વર્તુળ સૂત્રની આસપાસ ગતિ ઊર્જા. રોટેશનલ ગતિ દરમિયાન ગતિ ઊર્જા અને કાર્ય

મુખ્ય ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ રોટેશનલ ચળવળ- પરિભ્રમણ z ની ધરીને સંબંધિત આવેગની ક્ષણ:

અને ગતિ ઊર્જા

IN સામાન્ય કેસ, કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણ દરમિયાન ઊર્જા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

થર્મોડાયનેમિક્સમાં

કેસની જેમ જ તર્ક દ્વારા બરાબર આગળની ગતિ, સમાન વિતરણ સૂચવે છે કે જ્યારે થર્મલ સંતુલનમોનોટોમિક ગેસના દરેક કણની સરેરાશ રોટેશનલ એનર્જી: (3/2)k B T. એ જ રીતે, ઇક્વિપર્ટિશન પ્રમેય આપણને પરમાણુઓના મૂળ સરેરાશ ચોરસ કોણીય વેગની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "રોટેશનલ ગતિની ઊર્જા" શું છે તે જુઓ:

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ એનર્જી (અર્થો). ઊર્જા, પરિમાણ... વિકિપીડિયાહલનચલન - હલનચલન. વિષયવસ્તુ: ભૂમિતિ D...................452 ગતિશાસ્ત્ર D...................456 ડાયનેમિક્સ D. . .................. માનવ પેથોલોજી ડી............. 474...

મહાન તબીબી જ્ઞાનકોશગતિ ઊર્જા ઊર્જાયાંત્રિક સિસ્ટમ

, તેના બિંદુઓની હિલચાલની ઝડપ પર આધાર રાખીને. ટ્રાન્સલેશનલ અને રોટેશનલ ગતિની ગતિ ઉર્જા ઘણીવાર પ્રકાશિત થાય છે. વધુ કડક રીતે, ગતિ ઊર્જા એ કુલ... ... વિકિપીડિયા વચ્ચેનો તફાવત છે α પેપ્ટાઇડની થર્મલ હિલચાલ. પેપ્ટાઈડ બનાવે છે તે અણુઓની જટિલ, ધ્રુજારીની હિલચાલ રેન્ડમ અને ઊર્જા છેવ્યક્તિગત અણુ

વિશાળ શ્રેણીમાં વધઘટ થાય છે, પરંતુ ઇક્વિપિશનના કાયદાનો ઉપયોગ કરીને તે દરેકની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા તરીકે ગણવામાં આવે છે... ... વિકિપીડિયા

α પેપ્ટાઇડની થર્મલ હિલચાલ. પેપ્ટાઇડ બનાવે છે તે અણુઓની જટિલ ધ્રુજારી ગતિ રેન્ડમ છે, અને વ્યક્તિગત અણુની ઊર્જા વ્યાપકપણે વધઘટ કરે છે, પરંતુ સમાનતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તે દરેકની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા તરીકે ગણવામાં આવે છે ... ... વિકિપીડિયા - (ફ્રેન્ચ મેરીસ, જર્મન ગેઝેઇટેન, અંગ્રેજી ભરતી)સામયિક ઓસિલેશન ચંદ્ર અને સૂર્યના આકર્ષણને કારણે પાણીનું સ્તર.સામાન્ય માહિતી . P. મહાસાગરોના કિનારા પર સૌથી વધુ ધ્યાનપાત્ર છે. નીચી ભરતી પછી તરત જ, સમુદ્રનું સ્તર શરૂ થાય છે... ...જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

રીફર જહાજ આઇવરી તિરુપતિ પ્રારંભિક સ્થિરતા નકારાત્મક સ્થિરતા ક્ષમતા છે ... વિકિપીડિયા

રીફર જહાજ આઇવરી તિરુપતિ પ્રારંભિક સ્થિરતા નકારાત્મક છે સ્થિરતા એ ફ્લોટિંગ યાનની બાહ્ય દળોનો સામનો કરવાની ક્ષમતા છે જે તેને રોલ અથવા ટ્રિમ કરે છે અને વિક્ષેપના અંત પછી સંતુલનની સ્થિતિમાં પાછા ફરે છે... ... વિકિપીડિયા

1. શરીરની આસપાસના પરિભ્રમણને ધ્યાનમાં લો ગતિહીન axis Z. ચાલો આખા શરીરને પ્રાથમિક સમૂહના સમૂહમાં વિભાજીત કરીએ m i. પ્રાથમિક માસની રેખીય ગતિ m i– v i = w R i, જ્યાં આર i- સામૂહિક અંતર m iપરિભ્રમણની ધરીમાંથી. તેથી, ગતિ ઊર્જા i th પ્રાથમિક સમૂહ સમાન હશે . શરીરની કુલ ગતિ ઊર્જા: , અહીં પરિભ્રમણની ધરીને સંબંધિત શરીરની જડતાની ક્ષણ છે.

આમ, નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરતા શરીરની ગતિ ઊર્જા સમાન છે:

2. હવે શરીર દો ફરે છેઅમુક ધરીને સંબંધિત, અને પોતે ધરી ફરે છેક્રમશઃ, પોતાની સાથે સમાંતર રહે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: સ્લાઇડિંગ વિના ફરતો બોલ રોટેશનલ ગતિ બનાવે છે, અને તેનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર, જેના દ્વારા પરિભ્રમણની અક્ષ પસાર થાય છે (બિંદુ “O”) અનુવાદ રીતે આગળ વધે છે (ફિગ. 4.17).

ઝડપ i-કે પ્રાથમિક બોડી માસ બરાબર છે , શરીરના અમુક બિંદુ “O” ની ઝડપ ક્યાં છે; – ત્રિજ્યા વેક્ટર જે બિંદુ "O" ને સંબંધિત પ્રાથમિક સમૂહની સ્થિતિ નક્કી કરે છે.

પ્રાથમિક સમૂહની ગતિ ઊર્જા સમાન છે:

ટિપ્પણી: વેક્ટર ઉત્પાદનવેક્ટર સાથે દિશામાં એકરુપ છે અને તેનું મોડ્યુલસ (ફિગ. 4.18) છે.

આ ટિપ્પણીને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે તે લખી શકીએ છીએ , પરિભ્રમણની ધરીથી દળનું અંતર ક્યાં છે. બીજી મુદતમાં આપણે પરિબળોની ચક્રીય પુન: ગોઠવણી કરીએ છીએ, જેના પછી આપણને મળે છે

શરીરની કુલ ગતિ ઊર્જા મેળવવા માટે, અમે આ અભિવ્યક્તિનો સરવાળો તમામ પ્રાથમિક સમૂહો પર કરીએ છીએ. સતત પરિબળોસરવાળા ચિહ્ન માટે. અમને મળે છે

પ્રાથમિક દળનો સરવાળો એ શરીરના સમૂહ "m" છે. અભિવ્યક્તિ શરીરના જડતાના કેન્દ્રના ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા (જડતાના કેન્દ્રની વ્યાખ્યા દ્વારા) શરીરના સમૂહના ઉત્પાદનની બરાબર છે. છેલ્લે, બિંદુ "O" માંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ. તેથી આપણે લખી શકીએ છીએ

.

જો આપણે શરીર "C" ના જડતાનું કેન્દ્ર બિંદુ "O" તરીકે લઈએ, તો ત્રિજ્યા વેક્ટર હશે શૂન્ય બરાબરઅને બીજી મુદત અદૃશ્ય થઈ જશે. પછી, બિંદુ "C" માંથી પસાર થતા અક્ષની તુલનામાં - જડતાના કેન્દ્રની ગતિ, અને મારફતે - શરીરની જડતાની ક્ષણને સૂચવે છે, આપણે મેળવીએ છીએ:

(4.6)

આમ, સમતલ ગતિમાં શરીરની ગતિ ઊર્જા ગતિ સાથે અનુવાદ ગતિની ઊર્જાથી બનેલી હોય છે. સમાન ઝડપજડતાનું કેન્દ્ર, અને શરીરના જડતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણની ઊર્જા.

કઠોર શરીરની રોટેશનલ ગતિ દરમિયાન બાહ્ય દળોનું કાર્ય.

ચાલો જ્યારે શરીર સ્થિર Z અક્ષની આસપાસ ફરે ત્યારે દળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધીએ.

આંતરિક બળ અને બાહ્ય બળને સમૂહ પર કાર્ય કરવા દો (પરિણામી બળ પરિભ્રમણની ધરી પર લંબરૂપ સમતલમાં રહેલું છે) (ફિગ. 4.19). આ દળો સમયસર કાર્ય કરે છે તાનોકરી:

માં હાથ ધર્યા મિશ્ર કાર્યોવેક્ટર્સ પરિબળોનું ચક્રીય ક્રમચય, અમે શોધીએ છીએ:

જ્યાં , અનુક્રમે, બિંદુ "O" ને સંબંધિત આંતરિક અને બાહ્ય દળોની ક્ષણો છે.

તમામ પ્રાથમિક સમૂહોનો સરવાળો કરીએ તો આપણને મળે છે મૂળભૂત કામ, સમયસર શરીર પર કરવામાં આવે છે તા:

આંતરિક દળોની ક્ષણોનો સરવાળો શૂન્ય છે. પછી, દ્વારા બાહ્ય દળોના કુલ ક્ષણને સૂચવતા, અમે અભિવ્યક્તિ પર પહોંચીએ છીએ:

.

તે જાણીતું છે સ્કેલર ઉત્પાદનબે વેક્ટરને બીજાના પ્રક્ષેપણ દ્વારા પ્રથમની દિશામાં ગુણાકાર કરવામાં આવતા એક વેક્ટરના મોડ્યુલસના ગુણાંક સમાન સ્કેલર કહેવામાં આવે છે, તે ધ્યાનમાં લેતા, (Z અક્ષની દિશાઓ એકરૂપ થાય છે), આપણે મેળવીએ છીએ.

,

પરંતુ ડબલ્યુ તા=ડી j, એટલે કે કોણ કે જેના દ્વારા શરીર સમયસર વળે છે તા. તેથી જ

.

કાર્યની નિશાની M z ના ચિહ્ન પર આધારિત છે, એટલે કે. વેક્ટરના પ્રક્ષેપણના ચિહ્નથી વેક્ટરની દિશા તરફ.

તેથી, જ્યારે શરીર ફરે છે આંતરિક દળોકોઈ કાર્ય કરવામાં આવતું નથી, અને બાહ્ય દળોનું કાર્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે .

મર્યાદિત સમયગાળામાં કરવામાં આવેલ કાર્ય એકીકરણ દ્વારા જોવા મળે છે

.

જો દિશા પર બાહ્ય દળોના પરિણામી ક્ષણનું પ્રક્ષેપણ સતત રહે છે, તો પછી તેને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

, એટલે કે .

તે. શરીરની પરિભ્રમણ ગતિ દરમિયાન બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય પરિભ્રમણની દિશા અને કોણ પરના બાહ્ય બળના ક્ષણના પ્રક્ષેપણના ઉત્પાદન જેટલું છે.

બીજી બાજુ, શરીર પર કાર્ય કરતી બાહ્ય શક્તિનું કાર્ય શરીરની ગતિ ઊર્જાને વધારવા માટે જાય છે (અથવા તે ફરતા શરીરની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે). ચાલો આ બતાવીએ:

;

આથી,

. (4.7)

પોતાના પર:

સ્થિતિસ્થાપક દળો;

હૂકનો કાયદો.

હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ

વર્તમાન રેખાઓ અને ટ્યુબ.

હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ પ્રવાહીની હિલચાલનો અભ્યાસ કરે છે, પરંતુ તેના નિયમો વાયુઓની હિલચાલ પર પણ લાગુ પડે છે. સ્થિર પ્રવાહી પ્રવાહમાં, અવકાશમાં દરેક બિંદુએ તેના કણોની ગતિ સમયથી સ્વતંત્ર એક જથ્થો છે અને તે કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે. સ્થિર પ્રવાહમાં, પ્રવાહી કણોના માર્ગો એક સ્ટ્રીમલાઇન બનાવે છે. વર્તમાન રેખાઓનું સંયોજન વર્તમાન ટ્યુબ (ફિગ. 5.1) બનાવે છે. અમે ધારીએ છીએ કે પ્રવાહી અસંકુચિત છે, પછી વિભાગોમાંથી વહેતા પ્રવાહીનું પ્રમાણ એસ 1 અને એસ 2 સમાન હશે. એક સેકન્ડમાં, પ્રવાહીનો જથ્થો આ વિભાગોમાંથી બરાબર પસાર થશે

, (5.1)

વિભાગોમાં પ્રવાહી વેગ ક્યાં અને છે એસ 1 અને એસ 2 , અને વેક્ટર્સ અને વિભાગો માટે સામાન્ય અને , ક્યાં અને છે તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે એસ 1 અને એસ 2. સમીકરણ (5.1) ને જેટ સાતત્ય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે પ્રવાહીની ગતિ વર્તમાન ટ્યુબના ક્રોસ-સેક્શનના વિપરીત પ્રમાણમાં છે.

બર્નૌલીનું સમીકરણ.

અમે એક આદર્શ અસ્પષ્ટ પ્રવાહીને ધ્યાનમાં લઈશું જેમાં કોઈ આંતરિક ઘર્ષણ (સ્નિગ્ધતા) નથી. ચાલો સ્થિર વહેતા પ્રવાહીમાં (ફિગ. 5.2) વિભાગો સાથે પાતળી વર્તમાન ટ્યુબ પસંદ કરીએ. એસ 1અને એસ 2, વર્તમાન રેખાઓને લંબરૂપ. ક્રોસ વિભાગમાં 1 ટૂંકા સમયમાં tકણો દૂર જશે એલ 1, અને વિભાગમાં 2 - અંતરે એલ 2. સમયસર બંને વિભાગો દ્વારા tપ્રવાહીના સમાન નાના જથ્થામાંથી પસાર થશે વી= વી 1 = વી 2અને ઘણું પ્રવાહી ટ્રાન્સફર કરો m=rV, ક્યાં આર- પ્રવાહી ઘનતા. એકંદરે ફેરફાર યાંત્રિક ઊર્જાવિભાગો વચ્ચે ફ્લો ટ્યુબમાં તમામ પ્રવાહી એસ 1અને એસ 2, સમય દરમિયાન થયું t, વોલ્યુમ ઊર્જા બદલીને બદલી શકાય છે વીજ્યારે તે વિભાગ 1 થી વિભાગ 2 માં ખસેડવામાં આવ્યું ત્યારે થયું. આવા ચળવળ સાથે, ગતિ અને સંભવિત ઊર્જાઆ વોલ્યુમ, અને તેની ઊર્જામાં સંપૂર્ણ ફેરફાર

, (5.2)

જ્યાં વી 1 અને વી 2 - વિભાગોમાં પ્રવાહી કણોનો વેગ એસ 1અને એસ 2અનુક્રમે; g- પ્રવેગક ગુરુત્વાકર્ષણ; h 1અને h 2- વિભાગોના કેન્દ્રની ઊંચાઈ.

આદર્શ પ્રવાહીમાં ઘર્ષણમાં કોઈ નુકસાન થતું નથી, તેથી ઊર્જામાં વધારો થાય છે ડી.ઇફાળવેલ જથ્થા પર દબાણ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ. ઘર્ષણ દળોની ગેરહાજરીમાં, આ કાર્ય કરે છે:

સમાનતા (5.2) અને (5.3) ની જમણી બાજુની સમાનતા અને સમાન સૂચકાંકો સાથેના શબ્દોને સમાનતાની એક બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

. (5.4)

ટ્યુબ વિભાગો એસ 1અને એસ 2મનસ્વી રીતે લેવામાં આવ્યા હતા, તેથી એવી દલીલ કરી શકાય છે કે વર્તમાન ટ્યુબના કોઈપણ વિભાગમાં અભિવ્યક્તિ માન્ય છે

. (5.5)

સમીકરણ (5.5) ને બર્નૌલીનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. માટે આડી રેખાવર્તમાન h = constઅને સમાનતા (5.4) સ્વરૂપ લે છે

આર /2 + પી 1 = આર /2 + p2 , (5.6)

તે તે બિંદુઓ પર દબાણ ઓછું હોય છે જ્યાં ઝડપ વધારે હોય છે.

આંતરિક ઘર્ષણ દળો.

વાસ્તવિક પ્રવાહીસ્વાભાવિક સ્નિગ્ધતા, જે તે હકીકતમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે કે પ્રવાહી અને વાયુની કોઈપણ હિલચાલ તે કારણોની ગેરહાજરીમાં સ્વયંભૂ અટકી જાય છે. ચાલો આપણે એવા પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં પ્રવાહીનો એક સ્તર સ્થિર સપાટીની ઉપર સ્થિત હોય છે, અને તેની ટોચ પર સપાટી સાથે તેના પર તરતી પ્લેટ ની ઝડપે ફરે છે. એસ(ફિગ. 5.3). અનુભવ બતાવે છે કે સાથે પ્લેટ ખસેડવા માટે સતત ગતિતેના પર બળ સાથે કાર્ય કરવું જરૂરી છે. પ્લેટને પ્રવેગક પ્રાપ્ત થતો ન હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે આ બળની ક્રિયા બીજા દ્વારા સંતુલિત છે, જે તીવ્રતામાં સમાન છે અને વિરુદ્ધ નિર્દેશિત બળ છે, જે ઘર્ષણ બળ છે. . ન્યુટને બતાવ્યું કે ઘર્ષણનું બળ

, (5.7)

જ્યાં ડી- પ્રવાહી સ્તરની જાડાઈ, h - સ્નિગ્ધતા ગુણાંક અથવા પ્રવાહીના ઘર્ષણના ગુણાંક, બાદબાકીનું ચિહ્ન ધ્યાનમાં લે છે અલગ દિશાવેક્ટર F trઅને વિઓ. જો આપણે સ્તરના જુદા જુદા સ્થળોએ પ્રવાહી કણોની ગતિનું પરીક્ષણ કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે તે તેના આધારે બદલાય છે. રેખીય કાયદો(ફિગ. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

આ સમાનતાને અલગ કરીને, આપણને મળે છે ડીવી/ડીઝેડ= વિ 0 /d. આને ધ્યાનમાં રાખીને

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

જ્યાં h- ગુણાંક ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા . તીવ્રતા ડીવી/ડીઝેડવેગ ગ્રેડિયન્ટ કહેવાય છે. તે દર્શાવે છે કે ધરીની દિશામાં ઝડપ કેટલી ઝડપથી બદલાય છે z. મુ ડીવી/ડીઝેડ= const વેગ ગ્રેડિયન્ટ સંખ્યાત્મક રીતે વેગમાં ફેરફારની બરાબર છે વિજ્યારે બદલાય છે zયુનિટ દીઠ. ચાલો આંકડાકીય રીતે સૂત્રમાં મૂકીએ (5.8) dv/dz =-1 અને એસ= 1, આપણને મળે છે h = એફ. તે અનુસરે છે ભૌતિક અર્થ h: સ્નિગ્ધતા ગુણાંક આંકડાકીય રીતે બળ સમાન, જે વેગ ઢાળ સાથે એકમ વિસ્તારના પ્રવાહીના સ્તર પર કાર્ય કરે છે, એક સમાન. સ્નિગ્ધતાના SI એકમને પાસ્કલ સેકન્ડ (Pa s સૂચવવામાં આવે છે) કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં GHS એકમસ્નિગ્ધતા 1 પોઈસ (P) છે, 1 Pa s = 10P સાથે.

મિકેનિક્સ.

પ્રશ્ન નંબર 1

સંદર્ભ સિસ્ટમ. ઇનર્શિયલ રેફરન્સ સિસ્ટમ્સ. ગેલિલિયોનો સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત - આઈન્સ્ટાઈન.

સંદર્ભ ફ્રેમ- આ શરીરનો સમૂહ છે જેના સંબંધમાં આપેલ શરીરની હિલચાલ અને તેની સાથે સંકળાયેલ સંકલન પ્રણાલીનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઇનર્શિયલ રેફરન્સ સિસ્ટમ (IRS)એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં મુક્તપણે ફરતું શરીર આરામની સ્થિતિમાં હોય છે અથવા એકસરખી રેક્ટિલિનર ગતિમાં હોય છે.

ગેલિલિયો-આઈન્સ્ટાઈન સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત- કોઈપણ સમયે તમામ કુદરતી ઘટના ઇનર્શિયલ સિસ્ટમગણતરી એ જ રીતે થાય છે અને તે જ છે ગાણિતિક સ્વરૂપ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બધા ISO સમાન છે.

પ્રશ્ન નંબર 2

ગતિનું સમીકરણ. ચળવળના પ્રકારો નક્કર. ગતિશાસ્ત્રનું મુખ્ય કાર્ય.

ગતિના સમીકરણો સામગ્રી બિંદુ:

- ગતિનું ગતિ સમીકરણ

સખત શરીરની ગતિના પ્રકારો:

1) અનુવાદની ગતિ - શરીરમાં દોરેલી કોઈપણ સીધી રેખા પોતાની સાથે સમાંતર ખસે છે.

2) રોટેશનલ મૂવમેન્ટ - શરીરનો કોઈપણ બિંદુ વર્તુળમાં ફરે છે.

φ = φ(t)

ગતિશાસ્ત્રનું મુખ્ય કાર્ય- આ વેગ V = V(t) અને સામગ્રી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ (અથવા ત્રિજ્યા વેક્ટર) r = r(t) સમય પર તેના પ્રવેગક a = a(t) ની જાણીતી અવલંબનમાંથી સમય અવલંબન મેળવે છે. અને જાણીતા પ્રારંભિક શરતો V 0 અને r 0 .

પ્રશ્ન નંબર 7

પલ્સ (ચળવળનો જથ્થો) - વેક્ટર ભૌતિક જથ્થો, માપ લાક્ષણિકતા યાંત્રિક ચળવળસંસ્થાઓ IN શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સશરીર આવેગ ઉત્પાદન સમાનસમૂહ mઆ તેની ઝડપ તરફ નિર્દેશ કરે છે વિ, આવેગની દિશા વેગ વેક્ટરની દિશા સાથે એકરુપ છે:

IN સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સ સામાન્યકૃત આવેગના સંદર્ભમાં સિસ્ટમના લેગ્રાંગિયનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન છે સામાન્યકૃત ગતિ

જો સિસ્ટમના લેગ્રાંગિયન કેટલાક પર આધાર રાખતા નથી સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, પછી કારણે Lagrange સમીકરણો .

માટે મુક્ત કણલેગ્રેન્જ ફંક્શનમાં ફોર્મ છે: , તેથી:

લેગ્રાંગિયનની સ્વતંત્રતા બંધ સિસ્ટમઅવકાશમાં તેની સ્થિતિ મિલકતમાંથી અનુસરે છે જગ્યાની એકરૂપતા: સારા માટે અલગ સિસ્ટમતેનું વર્તન આપણે તેને જગ્યામાં ક્યાં મૂકીએ છીએ તેના પર નિર્ભર નથી. દ્વારા નોથેરનું પ્રમેયઆ એકરૂપતા કેટલાક ભૌતિક જથ્થાના સંરક્ષણને અનુસરે છે. આ જથ્થાને આવેગ કહેવામાં આવે છે (સામાન્ય, સામાન્યકૃત નહીં).

ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં, પૂર્ણ આવેગભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે વેક્ટર જથ્થો, ભૌતિક બિંદુઓના સમૂહ અને તેમની ગતિના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન:

તદનુસાર, જથ્થાને એક સામગ્રી બિંદુની ગતિ કહેવામાં આવે છે. આ એક વેક્ટર જથ્થો છે જે કણોના વેગની સમાન દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે. આવેગનું એકમ અંદર છે આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમએકમો (SI) છે કિલોગ્રામ-મીટર પ્રતિ સેકન્ડ(kg m/s)

જો આપણે મર્યાદિત કદના શરીર સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, તો તેની ગતિ નક્કી કરવા માટે શરીરને નાના ભાગોમાં વિભાજિત કરવું જરૂરી છે, જેને ભૌતિક બિંદુઓ ગણી શકાય અને તેના પર સારાંશ આપી શકાય, પરિણામે આપણને મળે છે:

સિસ્ટમનો આવેગ જે કોઈથી પ્રભાવિત નથી બાહ્ય દળો(અથવા તેમને વળતર આપવામાં આવે છે) સાચવેલસમય માં:

આ કિસ્સામાં વેગનું સંરક્ષણ ન્યૂટનના બીજા અને ત્રીજા કાયદાને અનુસરે છે: સિસ્ટમની રચના કરતા દરેક ભૌતિક બિંદુઓ માટે ન્યૂટનનો બીજો કાયદો લખીને અને સિસ્ટમની રચના કરતા તમામ ભૌતિક બિંદુઓનો સારાંશ આપીને, ન્યૂટનના ત્રીજા કાયદાના આધારે આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ (* ).

IN સાપેક્ષ મિકેનિક્સઅરસપરસ સામગ્રી બિંદુઓની સિસ્ટમનો ત્રિ-પરિમાણીય વેગ એ જથ્થો છે

,

જ્યાં m i- વજન iસામગ્રી બિંદુ.

બિન-પ્રતિક્રિયા કરતી સામગ્રી બિંદુઓની બંધ સિસ્ટમ માટે, આ મૂલ્ય સાચવેલ છે. જો કે, ત્રિ-પરિમાણીય વેગ એ સાપેક્ષ રીતે અનિવાર્ય જથ્થો નથી, કારણ કે તે સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે. વધુ અર્થપૂર્ણ જથ્થો ચાર-પરિમાણીય ગતિ હશે, જે એક ભૌતિક બિંદુ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

વ્યવહારમાં, કણના દળ, વેગ અને ઊર્જા વચ્ચેના નીચેના સંબંધોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, બિન-પ્રતિક્રિયા કરતી સામગ્રી બિંદુઓની સિસ્ટમ માટે, તેમની 4-ક્ષણોનો સારાંશ આપવામાં આવે છે. જો કે, સાપેક્ષ મિકેનિક્સમાં કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરવા માટે, સિસ્ટમ બનાવે છે તે કણોની ગતિ જ નહીં, પણ તેમની વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ક્ષેત્રની ગતિને પણ ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. તેથી, રિલેટિવિસ્ટિક મિકેનિક્સમાં વધુ અર્થપૂર્ણ માત્રા એ એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સર છે, જે સંરક્ષણ કાયદાઓને પૂર્ણપણે સંતોષે છે.

પ્રશ્ન નંબર 8

જડતાની ક્ષણ- એક સ્કેલર ભૌતિક જથ્થા, અક્ષની આસપાસ રોટેશનલ ગતિમાં શરીરની જડતાનું માપ, જેમ કે શરીરનો સમૂહ અનુવાદ ગતિમાં તેની જડતાનું માપ છે. શરીરમાં સમૂહના વિતરણ દ્વારા લાક્ષણિકતા: જડતાની ક્ષણ સરવાળો સમાનતેમના અંતરના વર્ગ દ્વારા પ્રાથમિક માસના ઉત્પાદનો આધાર સમૂહ

જડતાની અક્ષીય ક્ષણ

કેટલાક શરીરની જડતાની અક્ષીય ક્ષણો.

યાંત્રિક પ્રણાલીની જડતાની ક્ષણનિશ્ચિત અક્ષની તુલનામાં ("જડતાની અક્ષીય ક્ષણ") એ જથ્થો છે જે એ, બધાના સમૂહના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન nઅક્ષ સુધીના તેમના અંતરના ચોરસ દ્વારા સિસ્ટમના ભૌતિક બિંદુઓ:

,

• m i- વજન iમી બિંદુ,
• r i- થી અંતર iઅક્ષ માટે મી બિંદુ.

અક્ષીય જડતા ની ક્ષણશરીર જે એઅક્ષની આસપાસ રોટેશનલ ગતિમાં શરીરની જડતાનું માપ છે, જેમ કે શરીરનો સમૂહ અનુવાદ ગતિમાં તેની જડતાનું માપ છે.

,

• dm = ρ ડીવી- શરીરના જથ્થાના નાના તત્વનો સમૂહ ડીવી,
• ρ - ઘનતા,
• આર- તત્વથી અંતર ડીવીધરી માટે a.

જો શરીર એકરૂપ છે, એટલે કે, તેની ઘનતા દરેક જગ્યાએ સમાન છે, તો પછી

સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

dmઅને જડતાની ક્ષણો ડીજે આઇ. પછી

પાતળી-દિવાલોવાળું સિલિન્ડર (રિંગ, હૂપ)

સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

શરીરની જડતાની ક્ષણ તેના ઘટક ભાગોની જડતાની ક્ષણોના સરવાળા જેટલી હોય છે. પાતળા-દિવાલોવાળા સિલિન્ડરને માસ સાથે તત્વોમાં વિભાજીત કરો dmઅને જડતાની ક્ષણો ડીજે આઇ. પછી

પાતળી-દિવાલોવાળા સિલિન્ડરના તમામ તત્વો પરિભ્રમણની ધરીથી સમાન અંતરે હોવાથી, સૂત્ર (1) સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થાય છે.

સ્ટીનરનું પ્રમેય

જડતાની ક્ષણકોઈપણ અક્ષની તુલનામાં નક્કર શરીરનો આધાર શરીરના સમૂહ, આકાર અને કદ પર જ નહીં, પણ આ અક્ષની તુલનામાં શરીરની સ્થિતિ પર પણ આધારિત છે. સ્ટેઈનરના પ્રમેય (હ્યુજેન્સ-સ્ટીનર પ્રમેય) અનુસાર, જડતા ની ક્ષણશરીર જેમનસ્વી અક્ષની તુલનામાં સરવાળો બરાબર છે જડતા ની ક્ષણઆ શરીર જેસીવિચારણા હેઠળની ધરીની સમાંતર શરીરના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં, અને શરીરના સમૂહનું ઉત્પાદન mઅંતરના ચોરસ દીઠ ડીઅક્ષો વચ્ચે:

જો શરીરના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષમાં શરીરની જડતાની ક્ષણ હોય, તો તેમાંથી થોડા અંતરે સ્થિત સમાંતર ધરીને સંબંધિત જડતાની ક્ષણ બરાબર છે.

,

ક્યાં - કુલ વજનસંસ્થાઓ

ઉદાહરણ તરીકે, તેના અંતમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં સળિયાની જડતાની ક્ષણ બરાબર છે:

રોટેશનલ એનર્જી

રોટેશનલ ગતિની ગતિ ઊર્જા- તેના પરિભ્રમણ સાથે સંકળાયેલ શરીરની ઊર્જા.

મૂળભૂત ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓશરીરની રોટેશનલ ગતિ - તેનો કોણીય વેગ (ω) અને કોણીય પ્રવેગક. પરિભ્રમણ ગતિની મુખ્ય ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ - પરિભ્રમણ z ની ધરીને સંબંધિત કોણીય વેગ:

K z = હું zω

અને ગતિ ઊર્જા

જ્યાં I z એ પરિભ્રમણની ધરીને સંબંધિત શરીરની જડતાની ક્ષણ છે.

જડતાના મુખ્ય અક્ષો સાથે ફરતા અણુને ધ્યાનમાં લેતી વખતે સમાન ઉદાહરણ મળી શકે છે હું 1, હું 2અને હું 3. આવા પરમાણુની પરિભ્રમણ ઊર્જા અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે

જ્યાં ω 1, ω 2, અને ω 3- કોણીય વેગના મુખ્ય ઘટકો.

સામાન્ય રીતે, કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણ દરમિયાન ઊર્જા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

, ક્યાં આઈ- જડતા ટેન્સર.

પ્રશ્ન નંબર 9

આવેગની ક્ષણ (કોણીય વેગ, કોણીય વેગ, ભ્રમણકક્ષા વેગ, કોણીય વેગ) રોટેશનલ ગતિના જથ્થાને દર્શાવે છે. એક જથ્થો કે જે કેટલું દળ ફરે છે, પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં તે કેવી રીતે વિતરિત થાય છે અને પરિભ્રમણ કઈ ઝડપે થાય છે તેના પર આધાર રાખે છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે અહીં પરિભ્રમણ માં સમજાય છે વ્યાપક અર્થમાં, અક્ષની આસપાસ નિયમિત પરિભ્રમણ જેટલું જ નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, સાથે પણ સીધી ગતિશરીર એક મનસ્વી કાલ્પનિક બિંદુથી પસાર થાય છે જે ગતિની રેખા પર રહેતું નથી, તે કોણીય ગતિ પણ ધરાવે છે. વાસ્તવિક રોટેશનલ ગતિનું વર્ણન કરવામાં કદાચ કોણીય વેગ દ્વારા સૌથી મોટી ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે. જો કે, સમસ્યાઓના વધુ વ્યાપક વર્ગ માટે તે અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે (ખાસ કરીને જો સમસ્યામાં કેન્દ્રીય અથવા અક્ષીય સમપ્રમાણતા, પરંતુ માત્ર આ કિસ્સાઓમાં જ નહીં).

કોણીય વેગના સંરક્ષણનો કાયદો(કોણીય વેગના સંરક્ષણનો કાયદો) - બંધ સિસ્ટમ માટેના કોઈપણ અક્ષને સંબંધિત તમામ કોણીય ગતિનો વેક્ટર સરવાળો સિસ્ટમના સંતુલનના કિસ્સામાં સ્થિર રહે છે. આને અનુરૂપ, સમયના સંદર્ભમાં કોણીય વેગના કોઈપણ બિન-વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત બંધ સિસ્ટમની કોણીય વેગ એ બળની ક્ષણ છે:

આમ, બાહ્ય દળોની મુખ્ય (કુલ) ક્ષણ શૂન્યની સમાન હોય તે જરૂરિયાત માટે સિસ્ટમ બંધ કરવાની આવશ્યકતા નબળી પડી શકે છે:

કણોની સિસ્ટમ પર લાગુ કરાયેલા દળોમાંથી એકની ક્ષણ ક્યાં છે. (પરંતુ અલબત્ત, જો ત્યાં કોઈ બાહ્ય દળો ન હોય, તો આ જરૂરિયાત પણ સંતોષાય છે).

ગાણિતિક રીતે, કોણીય વેગના સંરક્ષણનો નિયમ અવકાશની આઇસોટ્રોપીમાંથી, એટલે કે, દ્વારા પરિભ્રમણના સંદર્ભમાં અવકાશના આક્રમણથી અનુસરે છે. મનસ્વી કોણ. જ્યારે મનસ્વી અનંત કોણ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે સંખ્યાવાળા કણનો ત્રિજ્યા વેક્ટર , ​​અને ઝડપ - દ્વારા બદલાશે. જગ્યાના આઇસોટ્રોપીને કારણે આવા પરિભ્રમણ દરમિયાન સિસ્ટમનું લેગ્રેન્જ કાર્ય બદલાશે નહીં. તેથી જ

ફરતા શરીરની ગતિ ઊર્જા માટે અભિવ્યક્તિ, તે ધ્યાનમાં લેતા રેખીય ગતિપરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં શરીરને કંપોઝ કરતા મનસ્વી સામગ્રી બિંદુનું સ્વરૂપ સમાન છે

પરિભ્રમણની પસંદ કરેલી અક્ષની તુલનામાં શરીરની જડતાની ક્ષણ ક્યાં છે, આ અક્ષની તુલનામાં તેનો કોણીય વેગ અને પરિભ્રમણની અક્ષને સંબંધિત શરીરનો કોણીય વેગ ક્યાં છે.

જો શરીર અનુવાદાત્મક રોટેશનલ ગતિમાંથી પસાર થાય છે, તો ગતિ ઊર્જાની ગણતરી ધ્રુવની પસંદગી પર આધાર રાખે છે જેના સંદર્ભમાં શરીરની ગતિનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. અંતિમ પરિણામસમાન હશે. તેથી, જો ગોળ શરીર માટે ત્રિજ્યા R અને જડતા k ના ગુણાંક સાથે લપસ્યા વિના v ગતિએ ફરે છે, તો ધ્રુવને તેના CM પર, બિંદુ C પર લેવામાં આવે છે, તો તેની જડતાની ક્ષણ છે , અને ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ સી છે. પછી શરીરની ગતિ ઊર્જા છે.

જો ધ્રુવને શરીર અને સપાટી વચ્ચેના સંપર્કના બિંદુ O પર લેવામાં આવે છે જેના દ્વારા શરીરના પરિભ્રમણની તાત્કાલિક ધરી પસાર થાય છે, તો પછી O અક્ષની તુલનામાં તેની જડતાની ક્ષણ સમાન થઈ જશે. . પછી શરીરની ગતિ ઉર્જા, શરીરના પરિભ્રમણના કોણીય વેગ સમાંતર અક્ષોની તુલનામાં સમાન છે અને શરીર O અક્ષની આસપાસ શુદ્ધ પરિભ્રમણ કરે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, બરાબર થશે. પરિણામ એ જ છે.

પ્રદર્શન કરતા શરીરની ગતિ ઊર્જા વિશે પ્રમેય જટિલ ચળવળ, તેની અનુવાદ ગતિ માટે સમાન સ્વરૂપ હશે: .

ઉદાહરણ 1.ત્રિજ્યા R અને માસ M ના નળાકાર બ્લોકની ફરતે થ્રેડના ઘાના અંત સાથે સમૂહ m નું શરીર બંધાયેલું છે. શરીરને h ઊંચાઈ સુધી ઉઠાવવામાં આવે છે અને છોડવામાં આવે છે (ફિગ. 65). થ્રેડના અસ્થિર આંચકા પછી, શરીર અને બ્લોક તરત જ એકસાથે ખસેડવાનું શરૂ કરે છે. આંચકા દરમિયાન કેટલી ગરમી છોડવામાં આવશે? ધક્કો માર્યા પછી શરીરની ત્વરિતતા અને થ્રેડનું તાણ શું હશે? સમય t પછી દોરો ખેંચ્યા પછી શરીરની ગતિ અને તેના દ્વારા પસાર કરાયેલ અંતર શું હશે?

આપેલ: M, R, m, h, g, t. શોધો: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

ઉકેલ: થ્રેડ ધક્કો મારતા પહેલા શરીરની ગતિ. થ્રેડના આંચકા પછી, બ્લોક અને બોડી બ્લોક અક્ષ O ની સાપેક્ષ રોટેશનલ ગતિમાં જશે અને આ અક્ષની સમાન અને . તેમના સામાન્ય ક્ષણપરિભ્રમણની ધરી વિશે જડતા.

થ્રેડ જર્કિંગ એ એક ઝડપી પ્રક્રિયા છે અને આંચકા દરમિયાન, બ્લોક-બોડી સિસ્ટમના કોણીય મોમેન્ટમના સંરક્ષણનો કાયદો થાય છે, જે હકીકત એ છે કે આંચકો લાગ્યા પછી તરત જ શરીર અને બ્લોક એકસાથે ખસેડવાનું શરૂ કરે છે, તેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. : . બ્લોકના પરિભ્રમણનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ ક્યાંથી આવે છે? , અને શરીરનો પ્રારંભિક રેખીય વેગ .

સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા, તેના કોણીય વેગના સંરક્ષણને કારણે, થ્રેડના આંચકા પછી તરત જ, બરાબર છે. ઉર્જા સંરક્ષણના કાયદા અનુસાર આંચકો દરમિયાન છોડવામાં આવતી ગરમી

થ્રેડના આંચકા પછી સિસ્ટમના શરીરની ગતિના ગતિશીલ સમીકરણો તેમની પ્રારંભિક ગતિ પર આધારિત નથી. બ્લોક માટે તે ફોર્મ ધરાવે છે અથવા, અને શરીર માટે. આ બે સમીકરણો ઉમેરવાથી, આપણને મળે છે . શરીરની ગતિનો પ્રવેગ ક્યાંથી આવે છે? થ્રેડ તણાવ

ધક્કો માર્યા પછી શરીરની ગતિના ગતિના સમીકરણોનું સ્વરૂપ હશે , જ્યાં તમામ પરિમાણો જાણીતા છે.

જવાબ: . .

ઉદાહરણ 2. જડતા ગુણાંક (હોલો સિલિન્ડર) અને (બોલ) પાયા પર સ્થિત બે રાઉન્ડ બોડી વળેલું વિમાનઝોક કોણ સાથે α તે જ જાણ કરો પ્રારંભિક ગતિ, વલણવાળા વિમાન સાથે ઉપર તરફ નિર્દેશિત. મૃતદેહો કેટલી ઊંચાઈએ અને કેટલા સમયમાં આ ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે? વધતા શરીરના પ્રવેગક શું છે? શરીરની ઉંચાઈ, સમય અને પ્રવેગ કેટલી વાર અલગ પડે છે? શરીર લપસ્યા વિના ઢળેલા વિમાન સાથે આગળ વધે છે.

આપેલ: . શોધો:

ઉકેલ: શરીર દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ m g, વલણવાળી પ્લેન પ્રતિક્રિયા એન, અને ક્લચ ઘર્ષણ બળ (ફિગ. 67). કામ કરે છે સામાન્ય પ્રતિક્રિયાઅને સંલગ્નતા ઘર્ષણ દળો (શરીર અને વિમાનના સંલગ્નતાના બિંદુ પર કોઈ લપસણી થતી નથી અને કોઈ ગરમી છોડતી નથી.) શૂન્ય સમાન છે: તેથી, શરીરની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે: . ક્યાં.

આપણે ગતિના સમીકરણોમાંથી શરીરની ગતિના સમય અને પ્રવેગ શોધીશું . જ્યાં , . શરીરની ઊંચાઈ, સમય અને વધતા પ્રવેગનો ગુણોત્તર:

જવાબ આપો: , , , .

ઉદાહરણ 3. દળની બુલેટ, ઝડપે ઉડતી, દળ M અને ત્રિજ્યા R ના દડાના કેન્દ્રને અથડાવે છે, જે દળ m અને લંબાઈ l ના સળિયાના છેડા સાથે જોડાયેલ છે, તેના બીજા છેડે O બિંદુ પર લટકાવીને તેમાંથી ઉડે છે. ઝડપ સાથે (ફિગ. 68). અસર પછી તરત જ સળિયા-બોલ સિસ્ટમના પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ અને બુલેટની અસર પછી સળિયાના વિચલનનો કોણ શોધો.

આપેલ: . શોધો:

ઉકેલ:સ્ટીનરના પ્રમેય મુજબ સળિયાના સસ્પેન્શન બિંદુ O ને સંબંધિત સળિયા અને બોલની જડતાની ક્ષણો: અને . રોડ-બોલ સિસ્ટમની જડતાની કુલ ક્ષણ . બુલેટની અસર એ એક ઝડપી પ્રક્રિયા છે, અને બુલેટ-રોડ-બોલ સિસ્ટમના કોણીય મોમેન્ટમના સંરક્ષણનો કાયદો થાય છે (અથડામણ પછી શરીર રોટેશનલ ગતિમાં પ્રવેશ કરે છે): . અસર પછી તરત જ રોડ-બોલ સિસ્ટમની ગતિનો કોણીય વેગ ક્યાંથી આવે છે?

સસ્પેન્શન પોઈન્ટ O સંબંધિત રોડ-બોલ સિસ્ટમના સીએમની સ્થિતિ: . અસર પછી સિસ્ટમના CM માટે ઊર્જા સંરક્ષણનો કાયદો, અસર પર સિસ્ટમના કોણીય ગતિના સંરક્ષણના કાયદાને ધ્યાનમાં લેતા, સ્વરૂપ ધરાવે છે. અસર પછી સિસ્ટમના સીએમની ઊંચાઈ ક્યાંથી વધે છે? . અસર પછી સળિયાના વિચલનનો કોણ સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે .

જવાબ: , , .

ઉદાહરણ 4. એક બ્લોકને બળ N સાથે દળ m અને ત્રિજ્યા R ના ગોળાકાર શરીર પર દબાવવામાં આવે છે, જડતા k ના ગુણાંક સાથે, કોણીય વેગ સાથે ફરતી હોય છે. સિલિન્ડરને બંધ થવામાં કેટલો સમય લાગશે અને જ્યારે આ સમય દરમિયાન પેડ સિલિન્ડરની સામે ઘસશે ત્યારે કેટલી ગરમી છોડવામાં આવશે? બ્લોક અને સિલિન્ડર વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક છે.

આપેલ: શોધો:

ઉકેલ: ગતિ ઊર્જા પરના પ્રમેય મુજબ શરીર અટકે તે પહેલાં ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બરાબર છે. . પરિભ્રમણ દરમિયાન પ્રકાશિત ગરમી .

શરીરની રોટેશનલ ગતિનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે. તેના ધીમા પરિભ્રમણની કોણીય પ્રવેગકતા ક્યાંથી આવે છે? . શરીર અટકે ત્યાં સુધી તેને ફેરવવામાં જે સમય લાગે છે.

જવાબ આપો: , .

ઉદાહરણ 5. જડતા ગુણાંક k સાથે દળ m અને ત્રિજ્યા R નું ગોળ શરીર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કોણીય વેગમાં ફેરવવામાં આવે છે અને ઊભી દિવાલને અડીને આડી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે (ફિગ. 70). શરીરને રોકવામાં કેટલો સમય લાગશે અને તે અટકતા પહેલા કેટલી ક્રાંતિ કરશે? આ સમય દરમિયાન જ્યારે શરીર સપાટી પર ઘસશે ત્યારે ગરમીનું પ્રમાણ કેટલું હશે? સપાટી પર શરીરના ઘર્ષણનો ગુણાંક બરાબર છે.

આપેલ: . શોધો:

ઉકેલ: શરીરના પરિભ્રમણ દરમિયાન બહાર નીકળતી ગરમી જ્યાં સુધી તે અટકી ન જાય તે ઘર્ષણ દળોના કાર્ય સમાન હોય છે, જે શરીરની ગતિ ઊર્જા પરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. અમારી પાસે છે.

પ્રતિક્રિયા આડું વિમાન. આડી અને ઊભી સપાટીથી શરીર પર કાર્ય કરતી ઘર્ષણ દળો સમાન છે: અને .આ બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ અને .

આ સંબંધોને ધ્યાનમાં લેતા, શરીરની પરિભ્રમણ ગતિનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે (. જ્યાંથી શરીરના પરિભ્રમણની કોણીય પ્રવેગ સમાન હોય છે. પછી તે અટકે તે પહેલાં શરીરના પરિભ્રમણનો સમય અને તેની ક્રાંતિની સંખ્યા બનાવે છે.

જવાબ આપો: , , , .

ઉદાહરણ 6. આડી સપાટી પર ઊભા રહેલા R ત્રિજ્યાના ગોળાર્ધની ટોચ પરથી સરક્યા વિના જડતા k રોલના ગુણાંક સાથેનું ગોળ શરીર (ફિગ. 71). તે કઈ ઊંચાઈએ અને કઈ ઝડપે ગોળાર્ધમાંથી તૂટી જશે અને કઈ ઝડપે તે આડી સપાટી પર પડશે?

આપેલ: k, g, R. શોધો:

ઉકેલ: દળો શરીર પર કાર્ય કરે છે . કાર્ય અને 0, (ગોળાર્ધ અને બોલના સંલગ્નતાના બિંદુએ કોઈ લપસી પડતું નથી અને ગરમી છોડવામાં આવતી નથી) તેથી, શરીરની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે, ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. ગોળાર્ધથી અલગ થવાના બિંદુએ શરીરના CM માટે ન્યૂટનનો બીજો કાયદો, ધ્યાનમાં લેતા કે આ બિંદુએ તેનું સ્વરૂપ છે, જ્યાંથી . માટે ઊર્જાના સંરક્ષણનો કાયદો પ્રારંભિક બિંદુઅને શરીરના વિભાજન બિંદુનું સ્વરૂપ છે. જ્યાંથી ગોળાર્ધમાંથી શરીરને અલગ કરવાની ઊંચાઈ અને ઝડપ સમાન હોય છે, .

શરીરને ગોળાર્ધમાંથી અલગ કર્યા પછી, માત્ર તેની અનુવાદાત્મક ગતિ ઊર્જા બદલાય છે, તેથી શરીરના અલગ થવા અને જમીન પર પડવાના બિંદુઓ માટે ઊર્જાના સંરક્ષણનો કાયદો સ્વરૂપ ધરાવે છે. જ્યાંથી, ધ્યાનમાં લેતા આપણે મેળવીએ છીએ . ઘર્ષણ વિના ગોળાર્ધની સપાટી સાથે સરકતા શરીર માટે, k=0 અને , , .

જવાબ: , , .

« ભૌતિકશાસ્ત્ર - 10મું ધોરણ"

પરિભ્રમણની કોણીય વેગ વધારવા માટે સ્કેટર પરિભ્રમણની ધરી સાથે શા માટે ખેંચાય છે?
હેલિકોપ્ટર જ્યારે તેનું રોટર ફરે છે ત્યારે તેને ફેરવવું જોઈએ?

પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નો સૂચવે છે કે જો બાહ્ય શક્તિઓ શરીર પર કાર્ય કરતી નથી અથવા તેમની ક્રિયાને વળતર આપવામાં આવે છે અને શરીરનો એક ભાગ એક દિશામાં ફેરવવાનું શરૂ કરે છે, તો બીજા ભાગને બીજી દિશામાં ફેરવવું જોઈએ, જેમ જ્યારે બળતણ બહાર કાઢવામાં આવે છે. રોકેટ, રોકેટ પોતે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છે.

આવેગની ક્ષણ.

જો આપણે ફરતી ડિસ્કને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે સ્પષ્ટ બને છે કે ડિસ્કની કુલ ગતિ શૂન્ય છે, કારણ કે શરીરના કોઈપણ કણ સમાન વેગ સાથે ફરતા કણને અનુરૂપ છે, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં(ફિગ. 6.9).

પરંતુ ડિસ્ક આગળ વધી રહી છે, બધા કણોના પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ સમાન છે. જો કે, તે સ્પષ્ટ છે કે પરિભ્રમણની અક્ષમાંથી કણ જેટલું આગળ છે, તેની ગતિ વધારે છે. પરિણામે, પરિભ્રમણ ગતિ માટે, આવેગ જેવી બીજી લાક્ષણિકતા રજૂ કરવી જરૂરી છે - કોણીય ગતિ.

વર્તુળમાં ફરતા કણનો કોણીય વેગ એ કણના વેગ અને તેનાથી પરિભ્રમણની અક્ષ સુધીના અંતરનું ઉત્પાદન છે (ફિગ. 6.10):

રેખીય અને કોણીય વેગ v = ωr, પછી સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

ઘન પદાર્થના તમામ બિંદુઓ સમાન કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણની નિશ્ચિત અક્ષની તુલનામાં આગળ વધે છે. નક્કર શરીરને ભૌતિક બિંદુઓના સંગ્રહ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કઠોર શરીરનો કોણીય વેગ એ જડતાના ક્ષણના ઉત્પાદન અને પરિભ્રમણના કોણીય વેગ સમાન છે:

કોણીય વેગ એ વેક્ટરની માત્રા છે;

નાડી સ્વરૂપમાં રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતા માટે મૂળભૂત સમીકરણ.

શરીરનો કોણીય પ્રવેગ એ કોણીય વેગમાં ફેરફાર જે સમય દરમિયાન આ ફેરફાર થયો હતો તે સમયગાળા દ્વારા ભાગ્યા સમાન છે: આ અભિવ્યક્તિને રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતાના મૂળભૂત સમીકરણમાં બદલો તેથી I(ω 2 - ω 1) = MΔt, અથવા IΔω = MΔt.

આમ,

ΔL = MΔt. (6.4)

કોણીય વેગમાં ફેરફાર એ શરીર અથવા સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતા દળોના કુલ ક્ષણના ઉત્પાદન અને આ દળોની ક્રિયાના સમયગાળાની સમાન છે.

કોણીય વેગના સંરક્ષણનો કાયદો:

જો શરીર અથવા શરીરની સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતી દળોની કુલ ક્ષણ નિશ્ચિત ધરીપરિભ્રમણ શૂન્ય છે, પછી કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પણ શૂન્ય છે, એટલે કે, સિસ્ટમની કોણીય ગતિ સ્થિર રહે છે.

ΔL = 0, L = const.

સિસ્ટમના વેગમાં ફેરફાર એ સિસ્ટમ પર કામ કરતા દળોના કુલ વેગ સમાન છે.

ફરતો સ્કેટર તેના હાથને બાજુઓમાં ફેલાવે છે, જેનાથી પરિભ્રમણના કોણીય વેગને ઘટાડવા માટે જડતાની ક્ષણ વધે છે.

કોણીય વેગના સંરક્ષણનો નિયમ નીચેના પ્રયોગનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે, જેને "ઝુકોવસ્કી બેન્ચ પ્રયોગ" કહેવાય છે. જે બેન્ચ પર છે ઊભી અક્ષપરિભ્રમણ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, એક વ્યક્તિ ઉભો થાય છે. એક માણસ તેના હાથમાં ડમ્બેલ્સ ધરાવે છે. જો બેન્ચને ફેરવવા માટે બનાવવામાં આવે છે, તો વ્યક્તિ ડમ્બબેલ્સને છાતી પર દબાવીને અથવા હાથને નીચે કરીને અને પછી તેને ઊંચો કરીને પરિભ્રમણની ગતિ બદલી શકે છે. તેના હાથ ફેલાવીને, તે જડતાની ક્ષણમાં વધારો કરે છે, અને પરિભ્રમણની કોણીય ગતિ ઘટે છે (ફિગ. 6.11, એ), તેના હાથને ઘટાડીને, તે જડતાની ક્ષણ ઘટાડે છે, અને બેન્ચના પરિભ્રમણની કોણીય ગતિ વધે છે (ફિગ. 6.11, b).

વ્યક્તિ તેની ધાર સાથે ચાલીને બેન્ચને પણ ફેરવી શકે છે. આ કિસ્સામાં, બેન્ચ વિરુદ્ધ દિશામાં ફરશે, કારણ કે કુલ કોણીય ગતિ શૂન્યની બરાબર હોવી જોઈએ.

ગાયરોસ્કોપ નામના ઉપકરણોના સંચાલનનો સિદ્ધાંત કોણીય ગતિના સંરક્ષણના કાયદા પર આધારિત છે. જિરોસ્કોપની મુખ્ય મિલકત પરિભ્રમણ અક્ષની દિશાની જાળવણી છે જો બાહ્ય દળો આ અક્ષ પર કાર્ય ન કરે. 19મી સદીમાં દરિયામાં ઓરિએન્ટેશન માટે ખલાસીઓ દ્વારા ગાયરોસ્કોપનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો હતો.

ફરતા કઠોર શરીરની ગતિ ઊર્જા.

ફરતા ઘન શરીરની ગતિ ઊર્જા તેના વ્યક્તિગત કણોની ગતિ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે. ચાલો શરીરને નાના તત્વોમાં વિભાજીત કરીએ, જેમાંથી દરેકને ભૌતિક બિંદુ ગણી શકાય. પછી શરીરની ગતિ ઊર્જા એ ભૌતિક બિંદુઓની ગતિ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે જેમાં તે સમાવે છે:

કોણીય વેગશરીરના તમામ બિંદુઓનું પરિભ્રમણ સમાન છે, તેથી,

કૌંસમાં મૂલ્ય, જેમ કે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણ છે. છેલ્લે, પરિભ્રમણની નિશ્ચિત ધરી ધરાવતા કઠોર શરીરની ગતિ ઊર્જા માટેનું સૂત્ર સ્વરૂપ ધરાવે છે

કઠોર શરીરની ગતિના સામાન્ય કિસ્સામાં, જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ મુક્ત હોય છે, ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા અનુવાદ અને રોટેશનલ ગતિની ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે. આમ, ચક્રની ગતિ ઊર્જા, જેનું દળ કિનારમાં કેન્દ્રિત હોય છે, રસ્તા પર સતત ગતિએ ફરતું હોય છે, તે બરાબર છે.

કોષ્ટક કઠોર શરીરની પરિભ્રમણ ગતિ માટે સમાન સૂત્રો સાથે સામગ્રી બિંદુની અનુવાદ ગતિના મિકેનિક્સ માટેના સૂત્રોની તુલના કરે છે.