Vieneto dalis arba kelios jo dalys vadinamos paprastąja arba bendrąja trupmena. Lygių dalių, į kurias padalintas vienetas, skaičius vadinamas vardikliu, o paimtų dalių skaičius vadinamas skaitikliu. Trupmena rašoma taip:

IN šiuo atveju a yra skaitiklis, b yra vardiklis.

Jei skaitiklis mažiau nei vardiklis, tada trupmena yra mažesnė nei 1 ir vadinama tinkama trupmena. Jei skaitiklis didesnis už vardiklį, tai trupmena didesnė už 1, tada trupmena vadinama netinkamąja trupmena.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, tada trupmena yra lygi.

1. Jei skaitiklį galima padalyti iš vardiklio, tai ši trupmena lygi dalybos daliniui:

Jei dalijimas atliekamas su liekana, ši netinkama trupmena gali būti pavaizduota mišriu skaičiumi, pavyzdžiui:

Tada 9 yra nepilnas koeficientas ( visa dalis mišrus skaičius),
1 - liekana (trumposios dalies skaitiklis),
5 yra vardiklis.

Norint paversti mišrų skaičių į trupmeną, visą mišraus skaičiaus dalį reikia padauginti iš vardiklio ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį.

Gautas rezultatas bus bendrosios trupmenos skaitiklis, tačiau vardiklis išliks toks pat.

Operacijos su trupmenomis

Frakcijos plėtra. Trupmenos reikšmė nesikeičia, jei jos skaitiklį ir vardiklį padauginate iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
Pavyzdžiui:

Dalies sumažinimas. Trupmenos reikšmė nepasikeičia, jei jos skaitiklį ir vardiklį padalijate iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
Pavyzdžiui:

Palyginti trupmenas. Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis yra mažesnis, yra didesnis:

Iš dviejų frakcijų su tie patys vardikliai tas, kurio skaitiklis didesnis:

Norint palyginti trupmenas, kurių skaitikliai ir vardikliai skiriasi, reikia jas išplėsti, ty perkelti į bendras vardiklis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šias trupmenas:

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Jei trupmenų vardikliai yra vienodi, tai norint sudėti trupmenas, reikia pridėti jų skaitiklius, o norint atimti trupmenas – jų skaitiklius. Gauta suma arba skirtumas bus rezultato skaitiklis, tačiau vardiklis išliks toks pat. Jei trupmenų vardikliai skiriasi, pirmiausia turite sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Pridedant mišrūs skaičiai jų visa ir trupmeninės dalys pridedamos atskirai. Atimant mišrius skaičius, pirmiausia reikia juos konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, tada atimti vieną iš kitos ir, jei reikia, vėl konvertuoti rezultatą į mišraus skaičiaus formą.

Trupmenų dauginimas. Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius atskirai ir padalyti pirmąjį sandaugą iš antrojo.

Trupmenų padalijimas. Norėdami padalyti skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį skaičių iš atvirkštinės trupmenos.

Dešimtainė- tai yra padalijimo iš dešimties, šimto, tūkstančio ir tt rezultatas. dalys. Pirmiausia parašyta visa skaičiaus dalis, tada dešinėje dedamas kablelis. Pirmasis skaitmuo po kablelio reiškia dešimtųjų skaičių, antrasis - šimtųjų skaičių, trečias - tūkstantųjų skaičių ir tt Skaičiai, esantys po kablelio, vadinami dešimtainiais.

Pavyzdžiui:

Dešimtainių skaitmenų savybės

Savybės:

Dešimtainė trupmena nesikeičia, jei pridedate nulius į dešinę: 4,5 = 4,5000.
Dešimtainė dalis nesikeičia, jei pašalinsite nulius kablelio pabaigoje: 0,0560000 = 0,056.
Dešimtainis skaičius padidėja 10, 100, 1000 ir kt. kartų, jei perkeliate dešimtainį kablelį vienas, du, trys ir pan. pozicijos į dešinę: 4,5 45 (trupmena padidėjo 10 kartų).
Dešimtainės trupmenos sumažinamos 10, 100, 1000 ir kt. kartų, jei perkeliate dešimtainį kablelį vienas, du, trys ir pan. pozicijos į kairę: 4,5 0,45 (frakcija sumažėjo 10 kartų).

Periodinėje dešimtainėje trupmenoje yra be galo pasikartojančių skaitmenų grupė, vadinama tašku: 0,321321321321…=0, (321)

Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas atliekamas taip pat, kaip sveikųjų skaičių pridėjimas ir atėmimas, tereikia užsirašyti atitinkamą po kablelio vienas po kitu.
Pavyzdžiui:

Dešimtainių trupmenų dauginimas atliekamas keliais etapais:

Dešimtaines padauginame kaip sveikus skaičius, nepaisydami po kablelio.
Galioja taisyklė: sandaugos skaitmenų po kablelio skaičius yra lygus visų veiksnių po kablelio sumai.

Pavyzdžiui:

Veiksnių kablelio skaičių suma lygi: 2+1=3. Dabar reikia suskaičiuoti 3 skaitmenis nuo gauto skaičiaus pabaigos ir įdėti kablelį: 0,675.

Dalijimas po kablelio. Dešimtainės trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus: jei dividendas mažiau nei daliklis, tada sveikojoje dalinio dalyje reikia įrašyti nulį ir po jo dėti kablelį. Tada, neatsižvelgdami į dividendo dešimtainį kablelį, prie visos jos dalies pridėkite kitą trupmeninės dalies skaitmenį ir vėl palyginkite gautą visą dividendo dalį su dalikliu. Jei naujas skaičius vėl mažesnis už daliklį, veiksmą reikia kartoti. Šis procesas kartojamas tol, kol gautas dividendas yra didesnis už daliklį. Po to dalyba atliekama kaip ir sveikieji skaičiai. Jei dividendas yra didesnis arba lygus dalikliui, pirmiausia padalinkite visą jo dalį, padalijimo rezultatą įrašykite į dalinį ir padėkite kablelį po kablelio. Po to padalijimas tęsiamas kaip sveikųjų skaičių atveju.

Vienos dešimtainės trupmenos dalijimas iš kitos: pirmiausia kableliai dividende ir daliklyje perkeliami į daliklio kablelio skaičių po kablelio, tai yra, daliklį padarome sveikuoju skaičiumi ir atliekami aukščiau aprašyti veiksmai.

Norint apsisukti dešimtainisįprastu atveju skaitiklį reikia paimti po kablelio esantį skaičių, o vardiklį imti dešimties k-ąją laipsnį (k yra skaitmenų po kablelio skaičius). Ne nulinė sveikojo skaičiaus dalis saugoma bendrojoje trupmenoje; nulinė sveikojo skaičiaus dalis praleidžiama.
Pavyzdžiui:

Norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, turite padalyti skaitiklį iš vardiklio pagal padalijimo taisykles.

Procentas yra šimtoji vieneto dalis, pavyzdžiui: 5% reiškia 0,05. Santykis yra vieno skaičiaus, padalinto iš kito, koeficientas. Proporcija yra dviejų santykių lygybė.

Pavyzdžiui:

Pagrindinė proporcijos savybė: kraštutinių proporcijos narių sandauga yra lygi jos vidurinių dalių sandaugai, tai yra, 5x30 = 6x25. Du tarpusavyje priklausomi kiekiai vadinami proporcingais, jei jų reikšmių santykis nesikeičia (proporcingumo koeficientas).

Taigi buvo nustatytos šios aritmetinės operacijos.
Pavyzdžiui:

Racionaliųjų skaičių aibę sudaro teigiami ir neigiami skaičiai (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Daugiau tikslus apibrėžimas racionalieji skaičiai, priimti matematikoje, yra tokie: skaičius vadinamas racionaliuoju, jei jį galima pavaizduoti įprasto pavidalo neredukuojama trupmena formos:, kur a ir b yra sveikieji skaičiai.

Dėl neigiamo skaičiaus absoliuti vertė(modulis) yra teigiamas skaičius, gautas pakeitus jo ženklą iš „-“ į „+“; Už teigiamas skaičius o nulis yra pats skaičius. Skaičiaus moduliui nurodyti naudojamos dvi tiesės, kuriose rašomas šis skaičius, pvz.: |–5|=5.

Absoliučios vertės savybės

Tegu pateiktas skaičiaus modulis , kuriai galioja šios savybės:

Monomialas yra dviejų ar daugiau faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra skaičius, raidė arba raidės laipsnis: 3 x a x b. Koeficientas dažniausiai vadinamas tik skaitiniu daugikliu. Monomiai vadinami panašiais, jei yra vienodi arba skiriasi tik koeficientais. Monomalio laipsnis yra visų jo raidžių rodiklių suma. Jei tarp monomijų sumos yra panašių, tada sumą galima sumažinti iki daugiau paprastas vaizdas: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Ši operacija vadinama liejimu panašių narių arba iškeliant jį iš skliaustų.

Polinomas yra algebrinė suma monomai. Polinomo laipsnis yra didžiausias iš mononomų, įtrauktų į pateiktą daugianarį, laipsnių.

Yra sekančias formules sutrumpintas dauginimas:

Faktorizacijos metodai:

Algebrinė trupmena yra formos išraiška, kur A ir B gali būti skaičius, mononomas arba daugianomas.

Jei dvi išraiškos (skaitinės ir abėcėlinės) yra sujungtos ženklu „=“, sakoma, kad jos sudaro lygybę. Bet kokia tikra lygybė, galiojanti visiems priimtina skaitinės reikšmėsį jį įtrauktų raidžių vadinamas tapatybe.

Lygtis yra pažodinė lygybė, kuri galioja tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Šios raidės vadinamos nežinomaisiais (kintamaisiais) ir jų reikšmėmis duota lygtis virsta tapatybe – pagal lygties šaknis.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis. Dvi ar daugiau lygčių vadinamos lygiavertėmis, jei jų šaknys yra vienodos.

nulis buvo lygties šaknis;
lygtis turėjo tik galutinis skaičiusšaknys.

Pagrindiniai algebrinių lygčių tipai:

Tiesinei lygčiai ax + b = 0:

jei a x 0, yra viena šaknis x = -b/a;
jei a = 0, b ≠ 0, šaknų nėra;
jei a = 0, b = 0, šaknis yra bet koks realusis skaičius.

Lygtis xn = a, n N:

jei n - nelyginis skaičius, turi bet kuriam a realiąją šaknį, lygią a/n;
jei n yra lyginis skaičius, tada 0, tada jis turi dvi šaknis.

Pagrindinis tapatybės transformacijos: vienos išraiškos pakeitimas kita, kuri yra identiška jai; lygties terminų perkėlimas iš vienos pusės į kitą su priešingais ženklais; abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos (skaičiaus), išskyrus nulį.

Tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju yra tokios formos lygtis: ax+b=0, kur a ir b yra žinomi skaičiai, o x yra nežinomas dydis.

Sistemos iš dviejų tiesines lygtis su dviem nežinomaisiais turi tokią formą:

Kur a, b, c, d, e, f - duotus skaičius; x, y yra nežinomi.

Skaičiai a, b, c, d yra nežinomųjų koeficientai; e, f- nemokami nariai. Šios lygčių sistemos sprendimą galima rasti dviem pagrindiniais metodais: pakeitimo metodu: iš vienos lygties išreiškiame vieną iš nežinomųjų per koeficientus ir kitą nežinomąjį, o tada pakeičiame į antrąją lygtį, išspręsdami paskutinę lygtį randame vieną nežinomą, tada rastą reikšmę pakeičiame pirmąja lygtimi ir randame antrą nežinomą; vienos lygties pridėjimo arba atėmimo iš kitos metodas.

Operacijos su šaknimis:

Aritmetika n-oji šaknis vadinamos neneigiamo skaičiaus a laipsniais neneigiamas skaičius, n-asis laipsnis kuri lygi a. Algebrinė šaknis n-asis laipsnis iš duotas numeris Vadinama visų šio skaičiaus šaknų aibė.

Iracionalieji skaičiai, skirtingai nei racionalieji skaičiai, negali būti pavaizduoti kaip įprastinė neredukuojama formos m/n trupmena, kur m ir n yra sveikieji skaičiai. Tai naujo tipo skaičiai, kuriuos galima apskaičiuoti bet kokiu tikslumu, bet jų pakeisti negalima racionalus skaičius. Jie gali atsirasti dėl geometrinių matavimų, pavyzdžiui: kvadrato įstrižainės ilgio ir jo kraštinės ilgio santykis yra lygus.

Kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrojo laipsnio ax2+bx+c=0, kur a, b, c pateikti skaitiniai arba raidiniai koeficientai, x nežinomas. Jei visus šios lygties narius padalinsime iš a, gaunamas x2+px+q=0 – redukuota lygtis p=b/a, q=c/a. Jo šaknys randamos pagal formulę:

Jei b2-4ac>0, tada yra dvi skirtingos šaknys, b2- 4ac=0, tada yra dvi vienodos šaknys; b2-4ac Modulius turinčios lygtys

Pagrindiniai lygčių tipai su moduliais:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kur f(x), g(x), fk(x), gk(x) pateiktos funkcijos.

Šis straipsnis yra apie bendrosios trupmenos. Čia supažindinsime su visumos trupmenos sąvoka, kuri padės mums apibrėžti bendrąją trupmeną. Toliau mes sutelksime dėmesį į priimtus užrašus paprastųjų trupmenų atveju ir pateikite trupmenų pavyzdžių, pakalbėkime apie trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Po to pateiksime tinkamų ir netinkamų, teigiamų ir neigiamų trupmenų apibrėžimus, taip pat atsižvelgsime į trupmeninių skaičių padėtį koordinačių spindulys. Pabaigoje išvardijame pagrindines operacijas su trupmenomis.

Puslapio naršymas.

Viso akcijos

Pirmiausia pristatome akcijų samprata.

Tarkime, kad turime objektą, sudarytą iš kelių absoliučiai identiškų (tai yra lygių) dalių. Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti, pavyzdžiui, obuolį, supjaustytą į kelias lygias dalis, arba apelsiną, susidedantį iš kelių vienodų griežinėlių. Kiekviena iš šių lygių dalių, kurios sudaro visa tema, paskambino visumos dalys arba tiesiog akcijų.

Atkreipkite dėmesį, kad akcijos skiriasi. Paaiškinkime tai. Paimkime du obuolius. Pirmąjį obuolį supjaustykite į dvi lygias dalis, o antrąjį – į 6 lygias dalis. Aišku, kad pirmojo obuolio dalis skirsis nuo antrojo obuolio dalies.

Priklausomai nuo akcijų, sudarančių visą objektą, skaičiaus, šios akcijos turi savo pavadinimus. Sutvarkykime ritmų pavadinimai. Jei objektas susideda iš dviejų dalių, bet kuri iš jų vadinama viena antrąja viso objekto dalimi; jei objektas susideda iš trijų dalių, tai bet kuri iš jų vadinama viena trečiąja dalimi ir pan.

Turi vieną sekundę specialus vardas – pusė. Trečdalis vadinamas trečia, ir ketvirtadalis dalis – ketvirtadalis.

Trumpumo dėlei buvo įvesta: mušti simbolius. Viena antroji akcija nurodoma kaip arba 1/2, viena trečdalis – kaip arba 1/3; ketvirtadalis dalis – like arba 1/4 ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad užrašas su horizontalia juosta naudojamas dažniau. Norėdami sustiprinti medžiagą, pateiksime dar vieną pavyzdį: įrašas žymi šimtą šešiasdešimt septintąją visumos dalį.

Dalies sąvoka natūraliai tęsiasi nuo objektų iki kiekių. Pavyzdžiui, vienas iš ilgio matų yra metras. Trumpesniems nei metras ilgiams matuoti galima naudoti metro dalis. Taigi galite naudoti, pavyzdžiui, pusę metro arba dešimtąją ar tūkstantąją metro dalį. Kitų kiekių dalys taikomos panašiai.

Bendrosios trupmenos, apibrėžimai ir trupmenų pavyzdžiai

Norėdami apibūdinti naudojamų akcijų skaičių bendrosios trupmenos. Pateiksime pavyzdį, kuris leis mums priartėti prie paprastųjų trupmenų apibrėžimo.

Tegul apelsinas susideda iš 12 dalių. Kiekviena dalis šiuo atveju reiškia vieną dvyliktąją viso apelsino, tai yra, . Mes žymime du ritmus kaip , tris dūžius kaip , ir taip toliau, 12 dūžių žymime kaip . Kiekvienas iš pateiktų įrašų vadinamas paprastąja trupmena.

Dabar pateikime generolą bendrųjų trupmenų apibrėžimas.

Įgarsintas paprastųjų trupmenų apibrėžimas leidžia mums pateikti bendrųjų trupmenų pavyzdžiai: 5/10, , 21/1, 9/4, . O štai įrašai neatitinka pateikto paprastųjų trupmenų apibrėžimo, tai yra, jos nėra paprastosios trupmenos.

Skaitiklis ir vardiklis

Patogumui skiriamos paprastosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

Apibrėžimas.

Skaitiklis bendroji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius m.

Apibrėžimas.

Vardiklis bendroji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius n.

Taigi, skaitiklis yra virš trupmenos linijos (į kairę nuo pasvirojo brūkšnio), o vardiklis yra žemiau trupmenos linijos (į dešinę nuo pasvirojo brūkšnio). Pavyzdžiui, paimkime bendrąją trupmeną 17/29, šios trupmenos skaitiklis yra skaičius 17, o vardiklis yra skaičius 29.

Belieka aptarti reikšmę, esančią paprastosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Trupmenos vardiklis rodo, iš kiek dalių susideda vienas objektas, o skaitiklis savo ruožtu nurodo tokių dalių skaičių. Pavyzdžiui, trupmenos 12/5 vardiklis 5 reiškia, kad vienas objektas susideda iš penkių dalių, o skaitiklis 12 reiškia, kad paimama 12 tokių dalių.

Natūralusis skaičius kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1

Bendrosios trupmenos vardiklis gali būti lygus vienam. Šiuo atveju galime laikyti, kad objektas yra nedalomas, kitaip tariant, jis reprezentuoja kažką vientiso. Tokios trupmenos skaitiklis rodo, kiek paimta sveikų objektų. Taigi, bendroji trupmena formos m/1 turi natūraliojo skaičiaus m reikšmę. Taip pagrindėme lygybės m/1=m pagrįstumą.

Paskutinę lygybę perrašykime taip: m=m/1. Ši lygybė leidžia mums pavaizduoti bet kurį natūralųjį skaičių m kaip paprastąją trupmeną. Pavyzdžiui, skaičius 4 yra trupmena 4/1, o skaičius 103 498 yra lygus trupmenai 103 498/1.

Taigi, bet kurį natūralųjį skaičių m galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, kurios vardiklis 1, kaip m/1, o bet kurią paprastąją formos m/1 trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi m.

Trupmenų juosta kaip padalijimo ženklas

Pirminio objekto atvaizdavimas n dalių pavidalu yra ne kas kita, kaip padalijimas į n lygių dalių. Padalijus prekę į n dalių, galime ją po lygiai padalinti n žmonių – kiekvienas gaus po vieną akciją.

Jei iš pradžių turime m identiški daiktai, kurių kiekvienas yra padalintas į n dalių, tada šiuos m elementą galime padalyti po lygiai tarp n žmonių, kiekvienam asmeniui skirdami po vieną dalį iš kiekvieno iš m elementų. Šiuo atveju kiekvienas asmuo turės m dalių 1/n, o m dalių 1/n duoda bendrąją trupmeną m/n. Taigi bendrąją trupmeną m/n galima naudoti m elementų padalijimui tarp n žmonių pažymėti.

Taip gavome aiškų ryšį tarp paprastųjų trupmenų ir padalijimo (žr. bendrą natūraliųjų skaičių padalijimo idėją). Šis ryšys išreiškiamas taip: trupmenos liniją galima suprasti kaip dalybos ženklą, tai yra m/n=m:n.

Naudodami bendrąją trupmeną galite parašyti padalijus du rezultatą natūraliuosius skaičius, kuriai integralus padalijimas neatliekamas. Pavyzdžiui, 5 obuolių padalijimo iš 8 žmonių rezultatas gali būti parašytas kaip 5/8, tai yra, kiekvienas gaus penkias aštuntąsias obuolio: 5:8 = 5/8.

Lygiosios ir nelygiosios trupmenos, trupmenų palyginimas

Gana natūralus veiksmas lyginant trupmenas, nes aišku, kad 1/12 apelsino skiriasi nuo 5/12, o 1/6 obuolio – dar 1/6 šio obuolio.

Palyginus dvi paprastąsias trupmenas, gaunamas vienas iš rezultatų: trupmenos yra lygios arba nelygios. Pirmuoju atveju turime lygios bendrosios trupmenos o antroje – nelygios paprastosios trupmenos. Pateiksime lygių ir nelygių paprastųjų trupmenų apibrėžimą.

Apibrėžimas.

lygus, jei lygybė a·d=b·c yra teisinga.

Apibrėžimas.

Dvi bendrosios trupmenos a/b ir c/d nėra lygus, jei netenkinama lygybė a·d=b·c.

Štai keletas lygių trupmenų pavyzdžių. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 1/2 yra lygi trupmenai 2/4, nes 1·4=2·2 (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių dauginimo taisykles ir pavyzdžius). Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti du vienodus obuolius, pirmasis perpjaunamas per pusę, o antrasis – į 4 dalis. Akivaizdu, kad du ketvirtadaliai obuolio yra 1/2 dalis. Kiti vienodų bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 4/7 ir 36/63 bei trupmenų pora 81/50 ir 1 620/1 000.

Tačiau paprastosios trupmenos 4/13 ir 5/14 nėra lygios, nes 4·14=56 ir 13·5=65, tai yra 4·14≠13·5. Kiti nelygių bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 17/7 ir 6/4.

Jei lyginant dvi bendrąsias trupmenas paaiškėja, kad jos nėra lygios, gali tekti išsiaiškinti, kuri iš šių bendrųjų trupmenų mažiau kitoks, o kuris - daugiau. Norėdami tai išsiaiškinti, naudojama paprastųjų trupmenų palyginimo taisyklė, kurios esmė – lyginamąsias trupmenas suvesti į bendrą vardiklį ir tada lyginti skaitiklius. Išsami informacija šia tema surinkta straipsnyje trupmenų palyginimas: taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.

Trupmeniniai skaičiai

Kiekviena trupmena yra žymėjimas trupmeninis skaičius. Tai yra, trupmena yra tik trupmeninio skaičiaus „apvalkalas“, jo išvaizda, o visa semantinė apkrova yra trupmeniniame skaičiuje. Tačiau dėl trumpumo ir patogumo trupmenos ir trupmeninio skaičiaus sąvokos sujungiamos ir tiesiog vadinamos trupmena. Čia tikslinga perfrazuoti garsus posakis: sakome trupmeną – turime omenyje trupmeninis skaičius, sakome trupmeninį skaičių – turime omenyje trupmeną.

Koordinačių spindulio trupmenos

Visi trupmeniniai skaičiai, atitinkantys paprastąsias trupmenas, turi savo unikalią vietą, tai yra, tarp trupmenų ir koordinačių spindulio taškų yra vienas su vienu atitikimas.

Norint patekti į koordinačių spindulio tašką, atitinkantį trupmeną m/n, reikia atidėti m atkarpų nuo koordinačių pradžios teigiama kryptimi, kurių ilgis yra 1/n vienetinio atkarpos trupmena. Tokius segmentus galima gauti padalinus vieneto segmentą į n lygių dalių, o tai visada galima padaryti naudojant kompasą ir liniuotę.

Pavyzdžiui, rodykime tašką M koordinačių spindulyje, atitinkantį trupmeną 14/10. Atkarpos, kurios galai yra taške O ir arčiausiai jo esančio taško, pažymėto mažu brūkšneliu, ilgis yra 1/10 vienetinės atkarpos. Taškas, kurio koordinatė yra 14/10, pašalinamas iš pradžios 14 tokių atkarpų atstumu.

Lygios trupmenos atitinka tą patį trupmeninį skaičių, ty lygios trupmenos yra to paties koordinačių spindulio taško koordinatės. Pavyzdžiui, koordinatės 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 atitinka vieną koordinačių spindulio tašką, nes visos parašytos trupmenos yra lygios (jis yra pusės išdėstytos vienetinės atkarpos atstumu nuo pradžios teigiama kryptimi).

Ant horizontalaus ir į dešinę nukreipto koordinačių spindulio taškas, kurio koordinatė yra didelė frakcija, yra taško, kurio koordinatė yra, dešinėje nedidelė dalis. Panašiai taškas su mažesne koordinate yra kairėje nuo taško, kurio koordinatė yra didesnė.

Tikrosios ir netinkamosios trupmenos, apibrėžimai, pavyzdžiai

Tarp paprastųjų trupmenų yra teisingas ir netinkamos trupmenos . Šis skirstymas pagrįstas skaitiklio ir vardiklio palyginimu.

Apibrėžkime tinkamas ir netinkamas paprastąsias trupmenas.

Apibrėžimas.

Tinkama trupmena yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tai yra, jei m

Apibrėžimas.

Netinkama trupmena yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, tai yra, jei m≥n, tai paprastoji trupmena yra neteisinga.

Štai keletas tinkamų trupmenų pavyzdžių: 1/4, , 32,765/909,003. Iš tiesų, kiekvienoje iš užrašytų paprastųjų trupmenų skaitiklis yra mažesnis už vardiklį (jei reikia, žr. straipsnį, kuriame lyginami natūralieji skaičiai), todėl jie yra teisingi pagal apibrėžimą.

Štai netinkamų trupmenų pavyzdžiai: 9/9, 23/4, . Iš tiesų, pirmosios parašytos paprastosios trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, o likusiose trupmenose skaitiklis yra didesnis už vardiklį.

Taip pat yra tinkamų ir netinkamų trupmenų apibrėžimų, pagrįstų trupmenų palyginimu su viena.

Apibrėžimas.

teisinga, jei jis yra mažesnis nei vienas.

Apibrėžimas.

Paprastoji trupmena vadinama negerai, jei jis yra lygus vienam arba didesnis už 1.

Taigi bendroji trupmena 7/11 yra teisinga, nes 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ir 27/27 = 1.

Pagalvokime, kaip paprastos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, nusipelno tokio pavadinimo - „netinkamas“.

Pavyzdžiui, paimkime netinkamą trupmeną 9/9. Ši trupmena reiškia, kad objekto, kurį sudaro devynios dalys, paimamos devynios dalys. Tai yra, iš turimų devynių dalių galime sudaryti visą objektą. Tai yra, netinkama trupmena 9/9 iš esmės suteikia visą objektą, tai yra, 9/9 = 1. Paprastai netinkamos trupmenos, kurių skaitiklis lygus vardikliui, žymi vieną visą objektą, o tokią trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi 1.

Dabar apsvarstykite netinkamas trupmenas 7/3 ir 12/4. Visiškai akivaizdu, kad iš šių septynių trečiųjų dalių galime sudaryti du ištisus objektus (vienas visas objektas susideda iš 3 dalių, tada dviems ištisiems objektams sudaryti reikės 3 + 3 = 6 dalių) ir dar liks viena trečioji dalis. . Tai yra, netinkama trupmena 7/3 iš esmės reiškia 2 objektus ir 1/3 tokio objekto. O iš dvylikos ketvirčių dalių galime pagaminti tris ištisus objektus (tris objektus po keturias dalis). Tai yra, trupmena 12/4 iš esmės reiškia 3 ištisus objektus.

Apsvarstyti pavyzdžiai leidžia daryti tokią išvadą: neteisingas trupmenas galima pakeisti natūraliaisiais skaičiais, kai skaitiklis padalytas po lygiai iš vardiklio (pavyzdžiui, 9/9=1 ir 12/4=3), arba suma natūraliojo skaičiaus ir tikrosios trupmenos, kai skaitiklis iš vardiklio nesidalija tolygiai (pvz., 7/3=2+1/3). Galbūt būtent dėl to netinkamos trupmenos gavo pavadinimą „netaisyklingos“.

Ypač įdomus yra netinkamosios trupmenos vaizdavimas natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos suma (7/3=2+1/3). Šis procesas vadinamas visos dalies išskyrimu nuo netinkamos frakcijos ir nusipelno atskiro ir atidesnio svarstymo.

Taip pat verta paminėti, kad yra labai glaudus ryšys tarp netinkamų trupmenų ir mišrių skaičių.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos

Kiekviena bendroji trupmena atitinka teigiamą trupmeninį skaičių (žr. straipsnį apie teigiamus ir neigiamus skaičius). Tai yra, paprastosios trupmenos yra teigiamos trupmenos. Pavyzdžiui, paprastosios trupmenos 1/5, 56/18, 35/144 yra teigiamos trupmenos. Kai reikia pabrėžti trupmenos pozityvumą, prieš ją dedamas pliuso ženklas, pavyzdžiui, +3/4, +72/34.

Jei prieš bendrąją trupmeną įdėjote minuso ženklą, šis įrašas atitiks neigiamą trupmeninį skaičių. Šiuo atveju galime kalbėti apie neigiamos trupmenos. Štai keletas neigiamų trupmenų pavyzdžių: −6/10, −65/13, −1/18.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos m/n ir −m/n yra priešingi skaičiai. Pavyzdžiui, trupmenos 5/7 ir –5/7 yra priešingos trupmenos.

Teigiamos trupmenos, kaip ir apskritai teigiami skaičiai, reiškia priedą, pajamas, bet kokios vertės pokytį į viršų ir pan. Neigiamos trupmenos atitinka išlaidas, skolą arba bet kokio kiekio sumažėjimą. Pavyzdžiui, neigiama trupmena −3/4 gali būti interpretuojama kaip skola, kurios vertė lygi 3/4.

Horizontaliai ir dešinėn neigiamos trupmenos yra kairėje nuo pradžios. Koordinačių linijos, kurių koordinatės yra teigiama trupmena m/n ir neigiama trupmena −m/n, taškai yra vienodu atstumu nuo pradžios, bet priešingose taško O pusėse.

Čia verta paminėti 0/n formos trupmenas. Šios trupmenos lygios skaičiui nulis, tai yra 0/n=0.

Teigiamos trupmenos, neigiamos trupmenos ir 0/n trupmenos susijungia ir sudaro racionalius skaičius.

Operacijos su trupmenomis

Vieną veiksmą su paprastosiomis trupmenomis – trupmenų palyginimą – jau aptarėme aukščiau. Apibrėžtos dar keturios aritmetinės funkcijos operacijos su trupmenomis– trupmenų sudėjimas, atėmimas, dauginimas ir dalijimas. Pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Bendroji operacijų su trupmenomis esmė panaši į atitinkamų operacijų su natūraliaisiais skaičiais esmę. Padarykime analogiją.

Trupmenų dauginimas gali būti traktuojamas kaip trupmenos iš trupmenos radimo veiksmas. Norėdami paaiškinti, pateiksime pavyzdį. Tarkime, kad turime 1/6 obuolio ir turime paimti 2/3 jo. Mums reikalinga dalis yra trupmenų 1/6 ir 2/3 padauginimo rezultatas. Dviejų paprastųjų trupmenų padauginimo rezultatas yra paprastoji trupmena (kuri specialiu atveju yra lygi natūraliajam skaičiui). Toliau rekomenduojame išstudijuoti informaciją, pateiktą straipsnyje Trupmenų dauginimas – taisyklės, pavyzdžiai ir sprendimai.

Nuorodos.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigų.
Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Matematikoje trupmena yra skaičius, sudarytas iš vieno ar kelių vienetų. Tai yra, trupmena reiškia tam tikrą vienos visumos dalį. Pavyzdžiui, jei objektą padaliname į 4 lygias dalis ir paimame 1 iš jų, gauname trupmeną 1/4, kur 3 yra skaitiklis, 4 yra vardiklis, o tokio padalijimo rezultatas (0,25) yra koeficientas. Įvairios trupmenos naudojamos mokyklos mokymo programoje, kaip jos vadinamos, priklauso nuo jų tipo.

Bendrosios, dešimtainės ir periodinės trupmenos

Pagal įrašymo būdą skiriamos paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Pirmuoju atveju trupmena dar vadinama paprasta trupmena. Jį sudaro du natūralūs skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

Dešimtainė trupmena yra įprasta trupmena, kurios vardiklis yra vienetas, po kurio yra nuliai. Tokios trupmenos pavyzdys parodytas kitame paveikslėlyje. Tačiau tokios trupmenos dažniausiai rašomos be vardiklio, o kableliu (0,3) nurodoma visumos dalis. Šiuo atveju po kablelio nurodoma tiek skaičių, kiek paprastosios trupmenos vardiklyje yra nulių.

Prieš padėties tašką įrašyta dešimtainės trupmenos dalis vadinama visa trupmenos dalimi, po jos – po kablelio. Be to, skaitmenų po kablelio skaičius gali būti baigtinis (2,3) arba begalinis (2,333333).

Pastaruoju atveju kalbame apie periodines trupmenas, nes pasikartojantys skaičiai vadinami taškais. Raštu įprasta skliausteliuose rašyti laikotarpį, pavyzdžiui, 2,(3). Šis įrašas skamba taip: du sveikieji skaičiai ir trys taške. Tačiau periodines trupmenas galima suapvalinti, tada jos dažnai vadinamos apvaliosiomis trupmenomis, nors matematikoje teisingiau būtų sakyti apvaliąją trupmeną.

Tinkamos, netinkamos ir mišrios frakcijos

Trupmena vadinama tinkama, kai skaitiklio modulis yra mažesnis už vardiklio modulį (1/3, 2/5, 7/8), kitu atveju trupmena vadinama netinkamąja trupmena (3/2, 9/7, 13/5). Trupmenos, kurių skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, taip pat klasifikuojamos kaip netinkamos trupmenos.

Tuo pačiu metu bet kuri netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišri trupmena. Tokios trupmenos pavyzdys pateikiamas toliau.

Čia 1 yra sveikoji mišraus skaičiaus dalis, o 1/2 yra trupmeninė dalis. Norėdami paversti mišrų skaičių į trupmeną, visą dalį turite padauginti iš vardiklio ir prie gautos reikšmės pridėti skaitiklį. Dėl tokių veiksmų randamas paprastosios trupmenos skaitiklis, o vardiklis išlieka toks pat.

Redukuojamos ir neredukuojamos trupmenos

Kai trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padalyti iš to paties skaičiaus (išskyrus vieną), trupmena vadinama redukcine, bet kuriuo kitu atveju – neredukuojama. Pavyzdžiui:

3/9 yra redukcinė trupmena, nes ir skaitiklį, ir vardiklį galima padalyti iš 3;
3/5 yra neredukuojama trupmena, nes abu skaičiai yra pirminiai, t.y. dalijasi tik iš savęs ir iš 1;
2/7 yra nesumažinama trupmena, nes nėra bendro skaičiaus, kuris galėtų padalinti ir skaitiklį, ir vardiklį.

Sudėtinės ir atvirkštinės trupmenos

Dažnai moksleiviai nesupranta, kuri trupmena vadinama abipuse, o kuri – sudėtine. Pasirodo, viskas yra gana paprasta. Jei imsime trupmeną 7/8 ir sukeisime skaitiklį bei vardiklį, gausime trupmeną 8/7. Būtent šios trupmenos (7/8 ir 8/7) vadinamos abipusėmis. Be to, reikia pažymėti, kad tokių trupmenų sandauga visada yra lygi 1.

Sudėtinės trupmenos apima išraiškas, kurios apima keletą trupmenos požymių. Tokių frakcijų pavyzdžiai pateikti žemiau.

Be to, skiriamos teigiamos ir neigiamos trupmenos. Norint nurodyti pastarąjį, prieš trupmeną dedamas ženklas „-“. Tokiu atveju „+“ ženklas paprastai nenurodomas, kaip ir teigiami skaičiai.

Gyvenime su trupmenomis susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (o ši tema pradedama nagrinėti baigiant pradinę mokyklą) abstrakčios matematinės sąvokos vis dar bauginančiai nesuprantamos, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama ir netinkama trupmena, bendroji ir dešimtainė, kokias operacijas galima atlikti. su jais ir, svarbiausia, kam viso to reikia.

Kokių tipų trupmenos yra?

Naujos temos įvedimas mokykloje pradedamas nuo paprastųjų trupmenų. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.

Be paprastųjų trupmenų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu skaičių sekoms atskirti kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!

Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima atskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), vadinasi, tai yra netinkama. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nekinta. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

Mišrūs skaičiai

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir rašoma horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją - norėdami tai padaryti, turite padauginti sveikojo skaičiaus dalį iš vardiklio ir pridėti gautą reikšmę prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklyje yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, abiejų trupmenų apatinėse dalyse turi būti vienodi skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 jis bus 9; ½ ir 1/7 - 14, nes nėra mažesnės vertės, dalijamos iš 2 ir 7 be liekanos.

Naudojimas

Kam naudojamos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.

Paimkime tokį pavyzdį: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuose skliausteliuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).

Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Dažnos klaidos

Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Bet to nereikėtų daryti jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra grubi klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2 Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš terminų, tik su visa suma.

Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime dvi tinkamas neredukuojamas trupmenas ir padalinkime viena iš kitos: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kurioje matematinėje išraiškoje operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų pirmenybė ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į "Paint" grafinį redaktorių ir suklijuoja juos, nubrėždami tarp jų horizontalią liniją. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomų funkcijų, kurios jums pravers ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kokius matematinius ženklus, kurių nėra klaviatūroje, taip pat rašyti trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasės, netrukus matematikos žinios (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) bus reikalingos daugelyje mokyklinių dalykų. Beveik bet kurioje fizikos užduotyje, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti savo galvoje, net neužsirašydami posakių ant popieriaus, tačiau atsiras vis sudėtingesnių pavyzdžių. Taigi sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, laikykitės savo mokymo programos, atlikite namų darbus laiku ir jums pasiseks.

1 Kas yra paprastosios trupmenos? Trupmenų rūšys.
Trupmena visada reiškia kokią nors visumos dalį. Faktas yra tas, kad kiekis ne visada gali būti išreikštas natūraliaisiais skaičiais, tai yra, perskaičiuojamas: 1, 2, 3 ir kt. Kaip, pavyzdžiui, paskirti pusę arbūzo ar ketvirtį valandos? Štai kodėl atsirado trupmenos arba skaičiai.

Pirmiausia reikia pasakyti, kad apskritai yra dviejų tipų trupmenos: paprastosios trupmenos ir dešimtainės trupmenos. Paprastosios trupmenos rašomos taip:
Dešimtainės trupmenos rašomos skirtingai:

Paprastosios trupmenos susideda iš dviejų dalių: viršuje – skaitiklis, apačioje – vardiklis. Skaitiklis ir vardiklis atskiriami trupmenos linija. Taigi atsiminkite:

Bet kuri trupmena yra visumos dalis. Paprastai imamasi kaip visuma 1 (vienetas). Trupmenos vardiklis parodo, kiek dalių visuma yra padalinta į ( 1 ), o skaitiklis rodo, kiek dalių buvo paimta. Jei pyragą supjaustysime į 6 lygias dalis (matematikoje sakoma akcijų ), tada kiekviena pyrago dalis bus lygi 1/6. Jei Vasya suvalgė 4 gabalus, tai reiškia, kad jis suvalgė 4/6.

Kita vertus, pasvirasis brūkšnys yra ne kas kita, kaip padalijimo ženklas. Todėl trupmena yra dviejų skaičių – skaitiklio ir vardiklio – koeficientas. Užduočių tekste ar receptuose trupmenos dažniausiai rašomos taip: 2/3, 1/2 ir t.t. Kai kurios trupmenos turi savo pavadinimus, pavyzdžiui, 1/2 - "pusė", 1/3 - "trečia", 1/4 - "ketvirtis"
Dabar išsiaiškinkime, kokių tipų yra paprastosios trupmenos.

2 Paprastųjų trupmenų rūšys

Yra trijų tipų paprastosios trupmenos: tinkama, netinkama ir mišri:

Tinkama trupmena

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tada tokia trupmena vadinama teisinga, Pavyzdžiui: Tinkama trupmena visada yra mažesnė nei 1.

Netinkama trupmena

Jei skaitiklis didesnis už vardiklį arba lygus vardikliui, tokia trupmena vadinama negerai, Pavyzdžiui:

Netinkama trupmena yra didesnė už vienetą (jei skaitiklis didesnis už vardiklį) arba lygi vienetui (jei skaitiklis lygus vardikliui)

Mišri frakcija

Jei trupmena susideda iš sveikojo skaičiaus (sveikosios dalies) ir tinkamos trupmenos (trumposios dalies), tada tokia trupmena vadinama sumaišytas, Pavyzdžiui:

Mišri trupmena visada yra didesnė už vienetą.

3 Trupmenų konversijos

Matematikoje paprastosios trupmenos dažnai turi būti konvertuojamos, tai yra, mišri trupmena turi būti paversta netinkamąja trupmena ir atvirkščiai. Tai būtina norint atlikti tam tikras operacijas, tokias kaip daugyba ir padalijimas.

Taigi, bet kokia mišri frakcija gali būti paversta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, visa dalis padauginama iš vardiklio ir pridedamas trupmeninės dalies skaitiklis. Gauta suma laikoma skaitikliu, o vardiklis paliekamas toks pat, pavyzdžiui:

Bet kokia netinkama frakcija gali būti paversta mišria frakcija. Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio (su likučiu) Gautas skaičius bus sveikoji dalis, o likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis, pavyzdžiui:

Tuo pat metu jie sako: „Mes išskyrėme visą dalį nuo netinkamos frakcijos“.

Dar viena taisyklė, kurią reikia atsiminti: Bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1, Pavyzdžiui:

Pakalbėkime apie tai, kaip palyginti trupmenas.

4 Trupmenų palyginimas

Lyginant trupmenas gali būti keli variantai: Lengva lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, bet daug sunkiau, jei vardikliai skiriasi. Taip pat yra mišrių trupmenų palyginimas. Tačiau nesijaudinkite, dabar mes išsamiai išnagrinėsime kiekvieną parinktį ir išmoksime palyginti trupmenas.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais, trupmena su didesniu skaitikliu yra didesnė, pavyzdžiui:

Lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais, trupmena su mažesniu vardikliu yra didesnė, pavyzdžiui:

Sumaišytų ir netinkamų trupmenų palyginimas su tinkamomis trupmenomis

Netinkama arba mišri trupmena visada yra didesnė už tinkamą trupmeną, pavyzdžiui:

Dviejų mišrių frakcijų palyginimas

Lyginant dvi mišrias trupmenas, didesnė dalis, kurios visa dalis yra didesnė, pvz.:

Jei mišrių trupmenų sveikosios dalys yra vienodos, trupmena, kurios trupmeninė dalis yra didesnė, yra didesnė, pavyzdžiui:

Palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais

Negalite palyginti trupmenų su skirtingais skaitikliais ir vardikliais jų nekonvertuodami. Pirmiausia trupmenas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada lyginti jų skaitiklius. Kuo didesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis. Tačiau kitose dviejose straipsnio dalyse apžvelgsime, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Pirmiausia pažvelgsime į pagrindinę trupmenų savybę ir mažindami trupmenas, o tada tiesiogiai sumažinsime trupmenas iki to paties vardiklio.

5 Pagrindinė trupmenos savybė. Mažinančios frakcijos. GCD samprata.

Prisiminkite: Galite sudėti, atimti ir palyginti tik tas trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi. Jei vardikliai skiriasi, pirmiausia turite suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, ty vieną iš trupmenų paversti taip, kad jos vardiklis taptų toks pat kaip ir antrosios trupmenos.

Trupmenos turi vieną svarbią savybę, dar vadinamą pagrindinė trupmenos savybė:

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, tada trupmenos reikšmė nesikeičia:

Šio turto dėka galime sumažinti frakcijas:

Norint sumažinti trupmeną, skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš to paties skaičiaus.(žr. pavyzdį aukščiau). Kai sumažiname trupmeną, savo veiksmus galime užrašyti taip:

Dažniau sąsiuviniuose trupmena trumpinama taip:

Tačiau atminkite: veiksnius galite tik sumažinti. Jei skaitiklyje arba vardiklyje yra suma arba skirtumas, terminų sumažinti negalima.

Pavyzdys:

Pirmiausia turite konvertuoti sumą į daugiklį: Kartais, dirbant su dideliais skaičiais, norint sumažinti trupmeną, patogu rasti

didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis (GCD) Didžiausias bendras daliklis (GCD)

Norėdami rasti dviejų skaičių gcd (pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį), turite abu skaičius sudėti į pirminius veiksnius, pažymėti tuos pačius veiksnius abiejose faktorinizacijose ir šiuos veiksnius padauginti. Gautas produktas bus GCD. Pavyzdžiui, turime sumažinti trupmeną:

Raskime skaičių 96 ir 36 gcd:

GCD rodo, kad tiek skaitiklio, tiek vardiklio koeficientas yra 12, ir mes galime nesunkiai sumažinti trupmeną.

Kartais, norint suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, pakanka sumažinti vieną iš trupmenų. Tačiau dažniau reikia pasirinkti papildomus abiejų frakcijų veiksnius. Dabar pažiūrėsime, kaip tai daroma. Taigi:

6 Kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Mažiausias bendras kartotinis (LCM).

Kai trupmenas sumažiname iki to paties vardiklio, vardikliui pasirenkame skaičių, kuris dalytųsi ir iš pirmojo, ir iš antrojo vardiklio (tai yra, matematiškai tai būtų abiejų vardklių kartotinis). Ir pageidautina, kad šis skaičius būtų kuo mažesnis, patogiau skaičiuoti. Taigi turime rasti abiejų vardiklių LCM.

Mažiausias dviejų skaičių kartotinis (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų šių skaičių be liekanos. Kartais LCM galima rasti žodžiu, tačiau dažniau, ypač dirbant su dideliais skaičiais, LCM reikia rasti raštu, naudojant šį algoritmą:

Norėdami rasti kelių skaičių LCM, jums reikia:

Padalinkite šiuos skaičius į pirminius veiksnius
Paimkite didžiausią išplėtimą ir parašykite šiuos skaičius kaip produktą
Kituose išskaidymuose pasirinkite skaičius, kurie nepasirodo didžiausiame išskaidyme (arba jame pasitaiko mažiau kartų), ir pridėkite juos prie sandaugos.
Padauginkite visus gaminio skaičius, tai bus LCM.

Pavyzdžiui, suraskime skaičių 28 ir 21 LCM:

Tačiau grįžkime prie savo trupmenų. Radę arba parašę apskaičiavę abiejų vardiklių LCM, šių trupmenų skaitiklius turime padauginti iš papildomi daugikliai. Juos galite rasti padalydami LCM iš atitinkamos trupmenos vardiklio, pavyzdžiui:

Taigi mes sumažinome savo trupmenas iki to paties vardiklio - 15.

7 Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, tačiau vardiklį palikite tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį, pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti mišrias trupmenas, turite atskirai pridėti visas jų dalis, tada pridėti jų trupmenines dalis ir parašyti rezultatą kaip mišrią trupmeną:

Jei pridėdami trupmenines dalis gaunate netinkamą trupmeną, pasirinkite iš jos visą dalį ir pridėkite prie visos dalies, pvz.:

Atimtis atliekama panašiai: sveikoji dalis atimama iš visos dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies:

Jei trupmeninė dalis yra didesnė už trupmeninę mažmeninės dalies dalį, mes „pasiskoliname“ vieną iš visos dalies, paverčiame miniatiūrą netinkama trupmena ir tęsiame kaip įprasta:

Taip pat atimti trupmeną iš sveikojo skaičiaus:

Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

Norėdami pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną, tiesiog pridėkite šį skaičių prieš trupmeną, kad sukurtumėte mišrią trupmeną, pavyzdžiui:

Jeigu mes pridedant sveikąjį skaičių ir mišriąją trupmeną, pridedame šį skaičių prie sveikosios trupmenos dalies, pavyzdžiui:

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas.

Norėdami pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas perkelti į tą patį vardiklį, o tada tęsti taip, kaip pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais (pridėkite skaitiklius):

Atimdami elgiamės taip pat:

Jei dirbame su mišriomis trupmenomis, jų trupmenines dalis sumažiname iki to paties vardiklio ir atimame kaip įprasta: visą dalį iš visos, o trupmeninę dalį iš trupmeninės:

8 Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Padauginti ir padalyti trupmenas yra daug lengviau nei sudėti ir atimti, nes nereikia jų sumažinti iki to paties vardiklio. Prisiminkite paprastas trupmenų dauginimo ir padalijimo taisykles:

Prieš dauginant skaičius skaitiklyje ir vardiklyje, patartina sumažinti trupmeną, tai yra, atsikratyti tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių, kaip ir mūsų pavyzdyje.

Trupmeną padalyti iš natūraliojo skaičiaus, reikia padauginti vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą:

Pavyzdžiui:

Trupmenos dalijimas iš trupmenos

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinio skaičiaus (atvirkštinė trupmena). Kokia tai yra atvirkštinė trupmena?

Jei trupmeną apverčiame, tai yra, sukeisime skaitiklį ir vardiklį, gausime grįžtamąją trupmeną. Trupmenos sandauga ir atvirkštinė jos sandauga suteikia vieną. Matematikoje tokie skaičiai vadinami atvirkštiniais:

Pavyzdžiui, skaičiai - abipusiai atvirkščiai, nes