Boyunca belirtildi sayı ekseni formül

X. f. Rastgele değişken X, tanımı gereği X'tir. f. olasılık dağılımı

X. f.'nin kullanımıyla ilgili yöntem ilk olarak A. M. Lyapunov tarafından kullanıldı ve daha sonra ana analitik yöntemlerden biri haline geldi. Olasılık teorisi yöntemleri. Örneğin olasılık teorisinde limit teoremlerinin kanıtlanmasında özellikle etkili bir şekilde kullanılır. 2 momentli bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler için merkezi limit teoremi, temel ilişkiye indirgenir

X'in temel özellikleri. f. 1) ve pozitif tanımlı, yani.

Herhangi bir sonlu küme için Karışık sayılar ve argümanlar

2) tüm eksen boyunca eşit şekilde sürekli

4)özellikle yalnızca kabul eder gerçek değerler(ve bir eşit işlev) ancak ve ancak karşılık gelen olasılık simetrikse, yani nerede

5) X.f. ölçüyü açıkça tanımlar; bir itiraz var:

Uçları sıfır m-ölçüsüne sahip olan herhangi bir aralık (a, 6) için. Eğer integrallenebilirse (eğer Riemanncı anlamda anlaşılırsa kesinlikle) o zaman karşılık gelen fonksiyon dağıtım ri'ye sahiptir

6) X. f. iki olasılık ölçüsünün evrişimi (iki bağımsız rastgele değişkenin toplamı) onların X'idir. f.

Aşağıdaki üç özellik, bir rastgele değişkenin momentlerinin varlığı ile X. fonksiyonunun düzgünlük derecesi arasındaki bağlantıyı ifade eder.

7) Eğer biraz doğal P, o zaman tüm doğallar için X'ten r mertebesinde türevler mevcuttur. f. rastgele değişken X ve eşitlik geçerlidir

8) Varsa o zaman

9) Herkes için ise

o zaman herkes için geçerli

X.f yöntemini kullanma temel olarak X. fonksiyonlarının yukarıdaki özelliklerine ve ayrıca aşağıdaki iki teoreme dayanmaktadır.
Bochner teoremi (X. fonksiyonlarının sınıfının açıklaması). f fonksiyonu verilsin ve f(0)=1 olsun. F'nin X olabilmesi için. f. Belirli bir olasılık ölçüsünün sürekli ve pozitif tanımlı olması gerekli ve yeterlidir.
Levy teoremi (yazışma). Olasılık ölçümlerinin bir dizisi olsun ve bunların X.f dizisi olsun. Daha sonra belirli bir olasılık ölçüsüne zayıf bir şekilde yakınsar (yani keyfi bir süreklilik için) sınırlı işlev ancak ve ancak her noktada belirli bir sürüye yaklaşırsa sürekli fonksiyon F; yakınsama durumunda, fonksiyon Buradan göreli (anlamda) çıkar. zayıf yakınsama Bir olasılık ölçümleri ailesinin )'si, karşılık gelen X. fonksiyonları ailesinin sıfırındaki eşsürekliliğe eşdeğerdir.
Bochner teoremi, Fourier-Stieltjes dönüşümüne olasılık ölçümlerinin bir yarı grubu (evrişim işlemine göre) ile sıfırda sıfıra eşit pozitif belirli sürekli fonksiyonların bir yarı grubu (noktasal çarpıma göre) arasında bakmamızı sağlar. Lévy teoremi bunun cebirsel olduğunu belirtir. izomorfizm aynı zamanda topolojiktir. homeomorfizm, eğer olasılık ölçümlerinin yarı grubunda zayıf yakınsamanın topolojisini dikkate alırsak ve yarı grupta pozitifse belirli işlevler- topoloji düzgün yakınsama Açık sınırlı setler.
X. f.'nin ifadeleri bilinmektedir. temel olasılıksal hastalıklar (bkz.), örneğin, X. f. Ortalama varyanslı Gauss ölçüsü
Negatif olmayan tam sayı rastgele değişkenler için X, X.f. ile birlikte analogu kullanılır -

X. f ile ilişkili. oran
X. f. sonlu boyutlu bir uzayda bir olasılık ölçüsü benzer şekilde tanımlanır:

Nerede x> araç . Yukarıda formüle edilen gerçekler X için de geçerlidir. f. olasılık ölçümleri

Aydınlatılmış.: Lukach E., Karakteristik fonksiyonlar, çev. İngilizce'den, M., 1979; Feller V., Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, cilt 2. çev. İngilizce'den, M., 1967; Prokhorov Yu.V., Rozanov Yu., Olasılık Teorisi. Temel konseptler. Limit teoremleri. Rastgele süreçler, 2. baskı, M., 1973; 3olotarev V. M., Tek boyutlu kararlı dağılımlar, M., 1983.
NH. Vakhania.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Diğer sözlüklerde "KARAKTERİSTİK FONKSİYON" un ne olduğuna bakın:

Karakteristik fonksiyon: Termodinamikteki karakteristik fonksiyon, bir sistemin termodinamik özelliklerinin belirlendiği bir fonksiyondur. Bir kümenin karakteristik işlevi, bir kümedeki bir öğenin üyeliğini belirleyen bir işlevdir;

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla... Fiziksel ansiklopedi

karakteristik fonksiyon- Durum işlevi termodinamik sistem karşılık gelen bağımsız termodinamik parametreler, bu fonksiyon ve bu parametrelere göre türevleri aracılığıyla tüm termodinamik ... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Karakteristik fonksiyon- işbirlikçi oyunlar teorisinde, oyundaki herhangi bir koalisyonun minimum kazanç miktarını belirleyen bir oran. İki koalisyon birleştiğinde H.f. birleşmemiş fonksiyonlar için bu tür fonksiyonların toplamından daha az olmayacaktır... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

karakteristik fonksiyon- Temel işlevlerle ilgili durumların belirlenmesi Bu işlevler, farklı işlevlere sahip farklı sistemler ve termodinamin sistemlerini koruma altına alır. atitikmenys: ingilizce. karakteristik fonksiyon rus. karakteristik fonksiyon... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

karakteristik fonksiyon- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karakteristik fonksiyon vok. Charakteristische Funktion, f rus. karakteristik fonksiyon, f pranc. Fonksiyon özelliği, f… Fizikos terminų žodynas - Espace X kümeleri, 1 at'ye ve 0 at'ye eşit bir fonksiyondur (burada CE, Ev X'in tamamlayıcısıdır). Değerleri (0, 1) olan her fonksiyon bir X. fonksiyonudur. belirli bir kümenin, yani bir kümenin, X fonksiyonlarının özellikleri: ikili ayrık, sonra 6) eğer o zaman... Matematik Ansiklopedisi

Matematiksel beklenti ve özellikleri.

Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri.

Karakteristik fonksiyon.

Ders No.5

Bölüm 2. Rastgele değişkenler.

Konu 1. Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve sayısal özellikler rastgele değişken.

Dersin amacı: Rastgele değişkenleri tanımlamanın yolları hakkında bilgi vermek.

Ders soruları:

Edebiyat:

L1 - Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Olasılık teorisi. Matematik istatistikleri. - 2. baskı. - M.: FİZMATLİT, 2005. - 296 s.

L2 - Gmurman, V. E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Ders Kitabı. üniversiteler için el kitabı/V. E. Gmurman. - 9. baskı, silindi. - M.: Daha yüksek. okul, 2005. - 479 s.: hasta.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Satırlar. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. Matematik istatistikleri. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2005. (pdf dosyası)

Birçok problemi çözerken dağıtım fonksiyonu yerine F(x) ve p.v. p(x) karakteristik fonksiyonu uygulanır. Bu özelliğin yardımıyla, örneğin kelimenin bazı sayısal özelliklerinin belirlenmesi tavsiye edilebilir. ve z.r. işlevler

Karakteristik fonksiyon sl.v. a.e'nin Fourier dönüşümü denir. p(x):

, (2.6.1)

karakteristik fonksiyonun argümanı olan parametre nerede, - m.o. sl.v. (bkz. § 2.8.).

Başvuru yaparak ters dönüşüm Fourier, a.e'yi belirleyen bir formül elde ederiz. sl.v. karakteristik fonksiyonu ile

. (2.6.2)

Boyuttan beri p(x) boyutun tersi X, o zaman miktar ve dolayısıyla boyutsuzdur. Argümanın ters boyutu var X.

Gösterimin kullanılması (2.5.7) a.e. p(x) delta fonksiyonlarının toplamı biçiminde, formül (1)'i ayrık r.v'ye genişletebiliriz.

. (2.6.3)

Bazen karakteristik fonksiyon yerine logaritmasını kullanmanın daha uygun olduğu ortaya çıkar:

e. (2.6.4)

İşlev e ikinci olarak adlandırılabilir ( logaritmik)karakteristik fonksiyon sl.v. .

En çok dikkat edelim önemli özellikler karakteristik fonksiyon.

. (2.6.5)

2. Simetrik dağılım için p(x)= p(-x)(1)'deki sanal kısım sıfırdır ve bu nedenle karakteristik fonksiyon gerçek bir çift fonksiyondur . Aksine, yalnızca gerçek değerleri alırsa o zaman eşit olur ve karşılık gelen dağılım simetrik olur.

3. Eğer s.v. dır-dir doğrusal fonksiyon sl.v. , o zaman karakteristik fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

, (2.6.6)

Nerede A Ve B- kalıcı.

4. Toplamın karakteristik fonksiyonu bağımsız s.v. terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir, yani eğer

. (2.6.7)

Bu özellik özellikle kullanışlıdır, çünkü aksi takdirde a.e. sl.v miktarı bazen zorluklara neden olan evrişimin birden fazla tekrarıyla ilişkilidir.

Dolayısıyla, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon arasındaki kesin ilişki dikkate alındığında, ikincisi eşit olarak s.v'yi tanımlamak için kullanılabilir.

Ayrık s.v. üç değer alabilir (darbelerin hiçbiri bastırılmaz), (bir darbe bastırılır), (her iki darbe de bastırılır). Bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir:

Bu arada, az önce öğrencinin düzgün süreklilik hakkında hiçbir şey bilmemesi gerektiğini savundunuz ve şimdi ona delta fonksiyonları mı sunuyorsunuz? Neyse, hiçbir şey söylemeyeceğim.

Kişisel olarak beni ilgilendiren özellikler ne olursa olsun, sizi bu konuyu tartışma isteğiyle tekrar gördüğüme sevindim. Seninle ilgileniyorum. Öğrenci kendisine sorulabilecek her şeyi bilmelidir, ancak her şeyden önce kavram sistemine, bunların karakterizasyonuna ve aralarındaki ilişkilere hakim olmalı ve çalıştığı disiplinin bölümünün dar çevresi ile sınırlı olmamalıdır. içinde şu an ve ayrıca şu veya bu koşulu karşılamayan çok sayıda işlevi sürekli hatırlayan yürüyen bir referans kitabı olmamalıdır.
Orijinal problemde, verilen HF fonksiyonunun herhangi bir rastgele değişken olup olmadığının belirlenmesi gerekiyordu. HF kavramı tanıtıldığında öğrenci böyle bir görev alır. Ve kararın amacı benzer görevler CP ve PR arasındaki ilişkiye dair anlayışı pekiştirmenin yanı sıra CP'nin özellikleri hakkındaki bilgileri pekiştirmektir.
Belirli bir fonksiyonun HF olduğunu göstermenin iki yolu vardır: ya Fourier'e göre ona karşılık gelen fonksiyonu bulmalı ve normalizasyon koşulunu karşıladığını ve pozitif olduğunu kontrol etmelisiniz ya da negatif olmayan kesinliği kanıtlamalısınız. Verilen fonksiyon ve Bochner-Khinchin teoremine bakın. Aynı zamanda, bir SV'nin diğer Rademacher SV'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil edilmesine ilişkin teoremlerin kullanılması, HF'nin temel özelliklerinin anlaşılmasına hiçbir şekilde katkıda bulunmaz; ayrıca, yukarıda belirttiğim gibi, çözümünüz şunları içerir; örtülü bir Fourier serisi, yani aslında birinci yönteme karşılık geliyor.
Belirli bir fonksiyonun herhangi bir SV'nin HF'si olamayacağını göstermek gerektiğinde, HF'nin özelliklerinden birinin başarısızlığını tespit etmek yeterlidir: sıfırda birim değer, modülün bir ile sınırlı olması, doğru değerlerin elde edilmesi ​​PDF anları için tekdüze süreklilik. Belirli bir fonksiyon aracılığıyla hesaplanan moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi, bu özelliklerden herhangi birinin karşılanmamasının hizmet verebileceği anlamında, tek biçimli sürekliliğin kontrol edilmesine matematiksel olarak eşdeğerdir. aynı temel Belirli bir fonksiyonun uygunsuzluğunu tanımak. Bununla birlikte, moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi resmileştirilmiştir: farklılaştırın ve kontrol edin. Düzgün süreklilik Genel dava Sorunu çözme başarısının şunlara bağlı olduğunu kanıtlamalıyız: yaratıcı potansiyelÖğrencinin “tahmin etme” yeteneği üzerine.
SV'nin “inşası” tartışmasının bir parçası olarak, şunu düşünmeyi öneriyorum: Basit görev: şu formun HF'si ile bir SV oluşturalım: Nerede

rastgele değişkenler benzersiz bir şekilde ilişkilidir Fourier dönüşümü. Örneğin, bir X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğu f(x), karakteristik fonksiyonu aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir. ters Fourier dönüşümü:

burada υ X (k) (0), t = 0'daki karakteristik fonksiyonun k'inci türevinin değeridir.

rastgele değişkenler terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir:

DERS 8 İki boyutlu rastgele değişkenler. İki boyutlu dağıtım yasası

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), aynı deney sonucunda değerler alan iki tek boyutlu rastgele değişkenin kümesidir.

İki boyutlu rastgele değişkenler, bileşenlerinin Ω X , Ω Y değer kümeleri ve ortak (iki boyutlu) dağılım yasasıyla karakterize edilir. X,Y bileşenlerinin türüne bağlı olarak ayrık, sürekli ve karışık iki boyutlu rastgele değişkenler ayırt edilir.

İki boyutlu bir rastgele değişken (X, Y) geometrik olarak şu şekilde temsil edilebilir: rastgele nokta(X,Y) x0y düzleminde veya orijinden (X,Y) noktasına yönlendirilmiş rastgele bir vektör olarak.

İki boyutlu dağıtım fonksiyonu iki boyutlu rastgele değişken

(X ,Y ) iki olayın (X) birlikte gerçekleşme olasılığına eşittir<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrik olarak iki boyutlu dağılım fonksiyonu F(x, y)

İki boyutlu dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. 0 ≤ F(x ,y )≤ 1.

olasılık

. (x,y)

Kanıt. Bu özellik, dağılım fonksiyonunun olasılık olarak tanımından kaynaklanmaktadır: olasılık, 1'i aşmayan, negatif olmayan bir sayıdır.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), eğer x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), eğer y 2 >y 1 ise.

Kanıt. F(x ,y )'nin azalan olmayan bir fonksiyon olduğunu kanıtlayalım.

değişken x. Olasılığı göz önünde bulundurun

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

p(X)'ten beri< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Aynı şekilde y için de.

4. Tek boyutlu özelliklere geçiş:

Dağıtım matrisi

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), Ω X ve Ω Y bileşenlerinin değer kümeleri sayılabilir kümeler ise ayrıktır. Açıklama için olasılıksal özellikler bu tür miktarlar için iki boyutlu bir dağılım fonksiyonu ve bir dağılım matrisi kullanılır.

Dağıtım matrisi temsil etmek dikdörtgen masa X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) bileşeninin değerlerini içeren, Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …, bileşeninin değerlerini içeren y m ) ve p ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m değerlerinin tüm olası çiftlerinin olasılıkları.

ben = 1

İki boyutlu dağıtım yoğunluğu

İki boyutlu bir rastgele değişken (X ,Y ), eğer sürekli ise

F(x,y) dağılım fonksiyonu her argüman için sürekli, türevlenebilir bir fonksiyondur ve ikinci bir fonksiyonu vardır.

karışık türev ∂ 2 F(x, y).

∂ x ∂y

İki boyutlu dağılım yoğunluğu f(x, y ) koordinatları olan bir noktanın yakınındaki olasılık yoğunluğunu karakterize eder ( x, y ) ve dağılım fonksiyonunun ikinci karma türevine eşittir:

∫∫ f(x, y) dxdy.

İki boyutlu yoğunluğun özellikleri:

1.f(x ,y )≥ 0.

2. Normalleştirme koşulu:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .