Bu ders üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için tasarlanmıştır. Her zaman olduğu gibi tanımla ve basit örneklerle başlayalım.

Eğer bu dersi okuyorsanız, en azından en basit denklemler (doğrusal ve ikinci dereceden denklemler) hakkında asgari düzeyde bir anlayışa sahip olduğunuzdan şüpheleniyorum: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, vb. Şimdi ele alınacak konuya “takılıp kalmamak” için bu tür kurguları çözebilmek mutlaka gereklidir.

Yani üstel denklemler. Size birkaç örnek vereyim:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Bazıları size daha karmaşık görünebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ancak hepsinin önemli bir ortak özelliği var: Gösterimleri $f\left(x \right)=((a)^(x))$ üstel fonksiyonunu içeriyor. O halde tanımı tanıtalım:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir; $((a)^(x))$ biçimindeki ifade. Ayrıca belirtilen işlev benzer denklemler diğer cebirsel yapıları (polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar vb.) içerebilir.

Tamam ozaman. Tanımı çözdük. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalıkları nasıl çözeceğiz? Cevap hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: Birçok öğrenciye ders verme deneyimime dayanarak, çoğunun üstel denklemleri aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay bulduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haber de var: Bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problem derleyenler "ilham"a kapılırlar ve uyuşturucuyla iltihaplanan beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, bunları çözmek sadece öğrenciler için değil, hatta birçok öğretmen için bile sorunlu hale gelir. bu tür sorunlara takılıp kalın.

Ancak üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki 4 sayısını elde etmek için 2 sayısını hangi kuvvete yükseltmelisiniz? Muhtemelen ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Teşekkürler Kaptan, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebilirdi :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada durum biraz daha karmaşık. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$ çarpım tablosunun olduğunu biliyor. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$'ın esasen tanım olduğundan şüpheleniyor negatif güçler($((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n))))$ formülüne benzetilerek.

Son olarak, yalnızca seçilmiş birkaç kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini ve aşağıdaki sonucu verebileceğini fark ediyor:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece orijinal denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ancak bu zaten tamamen çözülebilir! Denklemin solunda üstel fonksiyon var, denklemin sağında üstel fonksiyon var, bunların dışında başka hiçbir şey yok. Bu nedenle, üsleri "bir kenara atabiliriz" ve göstergeleri aptalca eşitleyebiliriz:

Her öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satır halinde:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda neler olduğunu anlamadıysanız mutlaka konuya dönün “ doğrusal denklemler"ve tekrarla. Çünkü bu konuyu net bir şekilde anlamadan üstel denklemlerle uğraşmak için henüz çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, yani orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Daha sonra bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş iki tane alacağız. Çünkü bir Pokemon soğukkanlılığıyla üçün önündeki eksi işaretini bu üçün kuvvetine gönderdik. Ama bunu yapamazsın. Ve bu yüzden. Üçün farklı güçlerine bir göz atın:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2))))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bu tableti derlerken sapkınlıktan kaçınmak için elimden geleni yaptım: ve pozitif derece Hem negatif hem de kesirli olanlara baktım... peki burada en az bir negatif sayı nerede? O gitti! Ve olamaz, çünkü $y=((a)^(x))$ üstel fonksiyonu öncelikle her zaman yalnızca pozitif değerler(biri ne kadar çarparsanız çarpın veya ikiye bölerseniz bölün, yine de pozitif bir sayı olacaktır) ve ikinci olarak, böyle bir fonksiyonun tabanı - $a$ sayısı - tanımı gereği pozitif bir sayıdır!

Peki $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Ama mümkün değil; kök yok. Ve bu anlamda üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer; kökleri de olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı diskriminant tarafından belirlenirse (pozitif diskriminant - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde her şey eşit işaretin sağındaki şeye bağlıdır.

Böylece, temel sonucu formüle edelim: $((a)^(x))=b$ formundaki en basit üstel denklemin kökü ancak ve ancak $b>0$ olduğunda olur. Bu basit gerçeği bilerek, size önerilen denklemin köklerinin olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. Bunu çözmeye değer mi yoksa hemen köklerin olmadığını yazmaya değer mi?

Bu bilgi, daha fazla karar vermemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. karmaşık görevler. Şimdilik bu kadar şarkı sözü yeter; üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Daha önce kullandığımız “saf” algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının kuvveti olarak temsil etmek gerekir:

Ayrıca $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, halihazırda çözülebilen yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\bit(hizala)\]

Ve işin tuhafı, bu plan vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki geri kalan %10 ne olacak? Geriye kalan %10 ise biraz "şizofrenik" üstel denklemlerdir:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Peki, 3'ü elde etmek için 2'yi hangi kuvvete yükseltmeniz gerekiyor? Birinci? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniye? İkisi de hayır: $((2)^(2))=4$ çok fazla. O zaman hangisi?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: Bu gibi durumlarda, "güzel" bir şekilde çözmenin mümkün olmadığı durumlarda, "ağır top" - logaritma - devreye girer. Logaritma kullanarak herhangi bir pozitif sayının herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) kuvveti olarak temsil edilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritma konusunu anlatırken her zaman uyarıyorum: Bu formül (aynı zamanda temel formül) logaritmik özdeşlik ya da isterseniz logaritmanın tanımı) uzun süre aklınızı kurcalayacak ve çoğu zaman "ortaya çıkacak" beklenmedik yerler. Peki, o ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $b=2$'ın, ulaşmak istediğimiz üstel fonksiyonun temeli olduğunu varsayarsak Sağ Taraf, sonra aşağıdakileri elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\bit(hizala)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, çoğu kişi böyle bir cevap konusunda şüpheye düşer ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlar: Ya bir yerde bir hata ortaya çıkarsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar oldukça tipik durum. O yüzden alışın :)

Şimdi kalan iki denklemi benzetme yoluyla çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Logaritma argümanına bir faktör ekledik. Ancak hiç kimse bizi bu faktörü tabana eklemekten alıkoyamıyor:

Üstelik her üç seçenek de doğru; çok basit farklı şekiller aynı numaranın kayıtları. Bu çözümde hangisini seçip yazacağınıza karar vermek size kalmıştır.

Böylece, $((a)^(x))=b$ formundaki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik; burada $a$ ve $b$ sayıları kesinlikle pozitiftir. Fakat sert gerçeği Dünyamız öyle ki bu kadar basit görevlerle çok çok nadir karşılaşılacak. Çoğu zaman şöyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Bu hiç çözülebilir mi? Eğer öyleyse, nasıl?

Panik yapma. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde şuna indirgenebilir: basit formüller bunu zaten düşündük. Cebir kursundan birkaç püf noktasını hatırlamanız yeterli. Ve elbette derecelerle çalışmanın kuralları yoktur. Şimdi bunların hepsini anlatacağım :)

Üstel Denklemleri Dönüştürme

Hatırlanması gereken ilk şey: herhangi bir üstel denklem, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere - daha önce ele aldığımız ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemlere - indirgenmelidir. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şuna benzer:

Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Garip şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürme" denen saçmalık;
Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer başka bir biçimin en basit ifadelerini alın. Dahası, bir başlangıç denklemi aynı anda bu tür birkaç ifadeyi verebilir.

İlk noktada her şey açık; kedim bile denklemi bir kağıda yazabilir. Üçüncü nokta da az çok açık görünüyor; yukarıda bu tür bir sürü denklemi zaten çözdük.

Peki ya ikinci nokta? Ne tür dönüşümler? Neyi neye dönüştürmek? Ve nasıl?

Peki, hadi çözelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

Denklem aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formül, üstel fonksiyonlar içerir farklı nedenlerden dolayı. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

İlk türdeki denklemlerle başlayalım - çözülmesi en kolay olanlardır. Ve bunları çözerken, istikrarlı ifadelerin vurgulanması gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Kararlı bir ifadeyi izole etme

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ama tüm bu dereceler - basit toplamlar$x$ değişkenini diğer sayılarla birlikte kullanın. Bu nedenle derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x))):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a )^(y))). \\\bit(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, toplama kuvvetlerin çarpımına, çıkarma işlemi de kolaylıkla bölme işlemine dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin derecelerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\son(hizala)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım ve ardından tüm terimleri sol tarafta toplayalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onbir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\bit(hizala)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir - hadi bunu parantezden çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\bit(hizala)\]

Denklemin her iki tarafını da $-\frac(11)(4)$ kesrine bölmek kalıyor; esas olarak ters çevrilmiş kesirle çarpın - $-\frac(4)(11)$. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Orijinal denklemi en basit haline indirip nihai cevaba ulaştık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde şunu keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) ortak çarpan$((4)^(x))$ kararlı bir ifadedir. Yeni bir değişken olarak belirlenebilir veya basitçe dikkatlice ifade edip cevaba ulaşabilirsiniz. Her durumda çözümün temel ilkesi şudur:

Orijinal denklemde, tüm üstel fonksiyonlardan kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böylesine kararlı bir ifadeyi izole etmenize olanak sağlıyor.

Ama bir de kötü haber var: benzer ifadeler oldukça yanıltıcı olabilir ve tanımlanması oldukça zor olabilir. O halde bir soruna daha bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki şimdi birisinin bir sorusu vardır: “Paşa, kafan mı karıştı? Burada farklı tabanlar var; 5 ve 0,2.” Ama gücü 0,2 tabanına dönüştürmeyi deneyelim. Örneğin ondalık kesri normal kesre indirerek kurtulalım:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Gördüğünüz gibi paydada da olsa 5 sayısı hala görünüyordu. Aynı zamanda gösterge negatif olarak yeniden yazıldı. Şimdi bunlardan birini hatırlayalım en önemli kurallar derecelerle çalışın:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz yalan söylüyordum. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şu şekilde yazılması gerekiyordu:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan hiçbir şey bizi sadece kesirlerle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda bir gücü başka bir güce yükseltebilmeniz gerekiyor (hatırlatayım: bu durumda göstergeler birbirine eklenir). Ancak kesirleri "tersine çevirmem" gerekmedi - belki bu bazıları için daha kolay olacaktır :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\bit(hizala)\]

Böylece orijinal denklemin daha önce düşünülenden daha basit bir şekilde çözülebileceği ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine indirgenmiştir. Geriye sadece şunu hatırlamak kalıyor: $1=((5)^(0))$, buradan şunu alıyoruz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Son cevabı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir tekniğe dikkat çekmek isterim:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık sayılar, bunları normal olanlara dönüştürün. Bu, aynı derece tabanlarını görmenize ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.

Şimdi farklı tabanların bulunduğu ve hiçbir şekilde kuvvetler kullanılarak birbirine indirgenemeyen daha karmaşık denklemlere geçelim.

Degrees Özelliğini Kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz daha olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Burada asıl zorluk neye ve neye dayanarak verileceğinin net olmamasıdır. Nerede ifadeleri ayarla? Aynı gerekçeler nerede? Bunların hiçbiri yok.

Ama farklı bir yoldan gitmeyi deneyelim. Eğer hazır özdeş bazlar yoksa mevcut bazları çarpanlara ayırarak bulmayı deneyebilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))). \\\bit(hizala)\]

Ancak tam tersini de yapabilirsiniz - 7 ve 3 sayılarından 21 sayısını yapın. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Üssü çarpımın dışına çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denkleme bakalım. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bu durumda kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabiliyorsa, onu azalttığınızdan emin olun. Çoğu zaman, halihazırda çalışabileceğiniz ilginç nedenler ortaya çıkacaktır.

Ne yazık ki bizim için özel bir şey ortaya çıkmadı. Ancak çarpımda soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size şunu hatırlatmama izin verin: göstergedeki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Peki, orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\bit(hizala)\]

İkinci satırda basitçe gerçekleştirdik genel gösterge$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) kuralına göre parantez dışındaki çarpımdan $ ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarptık.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların bir şekilde benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, çok açık: bunlar aynı sayıdaki kuvvetler! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Böylece denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\sağ))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\left(x-1 \sağ))))=((\left(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Bu durumda, sağ tarafta aynı tabana sahip bir derece de alabilirsiniz; bunun için kesri basitçe "ters çevirmeniz" yeterlidir:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Denklemimiz sonunda şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu. Onun ana fikri, farklı bazlarla bile, bu bazları ister istemez aynı şeye indirgemeye çalıştığımız gerçeğine dayanıyor. Kuvvetlerle çalışmaya yönelik denklemlerin ve kuralların temel dönüşümleri bu konuda bize yardımcı olur.

Peki hangi kurallar ve ne zaman kullanılmalı? Bir denklemde her iki tarafı da bir şeye bölmeniz gerektiğini, diğerinde ise üstel fonksiyonun tabanını çarpanlara ayırmanız gerektiğini nasıl anlıyorsunuz?

Bu sorunun cevabı tecrübeyle gelecektir. İlk başta şansınızı deneyin basit denklemler ve ardından görevleri kademeli olarak karmaşıklaştırın - ve çok geçmeden becerileriniz aynı Birleşik Devlet Sınavından veya herhangi bir bağımsız/test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Bu zor görevde size yardımcı olmak için, web sitemden kendi başınıza çözebileceğiniz bir dizi denklem indirmenizi öneririm. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi test edebilirsiniz.

Bu, bilinmeyenin kuvvetinin hem üssünde hem de tabanında yer aldığı formdaki denklemlerin adıdır.

Formun bir denklemini çözmek için tamamen açık bir algoritma belirleyebilirsiniz. Bunu yapmak için şu gerçeğe dikkat etmeniz gerekir: Ah) sıfır, bir ve eksi bire eşit değilse, aynı tabanlara sahip derecelerin eşitliği (pozitif veya negatif) ancak üslerin eşit olması durumunda mümkündür. Yani denklemin tüm kökleri denklemin kökleri olacaktır. f(x) = g(x) Tersi ifade doğru olmadığında Ah)< 0 Ve kesirli değerler f(x) Ve g(x) ifade Ah) f(x) Ve

Ah) g(x) anlamlarını kaybederler. Yani, bir yerden bir yere taşınırken f(x) = g(x)(için ve orijinal denklemle kontrol edilerek hariç tutulması gereken yabancı kökler görünebilir. Ve durumlar a = 0, a = 1, a = -1 ayrı ele alınması gerekir.

İçin böylece tam çözüm denklemleri aşağıdaki durumları göz önünde bulunduruyoruz:

a(x) = Ö f(x) Ve g(x) pozitif sayılar olacaksa çözüm budur. Aksi takdirde hayır

a(x) = 1. Bu denklemin kökleri kökler ve orijinal denklem.

a(x) = -1. Bu denklemi sağlayan bir x değeri için, f(x) Ve g(x) aynı pariteye sahip tam sayılarsa (her ikisi de çift veya her ikisi de tek), o zaman çözüm budur. Aksi takdirde hayır

Denklemi ne zaman ve çözeriz f(x)= g(x) ve elde edilen sonuçları orijinal denklemde yerine koyarak yabancı kökleri kesiyoruz.

Üstel kuvvet denklemlerini çözme örnekleri.

Örnek No.1.

1) x - 3 = 0, x = 3. çünkü 3 > 0 ve 3 2 > 0 ise çözüm x 1 = 3'tür.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Her iki gösterge de çifttir. Bu çözüm x 3 = 1'dir.

4) x - 3 ? 0 ve x? ± 1. x = x 2, x = 0 veya x = 1. x = 0 için, (-3) 0 = (-3) 0 - bu çözüm doğrudur: x 4 = 0. x = 1 için, (- 2) 1 = (-2) 1 – bu çözüm doğrudur x 5 = 1.

Cevap: 0, 1, 2, 3, 4.

Örnek No. 2.

Aritmetik karekök tanımı gereği: x - 1? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 veya x = 1, = 0, 0 0 bir çözüm değildir.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ODZ'ye uymuyor.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - kök yok.

Ders: “Üstel denklemleri çözme yöntemleri.”

1 . Üstel denklemler.

Üstellerde bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunlardan en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b'de< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanıldığında denklemin tek bir kökü vardır. Bunu bulmak için b'nin b = aс, аx = bс ó x = c veya x = logab biçiminde temsil edilmesi gerekir.

Cebirsel dönüşümler yoluyla üstel denklemler aşağıdakilere yol açar: standart denklem aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülür:

1) bir baza indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) gösterge niteliğinde – güç denklemleri;

7) bir parametreyle üstel.

2 . Tek baza indirgeme yöntemi.

Yöntem dayanmaktadır aşağıdaki özellik derece: iki derece eşitse ve tabanları eşitse, üsleri eşittir, yani denklemi forma indirgemeye çalışmalıyız

Örnekler. Denklemi çözün:

1 . 3x = 81;

Denklemin sağ tarafını 81 = 34 formunda temsil edelim ve orijinal 3 x = 34'ün eşdeğerini yazalım; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = üsleri için denkleme geçelim 4; x = 0,5. Cevap: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" genişlik = "105" yükseklik = "47">

0,2, 0,04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetlerini temsil ettiğini unutmayın. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, dolayısıyla 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 çözümünü buluyoruz. Cevap 1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şeklinde yeniden yazalım, yani.png" width=181" height=49 src=> Dolayısıyla x – 4 =0, x = 4. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Üslerin özelliklerini kullanarak denklemi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şeklinde yazıyoruz. = 32, yani x+1 = 2, x =1. Cevap 1.

1 numaralı sorunlu banka.

Denklemi çözün:

1 numaralı test.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok
	1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evrim metodu.

Kök teoremi: f(x) fonksiyonu I aralığında artıyorsa (azalıyorsa), a sayısı f'nin bu aralıkta aldığı herhangi bir değer ise, f(x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Tahmin yöntemini kullanarak denklemleri çözerken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler. Denklemleri çözün: 1. 4x = 5 – x.

Çözüm. Denklemi 4x +x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. eğer x = 1 ise 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, bu da 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon f(x) = 4x – R üzerinde artar ve g(x) = x – R üzerinde artar => h(x)= f(x)+g(x) R üzerinde artar, artan fonksiyonların toplamı olarak, o zaman x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım. .

1. eğer x = -1 ise, o zaman 3 = 3 doğrudur, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. Onun tek olduğunu kanıtlayın.

3. Fonksiyon f(x) = - R üzerinde azalır ve g(x) = - x – R üzerinde azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R üzerinde azalır, şunun toplamı olarak: azalan fonksiyonlar Bu, kök teoremine göre denklemin tek kökü x = -1 olduğu anlamına gelir. Cevap 1.

Sorunlu banka No. 2. Denklemi çözün

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem paragraf 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin eklenmesi (ikame), genellikle denklem terimlerinin dönüştürülmesinden (basitleştirilmesinden) sonra gerçekleştirilir. Örneklere bakalım.

Örnekler. R Denklemi çözün: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width = "128" height = "48 src => i.e..png" width = "210" yükseklik = "45">

Çözüm. Denklemi farklı şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - uygun olmadığını belirleyelim.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" genişlik = "268" yükseklik = "51"> - irrasyonel denklem. şunu not ediyoruz

Denklemin çözümü x = 2,5 ≤ 4'tür, yani denklemin kökü 2,5'tir. Cevap: 2.5.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri t1 = 1 ve t2'dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Çözüm . Denklemi formda yeniden yazalım.

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek şunu elde ederiz:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değerini değiştirelim.

Cevap: 0; 0,5.

Sorunlu banka No. 3. Denklemi çözün

Test No.3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test No.4 cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Çözüm. Denklemin sol tarafına parantezlerin dışına 6x, sağ tarafına da 2x koyalım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x'ler için 2x >0 olduğundan, çözümleri kaybetme korkusu olmadan bu denklemin her iki tarafını da 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözelim.

Binomun karesini seçelim

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width = "500" yükseklik = "181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " stil = "sınır-çöküşü:çöküş;kenarlık:yok">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No.6 Genel seviye.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Üstel – güç denklemleri.

Üstel denklemlerin bitişiğinde üstel kuvvet denklemleri adı verilen denklemler bulunur; yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formundaki denklemler.

Eğer f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, bu durumda denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerinin eşitlenmesiyle çözülür.

Eğer koşul f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel bir denklemi çözerken bu durumları dikkate almamız gerekir.

1..png" genişlik = "182" yükseklik = "116 src = ">

Çözüm. x2 +2x-8 – herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bu bir polinomdur, bu da denklemin bütünlüğe eşdeğer olduğu anlamına gelir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" genişlik = "137" yükseklik = "35">

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3)×2 +4p2–3p = 0 (1)'e sahiptir tek karar?

Çözüm. 2x = t, t > 0 yerine koymayı tanıtalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formunu alacaktır. (2)

Denklemin (2) diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise, denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0 formunu alacaktır, dolayısıyla t = 1, dolayısıyla denklem (1)'in tek çözümü x = 0 olacaktır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise denklem (2)'nin iki farklı kökü vardır t1 = p, t2 = 4p – 3. Problemin koşulları bir dizi sistem tarafından karşılanmaktadır.

Sistemlerde t1 ve t2'yi yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Çözüm. İzin vermek bu durumda denklem (3) t2 – 6t – a = 0 formunu alacaktır. (4)

Denklemin (4) en az bir kökünün t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4)'ün tek bir pozitif çözümü vardır:

D = 0, eğer a = – 9 ise denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formunu alacaktır.

Durum 3. Denklemin (4) iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz. Bu şu şekilde mümkündür:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dolayısıyla a 0 için denklem (4)'ün tek bir pozitif kökü vardır. . O halde denklem (3)'ün benzersiz bir çözümü vardır

Zaman< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise x = – 1;

eğer a 0 ise, o zaman

Denklem (1) ve (3)'ü çözme yöntemlerini karşılaştıralım. Denklem (1)'i çözerken, diskriminantının tam kare olduğu ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğine dikkat edin; Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülü kullanılarak denklem (2)'nin kökleri hemen hesaplandı ve ardından bu köklere ilişkin sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı mükemmel bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin konumuna ilişkin teoremlerin kullanılması tavsiye edilir. ve bir grafik modeli. Denklemin (4) Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha karmaşık denklemleri çözelim.

Problem 3: Denklemi çözün

Çözüm. ODZ: x1, x2.

Bir yedek sunalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 formunu alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. denklem (*) t > 0 koşulunu karşılar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > – 13, a  11, a  5 ise, a – 13 ise,

a = 11, a = 5 ise kök yoktur.

Kaynakça.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. “Okul Müdürü” Sayı 4, 1996

3. Guzeev ve organizasyon formları eğitim.

4. Guzeev ve bütünleşik eğitim teknolojisinin uygulanması.

M. " Halk eğitim", 2001

5. Ders - seminer formlarından Guzeev.

Okulda matematik No. 2, 1987 s. 9 – 11.

6.Seleuko eğitim teknolojileri.

M. “Halk Eğitimi”, 1998

7. Episheva'nın okul çocukları matematik eğitimi alacak.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanova dersler - atölye çalışmaları hazırlıyor.

Okulda matematik No. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnov'un matematik öğretim modeli.

1 numaralı okulda matematik, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko'nun pratik çalışmaları organize etme yolları.

Okulda matematik No. 1, 1993 s. 27 – 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

Okulda matematik No. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Hazankin Yaratıcı beceriler okul çocukları.

2 numaralı okulda matematik, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. Didaktik materyallerİçin

15. Krivonogov'un matematikteki görevleri.

M. “1 Eylül”, 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. “A S T - basın okulu”, 2002

17. Üniversitelere girenler için Zhevnyak.

Minsk ve Rusya Federasyonu “İnceleme”, 1996

18. Yazılı D. Matematik sınavına hazırlık. M. Rolf, 1999

19. vb. Denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. vb. EGE'ye hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "İstihbarat - Merkez", 2003 ve 2004.

21 ve diğerleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003.

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" Sayı 3, 1971

23. Volovich M. Matematik nasıl başarılı bir şekilde öğretilir.

Matematik, 1997 Sayı 3.

24 Okunev derse çocuklar! M.Eğitim, 1988

25. Okulda Yakimanskaya odaklı öğrenme.

26. Sınırlar sınıfta çalışır. M.Bilgi, 1975

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları için çalışılan materyali pekiştirmek için sitede her türlü denklemi çevrimiçi çözme.. Denklemleri çevrimiçi çözme. Denklemler çevrimiçi. Cebirsel, parametrik, transandantal, fonksiyonel, diferansiyel ve diğer denklem türleri vardır. Bazı denklem sınıflarının analitik çözümleri vardır ve bunlar yalnızca vermekle kalmazlar. Kesin değer root, ancak çözümü parametreler içerebilecek bir formül biçiminde yazmanıza izin verir. Analitik İfadeler sadece kökleri hesaplamaya değil, aynı zamanda parametre değerlerine bağlı olarak bunların varlığını ve miktarını da analiz etmeye izin verir ki bu genellikle daha da önemlidir. pratik uygulama, Nasıl belirli değerler kökler. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Bir denklemi çözmek, bu eşitliğin sağlandığı argümanların bu tür değerlerini bulma görevidir. Açık olası değerler argümanlar öne sürülebilir ek koşullar(tam sayı, gerçek vb.). Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Denklemi çevrimiçi olarak anında ve yüksek doğrulukla çözebilirsiniz. Belirtilen işlevlere (bazen "değişkenler" olarak da adlandırılır) ilişkin argümanlara, bir denklem durumunda "bilinmeyenler" adı verilir. Bu eşitliğin sağlandığı bilinmeyenlerin değerlerine bu denklemin çözümleri veya kökleri denir. Köklerin bu denklemi sağladığı söylenir. Bir denklemi çevrimiçi çözmek, tüm çözümlerinin (köklerinin) kümesini bulmak veya köklerin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Kök kümeleri çakışan denklemlere eşdeğer veya eşit denir. Kökleri olmayan denklemler de eşdeğer kabul edilir. Denklemlerin eşdeğerliği simetri özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse, ikinci denklem birinciye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerliği geçişlilik özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse ve ikincisi üçüncüye eşdeğerse, o zaman ilk denklem üçüncüye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerlik özelliği, bunları çözme yöntemlerinin dayandığı onlarla dönüşümler yapmamızı sağlar. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Site, denklemi çevrimiçi çözmenize izin verecektir. Analitik çözümleri bilinen denklemler dördüncü dereceden yüksek olmayan cebirsel denklemleri içerir: doğrusal denklem, ikinci dereceden denklem, kübik denklem ve dördüncü dereceden bir denklem. Cebirsel denklemler daha yüksek dereceler Genel dava Analitik çözüm Bazıları daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilse de yoktur. Aşkın fonksiyonları içeren denklemlere aşkın denir. Bunlar arasında bazı trigonometrik denklemlerin analitik çözümleri bilinmektedir, çünkü sıfırlar trigonometrik fonksiyonlar iyi biliniyor. Genel durumda analitik çözüm bulunamadığında sayısal yöntemler kullanılır. Sayısal yöntemler kesin bir çözüm sağlamaz, ancak yalnızca kökün bulunduğu aralığın önceden belirlenmiş belirli bir değere daraltılmasına izin verir. Online denklem çözümü.. Online denklem.. Online denklem yerine aynı ifadenin nasıl oluştuğunu hayal edeceğiz doğrusal bağımlılık ve yalnızca düz bir teğet boyunca değil, aynı zamanda grafiğin tam dönüm noktasında. Bu yöntem konunun incelenmesinde her zaman vazgeçilmezdir. Denklemlerin çözümünün nihai değere şu şekilde yaklaştığı sıklıkla görülür: sonsuz sayılar ve vektör kayıtları. İlk verileri kontrol etmek gereklidir ve görevin özü budur. Aksi takdirde yerel durum formüle dönüştürüldü. Düz bir çizgi boyunca ters çevirme verilen fonksiyon Denklem hesaplayıcısının uygulamada çok fazla gecikme olmadan hesaplayacağı ofset, alan ayrıcalığıyla sağlanacaktır. Bilimsel bir ortamda öğrencilerin başarısını konuşacağız. Ancak yukarıdakilerin hepsinde olduğu gibi, bulma sürecinde bize yardımcı olacaktır ve denklemi tamamen çözdüğünüzde ortaya çıkan cevabı düz çizgi parçasının uçlarında saklayın. Uzayda çizgiler bir noktada kesişir ve bu noktaya doğruların kesiştiği nokta denir. Satırdaki aralık daha önce belirtildiği gibi gösterilir. Matematik çalışmaları için en yüksek yazı yayınlanacaktır. Bağımsız değişken değerini parametrik olarak atayın verilen yüzey ve denklemin çevrimiçi çözülmesi, işleve verimli erişimin ilkelerini özetleyebilecektir. Möbius şeridi veya diğer adıyla sonsuzluk, sekiz rakamına benziyor. Bu iki taraflı değil, tek taraflı bir yüzeydir. Herkes tarafından genel olarak bilinen prensibe göre, araştırma alanında olduğu gibi nesnel olarak doğrusal denklemleri temel tanım olarak kabul edeceğiz. Sırayla verilen argümanların yalnızca iki değeri vektörün yönünü ortaya çıkarabilir. Çevrimiçi denklemlere yönelik başka bir çözümün, onu çözmekten çok daha fazlası olduğunu varsaymak, sonuç olarak değişmezin tam teşekküllü bir versiyonunu elde etmek anlamına gelir. Olmadan entegre bir yaklaşımÖğrencilerin bu materyali öğrenmesi zordur. Daha önce olduğu gibi, her özel durum için, kullanışlı ve akıllı çevrimiçi denklem hesaplayıcımız zor zamanlarda herkese yardımcı olacaktır, çünkü yalnızca giriş parametrelerini belirtmeniz yeterlidir ve sistemin kendisi cevabı hesaplayacaktır. Veri girmeye başlamadan önce, çok fazla zorluk yaşamadan yapılabilecek bir giriş aracına ihtiyacımız olacak. Her cevap tahmininin sayısı, sonuçlarımıza ikinci dereceden bir denklem kazandıracaktır, ancak bunu yapmak o kadar kolay değildir çünkü tersini kanıtlamak kolaydır. Teori, özellikleri gereği pratik bilgilerle desteklenmemektedir. Cevabı yayınlama aşamasında bir kesir hesaplayıcısını görmek matematikte kolay bir iş değildir, çünkü bir sayıyı bir kümeye yazma alternatifi fonksiyonun büyümesini artırmaya yardımcı olur. Ancak öğrencilere ders vermekten bahsetmemek yanlış olur, dolayısıyla her birimiz yapılması gerekeni söyleyeceğiz. Daha önce bulunan kübik denklem haklı olarak tanım alanına ait olacak ve uzayı içerecektir. Sayısal değerler ve sembolik değişkenler. Teoremi öğrenen veya ezberleyen öğrencilerimiz ancak en iyi taraf ve onlar adına mutlu olacağız. Çoklu alan kesişmelerinden farklı olarak çevrimiçi denklemlerimiz, iki ve üç sayısal birleştirilmiş çizginin çarpılmasıyla elde edilen bir hareket düzlemiyle tanımlanır. Matematikte bir küme benzersiz olarak tanımlanmaz. Öğrencilere göre en iyi çözüm ifadenin tam olarak kaydedilmesidir. Bilimsel dilde söylendiği gibi, sembolik ifadelerin soyutlanması işin içine girmez, ancak denklemlerin çözümü bilinen tüm durumlarda kesin bir sonuç verir. Öğretmenin dersinin süresi bu teklifin ihtiyaçlarına bağlıdır. Analiz birçok alanda tüm hesaplama tekniklerinin gerekliliğini gösterdi ve denklem hesaplayıcının bir öğrencinin yetenekli ellerinde vazgeçilmez bir araç olduğu kesinlikle açıktır. Matematik çalışmalarına sadık bir yaklaşım, farklı yönlerden görüşlerin önemini belirler. Temel teoremlerden birini tanımlamak ve denklemi, hangi cevaba bağlı olarak uygulanmasına daha fazla ihtiyaç duyulacak şekilde çözmek istiyorsunuz. Bu alandaki analizler ivme kazanıyor. En baştan başlayalım ve formülü türetelim. Fonksiyonun artış seviyesini aştıktan sonra, bükülme noktasındaki teğet boyunca uzanan çizgi, denklemi çevrimiçi çözmenin, fonksiyonun argümanından aynı grafiği oluşturmanın ana yönlerinden biri olacağı gerçeğine kesinlikle yol açacaktır. Bu durum öğrencilerin çıkarımlarıyla çelişmiyorsa amatör bir yaklaşımın uygulanma hakkı vardır. Analizi ortaya koyan alt görev arka plana alınır. matematiksel koşullar nesnenin mevcut tanım alanındaki doğrusal denklemler olarak. Diklik yönündeki dengeleme karşılıklı olarak yalnızlığın avantajını azaltır mutlak değer. Çevrimiçi denklem çözme modulo, parantezleri önce artı işaretiyle, sonra eksi işaretiyle açarsanız aynı sayıda çözümü verir. Bu durumda iki kat daha fazla çözüm olacak ve sonuç daha doğru olacaktır. İstikrarlı ve doğru bir çevrimiçi denklem hesaplayıcı, öğretmen tarafından belirlenen görevde amaçlanan hedefe ulaşma başarısıdır. Büyük bilim adamlarının görüşlerindeki önemli farklılıklar nedeniyle doğru yöntemin seçilmesi mümkün görünmektedir. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklem, parabol adı verilen çizgilerin eğrisini tanımlar ve işaret, kare koordinat sistemindeki dışbükeyliğini belirleyecektir. Denklemden Vieta teoremine göre hem diskriminantı hem de kökleri elde ediyoruz. İlk adım, ifadeyi uygun veya yanlış kesir olarak temsil etmek ve bir kesir hesaplayıcı kullanmaktır. Buna bağlı olarak daha sonraki hesaplamalarımızın planı oluşacaktır. Teorik bir yaklaşımla matematik her aşamada faydalı olacaktır. Sonucu kesinlikle kübik denklem olarak sunacağız çünkü üniversitedeki bir öğrencinin işini kolaylaştırmak için köklerini bu ifadede saklayacağız. Yüzeysel analize uygun olan her yöntem iyidir. Ekstra aritmetik işlemler hesaplama hatalarına yol açmaz. Cevabı belirli bir doğrulukla belirler. Denklemlerin çözümünü kullanarak şunu kabul edelim - belirli bir fonksiyonun bağımsız değişkenini bulmak, özellikle sonsuzdaki paralel çizgilerin çalışıldığı dönemde o kadar kolay değildir. İstisna göz önüne alındığında ihtiyaç çok açıktır. Polarite farkı açıktır. Enstitülerdeki öğretmenlik deneyiminden öğretmenimiz öğrendi ana ders Denklemlerin tam matematiksel anlamda çevrimiçi olarak çalışıldığı. Burada teorinin uygulanmasında daha yüksek çabalardan ve özel becerilerden bahsediyorduk. Sonuçlarımızın lehine, kimse bir prizmadan bakmamalı. Yakın zamana kadar buna inanılıyordu kapalı küme olduğu gibi alan üzerinde hızla artar ve denklemlerin çözümünün araştırılması gerekir. İlk aşamada her şeyi dikkate almadık olası seçenekler ancak bu yaklaşım her zamankinden daha haklı. Gereksiz eylemler parantezlerle, çıplak gözle gözden kaçırılamayacak olan ordinat ve apsis eksenleri boyunca bazı ilerlemeleri doğrular. Fonksiyonda kapsamlı bir orantısal artış anlamında bir bükülme noktası vardır. Vektörün bir veya daha fazla azalan konumunun tüm azalma aralığı boyunca gerekli koşulun nasıl uygulanacağını bir kez daha kanıtlayacağız. Kapalı bir alanda, aşağıdakilerden bir değişken seçeceğiz: başlangıç bloğu bizim senaryomuz. Üç vektör esas alınarak oluşturulan bir sistem, ana kuvvet momentinin yokluğundan sorumludur. Bununla birlikte, denklem hesaplayıcısı oluşturulan denklemin hem yüzeyin üstünde hem de paralel çizgiler boyunca tüm terimlerinin bulunmasına yardımcı oldu. Etrafında başlangıç noktası Belli bir çevreyi tanımlayalım. Böylece, kesit çizgileri boyunca yukarı doğru hareket etmeye başlayacağız ve teğet, daireyi tüm uzunluğu boyunca tanımlayacak ve sonuçta kıvrım adı verilen bir eğri elde edilecektir. Bu arada bu eğrinin biraz tarihçesinden bahsedelim. Gerçek şu ki, tarihsel olarak matematikte, bugünkü gibi saf anlayışıyla matematik kavramının kendisi yoktu. Daha önce, tüm bilim adamları ortak bir görevle, yani bilimle meşguldü. Daha sonra, birkaç yüzyıl sonra, bilim dünyası Muazzam miktarda bilgiyle dolu olan insanlık hala birçok disiplini tanımladı. Hala değişmeden kalıyorlar. Ancak yine de her yıl dünyanın dört bir yanındaki bilim insanları bilimin sınırsız olduğunu kanıtlamaya çalışıyor ve bu alanda bilginiz olmadığı sürece denklemi çözemezsiniz. Doğa Bilimleri. Sonunda buna son vermek mümkün olmayabilir. Bunu düşünmek dışarıdaki havayı ısıtmak kadar anlamsız. Argümanın değeri pozitifse, değerin modülünü keskin bir şekilde artan yönde belirleyeceği aralığı bulalım. Reaksiyon en az üç çözüm bulmanıza yardımcı olacaktır ancak bunları kontrol etmeniz gerekecektir. Web sitemizin benzersiz hizmetini kullanarak denklemi çevrimiçi olarak çözmemiz gerektiği gerçeğiyle başlayalım. Her iki parçayı da tanıtalım verilen denklem, “ÇÖZ” butonuna tıklayın ve sadece birkaç saniye içinde kesin cevabı alın. İÇİNDE özel durumlar Matematik üzerine bir kitap alalım ve cevabımızı tekrar kontrol edelim, yani sadece cevaba bakalım ve her şey netleşecek. Yapay yedekli bir paralel boru için aynı proje uçacak. Onunla birlikte bir paralelkenar var paralel kenarlar, ve aşağıdan yukarıya içi boş alan birikim sürecinin mekansal ilişkisini incelemek için Denklemler 2'de birçok ilke ve yaklaşımı açıklıyor. doğal görünüm. Belirsiz doğrusal denklemler, istenen değişkenin ortak değerlerimize bağımlılığını gösterir. şu an zaman kararı ve bir şekilde türetmeniz ve getirmeniz gerekiyor uygunsuz kesirönemsiz olmayan bir vakaya. Düz çizgi üzerinde on nokta işaretleyin ve her bir noktadan, verilen yönde, dışbükey noktası yukarı bakacak şekilde bir eğri çizin. Denklem hesaplayıcımız çok fazla zorluk yaşamadan ifadeyi öyle bir biçimde sunacaktır ki, kuralların geçerliliğinin kontrolü kaydın başında bile açıkça görülecektir. Formülde aksi belirtilmedikçe, matematikçiler için özel kararlılık temsilleri sistemi ilk sırada gelir. Buna, plastik cisimler sisteminin izomorfik durumu konusunda ayrıntılı bir rapor sunarak yanıt vereceğiz ve denklemleri çevrimiçi çözerek, bu sistemdeki her maddi noktanın hareketini açıklayacağız. Derinlemesine araştırma düzeyinde, en azından uzayın alt katmanının ters çevrilmesi konusunu ayrıntılı olarak açıklığa kavuşturmak gerekli olacaktır. Fonksiyonun süreksizlik bölümünde artan sırada uygulayacağız genel yöntem Bu arada mükemmel bir araştırmacı, hemşehrimiz ve aşağıda uçağın davranışından bahsedeceğiz. Analitik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun güçlü özellikleri nedeniyle, çevrimiçi denklem hesaplayıcıyı yalnızca türetilmiş yetki sınırları dahilinde amaçlanan amaç için kullanırız. Daha fazla akıl yürüterek, incelememizi denklemin homojenliğine, yani sağ tarafının sıfıra eşit olmasına odaklayacağız. Matematikteki kararımızın doğru olduğundan bir kez daha emin olalım. Önemsiz bir çözüm elde etmekten kaçınmak için, bazı ayarlamalar yapalım başlangıç koşulları Sistemin koşullu kararlılığı sorunu üzerine. İyi bilinen bir formül kullanarak iki girişi yazdığımız ve negatif kökleri bulduğumuz ikinci dereceden bir denklem oluşturalım. Bir kök, ikinci ve üçüncü köklerden beş birim büyükse, bu durumda değişiklik yapılarak ana argüman böylece alt görevin başlangıç koşullarını bozuyoruz. Doğası gereği, matematikte alışılmadık bir şey her zaman pozitif bir sayının en yakın yüzde birine kadar tanımlanabilir. Kesir hesaplayıcı, sunucu yükünün en iyi anında benzer kaynaklardaki analoglarından birkaç kat daha üstündür. Ordinat ekseni boyunca büyüyen hız vektörünün yüzeyinde birbirine zıt yönlerde bükülmüş yedi çizgi çiziyoruz. Atanan fonksiyon bağımsız değişkeninin karşılaştırılabilirliği, kurtarma bakiyesi sayacının okumalarının ilerisindedir. Matematikte bu fenomeni, hayali katsayılara sahip kübik bir denklemle ve aynı zamanda azalan çizgilerin iki kutuplu ilerlemesiyle temsil edebiliriz. Kritik noktalar sıcaklık farklılıkları birçok yönden bir kompleksin ayrışma sürecini tanımlar kesirli fonksiyonçarpanlara göre. Size bir denklemi çözmeniz söyleniyorsa hemen çözmek için acele etmeyin, mutlaka önce eylem planının tamamını değerlendirin, ancak ondan sonra doğru yaklaşımı seçin. Faydaları mutlaka olacaktır. İşin kolaylığı ortadadır, aynı durum matematikte de geçerlidir. Denklemi çevrimiçi çözün. Tüm çevrimiçi denklemler belirli tip sayıların veya parametrelerin kaydı ve tanımlanacak bir değişken. Bu değişkeni hesaplayın, yani kimliğin tutulacağı bir dizi değerin belirli değerlerini veya aralıklarını bulun. Başlangıç ve son koşullar doğrudan bağlıdır. Denklemlerin genel çözümü genellikle belirli bir problem ifadesi için tüm çözüm ailelerini elde edeceğimiz ayarlarla bazı değişkenleri ve sabitleri içerir. Genel olarak bu, kenarı 100 santimetreye eşit olan uzamsal bir küpün işlevselliğini arttırmak için harcanan çabaları haklı çıkarır. Bir cevap oluşturmanın herhangi bir aşamasında bir teoremi veya lemmayı uygulayabilirsiniz. Site, herhangi bir ürün toplama aralığında en küçük değeri göstermek gerekirse, kademeli olarak bir denklem hesaplayıcı üretir. Vakaların yarısında, içi boş olan böyle bir top, artık bir ara cevap belirleme gerekliliklerini karşılamıyor. En azından azalan vektör temsili yönündeki ordinat ekseninde, bu oran şüphesiz önceki ifadeden daha optimal olacaktır. O saatte doğrusal fonksiyonlar tam dolu nokta analizi esasen tüm çalışmalarımızı bir araya getireceğiz Karışık sayılar ve iki kutuplu düzlemsel uzaylar. Ortaya çıkan ifadeye bir değişken koyarak denklemi adım adım çözecek ve en detaylı cevabı yüksek doğrulukla vereceksiniz. Bir öğrencinin matematikteki eylemlerini bir kez daha kontrol etmesi iyi bir davranış olacaktır. Kesir oranındaki oran, herkes için sonucun bütünlüğünü kaydetti önemli alanlar sıfır vektör etkinliği. Tamamlanan eylemlerin sonunda önemsizlik doğrulanır. Basit bir görevle, öğrenciler denklemi çevrimiçi olarak mümkün olan en kısa sürede çözerlerse zorluk yaşamayabilirler, ancak tüm farklı kuralları da unutmayın. Bir dizi alt küme, yakınsak gösterim bölgesinde kesişir. İÇİNDE farklı durumlarÜrün hatalı bir şekilde çarpanlara ayrılmamıştır. Üniversitelerdeki ve teknik kolejlerdeki öğrenciler için önemli bölümler için matematiksel tekniklerin temellerine ayrılan ilk bölümümüzde denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaksınız. Yanıt örnekleri bizi birkaç gün bekletmeyecek çünkü vektör analizi ile etkileşimin en iyi şekilde gerçekleştiği süreç sıralı bulmaçözümler geçen yüzyılın başında patentlendi. Çevredeki ekiple ilişki kurma çabalarının boşuna olmadığı ortaya çıktı; ilk önce açıkça başka bir şeye ihtiyaç vardı. Birkaç nesil sonra, dünyanın her yerindeki bilim insanları, insanları matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğuna inandırdılar. İster sol cevap ister sağ olsun, yine de kapsamlı terimler üç satır halinde yazılmalıdır, çünkü bizim durumumuzda kesinlikle sadece matris özelliklerinin vektör analizinden bahsedeceğiz. Doğrusal olmayan ve doğrusal denklemler ile birlikte iki ikinci dereceden denklemler, kitabımızda özel bir yer aldı en iyi uygulamalar herkesin uzayındaki hareketin yörüngesini hesaplamak maddi noktalar kapalı sistem. Fikrinizi hayata geçirmemize yardımcı olun doğrusal analiz nokta ürün ardışık üç vektör. Her ifadenin sonunda, gerçekleştirilen sayı alanı katmanları boyunca optimize edilmiş sayısal istisnalar uygulanarak görev daha kolay hale getirilir. Farklı bir yargı, bulunan yanıtla çelişmeyecektir. serbest çalışma bir daire içinde üçgen. İki vektör arasındaki açı gerekli marj yüzdesini içerir ve denklemleri çevrimiçi çözmek genellikle belirli bir açıyı ortaya çıkarır. ortak kök Başlangıç koşullarının aksine denklemler. İstisna, bir fonksiyonun tanımlanması alanında olumlu bir çözüm bulmanın kaçınılmaz sürecinin tamamında katalizör rolü oynar. Bilgisayar kullanamazsınız denilmiyorsa online denklem hesaplayıcı tam ihtiyacınıza göre. zor görevler. Sadece girmeniz yeterli doğru format koşullu verileriniz ve sunucumuz mümkün olan en kısa sürede eksiksiz bir sonuç yanıtı sağlayacaktır. Üstel fonksiyon doğrusaldan çok daha hızlı artar. Talmudlar buna tanıklık ediyor kütüphane edebiyatı. Genel anlamda, üç karmaşık katsayılı ikinci dereceden bir denklemin yapacağı gibi bir hesaplama yapacaktır. Yarım düzlemin üst kısmındaki parabol, noktanın eksenleri boyunca doğrusal paralel hareketi karakterize eder. Burada vücudun çalışma alanındaki potansiyel farkından bahsetmeye değer. Optimumun altında bir sonuç karşılığında, kesir hesaplayıcımız, sunucu tarafındaki işlevsel programların incelenmesinde matematiksel derecelendirmede haklı olarak ilk sırayı alır. Bu hizmetin kullanım kolaylığı milyonlarca İnternet kullanıcısı tarafından takdir edilecektir. Nasıl kullanılacağını bilmiyorsanız size yardımcı olmaktan memnuniyet duyarız. Ayrıca, köklerini hızlı bir şekilde bulmanın ve bir düzlemde fonksiyonun grafiğini oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, bir dizi ilkokul problemindeki kübik denklemi özellikle not etmek ve vurgulamak istiyoruz. Daha yüksek derecelerüreme zor olanlardan biridir matematik problemleri Enstitüde ve çalışması için tahsis edilmiş yeterli miktar saat. Tüm doğrusal denklemler gibi bizim denklemlerimiz de birçok nesnel kurala göre bir istisna değildir. farklı noktalar Başlangıç koşullarını belirlemek basit ve yeterli olacaktır. Artış aralığı fonksiyonun dışbükeylik aralığına denk gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Teori çalışması, ana disiplinin çalışmasına ilişkin çok sayıda bölümden alınan çevrimiçi denklemlere dayanmaktadır. Belirsiz problemlerde böyle bir yaklaşım söz konusu olduğunda, denklemlerin çözümünü önceden belirlenmiş bir biçimde sunmak ve sadece sonuç çıkarmak değil, aynı zamanda böyle olumlu bir çözümün sonucunu tahmin etmek de çok basittir. Öğrenmek konu alanı hizmet bize en çok yardımcı olacaktır en iyi gelenekler Matematik tam olarak Doğu'da alışılageldiği gibi. İÇİNDE en iyi anlar zaman aralığında benzer görevler onluk ortak bir faktörle çarpıldı. Denklem hesaplayıcıda birden fazla değişkenin çarpımlarının çokluğu, kütle veya vücut ağırlığı gibi niceliksel değişkenlerden ziyade nitelikle çarpmaya başladı. Malzeme sisteminde dengesizlik durumlarını önlemek için, üç boyutlu bir dönüştürücünün dejenere olmayan önemsiz yakınsaklıktan türetilmesi bizim için oldukça açıktır. matematiksel matrisler. Görevi tamamlayın ve denklemi verilen koordinatlarda çözün, çünkü uzay sonrası zamana dahil olan tüm değişkenler gibi sonuç önceden bilinmez. Kısa bir süre için genel çarpanı daha da ileriye taşıyacaksınız. parantez ve en büyüğüne böl ortak bölen her iki parçayı da önceden Ortaya çıkan kapsanan sayı alt kümesinin altından, kısa bir süre içinde arka arkaya otuz üç noktayı ayrıntılı bir şekilde çıkarın. O kadar ki mümkün olan en iyi şekilde Bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek her öğrenci için mümkündür. Geleceğe baktığımızda, gelecekte onsuz yaşamanın zor olacağı önemli ama önemli bir şey söyleyelim. Geçen yüzyılda büyük bilim adamı matematik teorisinde bir takım kalıpları fark etti. Uygulamada sonuç, olayların pek de beklenen izlenimi değildi. Bununla birlikte, prensip olarak, çevrimiçi denklemlerin bu çözümü, anlayışın ve algının geliştirilmesine yardımcı olur bütüncül yaklaşımÖğrencilerin kapsadığı teorik materyalin incelenmesi ve pratik olarak pekiştirilmesi. Bunu çalışma süreniz boyunca yapmak çok daha kolaydır.

İlk seviye

Üstel denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Merhaba! Bugün sizinle temel olabilecek (ve bu makaleyi okuduktan sonra neredeyse hepsinin sizin için öyle olacağını umuyorum) ve genellikle "doldurmak için" verilen denklemleri nasıl çözeceğinizi tartışacağız. Görünüşe göre sonunda uykuya dalmak. Ancak artık bu tür denklemlerle karşılaştığınızda başınızın belaya girmemesi için mümkün olan her şeyi yapmaya çalışacağım. Artık ortalığı karıştırmayacağım ama hemen açacağım küçük sır: bugün ders çalışacağız üstel denklemler.

Bunları çözmenin yollarını analiz etmeye geçmeden önce, bu konuya saldırmadan önce tekrarlamanız gereken bir dizi soruyu (oldukça küçük) hemen size özetleyeceğim. Yani, almak için en iyi sonuç, Lütfen, tekrarlamak:

Özellikler ve
Çözüm ve denklemler

Tekrarlandı mı? İnanılmaz! O zaman denklemin kökünün bir sayı olduğunu fark etmeniz sizin için zor olmayacaktır. Bunu tam olarak nasıl yaptığımı anladın mı? Bu doğru mu? O zaman devam edelim. Şimdi soruma cevap verin, üçüncü kuvvete eşit olan nedir? Kesinlikle haklısın: . İkinin hangi kuvveti sekizdir? Bu doğru - üçüncüsü! Çünkü. O halde şimdi şu problemi çözmeye çalışalım: Sayıyı kendisiyle bir kere çarpıp sonucu elde edeyim. Soru şu ki, kendimle kaç kez çarptım? Elbette bunu doğrudan kontrol edebilirsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( hizala)

O zaman kendimle defalarca çarptığım sonucuna varabilirsin. Bunu başka nasıl kontrol edebilirsiniz? İşte nasıl: doğrudan derece tanımıyla: . Ama itiraf etmelisiniz ki, diyelim ki ikinin kendisiyle kaç kere çarpılması gerektiğini sorsam, bana şunu söylerdiniz: Kendimi kandırmayacağım ve yüzüm mosmor olana kadar kendisiyle çarpmayacağım. Ve kesinlikle haklı olurdu. Çünkü nasıl tüm eylemleri kısaca yazın(ve kısalık yeteneğin kız kardeşidir)

nerede - bunlar aynı olanlar "zamanlar", kendisiyle çarptığınızda.

Sanırım biliyorsunuz (ve bilmiyorsanız, acilen, çok acilen dereceleri tekrarlayın!) o zaman sorunum şu şekilde yazılacaktır:

Mantıklı olarak şu sonuca nasıl varabilirsiniz:

Bu yüzden fark edilmeden en basitini yazdım üstel denklem:

Ve hatta onu buldum kök. Her şeyin tamamen önemsiz olduğunu düşünmüyor musun? Tamamen aynısını düşünüyorum. İşte size başka bir örnek:

Peki ne yapmalı? Sonuçta (makul) bir sayının kuvveti olarak yazılamaz. Umutsuzluğa kapılmayalım ve bu sayıların her ikisinin de aynı sayının kuvvetiyle mükemmel bir şekilde ifade edildiğini not edelim. Hangisi? Sağ: . Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Nerede, zaten anladığınız gibi, . Daha fazla geciktirmeyelim ve yazalım. tanım:

Bizim durumumuzda: .

Bu denklemler aşağıdaki forma indirgenerek çözülür:

ardından denklemin çözümü

Aslında önceki örnekte tam da bunu yaptık: şunu elde ettik: Ve en basit denklemi çözdük.

Karmaşık bir şey yok gibi görünüyor, değil mi? Önce en basitleri üzerinde pratik yapalım örnekler:

Denklemin sağ ve sol taraflarının bir sayının kuvvetleri olarak temsil edilmesi gerektiğini bir kez daha görüyoruz. Doğru, solda bu zaten yapıldı, ancak sağda bir sayı var. Ama sorun değil, çünkü denklemim mucizevi bir şekilde şuna dönüşecek:

Burada ne kullanmam gerekiyordu? Hangi kural? "Derece içinde derece" kuralışu şekilde okunur:

Farzedelim:

Bu soruyu cevaplamadan önce aşağıdaki tabloyu dolduralım:

Ne kadar az olursa o kadar kolay olduğunu fark etmek bizim için kolaydır. daha az değer ama yine de tüm bu değerler Sıfırın üstünde. VE HER ZAMAN da öyle olacak!!! Aynı özellik, HERHANGİ BİR GÖSTERGEYİ İÇEREN HERHANGİ BİR TEMEL İÇİN de geçerlidir! (herhangi bir ve için). O halde denklem hakkında ne sonuca varabiliriz? İşte ne olduğu: o kökleri yok! Tıpkı herhangi bir denklemin kökleri olmadığı gibi. Şimdi pratik yapalım ve Basit örnekleri çözelim:

Hadi kontrol edelim:

1. Burada sizden derecelerin özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak dışında hiçbir şey istenmeyecektir (bu arada sizden tekrarlamanızı istedim!) Kural olarak, her şey en küçük tabana götürür: , . O zaman orijinal denklem aşağıdakine eşdeğer olacaktır: Tek ihtiyacım olan kuvvetlerin özelliklerini kullanmak: Tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplanır, bölerken çıkarılır. O zaman şunu elde edeceğim: Peki, şimdi vicdan rahatlığıyla üstel denklemden doğrusal denkleme geçeceğim: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(hizala)

2. İkinci örnekte, daha dikkatli olmamız gerekiyor: Sorun şu ki, sol tarafta aynı sayının kuvvetini muhtemelen temsil edemiyoruz. Bu durumda bazen yararlı olabilir sayıları farklı tabanlara sahip fakat aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpımı olarak temsil eder:

Denklemin sol tarafı şöyle görünecektir: Bu bize ne verdi? İşte şu: Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan sayılar çarpılabilir.Bu durumda bazlar çarpılır ancak gösterge değişmez:

Benim durumumda bu şunu verecektir:

\begin(hizala)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(hizala)

Fena değil, değil mi?

3. Denklemin bir tarafında gereksiz yere iki terimin olması, diğer tarafında ise hiç olmamasından hoşlanmıyorum (elbette bazen bu haklı olabilir, ancak şimdi durum böyle değil). Eksi terimini sağa taşıyacağım:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, her şeyi üçün kuvvetleri cinsinden yazacağım:

Soldaki dereceleri topluyorum ve eşdeğer bir denklem elde ediyorum

Kökünü kolayca bulabilirsiniz:

4. Üçüncü örnekte olduğu gibi eksi terimin sağ tarafta yeri vardır!

Solumda neredeyse her şey yolunda, ne hariç? Evet ikisinin “yanlış derecesi” beni rahatsız ediyor. Ancak şunu yazarak bunu kolayca düzeltebilirim: . Eureka - solda tüm tabanlar farklı, ancak tüm dereceler aynı! Hemen çoğalalım!

Burada yine her şey açık: (nasıl yapılacağını anlamıyorsanız) sihirli bir şekilde Son eşitliği yakaladım, bir dakika ara veriyorum, nefes alıyorum ve derecenin özelliklerini çok dikkatli bir şekilde tekrar okuyorum. Bir dereceyi atlayabileceğini kim söyledi? negatif gösterge? Ben de bunu söylüyorum, kimse yok). Şimdi şunu alacağım:

\begin(hizala)
& ((2)^(4\sol((x) -9 \sağ))))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(hizala)

Burada pratik yapmanız için sadece cevaplarını vereceğim (ama “karma” biçimde) bazı problemler var. Onları çözün, kontrol edin, siz ve ben araştırmamıza devam edeceğiz!

Hazır? Yanıtlar bunlar gibi:

herhangi bir numara

Tamam, tamam, şaka yapıyordum! İşte bazı çözüm taslakları (bazıları çok kısa!)

Soldaki kesirlerden birinin "tersine çevrilmiş" olması sizce de tesadüf değil mi? Bundan yararlanmamak günah olur:

Bu kural üstel denklemleri çözerken çok sık kullanılır, bunu iyi unutmayın!

O zaman orijinal denklem şu şekilde olacaktır:

Bu ikinci dereceden denklemi çözerek aşağıdaki kökleri elde edersiniz:

2. Başka bir çözüm: Denklemin her iki tarafını da soldaki (veya sağdaki) ifadeye bölmek. Sağdaki sayıya bölersem şunu elde ederim:

Nerede nasıl?!)

3. Kendimi tekrarlamak bile istemiyorum, her şey çoktan "çiğnendi".

4. ikinci dereceden bir denklemin eşdeğeri, kökler

5. İlk problemde verilen formülü kullanmanız gerekiyor, o zaman şunu elde edeceksiniz:

Denklem herkes için geçerli olan önemsiz bir kimliğe dönüştü. O zaman cevap herhangi bir gerçek sayıdır.

Artık çözme pratiği yaptınız basit üstel denklemler.Şimdi size prensipte neden ihtiyaç duyulduğunu anlamanıza yardımcı olacak birkaç yaşam örneği vermek istiyorum. Burada iki örnek vereceğim. Bunlardan biri oldukça gündeliktir, ancak diğerinin pratikten çok bilimsel olması daha olasıdır.

Örnek 1 (ticari) Rubleniz olsun ama onu rubleye çevirmek istiyorsunuz. Banka size bu parayı aylık faiz aktifleştirmesi (aylık tahakkuk) ile yıllık oranda sizden almanızı teklif ediyor. Sorun şu ki, gerekli nihai tutara ulaşmak için kaç ayda bir depozito açmanız gerekiyor? Oldukça sıradan bir görev, değil mi? Bununla birlikte, çözümü karşılık gelen üstel denklemin oluşturulmasıyla ilişkilidir: Başlangıç toplamı olsun, - son miktar, - döneme ait faiz oranı, - dönem sayısı. Daha sonra:

Bizim durumumuzda (oran yıllık ise aylık olarak hesaplanır). Neden bölünüyor? Bu sorunun cevabını bilmiyorsanız “” konusunu hatırlayın! O zaman şu denklemi elde ederiz:

Bu üstel denklem zaten yalnızca bir hesap makinesinin yardımıyla çözülebilir (görünüşü buna işaret ediyor ve bu, biraz sonra öğreneceğimiz logaritma bilgisini gerektiriyor), ben de bunu yapacağım: ... Böylece , bir milyon almak için bir ay boyunca katkıda bulunmamız gerekecek (çok hızlı değil, değil mi?).

Örnek 2 (oldukça bilimsel). Belli bir "izolasyona" rağmen, ona dikkat etmenizi öneririm: düzenli olarak "Birleşik Devlet Sınavına giriyor!! (sorun “gerçek” versiyondan alınmıştır) Çürüme sırasında radyoaktif izotop kütlesi yasaya göre azalır, burada (mg) izotopun başlangıç kütlesidir, (min.) ilk andan itibaren geçen süredir, (min.) yarı ömürdür. Zamanın ilk anında izotopun kütlesi mg'dır. Yarı ömrü min. Kaç dakika sonra izotopun kütlesi mg'a eşit olur? Sorun değil: tüm verileri alıp bize önerilen formüle yerleştiriyoruz:

Sol tarafta sindirilebilir bir şey elde etmemizi umarak her iki parçayı da bölelim:

Biz çok şanslıyız! Solda, o zaman eşdeğer denkleme geçelim:

Min nerede?

Gördüğünüz gibi üstel denklemlerin pratikte çok gerçek uygulamaları var. Şimdi size üstel denklemleri çözmenin başka (basit) bir yolunu göstermek istiyorum; bu yöntem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarıp terimleri gruplandırmaya dayanır. Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları çalışırken tanışmıştınız. Örneğin, ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerekiyorsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimleri. Birinci ve üçüncünün kareler farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncünün ortak çarpanı üçtür:

O zaman orijinal ifade şuna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden türetileceği artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken kabaca yapacağımız şey budur: terimler arasında "ortaklık" arayın ve bunu parantezlerden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =)) Örneğin:

Sağda yedinin kuvveti olmaktan çok uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi, elbette a faktörünü birinci terimden ikinciden "kesebilir" ve sonra dağıtabilirsiniz. sahip olduklarınla, ama sana karşı daha ihtiyatlı olalım. "Seçerken" kaçınılmaz olarak oluşan kesirlerle uğraşmak istemiyorum, yani onu çıkarmam gerekmez mi? O zaman hiçbir kesirim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayın. Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne beklemeliyiz ki?).

Daha sonra denklemin her iki tarafını da bu faktör kadar azaltırız. Şunu alıyoruz: , from.

İşte daha karmaşık bir örnek (gerçekten biraz):

Ne sorun! Burada bir tane yok Ortak zemin! Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil. Elimizden geleni yapalım: Önce “dörtlüyü” bir tarafa, “beşliyi” diğer tarafa taşıyın:

Şimdi soldaki ve sağdaki "genel"i çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak? Bu kadar aptal bir grubun ne faydası var? İlk bakışta hiç görünmüyor ama daha derine bakalım:

Şimdi solda yalnızca c ifadesinin ve sağda diğer her şeyin olduğundan emin olacağız. Bunu nasıl yapabiliriz? Şöyle: Denklemin her iki tarafını da önce ikiye bölelim (böylece sağdaki üsden kurtuluruz), sonra da her iki tarafı da ikiye böleriz (böylece soldaki sayısal faktörden kurtuluruz). Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz! Solda bir ifademiz var, sağda ise basit bir ifademiz var. O zaman hemen şu sonuca varırız

İşte pekiştirmeniz için başka bir örnek:

onu getireceğim kısa çözüm(açıklamalarla kendinizi gerçekten rahatsız etmeden), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz anlamaya çalışın.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonuna geçelim. Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın. Bunları çözmek için sadece kısa öneriler ve ipuçları vereceğim:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: Nerede:
Şeklindeki ilk ifadeyi sunalım: , her iki tarafı da bölüp şunu elde edelim
, sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi zaten nerede çözdüğümüze bakın!
Nasıl, nasıl, ah, sonra her iki tarafı da böldüğünüzü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
Parantezlerden çıkarın.
Parantezlerden çıkarın.

ÜSSEL DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

Bahsedilen ilk makaleyi okuduktan sonra sanırım üstel denklemler nedir ve nasıl çözülür, ustalaştın gerekli minimum Basit örnekleri çözmek için gerekli bilgi.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yönteme bakacağım, bu

“yeni bir değişken ekleme yöntemi” (veya değiştirme).Üstel denklemler (sadece denklemler değil) konusundaki çoğu "zor" problemi çözer. Bu yöntem pratikte en sık kullanılan yöntemlerden biridir. Öncelikle konuyu iyice tanımanızı tavsiye ederim.

Adından da anlayacağınız gibi bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliği sağlamaktır. Bu çok "basitleştirilmiş denklemi" çözdükten sonra size geriye kalan tek şey "tersine değiştirme" yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene dönüş. Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Örnek 1:

Bu denklem, matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi "basit bir ikame" kullanılarak çözülür. Aslında buradaki değişim en bariz olanıdır. Bunu görmek yeterli

Daha sonra orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal edersek, neyin değiştirilmesi gerektiği kesinlikle açıktır: elbette . O zaman orijinal denklem ne olur? İşte şu:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz: . Şimdi ne yapmalıyız? Orijinal değişkene dönme zamanı geldi. Neyden bahsetmeyi unuttum? Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler! Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz. Yani sen ve ben ilgilenmiyoruz ama ikinci kök bizim için oldukça uygun:

O zaman nereden.

Cevap:

Gördüğünüz gibi önceki örnekte, yerine geçecek kişi sadece bizden izin istiyordu. Ne yazık ki bu her zaman böyle değildir. Ancak, doğrudan üzücü şeylere gitmeyelim, yerine oldukça basit bir örnek daha verelim.

Örnek 2.

Büyük olasılıkla bir değişiklik yapmamız gerekeceği açıktır (bu, denklemimizde yer alan kuvvetlerin en küçüğüdür), ancak bir değişiklik yapmadan önce denklemimizin buna "hazırlanması" gerekir, yani: , . Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederim:

Ah korku: çözmek için kesinlikle berbat formüllere sahip kübik bir denklem (pekala, Genel görünüm). Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim. Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için bunu üçün bir kuvveti şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (bu neden olsun ki, ha?). Denklemin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (tahmin etmeye üçün kuvvetleriyle başlayacağım).

İlk tahmin. Kök değil. Ne yazık ki ve ah...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !
Yemek yemek! İlk kökü tahmin ettim. Artık işler daha da kolaylaşacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette öyle, bir sayıyı diğerine bölerken bunu kullanırsın. Ancak çok az kişi aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor. Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulanacak olursa, bu bana bunun kalansız bölünebileceğini söylüyor. Bölme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Clearly'yi elde etmek için hangi monomial ile çarpmam gerektiğine bakıyorum, sonra:

Sonuçta ortaya çıkan ifadeyi çıkarırsam şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor? Açıkça görülüyor ki, o zaman şunu alacağım:

ve elde edilen ifadeyi tekrar kalan ifadeden çıkarın:

Son adım, kalan ifadeyle çarpmak ve ondan çıkarmaktır:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik? Kendi kendine: .

Daha sonra orijinal polinomun aşağıdaki açılımını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

O halde orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Elbette son kökü atacağız, çünkü o Sıfırdan daha az. Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi hiç korkutmak istemedim, aslında oldukça başarılı olmamıza rağmen bunu göstermek için yola çıktım; kolay değiştirme yine de oldukça yol açtı karmaşık denklemçözümü bizden bazı özel beceriler gerektiriyordu. Eh, hiç kimse bundan muaf değil. Ancak bu durumda değiştirme oldukça açıktı.

İşte biraz daha az belirgin bir değişime sahip bir örnek:

Ne yapmamız gerektiği hiç de açık değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir tabanın diğerinden herhangi bir (doğal olarak makul) güce yükseltilmesiyle elde edilememesi. Ancak ne görüyoruz? Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir ve çarpımları bire eşit kareler farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde taban olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllı adım şu olacaktır: Denklemin her iki tarafını eşlenik sayıyla çarpın.

Örneğin, denklemin sol tarafı ve sağ tarafı eşit olacaktır. Eğer bir değişiklik yaparsak orijinal denklemimiz şu şekilde olacaktır:

öyleyse kökleri ve bunu hatırlayarak bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi çoğu "okul" üstel denklemini çözmek için yeterlidir. Aşağıdaki görevler Birleşik Devlet Sınavı C1'den alınmıştır ( artan seviye zorluklar). Zaten bu örnekleri kendi başınıza çözebilecek kadar okuryazarsınız. Sadece gerekli değişimi yapacağım.

Denklemi çözün:
Denklemin köklerini bulun:
Denklemi çözün: . Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı kısa açıklamalar ve cevaplar:

Burada şunu belirtmemiz yeterli... O zaman orijinal denklem şuna eşdeğer olacaktır: Bu denklem değiştirmeyle çözüldü. Daha fazla hesaplamayı kendiniz yapın. Sonunda göreviniz basit trigonometrik problemleri çözmeye indirgenecek (sinüs veya kosinüse bağlı olarak). Çözüm benzer örnekler buna diğer bölümlerde bakacağız.
Burada değiştirme yapmadan da yapabilirsiniz: sadece çıkanı sağa hareket ettirin ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil edin: ve ardından doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.
Üçüncü denklem de oldukça standart bir şekilde çözüldü: nasıl olduğunu hayal edelim. Sonra değiştirerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: o zaman,
Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyorsun, değil mi? HAYIR? O halde acilen konuyu okuyun!

İlk kökün segmente ait olmadığı açık ama ikincisi belirsiz! Ama çok yakında öğreneceğiz! O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!) Şimdi karşılaştıralım:

Her iki taraftan da çıkarırsak şunu elde ederiz:

Sol Tarafşu şekilde temsil edilebilir:

her iki tarafı da şununla çarpın:

ile çarpılabilir, o zaman

Sonra karşılaştırın:

o zamandan beri:

O halde ikinci kök gerekli aralığa aittir

Cevap:

Gördüğünüz gibi, Üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmanın özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim. Anladığınız gibi matematikte her şey birbirine bağlıdır! Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Tarih gibi matematik de bir gecede okunamaz."

Kural olarak hepsi C1 problemlerini çözmenin zorluğu tam olarak denklemin köklerinin seçilmesidir. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bir değişiklik yaparak orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyebiliriz:

İlk önce ilk köke bakalım. Hadi karşılaştıralım ve: o zamandan beri. (mülk logaritmik fonksiyon, en). O zaman ilk kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır. Şimdi ikinci kök: . Bu açıktır (çünkü at fonksiyonu artmaktadır). Karşılaştırmak için kalır ve ...

o zamandan beri aynı zamanda. Bu şekilde ve arasında "bir çivi çakabilirim". Bu çivi bir sayıdır. Birinci ifade küçüktür, ikincisi büyüktür. O halde ikinci ifade birinciden büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Son olarak, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım:

Hemen ne yapılabileceğiyle ve prensip olarak ne yapılabileceğiyle başlayalım, ancak bunu yapmamak daha iyidir. Her şeyi üçün, ikinin ve altının kuvvetleri aracılığıyla hayal edebilirsiniz. Nereye gidiyor? Hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir karmakarışık dereceler. O zaman ne gerekiyor? Şunu not edelim: Peki bu bize ne verecek? Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği! Öncelikle denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve kafanızın karışmaması için onlara sadece kısa yorumlarda bulunacağım. doğru yol! İyi şanlar!

1. En zoru! Burada bir yedek görmek çok zor! Ancak yine de bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir. deşarj tam kare . Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin yerinize:

(Burada değiştirme işlemimizde göz ardı edemeyeceğimizi unutmayın. negatif kök!!! Neden düşünüyorsun?)

Şimdi örneği çözmek için yalnızca iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de “standart değiştirme” ile çözülebilir (ancak bir örnekte ikincisi!)

2. Bunu fark edin ve değiştirin.

3. Sayıyı eş asal faktörlere ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve yerine veya koyun.

5. ve sayılarının eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSSEL DENKLEMLER. İLERİ DÜZEY

Ayrıca başka bir yola bakalım - logaritma yöntemini kullanarak üstel denklemleri çözme. Üstel denklemleri bu yöntemle çözmenin çok popüler olduğunu söyleyemem ama sadece bazı durumlarda bizi sonuca götürebilir. doğru karar bizim denklemimiz. Özellikle “” denilen şeyi çözmek için sıklıkla kullanılır. karışık denklemler ": yani, farklı türdeki işlevlerin meydana geldiği yerler.

Örneğin, formun bir denklemi:

genel durumda, yalnızca her iki tarafın (örneğin tabana) logaritmaları alınarak çözülebilir; burada orijinal denklem aşağıdakine dönüşecektir:

Aşağıdaki örneğe bakalım:

Açıktır ki ODZ logaritmik işlevlerle yalnızca ilgileniyoruz. Ancak bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, bir nedenden daha kaynaklanmaktadır. Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi orijinal denklemimizin logaritmasını almak bizi hızla doğru (ve güzel!) cevaba götürdü. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak bir şeyi atladık! Nerede hata yaptığımı fark ettiniz mi? Sonuçta, o zaman:

bu gereksinimi karşılamıyor (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi kararınızı şununla karşılaştırın:

1. Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritalım:

(İkinci kök değişim nedeniyle bize uygun değildir)

2. Tabana göre logaritma: