Studijuodami algebrą, moksleiviai susiduria su daugybe lygčių tipų. Tarp paprasčiausių yra linijiniai, kuriuose yra vienas nežinomas. Jei matematinės išraiškos kintamasis pakeltas į tam tikras laipsnis, tada lygtis vadinama kvadratine, kubine, bikvadratine ir pan. Nurodytos išraiškos gali būti racionalių skaičių. Tačiau yra ir neracionalių lygčių. Jie skiriasi nuo kitų tuo, kad yra funkcija, kai nežinomasis yra po radikalo ženklu (tai yra grynai išoriškai, kintamasis čia gali būti parašytas po kvadratine šaknimi). Iracionalių lygčių sprendimas turi savo būdingi bruožai. Skaičiuojant kintamojo reikšmę, norint gauti teisingą atsakymą, reikia į juos atsižvelgti.
„Neapsakomas žodžiais“
Ne paslaptis, kad daugiausia veikė senovės matematikai racionalūs skaičiai. Tai, kaip žinoma, apima sveikuosius skaičius, išreikštus įprastais ir dešimtainiais skaičiais periodinės trupmenosšios bendruomenės atstovai. Tačiau Artimųjų ir Artimųjų Rytų, taip pat Indijos mokslininkai, plėtodami trigonometriją, astronomiją ir algebrą, išmoko spręsti ir neracionalias lygtis. Pavyzdžiui, graikai žinojo panašius kiekius, tačiau juos įdėjo žodinė forma, vartojo sąvoką „alogos“, o tai reiškė „neišreiškiamas“. Kiek vėliau europiečiai, mėgdžiodami juos, tokius skaičius pavadino „kurčiais“. Jie skiriasi nuo visų kitų tuo, kad gali būti pavaizduoti tik begalybės pavidalu neperiodinė trupmena, kurios galutinės skaitinės išraiškos gauti tiesiog neįmanoma. Todėl dažniau tokie skaičių karalystės atstovai rašomi skaičių ir ženklų pavidalu kaip kokia nors išraiška, esanti po antrojo ar aukštesnio laipsnio šaknimi.
Remdamiesi tuo, kas išdėstyta aukščiau, pabandykime apibrėžti neracionalią lygtį. Tokiuose posakiuose yra vadinamųjų „neapsakomų skaičių“, užrašytų naudojant ženklą kvadratinė šaknis. Jie gali būti visokie gražūs sudėtingi variantai, bet savo savo paprasčiausia forma Jie atrodo taip, kaip žemiau esančioje nuotraukoje.
Pradedant spręsti neracionalias lygtis, visų pirma reikia apskaičiuoti plotą priimtinos vertės kintamasis.
Ar posakis turi prasmę?
Kaip žinoma, reikia patikrinti gautas vertes. panaši išraiška priimtina ir turi prasmę tik tam tikromis sąlygomis. Lyginių laipsnių šaknų atvejais visos radikalios išraiškos turi būti teigiamos arba lygios nuliui. Jeigu ši sąlyga neįvykdytas, tada pateikiamas matematinis žymėjimas negali būti laikomas prasmingu.
Pateiksime konkretų pavyzdį, kaip išspręsti neracionalias lygtis (pavaizduota žemiau).
IN šiuo atveju tai akivaizdu nurodytomis sąlygomis negali būti įvykdytas jokioms reikšmėms, kurias priima norima reikšmė, nes paaiškėja, kad 11 ≤ x ≤ 4. Tai reiškia, kad tik Ø gali būti sprendimas.
Analizės metodas
Iš to, kas išdėstyta aukščiau, tampa aišku, kaip išspręsti tam tikrų tipų neracionalias lygtis. Čia efektyviu būdu gali būti paprasta analizė.
Pateiksime keletą pavyzdžių, kurie tai dar kartą aiškiai parodys (pavaizduota žemiau).
Pirmuoju atveju, atidžiai išnagrinėjus posakį, iškart paaiškėja, kad tai negali būti tiesa. Iš tiesų, kairėje lygybės pusėje turėtume gauti teigiamas skaičius, kuris niekaip negali būti lygus -1.
Antruoju atveju galima laikyti dviejų teigiamų išraiškų sumą lygus nuliui, tik tada, kai x - 3 = 0 ir x + 3 = 0 vienu metu. Ir tai vėl neįmanoma. Ir tai reiškia, kad atsakymas vėl turėtų būti parašytas Ø.
Trečiasis pavyzdys labai panašus į jau aptartą anksčiau. Iš tikrųjų čia ODZ sąlygos reikalauja, kad būtų įvykdyta tokia absurdiška nelygybė: 5 ≤ x ≤ 2. Ir tokia lygtis taip pat negali turėti protingų sprendinių.
Neribotas priartinimas
Iracionalumo prigimtį galima aiškiausiai ir visapusiškai paaiškinti ir pažinti tik per begalinę skaičių seriją dešimtainis. Ir konkrečiai, ryškus pavyzdys vienas iš šios šeimos narių yra πi. Ne veltui ši matematinė konstanta buvo žinoma nuo seniausių laikų, naudojama skaičiuojant apskritimo perimetrą ir plotą. Tačiau europiečių tarpe pirmą kartą jį praktiškai įgyvendino anglas Williamas Jonesas ir šveicaras Leonardas Euleris.
Ši konstanta atsiranda taip. Jei palyginsime skirtingų perimetrų apskritimus, tai jų ilgių ir skersmenų santykis būtinai lygus tam pačiam skaičiui. Tai yra pi. Jei išreikšime tai per bendroji trupmena, tada gauname maždaug 22/7. Pirmiausia tai padarė didysis Archimedas, kurio portretas parodytas aukščiau esančiame paveikslėlyje. Štai kodėl toks numeris gavo jo vardą. Bet tai ne aiški, o apytikslė bene nuostabiausių skaičių reikšmė. Genialus mokslininkas norimą reikšmę rado 0,02 tikslumu, bet, tiesą sakant, ši konstanta neturi realios reikšmės, o išreiškiama kaip 3,1415926535... Tai begalinė skaičių serija, be galo artėjanti prie kažkokios mitinės reikšmės.
Kvadratavimas
Bet grįžkime prie neracionalių lygčių. Norėdami rasti nežinomybę, šiuo atveju jie labai dažnai griebiasi paprastas metodas: kvadratu iš abiejų esamos lygybės pusių. Šis metodas paprastai suteikia gerų rezultatų. Tačiau reikėtų atsižvelgti į neracionalių kiekių klastingumą. Visos dėl to gautos šaknys turi būti patikrintos, nes jos gali netikti.
Bet toliau nagrinėkime pavyzdžius ir pabandykime surasti kintamuosius naudodami naujai siūlomą metodą.
Naudojant Vietos teoremą, visai nesunku rasti norimas dydžių reikšmes po to, kai atlikdami tam tikras operacijas suformavome kvadratinė lygtis. Čia paaiškėja, kad tarp šaknų bus 2 ir -19. Tačiau tikrindami, pakeisdami gautas reikšmes į pradinę išraišką, galite įsitikinti, kad nė viena iš šių šaknų netinka. Tai dažnas reiškinys neracionaliose lygtyse. Tai reiškia, kad mūsų dilema vėl neturi sprendimų, o atsakymas turėtų reikšti tuščią aibę.
Sudėtingesni pavyzdžiai
Kai kuriais atvejais abi išraiškos puses reikia kvadratuoti ne vieną, o kelis kartus. Pažvelkime į pavyzdžius, kur to reikia. Juos galima pamatyti žemiau.
Gavę šaknis, nepamirškite jų patikrinti, nes gali atsirasti papildomų. Reikėtų paaiškinti, kodėl tai įmanoma. Taikant šį metodą lygtis šiek tiek racionalizuojama. Tačiau atsikratyti mums nepatinkančių šaknų, kurios trukdo mums gaminti aritmetinės operacijos, mes tarsi plečiame esamą vertybių diapazoną, o tai kupina (kaip galima suprasti) pasekmių. Numatydami tai, atliekame patikrinimą. Tokiu atveju yra galimybė įsitikinti, kad tinka tik viena iš šaknų: x = 0.
Sistemos
Ką daryti tais atvejais, kai reikia išspręsti iracionaliųjų lygčių sistemas, o nežinomuosius turime ne vieną, o du? Čia elgiamės taip pat, kaip įprastais atvejais, tačiau atsižvelgdami į aukščiau pateiktas duomenų savybes matematines išraiškas. Ir kiekviename nauja užduotis, žinoma, reikia naudoti kūrybiškumas. Bet vėlgi, geriau viską apsvarstyti konkretus pavyzdys pateikta žemiau. Čia reikia ne tik rasti kintamuosius x ir y, bet ir atsakyme nurodyti jų sumą. Taigi, yra sistema, kurioje yra neracionalūs dydžiai (žr. nuotrauką žemiau).
Kaip matote, tokia užduotis neatspindi nieko antgamtiškai sudėtingo. Jums tereikia būti protingam ir išsiaiškinti, ką kairėje pusėje Pirmoji lygtis yra sumos kvadratas. Panašios užduotys randamos vieningame valstybiniame egzamine.
Iracionalus matematikoje
Kiekvieną kartą žmonijai iškildavo poreikis kurti naujus skaičių tipus, kai jai neužteko „erdvės“ kai kurioms lygtims išspręsti. Neracionalūs skaičiai nėra išimtis. Kaip liudija istorijos faktai, didieji išminčiai pirmą kartą į tai atkreipė dėmesį dar prieš mūsų erą, VII a. Tai padarė matematikas iš Indijos, žinomas kaip Manava. Kai kuriuos jis aiškiai suprato natūraliuosius skaičiusšaknies išgauti neįmanoma. Pavyzdžiui, tai apima 2; 17 ar 61, taip pat daugelis kitų.
Vienas iš pitagoriečių, mąstytojas, vardu Hipasas, padarė tokią pačią išvadą, bandydamas apskaičiuoti skaitinės išraiškos pentagramos pusės. Atidarymas matematiniai elementai, kurio negalima išreikšti skaitmenines vertybes ir neturi savybių įprasti skaičiai, jis taip supykdė kolegas, kad buvo išmestas už laivo į jūrą. Faktas yra tas, kad kiti pitagoriečiai jo samprotavimus laikė maištu prieš visatos dėsnius.
Radikalų ženklas: evoliucija
Šaknies ženklas išraiškai skaitinė reikšmė sprendžiant pradėti naudoti „kurtieji“ skaičiai neracionalios nelygybės ir lygtys nėra iš karto prieinamos. Europos, ypač italų, matematikai apie radikalą pirmą kartą pradėjo galvoti apie XIII a. Tuo pačiu metu jie sugalvojo naudoti lotynišką R žymėjimą, tačiau vokiečių matematikai savo darbuose elgėsi kitaip. Jiems labiau patiko V raidė Vokietijoje netrukus paplito žymėjimas V(2), V(3), kuriuo buvo siekiama išreikšti kvadratinę šaknį iš 2, 3 ir pan. Vėliau olandai įsikišo ir pakeitė radikalo ženklą. O Rene Descartesas užbaigė evoliuciją, patobulindamas kvadratinės šaknies ženklą iki šiuolaikinio tobulumo.
Atsikratyti neracionalumo
Iracionalios lygtys o nelygybės gali apimti kitą kintamąjį nei kvadratinės šaknies ženklas. Jis gali būti bet kokio laipsnio. Dažniausias būdas jo atsikratyti yra pakelti abi lygties puses iki atitinkamos galios. Tai yra pagrindinis veiksmas, padedantis operacijose su neracionaliais. Veiksmai lyginiais atvejais nesiskiria nuo tų, kuriuos jau aptarėme anksčiau. Čia reikia atsižvelgti į radikalios išraiškos neneigiamumo sąlygas, o sprendimo pabaigoje būtina išfiltruoti pašalines kintamųjų reikšmes taip pat, kaip buvo parodyta jau aptartuose pavyzdžiuose. .
Iš papildomos transformacijos Norint rasti teisingą atsakymą, dažnai naudojamas išraiškos dauginimas iš jos konjugato, taip pat dažnai reikia įvesti naują kintamąjį, kuris palengvina sprendimą. Kai kuriais atvejais patartina naudoti grafikus nežinomųjų reikšmei rasti.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Lygtys, kuriose kintamasis yra po šaknies ženklu, vadinamos iracionaliosiomis.
Iracionaliųjų lygčių sprendimo metodai dažniausiai yra pagrįsti galimybe pakeisti (naudojant kai kurias transformacijas) iracionaliąją lygtį racionalioji lygtis, kuri yra arba lygiavertė pradinei iracionaliajai lygčiai, arba yra jos pasekmė. Dažniausiai abi lygties pusės pakeliamos ta pačia galia. Tai sukuria lygtį, kuri yra pirminės lygties pasekmė.
Sprendžiant neracionalias lygtis, reikia atsižvelgti į:
1) jei radikalinis rodiklis yra lyginis skaičius, tai radikalioji išraiška turi būti neneigiama; šiuo atveju šaknies reikšmė taip pat yra neneigiama (šaknies apibrėžimas su lyginiu rodikliu);
2) jei šaknies indikatorius yra nelyginis skaičius, tada radikali išraiška gali būti bet kokia realus skaičius; šiuo atveju šaknies ženklas sutampa su radikalios išraiškos ženklu.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Padėkime abi lygties puses kvadratu.
x 2 - 3 = 1;
Perkelkime -3 iš kairės lygties pusės į dešinę ir atliksime panašių dėmenų redukciją.
x 2 = 4;
Gauta nepilna kvadratinė lygtis turi dvi šaknis -2 ir 2.
Patikrinkime gautas šaknis, kad tai padarytume, pakeisime kintamojo x reikšmes pradinė lygtis.
Apžiūra.
Kai x 1 = -2 – tiesa:
Kai x 2 = -2- tiesa.
Iš to išplaukia, kad pradinė neracionali lygtis turi dvi šaknis -2 ir 2.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
.
Šią lygtį galima išspręsti naudojant tą patį metodą, kaip ir pirmame pavyzdyje, tačiau mes tai padarysime kitaip.
Raskime ODZ duota lygtis. Iš kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad šioje lygtyje vienu metu turi būti įvykdytos dvi sąlygos:
Šio urano ODZ: x.
Atsakymas: nėra šaknų.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
=+ 2.
Rasti ODZ šioje lygtyje yra gana sunki užduotis. Padėkime abi lygties puses kvadratu:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4 + 4x;
=0;
x 1 = 1; x 2 =0.
Patikrinus nustatome, kad x 2 =0 yra papildoma šaknis.
Atsakymas: x 1 =1.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtį x =.
Šiame ODZ pavyzdys lengva rasti. Šios lygties ODZ: x[-1;).
Padėkime abi šios lygties puses kvadratu ir gausime lygtį x 2 = x + 1. Šios lygties šaknys yra:
Sunku patikrinti rastas šaknis. Tačiau, nepaisant to, kad abi šaknys priklauso ODZ, neįmanoma teigti, kad abi šaknys yra pradinės lygties šaknys. Dėl to bus padaryta klaida. Šiuo atveju neracionali lygtis yra lygi dviejų nelygybių ir vienos lygties deriniui:
x+10 Ir x0 Ir x 2 = x + 1, iš ko išplaukia, kad neigiama šaknis nes neracionali lygtis yra pašalinė ir turi būti atmesta.
5 pavyzdys. Išspręskite lygtį += 7.
Padėkime abi lygties puses kvadratu ir atliksime redukciją panašių narių, perkėlė sąlygas iš vienos lygybės dalies į kitą ir abi dalis padaugino iš 0,5. Dėl to gauname lygtį
= 12, (*), kuri yra pradinio pasekmė. Dar kartą išlyginkime abi lygties puses kvadratu. Gauname lygtį (x + 5)(20 - x) = 144, kuri yra pradinės pasekmė. Gauta lygtis redukuojama į formą x 2 - 15x + 44 =0.
Šios lygties (taip pat ir pradinės pasekmės) šaknys yra x 1 = 4, x 2 = 11. Abi šaknys, kaip rodo patikrinimas, atitinka pirminę lygtį.
Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.
komentuoti. Statydami lygtis kvadratu, studentai dažnai daugina radikalias išraiškas tokiose lygtyse kaip (*), t. y. vietoj lygties = 12 jie rašo lygtį 
= 12. Tai nesukelia klaidų, nes lygtys yra lygčių pasekmės. Tačiau reikia turėti omenyje, kad į bendras atvejis Toks radikalių išraiškų dauginimas duoda nelygias lygtis.
Aukščiau aptartuose pavyzdžiuose pirmiausia būtų galima perkelti vieną iš radikalų į dešinėje pusėje lygtys Tada kairėje lygties pusėje liks vienas radikalas, o išlyginus abi lygties puses kvadratu, kairėje lygties pusėje gauname racionali funkcija. Ši technika (radikalo išskyrimas) gana dažnai naudojama sprendžiant neracionalias lygtis.
6 pavyzdys. Išspręskite lygtį-= 3.
Išskirdami pirmąjį radikalą, gauname lygtį
=+ 3, atitinkantis pradinį.
Padalinus abi šios lygties puses kvadratu, gauname lygtį
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, atitinka lygtį
4x - 5 = 3(*). Ši lygtis yra pirminės lygties pasekmė. Padėdami abi lygties puses kvadratu, gauname lygtį
16 x 2 – 40 x + 25 = 9 (x 2 – 3 x + 3) arba
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Ši lygtis yra (*) lygties (taigi ir pradinės lygties) pasekmė ir turi šaknis. Pirmoji šaknis x 1 = 2 tenkina pradinę lygtį, bet antroji šaknis x 2 = ne.
Atsakymas: x = 2.
Atkreipkite dėmesį, kad jei iš karto, neišskirdami vieno iš radikalų, padėtume kvadratu abi pradinės lygties puses, turėtume atlikti gana sudėtingas transformacijas.
Sprendžiant iracionalias lygtis, be radikalų išskyrimo, naudojami ir kiti metodai. Panagrinėkime pavyzdį, kaip naudoti nežinomo pakeitimo metodą (pagalbinio kintamojo įvedimo metodas).
Apie ką kalbėsime? Apie lygtis, kuriose po radikalo ženklu yra kintamojo funkcija. Tačiau radikalo ženklą galima pakeisti laipsniu su trupmeninis rodiklis. Tokios lygtys yra nagrinėjamos neracionalus.
Pagrindinės iracionaliųjų lygčių savybės
1. Bet kuri lyginio laipsnio šaknis yra aritmetinė, t.y. radikalios išraiškos visada yra neneigiamos ir įgauna tik neneigiamas reikšmes.
2. Bet kokia šaknis nelyginis laipsnis yra apibrėžtas visoms radikalios išraiškos reikšmėms ir gali turėti bet kokią reikšmę.
3. Lygtis √(f(x)) = g(x) yra lygiavertė sistemai (toliau, žymėjimu √(f(x)) turime omenyje skliausteliuose pateiktos išraiškos kvadratinę šaknį):
(f(x) = (g(x))2,
(g(x) ≥ 0.
Kaip galite išspręsti neracionalias lygtis?
1. Pakelkite abi lygties puses iki vienodos laipsnio.
2. Kintamasis pakeitimas.
3. Abiejų dalių dauginimo iš tų pačių išraiškų metodas.
4. Į lygtį įtrauktų funkcijų savybių taikymas.
Pažvelkime į lygčių, išspręstų šiais metodais, pavyzdžius.
1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį √(3x 2 – 14x + 17) = 3 – 2x.
Sprendimas.
Naudokime 3 aukščiau pateiktą ypatybę ir gaukime sistemą:
(3 x 2 – 14 x + 17 = (3 – 2 x) 2,
(3 – 2x ≥ 0.
Iš pirmosios lygties gauname x 2 + 2x – 8 = 0. Jo šaknys yra -4 ir 2. Tačiau tik skaičius -4 patenkina mūsų sistemos nelygybę.
Atsakymas: -4.
Yra dar vienas galimas būdas išspręsti šią lygtį. Nerašykime sistemos. Pamirškime nelygybę. Mes dirbame tik su lygtimi. Tačiau prisiminkime, kad abiejų lygties pusių pakėlimas iki tolygios galios veda prie išvadinės lygties. Kartu su pradinės lygties šaknimis joje gali būti ir kitų šaknų, kurios vadinamos pašalinėmis. Todėl išsprendus pasekmių lygtį, reikia rasti būdą, kaip pašalinti pašalinės šaknys. Paprastai tai galima padaryti naudojant patikrinimą, kuris šiuo atveju laikomas vienu iš sprendimo etapų.
Akivaizdu, kad vėl gauname pasekmės lygties šaknis: -4 ir 2. Patikrinimas atliekamas pradinėje lygtyje pakeičiant √(3x 2 – 14x + 17) = 3 – 2x.
Jei x = -4, tada gauname √121 = 11, o tai yra teisinga. Jei x = 2, gauname √1 = -1, o tai nėra tiesa, o šaknis 2 pašalinama.
Atsakymas: x = -4.
2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį 3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2) = 1
Sprendimas.
Pakelkime abi lygties puses į trečiąjį laipsnį
(3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2))3 = 13.
Gauname (4x + 3) – (x + 2) – 3(3 √(4x + 3) 3 √(x + 2))(3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2)) = 1
Arba (4x + 3) – (x + 2) – 3 3 √((4x + 3)(x + 2)) (3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2)) = 1.
Atsižvelgiant į pradinę sąlygą, lygtis įgauna formą
(4x + 3) – (x + 2) – 3 3 √((4x + 3)(x + 2)) = 1. Atlikę paprastas transformacijas gauname
3x – 33 √((4x + 3)(x + 2)) = 0,
x = 3 √((4x + 3)(x + 2)).
Norint išspręsti šią lygtį, būtina ją dar kartą suskirstyti į kubą.
Ją užbaigę turėsime
x 3 = 4x 2 + 11x + 6,
x 3 – 4 x 2 – 11 x – 6 = 0.
Surasime naudodami atrankos metodą viena lygties šaknis. Šis skaičius yra -1.
Padalinę daugianarį x 3 – 4x 2 – 11x – 6 iš x + 1 su kampu, gauname trinarį x 2 – 5x – 6.
Lygties x 2 – 5x – 6 = 0 šaknys – skaičiai: -1; 6.
Vadinasi, lygties x 3 – 4x 2 – 11x – 6 = 0 šaknys bus skaičiai -1; 6.
Pakeičiantys skaičius -1; 6 į pradinę lygtį įsitikiname, kad Lygties šaknis yra skaičius 6.
Atsakymas: 6.
3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį x 2 – x√(4x + 5) = 8x + 10
Sprendimas.
Atminkite, kad 8x + 10 = 2(√(4x + 5)) 2. Patikrinę įsitikiname, kad x = 0 nėra šios lygties šaknis. Tai reiškia, kad padalijus abi šios lygties puses iš x 2, gauname jos ekvivalentą:
1 – √(4x + 5)/x = 2(√(4x + 5)/x) 2
Pakeiskime √(4x + 5)/x = t ir išspręskime gautą kvadratinę lygtį 1 – t = 2t 2.
Gauname t 1 = -1 ir t 2 = 1/2. Grįžkime prie pradinio kintamojo x ir gaukime 2 lygtis
1) √(4x + 5)/x = -1,
2) √(4x + 5)/x = 1/2
Iš pirmosios lygties x = -1. (x = 5 patikrinus reikia išmesti).
Nuo antrojo -x = 8 ± 2√21. Norint išfiltruoti pašalines šaknis, čia lengviau išanalizuoti būklę nei atlikti pakeitimą. Galų gale, lygtis gali būti lengvai transformuojama į formą √(4x + 5) = 0,5x, kuri yra lygiavertė sistemai
(4x + 5 = 0,25x2,
(0,5x ≥ 0.
Dabar akivaizdu, kad x = 8 + 2√21 tinka. Ir bendras
atsakymas: x = -1 ir x = 8 + 2√21.
4 pavyzdys.
Išspręskite lygtį √(8x + 1) + √(3x – 5) = √(7x + 4) + √(2x – 2).
Sprendimas.
Naudokime formulę √а + √b = (a – b) / (√а – √b), kuri teisinga, kai a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b.
Atsižvelgiant į ODZ (x ≥ 1 2/3), ši formulė gali būti taikoma išraiškoms kairėje ir dešinėje lygties pusėse.
Ir mes gauname: (5x + 6) / (√(8x + 1) – √(3x – 5)) = (5x + 6) / (√(7x + 4) – √(2x – 2))
arba (5x + 6)((√(8x + 1) - √(3x - 5)) - (√(7x + 4) - √(2x - 2)) = 0
Tai atitinka 2 lygčių rinkinį:
1) (5x + 6) = 0 ir
2) √(8x + 1) – √(3x – 5) = √(7x + 4) – √(2x – 2)
Iš pirmo gauname x = -1,2. Tačiau ši vertė neįtraukta į DZ.
Palyginkime antrąją lygtį su pradine. Sudėjus šias lygtis gauname:
2√(8x + 1) = 2√(7x + 4).
x = 3.
Atsakymas: 3.
Neįmanoma aprašyti visų neracionalių lygčių sprendimo būdų viename straipsnyje. Vargu ar atsiras šaltinis su tokiais pilnas turinys. Taip, tau to nereikia. Norėdami sėkmingai pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui, kaip ir rengiant bet kurį specialistą apskritai, svarbu teoriją ar metodus ne įsiminti ir panašiais atvejais atgaminti, o dar svarbiau – įsisavinti ir pritaikyti nepažįstama situacija. Tai reiškia, kad tam tikras bazines žinias reikia išmokti pritaikyti kūrybiškai. Tada jūs pats galėsite išrasti naujus metodus, tai yra, padaryti atradimų.
Sėkmės tau. Ir pasidalinkite atradimais su draugais. Tai taip pat galima padaryti komentuojant tinklaraščio straipsnius.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti neracionalią lygtį?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
