Хязгаарын тодорхойлолтыг бичнэ үү. Дарааллын эцсийн хязгаарыг тодорхойлох

Фурье цувралын бичлэгийн хэлбэрүүд. Дохио дуудаж байна үе үе,хэрэв түүний хэлбэр цаг хугацааны хувьд мөчлөг давтагдах бол Үе үе дохио u(t)В ерөнхий үзэлингэж бичсэн байна:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Энд дохионы T үе байна. Тогтмол дохио нь энгийн эсвэл төвөгтэй байж болно.

Учир нь математик дүрслэлүетэй үечилсэн дохио ТОлон давтамжийн гармоник (синус ба косинус) хэлбэлзлийг үндсэн функц болгон сонгосон цуврал (2.2) ихэвчлэн ашиглагддаг.

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; ..., (2.3)

Энд w 1 =2p/T нь дарааллын гол өнцгийн давтамж юм

функцууд. (2.2) цувралаас гармоник суурь функцүүдийн хувьд бид Фурье цувралыг (Жан Фурье - Францын математикчба 19-р зууны физикч).

Фурье цувралын (2.3) хэлбэрийн гармоник функцууд нь дараах давуу талуудтай: 1) энгийн математик тайлбар; 2) өөрчлөгдөөгүй байдал шугаман хувиргалт, өөрөөр хэлбэл шугаман хэлхээний оролтод гармоник хэлбэлзэл байгаа бол түүний гаралт дээр зөвхөн далайц ба эхний фазын оролтоос ялгаатай гармоник хэлбэлзэл байх болно; 3) дохионы нэгэн адил гармоник функцууд нь үе үе бөгөөд хязгааргүй үргэлжлэх хугацаатай байдаг; 4) гармоник функцийг бий болгох техник нь маш энгийн.

Тогтмол дохиог цуврал болгон өргөжүүлэх нь математикийн хичээлээс мэдэгдэж байна гармоник функцууд(2.3) Дирихлегийн нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Гэхдээ бүх бодит үечилсэн дохио нь эдгээр нөхцлийг хангадаг бөгөөд тэдгээрийг Фурье цуврал хэлбэрээр дүрсэлж болох бөгөөд үүнийг аль нэгээр нь бичиж болно. дараах хэлбэрүүд:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

коэффициентүүд хаана байна

A 0 =

mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

mn = (2.7)

эсвэл дотор нарийн төвөгтэй хэлбэр

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

(2.4) - (2.9) -ээс дараах байдлаар гарч ирнэ ерөнхий тохиолдолүечилсэн дохио u(t) нь тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг А 0 /2 ба олонлогийг агуулна гармоник чичиргээүндсэн давтамж w 1 =2pf 1 ба түүний давтамжтай гармоникууд w n =nw 1, n=2,3,4,... Гармоник бүр

Фурье цувааны хэлбэлзэл нь далайц ба эхний үе шатаар тодорхойлогддог y n .nn

Тогтмол дохионы спектрийн диаграм ба спектр. Хэрэв ямар нэгэн дохиог өөр өөр давтамжтай гармоник хэлбэлзлийн нийлбэр хэлбэрээр үзүүлбэл, энэ нь: спектрийн задралдохио.

Спектрийн диаграмдохиог ихэвчлэн энэ дохионы Фурье цувралын коэффициентүүдийн график дүрслэл гэж нэрлэдэг. далайц ба байдаг фазын диаграммууд. Зураг дээр. 2.6 тодорхой хэмжээгээр хэвтээ тэнхлэггармоник давтамжийн утгуудыг босоо тэнхлэгийн дагуу зурсан - тэдгээрийн далайц A mn ба y n үе шатууд. Түүнээс гадна гармоник далайц нь зөвхөн эерэг утгыг авч болно, фазууд нь -p£y n £p интервалд эерэг ба сөрөг утгыг авч болно.

Дохионы спектрбүхий гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багц юм тодорхой утгууддохиог бүрдүүлдэг давтамж, далайц, эхний үе шатууд. Техникийн хэрэглээнд практикт спектрийн диаграммыг илүү товчоор нэрлэдэг. далайцын спектр, фазын спектр. Ихэнхдээ хүмүүс далайцын спектрийн диаграммыг сонирхдог. Үүнийг спектр дэх гармоникийн хувийг тооцоолоход ашиглаж болно.

Жишээ 2.3. Тэгш өнцөгт видео импульсийн үечилсэн дарааллыг Фурье цуврал болгон өргөжүүл -таймэдэгдэж байгаа параметрүүд (U m, T, t z),тэр ч байтугай "t=0 цэгтэй харьцуулахад. U m =2B, T=20ms, S=T/t ба =2 ба 8-д далайц ба фазын спектрийн диаграммыг байгуул.

Нэг хугацааны интервал дээр өгөгдсөн тогтмол дохиог гэж бичиж болно

u(t) =

Энэ дохиог илэрхийлэхийн тулд бид Фурье цувралын хэлбэрийг ашиглана Вхэлбэр (2.4). Дохио жигд байгаа тул өргөтгөлд зөвхөн косинусын бүрэлдэхүүн хэсгүүд үлдэнэ.

Цагаан будаа. 2.6. Тогтмол дохионы спектрийн диаграммууд:

a - далайц; б- үе шат

-ийн интеграл сондгой функцтэгтэй тэнцүү хугацаанд. (2.5) томъёог ашиглан бид коэффициентүүдийг олно

Фурье цувралыг бичих боломжийг бидэнд олгодог:

Тодорхой тоон өгөгдлийн спектрийн диаграммыг байгуулахын тулд бид i=0, 1, 2, 3, ... гэж тохируулж, гармоник коэффициентийг тооцоолно. Спектрийн эхний найман бүрэлдэхүүн хэсгийг тооцоолох үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав. 2.1. Цуврал (2.4) A" mn =0ба (2.7) A mn =|A' mn |-ийн дагуу үндсэн давтамж f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 рад/с. . Зураг дээрх далайцын спектр.

Эдгээрт зориулж 2.7-г бүтээсэн n,аль нь Мөн mnхамгийн их утгын 5% -иас дээш.

Өгөгдсөн жишээ 2.3-аас үзэхэд ажлын мөчлөг нэмэгдэхийн хэрээр спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж, тэдгээрийн далайц багасдаг. Ийм дохио нь баялаг спектртэй гэж ярьдаг. Практикт хэрэглэгддэг олон дохионы хувьд өмнө нь өгөгдсөн томъёог ашиглан гармоникийн далайц ба үе шатыг тооцоолох шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хүснэгт 2.1. Тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дарааллын Фурье цувралын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц

Цагаан будаа. 2.7. Тогтмол импульсийн дарааллын спектрийн диаграммууд: А- S-2 ажлын мөчлөгтэй; - b-ажлын мөчлөгтэй S=8

Математикийн лавлах номуудад Фурье цуврал дахь дохионы өргөтгөлийн хүснэгтүүд байдаг. Эдгээр хүснэгтүүдийн нэгийг хавсралтад өгсөн болно (Хүснэгт А.2).

Асуулт ихэвчлэн гарч ирдэг: Фурье цуврал дахь бодит дохиог илэрхийлэхийн тулд хэдэн спектрийн бүрэлдэхүүн хэсэг (гармоник) авах ёстой вэ? Эцсийн эцэст, цуврал нь хатуухан хэлэхэд төгсгөлгүй юм. Энд тодорхой хариулт өгөх боломжгүй. Энэ бүхэн дохионы хэлбэр, Фурье цувралаар дүрслэх нарийвчлалаас хамаарна. Илүү зөөлөн дохионы өөрчлөлт - бага гармоник шаардлагатай. Хэрэв дохио нь үсрэлт (тасралт) байвал нийлбэр хийх шаардлагатай илүү их тооижил алдаа гаргахын тулд гармоник. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд, жишээлбэл телеграфын хувьд эгц фронттой тэгш өнцөгт импульс дамжуулахад гурван гармоник хангалттай гэж үздэг.

Хаана, - үндсэн гармоникийн давтамж, ;

() - илүү өндөр гармоник;

(үүнд) ба Фурьегийн коэффициентүүд юм.

, Дараа нь Мэдээжийн хэрэг, хэрэв дохио байвалжигд функц цаг, дараа ньтригонометрийн тэмдэглэгээ

Фурье цувралын (1.14) коэффициентүүд алга болох тул зөвхөн косинусын бүрэлдэхүүн хэсгүүд үлдэнэ. Цаг хугацааны сондгой функцээр тодорхойлогддог дохионы хувьд эсрэгээр коэффициентүүд нь тэг болж, цуврал нь синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулдаг.

(1.15) илэрхийллийг Фурье цувралын өөр ижил хэлбэрээр илэрхийлэх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. - хаана, далайц,эхний үе шат

- өө гармоник.

Зураг дээр. Зураг 1.10-д тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дарааллыг Фурье цувралын хязгаарлагдмал тооны гишүүн ()-аар дүрсэлсэн графикуудыг үзүүлэв.

Тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дараалал нь тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг болон давтамжтай синусоид дохиог нэмсний үр дүнд дүрслэгддэг бөгөөд давтамжтай синусоидын үе нь импульсийн дарааллын үетэй давхцдаг. Тохиромжтой болгохын тулд үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Функцийн Фурье цувралын өргөтгөлийн бүх гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багцыг функцийн спектр гэж нэрлэдэг.

Спектрийн бие даасан гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүд байгаа эсэх, далайцын хэмжээг спектрийн диаграмм (Зураг 1.11) ашиглан тодорхой харуулж болно, үүнд хэвтээ тэнхлэг нь давтамжийн тэнхлэг, босоо тэнхлэг нь далайцын тэнхлэг болдог.

Давтамжийн тэнхлэг дээрх цэгүүд нь функцийн өргөтгөлийн тохирох гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайцыг харуулдаг.

Өргөтгөх эхний хоёр гишүүний нийлбэрийн график (1.16) нь функцийн графикийн хэлбэрийг зөвхөн үндсэн шинж чанараараа маш бүдүүлэг байдлаар гаргаж байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Гурав дахь нэр томъёог харгалзан үзэх нь нийлбэрийн функцтэй тохирч байгааг эрс сайжруулдаг. Тиймээс харгалзан үзсэн гармоникуудын тоо нэмэгдэх тусам дүрслэлийн нарийвчлал нэмэгддэг.

Практикт спектрийн диаграммыг илүү товч гэж нэрлэдэг - далайцын спектр, фазын спектр. Ихэнхдээ хүмүүс далайцын спектрийг сонирхдог (Зураг 1.11). Үүнийг гармоникийн хувь хэмжээ, спектрийн бие даасан гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн оршихуй, түвшинг тооцоолоход ашиглаж болно.

Жишээ 1.1. Мэдэгдэж буй параметрүүд (, , ) (Зураг 1.12) бүхий тэгш өнцөгт видео импульсийн үечилсэн дарааллыг цэгтэй харьцуулахад Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

.

Энэ дохиог илэрхийлэхийн тулд бид Фурье цувралын хэлбэрийг (1.12) хэлбэрээр ашиглана. Тэгш өнцөгт импульсийн дарааллын спектрийн дүрслэлийн хувьд импульсийн дунд байрлах лавлах цэгийг авахыг зөвлөж байна. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд зөвхөн косинусын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь өргөтгөлд үлдэх болно, учир нь тухайн хугацааны сондгой функцүүдийн интеграл нь тэг bk=0-тэй тэнцүү байна.

(1.14) томъёог ашиглан бид коэффициентүүдийг олно.

, ,

Фурье цувралыг бичих боломжийг бидэнд олгодог:

,

импульсийн дарааллын үүргийн мөчлөг хаана байна.

Тодорхой тоон өгөгдлийн спектрийн диаграммыг бүтээхийн тулд бид гармоник коэффициентийг тооцож, тооцоолно. Спектрийн эхний найман бүрэлдэхүүнийг , , болон 8-д тооцсон үр дүнг Хүснэгтэнд нэгтгэн үзүүлэв. 1.1 ба 1.13-р зурагт хийсэн спектрийн диаграммуудыг үзүүлэв.

Хүснэгт 1.1. Тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дарааллын спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц

Дээрх жишээнээс үзэхэд ажлын мөчлөг нэмэгдэхийн хэрээр спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж, тэдгээрийн далайц багасдаг.

Спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог сонгохдоо дохионы хэлбэр, Фурье цувралаар дүрслэх нарийвчлалаас хамаарна. Дохионы хэлбэрийг жигд өөрчлөх шаардлагатай болно бага тооалхам дохионыхтой адил дүрслэлийн нарийвчлалтай гармоник. Тэгш өнцөгт импульсийн ойролцоо дүрслэлийн хувьд практикт гурваас таван гармоник хангалттай гэж үздэг.

Өнөөдөр хичээл дээр бид үзэх болно хатуу дараалалТэгээд функцийн хязгаарын хатуу тодорхойлолт, мөн онолын шинж чанартай холбогдох асуудлыг шийдэж сурна. Энэхүү нийтлэл нь онолын чиглэлээр суралцаж эхэлсэн байгалийн ухаан, инженерийн мэргэжлээр 1-р курсын оюутнуудад зориулагдсан болно. математик шинжилгээ, мөн энэ хэсгийг ойлгоход бэрхшээлтэй тулгарсан дээд математик. Нэмж дурдахад энэ материал нь ахлах сургуулийн сурагчдад нэлээд хүртээмжтэй байдаг.

Сайт бий болсон олон жилийн хугацаанд би "Би математикийн анализыг сайн ойлгохгүй байна, би яах ёстой вэ?", "Би математикийг огт ойлгохгүй байна, би Хичээлээ орхих талаар бодож байна" гэх мэт. Үнэхээр матан нь ихэвчлэн сийрэгждэг оюутны бүлэгэхний хуралдааны дараа. Яагаад ийм зүйл болсон бэ? Яагаад гэвэл сэдэв нь төсөөлшгүй төвөгтэй юм уу? Огт үгүй! Математик анализын онол нь өвөрмөц тул тийм ч хэцүү биш юм. Тэгээд түүнийг байгаагаар нь хүлээн зөвшөөрч хайрлах хэрэгтэй =)

Хамгийн хэцүү тохиолдлоос эхэлье. Эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол та хичээлээ орхих шаардлагагүй юм. Зөв ойлгоорой, больчих, дандаа цагаа олсон байх;-) Мэдээж сонгосон мэргэжлээрээ нэг юмуу хоёр жилийн дараа өвдөж байгаа бол тиймээ, энэ талаар бодох хэрэгтэй. (мөн бүү уурлаарай!)үйл ажиллагааны өөрчлөлтийн тухай. Гэхдээ одоохондоо үүнийг үргэлжлүүлэх нь зүйтэй юм. "Би юу ч ойлгохгүй байна" гэсэн хэллэгийг мартаарай - та юу ч ойлгохгүй байх тохиолдол гардаггүй.

Хэрэв онол муу бол яах вэ? Дашрамд хэлэхэд энэ нь зөвхөн математикийн шинжилгээнд хамаарахгүй. Хэрэв онол муу бол эхлээд практик дээр НОЦТОЙ анхаарах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр асуудлыг нэг дор шийддэг стратегийн зорилтууд:

-Нэгдүгээрт, багагүй хувь онолын мэдлэгдадлага хийснээр бий болсон. Тийм ч учраас олон хүмүүс онолыг ойлгодог ... - энэ нь зөв! Үгүй ээ, чи энэ талаар бодохгүй байна =)

– Хоёрдугаарт, практик ур чадвар өндөр магадлалтайТэд чамайг шалгалтанд "татах" болно, тэр ч байтугай..., гэхдээ тэгж бүү догдлуулцгаая! Бүх зүйл бодит бөгөөд бүх зүйлийг хангалттай "босгож" чадна богино хугацаа. Математик анализ бол миний дээд математикийн хамгийн дуртай хэсэг тул би танд туслахаас өөр аргагүй юм.

1-р семестрийн эхэнд дарааллын хязгаар болон функцийн хязгаарыг ихэвчлэн хамруулдаг. Эдгээр нь юу болохыг ойлгохгүй байгаа бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна уу? Нийтлэлээс эхэлье Функцийн хязгаарлалт, үүнд үзэл баримтлалыг "хуруугаар" судалж, хамгийн энгийн жишээнүүдийг шинжилдэг. Дараа нь тухайн сэдвийн бусад хичээлүүд, тухайлбал тухай хичээл дээр ажиллана дараалал дотор, Би үнэндээ аль хэдийн хатуу тодорхойлолтыг томъёолсон байна.

Та тэгш бус байдлын тэмдэг, модулиас гадна ямар тэмдгийг мэддэг вэ?

– урт босоо саваа дараах байдалтай байна. "ийм", "тийм", "тийм" эсвэл "тийм", бидний тохиолдолд бид тодорхой тооны тухай ярьж байна - тиймээс "ийм";

–-аас их “en” бүхний хувьд;

– модулийн тэмдэг нь зай гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл Энэ оруулга нь утгуудын хоорондох зай нь эпсилоноос бага байгааг харуулж байна.

За, үхэлд хүргэх хэцүү юу? =)

Бясалгалыг эзэмшсэний дараа дараагийн догол мөрөнд тантай уулзахыг тэсэн ядан хүлээж байна.

Үнэн хэрэгтээ, бага зэрэг бодъё - дарааллын хатуу тодорхойлолтыг хэрхэн томъёолох вэ? ...Дэлхий дээр хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл практик хичээл: "дарааллын хязгаар нь дарааллын гишүүдийн хязгааргүй ойртох тоо юм."

За, үүнийг бичье дэд дараалал :

Үүнийг ойлгоход хэцүү биш юм дэд дараалал -1 тоо, тэгш тоотой гишүүний тоонд хязгааргүй ойр ойртох - "нэг" рүү.

Эсвэл хоёр хязгаарлалт байгаа болов уу? Гэхдээ яагаад ямар ч дараалалд арав, хорин байж болохгүй гэж? Та энэ замаар хол явж болно. Үүнтэй холбогдуулан ийм гэж үзэх нь логик юм хэрэв дараалал нь хязгаартай бол энэ нь цорын ганц юм.

Анхаарна уу : дараалалд хязгаарлалт байхгүй, гэхдээ үүнээс хоёр дэд дарааллыг ялгаж болно (дээрхийг харна уу), тус бүр өөрийн гэсэн хязгаартай.

Тиймээс дээрх тодорхойлолт нь үндэслэлгүй болж хувирав. Тиймээ, энэ нь иймэрхүү тохиолдлуудад ажилладаг (би практик жишээнүүдийн хялбаршуулсан тайлбарт тийм ч зөв ашиглаагүй), гэхдээ одоо бид хатуу тодорхойлолтыг олох хэрэгтэй.

Хоёр дахь оролдлого: "дарааллын хязгаар гэдэг нь дарааллынхаас бусад бүх гишүүдийн ойртох тоо юм. эцсийнтоо хэмжээ." Энэ нь үнэнд илүү ойр, гэхдээ бүрэн үнэн зөв биш хэвээр байна. Жишээлбэл, дараалал Нэр томъёоны тал нь тэг рүү огт ойртдоггүй - тэд зүгээр л тэнцүү байна =) Дашрамд хэлэхэд "анивчдаг гэрэл" нь ерөнхийдөө хоёр тогтмол утгыг авдаг.

Томьёоллыг тодруулахад хэцүү биш боловч дараа нь өөр асуулт гарч ирнэ: тодорхойлолтыг хэрхэн бичих вэ математикийн тэмдэг? Шинжлэх ухааны ертөнцБи нөхцөл байдлыг шийдэх хүртлээ энэ асуудалтай удаан хугацаанд тэмцсэн алдартай маэстро, энэ нь үндсэндээ сонгодог математикийн шинжилгээг бүх нарийн ширийн байдлаар албан ёсны болгосон. Коши мэс засал хийхийг санал болгов хүрээлэн буй орчин , энэ нь онолыг ихээхэн ахиулсан.

Зарим нэг цэгийг анхаарч үзээрэй дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин:

"Эпсилон" -ын үнэ цэнэ үргэлж эерэг байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид өөрсдөө сонгох эрхтэй. Энэ хороололд олон гишүүн бий гэж бодъё (заавал бүгд биш)зарим дараалал. Жишээлбэл, арав дахь гишүүн нь хөрш зэргэлдээ байдаг гэдгийг яаж бичих вэ? Энэ нь баруун талд нь байг. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай нь "epsilon" -аас бага байх ёстой: . Гэсэн хэдий ч хэрэв "х аравны нэг" нь "a" цэгийн зүүн талд байрласан бол ялгаа нь сөрөг байх тул түүнд тэмдэг нэмэх шаардлагатай. модуль: .

Тодорхойлолт: хэрэв тоог дарааллын хязгаар гэнэ ямар ч хувьдтүүний эргэн тойрон (урьдчилан сонгосон)ИЙМ натурал тоо байдаг БҮГДИлүү өндөр тоо бүхий дарааллын гишүүд хөрш дотор байх болно:

Эсвэл товчхондоо: хэрэв

Өөрөөр хэлбэл, “эпсилон”-ын үнэ цэнийг хэчнээн бага авсан ч эрт орой хэзээ нэгэн цагт дэс дарааллын “хязгааргүй сүүл” БҮРЭН энэ хөршид байх болно.

Жишээлбэл, дарааллын "хязгааргүй сүүл" цэгийн дурын жижиг хороололд БҮРЭН орох болно. Тэгэхээр энэ утга нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Хэний хязгаар нь дараалал гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү, дуудсан хязгааргүй жижиг.

Дарааллын хувьд "эцэс төгсгөлгүй сүүл" гэж хэлэх боломжгүй болсон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. орж ирнэ“- сондгой тоотой гишүүд нь үнэндээ тэгтэй тэнцэх ба “хаашаа ч явахгүй” =) Тийм учраас тодорхойлолтод “харагдах” үйл үг ашигласан. Мэдээжийн хэрэг, үүнтэй төстэй дарааллын гишүүд "хаашаа ч явахгүй". Дашрамд хэлэхэд энэ тоо нь түүний хязгаар мөн эсэхийг шалгаарай.

Одоо бид дараалалд хязгаарлалт байхгүй гэдгийг харуулах болно. Жишээлбэл, тухайн цэгийн ойр орчмыг авч үзье. Тухайн хороололд БҮХ нэр томьёо дуусдаг тийм тоо байхгүй нь тодорхой байна - сондгой нэр томьёо үргэлж "хасах" руу "үсрэх" болно. Үүнтэй төстэй шалтгааны улмаас цэг дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Материалыг дадлагаар нэгтгэцгээе.

Жишээ 1

Дарааллын хязгаар тэг болохыг батал. Цэгийн дурын жижиг хороололд дарааллын бүх гишүүд байх баталгаатай тоог зааж өгнө үү.

Анхаарна уу : Олон дарааллын хувьд шаардлагатай натурал тоо нь утгаас хамаарна - иймээс тэмдэглэгээ.

Шийдэл: авч үзье дур зоргоороо байгаа юутоо – ингэснээр илүү өндөр дугаартай БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно:

Шаардлагатай тоо байгаа эсэхийг харуулахын тулд бид үүнийг -ээр илэрхийлнэ.

"en"-ийн аль ч утгын хувьд модулийн тэмдгийг арилгаж болно:

Бид ангидаа давтсан тэгш бус байдал бүхий "сургуулийн" үйлдлүүдийг ашигладаг Шугаман тэгш бус байдалТэгээд Функцийн домэйн. Энэ тохиолдолд "epsilon" ба "en" нь эерэг байх нь чухал нөхцөл юм.

Зүүн талд бид натурал тоонуудын тухай ярьж байна баруун талерөнхий тохиолдолд бутархай бол үүнийг дугуйруулах шаардлагатай:

Анхаарна уу : заримдаа аюулгүй талдаа байхын тулд баруун талд нэгж нэмдэг боловч бодит байдал дээр энэ нь хэт их байдаг. Харьцангуй хэлэхэд, хэрэв бид үр дүнг доош нь дугуйлж сулруулж байвал хамгийн ойрын тоо ("гурван") нь анхны тэгш бус байдлыг хангасан хэвээр байх болно.

Одоо бид тэгш бус байдлыг харж, анх бодож байсан зүйлээ санаж байна дур зоргоороо-хөрш, өөрөөр хэлбэл. "epsilon" нь тэнцүү байж болно хэн чэерэг тоо.

Дүгнэлт: цэгийн дурын жижиг - хөршийн хувьд утгыг оллоо . Тиймээс тоо нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Q.E.D.

Дашрамд хэлэхэд, олж авсан үр дүнгээс байгалийн хэв маяг нь тодорхой харагдаж байна: хороолол бага байх тусам тоо нь их байх болно, үүний дараа дарааллын БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно. Гэхдээ "эпсилон" хичнээн жижиг байсан ч дотроо үргэлж "хязгааргүй сүүл" байх болно, гадна нь том байсан ч гэсэн эцсийнгишүүдийн тоо.

Таны сэтгэгдэл ямар байна? =) Энэ нь жаахан хачирхалтай гэдгийг би хүлээн зөвшөөрч байна. Гэхдээ хатуу!Дахин уншиж, бүх зүйлийг дахин бодож үзээрэй.

Ингээд авч үзье ижил төстэй жишээболон бусад техникийн техниктэй танилцах:

Жишээ 2

Шийдэл: дарааллын тодорхойлолтоор үүнийг батлах шаардлагатай (чангаар хэлээрэй!!!).

Ингээд авч үзье дур зоргоороо-цэг, шалгалтын хөрш, байдаг уунатурал тоо - бүх том тоонуудын хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.

Ийм байдаг гэдгийг харуулахын тулд та "en"-ийг "epsilon" -ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Бид модулийн тэмдгийн дор илэрхийллийг хялбаршуулдаг:

Модуль нь хасах тэмдгийг устгадаг:

Хуваагч нь аливаа "en"-д эерэг байдаг тул савааг арилгаж болно:

Холимог:

Одоо бид олборлох хэрэгтэй квадрат язгуур, гэхдээ барьдаг зүйл бол зарим "эпсилон" -ын хувьд баруун тал нь сөрөг байх болно. Энэ бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд хүчирхэгжүүльемодулийн тэгш бус байдал:

Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл энэ нь гарч ирвэл нөхцөл байдал бас хангагдана. Модуль боломжтой зүгээр л нэмэгдэнэхүссэн дугаар, энэ нь бидэнд бас тохирох болно! Ойролцоогоор зуу дахь нь тохиромжтой бол хоёр зуу дахь нь бас тохиромжтой! Тодорхойлолтын дагуу та харуулах хэрэгтэй энэ тоо байгаагийн үнэн бодит байдал(наад зах нь зарим нь), дараа нь дарааллын бүх гишүүд -neighborhood-д байх болно. Дашрамд хэлэхэд, ийм учраас бид баруун талыг дээшээ чиглүүлэхээс айдаггүй.

Үндэсийг задлах:

Мөн үр дүнг тойруул:

Дүгнэлт: учир нь "epsilon" утгыг дур мэдэн сонгосон бөгөөд дараа нь тухайн цэгийн дурын жижиг хөршийн хувьд утгыг олсон. , ингэснээр бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал байна . Тиймээс, тодорхойлолтоор. Q.E.D.

би зөвлөж байна ялангуяатэгш бус байдлыг бэхжүүлэх, сулруулахыг ойлгох нь математик шинжилгээний ердийн бөгөөд маш түгээмэл арга юм. Таны хянах ёстой цорын ганц зүйл бол энэ эсвэл бусад үйлдлийн зөв байдал юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдал ямар ч тохиолдолд боломжгүй суллах, хасах, нэгийг хэлэх:

Дахин хэлэхэд болзолтойгоор: хэрэв тоо яг таарч байвал өмнөх нь тохирохгүй байж магадгүй юм.

Дараагийн жишээУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 3

Дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батал

Түргэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Хэрэв дараалал бол хязгааргүй том, тэгвэл хязгаарын тодорхойлолтыг ижил төстэй байдлаар томъёолсон: цэгийг дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв байгаа бол, хүссэн хэмжээгээрээ томтооны хувьд, бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал хангагдах тоо байна. дугаарыг дуудаж байна "нэмэх хязгааргүй" цэгийн ойролцоо:

Өөрөөр хэлбэл, ямар ч байсан их үнэ цэнэЮу ч байсан, дарааллын "хязгааргүй сүүл" нь гарцаагүй цэгийн хөрш рүү орж, зөвхөн үлдээх болно. эцсийн тоогишүүд.

Стандарт жишээ:

Мөн товчлол: хэрэв

Тохиолдлын хувьд тодорхойлолтыг өөрөө бичээрэй. Зөв хувилбар нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Гараа авсны дараа практик жишээнүүдДарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг олж мэдсэн бол та математикийн анализын талаархи уран зохиол ба/эсвэл лекцийн дэвтэртээ хандаж болно. Би Bohan-ийн 1-р боть татаж авахыг зөвлөж байна (илүү энгийн - захидал харилцааны оюутнуудад)болон Фихтенхольц (илүү дэлгэрэнгүй, дэлгэрэнгүй). Бусад зохиолчдын дунд би Пискуновыг санал болгож байна, түүний курс нь техникийн их сургуулиудад чиглэгддэг.

Дарааллын хязгаар, тэдгээрийн нотолгоо, үр дагавартай холбоотой теоремуудыг ухамсартайгаар судлахыг хичээ. Эхлээд онол нь "үүлтэй" мэт санагдаж болох ч энэ нь хэвийн зүйл - та зүгээр л дасах хэрэгтэй. Мөн олон хүн үүнийг амтлах болно!

Функцийн хязгаарын нарийн тодорхойлолт

Үүнтэй ижил зүйлээс эхэлье - хэрхэн томъёолох вэ энэ үзэл баримтлал? Функцийн хязгаарын аман тодорхойлолтыг илүү энгийн байдлаар томъёолсон: "х"-тэй бол функцийн хязгаар нь тоо юм. (баруун, зүүн аль аль нь), харгалзах функцийн утга нь » хандлагатай байна (зураг харна уу). Бүх зүйл хэвийн мэт боловч үг нь үг, утга учир, дүрс бол дүрс, гэхдээ хатуу математик тэмдэглэгээхангалттай биш. Хоёрдахь догол мөрөнд бид энэ асуудлыг шийдэх хоёр арга барилтай танилцах болно.

Тухайн цэгийг эс тооцвол функцийг тодорхой интервалаар тодорхойл. IN боловсролын уран зохиолфункц тэнд байгааг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг Үгүйтодорхойлсон:

Энэ сонголтыг онцолж байна функцийн хязгаарын мөн чанар: "x" хязгааргүй ойрхонхандлагууд ба харгалзах функцын утгууд байна хязгааргүй ойрхон-д. Өөрөөр хэлбэл, хязгаар гэдэг ойлголт нь цэгүүдэд "яг ойртох" гэсэн үг биш, харин тухайлбал хязгааргүй ойр ойртох, тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй.

Функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолтыг хоёр дарааллаар томъёолсон нь гайхмаар зүйл биш юм. Нэгдүгээрт, ойлголтууд хоорондоо холбоотой, хоёрдугаарт, функцүүдийн хязгаарыг дарааллын хязгаарын дараа ихэвчлэн судалдаг.

Дарааллыг анхаарч үзээрэй оноо (зураг дээр биш), интервалд хамаарахТэгээд -аас ялгаатай, аль нийлдэг-д. Дараа нь харгалзах функцийн утгууд мөн үүсдэг тооны дараалал, нөхцлүүд нь ординатын тэнхлэгт байрладаг.

Гейнегийн дагуу функцийн хязгаар ямар ч хувьдцэгүүдийн дараалал (харьяалагдах ба өөр)цэг рүү нийлдэг функцийн утгуудын харгалзах дараалал нь нийлдэг.

Эдуард Хайне бол Германы математикч юм. ...Тэгээд тэгж бодох ч хэрэггүй, Европт ганц гей байдаг - Гей-Луссак =)

Хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолтыг бий болгосон ... тиймээ, тийм, таны зөв. Гэхдээ эхлээд түүний дизайныг ойлгоцгооё. Цэгийн дурын хөршийг авч үзье ("хар" хороолол). Өмнөх догол мөрийг үндэслэн оруулга нь үүнийг илэрхийлнэ зарим үнэ цэнэфункц нь "epsilon" хороололд байрладаг.

Одоо бид өгөгдсөн -хөрштэй тохирох хөршийг оллоо (зүүнээс баруун тийш, дараа нь дээрээс доошоо хар тасархай зураасыг оюун ухаанаараа зурах). Утгыг сонгосон гэдгийг анхаарна уу жижиг сегментийн уртын дагуу, in энэ тохиолдолд– зүүн богино сегментийн уртын дагуу. Түүгээр ч зогсохгүй "бөөрөлзгөнө" - нэг цэгийн ойр орчноо бүр багасгаж болно, учир нь дараах тодорхойлолтод дурдсан байдаг. оршин тогтнох нь маш чухал юмэнэ хороолол. Үүний нэгэн адил тэмдэглэгээ нь "дельта" хэсэгт ямар нэгэн утга байна гэсэн үг юм.

Коши функцийн хязгаар: тоог if цэг дээрх функцийн хязгаар гэнэ ямар ч хувьд урьдчилан сонгосонхөрш (хүссэнээрээ жижиг), байдаг- цэгийн хөрш, ИЙМ, тэр: ЗӨВХӨН утгуудын хувьд (харьяалах)Энэ хэсэгт багтсан: (улаан сум)-Тиймээс нэн даруй харгалзах функцын утгууд нь хөрш рүү орох баталгаатай болно: (цэнхэр сум).

Ойлгомжтой болгох үүднээс би бага зэрэг зохиомж хийсэн тул хэтрүүлэн хэрэглэх хэрэггүй =)

Богино бичлэг: , хэрэв

Тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ? Дүрслэлээр хэлбэл - хөршийг хязгааргүй бууруулснаар бид функцийн утгыг хязгаарт нь "дагалдаг" бөгөөд тэдэнд өөр газар ойртохоос өөр аргагүй болдог. Маш ер бусын, гэхдээ дахин хатуу! Энэ санааг бүрэн ойлгохын тулд үгийг дахин уншина уу.

! Анхаар: хэрэв та зөвхөн томъёолох шаардлагатай бол Гейний тодорхойлолтэсвэл зүгээр л Кошигийн тодорхойлолттухай бүү мартаарай ач холбогдолтойурьдчилсан тайлбар: "Цэгээс бусад тохиолдолд тодорхой интервал дээр тодорхойлогдсон функцийг авч үзье". Би үүнийг эхэндээ нэг удаа хэлсэн, тэр болгон давтаагүй.

Математик анализын харгалзах теоремын дагуу Хайне, Коши нарын тодорхойлолтууд тэнцүү боловч хоёр дахь хувилбар нь хамгийн алдартай нь юм. (мэдээжийн хэрэг!), үүнийг "хэлний хязгаар" гэж нэрлэдэг:

Жишээ 4

Хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батална уу

Шийдэл: функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. Тодорхойлолтыг ашиглан бид өгөгдсөн цэг дээр хязгаар байгааг нотолж байна.

Анхаарна уу : "Дельта" хөршийн үнэ цэнэ нь "эпсилон" -оос хамаардаг тул тэмдэглэгээ

Ингээд авч үзье дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин. Даалгавар бол энэ утгыг ашиглах эсэхийг шалгах явдал юм байдаг уу- хүрээлэн буй орчин, ИЙМ, энэ нь тэгш бус байдлаас гарсан тэгш бус байдал дагалддаг .

Үүнийг үзвэл бид сүүлчийн тэгш бус байдлыг хувиргана:
(квадрат гурвалжийг өргөтгөсөн)