Pakankama dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumo sąlyga
1. Tegul funkcija yra nuolat diferencijuojama kurioje nors taško kaimynystėje ir turi antros eilės ištisines dalines išvestines (grynąsias ir mišriąsias).
2. Pažymėkime antros eilės determinantu
ekstremumo kintamoji paskaitos funkcija
Teorema
Jei taškas su koordinatėmis yra stacionarus funkcijos taškas, tada:
A) Tai yra vietinio ekstremumo taškas, o esant vietiniam maksimumui, jis yra vietinis minimumas;
C) taške nėra vietinis ekstremumo taškas;
C) jei, galbūt abu.
Įrodymas
Parašykime funkcijos Taylor formulę, apsiribodami dviem terminais:
Kadangi pagal teoremos sąlygas taškas yra stacionarus, tai antros eilės dalinės išvestinės lygios nuliui, t.y. Ir. Tada
Pažymėkime
Tada funkcijos padidėjimas bus toks:
Dėl antros eilės dalinių išvestinių (grynų ir mišrių) tęstinumo pagal teoremos sąlygas taške galime rašyti:
Kur arba; ,
1. Tegul ir, t.y. arba.
2. Padauginkite funkcijos prieaugį ir padalykite iš, gausime:
3. Pridėkime išraišką į garbanoti petnešosį pilna aikštė sumos:
4. Išraiška garbanotuose petnešose yra neneigiama, nes
5. Todėl, jei priemonė ir, tada ir, vadinasi, pagal apibrėžimą, taškas yra vietinis minimumas.
6. Jei priemonė ir, tai pagal apibrėžimą taškas su koordinatėmis yra vietinio maksimumo taškas.
2. Apsvarstykite kvadratinis trinaris, jo diskriminuojantis, .
3. Jei, tada yra taškų, tokių, kad daugianario
4. Rašome bendrą funkcijos prieaugį taške pagal I išraišką taip:
5. Dėl antros eilės dalinių išvestinių tęstinumo pagal teoremos sąlygas taške galime parašyti, kad
Todėl taško kaimynystė yra tokia, kad bet kurio taško kvadratinis trinaris yra didesnis už nulį:
6. Apsvarstykite taško kaimynystę.
Pasirinkime bet kokią vertę, taigi taškas. Darant prielaidą, kad funkcijos padidėjimo formulėje
Ką mes gauname:
7. Nuo tada.
8. Panašiai argumentuodami dėl šaknies, pastebime, kad bet kurioje -taško kaimynystėje yra taškas, kuriam, todėl taško kaimynystėje neišsaugomas ženklas, todėl taške nėra ekstremumo.
Dviejų kintamųjų funkcijos sąlyginis ekstremumas
Surandant dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą, dažnai iškyla problemų, susijusių su vadinamuoju sąlyginiu ekstremumu. Šią sąvoką galima paaiškinti naudojant dviejų kintamųjų funkcijos pavyzdį.
Tegul funkcija ir tiesė L bus pateiktos 0xy plokštumoje. Užduotis yra rasti tašką P (x, y) tiesėje L, kuriame funkcijos reikšmė yra didžiausia arba mažiausia, palyginti su šios funkcijos reikšmėmis ties L taškuose, esančiuose netoli taško P. Tokie taškai P vadinamos sąlyginių ekstremumo taškų funkcijomis tiesėje L. Skirtingai nuo įprasto ekstremumo taško, funkcijos reikšmė sąlyginio ekstremumo taške lyginama su funkcijos reikšmėmis ne visuose jos kaimynystės taškuose, o tik tuose, kurie yra linijoje L.
Visiškai aišku, kad įprasto ekstremumo taškas (jie taip pat sako, kad besąlyginis ekstremumas) yra ir bet kurios tiesės, einančios per šį tašką, sąlyginio ekstremumo taškas. Priešingai, žinoma, netiesa: sąlyginis ekstremumo taškas gali būti ne įprastas ekstremumo taškas. Iliustruojame tai pavyzdžiu.
1 pavyzdys. Funkcijos grafikas yra viršutinis pusrutulis (2 pav.).
Ryžiai. 2.
Ši funkcija turi maksimumą pradžioje; ji atitinka pusrutulio viršūnę M. Jei tiesė L yra tiesė, einanti per taškus A ir B (jos lygtis), tai geometriškai aišku, kad šios linijos taškams didžiausia vertė funkcija pasiekiama taške, esančiame viduryje tarp taškų A ir B. Tai funkcijos sąlyginio ekstremumo (maksimalaus) taškas šioje tiesėje; jis atitinka pusrutulio tašką M 1, o iš paveikslo aišku, kad apie jokį eilinį ekstremumą čia negali būti kalbos.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje problemos dalyje rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždara zona turime rasti kraštutines funkcijos reikšmes ties šio regiono riba, t.y. tam tikroje eilutėje ir taip išspręskite sąlyginio ekstremumo problemą.
1 apibrėžimas. Jie sako, kad kur lygtį tenkinančiame taške yra sąlyginis arba santykinis maksimumas (minimalus): jei bet kuriame lygtį tenkinančiame taške yra nelygybė
2 apibrėžimas. Formos lygtis vadinama apribojimo lygtimi.
Teorema
Jei funkcijos ir yra nuolat diferencijuojamos taško kaimynystėje, o dalinė išvestinė ir taškas yra funkcijos sąlyginis ekstremumo taškas apribojimo lygties atžvilgiu, tada antros eilės determinantas lygus nuliui:
Įrodymas
1. Kadangi pagal teoremos sąlygas dalinė išvestinė ir funkcijos reikšmė, tai tam tikrame stačiakampyje
apibrėžta numanoma funkcija
Sudėtinga dviejų kintamųjų funkcija taške turės vietinį ekstremumą, todėl arba.
2. Iš tiesų, pagal pirmos eilės diferencialinės formulės nekintamumo savybę
3. Ryšio lygtis gali būti pavaizduota tokia forma, o tai reiškia
4. Padauginkite lygtį (2) iš ir (3) iš ir sudėkite
Todėl kai
savavališkas. ir tt
Pasekmė
Dviejų kintamųjų funkcijos sąlyginių ekstremalių taškų paieška praktikoje atliekama sprendžiant lygčių sistemą
Taigi, aukščiau pateiktame pavyzdyje Nr. 1 iš mūsų turimos ryšio lygties. Iš čia lengva patikrinti, kas pasiekia maksimumą. Bet tada iš komunikacijos lygties. Gauname tašką P, rastą geometriškai.
2 pavyzdys. Raskite funkcijos sąlyginius ekstremumo taškus sankabos lygties atžvilgiu.
Raskime duotosios funkcijos ir jungimo lygties dalines išvestines:
Sukurkime antros eilės determinantą:
Parašykime lygčių sistemą, kad surastume sąlyginius ekstremumo taškus:
Tai reiškia, kad yra keturi funkcijos sąlyginio ekstremumo taškai su koordinatėmis: .
3 pavyzdys. Raskite funkcijos kraštutinius taškus.
Dalines išvestines prilyginus nuliui: , randame vieną stacionarų tašką – pradžią. Čia,. Vadinasi, taškas (0, 0) nėra ekstremumo taškas. Lygtis yra lygtis hiperbolinis paraboloidas(3 pav.) Paveikslėlyje parodyta, kad taškas (0, 0) nėra ekstremumo taškas.
Ryžiai. 3.
Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė uždarame regione
1. Tegul funkcija yra apibrėžta ir tęstinė ribotoje uždaroje srityje D.
2. Tegul funkcija turi baigtines dalines išvestines šioje srityje, išskyrus atskirus srities taškus.
3. Remiantis Weierstrasso teorema, šioje srityje yra taškas, kuriame funkcija įgyja didžiausias ir mažiausias reikšmes.
4. Jeigu šie taškai yra vidiniai srities D taškai, tai akivaizdu, kad jie turės maksimumą arba minimumą.
5. Šiuo atveju mus dominantys taškai yra tarp įtartinų taškų ties kraštutinumu.
6. Tačiau funkcija taip pat gali įgauti didžiausią arba mažiausią reikšmę prie regiono D ribos.
7. Norėdami rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę regione D, turite rasti visus vidinius taškus, įtartinus ekstremumui, apskaičiuoti juose esančios funkcijos reikšmę, tada palyginti su funkcijos reikšme regiono ribos taškai, o didžiausia iš visų rastų verčių bus didžiausia uždarame regione D.
8. Vietinio maksimumo arba minimumo nustatymo metodas buvo aptartas anksčiau 1.2 skyriuje. ir 1.3.
9. Belieka apsvarstyti didžiausių ir mažiausių funkcijos verčių regiono ribose nustatymo metodą.
10. Esant funkcijai iš dviejų kintamasis plotas paprastai atrodo ribojamas kreivės arba kelių kreivių.
11. Išilgai tokios kreivės (arba kelių kreivių) kintamieji ir arba priklauso vienas nuo kito, arba abu priklauso nuo vieno parametro.
12. Taigi, ties riba funkcija pasirodo esanti priklausoma nuo vieno kintamojo.
13. Vieno kintamojo didžiausios funkcijos reikšmės radimo būdas buvo aptartas anksčiau.
14. Tegu duota srities D riba parametrines lygtis:
Tada šioje kreivėje dviejų kintamųjų funkcija bus sudėtinga parametro funkcija: . Tokiai funkcijai didžiausios ir mažiausios reikšmės nustatomos naudojant didžiausių ir mažiausių vieno kintamojo funkcijos verčių nustatymo metodą.
Tegul funkcija z - /(x, y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D ir tegul Mo(xo, Vo) yra šios srities vidinis taškas. Apibrėžimas. Jei yra toks skaičius, kad visoms sąlygoms tenkinant nelygybė yra teisinga, tai taškas Mo(xo, y) vadinamas funkcijos /(x, y) lokaliu didžiausiu tašku; jei visiems Dx, Du, atitinkantys sąlygas | tada taškas Mo(xo,yo) vadinamas plonuoju lokaliniu minimumu. Kitaip tariant, taškas M0(x0, y0) yra funkcijos f(x, y) maksimalaus arba minimumo taškas, jei egzistuoja taško A/o(x0, y0) 6 kaimynystė, kad apskritai taškai M(x, y) kaimynystėje, funkcijos prieaugis išlaiko savo ženklą. Pavyzdžiai. 1. Funkciniam taškui - minimalus taškas (17 pav.). 2. Funkcijos taškas 0(0,0) yra maksimalus taškas (18 pav.). 3. Funkcijos taškas 0(0,0) yra vietinis maksimalus taškas. 4 Tiesą sakant, yra taško 0(0, 0) kaimynystė, pavyzdžiui, j spindulio apskritimas (žr. 19 pav.), kurio bet kuriame taške, kuris skiriasi nuo taško 0(0,0), funkcijos /(x,y) reikšmė mažesnė už 1 = Mes atsižvelgsime tik į griežtus maksimalius ir mažiausius funkcijų taškus, kai griežta nelygybė arba griežta nelygybė galioja visiems taškams M(x) y) iš kai kurių taško Mq pradurtos 6 kaimynystės. Funkcijos reikšmė didžiausiame taške vadinama maksimalia, o funkcijos reikšmė minimaliame taške – šios funkcijos minimumu. Funkcijos maksimalus ir minimalus taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o pačios funkcijos maksimumai ir minimumai – jos ekstremumais. 11 teorema (būtina ekstremumo sąlyga). Jei funkcija yra kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumo sąvoka. Būtinas ir pakankamai sąlygų ekstremumas Sąlyginis ekstremumas Didžiausias ir mažiausia vertė nuolatinės funkcijos taške turi ekstremumą, tai šiame taške kiekviena dalinė išvestinė u arba išnyksta, arba neegzistuoja. Tegul funkcija z = f(x) y) taške M0(x0, yо) turi ekstremumą. Suteikime kintamajam y reikšmę yo. Tada funkcija z = /(x, y) bus vieno kintamojo x funkcija. Kadangi ties x = xo ji turi ekstremumą (maksimumą arba minimumą, 20 pav.), tada jos išvestinė x = “o, | (*o,l>)" Lygus nuliui arba neegzistuoja. Taip pat esame įsitikinę, kad) yra lygus nuliui arba neegzistuoja. Taškai, kuriuose = 0 ir χ = 0 arba neegzistuoja, vadinami kritiniais Funkcijos z = Dx, y) taškai taip pat vadinami stacionariais funkcijos taškais. būtinas sąlygas kraštutinumai, kurių nepakanka. Pavyzdys. Funkcija Fig. 18 20 pav. immt dariniai, kurie virsta nuliu ties. Tačiau ši funkcija yra menka dėl strumo imvato.< 0. Если же то в точке Мо(жо>Funkcijos f(x, y) ekstremumas gali egzistuoti arba neegzistuoti. Tokiu atveju reikia atlikti papildomus tyrimus. m Apsiribokime teoremos 1) ir 2) teiginių įrodinėjimu. Parašykime funkcijos /(i, y) antros eilės Teiloro formulę: kur. Pagal sąlygą matyti, kad prieaugio D/ ženklą lemia trinario ženklas dešinėje (1) pusėje, t.y. antrojo diferencialo d2f ženklas. Pažymime jį trumpumui. Tada lygybę (l) galima parašyti taip: Tegul taške MQ(so, V0) turime... Kadangi pagal sąlygą funkcijos f(s, y) antros eilės dalinės išvestinės yra tolydžios, tai nelygybė (3) taip pat galios tam tikroje taško M0(s0,yo) kaimynystėje. Jei sąlyga įvykdoma (taške А/0 ir dėl tęstinumo, išvestinė /,z(s,y) išsaugos savo ženklą tam tikroje taško Af0 kaimynystėje. Srityje, kur А Ф 0, Iš to aišku, kad jei ЛС - В2 > 0 taško M0(x0) y0 kaimynystėje, tai trinario AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ženklas sutampa su taško A ženklu. (taip, V0) (taip pat ir su C ženklu, nes AC atveju - B2 > 0 A ir C negali turėti skirtingų ženklų). Kadangi sumos AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 ženklas taške (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) nustato skirtumo ženklą, gauname prie tokios išvados: jei funkcija /(s,y) stacionariame taške (s0, V0) tenkina sąlygą, tai pakankamai mažam || nelygybė bus patenkinta. Taigi taške (sq, V0) funkcija /(s, y) turi maksimumą. Jei sąlyga tenkinama stacionariame taške (s0, y0), tai visiems pakankamai mažiems |Dr| ir |Du| nelygybė yra teisinga, o tai reiškia, kad taške (so,yo) funkcija /(s, y) turi minimumą. Pavyzdžiai. 1. Ištirkite funkciją ekstremumui 4 Naudodami būtinas ekstremumui sąlygas, ieškome stacionarių funkcijos taškų. Tam randame dalines išvestines u ir prilyginame jas nuliui. Gauname lygčių sistemą iš kur - stacionarus taškas. Dabar naudokime 12 teoremą. Turime Tai reiškia, kad taške Ml yra ekstremumas. Nes tai yra minimumas. Jei funkciją r transformuosime į formą, tai nesunku pastebėti dešinėje pusėje(“) bus minimalus, kai yra absoliutus šios funkcijos minimumas. 2. Ištirkite funkciją ekstremumui Mes randame stacionarius funkcijos taškus, kuriems sudarome lygčių sistemą, kad taškas būtų stacionarus. Kadangi pagal 12 teoremą taške M nėra ekstremumo. * 3. Ištirkite funkcijos ekstremumą Raskite stacionarius funkcijos taškus. Iš lygčių sistemos tai gauname, taigi taškas yra stacionarus. Toliau turime, kad 12 teorema neatsako į klausimą apie ekstremumo buvimą ar nebuvimą. Darykime taip. Funkcijai apie visus taškus, kurie skiriasi nuo taško, taigi pagal apibrėžimą ir tašką A/o(0,0), funkcija r turi absoliutų minimumą. Panašiais skaičiavimais nustatome, kad funkcija taške turi maksimumą, bet funkcija taške neturi ekstremumo. Tegu n nepriklausomų kintamųjų funkcija yra diferencijuojama taške Mo vadinamas stacionariu funkcijos tašku, jei 13 teorema (iki pakankamų sąlygų ekstremumui). Tegul funkcija yra apibrėžta ir turi ištisines antros eilės dalines išvestines kai kuriose smulkiosios Mt(xi...) apylinkėse, kuri yra stacionari smulkioji funkcija, jei kvadratinė forma (antrasis funkcijos f diferencialas smulkiojoje yra teigiamas apibrėžtoji (neigiama apibrėžtoji), funkcijos f mažiausias taškas (atitinkamai smulkus maksimumas) yra plonas. bus. kvadratine forma (4) teigiamas arba neigiamas apibrėžtasis, galite naudoti, pavyzdžiui, Sylvesterio kriterijų, skirtą kvadratinės formos teigiamam (neigiamam) apibrėžtumui. 15.2. Sąlyginis ekstremumas Iki šiol visoje jos apibrėžimo srityje ieškojome lokalių funkcijos ekstremumų, kai funkcijos argumentai nėra saistomi jokių papildomų sąlygų. Tokie ekstremumai vadinami besąlyginiais. Tačiau dažnai kyla problemų ieškant vadinamųjų sąlyginių ekstremalių. Tegul funkcija z = /(x, y) yra apibrėžta srityje D. Tarkime, kad šioje srityje duota kreivė L ir funkcijos f(x> y) ekstremalą reikia rasti tik tarp tų. jos verčių, atitinkančių kreivės L taškus. Tie patys ekstremumai vadinami funkcijos z = f(x) y) sąlyginiais ekstremumais kreivėje L. Apibrėžimas Sakoma, kad taške, esančiame ant kreivės L , funkcija /(x, y) turi sąlyginį maksimumą (minimumą), jei nelygybė tenkinama visuose taškuose M (s, y) y) kreivė L, priklausanti kažkuriai taško M0(x0, V0) kaimynystei ir skirtinga iš taško M0 (Jei kreivė L pateikta lygtimi, tai funkcijos r - f(x,y) sąlyginio ekstremumo radimo kreivėje uždavinį galima suformuluoti taip: rasti funkcijos x ekstremumą = /(z, y) srityje D, su sąlyga, kad Taigi, randant funkcijos z = y sąlyginį ekstremalumą, gnu argumentai nebegali būti laikomi nepriklausomais kintamaisiais: jie yra tarpusavyje susiję santykis y) = 0, kuris vadinamas ryšio lygtimi. Norėdami išsiaiškinti skirtumą tarp besąlyginio ir sąlyginio ekstremumo, pažvelkime į pavyzdį, kai funkcijos besąlyginis maksimumas (23 pav.) yra lygus vienetui ir pasiekiamas taške (0,0). Tai atitinka tašką M – pvvboloido viršūnę Sudėkime jungties lygtį y = j. Tada sąlyginis maksimumas bus akivaizdžiai jam lygus Jis pasiekiamas taške (o,|), ir jis atitinka rutulio viršūnę Afj, kuri yra rutulio susikirtimo su plokštuma y = j linija. Besąlyginio mvximum atveju turime mvximum aplikaciją tarp visų paviršiaus vpplicvt * = 1 - l;2 ~ y1; sąlyginės summvv - tik tarp pvraboloidv vllikvt taškų, atitinkančių tiesės y = j tašką*, ne xOy plokštumos. Vienas iš būdų, kaip rasti funkcijos sąlyginį ekstremumą esant ir ryšiui, yra toks. Pavyzdys. Raskite funkcijos ekstremumą esant sąlygai Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumo samprata. Būtinos ir pakankamos sąlygos ekstremumui Sąlyginis ekstremumas Didžiausios ir mažiausios tęstinių funkcijų reikšmės A Iš ryšio lygties (2") randame y = 1-x. Pakeitę šią reikšmę y į (V), gauname funkciją vienas argumentas x: Panagrinėkime jį ekstremumui: iš kur x = 1 - kritinis taškas; , kad jis pateiktų funkcijos r sąlyginį minimumą (24 pav.). Nurodykime kitą sąlyginio ekstremumo uždavinio sprendimo būdą, vadinamą Lagranžo daugiklio metodu. Tegu yra funkcijos sąlyginis ekstremumo taškas esant ryšiui. Tarkime, kad ryšio lygtis apibrėžia unikalią nuolat diferencijuojamą funkciją tam tikroje taško xx kaimynystėje. Atsižvelgdami į tai, kad gauname, kad funkcijos /(r, ip(x)) išvestinė x atžvilgiu taške xq turi būti lygi nuliui arba, kas yra lygiavertė tam, f(x, y) skirtumui taškas Mo" O turi būti lygus nuliui ) Iš jungties lygties gauname (5) Paskutinę lygybę padauginę iš dar neapibrėžto skaitinio koeficiento A ir prie nario pridėjus lygybę (4), gausime (manome, kad ) Tada dėl dx savavališkumo lygybės (6) ir (7) išreiškia būtinas besąlyginio ekstremumo sąlygas, kurios yra vadinamos Lagranžo funkcijos tašku funkcija /(x, y), jei, būtinai yra stacionarus Lagranžo funkcijos taškas, kur A yra kai kurie. skaitinis koeficientas. Iš čia gauname sąlyginių ekstremalių radimo taisyklę: norėdami rasti taškus, kurie gali būti sutartinio funkcijos ekstremumo taškai, esant ryšiui, 1) sudarome Lagranžo funkciją, 2) sulygindami išvestines ir μ šios funkcijos nulį ir prie gautų lygčių pridėjus ryšio lygtį, gauname trijų lygčių sistemą, iš kurios randame A reikšmes ir galimų ekstremalių taškų x, y koordinates. Sąlyginio ekstremumo egzistavimo ir pobūdžio klausimas išspręstas remiantis Lagrange funkcijos antrojo diferencialo ženklo tyrimu nagrinėjamai reikšmių sistemai x0, V0, A, gautai iš (8) su sąlyga, kad jei , tada taške (x0, V0) funkcija /(x, y ) turi sąlyginį maksimumą; jei d2F > 0 – tai sąlyginis minimumas. Visų pirma, jei stacionariame taške (xo, J/o) funkcijos F(x, y) determinantas D yra teigiamas, tai taške (®o, V0) yra funkcijos f( x, y), jei ir funkcijos /(x, y) sąlyginis minimumas, jei Pavyzdys. Dar kartą pereikime prie ankstesnio pavyzdžio sąlygų: raskite funkcijos ekstremumą su sąlyga, kad x + y = 1. Uždavinį išspręsime Lagranžo daugiklio metodu. Lagrange funkcija šiuo atveju turi formą Rasti stacionarūs taškai sudaryti sistemą Iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių gauname, kad x = y. Tada iš trečiosios sistemos lygties (ryšio lygties) randame, kad x - y = j yra galimo ekstremumo taško koordinatės. Šiuo atveju (nurodyta, kad A = -1. Taigi Lagranžo funkcija. yra sąlyginis funkcijos * = x2 + y2 mažiausias taškas pagal sąlygą Lagranžo funkcijai nėra besąlyginio ekstremumo. P(x, y ) dar nereiškia funkcijos /(x, y) sąlyginio ekstremumo nebuvimo esant ryšiui Pavyzdys Raskite funkcijos ekstremumą esant sąlygai y 4 Sudarome Lagranžo funkciją ir išrašome sistemą. nustatant A ir galimų ekstremalių taškų koordinates: Iš pirmųjų dviejų lygčių gauname x + y = 0 ir gauname sistemą, iš kurios x = y = A = 0. Taigi, atitinkama funkcija Lagrandžas turi formą Taške (0,0) funkcija F(x, y; 0) turi ne besąlyginį ekstremumą, o funkcijos r = xy sąlyginį ekstremumą. kai y = x, yra. Iš tiesų, šiuo atveju r = x2. Tai rodo, kad taške (0,0) yra sąlyginis minimumas. "Lagranžo daugiklių metodas perkeliamas į bet kokio argumentų skaičiaus funkcijų atvejį. Tegu funkcijos ekstremumo ieškoma esant ryšio lygtims. Sudarykime Lagranžo funkciją, kur A|, Az,..., A“, yra neapibrėžti pastovūs veiksniai. Prilyginus nuliui visas funkcijos F pirmos eilės dalines išvestines ir prie gautų lygčių pridėjus ryšio lygtis (9), gauname n + m lygčių sistemą, iš kurios nustatome Ab A3|..., At ir koordinates x \) x2). » xn galimų sąlyginio ekstremumo taškų. Klausimas, ar Lagranžo metodu rasti taškai iš tiesų yra sąlyginio ekstremumo taškai, dažnai gali būti išspręstas remiantis fizinio ar geometrinio pobūdžio svarstymais. 15.3. Didžiausia ir mažiausia ištisinių funkcijų reikšmės Tegul reikia rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę z = /(x, y), tolydžios tam tikrame cikle ribotas plotas D. Pagal 3 teoremą šioje srityje yra taškas (xo, V0), kuriame funkcija įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę. Jei taškas (xo, y0) yra D srities viduje, tai funkcija / jame turi maksimumą (minimumą), taigi šiuo atveju mus dominantis taškas yra tarp kritinių funkcijos /(x, y). Tačiau funkcija /(x, y) gali pasiekti didžiausią (mažiausią) reikšmę ties regiono riba. Todėl norint rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos z = /(x, y) reikšmę ribotoje uždaroje srityje 2), reikia rasti visus funkcijos maksimumus (minimalus), pasiektus šioje srityje, taip pat didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šios srities ribose. Didžiausias (mažiausias) iš visų šių skaičių bus norima didžiausia (mažiausia) funkcijos z = /(x,y) reikšmė 27 srityje. Parodykime, kaip tai daroma diferencijuojamos funkcijos atveju. Prmmr. Raskite didžiausią ir mažiausią 4 srities funkcijos reikšmes. Surandame funkcijos kritinius taškus regione D. Norėdami tai padaryti, sudarome lygčių sistemą. Iš čia gauname x = y « 0, taigi taškas 0 (0,0) yra funkcijos x kritinis taškas. Kadangi dabar suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ant domeno D ribos Г. Dalyje ribos turime, kad y = 0 yra kritinis taškas, o kadangi = tada šiame taške funkcija z = 1 + y2 turi minimumą, lygus vienam. Atkarpos Г" galuose taškuose (, turime. Naudodami simetrijos svarstymus gauname tuos pačius rezultatus kitoms ribos dalims. Galiausiai gauname: mažiausią funkcijos z = x2+y2 reikšmę srityje. "B yra lygus nuliui ir jis pasiekiamas vidinis taškas 0(0, 0) sritis, o didžiausia šios funkcijos reikšmė, lygi dviems, pasiekiama keturiuose ribos taškuose (25 pav.) 25 pav. Pratimai Raskite funkcijų apibrėžimo sritį: Sukurkite lygių linijas funkcijų: 9 Raskite trijų nepriklausomų kintamųjų funkcijų lygmenų paviršius: Apskaičiuokite funkcijų ribas: Raskite funkcijų dalines išvestines ir jų pilni diferencialai: Raskite sudėtingų funkcijų išvestines: 3 Raskite J. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumo samprata. Būtinos ir pakankamos ekstremumo sąlygos Sąlyginis ekstremumas Didžiausios ir mažiausios ištisinių funkcijų reikšmės 34. Naudojant išvestinę formulę sudėtinga funkcija du kintamieji, rasti ir funkcijos: 35. Naudodami dviejų kintamųjų sudėtingos funkcijos išvestinės formulę, raskite |J ir funkcijas: Raskite jj funkcijas, pateiktas netiesiogiai: 40. Raskite nuolydis kreivės liestinė jos susikirtimo su tiese x = 3 taške. 41. Raskite taškus, kuriuose kreivės x liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. . Šiuose uždaviniuose raskite ir T: Parašykite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis: 49. Parašykite paviršiaus liestinių plokštumų lygtis x2 + 2y2 + 3r2 = 21, lygiagrečiai plokštumai x + 4y + 6z = 0. Raskite pirmuosius tris ar keturis plėtimosi narius naudodami Teiloro formulę: 50. y taško (0, 0) apylinkėse. Naudodamiesi funkcijos ekstremumo apibrėžimu, išnagrinėkite šias ekstremumo funkcijas:). Pasitelkę pakankamas sąlygas dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumui, išnagrinėkite funkcijos ekstremumą: 84. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos z = x2 - y2 reikšmes uždarame apskritime 85. Raskite didžiausią ir mažiausią reikšmes. funkcijos * = x2y(4-x-y) trikampyje, apribotame tiesėmis x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Nustatykite stačiakampio atviro baseino, turinčio mažiausią paviršiaus plotą, matmenis, jei jo tūris lygus V. 87. Raskite matmenis stačiakampis gretasienis su kraičiu 5 maksimalus garsumas. Atsakymai 1. ir | Kvadratas, sudarytas iš tiesių atkarpų x, įskaitant jos kraštines. 3. Koncentrinių žiedų šeima 2= 0,1,2,... .4. Visa plokštuma, išskyrus taškus tiesiose linijose. Plokštumos dalis, esanti virš parabolės y = -x?. 8. Apskritimo x taškai. Visa plokštuma, išskyrus tieses x Radikalio išraiška yra neneigiama dviem atvejais j * ^ arba j x ^ ^, kuri atitinkamai yra lygi begalinei nelygybių serijai. l kuri lygi begalinei serijai Funkcija apibrėžiama taškais. a) Tiesės, lygiagrečios tiesei x b) koncentriniai apskritimai, kurių centras yra pradžioje. 10. a) parabolės y) parabolės y a) parabolės b) hiperbolės | .Lėktuvai xc. 13. Prim - vienos ertmės sukimosi aplink Ozo ašį hiperboloidai; kai ir yra dviejų lakštų sukimosi aplink Ozo ašį hiperboloidai, abi paviršių šeimos yra atskirtos kūgiu; Nėra ribos, b) 0. 18. Tegul y = kxt tada z lim z = -2, taigi suteikta funkcija taške (0,0) nėra ribos. 19. a) Taškas (0,0); b) taškas (0,0). 20. a) Lūžio linija – apskritimas x2 + y2 = 1; b) lūžio linija yra tiesė y = x. 21. a) Lūžio linijos –
koordinačių ašys
O ir oi; b) 0 (tuščias rinkinys). 22. Visi taškai (m, n), kur ir n yra sveikieji skaičiai Pirmiausia panagrinėkime dviejų kintamųjų funkcijos atvejį. Sąlyginis funkcijos $z=f(x,y)$ ekstremumas taške $M_0(x_0;y_0)$ yra šios funkcijos ekstremumas, pasiekiamas su sąlyga, kad kintamieji $x$ ir $y$ šio taško apylinkės tenkina ryšio lygtį $\ varphi (x,y)=0$. Pavadinimas „sąlyginis“ ekstremumas atsirado dėl to, kad kintamiesiems taikomas papildoma sąlyga$\varphi(x,y)=0$. Jei vieną kintamąjį galima išreikšti iš ryšio lygties per kitą, tai sąlyginio ekstremumo nustatymo problema redukuojama iki įprasto vieno kintamojo funkcijos ekstremumo nustatymo. Pavyzdžiui, jei ryšio lygtis reiškia $y=\psi(x)$, tada $y=\psi(x)$ pakeitę $z=f(x,y)$, gauname vieno kintamojo $z funkciją. =f\left (x,\psi(x)\right)$. IN
bendras atvejis
Tačiau šis metodas yra mažai naudingas, todėl reikia įdiegti naują algoritmą.
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \pabaiga (sulygiuota) \dešinė.
Pakankama sąlyga, pagal kurią galima nustatyti ekstremumo pobūdį, yra ženklas $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jei stacionariame taške $d^2F > 0$, tai funkcija $z=f(x,y)$ šiame taške turi sąlyginį minimumą, bet jei $d^2F< 0$, то условный максимум.
Yra ir kitas būdas nustatyti ekstremumo pobūdį. Iš sujungimo lygties gauname: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, todėl bet kuriame stacionariame taške turime:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$
Antrasis veiksnys (esantis skliausteliuose) gali būti pavaizduotas tokia forma:
Determinanto $\left| elementai paryškinti raudonai. \begin(masyvas) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (masyvas) \right|$, kuris yra Lagranžo funkcijos Hesenas. Jei $H > 0 $, tada $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, t.y. turime funkcijos $z=f(x,y)$ sąlyginį minimumą.
Pastaba dėl determinanto $H$ žymėjimo. rodyti\slėpti
$$ H=-\left|\begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(masyvas) \right| $$
Šioje situacijoje aukščiau suformuluota taisyklė pasikeis taip: jei $H > 0$, tai funkcija turi sąlyginį minimumą, o jei $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Sąlyginio ekstremumo dviejų kintamųjų funkcijos tyrimo algoritmas
- Sudarykite Lagranžo funkciją $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Išspręskite sistemą $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end (sulygiuotas) \right.$
- Nustatykite ekstremumo pobūdį kiekviename stacionariame taške, rastame ankstesnėje pastraipoje. Norėdami tai padaryti, naudokite bet kurį iš šių būdų:
- Sudarykite $H$ determinantą ir sužinokite jo ženklą
- Atsižvelgdami į sujungimo lygtį, apskaičiuokite $d^2F$ ženklą
Lagranžo daugiklio metodas n kintamųjų funkcijoms
Tarkime, kad turime $n$ kintamųjų $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ir $m$ susiejimo lygčių ($n > m$) funkciją:
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Lagranžo daugiklius pažymėdami kaip $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sudarome Lagranžo funkciją:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Būtinos sąlyginio ekstremumo buvimo sąlygos pateikiamos lygčių sistema, iš kurios randamos stacionarių taškų koordinatės ir Lagranžo daugiklių reikšmės:
$$\left\(\begin(lygiuotas) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(lygiuotas) \right.$$
Galite sužinoti, ar funkcija turi sąlyginį minimumą ar sąlyginį maksimumą rastame taške, kaip ir anksčiau, naudodami ženklą $d^2F$. Jei rastame taške $d^2F > 0$, tai funkcija turi sąlyginį minimumą, bet jei $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matricos $\left| determinantas \begin(masyvas) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ltaškai & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ltaškai & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ltaškai & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai &\ltaškai & \ ltaškai\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( masyvas) \right|$, raudonai paryškinta matricoje $L$, yra Lagranžo funkcijos Heso stulpelis. Mes naudojame šią taisyklę:
- Jei ženklai kampiniai nepilnamečiai$H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricos $L$ sutampa su $(-1)^m$ ženklu, tada tiriamas stacionarus taškas yra funkcijos $ sąlyginis minimumas z=f(x_1,x_2,x_3,\ltaškai,x_n)$.
- Jei kampinių nepilnamečių požymiai $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ pakaitomis, o minoro $H_(2m+1)$ ženklas sutampa su skaičiaus $(-1)^(m+1) ženklu )$, tada stacionarusis taškas yra funkcijos $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ sąlyginis maksimalus taškas.
1 pavyzdys
Raskite funkcijos $z(x,y)=x+3y$ sąlyginį ekstremumą esant sąlygai $x^2+y^2=10$.
Geometrinis šio uždavinio aiškinimas yra toks: reikia rasti didžiausią ir mažiausią plokštumos $z=x+3y$ taikymo reikšmes jos susikirtimo su cilindru $x^2+y taškams. ^2 = 10 USD.
Iš jungties lygties vieną kintamąjį išreikšti per kitą ir pakeisti į funkciją $z(x,y)=x+3y$ yra kiek sunku, todėl naudosime Lagranžo metodą.
Pažymėdami $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sudarome Lagrange funkciją:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\dalinis x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Parašykime lygčių sistemą, skirtą Lagranžo funkcijos stacionariesiems taškams nustatyti:
$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (sulygiuotas)\right.$$
Jei darysime prielaidą, kad $\lambda=0$, tada pirmoji lygtis bus tokia: $1=0$. Gautas prieštaravimas rodo, kad $\lambda\neq 0$. Pagal sąlygą $\lambda\neq 0$ iš pirmosios ir antrosios lygčių turime: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Pakeisdami gautas reikšmes į trečiąją lygtį, gauname:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin (sulygiuotas) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end (sulygiuotas) \right.\\ \begin (sulygiuotas) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(lygiuotas) $$
Taigi, sistema turi du sprendimus: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ir $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Išsiaiškinkime ekstremumo prigimtį kiekviename stacionariame taške: $M_1(1;3)$ ir $M_2(-1;-3)$. Norėdami tai padaryti, paskaičiuokime determinantas$H$ kiekviename taške.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masyvas) \right|= \left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right| $$
Taške $M_1(1;3)$ gauname: $H=8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(masyvas) \right|=40 > 0$, todėl taškas $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Panašiai taške $M_2(-1,-3)$ randame: $H=8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masyvas) \right|= 8\cdot\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(masyvas) \right|=-40 $. Nuo $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Pastebiu, kad užuot skaičiuojant determinanto $H$ reikšmę kiekviename taške, daug patogiau ją išplėsti bendras vaizdas. Kad tekstas nebūtų perkrautas detalėmis, šį metodą paslėpsiu po užrašu.
Determinanto $H$ užrašymas bendra forma. rodyti\slėpti
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(masyvas)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Iš principo jau akivaizdu, kokį ženklą turi $H$. Kadangi nė vienas iš taškų $M_1$ arba $M_2$ nesutampa su pradine vieta, tai $y^2+x^2>0$. Todėl $H$ ženklas yra priešingas $\lambda$ ženklui. Galite atlikti skaičiavimus:
$$ \begin(sulygiuotas) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(sulygiuotas) $$
Klausimas apie ekstremumo prigimtį stacionariuose taškuose $M_1(1;3)$ ir $M_2(-1;-3)$ gali būti išspręstas nenaudojant determinanto $H$. Kiekviename stacionariame taške raskime $d^2F$ ženklą:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Atkreipsiu dėmesį, kad žymėjimas $dx^2$ reiškia tiksliai $dx$ pakeltą į antrą laipsnį, t.y. $\left(dx \right)^2$. Taigi turime: $dx^2+dy^2>0$, todėl su $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ gauname $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без papildomos transformacijos. IN sekantį pavyzdį norint nustatyti $d^2F$ ženklą, reikės atsižvelgti į ryšį tarp $dx$ ir $dy$.
Atsakymas: taške $(-1;-3)$ funkcija turi sąlyginį minimumą, $z_(\min)=-10$. Taške $(1;3)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=10$
2 pavyzdys
Raskite funkcijos $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sąlyginį ekstremumą esant sąlygai $x+y=0$.
Pirmasis metodas (Lagranžo daugiklio metodas)
Pažymėdami $\varphi(x,y)=x+y$, sudarome Lagranžo funkciją: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (lygiuotas) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0 \end (sulygiuotas) \right.
Išsprendę sistemą, gauname: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ir $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Turime du stacionarius taškus: $M_1(0;0)$ ir $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Išsiaiškinkime ekstremumo prigimtį kiekviename stacionariame taške naudodami determinantas$H$.
$$H=\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masyvas) \right|= \left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(masyvas) \right|=-10-18y $$
Taške $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, todėl šiuo metu funkcija turi sąlyginį maksimumą $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Kiekviename taške tiriame ekstremumo pobūdį naudodami skirtingą metodą, pagrįstą $d^2F$ ženklu:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Iš ryšio lygties $x+y=0$ turime: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Kadangi $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tai $M_1(0;0)$ yra sąlyginis minimumas funkcijos $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Panašiai $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Antras būdas
Iš ryšio lygties $x+y=0$ gauname: $y=-x$. Pakeitę $y=-x$ į funkciją $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, gauname tam tikrą kintamojo $x$ funkciją. Pažymime šią funkciją kaip $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Taigi dviejų kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo radimo problemą redukavome iki vieno kintamojo funkcijos ekstremumo nustatymo.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
Gavome taškus $M_1(0;0)$ ir $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Iš kurso žinomi tolesni tyrimai diferencialinis skaičiavimas funkcijos su vienu kintamuoju. Ištyrę $u_(xx)^("")$ ženklą kiekviename stacionariame taške arba patikrinę $u_(x)^(")$ ženklo pokytį rastuose taškuose, gauname tokias pačias išvadas kaip ir tada sprendžiant pirmąjį metodą, pavyzdžiui, patikrinsime ženklą $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Kadangi $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tai $M_1$ yra mažiausias funkcijos $u(x)$ taškas, o $u_(\min)=u(0)=0 $ . Nuo $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Funkcijos $u(x)$ reikšmės tam tikrai ryšio sąlygai sutampa su funkcijos $z(x,y)$ reikšmėmis, t.y. rasti funkcijos $u(x)$ ekstremumai yra ieškomi funkcijos $z(x,y)$ sąlyginiai ekstremumai.
Atsakymas: taške $(0;0)$ funkcija turi sąlyginį minimumą, $z_(\min)=0$. Taške $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Panagrinėkime kitą pavyzdį, kuriame išsiaiškinsime ekstremumo prigimtį, nustatydami $d^2F$ ženklą.
3 pavyzdys
Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=5xy-4$ reikšmes, jei kintamieji $x$ ir $y$ yra teigiami ir tenkina ryšio lygtį $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0$.
Sukurkime Lagranžo funkciją: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Raskime stacionarius Lagranžo funkcijos taškus:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (sulygiuotas) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \;
Visos tolimesnės transformacijos atliekamos atsižvelgiant į $x > 0; \; y > 0$ (tai nurodyta problemos teiginyje). Iš antrosios lygties išreiškiame $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ir rastą reikšmę pakeičiame pirmąja lygtimi: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Trečiąja lygtimi pakeitę $x=2y$, gauname: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.
Kadangi $y=1$, tada $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstremo pobūdį taške $(2;1)$ nustatome pagal $d^2F$ ženklą.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Kadangi $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tada:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Iš esmės čia galite iš karto pakeisti stacionaraus taško $x=2$, $y=1$ koordinates ir parametrą $\lambda=-10$, gaudami:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Tačiau kitose sąlyginio ekstremumo problemose gali būti keletas stacionarių taškų. Tokiais atvejais $d^2F$ geriau pavaizduoti bendra forma, o tada kiekvieno rasto stacionaraus taško koordinates pakeisti gauta išraiška:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Pakeitę $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, gauname:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Kadangi $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Atsakymas: taške $(2;1)$ funkcija turi sąlyginį maksimumą, $z_(\max)=6$.
Kitoje dalyje aptarsime Lagranžo metodo taikymą funkcijoms daugiau kintamieji.
Apibrėžimas1: Sakoma, kad funkcija turi vietinį maksimumą taške, jei taško kaimynystė yra tokia, kad bet kuriame taške M su koordinatėmis (x, y) nelygybė galioja: . Šiuo atveju, t.y., funkcijos padidėjimas< 0.
Apibrėžimas2: Sakoma, kad funkcija turi vietinį minimumą taške, jei taško kaimynystė yra tokia, kad bet kuriame taške M su koordinatėmis (x, y) nelygybė galioja: . Šiuo atveju, t. y. funkcijos padidėjimas > 0.
3 apibrėžimas: Taškai vietiniai minimumai ir maksimumas yra vadinami ekstremalūs taškai.
Sąlyginiai kraštutinumai
Surandant daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumus, dažnai iškyla problemų, susijusių su vadinamuoju sąlyginis ekstremumas.Šią sąvoką galima paaiškinti naudojant dviejų kintamųjų funkcijos pavyzdį.
Tegu duota funkcija ir eilutė L lėktuve 0xy. Užduotis yra patekti į liniją L rasti tokį tašką P(x, y), kurioje funkcijos reikšmė yra didžiausia arba mažiausia, palyginti su šios funkcijos reikšmėmis tiesės taškuose L, esantis netoli taško P. Tokie taškai P yra vadinami sąlyginiai ekstremumo taškai funkcijos internete L. Priešingai nei įprastas ekstremumo taškas, funkcijos reikšmė sąlyginio ekstremumo taške lyginama su funkcijos reikšmėmis ne visuose jos kaimynystės taškuose, o tik tuose, kurie yra tiesėje. L.
Visiškai aišku, kad įprasto ekstremumo taškas (jie taip pat sako besąlyginis ekstremumas) taip pat yra bet kurios tiesės, einančios per šį tašką, sąlyginis ekstremumo taškas. Priešingai, žinoma, netiesa: sąlyginis ekstremumo taškas gali būti ne įprastas ekstremumo taškas. Leiskite man paaiškinti, ką sakiau įprastas pavyzdys. Funkcijos grafikas yra viršutinis pusrutulis (3 priedas (3 pav.)).
Ši funkcija turi maksimumą pradžioje; viršūnė ją atitinka M pusrutuliai. Jei linija L per taškus eina linija A Ir IN(jos lygtis x+y-1=0), tada geometriškai aišku, kad šios tiesės taškams didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama taške, esančiame viduryje tarp taškų. A Ir IN. Tai yra šios linijos funkcijos sąlyginio ekstremumo (maksimalaus) taškas; jis atitinka pusrutulio tašką M 1, o iš paveikslo aišku, kad apie jokį eilinį ekstremumą čia negali būti kalbos.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje užduoties dalyje, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarame regione, turime rasti šios srities ribos kraštutines funkcijos reikšmes, t.y. tam tikroje eilutėje ir taip išspręskite sąlyginio ekstremumo problemą.
Dabar pereikime prie funkcijos Z= f(x, y) sąlyginių ekstremalių taškų praktinės paieškos, jei kintamieji x ir y yra susiję lygtimi (x, y) = 0. Šį ryšį vadinsime ryšio lygtis. Jei iš jungties lygties y galima aiškiai išreikšti x: y=(x), gauname vieno kintamojo funkciją Z= f(x, (x)) = Ф(x).
Radę reikšmę x, kuriai esant ši funkcija pasiekia ekstremumą, o tada iš ryšio lygties nustatę atitinkamas y reikšmes, gauname norimus sąlyginio ekstremumo taškus.
Taigi, aukščiau pateiktame pavyzdyje iš santykio lygties x+y-1=0 turime y=1-x. Iš čia
Nesunku patikrinti, ar z pasiekia maksimumą, kai x = 0,5; bet tada iš jungties lygties y = 0,5, ir gauname tiksliai tašką P, rastą geometriniais svarstymais.
Sąlyginio ekstremumo uždavinys sprendžiamas labai paprastai net tada, kai ryšio lygtį galima pavaizduoti parametrinėmis lygtimis x=x(t), y=y(t). X ir y išraiškų pakeitimas į šią funkciją, vėl pasiekiame vieno kintamojo funkcijos ekstremumo radimo problemą.
Jei sukabinimo lygtis turi daugiau nei sudėtinga išvaizda ir mes negalime nei aiškiai išreikšti vieno kintamojo kitu, nei pakeisti parametrinėmis lygtimis, tada užduotis rasti sąlyginį ekstremumą tampa sunkesnė. Toliau darysime prielaidą, kad funkcijos z= f(x, y) išraiškoje kintamasis (x, y) = 0. Funkcijos z= f(x, y) suminė išvestinė lygi:
Kur išvestinė y` randama naudojant diferenciacijos taisyklę numanoma funkcija. Sąlyginio ekstremumo taškuose rasta suminė išvestinė turi būti lygi nuliui; taip gaunama viena lygtis, susijusi su x ir y. Kadangi jie taip pat turi atitikti sujungimo lygtį, gauname dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais
Transformuokime šią sistemą į daug patogesnę, surašydami pirmąją lygtį proporcijos forma ir įvesdami naują pagalbinį nežinomąjį:
(Priekyje esantis minuso ženklas patogumui). Iš šių lygybių lengva pereiti prie šios sistemos:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
kuri kartu su jungties lygtimi (x, y) = 0 sudaro trijų lygčių sistemą su nežinomaisiais x, y ir.
Naudojant šias lygtis (*) lengviausia atsiminti kita taisyklė: norint rasti taškus, kurie gali būti sąlyginiai funkcijos ekstremumai
Z= f(x, y) su jungties lygtimi (x, y) = 0, reikia sudaryti pagalbinę funkciją
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Kur yra tam tikra konstanta, ir sukurkite lygtis, kad surastumėte šios funkcijos kraštutinius taškus.
Nurodyta lygčių sistema, kaip taisyklė, pateikia tik būtinas sąlygas, t.y. ne kiekviena reikšmių pora x ir y, kuri tenkina šią sistemą, būtinai yra sąlyginis ekstremumo taškas. Nepateiksiu pakankamai sąlygų sąlyginio ekstremumo taškams; labai dažnai pats konkretus problemos turinys rodo, koks yra rastas taškas. Apibūdinta sąlyginio ekstremumo problemų sprendimo technika vadinama Lagranžo daugiklio metodu.
