Bulanık kümeler teorisinin temel kavramları ve tanımları. Kontrol sistemlerinde bulanık kümeler

Bulanık kümeleri kullanarak “yüksek sıcaklık”, “genç adam”, “ortalama boy” veya “ortalama boy” gibi kesin olmayan ve belirsiz kavramları resmi olarak tanımlamak mümkündür. Büyük şehir" Bulanık kümenin tanımını formüle etmeden önce, söylem evrenini tanımlamak gerekir. Belirsiz "çok para" kavramı söz konusu olduğunda, kendimizi aralıkla sınırlarsak ve aralıkta tamamen farklı bir miktar sınırlandırırsak bir miktar büyük sayılacaktır. Bundan böyle uzay veya küme olarak adlandırılan akıl yürütme alanı çoğunlukla sembolle gösterilecektir. Bunun net bir set olduğu unutulmamalıdır.

Tanım 3.1

Bazı (boş olmayan) uzaylarda olarak gösterilen bulanık küme, bir çiftler kümesidir

İşlev bulanık ait Setler. Bu fonksiyon, her bir öğeye bulanık bir kümedeki üyelik derecesini atar ve üç durum ayırt edilebilir:

1) bir elemanın bulanık bir kümeye tam üyeliği anlamına gelir; ;

2) elemanın bir bulanık kümeye ait olmadığı anlamına gelir;

3) elemanın kısmen bulanık kümeye ait olduğu anlamına gelir.

Literatürde bulanık kümelerin sembolik tanımı kullanılmaktadır. If, sonlu sayıda elemana sahip bir uzaydır; , daha sonra bulanık küme şu şekilde yazılır:

Yukarıdaki giriş semboliktir. “-” işareti bölünme anlamına gelmez, belirli unsurlara üyelik dereceleri atamak anlamına gelir. Başka bir deyişle kayıt

bir çift anlamına gelir

Benzer şekilde (3.3) ifadesindeki “+” işareti bir toplama işlemi anlamına gelmemekte, (3.5) elemanlarının çoklu toplamı olarak yorumlanmaktadır. Kesin kümelerin de benzer şekilde yazılabildiğini belirtmek gerekir. Örneğin birçok okul notları sembolik olarak şu şekilde temsil edilebilir:

bu yazmaya eşdeğerdir

Sonsuz sayıda elemana sahip bir uzay ise, bulanık küme sembolik olarak şu şekilde yazılır:

Örnek 3.1

bir küme olduğunu varsayalım. doğal sayılar. “7 sayısına yakın” doğal sayılar kümesi kavramını tanımlayalım. Bu, aşağıdaki bulanık kümeyi tanımlayarak yapılabilir:

Örnek 3.2

Eğer reel sayılar kümesi nerede ise, o zaman küme gerçek sayılar, “7 sayısına yakın”, formun üyelik fonksiyonu ile tanımlanabilir.

Bu nedenle “7 sayısına yakın” reel sayıların bulanık kümesi şu ifadeyle tanımlanır:

Açıklama 3.1

Bulanık kümeler"7 sayısına yakın" doğal veya reel sayılar çeşitli şekillerde yazılabilir. Örneğin üyelik fonksiyonu (3.10) şu ifadeyle değiştirilebilir:

İncirde. 3.1a ve 3.1b, “7 sayısına yakın” reel sayıların bulanık kümesi için iki üyelik fonksiyonu sunmaktadır.

Pirinç. 3.1. Örnek 3.2 için çizim: "7 sayısına yakın" reel sayıların bulanık kümesinin üyelik fonksiyonları.

Örnek 3.3

"Baltık Denizi'nde yüzmek için uygun sıcaklık" şeklindeki kesin olmayan tanımı resmileştirelim. Akıl yürütme alanını bir küme şeklinde tanımlayalım. 21° sıcaklıkta kendini en iyi hisseden Tatilci I, kendisi için bir bulanık küme tanımlardı

20°'lik bir sıcaklığı tercih eden Tatilci II, bu setin farklı bir tanımını önermektedir:

Bulanık kümeler kullanarak "Baltık Denizi'nde yüzmek için uygun sıcaklık" kavramının kesin olmayan tanımını resmileştirdik. Bazı uygulamalar üyelik fonksiyonlarının standart formlarını kullanır. Bu fonksiyonları belirtelim ve grafiksel yorumlarını ele alalım.

1. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.2) şu şekilde tanımlanır:

Nerede . Bu sınıfa ait üyelik fonksiyonu, “” harfini anımsatan grafiksel bir gösterime sahiptir (Şekil 3.2) ve şekli, ve parametrelerinin seçimine bağlıdır. Bir noktada sınıf üyelik fonksiyonu 0,5’e eşit bir değer alır.

2. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.3), sınıf üyelik fonksiyonu aracılığıyla belirlenir:

Pirinç. 3.2. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.3. Sınıf üyeliği işlevi.

Sınıf üyeliği fonksiyonu ve için sıfır değer alır. Bazı noktalarda değeri 0,5'tir.

3. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.4) şu ifadeyle verilmektedir:

Okuyucu, sınıf üyeliği fonksiyonlarının formları arasındaki analojiyi kolaylıkla fark edecektir.

4. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.5) şu şekilde tanımlanır:

Pirinç. 3.4. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.5. Sınıf üyeliği işlevi.

Bazı uygulamalarda sınıf üyelik fonksiyonu, sınıf fonksiyonuna alternatif olabilir.

5. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.6) şu ifadeyle belirlenir:

Örnek 3.4

Üç kesin olmayan formülasyonu ele alalım:

1) “düşük araç hızı”;

2)" ortalama sürat araba";

3) “yüksek araç hızı.”

Akıl yürütme alanı olarak maksimum hızın olduğu aralığı alacağız. İncirde. 3.7, yukarıdaki formülasyonlara karşılık gelen bulanık kümeleri ve ,'yi sunar. Bir kümenin üyelik fonksiyonunun türüne, kümelerin türüne ve kümelerin türüne sahip olduğuna dikkat edin. Sabit bir km/saat noktasında, "düşük araba hızı" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu 0,5 değerini alır; . Bulanık küme "ortalama araba hızı"nın üyelik fonksiyonu aynı değeri alır; , halbuki .

Örnek 3.5

İncirde. Şekil 3.8 "büyük para" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonunu göstermektedir. Bu sınıfın bir fonksiyonudur ve , , .

Pirinç. 3.6. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.7. Örnek 3.4 için çizim: "küçük", "orta", "yüksek" araba hızı bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonları.

Pirinç. 3.8. Örnek 3.5 için çizim: “Büyük para” bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu.

Sonuç olarak, üyelik fonksiyonunun değerleri 1'e eşit olacağından, 10.000 ruble'yi aşan miktarlar kesinlikle "büyük" olarak kabul edilebilir. 1000 ruble'nin altındaki miktarlar, üyelik fonksiyonunun karşılık gelen değerleri nedeniyle "büyük" olarak kabul edilmez. 0'a eşittir. Elbette, "büyük para" bulanık kümesinin böyle bir tanımı özneldir. Okuyucunun muğlak “büyük para” kavramı hakkında kendi anlayışı olabilir. Bu gösterim, sınıfın parametrelerinin ve fonksiyonlarının diğer değerleri tarafından yansıtılacaktır.

Tanım 3.2

Bulanık kümenin desteği olarak adlandırılan ve (destek) ile gösterilen uzay elemanları kümesine. Resmi gösterimi şu şekildedir:

Tanım 3.3

Bir bulanık kümenin yüksekliği şu şekilde gösterilir ve tanımlanır:

Örnek 3.6

Tanım 3.4

Bulanık kümeye ancak ve ancak eğer normal denir. Bulanık küme normal değilse, dönüşüm kullanılarak normalleştirilebilir.

bu setin yüksekliği nerede?

Örnek 3.7

Bulanık küme

normalizasyondan sonra şu formu alır

Tanım 3.5

Bir bulanık kümeye boş denir ve her biri için ancak ve ancak şu şekilde gösterilir.

Tanım 3.6

Bir bulanık küme, ancak ve ancak şu şekilde yazılan bir bulanık kümenin içinde bulunur:

her biri için .

Bir bulanık kümenin bulanık bir kümeye dahil edilmesine (içerik) bir örnek, Şekil 1'de gösterilmektedir. 3.9. Bulanık kümelerin dahil edilme derecesi kavramı da literatürde bulunmaktadır. Bir bulanık kümenin bir bulanık kümeye dahil olma derecesi Şekil 2.1’de verilmiştir. 3,9, 1'e eşittir (tam dahil). Şekil 2'de sunulan bulanık kümeler. 3.10 bağımlılığı (3.27) karşılamamaktadır; bu nedenle (3.6) tanımına dahil edilmemiştir. Ancak bir bulanık küme, bir bulanık kümenin içinde şu dereceye kadar bulunur:

Koşul karşılandı

Pirinç. 3.12. Bulanık dışbükey küme.

Pirinç. 3.13. Bulanık içbükey set.

Pirinç. Şekil 3.13 bulanık içbükey kümeyi göstermektedir. Bir bulanık kümenin dışbükey (içbükey) olduğunu kontrol etmek ancak ve ancak tüm kesimlerinin dışbükey (içbükey) olması durumunda kolaydır.

Açık bir küme ya da basitçe bir kümeyle, genellikle sezgilerimizin ve aklımızın tek bir bütün olarak algılanan, tanımlanmış ve ayırt edilebilir nesnelerinin belirli bir kümesini anlarız. İÇİNDE bu açıklamaŞu noktaya dikkat edelim: A kümesi bir koleksiyondur belirli nesneler. Bu, herhangi bir x için onun A kümesine ait olup olmadığının açıkça söylenebileceği anlamına gelir.

Bir x elemanının A kümesine ait olma koşulu m(x) üyelik fonksiyonu kavramı kullanılarak yazılabilir:

Sonuç olarak, küme bir çiftler kümesi olarak belirtilebilir: bir öğe ve onun üyelik fonksiyonunun değeri

bir = ((x|m(x)) (1)

Örnek 1. Bölüm beş teklif sunuyor seçmeli dersler x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ve x 5 . Programa göre üç ders zorunludur. Öğrenci çalışmak için x 2, x 3 ve x 5 derslerini seçmiştir. Bu gerçeği üyelik fonksiyonunu kullanarak yazalım.

burada her çiftin ilk öğesi dersin adı anlamına gelir ve ikincisi, ilgili öğrenci tarafından seçilen alt kümeye ait olduğu gerçeğini tanımlar ("evet" veya "hayır").

Kesintisiz kümelerin sonsuz sayıda örneği vardır: öğrenci listesi çalışma Grubu, belirli bir şehir caddesindeki birçok ev, bir damla sudaki birçok molekül vb.

Bu arada büyük bir hacim insan bilgisi ve bağlantıları dış dünya(1) anlamında küme olarak adlandırılamayan kavramları içerir. Bir sınıfa ait olmaktan diğerine ait olmaya geçiş aniden değil, kademeli olarak gerçekleştiğinde, bunlar daha ziyade belirsiz sınırları olan sınıflar olarak düşünülmelidir. Böylece, insan muhakemesi mantığının klasik iki değerli mantığa değil, bulanık doğruluk değerlerine (bulanık bağlaçlar ve bulanık çıkarım kurallarına) sahip mantığa dayandığı varsayılmaktadır. İşte buna bazı örnekler: Makalenin uzunluğu yaklaşık 12 sayfadır, çoğu bölge, oyunda ezici üstünlük, birkaç kişiden oluşan bir grup.

Üzerinde duralım son örnek. 3, 5 veya 9 kişilik bir grubun “birkaç kişiden oluşan bir grup” kavramına ait olduğu açıktır. Ancak öznel koşullar da dahil olmak üzere çeşitli koşullara bağlı olan bu kavrama ait olma konusunda aynı derecede güvene sahip olmayacaklardır. Üyelik fonksiyonunun aralıkta herhangi bir değer alabileceğini varsayarsak bu koşullar resmileştirilebilir. Dahası aşırı değerler Elemanın kesinlikle ait olmadığı veya kesinlikle ait olduğu durumlarda reçete edilir. bu kavram. Özellikle, birkaç kişiden oluşan bir A grubu şu şekilde bir ifadeyle tanımlanabilir:

A = ((1½0), 2½0,1), 3½0,4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0,8), (8½0,3), (9½0,1), (a½0)

Bulanık kümeler teorisinin kurucusu L.A. Zade tarafından verilen bulanık kümenin tanımını verelim. X'in belirli bir evrensel (temel adı verilen) E kümesinin bir elemanı olmasına izin verin. bulanık(bulanık) çokluk A taban kümesinde tanımlanan E, sıralı çiftlerin kümesidir

A= (xum A((x)), "x О E,

nerede A(X) - üyelik fonksiyonu, E kümesini bir birim aralığa eşlemek, yani. M A (x): E®.

Açıkçası, eğer değer aralığı m ise A (x) 0 ve 1 olmak üzere iki sayıyla sınırlıdır, bu durumda bu tanım sıradan (net) bir set kavramıyla örtüşecektir.

Bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonu, yalnızca temel kümenin her bir elemanı için tüm değerlerinin listelenmesiyle değil, aynı zamanda formda da belirtilebilir. analitik ifade. Örneğin birçok gerçek sayılar 2 sayısına çok yakın olan Z şu şekilde verilebilir:

Z= (xum Z(x)), "x О R,

nerede Z(x) = .

2 sayısına yeterince yakın olan Y gerçek sayıları kümesi

e= (xum e(x)), "x О R,

BENİM Z(x) = .

Grafik resmi bu iki üyelik fonksiyonu Şekil 3.9'da verilmiştir.

Tanım. Bulanık küme A bulanık alt küme denir B, eğer A Ve B aynı temel set E ve "x О E: m üzerinde tanımlanır A(x) £ milyon B(x), şu şekilde gösterilir: AÌ B.

İki bulanık kümenin eşitliği için koşullar A Ve B Aynı E taban kümesinde tanımlanan , aşağıdaki forma sahiptir

A = B veya "x О E: m A(x) = m B(X).

Yorum. Doğası gereği farklı olan "bulanık" ve "olasılık" kavramları arasında bazı benzerlikler vardır. İlk olarak, bu kavramlar bilgimizde belirsizlik veya yanlışlığın olduğu veya temel imkansızlığın olduğu görevlerde kullanılır. doğru tahminler kararların sonuçları. İkinci olarak değişim ve olasılık aralıkları ile üyelik fonksiyonları çakışmaktadır:

ve P О ve m A(x) O .

Aynı zamanda olasılık nesnel bir özelliktir ve olasılık teorisinin uygulanmasına dayalı olarak elde edilen sonuçlar prensipte deneysel olarak test edilebilir.

Üyelik fonksiyonu subjektif olarak belirlense de genellikle incelenen nesneler arasındaki gerçek ilişkileri yansıtmaktadır. Bulanık küme teorisine dayalı yöntemlerin kullanılmasının etkinliği genellikle belirli sonuçlar elde edildikten sonra değerlendirilir.

Olasılık teorisi olasılığın olduğunu varsayıyorsa güvenilir olay bire eşittir, yani

o zaman üyelik fonksiyonunun tüm değerlerinin karşılık gelen toplamı 0'dan ¥'ye kadar herhangi bir değer alabilir.

Yani bir bulanık küme tanımlamak için A belirlenmesi gerekiyor baz seti E'nin elemanları ve bir m üyelik fonksiyonu oluşturur A(x), her bir x ve E öğesinin belirli bir bulanık kümeye ait olduğu güvenin subjektif bir ölçüsüdür A.

Bulanık küme- ana kavram Bulanık mantık. İzin vermek e- Evrensel set, X- eleman E, R bir özelliktir. Düzenli (kesin) alt küme A Evrensel set E, Elemanları R özelliğini karşılayan sıralı çiftler kümesi olarak tanımlanır

bir = ( μA(X) / X},

Nerede μ Bir (x) —karakteristik fonksiyon, ise 1 değerini almak X R özelliğini karşılar ve aksi takdirde 0'ı karşılar.

Bulanık alt küme farklıdır düzenli konular, elementler içindir X itibaren e R özelliğine ilişkin net bir evet-hayır cevabı yoktur. Bu bakımdan bulanık altküme A Evrensel set e sıralı çiftlerin kümesi olarak tanımlanır

bir = ( μA(X) / X},

Nerede μ Bir (x) — karakteristik üyelik fonksiyonu(ya da sadece üyelik fonksiyonu), tamamen sıralı bir kümede değerlerin alınması M(Örneğin, M = ).

Üyelik fonksiyonu, bir elemanın üyelik derecesini (veya seviyesini) gösterir. X alt küme A. Bir demet M aksesuar seti denir. Eğer M= (0, 1), ardından bulanık alt küme A sıradan veya net bir set olarak düşünülebilir.

Bulanık küme yazma örnekleri

İzin vermek e = {X 1 , X 2 ,xz,X 4 , x 5), M = ; Aμ A ( X 1 )= 0,3; μ bir ( x 2)= 0; μ bir ( X 3) = 1; μ Bir (x 4) = 0,5; μ bir ( x 5)= 0,9.

Daha sonra Aşeklinde temsil edilebilir

bir ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

veya

A={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

veya

Yorum. Burada “+” işareti toplama işlemini değil, birleşme anlamını taşımaktadır.

Bulanık kümelerin temel özellikleri

İzin vermek M= ve A— evrensel kümenin elemanlarını içeren bulanık küme e ve birçok aksesuar M.

Miktar denir yükseklik bulanık küme A. Bulanık küme Sorun değil yüksekliği 1 ise, yani. üst sınırüyelik fonksiyonu 1'dir (= 1). Şu tarihte:< 1нечеткое множество называется normalin altında.

Bulanık küme boş, eğer ∀ XϵE μ A ( X) = 0. Boş olmayan bir normal altı küme aşağıdaki formül kullanılarak normalleştirilebilir

Bulanık küme tek modlu, Eğer μ A ( X) = yalnızca birinde 1 X itibaren E.

. Taşıyıcı bulanık küme Aözelliğine sahip sıradan bir alt kümedir μ A ( X)>0, yani taşıyıcı A = {X/x ϵE, μ A ( X)>0}.

Elementler XϵE, hangisi için μ A ( X) = 0,5 , arandı geçiş noktaları setleri A.

Bulanık küme örnekleri

1. İzin ver e = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Bulanık küme"Birkaç" şu şekilde tanımlanabilir:

“Birkaç” = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; özellikleri:yükseklik = 1, taşıyıcı = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, geçiş noktaları — {3, 8}.

2. İzin ver e = {0, 1, 2, 3,…, N,… ). “Küçük” bulanık kümesi şu şekilde tanımlanabilir:

3. İzin ver e= (1, 2, 3,..., 100) ve “Yaş” kavramına karşılık geliyorsa, “Genç” bulanık kümesi şu şekilde tanımlanabilir:

Bulanık set “Young” evrensel sette E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) üyelik fonksiyonu kullanılarak belirtilir μ Genç ( X) Açık E =(1, 2, 3, ..., 100) (yaş), ile ilgili olarak çağrılır E" uyumluluk işlevi:

Nerede X— SIDOROV'un yaşı.

4. İzin ver e= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - bir dizi otomobil markası ve E"= evrensel “Maliyet” kümesidir, o halde E" tipin bulanık kümelerini tanımlayabiliriz:

Pirinç. 1.1. Üyelik fonksiyonlarına örnekler

“Yoksullar için”, “Orta sınıf için”, “Prestijli” gibi üyelik fonksiyonları ile Şekil 1. 1.1.

Bu işlevlere sahip olmak ve arabaların maliyetini bilmek e V şu an zaman, böylece belirleyeceğiz E" Aynı isimli bulanık kümeler.

Örneğin evrensel kümede tanımlanan “Yoksullar için” bulanık kümesi E =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), Şekil 2'de gösterildiği gibi görünüyor. 1.2.

Pirinç. 1.2. Bir bulanık kümeyi belirleme örneği

Benzer şekilde, "Yüksek hız", "Orta", "Yavaş hız" vb. bulanık kümesini tanımlayabilirsiniz.

5. İzin ver e- tam sayılar kümesi:

e= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Daha sonra sayıların bulanık alt kümesi şuna göre mutlak değer sıfıra yakınlık örneğin şu şekilde tanımlanabilir:

bir ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Bulanık kümelerin üyelik fonksiyonlarını oluşturma yöntemleri hakkında

Yukarıdaki örnekler kullanıldı dümdüz Bir uzmanın her biri için basitçe belirlediği yöntemler X ϵ e Anlam μ Bir (x), veya bir uyumluluk fonksiyonunu tanımlar. Kural olarak hız, zaman, mesafe, basınç, sıcaklık vb. gibi ölçülebilir kavramlar için veya kutupsal değerlerin ayırt edilmesi durumunda üyelik fonksiyonunun belirlenmesine yönelik doğrudan yöntemler kullanılır.

Birçok problemde, bir nesneyi karakterize ederken, bir dizi özellik seçmek ve bunların her biri için üyelik fonksiyonunun değerlerine (0 veya 1) karşılık gelen kutupsal değerleri belirlemek mümkündür.

Örneğin yüz tanıma görevinde tabloda verilen ölçekleri ayırt edebiliyoruz. 1.1.

Tablo 1.1. Yüz tanıma görevindeki ölçekler

Belirli bir kişi içinAuzman, verilen ölçeğe göre belirlerμ A(x)ϵvektör üyelik fonksiyonunu oluşturan (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x9)}.

Doğrudan yöntemlerle, doğrudan grup yöntemleri de kullanılır; örneğin, bir grup uzmana belirli bir kişi sunulduğunda ve herkesin iki cevaptan birini vermesi gerektiğinde: "bu kişi kel" veya "bu kişi kel değil", daha sonra olumlu cevapların sayısı bölünür toplam sayısı uzmanlar anlam verir μ kel ( bu kişinin). (Bu örnekte uyumluluk fonksiyonunu kullanarak hareket edebilirsiniz ancak daha sonra uzmana sunulan her kişinin kafasındaki saç sayısını saymanız gerekecektir.)

DolaylıÜyelik fonksiyonunun değerlerini belirlemeye yönelik yöntemler, bizi ilgilendiren bulanık kümenin belirlendiği temel ölçülebilir özelliklerin bulunmadığı durumlarda kullanılır. Kural olarak bunlar ikili karşılaştırma yöntemleridir. Örneğin üyelik fonksiyonlarının değerleri tarafımızdan biliniyorsa, μ A(X-Ben) = ωi , Ben= 1, 2, ..., N, daha sonra ikili karşılaştırmalar bir ilişkiler matrisi ile temsil edilebilir A= ( a ij ), burada bir ben= ωi/ ωj(bölme işlemi).

Uygulamada matrisi uzmanın kendisi oluşturur A bu durumda köşegen elemanların 1'e eşit olduğu ve köşegenlere göre simetrik olan elemanlar için a ij = 1/a ij olduğu varsayılır, yani. eğer bir öğe şu şekilde değerlendirilirse α diğerinden kat daha güçlü ise bu ikincisi birinciden 1/α kat daha güçlü olmalıdır. İÇİNDE Genel dava sorun, formdaki bir denklemi karşılayan bir ω vektörünü bulmaya indirgenir Ah= λmaks w, burada λmax matrisin en büyük özdeğeridir A. Matristen beri A Yapı itibariyle pozitiftir, bu sorunun çözümü mevcuttur ve pozitiftir.

İki yaklaşım daha belirtilebilir:

• standart formların kullanımıüyelik fonksiyonlarını belirlemek için eğriler ((L-R)-Tip şeklinde - aşağıya bakın), deneysel verilere uygun olarak parametrelerinin açıklanması;
• bağıl frekansların kullanımıdeneye göre üyelik değerleri olarak.

Modern bilim ve teknoloji, matematiksel modellemenin yaygın kullanımı olmadan hayal edilemez; çünkü tam ölçekli deneyler her zaman gerçekleştirilemez, çoğu zaman çok pahalıdır ve önemli miktarda zaman gerektirir ve çoğu durumda riskle ve büyük maddi veya manevi sorunlarla ilişkilendirilir. maliyetler. Matematiksel modellemenin özü, gerçek bir nesneyi "görüntüsü" - matematiksel bir model - ile değiştirmek ve bilgisayarlarda uygulanan hesaplamalı ve mantıksal algoritmaları kullanarak modelin daha fazla incelenmesidir. Bir matematiksel model için en önemli gereklilik, seçilen özellik sistemine göre incelenen gerçek nesneye uygunluğunun (doğru yazışmanın) koşuludur. Bu, her şeyden önce, söz konusu nesnenin özelliklerinin doğru bir niceliksel açıklaması anlamına gelir. Basit sistemler için bu tür niceliksel modellerin oluşturulması mümkündür.

Karmaşık sistemlerde durum farklıdır. Davranış hakkında anlamlı sonuçlar elde etmek karmaşık sistemler Bir model oluştururken yüksek doğruluk ve titizlikten vazgeçmek ve onu oluştururken doğası gereği yaklaşık olan yaklaşımları kullanmak gerekir. Bu yaklaşımlardan biri, kişinin kendisini çevreleyen dünyaya ilişkin belirsiz yansımasını tanımlayan dilsel değişkenlerin tanıtılmasıyla ilişkilidir. Dilsel bir değişkenin tam teşekküllü bir matematiksel nesne haline gelmesi için bulanık küme kavramı tanıtıldı.

Kesin kümeler teorisinde, bir kesin kümenin evrensel uzaydaki karakteristik fonksiyonu dikkate alınmıştır. , eleman özelliği karşılıyorsa ve dolayısıyla kümeye aitse 1'e, aksi halde 0'a eşittir. Böylece, belirli bir özelliğin varlığının veya yokluğunun 0 veya 1 (“hayır” veya “evet”) değerleri ile belirlendiği açık bir dünyadan (Boole cebiri) bahsediyorduk.

Ancak dünyadaki her şey yalnızca beyaz ve siyaha, gerçek ve yalana bölünemez. Yani Buda bile çelişkilerle dolu bir dünya gördü; her şey aynı anda bir dereceye kadar doğru, bir dereceye kadar da yanlış olabilir. Platon, bu çelişkilerin göreceli olduğu (Doğruluk ve Yanlışlığın ötesinde) üçüncü bir alan olduğuna işaret ederek bulanık mantığın temelini attı.

California Üniversitesi profesörü Zadeh, 1965'te "Bulanık Kümeler" makalesini yayınladı; burada 0 veya 1'in iki değerli tahminini, kapalı bir aralıkta 0'ın üstünde ve 1'in altında sınırsız çok değerli tahmine genişletti ve ilk olarak kavramını tanıttı. bir "bulanık küme". Zadeh, "karakteristik fonksiyon" terimi yerine "üyelik fonksiyonu" terimini kullandı. Üyelik fonksiyonu (karakteristik fonksiyonla aynı notasyon) yoluyla evrensel uzayda bir bulanık küme (kesin kümeyle aynı notasyon bırakılır) aşağıdaki gibi tanımlanır

Üyelik fonksiyonu çoğunlukla şu şekilde yorumlanır: değer şu anlama gelir: Öznel değerlendirmeÖrneğin bir bulanık kümedeki bir elemanın üyelik derecesi onun %80'e ait olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, "benim üyelik fonksiyonum", "sizin üyelik fonksiyonunuz", "uzmanın üyelik fonksiyonu" vb. bulunmalıdır. Bir bulanık kümenin grafiksel gösterimi, bir Venn diyagramı, Şekil 2'de eşmerkezli dairelerle temsil edilmektedir. 1. Bulanık bir kümenin üyelik fonksiyonu, açık bir kümenin dikdörtgen karakteristik fonksiyonunun aksine, çan şeklinde bir grafiğe sahiptir, Şekil 1. 1.

Keskin ve bulanık kümeler arasındaki bağlantıya dikkat etmelisiniz. Karakteristik fonksiyonun iki değeri (0,1), üyelik fonksiyonunun kapalı bir değer aralığına aittir. Bu nedenle, keskin küme, bulanık kümenin özel bir durumudur ve bulanık küme kavramı, keskin küme kavramını da kapsayan genişletilmiş bir kavramdır. Başka bir deyişle, bir kesin küme aynı zamanda bir bulanık kümedir.

Bulanık küme, üyelik fonksiyonu kullanılarak kesin olarak tanımlanır ve herhangi bir belirsizlik içermez. Gerçek şu ki, bulanık bir küme, kapalı bir aralığın tahmini değerleri kullanılarak kesin olarak tanımlanır ve bu, üyelik fonksiyonudur. Eğer evrensel küme ayrık sonlu bir eleman kümesinden oluşuyorsa, pratik değerlendirmelere dayanarak, üyelik fonksiyonunun değerini ve buna karşılık gelen elemanı / ve + ayırma işaretlerini kullanarak belirtin. Örneğin, evrensel kümenin 10'dan küçük tam sayılardan oluştuğunu varsayalım, o zaman "küçük sayılar" bulanık kümesi şu şekilde temsil edilebilir:

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Burada örneğin 0,8/2 anlamına gelir. + işareti bir birliği ifade eder. Yukarıdaki formda bir bulanık küme yazarken, üyelik fonksiyonu değerleri sıfıra eşit olan evrensel kümenin elemanları atlanır. Genellikle evrensel kümenin tüm elemanları, üyelik fonksiyonunun karşılık gelen değerleriyle birlikte yazılır. Olasılık teorisinde olduğu gibi bulanık küme gösterimi kullanılır,

Tanım. Genel olarak bir evrensel kümenin bulanık alt kümesi, sıralı çiftlerden oluşan bir küme olarak tanımlanır.

Geleneğe göre, net kümeler genellikle sınırları keskin bir şekilde belirlenmiş dairelerle gösterilir. Bulanık kümeler, bireysel noktalardan oluşan dairelerdir: dairenin merkezinde birçok nokta vardır ve çevreye yaklaştıkça yoğunlukları sıfıra düşer; dairenin kenarları gölgelenmiş gibi görünüyor. Bu tür "bulanık setler" atış poligonunda, hedeflerin asıldığı duvarda görülebilir. Kurşun işaretleri formu rastgele Matematiği bilinen kümeler. Ameliyat olduğu ortaya çıktı bulanık kümeler uzun süredir geliştirilen rastgele kümeler aparatı uygundur...

Bulanık kavramı ayarla - deneme matematiksel formalleştirme oluşturmada kullanmak amacıyla bulanık bilgi Matematiksel modeller karmaşık sistemler. Bu kavram, belirli bir kümeyi oluşturan ve sahip olan öğelerin bir araya gelmesi fikrine dayanmaktadır. ortak mülkiyet, bu özelliğe değişen derecelerde sahip olabilir ve dolayısıyla belirli bir kümeye değişen derecelerde ait olabilir.

En basit yollardan biri matematiksel açıklama bulanık küme - bir öğenin bir kümeye üyelik derecesinin, örneğin aralıktan bir sayıya göre karakterizasyonu. İzin vermek X– belirli bir dizi öğe. Aşağıda bu kümenin alt kümelerini ele alacağız.

X'te bulanık A kümesi formun çiftlerinin koleksiyonuna denir ( X, M A(x)), Nerede xÎX, ve M A- işlev X® denir üyelik fonksiyonu bulanık küme A. m değeri A(x) Bu işlev belirli bir amaç için X Bu elemanın bulanık kümedeki üyelik derecesi denir. A.

Bu tanımdan görülebileceği gibi, bir bulanık küme tamamen üyelik fonksiyonuyla tanımlanır, dolayısıyla bu fonksiyonu sıklıkla bir bulanık kümenin gösterimi olarak kullanacağız.

Sıradan kümeler, bulanık kümeler sınıfının bir alt sınıfını oluşturur. Aslında sıradan bir kümenin üyelik fonksiyonu BÌ X karakteristik fonksiyonu: m B(x)=1 eğer XÎ B ve M B(x)=0 ise XÏ B. Daha sonra bulanık kümenin tanımına uygun olarak sıradan küme İÇİNDE aynı zamanda formun bir çiftleri kümesi olarak da tanımlanabilir ( X, M B(x)). Bu nedenle bulanık bir küme daha Geniş kavram Bulanık bir kümenin üyelik fonksiyonunun genel anlamda keyfi bir fonksiyon veya hatta keyfi bir eşleme olabilmesi anlamında sıradan bir kümeden daha fazladır.

Konuşuyoruz bulanık küme. Ve birçok Ne? Eğer tutarlıysak, bir bulanık kümenin bir elemanının yeni bir bulanık küme, vb. gibi yeni bir bulanık kümeye dönüştüğünü belirtmemiz gerekir. Hadi dönelim klasik örnek- İle tahıl yığını. Bu bulanık kümenin bir elemanı şu şekilde olacaktır: milyon tane, Örneğin. Ama bir milyon tane hiç net değil eleman, ama yeni bulanık küme. Sonuçta, tahılları sayarken (manuel veya otomatik olarak), bir hata yapmak şaşırtıcı değildir; örneğin 999.997 tahılı bir milyonla karıştırmak. Burada 999,997 elemanının “milyon” kümesi için 0,999997'ye eşit bir üyelik fonksiyonu değerine sahip olduğunu söyleyebiliriz. Ek olarak, tahılın kendisi yine bir element değil, yeni bir bulanık kümedir: tam teşekküllü bir tahıl vardır ve iki kaynaşmış tahıl, az gelişmiş bir tahıl veya sadece bir kabuk vardır. Tahılları sayarken kişinin bir kısmını reddetmesi, iki tanesini bir olarak, bir tanesini iki tanesi olarak alması gerekir. Bulanık bir kümenin klasik dillerle dijital bir bilgisayara doldurulması o kadar kolay değildir: bir dizinin (vektör) elemanları yeni dizi dizileri (iç içe vektörler ve matrisler, eğer konuşursak) olmalıdır. Matematik). Klasik kesin küme matematiği (sayı teorisi, aritmetik, vb.) mantıklı adam etrafındaki kaygan ve belirsiz dünyada kendini sabitler (belirler). Ve kanca, bildiğiniz gibi, oldukça kaba bir araçtır ve çoğu zaman tutunduğu şeyi bozar. Bulanık kümeleri temsil eden terimler – “çok”, “biraz”, “biraz” vb. vb. - onu bir bilgisayara "doldurmak" da zordur çünkü onlar bağlama bağlı. Bir bardak tohumu olan birine "Bana biraz tohum ver" demek başka, tohumlarla dolu bir kamyonun direksiyonunda oturan birine söylemek başka şey.

Bulanık alt küme A setleri Xüyelik fonksiyonu m ile karakterize edilir A:X→, her bir öğeyi atar XÎ X sayı m A(x) elemanın üyelik derecesini karakterize eden aralıktan X alt küme A. Ayrıca 0 ve 1 sırasıyla en düşük ve en düşük değerleri temsil etmektedir. en yüksek derece Bir elementin belirli bir altkümeye ait olması.

Temel tanımları verelim.

· Değer desteği M A(X) isminde yükseklik bulanık küme A. Bulanık küme A İyi yüksekliği ise 1 , yani üyelik fonksiyonunun üst sınırı 1. Akşam yemeği ne zaman MA(X)<1 bulanık küme denir normalin altında.

Bulanık kümeye denir boşüyelik fonksiyonu tüm kümede sıfıra eşitse X, yani m 0 (x)= 0 " XÎ X.

Bulanık küme boş , Eğer " XÎ e m bir ( X)=0 . Boş olmayan bir normal altı küme formülle normalleştirilebilir

(Şekil 1).

Şekil 1. Bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonuyla normalleştirilmesi. .

Taşıyıcı bulanık küme A(tanım destek A) üyelik fonksiyonu m ile A(x) formun kümesi denir destek={x|xÎ X, M A(x)> 0). İçin pratik uygulamalar Bulanık kümelerin taşıyıcıları her zaman sınırlıdır. Dolayısıyla, bir sistem için kabul edilebilir modların bulanık kümesinin taşıyıcısı, kabul edilebilirlik derecesinin sıfıra eşit olmadığı açık bir alt küme (aralık) olabilir (Şekil 2).

Pirinç. 3. Çekirdek, taşıyıcı ve α- bulanık kümenin bölümü

Anlam α isminde α seviye. Taşıyıcı (çekirdek), sıfır (birim) üzerindeki bulanık kümenin bir bölümü olarak düşünülebilir. α -seviye.

Pirinç. 3 tanımları göstermektedir taşıyıcı, çekirdek,α - bölümler veα - seviye bulanık küme.