2 ≤ t 3 ise t 1 ≤ t 3).

Şimdi eşitsizliklerle ilgili teorinin temel ilkelerini inceledikten sonra doğrudan sistemlerini çözme kurallarının değerlendirilmesine geçebiliriz.

Eşitsizlik sistemlerinin çözümü. Genel bilgi. Çözümler

Yukarıda da belirtildiği gibi çözüm, değişkenin verilen sistemin tüm eşitsizliklerine uygun değerleridir. Eşitsizlik sistemlerini çözmek, sonuçta tüm sistemin çözümüne yol açan veya hiçbir çözümü olmadığını kanıtlayan matematiksel işlemlerin uygulanmasıdır. Bu durumda değişkenin boş bir sayısal kümeye (şu şekilde yazılır) atıfta bulunduğunu söylüyorlar: değişkeni belirten harf∈ (“ait” işareti) ø (“boş küme” işareti), örneğin, x ∈ ø (okuyun: “X” değişkeni boş kümeye aittir”). Eşitsizlik sistemlerini çözmenin birkaç yolu vardır: grafiksel, cebirsel, ikame yöntemi. Bunların arasında olduklarını belirtmekte fayda var. matematiksel modeller birçok bilinmeyen değişkene sahip olanlardır. Yalnızca bir tane olması durumunda aralık yöntemi uygundur.

Grafik yöntemi

Birkaç bilinmeyen niceliğe (iki ve üzeri) sahip bir eşitsizlik sistemini çözmenizi sağlar. Bu yöntem sayesinde bir doğrusal eşitsizlik sistemi oldukça kolay ve hızlı bir şekilde çözülebildiğinden en yaygın yöntemdir. Bu, grafik çizmenin matematiksel işlem yazma miktarını azaltmasıyla açıklanmaktadır. Kaleme biraz ara vermek, cetvelle bir kalem alıp başlamak özellikle keyifli oluyor diğer eylemlerÇok fazla iş yapıldığında ve biraz çeşitlilik istediğinizde onların yardımıyla. Fakat bu yöntem bazı insanlar bundan hoşlanmazlar çünkü işten ayrılıp zihinsel aktivitelerini çizime kaydırmak zorunda kalırlar. Ancak bu oldukça etkili bir yöntemdir.

Bir eşitsizlik sistemini çözmek için grafik yöntemi, her bir eşitsizliğin tüm terimlerini kendi değerlerine aktarmak gerekir. sol taraf. İşaretler ters çevrilecek, sağa sıfır yazılmalı, ardından her bir eşitsizlik ayrı ayrı yazılmalıdır. Sonuç olarak eşitsizliklerden fonksiyonlar elde edilecektir. Bundan sonra bir kalem ve bir cetvel çıkarabilirsiniz: şimdi elde edilen her fonksiyonun bir grafiğini çizmeniz gerekiyor. Kesişme aralığında olacak sayılar kümesinin tamamı eşitsizlikler sisteminin çözümü olacaktır.

Cebirsel yol

İki bilinmeyen değişkenli bir eşitsizlik sistemini çözmenizi sağlar. Ayrıca eşitsizlikler de olmalı aynı işaretle eşitsizlikler (yani yalnızca "büyüktür" işaretini veya yalnızca "küçüktür" işaretini vb. içermelidirler). Sınırlamalarına rağmen bu yöntem aynı zamanda daha karmaşıktır. İki aşamada uygulanır.

Birincisi, bilinmeyen değişkenlerden birinden kurtulmaya yönelik eylemleri içerir. Önce onu seçmeniz, ardından bu değişkenin önünde sayıların olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Eğer orada değilseler (o zaman değişken tek bir harf gibi görünecektir), o zaman hiçbir şeyi değiştirmeyiz, eğer varsa (değişkenin türü örneğin 5y veya 12y olacaktır), o zaman şunu yapmak gerekir: Her eşitsizlikte seçilen değişkenin önündeki sayının aynı olduğundan emin olun. Bunu yapmak için eşitsizliklerin her terimini şu şekilde çarpmanız gerekir: ortak çarpanörneğin birinci eşitsizlikte 3y, ikincide 5y yazıyorsa birinci eşitsizliğin tüm terimlerini 5 ile, ikinciyi ise 3 ile çarpmak gerekir. Sonuç sırasıyla 15y ve 15y olur.

Çözümün ikinci aşaması. Her eşitsizliğin sol tarafını sağ tarafına aktarıp, her terimin işaretini tersine çevirerek sağa sıfır yazmak gerekir. Daha sonra işin eğlenceli kısmı geliyor: eşitsizlikleri eklerken seçilen değişkenden kurtulmak ("indirgeme" olarak da bilinir). Bu, çözülmesi gereken tek değişkenli bir eşitsizlikle sonuçlanır. Bundan sonra aynı şeyi yalnızca başka bir bilinmeyen değişkenle yapmalısınız. Elde edilen sonuçlar sistemin çözümü olacaktır.

Değiştirme yöntemi

Yeni bir değişken eklemek mümkünse, bir eşitsizlik sistemini çözmenize olanak tanır. Tipik olarak bu yöntem, eşitsizliğin bir terimindeki bilinmeyen değişkenin dördüncü kuvvetine yükseltildiğinde ve diğer terimin karesi alındığında kullanılır. Böylece bu yöntemle sistemdeki eşitsizliklerin derecesinin azaltılması amaçlanmaktadır. Örnek eşitsizliği x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 bu şekilde çözülür. Yeni bir değişken eklendi, örneğin t. "t = x 2 olsun" yazıyorlar, sonra model yeni bir biçimde yeniden yazılıyor. Bizim durumumuzda t 2 - t - 1 ≤0 elde ederiz. Bu eşitsizliğin aralık yöntemi kullanılarak çözülmesi gerekir (bu konuya biraz sonra değineceğiz), ardından X değişkenine geri dönelim, ardından aynı işlemi diğer eşitsizlik için de yapalım. Alınan cevaplar sistemin çözümü olacaktır.

Aralık yöntemi

Bu, eşitsizlik sistemlerini çözmenin en basit yoludur ve aynı zamanda evrensel ve yaygındır. Ortaokullarda ve hatta yüksek okullarda kullanılmaktadır. Özü, öğrencinin not defterine çizilen bir sayı doğrusu üzerinde eşitsizlik aralıklarını aramasıdır (bu bir grafik değil, sadece sayıların olduğu sıradan bir çizgidir). Eşitsizlik aralıklarının kesiştiği yerde sistemin çözümü bulunur. Aralık yöntemini kullanmak için şu adımları izlemeniz gerekir:

1. Her eşitsizliğin tüm terimleri, işareti ters yönde değiştirilerek (sağda sıfır yazılır) sol tarafa aktarılır.
2. Eşitsizlikler ayrı ayrı yazılır ve her birinin çözümü belirlenir.
3. Sayı doğrusunda eşitsizliklerin kesişimleri bulunur. Bu kesişme noktalarında yer alan tüm sayılar çözüm olacaktır.

Hangi yöntemi kullanmalıyım?

Açıkçası en kolay ve en uygun görünen şey, ancak görevlerin gerektirdiği durumlar da var belli bir yöntem. Çoğu zaman bir grafik veya aralık yöntemini kullanarak çözmeniz gerektiğini söylerler. Cebirsel yol ve ikame oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı olduğundan çok nadiren kullanılır veya hiç kullanılmaz ve ayrıca eşitsizliklerden ziyade denklem sistemlerini çözmek için daha çok kullanılırlar, bu nedenle grafik ve aralık çizmeye başvurmalısınız. Matematiksel işlemlerin verimli ve hızlı bir şekilde yürütülmesine katkıda bulunamayacak ancak katkıda bulunamayacak bir açıklık getirirler.

Eğer bir şeyler yolunda gitmezse

Cebirde belirli bir konuyu incelerken doğal olarak konunun anlaşılmasında sorunlar ortaya çıkabilir. Bu da normaldir çünkü beynimiz algılayamayacak şekilde tasarlanmıştır. karmaşık malzeme bir kerede. Çoğu zaman bir paragrafı tekrar okumanız, bir öğretmenden yardım almanız veya bir problemi çözmeye çalışmanız gerekir. tipik görevler. Bizim durumumuzda örneğin şuna benziyorlar: "3 x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 1 > 3 eşitsizlik sistemini çözün." Bu nedenle, kişisel arzu, dışarıdan yardım ve pratik, herhangi bir karmaşık konunun anlaşılmasına yardımcı olur.

Çözücü mü?

Çözüm kitabı da çok uygundur ancak ödevleri kopyalamak için değil, kendi kendine yardım için. İçlerinde çözümleri olan eşitsizlik sistemlerini bulabilir, onlara bakabilir (sanki kalıplarmış gibi), çözümün yazarının görevle nasıl başa çıktığını tam olarak anlamaya çalışabilir ve sonra aynısını kendi başınıza yapmaya çalışabilirsiniz.

Sonuçlar

Cebir okuldaki en zor derslerden biridir. Peki ne yapabilirsin? Matematik her zaman böyle olmuştur: Bazıları için kolaydır, bazıları için ise zordur. Ancak her durumda şunu unutmamak gerekir: genel eğitim programı Her öğrencinin baş edebileceği şekilde inşa edilmiştir. Üstelik şunu da unutmamak gerekiyor büyük miktar asistanlar Bunlardan bazılarına yukarıda değinildi.

Doğrusal, ikinci dereceden ve çözme programı kesirli eşitsizlikler yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda detaylı çözüm açıklamalarla, yani Matematik ve/veya cebirdeki bilgiyi test etmek için çözüm sürecini görüntüler.

Üstelik eşitsizliklerden birini çözme sürecinde örneğin çözülmesi gerekiyorsa, ikinci dereceden denklem, ardından ayrıntılı çözümü de görüntülenir (spoiler içerir).

Bu program lise öğrencilerine hazırlık aşamasında faydalı olabilir. testler Ebeveynlere, çocuklarının eşitsizliklere yönelik çözümlerini izlemeleri için.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar Testlere ve sınavlara hazırlıkta, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi

matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler

veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Eşitsizlikleri girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.

Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.
Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir. Dahası, kesirli sayılar

yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.
Ondalık sayılarda kesirli kısım bütünden nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Bütün kısım kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

İfadeleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda eşitsizlikler çözülürken öncelikle ifadeler sadeleştirilir.
Örneğin: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Seçme doğru işaret eşitsizlikleri bulun ve polinomları aşağıdaki kutulara girin.

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, o zaman bunun hakkında şuraya yazabilirsiniz: Geri bildirim formu.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri. Sayısal aralıklar

7. sınıfta sistem kavramıyla tanıştınız ve iki bilinmeyenli lineer denklem sistemlerini çözmeyi öğrendiniz. Daha sonra bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlik sistemlerini ele alacağız. Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, doğru parçaları, ışınlar) kullanılarak yazılabilir. Ayrıca sayı aralıklarının gösterimine de aşina olacaksınız.

\(4x > 2000\) ve \(5x \leq 4000\) eşitsizliklerinde ise bilinmeyen numara x aynıysa, bu eşitsizlikler birlikte ele alınır ve bir eşitsizlik sistemi oluşturduğu söylenir: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \sağ .$$

Destek sistemin her iki eşitsizliğinin de doğru sayısal eşitsizliklere dönüştüğü x gibi değerleri bulmanın gerekli olduğunu gösterir. Bu sistem- bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler sistemine bir örnek.

Bir bilinmeyenli eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki tüm eşitsizliklerin doğru olduğu bilinmeyenin değeridir. sayısal eşitsizlikler. Bir eşitsizlik sistemini çözmek, bu sistemin tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözüm olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

\(x \geq -2 \) ve \(x \leq 3 \) eşitsizlikleri çift eşitsizlik olarak yazılabilir: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümleri farklıdır sayı setleri. Bu setlerin isimleri var. Evet, üzerinde sayı ekseni\(-2 \leq x \leq 3 \) olacak şekilde x sayıları kümesi, uçları -2 ve 3 noktalarında olan bir doğru parçası ile temsil edilir.

Eğer \(a bir doğru parçasıysa ve [a; b] ile gösteriliyorsa

Eğer \(a bir aralıksa ve (a; b) ile gösteriliyorsa

\(a \leq x) eşitsizliklerini sağlayan \(x\) sayı kümeleri yarım aralıklardır ve sırasıyla [a; b) ve (a; b] ile gösterilirler

Segmentlere, aralıklara, yarım aralıklara ve ışınlara denir sayısal aralıklar.

Böylece, sayısal aralıklar eşitsizlikler şeklinde belirtilebilir.

İki bilinmeyenli bir eşitsizliğin çözümü, sayıları tersine çeviren (x; y) sayı çiftidir. bu eşitsizlik doğru sayısal eşitsizliğe dönüştürün. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak anlamına gelir. Dolayısıyla x > y eşitsizliğinin çözümleri örneğin (5; 3), (-1; -1) sayı çiftleri olacaktır, çünkü \(5 \geq 3 \) ve \(-1 \geq - 1\)

Eşitsizlik sistemlerini çözme

Tek bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Eşitsizlik sisteminin ne olduğunu ve bu sistemin çözümünü biliyor musunuz? Bu nedenle tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini çözme süreci size herhangi bir zorluk yaşatmayacaktır.

Yine de şunu hatırlatalım: Bir eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeniz ve ardından bu çözümlerin kesişimini bulmanız gerekir.

Örneğin, orijinal eşitsizlik sistemi şu şekle indirgenmişti:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda işaretleyin ve bunların kesişimini bulun:

Kesişme [-2; 3] - bu orijinal eşitsizlik sisteminin çözümüdür.