Оюутнууд эхний жилдээ 2-р зэрэглэлийн гадаргуутай ихэвчлэн тулгардаг. Эхлээд энэ сэдэвтэй холбоотой асуудлууд энгийн мэт санагдаж болох ч та судалж байхдаа дээд математикШинжлэх ухааны тал руугаа гүнзгийрснээр та болж буй үйл явдлын талаархи ойлголтоо алдаж магадгүй юм. Ийм зүйл тохиолдохгүйн тулд та зүгээр л цээжлээд зогсохгүй, энэ эсвэл бусад гадаргууг хэрхэн олж авах, коэффициентийн өөрчлөлт түүнд хэрхэн нөлөөлж, анхны координатын системтэй харьцуулахад түүний байршил, шинэ системийг хэрхэн олох талаар ойлгох хэрэгтэй. Үүний төв нь гарал үүслийн координатуудтай давхцаж байгаа боловч аль нэгтэй параллель байна координатын тэнхлэгүүд). Эхнээс нь эхэлцгээе.
Тодорхойлолт
2-р эрэмбийн гадаргууг GMT гэж нэрлэдэг бөгөөд координат нь дараах хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлийг хангана.
Гадаргуунд хамаарах цэг бүр тодорхой үндэслэлээр гурван координаттай байх ёстой нь тодорхой байна. Хэдийгээр зарим тохиолдолд байршилцэгүүд, жишээлбэл, хавтгай болж доройтож болно. Энэ нь зөвхөн координатуудын аль нэг нь тогтмол бөгөөд зөвшөөрөгдөх утгын бүх хүрээнд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Дээрх тэгш байдлын бүрэн бичмэл хэлбэр нь дараах байдалтай байна.
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - зарим тогтмолууд, x, y, z - харгалзах хувьсагчууд аффины координатуудямар ч цэг. Энэ тохиолдолд байнгын хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь байх ёсгүй тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ямар ч цэг тэгшитгэлд тохирохгүй.
Ихэнх жишээн дээр олон тооны хүчин зүйлүүд тэгтэй тэнцүү хэвээр байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг ихээхэн хялбаршуулсан болно. Практикт цэг нь гадаргууд хамаарах эсэхийг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү биш (тэгшитгэлд түүний координатыг орлуулж, ижил төстэй байдал ажиглагдаж байгаа эсэхийг шалгахад хангалттай). Гол цэгийм ажилд сүүлийг нь авчрах явдал юм каноник хэлбэр.
Дээр бичсэн тэгшитгэл нь ямар ч (доор жагсаасан) 2-р эрэмбийн гадаргууг тодорхойлно. Доорх жишээнүүдийг харцгаая.
2-р эрэмбийн гадаргуугийн төрлүүд
2-р эрэмбийн гадаргуугийн тэгшитгэлүүд нь зөвхөн A nm коэффициентүүдийн утгуудад ялгаатай байдаг. -аас ерөнхий үзэлТогтмол утгын тодорхой утгын хувьд янз бүрийн гадаргууг дараахь байдлаар ангилж болно.
- Цилиндрүүд.
- Эллипс төрөл.
- Гиперболын төрөл.
- Конус хэлбэрийн төрөл.
- Параболик төрөл.
- Онгоц.
Жагсаалтад орсон төрөл бүр нь байгалийн болон төсөөллийн хэлбэртэй байдаг: төсөөллийн хэлбэрээр бодит цэгүүдийн байрлал нь улам доройтдог. энгийн дүрс, эсвэл огт байхгүй.
Цилиндрүүд
Харьцангуй төвөгтэй муруй нь зөвхөн суурь дээр байрладаг тул чиглүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг тул энэ нь хамгийн энгийн төрөл юм. Генераторууд нь шулуун шугамууд, перпендикуляр хавтгайнууд, суурь нь оршино.
График нь дугуй цилиндрийг харуулж байна - онцгой тохиолдолэллипс цилиндр. XY хавтгайд түүний проекц нь эллипс (бидний тохиолдолд тойрог) - хөтөч, XZ-д - тэгш өнцөгт байх болно - генераторууд нь Z тэнхлэгтэй параллель байдаг тул үүнийг ерөнхий тэгшитгэлээс авна Коэффицентүүдэд дараахь утгыг өгөх шаардлагатай.
Ердийн тэмдэгтүүдийн оронд x, y, z, x-тэй байна серийн дугаар- хамаагүй.
Үнэн хэрэгтээ 1/a 2 болон энд заасан бусад тогтмолууд нь ерөнхий тэгшитгэлд заасан коэффициентүүдтэй ижил боловч тэдгээрийг яг энэ хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг - энэ нь каноник дүрслэл. Дараах зүйлд энэ оруулгыг зөвхөн ашиглах болно.
Энэ нь гипербол цилиндрийг тодорхойлдог. Схем нь адилхан - гипербол нь хөтөч болно.
Параболик цилиндрийг арай өөрөөр тодорхойлдог: түүний каноник хэлбэр нь параметр гэж нэрлэгддэг p коэффициентийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ коэффициент нь q=2p боловч үүнийг танилцуулсан хоёр хүчин зүйлд хуваах нь заншилтай байдаг.
Өөр нэг төрлийн цилиндр байдаг: төсөөлөлтэй. Ийм цилиндрт ямар ч бодит цэг хамаарахгүй. Үүнийг эллипс цилиндрийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн боловч нэгний оронд -1 байна.
Зууван төрөл
Эллипсоидыг аль нэг тэнхлэгийн дагуу сунгаж болно (үүнд дээр дурдсан a, b, c тогтмолуудын утгуудаас хамаарна; том тэнхлэг нь илүү том коэффициенттэй тохирч байх нь ойлгомжтой).
Коэффициентээр үржүүлсэн координатын нийлбэр нь -1-тэй тэнцүү байвал зохиомол эллипсоид бас байдаг.
Гиперболоидууд
Тогтмолуудын аль нэгэнд хасах тэмдэг гарч ирвэл эллипсоидын тэгшитгэл нь нэг хуудас гиперболоидын тэгшитгэл болж хувирна. Энэ хасах нь x3 координатын урд байрлах шаардлагагүй гэдгийг та ойлгох ёстой! Энэ нь зөвхөн тэнхлэгүүдийн аль нь гиперболоидын эргэлтийн тэнхлэг болохыг тодорхойлдог (эсвэл үүнтэй зэрэгцээ, учир нь квадрат дээр нэмэлт нэр томъёо гарч ирэх үед (жишээлбэл, (x-2) 2) зургийн төв нь шилжинэ. Үүний үр дүнд гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ хөдөлдөг). Энэ нь 2-р зэрэглэлийн бүх гадаргууд хамаарна.
Нэмж дурдахад, тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр харуулсан бөгөөд тэдгээрийг тогтмол утгыг өөрчлөх замаар өөрчлөх боломжтой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй (тэмдэгийг хадгалахын зэрэгцээ!); Үүний зэрэгцээ тэдгээрийн гадаад төрх (гиперболоид, конус гэх мэт) хэвээр байх болно.
Ийм тэгшитгэлийг хоёр хуудасны гиперболоидоор өгсөн болно.
Конус гадаргуу
Конус тэгшитгэлд нэгдмэл байдал байхгүй - энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.
Конус бол зөвхөн хязгаарлагдмал зүйл юм конус гадаргуу. Доорх зургаас харахад график дээр конус гэж нэрлэгддэг хоёр зүйл байх болно.
Анхаарах зүйл: бүх гэж үзсэн каноник тэгшитгэлд тогтмолуудыг анхдагчаар эерэг гэж үздэг. Үгүй бол тэмдэг нь эцсийн графикт нөлөөлж болно.
Координатын хавтгай нь конусын тэгш хэмийн хавтгай болж, тэгш хэмийн төв нь гарал үүсэл дээр байрладаг.
Төсөөллийн конусын тэгшитгэлд зөвхөн давуу талууд байдаг; энэ нь нэг бодит цэгийг эзэмшдэг.
Параболоидууд
Сансар огторгуйд 2-р эрэмбийн гадаргууг авч болно янз бүрийн хэлбэрүүдижил төстэй тэгшитгэлтэй байсан ч гэсэн. Жишээлбэл, параболоид нь хоёр төрөлтэй.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Z тэнхлэг нь зурган дээр перпендикуляр байх үед эллипс параболоид нь эллипс хэлбэртэй болно.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Гипербол параболоид: ZY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд парабол, XY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд гиперболуудыг авна.
огтлолцох онгоцууд
Хавтгайд 2-р зэрэглэлийн гадаргуу нь доройтох тохиолдол байдаг. Эдгээр онгоцыг янз бүрийн аргаар байрлуулж болно.
Эхлээд огтлолцох онгоцуудыг харцгаая.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Каноник тэгшитгэлийн энэхүү өөрчлөлтөөр бид зүгээр л огтлолцсон хоёр онгоцыг (төсөөл!); бүх бодит цэгүүд нь тэгшитгэлд байхгүй координатын тэнхлэг дээр байрладаг (каноник дээр - Z тэнхлэг).
Зэрэгцээ онгоцууд
Хэрэв зөвхөн нэг координат байвал 2-р эрэмбийн гадаргуу нь хос болж доройтдог зэрэгцээ хавтгайнууд. Тоглогчийн оронд өөр ямар ч хувьсагч байж болохыг бүү мартаарай; дараа нь бусад тэнхлэгүүдтэй параллель онгоцуудыг олж авна.
Энэ тохиолдолд тэд төсөөлөл болж хувирдаг.
Давхцсан онгоцууд
Үүнтэй хамт энгийн тэгшитгэлхос онгоц нэг болж доройтдог - тэд давхцдаг.
Гурван хэмжээст суурьтай тохиолдолд дээрх тэгшитгэл нь y=0 шулуун шугамыг заагаагүй гэдгийг битгий мартаарай! Бусад хоёр хувьсагч дутуу байгаа боловч энэ нь тэдний утга тогтмол бөгөөд тэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм.
Барилга
Оюутны хувьд хамгийн хэцүү ажлуудын нэг бол 2-р дарааллын гадаргууг барих явдал юм. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих нь тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад муруйны налуу өнцөг болон төвийн офсетийг харгалзан үзэх нь бүр ч хэцүү байдаг. Хэрхэн тууштай тодорхойлохыг авч үзье ирээдүйн үзэл бодоланалитик аргаар зурах.
2-р зэрэглэлийн гадаргууг барихын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
- тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах;
- судалж буй гадаргуугийн төрлийг тодорхойлох;
- коэффициентүүдийн утгууд дээр үндэслэн байгуулна.
Дараахь бүх төрлийг харгалзан үзнэ.
Үүнийг бататгахын тулд бид энэ төрлийн даалгаврын нэг жишээг нарийвчлан тайлбарлах болно.
Жишээ
Бидэнд тэгшитгэл байна гэж бодъё:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Үүнийг каноник хэлбэрт оруулъя. Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё, өөрөөр хэлбэл бид байгаа нэр томъёог нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын задрал байхаар цэгцлэх болно. Жишээ нь: (a+1) 2 =a 2 +2a+1 бол a 2 +2a+1=(a+1) 2. Бид хоёр дахь мэс засал хийх болно. Хаалт дотор энэ тохиолдолдҮүнийг задруулах шаардлагагүй, учир нь энэ нь зөвхөн тооцооллыг хүндрүүлэх болно, гэхдээ гаргаж ирэх хэрэгтэй нийтлэг үржүүлэгч 6 (хаалтанд төгс дөрвөлжинтоглоом) танд хэрэгтэй:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Энэ тохиолдолд zet хувьсагч зөвхөн нэг удаа гарч ирнэ - та үүнийг одоохондоо ганцаараа үлдээж болно.
Энэ үе шатанд тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: бүх үл мэдэгдэх зүйлсийн өмнө нэмэх тэмдэг байна; Зургаагаар хуваахад нэг үлдэнэ. Үүний үр дүнд эллипсоидыг тодорхойлсон тэгшитгэл бидний өмнө байна.
144-ийг 150-6-д үржүүлж, дараа нь -6-г баруун тийш шилжүүлсэн болохыг анхаарна уу. Яагаад заавал ингэж хийх болов? Хамгийн их нь ойлгомжтой том хуваагчВ энэ жишээнд-6, тиймээс нэгжийг өөрт нь хуваасны дараа баруун талд үлдэхийн тулд 144-өөс яг 6-г "туслах" шаардлагатай (нэгж баруун талд байх ёстой гэдгийг чөлөөт нэр томъёо - үл мэдэгдэхээр үржүүлээгүй тогтмол).
Бүгдийг зургаад хувааж эллипсоидын каноник тэгшитгэлийг гаргацгаая.
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Өмнө нь хэрэглэж байсан 2-р эрэмбийн гадаргуугийн ангилалд зургийн төв нь координатын эхэнд байх тохиолдолд онцгой тохиолдлыг авч үздэг. Энэ жишээнд энэ нь офсет байна.
Үл мэдэгдэх хаалт бүрийг шинэ хувьсагч гэж бид таамаглаж байна. Энэ нь: a=x-1, b=y+5, c=z. Шинэ координатуудад эллипсоидын төв нь (0,0,0) цэгтэй давхцаж байгаа тул a=b=c=0, эндээс: x=1, y=-5, z=0. Анхны координатуудад зургийн төв нь (1,-5,0) цэг дээр байрладаг.
Эллипсоидыг хоёр эллипсээс авах болно: эхнийх нь XY хавтгайд, хоёр дахь нь XZ хавтгайд (эсвэл YZ - энэ нь хамаагүй). Хувьсагчдыг хуваах коэффициентийг каноник тэгшитгэлд квадратаар хуваана. Тиймээс дээрх жишээн дээр хоёр, нэг, гурвын язгуураар хуваах нь илүү зөв байх болно.
Y тэнхлэгтэй параллель эхний эллипсийн бага тэнхлэг нь хоёртой тэнцүү байна. Том тэнхлэг нь X тэнхлэгтэй параллель байна - хоёр үндэс. Хоёр дахь эллипсийн жижиг тэнхлэг нь Y тэнхлэгтэй параллель хэвээр байна - энэ нь хоёртой тэнцүү байна. А гол тэнхлэг, Z тэнхлэгтэй параллель нь гурвын хоёр үндэстэй тэнцүү.
Анхны тэгшитгэлээс олж авсан өгөгдлийг каноник хэлбэрт шилжүүлснээр бид эллипсоид зурж болно.
Дүгнэж байна
Энэ нийтлэлд өгүүлсэн сэдэв нь нэлээд өргөн хүрээтэй боловч үнэн хэрэгтээ та одоо харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Үүний хөгжил нь гадаргуугийн нэрс, тэгшитгэлийг цээжлэх тэр мөчид дуусдаг (мөн мэдээжийн хэрэг тэд ямар харагддаг). Дээрх жишээн дээр бид алхам бүрийг нарийвчлан авч үзсэн боловч тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах нь дээд математикийн хамгийн бага мэдлэг шаарддаг бөгөөд оюутанд ямар ч хүндрэл учруулах ёсгүй.
Одоо байгаа тэгш байдлын үндсэн дээр ирээдүйн хуваарийн дүн шинжилгээ нь аль хэдийн илүү байна хэцүү даалгавар. Гэхдээ үүнийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд хоёрдахь эрэмбийн муруйг хэрхэн яаж барьж байгааг ойлгоход хангалттай - эллипс, парабол болон бусад.
Муухайрах тохиолдлууд нь бүр ч энгийн хэсэг юм. Зарим хувьсагч байхгүйн улмаас зөвхөн тооцооллыг хялбаршуулсан, урьд дурьдсанчлан төдийгүй барилгын ажлыг өөрөө хийдэг.
Та бүх төрлийн гадаргууг итгэлтэйгээр нэрлэж, тогтмолуудыг өөрчилж, графикийг нэг юмуу өөр хэлбэрт оруулж чадвал тухайн сэдвийг бүрэн эзэмшинэ.
Та бүхний сурлагад амжилт хүсье!
Зууван тэгшитгэл:
Онцгой тохиолдол эллипс цилиндрбайна дугуй цилиндр, түүний тэгшитгэл нь x 2 + y 2 = R 2 байна. x 2 =2pz тэгшитгэл нь орон зайд тодорхойлогддог параболик цилиндр.
Тэгшитгэл: орон зайд тодорхойлно гипербол цилиндр.
Эдгээр бүх гадаргууг гэж нэрлэдэг хоёр дахь эрэмбийн цилиндр, учир нь тэдгээрийн тэгшитгэл нь одоогийн x, y, z координатуудтай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл юм.
18. Бодит тоо, комплекс тоо Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд. Нарийн төвөгтэй тоо. Мойврын томъёонууд.
Нарийн төвөгтэй тоонэр z=x+iy хэлбэрийн илэрхийлэл, энд x ба y нь бодит тоо, i нь гэж нэрлэгддэг. төсөөллийн нэгж, . Хэрэв x=0 бол 0+iy=iy тоог дуудна. төсөөллийн тоо; хэрэв y=0 бол x+i0=x тоо нь x бодит тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь Rall олонлог бодит байна гэсэн үг юм. үзэгдлийн тоо бүх комплекс тоон С олонлогийн дэд олонлог, i.e. .Х тоо нэр бодит хэсэг z, .Хоёр нийлмэл тоо бөгөөд тэдгээрийн бодит хэсгүүд нь тэнцүү, төсөөлөл нь тэнцүү бол тэнцүү (z1=z2) гэж нэрлэнэ: x1=x2, y1=y2. Ялангуяа x=y=0 тохиолдолд Z=x+iy цогцолбор тоо тэгтэй тэнцүү байна. "Илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтыг нийлмэл тоонд оруулаагүй болно. Зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатай z = x + iy и нийлмэл хоёр тоог коньюгат гэнэ.
Геометрийн дүрснийлмэл тоо.
Аливаа комплекс тоо z=x+iy нь x=Rez, y=Imz байхаар Окси хавтгайн M(x,y) цэгээр дүрслэгдэж болно. Мөн эсрэгээр координатын хавтгайн M(x;y) цэг бүрийг дүрс гэж үзэж болно нийлмэл тоо z=x+iy. Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн хавтгайг дуудна нарийн төвөгтэй хавтгай, учир нь z=x+0i=x бодит тоонуудыг агуулна. Ординатын тэнхлэг дээр z=0+iy гэсэн цэвэр төсөөллийн нийлмэл тоонууд оршдог тул түүнийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Z=x+iy комплекс тоог r=OM=(x,y) радиус вектор ашиглан тодорхойлж болно. z комплекс тоог илэрхийлэх r векторын уртыг энэ тооны модуль гэж нэрлэх ба |z|-ээр тэмдэглэнэ. эсвэл r. хоорондын өнцгийн хэмжээ Чиглэл бодит тэнхлэгба нийлмэл тоог илэрхийлэх r векторыг энэ комплекс тооны аргумент гэж нэрлэх ба Argz буюу Z=0 гэж тэмдэглэсэн комплекс тооны аргумент тодорхойлогдоогүй. Комплекс тооны аргумент нь олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд argz нь интервалд агуулагдах аргументын үндсэн утга байх (), i.e. - 
(заримдаа аргументийн гол утгыг утга гэж авдаг интервалд хамаарах (0; )).
z тоог z=x+iy хэлбэрээр бичихийг гэнэ алгебрийн хэлбэрнийлмэл тоо.
"Хавтгай" графикийн оронд бид хамгийн нийтлэг орон зайн гадаргууг авч үзэхээс гадна тэдгээрийг гараар хэрхэн чадварлаг бүтээх талаар сурах болно. Би гурван хэмжээст зураг зурах програм хангамжийн хэрэгслийг сонгоход нэлээд удаан хугацаа зарцуулж, хэд хэдэн сайн програм олсон боловч ашиглахад хялбар байсан ч эдгээр програмууд нь чухал асуудлыг шийдэж чадахгүй байна. практик асуулт. Үнэн хэрэгтээ ойрын ирээдүйд оюутнууд захирагч, харандаагаар зэвсэглэсэн хэвээр байх бөгөөд өндөр чанартай "машин" зурагтай байсан ч олон хүн үүнийг зөв шилжүүлэх боломжгүй болно. алаг цаас. Тиймээс гарын авлагад онцгой анхааралнь гар аргаар барих техникт зориулагдсан бөгөөд хуудасны зургийн нэлээд хэсэг нь гар хийцийн бүтээгдэхүүн юм.
Энэ юугаараа ялгаатай вэ лавлах материаланалогуудаас?
Зохистой байх практик туршлага, Би аль гадаргуу дээр ихэвчлэн тулгардагийг маш сайн мэднэ бодит асуудлууддээд математик, энэ нийтлэл танд тусална гэж найдаж байна аль болох хурданАчаа тээшээ зохих мэдлэг, хэрэглээний ур чадвараар дүүргэх нь 90-95% тохиолдолд хангалттай байх болно.
Та яг одоо юу хийх чадвартай байх хэрэгтэй вэ?
Хамгийн үндсэн нь:
Юуны өмнө та чадвартай байх хэрэгтэй зөв барихорон зайн декартын координатын систем (өгүүллийн эхнээс үзнэ үү Функцийн график ба шинж чанарууд) .
Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та юу олж авах вэ?
Лонх Хичээлийн материалыг эзэмшсэний дараа та гадаргуугийн төрлийг функц ба / эсвэл тэгшитгэлээр хурдан тодорхойлж, орон зайд хэрхэн байрлаж байгааг төсөөлж, мэдээжийн хэрэг зураг зурахад суралцах болно. Хэрэв та эхний уншлагын дараа бүх зүйл толгойдоо орохгүй бол зүгээр - шаардлагатай бол хүссэн догол мөр рүү буцаж болно.
Мэдээлэл хүн бүрийн мэдэлд байдаг - үүнийг эзэмшихийн тулд танд супер мэдлэг, урлагийн онцгой авьяас, орон зайн алсын хараа хэрэггүй.
Эхэлцгээе!
Практикт орон зайн гадаргууг ихэвчлэн өгдөг хоёр хувьсагчийн функцэсвэл хэлбэрийн тэгшитгэл (баруун талын тогтмол нь ихэвчлэн тэг эсвэл нэгтэй тэнцүү байдаг). Эхний тэмдэглэгээ нь илүү түгээмэл байдаг математик шинжилгээ, хоёр дахь нь - төлөө аналитик геометр. Тэгшитгэл нь үндсэндээ юм далд хэлбэрээр өгсөн 2 хувьсагчийн функц бөгөөд үүнийг ердийн тохиолдолд хэлбэр рүү амархан буулгаж болно. Би танд сануулж байна хамгийн энгийн жишээв:
–хавтгай тэгшитгэлтөрлийн .
– хавтгай функц дотор тодорхой .
Үүнээс эхэлье:
Хавтгайнуудын нийтлэг тэгшитгэлүүд
Ердийн сонголтууддахь онгоцны зохион байгуулалт тэгш өнцөгт системкоординатуудыг өгүүллийн эхэнд нарийвчлан авч үзсэн болно Хавтгай тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа тэгшитгэлүүд дээр дахин нэг удаа анхаарлаа хандуулцгаая их ач холбогдолдадлага хийхийн тулд.
Юуны өмнө та координатын хавтгайтай параллель байгаа хавтгайнуудын тэгшитгэлийг автоматаар бүрэн таних ёстой. Онгоцны хэсгүүдийг тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг бөгөөд сүүлийн хоёр тохиолдолд параллелограмм шиг харагддаг. Анхдагч байдлаар, та ямар ч хэмжээсийг сонгож болно (мэдээж боломжийн хязгаар дотор), гэхдээ координатын тэнхлэг нь хавтгайг "цоолох" цэг нь тэгш хэмийн төв байх нь зүйтэй. 
Хатуухан хэлэхэд координатын тэнхлэгүүдийг зарим газарт тасархай шугамаар дүрсэлсэн байх ёстой, гэхдээ төөрөгдөл гаргахгүйн тулд бид энэ нюансыг үл тоомсорлох болно.
– (зүүн зураг)тэгш бус байдал нь онгоцыг эс тооцвол биднээс хамгийн хол зайд байгаа хагас орон зайг тодорхойлдог;
– (дунд зураг)тэгш бус байдал нь баруун талын хагас орон зай, түүний дотор хавтгайг зааж өгдөг;
– (баруун зураг)давхар тэгш бус байдал нь хоёр хавтгайг оролцуулан хавтгайн хооронд байрлах "давхарга" -ыг тодорхойлдог.
Өөрийгөө халаахад:
Жишээ 1
Онгоцоор хязгаарлагдсан биеийг зур
Өгөгдсөн биеийг тодорхойлсон тэгш бус байдлын системийг бий болго.
Таны харандааны доороос хуучин танил гарч ирэх ёстой. куб хэлбэртэй . Үл үзэгдэх ирмэг ба нүүрийг тасархай шугамаар зурах ёстой гэдгийг бүү мартаарай. Хичээлийн төгсгөлд зурж дууссан.
Гуйя, БИТГИЙ ҮЗҮҮЛЭЭРЭЙ сургалтын зорилго, тэд хэтэрхий энгийн мэт санагдаж байсан ч гэсэн. Үгүй бол та нэгийг нь алдаж, хоёрыг нь алдаж, дараа нь гурван хэмжээст зураг зурах гэж хэдэн цаг зарцуулсан байх магадлалтай. бодит жишээ. Үүнээс гадна, механик ажилматериалыг илүү үр дүнтэй сурч, оюун ухаанаа хөгжүүлэхэд тань туслах болно! Энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм цэцэрлэгТэгээд бага сургуульХүүхдүүд зураг зурах, загварчлах, барилгын иж бүрдэл болон бусад ажлуудыг гүйцэтгэдэг нарийн моторт ур чадвархуруу. Уучлаарай, миний хоёр дэвтэр алга болохгүй хөгжлийн сэтгэл зүй =)
Бид дараагийн бүлэг онгоцыг "шууд пропорциональ" гэж нэрлэх болно - эдгээр нь координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрдөг онгоцууд юм.
2) хэлбэрийн тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг зааж өгдөг;
3) хэлбэрийн тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг зааж өгдөг.
Хэдийгээр албан ёсны тэмдэг нь тодорхой юм (тэгшитгэлд аль хувьсагч байхгүй байна - онгоц тэр тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг), болж буй үйл явдлын мөн чанарыг ойлгох нь үргэлж хэрэгтэй байдаг:
Жишээ 2
Онгоц барих
Барилга барих хамгийн сайн арга юу вэ? Би санал болгож байна дараагийн алгоритм:
Нэгдүгээрт, тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье, үүнээс "y" авах боломжтой нь тодорхой харагдаж байна. ямар чутга. Бид утгыг засъя, өөрөөр хэлбэл бид координатын хавтгайг авч үзэх болно. Тэгшитгэлийн багц сансрын шугам, өгөгдсөн координатын хавтгайд хэвтэж байна. Энэ зураасыг зурган дээр дүрсэлцгээе. Шулуун шугам нь координатын эхийг дайран өнгөрдөг тул түүнийг барихын тулд нэг цэгийг олоход хангалттай. Let . Нэг цэгийг хойш тавьж, шулуун шугам зур.
Одоо бид онгоцны тэгшитгэл рүү буцна. Учир нь "Y" нь хүлээн зөвшөөрч байна ямар чутгууд, дараа нь хавтгайд баригдсан шулуун шугамыг зүүн ба баруун тийш тасралтгүй "хуулбарлана". Яг ийм байдлаар манай онгоц тэнхлэгийг дайран өнгөрдөг. Зургийг дуусгахын тулд шулуун шугамын зүүн ба баруун талд бид хоёрыг тавьдаг зэрэгцээ шугамуудмөн хөндлөн хэвтээ сегмент бүхий бэлгэдлийн параллелограммыг "хаах": 
Нөхцөл байдал нь нэмэлт хязгаарлалт тавиагүй тул онгоцны фрагментийг арай бага эсвэл арай том хэмжээгээр дүрсэлж болно.
Орон зайн утгыг дахин нэг удаа давтъя шугаман тэгш бус байдалжишээгээр. Түүний тодорхойлсон хагас орон зайг хэрхэн тодорхойлох вэ? Нэг зүйлийг авч үзье харьяалагдахгүйхавтгай, жишээлбэл, бидэнд хамгийн ойр байрлах хагас орон зайн цэгийг авч, түүний координатыг тэгш бус байдалд орлуулна:
Хүлээн авсан жинхэнэ тэгш бус байдал, энэ нь тэгш бус байдал нь доод (хавтгайтай харьцуулахад) хагас орон зайг зааж өгдөг бол хавтгай өөрөө шийдэлд ороогүй гэсэн үг юм.
Жишээ 3
Онгоц барих
A) ;
б) .
Эдгээр нь даалгавар юм өөрийгөө бүтээх, хүндрэлтэй тохиолдолд ижил төстэй үндэслэлийг ашиглана уу. Хичээлийн төгсгөлд товч заавар, зураг.
Практикт тэнхлэгтэй параллель онгоцууд ялангуяа түгээмэл байдаг. Онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онцгой тохиолдлыг "be" цэг дээр авч үзсэн бөгөөд одоо бид илүү их дүн шинжилгээ хийх болно. нийтлэг даалгавар:
Жишээ 4
Онгоц барих
Шийдэл: “z” хувьсагч нь тэгшитгэлд тодорхой ороогүй бөгөөд энэ нь хавтгай нь хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм. Өмнөх жишээнүүдийн адил техникийг ашиглацгаая.
Хавтгайн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье 
үүнээс "зэт" авч болох нь тодорхой байна ямар чутга. Үүнийг засаад, "уугуул" хавтгайд ердийн "хавтгай" шулуун шугамыг зурцгаая. Үүнийг барихын тулд лавлах цэгүүдийг авахад тохиромжтой.
Учир нь "Z" хүлээн зөвшөөрч байна Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан шулуун шугам нь тасралтгүй дээш доош "үрждэг" бөгөөд ингэснээр хүссэн хавтгайг үүсгэдэг. 
. Бид боломжийн хэмжээтэй параллелограммыг сайтар зурдаг. 
Бэлэн.
Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл
Хамгийн чухал хэрэглээний сорт. Хэрэв Бүгдмагадлал хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл тэг биш, дараа нь хэлбэрээр төлөөлж болно 
гэж нэрлэдэг сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл. Онгоц нь координатын тэнхлэгүүдийг цэгүүдээр огтолж байгаа нь ойлгомжтой бөгөөд ийм тэгшитгэлийн том давуу тал нь зураг зурахад хялбар байдаг.
Жишээ 5
Онгоц барих
Шийдэл: Эхлээд сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя. Шилжүүлье чөлөөт гишүүнбаруун тийш, хоёр талыг 12-т хуваана: 
Үгүй ээ, энд ямар ч үсгийн алдаа байхгүй бөгөөд бүх зүйл сансарт тохиолддог! Бид саяхан онгоцонд ашигласан ижил аргыг ашиглан санал болгож буй гадаргууг шалгана. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье 
, үүнээс "zet" авдаг гэсэн үг ямар чутга. Хавтгай дээр эллипсийг засаад барьцгаая. Учир нь "zet" хүлээн авдаг Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан эллипс нь дээш доош тасралтгүй "хувилагдах" болно. Гадаргууг ойлгоход хялбар байдаг хязгааргүй:
Энэ гадаргууг гэж нэрлэдэг эллипс цилиндр
. Зууван (ямар ч өндөрт) гэж нэрлэдэг хөтөчцилиндр ба эллипсийн цэг бүрийг дайран өнгөрөх параллель шугамуудыг гэж нэрлэдэг бүрдүүлэхцилиндр (энэ нь шууд утгаарааүгс үүнийг бүрдүүлдэг). Тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэггадаргуу (гэхдээ хэсэг биш!).
Өгөгдсөн гадаргууд хамаарах аливаа цэгийн координат нь тэгшитгэлийг заавал хангана 
.
Орон зайнтэгш бус байдал нь цилиндр гадаргууг багтаасан хязгааргүй "хоолойн" "дотор" -ыг тодорхойлдог бөгөөд үүний дагуу эсрэг тэгш бус байдалцилиндрийн гаднах цэгүүдийн багцыг тодорхойлно.
IN практик асуудлуудхамгийн алдартай онцгой тохиолдол бол хэзээ юм хөтөчцилиндр байна тойрог:
Жишээ 8
Тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргууг байгуул
Төгсгөлгүй "хоолой" -ыг дүрслэх боломжгүй тул урлаг нь ихэвчлэн "шүргэх" -ээр хязгаарлагддаг.
Нэгдүгээрт, хавтгайд радиусын тойрог, дараа нь дээш ба доор хэд хэдэн тойрог барих нь тохиромжтой. Үүссэн тойрог ( хөтөчүүдцилиндр) дөрвөн зэрэгцээ шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно. бүрдүүлэхцилиндр): 
Бидэнд үл үзэгдэх шугамын хувьд тасархай шугам ашиглахаа бүү мартаарай.
Өгөгдсөн цилиндрт хамаарах аливаа цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангана 
. "Хоолойн" дотор байрлах аливаа цэгийн координатууд тэгш бус байдлыг хангадаг. 
, тэгш бус байдал 
гадаад хэсгийн цэгүүдийн багцыг тодорхойлно. Илүү сайн ойлгохын тулд би хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг зөвлөж байна тодорхой цэгүүдзай, өөрөө үзээрэй.
Жишээ 9
Гадаргууг барьж, түүний хавтгай дээрх проекцийг ол
Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье 
үүнээс "x"-ыг авдаг ямар чутга. Онгоцонд засаж, дүрсэлцгээе тойрог– эх цэг дээр төвтэй, нэгж радиустай. Учир нь "x" тасралтгүй хүлээн авдаг Бүгдутгууд, дараа нь барьсан тойрог нь тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий дугуй цилиндрийг үүсгэдэг. Өөр тойрог зурах ( хөтөчцилиндр) ба тэдгээрийг шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно уу ( бүрдүүлэхцилиндр). Зарим газар давхцаж байсан, гэхдээ юу хийх вэ, ийм налуу: 
Энэ удаад би цоорхойд цилиндрийн хэсэгээр өөрийгөө хязгаарласан бөгөөд энэ нь санамсаргүй биш юм. Практикт ихэвчлэн гадаргуугийн жижиг хэсгийг дүрслэх шаардлагатай байдаг.
Энд, дашрамд хэлэхэд, 6 генератор байдаг - хоёр нэмэлт шулуун шугам нь гадаргууг зүүн дээд ба баруун доод булангаас "бүрхдэг".
Одоо цилиндрийн хавтгай дээрх проекцийг харцгаая. Олон уншигчид төсөөлөл гэж юу болохыг ойлгодог, гэхдээ дахиад таван минутын биеийн тамирын дасгал хийцгээе. Зурган дээр босоод толгойгоо бөхийлгөж, тэнхлэгийн цэг нь таны духан дээр перпендикуляр болно. Цилиндр энэ өнцгөөс харагдаж байгаа зүйл бол түүний хавтгай дээрх проекц юм. Гэхдээ энэ нь шулуун шугамууд, түүний дотор шулуун шугамын хооронд хаалттай, төгсгөлгүй зурвас юм шиг санагддаг. Энэ төсөөлөл- яг тийм тодорхойлолтын домэйнфункцууд (цилиндрийн дээд "суваг"), (доод "суваг").
Дашрамд хэлэхэд, бусад координатын хавтгай дээрх проекцуудын нөхцөл байдлыг тодруулъя. Цилиндр дээр үзүүрээс болон тэнхлэгийн дагуу нарны туяа тусна. Хавтгай дээрх цилиндрийн сүүдэр (проекц) нь ижил төстэй хязгааргүй зурвас юм - шулуун шугамаар (- ямар ч) хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг, түүний дотор шулуун шугамууд.
Гэхдээ онгоцон дээрх төсөөлөл нь арай өөр юм. Хэрэв та цилиндрийг тэнхлэгийн үзүүрээс харвал энэ нь нэгж радиустай тойрогт тусгагдана. 
, үүгээр бид барилгын ажлыг эхлүүлсэн.
Жишээ 10
Гадаргууг барьж, координатын хавтгай дээрх проекцийг ол
Энэ бол даалгавар юм бие даасан шийдвэр. Нөхцөл байдал тийм ч тодорхой биш бол хоёр талыг нь квадрат болгож, үр дүнд дүн шинжилгээ хийх; функцээр цилиндрийн аль хэсгийг тодорхойлсон болохыг олж мэд. Дээр олон удаа ашигласан барилгын техникийг ашигла. Түргэн шийдэл, хичээлийн төгсгөлд зураг зурах, тайлбар.
Эллипс болон бусад цилиндр гадаргуукоординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад шилжиж болно, жишээлбэл:
(тухай нийтлэлийн танил сэдэл дээр үндэслэсэн 2-р дарааллын шугам)
– тэнхлэгтэй параллель цэгээр дамжин өнгөрөх тэгш хэмийн шугам бүхий нэгж радиустай цилиндр. Гэсэн хэдий ч практик дээр ийм цилиндрүүд маш ховор тохиолддог бөгөөд координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад "ташуу" цилиндр гадаргуутай тулгарах нь үнэхээр гайхалтай юм.
Параболик цилиндрүүд
Нэрнээс нь харахад хөтөчийм цилиндр байна парабол.
Жишээ 11
Гадаргууг барьж, координатын хавтгай дээрх проекцийг ол.
Би энэ жишээг эсэргүүцэж чадсангүй =)
Шийдэл: Зуурсан замаар явцгаая. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье, үүнээс "zet" нь ямар ч утгыг авч болно. Өмнө нь өчүүхэн тулгуур цэгүүдийг тэмдэглэж, хавтгай дээрх энгийн параболыг засаж, бүтээцгээе. Учир нь "Z" хүлээн зөвшөөрч байна Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан параболыг хязгааргүй хүртэл дээш доош тасралтгүй "хувилах" болно. Бид ижил параболыг өндөрт (хавтгайнд) байрлуулж, тэдгээрийг зэрэгцээ шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно. цилиндрийг бүрдүүлэх): 
Би танд сануулж байна ашигтай техник: Хэрэв та эхлээд зургийн чанарт эргэлзэж байгаа бол эхлээд харандаагаар зураасыг маш нимгэн зурах нь дээр. Дараа нь бид зургийн чанарыг үнэлж, гадаргуу нь бидний нүднээс нуугдаж буй хэсгийг олж мэдээд зөвхөн зүүг дарна.
Төсөөлөл.
1) Цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь парабол юм. Энэ тохиолдолд энэ талаар ярих боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хоёр хувьсагчийн функцийг тодорхойлох домэйн– цилиндрийн тэгшитгэлийг бууруулах боломжгүй шалтгаанаар функциональ хэлбэр.
2) Цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь тэнхлэгийг оруулаад хагас хавтгай байна.
3) Эцэст нь цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь бүхэл бүтэн хавтгай юм.
Жишээ 12
барих параболик цилиндрүүд:
a) ойрын хагас орон зайд гадаргуугийн хэлтэрхийгээр өөрийгөө хязгаарлах;
б) интервалд
Хэцүү тохиолдолд бид яарах хэрэггүй бөгөөд өмнөх жишээнүүдтэй харьцуулж, аз болоход технологийг сайтар боловсруулсан болно. Хэрэв гадаргуу нь бага зэрэг болхи болвол чухал биш - үндсэн дүр зургийг зөв харуулах нь чухал юм. Би өөрөө зураасны гоо үзэсгэлэнд санаа зовдоггүй, хэрэв би C үнэлгээтэй тэнцэх хэмжээний зураг авбал би үүнийг ихэвчлэн дахин хийдэггүй. Дашрамд хэлэхэд, дээжийн шийдэл нь зургийн чанарыг сайжруулах өөр техникийг ашигладаг ;-)
Гипербол цилиндр
ХөтөчИйм цилиндр нь гипербол юм. Энэ төрлийн гадаргуу нь миний ажигласнаар өмнөх төрлүүдээс хамаагүй бага байдаг тул би зөвхөн нэг схемийн зургаар өөрийгөө хязгаарлах болно. гипербол цилиндр :
Энд үндэслэл гаргах зарчим нь яг адилхан - ердийн зүйл сургуулийн гиперболхавтгайгаас дээш доош тасралтгүй "үрждэг" хязгааргүй.
Боломжит цилиндрүүд нь гэж нэрлэгддэг цилиндрт хамаарна 2-р зэрэглэлийн гадаргуу, одоо бид энэ бүлгийн бусад төлөөлөгчидтэй үргэлжлүүлэн танилцах болно.
Эллипсоид. Бөмбөрцөг ба бөмбөг
Каноник тэгшитгэлТэгш өнцөгт координатын систем дэх эллипсоид хэлбэртэй байна 
, Хаана - эерэг тоонууд (тэнхлэгийн босоо амэллипсоид), дотор нь ерөнхий тохиолдол өөр. Эллипсоид гэж нэрлэдэг гадаргуу, тийм бие, өгөгдсөн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Олон хүмүүсийн таамаглаж байгаагаар бие нь тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог 
аль нэгний координат дотоод цэг(түүнчлэн гадаргуугийн аль ч цэг) энэ тэгш бус байдлыг хангах ёстой. Загвар нь координатын тэнхлэгүүд болон координатын хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. 
"Элипсоид" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь тодорхой байна: хэрэв гадаргуу нь "таслагдсан" бол координатын хавтгайнууд, дараа нь хэсгүүд гурван өөр байх болно (ерөнхий тохиолдолд)
Тодорхойлолт 1. Цилиндр гадаргуу нь хоорондоо параллель шулуун шугамаар үүссэн гадаргуу бөгөөд түүний гэж нэрлэдэг бүрдүүлэх .
Хэрэв бүх үүсгэгч цилиндр гадаргууг огтолж буй аливаа хавтгай шугамын дагуу огтолно Р, дараа нь энэ мөрийг дуудна хөтөч Энэ цилиндр гадаргуу.
Теорем . Хэрэв декартын координатын систем ба хавтгай дээрх тэгшитгэлийг орон зайд оруулбал xOyнь зарим шугамын тэгшитгэл юм Р, тэгвэл орон зай дахь энэ тэгшитгэл нь цилиндр гадаргуугийн тэгшитгэл юм Лчиглүүлэх шугамтай Р, мөн генераторууд нь тэнхлэгтэй параллель байна Оз(Зураг 3.19, а).
Баталгаа. Цэг 
цилиндр гадаргуу дээр байрладаг Лхэрэв зөвхөн проекц байвал 
оноо Монгоц руу xOyтэнхлэгтэй параллель Озшугаман дээр хэвтэж байна Р, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл биелсэн тохиолдолд л 
.
Үүнтэй төстэй дүгнэлт нь хэлбэрийн тэгшитгэлд хамаарна 
(Зураг 3.19, b) ба 
(Зураг 3.19, в).
Тодорхойлолт 2 . Цилиндр гадаргуугийн чиглүүлэгч нь хоёр дахь эрэмбийн шугамууд гэж нэрлэгддэг хоёр дахь эрэмбийн цилиндр гадаргуу .
Хоёр дахь зэрэглэлийн гурван төрлийн цилиндр байдаг: зууван хэлбэртэй (Зураг 3.20)
, (5.42)
гипербол (Зураг 3.21)
, (5.43)
параболик (Зураг 3.22)
. (5.44)
Цагаан будаа. 3.20 Зураг. 3.21 Зураг. 3.22
Цилиндрийн хувьд, тэгшитгэлээр өгөгдсөн(5.42), (5.43) ба (5.44) чиглүүлэгч шугамууд нь эллипс юм.
,
гипербол
,
парабол
,
ба генераторууд нь тэнхлэгт параллель байна Оз.
Сэтгэгдэл. Бидний харж байгаагаар хоёр дахь эрэмбийн конус ба цилиндр гадаргуу нь шулуун шугаман генераторуудтай бөгөөд эдгээр гадаргуу бүр нь орон зайд шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсч болно.
Хоёрдахь эрэмбийн бүх гадаргуугийн дунд цилиндр ба конусаас гадна нэг хуудастай гиперболоид ба гиперболоид параболоид нь шулуун шугаман генераторуудтай байдаг бөгөөд цилиндр ба конусын хувьд эдгээр гадаргуу нь хоёулаа байж болно. огторгуйд шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүссэн байх (үзнэ үү. тусгай зохиол).
§4. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах
Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэлд
a) квадрат хэлбэр
Хаана 
;
б) шугаман хэлбэр
Хаана 
;
в) чөлөөт гишүүн 
.
(5.45) тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахын тулд юуны өмнө ийм координатын хувиргалтыг хийх шаардлагатай. 
, улмаар холбогдох ортонормаль суурь 
, энэ нь квадрат хэлбэрийг (5.46) каноник хэлбэрт хувиргадаг (2-р номын 8-р бүлэг, §3, 3.1-р хэсгийг үзнэ үү).
Энэ квадрат хэлбэрийн матриц нь байна
,
хаана, өөрөөр хэлбэл. матриц А- тэгш хэмтэй. -ээр тэмдэглэе 
хувийн үнэ цэнэ, дамжуулан 
матрицын хувийн векторуудаас бүрдэх ортонормаль суурь А.Болъё
–
баазаас шилжилтийн матриц 
суурь руу 
, А 
– үүнтэй холбоотой координатын шинэ систем.
Дараа нь координатыг хувиргахдаа
(5.48)
квадрат хэлбэр (5.46) нь каноник хэлбэрийг авдаг
Хаана 
.
Одоо координатын хувиргалтыг (5.48) шугаман хэлбэрт (5.47) хэрэглэснээр бид олж авна.
Хаана 
,
– шинэ хэлбэрийн коэффициентүүд (5.47).
Тиймээс (5.45) тэгшитгэл хэлбэрийг авна
+.
Энэ тэгшитгэлийг багасгаж болно каноник хэлбэртомъёоны дагуу координатын системийн зэрэгцээ шилжүүлгийг ашиглан
эсвэл 
(5.49)
Координатын системийн хувиргалтыг хийсний дараа зэрэгцээ шилжүүлэг
(5.49), ерөнхий тэгшитгэлДекартын координатын системтэй харьцуулахад хоёр дахь эрэмбийн гадаргуу (5.45). 
дараах арван долоон гадаргуугийн аль нэгийг илэрхийлнэ.
1) эллипсоид 
2) төсөөллийн эллипсоид 
3) нэг хуудас гиперболоид 
4) хоёр хуудас гиперболоид 
5) конус 
6) төсөөллийн конус 
7) эллипс параболоид
8) гиперболын параболоид
9) зууван цилиндр
10) төсөөллийн эллипс цилиндр
11) огтлолцсон хоёр төсөөлөлтэй хавтгай
12) гипербол цилиндр
13) огтлолцсон хоёр хавтгай
14) параболик цилиндр
15) хоёр зэрэгцээ хавтгай
16) хоёр төсөөлөлтэй зэрэгцээ хавтгай
17) хоёр давхцаж буй онгоц
Жишээ.Декартын тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад тодорхойлогдсон гадаргуугийн төрөл ба байршлыг тодорхойлно 
болон холбогдох ортонормаль суурь 
тэгшитгэл
Квадрат хэлбэрийг өгье
(5.51)
каноник хэлбэрт. Энэ хэлбэрийн матриц нь хэлбэртэй байна
.
Энэ матрицын хувийн утгыг шинж чанарын тэгшитгэлээс тодорхойлъё
Эндээс 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Одоо бид олдог хувийн векторуудматрицууд А: 1) зөвшөөрөх 
, дараа нь тэгшитгэлээс 
эсвэл координат хэлбэрээр
хаанаас олох 
- дурын тоо, тиймээс 
, А 
. Коллинеар векторуудын бүх багцаас 
вектор сонгох 
, хэний модуль 
, өөрөөр хэлбэл векторыг хэвийн болгох 
.
2) төлөө 
бидэнд байгаа
.
Эндээс 
, Хаана 
- дурын тоо. Дараа нь 
, А 
. Векторыг хэвийн болгох 
, нэгж векторыг ол 
:
,
Хаана 
.
3)
, дараа нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд 
вектор 
бидэнд систем бий
Хаанаас, хаанаас 
- дурын тоо, тиймээс 
, А 
. Векторыг хэвийн болгох 
, нэгж векторыг ол 
вектороор өгөгдсөн чиглэлийн хувьд 
:
Хаана 
.
Одоо ортонормаль үндэслэлээс шилжье 
ортонормаль суурьтай 
, матрицын хувийн векторуудаас тогтоно Ашинэ декартын тэгш өнцөгт координатын системийг сүүлчийн суурьтай холбоно 
. Ийм хувиргалт хийх шилжилтийн матриц нь хэлбэртэй байна
,
мөн координатуудыг томъёоны дагуу хөрвүүлнэ
(5.52)
Энэхүү координатын хувиргалтыг квадрат хэлбэрт (5.51) хэрэглэснээр бид үүнийг каноник хэлбэрт оруулав.
, Хаана 
.
Одоо шугаман томъёо ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдье
, Хаана 
,
хэрэв координатыг (5.52) томъёоны дагуу хувиргавал. Бидэнд байна
Тиймээс хэрэв координатын систем 
(5.52) томъёог ашиглан хувиргах, дараа нь харьцангуй шинэ системкоординатууд 
авч үзэж буй хоёрдугаар эрэмбийн гадаргууг тэгшитгэлээр өгөгдсөн
Томъёоны дагуу (5.53) томъёог координатын системийн зэрэгцээ шилжүүлгийг ашиглан каноник хэлбэрт оруулав.
үүний дараа координатын системтэй харьцуулахад гадаргуугийн тэгшитгэл 
хэлбэрийг авдаг
эсвэл 
Энэ тэгшитгэл нь чиглүүлэгч эллипс нь координатын хавтгайд байрладаг эллипс цилиндрийг илэрхийлдэг. 
, ба үүсгэгч шугамууд нь тэнхлэгтэй параллель байна 
Сэтгэгдэл. Энэ хэсэгт дурдсан хоёр дахь эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах схемийг мөн хоёрдугаар эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахад ашиглаж болно.
