Vetitë themelore të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave.

Vetia komutative e mbledhjes: rirregullimi i termave nuk e ndryshon vlerën e shumës. Për çdo numër a dhe b barazia është e vërtetë

Vetia kombinuese e mbledhjes: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy numrave, mund të shtoni shumën e të dytit dhe të tretë në numrin e parë. Për çdo numër a, b dhe c barazia është e vërtetë

Vetia komutative e shumëzimit: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon vlerën e prodhimit. Për çdo numër a, b dhe c barazia është e vërtetë

Vetia kombinuese e shumëzimit: për të shumëzuar prodhimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e të dytit dhe të tretë.

Për çdo numër a, b dhe c barazia është e vërtetë

Vetia shpërndarëse: Për të shumëzuar një numër me një shumë, mund ta shumëzoni atë numër me çdo term dhe të shtoni rezultatet. Për çdo numër a, b dhe c barazia është e vërtetë

Nga vetitë komutative dhe kombinuese të mbledhjes rrjedh: në çdo shumë mund t'i riorganizoni termat në çfarëdo mënyre që dëshironi dhe t'i kombinoni në mënyrë arbitrare në grupe.

Shembulli 1 Le të llogarisim shumën 1,23+13,5+4,27.

Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të kombinoni termin e parë me të tretën. Ne marrim:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Nga vetitë komutative dhe kombinuese të shumëzimit rrjedh: në çdo produkt mund t'i riorganizoni faktorët në çdo mënyrë dhe t'i kombinoni në mënyrë arbitrare në grupe.

Shembulli 2 Le të gjejmë vlerën e prodhimit 1,8·0,25·64·0,5.

Duke kombinuar faktorin e parë me të katërtin, dhe të dytin me të tretën, kemi:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Vetia shpërndarëse është gjithashtu e vërtetë kur një numër shumëzohet me shumën e tre ose më shumë termave.

Për shembull, për çdo numër a, b, c dhe d barazia është e vërtetë

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Ne e dimë se zbritja mund të zëvendësohet me mbledhje duke shtuar në minuend numrin e kundërt të nëntrahendës:

Kjo lejon një shprehje numerike tipi a-b të konsiderohet shuma e numrave a dhe -b, shprehje numerike e formës a+b-c-d të konsiderohet shuma e numrave a, b, -c, -d etj. Vetitë e konsideruara të veprimeve vlejnë edhe për shuma të tilla.

Shembulli 3 Të gjejmë vlerën e shprehjes 3,27-6,5-2,5+1,73.

Kjo shprehje është shuma e numrave 3.27, -6.5, -2.5 dhe 1.73. Duke zbatuar vetitë e mbledhjes, marrim: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Shembulli 4 Le të llogarisim prodhimin 36·().

Shumëzuesi mund të konsiderohet si shuma e numrave dhe -. Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, marrim:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identitetet

Përkufizimi. Dy shprehje, vlerat përkatëse të të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave quhen në mënyrë identike të barabarta.

Përkufizimi. Një barazi që është e vërtetë për çdo vlerë të variablave quhet identitet.

Le të gjejmë vlerat e shprehjeve 3(x+y) dhe 3x+3y për x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Ne morëm të njëjtin rezultat. Nga pronë distributive rrjedh se në përgjithësi, për çdo vlerë të variablave, vlerat përkatëse të shprehjeve 3(x+y) dhe 3x+3y janë të barabarta.

Le të shqyrtojmë tani shprehjet 2x+y dhe 2xy. Për x=1, y=2 marrin vlera të barabarta:

Sidoqoftë, mund të specifikoni vlerat e x dhe y në mënyrë që vlerat e këtyre shprehjeve të mos jenë të barabarta. Për shembull, nëse x=3, y=4, atëherë

Shprehjet 3(x+y) dhe 3x+3y janë identikisht të barabarta, por shprehjet 2x+y dhe 2xy nuk janë identike të barabarta.

Barazia 3(x+y)=x+3y, e vërtetë për çdo vlerë të x dhe y, është një identitet.

Barazitë e vërteta numerike konsiderohen gjithashtu identitete.

Kështu, identitetet janë barazi që shprehin vetitë themelore të veprimeve në numra:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Shembuj të tjerë identitetesh mund të jepen:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Shndërrime identike të shprehjeve

Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje tjetër identikisht të barabartë quhet transformim identik ose thjesht shndërrim i një shprehjeje.

Transformimet e identitetit shprehjet me variabla kryhen në bazë të vetive të veprimeve mbi numrat.

Për të gjetur vlerën e shprehjes xy-xz kur vlerat e dhëna x, y, z, ju duhet të kryeni tre veprime. Për shembull, me x=2.3, y=0.8, z=0.2 marrim:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Ky rezultat mund të merret duke kryer vetëm dy hapa, nëse përdorni shprehjen x(y-z), e cila është identike e barabartë me shprehjen xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

Ne i kemi thjeshtuar llogaritjet duke zëvendësuar shprehjen xy-xz me shprehjen identike x(y-z).

Transformimet identike të shprehjeve përdoren gjerësisht në llogaritjen e vlerave të shprehjeve dhe zgjidhjen e problemeve të tjera. Tashmë janë dashur të kryhen disa transformime identike, për shembull, duke sjellë terma të ngjashëm, duke hapur kllapa. Le të kujtojmë rregullat për kryerjen e këtyre transformimeve:

në mënyrë që të sjellë terma të ngjashëm, ju duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët;

nëse ka një shenjë plus para kllapave, atëherë kllapat mund të hiqen, duke ruajtur shenjën e secilit term të mbyllur në kllapa;

Nëse ka një shenjë minus përpara kllapave, atëherë kllapat mund të hiqen duke ndryshuar shenjën e secilit term të mbyllur në kllapa.

Shembulli 1 Le të paraqesim terma të ngjashëm në shumën 5x+2x-3x.

Le të përdorim rregullin për reduktimin e termave të ngjashëm:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ky transformim bazohet në vetinë shpërndarëse të shumëzimit.

Shembulli 2 Le të hapim kllapat në shprehjen 2a+(b-3c).

Përdorimi i rregullit për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformimi i kryer bazohet në veti asociative shtesë.

Shembulli 3 Le të hapim kllapat në shprehjen a-(4b-c).

Le të përdorim rregullin për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformimi i kryer bazohet në vetinë shpërndarëse të shumëzimit dhe në vetinë e kombinuar të mbledhjes. Le ta tregojmë. Le të paraqesim termin e dytë -(4b-c) në këtë shprehje si produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Duke aplikuar vetitë e specifikuara të veprimeve, marrim:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Tema nr 2.

Shndërrimi i shprehjeve algjebrike

I. Materiali teorik

Konceptet Bazë

Shprehje algjebrike: numër i plotë, thyesor, racional, irracional.

Shtrirja e përkufizimit, vlerat e vlefshme të shprehjes.

Kuptimi i një shprehjeje algjebrike.

Monom, polinom.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Faktorizimi, kllapa shumëzues i përbashkët.

Vetia kryesore e një thyese.

Shkalla, vetitë e gradës.

Kortym, vetitë e rrënjëve.

Shndërrimi i shprehjeve racionale dhe irracionale.

Një shprehje e përbërë nga numra dhe ndryshore duke përdorur shenjat e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, ngritjes në shkallë racionale, nxjerrja e rrënjës dhe përdorimi i kllapave quhet algjebrike.

Për shembull: ;
;
;

;
;
;
.

Nëse shprehja algjebrike nuk përmban ndarje në ndryshore dhe marrjen e rrënjës së variablave (në veçanti, ngritja në një fuqi me tregues i pjesshëm), atëherë quhet e tërë.

Për shembull:
;
;
.

Nëse një shprehje algjebrike përbëhet nga numra dhe ndryshore duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, fuqizimit me tregues natyror dhe përdoret ndarja, dhe ndarja në shprehje me ndryshore, pastaj quhet thyesore.

Për shembull:
;
.

E tërë dhe shprehjet thyesore quhen racionale shprehjet.

Për shembull: ;
;

.

Nëse një shprehje algjebrike përfshin marrjen e rrënjës së ndryshoreve (ose ngritjen e variablave në fuqia thyesore), atëherë një shprehje e tillë algjebrike quhet irracionale.

Për shembull:
;
.

Quhen vlerat e ndryshoreve për të cilat shprehja algjebrike ka kuptim vlerat e vlefshme të variablave.

Shumë nga të gjithë vlerat e pranueshme quhen variabla fusha e përkufizimit.

Fusha e përkufizimit të një shprehjeje të tërë algjebrike është bashkësia e numrave realë.

Fusha e përkufizimit të një shprehjeje algjebrike thyesore është bashkësia e të gjithë numrave realë, përveç atyre që e bëjnë emëruesin zero.

Për shembull: ka kuptim kur
;

ka kuptim kur
, pra kur
.

Fusha e përkufizimit të një shprehjeje algjebrike irracionale është bashkësia e të gjithë numrave realë, përveç atyre që shndërrohen në një numër negativ një shprehje nën shenjën e rrënjës së një fuqie çift ose nën shenjën e ngritjes në një fuqi thyesore.

Për shembull:
ka kuptim kur
;

ka kuptim kur
, pra kur
.

Vlera numerike e marrë duke zëvendësuar vlerat e lejuara të variablave në një shprehje algjebrike quhet vlera e një shprehjeje algjebrike.

Për shembull: shprehje
në
,
merr vlerën
.

Një shprehje algjebrike që përmban vetëm numra, fuqi natyrore të ndryshoreve dhe prodhimet e tyre quhet monom.

Për shembull:
;
;
.

Monomi, i shkruar si prodhim i faktorit numerik në radhë të parë dhe fuqive të ndryshoreve të ndryshme, reduktohet në pamje standarde.

Për shembull:
;
.

Faktori numerik shënim standard monom quhet koeficienti i monomit. Shuma e eksponentëve të të gjitha variablave quhet shkalla e monomit.

Kur shumëzohet një monom me një monom dhe kur rritet një monom në shkallë natyrore marrim një monom që duhet të sillet në formën standarde.

Shuma e monomëve quhet polinom.

Për shembull:
; ;
.

Nëse të gjithë termat e polinomit shkruhen në formë standarde dhe kryhet reduktimi anëtarë të ngjashëm, pastaj rezulton polinom pamje standarde .

Për shembull: .

Nëse një polinom ka vetëm një ndryshore, atëherë norma më e lartë shkalla e kësaj ndryshore quhet shkalla e polinomit.

Për shembull: Një polinom ka shkallën e pestë.

Quhet vlera e ndryshores në të cilën vlera e polinomit është zero rrënja e polinomit.

Për shembull: rrënjët e një polinomi
janë numrat 1.5 dhe 2.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

Raste të veçanta të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit

Dallimi i katrorëve:
ose

Shuma në katror:
ose

Diferenca në katror:
ose

Shuma e kubeve:
ose

Dallimi i kubeve:
ose

Kubi i shumës:
ose

Kubi i ndryshimit:
ose

Shndërrimi i një polinomi në prodhim të disa faktorëve (polinomeve ose monomëve) quhet faktorizimi i një polinomi.

Për shembull:.

Metodat për faktorizimin e një polinomi

Për shembull: .

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Për shembull: .

Metoda e grupimit. Ligjet komutative dhe asociative lejojnë që anëtarët e një polinomi të grupohen në mënyra të ndryshme. Një nga metodat çon në faktin se e njëjta shprehje merret në kllapa, e cila nga ana tjetër nxirret nga kllapat.

Për shembull:.

Çdo shprehje algjebrike thyesore mund të shkruhet si herës dysh shprehjet racionale me një ndryshore në emërues.

Për shembull:
.

Një thyesë në të cilën numëruesi dhe emëruesi janë shprehje racionale dhe emëruesi ka një ndryshore quhet thyesa racionale.

Për shembull:
;
;
.

Nëse numëruesi dhe emëruesi thyesa racionale shumëzo ose pjesëto me të njëjtin numër jozero, monom ose polinom, vlera e thyesës nuk ndryshon. Kjo shprehje quhet vetia kryesore e një thyese:

.

Quhet veprimi i pjesëtimit të numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër duke reduktuar një fraksion:

.

Për shembull:
;
.

Puna n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, Ku A– një shprehje arbitrare algjebrike ose numër real, A n – numri natyror, thirri shkallëA :

.

Shprehje algjebrike A thirrur bazën e shkallës, numri
n – tregues.

Për shembull:
.

Besohet me përkufizim se për çdo A, Jo e barabartë me zero:

Dhe
.

Nëse
, Kjo
.

Vetitë e gradës

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Nëse,
, pastaj shprehja n-shkalla e së cilës është e barabartë me A, thirri rrënjën shkalla eA . Zakonisht shënohet
. Ku A thirrur shprehje radikale, n thirrur indeksi rrënjë.

Për shembull:
;
;
.

Karakteristikat e rrënjëvenshkalla e a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Duke përgjithësuar konceptin e shkallës dhe rrënjës, marrim konceptin e shkallës me një eksponent racional:

.

Veçanërisht,
.

Veprimet e kryera me rrënjë

Për shembull: .

II. Material praktik

Shembuj të përfundimit të detyrave

Shembulli 1. Gjeni vlerën e thyesës
.

Përgjigje: .

Shembulli 2. Thjeshtoni shprehjen
.

Le të transformojmë shprehjen në kllapat e para:

, Nëse
.

Le të transformojmë shprehjen në kllapat e dyta:

.

Le të ndajmë rezultatin nga kllapa e parë me rezultatin nga kllapa e dytë:

Përgjigje:

Shembulli 3. Thjeshtoni shprehjen:

.

Shembulli 4. Thjeshtoni shprehjen.

Le të transformojmë thyesën e parë:

.

Le të transformojmë thyesën e dytë:

.

Si rezultat marrim:
.

Shembulli 5. Thjeshtoni shprehjen
.

Zgjidhje. Le të vendosim për veprimet e mëposhtme:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Përgjigje:
.

Shembulli 6. Vërtetoni identitetin
.

1)
;

2)
;

Shembulli 7. Thjeshtoni shprehjen:

.

Zgjidhje. Ndiqni këto hapa:

;

2)
.

Shembulli 8. Vërtetoni identitetin
.

Zgjidhje. Ndiqni këto hapa:

1)
;

2)

;

3)
.

Detyrat për punë e pavarur

1. Thjeshtoni shprehjen:

A)
;

b)
;

2. Faktori në:

A)
;

b)
;.Dokumenti

Subjekti Nr. 5.1. Ekuacionet trigonometrike I. Teorikematerial Konceptet Bazë Ekuacioni trigonometrik...duke përdorur të ndryshme algjebrike Dhe formulat trigonometrike Dhe transformimet. II. Praktike material Shembuj të kryerjes së detyrave...

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë

Institucion arsimor

"Gomel Universiteti Shtetëror ato. F. Skorina"

Fakulteti i Matematikës

Departamenti i MPM-së

Shndërrime identike të shprehjeve dhe metodave të mësimdhënies së studentëve si t'i realizojnë ato

Ekzekutuesi:

Studenti Starodubova A.Yu.

Drejtor shkencor:

Cand. fizikës dhe matematikës Shkenca, Profesor i Asociuar Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Prezantimi

1 Llojet kryesore të transformimeve dhe fazat e studimit të tyre. Fazat e zotërimit të përdorimit të transformimeve

konkluzioni

Letërsia

Prezantimi

Shndërrimet më të thjeshta të shprehjeve dhe formulave, bazuar në vetitë e veprimeve aritmetike, kryhen në Shkolla fillore dhe klasat e 5-ta dhe të 6-ta. Formimi i aftësive dhe aftësive për të kryer transformime bëhet në një kurs algjebër. Kjo është për shkak të rritjes së mprehtë të numrit dhe shumëllojshmërisë së transformimeve që po kryhen, dhe ndërlikimit të aktiviteteve për justifikimin e tyre dhe sqarimin e kushteve të zbatueshmërisë, për identifikimin dhe studimin e koncepteve të përgjithësuara të identitetit, transformimin identik, transformim ekuivalent.

1. Llojet kryesore të transformimeve dhe fazat e studimit të tyre. Fazat e zotërimit të përdorimit të transformimeve

1. Fillimet e algjebrës

Përdoret një sistem i pandarë transformimesh, i përfaqësuar nga rregulla për kryerjen e veprimeve në një ose të dyja pjesët e formulës. Qëllimi është të arrihet rrjedhshmëri në plotësimin e detyrave për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta, thjeshtimin e formulave që përcaktojnë funksionet dhe kryerjen racionale të llogaritjeve bazuar në vetitë e veprimeve.

Shembuj tipikë:

Zgjidh ekuacionet:

A) ; b) ; V) .

Transformim identik (a); ekuivalente dhe identike (b).

2. Formimi i aftësive të aplikimit lloje specifike transformimet

Përfundime: formulat e shkurtuara të shumëzimit; transformimet që lidhen me fuqizimin; transformimet që lidhen me klasa të ndryshme të funksioneve elementare.

Organizimi i gjithë sistemi transformimet (sinteza)

Qëllimi është krijimi i një pajisjeje fleksibël dhe të fuqishme të përshtatshme për t'u përdorur në zgjidhjen e një sërë problemesh detyra edukative . Kalimi në këtë fazë kryhet gjatë përsëritjes përfundimtare të kursit në rrjedhën e të kuptuarit të materialit të njohur tashmë të mësuar në pjesë, nga lloje të caktuara transformimet shtojnë shndërrimet e shprehjeve trigonometrike në llojet e studiuara më parë. Të gjitha këto transformime mund të quhen "algjebrike" transformimet "analitike" përfshijnë ato që bazohen në rregullat e diferencimit dhe integrimit dhe transformimit të shprehjeve që përmbajnë pasazhe në kufij. Dallimi i këtij lloji është në natyrën e grupit nëpër të cilin kalojnë variablat në identitete (bashkësi të caktuara funksionesh).

Identitetet që studiohen ndahen në dy klasa:

I – identitetet e shumëzimit të shkurtuar të vlefshëm në një unazë komutative dhe identitetet

drejtë në terren.

II – identitete që lidhin veprime aritmetike dhe funksione elementare bazë.

2 Karakteristikat e organizimit të sistemit të detyrave gjatë studimit të transformimeve të identitetit

Parimi kryesor i organizimit të sistemit të detyrave është prezantimi i tyre nga të thjeshta në komplekse.

Cikli i ushtrimeve– ndërthurja në një sekuencë ushtrimesh të disa aspekteve të studimit dhe teknikave të renditjes së materialit. Kur studiohen transformimet e identitetit, një cikël ushtrimesh shoqërohet me studimin e një identiteti, rreth të cilit grupohen identitete të tjera që janë në një lidhje të natyrshme me të. Cikli, së bashku me ato ekzekutive, përfshin detyrat, që kërkon njohjen e zbatueshmërisë së identitetit në fjalë. Identiteti në studim përdoret për të kryer llogaritjet në fusha të ndryshme numerike. Detyrat në çdo cikël ndahen në dy grupe. TE së pari Këtu përfshihen detyrat e kryera gjatë njohjes fillestare me identitetin. Ata shërbejnë material edukativ për disa mësime të njëpasnjëshme të bashkuara nga një temë.

Grupi i dytë ushtrimet lidhin identitetin që studiohet me aplikime të ndryshme. Ky grup nuk formon një unitet kompozicional - ushtrimet këtu janë të shpërndara në tema të ndryshme.

Strukturat e përshkruara të ciklit i referohen fazës së zhvillimit të aftësive për zbatimin e transformimeve specifike.

Në fazën e sintezës, ciklet ndryshojnë, grupet e detyrave kombinohen në drejtim të ndërlikimit dhe bashkimit të cikleve që lidhen me identitete të ndryshme, gjë që ndihmon në rritjen e rolit të veprimeve për të njohur zbatueshmërinë e një identiteti të caktuar.

Shembull.

Cikli i detyrave për identitetin:

Grupi I i detyrave:

a) i pranishëm në formën e një produkti:

b) Kontrolloni barazinë:

c) Zgjeroni kllapat në shprehjen:

.

d) Llogaritni:

e) Faktorizoni:

f) thjeshtoni shprehjen:

.

Studentët sapo janë njohur me formulimin e një identiteti, shkrimin e tij në formën e një identiteti dhe vërtetimin e tij.

Detyra a) lidhet me fiksimin e strukturës së identitetit që studiohet, me vendosjen e një lidhjeje me të grupe numerike(krahasimi i strukturave të shenjave të identitetit dhe shprehjes së transformuar; zëvendësimi i një shkronje me një numër në një identitet). NË shembulli i funditështë ende e nevojshme të reduktohet në speciet që studiohen. Në shembujt e mëposhtëm (e dhe g) ka një ndërlikim të shkaktuar nga roli i aplikuar i identitetit dhe ndërlikimi i strukturës së shenjës.

Detyrat e tipit b) synojnë zhvillimin e aftësive zëvendësuese në . Roli i detyrës c) është i ngjashëm.

Shembuj të tipit d), në të cilin është e nevojshme të zgjidhni një nga drejtimet e transformimit, plotësoni zhvillimin e kësaj ideje.

Detyrat e grupit I përqendrohen në zotërimin e strukturës së një identiteti, funksionimin e zëvendësimit në rastet më të thjeshta, thelbësisht më të rëndësishme dhe idenë e kthyeshmërisë së transformimeve të kryera nga një identitet. Shumë e rëndësishme ka edhe pasurim mjete gjuhësore duke treguar aspekte të ndryshme identitetet. Tekstet e detyrave japin një ide për këto aspekte.

Grupi II i detyrave.

g) Duke përdorur identitetin për , faktor polinomin .

h) Eliminoni irracionalitetin në emëruesin e thyesës.

i) Vërtetoni se nëse - numër i rastësishëm, pastaj pjesëtohet me 4.

j) Është dhënë funksioni shprehje analitike

.

Largojeni shenjën e modulit duke marrë parasysh dy raste: , .

k) Zgjidhe ekuacionin .

Këto detyra synohen sa më shumë që të jetë e mundur përdorim të plotë dhe duke marrë parasysh specifikat e këtij identiteti të veçantë, presupozojnë formimin e aftësive në përdorimin e identitetit që studiohet për diferencën e katrorëve. Qëllimi është të thellohet kuptimi i identitetit duke marrë parasysh aplikimet e tij të ndryshme në situata të ndryshme, kombinuar me përdorimin e materialit që lidhet me tema të tjera në lëndën e matematikës.

ose .

Karakteristikat e cikleve të detyrave që lidhen me identitetet për funksionet elementare:

1) studiohen në bazë të materialit funksional;

2) identitetet e grupit të parë shfaqen më vonë dhe studiohen duke përdorur aftësi të zhvilluara tashmë për kryerjen e transformimeve të identitetit.

Grupi i parë i detyrave në ciklin duhet të përfshijë detyra për të krijuar lidhje midis këtyre të rejave domenet numerike me domenin origjinal të numrave racionalë.

Shembull.

Llogaritni:

;

.

Qëllimi i detyrave të tilla është të zotëroni tiparet e regjistrimeve, duke përfshirë simbolet e operacioneve dhe funksioneve të reja, dhe të zhvilloni aftësitë matematikore të të folurit.

Pjesa më e madhe e përdorimit të transformimeve të identitetit lidhet me funksionet elementare, bie në zgjidhjen e ekuacioneve irracionale dhe transcendentale. Sekuenca e hapave:

a) gjeni funksionin φ për të cilin ekuacioni i dhënë f(x)=0 mund të përfaqësohet si:

b) zëvendësojmë y=φ(x) dhe zgjidhim ekuacionin

c) zgjidh secilin prej ekuacioneve φ(x)=y k, ku y k është bashkësia e rrënjëve të ekuacionit F(y)=0.

Kur përdorni metodën e përshkruar, hapi b) shpesh kryhet në mënyrë implicite, pa futur një shënim për φ(x). Përveç kësaj, studentët shpesh preferojnë menyra te ndryshme që çon në gjetjen e përgjigjes, zgjidhni atë që të çon në ekuacionin algjebrik më shpejt dhe më lehtë.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (hapi a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (hapi b)

Shembull. Zgjidhe ekuacionin:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Sugjeroni për zgjidhje të pavarur.)

Klasifikimi i detyrave në cikle që lidhen me zgjidhjen e ekuacioneve transcendentale, duke përfshirë funksioni eksponencial:

1) ekuacione që reduktohen në ekuacione të formës a x =y 0 dhe kanë një përgjigje të thjeshtë, të përgjithshme:

2) ekuacione që reduktohen në ekuacione të formës a x = a k, ku k është një numër i plotë, ose a x = b, ku b≤0.

3) ekuacione që reduktohen në ekuacione të formës a x =y 0 dhe kërkojnë analizë eksplicite të formës në të cilën është shkruar shprehimisht numri y 0.

Detyrat në të cilat transformimet e identitetit përdoren për të ndërtuar grafikë duke thjeshtuar formulat që përcaktojnë funksionet janë me përfitim të madh.

a) Grafikoni funksionin y=;

b) Të zgjidhet ekuacioni lgx+lg(x-3)=1

c) në cilin grup është formula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) një identitet?

Përdorimi i transformimeve të identitetit në llogaritjet (Journal of Mathematics at School, Nr. 4, 1983, f. 45)

Detyra nr. 1. Funksioni jepet me formulën y=0.3x 2 +4.64x-6. Gjeni vlerat e funksionit në x=1.2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Detyra nr. 2. Llogaritni gjatësinë e këmbës trekëndësh kënddrejtë, nëse gjatësia e hipotenuzës së saj është 3,6 cm, dhe këmbës tjetër është 2,16 cm.

Detyra nr. 3. Sa është sipërfaqja e një parcele drejtkëndëshe me dimensione a) 0,64 m dhe 6,25 m; b) 99.8m dhe 2.6m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Këta shembuj bëjnë të mundur identifikimin përdorim praktik transformimet e identitetit. Studenti duhet të njihet me kushtet për realizueshmërinë e transformimit (shih diagramet).

imazhi i një polinomi, ku çdo polinom përshtatet në konturet e rrumbullakëta (Diagrami 1)

-

jepet kushti për realizueshmërinë e shndërrimit të produktit të një monomi dhe një shprehje që lejon shndërrimin në diferencë katrorësh. (skema 2)

-

këtu çelja nënkupton monomë të barabartë dhe jepet një shprehje që mund të shndërrohet në një diferencë katrorësh (Skema 3).

një shprehje që lejon një faktor të përbashkët.

Aftësitë e nxënësve në identifikimin e kushteve mund të zhvillohen duke përdorur shembujt e mëposhtëm:

Cila nga shprehjet e mëposhtme mund të transformohet duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Shumica e llogaritjeve në praktikë nuk i plotësojnë kushtet e kënaqshmërisë, kështu që studentët kanë nevojë për aftësi për t'i reduktuar ato në një formë që lejon llogaritjen e transformimeve. Në këtë rast, detyrat e mëposhtme janë të përshtatshme:

kur studioni marrjen e faktorit të përbashkët jashtë kllapave:

kjo shprehje, nëse është e mundur, shndërrojeni në një shprehje, e cila është paraqitur në diagramin 4:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Kur formoni konceptin e "transformimit identik", duhet të mbahet mend se kjo do të thotë jo vetëm që shprehja e dhënë dhe ajo që rezulton si rezultat i transformimit marrin vlera të barabarta për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në të, por edhe që gjatë transformimit identik kalojmë nga shprehja që përcakton një mënyrë llogaritjeje në një shprehje që përcakton një mënyrë tjetër të llogaritjes së së njëjtës vlerë.

Skema 5 (rregulli për konvertimin e produktit të një monomi dhe një polinomi) mund të ilustrohet me shembuj

0,5a (b+c) ose 3,8 (0,7+).

Ushtrime për të mësuar se si të hiqni një faktor të përbashkët nga kllapat:

Llogaritni vlerën e shprehjes:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc në a=0,96; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) me a=1.4; b=2.8; c=5.2.

Le të ilustrojmë me shembuj formimin e aftësive në llogaritjet dhe transformimet e identitetit (Journal of Mathematics at School, Nr. 5, 1984, f. 30).

1) aftësitë dhe aftësitë fitohen më shpejt dhe mbahen më gjatë nëse formimi i tyre ndodh në bazë të vetëdijshme (parimi didaktik i vetëdijes).

1) Mund të formuloni një rregull për mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë ose më parë në shembuj specifikë merrni parasysh thelbin e shtimit të pjesëve të barabarta.

2) Kur faktorizoni duke hequr faktorin e përbashkët jashtë kllapave, është e rëndësishme të shihet ky faktor i përbashkët dhe më pas të zbatohet ligji i shpërndarjes. Kur kryeni ushtrimet e para, është e dobishme të shkruani çdo term të polinomit si produkt, një nga faktorët e cila është e zakonshme për të gjitha kushtet:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Është veçanërisht e dobishme ta bëni këtë kur një nga monomët e një polinomi hiqet nga kllapat:

II. Faza e parë formimi i një aftësie - zotërimi i një aftësie (ushtrimet kryhen me shpjegime të hollësishme dhe të dhënat)

(çështja e shenjës zgjidhet së pari)

Faza e dytë– faza e automatizimit të aftësisë duke eliminuar disa operacione të ndërmjetme

III. Forca e aftësive arrihet duke zgjidhur shembuj që janë të ndryshëm si në përmbajtje ashtu edhe në formë.

Tema: “Vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave”.

1. Shkruani faktorin që mungon në vend të polinomit:

2. Faktorizoni në mënyrë që para kllapave të jetë një monom me koeficient negativ:

3. Faktori që polinomi në kllapa të ketë koeficientë të plotë:

4. Zgjidhe ekuacionin:

IV. Zhvillimi i aftësive është më efektiv kur disa llogaritje ose transformime të ndërmjetme kryhen me gojë.

(me gojë);

V. Aftësitë dhe aftësitë që zhvillohen duhet të jenë pjesë e sistemit të formuar më parë të njohurive, aftësive dhe aftësive të studentëve.

Për shembull, kur mësoni se si të faktorizoni polinomet duke përdorur formula të shkurtuara të shumëzimit, ofrohen ushtrimet e mëposhtme:

Faktorizoni:

VI. Nevoja për ekzekutim racional të llogaritjeve dhe transformimeve.

V) thjeshtoni shprehjen:

Racionaliteti qëndron në hapjen e kllapave, sepse

VII. Shndërrimi i shprehjeve që përmbajnë eksponentë.

Nr. 1011 (Alg.9) Thjeshtoni shprehjen:

Nr. 1012 (Alg.9) Hiqni shumëzuesin nga poshtë shenjës së rrënjës:

Nr. 1013 (Alg.9) Futni një faktor nën shenjën e rrënjës:

Nr. 1014 (Alg.9) Thjeshtoni shprehjen:

Në të gjithë shembujt, së pari kryeni ose faktorizimin, ose zbritjen e faktorit të përbashkët, ose "shih" formula përkatëse shkurtesat.

Nr. 1015 (Alg.9) Zvogëlo thyesën:

Shumë studentë përjetojnë disa vështirësi në transformimin e shprehjeve që përmbajnë rrënjë, veçanërisht kur studiojnë barazinë:

Prandaj, ose përshkruani në detaje shprehjet e formës ose ose shkoni në një shkallë me një eksponent racional.

Nr. 1018 (Alg.9) Gjeni vlerën e shprehjes:

Nr. 1019 (Alg.9) Thjeshtoni shprehjen:

2.285 (Skanavi) Thjeshtoni shprehjen

dhe më pas vizatoni funksionin y Për

Nr. 2.299 (Skanavi) Kontrollo vlefshmërinë e barazisë:

Transformimi i shprehjeve që përmbajnë një shkallë është një përgjithësim i aftësive dhe aftësive të fituara në studimin e shndërrimeve identike të polinomeve.

Nr. 2.320 (Skanavi) Thjeshtoni shprehjen:

Kursi Algjebra 7 ofron përkufizimet e mëposhtme.

Def. Dy shprehje, vlerat përkatëse të të cilave janë të barabarta për vlerat e variablave, thuhet se janë identike të barabarta.

Def. Barazia është e vërtetë për çdo vlerë të variablave të thirrur. identitetit.

Nr. 94 (Alg.7) A është barazia:

a)

c)

d)

Përkufizimi i përshkrimit: Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje tjetër identikisht të barabartë quhet transformim identik ose thjesht transformim i një shprehjeje. Shndërrimet identike të shprehjeve me variabla kryhen në bazë të vetive të veprimeve me numra.

Nr.(Alg.7) Ndër shprehjet

gjeni ato që janë identike të barabarta.

Tema: “Shndërrime identike të shprehjeve” (teknika e pyetjeve)

Tema e parë e "Algjebra-7" - "Shprehjet dhe shndërrimet e tyre" ndihmon në konsolidimin e aftësive llogaritëse të fituara në klasat 5-6, sistematizimin dhe përgjithësimin e informacionit rreth transformimeve të shprehjeve dhe zgjidhjeve të ekuacioneve.

Gjetja e vlerave të numerike dhe shprehje fjalë për fjalë bën të mundur përsëritjen me nxënësit e rregullave të veprimit me numrat racionalë. Aftësia për të kryer veprimet aritmetike me numra racional janë bazë për të gjithë kursin e algjebrës.

Kur merren parasysh transformimet e shprehjeve, aftësitë formale dhe operative mbeten në të njëjtin nivel që u arrit në klasat 5-6.

Megjithatë, këtu studentët ngrihen në një nivel të ri në zotërimin e teorisë. Konceptet “në mënyrë identike shprehje të barabarta"", "identitet", "transformime identike të shprehjeve", përmbajtja e të cilave do të zbulohet dhe thellohet vazhdimisht gjatë studimit të shndërrimeve të shprehjeve të ndryshme algjebrike. Theksohet se baza e transformimeve të identitetit janë vetitë e veprimeve mbi numrat.

Gjatë studimit të temës "Polinomialet", formohen aftësitë operacionale formale të transformimeve identike të shprehjeve algjebrike. Formulat e shkurtuara të shumëzimit kontribuojnë në procesin e mëtejshëm të zhvillimit të aftësisë për të kryer transformime identike të shprehjeve të tëra, aftësia për të aplikuar formula si për shumëzimin e shkurtuar ashtu edhe për faktorizimin e polinomeve përdoret jo vetëm në transformimin e shprehjeve të plota, por edhe në veprimet me thyesa, rrënjë; , fuqitë me një eksponent racional .

Në klasën e 8-të, aftësitë e fituara të transformimeve të identitetit praktikohen në veprime me thyesat algjebrike, rrenja katrore dhe shprehjet që përmbajnë fuqi me një eksponent numër të plotë.

Në të ardhmen, teknikat e transformimeve të identitetit pasqyrohen në shprehje që përmbajnë një shkallë me një eksponent racional.

Grupi special transformimet e identitetit janë shprehjet trigonometrike dhe shprehjet logaritmike.

TE rezultate të detyrueshme Mësimi për kurset e algjebrës në klasat 7-9 përfshijnë:

1) transformimet e identitetit të shprehjeve të numrave të plotë

a) kllapa hapëse dhe mbyllëse;

b) sjellja e anëtarëve të ngjashëm;

c) mbledhjen, zbritjen dhe shumëzimin e polinomeve;

d) faktorizimi i polinomeve duke nxjerrë faktorin e përbashkët jashtë kllapave dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit;

e) zbërthimi trinomi kuadratik nga shumëzuesit.

“Matematika në shkollë” (B.U.M.) f.110

2) transformime identike të shprehjeve racionale: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim i thyesave, si dhe zbatoni aftësitë e listuara gjatë kryerjes së transformimeve të thjeshta të kombinuara [f. 111]

3) nxënësit duhet të jenë në gjendje të kryejnë transformime të shprehjeve të thjeshta që përmbajnë shkallë dhe rrënjë. (fq. 111-112)

U morën parasysh llojet kryesore të problemeve, aftësia për të zgjidhur të cilat i lejon studentit të marrë një notë pozitive.

Një nga aspektet më të rëndësishme të metodologjisë për studimin e transformimeve të identitetit është zhvillimi i qëllimeve të studentit për kryerjen e transformimeve të identitetit.

1) - thjeshtimi vlerë numerike shprehjet

2) cili nga transformimet duhet të kryhet: (1) ose (2) Analiza e këtyre opsioneve është një motivim (e preferueshme (1), pasi në (2) fushëveprimi i përkufizimit është ngushtuar)

3) Zgjidheni ekuacionin:

Faktorizimi gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.

4) Llogaritni:

Le të zbatojmë formulën e shkurtuar të shumëzimit:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Gjeni vlerën e shprehjes:

Për të gjetur vlerën, shumëzojeni çdo thyesë me konjugatin e saj:

6) Grafikoni funksionin:

Le të zgjedhim të gjithë pjesën: .

Parandalimi i gabimeve gjatë kryerjes së transformimeve të identitetit mund të merret duke përdorur shembuj të ndryshëm të zbatimit të tyre. Në këtë rast praktikohen teknika “të vogla”, të cilat si përbërës përfshihen në një proces transformimi më të madh.

Për shembull:

Në varësi të drejtimeve të ekuacionit mund të konsiderohen disa probleme: shumëzimi i polinomeve nga e djathta në të majtë; nga e majta në të djathtë - faktorizimi. Ana e majteështë shumëfish i njërit prej faktorëve në anën e djathtë, etj.

Përveç ndryshimit të shembujve, mund të përdorni falje midis identiteteve dhe barazive numerike.

Teknika tjetër është shpjegimi i identiteteve.

Për të rritur interesin e studentëve, mund të përfshijmë gjetjen në mënyra të ndryshme zgjidhjen e problemeve.

Mësimet mbi studimin e transformimeve të identitetit do të bëhen më interesante nëse ua kushtoni atyre duke kërkuar një zgjidhje për problemin .

Për shembull: 1) zvogëlo thyesën:

3) vërtetoni formulën " radikal kompleks»

Merrni parasysh:

Le të transformohemi anën e djathtë barazi:

-

shuma e shprehjeve të konjuguara. Ato mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me konjugatin e tyre, por një veprim i tillë do të na çonte në një fraksion, emëruesi i së cilës është ndryshimi i radikalëve.

Vini re se termi i parë në pjesën e parë të identitetit është një numër më i madh se i dyti, kështu që ne mund të katrorojmë të dy pjesët:

Mësim praktik №3.

Tema: Shndërrime identike të shprehjeve (teknika e pyetjeve).

Literatura: “Workshop on MPM”, fq.87-93.

Shenjë kulturë të lartë përllogaritjet dhe transformimet e identitetit, studentët kanë njohuri solide për vetitë dhe algoritmet e veprimeve mbi sasitë e sakta dhe të përafërta dhe zbatimin e tyre me shkathtësi; teknikat racionale llogaritjet dhe transformimet dhe verifikimi i tyre; aftësia për të justifikuar përdorimin e metodave dhe rregullave të llogaritjeve dhe transformimeve, automatizimi i aftësive ekzekutim pa gabime operacionet kompjuterike.

Në cilën klasë duhet të fillojnë studentët të punojnë për zhvillimin e aftësive të listuara?

Linja e transformimeve identike të shprehjeve fillon me përdorimin e teknikave llogaritje racionale fillon me përdorimin e teknikave për llogaritjen racionale të vlerave të shprehjeve numerike. (klasa e 5-të)

Kur studiohen tema të tilla kursi shkollor duhet t'u jepet matematika Vëmendje e veçantë!

Zbatimi i ndërgjegjshëm i transformimeve të identitetit nga studentët lehtësohet duke kuptuar faktin se shprehjet algjebrike nuk ekzistojnë më vete, por në lidhje e pathyeshme me disa grupe numerike, janë regjistrime të përgjithësuara të shprehjeve numerike. Analogjitë ndërmjet algjebrike dhe shprehjet numerike(dhe transformimet e tyre) janë të ligjshme në kuptimin logjik, përdorimi i tyre në mësimdhënie ndihmon në parandalimin e gabimeve te nxënësit.

Transformimet e identitetit nuk janë asnjë një temë më vete kursi i matematikës shkollore, ato studiohen gjatë gjithë kursit të algjebrës dhe fillimit të analizës matematikore.

Programi i matematikës për klasat 1-5 është material propedeutik për studimin e shndërrimeve identike të shprehjeve me një ndryshore.

Në kursin e algjebrës së klasës së 7-të. prezantohet përkufizimi i identitetit dhe transformimeve të identitetit.

Def. Quhen dy shprehje, vlerat përkatëse të të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave. identikisht të barabartë.

ODA. Një barazi që është e vërtetë për çdo vlerë të variablave quhet identitet.

Vlera e identitetit qëndron në faktin se ai lejon që një shprehje e caktuar të zëvendësohet me një tjetër që është identikisht e barabartë me të.

Def. Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje tjetër identikisht të barabartë quhet transformim identik ose thjesht transformimi shprehjet.

Shndërrimet identike të shprehjeve me variabla kryhen në bazë të vetive të veprimeve me numra.

Baza e transformimeve të identitetit mund të konsiderohen transformime ekuivalente.

ODA. Quhen dy fjali, secila prej të cilave është pasojë logjike e tjetrës. ekuivalente.

ODA. Fjalia me ndryshore A quhet. pasojë e një fjalie me ndryshore B, nëse domeni i së vërtetës B është një nëngrup i domenit të së vërtetës A.

Mund të jepet një përkufizim tjetër i fjalive ekuivalente: dy fjali me ndryshore janë ekuivalente nëse domenet e tyre të së vërtetës përkojnë.

a) B: x-1=0 mbi R; A: (x-1) 2 mbi R => A~B, sepse zonat e së vërtetës (zgjidhja) përkojnë (x=1)

b) A: x=2 mbi R; B: x 2 =4 mbi R => domeni i së vërtetës A: x = 2; domeni i së vërtetës B: x=-2, x=2; sepse domeni i së vërtetës së A përmbahet në B, atëherë: x 2 =4 është pasojë e pohimit x = 2.

Baza e transformimeve të identitetit është aftësia për të përfaqësuar të njëjtin numër në forma të ndryshme. Për shembull,

-

Ky paraqitje do të ndihmojë gjatë studimit të temës "vetitë themelore të thyesave".

Aftësitë në kryerjen e transformimeve të identitetit fillojnë të zhvillohen kur zgjidhen shembuj të ngjashëm me sa vijon: “Gjeni vlerën numerike të shprehjes 2a 3 +3ab+b 2 me a = 0,5, b = 2/3”, të cilat u ofrohen nxënësve të klasës. 5 dhe lejojnë konceptin propedeutik të funksionit.

Kur studioni formulat e shkurtuara të shumëzimit, duhet t'i kushtoni vëmendje kuptimit të tyre të thellë dhe asimilimit të fortë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni ilustrimin grafik të mëposhtëm:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Pyetje: Si t'u shpjegojmë nxënësve thelbin e formulave të dhëna bazuar në këto vizatime?

Një gabim i zakonshëm është të ngatërroni shprehjet "katrori i shumës" dhe "shuma e katrorëve". Tregimi i mësuesit se këto shprehje ndryshojnë në radhën e veprimit nuk duket i rëndësishëm, pasi nxënësit besojnë se këto veprime kryhen në të njëjtat numra dhe për këtë arsye rezultati nuk ndryshon duke ndryshuar rendin e veprimeve.

Detyrë: Krijoni ushtrime me gojë për të zhvilluar aftësitë e nxënësve në përdorimin pa gabime të formulave të mësipërme. Si mund të shpjegojmë se si këto dy shprehje janë të ngjashme dhe si ndryshojnë nga njëra-tjetra?

Shumëllojshmëria e gjerë e transformimeve identike e bën të vështirë për studentët që të orientohen për qëllimin për të cilin kryhen. Njohja e paqartë e qëllimit të kryerjes së transformimeve (në secilin rast specifik) ndikon negativisht në ndërgjegjësimin e tyre dhe shërben si burim gabime masive nxënësit. Kjo sugjeron që është e rëndësishme t'u shpjegohen studentëve qëllimet e kryerjes së transformimeve të ndryshme të identitetit. pjesë integrale metodat e studimit të tyre.

Shembuj të motivimeve për transformimin e identitetit:

1. thjeshtimi i vendndodhjes vlerë numerike shprehjet;

2. zgjedhja e një transformimi të ekuacionit që nuk çon në humbjen e rrënjës;

3. Kur kryeni një transformim, mund të shënoni zonën e llogaritjes së tij;

4. përdorimi i transformimeve në llogaritje, për shembull, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Për të menaxhuar procesin e vendimmarrjes, është e rëndësishme që mësuesi të ketë aftësinë për të dhënë një përshkrim të saktë të thelbit të gabimit të bërë nga nxënësi. Karakterizimi i saktë i gabimit është çelësi për të zgjedhja e duhur veprimet e mëpasshme të ndërmarra nga mësuesi.

Shembuj të gabimeve të studentëve:

1. kryerja e shumëzimit: nxënësi mori -54abx 6 (7 qeliza);

2. Duke ngritur në një fuqi (3x 2) 3 nxënësi mori 3x 6 (7 nota);

3. duke e shndërruar (m + n) 2 në polinom, nxënësi mori m 2 + n 2 (klasa e 7-të);

4. Me pakësimin e thyesës që mori nxënësi (8 nota);

5. kryerja e zbritjes: , nxënësi shkruan (klasa e 8-të)

6. Duke e paraqitur thyesën në formë thyese, nxënësi mori: (8 nota);

7. Heqja rrënjë aritmetike nxënësi mori x-1 (nota 9);

8. zgjidhja e ekuacionit (klasa e 9-të);

9. duke transformuar shprehjen nxënësi merr: (klasa e 9-të).

konkluzioni

Studimi i transformimeve të identitetit kryhet në lidhje e ngushtë me grupe numerike të studiuara në një klasë të caktuar.

Fillimisht, duhet t'i kërkoni studentit të shpjegojë çdo hap të transformimit, të formulojë rregullat dhe ligjet që zbatohen.

Në shndërrimet identike të shprehjeve algjebrike përdoren dy rregulla: zëvendësimi dhe zëvendësimi me të barabarta. Zëvendësimi përdoret më shpesh, sepse Llogaritja duke përdorur formula bazohet në të, d.m.th. gjeni vlerën e shprehjes a*b me a=5 dhe b=-3. Shumë shpesh, nxënësit neglizhojnë kllapat gjatë kryerjes së veprimeve të shumëzimit, duke besuar se nënkuptohet shenja e shumëzimit. Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur: 5*-3.

Letërsia

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Funksionale dhe metodat grafike zgjidhjen e problemeve të provimit”, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko " Gabimet e zakonshme në testimi i centralizuar", Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Detyrat e kurthit në testimin e centralizuar", Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Metodat e zgjidhjes problemet trigonometrike", Mn.. Aversev, 2005

Ndër shprehje të ndryshme, të cilat konsiderohen në algjebër, vend i rëndësishëm zënë shuma monomësh. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Për shembull, një polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
mund të thjeshtohet.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Mbrapa shkalla e polinomit të një forme standarde marrin fuqinë më të lartë të anëtarëve të saj. Kështu, binomi \(12a^2b - 7b\) ka shkallën e tretë, dhe trinomi \(2b^2 -7b + 6\) ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve të shkallës së saj. Për shembull:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i kundërt i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Katroret e shumës, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Me disa shprehje në transformimet algjebrike duhet të merren me më shpesh se të tjerët. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dhe \(a^2 - b^2 \), pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. A e keni vënë re se emrat shprehjet e specifikuara sikur të mos plotësohej, për shembull, \((a + b)^2 \) është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lehtë mund të shndërrohen (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, një detyrë të tillë e keni hasur tashmë gjatë shumëzimit të polinomeve; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - katrori i shumës e barabartë me shumën katrore dhe dyfishoni produktin.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishtë.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ndryshimi i katrorëve është i barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë në transformime të zëvendësojnë pjesët e majta të tyre me ato të djathta dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.