La distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne. DANS géométrie descriptive c'est déterminé graphiquement selon l'algorithme ci-dessous.

Algorithme

1. La ligne droite est déplacée vers une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. A cet effet, des méthodes de transformation de projections orthogonales sont utilisées.
2. A partir d'un point, une perpendiculaire est tracée à une ligne. Au cœur de cette construction réside le théorème sur la projection d'un angle droit.
3. La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en transformant ses projections ou en utilisant chemin triangle rectangle.

La figure suivante montre dessin complexe point M et ligne b définis par le segment CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.

Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la droite jusqu'à la position parallèle au plan projections. Il est important de comprendre qu'une fois les transformations effectuées, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il est pratique d'utiliser ici méthode de remplacement d'avion, qui n'implique pas de déplacer des personnages dans l'espace.

Les résultats de la première étape de construction sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. DANS nouveau système(P 1, P 4) les points C"" 1, D"" 1, M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.

En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, à partir de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 jusqu'à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en taille réelle. A l'aide de la ligne de communication, on détermine la position du point N" et on réalise la projection M"N" du segment MN.

Sur étape finale vous devez déterminer la taille du segment MN à partir de ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1. Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0, qui a un côté N"" 1 N 0 égal à la différence(Y M 1 – Y N 1) supprimant les points M" et N" de l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.

Deuxième solution

• Parallèlement au CD, nous introduisons un nouveau plan frontal P4. Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C"" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
• Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un supplémentaire plan horizontal P 5 sur laquelle la droite b est projetée jusqu'au point C" 2 = b" 2.
• La distance entre le point M et la ligne b est déterminée par la longueur du segment M" 2 C" 2, indiquée en rouge.

Tâches similaires :

Niveau d'entrée

Coordonnées et vecteurs. Guide complet (2019)

Dans cet article, nous commencerons par discuter d’une « baguette magique » qui vous permettra de réduire de nombreux problèmes de géométrie à de simples calculs arithmétiques. Ce « bâton » peut vous faciliter la vie, surtout lorsque vous n'êtes pas sûr de pouvoir construire des figures spatiales, des sections, etc. Tout cela nécessite une certaine imagination et des compétences pratiques. La méthode que nous allons commencer à considérer ici vous permettra de faire abstraction presque complètement de tout type de constructions géométriques et le raisonnement. La méthode s'appelle "méthode des coordonnées". Dans cet article, nous examinerons les questions suivantes :

1. Plan de coordonnées
2. Points et vecteurs sur le plan
3. Construire un vecteur à partir de deux points
4. Longueur du vecteur (distance entre deux points)​
5. Coordonnées du milieu du segment
6. Produit scalaire des vecteurs
7. Angle entre deux vecteurs​

Je pense que vous avez déjà deviné pourquoi la méthode des coordonnées s'appelle ainsi ? C'est vrai, il doit son nom au fait qu'il ne fonctionne pas avec des objets géométriques, mais avec leurs caractéristiques numériques(coordonnées). Et la transformation elle-même, qui permet de passer de la géométrie à l'algèbre, consiste à introduire un système de coordonnées. Si la figure originale était plate, alors les coordonnées sont bidimensionnelles, et si la figure est tridimensionnelle, alors les coordonnées sont tridimensionnelles. Dans cet article, nous considérerons uniquement le cas bidimensionnel. Et l'objectif principal de l'article est de vous apprendre à utiliser certains techniques de base méthode des coordonnées (elles s'avèrent parfois utiles pour résoudre des problèmes de planimétrie dans la partie B de l'examen d'État unifié). Les deux sections suivantes sur ce sujet sont consacrées à une discussion des méthodes de résolution des problèmes C2 (le problème de la stéréométrie).

Par où serait-il logique de commencer à discuter de la méthode des coordonnées ? Probablement du concept de système de coordonnées. Rappelez-vous la première fois que vous l'avez rencontrée. Il me semble qu'en 7e, quand tu as appris l'existence fonction linéaire, Par exemple. Je vous rappelle que vous l'avez construit point par point. Vous souvenez-vous? Vous avez choisi nombre arbitraire, je l'ai substitué dans la formule et je l'ai calculé de cette façon. Par exemple, si, alors, si, alors, etc. Qu'avez-vous obtenu au final ? Et vous avez reçu des points avec des coordonnées : et. Ensuite, vous avez dessiné une « croix » (système de coordonnées), sélectionné une échelle dessus (combien de cellules vous aurez segment unique) et y avez marqué les points que vous avez obtenus, que vous avez ensuite reliés par une ligne droite, la ligne résultante est le graphique de la fonction ;

Il y a ici quelques points qui mériteraient de vous être expliqués un peu plus en détail :

1. Vous choisissez un seul segment pour des raisons de commodité, afin que tout s'intègre parfaitement et de manière compacte dans le dessin.

2. Il est admis que l'axe aille de gauche à droite, et l'axe aille de bas en haut

3. Ils se coupent à angle droit et le point de leur intersection est appelé l’origine. Il est indiqué par une lettre.

4. En écrivant les coordonnées d'un point, par exemple, à gauche entre parenthèses se trouve la coordonnée du point le long de l'axe, et à droite, le long de l'axe. En particulier, cela signifie simplement qu'au moment

5. Afin de définir un point sur axe de coordonnées, vous devez indiquer ses coordonnées (2 chiffres)

6. Pour tout point situé sur l'axe,

7. Pour tout point situé sur l'axe,

8. L'axe s'appelle l'axe des x

9. L'axe s'appelle l'axe des y

Passons maintenant à l'étape suivante : marquez deux points. Relions ces deux points avec un segment. Et nous mettrons la flèche comme si nous dessinions un segment d'un point à un autre : c'est-à-dire que nous ferons en sorte que notre segment soit dirigé !

Rappelez-vous comment s'appelle un autre segment directionnel ? C'est vrai, ça s'appelle un vecteur !

Donc si nous connectons point à point, et le début sera le point A, et la fin sera le point B, alors nous obtenons un vecteur. Vous avez aussi fait cette construction en 8e, vous vous souvenez ?

Il s'avère que les vecteurs, comme les points, peuvent être désignés par deux nombres : ces nombres sont appelés coordonnées vectorielles. Question : Pensez-vous qu'il suffit de connaître les coordonnées du début et de la fin d'un vecteur pour trouver ses coordonnées ? Il s'avère que oui ! Et cela se fait très simplement :

Ainsi, puisque dans un vecteur le point est le début et le point est la fin, le vecteur a les coordonnées suivantes :

Par exemple, si, alors les coordonnées du vecteur

Faisons maintenant l'inverse, trouvons les coordonnées du vecteur. Que devons-nous changer pour cela ? Oui, vous devez échanger le début et la fin : maintenant le début du vecteur sera au point et la fin sera au point. Alors:

Regardez bien, quelle est la différence entre les vecteurs et ? Leur seule différence réside dans les signes dans les coordonnées. Ils sont opposés. Ce fait s’écrit généralement ainsi :

Parfois, s'il n'est pas spécifiquement indiqué quel point est le début du vecteur et lequel est la fin, alors les vecteurs sont désignés par plus de deux en majuscules, et une minuscule, par exemple : , etc.

Maintenant un peu pratique vous-même et trouvez les coordonnées des vecteurs suivants :

Examen:

Résolvez maintenant un problème légèrement plus difficile :

Un vecteur commençant en un point a un co-ou-di-na-you. Trouvez les points abs-cis-su.

C'est quand même assez prosaïque : Soit les coordonnées du point. Alors

J'ai compilé le système sur la base de la définition de ce que sont les coordonnées vectorielles. Le point a alors des coordonnées. C'est l'abscisse qui nous intéresse. Alors

Répondre:

Que pouvez-vous faire d’autre avec les vecteurs ? Oui, presque tout est comme avec nombres ordinaires(sauf qu’on ne peut pas diviser, mais on peut multiplier de deux manières, dont nous aborderons l’une ici un peu plus tard)

1. Les vecteurs peuvent être ajoutés les uns aux autres
2. Les vecteurs peuvent être soustraits les uns des autres
3. Les vecteurs peuvent être multipliés (ou divisés) par un nombre arbitraire non nul
4. Les vecteurs peuvent être multipliés les uns par les autres

Toutes ces opérations ont un but très clair représentation géométrique. Par exemple, la règle du triangle (ou du parallélogramme) pour l'addition et la soustraction :

Un vecteur s'étire, se contracte ou change de direction lorsqu'il est multiplié ou divisé par un nombre :

Cependant, nous nous intéresserons ici à la question de savoir ce qu'il advient des coordonnées.

1. Lors de l'ajout (soustraction) de deux vecteurs, nous ajoutons (soustrayons) leurs coordonnées élément par élément. C'est-à-dire:

2. Lors de la multiplication (divisation) d'un vecteur par un nombre, toutes ses coordonnées sont multipliées (divisées) par ce nombre :

Par exemple:

· Trouvez la quantité de co-or-di-nat siècle à ra.

Trouvons d'abord les coordonnées de chacun des vecteurs. Ils ont tous deux la même origine : le point d’origine. Leurs fins sont différentes. Alors, . Calculons maintenant les coordonnées du vecteur. Ensuite, la somme des coordonnées du vecteur résultant est égale.

Répondre:

Résolvez maintenant vous-même le problème suivant :

· Trouver la somme des coordonnées vectorielles

Nous vérifions :

Considérons maintenant le problème suivant : nous avons deux points sur plan de coordonnées. Comment trouver la distance qui les sépare ? Laissez le premier point être et le second. Notons la distance qui les sépare par. Faisons le dessin suivant pour plus de clarté :

Qu'ai-je fait ? Tout d'abord, je me suis connecté des points et un aussi à partir d'un point j'ai tracé une ligne parallèle à l'axe, et à partir d'un point j'ai tracé une ligne parallèle à l'axe. Se sont-ils croisés en un point, formant une figure remarquable ? Qu'a-t-elle de si spécial ? Oui, vous et moi savons presque tout sur le triangle rectangle. Eh bien, le théorème de Pythagore, bien sûr. Le segment requis est l'hypoténuse de ce triangle et les segments sont les jambes. Quelles sont les coordonnées du point ? Oui, ils sont faciles à trouver à partir de l'image : puisque les segments sont parallèles aux axes et, respectivement, leurs longueurs sont faciles à trouver : si nous désignons les longueurs des segments par, respectivement, alors

Utilisons maintenant le théorème de Pythagore. On connaît les longueurs des jambes, on trouvera l'hypoténuse :

Ainsi, la distance entre deux points est la racine de la somme des carrés des différences par rapport aux coordonnées. Ou - la distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie.

Il est facile de voir que la distance entre les points ne dépend pas de la direction. Alors:

De là, nous tirons trois conclusions :

Pratiquons-nous un peu au calcul de la distance entre deux points :

Par exemple, si, alors la distance entre et est égale à

Ou allons dans une autre direction : trouvez les coordonnées du vecteur

Et trouvez la longueur du vecteur :

Comme vous pouvez le constater, c'est la même chose !

Maintenant, entraînez-vous un peu vous-même :

Tâche : trouver la distance entre les points indiqués :

Nous vérifions :

Voici quelques autres problèmes utilisant la même formule, bien qu'ils semblent un peu différents :

1. Trouvez le carré de la longueur de la paupière.

2. Trouvez le carré de la longueur de la paupière

Je pense que vous les avez traités sans difficulté ? Nous vérifions :

1. Et c'est pour être attentif) Nous avons déjà trouvé les coordonnées des vecteurs plus tôt : . Alors le vecteur a des coordonnées. Le carré de sa longueur sera égal à :

2. Trouver les coordonnées du vecteur

Alors le carré de sa longueur est

Rien de compliqué, non ? Arithmétique simple, rien de plus. Les problèmes suivants ne peuvent pas être classés sans ambiguïté ;érudition générale

1. et la capacité de dessiner des images simples.

Trouvez le sinus de l'angle à partir de la coupe, reliant le point, avec l'axe des abscisses.

Et

Comment allons-nous procéder ici ? Nous devons trouver le sinus de l’angle entre et l’axe. Où pouvons-nous chercher le sinus ? C'est vrai, dans un triangle rectangle. Alors que devons-nous faire ? Construisez ce triangle ! Puisque les coordonnées du point sont et, alors le segment est égal à et le segment. Nous devons trouver le sinus de l’angle. Permettez-moi de vous rappeler que le sinus est un rapport jambe opposée

Que nous reste-t-il à faire ? Trouvez l'hypoténuse. Vous pouvez le faire de deux manières : en utilisant le théorème de Pythagore (les jambes sont connues !) ou en utilisant la formule de la distance entre deux points (en fait, la même chose que la première méthode !). Je vais suivre la deuxième voie :

Répondre:

La prochaine tâche vous semblera encore plus facile. Elle est sur les coordonnées du point.

Tâche 2.À partir du point, le per-pen-di-ku-lyar est abaissé sur l'axe ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Faisons un dessin :

La base d'une perpendiculaire est le point où elle coupe l'axe des x (axe), pour moi c'est un point. La figure montre qu'il a les coordonnées : . Nous nous intéressons à l'abscisse, c'est-à-dire la composante « x ». Elle est égale.

Répondre: .

Tâche 3. Dans les conditions du problème précédent, trouvez la somme des distances du point aux axes de coordonnées.

La tâche est généralement élémentaire si l'on connaît quelle est la distance d'un point aux axes. Tu sais? J'espère, mais je vous rappelle quand même :

Alors, dans mon dessin juste au dessus, ai-je déjà tracé une telle perpendiculaire ? C'est sur quel axe ? À l'axe. Et quelle est alors sa longueur ? Elle est égale. Dessinez maintenant vous-même une perpendiculaire à l’axe et trouvez sa longueur. Ce sera égal, non ? Alors leur somme est égale.

Répondre: .

Tâche 4. Dans les conditions de la tâche 2, trouver l'ordonnée du point, pointe symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Je pense qu'il est intuitivement clair pour vous ce qu'est la symétrie ? De nombreux objets en sont dotés : de nombreux bâtiments, des tables, des avions, de nombreux formes géométriques: boule, cylindre, carré, losange, etc. Grosso modo, la symétrie peut être comprise comme suit : une figure est constituée de deux (ou plusieurs) moitiés identiques. Cette symétrie est appelée symétrie axiale. Qu’est-ce alors qu’un axe ? C’est exactement la ligne le long de laquelle la figure peut, relativement parlant, être « coupée » en moitiés égales (dans cette image, l’axe de symétrie est droit) :

Revenons maintenant à notre tâche. On sait que l'on recherche un point symétrique par rapport à l'axe. Alors cet axe est l’axe de symétrie. Cela signifie que nous devons marquer un point tel que l'axe coupe le segment en deux parties égales. Essayez de marquer vous-même un tel point. Comparez maintenant avec ma solution :

Est-ce que ça s'est passé de la même manière pour vous ? Bien! On s'intéresse à l'ordonnée du point trouvé. C'est égal

Répondre:

Maintenant, dites-moi, après avoir réfléchi quelques secondes, quelle sera l'abscisse d'un point symétrique au point A par rapport à l'ordonnée ? Quelle est votre réponse ? Bonne réponse : .

DANS cas général la règle peut s'écrire ainsi :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des abscisses a les coordonnées :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des ordonnées a pour coordonnées :

Eh bien, maintenant c'est complètement effrayant tâche: trouver les coordonnées d'un point symétrique au point par rapport à l'origine. Pensez d'abord par vous-même, puis regardez mon dessin !

Répondre:

Maintenant problème de parallélogramme :

Tâche 5 : Les points apparaissent ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouvez ou-di-sur-ce point.

Vous pouvez résoudre ce problème de deux manières : par la logique et par la méthode des coordonnées. Je vais d'abord utiliser la méthode des coordonnées, puis je vous expliquerai comment la résoudre différemment.

Il est bien clair que l'abscisse du point est égale. (il se situe sur la perpendiculaire tracée du point à l'axe des abscisses). Nous devons trouver l'ordonnée. Profitons du fait que notre figure est un parallélogramme, cela veut dire ça. Trouvons la longueur du segment en utilisant la formule de la distance entre deux points :

On abaisse la perpendiculaire reliant le point à l'axe. Je désignerai le point d'intersection par une lettre.

La longueur du segment est égale. (trouvez vous-même le problème là où nous avons discuté de ce point), puis nous trouverons la longueur du segment en utilisant le théorème de Pythagore :

La longueur d'un segment coïncide exactement avec son ordonnée.

Répondre: .

Une autre solution (je vais juste mettre une photo qui l'illustre)

Avancement de la solution :

1. Conduite

2. Trouvez les coordonnées du point et la longueur

3. Prouvez-le.

Un de plus problème de longueur de segment:

Les points apparaissent au-dessus des triangles. Trouvez la longueur de sa ligne médiane, parallèle.

Te souviens-tu de ce que c'est ligne médiane triangle? Alors cette tâche est élémentaire pour vous. Si vous ne vous en souvenez pas, je vous le rappelle : la ligne médiane d'un triangle est la ligne qui relie les milieux côtés opposés. Elle est parallèle à la base et égale à la moitié de celle-ci.

La base est un segment. Il a fallu chercher sa longueur plus tôt, elle est égale. Ensuite, la longueur de la ligne médiane est deux fois moins grande et égale.

Répondre: .

Commentaire : ce problème peut être résolu d'une autre manière, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

En attendant, voici quelques problèmes pour vous, entraînez-vous dessus, ils sont très simples, mais ils vous aident à mieux utiliser la méthode des coordonnées !

1. Les points apparaissent en haut des tra-pe-tions. Trouvez la longueur de sa ligne médiane.

2. Points et apparitions ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouvez ou-di-sur-ce point.

3. Trouvez la longueur à partir de la coupe, en reliant le point et

4. Trouvez la zone derrière la figure colorée sur le plan de coordination.

5. Un cercle de centre en na-cha-le ko-or-di-nat passe par le point. Trouvez-la.

6. Trouvez-di-te ra-di-us du cercle, décrivez-san-noy à propos de l'angle droit-no-ka, les sommets de quelque chose ont un co-ou -di-na-vous êtes tellement responsable -mais

Solutions :

1. On sait que la ligne médiane d’un trapèze est égale à la moitié de la somme de ses bases. La base est égale, et la base. Alors

Répondre:

2. Le moyen le plus simple de résoudre ce problème est de noter cela (règle du parallélogramme). Calculer les coordonnées des vecteurs n'est pas difficile : . Lors de l'ajout de vecteurs, les coordonnées sont ajoutées. A ensuite des coordonnées. Le point a également ces coordonnées, puisque l'origine du vecteur est le point avec les coordonnées. Ce qui nous intéresse, c'est l'ordonnée. Elle est égale.

Répondre:

3. On agit immédiatement selon la formule de la distance entre deux points :

Répondre:

4. Regardez l’image et dites-moi entre quelles deux figures la zone ombrée est « prise en sandwich » ? Il est pris en sandwich entre deux carrés. Ensuite, l'aire de la figure souhaitée est égale à l'aire du grand carré moins l'aire du petit. Côté petit carré est un segment reliant les points et sa longueur est

Alors l'aire du petit carré est

On fait de même avec un grand carré : son côté est un segment reliant les points et sa longueur est égale à

Alors l'aire du grand carré est

On trouve l'aire de la figure souhaitée à l'aide de la formule :

Répondre:

5. Si un cercle a pour centre l’origine et passe par un point, alors son rayon sera exactement égal à la longueur segment (faites un dessin et vous comprendrez pourquoi c'est évident). Trouvons la longueur de ce segment :

Répondre:

6. On sait que le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle égal à la moitié ses diagonales. Trouvons la longueur de l'une des deux diagonales (après tout, dans un rectangle, elles sont égales !)

Répondre:

Eh bien, avez-vous fait face à tout ? Ce n’était pas très difficile à comprendre, n’est-ce pas ? Il n'y a qu'une seule règle ici : être capable de créer une image visuelle et simplement de « lire » toutes les données qui en découlent.

Il nous en reste très peu. Il y a littéralement deux autres points dont j'aimerais discuter.

Essayons de résoudre ce problème simple. Laissez deux points et soyez donné. Trouvez les coordonnées du milieu du segment. La solution à ce problème est la suivante : que le point soit le milieu souhaité, alors il a des coordonnées :

C'est-à-dire: coordonnées du milieu du segment = la moyenne arithmétique des coordonnées correspondantes des extrémités du segment.

Cette règle est très simple et ne pose généralement pas de difficultés aux étudiants. Voyons dans quels problèmes et comment il est utilisé :

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny à partir de la coupe, connectez le point et

2. Les points semblent être le sommet du monde. Find-di-te or-di-na-tu points per-re-se-che-niya de son dia-go-na-ley.

3. Trouvez-di-te abs-cis-su centre du cercle, décrivez-san-noy à propos du rectangulaire-no-ka, les sommets de quelque chose ont co-or-di-na-you de manière si responsable-mais.

Solutions :

1. Le premier problème est tout simplement classique. Nous procédons immédiatement à la détermination du milieu du segment. Il a des coordonnées. L'ordonnée est égale.

Répondre:

2. Il est facile de voir que ce quadrilatère est un parallélogramme (voire un losange !). Vous pouvez le prouver vous-même en calculant les longueurs des côtés et en les comparant entre elles. Que sais-je des parallélogrammes ? Ses diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection ! Ouais! Alors quel est le point d’intersection des diagonales ? C'est le milieu de n'importe laquelle des diagonales ! Je choisirai notamment la diagonale. Alors le point a des coordonnées L'ordonnée du point est égale à.

Répondre:

3. Avec quoi coïncide le centre du cercle circonscrit au rectangle ? Il coïncide avec le point d'intersection de ses diagonales. Que savez-vous des diagonales d’un rectangle ? Ils sont égaux et le point d’intersection les divise en deux. La tâche a été réduite à la précédente. Prenons par exemple la diagonale. Alors si est le centre du cercle circonscrit, alors est le milieu. Je cherche des coordonnées : L'abscisse est égale.

Répondre:

Maintenant, entraînez-vous un peu par vous-même, je vais juste vous donner les réponses à chaque problème afin que vous puissiez vous tester.

1. Trouvez-di-te ra-di-us du cercle, décrivez-san-noy à propos du tri-angle-no-ka, les sommets de quelque chose ont un co-or-di -sur-vous

2. Trouvez-di-te ou-di-sur-ce centre du cercle, décrivez-san-noy à propos du triangle-no-ka dont les sommets ont des coordonnées

3. Quel genre de ra-di-u-sa devrait-il y avoir un cercle avec un centre en un point pour qu'il touche l'axe ab-ciss ?

4. Trouver-di-ces ou-di-sur-ce point de re-se-ce-tion de l'axe et de coupe, connecter le point et

Réponses :

Est-ce que tout a réussi ? Je l'espère vraiment ! Maintenant, c'est la dernière poussée. Maintenant, soyez particulièrement prudent. Le matériel que je vais maintenant expliquer est directement lié non seulement aux problèmes simples sur la méthode des coordonnées de la partie B, mais se retrouve également partout dans le problème C2.

Laquelle de mes promesses n’ai-je pas encore tenue ? Rappelez-vous quelles opérations sur les vecteurs j'avais promis d'introduire et lesquelles j'ai finalement introduites ? Es-tu sûr que je n'ai rien oublié ? Oublié! J'ai oublié d'expliquer ce que signifie la multiplication vectorielle.

Il existe deux façons de multiplier un vecteur par un vecteur. Selon la méthode choisie, nous obtiendrons des objets de différentes natures :

Le produit croisé est réalisé de manière assez intelligente. Nous verrons comment procéder et pourquoi cela est nécessaire dans le prochain article. Et dans celui-ci, nous nous concentrerons sur le produit scalaire.

Il existe deux manières de le calculer :

Comme vous l’avez deviné, le résultat devrait être le même ! Examinons donc d'abord la première méthode :

Produit scalaire via les coordonnées

Trouver : - notation généralement acceptée pour le produit scalaire

La formule de calcul est la suivante :

C'est produit scalaire= somme des produits de coordonnées vectorielles !

Exemple:

Trouver-di-te

Solution:

Trouvons les coordonnées de chacun des vecteurs :

On calcule le produit scalaire à l'aide de la formule :

Répondre:

Vous voyez, absolument rien de compliqué !

Eh bien, maintenant, essayez-le vous-même :

· Trouver un pro-iz-ve-de-nie scalaire de siècles et

Avez-vous réussi ? Peut-être avez-vous remarqué un petit problème ? Vérifions :

Coordonnées vectorielles, comme dans le problème précédent ! Répondre: .

En plus de celui des coordonnées, il existe une autre façon de calculer le produit scalaire, à savoir par les longueurs des vecteurs et le cosinus de l'angle entre eux :

Désigne l'angle entre les vecteurs et.

Autrement dit, le produit scalaire est égal au produit des longueurs des vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare.

Pourquoi avons-nous besoin de cette deuxième formule, si nous avons la première, qui est beaucoup plus simple, au moins elle ne contient pas de cosinus. Et c'est nécessaire pour qu'à partir de la première et de la deuxième formules, vous et moi puissions déduire comment trouver l'angle entre les vecteurs !

Rappelons-nous alors la formule de la longueur du vecteur !

Ensuite, si je remplace ces données dans la formule du produit scalaire, j'obtiens :

Mais d'un autre côté :

Alors qu'est-ce que toi et moi avons eu ? Nous avons maintenant une formule qui nous permet de calculer l'angle entre deux vecteurs ! Parfois, il s’écrit aussi ainsi par souci de concision :

C'est-à-dire que l'algorithme de calcul de l'angle entre les vecteurs est le suivant :

1. Calculer le produit scalaire via les coordonnées
2. Trouvez les longueurs des vecteurs et multipliez-les
3. Divisez le résultat du point 1 par le résultat du point 2

Pratiquons avec des exemples :

1. Trouvez l'angle entre les paupières et. Donnez la réponse en grad-du-sah.

2. Dans les conditions du problème précédent, trouver le cosinus entre les vecteurs

Faisons ceci : je vais vous aider à résoudre le premier problème et essayer de résoudre le second vous-même ! Accepter? Alors commençons !

1. Ces vecteurs sont nos vieux amis. Nous avons déjà calculé leur produit scalaire et il était égal. Leurs coordonnées sont : , . Ensuite on trouve leurs longueurs :

Ensuite on cherche le cosinus entre les vecteurs :

Quel est le cosinus de l'angle ? C'est le coin.

Répondre:

Eh bien, résolvez maintenant vous-même le deuxième problème, puis comparez ! Je vais donner juste une solution très courte :

2. a des coordonnées, a des coordonnées.

Soit l'angle entre les vecteurs et, alors

Répondre:

A noter que les problèmes directement sur les vecteurs et la méthode des coordonnées dans la partie B papier d'examen assez rare. Cependant, la grande majorité des problèmes C2 peuvent être facilement résolus en introduisant un système de coordonnées. Vous pouvez donc considérer cet article comme la base sur la base de laquelle nous réaliserons des constructions assez astucieuses dont nous aurons besoin pour résoudre des problèmes complexes.

COORDONNÉES ET VECTEURS. NIVEAU MOYEN

Vous et moi continuons à étudier la méthode des coordonnées. Dans la dernière partie, nous avons dérivé une série formules importantes, qui permettent :

1. Trouver des coordonnées vectorielles
2. Trouver la longueur d'un vecteur (ou : la distance entre deux points)
3. Ajoutez et soustrayez des vecteurs. Multipliez-les par nombre réel
4. Trouver le milieu d'un segment
5. Calculer le produit scalaire des vecteurs
6. Trouver l'angle entre les vecteurs

Bien entendu, toute la méthode des coordonnées ne rentre pas dans ces 6 points. Elle est à la base d'une science telle que la géométrie analytique, avec laquelle vous vous familiariserez à l'université. Je veux juste construire une base qui vous permettra de résoudre les problèmes dans un seul État. examen. Nous avons traité les tâches de la partie B. Il est maintenant temps de passer à la qualité nouveau niveau! Cet article sera consacré à une méthode de résolution des problèmes C2 dans lesquels il serait raisonnable de passer à la méthode des coordonnées. Ce caractère raisonnable est déterminé par ce qu’il faut trouver dans le problème et par le chiffre donné. Donc, j'utiliserais la méthode des coordonnées si les questions sont :

1. Trouver l'angle entre deux plans
2. Trouver l'angle entre une droite et un plan
3. Trouver l'angle entre deux lignes droites
4. Trouver la distance d'un point à un plan
5. Trouver la distance d'un point à une ligne
6. Trouver la distance entre une ligne droite et un avion
7. Trouver la distance entre deux lignes

Si la figure donnée dans l'énoncé du problème est un corps en rotation (boule, cylindre, cône...)

Les figures appropriées pour la méthode des coordonnées sont :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire, hexagonale)

Aussi d'après mon expérience il est inapproprié d'utiliser la méthode des coordonnées pour:

1. Trouver des zones transversales
2. Calcul des volumes des corps

Cependant, il faut immédiatement noter que les trois situations « défavorables » pour la méthode des coordonnées sont assez rares en pratique. Dans la plupart des tâches, il peut devenir votre sauveur, surtout si vous n'êtes pas très fort en constructions tridimensionnelles(ce qui peut parfois être assez complexe).

Quels sont tous les chiffres que j’ai énumérés ci-dessus ? Ils ne sont plus plats, comme par exemple un carré, un triangle, un cercle, mais volumineux ! En conséquence, nous ne devons pas considérer les choses en deux dimensions, mais système tridimensionnel coordonnées C'est assez simple à construire : juste en plus de l'axe des abscisses et des ordonnées, nous introduirons un autre axe, l'axe applicatif. La figure montre schématiquement leur position relative :

Tous sont perpendiculaires entre eux et se coupent en un point, que nous appellerons l'origine des coordonnées. Comme précédemment, nous désignerons l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées - , et l'axe applicatif introduit - .

Si auparavant chaque point du plan était caractérisé par deux nombres - l'abscisse et l'ordonnée, alors chaque point de l'espace est déjà décrit par trois nombres - l'abscisse, l'ordonnée et l'appliqué. Par exemple:

En conséquence, l'abscisse d'un point est égale, l'ordonnée est , et l'appliquée est .

Parfois, l'abscisse d'un point est également appelée la projection d'un point sur l'axe des abscisses, l'ordonnée - la projection d'un point sur l'axe des ordonnées, et l'appliqué - la projection d'un point sur l'axe appliqué. En conséquence, si un point est donné, alors un point avec des coordonnées :

appelé la projection d'un point sur un plan

appelé la projection d'un point sur un plan

Une question naturelle se pose : toutes les formules dérivées pour le cas bidimensionnel sont-elles valables dans l’espace ? La réponse est oui, ils sont justes et ont la même apparence. Pour un petit détail. Je pense que vous avez déjà deviné de quoi il s'agit. Dans toutes les formules, nous devrons ajouter un terme supplémentaire responsable de l'axe appliqué. À savoir.

1. Si deux points sont donnés : , alors :

• Coordonnées vectorielles :
• Distance entre deux points (ou longueur du vecteur)
• Le milieu du segment a des coordonnées

2. Si deux vecteurs sont donnés : et, alors :

• Leur produit scalaire est égal à :
• Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à :

Cependant, l’espace n’est pas si simple. Comme vous le comprenez, l’ajout d’une coordonnée supplémentaire introduit une diversité significative dans le spectre des figures « vivant » dans cet espace. Et pour poursuivre la narration, je devrai introduire, grosso modo, une « généralisation » de la ligne droite. Cette « généralisation » sera un avion. Que savez-vous de l'avion ? Essayez de répondre à la question : qu’est-ce qu’un avion ? C'est très difficile à dire. Cependant, nous imaginons tous intuitivement à quoi cela ressemble :

En gros, il s'agit d'une sorte de « feuille » sans fin poussée dans l'espace. Par « infini », il faut comprendre que le plan s’étend dans toutes les directions, c’est-à-dire que son aire est égale à l’infini. Cependant, cette explication « pratique » ne donne pas la moindre idée sur la structure de l’avion. Et c'est elle qui va s'intéresser à nous.

Rappelons l'un des axiomes fondamentaux de la géométrie :

• une droite passe par deux points différents d'un plan, et un seul :

Ou son analogue dans l’espace :

Bien sûr, vous vous souvenez comment dériver l'équation d'une droite à partir de deux points donnés ; ce n'est pas du tout difficile : si le premier point a des coordonnées : et le second, alors l'équation de la droite sera la suivante :

Vous avez suivi cela en 7e année. Dans l'espace, l'équation d'une droite ressemble à ceci : étant donné deux points de coordonnées : , alors l'équation de la droite qui les traverse a la forme :

Par exemple, une droite passe par des points :

Comment faut-il comprendre cela ? Cela doit être compris comme suit : un point se trouve sur une ligne si ses coordonnées satisfont au système suivant :

Nous ne serons pas très intéressés par l’équation de la droite, mais nous devons faire attention à la très notion importante diriger la ligne droite vectorielle. - tout vecteur non nul situé sur une droite donnée ou parallèle à celle-ci.

Par exemple, les deux vecteurs sont des vecteurs directeurs d’une ligne droite. Soit un point situé sur une droite et soit son vecteur directeur. Alors l’équation de la droite peut s’écrire sous la forme suivante :

Encore une fois, l’équation d’une droite ne m’intéressera pas beaucoup, mais j’ai vraiment besoin que vous vous souveniez de ce qu’est un vecteur direction ! Encore: il s'agit de TOUT vecteur non nul situé sur une ligne ou parallèle à celle-ci.

Retirer équation d'un plan basée sur trois points donnés n'est plus si trivial, et généralement cette question n'est pas abordée dans le cours lycée. Mais en vain ! Cette technique est vitale lorsque l’on recourt à la méthode des coordonnées pour résoudre des problèmes complexes. Cependant, je suppose que vous avez envie d’apprendre quelque chose de nouveau ? De plus, vous pourrez impressionner votre professeur à l'université lorsqu'il s'avérera que vous savez déjà utiliser la technique habituellement étudiée dans le cours. géométrie analytique. Alors commençons.

L'équation d'un plan n'est pas trop différente de l'équation d'une droite sur un plan, à savoir qu'elle a la forme :

certains chiffres (pas tous égal à zéro), et des variables, par exemple : etc. Comme vous pouvez le constater, l’équation d’un plan n’est pas très différente de l’équation d’une droite (fonction linéaire). Cependant, vous vous souvenez de ce que vous et moi avons discuté ? Nous avons dit que si nous avons trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite, alors l’équation du plan peut être reconstruite de manière unique à partir d’eux. Mais comment ? Je vais essayer de vous l'expliquer.

Puisque l’équation du plan est :

Et les points appartiennent à ce plan, alors en substituant les coordonnées de chaque point dans l'équation du plan, nous devrions obtenir l'identité correcte :

Il faut donc résoudre trois équations avec autant d’inconnues ! Dilemme! Cependant, vous pouvez toujours supposer que (pour ce faire, vous devez diviser par). On obtient ainsi trois équations à trois inconnues :

Cependant, nous ne résoudrons pas un tel système, mais écrirons l'expression mystérieuse qui en découle :

Équation d'un plan passant par trois points donnés

\[\gauche| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Arrêt! Qu'est-ce que c'est? Un module très inhabituel ! Cependant, l'objet que vous voyez devant vous n'a rien à voir avec le module. Cet objet est appelé déterminant du troisième ordre. Désormais, lorsque vous aborderez la méthode des coordonnées sur un plan, vous rencontrerez très souvent ces mêmes déterminants. Qu'est-ce qu'un déterminant du troisième ordre ? Curieusement, ce n'est qu'un chiffre. Reste à comprendre quel nombre spécifique nous comparerons avec le déterminant.

Écrivons d'abord le déterminant du troisième ordre en plus vue générale:

Où sont quelques chiffres. De plus, par premier index, nous entendons le numéro de ligne, et par index, nous entendons le numéro de colonne. Par exemple, cela signifie que numéro donné se trouve à l’intersection de la deuxième rangée et de la troisième colonne. Mettons-le question suivante: Comment allons-nous calculer exactement un tel déterminant ? Autrement dit, à quel nombre spécifique allons-nous le comparer ? Pour le déterminant du troisième ordre, il existe une règle triangulaire heuristique (visuelle), elle ressemble à ceci :

1. Le produit des éléments de la diagonale principale (du coin supérieur gauche vers le coin inférieur droit) le produit des éléments formant le premier triangle « perpendiculaire » à la diagonale principale le produit des éléments formant le deuxième triangle « perpendiculaire » au diagonale principale
2. Le produit des éléments de la diagonale secondaire (du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche) le produit des éléments formant le premier triangle « perpendiculaire » à la diagonale secondaire le produit des éléments formant le deuxième triangle « perpendiculaire » au diagonale secondaire
3. Alors le déterminant est égal à la différence entre les valeurs obtenues à l'étape et

Si nous écrivons tout cela en chiffres, nous obtenons l'expression suivante :

Cependant, vous n'avez pas besoin de vous souvenir de la méthode de calcul sous cette forme ; il suffit de garder en tête les triangles et l'idée même de ce qui s'additionne à quoi et de ce qui est ensuite soustrait de quoi).

Illustrons la méthode du triangle avec un exemple :

1. Calculez le déterminant :

Voyons ce que nous ajoutons et ce que nous soustrayons :

Termes accompagnés d'un plus :

C'est la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Le premier triangle, « perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Additionnez trois nombres :

Termes accompagnés d'un moins

Il s'agit d'une diagonale latérale : le produit des éléments est égal à

Le premier triangle, « perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est égal à

Le deuxième triangle, « perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est égal à

Additionnez trois nombres :

Il ne reste plus qu’à soustraire la somme des termes « plus » de la somme des termes « moins » :

Ainsi,

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué ni de surnaturel dans le calcul des déterminants du troisième ordre. Il est simplement important de se souvenir des triangles et de ne pas commettre d’erreurs arithmétiques. Essayez maintenant de le calculer vous-même :

Tâche : trouver la distance entre les points indiqués :

1. Le premier triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
2. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
3. Somme des termes avec plus :
4. Le premier triangle perpendiculaire à la diagonale secondaire :
5. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale du côté :
6. Somme des termes avec moins :
7. La somme des termes avec un plus moins la somme des termes avec un moins :

Voici quelques déterminants supplémentaires, calculez vous-même leurs valeurs et comparez-les avec les réponses :

Réponses :

Eh bien, est-ce que tout a coïncidé ? Super, alors vous pouvez continuer ! S'il y a des difficultés, mon conseil est le suivant : sur Internet, il existe de nombreux programmes permettant de calculer le déterminant en ligne. Tout ce dont vous avez besoin est de créer votre propre déterminant, de le calculer vous-même, puis de le comparer avec ce que calcule le programme. Et ainsi de suite jusqu'à ce que les résultats commencent à coïncider. Je suis sûr que ce moment ne tardera pas à arriver !

Revenons maintenant au déterminant que j'ai écrit lorsque je parlais de l'équation d'un plan passant par trois points donnés:

Il vous suffit de calculer sa valeur directement (en utilisant la méthode du triangle) et de mettre le résultat à zéro. Naturellement, puisqu'il s'agit de variables, vous obtiendrez une expression qui en dépend. C'est cette expression qui sera l'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite !

Illustrons cela avec un exemple simple :

1. Construire l'équation d'un plan passant par les points

Nous compilons un déterminant pour ces trois points :

Simplifions :

Maintenant, nous le calculons directement en utilisant la règle du triangle :

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ droite| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Ainsi, l’équation du plan passant par les points est :

Essayez maintenant de résoudre un problème vous-même, puis nous en discuterons :

2. Trouver l'équation du plan passant par les points

Eh bien, discutons maintenant de la solution :

Créons un déterminant :

Et calculez sa valeur :

Alors l’équation du plan a la forme :

Ou, en réduisant de, on obtient :

Maintenant, deux tâches pour la maîtrise de soi :

1. Construire l’équation d’un plan passant par trois points :

Réponses :

Est-ce que tout a coïncidé ? Encore une fois, s'il y a certaines difficultés, alors mon conseil est le suivant : retirez trois points de votre tête (avec dans une large mesure il y a de fortes chances qu'ils ne soient pas sur la même ligne droite), vous construisez un avion basé sur eux. Et puis vous vous vérifiez en ligne. Par exemple sur le site :

Cependant, à l'aide de déterminants, nous ne construirons pas seulement l'équation du plan. N'oubliez pas que je vous ai dit que non seulement le produit scalaire est défini pour les vecteurs. Il existe également un produit vectoriel, ainsi qu'un produit mixte. Et si le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, alors le produit vectoriel de deux vecteurs sera un vecteur, et ce vecteur sera perpendiculaire à ceux donnés :

De plus, son module sera égal à la superficie parallélogramme construit sur les vecteurs et. Ce vecteur Nous en aurons besoin pour calculer la distance d’un point à une ligne. Comment pouvons-nous compter produit vectoriel vecteurs et, si leurs coordonnées sont données ? Le déterminant du troisième ordre vient à nouveau à notre aide. Cependant, avant de passer à l'algorithme de calcul du produit vectoriel, je dois faire une petite digression.

Cette digression concerne les vecteurs de base.

Ils sont représentés schématiquement sur la figure :

Pourquoi pensez-vous qu'ils sont appelés basiques ? Le fait est que :

Ou sur la photo :

La validité de cette formule est évidente, car :

Oeuvre vectorielle

Je peux maintenant commencer à introduire le produit croisé :

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur calculé selon la règle suivante :

Donnons maintenant quelques exemples de calcul du produit vectoriel :

Exemple 1 : Trouvez le produit vectoriel des vecteurs :

Solution : j'invente un déterminant :

Et je le calcule :

Maintenant, après avoir écrit via les vecteurs de base, je reviendrai à la notation vectorielle habituelle :

Ainsi:

Maintenant, essayez-le.

Prêt? Nous vérifions :

Et traditionnellement deux tâches de contrôle :

1. Trouver le produit vectoriel des vecteurs suivants :
2. Trouver le produit vectoriel des vecteurs suivants :

Réponses :

Produit mixte de trois vecteurs

La dernière construction dont j'aurai besoin est le produit mixte de trois vecteurs. Comme un scalaire, c'est un nombre. Il existe deux façons de le calculer. - par un déterminant, - par un produit mixte.

A savoir, donnons-nous trois vecteurs :

Ensuite, le produit mixte de trois vecteurs, noté par, peut être calculé comme suit :

1. - c'est-à-dire que le produit mixte est le produit scalaire d'un vecteur et le produit vectoriel de deux autres vecteurs

Par exemple, le produit mixte de trois vecteurs est :

Essayez de le calculer vous-même en utilisant le produit vectoriel et assurez-vous que les résultats correspondent !

Et encore une fois - deux exemples pour décision indépendante:

Réponses :

Sélection d'un système de coordonnées

Eh bien, nous disposons désormais de toutes les connaissances nécessaires pour résoudre des problèmes stéréométriques complexes en géométrie. Cependant, avant de passer directement aux exemples et aux algorithmes pour les résoudre, je pense qu'il sera utile de s'attarder sur la question suivante : comment exactement choisissez un système de coordonnées pour une figure particulière. Après tout, c'est le choix de la position relative du système de coordonnées et de la figure dans l'espace qui déterminera en fin de compte la lourdeur des calculs.

Permettez-moi de vous rappeler que dans cette section nous considérons les chiffres suivants :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Prisme droit (triangulaire, hexagonal...)
3. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire)
4. Tétraèdre (identique à la pyramide triangulaire)

Pour un parallélépipède rectangle ou un cube, je vous conseille la construction suivante :

C'est-à-dire que je placerai le chiffre « dans le coin ». Le cube et le parallélépipède sont de très bonnes figures. Pour eux, vous pouvez toujours trouver facilement les coordonnées de ses sommets. Par exemple, si (comme le montre la figure)

alors les coordonnées des sommets sont les suivantes :

Bien sûr, vous n’avez pas besoin de vous en souvenir, mais rappelez-vous comment positionner au mieux le cube ou cuboïde- souhaitable.

Prisme droit

Le prisme est une figure plus néfaste. Il peut être positionné dans l’espace de différentes manières. Cependant, l'option suivante me semble la plus acceptable :

Prisme triangulaire :

C'est-à-dire que nous plaçons entièrement l'un des côtés du triangle sur l'axe et que l'un des sommets coïncide avec l'origine des coordonnées.

Prisme hexagonal :

C'est-à-dire que l'un des sommets coïncide avec l'origine et l'un des côtés se trouve sur l'axe.

Pyramide quadrangulaire et hexagonale :

La situation est similaire à un cube : on aligne deux côtés de la base avec les axes de coordonnées, et on aligne l'un des sommets avec l'origine des coordonnées. La seule légère difficulté sera de calculer les coordonnées du point.

Pour une pyramide hexagonale - de la même manière que pour prisme hexagonal. La tâche principale sera encore une fois de trouver les coordonnées du sommet.

Tétraèdre (pyramide triangulaire)

La situation est très similaire à celle que j'ai donnée pour un prisme triangulaire : un sommet coïncide avec l'origine, un côté se trouve sur l'axe des coordonnées.

Eh bien, maintenant, vous et moi sommes enfin sur le point de commencer à résoudre les problèmes. De ce que j'ai dit au tout début de l'article, on pourrait tirer la conclusion suivante : la plupart des problèmes C2 se divisent en 2 catégories : les problèmes d'angle et les problèmes de distance. Tout d’abord, nous examinerons les problèmes liés à la recherche d’un angle. Ils sont à leur tour divisés dans les catégories suivantes (à mesure qu’elles augmentent en complexité) :

Problèmes pour trouver des angles

1. Trouver l'angle entre deux droites
2. Trouver l'angle entre deux plans

Examinons ces problèmes séquentiellement : commençons par trouver l'angle entre deux droites. Eh bien, rappelez-vous, n'est-ce pas toi et moi qui avons décidé ? exemples similaires plus tôt? Vous vous souvenez, nous avions déjà quelque chose de similaire... Nous cherchions l'angle entre deux vecteurs. Permettez-moi de vous rappeler que si deux vecteurs sont donnés : et, alors l'angle entre eux se trouve à partir de la relation :

Notre objectif est maintenant de trouver l’angle entre deux lignes droites. Regardons le « tableau plat » :

Combien d’angles obtenons-nous lorsque deux lignes droites se coupent ? Juste quelques choses. Certes, seuls deux d'entre eux sont inégaux, tandis que les autres leur sont verticaux (et coïncident donc avec eux). Alors quel angle faut-il considérer comme l'angle entre deux droites : ou ? Ici, la règle est la suivante : l'angle entre deux lignes droites ne dépasse toujours pas les degrés. Autrement dit, sous deux angles, nous choisirons toujours l'angle avec le plus petit mesure de degré. Autrement dit, sur cette image, l’angle entre deux lignes droites est égal. Afin de ne pas s'embêter à trouver à chaque fois le plus petit de deux angles, des mathématiciens rusés ont suggéré d'utiliser un module. Ainsi, l'angle entre deux droites est déterminé par la formule :

En tant que lecteur attentif, vous auriez dû vous poser une question : d'où exactement obtenons-nous ces mêmes nombres dont nous avons besoin pour calculer le cosinus d'un angle ? Réponse : nous les prendrons à partir des vecteurs directeurs des lignes ! Ainsi, l'algorithme pour trouver l'angle entre deux droites est le suivant :

1. Nous appliquons la formule 1.

Ou plus en détail :

1. On recherche les coordonnées du vecteur directeur de la première droite
2. On recherche les coordonnées du vecteur directeur de la deuxième droite
3. On calcule le module de leur produit scalaire
4. On cherche la longueur du premier vecteur
5. On cherche la longueur du deuxième vecteur
6. Multipliez les résultats du point 4 par les résultats du point 5
7. On divise le résultat du point 3 par le résultat du point 6. On obtient le cosinus de l'angle entre les droites
8. Si ce résultat permet de calculer avec précision l'angle, on le recherche
9. Sinon on écrit par arc cosinus

Eh bien, il est maintenant temps de passer aux problèmes : je vais démontrer la solution aux deux premiers en détail, je présenterai la solution à un autre dans bref, et pour les deux derniers problèmes je ne donnerai que des réponses ; vous devez effectuer vous-même tous les calculs pour eux.

Tâches :

1. Dans le tet-ra-ed-re droit, trouvez l'angle entre la hauteur du tet-ra-ed-ra et le côté médian.

2. Dans le pi-ra-mi-de à six coins droits, les cent os-no-va-niyas sont égaux et les bords latéraux sont égaux, trouvez l'angle entre les lignes et.

3. Les longueurs de tous les bords du pi-ra-mi-dy à quatre charbons droit sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre les lignes droites et si à partir de la coupe - vous êtes avec le pi-ra-mi-dy donné, le point est se-re-di-sur ses bo-co- secondes côtes

4. Sur le bord du cube il y a un point pour que Trouvez l'angle entre les lignes droites et

5. Point - sur les bords du cube Trouvez l'angle entre les lignes droites et.

Ce n'est pas un hasard si j'ai organisé les tâches dans cet ordre. Même si vous n'avez pas encore eu le temps de vous familiariser avec la méthode des coordonnées, j'analyserai moi-même les figures les plus « problématiques », et je vous laisserai vous occuper du cube le plus simple ! Petit à petit, vous devrez apprendre à travailler avec toutes les figures ; j'augmenterai la complexité des tâches de sujet en sujet.

Commençons par résoudre les problèmes :

1. Dessinez un tétraèdre, placez-le dans le système de coordonnées comme je l'ai suggéré plus tôt. Puisque le tétraèdre est régulier, toutes ses faces (y compris la base) sont triangles réguliers. Puisque la longueur du côté ne nous est pas donnée, je peux la considérer comme égale. Je pense que vous comprenez que l'angle ne dépendra pas réellement de l'ampleur de l'« étirement » de notre tétraèdre ? Je dessinerai également la hauteur et la médiane dans le tétraèdre. Chemin faisant, je dessinerai sa base (cela nous sera aussi utile).

Je dois trouver l'angle entre et. Que savons-nous ? Nous ne connaissons que la coordonnée du point. Cela signifie que nous devons trouver les coordonnées des points. Maintenant on pense : un point est le point d'intersection des altitudes (ou bissectrices ou médianes) du triangle. Et un point est un point soulevé. Le point est le milieu du segment. Il faut enfin trouver : les coordonnées des points : .

Commençons par le plus simple : les coordonnées d’un point. Regardez la figure : il est clair que l'appliqué d'un point est égal à zéro (le point se trouve sur le plan). Son ordonnée est égale (puisque c'est la médiane). Il est plus difficile de trouver son abscisse. Cependant, cela se fait facilement en se basant sur le théorème de Pythagore : considérons un triangle. Son hypoténuse est égale, et une de ses pattes est égale. Alors :

Finalement nous avons : .

Trouvons maintenant les coordonnées du point. Il est clair que son applicatif est à nouveau égal à zéro, et son ordonnée est la même que celle d'un point, c'est-à-dire. Trouvons son abscisse. Cela se fait de manière assez triviale si vous vous en souvenez hauteurs triangle équilatéral le point d'intersection est divisé proportionnellement, en comptant à partir du haut. Puisque : , alors l'abscisse recherchée du point est égal à la longueur segment est égal à : . Ainsi, les coordonnées du point sont :

Trouvons les coordonnées du point. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Et l'appliqué est égal à la longueur du segment. - c'est l'une des branches du triangle. L'hypoténuse d'un triangle est un segment - une jambe. Elle est recherchée pour les raisons que j'ai soulignées en gras :

Le point est le milieu du segment. Ensuite, nous devons nous souvenir de la formule des coordonnées du milieu du segment :

Ça y est, on peut maintenant chercher les coordonnées des vecteurs directeurs :

Eh bien, tout est prêt : on substitue toutes les données dans la formule :

Ainsi,

Répondre:

Vous ne devriez pas avoir peur de réponses aussi « effrayantes » : pour les problèmes C2, c'est une pratique courante. Je préférerais être surpris par la « belle » réponse dans cette partie. Aussi, comme vous l'avez remarqué, je n'ai pratiquement eu recours à rien d'autre que le théorème de Pythagore et la propriété des hauteurs d'un triangle équilatéral. Autrement dit, pour résoudre le problème stéréométrique, j'ai utilisé le minimum de stéréométrie. Ce gain est en partie « éteint » par des calculs plutôt fastidieux. Mais ils sont assez algorithmiques !

2. Dessinons le bon pyramide hexagonale avec le système de coordonnées, ainsi que sa base :

Nous devons trouver l'angle entre les lignes et. Ainsi, notre tâche se résume à trouver les coordonnées des points : . Nous trouverons les coordonnées des trois derniers à l'aide d'un petit dessin, et nous trouverons la coordonnée du sommet grâce à la coordonnée du point. Il y a beaucoup de travail à faire, mais il faut commencer !

a) Coordonnée : il est clair que son applicative et son ordonnée sont égales à zéro. Trouvons l'abscisse. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle. Hélas, nous n'y connaissons que l'hypoténuse, qui est égale. Nous allons essayer de trouver la jambe (car il est clair que le double de la longueur de la jambe nous donnera l'abscisse du point). Comment peut-on le rechercher ? Rappelons-nous quel genre de figure nous avons à la base de la pyramide ? C'est un hexagone régulier. Qu'est-ce que cela signifie? Cela signifie que tous les côtés et tous les angles sont égaux. Nous devons trouver un tel angle. Des idées ? Il y a beaucoup d'idées, mais il existe une formule :

La somme des angles d'un n-gone régulier est .

Ainsi, la somme des angles d’un hexagone régulier est égale aux degrés. Alors chacun des angles est égal à :

Regardons à nouveau la photo. Il est clair que le segment est la bissectrice de l'angle. Alors l’angle est égal aux degrés. Alors:

Alors d'où.

Ainsi, a les coordonnées

b) Nous pouvons maintenant facilement trouver la coordonnée du point : .

c) Trouvez les coordonnées du point. Puisque son abscisse coïncide avec la longueur du segment, elle est égale. Trouver l'ordonnée n'est pas non plus très difficile : si nous connectons les points et désignons le point d'intersection de la ligne comme, disons, . (faites-le vous-même, construction simple). Alors Ainsi, l'ordonnée du point B est égale à la somme des longueurs des segments. Regardons à nouveau le triangle. Alors

Alors puisque Alors le point a des coordonnées

d) Trouvons maintenant les coordonnées du point. Considérons le rectangle et prouvez que Ainsi, les coordonnées du point sont :

e) Il reste à trouver les coordonnées du sommet. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Trouvons l'application. Depuis lors. Considérons un triangle rectangle. Selon les conditions du problème côte latérale. C'est l'hypoténuse de mon triangle. Alors la hauteur de la pyramide est une jambe.

Alors le point a pour coordonnées :

Et bien ça y est, j'ai les coordonnées de tous les points qui m'intéressent. Je recherche les coordonnées des vecteurs directeurs des droites :

On recherche l'angle entre ces vecteurs :

Répondre:

Encore une fois, pour résoudre ce problème, je n'ai utilisé aucune technique sophistiquée autre que la formule de la somme des angles d'un n-gone régulier, ainsi que la définition du cosinus et du sinus d'un triangle rectangle.

3. Puisque encore une fois on ne nous donne pas les longueurs des arêtes de la pyramide, je vais les compter égal à un. Ainsi, puisque TOUS les bords, et pas seulement ceux latéraux, sont égaux les uns aux autres, alors à la base de la pyramide et moi il y a un carré, et faces latérales- des triangles réguliers. Dessinons une telle pyramide, ainsi que sa base sur un plan, en notant toutes les données données dans le texte du problème :

Nous recherchons l'angle entre et. Je ferai des calculs très brefs lorsque je rechercherai les coordonnées des points. Il vous faudra les « déchiffrer » :

b) - le milieu du segment. Ses coordonnées :

c) Je trouverai la longueur du segment en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle. Je peux le trouver en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle.

Coordonnées :

d) - le milieu du segment. Ses coordonnées sont

e) Coordonnées vectorielles

f) Coordonnées vectorielles

g) Recherche de l'angle :

Cubes - chiffre le plus simple. Je suis sûr que vous le découvrirez par vous-même. Les réponses aux problèmes 4 et 5 sont les suivantes :

Trouver l'angle entre une droite et un plan

Eh bien, le temps des énigmes simples est révolu ! Maintenant, les exemples seront encore plus compliqués. Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, nous procéderons comme suit :

1. En utilisant trois points, nous construisons une équation du plan
   ,
   en utilisant un déterminant du troisième ordre.
2. A l'aide de deux points, on recherche les coordonnées du vecteur directeur de la droite :
3. On applique la formule pour calculer l'angle entre une droite et un plan :

Comme vous pouvez le constater, cette formule est très similaire à celle que nous utilisons pour trouver les angles entre deux droites. La structure du côté droit est simplement la même, et sur la gauche nous recherchons maintenant le sinus, et non plus le cosinus comme auparavant. Eh bien, une action désagréable a été ajoutée : rechercher l'équation de l'avion.

Ne tergiversons pas exemples de solutions :

1. Le prisme direct principal mais va-ni-em - nous sommes égaux-au-surnom-du-triangle-pauvres-ren-surnom de vous - et-ce prisme - nous sommes égaux. Trouver l'angle entre la droite et le plan

2. Dans un par-ral-le-le-pi-pe-de rectangulaire venant de l'Ouest Trouver l'angle entre la droite et le plan

3. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales. Trouvez l'angle entre la droite et le plan.

4. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droit avec l'os-no-va-ni-em des côtes connues Trouver un coin, ob-ra-zo-van -plat en base et droit, passant par le gris côtes et

5. Les longueurs de toutes les arêtes d'un pi-ra-mi-dy quadrangulaire droit avec un sommet sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre la ligne droite et le plan si le point est au milieu du bord du pi-ra-mi-dy.

Encore une fois, je vais résoudre les deux premiers problèmes en détail, le troisième brièvement, et je vous laisse résoudre les deux derniers par vous-même. D'ailleurs, tu as déjà dû composer avec le triangle et pyramides quadrangulaires, mais avec des prismes - pas encore.

Solutions :

1. Représentons un prisme, ainsi que sa base. Combinons-le avec le système de coordonnées et notons toutes les données fournies dans l'énoncé du problème :

Je m'excuse pour certains non-respects des proportions, mais pour résoudre le problème, ce n'est en fait pas si important. L'avion est simplement le "mur du fond" de mon prisme. Il suffit simplement de deviner que l'équation d'un tel plan a la forme :

Cependant, cela peut être montré directement :

Choisissons trois points arbitraires sur ce plan : par exemple, .

Créons l'équation du plan :

Exercice pour vous : calculez vous-même ce déterminant. Avez-vous réussi ? L’équation du plan ressemble alors à :

Ou juste

Ainsi,

Pour résoudre l’exemple, je dois trouver les coordonnées du vecteur direction de la droite. Puisque le point coïncide avec l’origine des coordonnées, les coordonnées du vecteur vont simplement coïncider avec les coordonnées du point. Pour ce faire, on trouve d’abord les coordonnées du point.

Pour ce faire, considérons un triangle. Traçons la hauteur (également appelée médiane et bissectrice) à partir du sommet. Puisque l'ordonnée du point est égale à. Afin de trouver l’abscisse de ce point, il faut calculer la longueur du segment. D'après le théorème de Pythagore, on a :

Alors le point a pour coordonnées :

Un point est un point « en relief » :

Alors les coordonnées vectorielles sont :

Répondre:

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de fondamentalement difficile pour résoudre de tels problèmes. En fait, le processus est un peu plus simplifié par la « rectitude » d’une figure telle qu’un prisme. Passons maintenant à l'exemple suivant :

2. Dessinez un parallélépipède, tracez un plan et une ligne droite, et dessinez également séparément sa base inférieure :

Tout d'abord, on trouve l'équation du plan : Les coordonnées des trois points qui s'y trouvent :

(les deux premières coordonnées sont obtenues de manière évidente, et vous pouvez facilement trouver la dernière coordonnée de l'image du point). Puis on compose l'équation du plan :

On calcule :

On recherche les coordonnées du vecteur directeur : force est de constater que ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point, n'est-ce pas ? Comment trouver des coordonnées ? Ce sont les coordonnées du point, augmentées de un le long de l'axe d'application ! . Ensuite on cherche l'angle souhaité :

Répondre:

3. Dessinez une pyramide hexagonale régulière, puis tracez un plan et une ligne droite.

Ici, c'est même problématique de dessiner un plan, sans parler de résoudre ce problème, mais la méthode des coordonnées s'en fiche ! Sa polyvalence est son principal avantage !

L'avion passe par trois points : . Nous recherchons leurs coordonnées :

1) . Découvrez vous-même les coordonnées des deux derniers points. Pour cela, vous devrez résoudre le problème de la pyramide hexagonale !

2) On construit l'équation du plan :

On recherche les coordonnées du vecteur : . (Revoyez à nouveau le problème de la pyramide triangulaire !)

3) Rechercher un angle :

Répondre:

Comme vous pouvez le constater, ces tâches n’ont rien de surnaturellement difficile. Il faut juste faire très attention aux racines. Je ne donnerai des réponses qu'aux deux derniers problèmes :

Comme vous pouvez le constater, la technique de résolution des problèmes est la même partout : la tâche principale est de trouver les coordonnées des sommets et de les substituer dans certaines formules. Il nous reste encore à considérer une autre classe de problèmes pour le calcul des angles, à savoir :

Calculer les angles entre deux plans

L'algorithme de solution sera le suivant :

1. A l'aide de trois points on cherche l'équation du premier plan :
2. En utilisant les trois autres points on cherche l’équation du deuxième plan :
3. Nous appliquons la formule :

Comme vous pouvez le constater, la formule est très similaire aux deux précédentes, à l'aide desquelles nous avons recherché les angles entre des droites et entre une droite et un plan. Il ne vous sera donc pas difficile de vous en souvenir. Passons à l'analyse des tâches :

1. Le côté de la base du prisme triangulaire droit est égal et la diagonale de la face latérale est égale. Trouvez l'angle entre le plan et le plan de l'axe du prisme.

2. Dans le pi-ra-mi-de à quatre coins droits, dont toutes les arêtes sont égales, trouvez le sinus de l'angle entre le plan et l'os plan, passant par le point per-pen-di-ku- lyar-mais droit.

3. Dans un prisme régulier à quatre coins, les côtés de la base sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Il y a un point sur le bord de-me-che-on donc ça. Trouvez l'angle entre les plans et

4. Dans un prisme quadrangulaire droit, les côtés de la base sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Il y a un point sur le bord du point pour que Trouvez l'angle entre les plans et.

5. Dans un cube, trouvez le co-sinus de l'angle entre les plans et

Solutions aux problèmes :

1. Je dessine le bon (à la base il y a un triangle équilatéral) prisme triangulaire et marquez dessus les plans qui apparaissent dans l'énoncé du problème :

Il faut trouver les équations de deux plans : L'équation de la base est triviale : on peut composer le déterminant correspondant à l'aide de trois points, mais je vais composer l'équation tout de suite :

Trouvons maintenant l'équation Le point a des coordonnées Point - Puisque c'est la médiane et l'altitude du triangle, on la trouve facilement en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle. Alors le point a des coordonnées : Trouvons l'application du point. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle.

On obtient alors les coordonnées suivantes : On compose l'équation du plan.

On calcule l'angle entre les plans :

Répondre:

2. Faire un dessin :

Le plus difficile est de comprendre de quel genre de plan mystérieux il s'agit, passant perpendiculairement par le point. Eh bien, l'essentiel est, qu'est-ce que c'est ? L'essentiel est l'attention ! En fait, la droite est perpendiculaire. La ligne droite est également perpendiculaire. Alors le plan passant par ces deux droites sera perpendiculaire à la droite, et passera d’ailleurs par le point. Ce plan passe également par le sommet de la pyramide. Puis l'avion désiré - Et l'avion nous a déjà été donné. Nous recherchons les coordonnées des points.

Nous trouvons la coordonnée du point à travers le point. Depuis petit dessin Il est facile d'en déduire que les coordonnées du point seront les suivantes : Que reste-t-il maintenant à trouver pour trouver les coordonnées du sommet de la pyramide ? Vous devez également calculer sa hauteur. Cela se fait en utilisant le même théorème de Pythagore : prouvez d'abord cela (trivialement à partir de petits triangles formant un carré à la base). Puisque par condition, on a :

Maintenant, tout est prêt : coordonnées du sommet :

On compose l'équation du plan :

Vous êtes déjà un expert en calcul de déterminants. Sans difficulté vous recevrez :

Ou autrement (si on multiplie les deux côtés par la racine de deux)

Trouvons maintenant l'équation du plan :

(Vous n'avez pas oublié comment on obtient l'équation d'un plan, n'est-ce pas ? Si vous ne comprenez pas d'où vient ce moins un, alors revenez à la définition de l'équation d'un plan ! Il s'est toujours avéré qu'avant cela mon avion appartenait à l'origine !)

On calcule le déterminant :

(Vous remarquerez peut-être que l'équation du plan coïncide avec l'équation de la droite passant par les points et ! Réfléchissez à pourquoi !)

Calculons maintenant l'angle :

Il faut trouver le sinus :

Répondre:

3. Question délicate : qu’est-ce que c’est ? prisme rectangulaire, Comment pensez-vous? Ce n’est qu’un parallélépipède que vous connaissez bien ! Faisons un dessin tout de suite ! Vous n’avez même pas besoin de représenter la base séparément ; cela ne sert à rien ici :

Le plan, comme nous l'avons noté plus haut, s'écrit sous la forme d'une équation :

Créons maintenant un avion

On crée immédiatement l'équation du plan :

À la recherche d'un angle :

Maintenant, les réponses aux deux derniers problèmes :

Eh bien, c'est le moment de faire une petite pause, car vous et moi sommes formidables et avons fait un excellent travail !

Coordonnées et vecteurs. Niveau avancé

Dans cet article, nous aborderons avec vous une autre classe de problèmes qui peuvent être résolus à l'aide de la méthode des coordonnées : les problèmes de calcul de distance. A savoir, nous considérerons les cas suivants :

1. Calcul de la distance entre les lignes qui se croisent.

J'ai classé ces devoirs par ordre de difficulté croissante. Il s'avère que c'est le plus facile à trouver distance d'un point à un plan, et le plus difficile est de trouver distance entre les lignes qui se croisent. Même si, bien sûr, rien n’est impossible ! Ne tergiversons pas et examinons immédiatement la première classe de problèmes :

Calculer la distance d'un point à un plan

De quoi avons-nous besoin pour résoudre ce problème ?

1. Coordonnées des points

Ainsi, dès que nous recevons toutes les données nécessaires, nous appliquons la formule :

Vous devriez déjà savoir comment on construit l'équation d'un plan à partir de tâches précédentes, dont j'ai parlé dans la dernière partie. Passons directement aux tâches. Le schéma est le suivant : 1, 2 - Je vous aide à décider, et de manière assez détaillée, 3, 4 - seulement la réponse, vous effectuez vous-même la solution et comparez. Commençons !

Tâches :

1. Étant donné un cube. La longueur du bord du cube est égale. Trouver la distance du se-re-di-na de la coupe au plan

2. Étant donné le bon pi-ra-mi-oui à quatre charbons, le côté du côté est égal à la base. Trouvez la distance du point au plan où - se-re-di-sur les bords.

3. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droit avec l'os-no-va-ni-em, le bord latéral est égal, et le cent-ro-sur l'os-no-vania est égal. Trouvez la distance entre le sommet et l’avion.

4. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales. Trouver la distance d'un point à un plan.

Solutions :

1. Dessinez un cube avec des arêtes simples, construisez un segment et un plan, désignez le milieu du segment par une lettre

.

Tout d’abord, commençons par la plus simple : trouver les coordonnées du point. Depuis (rappelez-vous les coordonnées du milieu du segment !)

Maintenant, nous composons l'équation du plan en utilisant trois points

\[\gauche| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Maintenant, je peux commencer à trouver la distance :

2. On recommence avec un dessin sur lequel on marque toutes les données !

Pour une pyramide, il serait utile de dessiner sa base séparément.

Même le fait que je dessine comme un poulet avec sa patte ne nous empêchera pas de résoudre ce problème en toute simplicité !

Il est désormais facile de trouver les coordonnées d'un point

Puisque les coordonnées du point, alors

2. Puisque les coordonnées du point a sont le milieu du segment, alors

Sans aucun problème, nous pouvons trouver les coordonnées de deux autres points sur le plan. Nous créons une équation pour le plan et la simplifions :

\[\gauche| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Puisque le point a pour coordonnées : , on calcule la distance :

Réponse (très rare !) :

Eh bien, avez-vous compris ? Il me semble que tout ici est aussi technique que dans les exemples que nous avons vus dans la partie précédente. Je suis donc sûr que si vous maîtrisez ce sujet, il ne vous sera pas difficile de résoudre les deux problèmes restants. Je vais juste vous donner les réponses :

Calculer la distance d'une ligne droite à un plan

En fait, il n’y a rien de nouveau ici. Comment positionner une droite et un plan l’un par rapport à l’autre ? Ils n'ont qu'une seule possibilité : se couper, ou une droite est parallèle au plan. Selon vous, quelle est la distance entre une droite et le plan avec lequel cette droite coupe ? Il me semble qu'il est clair ici qu'une telle distance est égale à zéro. Ce n'est pas un cas intéressant.

Le deuxième cas est plus délicat : ici la distance est déjà non nulle. Cependant, puisque la droite est parallèle au plan, alors chaque point de la droite est équidistant de ce plan :

Ainsi:

Cela signifie que ma tâche a été réduite à la précédente : nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur une droite, recherchons l'équation du plan, et calculons la distance du point au plan. En fait, de telles tâches sont extrêmement rares dans l'examen d'État unifié. J'ai réussi à trouver un seul problème, et les données qu'il contenait étaient telles que la méthode des coordonnées n'y était pas très applicable !

Passons maintenant à autre chose, bien plus encore classe importante tâches :

Calculer la distance d'un point à une ligne

De quoi avons-nous besoin ?

1. Coordonnées du point à partir duquel on recherche la distance :

2. Coordonnées de tout point situé sur une ligne

3. Coordonnées du vecteur directeur de la droite

Quelle formule utilisons-nous ?

Ce que signifie le dénominateur de cette fraction devrait être clair pour vous : il s'agit de la longueur du vecteur directeur de la droite. C'est un numérateur très délicat ! L'expression désigne le module (longueur) du produit vectoriel des vecteurs et Comment calculer le produit vectoriel, nous avons étudié dans la partie précédente de l'ouvrage. Rafraîchissez vos connaissances, nous en aurons grandement besoin maintenant !

Ainsi, l'algorithme de résolution des problèmes sera le suivant :

1. On recherche les coordonnées du point dont on cherche la distance :

2. Nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur la ligne dont nous recherchons la distance :

3. Construire un vecteur

4. Construire un vecteur directeur d'une ligne droite

5. Calculer le produit vectoriel

6. On cherche la longueur du vecteur résultant :

7. Calculez la distance :

Nous avons beaucoup de travail à faire, et les exemples seront assez complexes ! Alors maintenant, concentrez toute votre attention !

1. Étant donné un pi-ra-mi-da triangulaire droit avec un sommet. Les cent ro-sur la base du pi-ra-mi-dy sont égaux, vous êtes égaux. Trouvez la distance entre le bord gris et la ligne droite, où les points et sont les bords gris et du vétérinaire.

2. Les longueurs des bords et de l'angle droit-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sont égales en conséquence et trouvez la distance du haut à la ligne droite

3. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales, trouvez la distance d'un point à une ligne droite

Solutions :

1. Nous réalisons un dessin soigné sur lequel nous marquons toutes les données :

Nous avons beaucoup de travail à faire ! Tout d’abord, je voudrais décrire avec des mots ce que nous rechercherons et dans quel ordre :

1. Coordonnées des points et

2. Coordonnées des points

3. Coordonnées des points et

4. Coordonnées des vecteurs et

5. Leur produit vectoriel

6. Longueur du vecteur

7. Longueur du produit vectoriel

8. Distance de à

Eh bien, nous avons beaucoup de travail devant nous ! Allons-y les manches retroussées !

1. Pour trouver les coordonnées de la hauteur de la pyramide, il faut connaître les coordonnées du point. Son applicative est égale à zéro, et son ordonnée est égale à son abscisse qui est égale à la longueur du segment. hauteur d'un triangle équilatéral, il est divisé dans le rapport, en partant du sommet, à partir d'ici. Finalement, nous avons obtenu les coordonnées :

Coordonnées des points

2. - milieu du segment

3. - milieu du segment

Milieu du segment

4.Coordonnées

Coordonnées vectorielles

5. Calculez le produit vectoriel :

6. Longueur du vecteur : le moyen le plus simple de remplacer est que le segment soit la ligne médiane du triangle, ce qui signifie qu'il est égal à la moitié de la base. Donc.

7. Calculez la longueur du produit vectoriel :

8. Enfin, on trouve la distance :

Pouah, c'est ça ! Je vais vous le dire honnêtement : résoudre ce problème en utilisant des méthodes traditionnelles (par la construction) serait beaucoup plus rapide. Mais ici, j'ai tout résumé à algorithme prêt à l'emploi! Je pense que l'algorithme de solution est clair pour vous ? Par conséquent, je vous demanderai de résoudre vous-même les deux problèmes restants. Comparons les réponses ?

Encore une fois, je le répète : il est plus facile (plus rapide) de résoudre ces problèmes par des constructions, plutôt que de recourir à des méthode de coordonnées. J'ai démontré cette méthode de solution uniquement pour vous montrer une méthode universelle qui vous permet de « ne rien finir de construire ».

Enfin, considérons la dernière classe de problèmes :

Calculer la distance entre les lignes qui se croisent

Ici, l'algorithme de résolution des problèmes sera similaire au précédent. Ce que nous avons :

3. Tout vecteur reliant les points de la première et de la deuxième droite :

Comment trouver la distance entre les lignes ?

La formule est la suivante :

Le numérateur est le module produit mélangé(nous l'avons introduit dans la partie précédente), et le dénominateur est comme dans la formule précédente (le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites, la distance entre laquelle on recherche).

je te rappelle que

Alors la formule de la distance peut être réécrite comme suit:

C'est un déterminant divisé par un déterminant ! Même si, pour être honnête, je n’ai pas le temps de plaisanter ici ! Cette formule, en fait, est très fastidieux et conduit à calculs complexes. Si j'étais vous, je n'y reviendrais qu'en dernier recours !

Essayons de résoudre quelques problèmes en utilisant la méthode ci-dessus :

1. Dans un prisme triangulaire rectangle dont toutes les arêtes sont égales, trouvez la distance entre les droites et.

2. Étant donné un prisme triangulaire droit, tous les bords de la base sont égaux à la section passant par la nervure du corps et les nervures se-re-di-well sont un carré. Trouver la distance entre les lignes droites et

Je décide du premier, et en fonction de cela, vous décidez du second !

1. Je dessine un prisme et marque des lignes droites et

Coordonnées du point C : alors

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées vectorielles

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tableau))\end(tableau)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

On calcule le produit vectoriel entre les vecteurs et

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Maintenant on calcule sa longueur :

Répondre:

Essayez maintenant de terminer la deuxième tâche avec soin. La réponse sera : .

Coordonnées et vecteurs. Brève description et formules de base

Un vecteur est un segment orienté. - le début du vecteur, - la fin du vecteur.
Un vecteur est noté ou.

Valeur absolue vecteur - la longueur du segment représentant le vecteur. Noté comme.

Coordonnées vectorielles :

,
où sont les extrémités du vecteur \displaystyle a .

Somme des vecteurs : .

Produit de vecteurs :

Produit scalaire des vecteurs :

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Oh-oh-oh-oh-oh... eh bien, c'est dur, comme s'il se lisait une phrase =) Cependant, la relaxation aidera plus tard, d'autant plus qu'aujourd'hui j'ai acheté les accessoires appropriés. Par conséquent, passons à la première section, j'espère qu'à la fin de l'article je maintiendrai une humeur joyeuse.

La position relative de deux lignes droites

C'est le cas lorsque le public chante en chœur. Deux lignes droites peuvent:

1) correspondre ;

2) être parallèle : ;

3) ou se croisent en un seul point : .

Aide pour les nuls : s'il te plaît, souviens-toi signe mathématique aux intersections, cela se produira très souvent. La notation signifie que la ligne coupe la ligne au point .

Comment déterminer la position relative de deux lignes ?

Commençons par le premier cas :

Deux droites coïncident si et seulement si leurs coefficients correspondants sont proportionnels, c’est-à-dire qu’il existe un nombre « lambda » tel que les égalités soient satisfaites

Considérons les droites et créons trois équations à partir des coefficients correspondants : . De chaque équation, il s’ensuit que ces lignes coïncident.

En effet, si tous les coefficients de l'équation multiplier par –1 (changer de signe), et tous les coefficients de l'équation coupé par 2, vous obtenez la même équation : .

Le deuxième cas, lorsque les droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients des variables sont proportionnels : , Mais.

A titre d'exemple, considérons deux lignes droites. On vérifie la proportionnalité des coefficients correspondants pour les variables :

Cependant, cela est bien évident.

Et le troisième cas, lorsque les lignes se croisent :

Deux droites se coupent si et seulement si leurs coefficients des variables ne sont PAS proportionnels, c'est-à-dire qu'il n'existe AUCUNE valeur de « lambda » telle que les égalités soient satisfaites

Ainsi, pour les lignes droites nous allons créer un système :

De la première équation il résulte que , et de la deuxième équation : , ce qui signifie le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coefficients des variables ne sont pas proportionnels.

Conclusion : les lignes se croisent

DANS problèmes pratiques vous pouvez utiliser le schéma de solution que nous venons de discuter. D'ailleurs, cela rappelle beaucoup l'algorithme de vérification de la colinéarité des vecteurs, que nous avons examiné en classe Le concept d’(in)dépendance linéaire des vecteurs. Base des vecteurs. Mais il existe un packaging plus civilisé :

Exemple 1

Découvrez la position relative des lignes :

Solution basé sur l'étude des vecteurs directeurs de droites :

a) A partir des équations on trouve les vecteurs directeurs des droites : .

, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires et que les droites se coupent.

Au cas où, je mettrai une pierre avec des panneaux au carrefour :

Les autres sautent par-dessus la pierre et suivent plus loin, directement jusqu'à Kashchei l'Immortel =)

b) Trouver les vecteurs directeurs des droites :

Les lignes ont le même vecteur directeur, ce qui signifie qu’elles sont soit parallèles, soit coïncidentes. Il n'est pas nécessaire de compter le déterminant ici.

Il est évident que les coefficients des inconnues sont proportionnels, et .

Voyons si l'égalité est vraie :

Ainsi,

c) Trouver les vecteurs directeurs des droites :

Calculons le déterminant constitué des coordonnées de ces vecteurs :
, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les lignes sont soit parallèles, soit coïncidentes.

Le coefficient de proportionnalité « lambda » est facile à voir directement à partir du rapport des vecteurs de direction colinéaires. Cependant, cela peut également être trouvé à travers les coefficients des équations elles-mêmes : .

Voyons maintenant si l'égalité est vraie. Les deux membres gratuits zéro, donc :

La valeur résultante satisfait cette équation(n'importe quel nombre le satisfait généralement).

Les lignes coïncident donc.

Répondre:

Très vite, vous apprendrez (ou même avez déjà appris) à résoudre littéralement le problème discuté verbalement en quelques secondes. À cet égard, je ne vois aucun intérêt à proposer quoi que ce soit pour une solution indépendante ; il est préférable de poser une autre brique importante dans la fondation géométrique :

Comment construire une droite parallèle à une droite donnée ?

Par ignorance de cela tâche la plus simple Nightingale le voleur punit sévèrement.

Exemple 2

La droite est donnée par l'équation. Écrivez une équation pour une droite parallèle qui passe par ce point.

Solution: Désignons la ligne inconnue par la lettre . Que dit son état à son sujet ? La droite passe par le point. Et si les droites sont parallèles, alors il est évident que le vecteur directeur de la droite « tse » convient également pour construire la droite « de ».

Nous retirons le vecteur direction de l'équation :

Répondre:

L'exemple de géométrie semble simple :

Les tests analytiques comprennent les étapes suivantes :

1) On vérifie que les droites ont le même vecteur directeur (si l'équation de la droite n'est pas correctement simplifiée, alors les vecteurs seront colinéaires).

2) Vérifiez si le point satisfait à l’équation résultante.

Dans la plupart des cas, les tests analytiques peuvent être facilement effectués oralement. Regardez les deux équations, et beaucoup d’entre vous détermineront rapidement le parallélisme des droites sans aucun dessin.

Les exemples de solutions indépendantes d'aujourd'hui seront créatifs. Parce que vous devrez encore rivaliser avec Baba Yaga, et elle, vous le savez, est une amoureuse de toutes sortes d'énigmes.

Exemple 3

Écrire une équation pour une droite passant par un point parallèle à la droite si

Il y a un rationnel et un moins rationnel manière rationnelle solutions. La plupart raccourci- à la fin du cours.

Nous avons travaillé un peu avec des lignes parallèles et nous y reviendrons plus tard. Le cas des droites coïncidentes est de peu d’intérêt, considérons donc un problème qui vous est familier depuis programme scolaire:

Comment trouver le point d’intersection de deux droites ?

Si droit se croisent au point , alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d’intersection des lignes ? Résolvez le système.

Voici signification géométrique systèmes de deux équations linéaires avec deux inconnues- ce sont deux lignes qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Exemple 4

Trouver le point d'intersection des lignes

Solution: Il existe deux manières de résoudre : graphique et analytique.

La méthode graphique consiste simplement à tracer les lignes données et à connaître le point d'intersection directement à partir du dessin :

Voici notre point : . Pour vérifier, vous devez substituer ses coordonnées dans chaque équation de la droite ; elles doivent s'adapter à la fois là et là. En d’autres termes, les coordonnées d’un point sont une solution du système. Essentiellement, nous avons examiné une solution graphique systèmes d'équations linéaires avec deux équations, deux inconnues.

La méthode graphique, bien sûr, n'est pas mauvaise, mais présente des inconvénients notables. Non, le fait n'est pas que les élèves de septième année décident de cette façon, le fait est qu'il faudra du temps pour créer un dessin correct et PRÉCIS. De plus, certaines lignes droites ne sont pas si faciles à construire, et le point d'intersection lui-même peut être situé quelque part dans le trentième royaume en dehors de la feuille du cahier.

Il est donc plus judicieux de rechercher le point d'intersection méthode analytique. Résolvons le système :

Pour résoudre le système, la méthode d’addition d’équations terme par terme a été utilisée. Pour développer des compétences pertinentes, suivez une leçon Comment résoudre un système d'équations ?

Répondre:

La vérification est triviale : les coordonnées du point d'intersection doivent satisfaire toutes les équations du système.

Exemple 5

Trouvez le point d'intersection des lignes si elles se croisent.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est pratique de diviser la tâche en plusieurs étapes. L'analyse de l'état suggère qu'il est nécessaire :
1) Écrivez l’équation de la droite.
2) Écrivez l’équation de la droite.
3) Découvrez la position relative des lignes.
4) Si les lignes se coupent, trouvez le point d'intersection.

Le développement d'un algorithme d'action est typique pour beaucoup problèmes géométriques, et je me concentrerai à plusieurs reprises sur ce point.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon :

Pas même une paire de chaussures n’était usée avant d’arriver à la deuxième section de la leçon :

Lignes perpendiculaires. Distance d'un point à une ligne.
Angle entre les lignes droites

Commençons par un exemple typique et très tâche importante. Dans la première partie, nous avons appris à construire une ligne droite parallèle à celle-ci, et maintenant la cabane sur cuisses de poulet va tourner de 90 degrés :

Comment construire une droite perpendiculaire à une droite donnée ?

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation. Écrivez une équation perpendiculaire à la droite passant par ce point.

Solution: Par condition, on sait que . Ce serait bien de trouver le vecteur directeur de la ligne. Puisque les lignes sont perpendiculaires, l’astuce est simple :

De l'équation on "supprime" le vecteur normal : , qui sera le vecteur directeur de la droite.

Composons l'équation d'une droite à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur :

Répondre:

Développons l'esquisse géométrique :

Hmmm... Ciel orange, mer orange, chameau orange.

Vérification analytique de la solution :

1) On sort les vecteurs directeurs des équations et avec l'aide produit scalaire de vecteurs on arrive à la conclusion que les droites sont bien perpendiculaires : .

D'ailleurs, vous pouvez utiliser des vecteurs normaux, c'est encore plus simple.

2) Vérifiez si le point satisfait à l'équation résultante .

Le test, là encore, est facile à réaliser oralement.

Exemple 7

Trouver le point d'intersection des droites perpendiculaires si l'équation est connue et période.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il y a plusieurs actions dans le problème, il est donc pratique de formuler la solution point par point.

Notre voyage passionnant continue :

Distance d'un point à une ligne

Nous avons devant nous une bande de rivière droite et notre tâche est d'y accéder par le chemin le plus court. Il n’y a aucun obstacle et l’itinéraire le plus optimal sera de se déplacer perpendiculairement. Autrement dit, la distance d’un point à une ligne est la longueur du segment perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement notée lettre grecque« ro », par exemple : – la distance du point « em » à la droite « de ».

Distance d'un point à une ligne exprimé par la formule

Exemple 8

Trouver la distance d'un point à une ligne

Solution: il suffit de substituer soigneusement les nombres dans la formule et d'effectuer les calculs :

Répondre:

Faisons le dessin :

La distance trouvée entre le point et la ligne est exactement la longueur du segment rouge. Si vous faites un dessin sur papier à carreaux sur une échelle de 1 unité. = 1 cm (2 cellules), alors la distance peut être mesurée avec une règle ordinaire.

Considérons une autre tâche basée sur le même dessin :

La tâche consiste à trouver les coordonnées d'un point symétrique au point par rapport à la droite . Je suggère d'effectuer les étapes vous-même, mais je décrirai l'algorithme de solution avec résultats intermédiaires:

1) Trouvez une droite perpendiculaire à la droite.

2) Trouvez le point d'intersection des lignes : .

Les deux actions sont discutées en détail dans cette leçon.

3) Le point est le milieu du segment. On connaît les coordonnées du milieu et de l'une des extrémités. Par formules pour les coordonnées du milieu d'un segment nous trouvons.

Ce serait une bonne idée de vérifier que la distance est également de 2,2 unités.

Des difficultés de calcul peuvent survenir ici, mais une microcalculatrice est d'une grande aide dans la tour, vous permettant de compter fractions communes. Je vous ai conseillé à plusieurs reprises et je vous recommanderai à nouveau.

Comment trouver la distance entre deux droites parallèles ?

Exemple 9

Trouver la distance entre deux lignes parallèles

Ceci est un autre exemple que vous pourrez décider vous-même. Je vais vous donner un petit indice : il existe une infinité de façons de résoudre ce problème. Débriefing à la fin du cours, mais il vaut mieux essayer de deviner par vous-même, je pense que votre ingéniosité était bien développée.

Angle entre deux droites

Chaque coin est un montant :


En géométrie, l'angle entre deux lignes droites est considéré comme le PLUS PETIT angle, d'où il s'ensuit automatiquement qu'il ne peut pas être obtus. Sur la figure, l'angle indiqué par l'arc rouge n'est pas considéré comme l'angle entre les lignes qui se croisent. Et son voisin « vert » ou orientation opposée coin "framboise".

Si les lignes sont perpendiculaires, alors n’importe lequel des 4 angles peut être pris comme angle entre eux.

En quoi les angles sont-ils différents ? Orientation. Premièrement, la direction dans laquelle l’angle « défile » est d’une importance fondamentale. Deuxièmement, un angle orienté négativement s'écrit avec un signe moins, par exemple si .

Pourquoi je t'ai dit ça ? Il semble que nous puissions nous contenter du concept habituel d’angle. Le fait est que les formules par lesquelles nous trouverons les angles peuvent facilement donner un résultat négatif, et cela ne devrait pas vous surprendre. Un angle avec un signe moins n'est pas pire et a une signification géométrique très précise. Sur le dessin de angle négatif assurez-vous d'indiquer son orientation avec une flèche (dans le sens des aiguilles d'une montre).

Comment trouver l’angle entre deux droites ? Il existe deux formules de travail :

Exemple 10

Trouver l'angle entre les lignes

Solution Et Première méthode

Considérons deux lignes droites, donné par des équations en général:

Si droit pas perpendiculaire, Que orienté L'angle entre eux peut être calculé à l'aide de la formule :

Le plus attention particulière inversons-le au dénominateur - c'est exactement produit scalaire vecteurs directeurs de droites :

Si , alors le dénominateur de la formule devient zéro, les vecteurs seront orthogonaux et les lignes seront perpendiculaires. C'est pourquoi une réserve a été émise sur la non-perpendiculaire des droites dans la formulation.

Sur la base de ce qui précède, il convient de formaliser la solution en deux étapes :

1) Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs des droites :
, ce qui signifie que les lignes ne sont pas perpendiculaires.

2) Trouvez l'angle entre les lignes droites à l'aide de la formule :

En utilisant fonction inverse Il est facile de trouver le coin lui-même. Dans ce cas, nous utilisons l'étrangeté de l'arctangente (voir. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires):

Répondre:

Dans la réponse, nous indiquons valeur exacte, ainsi qu'une valeur approximative (de préférence en degrés et en radians), calculée à l'aide d'une calculatrice.

Eh bien, moins, moins, ce n'est pas grave. Voici une illustration géométrique :

Il n'est pas surprenant que l'angle se soit avéré avoir une orientation négative, car dans l'énoncé du problème, le premier nombre est une ligne droite et le « dévissage » de l'angle a commencé précisément par lui.

Si vous voulez vraiment obtenir un angle positif, vous devez échanger les droites, c'est-à-dire prendre les coefficients de la deuxième équation , et prenons les coefficients de la première équation. Bref, il faut commencer par un direct .