Ayrık bir fonksiyonun sürekli bir fonksiyona dönüştürülmesi. Görüntü İşleme Araç Kutusu açıklaması

Fourier dönüşümleri

Birçok sinyali sinüzoidlere (harmoniklere) ayrıştırarak analiz etmek uygundur. Bunun birkaç nedeni var. Örneğin insan kulağı da benzer şekilde çalışır. Sesi farklı frekanslardaki bireysel titreşimlere ayrıştırır. Ek olarak sinüzoidlerin " kendi fonksiyonları» lineer sistemler (içinden geçtikleri için) doğrusal sistemler, şekli değiştirmeden, ancak yalnızca fazı ve genliği değiştirebilir). Diğer bir neden ise Kotelnikov teoreminin sinyal spektrumu cinsinden formüle edilmiş olmasıdır.

Fourier dönüşümü ) fonksiyonların sinüzoidlere ayrıştırılmasıdır (bundan sonra kosinüs fonksiyonları sinüzoidleri olarak da adlandıracağız, çünkü bunlar “gerçek” sinüzoidlerden yalnızca faz bakımından farklılık gösterir). Fourier dönüşümünün birkaç türü vardır.

1. Periyodik olmayan sürekli sinyal Fourier integraline genişletilebilir.

2. Periyodik sürekli bir sinyal sonsuz bir Fourier serisine genişletilebilir.

3. Periyodik olmayan ayrı bir sinyal, Fourier integraline genişletilebilir.

4. Periyodik bir ayrık sinyal, sonlu bir Fourier serisine genişletilebilir.

Bir bilgisayar yalnızca sınırlı miktarda veriyle çalışabilir, bu nedenle gerçekte yalnızca son Fourier dönüşüm türünü hesaplayabilir. Şimdi ona daha yakından bakalım.

Gerçek sinyal DFT

Ayrık bir sinyal x'in N noktalı bir periyodu olsun. Bu durumda, ayrı sinüzoidlerin sonlu bir serisi (yani doğrusal bir kombinasyon) olarak temsil edilebilir:

Eşdeğer gösterim (her kosinüsü sinüs ve kosinüse ayrıştırıyoruz, ancak artık faz yok):

Pirinç. 6. 8 nokta için Fourier serisinin temel fonksiyonları ayrık sinyal. Solda kosinüsler, sağda sinüsler var. Frekanslar yukarıdan aşağıya doğru artar.

Temel sinüzoidlerin birden fazla frekansı vardır. Serinin ilk terimi (k =0), adı verilen bir sabittir. sabit bileşen(DC ofset) sinyali. İlk sinüzoid (k = 1), periyodu orijinal sinyalin periyoduyla çakışacak şekilde bir frekansa sahiptir. En yüksek frekans bileşeni (k =N /2), periyodu iki sayıma eşit olacak şekilde bir frekansa sahiptir. KatsayılarA k ve

Bk'ye sinyal spektrumu (spektrum) denir. Si-nin genliklerini gösterirler.

sinyali oluşturan nusoidler. Fourier açılımından iki bitişik sinüzoid arasındaki frekans adımına denir. frekans çözünürlüğü spektrum

Şek. Şekil 6, 8 noktadan ayrı bir sinyali ayrıştırmak için kullanılan sinüzoidleri göstermektedir. Sinüzoidlerin her biri 8 noktadan oluşur, yani sıradan bir ayrık sinyaldir. Açıklık sağlamak amacıyla sürekli sinüzoidler şekilde gösterilmiştir.

Her noktadaki Fourier serisinin toplamını hesaplayarak orijinal sinyali dönüştürün. Bir sinyali sinüzoidlere ayırmaya (yani katsayıları elde etmeye) denir. doğrudan Fourier dönüşümü. Bunun tersi olan süreç ise sinüzoidleri kullanarak sinyal sentezi olarak adlandırılır. ters Fourier dönüşümü(ters Fourier dönüşümü).

Ters Fourier dönüşümünün algoritması açıktır (Fourier serisinin formülünde bulunur; sentezi gerçekleştirmek için katsayıları yerine koymanız yeterlidir). Algoritmayı ele alalım doğrudan dönüşüm Fourier, yani. A k ve B k katsayılarını bulma.

N periyoduna sahip periyodik ayrık sinyaller uzayında togonal temel. Bu, herhangi bir uzay öğesini (sinyali) ona ayrıştırmak için hesaplamanız gerektiği anlamına gelir. nokta ürünleri bu eleman sistemin tüm fonksiyonlarıyla birlikte ve ortaya çıkan katsayılar normalize edilir. O zaman A k ve B k katsayılı temel genişleme formülü orijinal sinyal için geçerli olacaktır.

Böylece, A k ve B k katsayıları skaler çarpımlar olarak hesaplanır (olmayanlarda)

süreksiz durumda - fonksiyonların çarpımının integralleri, ayrık durumda

– ayrık sinyallerin çarpımından elde edilen toplamlar):

ile belirtelim

satırların ve sütunların boyutunun ayrı bir görüntüsünü tanımlayan iki boyutlu bir alan (iki boyutlu sinyal). Belirtilen sınırların dışında bu sinyal tanımlanmamıştır. İki boyutlu bir periyodik sinyal ekleyerek bu sonlu sinyalin periyodik devamını gerçekleştirelim.

. (3.21)

Sinyal yalnızca elemanların kenarlarına sahip bir dikdörtgenin içinde mevcutsa (Şekil 3.4.a), o zaman sinyal tüm düzlemde tanımlanır ve üzerinde dikdörtgen periyodiktir (Şekil 3.4.b).

Herhangi bir periyodik sinyal bir Fourier serisi olarak temsil edilebilir, ancak tek boyutlu sinyallerden farklı olarak iki boyutlu sinyaller, şu şekilde olan iki boyutlu bir Fourier serisiyle tanımlanır:

Bu iki boyutlu gösterimin temel fonksiyonları iki boyutlu karmaşık üstellerdir (bazen karmaşık sinüzoidler olarak da adlandırılır)

(3.23)

sinyal gibi aynı periyoda sahip dikdörtgen bir periyodikliğe sahiptir. Burada (,) temel fonksiyonun iki boyutlu sayısıdır ve nicelikler uzaysal frekanslar anlamını taşır. Bazen tamsayı miktarlara uzaysal frekanslar denir.

(3.22) serisinin Fourier katsayıları iki boyutlu bir form oluşturur frekans spektrumu sinyaldir ve doğrudan Fourier dönüşümü formülüyle belirlenir:

(3.24)

Sinyali spektrumundan geri getiren ifade (3.22), ters Fourier dönüşümüdür. İki boyutlu DFT olarak adlandırılan (3.22) ve (3.24) dönüşümlerinin geçerliliği, (3.24)'ün (3.22)'ye yerleştirilmesi ve getirilmesiyle doğrulanabilir. sağ taraf sonuçta ortaya çıkan soldaki değere eşitlik, yani. İle .

FFT formüllerine göre iki boyutlu eleman periyoduna sahip ayrı bir sinyalin doğru bir şekilde temsil edilmesi için sonlu sayıda temel fonksiyonun (3.23) yeterli olduğuna dikkat edin - seri (3.22) sonludur. Temsil edilen sinyalin kendisi bir periyotta yer aldığından bu anlaşılabilir bir durumdur. son sayı puanlar, yani sınırlı sayıda serbestlik derecesine sahiptir. Spektrumdaki serbestlik derecesi sayısının sinyalin kendisindeki serbestlik derecesi sayısından farklı olamayacağı açıktır.

İki boyutlu ayrık Fourier spektrumunun en temel özellikleri üzerinde duralım. Frekans noktalarındaki spektral katsayıları (3.24) hesaplayalım. :

Çünkü herhangi bir tamsayı değeri ve ortaya çıkan ifadedeki son faktör için bire eşit, o zaman eşitliği elde ederiz:

,

iki boyutlu DFT'nin dikdörtgen periyodikliğini belirtir. Sonuç olarak, iki boyutlu bir DFT'nin resmi, niteliksel olarak Şekil 2'de gösterilen iki boyutlu periyodik olarak sürekli bir sinyalin resmine benzer. 3.4.b (üzerindeki uzaysal koordinatlar frekans koordinatlarıyla değiştirilirse). Bununla birlikte, (3.24)'ten takip edildiği gibi spektral katsayıların, gerçek bir sinyal de dahil olmak üzere karmaşık sayılar olduğu akılda tutulmalıdır. Ama sonra soru ortaya çıkıyor. Spektral bileşenlerin toplam sayısı şu şekilde bulunmuştur: Karmaşık bir sayı, bir çift gerçek sayıya (cebirsel gösterimde gerçek ve sanal kısımlar veya üstel gösterimde modül ve faz) eşdeğerdir. Bu nedenle, tam spektrum açıklanmıştır gerçek sayılar Bu, sinyalin kendisinin iki katı boyutundadır. İlk bakışta bu bir çelişki içeriyor. İki boyutlu DFT'nin özelliklerinin daha fazla incelenmesiyle açıklamasını bulur.

(3.25) bağıntısını aşağıdaki gibi dönüştürelim. Öncelikle frekanslar yerine frekansları koyalım. İkinci olarak, eşitliği ihlal etmeyecek şekilde her iki parçanın karmaşık bir çekimini gerçekleştireceğiz. Sonuç olarak şu ifadeyi elde etmek kolaydır:

,

Bu, spektral dikdörtgenin iki farklı noktasındaki spektral katsayılar arasında kesin bir bağlantı kurar. Ortaya çıkan ilişki çelişkiyi ortadan kaldırır çünkü bu spektral simetri nedeniyle bağımsız spektral katsayıların sayısı yarı yarıya azalır. Belirlenen özelliğe göre dikdörtgenin sol üst ve sağ alt köşelerine ait spektral katsayılar, spektral eşlenik bağımlılığı ile birbirine bağlıdır. Benzer şekilde spektral dikdörtgenin sağ üst ve sol alt bölümlerine ait Fourier katsayıları da birbiriyle ilişkilidir.

Bu paragrafın sonunda şunu belirtiyoruz: pratik uygulama iki boyutlu DFT - hem doğrudan hem de ters, dönüşümler (3.22) ve (3.24) tarafından varsayıldığı gibi periyodik sinyaller ve spektrumlarla çalışmaya gerek yoktur. (3.22) ve (3.24) bağıntılarının kendisi bu ihtiyacı ortadan kaldırır. Aslında, doğrudan Fourier dönüşümü (3.24), sağ tarafta periyodik olarak devam eden sinyalin değerlerini yalnızca bir "ana" dikdörtgen içinde içerir. Ancak bu sınırlar dahilinde orijinal ve periyodik olarak devam eden sinyaller tamamen çakışmaktadır, bu da formül (3.24)'teki orijinal sinyalin kullanılmasını mümkün kılmaktadır. Ters dönüşüm (3.22) ile ilgili olarak da benzer açıklamalar yapılabilir; bundan pratik olarak hesaplama sürecinde kişinin spektrumun "ana" kısmı ile ilgili olarak çalışması gerektiği sonucu çıkar. spektral bölge.

Yalnızca tamamen hesaplamaya dayalı önemi olan yapılan açıklamalardan, dikkate alınanın yapaylığı ve yararsızlığı hakkında bir sonuca varılmamalıdır. matematiksel modeller periyodik alanlar. Görüntüleri işlerken çok sayıda problem ortaya çıkar ve bunların doğru yorumlanması ve çözümü ancak bu matematiksel yorumlara dayanarak mümkündür. Bunlardan biri en önemli görevler uygulanması sözde döngüsel evrişimin uygulanmasıyla ilişkili olan spektral alanda dijital iki boyutlu filtrelemedir.

Modern iletişim teknolojisi olmadan hayal edilemez spektral analiz. Sinyallerin temsili frekans alanı hem özelliklerinin analizi hem de radyo iletişim sistemlerinin alıcı-verici bloklarının ve birimlerinin analizi için gereklidir. Sinyalleri frekans alanına dönüştürmek için doğrudan Fourier dönüşümü kullanılır. Doğrudan Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Frekans analizi için bu formülden de anlaşılacağı üzere hesaplama yapılmaktadır. korelasyon bağımlılığı zaman alanında temsil edilen bir sinyal ile belirli bir frekanstaki karmaşık bir üstel arasında. Bu durumda Euler formülüne göre karmaşık üstel, gerçek ve sanal kısımlara ayrıştırılır:

Frekans alanında temsil edilen bir sinyal, ters Fourier dönüşümü kullanılarak tekrar zaman alanına dönüştürülebilir. Ters Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Doğrudan Fourier dönüşümü formülü, eksi sonsuzdan sonsuza kadar zaman entegrasyonunu kullanır. Doğal olarak bu matematiksel bir soyutlamadır. İÇİNDE gerçek koşullarşuradan entegre edebiliriz: şu anda 0 olarak gösterebileceğimiz zaman, T zamanından öncedir. Direkt Fourier dönüşümünün formülü aşağıdaki forma dönüştürülecektir:

Sonuç olarak Fourier dönüşümünün özellikleri önemli ölçüde değişir. Bunun yerine sinyal spektrumu sürekli fonksiyon ayrı bir değerler dizisi haline gelir. Şimdi minimum frekans ve aynı zamanda sinyal spektrumunun frekans değerlerinin adımı şöyle olur:

Sadece işlevler günah ve çünkü frekanslarla k/t karşılıklı dik olacak ve bu Fourier dönüşümü için vazgeçilmez bir koşuldur. Fourier serisi açılımının ilk fonksiyonlarının seti Şekil 1'de gösterilmektedir. Bu durumda fonksiyonların süresi analizin süresine denk gelir. T.

Şimdi sinyal spektrumu Şekil 2'de gösterildiği gibi görünecektir.

İÇİNDE bu durumda doğrudan Fourier dönüşümünü (4) hesaplama formülü aşağıdaki forma dönüştürülür:

Spektrumun sınırlı bir süre boyunca belirlenmesi durumunda ters Fourier dönüşümünün formülü şöyle görünecektir:

Benzer şekilde dijital sinyal örnekleri için doğrudan Fourier dönüşümünün formülünü belirleyebilirsiniz. Sürekli bir sinyal yerine dijital örneklerinin kullanıldığı göz önüne alındığında, ifade (6)'da integralin yerini bir toplam alır. Bu durumda analiz edilen sinyalin süresi dijital örneklerin sayısına göre belirlenir. N. Dijital sinyal örnekleri için Fourier dönüşümüne ayrık Fourier dönüşümü denir. ve şu şekilde yazılır:

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünün (DFT) özelliklerinin sınırlı bir zaman aralığı boyunca doğrudan Fourier dönüşümüne kıyasla nasıl değiştiğine bakalım. Analog sinyal örneklemeye baktığımızda giriş sinyali spektrumunun frekans sınırlı olması gerektiğini öğrendik. Bu gereklilik, sinyal spektrumunun ayrık bileşenlerinin sayısını sınırlar. Başlangıçta sinyalin spektrumunu frekansla sınırlayabiliyormuşuz gibi görünebilir. F d/2, frekans bileşenlerinin sayısına karşılık gelir K=N/2. Ancak bu doğru değil. Pozitif frekanslar ve negatif frekanslar için gerçek sinyal örneklerinin sinyal spektrumu 0 civarında simetrik olmasına rağmen, bazı spektrum algoritmaları için negatif frekanslar gerekebilir. Giriş sinyalinin karmaşık örnekleri üzerinde ayrık bir Fourier dönüşümü gerçekleştirilirken fark daha da büyüktür. Sonuç olarak tam açıklama dijital sinyal spektrumu gerekli N frekans örnekleri ( k = 0, ..., N/2).

Her şeyin olduğuna inanıyorum genel taslak Fourier dönüşümü gibi harika bir matematik aracının varlığından haberdarız. Ancak bazı nedenlerden dolayı üniversitelerde o kadar zayıf öğretiliyor ki, bu dönüşümün nasıl çalıştığını ve nasıl doğru kullanılması gerektiğini nispeten az sayıda kişi anlıyor. Bu arada bu dönüşümün matematiği şaşırtıcı derecede güzel, basit ve zariftir. Herkesi Fourier dönüşümü ve ilgili konu hakkında biraz daha bilgi edinmeye davet ediyorum. analog sinyaller hesaplamalı işleme için etkili bir şekilde dijital olanlara dönüştürülebilir.

Faydası yok karmaşık formüller ve Matlab ile aşağıdaki soruları cevaplamaya çalışacağım:

• FT, DTF, DTFT - farklar nelerdir ve görünüşte tamamen farklı formüller kavramsal olarak bu kadar benzer sonuçları nasıl veriyor?
• Sonuçların doğru şekilde yorumlanması hızlı dönüşüm Fourier (FFT)
• Size 179 örneklik bir sinyal verilirse ve FFT, uzunlukta bir giriş dizisi gerektiriyorsa ne yapmalısınız? eşit olarak ikililer
• Fourier kullanarak bir sinüzoidin spektrumunu elde etmeye çalışırken neden beklenen tek "çubuk" yerine grafikte garip bir dalgalı çizgi beliriyor ve bu konuda ne yapılabilir?
• Analog filtreler neden ADC'den önce ve DAC'den sonra yerleştiriliyor?
• Örnekleme frekansının yarısından daha yüksek bir frekansa sahip bir ADC sinyalini dijitalleştirmek mümkün müdür (okul cevabı yanlış, doğru cevap mümkündür)
• Dijital dizi kullanılarak orijinal sinyal nasıl geri yüklenir

Okuyucunun bir integralin ne olduğunu, karmaşık bir sayıyı (modülü ve argümanının yanı sıra), fonksiyonların evrişimini ve ayrıca Dirac delta fonksiyonunun ne olduğuna dair en azından "uygulamalı" bir fikri anladığı varsayımından yola çıkacağım. öyle. Bilmiyorsanız sorun değil, yukarıdaki bağlantıları okuyun. “Fonksiyonların çarpımı” altında bu metin Her yerde “noktasal çarpma”yı anlayacağım

Muhtemelen şu gerçeğiyle başlamalıyız: normal dönüşüm Fourier, isminden de tahmin edebileceğiniz gibi, bazı fonksiyonları diğerlerine dönüştüren, yani gerçek bir x(t) değişkeninin her fonksiyonunu kendi spektrumu veya Fourier görüntüsü y(w) ile ilişkilendiren bir şeydir:

Analojiler verirsek, anlam bakımından benzer bir dönüşümün örneği, örneğin farklılaşma, bir fonksiyonun türevine dönüştürülmesi olabilir. Yani, Fourier dönüşümü esasen türev alma işlemiyle aynı işlemdir ve sıklıkla şu şekilde gösterilir: benzer şekilde işlevin üzerine üçgen bir "başlık" çizerek. Fourier dönüşümü, gerçel sayılar için de tanımlanabilen farklılaşmanın aksine, daha genel karmaşık sayılarla her zaman "çalışır". Bu nedenle, bu dönüşümün sonuçlarının görüntülenmesinde her zaman sorunlar vardır, çünkü karmaşık sayılar bir değil iki koordinat tarafından belirlenir gerçek sayılar grafikler. Kural olarak en uygun yol, karmaşık sayıları bir modül ve bir argüman biçiminde temsil etmek ve bunları iki ayrı grafik olarak ayrı ayrı çizmektir:

Karmaşık değer argümanının grafiğine bu durumda sıklıkla "faz spektrumu" adı verilir ve modülün grafiğine genellikle "genlik spektrumu" denir. Genlik spektrumu genellikle daha fazla ilgi çeker ve bu nedenle spektrumun "faz" kısmı sıklıkla atlanır. Bu yazımızda “genlik” konusuna da odaklanacağız ancak grafiğin eksik faz kısmının varlığını da unutmamak gerekiyor. Ek olarak, alışılagelmiş karmaşık değer modülü yerine sıklıkla çizilir ondalık logaritma 10 ile çarpılır. Sonuç, değerlerin desibel (dB) cinsinden görüntülendiği logaritmik bir grafiktir.

Lütfen çok fazla olmadığını unutmayın negatif sayılar logaritmik grafik (-20 dB veya daha az) pratik olarak karşılık gelir sıfır sayılar“normal” grafikte. Bu nedenle, bu tür grafiklerdeki çeşitli spektrumların uzun ve geniş "kuyrukları", kural olarak "sıradan" koordinatlarda görüntülendiğinde pratikte ortadan kaybolur. İlk bakışta bu kadar garip bir temsilin rahatlığı, Fourier görüntülerinin çeşitli işlevlerçoğu zaman kendi aralarında çoğalmak gerekir. Karmaşık değerli Fourier görüntülerinin bu şekilde noktasal olarak çoğaltılmasıyla, bunların faz spektrumları eklenir ve genlik spektrumları çarpılır. Birincisini yapmak kolaydır, ikincisi ise nispeten zordur. Ancak genliklerin logaritmaları genlikler çarpıldığında toplanır, yani logaritmik grafikler genlikler, faz grafikleri gibi, basitçe noktadan noktaya eklenebilir. Ayrıca, pratik problemler Sinyalin "genliğiyle" değil, "gücüyle" (genliğin karesi) çalışmak genellikle daha uygundur. Açık logaritmik ölçek her iki grafik de (genlik ve güç) aynı görünür ve yalnızca katsayı bakımından farklılık gösterir - güç grafiğindeki tüm değerler, genlik ölçeğindeki değerlerin tam olarak iki katıdır. Buna göre, güç dağılımını frekansa göre (desibel cinsinden) çizmek için hiçbir şeyin karesini alamazsınız, ancak ondalık logaritmayı hesaplayıp 20 ile çarpabilirsiniz.

Sıkıldın mı? Biraz daha bekleyin, yazının grafiklerin nasıl yorumlanacağını anlatan sıkıcı kısmını yakında bitireceğiz :). Ama ondan önce şunu çok iyi anlamalısınız: önemli şey: Yukarıdaki spektrum grafiklerinin tümü bazı sınırlı değer aralıkları (özellikle pozitif sayılar) için çizilmiş olsa da, bu grafiklerin tümü aslında artı ve eksi sonsuza doğru devam etmektedir. Grafikler basitçe grafiğin bazı "en anlamlı" kısımlarını gösterir ve bu kısım genellikle yansıtılır. negatif değerler parametredir ve daha büyük ölçekte ele alındığında sıklıkla belirli bir adımla periyodik olarak tekrarlanır.

Grafiklerde neyin çizildiğine karar verdikten sonra Fourier dönüşümünün kendisine ve özelliklerine dönelim. Birkaç tane var farklı yollar küçük detaylarda farklılık gösteren (farklı normalizasyonlar) bu dönüşümün nasıl belirleneceği. Örneğin üniversitelerimizde spektrumu açısal frekans (saniyedeki radyan) cinsinden tanımlayan Fourier dönüşümünün normalizasyonunu sıklıkla kullanıyorlar. Spektrumu sıradan frekans (hertz) cinsinden tanımlayan daha uygun bir Batı formülasyonu kullanacağım. Doğrudan ve ters dönüşüm Bu durumda Fourier soldaki formüllerle belirlenir ve bu dönüşümün ihtiyaç duyacağımız bazı özellikleri sağdaki yedi noktanın listesiyle belirlenir:

Bu özelliklerden ilki doğrusallıktır. Fonksiyonların bazı doğrusal kombinasyonlarını alırsak, bu kombinasyonun Fourier dönüşümü, bu fonksiyonların Fourier görüntülerinin aynı doğrusal kombinasyonu olacaktır. Bu özellik azaltmanıza olanak tanır karmaşık işlevler ve Fourier'leri daha basit olanlara dönüşür. Örneğin, frekansı f ve genliği a olan sinüzoidal bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, f ve -f noktalarında bulunan ve a/2 katsayısına sahip iki delta fonksiyonunun birleşimidir:

Farklı frekanslara sahip bir dizi sinüzoidin toplamından oluşan bir fonksiyon alırsak, o zaman doğrusallık özelliğine göre, bu fonksiyonun Fourier dönüşümü karşılık gelen bir delta fonksiyonları setinden oluşacaktır. Bu, "bir fonksiyonun spektrumunda frekans f, a genliğine karşılık geliyorsa, o zaman orijinal fonksiyon, biri şu şekilde olacak olan sinüzoidlerin toplamı olarak temsil edilebilir" ilkesine göre spektrumun naif ama görsel bir yorumunu vermemize olanak tanır. frekansı f ve genliği 2a olan bir sinüzoid.” Kesin olarak konuşursak, bu yorum yanlıştır, çünkü delta fonksiyonu ve grafikteki nokta tamamen farklı şeylerdir, ancak daha sonra göreceğimiz gibi, ayrık Fourier dönüşümleri için gerçeklerden o kadar da uzak olmayacaktır.

Fourier dönüşümünün ikinci özelliği, genlik spektrumunun sinyalin zaman kaymasından bağımsız olmasıdır. Bir fonksiyonu x ekseni boyunca sola veya sağa hareket ettirirsek yalnızca faz spektrumu değişecektir.

Üçüncü özellik, orijinal fonksiyonun zaman ekseni (x) boyunca uzatılmasının (sıkıştırılmasının), Fourier görüntüsünü frekans ölçeği (w) boyunca orantılı olarak sıkıştırmasıdır (uzatmasıdır). Özellikle, sonlu süreli bir sinyalin spektrumu her zaman sonsuz genişliktedir ve bunun tersine, sonlu genişlikteki spektrum her zaman sınırsız süreli bir sinyale karşılık gelir.

Dördüncü ve beşinci özellikler belki de en kullanışlı olanlardır. Fonksiyonların evrişimini Fourier görüntülerinin noktasal çarpımına ve bunun tersini, yani fonksiyonların noktasal çarpımını Fourier görüntülerinin evrişimine indirgemeyi mümkün kılarlar. Biraz ileride bunun ne kadar kullanışlı olduğunu göstereceğim.

Altıncı özellik Fourier görüntülerinin simetrisinden bahseder. Özellikle, bu özellikten, gerçek değerli bir fonksiyonun (yani herhangi bir "gerçek" sinyalin) Fourier dönüşümünde şu sonuç çıkar: genlik spektrumu her zaman eşit işlev ve faz spektrumu (eğer -pi...pi aralığına getirilirse) tektir. Bu nedenle spektrumlar neredeyse hiçbir zaman grafiklere çizilmez. olumsuz kısım spektrum - gerçek değerli sinyaller için herhangi bir şey sağlamaz yeni bilgi(ama tekrar ediyorum, o da sıfır değil).

Son olarak, son yedinci özellik, Fourier dönüşümünün sinyalin "enerjisini" koruduğunu söylüyor. Yalnızca enerjisi sonlu olan sonlu süreli sinyaller için anlamlıdır ve bu tür sinyallerin spektrumunun sonsuzda hızla sıfıra yaklaştığını öne sürer. Tam olarak bu özellik nedeniyle spektrum grafikleri genellikle sinyalin yalnızca enerjiden aslan payını taşıyan "ana" kısmını gösterir - grafiğin geri kalanı basitçe sıfıra eğilimlidir (ancak yine sıfır değildir).

Bu 7 özellikle donanmış olarak, sürekli bir sinyali bir sayı dizisine dönüştürmemize olanak tanıyan sinyal "sayısallaştırma" matematiğine bakalım. Bunu yapmak için “Dirac tarağı” olarak bilinen bir işlevi almamız gerekiyor:

Bir Dirac tarağı, sıfırdan başlayıp T adımıyla devam eden, birlik katsayılı delta fonksiyonlarının periyodik bir dizisidir. Sinyallerin sayısallaştırılması için T, mümkün olduğu kadar küçük bir sayı olarak seçilir, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Sürekli bir fonksiyon yerine, böyle bir çarpma sonrasında belirli bir yükseklikte bir dizi delta darbesi elde edilir. Ayrıca, Fourier dönüşümünün 5. özelliğine göre, elde edilen ayrık sinyalin spektrumu, orijinal spektrumun karşılık gelen Dirac tarağı ile bir evrişimidir. Evrişimin özelliklerine dayanarak, orijinal sinyalin spektrumunun, frekans ekseni boyunca 1/T'lik bir adımla sonsuz sayıda "kopyalandığını" ve sonra toplandığını anlamak kolaydır.

Orijinal spektrumun sonlu bir genişliği varsa ve yeterince yüksek bir örnekleme frekansı kullandıysak, orijinal spektrumun kopyalarının üst üste gelmeyeceğini ve bu nedenle birbirleriyle toplanmayacağını unutmayın. Böyle "çökmüş" bir spektrumdan orijinali geri yüklemenin kolay olacağını anlamak kolaydır - spektrum bileşenini sıfır bölgesinde almak, sonsuza giden ekstra kopyaları "kesmek" yeterli olacaktır. Bunu yapmanın en basit yolu, spektrumu -1/2T...1/2T aralığında T'ye ve bu aralığın dışında sıfıra eşit dikdörtgen bir fonksiyonla çarpmaktır. Böyle bir Fourier dönüşümü sinc(Tx) fonksiyonuna karşılık gelir ve özellik 4'e göre böyle bir çarpma, delta fonksiyonlarının orijinal dizisinin sinc(Tx) fonksiyonu ile evrişimine eşdeğerdir.

Yani, Fourier dönüşümünü kullanarak, orijinal sinyali zaman örneklenmiş bir sinyalden kolayca yeniden yapılandırmanın bir yoluna sahibiz; bu, en az iki katı bir örnekleme frekansı kullanmamız koşuluyla çalışır (spektrumdaki negatif frekansların varlığı nedeniyle). orijinal sinyalde mevcut olan maksimum frekanstan daha yüksektir. Bu sonuç yaygın olarak bilinmektedir ve “Kotelnikov/Shannon-Nyquist teoremi” olarak adlandırılmaktadır. Ancak artık fark edilmesi kolay olduğundan (kanıtın anlaşılması), bu sonuç, yaygın yanılgıların aksine, yeterli, ama değil gerekli Orijinal sinyali geri yükleme koşulu. İhtiyacımız olan tek şey, sinyali örnekledikten sonra spektrumun bizi ilgilendiren kısmının birbiriyle örtüşmemesini sağlamak ve eğer sinyal yeterince dar bant ise (spektrumun sıfır olmayan kısmının küçük bir "genişliğine" sahipse), bu durumda bu sonuç genellikle sinyalin maksimum frekansının iki katından çok daha düşük bir örnekleme frekansında elde edilebilir. Bu tekniğe "alt örnekleme" (alt örnekleme, bant geçiren örnekleme) denir ve her türlü radyo sinyalinin işlenmesinde oldukça yaygın olarak kullanılır. Örneğin, 88 ila 108 MHz frekans bandında çalışan bir FM radyoyu alırsak, onu dijitalleştirmek için Kotelnikov teoreminin varsaydığı 216 MHz yerine yalnızca 43,5 MHz frekansına sahip bir ADC kullanabiliriz. Ancak bu durumda yüksek kaliteli bir ADC'ye ve iyi bir filtreye ihtiyacınız olacaktır.

Yüksek frekansların daha düşük frekanslarla "çoğaltılmasının" (takma ad), sonucu geri dönülemez şekilde "bozan" sinyal örneklemenin doğrudan bir özelliği olduğunu belirtmeme izin verin. Bu nedenle, eğer sinyal prensip olarak yüksek dereceli frekanslar içeriyorsa (yani neredeyse her zaman), ADC'nin önüne bir analog filtre yerleştirilir ve gereksiz her şey doğrudan orijinal sinyalde "kesilir" (çünkü örneklemeden sonra) bunu yapmak için çok geç olacak). Analog cihazlar olarak bu filtrelerin özellikleri ideal değildir, bu nedenle sinyalde bir miktar "hasar" meydana gelir ve pratikte bundan spektrumdaki en yüksek frekansların kural olarak güvenilmez olduğu sonucu çıkar. Bu sorunu azaltmak için, sinyal genellikle aşırı örneklenir, giriş analog filtresi daha düşük bir bant genişliğine ayarlanır ve ADC'nin teorik olarak mevcut frekans aralığının yalnızca alt kısmı kullanılır.

Bu arada bir diğer yaygın yanılgı da DAC çıkışındaki sinyalin "adımlar" halinde çekilmesidir. "Adımlar", T genişliğinde ve 1 yüksekliğinde dikdörtgen bir fonksiyona sahip örneklenmiş bir sinyal dizisinin evrişimine karşılık gelir:

Bu dönüşümün sinyal spektrumu, bu dikdörtgen fonksiyonun Fourier görüntüsü ile çarpılır ve benzer bir dikdörtgen fonksiyon için yine sinc(w) olur, karşılık gelen dikdörtgenin genişliği ne kadar fazla olursa "uzar". Böyle bir “DAC” ile örneklenen sinyalin spektrumu bu spektrum ile nokta nokta çarpılır. Bu durumda, spektrumun "ekstra kopyalarına" sahip gereksiz yüksek frekanslar tamamen kesilmez, aksine spektrumun "yararlı" kısmının üst kısmı zayıflatılır.

Pratikte elbette bunu kimse yapmıyor. Bir DAC oluşturmak için birçok farklı yaklaşım vardır, ancak anlam olarak ağırlıklandırma tipi bir DAC'ye en yakın olsa bile, DAC'deki dikdörtgen darbeler, tam tersine, mümkün olduğu kadar kısa olacak şekilde seçilir (deltanın gerçek dizisine yaklaşık olarak). Spektrumun yararlı kısmının aşırı bastırılmasını önlemek için işlevler). Ortaya çıkan geniş bant sinyalindeki "ekstra" frekanslar, sinyalin bir analog alçak geçiş filtresinden geçirilmesiyle neredeyse her zaman iptal edilir, böylece dönüştürücünün "içinde" veya özellikle çıkışında "dijital adımlar" olmaz.

Ancak Fourier dönüşümüne geri dönelim. Önceden örneklenmiş bir sinyal dizisine uygulanan yukarıda açıklanan Fourier dönüşümüne Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT) adı verilir. Böyle bir dönüşümle elde edilen spektrum her zaman 1/T-periyodiktir, dolayısıyla DTFT spektrumu tamamen ) ), $$ aralığındaki değerleri ile belirlenir.

ve ters dönüşüm

$$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$

Görüntü işleme durumunda, iki boyutlu Fourier dönüşümünün bileşenlerine $\textit(uzaysal frekanslar)$ adı verilir.

İki boyutlu Fourier dönüşümünün önemli bir özelliği, onu tek boyutlu FFT prosedürünü kullanarak hesaplama yeteneğidir:

$$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M)))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$

Burada köşeli parantez içindeki ifade, veri matrisinin bir satırının tek boyutlu FFT ile gerçekleştirilebilen tek boyutlu dönüşümüdür. Bu nedenle, iki boyutlu bir Fourier dönüşümü elde etmek için öncelikle tek boyutlu satır dönüşümlerinin hesaplanması, sonuçların orijinal matrise yazılması ve elde edilen matrisin sütunları için tek boyutlu dönüşümlerin hesaplanması gerekir. İki boyutlu Fourier dönüşümünü hesaplarken, düşük frekanslar matrisin köşelerinde yoğunlaşacaktır ve bu, alınan bilginin daha fazla işlenmesi için pek uygun değildir. Düşük frekansların matrisin merkezinde yoğunlaştığı bir 2D Fourier dönüşümü temsilini elde etmek amacıyla çeviri yapmak için gerçekleştirilebilecek basit bir prosedür, orijinal verileri $-1^(m+n)$ ile çarpmaktır.

Şek. Şekil 16 orijinal görüntüyü ve onun Fourier dönüşümünü göstermektedir.

Yarım ton görüntüsü ve Fourier dönüşümü (LabVIEW sisteminde elde edilen görüntüler)

Fourier dönüşümü kullanılarak evrişim.

$s(t)$ ve $r(t)$ fonksiyonlarının evrişimi şu şekilde tanımlanır:

$$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$

Pratikte, sürekli fonksiyonların tek tip bir ızgaranın düğümlerindeki değer kümeleriyle değiştirildiği ayrık evrişimle uğraşmak zorundayız (genellikle bir tamsayı ızgara alınır):

$$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$

Burada $-N$ ve $P$, $r(t) = 0$'ın ötesindeki aralığı tanımlar.

Fourier dönüşümünü kullanarak evrişimi hesaplarken, frekans alanındaki fonksiyonların görüntülerinin çarpımının bu fonksiyonların zaman alanındaki evrişimine eşdeğer olduğu Fourier dönüşümünün özelliği kullanılır.

Uzlaştırmayı hesaplamak için, orijinal verileri frekans alanına dönüştürmek, yani Fourier dönüşümünü hesaplamak, dönüşümün sonuçlarını çarpmak ve orijinal gösterimi geri yükleyerek ters Fourier dönüşümünü gerçekleştirmek gerekir.

Algoritmanın işleyişindeki tek incelik, ayrık bir Fourier dönüşümü durumunda (sürekli olanın aksine), iki periyodik fonksiyonun kıvrımlı olması, yani değer kümelerimizin tam olarak Bu fonksiyonların periyotları ve yalnızca eksenin ayrı bir bölümündeki değerler değil. Yani, algoritma $x_(N )$ noktasının ardından sıfırın değil, bir daire içinde $x_(0)$ noktasının geldiğine ve bu şekilde devam ettiğine inanır. Bu nedenle evrişimin doğru hesaplanabilmesi için sinyale yeterince uzun bir sıfır dizisi atamak gerekir.

Görüntülerin frekans alanında filtrelenmesi.

Doğrusal filtreleme yöntemleri, hızlı evrişim algoritmalarına ve spektral analize dayalı verimli hesaplama şemalarının geliştirildiği iyi yapılandırılmış yöntemler arasındadır. Genel olarak doğrusal filtreleme algoritmaları formun dönüşümünü gerçekleştirir

$$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$

burada $K(\zeta ,\eta)$ doğrusal dönüşümün çekirdeğidir.

Sinyalin ayrık bir temsiliyle, bu formüldeki integral, belirli bir açıklık içindeki orijinal görüntünün örneklerinin ağırlıklı toplamına dönüşür. Bu durumda, $K(\zeta ,\eta)$ çekirdeğinin bir veya başka bir optimallik kriterine göre seçilmesi, bir dizi yararlı özelliğe yol açabilir (bir görüntünün sayısal farklılaşması problemini düzenlerken Gauss yumuşatma, vb.) .

Doğrusal işleme yöntemleri en etkili şekilde frekans alanında uygulanır.

Filtreleme işlemlerini gerçekleştirmek için bir görüntünün Fourier dönüşümünün kullanılması, öncelikle bu tür işlemlerin daha yüksek performansından kaynaklanmaktadır. Tipik olarak ileri ve ters 2D Fourier dönüşümlerini gerçekleştirmek ve filtrenin Fourier görüntüsünün katsayılarıyla çarpmak, orijinal görüntüde 2D evrişim gerçekleştirmekten daha az zaman alır.

Frekans alanı filtreleme algoritmaları evrişim teoremine dayanmaktadır. 2 boyutlu durumda, evrişim dönüşümü şöyle görünür:

$$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$

burada $G$ evrişim sonucunun Fourier dönüşümüdür, $H$ filtrenin Fourier dönüşümüdür ve $F$ orijinal görüntünün Fourier dönüşümüdür. Yani, frekans alanında, iki boyutlu evrişimin yerini, orijinal görüntünün ve karşılık gelen filtrenin görüntülerinin öğe bazında çarpımı alır.

Evrişimi gerçekleştirmek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Fourier görüntüsünü ortalamak için orijinal görüntünün öğelerini $-1^(m+n)$ ile çarpın.
2. $F(u,v)$'nin Fourier görüntüsünü FFT kullanarak hesaplayın.
3. Fourier görüntüsünü $F(u,v)$ frekans filtresi fonksiyonu $H(u,v)$ ile çarpın.
4. Ters Fourier dönüşümünü hesaplayın.
5. Ters dönüşümün gerçek kısmını $-1^(m+n)$ ile çarpın.

Frekans alanındaki filtre fonksiyonu ile uzaysal alan arasındaki ilişki, evrişim teoremi kullanılarak belirlenebilir.

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \sağ), $$

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\sağ). $$

Bir fonksiyonun dürtü fonksiyonuna sahip evrişimi şu şekilde temsil edilebilir:

$$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\sağ)=s(x_0 ,y_0). $$

Darbe fonksiyonunun Fourier dönüşümü

$$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ left((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$

$f(x,y) = \delta (x,y)$ olsun, sonra evrişim

$$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$

$$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$

Bu ifadelerden, frekans ve uzaysal alanlardaki filtre fonksiyonlarının Fourier dönüşümü yoluyla birbiriyle ilişkili olduğu açıktır. Frekans alanındaki belirli bir filtre fonksiyonu için, ters Fourier dönüşümünü uygulayarak uzaysal alanda karşılık gelen bir filtreyi bulmak her zaman mümkündür. Aynı durum ters durum için de geçerlidir. Bu ilişkiyi kullanarak uzaysal doğrusal filtrelerin sentezi için bir prosedür tanımlamak mümkündür.

1. Filtrenin gerekli özelliklerini (şeklini) frekans alanında belirliyoruz.
2. Ters Fourier dönüşümünü gerçekleştiriyoruz.
3. Ortaya çıkan filtre, uzaysal evrişim için bir maske olarak kullanılabilir ve maskenin boyutu, orijinal filtrenin boyutuna kıyasla azaltılabilir.

($\textit(İdeal alçak geçiren filtre)$) $H(u,v)$ şu şekle sahiptir: $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$ $$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$ где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости.

($\textit(İdeal yüksek geçiş filtresi)$), ideal alçak geçiş filtresinin ters çevrilmesiyle elde edilir:

$$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$

Burada düşük frekanslı bileşenler tamamen bastırılırken yüksek frekanslı bileşenler korunur. Bununla birlikte, ideal bir alçak geçişli filtre durumunda olduğu gibi, bunun kullanımı da önemli ölçüde distorsiyon görünümüyle doludur.

Filtreleri minimum bozulmayla sentezlemek için çeşitli yaklaşımlar kullanılır. Bunlardan biri üstel tabanlı filtre sentezidir. Bu tür filtreler, ortaya çıkan görüntüye minimum düzeyde bozulma katar ve frekans alanında sentez için uygundur.

Gerçek Gauss fonksiyonuna dayanan bir filtre ailesi, görüntü işlemede yaygın olarak kullanılmaktadır.

$\textit(Alçak geçiren Gauss filtresi)$ şu şekle sahiptir:

$$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( ve ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$

Frekans alanındaki filtre profili ne kadar darsa ($\sigma $ ne kadar büyükse), uzaysal alanda o kadar geniştir.

($\textit(Yüksek Geçişli Gauss Filtresi)$) şu forma sahiptir:

$$ h\left(x \sağ)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \sağ)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$

$$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$

İki boyutlu durumda ($\it(alçak geçiş)$), Gauss filtresi şuna benzer:

$$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

($\it(Yüksek Geçiş)$) Gauss filtresi şu şekildedir:

$$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

Frekans alanında (Şekil 17 - 22) bir görüntü filtreleme örneğini (Şekil 1) ele alalım. Bir görüntünün frekans filtrelemesinin hem yumuşatma ($\textit(alçak geçişli filtreleme)$) hem de konturları ve küçük boyutlu nesneleri vurgulama ($\textit(yüksek geçişli filtreleme)$) anlamına gelebileceğini unutmayın.

Şekil 2'den görülebileceği gibi. Şekil 17, 19'da, görüntünün düşük frekanslı bileşeninde filtreleme "gücü" arttıkça, görüntünün "görünür odak dışılığının" veya $\it(blur)$ etkisi giderek daha belirgin hale gelir. Aynı zamanda, görüntünün bilgi içeriğinin çoğu, başlangıçta yalnızca nesnelerin dış hatlarının gözlemlendiği yüksek frekanslı bileşene yavaş yavaş geçer (Şekil 18, 20 - 22).

Şimdi görüntüdeki toplam Gauss gürültüsünün (Şekil 7) varlığında yüksek geçişli ve alçak geçişli filtrelerin (Şekil 23 - 28) davranışını ele alalım.

Şekil 2'den görülebileceği gibi. Şekil 23, 25'e göre, düşük frekanslı filtrelerin ilave rastgele gürültüyü bastırma özellikleri, daha önce dikkate alınan doğrusal filtrelerin özelliklerine benzer - yeterli filtre gücüyle gürültü bastırılır, ancak bunun bedeli, konturların güçlü bir şekilde bulanıklaştırılması ve "odaklanmanın bozulmasıdır" ” tüm resmin. Gürültülü bir görüntünün yüksek frekanslı bileşeni bilgi verici olmaktan çıkar, çünkü kontur ve nesne bilgilerine ek olarak gürültü bileşeni de artık tamamen mevcuttur (Şekil 27, 28).

Gürültü prosesinin istatistiksel modelinin ve/veya görüntü iletim kanalının optik transfer fonksiyonunun bilindiği durumda frekans yöntemlerinin kullanılması en uygunudur. Yeniden yapılandırma filtresi olarak aşağıdaki formun genelleştirilmiş kontrollü filtresini ($\sigma$ ve $\mu$ parametrelerine göre) seçerek bu tür önsel verileri hesaba katmak uygundur:

$$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert) )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$

nerede 0$< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра, $P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ - стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации, $\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры плотности мощности изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик, и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации.

Doğrusal filtreleme yöntemlerinin avantajları arasında açık fiziksel anlamları ve sonuçların analiz kolaylığı yer alır. Bununla birlikte, sinyal-gürültü oranındaki keskin bir bozulma, alan gürültüsünün olası değişkenleri ve yüksek genlikli darbe gürültüsünün varlığı ile doğrusal ön işleme yöntemleri yetersiz olabilir. Bu durumda doğrusal olmayan yöntemler çok daha güçlüdür.