Moleküllerin Maxwell hız dağılımı. Maxwell dağıtım fonksiyonu

Ders 5

Gaz moleküllerinin birbirleriyle (1 saniyede ~10 9 çarpışma) ve kabın duvarlarıyla çok sayıda çarpışması sonucu, belirli bir istatistiksel dağılım Moleküller hıza göre. Bu durumda, moleküler hız vektörlerinin tüm yönleri eşit olasılığa sahip olur ve hız modülleri ve bunların projeksiyonları koordinat eksenleri belirli yasalara uyun.

Çarpışma sırasında moleküllerin hızları rastgele değişir. Bir dizi çarpışmada moleküllerden birinin diğer moleküllerden enerji alacağı ve enerjisinin belirli bir sıcaklıktaki ortalama enerji değerinden önemli ölçüde daha yüksek olacağı ortaya çıkabilir. Böyle bir molekülün hızı yüksek olacaktır ama yine de nihai değer maksimum olduğundan olası hız– ışık hızı – 3·10 8 m/s. Sonuç olarak, bir molekülün hızı genellikle 0'dan bazılarına kadar değerlere sahip olabilir. υ maks. Ortalama değerlere göre çok yüksek hızların nadir olduğu gibi çok küçük hızların da nadir olduğu ileri sürülebilir.

Teori ve deneylerin gösterdiği gibi, moleküllerin hıza göre dağılımı rastgele değil, oldukça kesindir. Kaç tane molekülün veya moleküllerin hangi kısmının belirli bir hıza yakın belirli bir aralıkta hızlara sahip olduğunu belirleyelim.

Belirli bir gaz kütlesinin içermesine izin verin N moleküller bu arada dN Moleküller arasında değişen hızlara sahiptirler. υ ile υ +dυ. Açıkçası bu moleküllerin sayısıdır dN toplam molekül sayısıyla orantılı N ve belirtilen hız aralığının değeri dυ

Nerede A- orantılılık katsayısı.

Şu da açık ki dN hıza bağlıdır υ , çünkü aynı büyüklükteki aralıklarla, ancak farklı mutlak hız değerlerinde, molekül sayısı farklı olacaktır (örnek: 20 - 21 yaşlarında ve 99 - 100 yaşlarında yaşayan insan sayısını karşılaştırın). Bu, katsayı anlamına gelir A formül (1)'deki hız bir fonksiyonu olmalıdır.

Bunu dikkate alarak formda (1)'i yeniden yazıyoruz.

(2)'den şunu elde ederiz:

İşlev F(υ ) dağıtım fonksiyonu olarak adlandırılır. O fiziksel anlam formül (3)'ten gelir

Buradan, F(υ ), hızları hıza yakın bir birim hız aralığında yer alan moleküllerin bağıl fraksiyonuna eşittir υ . Daha kesin olarak dağılım fonksiyonu, herhangi bir gaz molekülünün belirli bir hıza sahip olma olasılığı anlamına gelir. birim aralığı yakın hız υ . Bu yüzden onu çağırıyorlar olasılık yoğunluğu.

(2)'yi 0'dan itibaren tüm hız değerleri üzerinden integre ederek elde ederiz

(5)'ten şu sonuç çıkıyor

Denklem (6) denir normalleştirme koşulu işlevler. Bir molekülün 0'dan 0'a kadar olan hız değerlerinden birine sahip olma olasılığını belirler. Bir molekülün hızının bir anlamı vardır: Bu olay güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir.

İşlev F(υ ) 1859 yılında Maxwell tarafından bulunmuştur. O seçildi Maxwell dağılımı:

Nerede A– hıza bağlı olmayan katsayı, M– moleküler kütle, T– gaz sıcaklığı. Normalizasyon koşulunu (6) kullanarak katsayıyı belirleyebiliriz A:

Bu integrali alırsak, şunu elde ederiz: A:

Katsayı dikkate alınarak A Maxwell dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

Artırırken υ (8)'deki faktör büyüdükçe daha hızlı değişir υ 2. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu (8) orijinden başlar, belirli bir hız değerinde maksimuma ulaşır, daha sonra azalarak asimptotik olarak sıfıra yaklaşır (Şekil 1).

Şekil 1. Moleküllerin Maxwell dağılımı

hıza göre. T 2 > T 1

Maxwell dağılım eğrisini kullanarak, hızları belirli bir hız aralığında bulunan moleküllerin bağıl sayısını grafiksel olarak bulabilirsiniz. υ ile dυ(Şekil 1, gölgeli şeridin alanı).

Açıkçası, eğrinin altındaki alanın tamamı şunu verir: toplam sayı moleküller N. Denklem (2)'den (8)'i hesaba katarak, hızları şu aralıkta olan moleküllerin sayısını buluyoruz: υ ile dυ

(8)'den de açıkça görülmektedir ki özel tip dağıtım fonksiyonu gazın türüne (molekül kütlesi) bağlıdır M) ve sıcaklığa bağlıdır ve gazın basıncına ve hacmine bağlı değildir.

Eğer izole sistem denge durumundan çıkarılıp kendi haline bırakılır, belli bir süre sonra denge durumuna geri döner. Bu süreye denir dinlenme zamanı. İçin çeşitli sistemler bu farklı. Eğer gaz içerideyse denge durumu o zaman moleküllerin hıza göre dağılımı zamanla değişmez. Tek tek moleküllerin hızları sürekli değişiyor, ancak moleküllerin sayısı dN hızları şu aralıkta yer alır: υ ile dυ her zaman sabit kalır.

Moleküllerin Maxwell hız dağılımı her zaman sistem denge durumuna ulaştığında kurulur. Gaz moleküllerinin hareketi kaotiktir. Tam tanım Termal hareketlerin rastgeleliği aşağıdaki gibidir: Moleküllerin hızları Maxwell'e göre dağıtılırsa moleküllerin hareketi tamamen kaotiktir.. Buradan sıcaklığın ortalama kinetik enerji tarafından belirlendiği sonucu çıkar. yani kaotik hareketler. Hız ne kadar yüksek olursa olsun kuvvetli rüzgar, onu "ateşli" yapmayacak. En güçlü rüzgar bile hem soğuk hem de sıcak olabilir çünkü gazın sıcaklığı rüzgarın yönsel hızına göre değil, moleküllerin kaotik hareket hızına göre belirlenir.

Dağılım fonksiyonunun grafiğinden (Şekil 1), hızları aynı d aralıklarında bulunan moleküllerin sayısının olduğu açıktır. υ , ama yakın farklı hızlar υ , eğer hız daha fazlaysa υ fonksiyonun maksimumuna karşılık gelen hıza yaklaşır F(υ ). Bu hız υ n'ye en olası (en olası) denir.

(8)'in türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

o zaman son eşitlik şu durumlarda sağlanır:

Denklem (10) şu durumlarda sağlanır:

İlk iki kök karşılık gelir minimum değerler işlevler. Daha sonra şu durumdan dağıtım fonksiyonunun maksimumuna karşılık gelen hızı buluruz:

Son denklemden:

Nerede R– evrensel gaz sabiti, μ – molar kütle.

(11)'i dikkate alarak (8)'den şunu elde edebiliriz: maksimum değer dağıtım fonksiyonları

(11) ve (12)'den şu sonuç çıkıyor: artan T veya azalırken M maksimum eğri F(υ ) sağa kayar ve küçülür, ancak eğrinin altındaki alan sabit kalır (Şekil 1).

Birçok problemi çözmek için Maxwell dağılımını indirgenmiş haliyle kullanmak uygundur. Hadi tanıştıralım bağıl hız:

Nerede υ – verilen hız, υ n- en olası hız. Bunu dikkate alarak denklem (9) şu şekli alır:

(13) evrensel bir denklemdir. Bu formda dağıtım fonksiyonu gazın türüne veya sıcaklığa bağlı değildir.

Eğri F(υ ) asimetriktir. Grafikten (Şekil 1) açıkça görülüyor ki en Moleküllerin hızları daha yüksektir υ n. Eğrinin asimetrisi, moleküllerin aritmetik ortalama hızının eşit olmadığı anlamına gelir υ n. Aritmetik ortalama hız, tüm moleküllerin hızlarının toplamının sayılarına bölünmesine eşittir:

(2)’ye göre bunu dikkate alalım.

(14) değerini yerine koymak F(υ ) (8)'den aritmetik ortalama hızı elde ederiz:

Moleküllerin hızının ortalama karesi, tüm moleküllerin hızlarının kareleri toplamının sayılarına oranının hesaplanmasıyla elde edilir:

Oyuncu değişikliğinden sonra F(υ ) (8)'den şunu elde ederiz:

Son ifadeden hızın ortalama karekökünü buluyoruz:

(11), (15) ve (16)'yı karşılaştırarak ve'nin sıcaklığa eşit derecede bağlı olduğu ve yalnızca farklı olduğu sonucuna varabiliriz. sayısal değerler: (Şekil 2).

Şekil 2. Maxwell dağılımı mutlak değerler hızlar

Maxwell dağılımı denge durumundaki gazlar için geçerlidir; söz konusu moleküllerin sayısı yeterince büyük olmalıdır. Az sayıda molekül için Maxwell dağılımından önemli sapmalar (dalgalanmalar) gözlemlenebilir.

Moleküler hızların ilk deneysel tespiti, kıç 1920'de. Stern'ün cihazı aynı eksene monte edilmiş farklı yarıçaplara sahip iki silindirden oluşuyordu. Silindirlerden gelen hava derin bir vakuma pompalandı. Platin iplikle kaplanmış ince tabaka gümüş Bir iplik boyunca geçirildiğinde elektrik akımı o kadar ısındı yüksek sıcaklık(~1200 o C), bu da gümüş atomlarının buharlaşmasına neden oldu.

İç silindirin duvarında içinden hareketli gümüş atomlarının geçtiği dar, uzunlamasına bir yarık yapıldı. Dış silindirin iç yüzeyinde birikerek, yarığın tam karşısında açıkça görülebilen ince bir şerit oluşturdular.

Silindirler sabit bir hızla dönmeye başladı açısal hızω. Artık yarıktan geçen atomlar artık doğrudan yarığın karşısına yerleşmedi, ancak belirli bir mesafe kadar yer değiştirdiler, çünkü uçuşları sırasında dış silindirin belirli bir açıyla dönme zamanı vardı. Silindirler birlikte döndüğünde sabit hız, şerit konumu, atomların oluşturduğu dış silindirde bir miktar mesafe kaydırılmış ben.

Parçacıklar tesis sabitken 1 noktasına yerleşir; kurulum döndüğünde parçacıklar 2 noktasına yerleşir.

Elde edilen hız değerleri Maxwell'in teorisini doğruladı. Ancak bu yöntem moleküllerin hız dağılımının doğası hakkında yaklaşık bilgi sağladı.

Maxwell dağılımı deneylerle daha doğru bir şekilde doğrulandı Lammert, Easterman, Eldridge ve Costa. Bu deneyler Maxwell'in teorisini oldukça doğru bir şekilde doğruladı.

Bir ışındaki cıva atomlarının hızının doğrudan ölçümleri 1929'da yapıldı. Lammert. Bu deneyin basitleştirilmiş bir diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.

Şekil 3. Lammert deneyinin şeması
1 - hızla dönen diskler, 2 - dar yarıklar, 3 - fırın, 4 - kolimatör, 5 - moleküllerin yörüngesi, 6 - dedektör

Ortak bir eksen üzerine monte edilmiş iki disk (1), birbirine göre belirli bir açıyla kaydırılmış radyal yuvalara (2) sahipti φ . Yarıkların karşısında, eriyebilir metalin yüksek sıcaklığa ısıtıldığı fırın 3 vardı. Isıtılmış metal atomları bu durumda cıva fırından dışarı uçtu ve kolimatör 4 kullanılarak gerekli yöne yönlendirildi. Kolimatörde iki yarık bulunması, parçacıkların diskler arasında hareketini sağladı. düz yol 5. Daha sonra disklerdeki yarıklardan geçen atomlar dedektör 6 kullanılarak kaydedildi. Açıklanan kurulumun tamamı derin vakuma yerleştirildi.

Diskler sabit bir ω açısal hızıyla döndüğünde, yalnızca belirli bir hıza sahip olan atomlar yarıklardan serbestçe geçebiliyordu. υ . Her iki yarıktan geçen atomlar için eşitliğin sağlanması gerekir:

nerede Δ T 1 - moleküllerin diskler arasındaki uçuş süresi, Δ T 2 - diskleri belirli bir açıyla döndürme zamanı φ . Daha sonra:

Disklerin açısal dönüş hızını değiştirerek, belirli bir hıza sahip molekülleri ışından izole etmek mümkün oldu. υ ve dedektör tarafından kaydedilen yoğunluktan, bunların ışındaki göreceli içeriğine karar verilir.

Bu şekilde Maxwell'in moleküler hız dağılımı yasasını deneysel olarak doğrulamak mümkün oldu.

Denge durumunda sistemin tüm kısımlarındaki basınç aynı olduğundan, gazdaki moleküllerin yönlendirilmiş hareketinin olmadığını, yani moleküllerin hareketlerinin aşırı derecede düzensiz olduğunu varsaymak doğaldır.

Moleküler hızlar açısından bu şu anlama gelir:

Moleküllerin hızı ve projeksiyonları sürekli miktarlar hiçbir hız değerinin diğer değerlere üstünlüğü olmadığından;

Bir gazdaki termal dengede, moleküler hızların tüm yönleri eşit derecede olasıdır. Aksi takdirde bu, yönlendirilmiş makroskobik molekül akışlarının oluşmasına ve basınç düşüşlerinin oluşmasına yol açacaktır.

Hız ve projeksiyonları sürekli büyüklükler olduğundan, dağılım yoğunluk fonksiyonu f(v x), f(v y), f(v z) kavramı moleküler hız bileşenleri (v x, v y, v z) ve hız modülü üzerinden tanıtılmıştır. f(v)

Hız bileşenleri v x , v y , v z için olasılık yoğunluk fonksiyonlarına ilişkin ifadeler şu şekildedir:

f(v x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.

Fonksiyon v x = 0'da bir maksimuma sahiptir, ona göre simetriktir ve v x ® ± ¥'de üstel olarak sıfıra yönelir. Apsis ekseni boyunca temel hız aralıklarını dv x, v x'in 0'a eşit değerleri etrafında çizelim; ± v x ¢; ± v x ¢¢. f(vx)dvx çarpımı, hız bileşeni vx yaklaşık olarak aralıkta olan moleküllerin fraksiyonuna eşittir. belirtilen değerler. Öte yandan grafikteki f(v x) dv x çarpımı seçilen hızların etrafındaki gölgeli alanlara eşittir.

Gölgeli alanların boyutlarının karşılaştırılmasından şu sonuç çıkıyor:

Moleküllerin göreceli çoğunluğu vx ekseni boyunca sıfıra yakın bir hız projeksiyonuna sahiptir;

Moleküllerin oranları aynı değerler v x , ancak uçuyor zıt yönler (farklı işaretler+v x ve -v x) aynıdır;

Sahip olan molekül sayısı büyük değerler hız bileşenleri küçüktür (± v x ¢¢ civarında küçük alan).

Benzer bir analiz f(v y), f(v z) için de yapılabilir.

f(v) fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.

Fonksiyon v = 0'da 0'a eşittir; v ® ¥'de sıfıra yönelir, v = v b'de bir maksimuma sahiptir. Dağılım yoğunluk fonksiyonunun maksimuma ulaştığı vb hızının değerine en olası hız denir. Değeri ekstremum durumdan bulunur.

f(v) dv çarpımı, hızları seçilen dv aralığında yer alan moleküllerin fraksiyonunu verir. Grafikte bu çarpım taralı alanlara eşittir. Grafikten de görülebileceği gibi maksimum alan v b hızına karşılık gelmektedir. Hız arttıkça yüksek hıza sahip moleküllerin oranı azalır ( küçük alan v 3'te). bilmek analitik görünüm f(v), bulunabilir

Moleküllerin hıza göre dağılımı sıcaklığa bağlıdır.

Maxwell'in gaz moleküllerinin hıza göre dağılımı yasası çok sayıda parçacığın davranışını tanımlar, yani istatistiksel bir yasadır. Moleküllerin hız dağılımı çarpışmaları yoluyla belirlenir. Çarpışma sırasında moleküllerin hızları değişir ancak hız dağılımı yasası değişmez.

Maxwell dağılımının karakteristik parametreleri, dağılım eğrisinin maksimumuna karşılık gelen en olası hız υ in ve hızın karesinin ortalama değeri olan ortalama kare hızın köküdür.

İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:

Konuyla ilgili daha fazla bilgi Maxwell'in hız dağılımı. Bir molekülün en olası ortalama karekök hızı:

1. 57. Sıcaklığın moleküler-kinetik anlamı. Moleküllerin termal hareketinin enerjisi ve hızı.
2. Mekanik hareket Hareketin göreliliği, Referans sistemi, Malzeme noktası, Yörünge. Yol ve hareket. Anlık hız. Hızlanma. Düzgün ve eşit şekilde hızlandırılmış hareket

§4 Maxwell'in hızların ve enerjilerin dağılımına ilişkin yasası

Moleküler dağılım kanunu ideal gaz Teorik olarak 1860 yılında Maxwell tarafından elde edilen hıza göre hangi sayının belirlendiğini belirler. dN homojen moleküller (P= const) tek atomlu bir ideal gazın toplamındanNBelirli bir sıcaklıkta birim hacim başına moleküllerinin sayısı T aralığındaki hızlarv ile v+ dv.

Moleküler hız dağılım fonksiyonunu türetmek içinF( v) orana eşit molekül sayısı dN hızları aralıkta yer alanv÷ v+ dvtoplam molekül sayısınaNve aralığın boyutudv

Maxwell iki cümle kullandı:

a) uzaydaki tüm yönler eşittir ve dolayısıyla parçacık hareketinin herhangi bir yönü, yani. hızın herhangi bir yönü eşit derecede olasıdır. Bu özelliğe bazen dağıtım fonksiyonunun izotropi özelliği denir.

b) karşılıklı üç dik eksen boyunca hareket bağımsızdır, yani. Hızın x bileşenleribileşenlerinin değerlerine bağlı değildir veya . Ve sonra sonuç F ( v) bir bileşen için ilk önce yapılırve daha sonra tüm hız koordinatlarına genelleştirilir.

Ayrıca gazın çok büyük sayıda maddeden oluştuğuna inanılmaktadır.N Aynı sıcaklıkta rastgele termal hareket halindeki özdeş moleküller. Kuvvet alanları Gazla çalışmıyor.

Fonksiyonlar F ( v) moleküllerin bağıl sayısını belirlerdN( v)/ Nhızları şu aralıkta yer almaktadır:v ile v+ dv(örneğin: gaz varN= 10 6 molekül,dN= 100

moleküllerin hızları varv=100 ila v+ dv=101 m/s ( dv = 1 m) o zaman .

Maxwell olasılık teorisi yöntemlerini kullanarak fonksiyonu bulduF ( v) - İdeal gaz moleküllerinin hıza göre dağılım yasası:

F ( v) gazın türüne (molekülün kütlesine) ve durum parametresine (sıcaklığa) bağlıdır T)

F( v) tutuma bağlıdır kinetik enerji dikkate alınan hıza karşılık gelen molekül boyutuna kTortalamayı karakterize etmek termal enerji gaz molekülleri.

küçük v ve işlev F( v) neredeyse parabolik olarak değişir. v arttıkça çarpan çarpan arttığından daha hızlı azalır yani maksimum işlevler var F( v) . İdeal gaz moleküllerinin hız dağılım fonksiyonunun maksimum olduğu hıza denir. büyük olasılıkla hız durumdan buluyoruz

Bu nedenle sıcaklık arttıkça en olası hız da artar, ama alan SDağılım fonksiyonu eğrisi ile sınırlı olan , normalizasyon koşulundan bu yana değişmeden kalır(güvenilir bir olayın olasılığı 1 olduğundan), bu nedenle artan sıcaklıkla birlikte dağılım eğrisiF ( v) uzayacak ve küçülecek.

İÇİNDE istatistiksel fizik bir büyüklüğün ortalama değeri, bu miktarın olasılık yoğunluğunun (istatistiksel ağırlık) çarpımının 0'dan sonsuza kadar integrali olarak tanımlanır.

< X >=

O zaman moleküllerin aritmetik ortalama hızı

Ve elde ettiğimiz parçalara göre entegrasyon

Gazın durumunu karakterize eden hızlar

§5 Maxwell dağıtım yasasının deneysel olarak doğrulanması - Stern'in deneyi

Bu amaçla iç silindirin ekseni boyunca akımla ısıtılan gümüş tabakasıyla kaplı bir platin tel gerilir. Isıtıldığında gümüş buharlaşır, gümüş atomları yarıktan dışarı fırlar ve iç yüzey ikinci silindir. Her iki silindir de hareketsizse, hızlarına bakılmaksızın tüm atomlar aynı B noktasına ulaşır. Silindirler ω açısal hızıyla döndüğünde gümüş atomları B' noktalarına düşer, B '' ve benzeri. ω büyüklüğüne göre mesafe? ve yer değiştirme X= BB' ise atomların B' noktasına çarpma hızını hesaplayabilirsiniz.

Yarıktaki görüntü bulanık görünüyor. Biriken katmanın kalınlığını inceleyerek, Maxwell dağılımına karşılık gelen moleküllerin hız dağılımını tahmin etmek mümkündür.

§6 Barometrik formül

Boltzmann dağılımı

Şu ana kadar etkilenmeyen ideal bir gazın davranışını ele aldık. dış kuvvetler yeni alanlar. Deneyimlerden, dış kuvvetlerin etkisi altında parçacıkların uzaydaki düzgün dağılımının bozulabileceği iyi bilinmektedir. Yani yerçekiminin etkisi altında moleküller kabın dibine batma eğilimindedir. Yoğun termal hareket çökelmeyi önler ve moleküller dağılarak yükseklik arttıkça konsantrasyonları giderek azalır.

Yerçekimi alanının düzgün, sıcaklığın sabit ve tüm moleküllerin kütlesinin aynı olduğunu varsayarak basınç değişimi yasasını yükseklikle türetelim. Eğer atmosferik basınçüstte h, p'ye eşittir, o zaman yükseklikte H + DH eşit P + dp(saatte DH > 0, dp < 0, так как Parttıkça azalırH).

Yüksekliklerde basınç farkıH Ve H+ DHtaban alanı 1 ve yüksekliği olan bir hacim içinde yer alan hava moleküllerinin ağırlığı olarak tanımlayabilirizDH.

yükseklikte yoğunlukH ve o zamandan beri = const.

Daha sonra

Mendeleev-Clapeyron denkleminden.

Daha sonra

Veya

Yükseklik değişikliği ileH 1 ile H 2 basınç değişirP 1 ile P 2

Bu ifadeyi kuvvetlendirelim (

Barometrik formül, basıncın rakımla nasıl değiştiğini gösterir

Şu tarihte:

Daha sonra

Çünkü

O

N H,

n 0 yükseklikte moleküllerin konsantrasyonuH =0.

Çünkü

O

potansiyel enerji Yerçekimi alanındaki moleküller

Dış potansiyel alanında Boltzmann dağılımı. Bundan şu sonuç çıkıyor:T= sabit Moleküllerin potansiyel enerjisinin az olduğu yerde gaz yoğunluğu daha fazladır.

§7 Deneyimli kararlılık Avogadro sabiti

J. Perrin (Fransız bilim adamı), 1909'da, 1 μm alan derinliğine sahip bir mikroskop kullanılarak incelenen boyutları olan bir sakız sakızı emülsiyonu (ağaç özü) içindeki Brown parçacıklarının davranışını inceledi. Mikroskobu dikey yönde hareket ettirerek Brown parçacıklarının yükseklik dağılımını incelemek mümkün oldu.

Boltzmann dağılımını onlara uygulayarak şunu yazabiliriz:

n = - burada m parçacığın kütlesidir

M - yer değiştiren sıvının kütlesi:

Eğer n 1 ve n 2 ise seviyelerde parçacıkların konsantrasyonu h 1 ve h 2 ve k = R / N A, o zaman

NA =

Değer, Boltzmann parçacık dağılımını doğrulayan referans değeriyle iyi uyum sağlıyor

Gaz moleküllerinin hareketi istatistiksel fizik yasalarına uyar. Ortalama olarak tüm moleküllerin hızları ve enerjileri aynıdır. Bununla birlikte, herhangi bir zamanda, bireysel moleküllerin enerjisi ve hızı, ortalama değerden önemli ölçüde farklı olabilir.

Kullanarak olasılık teorisi Maxwell bunun için bir formül elde etmeyi başardı. bağıl frekans Belirli bir sıcaklıkta, belirli bir değer aralığında hızlara sahip bir gazda moleküllerin meydana geldiği.

Maxwell'in dağıtım yasası moleküllerin bağıl sayısını belirler dN/N, hızları aralıkta yer alan ( sen, sen + du).

Şuna benziyor:

Nerede N- toplam gaz molekülü sayısı; - hızları belirli bir aralıkta olan moleküllerin sayısı; u hız aralığının alt sınırıdır; D u hız aralığının değeridir; T- gaz sıcaklığı; e= 2,718… - doğal logaritmanın tabanı;

k= 1,38×10 -23 J/K - Boltzmann sabiti; M 0 molekülün kütlesidir.

Bu formülü elde ederken Maxwell aşağıdaki varsayımlara dayanıyordu:

1. Gaz çok sayıda maddeden oluşur Nözdeş moleküller.

2. Gaz sıcaklığı sabittir.

3. Gaz molekülleri termal kaotik harekete maruz kalır.

4. Gaz kuvvet alanlarından etkilenmez.

Not formül (8.29)'daki üstel işaretin altında molekülün kinetik enerjisinin miktara oranı vardır. kT bu enerjinin ortalama (moleküller üzerinde) değerini karakterize eder.

Maxwell dağılımı, belirli bir gazın toplam molekül sayısının dN/N oranının u ila u + du aralığında bir hıza sahip olduğunu gösterir.

Dağıtım fonksiyonlarının grafiği (Şekil 8.5) asimetrik. Maksimum konum, en sık meydana gelen hızı karakterize eder. en olası hız u m. Hızları aşan sen, düşük hızlardan daha yaygındır. Artan sıcaklıkla birlikte maksimum dağılım daha yüksek hızlara doğru kayar.

Aynı zamanda eğri daha düz hale gelir (molekül sayısı çok fazla olduğundan eğrinin altındaki alan değişemez) N sabit kalır).

Pirinç. 8.5

En olası hızı belirlemek için Maxwell dağılım fonksiyonunu maksimuma kadar incelemeniz gerekir (birinci türevi sıfıra eşitleyin ve u'yu çözün). Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Size bağlı olmayan faktörleri göz ardı ettik. Farklılaşmayı gerçekleştirdikten sonra denkleme ulaşırız:

İlk faktör (üs) u = ¥'de kaybolur ve üçüncü faktör (u) u'da kaybolur. = 0. Ancak grafikten (Şekil 8.5) u değerlerinin olduğu açıktır. = 0 ve u = ¥ fonksiyonun (8.29) minimumuna karşılık gelir. Bu nedenle değer sen Maksimuma karşılık gelen , ikinci parantezdeki sıfıra eşitlikten elde edilir: . Buradan

Moleküllerin hız dağılım fonksiyonu için notasyonu tanıtalım (8.29):

Bazılarının ortalama değerinin olduğu bilinmektedir. fiziksel miktar J( X) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

(8.32)'den hız modülü u'nun ortalama değeri ve u karesinin ortalama değeri için ifadeler elde ederiz:

Böylece, ortalama hız moleküllerin (aynı zamanda aritmetik ortalama hız olarak da adlandırılır) anlamı şudur:

İfadenin karekökü (8.34), moleküllerin ortalama kare hızının kökünü verir:

Not(8.24) formülüyle örtüşmektedir. Şek. Şekil 8.5 Maxwell dağılım fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Dikey çizgilerüç karakteristik hız not edilmiştir.

İstatistiksel dağılımlar

Termal hareket sırasında parçacıkların konumları, hızlarının büyüklüğü ve yönü rastgele değişir. Devasa sayıda parçacık nedeniyle, hareketlerinin rastgele doğası, sistem parçacıklarının koordinatlara, hız değerlerine vb. göre dağılımında belirli istatistiksel modellerin varlığında ortaya çıkar. Bu tür dağılımlar karakterize edilir ilgili işlevler dağıtımlar. Dağılım fonksiyonu (olasılık yoğunluğu), parçacıkların karşılık gelen değişkene (koordinatlar, hızlar vb.) göre dağılımını karakterize eder. Çekirdekte klasik istatistik aşağıdaki hükümler yer almaktadır:

Tüm parçacıklar klasik sistem ayırt edilebilir (yani numaralandırılabilir ve her parçacık takip edilebilir);

Parçacığın durumunu karakterize eden tüm dinamik değişkenler sürekli olarak değişir;

Belirli bir durumda sınırsız sayıda parçacık bulunabilir.

Yapabilmek termal dengeÇarpışma sırasında moleküllerin hızları ne kadar değişirse değişsin, bir gazdaki moleküllerin T = sabitteki ortalama kare hızının kökü sabit ve eşit kalır

Bu, gazda Maxwell dağılımı olarak adlandırılan moleküllerin hız değerleri üzerinden belirli bir sabit istatistiksel dağılımının oluşturulmasıyla açıklanmaktadır. Maxwell dağılımı bazı f(u) fonksiyonlarıyla tanımlanır, moleküler hız dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır.

burada N toplam molekül sayısıdır, dN(u) hızları u'dan u + du'ya kadar olan hız aralığına ait olan moleküllerin sayısıdır.

Dolayısıyla Maxwell fonksiyonu f(u), rastgele seçilen bir molekülün hız değerinin, u değerine yakın bir birim hız aralığına ait olma olasılığına eşittir. Veya hızları u değerine yakın bir birim hız aralığına ait olan moleküllerin fraksiyonuna eşittir.

f(u) fonksiyonunun açık formu teorik olarak Maxwell tarafından elde edildi:

Dağıtım fonksiyonu grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 12. Grafikten, dağılım fonksiyonunun u®0 ve u®¥'de sıfıra yöneldiği ve belirli bir u B hızıyla bir maksimumdan geçtiği anlaşılmaktadır. büyük olasılıkla hız. Bu hıza sahip ve ona yakın en büyük sayı moleküller. Eğri u B'ye göre asimetriktir. En olası hızın değeri, f(u) fonksiyonunun maksimum koşulu kullanılarak bulunabilir.

Şek. Şekil 13, u B'nin sıcaklıktaki değişiklikle yer değiştirmesini gösterirken grafiğin altındaki alan sabit ve 1'e eşit kalır; normalleştirme koşulları Maxwell fonksiyonları

Normalleştirme koşulu bu integralin anlamından kaynaklanır - bir molekülün hızının 0 ile ¥ arasındaki hız aralığına düşme olasılığını belirler. Bu güvenilir olay Tanım gereği olasılığı 1'e eşit alınır.

Gaz moleküllerinin hız dağılım fonksiyonunu bilmek, herhangi bir hız fonksiyonunun ortalama değerlerini, özellikle de hesaplamayı sağlar. aritmetik ortalama hız .