Gram matrisin determinantı. Öklid ve üniter uzaylar

1. Rasgele vektörleri düşünün. Öncelikle bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayalım. Bu durumda bu vektörlerden herhangi biri için derlenen Gram determinantı sıfırdan farklı olacaktır. O zaman (22)'ye göre varsayılırsa

(23)

ve bu eşitsizliklerin ve eşitsizliklerin terim terim çarpılması

, (24)

.

Böylece doğrusal olarak Gram determinantı bağımsız vektörler pozitif, doğrusal bağımlı için sıfıra eşit. Gram determinantı asla negatif değildir.

Kısaltma için belirtelim . Daha sonra (23) ve (24)'ten

üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı nerede ve . Sonraki,

,

vektörler üzerine kurulu bir paralelyüzün hacmi nerede. Daha da devam edersek şunları buluyoruz:

,

ve nihayet

. (25)

Buna kenarlarda olduğu gibi vektörler üzerine inşa edilmiş boyutlu bir paralelyüzün hacmi demek doğaldır.

Vektörün koordinatlarını ortonormal bazda ile gösterelim ve

Daha sonra (14)'e dayanarak

ve bu nedenle [bkz. formül (25)]

. (26)

Bu eşitlik aşağıdaki geometrik anlama sahiptir:

Paralel borunun kare hacmi toplamına eşit tüm koordinat boyutlu alt uzaylara projeksiyonlarının kare hacimleri. Özellikle (26)'dan şu sonuç çıkar:

. (26)

Formüller (20), (21), (22), (26), (26") kullanılarak, boyutlu üniter ve Öklid analitik geometrisinin bir dizi temel metrik problemi çözülür.

2. Genişlemeye (15) dönelim. Bundan doğrudan şu sonuç çıkıyor:

bu, (22) ile kombinasyon halinde eşitsizliği verir (keyfi vektörler için) )

bu durumda eşittir işareti, yalnızca vektörün vektörlere dik olması durumunda geçerli olur.

Buradan Hadamard eşitsizliğini elde etmek kolaydır

burada eşittir işareti ancak ve ancak vektörler ikili dikse geçerlidir. Eşitsizlik (29), aşağıdaki geometrik olarak açık gerçeği ifade eder:

Bir paralel borunun hacmi, kenarlarının uzunluklarının çarpımını aşmaz ve yalnızca paralel boru dikdörtgen olduğunda bu ürüne eşittir.

Hadamard eşitsizliği buna verilebilir normal görünüm(28)'i yerine koyarak ve bazı ortonormal bazda vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı dikkate alarak:

.

Daha sonra (26") ve (28)'den şu sonuç çıkar:

. (28)

3. Şimdi hem eşitsizliği (27) hem de eşitsizliği (28) kapsayan genelleştirilmiş bir Hadamard eşitsizliği oluşturalım:

ve eşittir işareti ancak ve ancak vektörlerin her birinin vektörlerden herhangi birine veya determinantlardan birine dik olması durumunda geçerlidir, sıfıra eşittir.

Eşitsizlik (28") aşağıdaki geometrik anlama sahiptir:

Bir paralel yüzün hacmi, iki ek yüzün hacimlerinin çarpımını aşmaz ve bu çarpıma ancak ve ancak bu yüzler karşılıklı olarak dikse veya bunlardan en az biri sıfır hacme sahipse eşittir.

Eşitsizliğin (29) geçerliliğini vektör sayısına göre tümevarımsal olarak kuracağız. Bu sayı 1 olduğunda eşitsizlik doğrudur [bkz. formül (27)].

Sırasıyla ve tabanları olan iki alt uzayı tanıtalım. Açıkça, . Dik açılımları ele alalım

.

Paralel borunun hacminin karesinin, taban hacminin karesi ve yüksekliğin karesi ile değiştirilmesi [bkz. formül (22)], şunu buluruz:

Bu durumda vektör ayrıştırmasından şu sonuç çıkar:

, (31)

ve burada işaret yalnızca ne zaman gerçekleşir?

Şimdi (30), (30"), (31) ilişkilerini ve tümevarım varsayımını kullanarak şunu elde ederiz:

Eşitsizliği elde ettik (29). Bu eşitsizlikte işaretin ne zaman ortaya çıktığını açıklamaya devam edersek, şunu varsayıyoruz: Ve . O halde (30")'e göre de Ve . (32) bağıntısında her yerde eşit bir işaret olduğundan, ek olarak tümevarım varsayımına göre vektörlerin her biri vektörlerin her birine diktir. Açıkçası, vektör de bu özelliğe sahiptir

Böylece genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliği tamamen kurulmuştur.

4. Genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliğine (29) analitik bir form da verilebilir.

Keyfi bir pozitif tanımlı Hermitsel form olsun. Boyutlu uzayda bir vektörün koordinatlarını bir tabanla ele alırsak, temel metrik form olarak formu alırız (bkz. sayfa 224). Daha sonra üniter bir alan haline gelecektir. Genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliğini temel vektörlere uygulayalım: - vektörler arasındaki pozitif tanımlı ikinci dereceden formun katsayılarının gerçek matrisi ve bunu ilişkiden tanımlayarak

.

Bunyakovsky'nin eşitsizliğinden gerçek bir değere sahip olduğu sonucu çıkıyor.

nokta çarpım koordinatlarla belirtilen vektörler.

Temele izin ver e vektörler verilmiştir A = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xn e n , V = 1'de e 1 + saat 2'de e 2 + … + e-n e n . Daha sonra ( a, c) = (x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xn e n )×( 1'de e 1 + saat 2'de e 2 + … + e-n e n ) = = xT×G× en, Nerede x T– vektör koordinat dizisi A , y – vektör koordinat sütunu V . Bu yüzden, ( a, c) = xT×G× en(42).

Gram matrisin özellikleri.

1 0. Gram matrisi ana köşegen etrafında simetriktir.

Bu şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır ( e k, e s ) = (e s, e k ).

2 0. Gram matrisinin köşegen elemanları kesinlikle pozitiftir.

Bu şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: e k ¹ 0 ve bu nedenle ( ek, ek ) > 0.

3 0. Bir Gram matrisi ve herhangi biri için N- boyutlu sütun X koşul karşılandı xT×G× X> 0.

Bu, skaler çarpımın tanımının 4. aksiyomundan kaynaklanmaktadır.

Simetrik matris A, koşulu karşılayan x T ×A× X herhangi biri için > 0

sıfır olmayan sütun X, isminde pozitif kesin. Bu nedenle matris

Grama pozitif kesin.

4 0. İzin vermek e = (e 1 , e 2, ... , e n ) Ve e 1 = (e 1 1 , e 2 1, ... , e n 1 ) – iki baz E n , G Ve G 1– Belirli bir skaler çarpımın bazlardaki gram matrisleri e Ve e 1 sırasıyla. İzin vermek T– temelden geçiş matrisi e üsse e 1 . Daha sonra ( a, c) = xT×G× y, x = T×x 1, y = T×y 1, x T = (T×x 1)T =(x 1)T × T T. Buradan, ( a, c) = ((x 1)T × T T)× G×(Т×у 1) = (x 1)T ×(T T× G×T)× ve 1. Ancak ( a, c) = (x 1)T × G 1 × y 1. Buradan

G 1 = T T × G × T(43)

Formül (42), farklı bazlardaki Gram matrisleri arasında bir bağlantı sağlar.

5 0. Gram matrislerin determinantları tüm tabanlarda aynı işarete sahiptir.

Formül (42)'den şu sonuç çıkar: G 1ú =ú T Tú ×ú Gú ×ú Tú = ú Gú ×ú T sen 2. Çünkü Tú 2 > 0, sonra ú G 1 sen ve sen G sizde de aynı işaretler var.

Örnekler.

1. Bolluk içinde M2 Gerçek elemanlı kare matrislerin skaler çarpımı formülle verilir . Bu ürünün Gram matrisini bazda bulun e 1 = , e 2 = , e 3 = , e 4 = .

Çözüm. Tüm ikili ürünleri bulalım temel unsurlar: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2 , e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3 , e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. Bu nedenle,

2. Uzayda R [X] derecesi 3'ten yüksek olmayan polinomların skaler çarpımı formülle verilir , Nerede A Ve B– sabit gerçek sayılar, A< b. Gram matrisini (1, x, x 2, x 3).

Çözüm. Temel elemanların tüm ikili çarpımlarını bulalım: (1, 1) = = b-a,

(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x 2) = (x 2, 1) = = ), (1, x 3) = (x 3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x 2) = (x 2 , x) = = ), (x, x 3) = (x 3, x) = = ), (x 2, x 2) = = ), (x 2, x 3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = =). Gram matrisi şöyle görünecektir:

G = .

3. temelde ( e 1, e 2, e 3 ) uzay E3 skaler çarpım Gram matrisi tarafından verilir G= . Vektörlerin nokta çarpımını bulun A = (1, –5, 4) ve V = (–3, 2, 7).

Çözüm. Formül (41)'i kullanarak şunu elde ederiz ( A , V ) = (1, –5, 4) × × = 7.

Öklid uzayında metriklerin tanıtılması

İzin vermek E n – N- boyutlu Öklid uzayı. Bir vektörün ve kendisinin skaler çarpımına diyelim bu vektörün skaler karesi yani ( bir, bir ) = 2 . Skaler çarpımın 4. aksiyomuna göre 2 ³ 0.

Tanım 47. Vektör uzunluğu isminde aritmetik değer karekök bu vektörün skaler karesinden. onlar. sen A sen = (44)

Vektör uzunluğu özellikleri:

1. Herhangi bir vektör A bir uzunluğu vardır ve yalnızca bir tanesi vardır, ú A ú ³ 0.

2. ú a × A ú = úaú×ú A herhangi biri için A Î E n .

3. Herhangi bir vektör için A Ve V itibaren E n eşitsizlik ú doğrudur a×b ú £ú A ú ×ú V ú.

Kanıt.(A -A V ) 2 = A 2 – 2a( a, c ) + a 2 × V Herhangi bir О için 2 ³ 0 R. Çünkü ikinci dereceden üç terimli a'nın herhangi bir değeri için negatif değilse, diskriminantı pozitif değildir; ( a, c ) 2 – A 2× V 2 £ 0 veya ( a, c ) 2 £ A 2× V 2. dolayısıyla sen a×b ú £ú A ú ×ú V sen (45). Bu formüldeki eşittir işareti ancak ve ancak vektörler orantılıysa olacaktır.

Tanım 48. Birim uzunluktaki vektöre denir birim vektör veya ortom .

4 0 . olmayan herkes için sıfır vektör bununla orantılı bir birim var.

Eğer bir ¹ 0 , o zaman sen A ú ¹ 0. Dolayısıyla bir vektör var 0 = A . Açıkça, 0 u =1.

Tanım 49. Sıfır olmayan vektörler arasındaki açı a ve böyle bir gerçek sayıya denir J, bu (46).

Vektörler arasındaki açı A ve ayrıca belirtilebilir .

Açıların özellikleri.

1 0 . Sıfır olmayan herhangi iki vektör için aralarındaki açı tanımlanır.

Formül (44)'ten şu sonuç çıkar: Bu nedenle, J var.

2 0 . a ¹ 0, b ¹ 0 ise .

Tanım 48. Sıfır olmayan iki vektör denir ortogonal , eğer skaler çarpımları sıfıra eşitse.

Ortogonal vektörler gösterilir A ^V.

3 0 . Eğer A ^V , a ¹ 0, b ¹ 0, O ( A A )^ (B V ).

4 0 . Eğer A ^V Ve A ^İle , O A ^(V + İle ).

Tanım 50. Uzaydaki tüm vektörlerin kümesi E n , vektöre dik A Sıfır vektörünün eklendiği şeye denir a vektörünün ortogonal tamamlayıcısı .

5 0 . Ortogonal vektör tamamlayıcısı A ( N - 1) boyutlu Öklid alt uzayı E n .

Kanıt.

3 0 ve 4 0 özelliklerinden, söz konusu kümenin şu şekilde olduğu anlaşılmaktadır: L öyle doğrusal alt uzay V E n . O zamandan beri E n Skaler çarpım tanımlanmışsa, ortogonal tümleyende de tanımlanır, dolayısıyla, L bir Öklid alt uzayıdır. Ayrıca, İle Î L Û ( A , İle ) = 0 (*). Hadi düzeltelim E n temel. İzin vermek A = (a 1, a 2,…, a n), İle = (x 1, x 2, …, x n). Daha sonra İle Î L Û a T ×G×x = 0 (**). Denklem (**) doğrusaldır homojen denklemİle N bilinmiyor. Temel sistemçözümleri şunlardan oluşur ( N– 1) çözümler. Dolayısıyla (**) denkleminin çözüm uzayı ( N– 1) boyutlu.

İzin vermek E k – uzayın alt uzayı E n . Haydi belirtelim e sıfır vektörü ve sıfırdan farklı herhangi bir vektöre dik olan tüm vektörlerden oluşan küme E k .Başka bir deyişle İle Î e Û ( İle , A ) = hepsi için 0 A Î E k . Uzay E dik tamamlayıcı uzaya E k .

kesinlikle: Gram Determinantı, vektörler sistemi ( e 1 , e 2 , …, e k} determinant denir

G( e 1 , e 2 , …, e k) = .

T° . Vektörler sistemi için ( e 1 , e 2 , …, e k) Öklid uzayı E nöyleydi

doğrusal bağımlı olduğundan Г( e 1 , e 2 , …, e k) eşitti

◀ Gereklilik. İzin vermek e 1 , e 2 , …, e k doğrusal bağımlı. Daha sonra e k= bir 1 e 1 + a 2 e 2 +…+ e k–1 a k–1 ve Г( e 1 , e 2 , …, e k) son satırın elemanları 1 ('e benzer) e 1 ,e ben) + a 2 ( e 2 ,e ben) + …+ bir k –1 (e k –1 ,e ben), yani. son satır kalan Þ Г('nin doğrusal birleşimidir e 1 , e 2 , …, e k) = 0.

Yeterlilik. G'ye izin ver ( e 1 , e 2 , …, e k) = 0 Þ çizgileri doğrusal bağımlıdır Þ $b 1 , b 2 , …, b k b1 ( e 1 ,e ben) + … + b k(e k, e ben) = 0 Ş (b 1 e 1 + … + b k e k= 0 ve b'nin tümü değil Ben= 0 Þ e 1 , e 2 , …, e k doğrusal bağımlı. Çelişki

Sonuçlar. Eğer e 1 , e 2 , …, e k doğrusal olarak bağımsızsa Г( e 1 , e 2 , …, e k) ¹ 0. Ayrıca, Г( e 1 , e 2 , …, e k) > 0

◀ ℒ( dikkate alındığında e 1 , e 2 , …, e k). Daha sonra ( e k, e ben) – bazı simetrik matrislerin elemanları çift ​​doğrusal form, buna karşılık gelen ikinci dereceden form skaler çarpımı tanımlar, yani pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla Sylvester kriterine göre D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k> 0. Fakat D k= Г( e 1 , e 2 , …, e k)

§2. Karşılıklı temeller.

Vektörlerin kovaryant ve kontravaryant koordinatları

İzin vermek E n– Öklid uzayı, ( e 1 , e 2 , …, e n) temeli E n Ve ( e 1 , e 2 , …, e n)başka bir temel E n. Bazlar ( e ben) Ve ( e ben) karşılıklı olarak adlandırılırsa ( e ben, ej) = = .

Kronecker-Capelli.

T° . Herhangi bir temel ( e ben) itibaren E n benzersiz bir karşılıklı temele sahiptir.

◀ İzin ver ej= e 1 + e 2 + … + e n. Eşitliği skaler olarak çarpın e ben.

(e ben, ej) = (e ben, e 1) + (e ben, e 2) + … + (e ben, e n) = , Ben, J = 1, 2, …, N.

Sahibiz heterojen sistem N-doğrusal denklemler N bilinmiyor, bu sistemin determinantı Г( e 1 , e 2 , …, e n) ¹ 0, yani sistemin sıfır olmayan benzersiz bir çözümü vardır.

Bu nedenle vektörler ej açık bir şekilde belirlenir. Bir temel oluşturduklarından (yani doğrusal olarak bağımsız olduklarından) emin olalım.

1 olsun e 1 + a 1 e 2 + …+ bir n e n= 0. Skaler olarak şununla çarpın: e ben.

bir 1 ( e ben, e 1) + a 2 ( e ben, e 2) + … + bir N(e ben, e n) = 0 Ş a Ben= 0, Ben, J = 1, 2, …, N

Yorum : eğer temelse ( e ben) ortonormal ise, bu durumda karşılıklı tabanı verilen tabanla çakışır.

İzin vermek ( e ben) Ve ( ej) karşılıklı üsler E n.

Sonra "xО E n (1)

(X 1 , X 2 , …, xn) vektörün kovaryant koordinatları denir X.

(X 1 , X 2 , …, xn) vektörün kontravaryant koordinatları denir X.

Anlaşma: Donanımlı faktörlerden oluşan bir ifade olsun. sonlu sayı endeksler (üst ve alt). Bu durumda, tüm abonelerin belirlenmiş olduğu kabul edilir. farklı semboller(en üsttekilere benzer). Böyle bir ifadede biri üst, diğeri alt olmak üzere iki özdeş endeks varsa, bu durumda 1'den 1'e kadar bu endeksler üzerinden toplama yapıldığı kabul edilir. N.) elde ederiz ej= g ji e ben; ej= g ji e ben.

Bunu gerçek bir doğrusal uzayda söylüyorlar X işlem tanımlanmış skaler vektör çarpımı, herhangi bir x ve vektör çifti varsa en itibaren X adı verilen gerçek bir sayı atanır. skaler çarpım vektörler X Ve en ve sembolüyle belirtilir (x,y), ve eğer herhangi biri için X. y, z € X ve herhangi biri gerçek sayı A aşağıdakiler gerçekleştirilir nokta çarpım aksiyomları:

• 1. (x,y) =(y,; X).
• 2. (.t + y, z)= (x,z) + (y,z).
• 3. (ah, y) = a(x,y).
• 4. (x,x)> 0'da x F 0 ve (x, X)= 0 X = 0.

Örnek 8.1. Uzay X olsun geometrik vektörler, okudu vektör cebiri. İki vektörün uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanan nokta çarpım, nokta çarpım aksiyomlarını karşılar. ?

Örnek 8.2. İÇİNDE aritmetik uzay K p sütun yüksekliği N vektörlerin nokta çarpımı

formülle belirlenebilir

Skaler çarpım aksiyomlarının geçerliliğini kontrol etmek zor değildir. Örneğin, Aksiyom 4'ün uygulanabilirliğini kontrol edelim.

Ancak sayılardan en az biri varsa kareler toplamı pozitiftir Şi sıfır olmayan (veya xf 0) ve tüm x*'ler sıfıra eşitse (yani x = 0) sıfıra eşittir. ?

Örnek 8.3. Gerçek derece katsayıları aşağıdakilerden daha yüksek olmayan polinomların doğrusal uzayında N- Formül ile 1 skaler çarpım girilebilir

Skaler çarpım aksiyomlarının doğrulanması özelliklere dayanmaktadır. belirli integral ve zor değil. ?

Örnek 8.4. Doğrusal uzayda Sa, b][a, 6] aralığında sürekli olan gerçek değişkenli fonksiyonlarda, skaler çarpım, polinomların doğrusal uzayındakiyle aynı şekilde belirli bir integral kullanılarak tanıtılabilir:

Skaler çarpım aksiyomlarının doğrulanması önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilir. ?

Aksiyom 2 ve 3'ten şu sonuç çıkıyor: vektörlerin herhangi bir sonlu doğrusal kombinasyonu, bir polinomun bir polinomla çarpılması kuralına göre, yani vektörlerin başka bir doğrusal kombinasyonuna skaler olarak çarpılabilir; formüle göre

Geçerli doğrusal uzay Vektörlerin skaler çarpımının tanımlandığı şeye denir Öklid uzayı. Sonlu boyutlu bir doğrusal uzay birçok yolla Öklid uzayına dönüştürülebilir. N boyutlu Öklid uzayında ise X sabit esas e, e^,..., e n, sonra herhangi bir vektör x ve y içinde ayrışmalar var

ve vektörler için formül (8.1) kına verir

veya içinde matris formu nerede olması gerektiği

Böylece, X Öklid uzayındaki skaler çarpım tamamen matris tarafından belirlenir D. Her kare matris formül (8.3)'te yer alamaz. Ancak belirli bir bazda bir skaler çarpım bir Г matrisi tarafından belirleniyorsa, o zaman aynı matrisin yalnızca farklı bir temelde skaler çarpımı da belirlediğini anlamak kolaydır. Matris Г'yi tutarak ve tabanları değiştirerek şunu elde ederiz: sonsuz küme belirli bir π boyutlu doğrusal uzayda skaler ürünler.

Formül (8.3)'te yer alan Г matrisine denir Gram matris e = (e x, b2,..., e n) temeli. Gram matrisi (skaler çarpımların matrisi) yalnızca bazlar için değil, aynı zamanda keyfi sıralı sonlu vektör sistemleri için de tanımlanabilir.

N-boyutlu Öklid uzayındaki bazın Gram matrisinin bazı özelliklerine dikkat edelim.

1. Gram Matris G simetrik ve herhangi bir n boyutlu sütun içinXF 0 koşulu karşılıyorx TGX > 0, özellikle diyagonal elemanlar(ei,ej) = ef G e* Gram matrisler yarı eşdeğerdir.

Gram matrisinin simetrisi, skaler çarpımın aksiyom 1'inden kaynaklanır; buna göre (e*, ej)= (e^, e*) herhangi iki temel vektör için ve koşul x T G x > 0, xf 0, skaler çarpımın aksiyomu 4'e eşdeğerdir.

Simetrik matris A, koşulu karşılayan x t Ah > > 0, x F 0, çağrıldı pozitif kesin. Bu terim dikkate alındığında kanıtlanmış özellik şöyle görünür: Gram matrisi pozitif tanımlıdır.

2. Gram matrisleri G ve G" Öklid uzayının iki e ve e" tabanı şu ilişkiyle ilişkilidir:

burada T, e tabanından tabana geçiş matrisidir e".

Nitekim e tabanından tabana geçerken e! koordinatlar X Ve en iki vektör X Ve en koordinatlara dönüştürüldü X" Ve sen" formüllere göre (bkz. bölüm 4.6)

Bu nedenle matris T T G T temel için bir Gram matrisi var e!.

3. Herhangi bir bazın Gram matrisinin determinantı pozitiftir.

Aslında, formül (8.4)'ten, temel değiştirildiğinde, geçiş matrisinin determinantı sıfır olmadığı için Gram matrisinin determinantının işaretini koruduğu (veya sıfıra eşit kaldığı) sonucu çıkar:

Geriye Gram matrisi Г olarak determinantı bire eşit olan birim matrisi (aşağıdaki açıklamaya bakınız) alabileceğimizi hesaba katmak kalıyor.

4. Tüm köşe çapraz minörleri

E lf e temelinin gram matrisleri2 , ... e n pozitiftir.

Aslında herkes için İle Lfc = (ei,...,efc) alt uzayını bağımsız bir Öklid uzayı olarak düşünebiliriz.

O halde ei, 62, ... tabanı için Gram matrisinin determinantı D^ ile çakışacaktır. Önceki özelliğe göre bu determinant pozitiftir.

Yorum. Böcek. 9.C özelliği 4'ün gerekli olduğu tespit edilmiştir ve yeterli koşul olumlu kesinlik kare matris. Bu nedenle, özellik 4, özellik 1'den kaynaklanır. Herhangi bir pozitif tanımlı matris, belirli bir Öklid uzayındaki bazı bazın Gram matrisidir. Aslında skaler çarpım, herhangi bir pozitif tanımlı matrisin Γ olarak alınabileceği formül (8.3) ile tanımlanabilir. Daha sonra skaler çarpımın aksiyomu 1, matris Г'nin simetrisinden, aksiyom 2 ve 3'ten - dağılım özelliğinden çıkacaktır matris çarpımı ve aksiyom 4 - G'nin pozitif kesinlik koşulundan. Sonuç olarak, 4 özelliğine sahip herhangi bir matris Gram matrisi olarak düşünülebilir. Özellikle birim matrisi Gram matrisi olarak seçilebilir, yani. belirli bir temelde e, ..., e p nokta çarpımı tanımla

formül

Daha önce belirtildiği gibi, Gram matrisi kavramı, keyfi olarak sıralanmış sonlu bir vektör sistemi için tanıtılabilir. Aynı zamanda ve genel durum Gram matrisi simetrik kalır, ancak diğer özellikler (pozitif kesinlik, determinantın pozitifliği) kaybolur. Aşağıdaki ifade geçerlidir.

Teorem 8.1.Bir vektörler sisteminin Gram matrisi, ancak ve ancak bu sistemin doğrusal olarak bağımsız olması durumunda tekil değildir. Gram matrisi doğrusal değildir bağımlı sistem vektörler pozitif tanımlıdır ve özellikle pozitif bir determinantı vardır. Doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminin Gram matrisinin determinantı sıfıra eşittir.

> Doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemi, bazı Öklid uzaylarında, yani kendi içinde bir temel olarak düşünülebilir. doğrusal kabuk. Tabanın Gram matrisinin özelliklerine göre, söz konusu vektörler sisteminin Gram matrisi pozitif tanımlıdır. Bu nedenle onun hepsi köşe küçükleriözellikle determinantı pozitiftir. Bu aynı zamanda Gram matrisinin doğrusal olduğu anlamına da gelir bağımsız sistem vektörler dejenere değildir.

Bu vektör eşitliğinin vektörlerle skaler olarak çarpılması bir, bir2 , ve,

homojen bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz

ac katsayılarına göre, tamam doğrusal kabul edilir

kombinasyonlar. Bu sistemin matrisi vektör sisteminin Gram matrisi Г'dir bir, bir,2 , ..., CLk Eğer Г matrisi tekil değilse, o zaman homojen sistem yalnızca sıfır çözümü vardır. Bu, söz konusu vektör sisteminin bir, bir2 , , a ila doğrusal bağımsız.

Vektörler sistemi ise A, ^k doğrusal olarak bağımlıysa, dikkate alınan doğrusal sistem sıfır olmayan çözümlere sahiptir. Bu nedenle determinantı, yani. Söz konusu vektörler sisteminin Gram matrisi Г'nin determinantı sıfıra eşittir.