Вьетагийн теоремтой урвуу теорем. Бүрэн квадрат тэгшитгэл

Франсуа Виет 1540 онд Францын Фонтеней-ле-Комт хотод төржээ. Хуульч мэргэжилтэй. Тэрээр хуульчийн ажилд ихээхэн оролцож байсан бөгөөд 1571-1584 онд тэрээр III Жорж, IV Жорж хаадын зөвлөхөөр ажиллаж байжээ. Гэхдээ бүх зүйл чинийх чөлөөт цаг, тэрээр бүх чөлөөт цагаа математик, одон орон судлалд зориулжээ. Тэрээр 1584 онд албан тушаалаасаа чөлөөлөгдсөний дараа математикийн чиглэлээр ялангуяа эрчимтэй ажиллаж эхэлсэн. хааны шүүх. Виет эртний болон орчин үеийн математикчдын бүтээлийг нарийвчлан судалжээ.

Франсуа Виет үндсэндээ шинэ алгебрийг бий болгосон. Тэрээр цагаан толгойн үсгийн бэлгэдлийг оруулав. Түүний гол санааг "Аналитик урлагийн танилцуулга" бүтээлд толилуулжээ. Тэрээр: "Бүх математикчид юутай ч зүйрлэшгүй эрдэнэс нь алгебр, алмукабалагийн дор нуугдаж байдгийг мэддэг байсан ч яаж олохоо мэдэхгүй байв: тэдний хамгийн хэцүү гэж үзсэн асуудлуудыг манай урлагийн тусламжтайгаар амархан шийддэг."

Үнэн хэрэгтээ, үүнийг шийдэх нь хичнээн амархан болохыг бид бүгд мэднэ, жишээ нь. квадрат тэгшитгэл. Тэдгээрийг шийдвэрлэхэд бэлэн томъёо байдаг. Ф.Вьетагаас өмнө квадрат тэгшитгэл бүрийн шийдлийг өөрийн дүрмийн дагуу маш урт аман аргумент, тайлбар хэлбэрээр, нэлээд чирэгдэлтэй үйлдлүүдийн хэлбэрээр гүйцэтгэдэг байв. Тэр ч байтугай тэгшитгэл нь өөрөө орчин үеийн хэлбэрбичиж чадсангүй. Энэ нь бас нэлээд урт бөгөөд төвөгтэй ажил шаарддаг аман тайлбар. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшихийн тулд олон жил зарцуулсан. Ерөнхий дүрмүүд, орчин үеийнхтэй төстэй, тэр ч байтугай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байхгүй байв. Тогтмол магадлалүсгээр заагаагүй. Бид зөвхөн тодорхой илэрхийллийг авч үзсэн тоон коэффициент.

Вьетнам алгебрт үсгийн тэмдгийг нэвтрүүлсэн. Виетийн шинэчлэлийн дараа дүрмийг томъёо хэлбэрээр бичих боломжтой болсон. Үнэн бол Вьетнам илтгэгчийг үгээр тэмдэглэсэн хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тодорхой бэрхшээл учруулсан. Вьетнамын үед дугаарын нийлүүлэлт хязгаарлагдмал хэвээр байв. Франсуа Вьет бүтээлдээ нэгээс дөрөв дэх зэрэгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолыг маш нарийн тодорхойлсон.

Вьетагийн томоохон гавьяа бол дурын бууруулсан хэлбэрийн тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг нээсэн явдал байв. байгалийн зэрэг. Бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн тухай Вьетагийн алдартай теоремыг сайн мэднэ: "Багасгасан хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр нь дараахаас авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. эсрэг тэмдэг, мөн энэ тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.” Энэ теорем нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зөв эсэхийг амаар шалгах, хамгийн энгийн тохиолдолд тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжийг олгодог.

Виет Европ дахь π тооны анхны аналитик (томъёо ашиглан) дүрслэлийг өгсөн болохыг анхаарна уу.

Виет 1603 онд 63 насандаа таалал төгсөв.

Вьетагийн теорем.

Үндэс нийлбэр квадрат гурвалжин x2 + px + q нь эсрэг тэмдэгтэй түүний хоёр дахь коэффициент p-тэй тэнцүү бөгөөд үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа.

x1 ба x2 нь квадрат гурвалсан х2 + px + q-ийн өөр үндэс байг. Виетийн теоремд дараах хамаарал биелнэ гэж заасан: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Үүнийг батлахын тулд квадрат гурвалжны илэрхийлэлд язгуур тус бүрийг орлъё. Бид хоёр зөв тоон тэгшитгэлийг авна: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Эдгээр тэгш байдлыг бие биенээсээ хасъя. Бид x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0-ийг авна

Квадратуудын зөрүүг өргөтгөж, хоёр дахь гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлье.

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Нөхцөлөөр x1 ба x2 язгуурууд ялгаатай тул x1 – x2 ≠ 0 байх ба тэгш байдлыг x1 – x2 гэж хувааж болно. Бид теоремын эхний тэгшитгэлийг олж авна: x1 + x2 = –p

Хоёрдахь зүйлийг батлахын тулд дээр бичсэн тэгш байдлын аль нэгэнд (жишээлбэл, эхний) p коэффициентийн оронд тэнцүү тоог – (x1 + x2) орлъё: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0.

Хувиргаж байна зүүн тал, бид олж авна: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлийн хувьд ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

теорем, теоремын эсрэгВьетнам.

Хэрэв x1+x2 = ба x1x2 = тэнцэл хангагдсан бол x1 ба x2 тоонууд ax2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно.

Баталгаа.

x1+x2 = ба x1x2 = тэгшитгэлээс x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 байна.

Харин x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) тэгэхээр x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Эндээс x1 ба x2 нь x2 + x + = 0 тэгшитгэлийн үндэс, тэгэхээр ax2 + bx + c = 0 тэгшитгэлүүд болно.

Виетийн теоремын хэрэглээ.

Виетийн теоремыг 8-р ангид квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олоход ашигладаг. Та энэ теоремыг ашиглах хүрээг өргөжүүлж болно, жишээлбэл, 9-11-р ангийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийн язгуурыг судлахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх. Энэ нь цаг хугацааг багасгаж, системийг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Хэрэв бид язгууруудын нийлбэр нь 5, үржвэр нь 6-тай тэнцүү квадрат тэгшитгэлийн x ба у язгуур гэж үзвэл бид хоёр системийн олонлогийг олж авна.

Хариулт: (2;3), (3;2).

Оюутнууд шийдвэрлэх энэ аргыг хурдан эзэмшиж, дуртайяа ашигладаг. Цаашилбал, та системийг хүндрүүлж, суралцахдаа энэ техникийг ашиглаж болно янз бүрийн сэдэв 10-11-р ангид.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

x > 0 y > 0 нөхцөлөөр бид авна

Зарим бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба байг энэ системхоёр системийн хослолтой тэнцэнэ

Популяцийн хоёр дахь систем нь шийдэлгүй байна.

Хариулт: (9;4).

Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох тэгшитгэлийн системийг доор харуулав.

Хариулт: (65;3),(5;63).

Хариулт: (23;11),(7;27).

Хариулт: (4;729),(81;4096).

Хариулт: (2; 2).

5. x + y =12 Хариулт: (8;4),(4;8).

Хариулт: (9;4),(4;9).

Үүнтэй төстэй тэгшитгэлийн системийг багш өөрөө эмхэтгэх эсвэл оюутнуудыг үүнд оролцуулж болох бөгөөд энэ нь тухайн сэдвийг сонирхоход хувь нэмэр оруулдаг.

Амаар шийдвэрлэх даалгавар.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэдгээрийн үндсийг ол.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Хариулт: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Хариу: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Хариулт: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Хариулт: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Хариу: 2;5.

6. 2х2 + 7х + 5 = 0 Хариулт: -2.5;-1.

Виетийн теоремыг ашигласан асуудлуудыг авч үзье.

9x²+18x-8=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x1³+x2³, x1,x2 язгуурыг ол.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Ялгаварлан гадуурхах тэгээс их, D>0 нь x1, x2 нь бодит язгуур гэсэн үг.

Виетийн теоремын дагуу: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) x1³+x2³ илэрхийллийг хувирга: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Үр дүнгийн томъёонд бидний мэддэг утгыг орлуулж хариултыг авцгаая.

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 тэгшитгэлийн k-ийн ямар утгатай байх вэ.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Виетийн теоремын дагуу: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1) бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж аваад x2-ын оронд 2x1-ийг орлуулсан.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Гарсан тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзье:

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, k-г олцгооё.

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Хариулт: k1=-1 ба k2=2.

x²+13x-17=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг. Үндэс нь 2-x1 ба 2-x2 тоо байх тэгшитгэл зохио.

x²+13x-17=0 тэгшитгэлийг авч үзье.

1) Дискриминант D>0, энэ нь x1 нь бодит язгуур гэсэн үг;

Вьетагийн теоремоор: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Энэ системд 2-х2 ба 2-х2 тоог орлуулна уу.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Иймд Виетийн теоремыг хэрэглэвэл хүссэн тэгшитгэл нь x²-17x+13=0 болно.

Хариулт: x²-17x+13=0.

ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x2>x1,x1>0,x2 бол b ба c-ийн тэмдгүүд ямар байх вэ?

x2 x1 тул b>0,c гэж гарна

Хариулт: b>0,с

6) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0,x2>0 бол b ба c-ийн тэмдгүүд ямар байх вэ.

Виетийн теоремоор: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0, and x2>x1 тул b 0 байна.

Даалгаврууд бие даасан шийдвэр.

1) 2x²-3x-11=0 тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр +-г ол, энд x1;x2 түүний үндэс.

2) x1;x2 нь x²-18x+11=0 гурвалсан гишүүний үндэс болох + илэрхийллийн утгыг ол.

3) x²-7x-46=0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x1;x2 байг.

Үндэс нь тоонуудын квадрат тэгшитгэлийг бич

2x1 +x2 ба 2x2 +x1.

Хариулт: 9х2-21х-481=0

4) k-ийн ямар бүхэл утга нь тэгшитгэлийн язгууруудын нэг байх болно

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 секундээс гурав дахин бага уу?

Хариулт: k=2.

5) ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн бол x1 0 бол b ба c ямар тэмдэгтэй байх вэ.

Вьетагийн теорем

Бүтээлч ажилоюутан 8-р анги

"Новокиевская дунд сургууль" хотын боловсролын байгууллага

Луканина Кирилл

Дарга: Крыжановская В.И.

I Танилцуулга. Түүхэн мэдээлэл.

II Үндсэн хэсэг

1. 
   Ф.Вьетагийн намтар түүхийн хуудаснууд
2. 
   Шинжлэх ухааны үйл ажиллагаа:

B) эсрэг теорем

1. 
   Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
2. 
   Практик ажил
3. 
   Зарим онцгой тохиолдлуудтэгшитгэлийг шийдвэрлэх

III Дүгнэлт. Шүлэг дэх Виетийн теорем

IV Ашигласан лавлагаа
Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.

Түүхэн суурь

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг Францын нэрт эрдэмтэн Франсуа Вьет анх тогтоожээ.

Франсуа Вьет хуульч мэргэжилтэй бөгөөд хааны зөвлөхөөр олон жил ажилласан. Хэдийгээр математик нь түүний хобби байсан ч шаргуу хөдөлмөрийн ачаар тэрээр маш их үр дүнд хүрсэн.

1951 онд тэрээр танилцуулсан үсгийн тэмдэглэгээтэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх коэффициентүүд, түүнчлэн түүний шинж чанаруудын хувьд.

Виета олон нээлт хийсэн, тэр өөрөө Виетийн теорем гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтооход хамгийн их ач холбогдол өгсөн.

Маягтын эхлэл

Маягтын төгсгөл

Энэхүү авъяаслаг, үр бүтээлтэй эрдэмтний бүтээлүүдийн зөвхөн нэг хэсэг нь Вьета амьд байх хугацаандаа хэвлэгджээ. Түүний гол зохиол: " Аналитик урлагийн танилцуулга"()) үүнийг цогц зохиолын эхлэл гэж үзсэн боловч үргэлжлүүлэх цаг байсангүй. Эрдэмтэн хүчирхийллийн улмаас нас барсан гэсэн зарим шинж тэмдэг байдаг.

Хүнд, нүсэр танилцуулга нь Вьетагийн бүтээлүүдийг шууд хэрэглэхэд маш хэцүү болгосон. Үүнээс болоод тэд бүрэн хэвлэгдээгүй байна. Илүү их эсвэл бага бүрэн хуралВиртын бүтээлүүдийг 1646 онд Лейден хотод Голландын математикч ван Скутен "Вьетагийн математикийн бүтээлүүд" нэрээр хэвлүүлжээ. Г.Г.Зейтен Виетийн бүтээлүүдийг уншихад зарим талаараа боловсронгуй хэлбэр нь түүний агуу мэдлэг нь хаа сайгүй гэрэлтдэг тул хэцүү байдаг гэж тэмдэглэв. их тоотүүний зохион бүтээсэн бөгөөд огт үндэслээгүй Грек нэр томъёо. Тиймээс түүний дараагийн математикийн хувьд маш чухал нөлөө харьцангуй удаан тархсан."

МАТЕМАТИКИЙН АМЖИЛТ
Тэрээр математикийн талаар маш их нийтлэл бичсэн хэцүү хэл, тиймээс тэд хуваарилалтыг олж аваагүй. Виетийн бүтээлүүдийг нас барсны дараа Лейден хотын математикийн профессор Ф.Шүүтен цуглуулсан. Виетийн бүтээлүүдэд алгебр болдог ерөнхий шинжлэх ухаанбэлгэдлийн тэмдэглэгээнд суурилсан алгебрийн тэгшитгэлийн тухай. Вьетнам нь зөвхөн үл мэдэгдэх зүйлсийг төдийгүй өгөгдсөн хэмжигдэхүүнүүдийг, өөрөөр хэлбэл харгалзах тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг үсгээр тэмдэглэсэн анхны хүн байв. Үүний ачаар тэгшитгэлийн шинж чанар, тэдгээрийн үндсийг анх удаа илэрхийлэх боломжтой болсон ерөнхий томъёо, мөн өөрсдөө алгебрийн илэрхийллүүдүйлдэл хийх боломжтой объектууд болж хувирав. Вьетнам 2, 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нэг төрлийн аргыг боловсруулжээ. шинэ аргашийдлүүд куб тэгшитгэл, өгсөн тригонометрийн шийдэл 3-р зэргийн тэгшитгэлийг бууруулж болохгүй тохиолдолд санал болгож буй янз бүрийн оновчтой өөрчлөлтүүдүндэс, тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоосон (Вьета томъёо). Тоон коэффициент бүхий тэгшитгэлийн ойролцоо шийдэлд Виет хожим И.Ньютоны боловсруулсан аргатай төстэй аргыг санал болгосон. Вьетагийн тригонометрийн амжилтууд - бүрэн шийдэлӨгөгдсөн гурван элементээс хавтгай эсвэл бөмбөрцөг гурвалжны бүх элементүүдийг тодорхойлох асуудлууд, cos x ба sinx зэрэгт sinph, cosпх-ийн чухал өргөтгөлүүд. Олон нумын синус ба косинусын томъёоны талаархи мэдлэг нь математикч А.Ромений санал болгосон 45-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг Вьетнамд олгосон; Виет энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь өнцгийг 45 тэнцүү хэсэгт хуваахад 23 байгааг харуулсан. эерэг үндэсэнэ тэгшитгэл. Виет захирагч, луужин ашиглан Аполлониусын асуудлыг шийдсэн.

Шинжлэх ухааны үйл ажиллагаа

Бүх математикчид тэдний алгебрын доор ... зүйрлэшгүй эрдэнэс нуугдаж байгааг мэддэг байсан ч тэдгээрийг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байв; Тэдний хамгийн хэцүү гэж үзсэн даалгавруудыг манай урлагийн тусламжтайгаар олон арван хүн амархан шийддэг тул хамгийн их зүйлийг төлөөлдөг. зөв замматематикийн судалгаанд зориулагдсан.

Виет бүхэлдээ илтгэлийг хоёр хэсэгт хуваадаг. ерөнхий хуулиудболон тэдгээрийн тодорхой тоон хэрэгжилт. Өөрөөр хэлбэл, тэр эхлээд асуудлыг шийддэг ерөнхий үзэл, тэгээд л тэргүүлдэг тоон жишээнүүд. Ерөнхий хэсэгт тэрээр зөвхөн өмнө нь тааралдсан үл мэдэгдэх зүйлсийг төдийгүй бусад бүх зүйлийг үсгээр тэмдэглэдэг. параметрүүд, үүний тулд тэрээр "гэж нэр томъёог бий болгосон. магадлал"(шууд утгаараа: сурталчлах). Виет үүний тулд зөвхөн том үсгүүдийг ашигласан - үл мэдэгдэх эгшиг, коэффициентийн хувьд гийгүүлэгч.

Виет нь янз бүрийн алгебрийн хувиргалтыг чөлөөтэй ашигладаг - жишээлбэл, хувьсагчийг өөрчлөх эсвэл илэрхийллийн тэмдгийг тэгшитгэлийн өөр хэсэгт шилжүүлэх үед өөрчлөх. Тухайн үеийн байдлыг харгалзан үзэх нь зүйтэй юм сэжигтэй хандлагаруу сөрөг тоонууд. Вьетнамын илтгэгчийг амаар бичсэн хэвээр байна.

Вьетнамын бусад амжилтууд:

• 
  алдартай " Вьетагийн томъёо» магадлалын хувьд олон гишүүнтяаж ажилладаг вэ үндэс;
• 
  шинэ тригонометрийн аргабууруулах боломжгүй шийдэл куб тэгшитгэл, мөн өнцгийн гурвалжинд хамаарна;
• 
  Хязгааргүй бүтээгдэхүүний анхны жишээ:

• 
  эхний дөрвөн зэрэглэлийн тэгшитгэлийн онолын бүрэн аналитик танилцуулга;
• 
  хэрэглээний санаа трансцендент функцуудшийдвэрт алгебрийн тэгшитгэл;
• 
  анхны аргатоон коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийн ойролцоо шийдэл.

Витагийн томъёо

Томъёо

(үндэс бүрийг түүний үржвэрт тохирсон тоог авна), дараа нь коэффициентийг хэлбэрээр илэрхийлнэ. тэгш хэмт олон гишүүнтүндэснээс, тухайлбал:

Өөрөөр хэлбэл (− 1) к а к-аас авах боломжтой бүх бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна күндэс.

Хэрэв олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициент нь бол Виетийн томъёог хэрэглэхийн тулд эхлээд бүх коэффициентийг хуваах шаардлагатай. а 0 (энэ нь олон гишүүнтийн язгуурын утгад нөлөөлөхгүй). Энэ тохиолдолд Виетийн томъёо нь бүх коэффициентийг хамгийн томд харьцуулсан илэрхийлэлийг өгдөг. Вьетагийн сүүлчийн томъёоноос үзэхэд хэрэв олон гишүүнтийн үндэс нь бүхэл тоо байвал тэдгээр нь түүний чөлөөт гишүүний хуваагч бөгөөд энэ нь мөн бүхэл тоо юм.

Баталгаа

Хаана баруун талолон гишүүнт юм хүчин зүйлчилсэн.

Баруун талын элементүүдийг үржүүлсний дараа коэффициентүүд тэнцүү градус xВьетагийн томъёог дагаж мөрддөг хоёр хэсэгт тэнцүү байх ёстой.

Жишээ

Квадрат тэгшитгэл

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + px + q= 0 нь коэффициенттэй тэнцүү байна х, эсрэг тэмдгээр авсан ба үндэсийн бүтээгдэхүүн нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна q:

IN ерөнхий тохиолдол(багасгаагүй квадрат тэгшитгэлийн хувьд сүх 2 + bx + в = 0):

8-р ангийн алгебрийн практик ажил.

Сэдэв: "Вьетагийн теорем"

Зорилтот:квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон түүний коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоох.

Судалгааны объект:квадрат тэгшитгэл ба түүний үндэс.

Тухайн ажлыг гүйцэтгэхэд шаардагдах мэдлэг, чадвар, ур чадвар:

(өөрөөр хэлбэл, суралцагчдад санал болгохоос өмнө юуг санаж, давтах хэрэгтэй вэ? энэ ажил):

• 
  бүрэн квадрат тэгшитгэлийн тухай ойлголт;
• 
  квадрат гурвалсан тоог ерөнхий хэлбэрээр бичих чадвар;
• 
  квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм (бүрэн ба багасгасан аль аль нь);
• 
  квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий томъёог бичих чадвар (бүрэн ба багасгасан).

Багасгасан квадрат тэгшитгэл.

1.1. Тэгшитгэлийг шийд:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Хүснэгтийг бөглөнө үү:

1.3. Тэгшитгэл бүрийн язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг коэффициентүүдтэй нь харьцуул.

1.4. Таамаглал:Дээрх квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүдийн хооронд ямар холбоо байгааг та анзаарсан бэ? Үүнийг тэмдэгт ашиглан бичнэ үү.

1.5. Таамаглалыг шалгах:дээрх квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бич (x 2 + px + q = 0).

1.6. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий томьёог бич.

(X 1 = ; X 2 =)

1.7. Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.

1.8. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг ол.

1.9. Дүгнэлт гаргах

Нэмэлт асуулт.

x 2 – 12x + 36 = 0 тэгшитгэлийг шийдэж дүгнэлтээ шалгана уу.

2. Бүрэн квадрат тэгшитгэл.

2.1. Тэгшитгэлийг шийд:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Хүснэгтийг бөглөнө үү:

2.4. Таамаглал:Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүдийн хооронд ямар холбоо байгааг та анзаарсан бэ? Үүнийг тэмдэгт ашиглан бичнэ үү.

2.5. Таамаглалыг шалгах:бүрэн квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичнэ үү

(сүх 2 + bx + c = 0).

2.6. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий томьёог бич.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.

2.8. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг ол.

2.9. Дүгнэлт гаргах: олж авсан үр дүнг хэлнэ үү. Үүнийг дэвтэртээ бичээрэй.

(Үр дүнгийн мэдэгдлийг Виетийн теорем гэж нэрлэдэг)

Нэмэлт асуулт.

-2х 2 + 8х + 3 = 0 гэсэн тэгшитгэлийг шийдэж дүгнэлтээ шалгана уу.

Нэмэлт даалгавар.

Дараах квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг ол.

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3х 2 – 4х – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6х 2 – 5х = 0.

2. Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс зөв олдсон эсэхийг шалгана уу.

Виетийн теоремтой урвуу теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

A) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; в) -3х 2 – 6х = 0; d) x 2 – 6 = 0.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай тохиолдлууд

сүх 2 + bx + c = 0

1. a+b+c =0 бол x 1 = 1, x 2 =

2. хэрэв a-b+c =0, (эсвэл a+c=b) бол x 1 = -1, x 2 = -

Жишээ нь: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Амаар шийдвэрлэх:

3х 2 – 2х – 1 = 0 3х 2 – 5х – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Эхлээд "хасах" гэж бичье,
Түүний хажууд ххагаст,
"Нэмэх хасах" радикал тэмдэг,
Бидэнд багаасаа л танил.

За, уг нь, найз минь,
Энэ бүхэн юу ч биш болно:
ххагас ба квадратаар
Үзэсгэлэнтийг хасах q.

• 
  "-аас Хүүхдийн монитор"(өөр сонголт):

Мөн үндэс дор энэ нь маш ашигтай байдаг
хагас хквадрат
хасах q- энд шийдлүүд байна,
өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн үндэс.

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.

Аль нь илүү дээр вэ, үүнийг тууштай хэл:

Та үндсийг үржүүлснээр фракц бэлэн болно.

Тоологч нь c, хуваагч нь а,

Мөн язгууруудын нийлбэр нь бас бутархай юм

Хэдийгээр хасахтай бутархай ч гэсэн, ямар асуудал байна

Тоолуур нь дотор, хуваагч нь a.
Ашигласан уран зохиол:

1. 
   Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг.

1. 
   Математик. Лавлах материал. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович. М."Гэгээрэл" 1986 он
2. 
   Сургуулийн математикийн түүх. Г.И

1. 
   Алгебр 8-р анги. С.А.Теляковский найруулсан

Хотын захиргаа боловсролын байгууллага

"Очкуровская дунд сургууль дунд сургууль»

Николаевский хотын дүүрэг Волгоград муж

Вьетагийн теорем

Гүйцэтгэсэн: Оноприенко Кристина,

8-р ангийн сурагч

MKOU "Очкуровская дунд сургууль"

Николаевский дүүрэг

Дарга: Э.А

-тай. Очкуровка

2015

Агуулгын хүснэгт

Оршил……………………………………………………………………………………………3

Үндсэн хэсэг

1. Түүхэн сурвалж ………………………………………………….4

2. Вьетагийн теоремын баталгаа……………………………………………………..6

3. Виетийн теоремыг ашиглан шийдсэн тэгшитгэлийн блокийн эмхэтгэл……………….8

4. Симуляторын бүтээн байгуулалт……………………………………………………10

Дүгнэлт

Төслийн практик ач холбогдол……………………………………... 12

Дүгнэлт……………………………………………………………………………….13

Мэдээллийн эх сурвалжийн жагсаалт………………………………………………14

Өргөдөл……………………………………………………………………..15

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.
Юу нь дээр вэ, надад хэлээч, тууштай байдал нь иймэрхүү:
Та үндсийг үржүүлсний дараа фракц бэлэн боллоо!
Тоолуур нь c, хуваагч нь а.
Мөн бутархайн язгуурын нийлбэр нь мөн тэнцүү байна.
Хасах бутархай ч гэсэн ямар асуудал вэ!
Тоолуур дотор б , хуваарьт a.

Танилцуулга

Төслийн сэдвийн хамаарал: Виетийн теоремыг ашиглах нь квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдвэрлэх өвөрмөц арга юм. Сурах бичигт Виетийн теоремоор шийдэж болох квадрат тэгшитгэл маш цөөхөн байдаг. Манай ангийнхан бид хоёр алдаа гаргадаг.

Объект судалгаа нь алгебрийн хичээлд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх салшгүй хэсэг болох Вьетагийн теорем юм.

Судалгааны сэдэв – Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг бэхжүүлэхийн тулд Виетийн теорем ба тэгшитгэлийн блок эмхэтгэх.

Таамаглал: Би симулятор ашиглан Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг зөв шийдэж сурахыг санал болгосон.

Төслийн зорилго : Виетийн теоремыг ашиглан шийдсэн тэгшитгэлийн симулятор бүтээ.

Даалгаварууд:

• вьетагийн теоремыг нээсэн түүхийг сурах;

  квадратын коэффициентуудын хамаарлын судалгааг хийх

тэгшитгэл ба үржвэр ба түүний язгуурын нийлбэр.

• вьетагийн теоремыг баталж сурах;

  Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох тэгшитгэлийг бие даан зохио

  цаасан дээр тэгшитгэлийн блок зурж, электрон хэлбэрээр симулятор үүсгэх

  ангийнхандаа Вьетагийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх симулятор санал болго

Арга зүй :

үр дүнгийн харьцуулалт бие даасан ажилтөслийн өмнө болон сургалтын дараа Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

судлах, дүн шинжилгээ хийх цахим эх сурвалжуудболон уран зохиол

тэгшитгэлийн блок, симулятор эмхэтгэх бие даасан ажил

1. Түүхэн мэдээлэл

Франсуа Виет 1540 онд Францын өмнөд хэсэгт орших Фантеней-ле-Комт хэмээх жижиг хотод төржээ.

Вьетийн аав прокурор байсан. Хүү нь эцгийнхээ мэргэжлийг сонгон хуульч болж, Пойтоу дахь их сургуулийг төгсчээ. 1560 онд хорин настай хуульч мэргэжлээрээ ажиллаж эхэлжээ төрөлх хот, гэхдээ гурван жилийн дараа тэрээр язгууртан Хугенот де Парфенейн гэр бүлд үйлчлэхээр явав. Тэрээр байшингийн эзний нарийн бичгийн дарга, арван хоёр настай охин Кэтринийнхээ багш болжээ. Энэ нь залуу хуульчийн математикийн сонирхлыг төрүүлсэн юм.

Оюутан өсч том болж, гэр бүлтэй болоход Вьетнам гэр бүлээсээ салаагүй бөгөөд түүнтэй хамт Парис руу нүүсэн бөгөөд Европ дахь тэргүүлэх математикчдын ололт амжилтын талаар суралцах нь түүнд илүү хялбар байв. Тэрээр Сорбонны нэрт профессор Рамустай харилцаж, Италийн хамгийн агуу математикч Рафаэль Бомбеллитай найрсаг захидал харилцаатай байв.

1571 онд Вьетнам руу шилжсэн төрийн үйлчилгээ, парламентын зөвлөх, дараа нь Францын хаан III Генригийн зөвлөх болсон.

1580 онд Генри IIIВьетнамыг засгийн газрын чухал албан тушаалд томилсон бөгөөд энэ нь түүнд тус улсад тушаалын хэрэгжилтэд хяналт тавих, томоохон феодалуудын тушаалыг түдгэлзүүлэх эрхийг олгосон юм.

1584 онд Гизесийн шаардлагын дагуу Виетаг албан тушаалаас нь чөлөөлж, Парисаас хөөжээ. Амар амгалан, тайвшралыг олж авсны дараа эрдэмтэн аливаа асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог цогц математик бүтээхийг зорилгоо болгосон.

Виет судалгааныхаа хөтөлбөрийг тодорхойлж, нийтлэг ойлголтоор нэгтгэгдсэн, бичсэн зохиолуудыг жагсаав математик хэл 1591 онд хэвлэгдсэн алдарт "Аналитик урлагийн оршил"-д шинэ үсэг алгебр. Виет өөрийн арга барилын үндэсийг төрөл зүйлийн логистик гэж нэрлэж, тоо, тоо хэмжээ, харилцааг тодорхой ялгаж, тэдгээрийг тодорхой "төрөл зүйл" болгон цуглуулсан. Энэ системд жишээлбэл, хувьсагч, тэдгээрийн үндэс, квадрат, шоо, дөрвөлжин дөрвөлжин гэх мэтийг багтаасан. Эдгээр төрлүүдийн хувьд Вьетнам тусгай бэлгэдэл өгч, тэдгээрийг тодорхойлжээ. том үсгээр Латин цагаан толгой. Үл мэдэгдэх тоонуудын хувьд эгшиг, хувьсагчийн хувьд гийгүүлэгч ашигласан.

Виет тэмдэгтүүдтэй ажиллах замаар ямар ч харгалзах хэмжигдэхүүнд хамаарах үр дүнг олж авах, өөрөөр хэлбэл асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж болохыг харуулсан. Энэ нь алгебрийн хөгжилд эрс өөрчлөлтийн эхлэлийг тавьсан: шууд утгаараа тооцоолол хийх боломжтой болсон.

Олон гишүүнтийн коэффициент ба түүний язгууруудын хоорондын холбоог тогтоосон алдартай теорем 1591 онд хэвлэгдсэн. Одоо энэ нь Виета нэртэй болсон бөгөөд зохиогч өөрөө үүнийг ингэж томъёолсон: "Хэрэв B + D үржвэрийг А, хасах А квадрат нь BD, A нь B, D нь тэнцүү."

Тэрээр "Геометрийн нэмэлтүүд" зохиолдоо тодорхой зүйлийг бий болгохыг эрэлхийлсэн геометрийн алгебр, гурав, дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд геометрийн аргыг ашиглан. Гурав, дөрөвдүгээр зэргийн аливаа тэгшитгэлийг шийдэж болно гэж Вьетнам үзэж байна геометрийн аргаөнцгийн гурвалсан хэсэг эсвэл хоёр дундаж пропорциональ байгуулах замаар.

Олон зууны турш математикчид одон орон судлал, архитектур, геодезийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй гурвалжинг шийдэх асуудлыг сонирхож ирсэн. Виет бол хамгийн түрүүнд тодорхой томъёолсон аман хэлбэркосинусын теорем хэдий ч эквивалентуудыг МЭӨ I зуунаас хойш хааяа хэрэглэж ирсэн. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн эсрэг талын аль нэг өнцгийг ашиглан гурвалжинг шийдэх тохиолдол өмнө нь хэцүү байдгаараа алдартай байсан бөгөөд Вьетнамаас бүрэн дүн шинжилгээ хийсэн. Виетад алгебрийн гүнзгий мэдлэг өгсөн асар их ашиг тус. Түүгээр ч зогсохгүй тригонометр, одон орон судлалд хэрэглэгдэж байсан нь түүний алгебрийг сонирхох болсон. Алгебрийн шинэ хэрэглээ бүр нь тригонометрийн шинэ судалгаанд түлхэц өгөөд зогсохгүй, олж авсан тригонометрийн үр дүн нь эх сурвалж болсон. чухал амжилтуудалгебр. Ялангуяа Виета нь олон нумын синус (эсвэл хөвч) болон косинусын илэрхийлэлийг гарган авах үүрэгтэй.

Францын зарим ордныхны дурсамжид Вьетнам гэрлэсэн, тэр үл хөдлөх хөрөнгийн цорын ганц өв залгамжлагч охинтой байсан бөгөөд үүний дараа Вьетнамыг Сейнёр де ла Бигаутье гэж нэрлэдэг байжээ. Шүүхийн мэдээнд Летулийн Маркиз: “... 1603 оны 2-р сарын 14 Ноён Вьетнам, рекетчин, эр агуу оюун ухаанболон үндэслэл, хамгийн нэг нь эрдэмтэд математикчидзуун нас барсан ... Парист. Тэр жаран настай байсан."

2. Вьетагийн теоремийн баталгаа

3. Тэгшитгэлийн блок, электрон симуляторын эмхэтгэл

X 2 + 17x - 38 = 0,

X 2 - 16x + 4 = 0,

3x 2 + 8x - 15 = 0,

7x 2 + 23x + 5 = 0,

X 2 + 2x - 3 = 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

X 2 - 7x + 10 = 0,

X 2 - 2x - 3= 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

2x 2 - 11x + 15 = 0,

3x 2 + 3x - 18 = 0,

2x 2 - 7x + 3 = 0,

X 2 + 17x - 18 = 0,

X 2 - 17x - 18 = 0,

X 2 - 11x + 18 = 0,

X 2 + 7x - 38 = 0,

X 2 - 9x + 18 = 0,

X 2 - 13x + 36 = 0,

X 2 - 15x + 36 = 0,

X 2 - 5х - 36 = 0.

X 2 + x – 2 = 0

X 2 + 2x – 3 =0

X 2 - 3x + 2 =0

X 2 - x – 2 = 0

X 2 - 2х – 3 =0

X 2 - 3x – 4 = 0

x 2 +17 x -18=0

x 2 + 23 x – 24=0

x 2 - 39x-40 =0

x 2 - 37x – 38=0

x 2 – 3x – 10 = 0

x 2 – 5x + 3 = 0

x 2 + 8 x – 11 = 0

x 2 + 6x + 5 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 + 5 x + 6 = 0

x 2 + 3 x – 10 = 0

x 2 – 8 x– 9 = 0

X 2 + x – 56 = 0

X 2 – 19x + 88 = 0

X 2 – 4х – 4 = 0

x 2 -15x+14=0

x 2 +8x+7=0

x 2 +9x+20=0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

5x 2 +10x – 3 = 0

3x 2 - 16x +9 = 0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

4х-21=0

4х-21=0

x 2 -15x+56=0

x 2 -4х-60=0

x 2 +5x+6=0

2х-3=0

x 2 +18x+81=0

X-20=0

x 2 +4х+21=0

x 2 -10х-24=0

x 2 + x-56=0

x 2 -x-56=0

x 2 +3x+2=0

x 2 +5х-6=0

x 2 -18x+81=0

x 2 -9х+20=0

x 2 -5 X +6=0

x 2 -4х-21=0

X 2 - 7x+6=0

x 2 -15x+56=0

X 2 – 3x + 2 = 0

X 2 – 4x + 3 = 0

X 2 – 2x + 4 = 0

X 2 – 2x + 5 = 0

X 2 – 2x + 6 = 0

X 2 – 11x + 24 = 0

X 2 + 11x – 30 = 0

X 2 + x – 12 = 0

x 2 – 6x + 8 = 0

X 2 – 15x + 14 = 0

x 2 – 15x + 14 = 0

x 2 + 4 x -21 =0

X 2 + x – 42 =0

X 2 – x – 20 =0

X 2 + 4 x -32=0

X 2 - 2х – 35 =0

X 2 + x - 20 =0

X 2 + 7 x + 10 =0

X 2 - x - 6=0

X 2 + 2 х+0 =0

X 2 + 6 х+0 =0

X 2 + 3x - 18=0

X 2 + 5 x -24=0

X 2 - 2 x - 24=0

X 2 – 15x + 14 = 0

X 2 + 8x + 7 =0

X 2 + 9х – 20=0

X 2 – 6x - 7 = 0

X 2





4. Төслийн практик ач холбогдол

8-р ангийн алгебрийн хичээл болон OGE-ийн эцсийн давталтанд хэрэглэх

Дүгнэлт:

Миний ажлын үр дүн бол Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болох квадрат тэгшитгэлийн блок юм.

Би ажилд автсан тул хамгийн хялбар арга бол квадрат тэгшитгэл үүсгэх явдал байв чөлөөт гишүүнүржүүлэх хүснэгт ашиглан олно. Одоо би Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг нарийн олоод зогсохгүй аливаа квадрат тэгшитгэлийн шийдийг шалгахдаа үүнийг ашигладаг.

Симулятор ашиглан ангийнхан бид хоёр Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэж сурсан.

Мэдээллийн эх сурвалжийн жагсаалт:

1. Лавлагаа

   1. Алгебр 8-р анги: сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова

      8-р ангийн алгебрийн дидактик материал. В.И.Жохов, Ю.Н.Миндюк. М.: Боловсрол, 2000 он.

      Математик.8-р анги: дидактик материал"Математик 8. Алгебр" сурах бичигт / ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Тодог, 2012\

      муж эцсийн баталгаажуулалт. 9-р анги. Математик. Сэдэвчилсэн тестийн даалгавар./L.D. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Шалгалтын хэвлэлийн газар, 2011 он

      Төлөвлөсөн үр дүн

      1. Мэдээллийн

      Мэдээллийн цуглуулга, түүний дүн шинжилгээ

      Уран зохиол судлал

      Төслийн онолын хэсгийн материал

      2. Зохион байгуулалтын

      Дүн шинжилгээ, ерөнхий дүгнэлт

      Тэгшитгэлийн блок боловсруулах

      Ажлын материал

      3. Технологийн үе шат

      Тэгшитгэлийн сонголт

      Симулятор үүсгэх

      Симулятор

      4. Төгсгөл

      Туршлагыг нэгтгэх

      Хийсэн ажлын талаархи дүгнэлт, төслийн зураг төсөл

      Төсөл. Цуглуулгын загвар. Мастер анги. Уралдаанд оролцох.

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

“64-р дунд сургууль”, Брянск

Хотын шинжлэх ухаан, практикийн бага хурал

"Шинжлэх ухаанд анхны алхам"

Шинжлэх ухааны судалгааны ажил

"Гурав, дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн Виегийн теорем"

Математик

Гүйцэтгэсэн: 11б ангийн сурагч

Шанов Илья Алексеевич

Эрдэм шинжилгээний удирдагч:

математикийн багш,

Физик, математикийн ухааны нэр дэвшигч шинжлэх ухаан

Быков Сергей Валентинович

Брянск 2012 он

Оршил…………………………………………………………………………………… 3

Зорилго, зорилтууд …………………………………………………… 4

Товчхон түүхэн суурь ………………………………………… 4

Квадрат тэгшитгэл………………………………………………. 5

Куб тэгшитгэл…………………………………………………………. 6

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл ……………………………………… 7

Практик хэсэг………………………………………………………. 9

Ашигласан материал………………………………………………… 12

Хавсралт……………………………………………………… 13

Танилцуулга

Алгебрын суурь теорем нь талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай, өөрөөр хэлбэл тухайн талбайн дээгүүр нарийн төвөгтэй коэффициенттэй (ерөнхийдөө) n зэрэгтэй яг n тэгшитгэл байдаг гэж заасан байдаг. нарийн төвөгтэй үндэс. Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг Корданогийн томъёогоор шийддэг. Феррари аргыг ашиглан дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл. Үүнээс гадна хэрэв тэгвэл тэгшитгэлийн язгуур юм нь мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Куб тэгшитгэлийн хувьд дараахь тохиолдлууд боломжтой.

бүх гурван үндэс нь бодит;

хоёр үндэс нь нарийн төвөгтэй, нэг нь бодит.

Үүнээс үзэхэд аливаа куб тэгшитгэл дор хаяж нэг бодит язгууртай байдаг.

Дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд:

Дөрвөн үндэс нь бүгд өөр өөр байдаг.

Хоёр үндэс нь жинхэнэ, хоёр нь төвөгтэй.

Бүх дөрвөн үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг.

Энэхүү ажил нь Вьетагийн теоремыг нарийвчлан судлахад зориулагдсан: түүний томъёолол, нотолгоо, мөн энэ теоремыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

Хийсэн ажил нь 11-р ангийн сурагчдад туслах зорилготой юм Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, түүнчлэн энгийн болон хайхрамжгүй ханддаггүй залуу математикчдад зориулсан үр дүнтэй аргууддахь шийдлүүд янз бүрийн бүс нутагматематик.

Энэхүү ажлын хавсралтад миний судалсан шинэ материалыг бие даан шийдвэрлэх, нэгтгэх асуудлын цуглуулгыг оруулсан болно.

Энэ асуудлыг үл тоомсорлож болохгүй, учир нь энэ нь математик, ерөнхийдөө шинжлэх ухаан, оюутнууд болон ийм асуудлыг шийдвэрлэх сонирхолтой хүмүүст чухал ач холбогдолтой юм.

Ажлын зорилго, зорилтууд:

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг ол.

Гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг батал.

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын аналогийг ол.

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Вьета теоремын аналогийг батал.

Эдгээр асуултыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаар бодож үзээрэй.

• Энэ теоремыг хэрэглэх нь практикт нийцэж байгаа эсэхийг шалгаарай.

Гүнзгийрүүлэх математикийн мэдлэгтэгшитгэл шийдвэрлэх талбарт.

Математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх.

Түүхийн товч мэдээлэл

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай ВЬЕТТИЙН ТЕОРЕМ...

ФРАНСУА ВЬЕТ (1540-1603) - Францын математикч. Хуульч мэргэжилтэй. 1591 онд тэрээр зөвхөн үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд төдийгүй тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн үсгийн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн; Үүний ачаар анх удаа тэгшитгэлийн шинж чанар, тэдгээрийн үндсийг ерөнхий томъёогоор илэрхийлэх боломжтой болсон. Тэрээр 2, 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нэг төрлийн аргыг бий болгох үүрэгтэй байв. Нээлтүүдийн дунд Виет өөрөө тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтооход онцгой ач холбогдол өгчээ. -тэй тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн хувьд тоон коэффициентВиет Ньютоны хожмын аргатай төстэй аргыг санал болгосон. Тригонометрийн чиглэлээр Франсуа Вьет гурван өгөгдлөөр хавтгай эсвэл бөмбөрцөг гурвалжны бүх элементүүдийг тодорхойлох асуудлыг бүрэн шийдэж, cos-ийн чухал өргөтгөлүүдийг олсон. nxмөн нүгэл nx cos-ийн эрх мэдэлд Xмөн нүгэл X.Тэрээр анх удаа хязгааргүй бүтээлүүдийг авч үзсэн. Вьетагийн бүтээлүүд хэцүү хэлээр бичигдсэн тул цаг хугацаанд нь зохих хэмжээнээсээ бага тархсан байв .

Квадрат тэгшитгэл

Эхлээд хөтөлбөрт сурсан 2-р зэргийн тэгшитгэлийн Вьетагийн томъёог санацгаая. сургуулийн курссургалт.

Т
Вьетагийн теоремквадрат тэгшитгэлийн хувьд (8-р анги)

Э
Хэрэв ба нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс бол

өөрөөр хэлбэл, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Мөн теоремыг санаарай, Вьетагийн теоремын урвуу:

Хэрэв тоонууд - хТэгээд qийм байна

тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс болно

Виетийн теорем нь бид гурвалсан квадратын язгуурыг мэдэхгүйгээр тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрийг, өөрөөр хэлбэл хамгийн энгийн тэгш хэмтэй илэрхийллийг хялбархан тооцоолж чаддагаараа гайхалтай юм.

Виетийн теорем нь дөрвөлжин гурвалсан язгуурыг бүхэлд нь таах боломжийг олгодог.

Куб тэгшитгэл

Одоо Виетийн теоремыг ашиглан куб тэгшитгэлийн томъёолол, шийдэлд шууд шилжье.

Томъёо

TO
Хаа сайгүй байдаг тэгшитгэл нь хэлбэрийн гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл юм

Хаана a ≠ 0.

Хэрэв a = 1, тэгвэл тэгшитгэлийг багасгасан куб тэгшитгэл гэж нэрлэдэг:

Тиймээс бид тэгшитгэлийн хувьд үүнийг батлах хэрэгтэй

дараах теорем үнэн байна.

n
үндэс ургадаг өгөгдсөн тэгшитгэл, Дараа нь

Баталгаа

Олон гишүүнтийг төсөөлье

хувиргалтыг хийцгээе:

Тиймээс, бид үүнийг ойлгодог

Хоёр олон гишүүнт нь харгалзах зэрэглэлийн коэффициентүүд нь тэнцүү байх тохиолдолд л тэнцүү байна.

Энэ нь гэсэн үг

Q.E.D.

Одоо теоремыг авч үзье, Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн Вьета теоремын урвуу.

Ф
томъёолол

Э
хэрэв тоонууд ийм байвал

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэл

Одоо 4-р зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремыг ашиглан 4-р зэргийн тэгшитгэлийг тогтоох, шийдвэрлэх ажилд шилжицгээе.

Томъёо

У
дөрөв дэх зэргийн тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл

Г
де a ≠ 0.

Э
хэрэв a = 1, тэгвэл тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг

БА
тэгэхээр тэгшитгэлийн хувьд үүнийг баталъя

-тай
Дараах теорем үнэн: өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг гаргая

Баталгаа

Олон гишүүнтийг төсөөлье

хувиргалтыг хийцгээе:

Тиймээс, бид үүнийг ойлгодог

Үүнийг бид мэднэ харгалзах зэрэглэл дэх коэффициентүүд нь тэнцүү байх тохиолдолд хоёр олон гишүүнт тэнцүү байна.

Энэ нь гэсэн үг

Q.E.D.

Теоремыг авч үзье, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн хувьд Вьета теоремын урвуу.

Томъёо

Хэрэв ийм тоо байвал

тэгвэл эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно

Практик хэсэг

Одоо гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд зориулсан Виетийн теоремуудыг ашиглан асуудлын шийдлүүдийг авч үзье.

Даалгавар №1

Хариулт: 4, -4.

Даалгавар №2

Хариулт: 16, 24.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид Карданогийн томьёо болон Ферраригийн аргыг тус тус ашиглаж болох боловч Виетийн теоремыг ашигласнаар бид эдгээр тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг мэддэг.

Даалгавар №3

Үндэсний нийлбэр нь 6, язгуурын хосолсон үржвэр нь 3, үржвэр нь -4 гэдгийг мэдэж байвал гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл үүсгэ.

Тэгшитгэл хийцгээе, бид олж авна

Даалгавар No4

Үндэсний нийлбэр нь тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа бол гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл бич 8 , үндэсийн хос үржвэр тэнцүү байна 4 , гурав дахин бүтээгдэхүүн тэнцүү байна 12 , болон бүтээгдэхүүн 20 .

Шийдэл: Виетийн томъёог ашиглан бид олж авна

Тэгшитгэл хийцгээе, бид олж авна

Виетийн теоремыг ашиглан бид язгуурыг ашиглан тэгшитгэлийг хялбархан зохиосон. Энэ бол хамгийн их оновчтой аргаэдгээр асуудлыг шийдвэрлэх.

Асуудал №5

Үүнд: a, b, c нь Хероны томъёо юм.

Хаалтуудыг нээж, илэрхийллийг хувиргацгаая, бид олж авна

З
радикал илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу куб илэрхийлэл. Харгалзах куб тэгшитгэлд Виетийн теоремыг ашиглая

З

Бид дараахь зүйлийг авах болно.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад Виетийн теорем нь дараахь асуудлуудад хэрэглэгдэх боломжтой юм өөр өөр газар нутагматематик.

Дүгнэлт

Энэхүү нийтлэлд Виетийн теоремыг ашиглан гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг судалсан болно. Ажлын явцад олж авсан томъёог ашиглахад хялбар байдаг. Судалгааны явцад зарим тохиолдолд энэ арга нь гурав, дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд Кордано томъёо, Ферраригийн аргаас илүү үр дүнтэй байдаг нь тодорхой болсон.

Виетийн теоремыг практикт ашигласан. Шинэ материалыг илүү сайн нэгтгэхэд тусалсан хэд хэдэн асуудлыг шийдсэн.

Энэ судалгаа надад маш сонирхолтой, сургамжтай байсан. Математикийн чиглэлээр мэдлэгээ гүнзгийрүүлснээр би маш олон сонирхолтой зүйлийг олж мэдсэн бөгөөд энэ судалгаанд дуртай байсан.

Гэхдээ тэгшитгэл шийдвэрлэх чиглэлээр хийсэн судалгаа маань дуусаагүй байна. Цаашид n-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдлийг Виетийн теоремоор судлахаар төлөвлөж байна.

Би өөртөө гүнээ талархаж байгаагаа илэрхийлмээр байна шинжлэх ухааны удирдагч, физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, ийм боломж ер бусын судалгаамөн ажилдаа байнга анхаарал хандуулдаг.

Лавлагаа

Виноградов I.M. Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. М., 1977.

В.Б.Лидский, Л.В.Овсянников, А.Н.Тулайков, М.И.Шабунин. Даалгаврууд анхан шатны математик, Физматлит, 1980.