કુદરતી ક્યુબિક સ્પ્લિન. ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ

ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનમાં, જેમ કે શિપબિલ્ડિંગ, ઓટોમોબાઈલ મેન્યુફેક્ચરિંગ અને એરક્રાફ્ટ મેન્યુફેક્ચરિંગ, સ્કેલ પર અથવા તેની નજીકનો અંતિમ આકાર અંતિમ પ્રક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આ પ્રક્રિયા ઓટોમેશન રજૂ નોંધપાત્ર રસકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ માટે. ગાણિતિક સ્પલાઇનનો આકાર ભૌતિક સ્પલાઇન (ફિગ. 5-4) ના સમોચ્ચને અનુસરે છે, એટલે કે. અમુક બિંદુઓમાંથી પસાર થતો લવચીક લાકડાનો અથવા પ્લાસ્ટિકનો શાસક. લીડના વજનનો ઉપયોગ સ્પલાઇનનો આકાર બદલવા માટે થાય છે. તેમની સંખ્યા અને સ્થાન બદલીને, તેઓ પરિણામી વળાંકને સરળ, વધુ સુંદર અને "આંખ માટે સુખદ" બનાવવાનો પ્રયાસ કરે છે.

જો આપણે ભૌતિક સ્પ્લિનને પાતળી લવચીક પટ્ટી તરીકે ગણીએ, તો તેનો આકાર (વિક્ષેપ) સ્ટ્રીપ સાથે વળાંકની ક્ષણ માટે યુલર સમીકરણ (5-2) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

યંગનું મોડ્યુલસ ક્યાં છે, જે રેક સામગ્રીના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે, તે જડતાની ક્ષણ છે, જે વળાંકના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને વક્રતાની ત્રિજ્યા છે.

નાના વિચલનો માટે ત્રિજ્યા લગભગ સમાન છે

,

જ્યાં પ્રાઇમ સ્ટાફ સાથેના અંતરના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે, અને સ્ટાફનું વિચલન છે. યુલરનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

વજનને સરળ આધાર તરીકે કાર્ય કરવા દો, પછી તેમની વચ્ચેની નમવાની ક્ષણ રેખીય રીતે બદલાય છે. અવેજીમાં યુલર સમીકરણમાં, આપણને મળે છે

અને ડબલ એકીકરણ પછી

આમ, સ્પલાઇનનો આકાર ઘન બહુપદી દ્વારા આપવામાં આવે છે.

IN સામાન્ય કેસગાણિતિક સ્પલાઈન એ સેગમેન્ટ્સના કનેક્ટિંગ પોઈન્ટ પર ડિગ્રીના સતત વ્યુત્પન્ન સાથે ડિગ્રીનો એક ભાગ પ્રમાણે બહુપદી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યુબિક સ્પલાઇન તેના જોડાણ બિંદુઓ પર બીજા ક્રમની સાતત્ય ધરાવે છે. નીચા ક્રમના બહુપદીઓમાંથી પીસવાઇઝ સ્પ્લાઇન્સ વણાંકોને પ્રક્ષેપિત કરવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે, કારણ કે તેમને મોટા કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચની જરૂર નથી અને બહુપદીની લાક્ષણિકતા સંખ્યાત્મક વિચલનોનું કારણ નથી. ઉચ્ચ ક્રમ. ભૌતિક સ્પ્લાઈન્સની જેમ જ, ક્યુબિક સેગમેન્ટ્સની શ્રેણીનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે, જેમાં પ્રત્યેક સેગમેન્ટ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ક્યુબિક સ્પલાઈન પણ અનુકૂળ છે કારણ કે તે સૌથી નાના ક્રમનો વળાંક છે, જે ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ અને અવકાશમાં બેન્ડિંગને મંજૂરી આપે છે.

એક પેરામેટ્રિક સ્પ્લિન સેગમેન્ટનું સમીકરણ છે:

, , (5-1)

સેગમેન્ટની શરૂઆતમાં અને અંતમાં પેરામીટર મૂલ્યો ક્યાં અને છે. - સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુ પર વેક્ટર. વેક્ટર-મૂલ્યવાળું કાર્ય છે, જ્યાં ત્રણ ઘટકો છે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સવેક્ટર

ચોખા. 5-5 ક્યુબિક સ્પલાઇનનો એક સેગમેન્ટ.

દરેક ઘટકનું સ્વરૂપ જેવું જ છે, એટલે કે.

, ,

, ,

, .

સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે ચાર સીમાની સ્થિતિના આધારે સ્થિર ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ (5-1) લખીએ

ચાલો અને સેગમેન્ટના છેડાના વેક્ટર્સ બનો (ફિગ 5-5 જુઓ). ચાલો અને , સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ, સેગમેન્ટના છેડે સ્પર્શક વેક્ટર હોવા જોઈએ. વિભેદક સમીકરણ (5-1), આપણને મળે છે

, . (5-3)

ચાલો પરિણામ લખીએ

, . (5-4)

ચાલો, સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, ધારીએ કે , અને સીમાની શરતો લાગુ કરીએ

અમને અજાણ્યાઓ માટે ચાર સમીકરણો મળે છે:

, (5-6બી)

, (5-6c)

. (5-6d)

માટે ઉકેલો અને ફોર્મ ધરાવે છે:

(5-7a)

. (5-7b)

જથ્થાઓ , , અને ક્યુબિક સ્પ્લિન સેગમેન્ટને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટનો આકાર સેગમેન્ટના છેડા પર સ્થિત સ્થિતિ અને સ્પર્શક વેક્ટર પર આધાર રાખે છે. આગળ, નોંધ કરો કે પરિણામોમાં સેગમેન્ટના અંતે પરિમાણ મૂલ્ય છે. દરેક અંતિમ બિંદુ અને સ્પર્શક વેક્ટરમાં ત્રણ ઘટકો હોવાથી, ઘન અવકાશ વળાંકનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ બાર વેક્ટર ઘટકો અને સેગમેન્ટના અંતે પેરામીટરના મૂલ્ય પર આધારિત છે.

સમીકરણો (5-6) અને (5-7) ને (5-1) માં બદલીને, અમે ક્યુબિક સ્પલાઇનના એક સેગમેન્ટ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

. (5-8)

આ એક સેગમેન્ટ માટેનું સમીકરણ છે. સમગ્ર વળાંક મેળવવા માટે, તમારે ઘણા સેગમેન્ટ્સને કનેક્ટ કરવાની જરૂર છે. ફિગ માં. 5-6 બે સંલગ્ન વિભાગો બતાવો. જો વેક્ટર્સ , , , ટેન્જેન્ટ વેક્ટર , ​​, અને પરિમાણોના મૂલ્યો , , જાણીતા છે, તો દરેક સેગમેન્ટનો આકાર સમીકરણ (5-8) પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો કે, તે અસંભવિત છે કે જોડાણ બિંદુ પર સ્પર્શ વેક્ટર જાણીતું છે. સદનસીબે, તે સાતત્યની સ્થિતિ પરથી મેળવી શકાય છે.

યાદ કરો કે પીસવાઈઝ ડિગ્રી સ્પ્લાઈન તેના જોડાવાના બિંદુઓ પર ડિગ્રી સાતત્ય ધરાવે છે; ક્યુબિક સ્પલાઇનની સાતત્ય બે છે. આ કરવા માટે, રેખાનું બીજું વ્યુત્પન્ન અથવા વક્રતા સતત હોવું આવશ્યક છે. ભેદભાવ સમીકરણ (5-1) બે વાર, આપણને મળે છે

, . (5-9)

ચોખા. 5-6 બે પીસવાઇઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઇન સેગમેન્ટ્સ.

સ્પલાઇનના પ્રથમ ભાગ માટે, પરિમાણ ની અંદર બદલાય છે. ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ (5-9):

.

સ્પ્લીનના બીજા વિભાગ માટે, પરિમાણ શ્રેણીમાં બદલાય છે. ચાલો બીજા વિભાગની શરૂઆતમાં મૂલ્યને સમીકરણ (5-9) માં બદલીએ

પ્રાપ્ત પરિણામોની સમાનતા અને સમીકરણો (5-6a,b) અને (5-7a) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

.

આ સમીકરણની ડાબી બાજુ પ્રથમ સેગમેન્ટના અંતે વક્રતાને રજૂ કરે છે, અને જમણી બાજુ બીજા ભાગની શરૂઆતમાં વક્રતાને રજૂ કરે છે. શબ્દો દ્વારા ગુણાકાર કરો અને જૂથ કરો:

આ નક્કી કરે છે, જોડાણ બિંદુ પર અજ્ઞાત સ્પર્શક વેક્ટર. નોંધ કરો કે અંતિમ સમીકરણ ફરીથી સેગમેન્ટ્સના છેડે પરિમાણ મૂલ્યો ધરાવે છે અને .

પરિણામી સૂત્રને પોઈન્ટ માટે સામાન્ય કરી શકાય છે, અને ક્યુબિક સ્પ્લાઈનના સેગમેન્ટ્સ માટે, કનેક્શન પોઈન્ટ પર બીજા ક્રમની સાતત્યતા મેળવી શકાય છે.

ચોખા. પીસવાઈઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સના સેટ માટે 5-7 હોદ્દો.

કોઈપણ બે અડીને આવેલા સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સ માટે અને ફિગના સંકેતમાં સામાન્યીકૃત સમીકરણ. 5-7 આના જેવા દેખાય છે:

(5-11)

પ્રથમ સેગમેન્ટ માટે અને

(5-12)

બીજા માટે, કારણ કે દરેક સેગમેન્ટ માટે પેરામીટર શૂન્યથી બદલાવાનું શરૂ કરે છે, પ્રથમ માટે અને બીજા માટે - .

કોઈપણ અડીને આવેલા સેગમેન્ટ્સ માટે જોડાવાના બિંદુઓ પર બીજા ડેરિવેટિવ્સની સમાનતા, , આપે છે એકંદર પરિણામ, સમીકરણની સમકક્ષ (5-10),

જેમાંથી સ્પર્શક વેક્ટર કોઈપણ બે વિભાગોના જોડાણ બિંદુઓ પર નિર્ધારિત થાય છે અને .

તમામ સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ્સ માટે સમીકરણ (5-13) નો પુનરાવર્તિત ઉપયોગ ટેન્જેન્ટ વેક્ટર સમીકરણો જનરેટ કરે છે. IN મેટ્રિક્સ ફોર્મ:

(5-14)

મેટ્રિક્સ બિન-ચોરસ છે, કારણ કે ત્યાં માત્ર વેક્ટર માટે સમીકરણો છે, અને તે માટે ઉકેલ મેળવવા માટે તેને ઊંધું કરી શકાતું નથી. જો આપણે ધારીએ કે વળાંકના છેડે સ્પર્શક વેક્ટર છે અને જાણીતા છે, તો સમસ્યા ઉકેલાઈ ગઈ છે. હવે મેટ્રિક્સ જેવો દેખાય છે

(5-15)

જ્યાં મેટ્રિક્સ ચોરસ અને ઉલટાવી શકાય તેવું છે. એ પણ નોંધ કરો કે તે ત્રિકર્ણ છે, જે તેના વ્યુત્ક્રમની ગણતરીના ખર્ચને ઘટાડે છે. આગળ, મેટ્રિક્સ ત્રાંસા પ્રબળ છે. તે અનુસરે છે કે તેણી પાસે છે એકમાત્ર ઉકેલ:

. (5-16)

જો આપણે જાણીએ છીએ, તો દરેક સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે ગુણાંક નક્કી કરવાનું સરળ છે. સામાન્યીકરણ સમીકરણો (5-6)-(5-11), આપણને મળે છે

,

.

ત્યારથી અને છે વેક્ટર જથ્થો, પછી તેઓ વેક્ટર પણ છે; જો તેમની પાસે ઘટકો છે, તો તેમની પાસે પણ આ ઘટકો છે.

મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, કોઈપણ સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટનું સમીકરણ છે:

. (5-17)

બિંદુઓમાંથી પસાર થતી ક્યુબિક સ્પલાઇનને છેડે સ્પર્શક વેક્ટર સાથે અને . સમીકરણ (5-16) થી આપણે આંતરિક સ્પર્શક વેક્ટર શોધીએ છીએ, . પછી, દરેક સેગમેન્ટના છેડાના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના સમીકરણ (5-17) થી અને દરેક સેગમેન્ટ માટે સ્પર્શક વેક્ટર, , , નક્કી કરવામાં આવે છે. સમીકરણનું અંતિમ સામાન્યીકરણ (5-1)

, , , (5-18)

સ્પ્લીન સેગમેન્ટની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે.

મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, સમીકરણ (5-18) આના જેવું દેખાય છે:

, . (5-19)

સમીકરણ (5-17) ને બદલીને અને શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી આપણને મળે છે

, , , (5-20)

, (5-21a)

, (5-21b)

, (5-21 સે)

, (5-21 દિ)

વજનના કાર્યો કહેવાય છે.

ચોખા. માટે 5-8 ક્યુબિક સ્પ્લિન વેઇટીંગ ફંક્શન્સ

આ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સમીકરણ (5-20) લખીએ છીએ

વજન કાર્યનું મેટ્રિક્સ ક્યાં છે

ભૌમિતિક માહિતી સમાવે છે. નીચેનામાંથી જોવામાં આવશે તેમ, (5-22) જેવા સમીકરણો, એટલે કે. વેઇટિંગ ફંક્શન મેટ્રિક્સ ભૌમિતિક પરિસ્થિતિઓના મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર વણાંકો અને સપાટીઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.

સમીકરણ (5-21) થી તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક વજન કાર્ય ત્રીજા ક્રમનું છે. ક્યુબિક સ્પ્લાઈન સેગમેન્ટ પરનો કોઈપણ બિંદુ એ અંતિમ બિંદુઓ અને સ્પર્શક વેક્ટરનો ભારિત સરવાળો છે. ગુણાંક વજનના કાર્યો તરીકે કાર્ય કરે છે. ફિગ માં. 5-8 માટે બતાવવામાં આવે છે. આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અને, એટલે કે. વળાંક બિંદુ વેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે. એ જ રીતે અને, એટલે કે. વળાંક પણ બિંદુ વેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે. આગળ, આપણે અને , અને અને ની સમપ્રમાણતા નોંધીએ છીએ. વાસ્તવમાં . છેલ્લે, ચાલો , , અને ના સંબંધિત ક્રમ પર ધ્યાન આપીએ. તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર તફાવત સૂચવે છે કે, સામાન્ય રીતે, અંતિમ બિંદુઓની સ્થિતિ સ્પર્શ વેક્ટર કરતાં વધુ પ્રભાવ ધરાવે છે.

યાદ કરો કે પીસવાઈઝ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન પોઈન્ટ, ટેન્જેન્ટ વેક્ટર અને પેરામીટર મૂલ્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તમામ સેગમેન્ટ્સના છેડે. પસંદગી વળાંકની સરળતાને અસર કરે છે.

આંતરિક જોડાણ બિંદુઓ પર બીજા વ્યુત્પન્નની સાતત્ય તેની સાથે ન્યૂનતમ વક્રતાના અર્થમાં વળાંકની સરળતાને સુનિશ્ચિત કરતી નથી. યોગ્ય મૂલ્યો પસંદ કરીને, દરેક સેગમેન્ટ માટે ગુણાંક ઘટાડવા અને વળાંકની વધુ સરળતા પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે. સામાન્ય રીતે આ વધારાની ગણતરીઓ જરૂરી નથી. વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, કરતાં વધુ સરળ પદ્ધતિઓ, જેમ કે અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

એક ગણતરી પદ્ધતિ પેરામીટર મૂલ્યો સેટ કરવાની છે સમાન લંબાઈનજીકના બિંદુઓ વચ્ચે તાર. તે જ સમયે, વળાંકની ગુણવત્તા મોટા ભાગની જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે લાગુ સમસ્યાઓ. બીજી પદ્ધતિ એ છે કે લઈને વિવિધતાને સામાન્ય બનાવવી એક સમાનદરેક સ્પ્લીન સેગમેન્ટ માટે. આ પસંદગી ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે (વિભાગ 5-4 જુઓ). ઉપરોક્ત સમીકરણો પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, કોઈપણ પસંદગી વિવિધ ગુણાંકમાં પરિણમે છે અને તેથી તેમાંથી પસાર થતા વિવિધ વણાંકો આપેલ પોઈન્ટ.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાલો આપેલ સીમા બિંદુઓ સાથે સરળ વણાંકો દોરવાની સમસ્યા અથવા ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. કોઈપણ સંખ્યાના સરળ વણાંકો બે બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવી શકે છે, તેથી આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે કાર્યોના વર્ગને મર્યાદિત કરવું જરૂરી છે જે ઇચ્છિત વળાંક નક્કી કરશે. ગાણિતિક સ્પ્લાઈન્સ અંદાજિત વણાંકો માટે વપરાતા કાર્યો છે. તેમની મહત્વપૂર્ણ મિલકત ગણતરીની સરળતા છે. વ્યવહારમાં, થર્ડ-ડિગ્રી બહુપદીના સ્વરૂપના સ્પ્લાઇન્સનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. તેમની સહાયથી, સરળતાના માનવ વ્યક્તિલક્ષી ખ્યાલને સાહજિક રીતે અનુરૂપ વળાંકો દોરવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ છે. "સ્પલાઇન" શબ્દ અંગ્રેજી સ્પલાઇન પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે સ્ટીલની લવચીક પટ્ટી કે જેનો ઉપયોગ ડ્રાફ્ટ્સમેન દ્વારા સરળ વળાંકો દોરવા માટે કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જહાજો અથવા એરોપ્લેનના રૂપરેખા બનાવવા માટે.

ચાલો પ્રથમ એક વેરીએબલના ફંક્શનને પ્લોટ કરવા માટે સ્પ્લાઈન ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્લેન પર બિંદુઓનો ક્રમ , , અને , આપવા દો. ચાલો જરૂરી કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને બે શરતો સેટ કરીએ:

1) ફંક્શન આપેલ તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થવું જોઈએ: , .

2) ફંક્શન બે વાર સતત ભિન્ન હોવું જોઈએ, એટલે કે, સમગ્ર અંતરાલ પર સતત બીજું ડેરિવેટિવ હોવું જોઈએ.

દરેક સેગમેન્ટ પર, અમે ત્રીજા-ડિગ્રી બહુપદીના રૂપમાં અમારા કાર્યને શોધીશું:

.

ચોખા. 40. સ્પ્લીન ફંક્શન.

બહુપદી બનાવવાનું કાર્ય ગુણાંક શોધવા માટે નીચે આવે છે. દરેક સેગમેન્ટ માટે 4 ગુણાંક શોધવા જરૂરી હોવાથી, જરૂરી ગુણાંકની કુલ સંખ્યા હશે. બધા ગુણાંક શોધવા માટે, અમે સમીકરણોની અનુરૂપ સંખ્યા નક્કી કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણો આંતરિક ગાંઠો પર કાર્ય મૂલ્યોના સંયોગ માટેની શરતોમાંથી મેળવવામાં આવે છે, . નીચેના સમીકરણોઅમે આંતરિક ગાંઠો પર પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોના સંયોગ માટેની શરતોમાંથી સમાન રીતે મેળવીએ છીએ. પ્રથમ શરત સાથે આપણે સમીકરણો મેળવીએ છીએ. ગુમ થયેલ બે સમીકરણો સેગમેન્ટના અંતિમ બિંદુઓ પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોને સ્પષ્ટ કરીને મેળવી શકાય છે. આ રીતે સીમાની શરતો સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

ચાલો વધુ પર આગળ વધીએ મુશ્કેલ કેસ- માં વણાંકો સેટ કરો ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. વળાંકના કાર્યાત્મક સ્પષ્ટીકરણના કિસ્સામાં, જ્યારે ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો સમાન હોય ત્યારે સ્વ-છેદન અને અસુવિધાના કિસ્સામાં અસ્પષ્ટતા શક્ય છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે એક કાર્ય શોધીશું પેરામેટ્રિક ફોર્મ. ચાલો એક સ્વતંત્ર પરિમાણ જેમ કે. અમે તેને ક્યુબિક પેરામેટ્રિક સ્પ્લિન કહીએ છીએ નીચેની સિસ્ટમસમીકરણો

વળાંક પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે , અને ત્રણ ડેરિવેટિવ્સ બિંદુ પર અનુરૂપ સ્પર્શક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉલ્લેખ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંકલન માટે:

.

પેરામેટ્રિક ક્યુબિક સ્પલાઇનનો ઉલ્લેખ કરવાની એક રીત એ છે કે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ, તેમજ તેમાંના સ્પર્શક વેક્ટર. સ્પષ્ટ કરવાની આ રીતને હર્માઇટ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. ચાલો અંતિમ બિંદુઓ અને , અને તેમના પરના સ્પર્શક વેક્ટર અને . આગળની રજૂઆતને ધ્યાનમાં લઈને સૂચકાંકો આ રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા.

અમે ચાર ગુણાંક શોધવાની સમસ્યા હલ કરીશું, કારણ કે બાકીના બે સમીકરણો માટે ગુણાંક સમાન રીતે જોવા મળે છે. ચાલો સ્પ્લાઈન બનાવવા માટેની શરત લખીએ:

ચાલો માટે અભિવ્યક્તિ ફરીથી લખીએ વેક્ટર ફોર્મ:

.

ચાલો વેક્ટર સ્ટ્રિંગ દર્શાવીએ અને ગુણાંકનો વેક્ટર કૉલમ, પછી.

(*) થી તે અનુસરે છે કે , . સ્પર્શક માટે ,

અહીંથી આપણે વેક્ટર-મેટ્રિક્સ સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

.

આ સિસ્ટમ શોધીને ઉકેલી શકાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સકદ

.

અહીં એક હર્મિટિયન મેટ્રિક્સ છે, - ભૌમિતિક વેક્ટરઈર્મિતા. ચાલો શોધવા માટે અભિવ્યક્તિને બદલીએ: . એ જ રીતે અન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે: , .

ચાલો સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં સ્પ્લાઈન પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો લખીએ. ત્યારથી, પછી જમણી બાજુથી વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે:

.

કૌંસમાંના ચાર કાર્યોને જોડાણ કાર્યો કહેવામાં આવે છે.

હર્માઇટ સ્વરૂપમાં આપેલ વળાંકનો આકાર સરળતાથી બદલી શકાય છે જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે સ્પર્શક વેક્ટરની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે પ્રારંભિક દિશા, અને સ્પર્શક વેક્ટરનું મોડ્યુલ આ વેક્ટરની દિશામાં વળાંકના વિસ્તરણની ડિગ્રીને સ્પષ્ટ કરે છે, જેમ કે ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 41.

ચોખા. 41. હર્માઇટ સ્વરૂપમાં પેરામેટ્રિક સ્પ્લિન. જમણી તરફ વળાંકનું વિસ્તરણ એ હકીકત દ્વારા સુનિશ્ચિત થાય છે કે .

ચાલો આપણે બેઝિયર સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લઈએ, જે હર્માઈટ સ્વરૂપથી સીમાની પરિસ્થિતિઓને સ્પષ્ટ કરવાની રીતમાં અલગ છે, એટલે કે, વેક્ટર્સ, બિંદુઓ (અને અનુરૂપ ત્રિજ્યા વેક્ટર)ને બદલે અને રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, જેમ કે ફિગ. 42 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, જેમ કે શરતો મળ્યા છે: અને .

ચોખા. 42. બેઝિયર સ્વરૂપમાં પેરામેટ્રિક સ્પ્લિન.

હર્માઇટ સ્વરૂપથી બેઝિયર સ્વરૂપમાં સંક્રમણ પરિવર્તન દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે:

, (*)

ભૌમિતિક બેઝિયર વેક્ટર ક્યાં છે. આને માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણને મળે છે

બેઝિયર સ્પ્લાઈન્સની ઉપયોગી મિલકત એ છે કે વળાંક હંમેશા ચતુર્ભુજ દ્વારા બનેલા બહિર્મુખ હલની અંદર રહે છે. આ ગુણધર્મ એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે કે અભિવ્યક્તિ (*) માં ગુણાંક 0 થી 1 સુધીના મૂલ્યો લે છે અને તેમનો સરવાળો એક સમાન છે.

નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ ફોર્મનું છે

- બેઝિયર મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.

સંદર્ભો

1. ન્યુમેન, સ્પ્રોલ, ઇન્ટરેક્ટિવ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના ફંડામેન્ટલ્સ, એમ. મીર, 1976.

2. એન્જલ વાય. વ્યવહારુ પરિચયકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ, રેડિયો અને કોમ્યુનિકેશન્સમાં, 1984.

3. એ. વેન-ડેમ, જે. ફોલી, ઈન્ટરએક્ટિવ કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના ફંડામેન્ટલ્સ, વોલ્યુમ 1-2, એમ. મીર, 1985.

4. ઇ.વી. ઝિકિન, એ.વી.બોરેસ્કોવ, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ. ડાયનેમિક્સ, વાસ્તવિક છબીઓ, એમ., ડાયલોગ-MEPhI, 1995, 1997.

5. એલ. એમેરલ, સી ભાષામાં મશીન ગ્રાફિક્સ, 4 વોલ્યુમમાં, સોલ. સિસ્ટમ, 1992.

6. કોમ્પ્યુટર બુદ્ધિ મેળવે છે. પ્રતિ. અંગ્રેજીમાંથી એડ. વી.એલ. સ્ટેફન્યુક, એમ. મીર, 1990.

7. રોજર્સ, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના અલ્ગોરિધમિક પાયા. એમ. મીર, 1989.

8. ગ્રિસ, પર્સનલ કોમ્પ્યુટરના ગ્રાફિક ટૂલ્સ, એમ., મીર, 1980.

9. રોજર્સ, એડમ્સ, મેથેમેટિકલ બેઝિક્સમશીન ગ્રાફિક્સ, એમ. મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, 1985.

10. ગિલોય, ઇન્ટરેક્ટિવ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ, એમ., મીર, 1981.

11. એફ. પ્રિપરાટા, એમ. શેઈમોસ, કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ: પરિચય, એમ. મીર, 1989.

12. એ. ફોક્સ, એમ. પ્રેટ, કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ, એમ., મીર, 1982.

13. એ.બી. બોરેસ્કોવ, શિકિના, જી.ઇ. ઇ.વી. શિકીના, એમ., ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 1996.

14. એ.વી. ફ્રોલોવ, જી.ડી. ગ્રાફિકલ ઈન્ટરફેસ MS વિન્ડોઝ, મોસ્કો, ડાયલોગ-MEPhI પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1994.

15. માઈકલ લાસ્ઝલો, કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ અને કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ C++ માં, મોસ્કો, બિનોમ, 1997.

16. યુ ટીખોમિરોવ, પ્રોગ્રામિંગ ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફિક્સ, સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: બીએચવી-સેન્ટ. 1999.

17. એ. ખોનિચ, જાતે ત્રિ-પરિમાણીય રમત કેવી રીતે બનાવવી. એમ.: મિક્રોઆર્ટ, 1996.

18. M. Marov, 3D સ્ટુડિયો MAX 2.5: સંદર્ભ પુસ્તક - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: “પીટર”, 1999. – 672 પૃષ્ઠ.

19. એ. લા મોટે, ડી. રેટક્લિફ અને અન્ય ગેમ પ્રોગ્રામિંગના રહસ્યો / અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદિત. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: પીટર, 1995. - 720 પૃષ્ઠ.

20. એન. થોમ્પસન, વિન્ડોઝ 95 માટે પ્રોગ્રામિંગના ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફિક્સના રહસ્યો. અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: પીટર, 1997. - 352 પૃષ્ઠ.

* આ વ્યાખ્યામાં, Oz અક્ષને Ox અક્ષ સાથે બદલતી વખતે, બાકીની અક્ષો ચક્રીય ક્રમચયના નિયમ અનુસાર બદલવામાં આવે છે, એટલે કે Oy ને Oz દ્વારા બદલવામાં આવશે, અને Ox ને Oy દ્વારા બદલવામાં આવશે. ત્રણ ચક્રીય ક્રમચયો હોઈ શકે છે: (x,y,z)®(y,z,x)®(z,x,y).

* વધુ કડક વ્યાખ્યા સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સવિભાગમાં આપેલ છે રેખીય બીજગણિત"પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ".

સપાટીઓનું પોઈન્ટ પોઈન્ટ વર્ણન.

પદ્ધતિમાં તેની સાથે જોડાયેલા બિંદુઓના સમૂહ સાથે સપાટીનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. પરિણામે, આ પદ્ધતિ સાથેની છબીની ગુણવત્તા પોઈન્ટની સંખ્યા અને તેમના સ્થાન પર આધારિત છે.

પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ વર્ણનતે કિસ્સાઓમાં વપરાય છે જ્યાં સપાટી ખૂબ જ જટિલ હોય અને તેમાં સરળતા ન હોય અને વિગતવાર રજૂઆત ભૌમિતિક લક્ષણોપ્રેક્ટિસ માટે મહત્વપૂર્ણ.

ઉદાહરણ: અન્ય ગ્રહો પર માટી વિસ્તારો, આકાર અવકાશી પદાર્થો, જે વિશેની માહિતી સેટેલાઇટ ઇમેજીના પરિણામે મેળવવામાં આવી હતી. ઈલેક્ટ્રોન માઈક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને લીધેલા સૂક્ષ્મ પદાર્થો.

બિંદુ મુજબ વર્ણવેલ ઑબ્જેક્ટ વિશેની પ્રારંભિક માહિતી મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે 3D કોઓર્ડિનેટ્સપોઈન્ટ

સ્પ્લાઇન્સસરળ હોય છે (ઘણા સતત ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતા) ​​ટુકડા પ્રમાણે બહુપદી ફંક્શન્સ કે જે આપેલ કાર્યોને રજૂ કરવા માટે વાપરી શકાય છે મોટી સંખ્યામાંમૂલ્યો અને જેના માટે એકલ બહુપદી દ્વારા અંદાજ લાગુ પડતું નથી. સ્પ્લાઇન્સ સરળ, આર્થિક અને કામ કરવા માટે સરળ હોવાથી, તેનો ઉપયોગ મનસ્વી કાર્યોના નિર્માણ માટે થાય છે:

o વળાંક મોડેલિંગ;

o વણાંકોનો ઉપયોગ કરીને ડેટા અંદાજ;

o કાર્યાત્મક અંદાજો કરી રહ્યા છે;

o કાર્યાત્મક સમીકરણો ઉકેલવા.

ચાલો આપેલ સીમા બિંદુઓ સાથે સરળ વણાંકો દોરવાની સમસ્યા અથવા ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. કોઈપણ સંખ્યાના સરળ વણાંકો બે બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવી શકે છે, તેથી આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે કાર્યોના વર્ગને મર્યાદિત કરવું જરૂરી છે જે ઇચ્છિત વળાંક નક્કી કરશે. ગાણિતિક સ્પ્લાઈન્સ અંદાજિત વણાંકો માટે વપરાતા કાર્યો છે. તેમની મહત્વપૂર્ણ મિલકત ગણતરીની સરળતા છે. વ્યવહારમાં, થર્ડ-ડિગ્રી બહુપદીના સ્વરૂપના સ્પ્લાઇન્સનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. તેમની સહાયથી, સરળતાના માનવ વ્યક્તિલક્ષી ખ્યાલને સાહજિક રીતે અનુરૂપ વળાંકો દોરવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ છે. "સ્પલાઇન" શબ્દ અંગ્રેજી સ્પલાઇન પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે સ્ટીલની લવચીક પટ્ટી કે જેનો ઉપયોગ ડ્રાફ્ટ્સમેન દ્વારા સરળ વળાંકો દોરવા માટે કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જહાજો અથવા એરોપ્લેનના રૂપરેખા બનાવવા માટે.

ચાલો પ્રથમ એક વેરીએબલના ફંક્શનને પ્લોટ કરવા માટે સ્પ્લાઈન ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો બિંદુઓનો ક્રમ , પ્લેન પર આપવામાં આવે અને . ચાલો જરૂરી કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને બે શરતો સેટ કરીએ:

1) કાર્ય તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થવું જોઈએ: , ;

2) ફંક્શન બે વાર સતત ભિન્ન હોવું જોઈએ, એટલે કે, સમગ્ર અંતરાલ પર સતત બીજું ડેરિવેટિવ હોવું જોઈએ.

દરેક સેગમેન્ટ પર, , આપણે ત્રીજા-ડિગ્રી બહુપદીના રૂપમાં અમારા કાર્યને શોધીશું:

.

સ્પલાઇન કાર્ય

બહુપદી બનાવવાનું કાર્ય ગુણાંક શોધવા માટે નીચે આવે છે. દરેક સેગમેન્ટ માટે 4 ગુણાંક શોધવા જરૂરી હોવાથી, જરૂરી ગુણાંકની કુલ સંખ્યા હશે. બધા ગુણાંક શોધવા માટે, અમે સમીકરણોની અનુરૂપ સંખ્યા નક્કી કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણો આંતરિક ગાંઠો પર કાર્ય મૂલ્યોના સંયોગ માટેની શરતોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. નીચેના સમીકરણો આંતરિક ગાંઠો પર પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોના સંયોગ માટેની પરિસ્થિતિઓમાંથી સમાન રીતે મેળવવામાં આવે છે. પ્રથમ શરત સાથે આપણે સમીકરણો મેળવીએ છીએ. ગુમ થયેલ બે સમીકરણો સેગમેન્ટના અંતિમ બિંદુઓ પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સના મૂલ્યોને સ્પષ્ટ કરીને મેળવી શકાય છે. આ રીતે સીમાની શરતો સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

ચાલો વધુ જટિલ કેસ તરફ આગળ વધીએ - ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વણાંકો વ્યાખ્યાયિત કરવા. વળાંકના કાર્યાત્મક સ્પષ્ટીકરણના કિસ્સામાં, જ્યારે ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો સમાન હોય ત્યારે સ્વ-છેદન અને અસુવિધાના કિસ્સામાં અસ્પષ્ટતા શક્ય છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે ફંક્શનને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં જોઈશું. ચાલો એક સ્વતંત્ર પરિમાણ જેમ કે. ચાલો નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમને ક્યુબિક પેરામેટ્રિક સ્પલાઇન કહીએ:

વળાંક પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, અને ત્રણ ડેરિવેટિવ્સ બિંદુ પર સંબંધિત સ્પર્શક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉલ્લેખ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંકલન માટે:

પેરામેટ્રિક ક્યુબિક સ્પલાઇનનો ઉલ્લેખ કરવાની એક રીત એ છે કે શરૂઆત અને અંતિમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ તેમજ તેમના પરના સ્પર્શક વેક્ટરનો ઉલ્લેખ કરવો. સ્પષ્ટ કરવાની આ રીતને હર્માઇટ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. ચાલો અંતિમ બિંદુઓ અને , અને તેમના પરના સ્પર્શક વેક્ટર અને . આગળની રજૂઆતને ધ્યાનમાં લઈને સૂચકાંકો આ રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા.

અમે ચાર ગુણાંક શોધવાની સમસ્યા હલ કરીશું, કારણ કે બાકીના બે સમીકરણો માટે ગુણાંક સમાન રીતે જોવા મળે છે. ચાલો સ્પ્લાઈન બનાવવા માટેની શરત લખીએ:

ચાલો વેક્ટર સ્વરૂપમાં માટે અભિવ્યક્તિ ફરીથી લખીએ:

.

ચાલો પંક્તિ વેક્ટર અને ગુણાંકના કૉલમ વેક્ટરને સૂચિત કરીએ, પછી.

(*) માંથી તે અનુસરે છે કે, . સ્પર્શક માટે ,

અહીંથી આપણે વેક્ટર-મેટ્રિક્સ સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

.

આ સિસ્ટમ કદના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સને શોધીને ઉકેલવામાં આવે છે.

.

અહીં હર્મિટિયન મેટ્રિક્સ છે, ભૌમિતિક હર્માઇટ વેક્ટર છે. ચાલો શોધવા માટે અભિવ્યક્તિને બદલીએ: . એ જ રીતે અન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે: , .

વણાંકો અને સપાટીઓ મળી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ, ઘણી વખત તદ્દન હોય છે જટિલ આકાર, જે સાર્વત્રિકને મંજૂરી આપતું નથી વિશ્લેષણાત્મક કાર્યસામાન્ય રીતે મદદ સાથે પ્રાથમિક કાર્યો. તેથી, તેઓ પ્રમાણમાં સરળ સરળ ટુકડાઓ - સેગમેન્ટ્સ (વળાંક) અથવા કટ (સપાટીઓ) માંથી એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક એક અથવા બે ચલોના પ્રાથમિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને તદ્દન સંતોષકારક રીતે વર્ણવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, આંશિક વળાંકો અથવા સપાટીઓ બાંધવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સરળ કાર્યો સમાન પ્રકૃતિના હોવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, તે બહુપદી હોવા જોઈએ તે જરૂરી છે. સમાન ડિગ્રી સુધી. અને પરિણામી વળાંક અથવા સપાટીને પૂરતા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવા માટે, તમારે ખાસ કરીને સાવચેત રહેવાની જરૂર છે જ્યાં અનુરૂપ ટુકડાઓ જોડાય છે. બહુપદીની ડિગ્રી સરળ ભૌમિતિક વિચારણાઓમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે અને, નિયમ તરીકે, નાની છે. સમગ્ર સંયુક્ત વળાંક સાથે સ્પર્શકને સરળતાથી બદલવા માટે, ત્રીજા ડિગ્રીના બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને જોડાયેલા વણાંકોનું વર્ણન કરવા માટે તે પૂરતું છે, ઘન બહુપદી. આવા બહુપદીના ગુણાંક હંમેશા પસંદ કરી શકાય છે જેથી અનુરૂપ સંયુક્ત વક્રની વક્રતા સતત રહે. ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ, જે એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ઉદ્ભવે છે, તે સંયુક્ત સપાટીઓના ટુકડાઓના નિર્માણ માટે અનુકૂળ થઈ શકે છે. અને અહીં બાયક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ તદ્દન કુદરતી રીતે દેખાય છે, જેનું વર્ણન બે ચલોમાંના દરેકમાં ત્રીજા ડિગ્રીના બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું છે. આવા સ્પ્લાઇન્સ સાથે કામ કરવા માટે ગણતરીઓની નોંધપાત્ર રીતે મોટી રકમની જરૂર છે. પરંતુ અધિકાર સંગઠિત પ્રક્રિયાઅમને સતત વધતી તકોને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપશે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીવી મહત્તમ ડિગ્રી. સ્પ્લીન ફંક્શન્સ સેગમેન્ટ પર ચાલો, એટલે કે, રીમાર્ક. a^ નંબરોની અનુક્રમણિકા (t) આ સૂચવે છે. દરેક આંશિક સેગમેન્ટ D પર કાર્ય 5(x) નક્કી કરતા ગુણાંકનો સમૂહ અલગ છે. દરેક સેગમેન્ટ D1 પર, સ્પ્લાઈન 5(x) એ ડિગ્રી p નો બહુપદી છે અને આ સેગમેન્ટ પર p + 1 ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. કુલ આંશિક વિભાગો - પછી. આનો અર્થ એ છે કે સ્પલાઇનને સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત કરવા માટે, (p + 1) પછી સંખ્યાઓ શોધવી જરૂરી છે, એટલે કે ગ્રીડ w ના તમામ આંતરિક ગાંઠો પર ફંક્શન 5(x) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝની સાતત્ય. આવા ગાંઠોની સંખ્યા m - 1 છે. આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંક શોધવા માટે, p(m - 1) શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. માટે સંપૂર્ણ વ્યાખ્યાસ્પ્લિન ખૂટે છે (શરતો (સમીકરણો). વધારાની શરતોની પસંદગી વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની પ્રકૃતિ દ્વારા અને કેટલીકવાર ફક્ત વપરાશકર્તાની ઇચ્છા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્પલાઇન થિયરી ઉકેલોના ઉદાહરણો ઇન્ટરપોલેશન અને સ્મૂથિંગ સમસ્યાઓ મોટે ભાગે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જ્યારે તે પ્લેન B ઈન્ટરપોલેશન સમસ્યાઓ પર આપેલ પોઈન્ટની એરેમાંથી એક અથવા બીજી સ્પ્લાઈન બનાવવા માટે જરૂરી છે કે સ્પલાઈન ગ્રાફ પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે, જે તેના ગુણાંક પર m + 1 વધારાની શરતો (સમીકરણો) લાદે છે. સ્પલાઇનના અસ્પષ્ટ બાંધકામ માટે, મોટાભાગે વિચારણા હેઠળના સેગમેન્ટના છેડે સ્પ્લીનના નીચલા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોના સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે [a, 6] - સીમા (સીમા) પસંદ કરવાની ક્ષમતા વિવિધ સીમા સ્થિતિઓ તમને વિવિધ ગુણધર્મો સાથે સ્પ્લાઈન્સ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, સ્પ્લાઈન બનાવવામાં આવે છે જેથી કરીને તેનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (i" "Y"), * = 0, 1,..., t, અને તેમના દ્વારા નહીં. સ્પ્લાઈન ફંક્શન્સ બનાવતી વખતે પસંદ કરવા માટે વર્ણવેલ વિકલ્પો તેમની તમામ વિવિધતાને ખતમ કરતા નથી. અને જો શરૂઆતમાં ફક્ત ટુકડા મુજબ બહુપદીના સ્પ્લાઈન ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો પછી જેમ જેમ તેમની એપ્લિકેશનનો વ્યાપ વિસ્તરતો ગયો તેમ તેમ અન્ય પ્રાથમિક કાર્યોમાંથી "એકસાથે ગુંદર ધરાવતા" સ્પ્લાઈન્સ દેખાવા લાગ્યા. ઈન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સ ઈન્ટરપોલેશન પ્રોબ્લેમનું સ્ટેટમેન્ટ સેગમેન્ટ [a, 6) પર ગ્રીડ આપવામાં આવે છે. સેગમેન્ટ (a, 6] પર એક સરળ કાર્ય બનાવો જે ગ્રીડ નોડ્સ પર આપેલ મૂલ્યો લે છે, એટલે કે, નોંધ: ફોર્મ્યુલેટેડ ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યા પુનઃસ્થાપિત કરવાની છેસરળ કાર્ય , કોષ્ટકમાં આપેલ છે (ફિગ. 2). તે સ્પષ્ટ છે કે આવી સમસ્યા ઘણી છેવિવિધ ઉકેલો . બાંધેલા કાર્ય પર ઓવરલેઇંગવધારાની શરતો , જરૂરી અસ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. એપ્લીકેશનમાં, ઘણી વખત નિયત પર્યાપ્ત સાથે ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે આપવામાં આવેલ ફંક્શનને અંદાજિત કરવાની જરૂર હોય છે.સારા ગુણધર્મો . ઉદાહરણ તરીકે, એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપેલ ફંક્શન /(x) ના મૂલ્યોની ગણતરી સેગમેન્ટના બિંદુઓ પર [a, 6] નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલ છે અને/અથવા આપેલ કાર્ય /(x) માં જરૂરી સરળતા નથી. , તે અન્ય ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે કે જે અંદાજે આપેલ કાર્ય ધરાવે છે અને તેના નોંધાયેલા ગેરફાયદાથી વંચિત હશે. કાર્ય પ્રક્ષેપ સમસ્યા. અંતરાલ પર બાંધો [a, 6] એક સરળ કાર્ય a(x), ગ્રીડ નોડ્સ w સાથે એકરુપ/(X). ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈનની વ્યાખ્યા મેશ ડબલ્યુ પર ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(x) એ એક ફંક્શન છે જે 1) દરેક સેગમેન્ટ પર ત્રીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, 2) સેગમેન્ટ [a, b પર સતત બે વાર અલગ છે. ], એટલે કે, વર્ગ C2[a, 6], અને 3)ની શરતોને સંતોષે છે, દરેક સેગમેન્ટ પર, સ્પલાઇન S(x) એ ત્રીજી ડિગ્રીનો બહુપદી છે અને આ સેગમેન્ટ પર ચાર ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. . સેગમેન્ટ્સની કુલ સંખ્યા m છે આનો અર્થ એ છે કે 4m નંબરો શોધવા જરૂરી છે S(x) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ S"(x) અને 5" (x) તમામ આંતરિક ગ્રીડ નોડ્સ w. આવા ગાંઠોની સંખ્યા m - 1 છે. આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંક શોધવા માટે, અન્ય 3(m - 1) શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. શરતો (2) સાથે મળીને શરતો (સમીકરણો) મેળવવામાં આવે છે. બાઉન્ડ્રી (એજ) શરતો અંતરાલના અંતમાં સ્પ્લીન અને/અથવા તેના ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પરના નિયંત્રણોના સ્વરૂપમાં બે ખૂટતી શરતો સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે [a, 6]. ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન બનાવતી વખતે, નીચેની ચાર પ્રકારની બાઉન્ડ્રી શરતોનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે. A. 1લી પ્રકારની સીમાની શરતો. - અંતરાલના અંતે [a, b] ઇચ્છિત કાર્યના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. B. 2જી પ્રકારની સીમાની શરતો. - અંતરાલના અંતે (a, 6) ઇચ્છિત કાર્યના બીજા વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. B. 3જી પ્રકારની સીમાની શરતો. સામયિક કહેવાય છે. જ્યારે ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન પીરિયડ T = b-a સાથે સામયિક હોય તેવા કિસ્સાઓમાં આ શરતોની પરિપૂર્ણતાની આવશ્યકતા સ્વાભાવિક છે. D. 4 થી પ્રકારની સીમાની શરતો. વિશેષ ટિપ્પણીની જરૂર છે. ટિપ્પણી. આંતરિક સેપ્સી ગાંઠો પર, ફંક્શન S(x) નું ત્રીજું વ્યુત્પન્ન, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અવ્યવસ્થિત છે. જો કે, 4 થી પ્રકારની શરતોનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા વ્યુત્પન્નની વિરામની સંખ્યા ઘટાડી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, કન્સ્ટ્રક્ટેડ સ્પલાઈન અંતરાલ પર સતત ત્રણ વખત અલગ-અલગ હશે. દરેક અંતરાલ પર, નીચેના સ્વરૂપમાં ઇન્ટરપોલેશન સ્પલાઇન ફંક્શન શોધવામાં આવે છે, જેનું સ્વરૂપ સીમાની સ્થિતિના પ્રકાર પર આધારિત છે. પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો માટે, આ સિસ્ટમમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે જ્યાં ગુણાંક સીમાની સ્થિતિની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. 1લા પ્રકારની સીમાની શરતો: 2જી પ્રકારની સીમાની શરતો: 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: માં અજાણ્યાઓની સંખ્યા નવીનતમ સિસ્ટમ mn ની બરાબર છે, કારણ કે તે સામયિક સ્થિતિને અનુસરે છે જે po = nm છે. 4 થી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિઓ માટે, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમમાં એક ફોર્મ છે જ્યાં સિસ્ટમને મળેલા ઉકેલના આધારે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ po અને n નક્કી કરી શકાય છે. ત્રણેય રેખીય મેટ્રિસિસ બીજગણિત સિસ્ટમોત્રાંસા પ્રબળ મેટ્રિસિસ છે. મેટ્રિસીસ એકવચન નથી, અને તેથી આ દરેક પ્રણાલીમાં અનન્ય ઉકેલ છે. પ્રમેય. ઈન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન જે શરતોને સંતોષે છે (2) અને ઉપર સૂચિબદ્ધ ચાર પ્રકારોમાંથી એકની સીમાની સ્થિતિ અસ્તિત્વમાં છે અને તે અનન્ય છે. આમ, ઈન્ટરપોલીંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન બનાવવાનો અર્થ થાય છે જ્યારે સ્પ્લાઈન ગુણાંક જોવા મળે છે, ત્યારે સ્પ્લાઈન S(x) ની કિંમતમનસ્વી બિંદુ સેગમેન્ટ [a, b] ફોર્મ્યુલા (3) માં મળી શકે છે. જો કે, વ્યવહારુ ગણતરીઓ માટે તે વધુ યોગ્ય છેઆગામી અલ્ગોરિધમ મૂલ્ય 5(g) શોધવું. ચાલો x 6 [x", પ્રથમ, A અને B ના મૂલ્યોની સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે અને પછી મૂલ્ય 5(x) જોવા મળે છે: આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ મૂલ્ય નક્કી કરવા માટેના કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે. માટે ટિપ્સ વપરાશકર્તા સીમા (ધાર) શરતો અને પ્રક્ષેપ ગાંઠોની પસંદગી પરવાનગી આપે છેઅમુક હદ સુધી ઇન્ટરપોલેશન સ્પ્લાઇન્સના ગુણધર્મોને નિયંત્રિત કરો. A. સીમા (ધાર) શરતોની પસંદગી. સીમાની શરતોની પસંદગી તેમાંથી એક છે કેન્દ્રીય સમસ્યાઓઅંદાજિત કાર્ય f(x) ના વર્તન પર. જો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f"(x) ની કિંમતો સેગમેન્ટ (a, 6) ના છેડે જાણીતી હોય, તો 1લી પ્રકારની સીમા શરતોનો ઉપયોગ કરવો સ્વાભાવિક છે. જો બીજા વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો f"(x) સેગમેન્ટ [a, 6] ના છેડે ઓળખાય છે, તો તે પ્રકાર 2 ની કુદરતી ઉપયોગની સીમા શરતો છે. જો પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો વચ્ચે પસંદગી હોય, તો પ્રકાર 1 ની શરતોને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ. જો f(x) - સામયિક કાર્ય, તો પછી આપણે 3જી પ્રકારની સીમાની શરતો પર રોકાવું જોઈએ. ના હોય તેવા કિસ્સામાં વધારાની માહિતીઅંદાજિત કાર્યની વર્તણૂક વિશે કોઈ માહિતી નથી; કહેવાતી કુદરતી સીમા શરતોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જો કે, તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે આવી સીમા શરતોની પસંદગી સાથે, ફંક્શનની અંદાજિતતાની ચોકસાઈ. ) સેગમેન્ટના છેડા નજીક સ્પ્લાઈન S(x) દ્વારા (a, ft] તીવ્રપણે ઘટે છે. કેટલીકવાર તેનો ઉપયોગ 1 લી અથવા 2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિઓમાં થાય છે, પરંતુ તેની સાથે નહીં. ચોક્કસ મૂલ્યોઅનુરૂપ ડેરિવેટિવ્ઝ, અને તેમના તફાવતના અંદાજો સાથે. આ અભિગમની ચોકસાઈ ઓછી છે. ગણતરીઓનો વ્યવહારુ અનુભવ બતાવે છે કે વિચારણા હેઠળની પરિસ્થિતિમાં, સૌથી યોગ્ય એ 4 થી પ્રકારની સીમાની શરતોની પસંદગી છે. B. ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સની પસંદગી. જો ફંક્શનના ત્રીજા વ્યુત્પન્ન f""(x) માં સેગમેન્ટ [a, b] ના અમુક બિંદુઓ પર વિરામ હોય, તો અંદાજની ગુણવત્તા સુધારવા માટે આ બિંદુઓને પ્રક્ષેપ ગાંઠોની સંખ્યામાં સમાવવા જોઈએ. જો બીજું વ્યુત્પન્ન /"(x) અવ્યવસ્થિત હોય, તો પછી વિરામ બિંદુઓની નજીકના સ્પલાઇનના ઓસિલેશનને ટાળવા માટે, ખાસ પગલાં લેવા જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે, પ્રક્ષેપ ગાંઠો પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી બીજા વ્યુત્પન્ન પતનના વિરામ બિંદુઓ અંતરાલ \xif ની અંદર), જેમ કે મૂલ્ય a ને સંખ્યાત્મક પ્રયોગ દ્વારા પસંદ કરી શકાય છે (ઘણીવાર તે a = 0.01 સેટ કરવા માટે પૂરતી હોય છે) જ્યારે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f" (x) અવ્યવસ્થિત છે. સૌથી સરળમાંના એક તરીકે, અમે આ સૂચવી શકીએ છીએ: અંદાજિત સેગમેન્ટને એવા અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો જ્યાં વ્યુત્પન્ન સતત હોય, અને આ દરેક અંતરાલ પર એક સ્પલાઇન બનાવો. ઇન્ટરપોલેશન ફંક્શન પસંદ કરવું (ગુણ અને વિપક્ષ) અભિગમ 1. લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી આપેલ એરે માટે સ્પલાઇન થિયરી ઉકેલોના ઉદાહરણો (ફિગ. 3) ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીલેગ્રેન્જ એ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, બે વિરોધી સ્થિતિઓમાંથી લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ગેરફાયદાથી અલગથી મુખ્ય ફાયદાઓની ચર્ચા કરો. 1લી અભિગમના મુખ્ય ફાયદા: 1) લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીનો ગ્રાફ એરેના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, 2) બાંધવામાં આવેલ કાર્ય સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે (નિર્ધારિત કરવા માટેની ગ્રીડ પર લેગ્રેન્જ પ્રક્ષેપ બહુપદીના ગુણાંકની સંખ્યા છે. m + 1 ની બરાબર), 3) બાંધેલા ફંક્શનમાં કોઈપણ ક્રમના સતત ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે, 4) ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી આપેલ એરે દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. 1લી અભિગમના મુખ્ય ગેરફાયદા: 1) લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી ગ્રીડ ગાંઠોની સંખ્યા પર આધારિત છે, અને આ સંખ્યા જેટલી મોટી છે, તેટલી મોટી ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી અને તેથી, વધુ ગણતરીઓ જરૂરી છે, 2) એરેમાં ઓછામાં ઓછા એક બિંદુને બદલવા માટે લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના ગુણાંકની સંપૂર્ણ પુનઃગણતરી જરૂરી છે, 3) ઉમેરોનવો મુદ્દો એરેમાં લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી એકથી વધે છે અને તેના ગુણાંકની સંપૂર્ણ પુનઃગણતરી તરફ દોરી જાય છે, 4) અમર્યાદિત મેશ રિફાઇનમેન્ટ સાથે, લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની ડિગ્રી અનિશ્ચિતપણે વધે છે. અમર્યાદિત મેશ રિફાઇનમેન્ટ સાથે લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની વર્તણૂકને સામાન્ય રીતે ખાસ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે. ટિપ્પણીઓ A. અંદાજ પરબહુપદી તે જાણીતું છે (વેઇઅરસ્ટ્રાસ, 1885) કે અંતરાલ પર કોઈપણ સતત (અને તેથી પણ વધુ સરળ) કાર્ય બહુપદી દ્વારા આ અંતરાલ પર અનુમાનિત તેમજ ઇચ્છિત હોઈ શકે છે. ચાલો આ હકીકતને સૂત્રોની ભાષામાં વર્ણવીએ. f(x) ને અંતરાલ [a, 6] પર સતત ફંક્શન તરીકે રહેવા દો. પછી કોઈપણ e > 0 માટે બહુપદી Р(x) છે જેમ કે અંતરાલ [a, 6] માંથી કોઈપણ x માટે અસમાનતા સંતુષ્ટ થશે (ફિગ. 4) નોંધ કરો કે સમાન ડિગ્રીના બહુપદીઓ જે કાર્યને અંદાજિત કરે છે f(x) સ્પષ્ટ કરેલ ચોકસાઈ સાથે, ત્યાં અનંતપણે ઘણા છે. ચાલો સેગમેન્ટ [a, 6] પર w ગ્રીડ બનાવીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે તેના ગાંઠો, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બહુપદી Pn(x) અને ફંકશન f(x) (ફિગ. 5) ના આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ સાથે મેળ ખાતા નથી. તેથી, આપેલ મેશ માટે, બહુપદી Pn(x) એ પ્રક્ષેપ નથી. જ્યારે સતત ફંક્શનને Jla-gracz ઈન્ટરપોલેટિંગ બહુપદી દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો ગ્રાફ માત્ર સેગમેન્ટ [a, b) ના દરેક બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફની નજીક હોવો જરૂરી નથી, પરંતુ તેનાથી વિચલિત થઈ શકે છે. ઇચ્છિત તરીકે આ કાર્ય. ચાલો બે ઉદાહરણો આપીએ. ઉદાહરણ 1 (રંગ, 1901). સેગમેન્ટ [-1, 1] પરના કાર્ય માટે નોડ્સની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, મર્યાદા સમાનતા સંતુષ્ટ છે (ફિગ. 6) ઉદાહરણ 2 (બેરિસ્ટેઇન, 1912). સતત કાર્ય /(x) = |x| ગાંઠોની વધતી સંખ્યાવાળા સેગમેન્ટ પર m કાર્ય /(x) (ફિગ. 7) તરફ વલણ ધરાવતું નથી.અભિગમ 2. ટુકડા પ્રમાણે રેખીય પ્રક્ષેપ ચાલો બિંદુઓ (xit y) ને ક્રમશઃ સીધી રેખાના ભાગો (ફિગ. 8) સાથે જોડીને પીસવાઇઝ રેખીય ફંક્શન બનાવીએ. 2જી અભિગમના મુખ્ય ફાયદાઓ: 1) ટુકડા પ્રમાણે રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ એરેના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, 2) બાંધવામાં આવેલ કાર્ય સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે (નિર્ધારિત કરવાના અનુરૂપ ગુણાંકની સંખ્યા રેખીય કાર્યો એરેમાં ચાર ગુણાંકની ગણતરીની જરૂર છે. ઇન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પલાઇનના ગુણધર્મો A. ક્યુબિક સ્પલાઇનના અલ્પ્રોક્સિમેશન ગુણધર્મો. ઈન્ટરપોલેશન સ્પલાઈનના અંદાજિત ગુણધર્મ f(x) ફંક્શનની સરળતા પર આધાર રાખે છે - ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શનની સ્મૂથનેસ જેટલી વધારે છે, અંદાજનો ક્રમ વધારે છે અને જ્યારે મેશને રિફાઈન કરતી વખતે કન્વર્જન્સની ઝડપ વધુ હોય છે. જો ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય તો જો ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શન f(x) નું અંતરાલ [a, 6] પર સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે છે ગ્રીડ માટે (1) 2m ની બરાબર છે), 3) એરે આપેલ છે, બાંધવામાં આવેલ કાર્ય વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, 4) પ્રક્ષેપ કાર્યનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા બહુપદીની ડિગ્રી ગ્રીડ ગાંઠોની સંખ્યા પર આધારિત નથી (તેની બરાબર 1), 5) એરેમાં એક બિંદુ બદલવા માટે ચાર સંખ્યાઓની ગણતરીની જરૂર છે (નવા બિંદુમાંથી નીકળતી બે સીધી લિંક્સના ગુણાંક), 6) ઉમેરો, 1લી અથવા 3જી પ્રકારની સંતોષકારક સીમા શરતો, તો પછી h O માટે અમારી પાસે છે આ કિસ્સામાં, માત્ર સ્પલાઈન ઈન્ટરપોલેટેડ ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે, પણ સ્પલાઈનનું ડેરિવેટિવ પણ આ ફંક્શનના ડેરિવેટિવમાં કન્વર્જ થાય છે. જો સ્પ્લિન S(x) એ સેગમેન્ટ [a, b] પર ફંક્શન f(x) નું અનુમાન કરે છે, અને તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સ અનુક્રમે ક્યુબિક સ્પલાઇનની એક્સ્ટ્રીમલ પ્રોપર્ટી. ઇન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પલાઇનમાં એક વધુ છે ઉપયોગી મિલકત. નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો. ઉદાહરણ ફંક્શન /(x) ની રચના કરો જે સ્પેસ C2 માંથી ફંક્શનના ક્લાસ પર ફંક્શનલને ન્યૂનતમ કરે છે, જેનો આલેખ એરેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે (x;, /(x,) )) અને ઉલ્લેખિત જગ્યા સાથે સંબંધિત, તે ક્યુબિક સ્પ્લાઈન 5(x) છે, જે સીમાની સ્થિતિને સંતોષે છે, કાર્યાત્મક 1 માટે એક્સ્ટ્રીમમ (લઘુત્તમ) પહોંચાડે છે. ઘણીવાર આ એક્સ્ટ્રીમલ ગુણધર્મને ઇન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિકની વ્યાખ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે સ્પ્લીન રિમાર્ક 2. એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે ઇન્ટરપોલેટિંગ ક્યુબિક સ્પલાઇનમાં ફંક્શનના ખૂબ જ વિશાળ વર્ગ પર, એટલે કે, વર્ગ |o, 5] પર ઉપર વર્ણવેલ એક્સ્ટ્રીમલ ગુણધર્મ છે. 1.2. સ્મૂથિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઇન્સ સ્મૂથિંગ પ્રોબ્લેમના ફોર્મ્યુલેશન વિશે ગ્રીડ અને સંખ્યાઓનો સેટ આપવા દો પ્રારંભિક ડેટા પર કોમેન્ટ્રી ભૂલ હકીકતમાં, આનો અર્થ એ છે કે દરેક માટે એક અંતરાલ નિર્દિષ્ટ છે અને આ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને y, ની કિંમત તરીકે લઈ શકાય છે. y ના મૂલ્યોનું અર્થઘટન કરવું અનુકૂળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક ફંક્શન y(x) ના માપના પરિણામો તરીકેચલ x જેમાં રેન્ડમ ભૂલ છે. આવા "પ્રાયોગિક" મૂલ્યોમાંથી ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરવાની સમસ્યાને હલ કરતી વખતે, પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરવો ભાગ્યે જ સલાહભર્યું છે, કારણ કે પ્રક્ષેપ કાર્ય એરે (y,) માં રેન્ડમ ઘટકને કારણે થતા વિચિત્ર ઓસિલેશનને આજ્ઞાકારી રીતે પુનઃઉત્પાદન કરશે. વધુ કુદરતી અભિગમ માપન પરિણામોમાં રેન્ડમનેસના તત્વને કોઈક રીતે ઘટાડવા માટે રચાયેલ સ્મૂથિંગ પ્રક્રિયા પર આધારિત છે. સામાન્ય રીતે આવી સમસ્યાઓમાં એવું ફંક્શન શોધવાની જરૂર પડે છે કે જેની કિંમતો x = x, * = 0, 1, .... m યોગ્ય અંતરાલોમાં આવે અને જે વધુમાં, એકદમ સારી મિલકતો ધરાવતો હોય. ઉદાહરણ તરીકે, તેમાં સતત પ્રથમ અને દ્વિતીય ડેરિવેટિવ્સ હશે, અથવા તેનો ગ્રાફ ખૂબ મજબૂત રીતે વક્ર હશે નહીં, એટલે કે, તે મજબૂત ઓસિલેશન્સ ધરાવશે નહીં. આ પ્રકારની સમસ્યા ત્યારે પણ ઊભી થાય છે જ્યારે આપેલ (ચોક્કસ રીતે) એરે આપવામાં આવે તો, આપેલ પોઈન્ટમાંથી પસાર ન થતું હોય, પરંતુ તેમની નજીકથી અને વધુમાં, એકદમ સરળ રીતે બદલાતા ફંક્શનનું નિર્માણ કરવું જરૂરી હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જરૂરી ફંક્શન આપેલ એરેને ઇન્ટરપોલેટ કરવાને બદલે તેને સરળ બનાવે છે. એક ગ્રીડ w અને સંખ્યાઓના બે સેટને ઉકેલ સમસ્યાના SPLINE થીઓરીના ઉદાહરણો આપવા દો. સેગમેન્ટ [a, A] પર એક સરળ કાર્ય બનાવો જેની કિંમતો ગ્રીડ નોડ્સ u પર આપેલ મૂલ્યો દ્વારા સંખ્યાઓ y થી અલગ હોય છે. ફોર્મ્યુલેટેડ સ્મૂથિંગ સમસ્યા છેપુનઃસંગ્રહ કોષ્ટકમાં સ્પષ્ટ કરેલ સરળ કાર્ય. તે સ્પષ્ટ છે કે આવી સમસ્યામાં ઘણાં વિવિધ ઉકેલો છે. બાંધવામાં આવેલા કાર્ય પર વધારાની શરતો લાદીને, જરૂરી અસ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સ્મૂથિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈનની વ્યાખ્યા ગ્રીડ ડબલ્યુ પર સ્મૂથિંગ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(x) એ એક ફંક્શન છે જે 1) દરેક સેગમેન્ટ પર ત્રીજા ડિગ્રીનું બહુપદી છે, 2) સેગમેન્ટ [a, 6 પર સતત બે વાર અલગ છે. ], એટલે કે, વર્ગ C2 [a, b], 3) થી સંબંધિત છે તે કાર્યાત્મક માટે ન્યૂનતમ પ્રદાન કરે છે જ્યાં - આપેલ નંબરો, 4) નીચે દર્શાવેલ ત્રણ પ્રકારોમાંથી એકની સીમાની શરતોને સંતોષે છે. બાઉન્ડ્રી (એજ) શરતો સીમાની શરતો ગ્રીડ w ના બાઉન્ડ્રી નોડ્સ પર સ્પ્લીન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પરના પ્રતિબંધોના સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત છે. A. પ્રકાર 1 સીમા શરતો. - અંતરાલના અંતે [a, b) ઇચ્છિત કાર્યના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો ઉલ્લેખિત છે. પ્રકાર 2 સીમા શરતો. - અંતરાલના અંતે ઇચ્છિત ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ (a, b] શૂન્યના બરાબર છે. B. 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિને સામયિક કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય. ક્યુબિક સ્પલાઇન S(x), કાર્યાત્મકને ન્યૂનતમ કરવું (4) અને ઉપરોક્ત ત્રણ પ્રકારોમાંથી કોઈ એકની સીમાની સ્થિતિને સંતોષવા માટે, એક ક્યુબિક સ્પલાઈન જે કાર્યાત્મક J(f) ને ન્યૂનતમ કરે છે તેને i-ટાઈપની સ્મૂથિંગ સ્પલાઈન કહેવાય છે. આ સેગમેન્ટની કુલ સંખ્યા m છે ગ્રીડ o ના તમામ આંતરિક ગાંઠોમાં ડેરિવેટિવ્ઝ." આમ, તમામ બહુપદીઓના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, આપણે 3(m - 1) સ્થિતિઓ (સમીકરણો) મેળવીએ છીએ. કાર્ય નીચેના સ્વરૂપમાં શોધવામાં આવે છે. અહીં, સંખ્યાઓ અને છે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ, જેનું સ્વરૂપ સીમાની સ્થિતિના પ્રકાર પર આધારિત છે. ચાલો પહેલા n* મૂલ્યો કેવી રીતે જોવા મળે છે તેનું વર્ણન કરીએ. પ્રકાર 1 અને 2 ની સીમા શરતો માટે, સિસ્ટમરેખીય સમીકરણો મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે નીચેના સ્વરૂપમાં Hi લખવામાં આવે છે જ્યાં). ગુણાંક સીમાની સ્થિતિની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. 1લા પ્રકારની સીમાની શરતો: 2જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ: 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: અને તમામ ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રો (5) (મૂલ્યો) અનુસાર કરવામાં આવે છે. સૂચકાંકો સાથે k અને m + k ને સમાન ગણવામાં આવે છે: મહત્વપૂર્ણ* નોંધ: સિસ્ટમોના મેટ્રિસિસ અધોગતિ પામતા નથી અને તેથી આ દરેક સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ હોય છે, જો સંખ્યાઓ n, - જોવા મળે છે, તો જથ્થાઓ સરળતાથી નિર્ધારિત થાય છે ફોર્મ્યુલા જ્યાં સામયિક સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં, ગુણાંકની પસંદગી એ વેઇટીંગ ગુણાંક p, -, કાર્યાત્મક (4) માં સમાવિષ્ટ છે, તમે અમુક હદ સુધી સ્મૂથિંગ સ્પ્લાઇન્સને નિયંત્રિત કરી શકો છો બિંદુ (x^, Vk), પછી તેને અનુરૂપ વજન પરિબળ p\ ને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવું જોઈએ, વ્યવહારુ ગણતરીઓમાં, સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે મૂલ્યોની પસંદગી pi - ચાલો D, માપવામાં ભૂલ હોઈ શકે. મૂલ્ય y. પછી તે જરૂરી છે કે સ્મૂથિંગ સ્પ્લિન સ્થિતિને સંતોષે છે અથવા, જે સમાન છે, સરળ કિસ્સામાં, વેઇટીંગ ગુણાંક pi નો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મમાં - જ્યાં c કેટલાક પૂરતા પ્રમાણમાં નાના સ્થિર છે. જો કે, વજન p ની આ પસંદગી મૂલ્યો y, - માં ભૂલોને કારણે "કોરિડોર" નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપતી નથી. p મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે વધુ તર્કસંગત, પણ વધુ શ્રમ-સઘન અલ્ગોરિધમ આના જેવો દેખાઈ શકે છે. જો મૂલ્યો fc-th પુનરાવૃત્તિ પર જોવા મળે છે, તો એવું માનવામાં આવે છે કે જ્યાં e એ નાની સંખ્યા છે જે કમ્પ્યુટરની બીટ ગ્રીડ, D ના મૂલ્યો અને તેની ચોકસાઈને ધ્યાનમાં લઈને પ્રાયોગિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી. જો બિંદુ i પર fc-th પુનરાવૃત્તિ પર, શરત (6) નું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો છેલ્લું સૂત્ર અનુરૂપ વજન ગુણાંક p, માં ઘટાડો સુનિશ્ચિત કરશે. જો પછીના પુનરાવૃત્તિ પર p માં વધારો વધુ તરફ દોરી જાય છે "કોરિડોર" (6) અને છેવટે, વધુ સરળતાથી બદલાતી સ્પ્લીન. એક નાનો સિદ્ધાંત A. ઇન્ટરપોલેશન ક્યુબિક સ્પલાઇનના ગુણાંકની ગણતરી માટે સૂત્રોનું સમર્થન. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ જ્યાં m, હાલમાં અજ્ઞાત માત્રા છે. તેમની સંખ્યા m + 1 ની બરાબર છે. ફોર્મમાં લખાયેલ એક સ્પલાઇન જ્યાં પ્રક્ષેપની સ્થિતિને સંતોષે છે અને તે સમગ્ર અંતરાલ પર સતત રહે છે [a, b\: તેને સૂત્રમાં મૂકીને, અમે અનુક્રમે, મેળવીએ છીએ અંતરાલ [a, 6] પર સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: સંબંધને અલગ કરીને (7) મૂકીને, આપણે અનુરૂપ મેળવીએ છીએ ખરેખર. ચાલો બતાવીએ કે સંખ્યાઓ m પસંદ કરી શકાય છે જેથી કરીને સ્પ્લાઈન ફંક્શન (7) અંતરાલ [a, 6] પર સતત બીજું વ્યુત્પન્ન હોય. ચાલો અંતરાલ પર સ્પ્લાઈનના બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ: બિંદુ x, - 0 પર (t = 1 પર) આપણે અંતરાલ પરના સ્પ્લાઈનના બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ તે બિંદુ પર આપણી પાસે સાતત્યની સ્થિતિથી. ગ્રીડ a ના આંતરિક ગાંઠો પર બીજું વ્યુત્પન્ન; અમે m - 1 સંબંધ મેળવીએ છીએ જ્યાં આ m - 1 સમીકરણોમાં બે વધુ ઉમેરવાથી, જે સીમાની સ્થિતિઓમાંથી અનુસરે છે, અમે m + I અજાણ્યા miy i = 0, 1... સાથે m + 1 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. m 1 લી અને 2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના કિસ્સામાં rsh ના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટેની સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે જ્યાં (1 લી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ), (2 જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ). સામયિક સીમા શરતો માટે (પ્રકાર 3 સીમા શરતો), મેશ ઓ; વધુ એક નોડ દ્વારા વિસ્તૃત કરો અને ધારો કે પછી σ* ના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની સિસ્ટમ બીજા અને (th -!)-th ગ્રીડ નોડ્સ પર ફોર્મ સાતત્ય ધરાવશે. અમે છેલ્લા બે સંબંધોમાંથી ગુમ થયેલ બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ જે 4 થી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિને અનુરૂપ છે: સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ગૂને અને સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા પીસીને દૂર કરવા, પરિણામે આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. નોંધ કરો કે આ સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યા છે - I. 6. સ્મૂથિંગ સબચેસ સ્પ્લિનની કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોનું સમર્થન. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ જ્યાં Zi અને nj હાલમાં અજાણ્યા જથ્થાઓ છે. તેમની સંખ્યા 2m + 2 છે. સ્પ્લાઈન ફંક્શન, ફોર્મમાં લખાયેલું છે, તે સમગ્ર અંતરાલ (a, 6] પર સતત છે: આ સૂત્રમાં મૂકવાથી, આપણે અનુક્રમે મેળવીએ છીએ. ચાલો બતાવીએ કે નંબરો z, અને n, કરી શકે છે. પસંદ કરો જેથી કરીને (8) સ્વરૂપમાં લખાયેલ સ્પ્લીનમાં અંતરાલ [a, 6] પર સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન હોય. ^ - 0 (t = 1 પર) આપણે અંતરાલ પર સ્પ્લાઈન S(x) ના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ: જે બિંદુએ આપણી પાસે આંતરિક ગાંઠો પર સ્પ્લાઈનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની સાતત્યની સ્થિતિથી છે. મેશ અને --> આ સંબંધને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સરળતાથી લખવામાં આવે છે. સંબંધ (8) અને તેને મૂકવાથી, અમે અનુક્રમે મેળવીએ છીએ, વધુમાં, કાર્યાત્મક (4) ની ન્યૂનતમ શરતમાંથી મેટ્રિક્સ સંબંધ મેળવવામાં આવે છે. અમારી પાસે છેલ્લી બે મેટ્રિક્સ સમાનતાને 2m + 2 અજ્ઞાત માટે 2m + 2 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય. પ્રથમ સમાનતામાં કૉલમ r ને સંબંધ (9) માંથી મેળવેલી તેની અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીને, અમે કૉલમ M નક્કી કરવા માટેના ઉકેલોના મેટ્રિક્સ સમીકરણ SPLINE THEORY ઉદાહરણો પર પહોંચીએ છીએ. આ સમીકરણ એ હકીકતને કારણે અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે કે મેટ્રિક્સ A + 6HRH7 છે. હંમેશા બિન-અધોગતિ. તે મળ્યા પછી, અમે સરળતાથી Eamsshine શહેરને ઓળખી શકીએ છીએ. થ્રેડમાગોલાલ મેટ્રિસીસ A અને H ના તત્વો ફક્ત ગ્રીડ પરિમાણો અને (હાય પગલાં સાથે) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને y^ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખતા નથી. સંપૂર્ણ ઉપયોગરેખીય જગ્યા પરિમાણ m + 3: 1) મેશ u> પર બાંધવામાં આવેલ બે ઘન સ્પલાઇનનો સરવાળો, અને મેશ u> પર બાંધવામાં આવેલ ક્યુબિક સ્પલાઇનનો ગુણાંક, દ્વારામનસ્વી સંખ્યા વધુ ગુપ્ત રીતે, તે આ ગ્રીડ પર બાંધવામાં આવેલ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સ છે, 2) ગ્રીડ પર અને નોડમાંથી બાંધવામાં આવેલ કોઈપણ ક્યુબિક સ્પ્લાઈન આ ગાંઠો અને બે પરના મૂલ્યોના m + 1 મૂલ્ય દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે.- માત્ર + 3 પરિમાણો. m + 3 લીનિયરલી ઈન્ડિપેન્ડન્ટ સ્પ્લાઈન્સ ધરાવતી આ જગ્યામાં આધાર પસંદ કરીને, અમે એક અનોખી રીતે તેમના રેખીય સંયોજન તરીકે એક આર્બિટરી ક્યુબિક સ્પ્લાઈન a(x) લખી શકીએ છીએ. ટિપ્પણી. કમ્પ્યુટિંગ પ્રેક્ટિસમાં આ પ્રકારની સ્પલાઇન અસાઇનમેન્ટ વ્યાપક છે. ખાસ કરીને અનુકૂળ એ ડેટાબેઝ છે જેમાં કહેવાતા ક્યુબિક બી-સ્પલાઇન્સ (મૂળભૂત, અથવા મૂળભૂત, સ્પલાઇન્સ) નો સમાવેશ થાય છે. ડી-સ્પલાઇન્સનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટર મેમરી માટેની આવશ્યકતાઓને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે છે. એલ-સ્પલાઇન્સ. શૂન્ય ડિગ્રીની બી-સ્પલાઇન, ગ્રીડ w ની સાથે સંખ્યા રેખા પર બાંધવામાં આવે છે, તેને ગ્રીડ u પરની સંખ્યા રેખા પર બનેલ ડિગ્રી k^I ના ફોર્ક ફંક્શન કહેવામાં આવે છે, જે રિકરન્ટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રથમ B, -1 "(g) અને બીજા in\7\x) ડિગ્રીના B-સ્પલાઇનના સૂત્ર આલેખ અનુક્રમે ફિગ. 11 અને 12 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. મનસ્વી ડિગ્રી k ની B-સ્પલાઇન અલગ હોઈ શકે છે. માત્ર ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર શૂન્ય (k + 2 નોડ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), -3* (i) સેગમેન્ટ y પર શૂન્યથી અલગ હતું, -+2] માટે અમે ત્રીજી ડિગ્રીના ક્યુબિક સ્પલાઇન માટે સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ એક સમાન જાળીનો કેસ (પગલાં A સાથે). ક્યુબિક બી-સ્પલાઇનફિગમાં બતાવેલ છે. 13. લોન*. ફંક્શન a) એક અંતરાલ પર સતત બે વાર અલગ છે, એટલે કે, તે વર્ગ C2[a, "), k b) શૂન્યથી માત્ર સતત ચાર અંતરાલો પર અલગ છે (ચાલો સંપૂર્ણપણે આપખુદ રીતે લેવામાં આવેલા સહાયક ગાંઠો સાથે ગ્રીડ w ને પૂરક બનાવીએ. વિસ્તૃત ગ્રીડ w* નો ઉપયોગ કરીને આપણે m + 3 ક્યુબિક B-સ્પલાઈન્સનું કુટુંબ બનાવી શકીએ છીએ: આ કુટુંબ સેગમેન્ટ (a, b] પર ક્યુબિક સ્પ્લાઈન્સની જગ્યામાં આધાર બનાવે છે. આમ, એક મનસ્વી ક્યુબિક સ્પ્લાઈન S(z) ), સેગમેન્ટ |b, 6] ગ્રીડ o પર બાંધવામાં આવે છે, આ સેગમેન્ટ પર રેખીય સંયોજનના રૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે... માં કેસ જ્યાં ગ્રીડ નોડ્સ પર ફંક્શનના મૂલ્યો y* અને મેશના છેડે ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો y o અને Vm આપવામાં આવે છે" (સમસ્યા). પ્રથમ પ્રકાર), આ ગુણાંકો બાદબાકી પછી નીચેના ફોર્મની સિસ્ટમમાંથી ગણવામાં આવે છે જથ્થો b-iઅને &m+i, અમે અજ્ઞાત 5q, ... , bm અને ત્રિ-પરિમાણીય મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. સ્થિતિ વિકર્ણ પ્રભુત્વને સુનિશ્ચિત કરે છે અને તેથી, તેને ઉકેલવા માટે સ્વીપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતા. 3MMCHMY 1. લીનિયર સિસ્ટમ્સઅન્ય પ્રક્ષેપણ સમસ્યાઓનો વિચાર કરતી વખતે સમાન પ્રકારો ઉદ્ભવે છે. Zmmchnm* 2. વિભાગ 1.1 માં વર્ણવેલ એલ્ગોરિધમ્સની તુલનામાં, * ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યાઓમાં આર-સ્પલાઇનનો ઉપયોગ અમને સંગ્રહિત માહિતીની માત્રા ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે, એટલે કે, કમ્પ્યુટર મેમરી માટેની આવશ્યકતાઓને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવા માટે, જો કે તે દોરી જાય છે. કામગીરીની સંખ્યામાં વધારો કરવા માટે. સ્પ્લાઈન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્લાઈન કર્વ્સનું નિર્માણ ઉપર, અમે એરેને ધ્યાનમાં લીધું કે જેના પોઈન્ટને ક્રમાંકિત કરવામાં આવ્યા હતા જેથી તેમના એબ્સિસાસ સખત રીતે વધતો ક્રમ બનાવે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ કેસ. 14 જ્યારે વિવિધ બિંદુઓસમાન એબ્સીસાસની શ્રેણીને મંજૂરી ન હતી. આ સંજોગોએ અંદાજિત વળાંકો (ટ્રાફિક કાર્યો)ના વર્ગની પસંદગી અને તેમના બાંધકામની પદ્ધતિ બંને નક્કી કરી. જો કે, ઉપર સૂચિત પદ્ધતિ વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં, જ્યારે એરે પોઈન્ટની સંખ્યા અને પ્લેન પર તેમનું સ્થાન, નિયમ તરીકે, સંબંધિત ન હોય ત્યારે સફળતાપૂર્વક પ્રક્ષેપણ વળાંકનું નિર્માણ કરવાનું શક્ય બનાવે છે (ફિગ. 15). તદુપરાંત, જ્યારે ઇન્ટરપોલેશન કર્વ બાંધવાનું કાર્ય સેટ કરો, ત્યારે આપણે આપેલ એરેને નોન-પ્લાનર ગણી શકીએ, એટલે કે, તે સ્પષ્ટ છે કે આને ઉકેલવા માટે સામાન્ય કાર્યબંધ વણાંકો, સ્વ-છેદન બિંદુઓ સાથેના વળાંકો અને અવકાશી વળાંકો સહિત સ્વીકાર્ય વણાંકોના વર્ગને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે. ઉપયોગ કરીને આવા વળાંકોનું વર્ણન કરવું અનુકૂળ છે પેરામેટ્રિક સમીકરણોઅમે તેની માંગણી કરીશું. વધુમાં, જેથી વિધેયોમાં પૂરતી સરળતા હોય, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ વર્ગ C1 [a, /0] અથવા વર્ગના હોય તેવા વળાંકના પેરામેટ્રિક સમીકરણો શોધવા માટે જે ક્રમિક રીતે એરેના તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, નીચે પ્રમાણે આગળ વધો . 1 લી પગલું. મનસ્વી સેગમેન્ટ પર)