Bir G bölgesinde sürekli bir vektör alanı a) k ve kapalı yönlü bir L konturu verilsin. Tanım 1. Bir a vektörünün kapalı bir L konturu boyunca dolaşımına denir çizgi integrali L konturu boyunca a vektöründen 2. tür. Burada dr, uzunluğu L yayının diferansiyeline eşit olan ve yönü L'ye teğet yönü ile çakışan bir vektördür, op- Şekil 1. 31, konturun yönüne göre belirlenir (Şekil 31); f sembolü, integralin L alternatif konturu boyunca alındığı anlamına gelir. b Örnek 1. dolaşımı hesaplayın vektör alanı L elips boyunca: Dolaşımın tanımı gereği elimizde Parametrik denklemler Bu elipsin şekli şu şekildedir: , ve dolayısıyla . Bu ifadeleri formül (2)'de yerine koyarsak, vektör alanının Dolaşımını buluruz. Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdabı) Bir alanın rotorunun değişmez tanımı Fiziksel anlam alan rotoru Rotor hesaplama kuralları 8.1. Bir vektör alanının rotoru (girdabı) Sürekli olan ve tüm argümanlarına göre birinci dereceden sürekli kısmi türevleri olan bir P, Q, R vektörünün alanını düşünün. Tanım 2. "(M) vektörünün rotoru, rot a sembolüyle gösterilen ve eşitlikle veya hatırlamaya uygun sembolik bir biçimde tanımlanan bir vektördür. Bu determinant ilk satırın elemanları tarafından genişletilirken, ikinci satırın elemanlarını üçüncü satırın elemanlarıyla çarpma işlemleri, türev alma işlemleri olarak anlaşılır, örneğin, Tanım 3. Eğer bir G bölgesinde rot a = 0 varsa, o zaman alandaki a vektörünün alanı G'ye irrotasyonel denir. Örnek 2. Vektör 4'ün rotorunu bulun Formül (3)'e göre, elimizdekiler rot a bir vektör olduğundan, bir vektör alanı - a vektörünün rotorunun alanı - olarak düşünebiliriz. a vektörünün koordinatlarının ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olduğunu varsayarak, rot a vektörünün diverjansını hesaplıyoruz. Böylece rota vektörünün alanının solenoidal olduğunu elde ederiz. Teorem 7 (Stokes). A vektörünün yönlendirilmiş kapalı bir L konturu boyunca dolaşımı, L konturunun kapsadığı herhangi bir E yüzeyi boyunca bu vektörün rotor akısına eşittir. a vektörünün koordinatlarının, G'nin bazı bölgelerinde sürekli kısmi türevleri olduğu varsayılır. E yüzeyini içeren uzay ve normal n°'nin birim vektörünün EC G yüzeyine oryantasyonu, L konturunun oryantasyonu ile koordine edilir, böylece normun sonundan itibaren, belirli bir kontur etrafındaki devre yönünün saat yönünün tersine gerçekleştiği görülmektedir. Bunu göz önünde bulundurarak ve bir rotorun (3) tanımını kullanarak, formül (4)'ü aşağıdaki formda yeniden yazıyoruz: İlk önce pürüzsüz bir yüzey E ve onun L çevresinin xOy'nin D bölgesine benzersiz bir şekilde izdüştüğü durumu ele alalım. düzlem ve sınırı - sırasıyla A konturu (Şekil 32). L konturunun oryantasyonu, A konturunun belirli bir oryantasyonuna yol açar. Kesinlik sağlamak için, L konturunun, E yüzeyi solda kalacak şekilde yönlendirildiğini, böylece E yüzeyine normal n vektörünün şu şekilde olduğunu varsayacağız: Oz ekseni dar açı 7 (çünkü 7 >0). E yüzeyinin denklemi ve φ(x)y) fonksiyonu sürekli olsun ve gf ve ^ kısmi türevleri sürekli olsun. kapalı alan D. L integral çizgisinin E yüzeyinde bulunduğunu düşünün. Bu nedenle, bu yüzeyin denklemini kullanarak integral işaretinin altındaki r'yi ^(x, y) ile değiştirebiliriz. A eğrisinin değişken noktasının koordinatları, L eğrisi üzerinde karşılık gelen noktanın koordinatlarına eşittir ve bu nedenle L üzerinden integral, A üzerinden integral ile değiştirilebilir. Green formülünü sağdaki integrale uygulayalım. Şimdi D bölgesi üzerindeki integralden E yüzeyi üzerindeki integrale geçiyoruz. dS = cos 7 da olduğundan, formül (8)'den E yüzeyine normal vektör n°'nin k ifadesiyle belirlendiğini elde ederiz. Buradan şu anlaşılıyor. Bu nedenle eşitlik (9) şu şekilde yeniden yazılabilir: E'yi üç koordinat düzleminin tümüne benzersiz bir şekilde çıkıntı yapan pürüzsüz bir yüzey olarak kabul edersek, benzer şekilde bir vektör alanının dolaşımı formülünün geçerliliğine ikna olmuş oluruz. Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdap) Bir alanın rotorunun değişmez tanımı Bir alanın rotorunun fiziksel anlamı Rotoru hesaplama kuralları Eşitlikleri terim terim toplayarak Stokes formülünü elde ederiz ( 5) veya kısaca Açıklama 1. Vektör dönüş alanının solenoidal olduğunu ve bu nedenle vektör rota akışının L konturunun kapsadığı E yüzeyinin tipine bağlı olmadığını gösterdik. Açıklama 2 Formül (4), £ yüzeyinin her üç koordinat düzlemine de benzersiz şekilde yansıtıldığı varsayımıyla türetilmiştir. Bu koşul karşılanmazsa £'u parçalara böleriz, böylece her bir parça belirtilen koşul tatmin oluyoruz ve sonra integrallerin toplamsallığını kullanıyoruz. Örnek 3. Tanımı kullanarak bir vektörün bir çizgi boyunca dolaşımını hesaplayın 1); 2) Stokes teoremine göre. 4 1) L doğrusunu parametrik olarak tanımlayalım: Sonra 2) Rotayı bul: Bir düzlem parçasını L konturunun üzerine uzatalım. Alan rotorunun değişmez tanımı Stokes teoreminden, alan rotorunun koordinat sisteminin seçimiyle ilgili olmayan değişmez bir tanımı elde edilebilir. Teorem 8. Rotor a'nın herhangi bir yöne izdüşümü koordinat sisteminin seçimine bağlı değildir ve şuna eşittir: yüzey yoğunluğu a vektörünün platformun konturu boyunca bu yöne dik dolaşımı. Burada (E) düz bir platformdur, vektöre dik ben; 5 - bu sitenin alanı; L - devre bypass'ının saat yönünün tersine vektörün ucundan görülebileceği şekilde yönlendirilmiş sitenin konturu; (E) M, (E) alanının, rota a vektörünün dikkate alındığı M noktasına kadar daralması ve bu alana normal vektör n'nin her zaman aynı kalması anlamına gelir (Şekil 33). 4 Önce Stokes teoremini a vektörünün (a,dr) dolaşımına, sonra da elde edilen sonuca uygulayalım. çift katlı integral- ortalama değer teoremi: burada (skaler çarpım platformun (E) bazı orta noktasında Mf alınır). (E) alanı M noktasına çekerken, orta A/c noktası da M noktasına yönelme eğilimindedir ve a vektörünün koordinatlarının kısmi türevlerinin varsayılan sürekliliği nedeniyle (ve dolayısıyla dönüş a'nın sürekliliği), biz Rota a vektörünün keyfi bir yöne izdüşümünün koordinat sistemi seçimine bağlı olmaması nedeniyle rota vektörünün kendisi bu seçime göre değişmezdir. Buradan alan rotorunun aşağıdaki değişmez tanımını elde ederiz: alan rotoru, uzunluğu belirli bir noktadaki en büyük yüzey sirkülasyon yoğunluğuna eşit olan ve üzerinde bu rotorun bulunduğu alana dik olan bir vektördür. en yüksek yoğunluk dolaşım sağlanır; bu durumda rota vektörünün yönelimi, sağ vida kuralına göre dolaşımın pozitif olduğu konturun yönelimiyle tutarlıdır. 8.3. Alan rotorunun fiziksel anlamı Sert bir cismin kendi etrafında dönmesine izin verin sabit eksen I açısal hızla ve. Genelliği kaybetmeden I ekseninin Oz ekseniyle çakıştığını varsayabiliriz (Şekil 34). M(g) incelenen cismin noktası olsun, bizim durumumuzda açısal hız vektörü = wk'ye eşit olsun, M noktasının doğrusal hızının vektörünü v hesaplayalım. Dolayısıyla vektör alanının dolaşımı . Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdabı) Bir alanın rotorunun değişmez tanımı Bir alanın rotorunun fiziksel anlamı Bir rotorun hesaplanması için kurallar Yani, dönen bir hız alanının girdabı sağlam alanın tüm noktalarında aynıdır, dönme eksenine paraleldir ve açısal dönme hızının iki katına eşittir. 8.4. Rotoru hesaplama kuralları 1. Rotor sabit vektör c, sıfır vektörü 2'ye eşittir. Rotor, sabit sayıların doğrusallığı özelliğine sahiptir. 3. Ürün rotoru skaler fonksiyon u(M)'nin a(M) vektörüne dönüşümü aşağıdaki formülle hesaplanır:

Alanın türevlenebilir bir alan olmasına izin verin (yani alan vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri türevlenebilir fonksiyonlardır).

Tanım. Girdap vektör alanı (çürüme ile gösterilir ) keyfi bir vektöre izdüşümü olan bir vektördür
alan sirkülasyon oranının limiti olarak tanımlanır bazı kontur boyunca ( L), bir nokta içeren M, ve vektöre dik bir düzlemde uzanıyor
, bu konturun bir noktaya kadar daralması şartıyla, bu konturun sınırladığı bölgenin alanına M ve bölgenin alanı ( S) sıfıra eğilimlidir:

. (1.13)

Üç boyutlu uzayda
Kartezyen dikdörtgen vektör koordinatları aracılığıyla
şu şekilde ifade edilir:

veya hatırlanması kolay sembolik bir biçimde

. (1.15)

Stokes teoremi. Vektörün koordinatları+ olsun

süreklidir ve sürekli kısmi türevleri vardır. Daha sonra vektör alanının dolaşımı kapalı bir döngü boyunca ( L) rastgele bir yüzey boyunca alan girdaplarının akışına eşittir ( S), bu konturun üzerine gerildi:

. (1.16)

Konturun yöneliminin ( L) ve yüzeyler ( S) tutarlıdır: konturun pozitif bir geçişiyle normal, "bacaklardan başa" yönlendirilir.

Rotor özellikleri: 1) ;

Tanım. 2). Vektör alanı bu bölgeye irrotasyonel denir ( V

), Eğer.Örnek 1.
.

Manyetik alan kuvvetinin alan vektörünün rotorunu bulun
Çözüm.Vektör

koordinat formunda:

. Rotoru (1.15) formülünü kullanarak hesaplayalım:
Gerilme alanı

- dönmeyen alan.Örnek 2.
Vektör dolaşımını hesaplayın
kontur boyunca

1) doğrudan, 2) Stokes teoremine göre. R L karar. 1)Kontur (
) – daire yarıçapı , uçakta yatıyorum z
=3 (bkz. Şekil 5). Şekilde gösterildiği gibi üzerindeki yönlendirmeyi seçelim. Parametrik çizgi denklemleri
, Bu yüzden ,. Vektör dolaşımı için S sahibiz:. 2) Stokes teoremini kullanarak dolaşımı hesaplamak için bir yüzey seçiyoruz ( L), kontur boyunca gerilmiş ( S).Doğal olarak ( L) çizgili bir daire alın ( ) sınırı. Normal konturun seçilen yönüne göre
daireye eşit almak gerekir
. Rotoru hesaplayalım:
.

.

Stokes teoremine göre

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

6.
; 7.
Düz vektör alanlarının vektör çizgilerini bulun:
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, Vektör çizgilerini bulun:
- , Nerede

Nerede

14.
,
;15.
,
.

sabit vektörler.

16.
, (S Belirli bir noktadan geçen vektör çizgilerini bulun:
,
.

17.
, (S Birinci türden bir yüzey integrali kullanarak bir vektör alanının akısını hesaplayın:
): düzlemlerle sınırlanan bir üçgenin üst tarafı
;

18.
,
): paraboloidin dış tarafı
, uçakla sınırlı
;

19.
, (S: dairesel bir silindirin yan yüzeyi
uçaklarla sınırlı

20.
, (S): bir paraboloitin bir kısmının dış tarafı
): düzlemlerle sınırlanan bir üçgenin üst tarafı
;

21. , (S, birinci oktantta bulunur;
): koninin toplam yüzeyi , uçakta yatıyorum= 0;

22.
, (S): bir paraboloit ile sınırlandırılmış kapalı yüzey
,
,
,
;

23.
, (S ve uçak
.

): düzlemlerle sınırlanan bir piramidin tüm yüzeyi

24.
, (S): küre
Akışı üç koordinat düzleminin tamamına yansıtma yöntemini kullanarak hesaplayın.

25.
, (S): bir dairenin üst tarafı koni şeklinde kesilmiş

26. , (S uçakta
): bir düzlemin koordinat düzlemleriyle kesişmesiyle elde edilen bir üçgenin üst tarafı;
): uçağın bir parçası .

, bir daireyle sınırlanmış

27.
, (S, vektör yönünde

28.
, (S Gauss-Ostrogradsky formülünü kullanarak alan akısını belirleyin:
,
,
;

29.
, (S ve uçak
;

30.
, (S): keyfi parçalı düzgün kapalı bir yüzey;
): bir küpün yüzeyi
): bir paraboloitin parçası uçakla kesildi; V olumsuz taraf;

31.
, (S eksenler
,
,
,

;

32. , (S eksenler
,
;

33. , (S):;

Bir vektörün düzlemdeki doğrusal integralini bulun:

36.
elipsin üst yarısı
noktadan A(A,0), noktaya kadar B(-A,0);

37. a) düz bölüm O.B.; b) bir parabolün yayı
; c) bir parabolün yayı
; d) kesik çizgi OAB A, Nerede (1.0); d) kırık çizgi Düz vektör alanlarının vektör çizgilerini bulun: ÖVB(0,1);

39. C

(-1, 1) noktasından (2, 2) noktasına.

41.
,
Çizgi integralini hesaplayın:

44. (1,1,1) noktasından (4,4,4) noktasına kadar düz çizgi parçası;

45. (0,0,0) noktasından (1,1,1) noktasına kadar olan düz bir çizgi parçası.
Gerginlik göz önüne alındığında kuvvet alanı. Kütle hareket ettiğinde alanın işini bulun M

,
sarmalın bir dönüşü boyunca
noktadan B(asıl noktaya T

46. =2);
Kuvvet alanı, koordinatların başlangıç noktasından uygulama noktasına kadar olan mesafeye eşit büyüklükte ve koordinatların başlangıç noktasına doğru yönlendirilmiş bir kuvvet tarafından oluşturulur. Birim kütleyi bir parabolün yayı boyunca hareket ettirmek için alanın yaptığı işi bulun
apsisden
.

apsis noktasına

47. 47-51. problemlerde alan dolaşımını bulun:

48.
olumsuz yönde; olumsuz taraf Koordinat eksenlerinin bölümleri tarafından oluşturulan kapalı çizgi Ve Oy
,
ve diğer asteroitler

51. , birinci çeyrekte yer alan;
paraboloit kesişim çizgisi

52. koordinat düzlemleriyle (ilk oktantta);
Katı bir cisim sabit açısal hızla döner eksen etrafında Oz . Yarıçaplı bir daire boyunca doğrusal hız alanının dolaşımını hesaplayın R

53. dairenin düzlemi dönme eksenine dik ise merkezi dönme ekseni üzerinde yer alır (dolaşım dönme yönünde dikkate alınır).
Bir iş alanı bulun birim kütleli bir noktayı üç düz parçadan oluşan kapalı bir çizgi boyunca hareket ettirirken koordinat düzlemleri

, koordinat eksenlerinde birliğe eşit bölümlerin kesilmesi.

54.
Aşağıdaki alanların diverjansını bulun:
. Hangi fonksiyonda

55.
;56.
- irade? doğrusal hız
dönen sıvının noktaları

57.
- açısal hız); manyetik alan kuvveti,,J

58.
; 59.
;

60. - kalıcı;
Hesaplamak

(1,-1,1) noktasında.

64.
;

Belirtilen kapalı yüzeyler boyunca vektör alanının akışını bulun: 1) doğrudan, 2) vektör formülasyonunda Gauss-Ostrogradsky teoremini kullanarak:

73. 74.

75. 73 ve 74. problemlerde belirtilen vektör alanlarının rotorunu hesaplayın: Vektörün koordinatları olup olmadığını gösterin
.

76. ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman Koordinat eksenlerinin bölümleri tarafından oluşturulan kapalı çizgi Ne olursa olsun göster
.

77. sabit vektörlerdir, o zaman
.

78. sabit vektörlerdir, o zaman
.

79. Bunu göster
Bir vektör alanının olduğunu gösterin

80. dönüşsüzdür. Doğrusal hız alanının rotorunun olduğunu gösterin
.

81. Dönen bir katı cismin noktaları, dönme eksenine paralel yönlendirilmiş sabit bir vektördür ve büyüklüğü dönme açısal hızının iki katına eşittir:
Fonksiyon ne olmalı
?

Vektör formülasyonunda Stokes teoremini kullanarak alanın belirtilen konturlar boyunca dolaşımını 1) doğrudan, 2) bulun:

84.
düzlemin kesişmesinin oluşturduğu kontur boyunca
koordinat düzlemleriyle;

15.2. Vektör alanlarının özel durumları. İkinci dereceden işlemler

15.2.1. Potansiyel vektör alanı

Tanım. 2). eğer bir skaler fonksiyon varsa buna potansiyel alan denir
gradyanı bu alanı oluşturan:

. (2.1)

İşlev sen vektör alan potansiyeli denir .

Teorem. Bir alanın potansiyel olabilmesi için dönel olmaması gerekli ve yeterlidir:

. (2.2)

Formül (2.2) bir vektör alanının potansiyeli için bir kriterdir .

Potansiyel alanların özellikleri.

1) alan potansiyelinin sürekliliği bölgesinde sen doğrusal integral entegrasyon yoluna bağlı değildir ve potansiyel artışa eşittir

2) vektörün dolaşımı (1.9) Tamamen alan süreklilik bölgesinde yer alan herhangi bir kapalı kontur boyunca sıfıra eşittir:

. (2.4)

3) potansiyel
formül (2.3)'e göre bulunur:

, (2.5)

Nerede ( sabah) – noktaları ayıran keyfi bir eğri A Ve M. Eğer yol ( sabah) koordinat eksenlerine paralel bölümlerden oluşan kesikli bir çizgi şeklinde alınırsa (bu tür kesikli çizgilerin sayısı altıdır), daha sonra potansiyeli bulmak için potansiyeli ifade eden formüllerden biri kullanılabilir.
belirli integraller yoluyla
;
):

Örnek. Vektör alanının potansiyel olup olmadığını kontrol edin ve potansiyelini bulun.

Çözüm. için yazalım bu alanın potansiyellik kriteri (2.2):

Alan potansiyeldir. Potansiyeli bulalım
formül (2.6)'ya göre: için başlangıç noktası noktayı almak uygun A(0,0,0):
.

Rotor (matematik)

Rotor, veya girdap- bir vektör alanı üzerinde vektör diferansiyel operatörü.

Belirlenmiş

(Rus dili edebiyatında) veya

(İngiliz edebiyatında),

ve ayrıca diferansiyel operatörün bir vektör alanıyla vektör çarpımı olarak:

Bu operatörün belirli bir vektör alanı üzerindeki eyleminin sonucu F isminde alan rotoru F veya kısacası sadece rotor F ve yeni bir vektör alanını temsil eder:

Rot alanı F(vektör çürümesinin uzunluğu ve yönü F uzaydaki her noktada) bir anlamda alanın dönme bileşenini karakterize eder F sırasıyla her noktada.

Sezgisel görüntü

Eğer v(x,y,z) gaz hızının (veya sıvı akışının) alanıdır, o zaman çürümek- akışta bulunan (ve gaz veya sıvının hareketi tarafından sürüklenen) çok küçük ve hafif bir toz zerresinin (veya topun) açısal hız vektörüyle orantılı bir vektör; ancak istendiğinde topun merkezi şu şekilde sabitlenebilir: etrafında serbestçe dönebildiği sürece).

özellikle çürümek = 2 ω , Nerede ω - bu açısal hız.

Bu gerçeğin basit bir örneği için aşağıya bakın.

Bu benzetme oldukça katı bir şekilde formüle edilebilir (aşağıya bakınız). Dolaşım yoluyla elde edilen temel tanımın (bir sonraki paragrafta verilen) bu şekilde elde edilene eşdeğer olduğu düşünülebilir.

Matematiksel tanım

Bir vektör alanının rotasyoneli, her yönde izdüşümü olan bir vektördür. N bir vektör alanının bir kontur boyunca dolaşım ilişkisinin sınırıdır L düz alanın kenarı olan Δ S, bu yöne dik, bu alanın boyutuna, alanın boyutları sıfıra yaklaştığında ve alanın kendisi bir noktaya kadar daraldığında:

Konturun geçiş yönü, yöne bakıldığında konturun görüleceği şekilde seçilir. L saat yönünde yürüdü.

Üç boyutlu Kartezyen sistem Rotorun koordinatları (yukarıda tanımlandığı gibi) aşağıdaki şekilde hesaplanır (burada F- Kartezyen bileşenlere sahip belirli bir vektör alanını ve - Kartezyen koordinatların birim vektörlerini belirtir):

Kolaylık sağlamak için, rotoru resmi olarak nabla operatörünün (solda) ve vektör alanının bir vektör çarpımı olarak temsil edebiliriz:

(Son eşitlik resmen temsil eder vektör çarpımı belirleyici olarak).

İlgili tanımlar

Rotoru olan bir vektör alanı sıfıra eşit herhangi bir noktada denir dönmeyen ve potansiyel. Bu koşullar birbirleri için gerekli ve yeterli olduğundan, her iki terim de pratikte eş anlamlıdır. (Ancak bu yalnızca basit bağlantılı bir etki alanında tanımlanan alanlar için geçerlidir).

Potansiyelin karşılıklı koşulluluğu ve alanın dönüşsüz doğası hakkında biraz daha ayrıntılı bilgi için aşağıya bakın (Temel özellikler).

Aksine, rotasyoneli sıfıra eşit olmayan bir alana genellikle denir. girdap böyle bir alan potansiyel olamaz.

Genelleme

Rasgele boyuttaki uzaylarda tanımlanan vektör (ve sözde vektör) alanlarına uygulanan rotorun en doğrudan genellemesi (uzayın boyutunun alan vektörünün boyutuyla çakışması koşuluyla) aşağıdaki gibidir:

indeksli kuvvet alanı. Kütle hareket ettiğinde alanın işini bulun Ve N 1'den uzay boyutuna kadar.

Bu aynı zamanda harici bir çarpım olarak da yazılabilir:

Bu durumda rotor, değerlik iki olan antisimetrik bir tensör alanıdır.

Boyut 3 durumunda, bu tensörün Levi-Civita sembolüyle evrişimi şunu verir: olağan tanım Yukarıdaki yazıda verilen üç boyutlu rotor.

İki boyutlu bir uzay için, ek olarak, istenirse, sözde skaler çarpımlı benzer bir formül kullanılabilir (böyle bir rotor, geleneksel vektör çarpımının verilen iki düzleme dik eksen üzerindeki izdüşümüne denk gelen bir sözde skaler olacaktır). boyutlu uzay - iki boyutlu uzayın üç boyutlu bir uzayın içine gömülü olduğunu düşünürsek, geleneksel vektör çarpımının bir anlamı olur).

Alan teorisi

Olarak da bilinir vektör analizi. Bazıları için ise alan teorisi olarak bilinen vektör analizi =) Sonunda bu ilginç konuya geldik! yüksek matematik Dili basit olarak adlandırmaya cesaret edemem, ancak gelecekteki makalelerde iki hedefe ulaşmaya çalışacağım:

a) herkesin konuşmanın neyle ilgili olduğunu anlaması için;

b) ve böylece "aptallar" en azından basit şeyleri çözmeyi öğrenirler - en azından yarı zamanlı öğrencilere sunulan görevler düzeyinde.

Tüm materyaller popüler bir tarzda sunulacak ve eğer daha katı ve tam bilgi, o zaman örneğin Fichtenholtz'un 3. cildini alabilir veya Wiki'ye bakabilirsiniz.

Ve hemen başlığı deşifre edelim. Teorik olarak her şeyin açık olduğunu düşünüyorum - en iyi gelenekler sitesinde temellerini analiz edeceğiz ve uygulamaya odaklanacağız. Peki “alan” kelimesini neyle ilişkilendiriyorsunuz?

Çim saha, futbol sahası... Daha fazla? Faaliyet alanı, deney alanı. Selam hümanistler! …İtibaren okul kursu? Elektrik alanı, manyetik, elektromanyetik..., tamam. Kendimizi içinde bulduğumuz Dünya'nın çekim alanı. Harika! Peki saha için bunu kim söyledi? geçerli Ve karmaşık sayılar? ...bazı canavarlar burada toplandı! =) Çok şükür cebirçoktan geçti.

Sonraki derslerde belirli bir kavramla tanışacağız alanlar, somut örnekler hayattan ve çözmeyi de öğren tematik görevler vektör analizi. Alan teorisi en iyi şekilde, doğru tahmin ettiğiniz gibi, bir ormanın, bir nehrin, bir gölün, bir köy evinin olduğu bir alanda - doğada incelenir ve herkesi sıcak yaz gerçekliğine olmasa da kendilerini kaptırmaya davet ediyorum, o zaman içinde hoş anılar:

Bugün ele alınan anlamda alanlar skaler Ve vektör ve onların "yapı taşları" ile başlayacağız.

İlk önce, skaler. Çoğu zaman bu terim yanlışlıkla şu şekilde tanımlanır: sayı. Hayır, işler biraz farklı: skaler her değeri ifade edilebilen bir miktardır sadece bir numara. Fizikte pek çok örnek vardır: uzunluk, genişlik, alan, hacim, yoğunluk, sıcaklık vb. Bütün bunlar skaler büyüklükler. Ve bu arada kütle de bir örnektir.

İkincisi, vektör. Cebirsel tanım derste değindiğim vektör doğrusal dönüşümler ve onun özel enkarnasyonlarından biri bilmemek kesinlikle imkansız=) Tipik vektör ifade edilir iki veya daha fazla sayılar(koordinatlarınızla birlikte). Ve tek boyutlu bir vektör için bile sadece bir numara yeterli değil– çünkü vektörün de bir yönü vardır. Ve vektör ise uygulama noktası bedava değil. Vektörler fiziksel kuvvet alanlarını, hızı ve diğer birçok niceliği karakterize eder.

Artık alüminyum salatalık hasadına başlayabilirsiniz:

Skaler alan

Eğer her biri bir nokta uzay alanları uyumlu belli bir sayı(daha sık gerçek), sonra bu alanda verildiğini söylüyorlar skaler alan.

Örneğin yerden çıkan bir dikmeyi düşünün. ışın. Netlik sağlamak için bir kürek sokun =) Ne skaler alanlar bu kirişte sorabilir miyim? Aklıma ilk gelen şey yükseklik alanı– kirişin her noktasına zemin seviyesinden yüksekliği atandığında. Veya örneğin, alan atmosferik basınç – burada ışının her noktası karşılık gelir sayısal değer Belirli bir noktada atmosferik basınç.

Şimdi göle yaklaşalım ve zihinsel olarak yüzeyinin üzerine bir uçak çizelim. Düzlemin "su" parçasının her noktası gölün derinliği ile ilişkiliyse, lütfen skaler alan verilir. Aynı noktalarda, örneğin su yüzeyinin sıcaklığı gibi diğer skaler büyüklükleri de dikkate alabilirsiniz.

En önemli mülk skaler alan onun değişmezlik Koordinat sistemine göre. Eğer tercüme edilirse insan dili, o zaman küreğe / göle hangi taraftan bakarsak bakalım - skaler bir alan (yükseklik, derinlik, sıcaklık vb.) bu değişmeyecek. Üstelik skaler alan, örneğin derinlik, başka bir yüzeye, örneğin uygun bir yüzeye ayarlanabilir. yarımküre veya doğrudan su yüzeyi. Neden? Yarımkürenin gölün üzerinde yer alan her noktasına bir sayı atamak mümkün değil mi? Sadece kolaylık olması açısından düzlüğü önerdim.

Bir koordinat daha ekleyelim. Elinize bir taş alın. Bu taşın her noktası kendisine atanabilir. fiziksel yoğunluk . Ve yine, onu hangi koordinat sisteminde ele alırsak alalım, elimizde nasıl çevirirsek çevirelim, skaler yoğunluk alanı değişmeden kalacaktır. Ancak bazı kişiler bu gerçeğe itiraz edebilir =) Felsefe taşı böyledir.

Saf ile matematiksel nokta görüş (fiziksel veya diğer özel anlamın ötesinde) Skaler alanlar geleneksel olarak “sıradan” fonksiyonlarımız tarafından belirlenir bir , iki , üç Ve daha fazla miktar değişkenler. Aynı zamanda alan teorisinde bu fonksiyonların geleneksel nitelikleri yaygın olarak kullanılmaktadır. tanım alanı, seviye çizgileri ve yüzeyler.

İLE üç boyutlu uzay her şey benzer:
– burada, uzayda izin verilen her nokta, belirli bir noktada başlayan bir vektörle ilişkilendirilir. “Kabul edilebilirlik”, fonksiyonların tanım alanlarına göre belirlenir ve bunların her biri tüm “X”, “E”, “Z” için tanımlanmışsa, o zaman vektör alanı tüm uzayda belirtilecektir.

! Tanımlar : vektör alanları ayrıca veya harfiyle ve bileşenleri de sırasıyla veya ile gösterilir.

Yukarıdakilerden, en azından matematiksel olarak, skaler ve vektör alanların uzay boyunca tanımlanabileceği uzun zamandır açıktır. Ancak uygun şekilde fiziksel örnekler Hâlâ dikkatliydim çünkü bu gibi kavramlar sıcaklık, yer çekimi(veya diğerleri) sonuçta bir yerde hiç mevcut olmayabilir. Ama bu artık korku değil, bilimkurgu=) Ve sadece bilim kurgu değil. Çünkü rüzgar kural olarak taşların içinde esmez.

Bazı vektör alanlarının (aynı hız alanları) zamanla hızla değişir ve bu nedenle birçok durumda fiziksel modeller ek bir bağımsız değişken düşünün. Bu arada, aynı şey skaler alanlar için de geçerlidir - aslında sıcaklık da zaman içinde "dondurulmaz".

Ancak matematik çerçevesinde kendimizi üçlüyle sınırlayacağız ve bu tür alanlar "buluştuğunda" zaman içinde sabit bir anı veya alanın değişmediği bir zamanı ima edeceğiz.

Vektör çizgileri

Skaler alanlar tanımlanmışsa çizgiler ve düz yüzeyler, o zaman vektör alanının "şekli" karakterize edilebilir vektör çizgileri. Muhtemelen birçok kişi bunu hatırlıyordur okul deneyimi: Bir kağıdın altına ve üstüne bir mıknatıs yerleştirilir (görelim!) demir talaşları dökülüyor, sadece alan çizgileri boyunca "sıralanan".

Bunu daha basit bir şekilde formüle etmeye çalışacağım: Bir vektör çizgisinin her noktası başlangıçtır alan vektör belirli bir noktada teğet üzerinde bulunan:

Tabii ki, çizgi vektörleri genel durum farklı uzunluklara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki şekilde soldan sağa hareket ederken uzunlukları artar - burada örneğin bir mıknatısa yaklaştığımızı varsayabiliriz. Güvenlik güçlerinde fiziksel alanlar vektör doğrularına buna denir - elektrik hatları. Bir başka, daha basit örnek ise Dünya'nın çekim alanıdır: elektrik hatları temsil etmek ışınlar başlangıç gezegenin merkezinde ve vektörler yer çekimi doğrudan ışınların üzerinde bulunur.

Hız alanlarının vektör çizgilerine denir mevcut çizgiler. Tekrar hayal et toz fırtınası– toz parçacıkları hava molekülleriyle birlikte bu çizgiler boyunca hareket eder. Bir nehirde olduğu gibi: sıvı moleküllerinin (sadece değil) hareket ettiği yörüngeler gerçekten ve akıcı çizgiler var. Genel olarak alan teorisine ait birçok kavram, birden çok kez karşılaşacağımız hidrodinamikten gelmektedir.

Sıfırdan farklı bir fonksiyon tarafından "düz" bir vektör alanı verilirse, alan çizgileri şuradan bulunabilir: diferansiyel denklem. Çözüm verilen denklem setleri aile düzlemdeki vektör çizgileri. Bazen görevlerde, genellikle zorluğa neden olmayan bu tür birkaç çizgi çizmek gerekebilir - "tse"nin birkaç uygun değerini seçtik, bazılarını çizdik abartılar ve sipariş verin.

Uzaysal vektör alanıyla ilgili durum daha ilginçtir. Alan çizgileri ilişkiler tarafından belirlenir. . Burada karar vermemiz gerekiyor iki diferansiyel denklem sistemi ve iki aile al uzaysal yüzeyler. Bu ailelerin kesişim çizgileri uzaysal vektör çizgileri olacaktır. Tüm bileşenler (“pe”, “ku”, “er”) sıfır değilse, o zaman birkaç teknik çözüm vardır. Bu yöntemlerin hepsini dikkate almayacağım. (çünkü makale müstehcen boyutlara ulaşacak), ancak vektör alanının bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olduğu genel bir özel duruma odaklanacağım. Tüm seçenekleri bir kerede listeleyelim:

eğer öyleyse sistemin çözülmesi gerekiyor;
eğer öyleyse sistem;
ve eğer öyleyse .

Ve bazı nedenlerden dolayı uzun süredir pratik yapmıyoruz:

Örnek 1

Vektör alanının alan çizgilerini bulun

Çözüm: bu problemde, bu yüzden çözüyoruz sistem:

Anlamı çok basittir. Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon göl derinliğinin skaler alanını belirtiyorsa, o zaman karşılık gelen vektör fonksiyonu kümeyi tanımlar. özgür olmayan her biri bir yönü gösteren vektörler hızlı yükseliş bir noktada dip ve bu yükselişin hızı.

Bir fonksiyon uzayın belirli bir bölgesinin skaler sıcaklık alanını belirtiyorsa, karşılık gelen vektör alanı yönü ve hızı karakterize eder. en hızlı ısınma Bu alanın her noktasında boşluk var.

Genele bakalım matematik problemi:

Örnek 3

Bir skaler alan ve bir nokta verildiğinde. Gerekli:

1) skaler alanın gradyan fonksiyonunu oluşturun;

hangisi eşittir potansiyel fark .

Başka bir deyişle, potansiyel bir alanda yalnızca başlangıç ve bitiş noktası rota. Ve eğer bu noktalar çakışırsa, kapalı bir kontur boyunca kuvvetlerin toplam işi sıfıra eşit olacaktır:

Yerden bir tüy alıp başlangıç noktasına teslim edelim. Bu durumda hareketimizin gidişatı yine keyfidir; Hatta kalemi düşürebilir, tekrar alabilirsiniz vb.

Nihai sonuç neden sıfır?

Tüy “a” noktasından “b” noktasına mı düştü? Düştü. Yer çekimi kuvveti işi yaptı.

Kalem "a" noktasını geriye mi vurdu? Anladım. Bu, tamamen aynı işin yapıldığı anlamına gelir yer çekimine karşı ve hangi "maceraların" ve hangi güçlerin olduğu önemli değil - rüzgar onu geri püskürtse bile.

Not : Fizikte eksi işareti ters yönü simgelemektedir.

Dolayısıyla kuvvetlerin yaptığı toplam iş sıfırdır:

Daha önce de belirttiğim gibi, fiziksel ve sıradan iş kavramları farklıdır. Ve bu fark, bir tüyü, hatta bir tuğlayı değil, örneğin bir piyanoyu iyi anlamanıza yardımcı olacaktır :)

Birlikte piyanoyu kaldırın ve merdivenlerden aşağı indirin. Onu sokağın aşağısına sürükleyin. Dilediğiniz kadar ve dilediğiniz yerde. Ve eğer kimse aptalı çağırmazsa, enstrümanı geri getir. Çalıştın mı? Kesinlikle. Yedinci tere kadar. Ancak fizik açısından bakıldığında hiçbir çalışma yapılmadı.

"Potansiyel fark" ifadesi, potansiyel elektrostatik alan hakkında daha fazla konuşmak için cazip gelebilir, ancak okuyucularınızı şok etmek hiç de insani değil =) Üstelik sayısız örnek var, çünkü herhangi bir gradyan alanı potansiyeldir, bunların bir düzinesi bir kuruştur.

Ancak "bir düzine kuruş" demek kolaydır: burada bize bir vektör alanı veriliyor - Potansiyel olup olmadığı nasıl belirlenir?

Vektör alanı rotoru

Ya da o girdap vektörlerle de ifade edilen bileşen.

Tüyü tekrar elimize alalım ve dikkatlice nehrin aşağısına gönderelim. Deneyin saflığı açısından homojen ve merkeze göre simetrik olduğunu varsayacağız. Aks ayağa kalkıyor.

düşünelim vektör alanı mevcut hız ve su yüzeyinde tüyün merkezinin bulunduğu belirli bir nokta.

Eğer içindeyse Bu noktada kalem saat yönünün tersine döner, ardından onu giden kalemle eşleştireceğiz özgür olmayan yukarı doğru vektör. Aynı zamanda, kalem ne kadar hızlı dönerse, bu vektör o kadar uzun olur... nedense bana güneşin parlak ışınlarında çok siyah görünüyor... Dönme saat yönünde gerçekleşirse, vektör aşağıya "bakar". Kalem hiç dönmüyorsa vektör sıfırdır.

Tanışın - işte bu rotor vektör vektör hız alanı sıvının "dönme" yönünü karakterize eder. Bu noktada Ve açısal hız kalem dönüşü (ancak akımın yönü veya hızı değil!).

Nehrin tüm noktalarının (“su altında” olanlar dahil) bir döner vektöre sahip olduğu kesinlikle açıktır. akım hızının vektör alanı yeni bir vektör alanı tanımladık!

Bir vektör alanı bir fonksiyon tarafından veriliyorsa, rotor alanı aşağıdaki şekilde verilir: vektör işlevi:

Ayrıca eğer vektörler rotor alanı nehirler büyüktür ve yön değiştirme eğilimindedirler, bu kesinlikle dolambaçlı ve huzursuz bir nehirden bahsettiğimiz anlamına gelmez (örneğe geri dönelim). Bu durum düz bir kanalda da gözlemlenebilir; örneğin hız ortada daha yüksek ve kıyıların yakınında daha düşük olduğunda. Yani kalemin dönüşü oluşturulur farklı hızlar akıntılar V komşu güncel çizgiler.

Öte yandan, eğer rotor vektörleri kısaysa, o zaman bu “sarmal” bir dağ nehri olabilir! Önemli olan bitişik akım hatları akımın kendisinin hızı (hızlı veya yavaş) biraz farklılık gösterdi.

Ve son olarak yukarıda sorduğumuz soruya cevap verelim: herhangi bir noktada potansiyel alan rotoru sıfır:

Daha doğrusu sıfır vektörü.

Potansiyel alan da denir dönmeyen alan.

Elbette "ideal" bir akış yoktur, ancak sıklıkla şunu gözlemleyebiliriz: hız alanı nehirler potansiyele yakındır; sakince yüzerler çeşitli öğeler ve dönmeyin, ...bu resmi de siz mi sundunuz? Bununla birlikte, çok hızlı bir şekilde ve bir eğri boyunca yüzebilirler, sonra yavaşlayabilirler, sonra hızlanabilirler - akıntının hızının aynı olması önemlidir. bitişik akım hatları korunmuş devamlı.

Ve elbette ölümlü çekim alanımız. Bir sonraki deney için yeterince ağır ve homojen nesneörneğin kapalı bir kitap, açılmamış bir kutu bira ya da bu arada kanatlarda bekleyen bir tuğla =) Uçlarını elinizle sıkıştırın, yukarı kaldırın ve dikkatlice içine bırakın. serbest düşüş. Dönmeyecek. Ve eğer öyleyse, o zaman bu sizin "kişisel çabanızdır" veya aldığınız tuğla yanlıştır. Tembel olmayın ve bu gerçeği kontrol edin! Hiçbir şeyi pencereden dışarı atmayın, artık tüy değil

Bundan sonra temiz vicdan Ve artan ton geri dönebilir misin pratik görevler:

Örnek 5

Bir vektör alanının potansiyel olduğunu gösterin ve potansiyelini bulun

Çözüm: koşul doğrudan alanın potansiyelini belirtir ve bizim görevimiz bu gerçeği kanıtlamaktır. Belirli bir alanın rotor fonksiyonunu veya daha sık söyledikleri gibi rotorunu bulalım:

Kolaylık sağlamak için alan bileşenlerini yazıyoruz:

ve onları bulmaya başlayalım kısmi türevler– bunları soldan sağa doğru “döner” sırayla “sıralamak” uygundur:
- Ve hemenşunu kontrol et (sıfır olmayan bir sonuç durumunda ekstra iş yapmaktan kaçınmak için). Devam edelim: