કોઈ વ્યક્તિએ અભ્યાસમાં તેના પ્રથમ સ્વતંત્ર પગલાં ક્યારે લીધા? ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને અસ્વસ્થતાવાળા પ્રશ્નો પૂછવાનું શરૂ કરે છે, હવે તે શબ્દસમૂહથી દૂર થવું એટલું સરળ નથી કે " વિભેદક કલનકોબીમાં જોવા મળે છે." તેથી, સમય આવી ગયો છે કે તે નક્કી કરવામાં આવે અને જન્મનું રહસ્ય જાહેર કરે ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતા નિયમોના કોષ્ટકો. લેખમાં શરૂઆત કરી વ્યુત્પન્નના અર્થ વિશે, જેનો હું અભ્યાસ કરવાની ખૂબ જ ભલામણ કરું છું, કારણ કે ત્યાં અમે ફક્ત વ્યુત્પન્નની વિભાવનાને જોઈ અને વિષય પરની સમસ્યાઓ પર ક્લિક કરવાનું શરૂ કર્યું. આ જ પાઠમાં ઉચ્ચારણ વ્યવહારુ અભિગમ છે, વધુમાં,

નીચે ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંપૂર્ણ રીતે ઔપચારિક રીતે નિપુણ બની શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે વ્યુત્પન્નના સારને શોધવા માટે કોઈ સમય/ઈચ્છા ન હોય). "પરંપરાગત" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવામાં સક્ષમ થવું પણ અત્યંત ઇચ્છનીય છે (પરંતુ ફરીથી જરૂરી નથી) - ઓછામાં ઓછા બે મૂળભૂત પાઠોના સ્તરે:જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન અને વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?

પરંતુ એક વસ્તુ છે જેના વિના આપણે ચોક્કસપણે કરી શકતા નથી, તે છે કાર્ય મર્યાદા. તમારે મર્યાદા શું છે તે સમજવું જોઈએ અને ઓછામાં ઓછા સરેરાશ સ્તરે તેમને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવું જોઈએ. અને બધા કારણ કે વ્યુત્પન્ન

એક બિંદુ પર કાર્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ચાલો હું તમને હોદ્દો અને શરતો યાદ કરાવું: તેઓ કૉલ કરે છે દલીલમાં વધારો;

- કાર્ય વધારો;

- આ યુનાઇટેડ પ્રતીકો(“ડેલ્ટા”ને “X” અથવા “Y” માંથી “ફાટેલ” કરી શકાતું નથી).

દેખીતી રીતે, "ડાયનેમિક" ચલ શું છે તે સ્થિર છે અને મર્યાદાની ગણતરીનું પરિણામ છે. - નંબર (ક્યારેક - "વત્તા" અથવા "માઈનસ" અનંત).

એક બિંદુ તરીકે, તમે સંબંધિત કોઈપણ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્ય જેમાં વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

નોંધ: કલમ "જેમાં વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે" છે વી સામાન્ય કેસનોંધપાત્ર! તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં બિંદુનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હોવા છતાં, તેનું વ્યુત્પન્ન

ત્યાં અસ્તિત્વમાં નથી. તેથી સૂત્ર

બિંદુ પર લાગુ પડતું નથી

અને આરક્ષણ વિના ટૂંકી રચના ખોટી હશે. સમાન તથ્યો ગ્રાફમાં "વિરામ" સાથેના અન્ય કાર્યો માટે સાચા છે, ખાસ કરીને, આર્ક્સાઈન અને આર્કોસાઈન માટે.

આમ, બદલ્યા પછી, અમને બીજું કાર્યકારી સૂત્ર મળે છે:

એક કપટી સંજોગો પર ધ્યાન આપો જે ચાની કીટલીને મૂંઝવી શકે છે: આ મર્યાદામાં, "x", પોતે એક સ્વતંત્ર ચલ હોવાને કારણે, આંકડાની ભૂમિકા ભજવે છે, અને "ડાયનેમિક્સ" ફરીથી વૃદ્ધિ દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે. મર્યાદાની ગણતરીનું પરિણામ

વ્યુત્પન્ન કાર્ય છે.

ઉપરના આધારે, અમે બે લાક્ષણિક સમસ્યાઓની શરતો ઘડીએ છીએ:

- શોધો એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન, વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને.

- શોધો વ્યુત્પન્ન કાર્ય, ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને. આ સંસ્કરણ, મારા અવલોકનો અનુસાર, વધુ સામાન્ય છે અને મુખ્ય ધ્યાન આપવામાં આવશે.

કાર્યો વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત એ છે કે પ્રથમ કિસ્સામાં તમારે નંબર શોધવાની જરૂર છે (વૈકલ્પિક રીતે, અનંત), અને બીજામાં -

કાર્ય વધુમાં, વ્યુત્પન્ન બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી.

કેવી રીતે ?

ગુણોત્તર બનાવો અને મર્યાદાની ગણતરી કરો.

તે ક્યાંથી આવ્યું?ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતા નિયમોનું કોષ્ટક ? માત્ર મર્યાદા માટે આભાર

તે જાદુ જેવું લાગે છે, પરંતુ

વાસ્તવમાં - હાથની ચપળતા અને છેતરપિંડી નહીં. વર્ગમાં વ્યુત્પન્ન શું છે?મેં ચોક્કસ ઉદાહરણો જોવાનું શરૂ કર્યું જ્યાં, વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, મને રેખીય અને ચતુર્ભુજ કાર્યના ડેરિવેટિવ્ઝ મળ્યાં. જ્ઞાનાત્મક વોર્મ-અપના હેતુ માટે, અમે ખલેલ પહોંચાડવાનું ચાલુ રાખીશું ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક, અલ્ગોરિધમ અને તકનીકી ઉકેલોને માન આપવું:

આવશ્યકપણે, તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે ખાસ કેસવ્યુત્પન્ન પાવર કાર્ય, જે સામાન્ય રીતે કોષ્ટકમાં દેખાય છે: .

ઉકેલ તકનીકી રીતે બે રીતે ઔપચારિક છે. ચાલો પ્રથમ, પહેલાથી જ પરિચિત અભિગમ સાથે પ્રારંભ કરીએ: સીડી એક પાટિયું સાથે શરૂ થાય છે, અને વ્યુત્પન્ન કાર્ય એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન સાથે શરૂ થાય છે.

સાથે જોડાયેલા કેટલાક (ચોક્કસ) મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્ય જેમાં વ્યુત્પન્ન છે. ચાલો આ બિંદુએ વધારો સેટ કરીએ (અલબત્ત, આગળ વધવું નહીં o/o -ya) અને ફંક્શનના અનુરૂપ ઇન્ક્રીમેન્ટ કંપોઝ કરો:

ચાલો મર્યાદાની ગણતરી કરીએ:

અનિશ્ચિતતા 0:0 એ પ્રમાણભૂત તકનીક દ્વારા દૂર કરવામાં આવે છે, જે પૂર્વે પ્રથમ સદીમાં માનવામાં આવે છે. ચાલો ગુણાકાર કરીએ

સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ માટે અંશ અને છેદ :

આવી મર્યાદા ઉકેલવા માટેની તકનીકની વિગતવાર ચર્ચા અહીં કરવામાં આવી છે પ્રારંભિક પાઠ કાર્યોની મર્યાદા વિશે.

કારણ કે તમે અંતરાલના કોઈપણ બિંદુને આ રીતે પસંદ કરી શકો છો

પછી, રિપ્લેસમેન્ટ કર્યા પછી, અમને મળે છે:

ચાલો ફરી એકવાર લોગરીધમ પર આનંદ કરીએ:

ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ: ચાલો સમાન કાર્યને પ્રોત્સાહન આપવા માટે એક અલગ અભિગમ પર વિચાર કરીએ. તે બરાબર એ જ છે, પરંતુ ડિઝાઇનની દ્રષ્ટિએ વધુ તર્કસંગત છે. વિચાર છૂટકારો મેળવવાનો છે

સબસ્ક્રિપ્ટ કરો અને અક્ષરને બદલે અક્ષરનો ઉપયોગ કરો.

સંબંધિત એક મનસ્વી બિંદુ ધ્યાનમાં લો વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રફંક્શન (અંતરાલ), અને તેમાં વધારો સેટ કરો. પરંતુ અહીં, માર્ગ દ્વારા, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તમે કોઈપણ રિઝર્વેશન વિના કરી શકો છો, કારણ કે વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બિંદુએ લઘુગણક કાર્ય અલગ છે.

પછી ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો છે:

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ડિઝાઇનની સાદગી એ મૂંઝવણ દ્વારા સંતુલિત છે જે કરી શકે છે

નવા નિશાળીયા વચ્ચે થાય છે (અને માત્ર નહીં). છેવટે, આપણે એ હકીકત માટે ટેવાયેલા છીએ કે "X" અક્ષર મર્યાદામાં બદલાય છે! પરંતુ અહીં બધું અલગ છે: - એક પ્રાચીન પ્રતિમા, અને - એક જીવંત મુલાકાતી, મ્યુઝિયમના કોરિડોર સાથે ઝડપથી ચાલતો. એટલે કે, “x” એ “અચલની જેમ” છે.

હું પગલું દ્વારા અનિશ્ચિતતા દૂર કરવા પર ટિપ્પણી કરીશ:

(1) લઘુગણક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવો.

(2) કૌંસમાં, અંશને છેદ શબ્દ દ્વારા પદ દ્વારા વિભાજિત કરો.

(3) છેદમાં, આપણે કૃત્રિમ રીતે "x" દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીએ છીએ જેથી કરીને

અદ્ભુત મર્યાદાનો લાભ લો , જ્યારે તરીકે અનંતકૃત્યો

જવાબ: વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા દ્વારા:

અથવા ટૂંકમાં:

હું તમારી જાતને વધુ બે ટેબલ ફોર્મ્યુલા બનાવવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું:

વ્યાખ્યા દ્વારા વ્યુત્પન્ન શોધો

IN આ કિસ્સામાંકમ્પોઝ કરેલ ઇન્ક્રીમેન્ટને તરત જ તરફ લઈ જવું અનુકૂળ છે સામાન્ય છેદ. અંદાજિત નમૂનાપાઠના અંતે સોંપણી પૂર્ણ કરવી (પ્રથમ પદ્ધતિ).

વ્યાખ્યા દ્વારા વ્યુત્પન્ન શોધો

અને અહીં બધું નોંધપાત્ર મર્યાદામાં ઘટાડવું આવશ્યક છે. ઉકેલ બીજી રીતે ઔપચારિક છે.

અન્ય સંખ્યાબંધ ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ. સંપૂર્ણ યાદીમાં મળી શકે છે શાળા પાઠ્યપુસ્તક, અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, ફિક્ટેનહોલ્ટ્ઝનું 1 લી વોલ્યુમ. મને પુસ્તકોમાંથી ભિન્નતાના નિયમોના પુરાવાઓની નકલ કરવામાં વધુ મુદ્દો દેખાતો નથી - તે પણ જનરેટ થાય છે

સૂત્ર

ચાલો વાસ્તવમાં અનુભવાયેલા કાર્યો તરફ આગળ વધીએ: ઉદાહરણ 5

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો , ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને

ઉકેલ: પ્રથમ ડિઝાઇન શૈલીનો ઉપયોગ કરો. ચાલો કેટલાક મુદ્દાને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેના પર દલીલનો વધારો સેટ કરીએ. પછી ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો છે:

કદાચ કેટલાક વાચકો હજુ સુધી તે સિદ્ધાંતને સંપૂર્ણપણે સમજી શક્યા નથી કે જેના દ્વારા વધારો કરવાની જરૂર છે. એક બિંદુ (સંખ્યા) લો અને તેમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય શોધો: , એટલે કે, કાર્યમાં

"X" ને બદલે તમારે અવેજી કરવી જોઈએ. હવે લઈએ

સંકલિત કાર્ય વધારો તે તરત જ સરળ બનાવવા માટે ફાયદાકારક હોઈ શકે છે. શેના માટે? ઉકેલને વધુ મર્યાદા સુધી સરળ બનાવો અને ટૂંકો કરો.

અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, કૌંસ ખોલીએ છીએ અને ટૂંકી કરી શકાય તેવી દરેક વસ્તુને ટૂંકી કરીએ છીએ:

ટર્કી ગટ થઈ ગઈ છે, રોસ્ટ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી:

પરિણામે:

કારણ કે તમે કોઈપણ ગુણવત્તા પસંદ કરી શકો છો વાસ્તવિક સંખ્યા, પછી અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ .

જવાબ: વ્યાખ્યા દ્વારા.

ચકાસણી હેતુઓ માટે, ચાલો નિયમોનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ

તફાવત અને કોષ્ટકો:

સાચો જવાબ અગાઉથી જાણવો હંમેશા ઉપયોગી અને સુખદ છે, તેથી ઉકેલની શરૂઆતમાં જ, માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં, "ઝડપી" રીતે સૂચિત કાર્યને અલગ પાડવું વધુ સારું છે.

ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા દ્વારા ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. પરિણામ સ્પષ્ટ છે:

ચાલો શૈલી #2 પર પાછા જઈએ: ઉદાહરણ 7

ચાલો તરત જ શોધી કાઢીએ કે શું થવું જોઈએ. દ્વારા જટિલ કાર્યોના તફાવતનો નિયમ:

ઉકેલ: ધ્યાનમાં લો મનસ્વી બિંદુ, સાથે જોડાયેલા, તેમાં દલીલનો ઇન્ક્રીમેન્ટ સેટ કરો અને ઇન્ક્રીમેન્ટ બનાવો

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

(1) આપણે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

(2) સાઈન હેઠળ આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ, કોસાઈન હેઠળ આપણે સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) સાઈન હેઠળ આપણે શરતોને રદ કરીએ છીએ, કોસાઈન હેઠળ આપણે અંશને છેદ શબ્દ દ્વારા પદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ.

(4) સાઈનની વિચિત્રતાને લીધે, આપણે "માઈનસ" કાઢીએ છીએ. કોસાઇન હેઠળ

અમે તે શબ્દ સૂચવે છે.

(5) અમે ઉપયોગ કરવા માટે છેદમાં કૃત્રિમ ગુણાકાર કરીએ છીએ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા . આમ, અનિશ્ચિતતા દૂર થાય છે, ચાલો પરિણામને વ્યવસ્થિત કરીએ.

જવાબ: વ્યાખ્યા દ્વારા તમે જોઈ શકો છો, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની મુખ્ય મુશ્કેલી તેના પર રહે છે

ખૂબ જ મર્યાદાની જટિલતા + પેકેજિંગની થોડી મૌલિકતા. વ્યવહારમાં, ડિઝાઇનની બંને પદ્ધતિઓ થાય છે, તેથી હું શક્ય તેટલી વધુ વિગતવાર બંને અભિગમોનું વર્ણન કરું છું. તેઓ સમકક્ષ છે, પરંતુ તેમ છતાં, મારી વ્યક્તિલક્ષી છાપમાં, ડમી માટે "X-શૂન્ય" સાથે વિકલ્પ 1 ને વળગી રહેવું વધુ સલાહભર્યું છે.

વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો

આ તમારા માટે એક કાર્ય છે જે તમે તમારા પોતાના પર હલ કરી શકો છો. નમૂના અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ ભાવનામાં ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે.

ચાલો સમસ્યાનું એક દુર્લભ સંસ્કરણ જોઈએ:

ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

પ્રથમ, નીચેની રેખા શું હોવી જોઈએ? સંખ્યા ચાલો પ્રમાણભૂત રીતે જવાબની ગણતરી કરીએ:

ઉકેલ: સ્પષ્ટતાના દૃષ્ટિકોણથી, આ કાર્ય ખૂબ સરળ છે, કારણ કે સૂત્રમાં, તેના બદલે

ચોક્કસ મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે.

ચાલો પોઈન્ટ પર ઈન્ક્રીમેન્ટ સેટ કરીએ અને ફંક્શનના અનુરૂપ ઈન્ક્રીમેન્ટ કંપોઝ કરીએ:

ચાલો એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ:

અમે ખૂબ જ દુર્લભ સ્પર્શક તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને ફરી એક વાર આપણે પહેલાના સોલ્યુશનને ઘટાડીએ છીએ

નોંધપાત્ર મર્યાદા:

જવાબ: એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા દ્વારા.

સમસ્યા હલ કરવી એટલી મુશ્કેલ નથી અને “માં સામાન્ય દૃશ્ય"- નેઇલ બદલવા માટે અથવા ફક્ત ડિઝાઇન પદ્ધતિના આધારે તે પૂરતું છે. આ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે કે પરિણામ સંખ્યા નહીં, પરંતુ વ્યુત્પન્ન કાર્ય હશે.

ઉદાહરણ 10 વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો બિંદુ પર

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો.

અંતિમ બોનસ કાર્ય મુખ્યત્વે ગાણિતિક પૃથ્થકરણનો ગહન અભ્યાસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે છે, પરંતુ તે અન્ય કોઈને પણ નુકસાન પહોંચાડશે નહીં:

શું ફંક્શન અલગ-અલગ હશે? બિંદુ પર?

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે પીસવાઇઝ આપેલ ફંક્શન એક બિંદુ પર સતત હોય છે, પરંતુ શું તે ત્યાં અલગ હશે?

ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો, અને માત્ર માટે જ નહીં ટુકડા પ્રમાણે કાર્યો, છે:

1) આપેલ બિંદુ પર ડાબી બાજુનું વ્યુત્પન્ન શોધો: .

2) આપેલ બિંદુ પર જમણી બાજુનું વ્યુત્પન્ન શોધો: .

3) જો એકતરફી ડેરિવેટિવ્સ મર્યાદિત હોય અને એકરૂપ હોય:

, પછી કાર્ય બિંદુ પર અલગ છે

ભૌમિતિક રીતે, અહીં એક સામાન્ય સ્પર્શક છે (જુઓ સૈદ્ધાંતિક ભાગપાઠ વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા અને અર્થ).

જો બે પ્રાપ્ત થાય છે વિવિધ અર્થો: (જેમાંથી એક અનંત હોઈ શકે છે), પછી કાર્ય બિંદુ પર ભિન્ન નથી.

જો બંને એકતરફી ડેરિવેટિવ્સ અનંત સમાન હોય

(ભલે તેમની પાસે વિવિધ ચિહ્નો હોય), તો કાર્ય નથી

બિંદુ પર ભિન્ન છે, પરંતુ આલેખમાં અનંત વ્યુત્પન્ન અને સામાન્ય ઊભી સ્પર્શક છે (ઉદાહરણ પાઠ 5 જુઓસામાન્ય સમીકરણ) .

પ્રવેશ સ્તર

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

ચાલો એક ડુંગરાળ વિસ્તારમાંથી પસાર થતા સીધા રસ્તાની કલ્પના કરીએ. એટલે કે, તે ઉપર અને નીચે જાય છે, પરંતુ જમણે કે ડાબે વળતું નથી. જો અક્ષ રસ્તાની સાથે આડા અને ઊભી રીતે નિર્દેશિત હોય, તો રોડ લાઇન કેટલાક સતત કાર્યના ગ્રાફ સાથે ખૂબ સમાન હશે:

અક્ષ એ શૂન્ય ઊંચાઈનું ચોક્કસ સ્તર છે;

જેમ જેમ આપણે આવા રસ્તા પર આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આપણે ઉપર કે નીચે પણ જઈએ છીએ. અમે એમ પણ કહી શકીએ છીએ: જ્યારે દલીલ બદલાય છે (એબ્સિસા અક્ષ સાથેની હિલચાલ), ફંક્શનનું મૂલ્ય બદલાય છે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેની હિલચાલ). ચાલો હવે વિચારીએ કે આપણા રસ્તાની "ઊભાપણું" કેવી રીતે નક્કી કરવી? આ કયા પ્રકારનું મૂલ્ય હોઈ શકે? તે ખૂબ જ સરળ છે: ચોક્કસ અંતર આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી બદલાશે. ખરેખર, રસ્તાના જુદા જુદા વિભાગો પર, એક કિલોમીટર આગળ (એક્સ-અક્ષ સાથે) આગળ વધીએ છીએ, અમે વધીશું અથવા નીચે પડીશું વિવિધ માત્રામાંસમુદ્ર સપાટીથી સંબંધિત મીટર (ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે).

ચાલો પ્રગતિ દર્શાવીએ ("ડેલ્ટા x" વાંચો).

ગ્રીક અક્ષર (ડેલ્ટા) નો ઉપયોગ ગણિતમાં સામાન્ય રીતે ઉપસર્ગ તરીકે થાય છે જેનો અર્થ થાય છે "પરિવર્તન". તે છે - આ જથ્થામાં ફેરફાર છે, - એક ફેરફાર; પછી તે શું છે? તે સાચું છે, તીવ્રતામાં ફેરફાર.

મહત્વપૂર્ણ: અભિવ્યક્તિ એ એક સંપૂર્ણ, એક ચલ છે. "ડેલ્ટા" ને "x" અથવા અન્ય કોઈપણ અક્ષરથી ક્યારેય અલગ કરશો નહીં!

તેથી, અમે આગળ વધી ગયા, આડા, દ્વારા. જો આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે રસ્તાની રેખાની તુલના કરીએ, તો આપણે ઉદય કેવી રીતે દર્શાવીશું? ચોક્કસપણે, . એટલે કે, જેમ જેમ આપણે આગળ વધીએ છીએ, તેમ તેમ આપણે ઊંચા થઈએ છીએ.

મૂલ્યની ગણતરી કરવી સરળ છે: જો શરૂઆતમાં આપણે ઊંચાઈએ હતા, અને ખસેડ્યા પછી આપણે પોતાને ઊંચાઈએ શોધીએ છીએ, તો પછી. જો અંતિમ બિંદુપ્રારંભિક કરતાં નીચું બહાર આવ્યું, તે નકારાત્મક હશે - આનો અર્થ એ છે કે આપણે ચડતા નથી, પરંતુ ઉતરતા છીએ.

ચાલો "ઊભાપણું" પર પાછા આવીએ: આ એક મૂલ્ય છે જે બતાવે છે કે અંતરના એક એકમને આગળ વધતી વખતે ઊંચાઈ કેટલી (બેહદ) વધે છે:

ચાલો આપણે માની લઈએ કે રસ્તાના અમુક વિભાગ પર, જ્યારે એક કિલોમીટર આગળ વધે છે, ત્યારે રસ્તો એક કિલોમીટરથી ઉપર આવે છે. પછી આ સ્થાન પર ઢાળ સમાન છે. અને જો રસ્તો, મીટરથી આગળ વધતી વખતે, કિમીથી ઘટી જાય? પછી ઢાળ સમાન છે.

હવે ચાલો એક ટેકરીની ટોચ જોઈએ. જો તમે સમિટના અડધા કિલોમીટર પહેલા વિભાગની શરૂઆત અને તેના પછી અડધા કિલોમીટરનો અંત લો, તો તમે જોઈ શકો છો કે ઊંચાઈ લગભગ સમાન છે.

એટલે કે, અમારા તર્ક મુજબ, તે તારણ આપે છે કે અહીં ઢાળ લગભગ શૂન્ય બરાબર છે, જે સ્પષ્ટપણે સાચું નથી. માત્ર કિલોમીટરના અંતરે ઘણું બદલાઈ શકે છે. ઢાળના વધુ પર્યાપ્ત અને સચોટ મૂલ્યાંકન માટે નાના વિસ્તારોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે એક મીટર ખસેડો ત્યારે ઊંચાઈમાં ફેરફારને માપો છો, તો પરિણામ વધુ સચોટ હશે. પરંતુ આ ચોકસાઈ પણ આપણા માટે પૂરતી ન હોઈ શકે - છેવટે, જો રસ્તાની મધ્યમાં કોઈ ધ્રુવ હોય, તો અમે તેને સરળતાથી પસાર કરી શકીએ છીએ. તો પછી આપણે કયું અંતર પસંદ કરવું જોઈએ? સેન્ટીમીટર? મિલીમીટર? ઓછું છે વધુ!

IN વાસ્તવિક જીવનનજીકના મિલીમીટર સુધીનું અંતર માપવાનું પર્યાપ્ત કરતાં વધુ છે. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ હંમેશા સંપૂર્ણતા માટે પ્રયત્ન કરે છે. તેથી, ખ્યાલની શોધ કરવામાં આવી હતી અનંત, એટલે કે, નિરપેક્ષ મૂલ્ય એ કોઈપણ સંખ્યા કરતા ઓછું છે જેને આપણે નામ આપી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કહો છો: એક ટ્રિલિયનમો! કેટલું ઓછું? અને તમે આ સંખ્યાને વડે વિભાજીત કરશો - અને તે તેનાથી પણ ઓછી હશે. અને તેથી વધુ. જો આપણે લખવા માંગતા હોઈએ કે એક જથ્થો અનંત છે, તો આપણે આ રીતે લખીએ છીએ: (આપણે વાંચીએ છીએ "x શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે"). તે સમજવું ખૂબ જ જરૂરી છે કે આ સંખ્યા શૂન્ય નથી!પરંતુ તેની ખૂબ નજીક. આનો અર્થ એ છે કે તમે તેના દ્વારા વિભાજન કરી શકો છો.

ઇન્ફિનિટેસિમલની વિરુદ્ધનો ખ્યાલ અનંત વિશાળ છે (). જ્યારે તમે અસમાનતાઓ પર કામ કરી રહ્યા હતા ત્યારે તમે કદાચ પહેલાથી જ તેનો સામનો કર્યો હશે: આ સંખ્યા તમે વિચારી શકો તે કોઈપણ સંખ્યા કરતા વધુ મોડ્યુલો છે. જો તમે સૌથી મોટા સાથે આવ્યા હતા શક્ય સંખ્યાઓ, ફક્ત તેને બે વડે ગુણાકાર કરો અને તમને વધુ મળશે. અને અનંત હજુ પણ વધુમાંશું થશે. વાસ્તવમાં, અનંત મોટા અને અનંત નાના એ એકબીજાના વિપરીત છે, એટલે કે, પર, અને ઊલટું: at.

હવે આપણે આપણા રસ્તા પર પાછા આવીએ. આદર્શ રીતે ગણતરી કરેલ ઢોળાવ એ પાથના અનંત સેગમેન્ટ માટે ગણવામાં આવેલ ઢાળ છે, એટલે કે:

હું નોંધું છું કે અનંત વિસ્થાપન સાથે, ઊંચાઈમાં ફેરફાર પણ અનંત હશે. પરંતુ હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અનંતનો અર્થ નથી શૂન્ય બરાબર. જો તમે અનંત સંખ્યાઓને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો તમે તદ્દન મેળવી શકો છો નિયમિત સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, . એટલે કે, એક નાનું મૂલ્ય બીજા કરતા બરાબર ગણું મોટું હોઈ શકે છે.

આ બધું શેના માટે છે? રસ્તો, ઢાળ... અમે કાર રેલીમાં નથી જઈ રહ્યા, પરંતુ અમે ગણિત શીખવીએ છીએ. અને ગણિતમાં બધું બરાબર સરખું છે, ફક્ત અલગ રીતે કહેવાય છે.

વ્યુત્પન્ન ખ્યાલ

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર છે.

વધતેગણિતમાં તેઓ પરિવર્તન કહે છે. આર્ગ્યુમેન્ટ () અક્ષ સાથે આગળ વધતાં બદલાય છે તે હદ કહેવાય છે દલીલમાં વધારોઅને અંતર દ્વારા ધરી સાથે આગળ વધતી વખતે કાર્ય (ઊંચાઈ) કેટલું બદલાયું છે તે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે કાર્ય વધારોઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

તેથી, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ક્યારેનો ગુણોત્તર છે. અમે વ્યુત્પન્નને ફંક્શન જેવા જ અક્ષર સાથે દર્શાવીએ છીએ, ફક્ત ઉપર જમણી બાજુએ પ્રાઇમ સાથે: અથવા ફક્ત. તો, ચાલો આ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન સૂત્ર લખીએ:

રસ્તાની સામ્યતાની જેમ, અહીં જ્યારે કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, ત્યારે તે નકારાત્મક છે.

શું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય સમાન હોઈ શકે? ચોક્કસ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સપાટ આડા રસ્તા પર ડ્રાઇવિંગ કરી રહ્યા છીએ, તો ઢાળવાળીપણું શૂન્ય છે. અને તે સાચું છે, ઊંચાઈ બિલકુલ બદલાતી નથી. વ્યુત્પન્ન સાથે સમાન: વ્યુત્પન્ન સતત કાર્ય(અચલ) શૂન્યની બરાબર છે:

કારણ કે આવા કાર્યનો વધારો કોઈપણ માટે શૂન્ય સમાન છે.

ચાલો ટેકરીઓનું ઉદાહરણ યાદ કરીએ. તે બહાર આવ્યું છે કે સેગમેન્ટના અંતને સાથે ગોઠવવાનું શક્ય હતું વિવિધ બાજુઓઉપરથી, જેથી છેડા પરની ઊંચાઈ સમાન હોય, એટલે કે, સેગમેન્ટ અક્ષની સમાંતર હોય:

પરંતુ મોટા સેગમેન્ટ્સ અચોક્કસ માપનની નિશાની છે. અમે અમારા સેગમેન્ટને પોતાની સમાંતર ઉપર વધારીશું, પછી તેની લંબાઈ ઘટશે.

આખરે, જ્યારે આપણે ટોચની અનંત નજીક હોઈએ છીએ, ત્યારે સેગમેન્ટની લંબાઈ અનંત બની જશે. પરંતુ તે જ સમયે, તે અક્ષની સમાંતર રહી, એટલે કે, તેના છેડા પરની ઊંચાઈનો તફાવત શૂન્ય જેવો છે (તે વલણ ધરાવતું નથી, પરંતુ સમાન છે). તેથી વ્યુત્પન્ન

આને આ રીતે સમજી શકાય છે: જ્યારે આપણે ખૂબ જ ટોચ પર ઊભા રહીએ છીએ, ત્યારે ડાબી અથવા જમણી તરફની એક નાની પાળી આપણી ઊંચાઈને નજીવી રીતે બદલી નાખે છે.

ત્યાં એક સંપૂર્ણ બીજગણિત સમજૂતી પણ છે: શિરોબિંદુની ડાબી બાજુએ કાર્ય વધે છે, અને જમણી બાજુએ તે ઘટે છે. જેમ આપણે અગાઉ જોયું તેમ, જ્યારે કોઈ કાર્ય વધે છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હોય છે, અને જ્યારે તે ઘટે છે, ત્યારે તે નકારાત્મક હોય છે. પરંતુ તે કૂદકા વિના, સરળતાથી બદલાય છે (કારણ કે રસ્તો તેના ઢાળને ક્યાંય પણ તીવ્રપણે બદલતો નથી). તેથી, નકારાત્મક અને વચ્ચે હકારાત્મક મૂલ્યોત્યાં ચોક્કસપણે હોવું જોઈએ. તે તે હશે જ્યાં કાર્ય ન તો વધે છે કે ન ઘટે છે - શિરોબિંદુ પર.

આ જ ચાટ માટે સાચું છે (જે વિસ્તાર ડાબી બાજુનું કાર્ય ઘટે છે અને જમણી બાજુ વધે છે):

ઇન્ક્રીમેન્ટ વિશે થોડું વધારે.

તેથી અમે દલીલને પરિમાણમાં બદલીએ છીએ. આપણે કયા મૂલ્યથી બદલીએ છીએ? હવે તે (દલીલ) શું બની ગયું છે? અમે કોઈપણ બિંદુ પસંદ કરી શકીએ છીએ, અને હવે અમે તેમાંથી નૃત્ય કરીશું.

સંકલન સાથેના બિંદુને ધ્યાનમાં લો. તેમાં ફંક્શનની કિંમત સમાન છે. પછી આપણે સમાન વધારો કરીએ છીએ: આપણે સંકલન વધારીએ છીએ. હવે દલીલ શું છે? ખૂબ જ સરળ: . હવે ફંક્શનની કિંમત શું છે? જ્યાં દલીલ જાય છે, ત્યાં કાર્ય પણ કરે છે: . કાર્ય વૃદ્ધિ વિશે શું? કંઈ નવું નથી: આ હજી પણ તે રકમ છે જેના દ્વારા કાર્ય બદલાયું છે:

ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધવાની પ્રેક્ટિસ કરો:

1. જ્યારે દલીલનો વધારો બરાબર હોય ત્યારે ફંક્શનનો વધારો શોધો.
2. તે જ બિંદુ પર કાર્ય માટે જાય છે.

ઉકેલો:

IN વિવિધ બિંદુઓસમાન દલીલ વધારા સાથે, ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ અલગ હશે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નતા અલગ છે (અમે આની શરૂઆતમાં જ ચર્ચા કરી હતી - રસ્તાની ઢાળ વિવિધ બિંદુઓ પર અલગ છે). તેથી, જ્યારે આપણે વ્યુત્પન્ન લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે કયા બિંદુએ સૂચવવું જોઈએ:

પાવર કાર્ય.

પાવર ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જ્યાં દલીલ અમુક અંશે હોય છે (તાર્કિક, બરાબર?).

વધુમાં - કોઈપણ હદ સુધી: .

સૌથી સરળ કેસ- આ ત્યારે છે જ્યારે ઘાતાંક:

ચાલો એક બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. ચાલો ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

તેથી દલીલ થી માં બદલાય છે. કાર્યનો વધારો શું છે?

ઇન્ક્રીમેન્ટ આ છે. પરંતુ કોઈપણ બિંદુએ કાર્ય તેની દલીલ સમાન છે. તેથી જ:

વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

નું વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

b) હવે ધ્યાનમાં લો ચતુર્ભુજ કાર્ય (): .

હવે એ યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે વધારાના મૂલ્યની અવગણના કરી શકાય છે, કારણ કે તે અમર્યાદિત છે, અને તેથી અન્ય શબ્દની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નજીવી છે:

તેથી, અમે બીજા નિયમ સાથે આવ્યા:

c) અમે લોજિકલ શ્રેણી ચાલુ રાખીએ છીએ: .

આ અભિવ્યક્તિને જુદી જુદી રીતે સરળ બનાવી શકાય છે: સરવાળોના ક્યુબના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ કૌંસ ખોલો અથવા સમઘન સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર અભિવ્યક્તિને ફેક્ટરાઇઝ કરો. સૂચવેલ કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેને જાતે કરવાનો પ્રયાસ કરો.

તેથી, મને નીચે મુજબ મળ્યું:

અને ફરીથી ચાલો તે યાદ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે અમે સમાવિષ્ટ તમામ શરતોની અવગણના કરી શકીએ છીએ:

અમને મળે છે:.

ડી) મોટી સત્તાઓ માટે સમાન નિયમો મેળવી શકાય છે:

e) તે ​​તારણ આપે છે કે આ નિયમ મનસ્વી ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન માટે સામાન્ય કરી શકાય છે, પૂર્ણાંક પણ નહીં:

આ નિયમને આ શબ્દોમાં ઘડી શકાય છે: "ડિગ્રીને ગુણાંક તરીકે આગળ લાવવામાં આવે છે, અને પછી તેને ઘટાડવામાં આવે છે."

અમે આ નિયમ પછીથી સાબિત કરીશું (લગભગ ખૂબ જ અંતમાં). હવે થોડા ઉદાહરણો જોઈએ. કાર્યોના વ્યુત્પન્ન શોધો:

1. (બે રીતે: સૂત્ર દ્વારા અને વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને - કાર્યના વધારાની ગણતરી કરીને);

1. . માનો કે ના માનો, આ પાવર ફંક્શન છે. જો તમને પ્રશ્નો હોય, જેમ કે "આ કેવી રીતે છે? ડિગ્રી ક્યાં છે?", "" વિષય યાદ રાખો!
   હા, હા, રુટ પણ એક ડિગ્રી છે, માત્ર અપૂર્ણાંક: .
   તો આપણું વર્ગમૂળ- આ માત્ર એક સૂચક સાથેની ડિગ્રી છે:
   .
   અમે તાજેતરમાં શીખેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

   જો આ બિંદુએ તે ફરીથી અસ્પષ્ટ થઈ જાય, તો "" વિષયનું પુનરાવર્તન કરો!!! (સાથે ડિગ્રી વિશે નકારાત્મક સૂચક)

2. . હવે ઘાતાંક:

   અને હવે વ્યાખ્યા દ્વારા (શું તમે હજી ભૂલી ગયા છો?):
   ;
   .
   હવે, હંમેશની જેમ, અમે સમાવિષ્ટ શબ્દની અવગણના કરીએ છીએ:
   .

3. . અગાઉના કેસોનું સંયોજન: .

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

અહીં આપણે એક હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું ઉચ્ચ ગણિત:

અભિવ્યક્તિ સાથે.

તમે સંસ્થાના પ્રથમ વર્ષમાં સાબિતી શીખી શકશો (અને ત્યાં જવા માટે, તમારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સારી રીતે પાસ કરવી પડશે). હવે હું તેને ગ્રાફિકલી બતાવીશ:

આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યારે ફંક્શન અસ્તિત્વમાં નથી - ગ્રાફ પરનો બિંદુ કાપી નાખવામાં આવે છે. પરંતુ મૂલ્યની નજીક, કાર્ય આ "ધ્યેય" ની નજીક છે.

વધુમાં, તમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ ચકાસી શકો છો. હા, હા, શરમાશો નહીં, કેલ્ક્યુલેટર લો, અમે હજી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં નથી.

તેથી, ચાલો પ્રયાસ કરીએ: ;

તમારા કેલ્ક્યુલેટરને રેડિયન મોડ પર સ્વિચ કરવાનું ભૂલશો નહીં!

વગેરે આપણે જોઈએ છીએ કે ઓછું, ધ નજીકનું મૂલ્યસાથે સંબંધ

એ) કાર્યને ધ્યાનમાં લો. હંમેશની જેમ, ચાલો તેનો વધારો શોધીએ:

ચાલો સાઈન્સના તફાવતને ઉત્પાદનમાં ફેરવીએ. આ કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (વિષય "" યાદ રાખો): .

હવે વ્યુત્પન્ન:

ચાલો બદલીએ: . પછી અનંત માટે તે પણ અનંત છે: . માટે અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લે છે:

અને હવે આપણે તે અભિવ્યક્તિ સાથે યાદ કરીએ છીએ. અને એ પણ, જો સરવાળા (એટલે ​​​​કે, પર) માં અમર્યાદિત જથ્થાને અવગણવામાં આવે તો શું?

તેથી અમે મેળવીએ છીએ આગામી નિયમ:સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન જેટલું છે:

આ મૂળભૂત ("ટેબ્યુલર") ડેરિવેટિવ્ઝ છે. અહીં તેઓ એક સૂચિમાં છે:

પાછળથી અમે તેમાં થોડા વધુ ઉમેરીશું, પરંતુ આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ મોટાભાગે થાય છે.

પ્રેક્ટિસ:

1. એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;
2. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલો:

1. પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય સ્વરૂપમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ, અને પછી તેનું મૂલ્ય બદલીએ:
   ;
   .
2. અહીં આપણી પાસે પાવર ફંક્શન જેવું જ કંઈક છે. ચાલો તેણીને લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ
   સામાન્ય દેખાવ:
   .
   સરસ, હવે તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....આ શું છે????

ઠીક છે, તમે સાચા છો, અમને હજુ સુધી ખબર નથી કે આવા ડેરિવેટિવ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય. અહીં આપણી પાસે અનેક પ્રકારનાં કાર્યોનું સંયોજન છે. તેમની સાથે કામ કરવા માટે, તમારે થોડા વધુ નિયમો શીખવાની જરૂર છે:

ઘાતાંક અને કુદરતી લઘુગણક.

ગણિતમાં એક ફંક્શન છે જેનું વ્યુત્પન્ન કોઈપણ મૂલ્ય માટે તે જ સમયે ફંક્શનના મૂલ્ય જેટલું છે. તેને "ઘાતાંક" કહેવામાં આવે છે, અને તે ઘાતાંકીય કાર્ય છે

આ કાર્યનો આધાર સ્થિર છે - તે અનંત છે દશાંશ, એટલે કે, અતાર્કિક સંખ્યા (જેમ કે). તેને "યુલર નંબર" કહેવામાં આવે છે, તેથી જ તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

તેથી, નિયમ:

યાદ રાખવું ખૂબ જ સરળ છે.

સારું, ચાલો દૂર ન જઈએ, ચાલો તેને તરત જ જોઈએ વ્યસ્ત કાર્ય. કયું કાર્ય નું વ્યસ્ત છે ઘાતાંકીય કાર્ય? લઘુગણક:

અમારા કિસ્સામાં, આધાર એ સંખ્યા છે:

આવા લઘુગણક (એટલે ​​​​કે, આધાર સાથેનો લઘુગણક) "કુદરતી" કહેવાય છે, અને અમે તેના માટે વિશેષ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અમે તેના બદલે લખીએ છીએ.

તે શું સમાન છે? અલબત્ત.

કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન પણ ખૂબ જ સરળ છે:

ઉદાહરણો:

1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
2. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શું છે?

જવાબો: પ્રદર્શક અને કુદરતી લઘુગણક- ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં કાર્યો અનન્ય રીતે સરળ છે. અન્ય કોઈપણ આધાર સાથે ઘાતાંકીય અને લઘુગણક ફંક્શનમાં અલગ વ્યુત્પન્ન હશે, જેનું વિશ્લેષણ આપણે પછીથી કરીશું. ચાલો નિયમોમાંથી પસાર થઈએતફાવત

ભિન્નતાના નિયમો

શેના નિયમો? ફરી એક નવો શબ્દ, ફરી?!...

ભિન્નતાવ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયા છે.

બસ એટલું જ. તમે આ પ્રક્રિયાને એક શબ્દમાં બીજું શું કહી શકો? વ્યુત્પન્ન નથી... ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિભેદકને ફંક્શનની સમાન વૃદ્ધિ કહે છે. આ શબ્દ લેટિન ડિફરન્સિયા - તફાવત પરથી આવ્યો છે. અહીં.

આ બધા નિયમો મેળવતી વખતે, અમે બે કાર્યોનો ઉપયોગ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, અને. અમને તેમની વૃદ્ધિ માટે સૂત્રોની પણ જરૂર પડશે:

કુલ 5 નિયમો છે.

અચળ વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે.

જો - કેટલાક સતત સંખ્યા(સતત), પછી.

દેખીતી રીતે, આ નિયમ તફાવત માટે પણ કામ કરે છે: .

ચાલો તે સાબિત કરીએ. તે રહેવા દો, અથવા સરળ.

ઉદાહરણો.

કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

1. એક બિંદુએ;
2. એક બિંદુએ;
3. એક બિંદુએ;
4. બિંદુ પર.

ઉકેલો:

1. (વ્યુત્પન્ન તમામ બિંદુઓ પર સમાન છે, આથી રેખીય કાર્યયાદ છે?);

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

અહીં બધું સમાન છે: ચાલો દાખલ કરીએ નવી સુવિધાઅને તેની વૃદ્ધિ શોધો:

વ્યુત્પન્ન:

ઉદાહરણો:

1. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો અને;
2. એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલો:

ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

હવે તમારું જ્ઞાન કોઈપણ ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું તે શીખવા માટે પૂરતું છે, અને માત્ર ઘાતાંક જ નહીં (શું તમે ભૂલી ગયા છો કે તે શું છે?).

તેથી, અમુક સંખ્યા ક્યાં છે.

આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જાણીએ છીએ, તેથી ચાલો આપણા ફંક્શનને નવા આધાર પર લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ:

આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીશું સરળ નિયમ: . પછી:

સારું, તે કામ કર્યું. હવે વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરો, અને ભૂલશો નહીં કે આ કાર્ય જટિલ છે.

તે કામ કર્યું?

અહીં, તમારી જાતને તપાસો:

સૂત્ર ઘાતાંકના વ્યુત્પન્ન સાથે ખૂબ સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું: જેમ તે હતું, તે જ રહે છે, માત્ર એક પરિબળ દેખાયો, જે માત્ર એક સંખ્યા છે, પરંતુ ચલ નથી.

ઉદાહરણો:
કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

જવાબો:

આ માત્ર એક સંખ્યા છે જેની ગણતરી કેલ્ક્યુલેટર વિના કરી શકાતી નથી, એટલે કે, તેને વધુ લખી શકાતી નથી. સરળ સ્વરૂપમાં. તેથી, અમે તેને જવાબમાં આ ફોર્મમાં છોડીએ છીએ.

લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

તે અહીં સમાન છે: તમે પહેલાથી જ કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન જાણો છો:

તેથી, એક અલગ આધાર સાથે મનસ્વી લઘુગણક શોધવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે:

આપણે આ લઘુગણકને આધાર સુધી ઘટાડવાની જરૂર છે. તમે લોગરીધમનો આધાર કેવી રીતે બદલશો? હું આશા રાખું છું કે તમને આ સૂત્ર યાદ હશે:

ફક્ત હવે આપણે તેના બદલે લખીશું:

છેદ ફક્ત એક સ્થિર છે (એક સ્થિર સંખ્યા, ચલ વિના). વ્યુત્પન્ન ખૂબ જ સરળ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે:

ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન અને લઘુગણક કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનમાં લગભગ ક્યારેય દેખાતું નથી, પરંતુ તેમને જાણવાથી નુકસાન થશે નહીં.

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

શું થયું" જટિલ કાર્ય"? ના, આ લઘુગણક નથી, અને આર્કટેન્જેન્ટ નથી. આ વિધેયોને સમજવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે (જો કે જો તમને લઘુગણક અઘરું લાગતું હોય, તો "લોગરીધમ્સ" વિષય વાંચો અને તમે ઠીક થઈ જશો), પરંતુ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, "જટિલ" શબ્દનો અર્થ "મુશ્કેલ" નથી.

નાના કન્વેયર બેલ્ટની કલ્પના કરો: બે લોકો બેઠા છે અને કેટલીક વસ્તુઓ સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરી રહ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ એક ચોકલેટ બારને રેપરમાં લપેટી લે છે, અને બીજો તેને રિબન સાથે બાંધે છે. પરિણામ એ સંયુક્ત ઑબ્જેક્ટ છે: એક ચોકલેટ બાર લપેટી અને રિબન સાથે બંધાયેલ. ચોકલેટ બાર ખાવા માટે, તમારે વિપરીત પગલાં ભરવાની જરૂર છે વિપરીત ક્રમ.

ચાલો સમાન ગાણિતિક પાઈપલાઈન બનાવીએ: પ્રથમ આપણે સંખ્યાની કોસાઈન શોધીશું, અને પછી પરિણામી સંખ્યાનો વર્ગ કરીશું. તેથી, અમને એક નંબર (ચોકલેટ) આપવામાં આવે છે, મને તેનું કોસાઇન (રૅપર) મળે છે, અને પછી તમે મને જે મળ્યું તે ચોરસ કરો (તેને રિબન વડે બાંધો). શું થયું? કાર્ય. આ એક જટિલ ફંક્શનનું ઉદાહરણ છે: જ્યારે, તેનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે પ્રથમ ક્રિયા સીધી ચલ સાથે કરીએ છીએ, અને પછી બીજી ક્રિયા પ્રથમના પરિણામ સાથે કરીએ છીએ.

આપણે સમાન પગલાઓ સરળતાથી વિપરીત ક્રમમાં કરી શકીએ છીએ: પ્રથમ તમે તેને ચોરસ કરો, અને પછી હું પરિણામી સંખ્યાના કોસાઇનને શોધીશ: . અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે પરિણામ લગભગ હંમેશા અલગ હશે. મહત્વપૂર્ણ લક્ષણજટિલ કાર્યો: જ્યારે ક્રિયાઓનો ક્રમ બદલાય છે, ત્યારે કાર્ય બદલાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જટિલ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેની દલીલ અન્ય કાર્ય છે: .

પ્રથમ ઉદાહરણ માટે, .

બીજું ઉદાહરણ: (એ જ વસ્તુ). .

અમે છેલ્લે જે ક્રિયા કરીએ છીએ તેને કહેવામાં આવશે "બાહ્ય" કાર્ય, અને ક્રિયા પ્રથમ કરવામાં - તે મુજબ "આંતરિક" કાર્ય(આ અનૌપચારિક નામો છે, હું તેનો ઉપયોગ ફક્ત સામગ્રીને સરળ ભાષામાં સમજાવવા માટે કરું છું).

તમારા માટે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે કયું કાર્ય બાહ્ય છે અને કયું આંતરિક છે:

જવાબો:આંતરિક અને બાહ્ય કાર્યોને અલગ પાડવું એ ચલોને બદલવા જેવું જ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનમાં

1. આપણે પ્રથમ કઈ ક્રિયા કરીશું? પ્રથમ, ચાલો સાઈનની ગણતરી કરીએ, અને પછી જ તેને ક્યુબ કરીએ. આનો અર્થ એ છે કે તે આંતરિક કાર્ય છે, પરંતુ બાહ્ય છે.
   અને મૂળ કાર્ય તેમની રચના છે: .
2. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
3. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
4. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.
5. આંતરિક: ; બાહ્ય:.
   પરીક્ષા:.

આપણે ચલ બદલીએ છીએ અને ફંક્શન મેળવીએ છીએ.

ઠીક છે, હવે આપણે આપણી ચોકલેટ બાર કાઢીશું અને વ્યુત્પન્ન શોધીશું. પ્રક્રિયા હંમેશા ઉલટી થાય છે: પ્રથમ આપણે બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નને શોધીએ છીએ, પછી આપણે પરિણામને આંતરિક કાર્યના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. ના સંબંધમાં મૂળ ઉદાહરણતે આના જેવું લાગે છે:

બીજું ઉદાહરણ:

તેથી, ચાલો આખરે સત્તાવાર નિયમ ઘડીએ:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

તે સરળ લાગે છે, બરાબર?

ચાલો ઉદાહરણો સાથે તપાસ કરીએ:

ઉકેલો:

1) આંતરિક: ;

બાહ્ય: ;

2) આંતરિક: ;

(હમણાં જ તેને કાપવાનો પ્રયાસ કરશો નહીં! કોસાઈનની નીચેથી કંઈ બહાર આવતું નથી, યાદ છે?)

3) આંતરિક: ;

બાહ્ય: ;

તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આ ત્રણ-સ્તરની જટિલ કાર્ય છે: છેવટે, આ પહેલેથી જ એક જટિલ કાર્ય છે, અને અમે તેમાંથી મૂળ પણ કાઢીએ છીએ, એટલે કે, અમે ત્રીજી ક્રિયા કરીએ છીએ (ચોકલેટને રેપરમાં મૂકો. અને બ્રીફકેસમાં રિબન સાથે). પરંતુ ડરવાનું કોઈ કારણ નથી: અમે હજી પણ આ કાર્યને હંમેશની જેમ સમાન ક્રમમાં "અનપૅક" કરીશું: અંતથી.

એટલે કે, પહેલા આપણે રુટ, પછી કોસાઈન અને પછી કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને અલગ પાડીએ છીએ. અને પછી આપણે તે બધાને ગુણાકાર કરીએ છીએ.

આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રિયાઓની સંખ્યા કરવી અનુકૂળ છે. એટલે કે આપણે જે જાણીએ છીએ તેની કલ્પના કરીએ. આ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે આપણે કયા ક્રમમાં ક્રિયાઓ કરીશું? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

ક્રિયા જેટલી પાછળથી કરવામાં આવશે, તે વધુ "બાહ્ય" હશે અનુરૂપ કાર્ય. ક્રિયાઓનો ક્રમ પહેલા જેવો જ છે:

અહીં માળો સામાન્ય રીતે 4-સ્તરનો હોય છે. ચાલો ક્રિયાનો કોર્સ નક્કી કરીએ.

1. આમૂલ અભિવ્યક્તિ. .

2. રુટ. .

3. સાઈન. .

4. ચોરસ. .

5. તે બધું એકસાથે મૂકવું:

વ્યુત્પન્ન. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન- દલીલના અનંત વધારા માટે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાનો ગુણોત્તર:

મૂળભૂત ડેરિવેટિવ્ઝ:

ભિન્નતાના નિયમો:

વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી સ્થિરાંક લેવામાં આવે છે:

સરવાળો વ્યુત્પન્ન:

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન:

ભાગનું વ્યુત્પન્ન:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન:

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. અમે "આંતરિક" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
2. અમે "બાહ્ય" કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
3. અમે પ્રથમ અને બીજા બિંદુઓના પરિણામોને ગુણાકાર કરીએ છીએ.

નક્કી કરો શારીરિક કાર્યોઅથવા ગણિતમાં ઉદાહરણો વ્યુત્પન્ન અને તેની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓ વિશેના જ્ઞાન વિના સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. વ્યુત્પન્ન એક છે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોગાણિતિક વિશ્લેષણ. આ મૂળભૂત વિષયઅમે આજનો લેખ સમર્પિત કરવાનું નક્કી કર્યું છે. વ્યુત્પન્ન શું છે, તેનું ભૌતિક શું છે અને ભૌમિતિક અર્થફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? આ બધા પ્રશ્નોને એકમાં જોડી શકાય છે: વ્યુત્પન્નને કેવી રીતે સમજવું?

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થ

એક ફંક્શન થવા દો f(x) , ચોક્કસ અંતરાલમાં ઉલ્લેખિત (a, b) . પોઈન્ટ x અને x0 આ અંતરાલના છે. જ્યારે x બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન પોતે બદલાય છે. દલીલ બદલવી - તેના મૂલ્યોમાં તફાવત x-x0 . આ તફાવત તરીકે લખાયેલ છે ડેલ્ટા x અને તેને દલીલ વધારો કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનમાં ફેરફાર અથવા વધારો એ બે બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા:

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે જ્યારે બાદમાં શૂન્ય તરફ વળે છે ત્યારે દલીલની વૃદ્ધિ માટે.

નહિંતર, તે આના જેવું લખી શકાય છે:

આવી મર્યાદા શોધવાનો અર્થ શું છે? અને તે શું છે તે અહીં છે:

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન OX અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શક અને આપેલ બિંદુ પરના કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક સમાન છે.

ભૌતિક અર્થવ્યુત્પન્ન: સમયના સંદર્ભમાં પાથનું વ્યુત્પન્ન એ રેક્ટીલીનિયર ગતિની ગતિ સમાન છે.

ખરેખર, શાળાના દિવસોથી દરેક જણ જાણે છે કે ઝડપ એ ચોક્કસ માર્ગ છે x=f(t) અને સમય t . સરેરાશ ઝડપચોક્કસ સમયગાળા માટે:

સમયની એક ક્ષણે ચળવળની ગતિ શોધવા માટે t0 તમારે મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

નિયમ એક: એક સ્થિર સેટ કરો

અચલને વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. તદુપરાંત, આ કરવું આવશ્યક છે. ગણિતમાં ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, તેને નિયમ તરીકે લો - જો તમે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકો છો, તો તેને સરળ બનાવવાની ખાતરી કરો .

ઉદાહરણ. ચાલો વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ:

નિયમ બે: કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું છે. ફંક્શનના તફાવતના વ્યુત્પન્ન માટે પણ આ જ સાચું છે.

અમે આ પ્રમેયની સાબિતી આપીશું નહીં, પરંતુ એક વ્યવહારુ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈશું.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

નિયમ ત્રણ: વિધેયોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

બે વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ: ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

ઉકેલ:

અહીં જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી વિશે વાત કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. જટિલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ મધ્યવર્તી દલીલના સંદર્ભમાં આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

ઉપરના ઉદાહરણમાં આપણે અભિવ્યક્તિ તરફ આવીએ છીએ:

આ કિસ્સામાં, મધ્યવર્તી દલીલ પાંચમી ઘાતની 8x છે. આવી અભિવ્યક્તિના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે, અમે પ્રથમ મધ્યવર્તી દલીલના સંદર્ભમાં બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ.

નિયમ ચાર: બે કાર્યોના ભાગનું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના ભાગના વ્યુત્પન્નતા નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર:

અમે શરૂઆતથી ડમી માટે ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વાત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. આ વિષય લાગે તેટલો સરળ નથી, તેથી ચેતવણી આપો: ઉદાહરણોમાં ઘણી વાર ખામીઓ હોય છે, તેથી ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરતી વખતે સાવચેત રહો.

આ અને અન્ય વિષયો પર કોઈપણ પ્રશ્નો સાથે, તમે વિદ્યાર્થી સેવાનો સંપર્ક કરી શકો છો. માટે ટૂંકા ગાળાનાઅમે તમને સૌથી મુશ્કેલ પરીક્ષણો ઉકેલવામાં અને સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરીશું, પછી ભલે તમે પહેલાં ક્યારેય વ્યુત્પન્ન ગણતરીઓ ન કરી હોય.

વ્યુત્પન્ન શું છે?

ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.

વ્યુત્પન્ન એ ઉચ્ચ ગણિતની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક છે. આ પાઠમાં આપણે આ ખ્યાલ રજૂ કરીશું. ચાલો કડક વિના, પરિચિત થઈએ ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશનઅને પુરાવા.

આ પરિચય તમને આની મંજૂરી આપશે:

ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સરળ કાર્યોના સારને સમજો;

સફળતાપૂર્વક આ ખૂબ જ સમસ્યાઓ ઉકેલવા મુશ્કેલ કાર્યો;

ડેરિવેટિવ્ઝ પર વધુ ગંભીર પાઠ માટે તૈયાર કરો.

પ્રથમ - એક સુખદ આશ્ચર્ય.)

વ્યુત્પન્નની કડક વ્યાખ્યા મર્યાદાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે અને બાબત એકદમ જટિલ છે. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ ડેરિવેટિવ્ઝની પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન, એક નિયમ તરીકે, આવા વ્યાપક અને ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર નથી!

શાળા અને યુનિવર્સિટીમાં મોટાભાગના કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, તે જાણવું પૂરતું છે માત્ર થોડી શરતો- કાર્યને સમજવા માટે, અને માત્ર થોડા નિયમો- તેને ઉકેલવા માટે. બસ એટલું જ. આ મને ખુશ કરે છે.

ચાલો પરિચિત થવાનું શરૂ કરીએ?)

શરતો અને હોદ્દો.

પ્રાથમિક ગણિતમાં ઘણી વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ છે. સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ઘાત, લઘુગણક, વગેરે. જો તમે આ ઑપરેશનમાં વધુ એક ઑપરેશન ઉમેરશો, તો પ્રાથમિક ગણિત વધારે હશે. આ નવી કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવતઆ કામગીરીની વ્યાખ્યા અને અર્થની ચર્ચા અલગ પાઠમાં કરવામાં આવશે.

અહીં સમજવું અગત્યનું છે કે ભેદભાવ સરળ છે ગાણિતિક કામગીરીકાર્ય પર. અમે કોઈપણ કાર્ય લઈએ છીએ અને, ચોક્કસ નિયમો અનુસાર, તેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પરિણામ એક નવું કાર્ય હશે. આ નવા કાર્યને કહેવામાં આવે છે: વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતા- કાર્ય પર ક્રિયા.

વ્યુત્પન્ન- આ ક્રિયાનું પરિણામ.

જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળો- ઉમેરાનું પરિણામ. અથવા ખાનગી- વિભાજનનું પરિણામ.

શરતોને જાણીને, તમે ઓછામાં ઓછા કાર્યોને સમજી શકો છો.) ફોર્મ્યુલેશન નીચે મુજબ છે: કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો; વ્યુત્પન્ન લો; કાર્યને અલગ પાડવું; વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરોવગેરે આ બધું છે એક અને સમાન.અલબત્ત, ત્યાં વધુ જટિલ કાર્યો પણ છે, જ્યાં વ્યુત્પન્ન (ભિન્નતા) શોધવી એ સમસ્યાને ઉકેલવામાં માત્ર એક પગલું હશે.

ડેરિવેટિવ ફંક્શનની ઉપર જમણી બાજુએ ડેશ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આની જેમ: y"અથવા f"(x)અથવા S"(t)અને તેથી વધુ.

વાંચન igrek સ્ટ્રોક, ef સ્ટ્રોક x માંથી, es સ્ટ્રોક te થી,સારું, તમે સમજો છો ...)

પ્રાઇમ ચોક્કસ કાર્યના વ્યુત્પન્નને પણ સૂચવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"વગેરે ઘણીવાર ડેરિવેટિવ્ઝને ડિફરન્સિયલનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ અમે આ પાઠમાં આવા સંકેતને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.

ચાલો માની લઈએ કે આપણે કાર્યોને સમજવાનું શીખ્યા છીએ. તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવાનું બાકી છે.) ચાલો હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં: વ્યુત્પન્ન શોધવું ચોક્કસ નિયમો અનુસાર કાર્યનું પરિવર્તન.આશ્ચર્યજનક રીતે, આમાંના ઘણા ઓછા નિયમો છે.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફક્ત ત્રણ વસ્તુઓ જાણવાની જરૂર છે. ત્રણ સ્તંભો જેના પર તમામ ભિન્નતા ઊભી છે. અહીં તેઓ આ ત્રણ સ્તંભો છે:

1. ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક (વિભેદક સૂત્રો).

3. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ. આ પાઠમાં આપણે ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક જોઈશું.

ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.

વિશ્વમાં - અનંત સમૂહકાર્યો આ વિવિધતાઓમાં, એવા કાર્યો છે જે માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે વ્યવહારુ એપ્લિકેશન. આ કાર્યો પ્રકૃતિના તમામ નિયમોમાં જોવા મળે છે. આ ફંક્શન્સમાંથી, જેમ કે ઇંટોમાંથી, તમે બીજા બધાને બનાવી શકો છો. કાર્યોના આ વર્ગને કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો.તે આ કાર્યો છે જે શાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - રેખીય, ચતુર્ભુજ, હાયપરબોલા, વગેરે.

"શરૂઆતથી" કાર્યોનો તફાવત, એટલે કે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા અને મર્યાદાના સિદ્ધાંતના આધારે, આ એક જગ્યાએ શ્રમ-સઘન વસ્તુ છે. અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ લોકો છે, હા, હા!) તેથી તેઓએ તેમના (અને આપણા) જીવનને સરળ બનાવ્યું. તેઓએ અમારી સમક્ષ પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરી. પરિણામ એ ડેરિવેટિવ્ઝનું ટેબલ છે, જ્યાં બધું તૈયાર છે.)

અહીં તે છે, સૌથી લોકપ્રિય કાર્યો માટે આ પ્લેટ. ડાબે - પ્રાથમિક કાર્ય, જમણી બાજુએ તેનું વ્યુત્પન્ન છે.

	કાર્ય y	ફંક્શન y નું વ્યુત્પન્ન y"
1	સી ( સતત)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - કોઈપણ સંખ્યા)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	પાપ x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - પાપ x
	tg x
	ctg x
5	આર્ક્સીન એક્સ
	આર્કોસ એક્સ
	આર્ક્ટન એક્સ
	arcctg x
4	a x
	ઇ x
5	લોગ a x
	ln x ( a = e)

હું ડેરિવેટિવ્ઝના આ કોષ્ટકમાં કાર્યોના ત્રીજા જૂથ પર ધ્યાન આપવાની ભલામણ કરું છું. પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ સૌથી સામાન્ય સૂત્રોમાંથી એક છે, જો સૌથી સામાન્ય ન હોય તો! શું તમને સંકેત મળે છે?) હા, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક હૃદયથી જાણવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, આ લાગે તેટલું મુશ્કેલ નથી. નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો વધુ ઉદાહરણો, ટેબલ પોતે જ યાદ કરવામાં આવશે!)

શોધો કોષ્ટક મૂલ્યવ્યુત્પન્ન, જેમ તમે સમજો છો, કાર્ય સૌથી મુશ્કેલ નથી. તેથી, ઘણી વાર આવા કાર્યોમાં વધારાની ચિપ્સ હોય છે. ક્યાં તો કાર્યના શબ્દોમાં, અથવા મૂળ કાર્યમાં, જે ટેબલમાં હોય તેવું લાગતું નથી...

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:

1. ફંક્શન y = x નું વ્યુત્પન્ન શોધો 3

કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પરંતુ સામાન્ય સ્વરૂપ (ત્રીજા જૂથ) માં પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે. અમારા કિસ્સામાં n=3. તેથી અમે n ને બદલે ત્રણ બદલીએ છીએ અને કાળજીપૂર્વક પરિણામ લખીએ છીએ:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

બસ.

જવાબ: y" = 3x 2

2. x = 0 બિંદુ પર ફંક્શન y = sinx ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

આ કાર્યનો અર્થ એ છે કે તમારે પહેલા સાઈનનું વ્યુત્પન્ન શોધવું જોઈએ, અને પછી મૂલ્યને બદલવું જોઈએ x = 0આ ખૂબ જ વ્યુત્પન્ન માં. બરાબર એ ક્રમમાં!નહિંતર, એવું બને છે કે તેઓ તરત જ મૂળ ફંક્શનમાં શૂન્યને બદલે છે... અમને મૂળ ફંક્શનની કિંમત નહીં, પરંતુ મૂલ્ય શોધવાનું કહેવામાં આવે છે. તેનું વ્યુત્પન્ન.વ્યુત્પન્ન, હું તમને યાદ કરાવું, એક નવું કાર્ય છે.

ટેબ્લેટનો ઉપયોગ કરીને આપણે સાઈન અને અનુરૂપ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

y" = (sin x)" = cosx

અમે વ્યુત્પન્નમાં શૂન્યને બદલીએ છીએ:

y"(0) = cos 0 = 1

આ જવાબ હશે.

3. કાર્યને અલગ પાડો:

શું, તે પ્રેરણા આપે છે?) ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે ફંક્શનને અલગ પાડવા માટે ફક્ત આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનું છે. જો તમે પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ ભૂલી જાઓ છો, તો અમારા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવું ખૂબ જ મુશ્કેલીભર્યું છે. ટેબલ મદદ કરતું નથી ...

પરંતુ જો આપણે જોઈએ કે આપણું કાર્ય છે કોસાઇન ડબલ કોણ , પછી બધું તરત જ સારું થઈ જાય છે!

હા, હા! યાદ રાખો કે મૂળ કાર્યને રૂપાંતરિત કરવું ભેદભાવ પહેલાંતદ્દન સ્વીકાર્ય! અને તે જીવનને ઘણું સરળ બનાવે છે. ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને:

તે. અમારા મુશ્કેલ કાર્ય કરતાં વધુ કંઈ નથી y = cosx. અને આ એક ટેબલ ફંક્શન છે. અમને તરત જ મળે છે:

જવાબ: y" = - પાપ x.

અદ્યતન સ્નાતકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટેનું ઉદાહરણ:

4. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

અલબત્ત, ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પણ જો તમને યાદ છે મૂળભૂત ગણિત, ડિગ્રી સાથેની ક્રિયાઓ... પછી આ કાર્યને સરળ બનાવવું તદ્દન શક્ય છે. આની જેમ:

અને દસમા ભાગની ઘાત x એ પહેલેથી જ ટેબ્યુલર ફંક્શન છે! ત્રીજું જૂથ, n=1/10. અમે સૂત્ર અનુસાર સીધા લખીએ છીએ:

બસ. આ જવાબ હશે.

હું આશા રાખું છું કે ભિન્નતાના પ્રથમ સ્તંભ - ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. તે બે બાકી વ્હેલ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રહે છે. આગળના પાઠમાં આપણે ભિન્નતાના નિયમો શીખીશું.

જો તમે વ્યાખ્યાને અનુસરો છો, તો એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે Δ yદલીલ વધારો Δ માટે x:

બધું સ્પષ્ટ જણાય છે. પરંતુ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો f(x) = x 2 + (2x+ 3) · ઇ xપાપ x. જો તમે વ્યાખ્યા દ્વારા બધું કરો છો, તો ગણતરીના થોડા પૃષ્ઠો પછી તમે ખાલી ઊંઘી જશો. તેથી, ત્યાં સરળ અને વધુ અસરકારક રીતો છે.

શરૂ કરવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ફંક્શન્સની સમગ્ર વિવિધતામાંથી આપણે કહેવાતા પ્રાથમિક કાર્યોને અલગ પાડી શકીએ છીએ. તે સાપેક્ષ છે સરળ અભિવ્યક્તિઓ, જેના ડેરિવેટિવ્ઝની લાંબા સમયથી ગણતરી કરવામાં આવી છે અને કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ છે. આવા કાર્યો યાદ રાખવા માટે એકદમ સરળ છે - તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે.

પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન

પ્રાથમિક કાર્યો નીચે સૂચિબદ્ધ છે. આ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ હૃદયથી જાણતા હોવા જોઈએ. તદુપરાંત, તેમને યાદ રાખવું બિલકુલ મુશ્કેલ નથી - તેથી જ તેઓ પ્રાથમિક છે.

તેથી, પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ:

જો પ્રાથમિક કાર્યને મનસ્વી સ્થિરાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો નવા કાર્યના વ્યુત્પન્નની પણ સરળતાથી ગણતરી કરવામાં આવે છે:

(સી · f)’ = સી · f ’.

સામાન્ય રીતે, સ્થિરાંકોને વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

દેખીતી રીતે, પ્રારંભિક કાર્યો એકબીજામાં ઉમેરી શકાય છે, ગુણાકાર, વિભાજિત - અને ઘણું બધું. આ રીતે નવા ફંક્શન્સ દેખાશે, હવે ખાસ કરીને પ્રાથમિક નહીં, પણ તેના સંદર્ભમાં અલગ પણ છે ચોક્કસ નિયમો. આ નિયમોની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

સરવાળો અને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન

કાર્યો આપવા દો f(x) અને g(x), જેના ડેરિવેટિવ્ઝ અમને જાણીતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ઉપર ચર્ચા કરેલ પ્રાથમિક કાર્યો લઈ શકો છો. પછી તમે આ કાર્યોના સરવાળા અને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન શોધી શકો છો:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

તેથી, બે કાર્યોના સરવાળા (તફાવત) નું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના સરવાળા (તફાવત) જેટલું છે. ત્યાં વધુ શરતો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, બીજગણિતમાં "બાદબાકી" નો કોઈ ખ્યાલ નથી. "નકારાત્મક તત્વ" નો ખ્યાલ છે. તેથી તફાવત f − gરકમ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે f+ (−1) g, અને પછી માત્ર એક જ સૂત્ર રહે છે - રકમનું વ્યુત્પન્ન.

f(x) = x 2 + પાપ x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

કાર્ય f(x) એ બે પ્રાથમિક કાર્યોનો સરવાળો છે, તેથી:

f ’(x) = (x 2 + પાપ x)’ = (x 2)' + (પાપ x)’ = 2x+ cos x;

અમે કાર્ય માટે સમાન રીતે કારણ આપીએ છીએ g(x). ફક્ત ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ શબ્દો છે (બીજગણિતના દૃષ્ટિકોણથી):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

જવાબ:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

ગણિત એક તાર્કિક વિજ્ઞાન છે, તેથી ઘણા લોકો માને છે કે જો સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું હોય, તો પછી ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન હડતાલ">ડેરિવેટિવ્ઝના ઉત્પાદનની સમાન. પરંતુ તમને સ્ક્રૂ કરો! ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી સંપૂર્ણપણે અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જેમ કે:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

સૂત્ર સરળ છે, પરંતુ તે ઘણીવાર ભૂલી જાય છે. અને માત્ર શાળાના બાળકો જ નહીં, વિદ્યાર્થીઓ પણ. પરિણામ ખોટી રીતે ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ છે.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · ઇ x .

કાર્ય f(x) એ બે પ્રાથમિક કાર્યોનું ઉત્પાદન છે, તેથી બધું સરળ છે:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) કોસ x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- પાપ x) = x 2 (3cos x − xપાપ x)

કાર્ય g(x) પ્રથમ પરિબળ થોડું વધુ જટિલ છે, પરંતુ સામાન્ય યોજનાઆ બદલાતું નથી. દેખીતી રીતે, કાર્યનું પ્રથમ પરિબળ g(x) એ બહુપદી છે અને તેનું વ્યુત્પન્ન સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન છે. અમારી પાસે છે:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ઇ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · ઇ x + (x 2 + 7x− 7) ( ઇ x)’ = (2x+ 7) · ઇ x + (x 2 + 7x− 7) · ઇ x = ઇ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ઇ x = x(x+ 9) · ઇ x .

જવાબ:
f ’(x) = x 2 (3cos x − xપાપ x);
g ’(x) = x(x+ 9) · ઇ x .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે છેલ્લા પગલામાં વ્યુત્પન્નનું પરિબળ છે. ઔપચારિક રીતે, આ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ મોટાભાગના ડેરિવેટિવ્સની ગણતરી તેમના પોતાના પર કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ કાર્યની તપાસ કરવા માટે. આનો અર્થ એ છે કે આગળ વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરવામાં આવશે, તેના ચિહ્નો નક્કી કરવામાં આવશે, વગેરે. આવા કેસ માટે, અભિવ્યક્તિનું પરિબળ બનાવવું વધુ સારું છે.

જો ત્યાં બે કાર્યો છે f(x) અને g(x), અને g(x) ≠ 0 સેટ પર અમને રસ છે, અમે એક નવું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ h(x) = f(x)/g(x). આવા કાર્ય માટે તમે વ્યુત્પન્ન પણ શોધી શકો છો:

નબળા નથી, હહ? માઈનસ ક્યાંથી આવ્યો? શા માટે g 2? અને તેથી! આ સૌથી વધુ એક છે જટિલ સૂત્રો- તમે તેને બોટલ વિના સમજી શકતા નથી. તેથી, તેના પર અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે ચોક્કસ ઉદાહરણો.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં પ્રાથમિક કાર્યો હોય છે, તેથી આપણને માત્ર ભાગના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની જરૂર છે:

પરંપરા મુજબ, ચાલો અંશનું પરિબળ બનાવીએ - આ જવાબને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે:

જટિલ કાર્ય એ અડધા-કિલોમીટર-લાંબા સૂત્રની આવશ્યકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન લેવા માટે તે પૂરતું છે f(x) = પાપ xઅને ચલ બદલો x, કહો, ચાલુ x 2 + ln x. તે કામ કરશે f(x) = પાપ ( x 2 + ln x) - આ એક જટિલ કાર્ય છે. તેનું વ્યુત્પન્ન પણ છે, પરંતુ ઉપર ચર્ચા કરેલ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેને શોધવાનું શક્ય બનશે નહીં.

મારે શું કરવું જોઈએ? આવા કિસ્સાઓમાં, જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે ચલ અને સૂત્રને બદલવાથી મદદ મળે છે:

f ’(x) = f ’(t) · t', જો xદ્વારા બદલવામાં આવે છે t(x).

એક નિયમ તરીકે, આ સૂત્રને સમજવાની પરિસ્થિતિ ભાગના વ્યુત્પન્ન કરતાં પણ વધુ ઉદાસી છે. તેથી, તે ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે, સાથે સમજાવવું પણ વધુ સારું છે વિગતવાર વર્ણનદરેક પગલું.

કાર્ય. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: f(x) = ઇ 2x + 3 ; g(x) = પાપ ( x 2 + ln x)

નોંધ કરો કે જો કાર્યમાં છે f(x) અભિવ્યક્તિ 2 ને બદલે x+ 3 સરળ હશે x, પછી આપણને પ્રાથમિક કાર્ય મળે છે f(x) = ઇ x. તેથી, અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ: ચાલો 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = ઇ t. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (ઇ t)’ · t ’ = ઇ t · t ’

અને હવે - ધ્યાન! અમે રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ: t = 2x+ 3. અમને મળે છે:

f ’(x) = ઇ t · t ’ = ઇ 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ઇ 2x+ 3 2 = 2 ઇ 2x + 3

હવે ચાલો ફંક્શન જોઈએ g(x). દેખીતી રીતે તેને બદલવાની જરૂર છે x 2 + ln x = t. અમારી પાસે છે:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (પાપ t)’ · t’ = cos t · t ’

રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ: t = x 2 + ln x. પછી:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

બસ! જેમ કે છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાંથી જોઈ શકાય છે, સમગ્ર સમસ્યા વ્યુત્પન્ન રકમની ગણતરીમાં ઘટાડી દેવામાં આવી છે.

જવાબ:
f ’(x) = 2 · ઇ 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) કોસ ( x 2 + ln x).

ઘણી વાર મારા પાઠોમાં, "વ્યુત્પન્ન" શબ્દને બદલે હું "પ્રાઈમ" શબ્દનો ઉપયોગ કરું છું. ઉદાહરણ તરીકે, રકમમાંથી મુખ્ય સરવાળો સમાનસ્ટ્રોક તે સ્પષ્ટ છે? સારું, તે સારું છે.

આમ, વ્યુત્પન્નની ગણતરી ઉપર ચર્ચા કરેલા નિયમો અનુસાર આ જ સ્ટ્રોકથી છુટકારો મેળવવા માટે નીચે આવે છે. તરીકે છેલ્લું ઉદાહરણચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે વ્યુત્પન્ન શક્તિ પર પાછા આવીએ:

(x n)’ = n · x n − 1

તે રોલમાં બહુ ઓછા લોકો જાણે છે nસારી કામગીરી કરી શકે છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ છે x 0.5. જો મૂળની નીચે કંઈક ફેન્સી હોય તો? ફરીથી, પરિણામ એક જટિલ કાર્ય હશે - તેઓ આવા બાંધકામો આપવાનું પસંદ કરે છે પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ.

કાર્ય. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

સૌ પ્રથમ, ચાલો રુટને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે પાવર તરીકે ફરીથી લખીએ:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

હવે અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ: ચાલો x 2 + 8x − 7 = t. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

ચાલો રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ: t = x 2 + 8x− 7. અમારી પાસે છે:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

અંતે, મૂળ પર પાછા જાઓ: