Kesirli rasyonel denklemler nasıl çözülür? Rasyonel denklemler

Bu yazıda size göstereceğim yedi tür çözüm algoritması rasyonel denklemler değişkenleri değiştirerek ikinci dereceden indirgenebilir. Çoğu durumda, değişime yol açan dönüşümler çok önemsizdir ve bunları kendi başınıza tahmin etmek oldukça zordur.

Her denklem türü için, içindeki değişken değişikliğinin nasıl yapılacağını açıklayacağım ve ardından ilgili video eğitiminde ayrıntılı bir çözüm göstereceğim.

Denklemleri kendi başınıza çözmeye devam etme ve ardından çözümünüzü video dersiyle kontrol etme fırsatınız var.

Öyleyse başlayalım.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Denklemin sol tarafında dört parantezden oluşan bir çarpım, sağ tarafında ise bir sayı olduğuna dikkat edin.

1. Serbest terimlerin toplamı aynı olacak şekilde parantezleri ikişer gruplayalım.

2. Bunları çarpın.

3. Değişken değişikliğini tanıtalım.

Denklemimizde (-1)+(-4)=(-7)+2 olduğundan birinci parantezi üçüncüyle, ikinciyi dördüncüyle gruplandıracağız:

Bu noktada değişken değişimi açıkça ortaya çıkıyor:

Denklemi elde ederiz

Cevap:

2 .

Bu tür bir denklem öncekine bir farkla benzer: Denklemin sağ tarafında ve sayısının çarpımı bulunur. Ve tamamen farklı bir şekilde çözüldü:

1. Serbest terimlerin çarpımı aynı olacak şekilde parantezleri ikişer gruplandırıyoruz.

2. Her bir parantez çiftini çarpın.

3. Her faktörden x'i çıkarıyoruz.

4. Denklemin her iki tarafını da 'ye bölün.

5. Değişken değişikliğini tanıtıyoruz.

Bu denklemde, birinci parantezi dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle gruplandırıyoruz, çünkü:

Her parantez içinde ve katsayısının olduğuna dikkat edin. Ücretsiz Üye aynısı. Her parantezden bir faktör çıkaralım:

x=0 bir kök olmadığından orijinal denklem Denklemin her iki tarafını da 'ye bölün. Şunu elde ederiz:

Denklemi elde ederiz:

Cevap:

3 .

Her iki fraksiyonun paydalarının da olduğuna dikkat edin. kare trinomialler, bunun için baş katsayı ve serbest terim aynıdır. İkinci tip denklemde olduğu gibi x'i parantezden çıkaralım. Şunu elde ederiz:

Her kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

Artık değişken değişimini tanıtabiliriz:

T değişkeni için bir denklem elde ederiz:

4 .

Denklemin katsayılarının merkezi katsayılara göre simetrik olduğuna dikkat edin. Bu denklem denir depozitolu .

Bunu çözmek için,

1. Denklemin her iki tarafını da şuna bölün (x=0 denklemin kökü olmadığı için bunu yapabiliriz.) Şunu elde ederiz:

2. Terimleri şu şekilde gruplayalım:

3. Her grupta parantez içindeki ortak faktörü çıkaralım:

4. Değiştirmeyi tanıtalım:

5. İfadeyi t aracılığıyla ifade edin:

Buradan

T için denklemi elde ederiz:

Cevap:

5. Homojen denklemler.

Üstel, logaritmik ve denklemlerin çözümünde homojen yapıya sahip denklemlerle karşılaşılabilir. trigonometrik denklemler, bu yüzden onu tanıyabilmeniz gerekir.

Homojen denklemler aşağıdaki yapıya sahiptir:

Bu eşitlikte A, B ve C sayılar olup, kare ve daire aynı ifadeleri ifade etmektedir. Yani homojen bir denklemin sol tarafında tek terimlilerin toplamı vardır. aynı derece(V bu durumda monomların derecesi 2'dir ve serbest terim yoktur.

Çözmek için homojen denklem, her iki tarafı da böl

Dikkat! Bir denklemin sağ ve sol taraflarını bilinmeyen içeren bir ifadeye böldüğünüzde kökleri kaybedebilirsiniz. Bu nedenle denklemin her iki tarafını da böldüğümüz ifadenin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

İlk yoldan gidelim. Denklemi elde ederiz:

Şimdi değişken değişimini tanıtıyoruz:

İfadeyi basitleştirelim ve elde edelim bi ikinci dereceden denklem t'ye göre:

Cevap: veya

7 .

Bu denklem aşağıdaki yapıya sahiptir:

Bunu çözmek için denklemin sol tarafındaki tam kareyi seçmeniz gerekir.

Tam kareyi seçmek için çarpımın iki katını eklemeniz veya çıkarmanız gerekir. Daha sonra toplamın veya farkın karesini alırız. Başarılı değişken değişimi için bu çok önemlidir.

Çarpımın iki katını bularak başlayalım. Bu, değişkeni değiştirmenin anahtarı olacaktır. Denklemimizde çarpımın iki katı eşittir

Şimdi bizim için neyin daha uygun olduğunu bulalım: toplamın karesi veya fark. Önce ifadelerin toplamını ele alalım:

Harika! Bu ifade çarpımın tam iki katına eşittir. Ardından, parantez içindeki toplamın karesini elde etmek için çift çarpımı ekleyip çıkarmanız gerekir:

Basitçe söylemek gerekirse bunlar, paydasında en az bir değişkenin bulunduğu denklemlerdir.

Örneğin:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Örnek Olumsuz kesirli rasyonel denklemler:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kesirli rasyonel denklemler nasıl çözülür?

Hatırlanması gereken en önemli şey kesirli rasyonel denklemler– bunların içine yazmanız gerekir. Ve kökleri bulduktan sonra kabul edilebilirlik açısından kontrol ettiğinizden emin olun. Aksi takdirde yabancı kökler ortaya çıkabilir ve kararın tamamı yanlış kabul edilecektir.

Kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma:

ODZ'yi yazın ve “çözün”.

Denklemdeki her terimi şununla çarpın: ortak payda ve ortaya çıkan fraksiyonları azaltın. Paydalar kaybolacak.

Parantezleri açmadan denklemi yazınız.

Ortaya çıkan denklemi çözün.

Bulunan kökleri ODZ ile kontrol edin.

Cevabınıza 7. adımdaki testi geçen kökleri yazın.

Algoritmayı ezberlemeyin, 3-5 tane çözülmüş denklem kendiliğinden hatırlanacaktır.

Örnek . Kesirli rasyonel denklemi çözün \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Çözüm:

Cevap: \(3\).

Örnek . Kesirli rasyonel denklemin köklerini bulun \(=0\)

Çözüm:

Cevap: \(\frac(1)(2)\).

Smirnova Anastasia Yurievna

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Organizasyon şekli Eğitim faaliyetleri : önden, bireysel.

Dersin amacı: yeni bir denklem türünü tanıtmak - kesirli rasyonel denklemler, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma hakkında fikir vermek.

Dersin Hedefleri.

Eğitici:

• kesirli rasyonel denklem kavramının oluşumu;
• kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
• Kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek.

Gelişimsel:

• edinilen bilgilerin uygulanmasında becerilerin geliştirilmesi için koşullar yaratmak;
• gelişmeyi teşvik etmek bilişsel ilgiöğrenciler konuya;
• öğrencilerin analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmek;
• karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerinin geliştirilmesi, dikkat, hafıza, sözlü ve yazı, bağımsızlık.

Eğitim:

• konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek;
• Karar almada bağımsızlığın teşvik edilmesi eğitim görevleri;
• Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Teçhizat: ders kitabı, karatahta, boya kalemleri.

Ders Kitabı "Cebir 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma". 2010

Açık bu konu beş saat ayrılmıştır. Bu ders birinci mi. Önemli olan kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı incelemek ve bu algoritmayı alıştırmalarda uygulamaktır.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı.

Merhaba beyler! Bugün dersimize bir dörtlükle başlamak istiyorum:
Herkesin hayatını kolaylaştırmak için,
Neye karar verilecek, ne mümkün olacak,
Gülümse, herkese iyi şanslar,
Hiçbir sorun yaşanmaması için
Birbirimize gülümsedik ve yarattık iyi ruh hali ve çalışmaya başladım.

Tahtaya yazılmış denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafların kesirli olduğu denklemler rasyonel ifadeler, kesirli rasyonel denklemler olarak adlandırılır. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sözlü çalışma sınıfla.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen her şeyi şuraya aktar: Sol Taraf denklemlerde tüm sayılar sağdadır. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. (P formüller hakkında)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfıra eşit olduğunda kesir sıfıra eşit ve payda sıfır değil.)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Oranın temel özelliğini kullanarak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Sonraki derslerde 7 numaralı denklem gibi denklemlerin çözümüne bakacağız.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

• 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5 ve 6 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-6 numaralı - değişkenli ifadeler.)
• Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
• Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının kök olmadığı sonucuna vardılar verilen denklem. Şu soru ortaya çıkıyor: kesirli rasyonel denklemleri ortadan kaldırmamıza izin veren bir yol var mı? bu hata? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında bir kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 - yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 - yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

5. Ödev verme.

1. Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
2. Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
3. 600 (d, d) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).

6. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar. Kesirli rasyonel denklemleri nasıl çözerseniz çözün, neyi aklınızda tutmalısınız? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

Yukarıdaki denklemi § 7'de tanıttık. Öncelikle rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırlayalım. Bu - cebirsel ifade doğal bir üsle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanan sayılar ve x değişkeninden oluşur.

Eğer r(x) rasyonel bir ifade ise r(x) = 0 denklemine rasyonel denklem denir.

Ancak pratikte "rasyonel denklem" teriminin biraz daha geniş bir yorumunu kullanmak daha uygundur: bu, h(x) = q(x) formundaki bir denklemdir; burada h(x) ve q(x) eşittir Rasyonel ifadeler.

Şimdiye kadar herhangi bir rasyonel denklemi çözemedik, ancak yalnızca çeşitli dönüşümler ve akıl yürütmeler sonucunda şuna indirgenen bir denklemi çözebildik: Doğrusal Denklem. Artık yeteneklerimiz çok daha büyük: yalnızca doğrusal olmayan bir rasyonel denklemi çözebileceğiz.
mu, ama aynı zamanda ikinci dereceden denklem için de.

Daha önce rasyonel denklemleri nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım ve bir çözüm algoritması oluşturmaya çalışalım.

Örnek 1. Denklemi çözün

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım.

Bu durumda, her zamanki gibi, A = B ve A - B = 0 eşitliklerinin A ve B arasındaki aynı ilişkiyi ifade etmesinden yararlanıyoruz. Bu, terimi denklemin sol tarafına taşımamızı sağladı. zıt işaret.

Denklemin sol tarafını dönüştürelim. Sahibiz

Eşitlik koşullarını hatırlayalım kesirler sıfır: ancak ve ancak iki ilişki aynı anda sağlanırsa:

1) kesrin payı sıfırdır (a = 0); 2) kesrin paydası sıfırdan farklıdır).
Denklemin (1) sol tarafındaki kesrin payını sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

Yukarıda belirtilen ikinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek kalır. Bu ilişki denklem (1) için şu anlama gelir: X 1 = 2 ve x 2 = 0,6 değerleri belirtilen ilişkileri karşılar ve bu nedenle denklemin (1) kökleri ve aynı zamanda verilen denklemin kökleri olarak görev yapar.

1) Denklemi forma dönüştürelim

2) Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:

(aynı anda paydaki işaretleri değiştirdi ve
kesirler).
Böylece, verilen denklem formu alır

3) x 2 - 6x + 8 = 0 denklemini çözün. Bulun

4) Bulunan değerler için koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin . 4 sayısı bu şartı sağlıyor ama 2 sayısı karşılamıyor. Bu, 4'ün verilen denklemin kökü olduğu ve 2'nin yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
CEVAP: 4.

2. Yeni bir değişken ekleyerek rasyonel denklemleri çözme

Yeni bir değişken ekleme yöntemi size tanıdık geliyor; bunu birden fazla kez kullandık. Rasyonel denklemlerin çözümünde nasıl kullanıldığını örneklerle gösterelim.

Örnek 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 denklemini çözün.

Çözüm. Yeni bir değişken tanıtalım: y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 olduğundan verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

y 2 + y - 20 = 0.

Bu, kökleri bilinen yöntemler kullanılarak bulunabilen ikinci dereceden bir denklemdir. formüller; y 1 = 4, y 2 = - 5 elde ederiz.
Ancak y = x 2, bu da sorunun iki denklemin çözülmesine indirgendiği anlamına gelir:
x2 =4; x2 = -5.

Birinci denklemden ikinci denklemin köklerinin olmadığını görüyoruz.
Cevap: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 biçimindeki bir denkleme iki ikinci dereceden denklem denir (“bi” ikidir, yani bir tür “çift ikinci dereceden” denklem). Az önce çözülen denklem tam olarak iki ikinci derecedendi. Herhangi bir iki ikinci dereceden denklem, Örnek 3'teki denklemle aynı şekilde çözülür: yeni bir y = x 2 değişkeni girin, elde edilen ikinci dereceden denklemi y değişkenine göre çözün ve ardından x değişkenine geri dönün.

Örnek 4. Denklemi çözün

Çözüm. Aynı x 2 + 3x ifadesinin burada iki kez göründüğüne dikkat edin. Bu, yeni bir y = x 2 + 3x değişkenini tanıtmanın mantıklı olduğu anlamına gelir. Bu, denklemi daha basit ve daha hoş bir biçimde yeniden yazmamıza olanak tanıyacaktır (aslında bu, yeni bir formül sunmanın amacıdır). değişken- ve kaydın basitleştirilmesi
daha net hale gelir ve denklemin yapısı daha net hale gelir):

Şimdi rasyonel bir denklemi çözmek için algoritmayı kullanalım.

1) Denklemin tüm terimlerini tek bir parçaya taşıyalım:

= 0
2) Denklemin sol tarafını dönüştürün

Böylece verilen denklemi forma dönüştürdük.

3) - 7y 2 + 29y -4 = 0 denkleminden şunu buluyoruz (siz ve ben zaten pek çok ikinci dereceden denklem çözdük, bu nedenle ders kitabında her zaman ayrıntılı hesaplamalar vermeye muhtemelen değmez).

4) Bulunan kökleri 5 (y - 3) (y + 1) koşulunu kullanarak kontrol edelim. Her iki kök de bu şartı sağlamaktadır.
Böylece yeni değişken y için ikinci dereceden denklem çözülür:
y = x 2 + 3x ve y, belirlediğimiz gibi iki değer aldığından: 4 ve , hâlâ iki denklemi çözmemiz gerekiyor: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Birinci denklemin kökleri 1 ve -4 sayıları, ikinci denklemin kökleri ise sayılardır

Ele alınan örneklerde, yeni bir değişken ekleme yöntemi, matematikçilerin söylemeyi sevdiği gibi, duruma uygundu, yani duruma iyi bir şekilde karşılık geliyordu. Neden? Evet, çünkü aynı ifade denklemde birkaç kez açıkça ortaya çıktı ve bu ifadenin belirtilmesinin bir nedeni vardı. yeni mektup. Ancak bu her zaman gerçekleşmez; bazen yeni bir değişken yalnızca dönüşüm süreci sırasında "görünür". Bir sonraki örnekte de tam olarak bu olacak.

Örnek 5. Denklemi çözün
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Çözüm. Sahibiz
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -3x+2.

Bu, verilen denklemin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Artık yeni bir değişken "ortaya çıktı": y = x 2 - 3x.

Onun yardımıyla denklem y (y + 2) = 24 ve ardından y 2 + 2y - 24 = 0 şeklinde yeniden yazılabilir. Bu denklemin kökleri 4 ve -6 sayılarıdır.

Orijinal x değişkenine dönersek, x 2 - 3x = 4 ve x 2 - 3x = - 6 olmak üzere iki denklem elde ederiz. İlk denklemden x 1 = 4, x 2 = - 1'i buluruz; ikinci denklemin kökleri yoktur.

CEVAP: 4, - 1.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Başvuru Kılavuzu

Rasyonel denklemler, hem sol hem de sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Hatırlayın: rasyonel ifadeler tamsayılardır ve kesirli ifadeler radikaller olmadan, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerini içeren - örneğin: 6x; (m – n)2; x/3y, vb.)

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın; yabancı kökler. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeye bölünmüyorsa bütün veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklemin örnekleri:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeye bölme varsa, o zaman denklem kesirli rasyonel olarak adlandırılır.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x – 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle aşağıdaki şekilde çözülür:

1) kesirlerin ortak paydasını bulun ve denklemin her iki tarafını da bununla çarpın;

2) ortaya çıkan denklemin tamamını çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra indirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne örnekler.

Örnek 1. Denklemin tamamını çözelim

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En düşük ortak paydayı bulma. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve elde edilen sonucu her kesrin payı ile çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Çünkü solda ve doğru parçalar aynı payda, ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açıp bir araya getirerek çözüyoruz benzer üyeler:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Ortak bir payda bulmak. Bu x(x – 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Artık tüm ifadeler için aynı olduğundan paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltıyoruz, denklemi sıfıra eşitliyoruz ve ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz: –2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2'de, x(x – 5) ortak paydası kaybolmaz. Bu –2'nin orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

x = 5 olduğunda ortak payda sıfıra gider ve üç ifadeden ikisi anlamsız hale gelir. Bu, 5 sayısının orijinal denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: x = –2

Daha fazla örnek

Örnek 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Cevap: -2,2;6.

Örnek 2.