Klasik biyoloji modelleri şunları içerir: Biyolojik süreçlerin matematiksel modellenmesi: Ders Kitabı

Canlı sistemlerin çeşitliliğine rağmen hepsi model oluştururken dikkate alınması gereken aşağıdaki spesifik özelliklere sahiptir.

• 1. Karmaşık sistemler. Tüm biyolojik sistemler karmaşıktır, çok bileşenlidir, mekânsal olarak yapılandırılmıştır ve öğeleri bireyseldir. Bu tür sistemleri modellerken iki yaklaşım mümkündür. Birincisi toplu, fenomenolojiktir. Bu yaklaşım, bir sistemin tanımlayıcı özelliklerini (örneğin toplam tür sayısı) tanımlar ve kalite özellikleri bu miktarların zaman içindeki davranışı (kararlılık) kararlı hal, salınımların varlığı, mekansal heterojenliğin varlığı). Bu yaklaşım tarihsel olarak en eski ve karakteristik yaklaşımdır. dinamik teori nüfuslar. Başka bir yaklaşım ise ayrıntılı değerlendirme Sistemin elemanları ve bunların etkileşimleri, parametreleri açık bir fiziksel ve biyolojik anlama sahip olan bir simülasyon modelinin oluşturulması. Böyle bir model analitik araştırmaya izin vermez, ancak sistemin parçalarının iyi bir deneysel çalışmasıyla, çeşitli dış etkiler altındaki davranışının niceliksel bir tahminini verebilir.
• 2. Çoğaltma sistemleri (kendi kendini yeniden üretebilen). Bu en önemli mülk Canlı sistemler, biyolojik makromoleküllerin, hücrelerin ve organizmaların biyosentezi için inorganik ve organik maddeleri işleme yeteneklerini belirler. Fenomenolojik modellerde, bu özellik, büyüme olasılığını (sınırsız koşullarda - üstel), yerel sistemlerde durağan durumun istikrarsızlık olasılığını belirleyen otokatalitik terimlerin denklemlerinde varlığında ifade edilir ( gerekli kondisyon salınımlı ve yarı stokastik rejimlerin ortaya çıkışı) ve mekansal olarak dağıtılmış sistemlerde homojen bir durağan durumun istikrarsızlığı (uzamsal olarak homojen olmayan dağılımların ve otomatik dalga rejimlerinin durumu). Önemli rol karmaşık uzay-zamansal rejimlerin gelişiminde, bileşenlerin etkileşim süreçleri (biyokimyasal reaksiyonlar) ve hem kaotik (difüzyon) hem de yön ile ilgili transfer süreçleri rol oynar. dış kuvvetler(yer çekimi, Elektromanyetik alanlar) veya canlı organizmaların adaptif fonksiyonlarıyla (örneğin, mikrofilameptlerin etkisi altındaki hücrelerde sitoplazmanın hareketi).
• 3. Açık sistemler, madde ve enerji akışlarının sürekli olarak kendi içinden geçmesi. Biyolojik sistemler termodinamik dengeden uzaktır ve bu nedenle Doğrusal olmayan denklemler. Kuvvetleri ve akışları birbirine bağlayan doğrusal Onsager bağıntıları yalnızca termodinamik denge yakınında geçerlidir.
• 4. Biyolojik nesneler karmaşık çok seviyeli düzenleme sistemi. Biyokimyasal kinetikte bu, devrelerdeki hem pozitif hem de negatif geri besleme döngülerinin varlığında ifade edilir. Yerel etkileşim denklemlerinde geri bildirimler doğası, salınımlı ve yarı-stokastik olanlar da dahil olmak üzere karmaşık kinetik rejimlerin ortaya çıkma olasılığını ve özelliklerini belirleyen doğrusal olmayan işlevlerle tanımlanır. Bu tür doğrusal olmama, mekansal dağılım ve taşıma süreçleri dikkate alındığında, sabit yapıların (noktalar) desenlerini belirler. çeşitli şekiller, periyodik enerji tüketen yapılar) ve otomatik dalga davranışı türleri (hareketli cepheler, ilerleyen dalgalar, önde gelen merkezler, spiral dalgalar vb.).
• 5. Yaşayan sistemler karmaşık mekansal yapı. Yaşayan hücre ve içerdiği organellerin zarları vardır, her canlı organizmada bulunur büyük miktar membranlar Toplam alanı bu da onlarca hektara tekabül ediyor. Doğal olarak canlı sistemlerin içindeki ortamın homojen olduğu düşünülemez. Böyle bir şeyin ortaya çıkışı mekânsal yapı ve onun oluşum yasaları teorik biyolojinin sorunlarından birini temsil eder. Böyle bir sorunu çözmeye yönelik yaklaşımlardan biri, morfogenezin matematiksel teorisidir.

Membranlar yalnızca canlı hücrelerin farklı reaksiyon hacimlerini ayırmakla kalmaz, aynı zamanda canlıları cansızlardan (çevreden) de ayırır. Metabolizmada anahtar rol oynarlar ve seçici olarak inorganik iyonların akışına izin verirler. organik moleküller. Kloroplastların zarlarında, fotosentezin birincil işlemleri gerçekleştirilir - ışık enerjisinin yüksek enerji şeklinde depolanması kimyasal bileşikler daha sonra sentez için kullanıldı organik madde ve diğer hücre içi süreçler. Solunum sürecinin ana aşamaları mitokondri zarlarında, zarlarda yoğunlaşmıştır. sinir hücreleri sinir iletimi yeteneklerini belirler. Süreçlerin matematiksel modelleri biyolojik membranlar matematiksel biyofiziğin önemli bir bölümünü oluşturur.

Mevcut modeller çoğunlukla sistemdir diferansiyel denklemler. Ancak şurası açıktır ki sürekli modeller Bu tür bireysel ve yapılandırılmış süreçlerde meydana gelen süreçleri ayrıntılı olarak tanımlayamayız. karmaşık sistemler canlı sistemlerin neler olduğu. Bilgisayarların hesaplamalı, grafiksel ve entelektüel yeteneklerinin gelişmesiyle bağlantılı olarak, hücresel otomat modelleri de dahil olmak üzere ayrık matematik temelinde oluşturulan simülasyon modelleri, matematiksel biyofizikte giderek daha önemli bir rol oynamaktadır.

6. Belirli karmaşık yaşam sistemlerinin simülasyon modelleri, kural olarak, nesneyle ilgili mevcut bilgileri mümkün olduğunca dikkate alır. Simülasyon modelleri, biyomakromoleküllerden biyojeosinoz modellerine kadar canlı maddenin çeşitli organizasyon seviyelerindeki nesneleri tanımlamak için kullanılır. İÇİNDE ikinci durum modeller hem canlı hem de “inert” bileşenleri tanımlayan blokları içermelidir. Klasik örnek simülasyon modelleri modeldir moleküler dinamik, biyomakromolekülü oluşturan tüm atomların koordinatlarının ve momentumlarının ve etkileşim yasalarının belirtildiği yer. Sistemin “ömrünün” bilgisayar tarafından hesaplanmış bir resmi, sistemin nasıl çalıştığını izlemenizi sağlar. fiziksel yasalar kendilerini en basit biyolojik nesnelerin (biyomakromoleküller ve çevreleri) işleyişinde gösterirler. Elementlerin (yapı taşlarının) artık atom değil, atom grupları olduğu benzer modeller, modern teknoloji Biyoteknolojik katalizörlerin bilgisayar tasarımı ve ilaçlar, belirli bir şekilde hareket ederek aktif gruplar mikroorganizmaların, virüslerin zarları veya diğer hedefli eylemlerin gerçekleştirilmesi.

Simülasyon modelleri açıklamak için yaratılmıştır. fizyolojik süreçler, hayati organlarda meydana gelir: sinir lifi, kalp, beyin, gastrointestinal sistem, kan dolaşımı. Bunlarda normal olarak ve çeşitli patolojilerde meydana gelen süreçlerin "senaryoları" oynanır, çeşitli süreçlerin etkisi dış etkiler ilaçlar dahil. Simülasyon modelleri yaygın olarak tanımlamak için kullanılır. tesis üretim süreci ve maksimum verim elde etmek veya meyvelerin zaman içinde en eşit şekilde dağılmış olgunlaşmasını elde etmek amacıyla bitki yetiştirmek için optimal bir rejim geliştirmek için kullanılır. Bu tür gelişmeler özellikle pahalı ve enerji yoğun seracılık için önemlidir.

içinde ele alacağız bu bölüm analitik modeller. Analitik modellerde girdi. ve çıkın. Parametreler açık ifadelerle ilişkilendirilir: denklemler, eşitsizlikler vb. Kolmogorov-Erlang denklem sistemlerini çözersek bu analitik modellemedir, ancak bir grafik modeline odaklanıp istatistiksel bir deney yaparak sistemin istek akışına nasıl hizmet ettiğini belirlersek bu simülasyon modellemedir. Analitik bir modeli çözmek için genellikle problemleri çözmek için sayısal yöntemler kullanmanız gerekir, ancak bazı modeller aynı zamanda analitik bir çözüm de sağlar çünkü farklı matematik problemlerini çözmek için farklı yöntemler kullanılır; bazen analitik modeller yöntemlere (integral, diferansiyel, doğrusal vb.) göre bölünür, ancak genellikle uygulama alanlarına (fiziksel, kimyasal, biyolojik, pedagojik, teknik) göre bölünür. Analitik matematikten bazı örneklere bakalım. en basit ve aynı zamanda klasik olan modeller.

Fizik ve teknolojide matematiksel modeller

Fizikte modelleme esas olarak diferansiyel denklemlerin ve kısmi türevlerin çözümünü içeren endüstriyel süreçleri tanımlamak için kullanılır. Diğer tüm modeller genellikle bu süreçlerin basitleştirilmiş bir versiyonudur. Model oluşturmanın temeli şudur: kanunlar ve denklemler:

Denklemlerden bazıları tek boyutlu biçimde veya yarıçap vektörü kullanılarak yazılmıştır.

;

2. Salınımlı sistemin modeli

Basitten karmaşığa doğru bakalım. Örnek olarak çevremizde titreşimin önemli olduğu birçok nesne (motorlar) vardır. Salınımlar elektrik sistemlerinde de yaygındır. Tek boyutlu (tek eksen boyunca) salınımlarımız olduğunu varsayacağız.

Nesnenin konumu bir x koordinatı ile belirlenir, denklem şu şekilde olacaktır:
.

Bu farklılığın çözümü. Denklem iyi biliniyor,

Salınımlar Faz kaymalı harmonik, sönümsüz.

Modeli karmaşıklaştırıyoruz - zayıflamayı tanıtıyoruz

(K- zayıflama katsayısı)

K küçükse (K<<1), то решение не будет сильно отличаться. Решение системы приводит к возникновению
.

K=0,1 - zayıflama açıkça görülebilir (periyodik). Artan K ile (
) - tek bir dönem olmadığında periyodik olmayan sönümleme.

Doğal frekans
, kuvvet dahilindeki frekans R. Frekanslar eşit olduğunda, salınımların genliğinde keskin bir artış elde ederiz - rezonans, . Salınım sırasında rezonans üretilirse, doğal salınımlar ortadan kalkacak ve zorlanmış salınımlar, zorlanmış kuvvetin frekansında kalacaktır.

İLE<<1, W>>s.

Modülasyon. İçeride doğal salınımlar vardır ve bunların genlikleri, doğal salınımların (vuruşların) frekansı ile modellenmiştir.

Eğer K<0, м.б. (т.к. она только мешает) – параметрический резонанс.

Örnek: araba yayları (genellikle titreşimleri sallamak için kullanışlıdır).

Rezonans değer olarak negatif veya pozitif olabilir. Elektromanyetik dalgaların emisyonu hem sıradan hem de parametrik rezonanslara dayanmaktadır. Elektromanyetik dalgaların emisyonu ve alımı rezonanslıdır. Parametrik rezonans avantajlıdır çünkü normalden çok daha güçlüdür. Bu, örneğin mikrodalga salınımları (kayıt cihazı) oluşturmak için uygun bir araçtır. Parametrik rezonans için doğal bir frekansa ihtiyaç yoktur, dolayısıyla bu rezonatörün yok olmasına kadar enerji pompalayabilirsiniz. Ama aynı zamanda hoş olmayan zararlar, yıkımlar da olabilir.

Modülasyon- radyo iletişiminin temeli. Modüle edilen ve daha sonra demodüle edilen bir taşıyıcı frekansı vardır. Ses düşük frekanslıdır (36 kHz) ve radyo dalgaları yüksek frekanslarda hareket eder, bu da megahertz'e ihtiyaç olduğu anlamına gelir. Genlik, faz ve frekans modülasyonu vardır. Dayak etkisi genellikle zararlıdır, rahatsız edicidir; bir gürültü kaynağıdır. Bazen vuruşlar kullanılarak özel gürültü üreteçleri yapılır.

İnce tabaka termal iletkenlik modeli

cam (ince, uzun),
- sıcaklık eşit olacaktır, bu nedenle
.
sınır
Genellikle bu denklem açık bir şekilde çözülmez, ancak hücresel bir yaklaşım kullanılarak çözülür. Bu denklem sistemini çözerek ızgara düğümlerindeki değerleri buluyoruz. Isıl iletkenlik, elektrostatik ve elektrodinamik ile ilgili diğer problemler de benzer şekilde modellenmiştir. Asıl sorun hesaplamanın karmaşıklığıdır, bu yüzden güçlü bilgisayarlara ihtiyaç vardır.

Diğer bir model ise yataya belli bir açıyla fırlatılan cismin hareketidir. Bu sorunu çözmek için çekim yöntemi adı verilen yöntem kullanılıyor; bu yöntem zaten simülasyon modellemeye yakın.

Ayrıca roketin hareketinin bir modeli:

- Tsiolkovsky denklemi.

Kimyada kinetik ve yapısal modeller

Kimyada, kimyasal reaksiyon modelleri ve kimyasal modelin yapısı esas olarak yaygındır. bağlantılar. Kimya için. reaksiyonlar, en önemli şey kinetiktir, yani. reaksiyonların seyrinde zaman içinde değişiklik, yani. Reaksiyon ne kadar hızlı ilerlerse, o kadar az reaktan kalır ve bunun tersi de geçerlidir. Yirminci yüzyılın başında Adolf Lotka, Volterra-Lotka modeli adı verilen bir kinetik reaksiyon modeli formüle etti. Maddelerin dönüşüm zinciri:

Diferansiyel sistem elde edildi. denklemler. Bu denklemler anlam bakımından Kolmogorov-Erlang denklemlerine benzer. Bu, bunların aynı zamanda kinetik denklemler olduğunu ve tüm kinetik süreçlerin birbirine benzer olduğunu gösterir.

Kimyada kinetik denklemler, niceliklerin sabit olmayıp aşağıdaki niceliklere bağlı olması nedeniyle karmaşıklaşır:

Maddelerin kimyasal bileşimi (sıcaklık, ısı kapasitesi yasasına uyar, R denklemle verilen difüzyona bağlıdır
- Fick'in yayılma yasası. Darcy'nin filtrasyon transferi kanunu da benzer bir ilişkiye sahiptir). Sonuç olarak bu karmaşık denklemleri kinetik denklemle aynı anda çözmek zorundayız.

Kimyada moleküllerin yapısal modelleri büyük önem taşır: H-O-H, özellikle organik maddeler için uygundur (çok karmaşık bir yapıya sahiptirler).

Yeni bir kimyasal üzerinde çalışırken. maddeler yeni bir kimyasal oluşturur. analiz - belirli maddeleri içeren oranları belirleyin. Daha sonra molekülün hangi atomlardan oluştuğunu ve aynı zamanda nasıl bağlandıklarını da belirleyebilirsiniz. Bir değerlik bağı devreye girer. Bazı atomların 1. değerlik bağı vardır, diğerlerinin ise 2. değerlik bağı vardır. Maddenin izomerleri aynı sayıda moleküle sahip ancak farklı özelliklere sahip olarak keşfedildi.

2 görev:

Bir molekülün iç yapısını belirler ve yapısıyla kimyasal özelliklerini ilişkilendirir. özellikler, yani izomerlerin incelenmesi.

İzomerlerin tasarlanması - çeşitli türdeki moleküller için kararlı yapıların nasıl oluşturulacağını öğrenin ve onlara hipotezler verin. özellikler.

Bu problemlerin her ikisi de organik kimyada o kadar popüler hale geldi ki, molekülleri modellemek için özel sistemler bile yaratıldı.

Biyolojide matematiksel modeller

Biyoloji kimya ve biyokimya ile son derece ilgilidir => yapısal modelleme kimyadan biyolojiye geçmiştir. Biyolojik yapılar çok karmaşık kimyasal yapılardır => biyolojik yapıların kimyasını inceleyen biyokimya bilimi ortaya çıkmıştır. Yapısal modelleme yöntemlerinin çok yararlı olduğu bu noktada kanıtlanmıştır. Gen modellemeyle ilgili en ünlü problemler.

Genler, canlıların sözde bilgi bileşenlerinin (DNA, RNA) oluşturulduğu moleküllerdir. Temel olarak, genler zaten araştırılmış ve bilinmektedir, ancak şu veya bu DNA'ya hangi genlerin dahil edildiği ve bunların birbirlerine nasıl bağlandığına dair sorular devam etmektedir. Çünkü En basit DNA'da bile onbinlerce gen var, önce en basit canlılarda, şimdi de insanlarda (tamamlanma) “DNA modeli” dünya projesi ortaya çıktı. Yapısal modelleme biyokimyada öncüdür.

Tür içi mücadele modelleri

Aynı türün bireyleri birbiriyle rekabet halindedir. Başlangıçta bireylerin az olduğu ve koşulların uygun olduğu zamanlarda popülasyon hızla artar, aynı türün bireyleri arasındaki mücadeleden dolayı kısıtlamalar ortaya çıkar. İlk basit model büyüme modeliydi; dizginsiz büyüme modeli. Bu modelde tür içi rekabet yoktur; modernize edilecektir.

Daha fazla A Ancak büyüme ne kadar az olursa, bu model gerçek ekosistemlerde meydana gelen bazı olayları açıklayamıyordu. Bazı sistemlerde yıldan yıla sayılarda dalgalanmalar yaşandı. Bir parametre daha ekledik ve modeli karmaşıklaştırdık

Katsayı B büyüme oranının doğrusal olmayan bağımlılığını belirler R numaradan. Bu modelin sayısal çalışması 4 karakteristik durumu ortaya çıkardı:

Monoton büyüme

Sönümlü salınımların durumu

Sönümsüz salınımların durumu

Dalgalanma durumu (rastgele değişiklikler)

Bu modeller ayrıktır ancak sürekli, kinetik bir denklem oluşturmak da mümkündür:

. burada R- bir tür hız analogu. Bu iki parametreli modele lojistik kinetik model (Voltaire-Lottky modeli) adı verilir.

Türler arası rekabet modelleri

İki türün bir arada var olması ve birbirini aktif olarak etkilemesi durumunda, türler arası rekabet ve mücadele süreçleri ortaya çıkar. Voltaire - Tepsilerin en ünlü modeli (kinetiği) iki türden bir rekabettir:

Katsayılar 2 tür arasındaki ilişkiyi belirler. Eğer öyleyse, ikinci türün bireylerindeki artış, birinci türün bireylerinin azalmasına yol açar. İkinci tip birinciyi bastırır. Eğer öyleyse, ikinci türün bireyleri etkilenmez. Açıkçası, ne kadar çok kurt olursa o kadar az tavşan olur. Modelin 6 parametresi vardır - çalışması çok zordur, bu nedenle genellikle bazı parametreler sabittir. Genel olarak bu parametrik modele ilişkin çalışmalar, yırtıcı ve av popülasyonlarının döngüsel değişiklikler yaşadığını göstermiştir. Biyolojide simülasyon modelleme de çok sık kullanılmaktadır.

Biyolojide simülasyon modelleme

Yaşam modeli

En basit canlıların üremesini simüle eder, üreme, ölüm vb. konularda bazı kısıtlamalar getirir ve ardından bir deney yürüterek zaman içindeki dinamiklerin izini sürer. En basit seçenek (okul). Boş ve dolu (canlı) hücrelerden oluşan bir tablo alın. Kurallar konulmuştur, örneğin bir canlı hücresi 4 veya daha fazla canlıyla çevrelenmişse aşırı nüfustan ölür, yakınında sadece bir tane olsa da olmasa da yalnızlıktan ölür. Ölen bir kimse, 3 dirinin yanında bulunsa dirilir. Deney:

Canlı hücrelerin başlangıçtaki rastgele konfigürasyonu belirlendi

İzlenecek zaman noktalarının sayısını belirtir

Bir döngüde tablo, verilen kurallara göre belirli zamanlarda güncellenir ve resimdeki değişiklikler gözlemlenir. Benzer sistemler incelendi ve böyle bir tablonun çökmeyen kararlı konfigürasyonlar içerebileceği ortaya çıktı.

Ekonomideki modeller

İktisat bilimleri modellemenin en önemli uygulama alanlarından biridir; modellerin en büyük verimliliği sağladığı yer burasıdır, örneğin tüm devletin harcamalarını tek bir modelde optimize ederseniz, etki milyarlarca dolar olarak ifade edilecektir. Aşağıdaki model türleri ayırt edilebilir:

LP modeli (doğrusal) - kaynak, rezerv vb. modeli.

Ulaştırma sorunu üzerine inşa edilen modeller (malların dağıtımı ve taşınması)

Tamsayı programlama modelleri (sonuç tamsayılar, kişi sayısı, fabrika sayısı vb. alanına aittir) tamsayı parametrelerine sahip birinci tip modellerdir.

Dinamik programlama modelleri - esas olarak herhangi bir üretimin, şirketin vb. gelişimiyle ilgilidir.

Yüzleşme ve rekabetle ilişkili oyun modelleri.

Bilgi eksikliği veya rastgele olayların olduğu durumların tahmin edilmesiyle ilgili tahmin modelleri.

Otomatik kontrol modelleri (kontrol sistemini optimum hale getirmek için)

Doğrusal olmayan modeller yalnızca seçilmiş durumlarda çözülür.

34. Stokastik modelleme. Simülasyonda Monte Carlo yöntemi. Rasgele ve sözde rasgele sayılar üretme. Üretim yöntemleri ve algoritmalar. Üstel, normal ve keyfi dağılım yasalarına göre dağıtılan rastgele sayıların üretilmesi.

Stokastik programlama– matematiksel programlamanın bir bölümü, olasılıksal nitelikteki optimizasyon problemlerini çözmek için bir dizi yöntem. Bu, ya problemin kısıtlarının (koşullarının) parametrelerinin ya da amaç fonksiyonunun parametrelerinin ya da her ikisinin de rastgele değişkenler olduğu (rastgele bileşenler içeren) anlamına gelir.

Optimizasyon sorunu- amacı mevcut kaynakların en iyi dağılımını bulmak olan ekonomik ve matematiksel bir problem. Matematiksel programlama yöntemlerini kullanan optimal bir model kullanılarak, yani belirli kısıtlamalar altında (koşullu optimizasyon) ve kısıtlamalar olmadan (koşulsuz optimizasyon) bazı fonksiyonların maksimum veya minimumunu arayarak çözülür. Bir optimizasyon probleminin çözümüne optimal çözüm, optimal plan veya optimal nokta denir.

Rastgele değişkenler ortalama, varyans, korelasyon, regresyon, dağılım fonksiyonu vb. ile karakterize edilir.

İstatistiksel Modelleme– Rastgele süreçleri ve olayları kullanarak modelleme.

İstatistiksel modellemeyi kullanmak için 2 seçenek vardır:

– stokastik modellerde rastgele parametreler veya etkileşimler olabilir. Parametreler arasındaki ilişki rastgele veya çok karmaşıktır.

– deterministik modeller için bile kullanılabilir istatistiksel yöntemler. Simülasyon modellerinde neredeyse her zaman statik modelleme kullanılır.

Modeller Parametreler arasında bire bir ilişkinin olduğu ve rastgele parametrelerin bulunmadığı durumlara denir. deterministik.

Deterministik Süreçler– tüm süreçlerin yasalarla belirlendiği belirli süreçler.

İnsanoğlu tüm süreçlerin deterministik olduğunu düşünür, ancak zamanla rastgele süreçler keşfedilir. Rastgele süreç- bu, duruma göre seyri farklı olabilen ve şu veya bu gidişatın olasılığının belirlendiği bir süreçtir.

Süreçlerle ilgili bir çalışma, bunların 2 tipte olduğunu gösterdi:

a) Doğası gereği rastgele olan süreçler;

b) Çok karmaşık deterministik süreçler;

Çeşitli süreçlerin eklenmesinin rastgele doğayı arttırdığını söyleyen merkezi bir teorem kanıtlanmıştır. Yani birbiriyle ilişkili olmayan tamamen farklı diziler eklerseniz limitteki sonuç normal dağılıma yönelir. Ancak normal dağılımın bağımsız olaylar olduğu bilinmektedir, bu nedenle deterministik olayların limitte birleşimi bunların rastgeleliğine yol açmaktadır.

O. Doğada tamamen deterministik süreçler yoktur; her zaman deterministik ve rastgele süreçlerin bir karışımı vardır. Rastgele bir faktörün etkisine “gürültü” denir. Gürültü kaynakları karmaşık deterministik süreçlerdir (moleküllerin Brown hareketi).

Simülasyon modellemede karmaşık süreçlerin yerini sıklıkla rastgele süreçler alır; bu nedenle bir simülasyon modeli oluşturmak için statik modelleme yöntemlerini kullanarak rastgele süreçlerin nasıl modelleneceğini öğrenmeniz gerekir. Kuantum mekaniğindeki rastgele süreçler, değeri rastgele değişen bir dizi rastgele sayıyla temsil edilir.

İstatistiksel modellemede Monte Carlo istatistiksel test yöntemi çok sık kullanılır. Monte Carlo yöntemi Rastgele değişkenleri modelleyerek matematik problemlerini çözmeye yönelik sayısal bir yöntemdir.

Yöntemin özü: Bir sürecin sabit veya deterministik bir karakteristiğini belirlemek için, parametreleri limit dahilinde belirlenen miktarla ilişkili olan statik bir deney kullanabilirsiniz. Yöntemin özü Monte Carlo aşağıdakilerden oluşur: Çalışılan bir niceliğin a değerini bulmanız gerekir. Bunu yapmak için aşağıdaki rastgele değişkeni seçin
matematiksel beklentisi şuna eşit olan :
. Pratikte şunu yapıyorlar: üretiyorlar sonucunda elde ettikleri testler olası değerler
; aritmetik ortalamalarını hesaplayın
ve kabul et bir tahmin olarak (yaklaşık değer) gerekli sayı :
.

Yöntemin özünü ele alalım örnekler kullanımı.

Son on yılda, önemli ilerlemeler kaydedildi niceliksel (matematiksel) açıklamaÇeşitli biyosistemlerin yaşam organizasyonunun çeşitli seviyelerindeki işlevleri: moleküler, hücresel, organ, organizma, popülasyon, biyojeosenolojik (ekosistem). Yaşam, bu biyosistemlerin birçok farklı özelliği ve sistem organizasyonunun uygun seviyelerinde meydana gelen ve sistemin işleyişi sırasında tek bir bütün halinde bütünleşen süreçler tarafından belirlenir. Geniş bir yelpazedeki olguları tanımlayan ve açıklayan ve bilgiyi kompakt, resmileştirilmiş bir biçimde ifade eden, sistem işleyişinin ilkeleri hakkındaki temel varsayımlara dayanan modellerden şu şekilde söz edilebilir: biyosistem teorileri. Matematiksel modellerin oluşturulması Biyolojik sistemlerin (teorileri) deneycilerin olağanüstü yoğun analitik çalışmaları sayesinde mümkün hale geldi: morfologlar, biyokimyacılar, fizyologlar, moleküler biyoloji uzmanları vb. Bu çalışmanın sonucunda, çeşitli hücrelerin morfofonksiyonel şemaları kristalleştirildi; Fiziksel süreçler, uzayda ve zamanda, çok karmaşık iç içe geçmeler oluşturan düzenli bir şekilde meydana gelir.

İkinci çok önemli durum Matematiksel aparatların biyolojiye dahil edilmesine katkıda bulunan şey, hücrenin ve ilgili biyosistemin fonksiyonlarını belirleyen çok sayıda hücre içi reaksiyonun hız sabitlerinin dikkatli deneysel olarak belirlenmesidir. Bu tür sabitler bilgisi olmadan hücre içi süreçlerin resmi bir matematiksel açıklaması imkansızdır.

Ve sonunda, üçüncü koşul Biyolojide matematiksel modellemenin başarısını belirleyen şey, kişisel bilgisayarlar, süper bilgisayarlar ve bilgi teknolojileri biçimindeki güçlü bilgi işlem araçlarının geliştirilmesiydi. Bunun nedeni genellikle hücrelerin veya organların belirli bir fonksiyonunu kontrol eden süreçlerin çok sayıda olması, ileri besleme ve geri besleme döngüleri tarafından kapsanması ve bu nedenle de tanımlanmış olmasıdır. Doğrusal olmayan denklemlerin karmaşık sistemleriçok sayıda bilinmeyenle. Bu tür denklemler analitik olarak çözülemez ancak bilgisayar kullanılarak sayısal olarak çözülebilir.

Hücrelerde, organlarda ve vücutta çok çeşitli olguları yeniden üretebilen modeller üzerinde yapılan sayısal deneyler, modelleri oluştururken yapılan varsayımların doğruluğunu değerlendirmemize olanak tanır. Her ne kadar deneysel gerçekler model varsayımları olarak kullanılsa da, bazı varsayımlara ve varsayımlara duyulan ihtiyaç modellemenin önemli bir teorik bileşenidir. Bu varsayımlar ve varsayımlar hipotezler deneysel doğrulamaya tabi tutulabilir. Böylece, modeller hipotezlerin kaynağı haline gelir,üstelik deneysel olarak doğrulanabilir. Belirli bir hipotezi test etmeyi amaçlayan bir deney, onu çürütebilir veya doğrulayabilir ve böylece modelin iyileştirilmesine yardımcı olabilir.

Modelleme ve deney arasındaki bu etkileşim sürekli olarak meydana gelir ve olgunun giderek daha derin ve daha doğru anlaşılmasına yol açar:

• deney modeli geliştirir,
• yeni model yeni hipotezler öne sürüyor,
• deney yeni modeli iyileştirir vb.

Şu anda canlı sistemlerin matematiksel modelleme alanı isimleri oldukça genel görünen bir dizi farklı ve halihazırda yerleşik geleneksel ve daha modern disiplinleri birleştirir, böylece spesifik kullanım alanlarını kesin olarak sınırlamak zordur. Şu anda, canlı sistemlerin matematiksel modellemesinin özel uygulama alanları özellikle hızla gelişmektedir - matematiksel fizyoloji, matematiksel immünoloji, matematiksel epidemiyoloji, ilgili sistem ve süreçlerin matematiksel teorilerini ve bilgisayar modellerini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

Herhangi bir bilimsel disiplin gibi, matematiksel (teorik) biyolojinin de kendi konusu, yöntemleri, yöntemleri ve araştırma prosedürleri vardır. Gibi araştırma konusu matematiksel (bilgisayar) modeller kullanılır biyolojik süreçler, aynı anda hem bir araştırma nesnesini hem de biyolojik nesnelerin kendilerini incelemek için bir aracı temsil eder. Biyomatematiksel modellerin bu ikili özüyle bağlantılı olarak şunu ima ediyorlar: Matematiksel sistemleri analiz etmek için mevcut yöntemlerin kullanılması ve yeni yöntemlerin geliştirilmesi(matematiğin ilgili dallarının teorileri ve yöntemleri) modelin kendisinin özelliklerini matematiksel bir nesne olarak incelemek ve modelin biyolojik deneylerde elde edilen deneysel verileri yeniden üretmek ve analiz etmek için kullanılması. Aynı zamanda, matematiksel modellerin (ve genel olarak teorik biyolojinin) en önemli amaçlarından biri, belirli koşullar altında bir biyosistemin davranışına ilişkin biyolojik olayları ve senaryoları ve ilgili biyolojik deneyleri gerçekleştirmeden önce bunların teorik gerekçelerini tahmin etme yeteneğidir.

Ana araştırma yöntemi ve biyolojik sistemlerin karmaşık modellerinin kullanımı hesaplamalı bilgisayar deneyi, karşılık gelen matematiksel sistemler, hesaplama algoritmaları, bilgisayar programlarının geliştirilmesi ve uygulanmasına yönelik teknolojiler, bilgisayar modelleme sonuçlarının depolanması ve işlenmesi için yeterli hesaplama yöntemlerinin kullanılmasını gerektirir.

Son olarak, biyolojik sistemlerin işleyiş yasalarını anlamak için biyomatematiksel modellerin kullanılmasının temel amacı ile bağlantılı olarak, matematiksel modellerin geliştirilmesinin ve kullanımının tüm aşamaları, matematiksel modellere zorunlu olarak güvenmeyi gerektirir. Biyoloji biliminin teorisi ve pratiği ve öncelikle doğal deneylerin sonuçları.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI

FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM

YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU

"UDMURT DEVLET ÜNİVERSİTESİ"

Biyoloji ve Kimya Fakültesi

EĞİTİM VE METODOLOJİ KOMPLEKSİ

DİSİPLİNE GÖRE

MATEMATİK MODELLEME

BİYOLOJİK SÜREÇLER

Eğitim yönü

Eğitimin yönü 020400 Biyoloji

Yüksek lisans programının adı

"Biyoloji" (Botanik) 020421m

"Biyoloji" (İmmünobiyoteknoloji) 020422m

"Biyoloji" (Hücre Biyolojisi) 020423m

Yüksek lisans programının yapısında disiplinin yeri. Disiplinde uzmanlaşmanın bir sonucu olarak oluşan öğrenci yeterlilikleri. Disipline hakim olmanın amacı. Akademik çalışmanın türüne göre disiplinin yapısı, konular ve geliştirilen yeterlilikler arasındaki ilişki. Disiplinin içeriği.

5.1 Ders oturumlarının konuları ve bunlara ilişkin açıklamalar

5.2. Pratik ders planları.

5.3. Planlar laboratuvar atölyesi.

5.4. programı bağımsız işöğrenciler.

Eğitim teknolojileri. İlerlemenin sürekli izlenmesi için değerlendirme araçları, ara sertifikasyon. Disiplinin eğitimsel, metodolojik ve bilgi desteği. Disiplinin maddi ve teknik desteği.

ÇALIŞMA PROGRAMININ ONAYLANMASI PROSEDÜRÜ

Geliştirici çalışma programı disiplinler

Çalışma programının incelenmesi

Disiplinin çalışma programının onaylanması

Disiplinin çalışma programının kalitesinin değerlendirilmesine ilişkin diğer belgeler

(varsa - FEPO, işverenlerin, lisans öğrencilerinin vb. incelemeleri)

1 . FKÖ YÜKSEK LİSANS PROGRAMININ YAPISINDA DİSİPLİNİN YERİ

Disiplin döngüye girer OOP yüksek lisans programının matematik ve doğa bilimleri döngüsünün temel kısmı.

Disiplin, çalışmanın ilk yılı olan 020400 Biyoloji'ye (yeterlilik (derece) "Yüksek Lisans") yöneliktir.

Dersin öncesinde şu disiplinler yer almaktadır: bilgisayar bilimi, doğa bilimleri disiplinleri.

Disiplinde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için aşağıdaki yeterliliklerin geliştirilmesi gerekir:

bilimsel ve kültürel düzeyine uyum sağlayabilen ve geliştirebilen (OK-3);

Kursun başarıyla tamamlanması, aşağıdaki disiplinleri incelemeye devam etmenizi sağlar: teorik biyoloji, sinerji, İle Biyolojinin güncel sorunları, matematik ve doğa bilimleri döngüsündeki diğer disiplinlerin yüksek lisans programı, yüksek lisans tezinin uygulanması.

Kurs programı oluşturuldu blok modüler prensibe göre, içinde vurgulanan bölümler:

Diferansiyel ve integral hesap kavramı. Hedeflerin modellenmesi. Temel konseptler. Otonom diferansiyel denklemle tanımlanan modeller Ayrık modeller İki otonom diferansiyel denklem sistemiyle tanımlanan modeller Doğrusal olmayan sistemlerin durağan durumlarının kararlılığı. Tetikleme sistemleri. Salınım sistemleri.

2 . ÖĞRENCİ YETERLİLİKLERİ OLUŞTURULDU

DİSİPLİNDE USTA OLMANIN SONUCU

· mevcut bilgileri bağımsız olarak analiz eder, temel sorunları tanımlar, bir sorun oluşturur ve modern ekipman ve bilgi işlem araçlarını kullanarak uzmanlıktaki belirli sorunları çözerken saha ve laboratuvar biyolojik araştırmaları gerçekleştirir, işin kalitesi ve sonuçların bilimsel güvenilirliği konusunda sorumluluk gösterir (PC- 3);

· biyolojik bilgilerin toplanması, saklanması, işlenmesi, analiz edilmesi ve iletilmesinde modern bilgisayar teknolojilerini yaratıcı bir şekilde uygular (PC-6);

· mesleki faaliyetlerin araştırma, üretim ve teknolojik sorunlarını çözmek, biyolojik bilgileri toplamak ve analiz etmek için modern bilgisayar teknolojilerini bağımsız olarak kullanır (PC-13);

Disiplinde uzmanlaşmanın bir sonucu olarak öğrenci:

Bilmek:

· diferansiyel ve integral hesabı kullanarak biyolojik sistemlerin sonraki analizleriyle birlikte modellenmesine yönelik yöntemler hakkında.

yapabilmek:

· Edinilen bilgiyi pratik çalışmalarda uygulayabilme;

· Gerçekleştirilen model hesaplamalarının sonuçlarını doğru bir şekilde sunmak.

Sahip olmak:

· İntegral ve diferansiyel hesap becerileri;

· biyolojik sistemlerin sayısal modellemesi için mevcut yazılım ürünlerini kullanırken kişisel bilgisayarla çalışma becerileri.

3 . DİSİPLİNDE HAKİM OLMANIN AMACI VE HEDEFLERİ

Disiplinde uzmanlaşmanın amacı BİYOLOJİK SÜREÇLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ

dır-dir:

Matematiksel analizin sayısal yöntemlerini uygulama olanakları, matematiksel modelleme, matematiksel modellerin sınıflandırılması ve bunların uygulanabilirliği hakkında bazı temel bilgi ve fikirler vermek, hangi temel niteliksel soruların bir matematiksel model tarafından hangi bilgi biçiminde yanıtlanabileceğini göstermek biyolojik bir nesne hakkında resmileştirilmiştir. Bu, integral ve diferansiyel hesabın temel konularını, diferansiyel denklemlerin niteliksel teorisinin matematiksel aparatının temellerini derse dahil ederek başarılır. Bu bilgiye dayanarak, farklı seviyelerdeki biyolojik sistemlerin doğasında bulunan ana zamansal ve mekansal dinamik davranış türleri dikkate alınmaktadır. Matematiksel modellemenin olanakları, klasik sayılabilecek spesifik modellerin örnekleriyle gösterilmektedir.

Disiplinde uzmanlaşmanın amaçları:

biyolojik sistemlerin matematiksel modellemesine ilişkin sayısal matematiksel analiz yöntemlerinin uygulanabilirliği hakkında fikir oluşturmak;

Bir araştırma biyoloğunun araştırmasına uygulayabileceği (uyarlayabileceği) belirli matematiksel modelleri tanıtmak;

Biyolojik süreçlerin modellenmesinde yazılımın kullanımına ilişkin bilgiyi genişletmek.

4. ÇALIŞMA TÜRÜNE GÖRE DİSİPLİN YAPISI,

KONULARIN VE OLUŞAN YETERLİLİKLERİN İLİŞKİSİ

Konu 1.2.

Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.3.(2 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi:

Konu 1.4.(2 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.5.(3 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.7.(2 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.8.(2 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.9.(2 saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.10.(2 saat) Teorik kısım.İkinci dereceden doğrusal olmayan sistemlerin durağan durumlarının kararlılığının incelenmesi. V. Volterra'nın klasik sistemi. Analitik araştırma (sabit durumların ve kararlılıklarının belirlenmesi) ve faz ve kinetik portrelerin oluşturulması. Maxima analitik hesaplama paketini kullanma.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

Konu 1.saat) Teorik kısım.

Laboratuvar çalışması için gönderilen ödev ve görevlerin listesi: Bir önceki dersin materyali üzerinde test çalışması, dersin konusuna teorik giriş, pratik görevlerin uygulanması.

5.4. Yüksek lisans öğrencileri için bireysel çalışma programı

SRS yapısı

Laboratuvar çalışmasına hazırlık – 12 çalışma – 48 saat

Tüm SRS türlerinin sonuçları puanlarla değerlendirilir ve SRS'nin temelini oluşturur.

SRS gerçekleştirilirken ilgili bölümde belirtilen eğitimsel ve metodolojik materyaller kullanılır (tabloya bakınız) SRS yapısı)

SRS kontrol programı

Efsane: cr – Ölçek , İle - kolokyum, R - soyut, D - rapor, di – iş oyunu, rz- problem çözme, tavuklar - ders çalışması, IR - laboratuvar işi, dz - Ev ödevi

6. EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ

Dersleri yürütürken ve lisans öğrencilerinin bağımsız çalışmalarını organize ederken, bilgilerin hazır bir biçimde aktarılmasını, modele göre eğitim becerilerinin geliştirilmesini içeren geleneksel bilgilendirici öğrenme teknolojileri kullanılır: laboratuvar çalışmasının teorik kısmı şu şekilde yapılandırılmıştır: ders-sergi, ders-açıklama.

Geleneksel teknolojilerin kullanılması, bir araştırma biyoloğunun mesleki yeterliliklerinin bilişsel (bilgi) bileşeninin oluşmasını sağlar.

Disiplinin teorik bölümlerinin incelenmesi ve pratik görevlerin yerine getirilmesi sürecinde yeni eğitimsel öğretim teknolojileri kullanılmaktadır: ders görselleştirme.

Laboratuvar derslerini yürütürken aşağıdakiler kullanılır:

Bir model kavramı. Nesneler, hedefler ve modelleme yöntemleri. Farklı bilimlerdeki modeller. Fiziksel ve matematiksel modeller. Biyolojideki ilk modellerin tarihi. Biyolojik süreç modellerinin modern sınıflandırması: regresyon, simülasyon, niteliksel modeller. Bilimsel ilgi alanınızda kullanılan çeşitli modellere örnekler. Simülasyon modellemenin ilkeleri ve model örnekleri. Yaşam sistemlerinin modellenmesinin özellikleri.

Türev kavramı ve nasıl bulunacağı (türev alma kuralları). İntegral ve integral bulma yöntemleri. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

Diferansiyel denklemin hazırlanması (türetilmesi). Homojen ve homojen olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü için bazı teknikler. Ayrılabilir değişkenler yöntemiyle çözüm. Genel bir doğrusal diferansiyel denklemin Lagrange yöntemiyle çözümü. Bu konuyla ilgili sorunları çözmek.

Dinamik sistemleri inceleme yöntemleri. Sabit durum. Taylor'ın formülü. Durağan durumların kararlılığı (tek denklem durumu): kararlılık kavramı, kararlılık türünü belirlemek için analitik yöntem (Lyapunov yöntemi), kararlılık türünü belirlemek için grafiksel yöntem. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

Bazı nüfus büyüme modellerinin analizi. Malthus'un modelleri. Verhulst'un lojistik modeli. Akış kültivatörünün modeli. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

Nüfus artışının fark modelleri. Malthus fark modelinin analizi (durağan durumları bulma ve kararlılık açısından analiz etme). Ayrık lojistik Verhulst denklemi ve biyolojik sistemler için sınırlamaları. Ayrık lojistik Ricker denkleminin analizi (durağan durumları bulma ve kararlılık açısından bunları analiz etme). Lamerey diyagramı (merdiven) kullanılarak nüfus artışının farklı modellerinin nitel analizi. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

İki özerk adi doğrusal diferansiyel denklem sistemi tarafından tanımlanan modellerin analizi. İki doğrusal otonom ODE'den oluşan bir sistemin çözümü. Bu modellerin tekil noktalar yakınındaki davranışının kararlılığının analizi. Tekil nokta türleri. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

İki özerk adi doğrusal diferansiyel denklem sistemi tarafından tanımlanan modelleri analiz etmek için nitel bir yöntem. Faz düzlemi. İzoklinler. Faz portrelerinin oluşturulması. Kinetik eğriler. Bu konuyla ilgili sorunların çözümü.

İki özerk adi doğrusal diferansiyel denklem sistemi tarafından tanımlanan bazı modellerin analizi. Doğrusal bir sistemin kinetik modelinin analizi kimyasal reaksiyonlar.

İkinci dereceden doğrusal olmayan sistemlerin durağan durumlarının kararlılığının incelenmesi. Lyapunov'un durağan bir durumun yakınındaki sistemleri doğrusallaştırma yöntemi. Biyolojik sistem modellerinin durağan durumlarının stabilitesinin incelenmesine örnekler. Lotka kinetik denkleminin analizi (kimyasal reaksiyon). V. Volterra'nın klasik sistemi. Analitik araştırma (sabit durumların ve kararlılıklarının belirlenmesi) ve faz ve kinetik portrelerin oluşturulması.

Tetikleme sistemleri. Yarışma. Analitik araştırma (sabit durumların ve kararlılıklarının belirlenmesi) ve faz ve kinetik portrelerin oluşturulması.

Salınım sistemleri. Brüksel'in yerel modeli.

Yetkinlik(ler)in gelişim düzeyini değerlendirmek için ana teknoloji şudur: öğrenci performansını değerlendirmek için bir puan derecelendirme sistemi (Sipariş /01-04 “Değerlendirme için bir puan derecelendirme sisteminin uygulanmasına yönelik Prosedürün tanıtımı hakkında) Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu “UdSU”daki öğrencilerin eğitim çalışmaları.

Toplam puan = 100 puan.

Derslere katılım ve öğrencinin ders sırasındaki çalışması 15 puana kadar değerlendirilir.

Dersin başındaki testin değeri 30 puana kadardır.

Ödevler 15 puana kadar notlandırılır.

40 puana kadar krediye ayrılan puan sayısı

Ara sertifika aşamasında öğrencinin 14 puandan fazla puan alması ve öğrencinin o dönem için disiplindeki nihai notunun en az 61 puan olması durumunda disiplinde uzmanlaşıldığı kabul edilir.

Puanları geleneksel değerlendirmeye dönüştürme şeması

Nihai BRS puanlarını geleneksel not sistemine dönüştürme tablosu

Test görevlerine örnekler, dersin başında 10-12 dakika süreyle verilir.

Test görevi 1

seçenek 1

1) Türevin tanımına göre türevi bulun: y = (1+3x)2

2) Popülasyon büyüklüğü şu denklemle tanımlanır: https://pandia.ru/text/78/041/images/image004_19.gif" width="88" height="41">

Seçenek 3

1) Türev kavramının tanımına göre türevi bulun: y = (1+x)2

2) Popülasyon büyüklüğü şu denklemle tanımlanır: https://pandia.ru/text/78/041/images/image006_13.gif" width="90" height="45">

seçenek 2

Seçenek 3

Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözün.

x(0)=1 ise Cauchy problemine bir çözüm bulun

Test görevi 3

Anket 3. Seçenek 2

Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözün.

Anket 3. Seçenek 3

Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözün.

Anket 3. Seçenek 4

Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözün.

Yaklaşık test görevleri ev kullanımı için(ödemenin belirli metinleri lisans öğrencilerine IIAS sistemi aracılığıyla ve kağıt üzerinde verilir):

Ödev 1

Öneriler.

1) Bir konuşma hazırlayın ve el yazısıyla yazılmış bir metni rapora ekleyin fiziksel bir model örneği hakkında

2) Bir konuşma hazırlayın ve el yazısıyla yazılmış bir metni rapora ekleyin örnek hakkında Regresyon modeli uzmanlık alanınızda (herkese sorabilirim) – 3-4 dakika – grup başına bir tane. Başka bir grubun örneğiyle aynı olmamalıdır.

3) Bir konuşma hazırlayın ve el yazısıyla yazılmış bir metni rapora ekleyin bir simülasyon modeli örneği hakkında uzmanlık alanınızda (herkese sorabilirim) – 3-4 dakika – grup başına bir tane. Başka bir grubun örneğiyle aynı olmamalıdır.

4) Türevin tanımını kullanarak ifadenin türevini bulun:

y= 1+ X+ X 2

5) Türevleri bulun:

https://pandia.ru/text/78/041/images/image014_10.gif" genişlik = "84" yükseklik = "41 src = ">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image017_9.gif" width = "108" height = "27 src = ">.gif" width = "105" height = "41 src = ">, Nerede sen Ve A sabit..gif" genişlik = "153" yükseklik = "28 src = ">

8) Bakteri popülasyonu başlangıç ​​büyüklüğü olan 1000 kişiden 1000 kişiye kadar büyür. P(T) şu anda T(gün olarak) https://pandia.ru/text/78/041/images/image023_6.gif" width="106" height="41 src="> denklemine göre. Bul P(T) tüm anlar için T>0 ise P(0)=0. İyileşenlerin oranının yüzde 90'a ulaşması kaç yıl alacak?

3) Bul ortak karar Aşağıdaki birinci dereceden denklemleri bulun ve belirtilen koşullar için Cauchy problemini çözün:

Eğer x(0)=2 ise

, eğer x(0)=1

Ödev 3

Öneriler. Görevlendirme raporu yalnızca tüm ara hesaplamaları gösteren el yazısıyla sağlanır (elektronik versiyona gerek yoktur). Tüm hesaplamalar şeffaf olmalıdır (hesapladığınızı yazın, orijinalini belirtin) hesaplama formülü, ardından değiştirilmiş sayıların bulunduğu bir formül, ardından cevap).

1) Nüfus artışı Verhulst denklemi ile tanımlanır. Ekolojik nişin kapasitesi 1000'dir. Başlangıçtaki sayının aşağıdakilere eşit olduğu biliniyorsa, popülasyon büyüklüğü dinamiklerinin bir grafiğini çizin: a) 10; b) 700; c) 1200. Büyüme oranı r 0,5'tir. Bükülme noktasının koordinatlarını belirtin.

2) Fonksiyonu genişletin F (X) 0 x noktası civarında 4'üncü dereceye kadar bir Taylor serisine:

F (X) = X 3 +1, X 0 = 1;

https://pandia.ru/text/78/041/images/image028_5.gif" width = "114" height = "46 src = ">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image030_5.gif" width = "71" height = "41 src = ">. Denklemin durağan durumlarını bulun ve kararlılık türlerini analitik olarak belirleyin (Lyapunov yöntemi) ) ve bir fonksiyon grafiği kullanarak F (X) :

F (X) = X 3 + 8X – 6X 2

F (X) = X 4 + 2X 3 − 15X 2

Ödev 4

Öneriler. Görevlendirme raporu yalnızca tüm ara hesaplamaları gösteren el yazısıyla sağlanır (elektronik versiyona gerek yoktur). Tüm hesaplamalar şeffaf olmalıdır (hesapladığınız şeyi yazın, orijinal hesaplama formülünü, ardından değiştirilmiş sayıları içeren formülü ve ardından cevabı belirtin).

1) (1,0 puan) Lamerey diyagramını kullanarak, eğer bağımlılık varsa, nüfus dinamiklerinin bir grafiğini oluşturun. NT+1 = F (NT) nüfus gelişiminin sürdürülebilirliğine ilişkin bir biçime sahiptir ve sonuç çıkarmaktadır.

2) (2,5 puan) Plana göre, durağan durumun yakınındaki sistemlerin her biri için bir faz portresi oluşturun:

2.1) Tekil (sabit) noktanın koordinatlarını bulun

2.3) İzoklin yöntemini kullanarak (izoklin: 0o, +45o, –45o, 90o, X ve Y eksenleriyle kesişme açıları) sistemin faz portresini oluşturun

2.4) izoklinleri kullanarak ve 2.2 noktasına dayanarak faz portresinin bir taslağını çizin

2.5) Deneme (figüratif) noktasının 2.4'te elde edilen integral eğrileri boyunca hareket yönünü belirleyin.

2.6) Seç keyfi nokta paragraf 2.4'te elde edilen integral eğrilerinden biri üzerinde ve sistemin kinetik bir portresini oluşturun.

3) (1,5 puan) Belirli bir popülasyonun incelenmesi sürecinde, popülasyon büyüklüğünün zamana bağlı olarak aşağıdaki bağımlılığı ortaya çıkmıştır (aşağıdaki verilere bakınız).

1) Bu popülasyonun gelişimi Malthus denklemine mi yoksa Verhulst denklemine mi uyuyor? Kanıtla.

2) Bir popülasyonun gelişimi Malthus denklemine uyuyorsa aşağıdakileri belirleyin:

R

2.2) iki katına çıkma süresi T.

2) Nüfusun gelişimi lojistik denkleme uyuyorsa aşağıdakileri belirleyin:

2.1) Malthus parametresinin değeri R (belirli hızüreme);

2.2) kaynak parametre değeri İLE

2.3) değerleri kullanma R Ve İLE Nüfus artışının yavaşlamaya başlayacağı zamanı tahmin edin.

Bu kontrol ve değerlendirme teknolojisi, mesleki yeterliliklerdeki ustalık düzeyinin değerlendirilmesini sağlar.

8 EĞİTİM, METODOLOJİK VE BİLGİ DESTEĞİ

DİSİPLİNLER

Ana literatür

1. Riznichenko, biyolojide matematiksel modeller üzerine. Bölüm 1. Yaşayan sistemlerde zaman içindeki süreçlerin tanımı. - M.; RHD, 2002;

Dersler. Ders verme yöntemleri

Dersler disiplindeki ana öğretim yöntemlerinden biridir ve aşağıdaki sorunları çözmelidir:

· durum temel malzeme ana noktaları kapsayan ders müfredatı;

· Lisans öğrencileri arasında eğitimsel ve bilimsel literatürde bağımsız çalışma ihtiyacını geliştirmek.

Ana görev Her ders konunun özünü ortaya çıkarmak ve ana hükümlerini analiz etmektir. İlk derste dersin yapısının ve bölümlerinin lisans öğrencilerinin dikkatine sunulması, ardından her bölümün başlangıcının, özünün ve hedeflerinin belirtilmesi ve sunumu bitirdikten sonra bu bölümün sırayla özetlenmesi önerilir. bir sonrakine bağlamak için.

Laboratuvar derslerini yürütme metodolojisi

Amaçları laboratuvar işişunlardır:

· teori ve pratik arasında formda bağlantı kurmak deneysel doğrulama teorinin hükümleri;

· yüksek lisans öğrencilerine elde edilen sonuçları analiz etme becerisi kazandırmak;

· lisans öğrencilerinin derste uzmanlaşma konusunda bağımsız çalışmalarının kontrolü;

· Mesleki beceriler konusunda eğitim

Laboratuvar çalıştayının hedeflerine ulaşılıyor en iyi yol deneyin öncesinde ders dışı hazırlık çalışmalarının yapılması durumunda. Bu nedenle öğretmen, tüm lisans öğrencilerine hedeflenen ev hazırlığı yapabilmeleri için laboratuvar çalışma programı hakkında bilgi vermekle yükümlüdür.

Bir sonraki derse başlamadan önce öğretmen, kısa bir görüşme yaparak ve yüksek lisans öğrencilerinin çalışma için protokoller hazırladıklarını kontrol ederek yüksek lisans öğrencilerinin laboratuvar çalışması yapmaya hazır olduklarından emin olmalıdır.

Disiplinde başarılı bir ustalık, yüksek lisans öğrencisinin sistematik, günlük çalışma yoluyla aktif, yaratıcı katılımını gerektirir.

Disiplinin incelenmesi bir çalışma programının geliştirilmesiyle başlamalıdır, Özel dikkat Dersin amaç ve hedeflerine, yapısına ve içeriğine dikkat ederek.

Dersten hemen sonra notları gözden geçirin ve ders notlarında anlaşılması zor olan yerleri işaretleyin. Önerilen literatürü kullanarak zor soruların yanıtlarını bulmaya çalışın. Materyali kendi başınıza anlayamıyorsanız, soruları formüle edin ve bir konsültasyonda veya bir sonraki derste öğretmeninizden yardım isteyin.

Ele aldığınız materyali gözden geçirmek için düzenli olarak zaman ayırın; test sorularını kullanarak bilginizi, becerilerinizi ve yeteneklerinizi test edin.

Laboratuvar çalışmasının yapılması

Ders sırasında öğretmeninizden bir laboratuvar programı alın. Gerekli tüm metodolojik desteği alın.

Laboratuvarı ziyaret etmeden önce, araştırma için önerilen sorunun teorisini inceleyin, ilgili çalışmanın kılavuzunu okuyun ve çalışma için aşağıdakileri dahil ettiğiniz bir protokol hazırlayın:

· iş unvanı;

· deneysel gözlem verileriyle doldurulacak tabloların hazırlanması;

· deney sırasında gerçekleştirilecek dönüşümlerin kimyasal reaksiyonlarının denklemleri;

· hesaplama formülleri.

Raporların hazırlanması, çalışmaların tamamlanmasından sonra laboratuvarda veya dersler için belirlenen başka bir yerde yapılmalıdır.

Raporu korumaya hazırlanmak için analiz etmelisiniz. deneysel sonuçlar, bunları bilinenlerle karşılaştırın teorik ilkeler veya referans verileri, araştırma sonuçlarını çalışmayla ilgili sonuçlar şeklinde özetleyin, verilen sorulara yanıtlar hazırlayın. metodolojik yönergeler laboratuvar çalışması yapmak.

9. DİSİPLİNİN MALZEME VE TEKNİK DESTEĞİ

Bir bilgisayar atölyesi yürütmek için her öğrenciye ayrı bir çalışma alanı sağlamanıza olanak tanıyan bir bilgisayar sınıfına ihtiyacınız vardır. Bilgisayarların, üzerinde çalışılan programların çalışması için yeterli parametrelere sahip olması gerekir. Yeterince güçlü olmayan bilgisayarlar kullanıyorsanız, programların eski sürümlerini kullanmanızı veya üzerinde çalıştığınız programlardan bazılarını daha az kaynak kullanan programlarla değiştirmenizi önerebilirsiniz. Bilgisayarların internete erişimi olmalıdır. Bilgisayarlarda Windows XP (veya daha eskisi) yüklü olmalı ve üzerinde çalışılan bir dizi program bulunmalıdır (paragraf 8 DİSİPLİNİN EĞİTİMSEL, METODOLOJİK VE BİLGİ DESTEĞİ'nin ilgili bölümüne bakın).

Bilgisayar dersinde büyük bir tahta, tebeşir ve bir bez bulunmalıdır.

Gerçek dünyadaki belirli fenomenlerin incelenmesine yönelik matematiksel yaklaşımın genellikle karşılık gelen fenomenlerin yaratılmasıyla başladığını söylemiştik. Genel konseptler yani incelediğimiz sistem ve süreçlerin bizim için temel özelliklerine sahip matematiksel modellerin oluşturulmasından. Ayrıca biyolojide bu tür modellerin oluşturulmasıyla ilgili zorluklardan, biyolojik sistemlerin aşırı karmaşıklığından kaynaklanan zorluklardan da bahsetmiştik. Ancak bu zorluklara rağmen “model” yaklaşım biyolojik problemlerşu anda başarılı bir şekilde gelişiyor ve şimdiden belirli sonuçlar getirdi. Çeşitli biyolojik süreç ve sistemlerle ilgili bazı modellere bakacağız.

Modellerin rolü hakkında konuşmak biyolojik araştırma, aşağıdakilere dikkat etmek önemlidir. Her ne kadar "Model" terimini soyut anlamda - belirli bir sistem olarak anlasak da mantıksal kavramlar ve gerçek bir fiziksel cihaz olarak değil, yine de bir model, bir olgunun basit bir tanımından veya içinde hala yeterince yer bulunan tamamen niteliksel bir hipotezden çok daha fazlasıdır. Çeşitli türler belirsizlikler ve öznel görüşler. Size hatırlatalım sonraki örnek oldukça uzak bir geçmişe dayanmaktadır. Bir zamanlar Helmholtz işitmeyi incelerken sözde rezonans teorisi tamamen niteliksel bir bakış açısından makul görünüyordu. Ancak daha sonra gerçekleştirilen niceliksel hesaplamalar bileşenlerin gerçek kütle değerleri, elastikiyeti ve viskozitesi dikkate alınarak işitsel sistem bileşenler bu hipotezin tutarsızlığını gösterdi. Başka bir deyişle, tamamen niteliksel bir hipotezi, onun araştırılmasına olanak tanıyan doğru bir modele dönüştürme girişimi matematiksel yöntemler, orijinal ilkelerin tutarsızlığını hemen ortaya çıkardı. Elbette belli bir model oluşturduysak ve hatta bu model ile karşılık gelen biyolojik deneyin sonuçları arasında iyi bir uyum elde ettiysek, bu henüz modelimizin doğruluğunu kanıtlamaz. Şimdi, eğer modelimizi inceleyerek bununla ilgili bazı tahminlerde bulunabilirsek biyolojik sistem bu tahminleri simüle edip onaylıyoruz gerçek deney, o zaman bu, modelin doğruluğu lehine çok daha değerli bir kanıt olacaktır.

Ancak belirli örneklere geçelim.

2.Kan dolaşımı

Biyolojik süreçlerin matematiksel modellenmesi üzerine ilk olmasa da ilk çalışmalardan biri, Leonhard Euler'in geliştirdiği çalışması olarak düşünülmelidir. matematiksel teori kan dolaşımı, tümünün ilk yaklaşımına bakıldığında kan dolaşım sistemi elastik duvarlı bir rezervuar, çevresel direnç ve bir pompadan oluşur. Euler'in bu fikirleri (diğer bazı çalışmaları gibi) önce tamamen unutuldu ve daha yakın zamanlarda yeniden canlandı. daha sonraki çalışmalar diğer yazarlar.

3. Mendel yasaları

Biyolojide oldukça eski ve iyi bilinen ancak yine de çok dikkat çekici bir model, Mendel'in kalıtım teorisidir. Olasılık teorik kavramlarına dayanan bu model, ana hücrelerin kromozomlarının, döllenme sırasında bağımsız ve rastgele birleştirilen belirli özellikler dizisini içermesidir. Daha sonra bu temel fikir çok önemli açıklamalara uğradı; örneğin, şu keşfedildi: farklı işaretler her zaman birbirinden bağımsız değildir; aynı kromozomla ilişkiliyse ancak belirli bir kombinasyonla aktarılabilirler. Ayrıca, farklı kromozomların bağımsız olarak birleşmediği, ancak bu bağımsızlığı ihlal eden, kromozom afinitesi adı verilen bir özelliğin olduğu keşfedildi. Günümüzde olasılık-teorik ve istatistiksel yöntemler çok geniş bir alana nüfuz etmiştir. genetik araştırma ve hatta “matematiksel genetik” terimi bile tam vatandaşlık haklarına kavuştu. Şu anda bu alanda yoğun çalışmalar yürütülüyor, hem biyolojik hem de saf açıdan ilginç birçok sonuç elde ediliyor. matematiksel nokta görüş. Ancak bu çalışmaların temelinde Mendel'in 100 yılı aşkın bir süre önce oluşturduğu model bulunmaktadır.

4. Kas modelleri

En ilginç nesnelerden biri fizyolojik araştırma bir kastır. Bu nesneye çok kolay ulaşılabilir ve deneyci yalnızca nispeten basit ekipmanlara sahip olarak kendi üzerinde pek çok çalışma gerçekleştirebilir. Kasın canlı bir organizmada yerine getirdiği işlevler de oldukça açık ve kesindir. Bütün bunlara rağmen tatmin edici bir kas fonksiyonu modeli oluşturmak için yapılan çok sayıda girişim kesin sonuçlar vermedi. Bir kasın yay gibi esneyebilmesine ve kasılabilmesine rağmen özelliklerinin tamamen farklı olduğu ve hatta ilk tahmine göre yayın kasın bir benzeri olarak kabul edilemeyeceği açıktır. Bir yayın uzaması ile ona uygulanan yük arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir kas için durum böyle değildir: Bir kas, gerginliğini korurken uzunluğunu değiştirebilir ve bunun tersi de, uzunluğunu değiştirmeden çekiş kuvvetini değiştirebilir. Basitçe söylemek gerekirse, aynı uzunluktaki bir kas gevşeyebilir veya gerilebilir.

Bir kas için mümkün olan çeşitli çalışma modları arasında en önemlileri izotonik kasılma (yani kas geriliminin sabit kaldığı kasılma) ve kas uzunluğunun değişmediği izometrik gerilimdir (her ikisi de). uçları sabittir). Bir kası bu modlarda incelemek, çalışma prensiplerini anlamak için önemlidir; ancak doğal koşullar altında kas aktivitesi ne tamamen izotonik ne de tamamen izometriktir.

İzotonik kas kasılmasının hızı ile yükün büyüklüğü arasındaki ilişkiyi tanımlamak için çeşitli matematiksel formüller. Bunlardan en ünlüsü sözde karakteristik denklem Hilla. Öyle görünüyor

(P+a)V=b(P 0 -P),

Diğerleri iyi ünlü formüller aynı bağlantıyı tanımlamak için Ober denklemi kullanılır

P = P 0 e- V⁄P ±F

ve Polissar denklemi

V=sabit (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

Hill denklemi fizyolojide yaygınlaştı; aslında bir modelden yapılan bir çıkarımdan ziyade bir "uyum"un sonucunu temsil etmesine rağmen, çok çeşitli hayvanların kasları için yapılan deneylerle oldukça iyi bir uyum sağlar. Hill denklemi ile oldukça geniş bir yük aralığı üzerinde yaklaşık olarak aynı bağımlılığı veren diğer iki denklem, yazarları tarafından fizikokimyasal mekanizma hakkındaki belirli fikirlerden elde edildi. kas kasılması. Kas çalışmasının bir modelini oluşturmak için, ikincisini elastik ve viskoz elemanların bir kombinasyonu olarak kabul eden bir dizi girişimde bulunulmuştur. Bununla birlikte, çeşitli modlarda kas çalışmasının tüm temel özelliklerini yansıtan yeterince tatmin edici bir model hala mevcut değildir.

5. Nöron modelleri, sinir ağları

Sinir hücreleri veya nöronlar, sinir sistemini oluşturan ve hayvan veya insan vücudunun dış sinyalleri algılama ve kontrol etme yeteneklerini borçlu olduğu “çalışma birimleridir”. çeşitli parçalar bedenler. Sinir hücrelerinin karakteristik bir özelliği, böyle bir hücrenin iki durumda olabilmesidir - dinlenme ve uyarılma. Bu bakımdan sinir hücreleri, bilgisayarların mantıksal devrelerinin bir araya getirildiği radyo tüpleri veya yarı iletken tetikleyiciler gibi unsurlara benzer. Son 15-20 yılda etkinlikleri modellemek için birçok girişimde bulunuldu. gergin sistem, evrensel bilgisayarların çalışmasının dayandığı aynı ilkelere dayanmaktadır. 40'lı yıllarda Amerikalı araştırmacılar McCulloch ve Pitts, onu belirli sayıda "uyarıcı" ve belirli sayıda "uyarıcı" ile donatılmış bir unsur (fiziksel doğası önemli olmayan) olarak tanımlayarak "resmi nöron" kavramını ortaya attılar. engelleyici” girdiler. Bu unsurun kendisi iki durumda olabilir - "dinlenme" veya "heyecan". Nöron yeterli sayıda uyarıcı sinyal alırsa ve hiçbir engelleyici sinyal yoksa uyarılmış bir durum meydana gelir. McCulloch ve Pitts, bu tür unsurlardan oluşan devrelerin yardımıyla, prensipte, canlı bir organizmada meydana gelen bilgi işleme türlerinden herhangi birinin uygulanmasının mümkün olduğunu gösterdi. Ancak bu, sinir sisteminin gerçek ilkelerini öğrendiğimiz anlamına gelmez. Her şeyden önce, sinir hücreleri "ya hep ya hiç" ilkesiyle karakterize edilse de, yani. açıkça tanımlanmış iki durumun varlığı - dinlenme ve uyarılma, bundan sinir sistemimizin evrensel gibi olduğu sonucu çıkmaz. bilgisayar, ikili kullanır dijital kod sıfırlardan ve birlerden oluşur. Örneğin, sinir sisteminde, frekans modülasyonu, yani uyarılar arasındaki zaman aralıklarının uzunluğunu kullanarak bilginin iletilmesi, görünüşe göre önemli bir rol oynamaktadır. Genel olarak, sinir sisteminde, modern bilgisayar teknolojisinde mevcut olan, bilgi kodlama yöntemlerinin "dijital" ayrık) ve "analog" (sürekli) olarak böyle bir bölümü yoktur.

Bir nöron sisteminin bir bütün olarak çalışabilmesi için, bu nöronlar arasında belirli bağlantıların olması gerekir: Bir nöron tarafından üretilen uyarıların diğer nöronların girdilerine ulaşması gerekir. Bu bağlantılar doğru, düzenli bir yapıya sahip olabileceği gibi, yalnızca istatistiksel kalıplarla belirlenip belirli rastgele değişikliklere de tabi tutulabilir. Şu anda mevcut bilgi işlem cihazlarında, öğeler arasındaki bağlantılarda rastgeleliğe izin verilmiyor, ancak öğeler arasındaki rastgele bağlantı ilkelerine dayalı bilgi işlem cihazları oluşturma olasılığı üzerine bir dizi teorik çalışma var. Sinir sistemindeki gerçek nöronlar arasındaki bağlantıların da büyük ölçüde istatistiksel olduğu ve tam olarak düzenli olmadığı gerçeğini destekleyen oldukça ciddi argümanlar var. Ancak bu konudaki görüşler farklılık göstermektedir.

Sinir sisteminin modellenmesi problemi ile ilgili genel olarak aşağıdakiler söylenebilir. Nöronların, yani sinir sistemini oluşturan unsurların çalışmalarının özellikleri hakkında zaten oldukça fazla şey biliyoruz. Dahası, gerçek sinir hücrelerinin temel özelliklerini simüle eden resmi nöron sistemlerinin (McCulloch ve Pitts anlamında veya başka bir anlamda anlaşılan) yardımıyla, daha önce de belirtildiği gibi, çok çeşitli işlem yöntemlerini simüle etmek mümkündür. bilgi. Bununla birlikte, sinir sisteminin ve bireysel parçalarının işleyişinin temel ilkelerini net bir şekilde anlamaktan ve dolayısıyla tatmin edici bir model oluşturmaktan hala oldukça uzağız *.

* (Başka bir sistemle aynı sorunları çözebilecek bir tür sistem yaratabilirsek, bu her iki sistemin de aynı prensiplere göre çalıştığı anlamına gelmez. Örneğin bir diferansiyel denklemi dijital bilgisayar üzerinde uygun programı vererek sayısal olarak çözebileceğiniz gibi, aynı denklemi analog bilgisayar üzerinde de çözebilirsiniz. Aynı veya hemen hemen aynı sonuçları elde edeceğiz, ancak bu iki tür makinedeki bilgi işlemenin ilkeleri tamamen farklıdır.)

6. Görsel imgelerin algılanması. Renkli görüş

Vizyon, hakkında bilgi aldığımız ana kanallardan biridir. dış dünya. Ünlü ifade- yüz kez duymaktansa bir kez görmek daha iyidir - bu arada, tamamen bilgi açısından da doğrudur: görme yoluyla algıladığımız bilgi miktarı, diğer duyularla algılananla kıyaslanamayacak kadar daha fazladır. Bu önem görsel sistem canlı bir organizma için, diğer hususların yanı sıra (fonksiyonların özgüllüğü, sisteme herhangi bir zarar vermeden çeşitli çalışmalar yürütme olasılığı, vb.), onun çalışmasını ve özellikle bu soruna model yaklaşım girişimlerini teşvik etti.

Göz, hem optik sistem hem de bilgi işlem cihazı olarak görev yapan bir organdır. Her iki bakış açısından da bu sistemin birçok özelliği vardır. inanılmaz özellikler. Gözün çok geniş bir ışık yoğunluğu aralığına uyum sağlama ve tüm renkleri doğru algılama yeteneği dikkat çekicidir. Örneğin, az aydınlatılmış bir odaya konulan bir tebeşir parçası, daha az ışık parlak ışığa maruz kalan bir kömür parçasından daha Güneş ışığı ancak yine de bu durumların her birinde karşılık gelen nesnelerin renklerini doğru algılıyoruz. Göz, aydınlatma yoğunluklarındaki göreceli farklılıkları iyi bir şekilde aktarır ve hatta onları bir miktar "abartır". Bu nedenle, parlak beyaz bir arka plan üzerindeki gri bir çizgi bize aynı renkteki düz bir alandan daha koyu görünür. gri. Gözün aydınlatmadaki kontrastları vurgulama yeteneği, görsel nöronların birbirleri üzerinde engelleyici bir etkiye sahip olmasından kaynaklanmaktadır: eğer iki komşu nörondan ilki ikincisinden daha güçlü bir sinyal alırsa, o zaman bu, görsel nöronlar üzerinde yoğun bir engelleyici etkiye sahiptir. İkincisi, bu nöronların çıktılarındaki fark, yoğunluğun, giriş sinyallerinin yoğunluğundaki farktan daha büyük olmasıdır. Hem uyarıcı hem de engelleyici bağlantılarla birbirine bağlanan resmi nöronlardan oluşan modeller, hem fizyologların hem de matematikçilerin dikkatini çekmiştir. Ayrıca orada ilginç sonuçlar ve çözülmemiş sorunlar.

Gözün algılama mekanizması büyük ilgi görüyor çeşitli renkler. Bildiğiniz gibi gözlerimizin algıladığı tüm renk tonları, üç ana rengin birleşimi olarak temsil edilebilir. Genellikle bu ana renkler kırmızı, mavi ve sarı renkler 700, 540 ve 450 Å dalga boylarına karşılık gelir, ancak bu seçim kesin değildir.

Görüşümüzün "üç renkli" doğası, insan gözünün sırasıyla sarı, mavi ve kırmızı bölgelerde maksimum hassasiyete sahip üç tip reseptöre sahip olmasından kaynaklanmaktadır. Soru şu; bu üç reseptörü nasıl ayırt edeceğiz? çok sayıda renk tonları çok basit değil. Örneğin şu veya bu rengin gözümüzde tam olarak neyin kodlandığı henüz yeterince açık değil: frekans sinir uyarıları, belirli bir renk tonuna veya başka bir şeye tercihen yanıt veren nöronun lokalizasyonu. Bu renk tonlarının algılanma süreci hakkında bazı model fikirleri var, ancak bunlar hala oldukça ön hazırlık niteliğinde. Ancak burada da hem uyarıcı hem de engelleyici bağlantılarla birbirine bağlanan nöron sistemlerinin önemli bir rol oynaması gerektiğine şüphe yoktur.

Son olarak göz kinematik bir sistem olarak da oldukça ilgi çekicidir. Bir dizi ustaca deney (birçoğu Moskova'daki Bilgi İletimi Sorunları Enstitüsü'nün görme fizyolojisi laboratuvarında gerçekleştirildi) ilk bakışta aşağıdakileri ortaya koydu: beklenmedik gerçek: Bir görüntü göze göre hareketsizse göz onu algılamaz. Gözümüz bir nesneyi incelerken onu kelimenin tam anlamıyla "hisseder" (bu göz hareketleri uygun ekipman kullanılarak doğru bir şekilde kaydedilebilir). Gözün motor aparatının incelenmesi ve uygun gelişimin geliştirilmesi model gösterimleri hem kendi başlarına hem de görsel sistemimizin diğer (optik, bilgilendirici vb.) özellikleriyle bağlantılı olarak oldukça ilginçtir.

Özetlemek gerekirse, görsel sistemin tüm temel özelliklerini iyi tanımlayan, tamamen tatmin edici modellerini oluşturmaktan hala uzağız diyebiliriz. Ancak bir sayı önemli yönler ve (çalışma prensipleri zaten oldukça açıktır ve dijital bir bilgisayar için bilgisayar programları veya hatta teknik cihazlar şeklinde modellenebilir.

7. Aktif ortam modeli. Uyarma yayılması

Bunlardan biri karakteristik özellikler başta olmak üzere pek çok canlı doku sinir dokusu, bu onların uyarılma ve uyarımı bir alandan bitişikteki diğerine aktarma yetenekleridir. Yaklaşık saniyede bir, kalp kasımızdan bir heyecan dalgası geçerek onun kasılmasına ve kanın tüm vücuda yayılmasına neden olur. Çevreden (duyu organları) omuriliğe ve beyne yayılan sinir lifleri boyunca uyarım, bizi dış dünya hakkında bilgilendirir ve tam tersi yönde kaslara belirli eylemleri emreden uyarma komutları vardır.

Bir sinir hücresindeki uyarma, kendi başına ("kendiliğinden" dedikleri gibi), uyarılmış bir komşu hücrenin etkisi altında veya bir tür dış sinyalin, örneğin bir akım kaynağından gelen elektriksel uyarının etkisi altında meydana gelebilir. Heyecanlı bir duruma geçtikten sonra, hücre bir süre içinde kalır ve ardından heyecan kaybolur, ardından yeni uyaranlara karşı belirli bir hücre bağışıklığı dönemi başlar - sözde refrakter dönem. Bu süre zarfında hücre aldığı sinyallere yanıt vermez. Daha sonra hücre, uyarılma durumuna geçişin mümkün olduğu orijinal durumuna geri döner. Bu nedenle, sinir hücrelerinin uyarılması, bu fenomenin aksiyomatik bir modelini oluşturmanın mümkün olduğu, açıkça tanımlanmış bir dizi özelliğe sahiptir. Ayrıca, bu modeli incelemek için tamamen matematiksel yöntemler kullanılabilir.

Böyle bir modele ilişkin fikirler birkaç yıl önce I.M. Gelfand ve M.L. Tsetlin'in çalışmalarında geliştirildi ve bunlar daha sonra başka yazarlar tarafından da sürdürüldü. Hadi formüle edelim aksiyomatik açıklama Söz konusu model.

"Uyarılabilir ortam" derken belirli bir diziyi kastediyoruz X aşağıdaki özelliklere sahip elementler (“hücreler”):

1. Her element üç durumdan birinde olabilir: dinlenme, heyecan ve refrakterlik;

2. Uyarılmış her elementten uyarılma, hareketsiz durumdaki birçok elemente belirli bir hızla yayılır. v;

3.Eğer öğe X belirli bir süredir heyecanlanmadım T(x), bu sürenin sonunda kendiliğinden heyecanlı duruma geçer. Zaman T(x) elementin kendiliğinden faaliyet dönemi denir X. Bu durum şu durumları dışlamaz: T(x)= ∞ yani spontan aktivite gerçekte mevcut olmadığında;

4. Heyecan hali bir süre devam eder τ (buna bağlı olabilir) X), ardından eleman bir süre hareket eder R(x) dirençli bir duruma geçer, ardından bir dinlenme durumu başlar.

Benzer matematiksel modeller, tamamen başka alanlarda, örneğin yanma teorisinde veya ışığın homojen olmayan bir ortamda yayılması problemlerinde ortaya çıkar. Ancak “dirençli bir dönemin” varlığı Karakteristik özellik yani biyolojik süreçler.

Açıklanan model incelenebilir veya Analitik Yöntemler veya bir bilgisayarda uygulayarak. İkinci durumda, elbette, kümenin olduğunu varsaymak zorunda kalıyoruz. X(uyarılabilir ortam) belirli sonlu sayıda elemandan oluşur (mevcut olanın yeteneklerine uygun olarak) bilgisayar Teknolojisi- yaklaşık birkaç bin). Analitik araştırma için şunu varsaymak doğaldır: X sürekli bir çeşitlilik (örneğin şunu düşünün) X- bu bir uçak parçası). En basit durum alırsak böyle bir model elde edilir X bazı segmentleri (sinir lifinin bir prototipi) inceleyin ve her bir elemanın uyarılmış durumda olduğu sürenin çok kısa olduğunu varsayalım. Daha sonra, böyle bir "sinir lifi" boyunca dürtülerin sıralı yayılma süreci, sıradan birinci dereceden diferansiyel denklemler zinciri ile açıklanabilir. Zaten bu basitleştirilmiş modelde, gerçek biyolojik deneylerde de bulunan yayılma sürecinin bir dizi özelliği yeniden üretilmiştir.

Böyle bir modelde böyle bir modelin ortaya çıkmasının koşulları sorusu oldukça ilginçtir. aktif ortam fibrilasyon denir. Örneğin kalp kasında deneysel olarak gözlemlenen bu fenomen, kalpte ritmik koordineli kasılmalar yerine, periyodiklikten yoksun ve işleyişini bozan rastgele yerel uyarıların ortaya çıkmasından oluşur. Birinci teorik araştırma Bu sorun 50'li yıllarda N. Wiener ve A. Rosenbluth'un çalışmalarında çözülmüştür. Şu anda ülkemizde bu yönde çalışmalar yoğun bir şekilde yürütülmekte ve şimdiden çok sayıda ilginç sonuç elde edilmiştir.