Aralık yöntemi Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Bir değişkene bağlı olan, rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizliklerin adıdır.
1. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün
Aralık yöntemi, sorunu birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.
Bu eşitsizliğin sol tarafında – kesirli rasyonel fonksiyon. Rasyonel çünkü kökler, sinüsler veya logaritmalar içermiyor; yalnızca rasyonel ifadeler içeriyor. Sağdaki sıfır.
Aralık yöntemi aşağıdakilere dayanmaktadır: aşağıdaki özellik kesirli rasyonel fonksiyon.
Kesirli bir rasyonel fonksiyon yalnızca sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı noktalarda işaret değiştirebilir.
İkinci dereceden bir üç terimlinin nasıl çarpanlara ayrıldığını, yani formun bir ifadesini hatırlayalım.
İkinci dereceden denklemin kökleri nerede ve nelerdir?
Bir eksen çizip pay ve paydanın sıfıra gittiği noktaları yerleştiriyoruz.
Paydanın sıfırları ve noktalı noktalardır, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmamıştır (sıfıra bölemezsiniz). Eşitsizlik katı olmadığından pay ve -'nin sıfırları gölgelidir. Eşitsizliğimiz sağlandığında, her iki tarafı da sıfıra eşit olduğundan.
Bu noktalar ekseni aralıklara böler.
Bu aralıkların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki kesirli rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyelim. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun yalnızca sıfıra eşit olduğu veya sıfıra eşit olmadığı noktalarda işaret değiştirebileceğini hatırlıyoruz.
Bu, pay veya paydanın sıfıra gittiği noktalar arasındaki aralıkların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretinin "artı" veya "eksi" olarak sabit olacağı anlamına gelir.
Ve bu nedenle, bu aralıkların her birinde fonksiyonun işaretini belirlemek için bu aralığa ait herhangi bir noktayı alırız. Bizim için uygun olan.
. Örneğin eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini kontrol edin. "Parantezlerin" her biri negatiftir. Sol tarafta bir işaret var.
Sonraki aralık: . adresindeki tabelayı kontrol edelim. Sol tarafın işaretinin olarak değiştiğini görüyoruz.
Eşitsizliğin sol tarafı negatif olduğunda.
Ve son olarak class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Cevap: .
Lütfen dikkat: işaretler aralıklar arasında değişmektedir. Bu oldu çünkü Her noktadan geçerken, doğrusal faktörlerden tam olarak biri işaret değiştirirken geri kalanı değişmeden kaldı.
Aralık yönteminin çok basit olduğunu görüyoruz. karar vermek kesirli rasyonel eşitsizlik aralık yöntemini kullanarak onu şu forma indirgeriz:
Veya class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, veya , veya .
(sol tarafta kesirli bir rasyonel fonksiyon, sağ tarafta ise sıfır).
Daha sonra pay veya paydanın sıfıra gittiği noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktalar, sayı doğrusunun tamamını aralıklara böler ve bunların her birinde kesirli-rasyonel fonksiyon işaretini korur.
Geriye kalan tek şey her aralıkta işaretini bulmaktır.
Bunu, belirli bir aralığa ait herhangi bir noktada ifadenin işaretini kontrol ederek yaparız. Daha sonra cevabı yazıyoruz. İşte bu.
Ancak şu soru ortaya çıkıyor: işaretler her zaman değişiyor mu? Hayır, her zaman değil! Dikkatli olmalı ve işaretleri mekanik ve düşüncesizce yerleştirmemelisiniz.
2. Başka bir eşitsizliği ele alalım.
Class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}
Noktaları tekrar eksene yerleştirin. Noktalar ve paydanın sıfırları olduğundan deliklidir. Eşitsizlik katı olduğu için bu nokta da kesiliyor.
Pay pozitif olduğunda paydadaki her iki faktör de negatiftir. Bu, örneğin belirli bir aralıktan herhangi bir sayı alınarak kolayca kontrol edilebilir. Sol tarafta şu işaret var:
Pay pozitif olduğunda; Paydadaki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:
Durum aynı! Pay pozitiftir, paydadaki ilk faktör pozitif, ikincisi negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:
Son olarak class="tex" alt="x>3 ile">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Cevap: .
İşaretlerin değişimi neden bozuldu? Çünkü bir noktadan geçerken çarpan bundan “sorumludur” işareti değiştirmedi. Sonuç olarak eşitsizliğimizin sol tarafının tamamı işaret değiştirmedi.
Çözüm: doğrusal çarpan eşit bir kuvvetse (örneğin kare), o zaman bir noktadan geçerken sol taraftaki ifadenin işareti değişmez. Durumunda tek derece işaret elbette değişir.
3. Daha karmaşık bir durumu ele alalım. Eşitsizliğin katı olmaması nedeniyle öncekinden farklıdır:
Sol taraf da aynı önceki görev. İşaretlerin resmi aynı olacaktır:
Belki cevap aynı olacaktır? HAYIR! Bir çözüm eklenir Bunun nedeni eşitsizliğin hem sol hem de sağ tarafının sıfıra eşit olmasıdır - dolayısıyla bu nokta bir çözümdür.
Cevap: .
Bu durum genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki problemlerde ortaya çıkar. Başvuru sahiplerinin tuzağa düştüğü ve puan kaybettiği nokta burasıdır. Dikkat olmak!
4. Pay veya payda ayrıştırılamazsa ne yapmalı doğrusal faktörler? Bu eşitsizliği düşünün:
Bir kare trinomial çarpanlara ayrılamaz: diskriminant negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, herkes için ifadenin işaretinin aynı ve özellikle pozitif olduğu anlamına gelir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi ikinci dereceden fonksiyonların özellikleri hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.
Artık eşitsizliğimizin her iki tarafını da herkes için pozitif olan bir değere bölebiliriz. Eşdeğer bir eşitsizliğe varalım:
Aralık yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir.
Lütfen eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif olduğundan emin olduğumuz bir değere böldüğümüzü unutmayın. Tabii ki genel durum eşitsizliği çarpmayın veya bölmeyin değişken değer, burcu bilinmiyor.
5 . Görünüşte oldukça basit olan başka bir eşitsizliği ele alalım:
Sadece onu çarpmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Sonuçta hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da çarpılırsa şunu biliyoruz: negatif değer- eşitsizliğin işareti değişir.
Bunu farklı yapacağız - her şeyi tek bir parçada toplayacağız ve ortak payda. Sağ taraf sıfır kalacak:
Class = "tex" alt = "\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Ve bundan sonra - başvurun aralık yöntemi.
Tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin yollarını aramaya devam ediyoruz. Daha önce doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikler Bunlar rasyonel eşitsizliklerin özel durumlarıdır. Bu yazımızda hangi tür eşitsizliklerin rasyonel kabul edildiğini açıklayacağız ve bunların hangi türlere (tam sayı ve kesirli) bölündüğünü anlatacağız. Bundan sonra bunları nasıl doğru şekilde çözeceğimizi, gerekli algoritmaları nasıl sağlayacağımızı ve belirli problemleri nasıl analiz edeceğimizi göstereceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel eşitlik kavramı
Okulda eşitsizliklerin çözümü konusunu incelediklerinde hemen rasyonel eşitsizlikler. Bu tür ifadelerle çalışma becerilerini kazanır ve geliştirirler. Bu kavramın tanımını şöyle formüle edelim:
Tanım 1
Rasyonel bir eşitsizlik, her iki kısımda da rasyonel ifadeler içeren değişkenlerin olduğu bir eşitsizliktir.
Tanımın değişken sayısı sorusunu hiçbir şekilde etkilemediğini unutmayın; bu, değişkenlerden istenildiği kadar çok olabileceği anlamına gelir. Sonuç olarak 1, 2, 3 veya daha fazla değişkenli rasyonel eşitsizlikler mümkündür. Çoğu zaman yalnızca bir, daha az sıklıkla iki değişken içeren ifadelerle ve eşitsizliklerle uğraşmak zorunda kalırsınız. çok sayıda genellikle içindeki değişkenler okul kursu hiç dikkate alınmıyor.
Böylece rasyonel bir eşitsizliği yazıya bakarak tanıyabiliriz. Hem sağında hem de solunda rasyonel ifadeler bulunmalıdır. İşte bazı örnekler:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Ama burada 5 + x + 1 formunda bir eşitsizlik var< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Tüm rasyonel eşitsizlikler tam sayı ve kesirli olarak ikiye ayrılır.
Tanım 2
Rasyonel eşitliğin tamamı (her iki kısımda da) tam rasyonel ifadelerden oluşur.
Tanım 3
Kesirli rasyonel eşitlik- bu aşağıdakileri içeren bir eşitliktir: kesirli ifade parçalarından birinde veya her ikisinde.
Örneğin, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ve 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 formundaki eşitsizlikler şöyledir: kesirli rasyonel ve 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y) Ve 1: x + 3 > 0- tüm.
Rasyonel eşitsizliklerin ne olduğunu analiz ettik ve ana türlerini belirledik. Bunları çözmenin yollarını incelemeye geçebiliriz.
Diyelim ki bütünüyle rasyonel bir eşitsizliğe çözüm bulmamız gerekiyor. r(x)< s (x) , yalnızca bir x değişkeni içerir. Aynı zamanda r(x) Ve s(x) herhangi bir tam sayıyı temsil eder rasyonel sayılar veya ifadeler ve eşitsizlik işareti farklı olabilir. Bu sorunu çözmek için onu dönüştürüp eşdeğer bir eşitlik elde etmemiz gerekiyor.
İfadeyi sağ taraftan sola taşıyarak başlayalım. Aşağıdakileri alıyoruz:
r(x) − s(x) formundadır< 0 (≤ , > , ≥)
Bunu biliyoruz r (x) - s (x) bir tamsayı değeri olacaktır ve herhangi bir tamsayı ifadesi bir polinoma dönüştürülebilir. Haydi dönüşelim r (x) - s (x) h(x) cinsinden. Bu ifade tamamen eşit bir polinom olacaktır. r (x) − s (x) ve h (x)'in bir bölgesi olduğunu düşünürsek kabul edilebilir değerler x aynıdır, h(x) eşitsizliklerine geçebiliriz< 0 (≤ , >, ≥), orijinaline eşdeğer olacaktır.
Çoğu zaman bu basit dönüşüm Sonuç, değeri hesaplanması kolay olan doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizlik olabileceğinden eşitsizliği çözmek için yeterli olacaktır. Bu tür sorunları analiz edelim.
Örnek 1
Durum: tam bir rasyonel eşitsizliği çöz x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Çözüm
İfadeyi sağ taraftan ters işaretle sola doğru hareket ettirerek başlayalım.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Artık soldaki polinomlarla tüm işlemleri tamamladığımıza göre devam edebiliriz. doğrusal eşitsizlik 3 x − 2 ≤ 0, koşulda verilene eşdeğerdir. Çözülmesi kolaydır:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Cevap: x ≤ 2 3 .
Örnek 2
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Çözüm
İfadeyi sol taraftan sağa aktarıyoruz ve kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak daha ileri dönüşümler gerçekleştiriyoruz.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Dönüşümlerimiz sonucunda x'in her değeri için doğru olacak bir eşitsizlik elde ettik, dolayısıyla orijinal eşitsizliğin çözümü herhangi bir reel sayı olabilir.
Cevap: gerçekten herhangi bir sayı.
Örnek 3
Durum: eşitsizliği çöz x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Çözüm
Orada 0 olduğu için sağ taraftan hiçbir şey aktarmayacağız. Hemen sol tarafı bir polinoma dönüştürerek başlayalım:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Orijinal eşitsizliğe eşdeğer ikinci dereceden bir eşitsizlik türettik ve bu eşitsizlik çeşitli yöntemler kullanılarak kolaylıkla çözülebilir. Grafiksel bir yöntem kullanalım.
Kare trinomiyalin köklerini hesaplayarak başlayalım − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Şimdi diyagramda gerekli tüm sıfırları işaretliyoruz. Baş katsayıdan beri sıfırdan az, grafikteki parabolün dalları aşağıya bakacak.
Eşitsizlikte > işaretimiz olduğundan, parabolün x ekseninin üzerinde bulunan bölgesine ihtiyacımız olacak. Gerekli aralık (− 0 , 5 , 6) dolayısıyla bu değer aralığı ihtiyacımız olan çözüm olacaktır.
Cevap: (− 0 , 5 , 6) .
Daha fazlası var karmaşık vakalar, solda üçte bir veya daha fazla bir polinom elde edildiğinde yüksek derece. Bu eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin kullanılması önerilir. İlk önce polinomun tüm köklerini hesaplıyoruz h(x) Bu çoğunlukla bir polinomun çarpanlara ayrılmasıyla yapılır.
Örnek 4
Durum: hesaplamak (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Çözüm
Her zaman olduğu gibi ifadeyi aktararak başlayalım. sol taraf, bundan sonra parantezleri genişletmeniz ve dökmeniz gerekecek benzer terimler.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Dönüşümler sonucunda solunda üçüncü dereceden bir polinom bulunan orijinaline eşdeğer bir eşitlik elde ettik. Bunu çözmek için aralık yöntemini kullanalım.
Öncelikle çözmemiz gereken polinomun köklerini hesaplıyoruz. kübik denklem x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Rasyonel kökleri var mı? Sadece bölenler arasında olabilirler ücretsiz üye yani ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 sayıları arasında. Bunları birer birer yerine koyalım orijinal denklem ve 1, 2 ve 3 sayılarının kökleri olacağını bulun.
Yani polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 bir ürün olarak tanımlanabilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3) ve eşitsizlik x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 olarak temsil edilebilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)< 0 . Bu tür bir eşitsizlikle aralıkların işaretlerini belirlememiz daha kolay olacaktır.
Daha sonra aralık yönteminin geri kalan adımlarını gerçekleştiriyoruz: bir sayı doğrusu çizin ve üzerinde 1, 2, 3 koordinatlarına sahip noktalar çizin. Düz çizgiyi işaretleri belirlemeleri gereken 4 aralığa bölerler. Orijinal eşitsizlik işaretine sahip olduğundan aralıkları eksi ile gölgelendirelim. < .
Tek yapmamız gereken hazır cevabı yazmak: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Cevap: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Bazı durumlarda r (x) − s (x) eşitsizliğinden ilerleyin< 0 (≤ , >, ≥) ila h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , nerede h(x)– 2'den yüksek bir dereceye kadar polinom, uygunsuz. Bu, r(x) − s(x)'in doğrusal binomların bir ürünü olarak temsil edildiği durumlara kadar uzanır ve kare trinomialler h(x)'i bireysel faktörlere ayırmaktan daha kolaydır. Bu soruna bakalım.
Örnek 5
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Çözüm
Bu eşitsizlik tamsayılar için geçerlidir. İfadeyi sağdan sola hareket ettirip parantezleri açıp terimlerde kısaltma yaparsak şunu elde ederiz: x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Dördüncü dereceden bir polinomun köklerini aramanız gerektiğinden böyle bir eşitsizliği çözmek kolay değildir. Hiçbiri yok rasyonel kök(yani 1, − 1, 19 veya − 19 uygun değildir) ve diğer kökleri aramak zordur. Bu, bu yöntemi kullanamayacağımız anlamına gelir.
Ancak başka çözümler de var. İfadeleri orijinal eşitsizliğin sağından sola doğru hareket ettirirsek parantezleme işlemi yapabiliriz. ortak çarpan x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Orijinaline eşdeğer bir eşitsizlik elde ettik ve çözümü bize istenen cevabı verecektir. Sol tarafta çözdüğümüz ifadenin sıfırlarını bulalım. ikinci dereceden denklemler x 2 − 2 x − 1 = 0 Ve x 2 − 2 x − 19 = 0. Kökleri 1±2, 1±2 5'tir. Aralık yöntemiyle çözülebilen x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 eşitliğine geçiyoruz:
Şekle göre cevap - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞ olacaktır.
Cevap: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Bazen bir polinomun tüm köklerini bulmanın mümkün olmadığını da ekleyelim. h(x) bu nedenle onu doğrusal binomların ve ikinci dereceden üç terimli sayıların bir ürünü olarak temsil edemeyiz. Daha sonra h(x) formundaki bir eşitsizliği çözün.< 0 (≤ , >, ≥) yapamayız, bu da orijinal rasyonel eşitsizliği çözmenin de imkansız olduğu anlamına gelir.
Diyelim ki r(x) formundaki kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor< s (x) (≤ , >, ≥) , burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir, x bir değişkendir. En az biri belirtilen ifadeler kesirli olacaktır. Bu durumda çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:
- X değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirleriz.
- İfadeyi eşitsizliğin sağ tarafından sola kaydırırız ve ortaya çıkan ifade r (x) - s (x) kesir olarak temsil edin. Üstelik nerede p(x) Ve q(x) doğrusal binomların, ayrıştırılamaz ikinci dereceden üç terimlilerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan tamsayı ifadeleri olacaktır.
- Daha sonra ortaya çıkan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz.
- Son adım, çözüm sırasında elde edilen noktaları, başlangıçta tanımladığımız x değişkeninin kabul edilebilir değerler aralığından çıkarmaktır.
Bu, kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanılan algoritmadır. En açıktır; küçük açıklamalar yalnızca 2. paragraf için gereklidir. İfadeyi sağ taraftan sola kaydırdık ve r (x) − s (x) elde ettik< 0 (≤ , >, ≥) ve sonra bunun p (x) q (x) formuna nasıl getirileceği< 0 (≤ , > , ≥) ?
Öncelikle bu dönüşümün her zaman gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini belirleyelim. Teorik olarak böyle bir olasılık her zaman mevcuttur, çünkü rasyonel kesir herhangi birini dönüştürebilirsin rasyonel ifade. Burada pay ve paydasında polinomlar bulunan bir kesirimiz var. Cebirin temel teoremini ve Bezout teoremini hatırlayalım ve bir değişken içeren n dereceli herhangi bir polinomun doğrusal binomların bir çarpımına dönüştürülebileceğini belirleyelim. Dolayısıyla teoride ifadeyi her zaman bu şekilde dönüştürebiliriz.
Uygulamada polinomları çarpanlarına ayırmak çoğu zaman oldukça karmaşıktır. zor görevözellikle derece 4'ten yüksekse. Ayrıştırma işlemini yapamazsak çözemeyiz bu eşitsizlik ancak bu tür sorunlar genellikle okul derslerinde çalışılmamaktadır.
Daha sonra, ortaya çıkan p (x) q (x) eşitsizliğinin olup olmadığına karar vermemiz gerekiyor.< 0 (≤ , >, ≥) r(x) − s(x)'e göre eşdeğer< 0 (≤ , >, ≥) ve orijinaline. Eşitsiz olma ihtimali var.
Kabul edilebilir değerler aralığı belirlendiğinde eşitsizliğin denkliği sağlanacaktır. p(x)q(x) ifade aralığıyla eşleşecek r (x) - s (x). O halde kesirli rasyonel eşitsizliklerin çözümüne ilişkin talimatların son noktasının takip edilmesine gerek yoktur.
Ancak değer aralığı p(x)q(x) daha geniş olabilir r (x) - s (x)örneğin kesirleri azaltarak. Bir örnek, x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3'ten x · x - 1 x + 3'e gitmek olabilir. Veya benzer terimleri getirirken bu durum meydana gelebilir, örneğin buraya:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 - 1 x + 3
Bu gibi durumlarda algoritmanın son adımı eklendi. Bunu uygulayarak kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesi nedeniyle ortaya çıkan gereksiz değişken değerlerden kurtulacaksınız. Neden bahsettiğimizi daha açık hale getirmek için birkaç örnek verelim.
Örnek 6
Durum: x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 rasyonel eşitliğinin çözümlerini bulun.
Çözüm
Yukarıda belirtilen algoritmaya göre hareket ediyoruz. Öncelikle kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. İÇİNDE bu durumdaçözümü (− ∞, − 1) kümesi olan x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir. ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Bundan sonra aralık yöntemini uygulamaya uygun olacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Öncelikle şunu veriyoruz cebirsel kesirler en düşük ortak paydaya (x - 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Toplamın karesi formülünü kullanarak paydaki ifadeyi daraltıyoruz:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Ortaya çıkan ifadenin kabul edilebilir değerleri aralığı (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Orijinal eşitlik için tanımlanana benzer olduğunu görüyoruz. x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 eşitsizliğinin orijinal eşitsizliğine eşdeğer olduğu sonucuna varıyoruz, bu da algoritmanın son adımına ihtiyacımız olmadığı anlamına geliyor.
Aralık yöntemini kullanıyoruz:
Orijinal rasyonel eşitsizlik x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ -'nin çözümü olacak ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) çözümünü görüyoruz. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Cevap: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Örnek 7
Durum: x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 çözümünü hesaplayın.
Çözüm
Kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. Bu eşitsizlik durumunda − 2, − 1, 0 ve 0 dışındaki tüm reel sayılara eşit olacaktır. 1 .
İfadeleri sağ taraftan sola taşıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Sonucu dikkate alarak şunu yazıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
- 1 x - 1 ifadesi için geçerli değerlerin aralığı tüm değerlerin kümesidir gerçek sayılar, biri hariç. Değer aralığının genişlediğini görüyoruz: − 2 , − 1 ve 0 . Bu, algoritmanın son adımını gerçekleştirmemiz gerektiği anlamına gelir.
-1 x - 1 > 0 eşitsizliğine geldiğimize göre, eşdeğerini 1 x - 1 olarak yazabiliriz.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Orijinal eşitliğin izin verilen değerleri aralığına dahil olmayan noktaları hariç tutuyoruz. (− ∞ , 1)'den − 2 , − 1 ve − sayılarını hariç tutmamız gerekir 0 . Dolayısıyla x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 rasyonel eşitsizliğinin çözümü (− ∞ , − 2) değerleri olacaktır. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Cevap: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sonuç olarak, nihai cevabın kabul edilebilir değerler aralığına bağlı olduğu bir problemin başka bir örneğini veriyoruz.
Örnek 8
Durum: 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.
Çözüm
Koşulda belirtilen eşitsizliğin izin verilen değerlerinin aralığı sistem tarafından belirlenir x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Bu sistemin çözümü yok çünkü
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Bu, orijinal eşitlik olan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0'ın çözümü olmadığı anlamına gelir, çünkü onu oluşturacak değişkenin hiçbir değeri yoktur algı.
Cevap: hiçbir çözüm yok.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu derste daha karmaşık eşitsizlikler için aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözmeye devam edeceğiz. Kesirli doğrusal ve kesirli ikinci dereceden eşitsizliklerin ve ilgili problemlerin çözümünü ele alalım.
Şimdi eşitsizliğe dönelim
İlgili bazı görevlere bakalım.
Bulmak en küçük çözüm eşitsizlikler.
Numarayı bul doğal çözümler eşitsizlikler
Eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturan aralıkların uzunluğunu bulun.
2. Portal Doğa Bilimleri ().
3. Elektronik eğitimsel ve metodolojik kompleks 10-11. sınıflara hazırlanmak için giriş sınavları bilgisayar bilimleri, matematik, Rus dili ().
5. Eğitim Merkezi “Öğretim Teknolojisi” ().
6. College.ru'nun matematik bölümü ().
1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Öğrenciler için problem kitabı. eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).
- Çok köklü aralıklar yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözme yeteneğini geliştirmek, öğrencilerin çalışılan materyali genelleştirme ihtiyacını ve arzusunu geliştirmelerine yardımcı olun;
- Çözümleri karşılaştırma ve doğru cevapları belirleme yeteneğini geliştirmek; merak geliştirmek,, mantıksal düşünme bilişsel ilgi
- konuya
Çözümleri hazırlarken doğruluğu, eşitsizlikleri çözerken zorlukların üstesinden gelme yeteneğini geliştirin.
Malzemeler ve ekipman: interaktif beyaz tahta, kartlar, test koleksiyonu.
Dersin ilerlemesi
I. Organizasyon anı
II. Bilgiyi güncelleme
Aşağıdaki sorulara ilişkin ön sınıf anketi: Hangi değerlerde değişken kesir
mantıklı mı (Şekil 1)?< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
(x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 veya (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) formundaki eşitsizlikleri çözmek için algoritmayı tekrarlayın.
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmeye yönelik algoritma interaktif beyaz tahtada görüntülenir:
III. Yeni materyal öğrenme. Çok köklü kesirli rasyonel eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak çözülmesi.
Bir değişkenin birden fazla kritik değeri olan eşitsizlikleri çözmek genellikle en büyük zorluklarla ilişkilendirilir. Daha önce aralıklara işaretleri basitçe değiştirerek yerleştirmek mümkün olsaydı, şimdi kritik bir değerden geçerken tüm ifadenin işareti değişmeyebilir. Bir fonksiyonun işaretlerini aralıklara göre düzenlemeyle ilgili zorlukların üstesinden gelmeye yardımcı olacak "yaprak" yöntemiyle tanışacağız.
Bir örnek düşünün: (x+3) 2 > 0/ Sol tarafta tek bir kritik nokta x = - 3 var. Bunu sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Bu noktanın çarpanı 2'dir, dolayısıyla iki birleştirilmiş noktanın olduğunu varsayabiliriz. arasında başlangıç ve bitiş noktası aynı -3 olan bir aralık da vardır. Bu tür aralıkları Şekil 3'teki gibi “yapraklar” ile işaretleyeceğiz. Böylece üç aralığımız var: iki sayısal aralık (-∞; -3); (-3; +∞) ve aralarındaki “taç yaprağı”. Geriye sadece işaretleri yerleştirmek kalıyor. Bunu yapmak için, sıfır içeren aralıktaki işareti hesaplarız ve geri kalanındaki işaretleri basitçe değiştirerek düzenleriz. İşaretlerin yerleştirilmesinin sonucu Şekil 4'te gösterilmektedir.
 |
 |
|
Pirinç. 3 |
Pirinç. 4 |
Cevap: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Şimdi daha fazlasını düşünelim karmaşık eşitsizlik(Şekil 5):
Fonksiyonu tanıtalım (Şekil 6):
Belirli bir değere sahip her ek parantez için, çokluklarını dikkate alarak sayı doğrusu üzerindeki kritik noktaları işaretleyelim. kritik değer ek bir “yaprak” çizin. Yani, Şekil 7'de, (x-3)?=(x-3)(x-3) olduğundan, x=3 noktasında bir "taç yaprağı" görünecektir.
(x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6) olduğundan, x = 6 noktasının iki "taç yaprağı" vardır. İlk çarpan, eksendeki 6. nokta ile dikkate alınır ve iki "yaprak" eklenerek iki ek çarpan dikkate alınır. Daha sonra, aralıklardan birindeki işareti belirliyoruz ve geri kalanındaki işaretleri, eksileri ve artıları değiştirerek yerleştiriyoruz.
“+” işaretiyle ve koyu noktalarla işaretlenen tüm alanlar yanıtı sağlar.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Yeni malzemenin konsolidasyonu
1. Eşitsizliği çözelim:
Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım:
İlk önce bunu uygulayalım koordinat ekseni paydanın kritik noktalarını elde ederiz (Şekil 10)
Pay noktalarını ekleyerek şunu elde ederiz (Şekil 11)
Şimdi işaretleri aralıklarla ve “yapraklar” halinde belirliyoruz (Şek. 12)
Pirinç. 12
Cevap: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Seçin sayısal aralıklar polinomun köklerinin çokluğunu dikkate alarak eşitsizliklerin aralık yöntemiyle çözümleri olan (Şekil 13).
V. Dersin özeti
Sınıfla yaptığımız konuşmada şu sonuçlara varıyoruz:
1) İşaretleri yalnızca değiştirerek aralıklarla yerleştirmek mümkün hale gelir.
3) Bu çözümle tek kökler asla kaybolmaz.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
