Model klasik biologi meliputi: Pemodelan matematika proses biologis: Buku Teks

Terlepas dari keragaman sistem kehidupan, semuanya memiliki ciri-ciri khusus berikut yang harus diperhitungkan ketika membangun model.

• 1. Sistem yang kompleks. Semua sistem biologis bersifat kompleks, multikomponen, terstruktur secara spasial, dan elemen-elemennya memiliki individualitas. Saat memodelkan sistem seperti itu, ada dua pendekatan yang mungkin dilakukan. Yang pertama bersifat agregat, fenomenologis. Pendekatan ini mengidentifikasi ciri-ciri penentu suatu sistem (misalnya, jumlah total spesies) dan mempertimbangkannya properti berkualitas perilaku kuantitas ini dari waktu ke waktu (stabilitas keadaan stabil, adanya osilasi, adanya heterogenitas spasial). Pendekatan ini secara historis merupakan yang paling kuno dan khas teori dinamis populasi. Pendekatan lain adalah pertimbangan rinci elemen sistem dan interaksinya, membangun model simulasi yang parameternya memiliki makna fisik dan biologis yang jelas. Model seperti itu tidak memungkinkan penelitian analitis, tetapi dengan studi eksperimental yang baik terhadap fragmen sistem, model ini dapat memberikan prediksi kuantitatif tentang perilakunya di bawah berbagai pengaruh eksternal.
• 2. Sistem reproduksi (mampu melakukan autoreproduksi). Ini properti yang paling penting sistem kehidupan menentukan kemampuannya dalam memproses bahan anorganik dan organik untuk biosintesis makromolekul biologis, sel, dan organisme. Dalam model fenomenologis, sifat ini diekspresikan dengan adanya persamaan suku autokatalitik yang menentukan kemungkinan pertumbuhan (dalam kondisi tidak terbatas - eksponensial), kemungkinan ketidakstabilan keadaan stasioner dalam sistem lokal ( kondisi yang diperlukan munculnya mode osilasi dan kuasi-stokastik) dan ketidakstabilan keadaan stasioner yang homogen dalam sistem yang terdistribusi secara spasial (kondisi distribusi yang tidak homogen secara spasial dan mode gelombang otomatis). Peran penting dalam perkembangan rezim spatiotemporal yang kompleks, proses interaksi komponen (reaksi biokimia) dan proses transfer, baik secara kacau (difusi) maupun terkait arah, berperan. kekuatan eksternal(gaya berat, medan elektromagnetik) atau dengan fungsi adaptif organisme hidup (misalnya, pergerakan sitoplasma dalam sel di bawah pengaruh mikrofilamept).
• 3. Sistem terbuka, terus-menerus melewati aliran materi dan energi melalui dirinya sendiri. Sistem biologis jauh dari kesetimbangan termodinamika dan oleh karena itu dijelaskan persamaan nonlinier. Hubungan Linear Onsager yang menghubungkan gaya dan aliran hanya berlaku di dekat kesetimbangan termodinamika.
• 4. Objek biologis memiliki multi-level yang kompleks sistem regulasi. Dalam kinetika biokimia, hal ini dinyatakan dengan adanya putaran umpan balik di sirkuit, baik positif maupun negatif. Dalam persamaan interaksi lokal masukan dijelaskan oleh fungsi nonlinier, yang sifatnya menentukan kemungkinan terjadinya dan sifat rezim kinetik kompleks, termasuk rezim osilasi dan quasistochastic. Jenis nonlinier ini, ketika memperhitungkan distribusi spasial dan proses transportasi, menentukan pola struktur stasioner (titik). berbagai bentuk, struktur disipatif periodik) dan jenis perilaku gelombang otomatis (front bergerak, gelombang berjalan, pusat penggerak, gelombang spiral, dll.).
• 5. Sistem kehidupan punya struktur spasial yang kompleks. Sel hidup dan organel yang dikandungnya memiliki membran, yang dikandung setiap organisme hidup jumlah yang sangat besar membran, luas keseluruhan yang luasnya mencapai puluhan hektar. Secara alami, lingkungan dalam sistem kehidupan tidak dapat dianggap homogen. Kemunculan seperti itu struktur spasial dan hukum pembentukannya mewakili salah satu masalah biologi teoretis. Salah satu pendekatan untuk memecahkan masalah tersebut adalah teori matematika morfogenesis.

Membran tidak hanya memisahkan volume reaksi yang berbeda dari sel-sel hidup, tetapi juga memisahkan sel-sel hidup dan tak hidup (lingkungan). Mereka memainkan peran penting dalam metabolisme, secara selektif memungkinkan aliran ion anorganik dan molekul organik. Di membran kloroplas, proses utama fotosintesis dilakukan - penyimpanan energi cahaya dalam bentuk energi tinggi senyawa kimia, digunakan kemudian untuk sintesis bahan organik dan proses intraseluler lainnya. Tahapan kunci dari proses respirasi terkonsentrasi di membran mitokondria, membran sel saraf menentukan kemampuan mereka untuk konduksi saraf. Model matematika dari proses di membran biologis merupakan bagian penting dari biofisika matematika.

Model yang ada sebagian besar adalah sistem persamaan diferensial. Namun, jelas sekali model berkelanjutan tidak mampu menggambarkan secara rinci proses-proses yang terjadi secara individual dan terstruktur sistem yang kompleks apa itu sistem kehidupan. Sehubungan dengan perkembangan kemampuan komputasi, grafis dan intelektual komputer, model simulasi yang dibangun berdasarkan matematika diskrit, termasuk model automata seluler, memainkan peran yang semakin penting dalam biofisika matematika.

6. Model simulasi sistem kehidupan kompleks tertentu, sebagai suatu peraturan, memperhitungkan sebanyak mungkin informasi yang tersedia tentang objek tersebut. Model simulasi digunakan untuk mendeskripsikan objek pada berbagai tingkat organisasi makhluk hidup - mulai dari biomakromolekul hingga model biogeocenosis. DI DALAM kasus terakhir model harus mencakup blok-blok yang menggambarkan komponen hidup dan komponen “inert”. Contoh klasik model simulasi adalah model dinamika molekuler, di mana koordinat dan momentum semua atom yang membentuk biomakromolekul dan hukum interaksinya ditentukan. Gambaran “kehidupan” sistem yang dihitung komputer memungkinkan Anda melacak caranya hukum fisika memanifestasikan dirinya dalam berfungsinya objek biologis paling sederhana - biomakromolekul dan lingkungannya. Model serupa, di mana unsur-unsur (bahan penyusun) bukan lagi atom, melainkan kelompok atom, digunakan dalam teknologi modern desain komputer katalis bioteknologi dan obat, bertindak pada hal tertentu kelompok aktif membran mikroorganisme, virus atau melakukan tindakan yang ditargetkan lainnya.

Model simulasi dibuat untuk menggambarkan proses fisiologis, terjadi pada organ vital: serabut saraf, jantung, otak, saluran pencernaan, aliran darah. Mereka memainkan "skenario" proses yang terjadi secara normal dan dalam berbagai patologi, pengaruhnya terhadap proses berbagai pengaruh eksternal, termasuk obat-obatan. Model simulasi banyak digunakan untuk mendeskripsikan proses produksi tanaman dan digunakan untuk mengembangkan sistem pertumbuhan tanaman yang optimal untuk memperoleh hasil maksimal atau memperoleh pematangan buah yang paling merata dari waktu ke waktu. Perkembangan seperti ini sangat penting bagi pertanian rumah kaca yang mahal dan boros energi.

Kami akan mempertimbangkannya bagian ini model analitis. Dalam model analitis, masukan. dan keluar. Parameter dihubungkan dengan ekspresi eksplisit: persamaan, pertidaksamaan, dll. Jika kita menyelesaikan sistem persamaan Kolmogorov-Erlang, ini adalah pemodelan analitik, tetapi jika kita fokus pada model grafik dan melakukan eksperimen statistik, menentukan bagaimana sistem melayani aliran permintaan, maka ini adalah pemodelan simulasi. Untuk menyelesaikan model analitik, biasanya Anda harus menggunakan metode numerik untuk menyelesaikan masalah, namun beberapa model juga memberikan solusi analitis, karena metode yang berbeda digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang berbeda; terkadang model analitik dibagi berdasarkan metode (integral, diferensial, linier, dll.), tetapi biasanya berdasarkan bidang penerapannya (fisika, kimia, biologi, pedagogi, teknis). Mari kita lihat beberapa contoh matematika analitik. model yang paling sederhana dan sekaligus klasik.

Model matematika dalam fisika dan teknologi

Dalam fisika, pemodelan terutama digunakan untuk menggambarkan proses industri yang melibatkan penyelesaian persamaan diferensial dan turunan parsial. Semua model lainnya biasanya merupakan versi sederhana dari proses ini. Dasar untuk membangun model adalah sebagai berikut: hukum dan persamaan:

Beberapa persamaan ditulis dalam bentuk satu dimensi atau menggunakan vektor jari-jari

;

2. Model sistem osilasi

Mari kita lihat dari yang sederhana hingga yang rumit. Sebagai contoh, ada banyak benda di sekitar yang getarannya penting (mesin). Osilasi juga sering terjadi pada sistem kelistrikan. Kita berasumsi bahwa kita memiliki osilasi satu dimensi (sepanjang satu sumbu).

Posisi benda ditentukan oleh satu koordinat x, persamaannya adalah
.

Solusi untuk perbedaan ini. persamaannya sudah diketahui dengan baik

Osilasi Harmonik dengan pergeseran fasa, tidak teredam.

Kami memperumit model - kami memperkenalkan redaman

(K-koefisien atenuasi)

Jika K kecil (K<<1), то решение не будет сильно отличаться. Решение системы приводит к возникновению
.

K=0,1 - redaman terlihat jelas (berkala). Dengan meningkatnya K (
) - redaman aperiodik, bila tidak ada satu periode pun.

Frekuensi alami
, frekuensi dalam kekuatan R. Ketika frekuensinya sama, kita mendapatkan peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi - resonansi, . Jika resonansi dihasilkan selama osilasi, osilasi alami akan padam, meninggalkan osilasi paksa pada frekuensi gaya paksa.

KE<<1, W>> hal.

Modulasi. Di dalamnya terdapat osilasi alami, amplitudonya dimodelkan dengan frekuensi osilasi alami (ketukan)

Jika K<0, м.б. (т.к. она только мешает) – параметрический резонанс.

Contoh: pegas mobil (biasanya berguna untuk getaran berayun).

Resonansi bisa bernilai negatif atau positif. Emisi gelombang elektromagnetik didasarkan pada resonansi, baik biasa maupun parametrik. Emisi dan penerimaan gelombang elektromagnetik bersifat resonansi. Resonansi parametrik menguntungkan karena jauh lebih kuat dari biasanya. Ini adalah cara yang mudah untuk menghasilkan, misalnya, osilasi gelombang mikro (tape recorder). Untuk resonansi parametrik, frekuensi alami tidak diperlukan, sehingga Anda dapat memompa energi hingga resonator ini hancur. Namun mungkin juga ada kerugian, kehancuran, yang tidak menyenangkan.

Modulasi- dasar komunikasi radio. Ada frekuensi pembawa yang dimodulasi dan kemudian didemodulasi. Suara berfrekuensi rendah (36 kHz), dan gelombang radio merambat pada frekuensi tinggi, yang berarti diperlukan megahertz. Ada modulasi amplitudo, fase dan frekuensi. Efek pemukulan biasanya berbahaya, mengganggu - menjadi sumber kebisingan. Terkadang generator kebisingan khusus dibuat menggunakan ketukan.

Model konduktivitas termal lapisan tipis

kaca (tipis, panjang),
- suhunya akan seragam
.
berbatasan
Biasanya persamaan ini tidak diselesaikan secara eksplisit, tetapi menggunakan pendekatan seluler. Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita menemukan nilai-nilai pada node grid. Masalah lain dari konduktivitas termal, elektrostatika dan elektrodinamika dimodelkan dengan cara yang sama. Masalah utamanya adalah kerumitan penghitungan, oleh karena itu diperlukan komputer yang kuat.

Model lainnya adalah gerakan benda yang dilempar dengan sudut horizontal. Untuk mengatasi masalah ini, digunakan metode pemotretan yang sudah dekat dengan pemodelan simulasi.

Juga model pergerakan roket:

- Persamaan Tsiolkovsky.

Model kinetik dan struktural dalam kimia

Dalam kimia, model reaksi kimia dan struktur model kimia merupakan hal yang umum. koneksi. Untuk kimia. reaksi, yang terpenting adalah kinetika, yaitu. perubahan jalannya reaksi dari waktu ke waktu, mis. Semakin cepat reaksi berlangsung maka semakin sedikit reaktan yang tersisa dan sebaliknya. Pada awal abad ke-20, Adolf Lotka merumuskan model reaksi kinetik yang disebut model Volterra-Lotka. Rantai transformasi zat:

Sistem diferensial telah diperoleh. persamaan. Persamaan ini memiliki arti yang mirip dengan persamaan Kolmogorov-Erlang. Hal ini menunjukkan bahwa ini juga merupakan persamaan kinetik dan semua proses kinetik serupa satu sama lain.

Dalam kimia, persamaan kinetik diperumit oleh fakta bahwa besaran tidak konstan, tetapi bergantung pada besaran seperti,

komposisi kimia zat (suhu mematuhi hukum kapasitas panas, R tergantung pada difusi, yang diberikan oleh persamaan
- Hukum difusi Fick. Hukum transfer filtrasi Darcy memiliki hubungan serupa). Akibatnya, kita harus menyelesaikan persamaan kompleks ini secara bersamaan dengan persamaan kinetik.

Dalam kimia, model struktur molekul: H-O-H sangat penting, terutama cocok untuk zat organik (mereka memiliki struktur yang sangat kompleks).

Saat mempelajari bahan kimia baru. zat menghasilkan bahan kimia baru. analisis - menentukan proporsi yang mengandung zat tertentu. Kemudian Anda dapat menentukan atom mana yang terdiri dari molekul tersebut, tetapi juga bagaimana mereka terhubung. Ikatan valensi diperkenalkan. Beberapa atom memiliki ikatan valensi pertama, yang lain memiliki ikatan valensi kedua, dan seterusnya. Isomer suatu zat ditemukan dengan jumlah molekul yang sama, tetapi dengan sifat yang berbeda.

2 tugas:

Menentukan struktur internal suatu molekul dan menghubungkan struktur dan sifat kimianya. properti, yaitu studi tentang isomer.

Merancang isomer - pelajari cara membuat struktur stabil untuk berbagai jenis molekul dan memberi mereka hipotesis. properti.

Kedua masalah ini menjadi begitu populer dalam kimia organik sehingga sistem khusus untuk memodelkan molekul bahkan telah diciptakan.

Model matematika dalam biologi

Biologi sangat berkaitan dengan kimia dan biokimia => pemodelan struktural telah berpindah dari kimia ke biologi. Struktur biologi adalah struktur kimia yang sangat kompleks => telah muncul ilmu biokimia yang mempelajari kimia struktur biologi. Di sinilah metode pemodelan struktural terbukti sangat berguna. Masalah paling terkenal terkait dengan pemodelan gen.

Gen adalah molekul dari mana komponen informasi makhluk hidup terbentuk - DNA, RNA. Pada dasarnya, gen telah dipelajari dan diketahui, namun masih ada pertanyaan tentang gen mana yang termasuk dalam DNA tertentu dan bagaimana gen tersebut terhubung satu sama lain. Karena bahkan dalam DNA yang paling sederhana terdapat puluhan ribu gen, proyek dunia “model DNA” muncul, pertama pada makhluk yang paling sederhana, sekarang pada manusia (penyelesaian). Pemodelan struktural memimpin dalam biokimia.

Model perjuangan intraspesifik

Individu-individu dari spesies yang sama bersaing satu sama lain. Pada awalnya, ketika jumlah individu sedikit dan kondisi mendukung serta populasi berkembang pesat, pembatasan terjadi karena perebutan antar individu dari spesies yang sama. Model sederhana yang pertama adalah model pertumbuhan – model pertumbuhan yang tidak terkendali. Dalam model ini tidak ada persaingan intraspesifik; model ini akan dimodernisasi.

Semakin banyak A Namun, semakin sedikit pertumbuhannya, dan model ini tidak dapat menggambarkan beberapa fenomena yang terjadi di ekosistem nyata. Pada beberapa sistem, terjadi fluktuasi jumlah dari tahun ke tahun. Kami memperkenalkan satu parameter lagi dan memperumit modelnya

Koefisien B menentukan ketergantungan nonlinier dari tingkat pertumbuhan R dari nomor tersebut. Studi numerik model ini mengungkapkan 4 situasi karakteristik:

Pertumbuhan yang monoton

Situasi osilasi teredam

Situasi osilasi yang tidak teredam

Situasi fluktuasi (perubahan acak)

Model-model ini bersifat diskrit, tetapi dimungkinkan juga untuk membuat model kinetik kontinu, persamaannya:

. pada saat yang sama R- semacam analogi kecepatan. Model dua parameter ini disebut model kinetik logistik (model Voltaire-Lottky).

Model kompetisi antarspesies

Jika dua spesies hidup berdampingan dan secara aktif saling mempengaruhi, maka timbullah proses persaingan dan perjuangan antarspesies. Model (kinetik) Voltaire - Baki yang paling terkenal adalah kompetisi dua jenis:

Koefisien menentukan hubungan antara 2 jenis. Jika , maka pertambahan individu spesies kedua menyebabkan penurunan individu spesies pertama. Tipe kedua menekan tipe pertama. Jika, maka individu dari spesies kedua tidak berpengaruh. Jelas sekali, semakin banyak serigala, semakin sedikit kelinci. Model memiliki 6 parameter - studinya sangat sulit, jadi biasanya beberapa parameter tetap. Secara umum, studi model parametrik ini menunjukkan bahwa populasi predator dan mangsa mengalami perubahan siklus. Dalam biologi, pemodelan simulasi juga sangat sering digunakan.

Pemodelan simulasi dalam biologi

Model kehidupan

Ia mensimulasikan reproduksi makhluk paling sederhana, menetapkan beberapa batasan pada reproduksi, kematian, dll., lalu menjalankan eksperimen dan menelusuri dinamika dari waktu ke waktu. Pilihan paling sederhana (sekolah). Ambil tabel sel yang kosong dan terisi (hidup). Ada aturan yang ditetapkan, misalnya jika sebuah sel hidup dikelilingi oleh 4 sel hidup atau lebih, maka ia mati karena kelebihan populasi, jika hanya ada satu di dekatnya atau tidak, ia mati karena kesepian. Jika orang mati bersebelahan dengan 3 orang hidup maka ia hidup kembali. Percobaan:

Konfigurasi acak awal sel hidup telah diatur

Menetapkan jumlah titik waktu yang akan dilacak

Dalam satu siklus, tabel diperbarui pada titik waktu sesuai dengan aturan yang diberikan, dan perubahan gambar diamati. Sistem serupa dipelajari, dan ternyata tabel seperti itu dapat berisi konfigurasi stabil yang tidak runtuh.

Model di bidang ekonomi

Ilmu ekonomi adalah salah satu bidang penerapan pemodelan yang paling penting; di sinilah model memberikan efisiensi terbesar, misalnya, jika Anda mengoptimalkan pengeluaran seluruh negara dalam satu model, efeknya akan dinyatakan dalam miliaran dolar. Jenis model berikut dapat dibedakan:

Model LP (linier) – model sumber daya, cadangan, dll.

Model yang dibangun berdasarkan masalah transportasi (distribusi dan pengangkutan barang)

Model pemrograman bilangan bulat (hasilnya termasuk dalam domain bilangan bulat, jumlah orang, jumlah pabrik, dll) adalah model tipe pertama dengan parameter bilangan bulat.

Model pemrograman dinamis - terutama terkait dengan pengembangan produksi, perusahaan, dll.

Model permainan yang berhubungan dengan konfrontasi dan persaingan.

Model prediktif berkaitan dengan peramalan situasi dengan kurangnya informasi atau kejadian acak.

Model kendali otomatis (agar sistem kendali optimal)

model nonlinier diselesaikan hanya dalam kasus tertentu.

34. Pemodelan stokastik. Metode Monte Carlo dalam simulasi. Menghasilkan bilangan acak dan pseudo-acak. Metode dan algoritma pembangkitan. Menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi menurut hukum distribusi eksponensial, normal, dan arbitrer.

Pemrograman stokastik– bagian dari pemrograman matematika, seperangkat metode untuk memecahkan masalah optimasi yang bersifat probabilistik. Artinya, baik parameter kendala (kondisi) masalah, atau parameter fungsi tujuan, atau keduanya merupakan variabel acak (mengandung komponen acak).

Masalah optimasi- masalah ekonomi dan matematika, yang tujuannya adalah menemukan distribusi terbaik dari sumber daya yang tersedia. Penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan model optimal dengan menggunakan metode pemrograman matematika, yaitu dengan mencari maksimum atau minimum dari beberapa fungsi di bawah batasan tertentu (optimasi bersyarat) dan tanpa batasan (optimasi tanpa syarat). Pemecahan suatu masalah optimasi disebut solusi optimal, rencana optimal, atau titik optimal.

Variabel acak dicirikan oleh mean, varians, korelasi, regresi, fungsi distribusi, dll.

Pemodelan Statistik– pemodelan menggunakan proses dan fenomena acak.

Ada 2 pilihan untuk menggunakan pemodelan statistik:

– dalam model stokastik mungkin terdapat parameter atau interaksi acak. Hubungan antar parameter bersifat acak atau sangat kompleks.

– bahkan untuk model deterministik pun dapat digunakan metode statistik. Pemodelan statis hampir selalu digunakan dalam model simulasi

Model, dimana terdapat hubungan satu-ke-satu antara parameter dan tidak ada parameter acak yang dipanggil deterministik.

Proses deterministik– proses tertentu yang semua prosesnya ditentukan oleh hukum.

Manusia menganggap semua proses bersifat deterministik, tetapi seiring berjalannya waktu, proses acak ditemukan. Proses acak- ini adalah proses yang jalannya dapat berbeda tergantung pada kasusnya, dan kemungkinan jalannya tertentu ditentukan.

Sebuah studi tentang proses menunjukkan bahwa ada 2 jenis:

a) Proses yang bersifat acak;

b) Proses deterministik yang sangat kompleks;

Sebuah teorema sentral telah dibuktikan, yang menyatakan bahwa penambahan berbagai proses meningkatkan sifat acak. Jadi, jika dijumlahkan barisan-barisan yang sama sekali berbeda dan tidak berhubungan satu sama lain, maka hasil limitnya cenderung berdistribusi normal. Namun diketahui bahwa sebaran normal merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, oleh karena itu kombinasi kejadian-kejadian deterministik dalam limit menyebabkan terjadinya keacakan.

Itu. di alam tidak ada proses yang sepenuhnya deterministik; selalu ada campuran proses deterministik dan acak. Pengaruh faktor acak disebut “kebisingan”. Sumber kebisingan adalah proses deterministik yang kompleks (gerakan molekul Brown).

Dalam pemodelan simulasi, proses yang kompleks sering kali digantikan oleh proses acak, oleh karena itu, untuk membuat model simulasi, Anda perlu mempelajari cara memodelkan proses acak menggunakan metode pemodelan statis; Proses acak dalam mekanika kuantum diwakili oleh urutan angka acak, yang nilainya bervariasi secara acak.

Dalam pemodelan statistik, metode uji statistik Monte Carlo sangat sering digunakan. Metode Monte Carlo adalah metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan memodelkan variabel acak.

Inti dari metode ini: untuk menentukan sifat konstan atau deterministik suatu proses, Anda dapat menggunakan eksperimen statis, yang parameternya, dalam batasnya, berkaitan dengan besaran yang ditentukan. Inti dari metode ini Monte Carlo terdiri dari yang berikut: Anda perlu mencari nilai a dari beberapa besaran yang dipelajari. Untuk melakukan ini, pilih variabel acak berikut
, ekspektasi matematisnya sama dengan :
. Dalam praktiknya, mereka melakukan hal ini: mereka memproduksi tes, sebagai hasil yang mereka peroleh nilai yang mungkin
; menghitung rata-rata aritmatikanya
dan terima sebagai perkiraan (nilai perkiraan) nomor yang diperlukan :
.

Mari kita pertimbangkan inti dari metode ini contoh penggunaannya.

Selama beberapa dekade terakhir, terdapat kemajuan yang signifikan dalam hal ini deskripsi kuantitatif (matematis). fungsi berbagai biosistem pada berbagai tingkat organisasi kehidupan: molekuler, seluler, organ, organisme, populasi, biogeocenological (ekosistem). Kehidupan ditentukan oleh banyak karakteristik berbeda dari biosistem ini dan proses yang terjadi pada tingkat organisasi sistem yang sesuai dan diintegrasikan ke dalam satu kesatuan selama berfungsinya sistem. Model yang didasarkan pada postulat esensial tentang prinsip-prinsip berfungsinya sistem, yang menggambarkan dan menjelaskan berbagai fenomena dan mengungkapkan pengetahuan dalam bentuk yang kompak dan formal, dapat dikatakan sebagai teori biosistem. Konstruksi model matematika(teori) sistem biologis menjadi mungkin berkat kerja analitis yang sangat intensif dari para peneliti: ahli morfologi, ahli biokimia, ahli fisiologi, spesialis dalam biologi molekuler, dll. Sebagai hasil dari pekerjaan ini, skema morfofungsional berbagai sel dikristalisasi, di dalamnya berbagai proses fisika terjadi secara teratur dalam ruang dan waktu. Proses kimia dan biokimia membentuk jalinan yang sangat kompleks.

Keadaan kedua yang sangat penting, yang berkontribusi pada keterlibatan peralatan matematika dalam biologi, adalah penentuan eksperimental yang cermat terhadap konstanta laju berbagai reaksi intraseluler yang menentukan fungsi sel dan biosistem terkait. Tanpa pengetahuan tentang konstanta seperti itu, deskripsi matematis formal tentang proses intraseluler tidak mungkin dilakukan.

Dan akhirnya, kondisi ketiga Yang menentukan keberhasilan pemodelan matematika dalam biologi adalah pengembangan alat komputasi canggih dalam bentuk komputer pribadi, superkomputer, dan teknologi informasi. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa biasanya proses yang mengontrol fungsi sel atau organ tertentu sangat banyak, tercakup dalam putaran umpan maju dan umpan balik dan, oleh karena itu, dijelaskan sistem persamaan nonlinier yang kompleks dengan sejumlah besar hal yang tidak diketahui. Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik, tetapi dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan komputer.

Eksperimen numerik pada model yang mampu mereproduksi berbagai fenomena dalam sel, organ, dan tubuh memungkinkan kita mengevaluasi kebenaran asumsi yang dibuat saat membuat model. Meskipun fakta eksperimental digunakan sebagai postulat model, perlunya beberapa asumsi dan asumsi merupakan komponen teoritis penting dari pemodelan. Asumsi dan asumsi tersebut adalah hipotesis, yang dapat dikenakan verifikasi eksperimental. Dengan demikian, model menjadi sumber hipotesis, terlebih lagi, dapat diverifikasi secara eksperimental. Eksperimen yang bertujuan menguji hipotesis tertentu dapat menyangkal atau mengonfirmasinya dan dengan demikian membantu menyempurnakan model.

Interaksi antara pemodelan dan eksperimen ini terjadi secara terus-menerus, sehingga menghasilkan pemahaman yang semakin mendalam dan akurat mengenai fenomena tersebut:

• eksperimen menyempurnakan model,
• model baru mengajukan hipotesis baru,
• eksperimen menyempurnakan model baru, dll.

Saat ini bidang pemodelan matematika sistem kehidupan menyatukan sejumlah disiplin ilmu tradisional dan lebih modern yang berbeda dan sudah mapan, yang namanya terdengar cukup umum, sehingga sulit untuk membatasi secara tegas bidang penggunaan spesifiknya. Saat ini, bidang khusus penerapan pemodelan matematika sistem kehidupan berkembang pesat - fisiologi matematika, imunologi matematika, epidemiologi matematika, yang bertujuan untuk mengembangkan teori matematika dan model komputer dari sistem dan proses yang relevan.

Seperti disiplin ilmu lainnya, biologi matematika (teoretis) memiliki pokok bahasan, metode, metode dan prosedur penelitiannya sendiri. Sebagai subjek penelitian model matematika (komputer) digunakan proses biologis, sekaligus mewakili objek penelitian dan alat untuk mempelajari objek biologi itu sendiri. Sehubungan dengan esensi ganda dari model biomatematika, mereka menyiratkan penggunaan metode yang ada dan pengembangan metode baru untuk menganalisis sistem matematika(teori dan metode cabang matematika terkait) untuk mempelajari sifat-sifat model itu sendiri sebagai objek matematika, serta penggunaan model untuk mereproduksi dan menganalisis data eksperimen yang diperoleh dalam eksperimen biologis. Pada saat yang sama, salah satu tujuan terpenting model matematika (dan biologi teoretis secara umum) adalah kemampuan untuk memprediksi fenomena biologis dan skenario perilaku biosistem dalam kondisi tertentu dan pembenaran teoretisnya sebelum melakukan eksperimen biologis yang sesuai.

Metode penelitian utama dan penggunaan model sistem biologis yang kompleks eksperimen komputer komputasi, yang memerlukan penggunaan metode perhitungan yang memadai untuk sistem matematika yang relevan, algoritma perhitungan, teknologi untuk pengembangan dan implementasi program komputer, penyimpanan dan pemrosesan hasil pemodelan komputer.

Akhirnya, sehubungan dengan tujuan utama penggunaan model biomatematika untuk memahami hukum fungsi sistem biologis, semua tahap pengembangan dan penggunaan model matematika memerlukan ketergantungan wajib pada teori dan praktik ilmu biologi, dan terutama pada hasil eksperimen alam.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA

PENDIDIKAN ANGGARAN NEGARA FEDERAL

LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

"UNVERSITAS NEGARA UDMURT"

Fakultas Biologi dan Kimia

KOMPLEKS PENDIDIKAN DAN METODOLOGI

DENGAN DISIPLIN

PEMODELAN MATEMATIKA

PROSES BIOLOGIS

Arah pelatihan

Arah pelatihan 020400 Biologi

Nama program master

"Biologi" (Botani) 020421m

"Biologi" (Imunobioteknologi) 020422m

"Biologi" (Biologi Sel) 020423 m

Tempat disiplin ilmu dalam struktur program magister. Kompetensi siswa terbentuk sebagai hasil penguasaan disiplin ilmu. Tujuan menguasai disiplin. Struktur disiplin ilmu menurut jenis pekerjaan akademik, hubungan topik dan kompetensi yang dikembangkan. Isi disiplin.

5.1 Topik sesi perkuliahan dan penjelasannya

5.2. Rencana pelajaran praktis.

5.3. Rencana bengkel laboratorium.

5.4. Program pekerjaan mandiri siswa.

Teknologi pendidikan. Alat penilaian untuk pemantauan kemajuan yang berkelanjutan, sertifikasi menengah. Dukungan pendidikan, metodologis dan informasi dari disiplin ilmu. Dukungan materi dan teknis disiplin.

TATA CARA PERSETUJUAN PROGRAM KERJA

Pengembang program kerja disiplin ilmu

Pemeriksaan program kerja

Persetujuan program kerja disiplin ilmu

Dokumen lain tentang penilaian mutu program kerja disiplin

(jika tersedia - FEPO, ulasan dari pemberi kerja, mahasiswa sarjana, dll.)

1 . TEMPAT DISIPLIN DALAM STRUKTUR PROGRAM MAGISTER PLO

Disiplin memasuki siklus bagian dasar dari siklus matematika dan ilmu alam dari program master OOP.

Disiplin ini ditujukan kepada 020400 Biologi (kualifikasi (gelar) "Master"), tahun pertama studi.

Kursus ini didahului oleh disiplin ilmu berikut: ilmu komputer, disiplin ilmu alam.

Agar berhasil menguasai disiplin ilmu, kompetensi berikut harus dikembangkan:

mampu beradaptasi dan meningkatkan taraf ilmu pengetahuan dan budaya seseorang (OK-3);

Penyelesaian kursus yang berhasil memungkinkan Anda untuk melanjutkan mempelajari disiplin ilmu berikut: biologi teoretis, sinergis, Dengan Masalah kontemporer biologi, disiplin lain dari siklus matematika dan ilmu pengetahuan alam dari program Magister, implementasi tesis master.

Program kursus dibangun menurut prinsip blok-modular, di dalamnya bagian yang disorot:

Konsep kalkulus diferensial dan integral. Tujuan pemodelan. Konsep dasar. Model dijelaskan oleh persamaan diferensial otonom Model diskrit Model dijelaskan oleh sistem dua persamaan diferensial otonom Stabilitas keadaan stasioner sistem nonlinier. Sistem pemicu. Sistem osilasi.

2 . KOMPETENSI SISWA TERBENTUK

SEBAGAI HASIL PENGUASAAN DISIPLIN

· secara mandiri menganalisis informasi yang tersedia, mengidentifikasi masalah mendasar, mengajukan masalah dan melakukan penelitian biologi lapangan dan laboratorium ketika memecahkan masalah spesifik dalam spesialisasi menggunakan peralatan modern dan peralatan komputasi, menunjukkan tanggung jawab atas kualitas pekerjaan dan keandalan ilmiah dari hasil (PC- 3);

· secara kreatif menerapkan teknologi komputer modern dalam pengumpulan, penyimpanan, pemrosesan, analisis dan transmisi informasi biologis (PC-6);

· secara mandiri menggunakan teknologi komputer modern untuk memecahkan masalah penelitian, produksi dan teknologi aktivitas profesional, untuk mengumpulkan dan menganalisis informasi biologis (PC-13);

Sebagai hasil dari penguasaan disiplin tersebut, siswa harus:

tahu:

· tentang metode pemodelan sistem biologi dengan analisis selanjutnya menggunakan kalkulus diferensial dan integral.

dapat:

· mampu menerapkan ilmu yang diperoleh dalam kerja praktek;

· menyajikan dengan benar hasil perhitungan model yang dilakukan.

Memiliki:

· keterampilan kalkulus integral dan diferensial;

· keterampilan dalam bekerja dengan komputer pribadi saat menggunakan produk perangkat lunak yang tersedia untuk pemodelan numerik sistem biologis.

3 . MAKSUD DAN TUJUAN PENGUASAAN DISIPLIN

Tujuan menguasai disiplin PEMODELAN MATEMATIKA PROSES BIOLOGIS

adalah:

memberikan beberapa pengetahuan dan gagasan dasar tentang kemungkinan mempraktikkan metode numerik analisis matematika, pemodelan matematika, klasifikasi model matematika dan ruang lingkup penerapannya, menunjukkan pertanyaan kualitatif mendasar apa yang dapat dijawab oleh model matematika, berupa pengetahuan yang mana tentang objek biologis diformalkan. Hal ini dicapai dengan memasukkan dalam mata kuliah isu-isu dasar kalkulus integral dan diferensial, dasar-dasar peralatan matematika teori kualitatif persamaan diferensial. Berdasarkan pengetahuan ini, jenis utama perilaku dinamis temporal dan spasial yang melekat dalam sistem biologis pada tingkat yang berbeda dipertimbangkan. Kemungkinan pemodelan matematika diilustrasikan dengan contoh model tertentu yang dapat dianggap klasik.

Tujuan menguasai disiplin ilmu:

untuk membentuk gagasan tentang penerapan metode numerik analisis matematika dalam kaitannya dengan pemodelan matematika sistem biologis;

memperkenalkan model matematika spesifik yang dapat diterapkan (diadaptasi) oleh ahli biologi penelitian pada penelitiannya;

memperluas pengetahuan tentang penggunaan perangkat lunak dalam pemodelan proses biologis.

4. STRUKTUR DISIPLIN MENURUT JENIS PEKERJAAN BELAJAR,

HUBUNGAN TOPIK DAN KOMPETENSI YANG DIBENTUK

Topik 1.2.

tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.3.(2 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium:

Topik 1.4.(2 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.5.(3 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.7.(2 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.8.(2 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.9.(2 jam) Bagian teori.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.10.(2 jam) Bagian teori. Studi tentang stabilitas keadaan stasioner sistem nonlinier orde kedua. Sistem klasik V. Volterra. Penelitian analitik (penentuan keadaan stasioner dan stabilitasnya) dan konstruksi potret fase dan kinetik. Menggunakan paket perhitungan analitis Maxima.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

Topik 1.jam) Bagian teoritis.

Daftar tugas dan tugas yang diserahkan untuk pekerjaan laboratorium: tes kerja materi pelajaran sebelumnya, pengenalan teori topik pelajaran, pelaksanaan tugas praktek.

5.4. Program belajar mandiri untuk mahasiswa magister

struktur SRS

Persiapan pekerjaan laboratorium – 12 pekerjaan - 48 jam

Hasil semua jenis SRS dinilai dalam poin dan menjadi dasar SRS.

Saat melakukan SRS, materi pendidikan dan metodologi yang ditentukan di bagian terkait digunakan (lihat tabel struktur SRS)

Jadwal pengendalian SRS

Legenda: kr – tes , Ke - seminar, R - abstrak, D - laporan, di – permainan bisnis, rz – pemecahan masalah, ayam - tugas kursus, lr – pekerjaan laboratorium, dz - pekerjaan rumah

6. TEKNOLOGI PENDIDIKAN

Saat menyelenggarakan kelas dan mengatur pekerjaan mandiri mahasiswa sarjana, teknologi tradisional pembelajaran informatif digunakan, yang melibatkan transfer informasi dalam bentuk jadi, pengembangan keterampilan pendidikan sesuai dengan model: bagian teoretis dari pekerjaan laboratorium disusun sebagai: kuliah-eksposisi, kuliah-penjelasan.

Penggunaan teknologi tradisional menjamin terbentuknya komponen kognitif (pengetahuan) dari kompetensi profesional seorang ahli biologi penelitian.

Dalam proses mempelajari bagian teoretis dari disiplin ilmu dan melakukan tugas-tugas praktis, teknologi pengajaran pendidikan baru digunakan: visualisasi kuliah.

Saat melakukan kelas laboratorium, berikut ini digunakan:

Konsep model. Objek, tujuan dan metode pemodelan. Model dalam berbagai ilmu. Model fisik dan matematika. Sejarah model pertama dalam biologi. Klasifikasi modern model proses biologis: regresi, simulasi, model kualitatif. Contoh berbagai model yang digunakan dalam bidang minat ilmiah Anda. Prinsip pemodelan simulasi dan contoh model. Kekhususan pemodelan sistem kehidupan.

Konsep turunan dan cara mencarinya (aturan diferensiasi). Integral dan metode mencari integral. Memecahkan masalah pada topik ini.

Penyusunan (turunan) persamaan diferensial. Beberapa teknik penyelesaian persamaan diferensial homogen dan tidak homogen. Penyelesaian dengan metode variabel yang dapat dipisahkan. Penyelesaian persamaan diferensial linier umum dengan metode Lagrange. Memecahkan masalah pada topik ini.

Metode untuk mempelajari sistem dinamis. Keadaan stasioner. rumus Taylor. Stabilitas keadaan stasioner (kasus satu persamaan): konsep stabilitas, metode analitik untuk menentukan jenis stabilitas (metode Lyapunov), metode grafis untuk menentukan jenis stabilitas. Memecahkan masalah pada topik ini.

Analisis beberapa model pertumbuhan penduduk. Model Malthus. Model logistik Verhulst. Model penggarap aliran. Memecahkan masalah pada topik ini.

Perbedaan model pertumbuhan penduduk. Analisis model perbedaan Malthus (menemukan keadaan stasioner dan menganalisis stabilitasnya). Persamaan logistik diskrit Verhulst dan keterbatasannya untuk sistem biologis. Analisis persamaan Ricker logistik diskrit (menemukan keadaan stasioner dan menganalisis stabilitasnya). Analisis kualitatif perbedaan model pertumbuhan penduduk menggunakan diagram Lamerey (tangga). Memecahkan masalah pada topik ini.

Analisis model digambarkan dengan sistem dua persamaan diferensial linier biasa yang otonom. Solusi dari sistem dua ODE otonom linier. Analisis stabilitas perilaku model-model ini di dekat titik tunggal. Jenis titik tunggal. Memecahkan masalah pada topik ini.

Metode kualitatif untuk menganalisis model yang dijelaskan oleh sistem dua persamaan diferensial linier biasa yang otonom. Bidang fase. isoklin. Konstruksi potret fase. Kurva kinetik. Memecahkan masalah pada topik ini.

Analisis beberapa model digambarkan dengan sistem dua persamaan diferensial linier biasa yang otonom. Analisis model kinetik suatu sistem linier reaksi kimia.

Studi tentang stabilitas keadaan stasioner sistem nonlinier orde kedua. Metode linearisasi sistem Lyapunov di sekitar keadaan stasioner. Contoh mempelajari stabilitas keadaan stasioner model sistem biologis. Analisis persamaan kinetik Lotka (reaksi kimia). Sistem klasik V. Volterra. Penelitian analitik (penentuan keadaan stasioner dan stabilitasnya) dan konstruksi potret fase dan kinetik.

Sistem pemicu. Kompetisi. Penelitian analitik (penentuan keadaan stasioner dan stabilitasnya) dan konstruksi potret fase dan kinetik.

Sistem osilasi. Model lokal Brusselsator.

Teknologi utama untuk menilai tingkat pengembangan kompetensi adalah: sistem penilaian poin untuk menilai kinerja siswa (Order /01-04 "Tentang Pengenalan Tata Cara Penerapan Sistem Penilaian Poin untuk Penilaian Pekerjaan Pendidikan siswa di Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Federal Pendidikan Profesional Tinggi "UdSU").

Total poin = 100 poin.

Kehadiran di kelas dan hasil karya siswa selama kelas itu sendiri dinilai hingga 15 poin.

Tes di awal pelajaran bernilai hingga 30 poin.

Pekerjaan rumah dinilai hingga 15 poin.

Jumlah poin yang dialokasikan untuk kredit hingga 40 poin

Disiplin dianggap dikuasai jika pada tahap sertifikasi menengah siswa memperoleh nilai lebih dari 14 poin dan nilai akhir siswa dalam disiplin untuk semester tersebut minimal 61 poin.

Skema untuk mengubah poin menjadi penilaian tradisional

Tabel untuk mengubah poin akhir BRS menjadi sistem penilaian tradisional

Contoh tugas tes, dikeluarkan pada awal pembelajaran selama 10-12 menit.

Tugas tes 1

Pilihan 1

1) Mencari turunan berdasarkan definisi konsep turunan: y = (1+3x)2

2) Jumlah populasi dijelaskan dengan persamaan: https://pandia.ru/text/78/041/images/image004_19.gif" width="88" height="41">

Pilihan 3

1) Mencari turunan berdasarkan definisi konsep turunan: y = (1+x)2

2) Jumlah populasi dijelaskan dengan persamaan: https://pandia.ru/text/78/041/images/image006_13.gif" width="90" height="45">

pilihan 2

Pilihan 3

Selesaikan persamaan diferensial berikut.

Temukan solusi untuk masalah Cauchy jika x(0)=1

Tugas tes 3

Jajak Pendapat 3. Opsi 2

Selesaikan persamaan diferensial berikut.

Jajak Pendapat 3. Opsi 3

Selesaikan persamaan diferensial berikut.

Jajak Pendapat 3. Opsi 4

Selesaikan persamaan diferensial berikut.

Perkiraan tugas tes untuk digunakan di rumah(teks khusus tugas diberikan kepada mahasiswa sarjana melalui sistem IIAS dan di atas kertas):

Pekerjaan rumah 1

Rekomendasi.

1) Siapkan pidato dan lampirkan teks tulisan tangan bersama laporannya tentang contoh model fisik

2) Siapkan pidato dan lampirkan teks tulisan tangan bersama laporannya tentang contoh tersebut model regresi dalam spesialisasi Anda (saya bisa bertanya kepada siapa saja) – 3-4 menit – satu per grup. Tidak boleh sama dengan contoh kelompok lain.

3) Siapkan pidato dan lampirkan teks tulisan tangan bersama laporannya tentang contoh model simulasi dalam spesialisasi Anda (saya bisa bertanya kepada siapa saja) – 3-4 menit – satu per grup. Tidak boleh sama dengan contoh kelompok lain.

4) Dengan menggunakan definisi turunan, carilah turunan dari ekspresi:

kamu= 1+ X+ X 2

5) Temukan turunannya:

https://pandia.ru/text/78/041/images/image014_10.gif" width="84" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image017_9.gif" width="108" height="27 src=">.gif" width="105" height="41 src=">, Di mana kamu Dan A konstan..gif" width="153" height="28 src=">

8) Populasi bakteri bertambah dari ukuran awal 1000 individu menjadi P(T) saat ini T(dalam hari) menurut persamaan https://pandia.ru/text/78/041/images/image023_6.gif" width="106" height="41 src=">. Temukan P(T) untuk semua momen T>0 jika P(0)=0. Berapa tahun yang dibutuhkan agar proporsi mereka yang sembuh mencapai 90%?

3) Temukan solusi umum untuk persamaan orde pertama berikut dan selesaikan masalah Cauchy untuk kondisi yang ditentukan:

Jika x(0)=2

, jika x(0)=1

Pekerjaan rumah 3

Rekomendasi. Laporan penugasan hanya diberikan dalam bentuk tulisan tangan, yang menunjukkan semua perhitungan perantara (versi elektronik tidak diperlukan). Semua perhitungan harus transparan (tulis apa yang Anda hitung, sebutkan aslinya rumus perhitungan, lalu rumus dengan bilangan pengganti, lalu jawabannya).

1) Pertumbuhan penduduk dijelaskan dengan persamaan Verhulst. Kapasitas relung ekologinya adalah 1000. Buatlah grafik dinamika jumlah penduduk jika diketahui bilangan awalnya sama dengan: a) 10; b) 700; c) 1200. Laju pertumbuhan r adalah 0,5. Tentukan koordinat titik belok.

2) Perluas fungsinya F (X) menjadi deret Taylor di sekitar titik 0 x sampai orde ke-4:

F (X) = X 3 +1, X 0 = 1;

https://pandia.ru/text/78/041/images/image028_5.gif" width="114" height="46 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image030_5.gif" width="71" height="41 src=">. Temukan keadaan stasioner persamaan dan tentukan jenis stabilitasnya secara analitis (metode Lyapunov ) dan dengan menggunakan grafik fungsi F (X) :

F (X) = X 3 + 8X – 6X 2

F (X) = X 4 + 2X 3 − 15X 2

Pekerjaan rumah 4

Rekomendasi. Laporan penugasan disediakan hanya dalam bentuk tulisan tangan yang menunjukkan semua perhitungan perantara (versi elektronik tidak diperlukan). Semua perhitungan harus transparan (tulis apa yang Anda hitung, sebutkan rumus perhitungan aslinya, lalu rumus dengan angka penggantinya, lalu jawabannya).

1) (1,0 poin) Dengan menggunakan diagram Lamerey, buatlah grafik dinamika populasi jika ketergantungan tidak+1 = F (NT) mempunyai bentuk dan kesimpulan tentang keberlanjutan pembangunan kependudukan.

2) (2,5 poin) Buatlah potret fase untuk masing-masing sistem di sekitar keadaan stasioner sesuai dengan rencana:

2.1) Temukan koordinat titik tunggal (stasioner).

2.3) Dengan menggunakan metode isoklin (isoklin: 0o, +45o, –45o, 90o, sudut potong sumbu X dan Y) buatlah potret fase sistem

2.4) dengan menggunakan isoklin dan berdasarkan poin 2.2, buatlah sketsa potret fase

2.5) Tentukan arah pergerakan titik percobaan (kiasan) sepanjang kurva integral yang diperoleh pada 2.4.

2.6) Pilih titik sewenang-wenang pada salah satu kurva integral yang diperoleh pada paragraf 2.4 dan buatlah potret kinetik sistem.

3) (1,5 poin) Dalam proses mempelajari suatu populasi tertentu, terungkap ketergantungan ukuran populasi terhadap waktu sebagai berikut (lihat data di bawah).

1) Apakah perkembangan penduduk ini mengikuti persamaan Malthus atau persamaan Verhulst? Buktikan itu.

2) Jika perkembangan penduduk mengikuti persamaan Malthus, tentukan:

R

2.2) periode penggandaan T.

2) Jika perkembangan penduduk mengikuti persamaan logistik, tentukan:

2.1) nilai parameter Malthus R (kecepatan tertentu reproduksi);

2.2) nilai parameter sumber daya KE

2.3) menggunakan nilai R Dan KE memperkirakan kapan pertumbuhan penduduk akan mulai melambat.

Teknologi pengendalian dan evaluasi ini memberikan penilaian terhadap tingkat penguasaan kompetensi profesional.

8 DUKUNGAN PENDIDIKAN, METODOLOGI DAN INFORMASI

DISIPLIN

Sastra dasar

1. Riznichenko, tentang model matematika dalam biologi. Bagian 1. Deskripsi proses dalam sistem kehidupan dari waktu ke waktu. - M.;

Kuliah. Metode perkuliahan

Perkuliahan merupakan salah satu metode pengajaran utama dalam suatu disiplin ilmu, yang harus menyelesaikan masalah-masalah berikut:

· negara materi penting silabus mata kuliah yang mencakup pokok-pokok;

· untuk mengembangkan di kalangan mahasiswa sarjana perlunya kerja mandiri pada literatur pendidikan dan ilmiah.

Tugas utama setiap perkuliahan adalah mengungkap intisari topik dan menganalisis ketentuan pokoknya. Disarankan kepada mahasiswa untuk memperhatikan struktur mata kuliah dan bagian-bagiannya pada kuliah pertama, dan kemudian menunjukkan awal setiap bagian, esensi dan tujuannya, dan, setelah menyelesaikan presentasi, rangkum bagian ini secara berurutan. untuk menghubungkannya dengan yang berikutnya.

Metodologi penyelenggaraan kelas laboratorium

Tujuan dari pekerjaan laboratorium adalah:

· membangun hubungan antara teori dan praktek dalam bentuk konfirmasi eksperimental ketentuan teori;

· melatih siswa magister dalam kemampuan menganalisis hasil yang diperoleh;

· pengendalian kerja mandiri mahasiswa sarjana dalam menguasai mata kuliah;

· pelatihan keterampilan profesional

Tujuan lokakarya laboratorium tercapai dengan cara terbaik dalam hal percobaan didahului dengan kegiatan ekstrakurikuler persiapan tertentu. Oleh karena itu, guru wajib menginformasikan kepada seluruh mahasiswa tentang jadwal kerja laboratorium agar mereka dapat melakukan persiapan rumah yang tepat sasaran.

Sebelum memulai pembelajaran berikutnya, guru harus memastikan bahwa siswa master telah siap untuk melakukan pekerjaan laboratorium melalui wawancara singkat dan memeriksa apakah siswa master telah menyiapkan protokol untuk pekerjaan tersebut.

Penguasaan disiplin yang berhasil melibatkan partisipasi aktif dan kreatif dari siswa master melalui kerja sehari-hari yang sistematis.

Pembelajaran disiplin ilmu hendaknya dimulai dengan penyusunan program kerja, perhatian khusus, memperhatikan maksud dan tujuan, struktur dan isi kursus.

Tinjau kembali catatan tersebut segera setelah kelas selesai, tandai materi apa pun dalam catatan kuliah yang sulit untuk dipahami. Cobalah untuk menemukan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan sulit menggunakan literatur yang direkomendasikan. Jika Anda tidak dapat memahami materi sendiri, rumuskan pertanyaan dan carilah bantuan dari guru Anda pada konsultasi atau perkuliahan berikutnya.

Luangkan waktu secara teratur untuk meninjau materi yang telah Anda pelajari, uji pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan Anda menggunakan soal tes.

Melakukan pekerjaan laboratorium

Selama kelas, dapatkan jadwal lab dari guru Anda. Dapatkan semua dukungan metodologis yang diperlukan.

Sebelum mengunjungi laboratorium, pelajari teori pertanyaan yang diajukan untuk penelitian, baca manual untuk pekerjaan yang relevan dan siapkan protokol untuk pekerjaan tersebut, yang di dalamnya Anda menyertakan:

· judul karya;

· menyiapkan tabel untuk diisi dengan data observasi eksperimen;

· persamaan reaksi kimia transformasi yang akan dilakukan selama percobaan;

· rumus perhitungan.

Penyusunan laporan hendaknya dilakukan setelah pekerjaan selesai di laboratorium atau di tempat lain yang diperuntukkan bagi kelas.

Untuk bersiap melindungi laporan, Anda harus menganalisis hasil percobaan, bandingkan dengan yang diketahui prinsip teoritis atau data acuan, merangkum hasil penelitian dalam bentuk kesimpulan pekerjaan, menyiapkan jawaban atas pertanyaan yang diberikan pedoman metodologis untuk melakukan pekerjaan laboratorium.

9. DUKUNGAN MATERIAL DAN TEKNIS DISIPLIN

Untuk menyelenggarakan workshop komputer, diperlukan kelas komputer yang memungkinkan Anda menyediakan tempat kerja tersendiri untuk setiap siswa. Komputer harus memiliki parameter yang memadai agar program yang dipelajari dapat berfungsi. Jika Anda menggunakan komputer yang tidak cukup kuat, Anda dapat merekomendasikan penggunaan program versi lama atau mengganti beberapa program yang Anda pelajari dengan program yang lebih hemat sumber daya. Komputer harus memiliki akses ke Internet. Komputer harus menginstal Windows XP (atau lebih lama), serta serangkaian program yang sedang dipelajari (lihat bagian yang relevan pada paragraf 8 DUKUNGAN PENDIDIKAN, METODOLOGI DAN INFORMASI DISIPLIN).

Kelas komputer harus memiliki papan tulis besar, kapur, dan kain.

Kami telah mengatakan bahwa pendekatan matematis untuk mempelajari fenomena tertentu di dunia nyata biasanya dimulai dengan penciptaan fenomena yang bersesuaian konsep umum, yaitu dari konstruksi model matematika yang memiliki sifat penting bagi kita dari sistem dan proses yang kita pelajari. Kami juga menyebutkan kesulitan yang terkait dengan pembangunan model seperti itu dalam biologi, kesulitan yang disebabkan oleh kompleksitas sistem biologis yang ekstrim. Namun, terlepas dari kesulitan-kesulitan ini, pendekatan “model” terhadap masalah biologis kini berhasil berkembang dan telah membawa hasil tertentu. Kita akan melihat beberapa model yang berkaitan dengan berbagai proses dan sistem biologis.

Berbicara tentang peran model dalam penelitian biologi, penting untuk memperhatikan hal berikut. Meskipun kita memahami istilah "model" dalam arti abstrak - sebagai suatu sistem tertentu konsep logis, dan bukan sebagai perangkat fisik yang nyata, namun model adalah sesuatu yang jauh lebih dari sekedar deskripsi sederhana dari suatu fenomena atau hipotesis kualitatif murni, yang masih memiliki cukup ruang untuk berbagai jenis ambiguitas dan opini subjektif. Izinkan kami mengingatkan Anda contoh selanjutnya, kembali ke masa lalu yang cukup jauh. Pada suatu waktu, Helmholtz, saat mempelajari pendengaran, mengemukakan apa yang disebut teori resonansi, yang tampak masuk akal dari sudut pandang kualitatif murni. Namun, dilakukan belakangan perhitungan kuantitatif, dengan mempertimbangkan nilai riil massa, elastisitas dan viskositas komponen sistem pendengaran komponen menunjukkan ketidakkonsistenan hipotesis ini. Dengan kata lain, upaya untuk mengubah hipotesis kualitatif murni menjadi model akurat yang memungkinkan penyelidikannya metode matematika, segera terungkap ketidakkonsistenan dengan prinsip aslinya. Tentu saja, jika kita telah membangun model tertentu dan bahkan memperoleh kesesuaian yang baik antara model tersebut dan hasil eksperimen biologis yang bersangkutan, hal ini belum membuktikan kebenaran model kita. Sekarang, berdasarkan studi model kita, kita dapat membuat beberapa prediksi tentang hal itu sistem biologis, yang kami simulasikan dan kemudian konfirmasikan prediksi tersebut percobaan nyata, maka ini akan menjadi bukti yang jauh lebih berharga yang mendukung kebenaran model tersebut.

Tapi mari kita beralih ke contoh spesifik.

2. Peredaran darah

Salah satu karya pertama, jika bukan yang pertama, tentang pemodelan matematika proses biologis harus dianggap sebagai karya Leonhard Euler, di mana ia mengembangkan teori matematika sirkulasi darah, melihat perkiraan pertama dari keseluruhan sistem peredaran darah terdiri dari reservoir dengan dinding elastis, resistensi perifer dan pompa. Ide-ide Euler ini (dan juga beberapa karyanya yang lain) pada awalnya benar-benar dilupakan, dan kemudian dihidupkan kembali di masa-masa yang lebih baru. nanti berhasil penulis lain.

3. Hukum Mendel

Model biologi yang cukup tua dan terkenal, namun sangat luar biasa adalah teori hereditas Mendel. Model ini, berdasarkan konsep teoritis probabilitas, adalah bahwa kromosom sel induk mengandung serangkaian karakteristik tertentu, yang selama pembuahan digabungkan satu sama lain secara independen dan acak. Selanjutnya, gagasan dasar ini mengalami klarifikasi yang sangat signifikan; misalnya, ditemukan bahwa tanda-tanda yang berbeda tidak selalu independen satu sama lain; jika mereka berasosiasi dengan kromosom yang sama, maka mereka hanya dapat ditularkan dalam kombinasi tertentu. Selanjutnya, ditemukan bahwa kromosom yang berbeda tidak bergabung secara independen, tetapi ada sifat yang disebut afinitas kromosom yang melanggar independensi ini, dll. Saat ini, metode teori probabilitas dan statistik telah merambah sangat luas ke dalam penelitian genetik dan bahkan istilah “genetika matematika” mendapat hak kewarganegaraan penuh. Saat ini sedang dilakukan pekerjaan intensif di bidang ini, telah diperoleh banyak hasil yang menarik baik dari segi biologis maupun murni titik matematika penglihatan. Namun, dasar dari penelitian ini adalah model yang diciptakan oleh Mendel lebih dari 100 tahun yang lalu.

4. Model otot

Salah satu objek paling menarik penelitian fisiologis adalah otot. Objek ini sangat mudah diakses, dan pelaku eksperimen dapat melakukan banyak penelitian hanya pada dirinya sendiri, hanya dengan peralatan yang relatif sederhana. Fungsi yang dilakukan otot pada organisme hidup juga cukup jelas dan pasti. Meskipun demikian, berbagai upaya untuk membangun model fungsi otot yang memuaskan belum membuahkan hasil yang pasti. Jelas bahwa meskipun otot dapat meregang dan berkontraksi seperti pegas, sifat-sifatnya sangat berbeda, dan bahkan pada perkiraan pertama, pegas tidak dapat dianggap sebagai sejenis otot. Untuk pegas, terdapat hubungan erat antara perpanjangan pegas dan beban yang diberikan padanya. Hal ini tidak terjadi pada otot: otot dapat mengubah panjangnya sambil mempertahankan ketegangan, dan sebaliknya, mengubah gaya traksi tanpa mengubah panjangnya. Sederhananya, dengan panjang yang sama, otot bisa rileks atau tegang.

Di antara berbagai mode operasi yang mungkin dilakukan otot, yang paling signifikan adalah apa yang disebut kontraksi isotonik (yaitu kontraksi di mana ketegangan otot tetap konstan) dan ketegangan isometrik, di mana panjang otot tidak berubah (keduanya). ujungnya tetap). Mempelajari otot dalam mode ini penting untuk memahami prinsip kerjanya, meskipun dalam kondisi alami, aktivitas otot tidak murni isotonik atau isometrik murni.

Untuk menggambarkan hubungan antara kecepatan kontraksi otot isotonik dan besarnya beban bermacam-macam rumus matematika. Yang paling terkenal dari mereka adalah yang disebut persamaan karakteristik Hilla. Sepertinya

(P+a)V=b(P 0 -P),

Lainnya bagus formula terkenal untuk menggambarkan hubungan yang sama adalah persamaan Ober

P = P 0 e- V⁄P ±F

dan persamaan Polissar

V=konstan (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

Persamaan Hill telah tersebar luas dalam fisiologi; ini memberikan kesesuaian yang cukup baik dengan eksperimen pada otot-otot berbagai jenis hewan, meskipun sebenarnya ini mewakili hasil "kesesuaian" dan bukan kesimpulan dari beberapa model. Dua persamaan lain, yang memberikan ketergantungan yang kira-kira sama pada rentang beban yang cukup luas seperti persamaan Hill, diperoleh oleh penulisnya dari gagasan tertentu tentang mekanisme fisikokimia. kontraksi otot. Ada sejumlah upaya untuk membangun model kerja otot, dengan mempertimbangkan yang terakhir sebagai kombinasi elemen elastis dan kental. Namun, masih belum ada model yang cukup memuaskan yang mencerminkan semua ciri utama kerja otot dalam berbagai mode.

5. Model neuron, jaringan saraf

Sel saraf, atau neuron, adalah “unit kerja” yang membentuk sistem saraf dan tubuh hewan atau manusia mempunyai seluruh kemampuannya untuk memahami dan mengendalikan sinyal eksternal. berbagai bagian tubuh. Ciri khas sel saraf adalah sel tersebut dapat berada dalam dua keadaan - istirahat dan eksitasi. Dalam hal ini, sel-sel saraf mirip dengan elemen-elemen seperti tabung radio atau pemicu semikonduktor, dari mana sirkuit logis komputer dirangkai. Selama 15-20 tahun terakhir, banyak upaya telah dilakukan untuk memodelkan aktivitas sistem saraf, berdasarkan prinsip yang sama yang menjadi dasar kerja komputer universal. Pada tahun 40-an, peneliti Amerika McCulloch dan Pitts memperkenalkan konsep "neuron formal", yang mendefinisikannya sebagai sebuah elemen (yang sifat fisiknya tidak menjadi masalah) yang dilengkapi dengan sejumlah "rangsangan" dan sejumlah "" penghambatan”. Elemen ini sendiri bisa berada dalam dua keadaan - "istirahat" atau "kegembiraan". Keadaan tereksitasi terjadi jika neuron menerima sinyal rangsang dalam jumlah yang cukup dan tidak ada sinyal penghambat. McCulloch dan Pitts menunjukkan bahwa dengan bantuan sirkuit yang terdiri dari elemen-elemen tersebut, pada prinsipnya dimungkinkan untuk mengimplementasikan semua jenis pemrosesan informasi yang terjadi pada organisme hidup. Namun, hal ini tidak berarti bahwa kita telah mempelajari prinsip-prinsip sebenarnya dari sistem saraf. Pertama-tama, meskipun sel-sel saraf dicirikan oleh prinsip "semua atau tidak sama sekali", yaitu adanya dua keadaan yang jelas - istirahat dan kegembiraan, sama sekali tidak berarti bahwa sistem saraf kita, seperti yang universal komputer, menggunakan biner kode digital terdiri dari nol dan satu. Misalnya pada sistem saraf, modulasi frekuensi ternyata memegang peranan penting, yaitu transmisi informasi menggunakan lamanya interval waktu antar impuls. Secara umum, dalam sistem saraf tampaknya tidak ada pembagian metode pengkodean informasi menjadi “digital” diskrit) dan “analog” (kontinu) seperti yang tersedia dalam teknologi komputer modern.

Agar suatu sistem neuron dapat bekerja secara keseluruhan, perlu adanya hubungan tertentu antara neuron-neuron tersebut: impuls yang dihasilkan oleh satu neuron harus sampai pada masukan dari neuron lain. Koneksi ini dapat memiliki struktur yang benar dan teratur, atau hanya dapat ditentukan oleh pola statistik dan dapat mengalami perubahan acak tertentu. Pada perangkat komputasi yang ada saat ini, keacakan dalam hubungan antar elemen tidak diperbolehkan, namun terdapat sejumlah kajian teoritis tentang kemungkinan membangun perangkat komputasi berdasarkan prinsip hubungan acak antar elemen. Ada argumen yang cukup serius yang mendukung fakta bahwa hubungan antara neuron nyata dalam sistem saraf juga sebagian besar bersifat statistik, dan tidak sepenuhnya teratur. Namun pendapat mengenai hal ini berbeda-beda.

Secara umum, berikut ini yang dapat dikatakan tentang masalah pemodelan sistem saraf. Kita sudah mengetahui cukup banyak tentang kekhasan kerja neuron, yaitu unsur-unsur penyusun sistem saraf. Selain itu, dengan bantuan sistem neuron formal (dipahami dalam pengertian McCulloch dan Pitts atau dalam pengertian lain), yang mensimulasikan sifat dasar sel saraf nyata, dimungkinkan untuk memodelkan, sebagaimana telah disebutkan, cara pemrosesan yang sangat beragam. informasi. Namun demikian, kita masih jauh dari pemahaman yang jelas tentang prinsip-prinsip dasar fungsi sistem saraf dan bagian-bagiannya, dan akibatnya, dari menciptakan model yang memuaskan*.

* (Jika kita dapat menciptakan suatu sistem yang dapat memecahkan masalah yang sama seperti sistem lainnya, ini tidak berarti bahwa kedua sistem tersebut bekerja berdasarkan prinsip yang sama. Misalnya, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik pada komputer digital dengan memberikan program yang sesuai, atau Anda dapat menyelesaikan persamaan yang sama pada komputer analog. Kita akan mendapatkan hasil yang sama atau hampir sama, namun prinsip pemrosesan informasi pada kedua jenis mesin ini sangat berbeda.)

6. Persepsi terhadap gambaran visual. Penglihatan warna

Visi adalah salah satu saluran utama yang melaluinya kita menerima informasi dunia luar. Ekspresi terkenal- lebih baik melihat sekali daripada mendengar seratus kali - ini juga benar, dari sudut pandang informasi murni: jumlah informasi yang kita rasakan melalui penglihatan jauh lebih besar daripada yang dirasakan oleh indera lain. Pentingnya ini sistem visual untuk organisme hidup, bersama dengan pertimbangan lain (kekhususan fungsi, kemungkinan melakukan berbagai penelitian tanpa merusak sistem, dll.) mendorong studinya dan, khususnya, upaya pendekatan model untuk masalah ini.

Mata adalah organ yang berfungsi baik sebagai sistem optik dan perangkat pengolah informasi. Dari kedua sudut pandang, sistem ini memiliki beberapa hal properti yang luar biasa. Kemampuan mata untuk beradaptasi dengan rentang intensitas cahaya yang sangat luas dan memahami semua warna dengan benar sungguh luar biasa. Misalnya, sepotong kapur yang diletakkan di ruangan yang penerangannya buruk memantulkan cahaya kurang cahaya daripada sepotong batu bara yang terkena cahaya terang sinar matahari, namun, dalam setiap kasus ini kami memahami warna objek yang bersangkutan dengan benar. Mata menyampaikan perbedaan relatif dalam intensitas pencahayaan dengan baik dan bahkan “melebih-lebihkannya”. Jadi, bagi kita, garis abu-abu dengan latar belakang putih terang tampak lebih gelap daripada bidang padat yang sama abu-abu. Kemampuan mata untuk menekankan kontras dalam iluminasi disebabkan oleh fakta bahwa neuron visual memiliki efek penghambatan satu sama lain: jika neuron pertama dari dua neuron tetangga menerima sinyal yang lebih kuat daripada yang kedua, maka neuron tersebut memiliki efek penghambatan yang kuat pada neuron. kedua, dan perbedaan keluaran neuron-neuron ini intensitasnya lebih besar daripada perbedaan intensitas sinyal masukan. Model yang terdiri dari neuron formal yang dihubungkan oleh koneksi rangsang dan penghambatan telah menarik perhatian ahli fisiologi dan matematikawan. ada juga hasil yang menarik dan permasalahan yang belum terselesaikan.

Yang sangat menarik adalah mekanisme persepsi oleh mata berbagai warna. Seperti yang Anda ketahui, semua corak warna yang dilihat mata kita dapat direpresentasikan sebagai kombinasi tiga warna primer. Biasanya warna primer tersebut adalah merah, biru dan warna kuning, sesuai dengan panjang gelombang 700, 540 dan 450 Å, tetapi pilihan ini tidak ambigu.

Sifat penglihatan kita yang “tiga warna” disebabkan oleh fakta bahwa mata manusia memiliki tiga jenis reseptor, dengan sensitivitas maksimum masing-masing di zona kuning, biru dan merah. Pertanyaannya bagaimana kita membedakan ketiga reseptor tersebut? jumlah besar corak warna, tidak terlalu sederhana. Misalnya, masih belum cukup jelas warna apa yang dikodekan di mata kita: frekuensi impuls saraf, lokalisasi neuron yang secara istimewa merespons warna tertentu, atau hal lain. Ada beberapa ide model tentang proses persepsi warna ini, namun masih cukup awal. Namun tidak ada keraguan bahwa di sini juga, sistem neuron yang terhubung satu sama lain melalui koneksi rangsang dan penghambatan harus memainkan peran penting.

Terakhir, mata juga sangat menarik sebagai sistem kinematik. Serangkaian eksperimen yang cerdik (banyak di antaranya dilakukan di laboratorium fisiologi penglihatan di Institut Masalah Transmisi Informasi di Moskow) pada pandangan pertama menghasilkan hal-hal berikut ini. fakta yang tidak terduga: jika suatu gambar tidak bergerak relatif terhadap mata, maka mata tidak dapat melihatnya. Mata kita, saat mengamati suatu objek, secara harfiah “merasakan” objek tersebut (gerakan mata ini dapat direkam secara akurat dengan menggunakan peralatan yang sesuai). Studi tentang alat motorik mata dan perkembangannya representasi model cukup menarik baik dalam dirinya sendiri maupun dalam kaitannya dengan properti lain (optik, informasional, dll.) dari sistem visual kita.

Ringkasnya, kita dapat mengatakan bahwa kita masih jauh dari menciptakan model sistem visual yang memuaskan yang menggambarkan semua sifat dasarnya dengan baik. Namun, sejumlah aspek penting dan (prinsip pengoperasiannya sudah cukup jelas dan dapat dimodelkan dalam bentuk program komputer untuk komputer digital atau bahkan dalam bentuk perangkat teknis.

7. Model media aktif. Penyebaran eksitasi

Salah satunya sifat karakteristik banyak jaringan hidup, terutama jaringan saraf, ini adalah kemampuan mereka untuk menggairahkan dan mentransfer kegembiraan dari satu area ke area lain yang berdekatan dengannya. Kira-kira sekali dalam satu detik, gelombang kegembiraan mengalir melalui otot jantung kita, menyebabkannya berkontraksi dan mengalirkan darah ke seluruh tubuh. Eksitasi di sepanjang serabut saraf, menyebar dari perifer (organ indera) ke sumsum tulang belakang dan otak, memberi tahu kita tentang dunia luar, dan sebaliknya ada perintah eksitasi yang menentukan tindakan tertentu pada otot.

Eksitasi dalam sel saraf dapat terjadi dengan sendirinya (seperti yang mereka katakan, "spontan"), di bawah pengaruh sel tetangga yang tereksitasi, atau di bawah pengaruh beberapa sinyal eksternal, misalnya, rangsangan listrik yang berasal dari sumber arus tertentu. Setelah masuk ke keadaan tereksitasi, sel tetap berada di dalamnya selama beberapa waktu, dan kemudian eksitasi tersebut menghilang, setelah itu periode kekebalan sel tertentu terhadap rangsangan baru dimulai - yang disebut periode refrakter. Selama periode ini, sel tidak merespons sinyal yang diterimanya. Sel kemudian kembali ke keadaan semula, yang memungkinkan transisi ke keadaan eksitasi. Dengan demikian, eksitasi sel-sel saraf memiliki sejumlah sifat yang jelas, mulai dari mana dimungkinkan untuk membangun model aksiomatik dari fenomena ini. Selanjutnya, metode matematika murni dapat digunakan untuk mempelajari model ini.

Ide tentang model seperti itu dikembangkan beberapa tahun lalu dalam karya I.M. Gelfand dan M.L. Tsetlin, yang kemudian dilanjutkan oleh sejumlah penulis lain. Mari kita rumuskan deskripsi aksiomatik model yang dimaksud.

Yang kami maksud dengan “media yang menarik” adalah himpunan tertentu X elemen (“sel”) yang memiliki sifat-sifat berikut:

1.Setiap elemen dapat berada dalam salah satu dari tiga keadaan: istirahat, kegembiraan dan refraktori;

2. Dari setiap unsur yang tereksitasi, eksitasi merambat ke banyak unsur yang diam dengan kecepatan tertentu ay;

3.Jika barangnya X belum bersemangat untuk beberapa waktu tertentu T(x), kemudian setelah itu secara spontan masuk ke dalam keadaan tereksitasi. Waktu T(x) disebut periode aktivitas spontan suatu unsur X. Hal ini tidak terkecuali pada kasus kapan T(x)= ∞, yaitu ketika aktivitas spontan sebenarnya tidak ada;

4. Keadaan gembira berlangsung selama beberapa waktu τ (yang mungkin bergantung pada X), lalu elemen tersebut bergerak beberapa saat R(x) menjadi keadaan tahan api, setelah itu keadaan istirahat terjadi.

Model matematika serupa muncul di bidang yang sama sekali berbeda, misalnya, dalam teori pembakaran, atau dalam masalah perambatan cahaya dalam medium yang tidak homogen. Namun, adanya “masa refraktori” adalah hal yang wajar fitur karakteristik yaitu proses biologis.

Model yang dijelaskan dapat dipelajari atau metode analitis, atau dengan mengimplementasikannya di komputer. Dalam kasus terakhir, tentu saja kita terpaksa berasumsi bahwa himpunan tersebut X(media yang dapat dirangsang) terdiri dari sejumlah elemen tertentu yang terbatas (sesuai dengan kemampuan yang ada teknologi komputer- sekitar beberapa ribu). Untuk penelitian analitis, wajar jika berasumsi X beberapa variasi yang berkesinambungan (misalnya, pertimbangkan itu X- ini adalah bagian dari pesawat). Kasus paling sederhana model seperti itu diperoleh jika kita mengambilnya X beberapa segmen (prototipe serabut saraf) dan berasumsi bahwa waktu di mana setiap elemen berada dalam keadaan tereksitasi sangat singkat. Kemudian proses perambatan impuls secara berurutan sepanjang “serat saraf” tersebut dapat dijelaskan dengan rantai persamaan diferensial orde pertama biasa. Dalam model yang disederhanakan ini, sejumlah ciri proses propagasi yang juga ditemukan dalam eksperimen biologis nyata telah direproduksi.

Pertanyaan tentang kondisi munculnya model seperti itu dalam model seperti itu sangatlah menarik. lingkungan aktif yang disebut fibrilasi. Fenomena ini, yang diamati secara eksperimental, misalnya pada otot jantung, terdiri dari fakta bahwa alih-alih kontraksi terkoordinasi secara ritmis, eksitasi lokal acak muncul di jantung, tanpa periodisitas dan mengganggu fungsinya. Untuk pertama kalinya penelitian teoretis Masalah ini diatasi dalam karya N. Wiener dan A. Rosenbluth di tahun 50-an. Saat ini, pekerjaan ke arah ini sedang dilakukan secara intensif di negara kita dan telah membuahkan hasil yang menarik.