Kai kurioms matematikos problemoms spręsti reikia mokėti apskaičiuoti kvadratinės šaknies reikšmę. Tokios problemos apima antros eilės lygčių sprendimą. Šiame straipsnyje mes pristatysime efektyvus metodas skaičiavimai kvadratinės šaknys ir naudokite jį dirbdami su kvadratinės lygties šaknų formulėmis.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Matematikoje ši sąvoka atitinka simbolį √. Istoriniai duomenys rodo, kad jis pirmą kartą buvo panaudotas maždaug XVI amžiaus pirmoje pusėje Vokietijoje (pirmoji vokiečių darbas Christophe'o Rudolfo apie algebrą). Mokslininkai mano, kad nurodytas simbolis yra transformuotas lotyniška raidė r (radix lotyniškai reiškia „šaknis“).

Bet kurio skaičiaus šaknis yra lygi reikšmei, kurios kvadratas atitinka radikaliąją išraišką. Matematikos kalba šis apibrėžimas atrodys taip: √x = y, jei y 2 = x.

Teigiamo skaičiaus šaknis (x > 0) taip pat yra teigiamas skaičius (y > 0), bet jei imsite neigiamo skaičiaus šaknį (x< 0), то его результатом уже будет kompleksinis skaičius, įskaitant įsivaizduojamas vienetas i.

Štai du paprasti pavyzdžiai:

√9 = 3, nes 3 2 = 9; √(-9) = 3i, nes i 2 = -1.

Herono kartotinė formulė kvadratinių šaknų reikšmėms rasti

Aukščiau pateikti pavyzdžiai yra labai paprasti, juose nėra sunku apskaičiuoti šaknis. Iškyla sunkumų ieškant šakninių verčių bet kuriai vertei, kurios negalima pavaizduoti kaip kvadratą natūralusis skaičius, pavyzdžiui, √10, √11, √12, √13, jau nekalbant apie tai, kad praktiškai reikia rasti šaknis ne sveikiesiems skaičiams: pavyzdžiui √(12,15), √(8,5) ir taip toliau.

Visais aukščiau nurodytais atvejais turėtumėte naudoti specialus metodas kvadratinių šaknų skaičiavimai. Šiuo metu žinomi keli tokie metodai: pavyzdžiui, Taylor serijos išplėtimas, stulpelių padalijimas ir kai kurie kiti. Iš visų žinomų metodų bene paprasčiausias ir veiksmingiausias yra Herono kartotinės formulės, kuri dar vadinama babilonietišku kvadratinių šaknų nustatymo metodu, naudojimas (yra įrodymų, kad senovės babiloniečiai ją naudojo savo praktiniuose skaičiavimuose).

Tegul reikia nustatyti √x reikšmę. Kvadratinės šaknies radimo formulė yra tokia:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kur lim n->∞ (a n) => x.

Iššifruokime tai matematinis žymėjimas. Norėdami apskaičiuoti √x, turėtumėte paimti tam tikrą skaičių a 0 (jis gali būti savavališkas, bet norėdami greitai gauti rezultatą, turėtumėte jį pasirinkti taip, kad (a 0) 2 būtų kuo arčiau x. Tada pakeiskite jį į nurodytą kvadratinės šaknies apskaičiavimo formulę ir gaukite naują skaičių a 1, kuris jau bus arčiau norimos reikšmės gaunamas reikiamas tikslumas.

Herono iteracinės formulės naudojimo pavyzdys

Aukščiau aprašytas algoritmas, skirtas gauti kai kurių kvadratinę šaknį duotas numeris daugeliui tai gali pasirodyti gana sudėtinga ir paini, tačiau iš tikrųjų viskas pasirodo daug paprasčiau, nes ši formulė labai greitai susilieja (ypač jei pasirenkamas sėkmingas skaičius a 0).

Pateiksime paprastą pavyzdį: reikia apskaičiuoti √11. Pasirinkime 0 = 3, nes 3 2 = 9, kuris yra arčiau 11 nei 4 2 = 16. Pakeitę į formulę, gauname:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Tęsti skaičiavimus nėra prasmės, nes nustatėme, kad 2 ir 3 pradeda skirtis tik 5 skaitmenimis po kablelio. Taigi, formulę pritaikyti pakako tik 2 kartus, kad √11 būtų apskaičiuotas 0,0001 tikslumu.

Šiais laikais šaknims skaičiuoti plačiai naudojami skaičiuotuvai ir kompiuteriai, tačiau pravartu atsiminti pažymėtą formulę, kad būtų galima rankiniu būdu apskaičiuoti tikslią jų reikšmę.

Antros eilės lygtys

Supratimas, kas yra kvadratinė šaknis, ir gebėjimas ją apskaičiuoti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis. Šios lygtys vadinamos lygybėmis su vienu nežinomuoju, kurių bendra forma parodyta paveikslėlyje žemiau.

Čia c, b ir a reiškia kai kuriuos skaičius, o a neturi būti lygus nuliui, o c ir b reikšmės gali būti visiškai savavališkos, įskaitant lygias nuliui.

Bet kokios x reikšmės, atitinkančios paveiksle nurodytą lygybę, vadinamos jo šaknimis (šios sąvokos nereikėtų painioti su kvadratine šaknimi √). Kadangi nagrinėjama lygtis yra 2 eilės (x 2), tada jos šaknys negali būti daugiau nei dvi. Pažiūrėkime toliau straipsnyje, kaip rasti šias šaknis.

Kvadratinės lygties (formulės) šaknų radimas

Šis nagrinėjamo tipo lygybių sprendimo būdas dar vadinamas universaliuoju, arba diskriminaciniu metodu. Jis gali būti naudojamas bet kokioms kvadratinėms lygtims. Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė yra tokia:

Tai rodo, kad šaknys priklauso nuo kiekvieno iš trijų lygties koeficientų vertės. Be to, x 1 apskaičiavimas nuo x 2 skaičiavimo skiriasi tik ženklu prieš kvadratinę šaknį. Radikali išraiška, lygi b 2 - 4ac, yra ne kas kita, kaip nagrinėjamos lygybės diskriminantas. Kvadratinės lygties šaknų formulėje veikia diskriminantas svarbus vaidmuo, nes jis nustato sprendimų skaičių ir tipą. Taigi, jei jis lygus nuliui, tada bus tik vienas sprendinys, jei jis yra teigiamas, tada lygtis turi dvi realias šaknis, galiausiai, neigiamas diskriminantas veda į dvi sudėtingas šaknis x 1 ir x 2.

Vietos teorema arba kai kurios antros eilės lygčių šaknų savybės

IN pabaigos XVI amžiuje vienas iš šiuolaikinės algebros pradininkų, prancūzas, studijuodamas antros eilės lygtis, sugebėjo gauti jos šaknų savybes. Matematiškai juos galima parašyti taip:

x 1 + x 2 = -b / a ir x 1 * x 2 = c / a.

Abi lygybes gali lengvai gauti bet kas, tereikia įvykdyti atitinkamą matematines operacijas su šaknimis, gautomis naudojant formulę su diskriminantu.

Šių dviejų išraiškų derinį galima pagrįstai vadinti antrąja kvadratinės lygties šaknų formule, kuri leidžia atspėti jos sprendinius nenaudojant diskriminanto. Čia reikia pažymėti, kad nors abi išraiškos visada galioja, jas patogu naudoti sprendžiant lygtį tik tuo atveju, jei ją galima koeficientuoti.

Užduotis įtvirtinti įgytas žinias

Nuspręskime matematikos uždavinys, kuriame pademonstruosime visus straipsnyje aptartus būdus. Problemos sąlygos yra tokios: reikia rasti du skaičius, kurių sandauga yra -13, o suma yra 4.

Ši sąlyga iš karto primena Vietos teoremą, naudojant kvadratinių šaknų ir jų sandaugos formules, rašome:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Jei darysime prielaidą, kad a = 1, tai b = -4 ir c = -13. Šie koeficientai leidžia sukurti antros eilės lygtį:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Naudokime formulę su diskriminantu ir gaukime šias šaknis:

x 1,2 = (4 ± √D) / 2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Tai yra, problema buvo sumažinta iki skaičiaus √68 radimo. Atkreipkite dėmesį, kad 68 = 4 * 17, tada, naudodami kvadratinės šaknies savybę, gauname: √68 = 2√17.

Dabar naudokime nagrinėjamą kvadratinės šaknies formulę: a 0 = 4, tada:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nereikia skaičiuoti 3, nes rastos reikšmės skiriasi tik 0,02. Taigi, √68 = 8,246. Pakeitę jį į formulę x 1,2, gauname:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 ir x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Kaip matome, rastų skaičių suma tikrai lygi 4, bet jei rasime jų sandaugą, tai bus lygi -12,999, o tai uždavinio sąlygas tenkina 0,001 tikslumu.

Šiame straipsnyje apžvelgsime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą.

Bet pirmiausia pakartokime, kokios lygtys vadinamos kvadratinėmis. Vadinama ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, o koeficientai a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a ≠ 0. kvadratas. Kaip matome, koeficientas x 2 nėra lygus nuliui, todėl koeficientai x arba laisvajam nariui gali būti lygūs nuliui, tokiu atveju gauname nepilną kvadratinę lygtį.

Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

1) Jei b = 0, c ≠ 0, tai ax 2 + c = 0;

2) Jei b ≠ 0, c = 0, tai ax 2 + bx = 0;

3) Jei b = 0, c = 0, tada ax 2 = 0.

Išsiaiškinkime, kaip išspręsti ax 2 + c = 0 formos lygtys.

Norėdami išspręsti lygtį, laisvąjį terminą perkeliame iš į dešinėje pusėje lygtis, gauname

ax 2 = ‒s. Kadangi a ≠ 0, abi lygties puses padalijame iš a, tada x 2 = ‒c/a.

Jei ‒с/а > 0, tai lygtis turi dvi šaknis

x = ±√(–c/a) .

Jei ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pabandykime su pavyzdžiais suprasti, kaip išspręsti tokias lygtis.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 ‒ 32 = 0.

Atsakymas: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 8 = 0.

Atsakymas: lygtis neturi sprendinių.

Išsiaiškinkime, kaip tai išspręsti ax 2 + bx = 0 formos lygtys.

Kad išspręstume lygtį ax 2 + bx = 0, suskaidykime ją faktoriais, tai yra, išimkime x iš skliaustų, gausime x(ax + b) = 0. sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus iki nulio. Tada arba x = 0, arba ax + b = 0. Išsprendę lygtį ax + b = 0, gauname ax = - b, iš kur x = - b/a. Formos ax 2 + bx = 0 lygtis visada turi dvi šaknis x 1 = 0 ir x 2 = ‒ b/a. Pažiūrėkite, kaip atrodo tokio tipo lygčių sprendimas diagramoje.

Patvirtinkime savo žinias konkrečiu pavyzdžiu.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x = 0 arba 3x – 12 = 0

Atsakymas: x 1 = 0, x 2 = 4.

Trečiojo tipo lygtys ax 2 = 0 sprendžiami labai paprastai.

Jei ax 2 = 0, tai x 2 = 0. Lygtis turi dvi vienodos šaknys x 1 = 0, x 2 = 0.

Kad būtų aiškumo, pažiūrėkime į diagramą.

Spręsdami 4 pavyzdį įsitikinkime, kad tokio tipo lygtis galima išspręsti labai paprastai.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį 7x 2 = 0.

Atsakymas: x 1, 2 = 0.

Ne visada iš karto aišku, kokio tipo nepilną kvadratinę lygtį turime išspręsti. Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Padauginkite abi lygties puses iš bendras vardiklis, tai yra iki 30 m

Nupjaukime

5 (5 x 2 + 9) – 6 (4 x 2 – 9) = 90.

Atidarykime skliaustus

25 x 2 + 45 – 24 x 2 + 54 = 90.

Duokime panašiai

Perkelkime 99 iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą į priešingą

Atsakymas: nėra šaknų.

Pažiūrėjome, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tikiuosi, kad dabar jums nekils sunkumų atliekant tokias užduotis. Būkite atsargūs nustatydami nepilnos kvadratinės lygties tipą, tada jums pasiseks.

Jei turite klausimų šia tema, registruokitės į mano pamokas, kartu išspręsime iškilusias problemas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Pažvelkime į viską išsamiai: kvadratinės lygties esmę ir įrašymą, apibrėžkime susijusius terminus, išanalizuokime schemą, kaip išspręsti nepilnus ir pilnas lygtis, susipažinkime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime ryšius tarp šaknų ir koeficientų ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis yra lygtis, parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, Kur x– kintamasis, a , b ir c– kai kurie skaičiai, tuo tarpu a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš esmės kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateikiame pavyzdį iliustravimui pateiktas apibrėžimas: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. Tai yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, A c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 6, antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, tada naudokite trumpa formaįrašai kaip 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Remiantis pirmojo koeficiento reikšme, kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Pateikiame pavyzdžius: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kurių kiekvienoje pirmaujantis koeficientas yra 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi puses iš pirmojo koeficiento ( lygiavertė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas konkretus pavyzdys leis mums aiškiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Reikia konvertuoti pradinė lygtis duotoje formoje.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties puses padalijame iš pirminio koeficiento 6. Tada gauname: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo būtent kvadratas, nes val a = 0 ji iš esmės transformuojasi į tiesinė lygtis b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis- tokia kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c = 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje viskas skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Kai b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnosios kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo termino, nei abiejų. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsami.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

a x 2 = 0, ši lygtis atitinka koeficientus b = 0 ir c = 0;
a · x 2 + c = 0, kai b = 0;
a · x 2 + b · x = 0, kai c = 0.

Panagrinėkime nuosekliai kiekvienos rūšies nepilnos kvadratinės lygties sprendinį.

Lygties a x 2 =0 sprendimas

Kaip minėta aukščiau, ši lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x 2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdus faktas kad lygties šaknis x 2 = 0 tai yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, tai galima paaiškinti laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p, nelygus nuliui, nelygybė yra teisinga p 2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p 2 = 0 niekada nebus pasiektas.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra viena šaknis x = 0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x = 0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Trumpai tariant, sprendimas parašytas taip:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Išspręskite lygtį a x 2 + c = 0

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b = 0, c ≠ 0, ty formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

perkėlimas cį dešinę pusę, kuri pateikia lygtį a x 2 = − c;
padalykite abi lygties puses iš a, gauname x = - c a .

Mūsų transformacijos yra atitinkamai lygiavertės, gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia daryti išvadas apie lygties šaknis. Iš to, kokios yra vertybės a Ir c išraiškos reikšmė - c priklauso: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = – 2 Ir c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); tai nėra nulis, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas yra kitaip, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį, ir paaiškės, kad lygties x 2 = - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 = - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a yra ir lygties x 2 = - c a šaknis: iš tiesų, - - c a 2 = - c a.

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime įrodyti naudodami prieštaravimo metodą. Pirmiausia apibrėžkime aukščiau rastų šaknų žymes kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x 2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Už x 1 Ir − x 1 rašome: x 1 2 = - c a , o už x 2- x 2 2 = - c a . Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną teisingą lygybės narį atimame iš kito, kas duos: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudojame operacijų su skaičiais savybes, kad perrašytume paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga yra nulis tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių yra lygus nuliui. Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad x 1 − x 2 = 0 ir/arba x 1 + x 2 = 0, kuris yra tas pats x 2 = x 1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x 2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a.

Apibendrinkime visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a, kuri:

neturės šaknų ties - c a< 0 ;
turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0.

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0. Būtina rasti sprendimą.

Sprendimas

Perkelkime laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 = – 7.
Abi gautos lygties puses padalinkime iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį − x 2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Abi dalis padalinkime iš − 1 , gauname x 2 = 36. Dešinėje pusėje - teigiamas skaičius, iš čia galime daryti tokią išvadą x = 36 arba x = - 36 .
Išskirkime šaknį ir užrašykime galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x 2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = – 6.

Atsakymas: x=6 arba x = – 6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiojo tipo nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudosime faktorizavimo metodą. Išimkime iš skliaustų daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje bendras daugiklis x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x = 0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x = 0 Ir x = − b a.

Sustiprinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Būtina rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimsime x už skliaustų gauname lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x = 0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0. Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Trumpai parašykite lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimus, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 · a, kur D = b 2 − 4 a c– vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x = - b ± D 2 · a iš esmės reiškia, kad x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Būtų naudinga suprasti, kaip ši formulė buvo gauta ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Susidurkime su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skirtingą nuo nulio, gauname tokią kvadratinę lygtį: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
pabrėkim tobulas kvadratas kairėje gautos lygties pusėje:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Po to lygtis bus tokia: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Taigi gauname lygtį x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , lygiavertę pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą nagrinėjome ankstesnėse pastraipose (sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis). Jau įgyta patirtis leidžia daryti išvadą apie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 šaknis:

su b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
kai b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, bus teisinga: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (taigi ir pradinė lygtis) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b ženklo. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 parašytas dešinėje pusėje. Ir šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę – pagal jo reikšmę ir ženklą jie gali padaryti išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, koks yra šaknų skaičius – viena ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Dar kartą suformuluosime išvadas:

9 apibrėžimas

adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti tokia forma: x = - b 2 · a + D 2 · a arba - b 2 · a - D 2 · a. Ir, kai atidarome modulius ir suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, gauname: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia tai padaryti naudojant diskriminantą didesnis už nulį nustatyti tiek tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis, kaip vienintelis sprendimas kvadratinė lygtis. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, jei bandysime naudoti kvadratinės šaknies formulę, susidursime su būtinybe paimti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, o tai nuves mus toliau realūs skaičiai. At neigiamas diskriminatorius Tai reiškia, kad kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, kurią nustato tos pačios šaknies formulės, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, bet iš esmės tai daroma tada, kai reikia rasti sudėtingos šaknys.

Daugeliu atvejų tai reiškia, kad reikia ieškoti ne sudėtingų, o realių kvadratinės lygties šaknų. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminacinę reikšmę;
pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - b 2 · a;
jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis naudodami formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a, ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime pavyzdžių sprendimą skirtingos reikšmės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Turime rasti lygties šaknis x 2 + 2 x − 6 = 0.

Sprendimas

Užrašykime kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a = 1, b = 2 ir c = – 6. Toliau einame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a, b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi gauname D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x = - b ± D 2 · a ir, pakeitę atitinkamas reikšmes, gauname: x = - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastinkime gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo ir sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = -1 + 7, x = -1 - 7.

7 pavyzdys

Reikia išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Atsakymas: x = 3,5.

8 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus: a = 5, b = 6 ir c = 2. Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę, atlikdami veiksmus su kompleksiniais skaičiais:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 arba x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i arba x = - 3 5 - 1 5 · i.

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra tokios: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN mokyklos mokymo programa Standartinio reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų nėra, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart užrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu x koeficientu ( arba su 2 · n formos koeficientu, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Susidurkime su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Tęsiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), tada naudojame šaknies formulę:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a · c žymima D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 · n bus tokia:

x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 − a · c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo indikatorius.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

rasti D 1 = n 2 − a · c ;
ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
kai D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - n a;
jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrąjį duotosios lygties koeficientą galime pavaizduoti kaip 2 · (− 3) . Tada perrašome duotą kvadratinę lygtį į 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kur a = 5, n = − 3 ir c = − 32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Apibrėžkime juos pagal atitinkama formulėšaknys:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau šiuo atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinę lygtį 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 yra aiškiai patogiau išspręsti nei 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas padauginant arba padalijus abi jos puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi puses iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra pirminiai skaičiai. Tada paprastai abi lygties puses dalijame iš didžiausios bendras daliklis absoliučios vertės jo koeficientai.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Nustatykime jo koeficientų absoliučių verčių GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Padauginę abi kvadratinės lygties puses, paprastai atsikratysite trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju jie dauginami iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) = 6, tada ji bus parašyta daugiau paprasta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratome minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, pakeisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi puses iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Mums jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia skaitiniais jos koeficientais. Remiantis šią formulę, turime galimybę nurodyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 = - b a ir x 2 = c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Pavyzdžiui, pažvelgus į kvadratinės lygties 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 formą, galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų jungčių tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kvadratinės lygties problemos nagrinėjamos tiek mokyklos programoje, tiek universitetuose. Jie reiškia a*x^2 + b*x + c = 0 formos lygtis, kur x- kintamasis, a, b, c – konstantos; a<>0 . Užduotis – rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo taškai su abscisių (x) ašimi. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo taškų su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje šakomis į viršų arba apačioje su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja savo minimumą arba maksimali vertė. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktiškai įdomiau – yra du parabolės susikirtimo taškai su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a yra didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, jei jis yra neigiamas, parabolės šakos nukreiptos žemyn;

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b^2 iš abiejų pusių ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė, jei ji yra teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuotas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančius šaknis), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D=0, kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau norint rasti kvadratinės lygties sprendimus sudėtinga plokštuma, o jų vertė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkime kvadratinę lygtį, nesunkiai išplaukia pati Vietos teorema: jei turime formos kvadratinę lygtį. tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktos formulės atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a nėra lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.

Faktoringo kvadratinės lygties grafikas

Tegul užduotis yra nustatyta: koeficientas kvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (rasti šaknis). Tada mes pakeisime rastas šaknis į kvadratinės lygties išplėtimo formulę. Tai išspręs problemą.

Kvadratinės lygties uždaviniai

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite juos diskriminacinėje formulėje

Šios reikšmės šaknis yra 14, ją lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti, kada dažnas naudojimas, tačiau, kad būtų patogiau, straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, su kuriais dažnai galima susidurti sprendžiant tokias problemas, sąrašą.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. Išspręskite lygtį

2x 2 +x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą

Autorius žinomos formulės kvadratinės lygties šaknų radimas

3 užduotis. Išspręskite lygtį

9x 2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Diskriminanto nustatymas

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų reikšmes naudodami formulę

4 užduotis. Išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos matome, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios

5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų jo kraštinių sumai. Pažymėkime x – didžioji pusė, tada 18 kartų mažesnė jo pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18-x)=77;
arba
x 2 -18x+77=0.
Raskime lygties diskriminantą

Lygties šaknų apskaičiavimas

Jeigu x=11, Tai 18's = 7 , ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21s=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę lygtį 10x 2 -11x+3=0.

Sprendimas: Apskaičiuokime lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išskaidymo pagal šaknis formulę

Atidarę skliaustus gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , ar lygtis (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3 matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad su nuliniu diskriminantu lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

Supaprastinkime ir prilyginkime nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą galima lengvai gauti naudojant Vietos teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprasta paieška nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a=4 lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: pirmiausia pažiūrėkime vienetiniai taškai, jos bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3, gauname tapatybę 0=0.
Apskaičiuokime diskriminantą

ir suraskite a reikšmę, kuriai esant ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis

Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija trunka teigiamas vertes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3;1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a=0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygas

Panašios užduotys praktikoje bus daug, pabandykite patys išsiaiškinti užduotis ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, jų dažnai prireikia skaičiuojant skirtingos užduotys ir mokslai.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba negali būti!) tik X (iki pirmos laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti X laipsnio, didesnio nei du.

Kalbėdamas matematinė kalba, kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A– nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija narių. X kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys s.

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.

O jeigu b= 0, ką mes gauname? Turime X išnyks iki pirmojo laipsnio. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tokios lygtys, kuriose kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti lygus nuliui? Ir jūs vietoj to pakeičiate A nulis.) Mūsų X kvadratas išnyks! Lygtis taps tiesinė. O sprendimas visai kitoks...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape tai būtina duota lygtis veda prie standartinis vaizdas, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Tai labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. O tiksliau ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su pakeitimu neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Išsaugo čia išsamus įrašas formulės su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryti!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Tai užtruks apie 30 sekundžių parašyti papildomą eilutę ir klaidų skaičių smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Išbandykite. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas?

Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip: Ar atpažinote?) Taip! Tai.

nepilnos kvadratinės lygtys

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. a, b ir c.

Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; c A ? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! tiek. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio, A b !

Su Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokių formulių. Apsvarstykime pirmąjį nepilna lygtis

. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.
Taigi, kas iš to? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? tai tiek... Todėl drąsiai galime rašyti:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, atkreipsiu dėmesį, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – absoliučiai abejingas. Patogu rašyti eilės tvarka, x 1 - kas mažesnis ir x 2

- kas didesnis.

Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelkite 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės: . Taip pat dvi šaknys, x 1 = -3.

x 2 = 3
Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.

Labai sunku supainioti šiuos metodus. Vien dėl to, kad pirmu atveju teks ištraukti X šaknį, kuri kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ką ištraukti iš skliaustų...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė. diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be rūpesčių.) Primenu jums labiausiai bendroji formulė išspręsti bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Paprastai diskriminantas žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl nusipelnė specialus vardas? Ką diskriminanto prasmė? Juk juk -b, arba 2ašioje formulėje jie specialiai nieko nevadina... Raidės ir raidės.

Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgaunama gerai, ar prastai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turėsite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Negalima paimti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. O gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atvirai kalbant, kada paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę ir suskaičiuojame. Ten viskas vyksta savaime, dvi šaknys, viena ir nė viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, be žinios diskriminanto reikšmė ir formulė negali apsieiti. Ypač lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai irgi nėra blogai.) Mokate teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįČia - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...

Pirmas susitikimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai susimaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. kaip tai:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys.

Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1. Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1 , patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu

. Jei nepavyksta, vadinasi, jau kažkur susisukote. Ieškokite klaidos. b Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti Su priešinga b pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas
, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga! Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1.

Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Klaidų bus vis mažiau. Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmeniniai koeficientai

, - atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje „Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos“. Dirbant su trupmenomis, klaidos kažkodėl šliaužia...

Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume su minusais, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!

Taigi, apibendrinkime temą.:

Praktinis patarimas 1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome.

Teisingai

2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento. 4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienam , sprendimas gali būti lengvai patikrintas naudojant Vietos teoremą.

Padaryk tai!

Dabar galime nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Todėl drąsiai galime rašyti:
Atsakymai (netvarkingai):

x 2 = 52

x 1,2 =
x 1 = 2

x 2 = -0,5

Taip pat dvi šaknys
x 1 = -3

x – bet koks skaičius

jokių sprendimų
x 1 = 0,25

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų reikalas galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o likusieji ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai pavyksta? O gal visai nesiseka? Tada jums padės 555 skyrius. Visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti. Parodyta pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbama ir apie naudojimą tapatybės transformacijos sprendime skirtingos lygtys. Labai padeda!