Algebrinės išraiškos 7. Algebros metodologinis tobulinimas tema: Algebrinės išraiškos ir jų charakteristikos

Algebrinės išraiškos pradedamos mokytis 7 klasėje. Jie turi daugybę savybių ir yra naudojami sprendžiant problemas. Išsamiau išnagrinėkime šią temą ir apsvarstykime problemos sprendimo pavyzdį.

Sąvokos apibrėžimas

Kokios išraiškos vadinamos algebrinėmis? Tai matematinis žymėjimas sudarytas iš skaičių, raidžių ir simbolių aritmetiniai veiksmai. Raidžių buvimas yra pagrindinis skirtumas tarp skaitinių ir algebrinių išraiškų. Pavyzdžiai:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Raidė algebrinėse išraiškose žymi skaičių. Todėl jis ir vadinamas kintamuoju – pirmame pavyzdyje tai raidė a, antrajame – b, trečiame – c. Pati algebrinė išraiška taip pat vadinama išraiška su kintamuoju.

Išraiškos reikšmė

Algebrinės išraiškos reikšmė yra skaičius, gautas atlikus visas šioje išraiškoje nurodytas aritmetines operacijas. Tačiau norint tai gauti, raides reikia pakeisti skaičiais. Todėl pavyzdžiuose jie visada nurodo, kuris skaičius atitinka raidę. Pažiūrėkime, kaip rasti reiškinio 8a-14*(5-a) reikšmę, jei a=3.

Vietoj raidės a pakeiskime skaičių 3 Gauname tokį įrašą: 8*3-14*(5-3).

Kaip ir skaitinėse išraiškose, algebrinės išraiškos sprendimas atliekamas pagal aritmetinių operacijų atlikimo taisykles. Išspręskime viską iš eilės.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Taigi reiškinio 8a-14*(5-a) reikšmė esant a=3 yra lygi -4.

Kintamojo reikšmė vadinama galiojančia, jei reiškinys su juo turi prasmę, tai yra, galima rasti jos sprendimą.

Galiojančio reiškinio 5:2a kintamojo pavyzdys yra skaičius 1. Pakeitę jį į išraišką, gauname 5:2*1=2,5.

Netinkamas šios išraiškos kintamasis yra 0. Jei išraiškoje pakeisime nulį, gausime 5:2*0, tai yra 5:0. Negalite padalyti iš nulio, o tai reiškia, kad išraiška neturi prasmės.

Tapatybės išraiškos

Jei dvi išraiškos yra lygios bet kurioms jų sudedamųjų kintamųjų reikšmėms, jos vadinamos identiškas.
Identiškų posakių pavyzdys :
4(a+c) ir 4a+4c.
Kad ir kokias reikšmes imtų raidės a ir c, išraiškos visada bus lygios. Bet kurią išraišką galima pakeisti kita, jai identiška. Šis procesas vadinamas tapatybės transformacija.

Tapatybės transformacijos pavyzdys .
4* (5a+14c) – ši išraiška pritaikius gali būti pakeistas identišku matematinis dėsnis daugyba. Norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sumos, turite padauginti šį skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Taigi išraiška 4*(5a+14c) yra identiška 20a+64c.

Skaičius, esantis prieš raidės kintamąjį algebrinėje išraiškoje, vadinamas koeficientu. Koeficientas ir kintamasis yra daugikliai.

Problemų sprendimas

Algebrinės išraiškos naudojamos uždaviniams ir lygtims spręsti.
Panagrinėkime problemą. Petya sugalvojo skaičių. Kad klasės draugas Sasha tai atspėtų, Petja jam pasakė: iš pradžių prie skaičiaus pridėjau 7, paskui iš jo atėmiau 5 ir padauginau iš 2. Rezultate gavau skaičių 28. Kokį skaičių atspėjau?

Norėdami išspręsti problemą, paslėptą skaičių turite pažymėti raide a ir tada atlikti viską nurodytus veiksmus su juo.

• (a+7)–5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Dabar išspręskime gautą lygtį.

Petya norėjo numerio 12.

Ko mes išmokome?

Algebrinė išraiška yra įrašas, sudarytas iš raidžių, skaičių ir aritmetinių simbolių. Kiekviena išraiška turi reikšmę, kuri randama atlikus visas išraiškos aritmetines operacijas. Raidė algebrinėje išraiškoje vadinama kintamuoju, o prieš ją esantis skaičius – koeficientu. Algebrinės išraiškos naudojamos uždaviniams spręsti.

Galime parašyti keletą matematinių išraiškų įvairiais būdais. Priklausomai nuo mūsų tikslų, ar turime pakankamai duomenų ir pan. Skaitiniai ir algebrinės išraiškos Jie skiriasi tuo, kad pirmuosius rašome tik kaip skaičius, sujungtus naudojant aritmetinius ženklus (sudėtį, atimtį, daugybą, padalijimą) ir skliaustus.

Jei vietoj skaičių į reiškinį įvesite lotyniškas raides (kintamuosius), ji taps algebrine. Algebrinėse išraiškose naudojamos raidės, skaičiai, sudėjimo ir atimties, daugybos ir padalijimo ženklai. Taip pat galima naudoti šaknies, laipsnio ir skliaustų ženklą.

Bet kokiu atveju, nesvarbu, ar išraiška yra skaitinė, ar algebrinė, tai negali būti tik atsitiktinis ženklų, skaičių ir raidžių rinkinys – jis turi turėti reikšmę. Tai reiškia, kad raidės, skaičiai, ženklai turi būti siejami kažkokiu ryšiu. Teisingas pavyzdys: 7x + 2: (y + 1). Blogas pavyzdys): + 7x - * 1.

Žodis „kintamasis“ buvo paminėtas aukščiau – ką tai reiškia? Tai lotyniška raidė, vietoj kurios galite pakeisti skaičių. O jei kalbame apie kintamuosius, šiuo atveju algebrines išraiškas galima vadinti algebrine funkcija.

Kintamasis gali užtrukti skirtingos reikšmės. Ir vietoj jo pakeitę kokį nors skaičių, šiuo atveju galime rasti algebrinės išraiškos reikšmę specifinę reikšmę kintamasis. Kai kintamojo reikšmė skiriasi, išraiškos reikšmė bus skirtinga.

Kaip išspręsti algebrines išraiškas?

Norėdami apskaičiuoti vertes, kurias turite padaryti konvertuojant algebrines išraiškas. Ir tam vis tiek reikia atsižvelgti į keletą taisyklių.

Pirma: algebrinių išraiškų apimtis yra visa galimas vertes kintamieji, kuriems ši išraiška gali būti prasminga. Ką reiškia? Pavyzdžiui, negalite pakeisti reikšmės kintamojo, kurį reikėtų padalyti iš nulio. Išraiškoje 1/(x – 2) 2 turi būti pašalintas iš apibrėžimo srities.

Antra, atsiminkite, kaip supaprastinti išraiškas: jas koeficientuoti, identiškus kintamuosius ištraukti skliausteliuose ir pan. Pavyzdžiui: jei pakeisite terminus, suma nepasikeis (y + x = x + y). Taip pat produktas nepasikeis, jei faktoriai bus sukeisti (x*y = y*x).

Apskritai jie puikiai tinka algebrinėms išraiškoms supaprastinti. sutrumpintos daugybos formulės. Tie, kurie jų dar neišmoko, tikrai turėtų tai padaryti – jie vis tiek pravers ne kartą:

randame skirtumą tarp kintamųjų kvadratu: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);

randame sumą kvadratu: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;

apskaičiuojame skirtumą kvadratu: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;

kubuokite sumą: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 arba (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kubuokite skirtumą: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 arba (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);

randame kubelių kintamųjų sumą: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);

apskaičiuojame skirtumą tarp kubelių kintamųjų: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);

naudojame šaknis: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), o 1 ir a 2 yra išraiškos xa 2 + ua + z šaknys.

Taip pat turėtumėte suprasti algebrinių išraiškų tipus. Jie yra:

racionalūs, o tie savo ruožtu skirstomi į:

sveikieji skaičiai (nėra skirstymo į kintamuosius, neskiriama šaknų iš kintamųjų ir nekeliama į trupmeninius laipsnius): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b) Apibrėžimo sritis yra visos galimos kintamųjų reikšmės ;

trupmeninis (išskyrus kitus matematines operacijas, pvz., sudėtis, atimtis, daugyba, šiose išraiškose jie dalijasi iš kintamojo ir padidina iki laipsnio (su natūralus rodiklis): (2/b – 3/a + c/4) 2 . Apibrėžimo sritis yra visos kintamųjų, kurių išraiška nėra lygi nuliui, reikšmės;

neracionalus – kad algebrinė išraiška būtų laikoma tokia, joje turi būti kintamųjų didinimo iki laipsnio su trupmeninis rodiklis ir (arba) šaknų ištraukimas iš kintamųjų: √a + b 3/4. Apibrėžimo sritis – visos kintamųjų reikšmės, išskyrus tuos, kurių išraiška yra lyginio laipsnio šaknyje arba žemiau trupmeninė galia tampa neigiamu skaičiumi.

Identiškos algebrinių išraiškų transformacijos– dar vienas naudingas triukas Jas išspręsti.

Išraiška, kuri priklauso nuo kai kurių kintamųjų, gali būti identiškai lygi kitai išraiškai, jei ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų ir jei abiejų išraiškų reikšmės yra vienodos, nesvarbu, kokios kintamųjų reikšmės yra pasirinktos. Kitaip tariant, jei posakis gali būti išreikštas dviem skirtingais būdais (išraiškomis), kurių reikšmės yra vienodos, tai tie posakiai yra identiški. Pavyzdžiui: y + y = 2y arba x 7 = x 4 * x 3 arba x + y + z = z + x + y.

Atliekant užduotis su algebrinėmis išraiškomis tapatybės transformacija tarnauja tam, kad vieną posakį būtų galima pakeisti kita jai identiška išraiška. Pavyzdžiui, pakeiskite x 9 gaminiu x 5 * x 4.

Sprendimų pavyzdžiai

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į kelis pavyzdžius. algebrinių reiškinių transformacijos. Šio lygio užduotis galima rasti vieningo valstybinio egzamino KIM.

1 užduotis: Raskite reiškinio reikšmę ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).

Sprendimas: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.

2 užduotis: Raskite reiškinio reikšmę (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).

Sprendimas: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3) )(2x + 3) = 6.

Išvada

Ruošdamasis mokykliniams testams, Vieningi valstybiniai egzaminai ir GIA, šią medžiagą visada galite naudoti kaip užuominą. Atminkite, kad algebrinė išraiška yra išreikštų skaičių ir kintamųjų derinys lotyniškomis raidėmis. Taip pat aritmetinių operacijų (sudėties, atimties, daugybos, dalybos) ženklai, skliaustai, laipsniai, šaknys.

Norėdami transformuoti algebrines išraiškas, naudokite sutrumpintas daugybos formules ir tapatybių žinias.

Komentaruose rašykite mums savo pastabas ir pageidavimus – mums svarbu žinoti, kad mus skaitote.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Kai kurias matematines išraiškas galime parašyti įvairiais būdais. Priklausomai nuo mūsų tikslų, ar turime pakankamai duomenų ir pan. Skaitinės ir algebrinės išraiškos Jie skiriasi tuo, kad pirmuosius rašome tik kaip skaičius, sujungtus naudojant aritmetinius ženklus (sudėtį, atimtį, daugybą, padalijimą) ir skliaustus.

Jei vietoj skaičių į reiškinį įvesite lotyniškas raides (kintamuosius), ji taps algebrine. Algebrinėse išraiškose naudojamos raidės, skaičiai, sudėjimo ir atimties, daugybos ir padalijimo ženklai. Taip pat galima naudoti šaknies, laipsnio ir skliaustų ženklą.

Bet kokiu atveju, nesvarbu, ar išraiška yra skaitinė, ar algebrinė, tai negali būti tik atsitiktinis ženklų, skaičių ir raidžių rinkinys – jis turi turėti reikšmę. Tai reiškia, kad raidės, skaičiai, ženklai turi būti siejami kažkokiu ryšiu. Teisingas pavyzdys: 7x + 2: (y + 1). Blogas pavyzdys): + 7x - * 1.

Žodis „kintamasis“ buvo paminėtas aukščiau – ką tai reiškia? Tai lotyniška raidė, vietoj kurios galite pakeisti skaičių. O jei kalbame apie kintamuosius, šiuo atveju algebrines išraiškas galima vadinti algebrine funkcija.

Kintamasis gali turėti skirtingas reikšmes. Ir vietoj jo pakeitę kokį nors skaičių, galime rasti šios konkrečios kintamojo reikšmės algebrinės išraiškos reikšmę. Kai kintamojo reikšmė skiriasi, išraiškos reikšmė bus skirtinga.

Kaip išspręsti algebrines išraiškas?

Norėdami apskaičiuoti vertes, kurias turite padaryti konvertuojant algebrines išraiškas. Ir tam vis tiek reikia atsižvelgti į keletą taisyklių.

Pirma, algebrinių išraiškų apimtis yra visos galimos kintamojo reikšmės, kurių išraiška gali turėti prasmę. Ką reiškia? Pavyzdžiui, negalite pakeisti reikšmės kintamojo, kurį reikėtų padalyti iš nulio. Išraiškoje 1/(x – 2) 2 turi būti pašalintas iš apibrėžimo srities.

Antra, atsiminkite, kaip supaprastinti išraiškas: jas koeficientuoti, identiškus kintamuosius ištraukti skliausteliuose ir pan. Pavyzdžiui: jei pakeisite terminus, suma nepasikeis (y + x = x + y). Taip pat produktas nepasikeis, jei faktoriai bus sukeisti (x*y = y*x).

Apskritai jie puikiai tinka algebrinėms išraiškoms supaprastinti. sutrumpintos daugybos formulės. Tie, kurie jų dar neišmoko, tikrai turėtų tai padaryti – jie vis tiek pravers ne kartą:

randame skirtumą tarp kintamųjų kvadratu: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);

randame sumą kvadratu: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;

apskaičiuojame skirtumą kvadratu: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;

kubuokite sumą: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 arba (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kubuokite skirtumą: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 arba (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);

randame kubelių kintamųjų sumą: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);

apskaičiuojame skirtumą tarp kubelių kintamųjų: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);

naudojame šaknis: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), o 1 ir a 2 yra išraiškos xa 2 + ua + z šaknys.

Taip pat turėtumėte suprasti algebrinių išraiškų tipus. Jie yra:

racionalūs, o tie savo ruožtu skirstomi į:

sveikieji skaičiai (nėra skirstymo į kintamuosius, neskiriama šaknų iš kintamųjų ir nekeliama į trupmeninius laipsnius): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b) Apibrėžimo sritis yra visos galimos kintamųjų reikšmės ;

trupmeninis (išskyrus kitus matematinius veiksmus, tokius kaip sudėtis, atimtis, daugyba, šiose išraiškose jie dalijami iš kintamojo ir pakeliami iki laipsnio (su natūraliuoju rodikliu): (2/b - 3/a + c/4) 2. Apibrėžimo sritis – visi reikšmių kintamieji, kurių išraiška nėra lygi nuliui;

neracionalus – kad algebrinė išraiška būtų tokia laikoma, ji turi apimti kintamųjų pakėlimą į laipsnį su trupmeniniu rodikliu ir (arba) šaknų išskyrimą iš kintamųjų: √a + b 3/4. Apibrėžimo sritis yra visos kintamųjų reikšmės, išskyrus tuos, kurių išraiška po lyginio laipsnio šaknimi arba po trupmeniniu laipsniu tampa neigiamu skaičiumi.

Identiškos algebrinių išraiškų transformacijos yra dar vienas naudingas būdas juos išspręsti.

Išraiška, kuri priklauso nuo kai kurių kintamųjų, gali būti identiškai lygi kitai išraiškai, jei ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų ir jei abiejų išraiškų reikšmės yra vienodos, nesvarbu, kokios kintamųjų reikšmės yra pasirinktos. Kitaip tariant, jei posakis gali būti išreikštas dviem skirtingais būdais (išraiškomis), kurių reikšmės yra vienodos, tai tie posakiai yra identiški. Pavyzdžiui: y + y = 2y arba x 7 = x 4 * x 3 arba x + y + z = z + x + y.

Atliekant užduotis su algebrinėmis išraiškomis, tapatybės transformacija užtikrina, kad vieną išraišką būtų galima pakeisti kita jai identiška. Pavyzdžiui, pakeiskite x 9 gaminiu x 5 * x 4.

Sprendimų pavyzdžiai

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į kelis pavyzdžius. algebrinių reiškinių transformacijos. Šio lygio užduotis galima rasti vieningo valstybinio egzamino KIM.

1 užduotis: Raskite reiškinio reikšmę ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).

Sprendimas: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.

2 užduotis: Raskite reiškinio reikšmę (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).

Sprendimas: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3) )(2x + 3) = 6.

Išvada

Ruošdamiesi mokykliniams, vieningiems valstybiniams egzaminams ir valstybiniams egzaminams visada galite pasinaudoti šia medžiaga kaip užuomina. Atminkite, kad algebrinė išraiška yra skaičių ir kintamųjų, išreikštų lotyniškomis raidėmis, derinys. Taip pat aritmetinių operacijų (sudėties, atimties, daugybos, dalybos) ženklai, skliaustai, laipsniai, šaknys.

Norėdami transformuoti algebrines išraiškas, naudokite sutrumpintas daugybos formules ir tapatybių žinias.

Komentaruose rašykite mums savo pastabas ir pageidavimus – mums svarbu žinoti, kad mus skaitote.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Leidinyje pateikiama algebrinių išraiškų skirtumo logika, skirta pagrindinio bendrojo ir vidurinio (viso) studentams. bendrojo išsilavinimo kaip pereinamoji skirtumų logikos formavimosi stadija matematines išraiškas naudojami fizikoje ir kt. tolesniam sampratų apie reiškinius formavimui, uždaviniams, jų klasifikacijai ir jų sprendimo metodologijai.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Algebrinės išraiškos ir jų charakteristikos

© Skarzhinsky Y.Kh.

Algebra, kaip mokslas, tiria raidėmis pažymėtų rinkinių veiksmų modelius.KAM algebrinės operacijos apima sudėjimą, atimtį, daugybą, padalijimą, eksponenciją, šaknies ištraukimą.Dėl šių veiksmų susidarė algebrinės išraiškos.Algebrinė išraiška yra išraiška, susidedanti iš skaičių ir raidžių, žyminčių aibes, su kuriomis atliekamos algebrinės operacijos.Šios operacijos buvo perkeltos į algebrą iš aritmetikos. Algebroje jie svarstoprilyginant vieną algebrinę išraišką kitai, kuri yra identiška jų lygybė. Algebrinių išraiškų pavyzdžiai pateikti §1.Iš aritmetikos buvo pasiskolinti ir transformacijų bei sąryšių tarp išraiškų metodai. Veiksmų aritmetinių dėsnių išmanymas aritmetines išraiškas leidžia atlikti panašių algebrinių išraiškų transformacijas, jas transformuoti, supaprastinti, lyginti, analizuoti.Algebra yra mokslas apie išraiškų, sudarytų iš formoje pavaizduotų aibių, transformacijų modelius raidžių pavadinimai, tarpusavyje susiję įvairių veiksmų ženklai.Aukštosiose mokyklose tiriamos ir sudėtingesnės algebrinės išraiškos. švietimo įstaigų. Kol kas juos galima suskirstyti į dažniausiai mokyklinėje programoje naudojamas rūšis.

1 Algebrinių reiškinių tipai

1 punktas Paprastos išraiškos: 4a; (a + b); (a + b) 3c; ; .

2 punktas Identiškos lygybės:(a + b)c = ac + bc; ;

3 punktas Nelygybės: ac ; a + c .

4 punktas Formulės: x=2a+5; y=3b; y = 0,5 d 2 +2;

5 punktas Proporcijos:

Pirmas sunkumo lygis

Antras sunkumo lygis

Trečias sunkumo lygisrinkinių verčių paieškos požiūriu

a, b, c, m, k, d:

Ketvirtas sunkumo lygisa, y rinkinių reikšmių paieškos požiūriu:

6 punktas lygtys:

ax+c = -5bx; 4x 2 +2x= 42;

ir kt.

7 punktas Funkcinės priklausomybės: y = 3x; y = ax 2 + 4b; y = 0,5x 2 +2;

ir kt.

2 Apsvarstykite algebrines išraiškas

2.1 1 skyriuje pateikiamos paprastos algebrinės išraiškos. Yra vaizdas ir

sunkiau, pvz.

Paprastai tokios išraiškos neturi „=“ ženklo. Svarstant tokias išraiškas, užduotis yra jas transformuoti ir gauti supaprastinta forma. Transformuojant su 1 žingsniu susijusią algebrinę išraišką, gaunama nauja algebrinė išraiška, kuri savo reikšme yra lygiavertė ankstesnei. Teigiama, kad tokie posakiai yra identiški lygiaverčiai. Tie. lygybės ženklo kairėje esanti algebrinė išraiška yra lygiavertė dešinėje esančiai algebrinei išraiškai. Šiuo atveju gaunama naujo tipo algebrinė išraiška, vadinama identiška lygybe (žr. 2 pastraipą).

2.2 2 skyriuje pateikiamos algebrinės tapatybės lygybės, kurios formuojamos algebrinės transformacijos metodais, laikomos algebrinės išraiškos, kurios dažniausiai naudojamos kaip fizikos uždavinių sprendimo metodai. Identiškų algebrinių transformacijų lygybių, dažnai naudojamų matematikoje ir fizikoje, pavyzdžiai:

Komutacinis sudėjimo dėsnis: a + b = b + a.

Sudėjimo dėsnis:(a + b) + c = a + (b + c).

Komutacinės daugybos dėsnis: ab = ba.

Daugybos kombinacijų dėsnis:(ab)c = a(bc).

Daugybos paskirstymo dėsnis, susijęs su sudėjimu:

(a + b)c = ac + bc.

Daugybos skirstymo dėsnis atimties atžvilgiu:

(a – b)c = ac – bc.

Identiškos lygybėstrupmeninės algebrinės išraiškos(darant prielaidą, kad trupmenų vardikliai nėra nulis):

Identiškos lygybėsalgebrinės išraiškos su galiomis:

A) ,

kur (n kartų, ) - laipsnis su sveikuoju rodikliu

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2.

Identiškos lygybėsalgebrinės išraiškos su šaknimis n laipsnis:

Išraiška - aritmetinė šaknis n laipsnis iš tarpo Visų pirma, - aritmetinis kvadratas.

Laipsnis su trupmeniniu (racionaliuoju) rodikliušaknis:

Aukščiau pateiktos lygiavertės išraiškos naudojamos sudėtingesnėms algebrinėms išraiškoms, kuriose nėra „=“ ženklo, transformuoti.

Panagrinėkime pavyzdį, kuriame, norėdami transformuoti sudėtingesnę algebrinę išraišką, naudojame žinias, gautas transformuojant paprastesnes algebrines išraiškas identiškų lygybių pavidalu.

2.3 3 skyriuje pateikiamos algebrinės n lygybė, kurioje kairiosios pusės algebrinė išraiška nėra lygi dešiniajai, t.y. nėra identiški. Šiuo atveju tai yra nelygybė. Paprastai, sprendžiant kai kurias fizikos problemas, svarbios nelygybių savybės:

1) Jei a, tada bet kuriam c: a + c .

2) Jei a ir c > 0, tada ac .

3) Jei a ir c , tada ac > bс .

4) Jei a , a ir b tada vienas ženklas 1/a > 1/b .

5) Jei a ir c , tada a + c , a - d .

6) Jei a , c , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, tada ac .

7) Jei a , a > 0, b > 0, tada

8) Jei , tada

2.4 4 skyriuje pateikiamos algebrinės formulėstie. algebrinės išraiškos, kuriose kairėje lygybės ženklo pusėje yra raidė, žyminti aibę, kurios reikšmė nežinoma ir turi būti nustatyta. O dešinėje lygybės ženklo pusėje yra rinkiniai, kurių reikšmės yra žinomos. IN šiuo atvejuši algebrinė išraiška vadinama algebrinė formulė.

Algebrinė formulė – tai algebrinė išraiška, turinti lygybės ženklą, kurios kairėje pusėje yra aibė, kurios reikšmė nežinoma, o dešinėje – aibės su žinomomis reikšmėmis, remiantis uždavinio sąlygomis.Norint nustatyti ne žinoma vertė rinkinius į kairę nuo „lygybės“ ženklo, jie pakeičia žinomas dydžių vertes dešinėje „lygybės“ ženklo pusėje ir atlieka aritmetines skaičiavimo operacijas, nurodytas šios dalies algebrinėje išraiškoje.

1 pavyzdys:

Duota: Sprendimas:

a=25 Tegu pateikiama algebrinė išraiška:

x=? x=2a+5.

Ši algebrinė išraiška yra algebrinė formulė, nes Lygybės ženklo kairėje yra aibė, kurios reikšmę reikia rasti, o dešinėje – aibės su žinomomis reikšmėmis.

Todėl galima aibę „a“ pakeisti žinoma reikšme, kad būtų nustatyta nežinoma aibės „x“ reikšmė:

x=2·25+5=55. Atsakymas: x=55.

2 pavyzdys:

Duota: Sprendimas:

a=25 Algebrinė išraiškayra formulė.

b=4 Todėl galima pakeisti žinomą

c=8 reikšmės aibėms, esančioms lygybės ženklo dešinėje,

d=3, kad būtų nustatyta nežinoma aibės „k“ reikšmė,

m=20 stovint kairėje:

n=6 Atsakymas: k=3,2.

KLAUSIMAI

1 Kas yra algebrinė išraiška?

2 Kokius algebrinių reiškinių tipus žinote?

3 Kokia algebrinė išraiška vadinama tapatybės lygybe?

4 Kodėl būtina žinoti tapatybės lygybės modelius?

5 Kokia algebrinė išraiška vadinama formule?

6 Kokia algebrinė išraiška vadinama lygtimi?

7 Kokia algebrinė išraiška vadinama funkcine priklausomybe?

>>Matematika: skaitinės ir algebrinės išraiškos

Skaitinės ir algebrinės išraiškos

IN jaunesniųjų klasių išmokote atlikti skaičiavimus sveikieji ir trupmeniniai skaičiai, išsprendė lygtis, susipažino su geometrines figūras, Su koordinačių plokštuma. Visa tai sudarė vieno turinio turinį mokyklinis dalykas „matematika“. Tiesą sakant, tokia svarbi mokslo sritis kaip matematika yra padalinta į didžiulis skaičius nepriklausomos disciplinos: algebra, geometrija, tikimybių teorija, matematinė analizė, matematinė logika, matematinė statistika, žaidimų teorija ir kt. Kiekviena disciplina turi savo tyrimo objektus, savo tikrovės supratimo metodus.

Algebra, kurią ruošiamės studijuoti, suteikia žmogui galimybę ne tik atlikti įvairius skaičiavimai, bet ir moko jį tai daryti kuo greičiau ir racionaliau. Vyras turintis algebriniai metodai, turi pranašumą prieš tuos, kurie šių metodų neįvaldo: greičiau skaičiuoja, sėkmingiau naršo gyvenimo situacijos, aiškiau priima sprendimus, geriau mąsto. Mūsų užduotis – padėti jums įsisavinti algebrinius metodus, jūsų užduotis – nesipriešinti mokymuisi, būti noriai sekti mus, įveikiant sunkumus.

Tiesą sakant, pradinėje mokykloje langas į tavo gyvenimą jau buvo atidarytas. magiškas pasaulis algebra, nes algebra pirmiausia tiria skaitines ir algebrines išraiškas.

Prisiminkime, kad skaitinė išraiška yra bet koks įrašas, sudarytas iš skaičių ir aritmetinių operacijų ženklų (žinoma, su reikšme: pavyzdžiui, 3 + 57 - skaitinė išraiška, o 3 + : nėra skaitinė išraiška, o beprasmis simbolių rinkinys). Dėl tam tikrų priežasčių (apie jas kalbėsime vėliau) vietoj konkrečių skaičių (daugiausia iš Lotynų abėcėlė); tada gaunama algebrinė išraiška. Šios išraiškos gali būti labai sudėtingos. Algebra moko jus supaprastinti jų naudojimą skirtingos taisyklės, dėsniai, savybės, algoritmai, formulės, teoremos.

1 pavyzdys. Supaprastinkite skaitinę išraišką:

Sprendimas. Dabar mes ką nors prisiminsime kartu ir pamatysite, kiek algebrinių faktų jau žinote. Pirmiausia turite parengti skaičiavimų planą. Norėdami tai padaryti, turėsite naudoti matematikoje priimtus susitarimus dėl operacijų tvarkos. Procedūra į šiame pavyzdyje bus taip:

1) raskite išraiškos reikšmę A pirmuosiuose skliaustuose:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) antruose skliaustuose raskite išraiškos reikšmę B:

3) padalinkite A iš B – tada sužinosime, koks skaičius C yra skaitiklyje (t. y. virš horizontalios linijos);

4) raskite vardiklio reikšmę D (t. y. išraišką, esančią po horizontalia linija):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) padalinkite C iš D – tai bus norimas rezultatas. Taigi, yra skaičiavimo planas (o turėti planą yra pusė
sėkmės!), pradėkime jį įgyvendinti.

1) Raskime A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Žinoma, galite skaičiuoti iš eilės arba, kaip sakoma, „galva į galvą“: 2,73 + 4,81, tada pridėti prie šio skaičiaus
3,27, tada atimkite 2,81. Bet kultūringas žmogus Taip neapskaičiuosi. Jis prisimins komutacinius ir asociatyvinius sudėjimo dėsnius (tačiau jam nereikia jų atsiminti, jie visada yra jo galvoje) ir apskaičiuos taip:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

Dabar dar kartą kartu paanalizuokime, ką matematikos faktus spręsdami pavyzdį turėjome prisiminti (ir ne tik prisiminti, bet ir panaudoti).

1. Aritmetinių operacijų tvarka.

2. Komutacinis sudėjimo dėsnis: a + b = b + a.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis skirta švietimo įstaigų