Apskaičiuojamas Pi. Pi reikšmės apskaičiavimas

Jei palyginsite skirtingų dydžių apskritimus, pastebėsite: skirtingų apskritimų dydžiai yra proporcingi. Tai reiškia, kad apskritimo skersmeniui padidėjus tam tikrą skaičių kartų, tiek pat kartų padidėja ir šio apskritimo ilgis. Matematiškai tai galima parašyti taip:

kur C1 ir C2 yra dviejų skirtingų apskritimų ilgiai, o d1 ir d2 yra jų skersmenys.
Šis ryšys veikia esant proporcingumo koeficientui – mums jau pažįstamai konstantai π. Iš (1) santykio galime daryti išvadą: apskritimo ilgis C lygus šio apskritimo skersmens ir proporcingumo koeficiento π sandaugai, nepriklausomam nuo apskritimo:

C = π d.

Šią formulę taip pat galima parašyti kita forma, išreiškiant skersmenį d per tam tikro apskritimo spindulį R:

С = 2π R.

Būtent ši formulė septintokams yra būrelių pasaulio vadovas.

Nuo seniausių laikų žmonės bandė nustatyti šios konstantos vertę. Pavyzdžiui, Mesopotamijos gyventojai apskritimo plotą apskaičiavo pagal formulę:

Iš kur atsiranda π = 3?

IN senovės Egiptasπ reikšmė buvo tikslesnė. 2000–1700 m. pr. Kr. raštininkas Ahmesas sudarė papirusą, kuriame randame receptų, kaip išspręsti įvairius praktines problemas. Taigi, pavyzdžiui, norėdamas rasti apskritimo plotą, jis naudoja formulę:

Dėl kokių priežasčių jis priėjo prie šios formulės? – Nežinoma. Tačiau tikriausiai remiantis jo pastebėjimais, kaip darė kiti senovės filosofai.

Archimedo pėdomis

Kuris iš dviejų skaičių yra didesnis nei 22/7 arba 3,14?
– Jie lygūs.
- Kodėl?
- Kiekvienas iš jų yra lygus π.
A. A. Vlasovas. Iš egzamino kortelės.

Kai kurie žmonės mano, kad trupmena 22/7 ir skaičius π yra vienodi. Tačiau tai klaidinga nuomonė. Be aukščiau pateikto neteisingo atsakymo į egzaminą (žr. epigrafą), prie šios grupės taip pat galite pridėti vieną labai linksmą galvosūkį. Užduotis skamba taip: „Suorganizuokite vieną mačą, kad lygybė taptų tiesa“.

Sprendimas būtų toks: reikia suformuoti „stogą“ dviem vertikalioms rungtynėms kairėje, naudojant vieną iš vertikalių degtukų vardiklyje dešinėje. Gausite vaizdinį raidės π vaizdą.

Daugelis žmonių žino, kad aproksimaciją π = 22/7 nustatė senovės graikų matematikas Archimedas. To garbei šis apytikslis skaičius dažnai vadinamas „Archimedo“ skaičiumi. Archimedas sugebėjo ne tik nustatyti apytikslę π reikšmę, bet ir rasti šio aproksimavimo tikslumą, būtent, rasti siaurą skaitinis intervalas, kuriai priklauso reikšmė π. Viename iš savo darbų Archimedas įrodo nelygybių grandinę, kuri šiuolaikiškai atrodytų taip:

galima parašyti paprasčiau: 3 140 909< π < 3,1 428 265...

Kaip matome iš nelygybių, Archimedas nustatė gana tikslią vertę 0,002 tikslumu. Labiausiai stebina tai, kad jis rado pirmąsias dvi dešimtąsias: 3,14... Tai yra ta reikšmė, kurią dažniausiai naudojame paprastuose skaičiavimuose.

Praktinis pritaikymas

Traukiniu keliauja du žmonės:
- Žiūrėk, bėgiai tiesūs, ratai apvalūs.
Iš kur sklinda beldimas?
- Iš kur? Ratai apvalūs, bet plotas
apskritimas pi er kvadratas, tai kvadratas, kuris beldžiasi!

Paprastai su šiuo nuostabiu skaičiumi jie susipažįsta 6–7 klasėje, tačiau nuodugniau jį studijuoja iki 8 klasės pabaigos. Šioje straipsnio dalyje pateiksime pagrindinius ir labiausiai svarbias formules, kuris jums pravers sprendžiant geometrinės problemos, tik pradžioje susitarkime, kad π būtų 3,14, kad būtų lengviau apskaičiuoti.

Galbūt labiausiai garsioji formulė tarp moksleivių, kuriuose naudojamas π, tai yra apskritimo ilgio ir ploto formulė. Pirmoji, apskritimo ploto formulė, parašyta taip:

kur S yra apskritimo plotas, R yra jo spindulys, D yra apskritimo skersmuo.

Apskritimo perimetras arba, kaip kartais vadinamas, apskritimo perimetras, apskaičiuojamas pagal formulę:

C = 2 π R = π d,

kur C yra apskritimas, R yra spindulys, d yra apskritimo skersmuo.

Akivaizdu, kad skersmuo d yra lygus dviem spinduliams R.

Iš apskritimo formulės galite lengvai rasti apskritimo spindulį:

kur D yra skersmuo, C yra apskritimas, R yra apskritimo spindulys.

Tai pagrindinės formulės, kurį turėtų žinoti kiekvienas studentas. Taip pat kartais tenka skaičiuoti ne viso apskritimo, o tik jo dalies – sektoriaus – plotą. Todėl pateikiame jums jį - apskritimo sektoriaus ploto apskaičiavimo formulę. Ji atrodo taip:

kur S yra sektoriaus plotas, R yra apskritimo spindulys, α yra centrinis kampas laipsniais.

Toks paslaptingas 3.14

Iš tiesų, tai paslaptinga. Nes šių stebuklingų skaičių garbei jie rengia šventes, kuria filmus, rengia viešus renginius, rašo eilėraščius ir dar daugiau.

Pavyzdžiui, 1998 metais buvo išleistas amerikiečių režisieriaus Darreno Aronofsky filmas „Pi“. Filmas gavo daugybę apdovanojimų.

Kiekvienais metais kovo 14 d., 1.59.26 val., matematika besidomintys žmonės švenčia „Pi dieną“. Šventei žmonės ruošia apvalų pyragą, susėda apvalus stalas ir aptarti Pi bei spręsti su Pi susijusias problemas ir galvosūkius.

Poetai taip pat atkreipė dėmesį į šį nuostabų skaičių nežinomas asmuo rašė:
Jūs tiesiog turite pabandyti prisiminti viską taip, kaip yra – tris, keturiolika, penkiolika, devyniasdešimt du ir šeši.

Pasilinksminkime!

Siūlome jums įdomių galvosūkių su skaičiumi Pi. Išskleiskite toliau užšifruotus žodžius.

1. π r

2. π L

3. π k

Atsakymai: 1. Šventė; 2. Failas; 3. Girgždėti.

(), ir jis tapo visuotinai priimtas po Eulerio darbo. Šis pavadinimas kilęs iš pradinė raidė Graikiški žodžiai περιφέρεια – apskritimas, periferija ir περίμετρος – perimetras.

Įvertinimai

• 510 skaitmenų po kablelio: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 264 80 98 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 429 648 648 75 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 3694 363 801 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 943 367 389…

Savybės

Santykiai

Yra daug žinomų formulių su skaičiumi π:

• Wallis formulė:

• Eulerio tapatybė:

• T.n. „Puasono integralas“ arba „Gauso integralas“

Transcendencija ir neracionalumas

Neišspręstos problemos

• Nežinoma, ar skaičiai π ir e algebriškai nepriklausomas.
• Nežinoma, ar skaičiai π + e , π − e , π e , π / e , π e , π π , e e transcendentinis.
• Iki šiol nieko nežinoma apie skaičiaus π normalumą; net nežinoma, kurie iš skaitmenų 0-9 yra dešimtainėje skaičiaus π vaizde begalinis skaičius vieną kartą.

Skaičiavimo istorija

ir Chudnovskis

Mnemoninės taisyklės

Kad nedarytume klaidų, turime teisingai perskaityti: trys, keturiolika, penkiolika, devyniasdešimt du ir šeši. Jūs tiesiog turite pabandyti prisiminti viską taip, kaip yra: tris, keturiolika, penkiolika, devyniasdešimt du ir šeši. Trys, keturiolika, penkiolika, devyni, du, šeši, penki, trys, penki.

2. Suskaičiuokite raidžių skaičių kiekviename žodyje toliau pateiktose frazėse ( išskyrus skyrybos ženklus) ir užsirašykite šiuos skaičius iš eilės – nepamirškite apie kablelis po pirmojo skaičiaus „3“, žinoma. Rezultatas bus apytikslis Pi skaičius.

Tai puikiai žinau ir atsimenu: bet daug ženklų man nereikalingi, veltui.

Kas juokais ir greitai nori, kad Pi sužinotų numerį – jau žino!

Taigi Miša ir Anyuta atbėgo ir norėjo sužinoti numerį.

(Antrasis mnemonikas yra teisingas (su paskutinio skaitmens apvalinimu) tik naudojant rašybą prieš reformą: skaičiuojant raidžių skaičių žodžiuose, būtina atsižvelgti į sunkius ženklus!)

Kita šio mnemoninio užrašo versija:

Tai puikiai žinau ir atsimenu:
Ir daugelis ženklų man nereikalingi, veltui.
Pasitikėkime savo didžiulėmis žiniomis
Tie, kurie skaičiavo armados numerius.

Jei laikysitės poetinis metras, galite gana greitai prisiminti:

Trys, keturiolika, penkiolika, devyni du, šeši penki, trys penki
Aštuoni devyni, septyni ir devyni, trys du, trys aštuoni, keturiasdešimt šeši
Du šeši keturi, trys trys aštuoni, trys du septyni devyni, penki nulis du
Aštuoni aštuoni ir keturi, devyniolika, septyni, vienas

Linksmi faktai

Pastabos

Pažiūrėkite, kas yra „Pi“ kituose žodynuose:

numerį- Priėmimo šaltinis: GOST 111 90: Lakštinis stiklas. Specifikacijos originalus dokumentas Taip pat žr. susijusius terminus: 109. Betatrono virpesių skaičius ... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas

Daiktavardis, s., vartojamas. labai dažnai Morfologija: (ne) ką? skaičiai, ką? numeris, (žr.) ką? numeris, kas? numeris, apie ką? apie skaičių; pl. Ką? skaičiai, (ne) ką? skaičiai, kodėl? skaičiai, (žr.) ką? skaičiai, ką? skaičiai, apie ką? apie skaičius matematika 1. Pagal skaičių... ... Žodynas Dmitrijeva

SKAIČIUS, skaičiai, daugiskaita. skaičiai, skaičiai, skaičiai, plg. 1. Koncepcija, išraiškingas kiekis, tai, pagal kurį skaičiuojami objektai ir reiškiniai (mat.). Sveikasis skaičius. Trupmeninis skaičius. Pavadintas numeris. Pirminis skaičius. (žr. paprastą reikšmę 1 in 1).… … Ušakovo aiškinamasis žodynas

Abstraktus, neturintis specialaus turinio žymėjimo bet kuriam tam tikros serijos nariui, kuriame prieš šį narį arba po jo yra koks nors kitas. konkretus narys; abstrakčiai individualus bruožas, skiriant vieną rinkinį nuo... ... Filosofinė enciklopedija

Skaičius- Skaičius gramatinė kategorija, išreiškiantis kiekybines minties objektų charakteristikas. Gramatinis skaičius viena iš bendresnės kalbinės kiekybės kategorijos apraiškų (žr. Kalbos kategoriją) kartu su leksine apraiška („leksinė ... ... Kalbinis enciklopedinis žodynas

Skaičius, maždaug lygus 2,718, dažnai randamas matematikoje ir gamtos mokslai. Pavyzdžiui, griūties metu radioaktyvioji medžiaga po laiko t pradinio medžiagos kiekio dalis lieka lygi e kt, kur k yra skaičius,... ... Collier enciklopedija

A; pl. numeriai, sat, slam; trečia 1. Apskaitos vienetas, išreiškiantis tam tikrą kiekį. Trupmeninės, sveikosios, porinės valandos Skaičiuojama apvaliais skaičiais (apytiksliai, skaičiuojant sveikais vienetais arba dešimtimis). Natūralus h (teigiamas sveikasis skaičius... Enciklopedinis žodynas

trečia. kiekis, pagal skaičių, į klausimą: kiek? ir pats ženklas, išreiškiantis kiekį, skaičių. Be numerio; nėra skaičiaus, be skaičiavimo, daug, daug. Padėkite stalo įrankius pagal svečių skaičių. Romėniški, arabiški arba bažnyčios numeriai. Sveikasis skaičius, priešingas. trupmena...... Dahlio aiškinamasis žodynas

Apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams. Šis ryšys paprastai žymimas Graikiškas laiškas(„pi“ yra pradinė raidė Graikiškas žodis , o tai reiškė „ratas“).

Archimedas savo darbe „Apskritimo matavimas“ apskaičiavo apskritimo ir skersmens (skaičiaus) santykį ir nustatė, kad jis yra nuo 3 10/71 iki 3 1/7.

Ilgą laiką kaip apytikslis dydis buvo naudojamas skaičius 22/7, nors jau V amžiuje Kinijoje buvo rastas apytikslis 355/113 = 3,1415929..., kuris Europoje buvo iš naujo atrastas tik XVI amžiuje.

IN Senovės Indija laikoma lygia = 3,1622….

Prancūzų matematikas F. Viète'as 9 skaitmenimis apskaičiavo 1579 m.

Olandų matematikas Ludolfas Van Zeijlenas 1596 metais paskelbė savo dešimties metų darbo rezultatą – skaičių, apskaičiuotą 32 skaitmenimis.

Bet visi šie skaičiaus vertės paaiškinimai buvo atlikti naudojant Archimedo nurodytus metodus: apskritimas buvo pakeistas daugiakampiu su visais didelis skaičius pusės Įbrėžto daugiakampio perimetras buvo mažesnis už apskritimo perimetrą, o apibrėžtojo daugiakampio perimetras buvo didesnis. Tačiau tuo pat metu liko neaišku, ar skaičius buvo racionalus, tai yra dviejų sveikųjų skaičių santykis, ar neracionalus.

Tik 1767 metais vokiečių matematikas I.G. Lambertas įrodė, kad skaičius yra neracionalus.

Ir dar po šimto sekundžių papildomų metų 1882 m. kitas vokiečių matematikas F. Lindemannas įrodė savo transcendenciją, o tai reiškė, kad naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma sukonstruoti kvadrato, kurio dydis būtų lygus duotam apskritimui.

Ant storo kartono nubrėžkite skersmens apskritimą d(=15 cm), iškirpkite gautą apskritimą ir apvyniokite jį plonu siūlu. Ilgio matavimas l(=46,5 cm) vienas pilnas apsisukimas siūlus, padalinti l per skersmens ilgį d apskritimai. Gautas koeficientas bus apytikslė skaičiaus reikšmė, t.y. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Šis gana grubus metodas įprastomis sąlygomis suteikia apytikslę skaičiaus reikšmę 1 tikslumu.

Ant kartono lapo nupieškite kvadratą. Parašykime jame apskritimą. Iškirpkime kvadratą. Kartoninio kvadrato masę nustatykime mokyklinėmis svarstyklėmis. Iš kvadrato iškirpkime apskritimą. Pasverkime ir jį. Žinant aikštės mases m kv. (=10 g) ir jame įrašytą apskritimą m kr (=7,8 g) panaudokime formules

kur p ir h– atitinkamai kartono tankis ir storis, S– figūros plotas. Panagrinėkime lygybes:

Natūralu, kad šiuo atveju apytikslė vertė priklauso nuo svėrimo tikslumo. Jei sveriamos kartoninės figūros yra gana didelės, net ir ant įprastų svarstyklių galima gauti tokias masės vertes, kurios užtikrins apytikslį skaičių 0,1 tikslumu.

Sumuojant puslankiu įbrėžtų stačiakampių plotus

1 pav

Tegu A (a; 0), B (b; 0). Apibūdinkime puslankį ant AB kaip skersmenį. Atkarpą AB padalinkite į n lygių dalių taškais x 1, x 2, ..., x n-1 ir iš jų atkurkite statmenis į sankirtą su puslankiu. Kiekvieno tokio statmens ilgis yra funkcijos f(x)= reikšmė. Iš 1 paveikslo aišku, kad puslankio plotą S galima apskaičiuoti naudojant formulę

Mūsų atveju b = 1, a = -1. Tada = 2 S.

Kuo daugiau skirstymo taškų yra segmente AB, tuo tikslesnės bus reikšmės. Monotoniškam skaičiavimo darbui palengvinti padės kompiuteris, kuriam žemiau pateikta 1 programa, sudaryta BASIC.

1 programa

REM "Pi skaičiavimas"
REM „stačiakampio metodas“
INPUT "Įveskite stačiakampių skaičių", n
dx = 1/n
KAI i = 0 IKI n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
KITAS i
p = 4 * dx * a
SPAUSDINTI "Pi reikšmė yra", p
PABAIGA

Programa buvo įvesta ir paleista su skirtingomis parametrų reikšmėmis n. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:

Tai iš tikrųjų yra statistinio tikrinimo metodas. Egzotišką pavadinimą jis gavo nuo Monte Karlo miesto Monako Kunigaikštystėje, garsėjančio lošimo namais. Faktas yra tas, kad metodas reikalauja naudoti atsitiktinius skaičius, o vienas iš paprasčiausių įrenginių, generuojančių atsitiktinius skaičius, yra ruletė. Tačiau atsitiktinius skaičius galite gauti naudodami... lietų.

Eksperimentui paruošime kartono gabalėlį, nupieškime ant jo kvadratą ir į kvadratą įbrėžkime ketvirtadalį apskritimo. Jei toks piešinys kurį laiką bus laikomas lietuje, tada ant jo paviršiaus liks lašų pėdsakai. Suskaičiuokime takelių skaičių kvadrato viduje ir ketvirčio apskritimo viduje. Akivaizdu, kad jų santykis bus maždaug lygus šių figūrų plotų santykiui, nes lašai vienoda tikimybe pateks į skirtingas brėžinio vietas. Leiskite N kr- lašų skaičius apskritime, N kv. yra lašų skaičius kvadratu, tada

2 pav

Lietus gali būti pakeistas atsitiktinių skaičių lentele, kuri yra sudaryta kompiuteriu naudojant specialią programą. Kiekvienam lašo pėdsakui priskirkime du atsitiktinius skaičius, apibūdinančius jo padėtį išilgai ašių Oi Ir Oi. Atsitiktinius skaičius iš lentelės galima pasirinkti bet kokia tvarka, pavyzdžiui, iš eilės. Tegul pirmasis keturių skaitmenų skaičius lentelėje 3265 . Iš jo galite paruošti skaičių porą, kurių kiekvienas didesnis už nulį ir mažiau nei vienas: x = 0,32, y = 0,65. Šiuos skaičius laikysime kritimo koordinatėmis, t.y., atrodo, kad kritimas pataikė į tašką (0,32; 0,65). Tą patį darome su visais pasirinktais atsitiktiniais skaičiais. Jei paaiškės, kad dėl reikalo (x;y) Jei nelygybė galioja, ji yra už apskritimo ribų. Jeigu x + y = 1, tada taškas yra apskritimo viduje.

Norėdami apskaičiuoti vertę, vėl naudojame formulę (1). Skaičiavimo paklaida naudojant šį metodą paprastai yra proporcinga , kur D yra konstanta, o N yra bandymų skaičius. Mūsų atveju N = N kv. Iš šios formulės aišku: norint sumažinti paklaidą 10 kartų (kitaip tariant, gauti dar vieną teisingą atsakyme po kablelio), reikia 100 kartų padidinti N, t.y. darbo kiekį. Akivaizdu, kad Monte Karlo metodo panaudojimas tapo įmanomas tik kompiuterių dėka. 2 programa įdiegia aprašytą metodą kompiuteryje.

2 programa

REM "Pi skaičiavimas"
REM „Monte Karlo metodas“
ĮVESTIS „Įveskite lašų skaičių“, n
m = 0
i = 1 IKI n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
JEI x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
KITAS i
p=4*m/n

PABAIGA

Programa buvo įvesta ir paleista su skirtingomis parametro n reikšmėmis. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:

Paimkime įprastą siuvimo adatą ir popieriaus lapą. Ant lapo nubrėžsime kelias lygiagrečias linijas, kad atstumai tarp jų būtų vienodi ir viršytų adatos ilgį. Piešinys turi būti pakankamai didelis, kad netyčia išmesta adata nepatektų už jos ribų. Įveskime tokį užrašą: A- atstumas tarp eilučių, l- adatos ilgis.

3 pav

Atsitiktinai į brėžinį užmestos adatos padėtis (žr. 3 pav.) nustatoma pagal atstumą X nuo jos vidurio iki artimiausios tiesės ir kampo j, kurį adata daro, kai statmena nuleista nuo adatos vidurio iki artimiausia tiesi linija (žr. 4 pav.). Tai aišku

4 pav

Fig. 5 pavaizduokime funkciją grafiškai y = 0,5 cos. Visos galimos adatų vietos apibūdinamos taškais su koordinatėmis (; y ), esantis ABCD skyriuje. Tamsinta AED sritis yra taškai, atitinkantys atvejį, kai adata kerta tiesią liniją. Įvykio tikimybė a– „adata kirto tiesią liniją“ – apskaičiuojama pagal formulę:

5 pav

Tikimybė p(a) galima apytiksliai nustatyti pakartotinai metant adatą. Leiskite adatą užmesti ant piešinio c vieną kartą ir p nuo tada, kai ji nukrito, kirsdama vieną iš tiesių, tada su pakankamai dideliu c mes turime p(a) = p/c. Iš čia = 2 l s / a k.

komentuoti. Pateiktas metodas yra statistinio tyrimo metodo variantas. Tai įdomu didaktikos požiūriu, nes padeda sujungti paprastą patirtį su gana sudėtingo matematinio modelio sukūrimu.

Skaičiavimas naudojant Taylor seriją

Pereikime prie savavališkos funkcijos svarstymo f(x). Tarkime, kad jai x 0 yra išvestinių visų kategorijų iki n imtinai. Tada dėl funkcijos f(x) galime parašyti Taylor seriją:

Skaičiavimai naudojant šią seriją bus tikslesni, kuo daugiau serijos narių bus įtraukta. Žinoma, geriausia šį metodą įdiegti kompiuteryje, kuriam galite naudoti 3 programą.

3 programa

REM "Pi skaičiavimas"
REM "Taylor serijos plėtra"
ĮVESTIS n
a = 1
i = 1 IKI n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
KITAS i
p = 4 * a
PRINT "Pi reikšmė lygi"; p
PABAIGA

Programa buvo įvesta ir paleista įvairioms parametro n reikšmėms. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:

***

Kas bendro tarp „Lada Priora“ rato? vestuvinis žiedas o tavo katės lėkštė? Žinoma, sakysite, kad grožis ir stilius, bet aš drįstu su jumis ginčytis. Pi skaičius! Tai skaičius, jungiantis visus apskritimus, apskritimus ir apvalumus, tarp kurių visų pirma yra mano mamos žiedas, tėčio mėgstamiausio automobilio ratas ir net mano mėgstamiausio katino Murziko lėkštė. Esu pasiruošęs lažintis, kad populiariausių fizinių ir matematinių konstantų reitinge Pi neabejotinai užims pirmąją vietą. Bet kas po juo slepiasi? Gal kokie baisūs keiksmažodžiai iš matematikų? Pabandykime suprasti šią problemą.

Kas yra skaičius „Pi“ ir iš kur jis atsirado?

Šiuolaikinis numerio žymėjimas π (Pi) atsirado anglų matematiko Johnsono dėka 1706 m. Tai pirmoji graikiško žodžio raidė περιφέρεια (periferija arba ratas). Tiems, kurie seniai mokėsi matematikos, be to, priminsime, kad skaičius Pi yra apskritimo apskritimo ir jo skersmens santykis. Reikšmė yra konstanta, tai yra, konstanta bet kuriam apskritimui, neatsižvelgiant į jo spindulį. Žmonės apie tai žinojo senovėje. Taigi senovės Egipte buvo paimtas skaičius Pi lygus santykiui 256/81, o Vedų tekstuose reikšmė pateikiama kaip 339/108, o Archimedas pasiūlė santykį 22/7. Tačiau nei šie, nei daugelis kitų skaičiaus Pi išraiškos būdų nedavė tikslaus rezultato.

Paaiškėjo, kad skaičius Pi yra transcendentinis ir atitinkamai neracionalus. Tai reiškia, kad ji negali būti pavaizduota kaip paprasta trupmena. Jei išreikšime tai dešimtainiais skaičiais, tada skaitmenų seka po kablelio nubėgs į begalybę ir, be to, periodiškai nesikartodama. Ką visa tai reiškia? Labai paprasta. Ar norite sužinoti jums patinkančios merginos telefono numerį? Tikriausiai jį galima rasti skaitmenų sekoje po kablelio Pi.

Telefono numerį galite pamatyti čia ↓

Pi skaičius iki 10 000 skaitmenų.

π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Neradote? Tada pažiūrėk.

Apskritai tai gali būti ne tik telefono numeris, bet bet kokia informacija, užkoduota naudojant numerius. Pavyzdžiui, jei įsivaizduojate visus Aleksandro Sergejevičiaus Puškino kūrinius skaitmenine forma, tada jie buvo saugomi skaičiuje Pi dar prieš jam parašant, net prieš jam gimstant. Iš principo jie vis dar ten saugomi. Beje, matematikų keiksmai in π dalyvauja ir ne tik matematikai. Žodžiu, skaičiuje Pi yra viskas, net mintys, kurios aplankys tavo šviesią galvą rytoj, poryt, po metų, o gal po dvejų. Tuo labai sunku patikėti, bet net jei įsivaizduosime, kad tuo tikime, iš to gauti informaciją ir ją iššifruoti bus dar sunkiau. Taigi, užuot gilinusis į šiuos skaičius, gal lengviau prieiti prie patinkančios merginos ir paklausti jos numerio?.. Tačiau ieškantiems lengvų kelių, ar tiesiog domisi, kas yra skaičius Pi, siūlau kelis būdus skaičiavimai. Laikykite tai sveiku.

Kam lygus Pi? Jo apskaičiavimo metodai:

1. Eksperimentinis metodas. Jei skaičius Pi yra apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis, tai pirmas, bene akivaizdžiausias būdas rasti mūsų paslaptingą konstantą bus rankiniu būdu atlikti visus matavimus ir apskaičiuoti skaičių Pi pagal formulę π=l /d. Kur l yra apskritimo perimetras, o d yra jo skersmuo. Viskas labai paprasta, tereikia apsiginkluoti siūlu apskritimui nustatyti, liniuote skersmeniui ir, tiesą sakant, paties sriegio ilgiui, ir skaičiuotuvu, jei kyla problemų dėl ilgo padalijimo. Matuojamo mėginio vaidmuo gali būti puodas ar agurkų stiklainis, nesvarbu, svarbiausia? kad prie pagrindo būtų apskritimas.

Nagrinėjamas skaičiavimo metodas yra paprasčiausias, tačiau, deja, jis turi du reikšmingus trūkumus, kurie turi įtakos gauto Pi skaičiaus tikslumui. Pirma, matavimo priemonių paklaida (mūsų atveju tai liniuotė su sriegiu), antra, nėra garantijos, kad mūsų matuojamas apskritimas turės teisinga forma. Todėl nenuostabu, kad matematika mums suteikė daug kitų π skaičiavimo metodų, kai nereikia atlikti tikslių matavimų.

2. Leibnizo serija. Yra keletas begalinių serijų, kurios leidžia tiksliai apskaičiuoti Pi iki didelis kiekis po kablelio. Viena iš paprasčiausių serijų yra Leibnizo serija. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Tai paprasta: paimame trupmenas, kurių skaitiklyje yra 4 (tai yra viršuje) ir vieną skaičių iš nelyginių skaičių sekos vardiklyje (tai yra žemiau), sudedame ir atimame juos nuosekliai ir gauname skaičių Pi . Kuo daugiau pakartojimų ar pakartojimų mūsų paprasti veiksmai, tuo tikslesnis rezultatas. Paprasta, bet neveiksminga, norint gauti tikslią Pi reikšmę dešimtųjų tikslumu, reikia atlikti 500 000 pakartojimų. Tai yra, nelaimingąjį ketvertą turėsime padalyti net 500 000 kartų, o be to dar 500 000 kartų atimti ir pridėti gautus rezultatus. Norite išbandyti?

3. „Nilakantos“ serija. Neturite laiko padirbėti su Leibnizo serijomis? Yra alternatyva. „Nilakanta“ serija, nors ir yra šiek tiek sudėtingesnė, leidžia greitai pasiekti norimą rezultatą. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) – (4/(12*13*14)... Manau, jei atidžiai pažvelgsite į tai, kas išdėstyta aukščiau pradinis fragmentas serialas, viskas pasidaro aišku, o komentarai nereikalingi. Tęskime tai.

4. Monte Karlo metodas Gana įdomus Pi apskaičiavimo metodas yra Monte Karlo metodas. Tokį ekstravagantišką pavadinimą jis gavo to paties pavadinimo miesto Monako karalystėje garbei. Ir to priežastis yra atsitiktinumas. Ne, jis pavadintas neatsitiktinai, metodas yra tiesiog pagrįstas atsitiktiniais skaičiais, o kas tai galėtų būti labiau atsitiktiniai nei skaičiai kurie atsiranda ant Monte Karlo kazino ruletės stalų? Pi apskaičiavimas nėra vienintelis šio metodo taikymas šeštajame dešimtmetyje, jis buvo naudojamas skaičiavimams vandenilio bomba. Bet nesiblaškykime.

Paimkite kvadratą, kurio kraštinė lygi 2r, ir įbrėžkite apskritimą su spinduliu r. Dabar, jei į kvadratą įdėsite taškus atsitiktinai, tada tikimybė P Tai, kad taškas patenka į apskritimą, yra apskritimo ir kvadrato plotų santykis. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Dabar išreikškime skaičių Pi iš čia π=4P. Belieka gauti eksperimentinius duomenis ir rasti tikimybę P kaip pataikymo skaičių apskritime N kr pataikyti į aikštę N kv.. IN bendras vaizdas skaičiavimo formulė atrodys taip: π=4N cr / N kvadratas.

Noriu pastebėti, kad norint įgyvendinti šį metodą, nebūtina eiti į kazino, pakanka naudoti bet kokią daugiau ar mažiau padorią programavimo kalbą. Na, o gautų rezultatų tikslumas atitinkamai priklausys nuo surinktų taškų, kuo daugiau, tuo tikslesni. Linkiu sėkmės 😉

Tau numeris (Vietoj išvados).

Žmonės, kurie yra toli nuo matematikos, greičiausiai nežino, bet taip atsitinka, kad skaičius Pi turi dvigubai didesnį brolį. Tai yra skaičius Tau(τ), o jei Pi yra apskritimo ir skersmens santykis, tai Tau yra šio ilgio ir spindulio santykis. Ir šiandien kai kurie matematikai siūlo atsisakyti skaičiaus Pi ir pakeisti jį Tau, nes tai daugeliu atžvilgių yra patogiau. Tačiau kol kas tai tik pasiūlymai ir, kaip sakė Levas Davidovičius Landau: „ Nauja teorija pradeda dominuoti, kai išmiršta senųjų šalininkai“.

Matematikos entuziastai visame pasaulyje kasmet kovo keturioliktąją suvalgo po gabalėlį pyrago – juk tai garsiausio neracionalaus skaičiaus Pi diena. Ši data yra tiesiogiai susijusi su numeriu, kurio pirmieji skaitmenys yra 3,14. Pi yra apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. Kadangi tai neracionalu, neįmanoma jo parašyti kaip trupmeną. Tai be galo ilgas skaičius. Jis buvo atrastas prieš tūkstančius metų ir nuo tada nuolat tiriamas, tačiau ar Pi vis dar turi paslapčių? Nuo senovės kilmė iki neaiškios ateities, čia yra keletas įdomiausių faktų apie Pi.

Įsiminė Pi

Dešimtainių skaičių įsiminimo rekordas priklauso Rajvirui Meenai iš Indijos, kuriam pavyko atsiminti 70 000 skaitmenų – rekordą jis pasiekė 2015 metų kovo 21 dieną. Anksčiau rekordininku buvo Chao Lu iš Kinijos, sugebėjęs atsiminti 67 890 skaitmenų – šis rekordas buvo pasiektas 2005 m. Neoficialus rekordininkas yra Akira Haraguchi, kuris 2005 metais užfiksavo save vaizdo įraše, kartodamas 100 000 skaitmenų, ir neseniai paskelbė vaizdo įrašą, kuriame jam pavyksta atsiminti 117 000 skaitmenų. Rekordas taptų oficialus tik tuo atveju, jei šis vaizdo įrašas būtų užfiksuotas dalyvaujant Gineso rekordų knygos atstovui, o be patvirtinimo tai lieka tik įspūdingu faktu, tačiau nelaikomas pasiekimu. Matematikos entuziastai mėgsta įsiminti skaičių Pi. Daugelis žmonių naudoja įvairius mnemoninius metodus, pavyzdžiui, poeziją, kur raidžių skaičius kiekviename žodyje sutampa su Pi skaitmenimis. Kiekviena kalba turi savo variantus panašias frazes, kurie padeda atsiminti kelis pirmuosius skaitmenis ir visą šimtą.

Yra Pi kalba

Literatūrai aistringi matematikai išrado tarmę, kurioje raidžių skaičius visuose žodžiuose tiksliai atitinka Pi skaitmenis. Rašytojas Mike'as Keithas netgi parašė knygą „Not a Wake“, kuri visiškai parašyta Pi. Tokios kūrybos entuziastai savo darbus rašo visiškai atsižvelgdami į raidžių skaičių ir skaičių reikšmę. Tai neturi praktinio pritaikymo, tačiau yra gana įprasta ir žinomas reiškinys entuziastingų mokslininkų ratuose.

Eksponentinis augimas

Pi yra begalinis skaičius, todėl žmonės pagal apibrėžimą niekada negalės nustatyti tikslių šio skaičiaus skaičių. Tačiau nuo tada, kai pirmą kartą buvo naudojamas Pi, skaičių po kablelio skaičius labai padidėjo. Ją naudojo ir babiloniečiai, bet jiems pakako trupmenos iš trijų sveikų ir vienos aštuntosios. kinai ir kūrėjai Senasis Testamentas ir buvo visiškai tik trys. Iki 1665 m. seras Izaokas Niutonas apskaičiavo 16 Pi skaitmenų. Iki 1719 m prancūzų matematikas Tomas Fante de Lagny apskaičiavo 127 skaitmenis. Kompiuterių atsiradimas radikaliai pagerino žmonių žinias apie Pi. Nuo 1949 iki 1967 m. skaičius pažįstamas žmogui skaitmenų išaugo nuo 2037 iki 500 000 Neseniai mokslininkas iš Šveicarijos Peteris Truebas sugebėjo apskaičiuoti 2,24 trilijono Pi skaitmenų. Tai užtruko 105 dienas. Žinoma, tai nėra riba. Tikėtina, kad tobulėjant technologijoms bus galima įrengti dar daugiau tiksli figūra- kadangi Pi yra begalinis, tikslumui ribų tiesiog nėra, o jį galima tik riboti techninės savybės kompiuterinės technologijos.

Pi apskaičiavimas rankomis

Jei norite patys susirasti skaičių, galite naudoti senamadišką techniką – jums reikės liniuotės, stiklainio ir šiek tiek virvelės, arba galite naudoti matuoklį ir pieštuką. Skardinės naudojimo trūkumas yra tas, kad ji turi būti apvali, o tikslumą lems tai, kaip gerai žmogus gali apvynioti virvę. Galite nubrėžti apskritimą su transporteriu, tačiau tam taip pat reikia įgūdžių ir tikslumo, nes netolygus apskritimas gali rimtai iškraipyti jūsų matavimus. Tikslesnis metodas apima geometrijos naudojimą. Padalinkite apskritimą į daugybę segmentų, pavyzdžiui, picą į griežinėlius, tada apskaičiuokite tiesios linijos, kuri paverstų kiekvieną segmentą, ilgį. lygiašonis trikampis. Kraštinių suma duos apytikslį skaičių Pi. Kuo daugiau segmentų naudosite, tuo tikslesnis skaičius bus. Žinoma, savo skaičiavimuose negalėsite priartėti prie kompiuterio rezultatų, tačiau šie paprasti eksperimentai leidžia išsamiau suprasti, kas iš tikrųjų yra skaičius Pi ir kaip jis naudojamas matematikoje.

Pi atradimas

Senovės babiloniečiai apie skaičiaus Pi egzistavimą žinojo jau prieš keturis tūkstančius metų. Babilono lentelėse Pi yra 3,125, o Egipto matematinis papirusas rodo skaičių 3,1605. Biblijoje skaičius Pi pateikiamas pasenusiu ilgiu – uolekčiais, o graikų matematikas Archimedas Pi apibūdinimui panaudojo Pitagoro teoremą, geometrinis ryšys trikampio kraštinių ilgiai ir figūrų plotai apskritimų viduje ir išorėje. Taigi galime drąsiai teigti, kad Pi yra vienas seniausių matematines sąvokas, bent jau tikslus pavadinimas duotas numeris ir pasirodė palyginti neseniai.

Naujas žvilgsnis į Pi

Dar prieš pradedant koreliuoti skaičių Pi su apskritimais, matematikai jau turėjo daugybę būdų net pavadinti šį skaičių. Pavyzdžiui, senovės matematikos vadovėliuose galima rasti frazę lotynų kalba, kurią galima apytiksliai išversti kaip „dydis, rodantis ilgį, kai skersmuo padauginamas iš jo“. Iracionalusis skaičius išgarsėjo, kai šveicarų mokslininkas Leonhardas Euleris jį panaudojo savo trigonometrijos darbe 1737 m. Tačiau graikiškas Pi simbolis vis dar nebuvo naudojamas – tik knygoje taip nutiko mažiau garsus matematikas Viljamas Džounsas. Jis jį naudojo jau 1706 m., bet ilgą laiką liko nepastebėtas. Laikui bėgant mokslininkai priėmė šį pavadinimą, o dabar jis yra labiausiai žinoma versija vardų, nors anksčiau jis buvo vadinamas ir Ludolfo numeriu.

Ar Pi yra normalus skaičius?

Skaičius Pi tikrai keistas, bet kiek jis paklūsta įprastiems? matematinius dėsnius? Mokslininkai jau išsprendė daug su tuo susijusių klausimų neracionalus skaičius, tačiau kai kurios paslaptys išlieka. Pavyzdžiui, nežinoma, kaip dažnai naudojami visi skaičiai – skaičiai nuo 0 iki 9 turėtų būti naudojami lygiomis dalimis. Tačiau statistiką galima atsekti nuo pirmųjų trilijonų skaitmenų, tačiau dėl to, kad skaičius yra begalinis, nieko tiksliai įrodyti neįmanoma. Yra ir kitų problemų, kurių mokslininkai vis dar nepastebi. Visai įmanoma, kad tolesnė plėtra mokslas padės juos išsiaiškinti, bet šiuo metu ji lieka už žmogaus intelekto ribų.

Pi skamba dieviškai

Mokslininkai negali atsakyti į kai kuriuos klausimus apie skaičių Pi, tačiau kiekvienais metais vis geriau supranta jo esmę. Jau XVIII amžiuje buvo įrodytas šio skaičiaus neracionalumas. Be to, įrodyta, kad šis skaičius yra transcendentinis. Tai reiškia ne tam tikra formule, kuris leistų apskaičiuoti Pi naudojant racionalius skaičius.

Nepasitenkinimas skaičiumi Pi

Daugelis matematikų yra tiesiog įsimylėję Pi, tačiau yra ir manančių, kad šie skaičiai nėra itin reikšmingi. Be to, jie teigia, kad Tau, kuris yra dvigubai didesnis už Pi, patogiau naudoti kaip neracionalųjį skaičių. Tau rodo ryšį tarp apskritimo ir spindulio, kuris, kai kurių nuomone, yra logiškesnis skaičiavimo metodas. Tačiau vienareikšmiškai ką nors nustatyti šį klausimą neįmanoma, o vienas ir kitas skaičius visada turės šalininkų, abu metodai turi teisę į gyvybę, todėl tai paprasta įdomus faktas, o ne priežastis manyti, kad neturėtumėte naudoti Pi.