Rastgele süreçleri modelleme yöntemleri. Kuyruk sistemlerinde rastgele süreçlerin modellenmesi

6.1. STOKASTİK MODELLEME TEKNİĞİ

“Rastgele” kavramı hem matematiğin hem de bilimin en temel kavramlarından biridir. günlük yaşam. Modelleme rastgele süreçler- moderndeki en güçlü yön matematiksel modelleme.

Bir olay güvenilir bir şekilde tahmin edilemiyorsa rastgele olarak adlandırılır. Rastgelelik dünyamızı çevreliyor ve çoğu zaman oynuyor olumsuz rol hayatlarımızda. Ancak rastgeleliğin faydalı olabileceği durumlar da vardır.

İÇİNDE karmaşık hesaplamalarİstenilen sonuç birçok faktörün, modelin ve ölçümün sonuçlarına bağlı olduğunda hesaplama miktarı şu kadar azaltılabilir: rastgele değerler önemli rakamlar. Evrim teorisinden, rastlantısallığın kendisini yapıcı olarak gösterdiği sonucu çıkar. pozitif faktör. özellikle, doğal seçilim organizmanın en uygun özelliklerine sahip bireyleri gelişim sürecinde seçerek bir tür deneme yanılma yöntemini uygular. Ayrıca rastgelelik, sonuçların çokluğunda kendini gösterir ve popülasyonun dış ortamdaki değişikliklere tepkisinde esneklik sağlar.

Yukarıdakilere dayanarak, rastgele arama yoluyla deneme yanılma yoluyla bir çözüm elde etme yöntemlerinin temeline rastgeleliği koymak mantıklıdır.

Yukarıda simülasyon modelleme örneğini verdikten sonra - "Hayat" oyununun aslında zaten elimizde olduğunu unutmayın. stokastik model. Bu bölümde bu tür modellemenin metodolojisini daha ayrıntılı olarak tartışacağız.

Öyleyse, fonksiyonel modeldeki bazı giriş parametrelerinin değerlerinin yalnızca olasılıksal anlamda tanımlanmasına izin verin. Bu durumda modelle çalışma tarzı önemli ölçüde değişir.

Ciddiyetle düşünüldüğünde “olasılık dağılımı”, “güvenilirlik”, “ istatistiksel örnek", "rastgele süreç" vb.

Rastgele süreçlerin bilgisayarla matematiksel modellenmesinde, belirli bir dağılım yasasını karşılayan rastgele sayılar adı verilen kümeler olmadan yapılamaz. Aslında bu sayılar bir bilgisayar tarafından üretiliyor. belirli bir algoritma yani tamamen rastgele değiller, çünkü program aynı parametrelerle yeniden başlatıldığında sıra tekrarlanacak; bu tür sayılara "sözde rastgele" denir.

Öncelikle belirli bir segmentte eşit olasılıkla dağıtılan sayıların oluşumunu ele alalım. Çoğu rastgele sayı üreteci programı, önceki sayının bir sonraki sayıyı bulmak için kullanıldığı bir dizi üretir. Bunlardan ilki başlangıç ​​değeridir. Tüm rasgele sayı üreteçleri, makine sözcüğünün sonlu uzunluğuyla ilişkili olan, dönem adı verilen belirli sayıda terimden sonra tekrar eden diziler üretir. En basit ve en yaygın yöntem, bir sonraki rasgele sayının belirlendiği kalıntı yöntemi veya doğrusal eş yöntemdir. XN"haritalama" ile tanımlanır

Nerede A, İle, M - doğal sayılar, mod - sözde modulo bölme işlevi (bir sayıyı başka bir moduloya bölmenin geri kalanı). Sensörün mümkün olan en büyük periyodu (7.69) şuna eşittir: T; ancak buna bağlıdır A Ve İle. Ne olduğu açık daha uzun süre, daha iyi; ancak gerçekten en iyisi M bilgisayarın bit ızgarasıyla sınırlıdır. Her durumda, kullanılan özel görev Rastgele sayıların örneklemi periyottan daha kısa olmalıdır, aksi takdirde problem yanlış çözülecektir. Jeneratörlerin genellikle ilişkiyi ürettiğini unutmayın. DIV_ADBLOCK304">

Rastgelelik sorusu sonlu dizi sayılar ilk bakışta göründüğünden çok daha karmaşıktır. Rastgelelik için çeşitli istatistiksel kriterler vardır, ancak hepsi kapsamlı bir cevap sağlamaz. Böylece sıralı olarak oluşturulan sözde rastgele sayılar Mükemmel bir şekilde tekdüze görünmeyebilir ancak gruplar oluşturma (yani korelasyon) eğiliminde olabilir. Tekdüzelik testlerinden biri, segmenti parçalara bölmektir. M eşit parçalar - "sepetler" ve her yeni rastgele sayıyı karşılık gelen "sepete" yerleştirmek. Sonuç, her sütunun yüksekliğinin "sepetteki" rastgele sayıların sayısıyla orantılı olduğu bir histogramdır (Şekil 7.54).

Pirinç. 7.54. Yeterince büyük bir örneğe sahip bir segment üzerinde eşit şekilde dağıtılan sayılara ilişkin histogramın görünümü

Çok sayıda test ile kolonların yüksekliklerinin hemen hemen aynı olması gerektiği açıktır. Ancak bu kriter gerekli ama yeterli değil; örneğin, çok kısa periyodiklikleri bile "fark etmez". Çok talepkar olmayan bir kullanıcı için, çoğu programlama dilinde yerleşik olarak bulunan rastgele sayı sensörünün (üretici) yetenekleri genellikle yeterlidir. Dolayısıyla, PASCAL'de değerleri aralıktaki rastgele sayılar olan rastgele bir fonksiyon vardır, rastgele bir aralıktan sayılar almak kolaydır [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

Daha karmaşık dağılımlar genellikle düzgün bir dağılım kullanılarak oluşturulur. Burada basit bir geometrik değerlendirmeye dayanan oldukça evrensel bir Neumann yönteminden (genellikle seçme-ret yöntemi olarak da adlandırılır) bahsedeceğiz. Bazı normalleştirilmiş dağılım fonksiyonlarıyla rastgele sayılar üretmenin gerekli olduğunu varsayalım. f(x) aralıkta [ a, b]. Olumlu tanıtalım özel fonksiyon karşılaştırmalar w(X)Öyle ki w(X)= sabit ve w(>F(X) Açık [ a, b] (genellikle w(X) eşittir maksimum değer F(X) Açık [ a, b]). Eğrinin altında kalan alan olduğundan f(x) aralık için eşit [ x, x + dx] isabet olasılığı X Bu aralıkta bir deneme yanılma prosedürü izlenebilir. Dikdörtgende eşit derecede olası koordinatları belirleyen iki rastgele sayı üretiyoruz ABCD düzgün dağıtılmış bir rastgele sayı sensörü kullanarak:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

ve eğer nokta M(x, y) eğrinin altına düşmüyor f(x), onu atıyoruz ve çarparsa bırakıyoruz (Şekil 7.55). Bu durumda koordinat kümesi X kalan noktaların olasılık yoğunluğuna göre dağıtıldığı ortaya çıkıyor f(x).

Pirinç. 7.55. Seçme-ret yöntemi. İşlev w(X) = F maksimum

Bu yöntem bazı dağıtımlar için en etkili yöntem olmasa da evrensel, basit ve anlaşılırdır. Karşılaştırma fonksiyonu kullanıldığında etkilidir w(X) yakın f(x). Kimsenin bizi almaya zorlamadığını unutmayın w(X)= tüm aralık boyunca sabit [ a, b]. Eğer f(x) hızla düşen “kanatları” varsa, o zaman almak daha akıllıca olur w(X) adım fonksiyonu olarak

6.2. KUYRUK SİSTEMLERİNDE RASTGELE SÜREÇLERİN MODELLENMESİ

Kim sıraya girmedi ve kendisine ayrılan sürede bir satın alma işlemi yapıp yapamayacağını (ya da kirayı ödeyebileceğini, atlıkarıncaya binebileceğini vb.) sabırsızlıkla merak etmedi mi? Veya yardım hattını aramaya çalışırken birkaç kez kısa bip sesleriyle karşılaşınca sinirleniyor ve ulaşıp ulaşamayacağımı mı değerlendiriyorsunuz? 20. yüzyılın başında bu tür “basit” problemlerden çok zor bilim- teori sıraya girme Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik aygıtlarını, diferansiyel denklemleri ve sayısal yöntemler. Kurucusu, telefon santrallerinin işleyişindeki sorunları inceleyen Danimarkalı bir bilim adamıydı.

Daha sonra ortaya çıktı ki yeni bilim Ekonomiye ve askeri meselelere dair çok sayıda çıkış noktası var. üretim organizasyonu, biyoloji ve ekoloji; Üzerine onlarca kitap, binlerce dergi yazısı yazıldı.

Kuyruk problemlerinin çözümünde bilgisayar modellemesi. kuyruk teorisinde ana yöntem olmasa da, bir istatistiksel test yöntemi (Monte Carlo yöntemi) şeklinde uygulanır, ancak içinde rol oynar önemli rol. Buradaki ana hat, analitik sonuçların elde edilmesi, yani formüllerle sunulmasıdır. Ancak olasılıklar analitik yöntemler istatistiksel test yöntemi evrenseldir ve anlaşılması çok basittir (en azından öyle görünmektedir).

Tipik görev: bir "satıcıya" giden kuyruk. Bu sınıfın en basit problemlerinden birini ele alalım. Müşterilerin rastgele girdiği tek satıcılı bir mağaza var. Satıcı özgürse hemen alıcıya hizmet etmeye başlar; birden fazla alıcı varsa kuyruk oluşur.

İşte benzer görevler:

Arıza nedeniyle hattan ayrılan motorlu araç filosu ve otobüslerdeki onarım alanı;

Acil servis ve yaralanma nedeniyle randevuya gelen hastalar (yani randevu sistemi olmadan);

Tek girişli (veya tek telefon operatörlü) bir telefon santrali ve giriş meşgul olduğunda sıraya giren aboneler (böyle bir sistem bazen uygulanır);

Sunucu yerel ağ ve iş yerindeki, aynı anda birden fazla mesajı alamayan ve işleyemeyen bir sunucuya mesaj gönderen kişisel bilgisayarlar.

Netlik sağlamak için mağaza, müşteriler ve satıcı hakkında konuşacağız. Burada ortaya çıkan ve hak eden sorunları ele alalım. matematiksel araştırma ve görünüşe göre çok ciddi.

Yani bu problemin girdisi müşterilerin mağazaya gelişindeki rastgele süreçtir. Bu “Markovian”dır, yani herhangi bir ardışık alıcı çiftinin varışları arasındaki aralıklar, bazı yasalara göre dağıtılan bağımsız rastgele olaylardır. Bu yasanın gerçek niteliği ancak çok sayıda gözlem yoluyla belirlenebilir; En basit model olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak, 0'dan bazılarına kadar zaman aralığında eş olasılıklı bir dağılım alabiliriz. T - Ardışık iki müşterinin gelişi arasındaki mümkün olan maksimum aralık. Bu dağılımla iki müşterinin gelişi arasında 1 dakika, 3 dakika veya 8 dakika geçme olasılığı aynıdır (eğer T > 8).

Taklit etmenin diğer yolları

taklit etmek- yaklaşmak anlamına gelir gerçek nesneler sürece rastgelelik katan belirli (gerçek) davranış yasalarıyla.

Diferansiyel denklemler her şeyin tamamen ortalaması alınır. Diferansiyel denklemler temelde deterministiktir. Çok iyiler çünkü (bir bütün olarak) bütünleyici bir özellik veriyorlar.

Ancak bu, gerçek sistemlerin incelenmesine yönelik yalnızca ilk adımdır. Gerçek bir sistemde araştırmacı ayrıntılarla ilgilenir.

1. yol. Fark denklemlerine geçiş(bu yöntem, diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal yöntemler geliştirmek için aktif olarak kullanıldı). Yönteme süreç ayrıklaştırma adı verilir.

Uzaktan kumanda sistemimiz var

.

Değiştiriyoruz

sonsuz küçük aralığı küçük olana dönüştürür.

Her birini hesaplıyoruz sonraki değeröncekiler aracılığıyla.

Burada katsayıların olduğunu unutmamalıyız. zaten farklı bir boyuta (ve anlama) sahiptir ve değerlerin yeniden hesaplandığı zaman aralığının boyutuna bağlıdır.

MVS ortamında ayrı bir sürecin uygulanması - boş davranışa ve döngüsel geçiş yaylarına sahip bir düğüm kullanılarak.

Pirinç. 1. Ayrı bir sürecin uygulanması

Ayrık bir sürecin zaman diyagramı, noktalardaki sıçramalar (süreksizlikler) ile parçalı sabit bir fonksiyon biçimindedir. ben değerlerin yeniden hesaplanması.

Bu yüzden değiştirdik sürekli model ile ayrık parçalı sürekli fonksiyon belirli aralıklarla sayılardaki sıçramaları gösteren.

2. yol. Tanım yerel kanunlar davranış

Bir ürünün miktarındaki değişim yasasını iki davranışa ayıralım: ürün kaybı yasası, ürün artışı yasası

Aynı şekilde kaynak için

Pirinç. 2. Yerel kanunlarla yapısal model

3. yol. Rastgelelik ekleme

Rastgeleliği ortaya çıkarmak için her yinelemede yeni katsayı değerlerini hesaplayacağız Bazı rastgele sayılar, belirli bir ortalama (matematiksel beklenti) ve varyans ile normal yasaya göre ilk yaklaşıma göre dağıtılır.

Ve eğer şunu da hesaba katarsak yerel davranışlar düşüş ve büyüme, o zaman geçişlerin olasılıklarını yasalardan birine veya diğerine göre ayarlayabilirsiniz.

Olasılıklar nedeniyle bu modeli ayarlayıp keşfedebileceğiz.

Böylece modeli gerçek sisteme yaklaştırmanın ana yolları şunlardır:

• sistem yapısının detaylandırılması;
• ayrık süreçlere geçiş;
• ayrıntılı davranış;
• Rastgele süreçlere geçiş.

Tüm bu yöntemlerin kombinasyonu simülasyon(en gerçek).

Şimdi başka bir şey kullanıyorlar modern isim – aracı tabanlı modelleme . Bu aslında klasik istatistiksel modellemedir.

Modellemeye iki yaklaşım vardır.

Birincisi: nesneden modele (durumu biz belirleriz) gerçek sistem V başlangıç ​​anı zaman ve bundan sonra ne olacağını modelleyin).

Tersi durum şöyle olabilir: modelden nesneye (bir model oluştururuz, resmin hangi olasılıklarda ve başlangıç ​​​​değerlerinde kararlı veya kararsız olacağını inceler ve önerilerde bulunuruz)

Böylece Yeni Verileri İşleyen Veri Modeli döngüsü gerçekleşir.

Bir sistemi detaylandırırken matematiksel yasaları değil, spesifik (davranışsal) veya başka bir deyişle sistemin parçalarının birbirleriyle yerel etkileşimlerini belirleriz.

1. ölçüde bir başlangıç ​​var rastgele dağılım Bir elementin belirli bir durumda olma olasılığı.

İşlemi döngüsel olarak tekrarlıyoruz. Buna etmen tabanlı veya simülasyon modelleme denir.

Bu durumda ayrık (parçalı sabit) fonksiyonlar elde ederiz.

Rastgele süreçlerin modellenmesi

Markov süreçleri

İşlev X(t) isminde rastgele herhangi bir argümanın değeri rastgele bir değişkense.

Rastgele işlev X(t) Argümanı zaman olana denir rastgele süreç .

Bir sistemde meydana gelen rastgele bir süreç S, isminde Markoviyen (veya sonradan etkisi olmayan bir süreç), eğer aşağıdaki özellik: zamanın herhangi bir anında t 0, gelecekte sistemin herhangi bir durumunun olasılığı (ile t > t 0) yalnızca şu andaki durumuna bağlıdır (ile t = t 0) ve sistemin ne zaman ve nasıl olduğuna bağlı değildir S bu duruma geldi.

Markov süreçleri rastgele süreçlerin özel bir türüdür. Özel bir yer Markov süreçleri diğer rastgele süreç sınıfları arasında aşağıdaki durumlardan kaynaklanmaktadır:

• Markov süreçleri için iyi geliştirilmiş bir matematiksel aygıt birçok çözümün çözülmesine olanak sağlar. pratik problemler;
• Markov süreçlerinin yardımıyla oldukça karmaşık sistemlerin davranışı (tam olarak veya yaklaşık olarak) tanımlanabilir.

Markov süreçlerinin sınıflandırılması

Markov rastgele süreçlerinin sınıflandırılması, fonksiyon değerleri kümesinin sürekliliğine veya ayrıklığına bağlı olarak gerçekleştirilir. X(t) ve parametre T.

Aşağıdaki ana Markov rastgele süreçleri türleri vardır:

• ayrık durumlar ve ayrık zamanla (Markov zinciri);
• sürekli durumlar ve ayrık zamanlı (Markov dizileri);
• ayrık durumlarla ve sürekli zaman(sürekli Markov zinciri);
• İle sürekli durum ve sürekli zaman.

Ekonomik süreçleri modellemek için en uygun olan ayrık durumlu süreçleri inceleyeceğiz.

Durum grafiği

Ayrık durumlara sahip Markov süreçleri, durumların dairelerle gösterildiği durum grafiği kullanılarak uygun bir şekilde gösterilmektedir. ben sistemler S ve oklar durumdan duruma olası geçişleri gösterir. Grafik yalnızca doğrudan geçişleri işaretler, diğer durumlar arasındaki geçişleri işaret etmez. Önceki durumdaki olası gecikmeler bir "döngü", yani şu yöne doğru yönlendirilen bir ok olarak gösterilmektedir. bu durum onun içine.

Pirinç. 3. Durum grafiği

Sonlu sayıda durum veya sonsuz fakat sayılabilir bir sayı olabilir.

Ayrık durumları ve ayrık zamanı olan Markov rastgele sürecine denir Markov zinciri . Böyle bir süreç için anlar t 1, t 2,…. S sistemi durumunu değiştirebildiğinde, şu şekilde kabul edilir: sıralı adımlar süreç ve sürecin bağlı olduğu argüman t süresi değil, 1, 2,..., numaralı adımdır. k,... Bu durumda rastgele süreç bir dizi durumla karakterize edilir S(0), S(1), S(2),..., S(k),..., burada S(0) sistemin başlangıç ​​durumudur (ilk adımdan önceki); S(1)– ilk adımdan sonra sistemin durumu; S(k)– k. adımdan sonra sistemin durumu...

Durum sırası S(1), S(2),..., S(k) rastgele olaylar dizisi olarak görülebilir.

Peşinde olma olasılığını belirtelim k S k durumundaki adım. Daha sonra

Sonlu sayıda duruma sahip sistemler pratik açıdan ilgi çekicidir Si (i =1,…, n).

Sonlu Markov zincirlerine örnekler

Örnek 1. Model 4 “Garaj”

Garajdaki arabalar iki durumda olabilir: çalışma (1) ve tamir (2).

Araçların durumunu düzenli aralıklarla takip edeceğiz. Örneğin günde bir kez (sabah, işe başlamadan önce) her aracın durumu belirleniyor. Aşağıdaki durumlar mümkündür:

• araç hizmete açıktı ve hizmet vermeye devam ediyor;
• araba arızalıydı ve çalışır hale geldi;
• araba iyi çalışır durumdaydı ve arızalandı;
• araba arızalıydı ve arızalı kaldı.

Bu sistemin durumlarının ve geçişlerinin bir grafiğini çizelim

Pirinç. 4

p 11 , p 12 , p 21 , p 22 , durumdan duruma geçiş olasılıklarıdır.

Eğer arabaların türü aynıysa, o zaman tüm olasılıklar tüm arabalar için aynı olacaktır.

Olasılıkları matris şeklinde gösterelim

İsminde geçiş matrisi .

Geçiş Matrisi Özellikleri

1. Her çizgi, sistemin seçilen durumunu karakterize eder ve öğeleri, seçilenden (başlangıçtan itibaren) bir adımdaki tüm olası geçişlerin olasılıklarını temsil eder. Ben th) kendine geçiş de dahil olmak üzere durum.
2. Sütunların elemanları, sistemin bir adımda belirli bir adıma olası tüm geçişlerinin olasılıklarını gösterir ( J-f) durum (başka bir deyişle satır, sistemin bir durumdan, sütundan bir duruma geçiş olasılığını karakterize eder).
3. Geçişler oluştuğundan her doğrunun olasılıklarının toplamı bire eşittir. tam grup uyumsuz olaylar
4. Geçiş olasılığı matrisinin ana köşegeni boyunca olasılıklar vardır Pii sistemin durumdan çıkmayacağını Ben ama içinde kalacak.

Vektörü tanıtalım – k=0,1,2,3...her adımda (döngüde) iki durumdan birinde kalma olasılığını hesaplayan bir fonksiyon.

Her makine için başlangıç ​​durum olasılıklarının vektörü. Örneğin, başlangıç ​​durumunda makinenin güvenilir şekilde servise açık olduğunu varsayalım.

Bu süreci bir ağaç şeklinde anlatalım

Ayrıca ilk adımda başlangıç ​​durumunun olasılığı eklenir (ayarlanır).

Eğer düzeltirsen k=const ise sistemin tüm nihai sonuçlarını biliyoruz. Eğer olasılıklar p ij=const ise bu süreç bir Markov zinciridir. Bu model sonsuz bir süreci uygulamaktadır. Sistemin uzun süreli çalışması sırasında durum olasılıklarının belli bir sayıya doğru yöneldiği ortaya çıkabilmektedir. Bunlar marjinal olasılıklar isminde istikrarlı sürecin olasılıkları . Sonsuz süreçleri modellerken, kararlı durum sürecinin olasılıklarını hesaplamak ilgi çekicidir.

Örnek 2. Model 5 “Küp ve Madeni Paralar”

A ve B olmak üzere iki madeni para ve bir K küpü vardır. Birinde arma ve tura, diğerinde ise her iki tura sahiptir.

Oyun: Rastgele bir para seçin ve atın. Arması gelirse zarı atıyoruz, tura gelirse aynı parayı tekrar atıyoruz.

Oyun durumlarının bir grafiğini çizelim

Sonuçların uzayı sınırlıdır. Tüm olasılıklar sabittir. Bu bir Markov zinciri. Bu modelde A parası rastgele seçilirse sürecin er ya da geç biteceği görülmektedir. B parası seçilirse süreç sonsuzdur.

Bağımsız çalışma için görevlendirme

Bu sistem için bir geçiş matrisi oluşturun.

Örnek 3. Model 6 “Oyun”

5 eyalet var. Bir anda parçacık (top) şu durumlardan birindedir: ben. Her adım için parçacık yalnızca komşu duruma gidebilir: S i-1 olasılıkla P, V S ben+1 olasılıkla Q. Aynı zamanda (bilindiği gibi) P +Q=1. Bir parçacık son duruma ulaşırsa sonsuza kadar orada kalır. Olasılıklar sabittir. eyaletlerde ben, Ben=2,3,4 parçacık kalamaz.

Bir matris oluşturalım P bir parçacığın durumdan geçiş olasılığını açıklayan ben bir durumda S j.

Bu model sürecin er ya da geç biteceğini gösteriyor. Dolayısıyla bu model sonlu bir Markov zincirini temsil eder. Nihai süreçleri modellerken, sürecin ortalama süresinin yanı sıra belirli bir düğümde sürecin sona erme olasılıklarını hesaplamak ilgi çekicidir.

Örnek 4. Model 7 “Üniversite eğitimi”

Bir üniversitede eğitim alma süreci 4 yıllık bir eğitimdir (lisans derecesi). Aşağıdaki durumları vurgulayalım

Yukarıda açıklanan çeşitli yöntemler konunun temel tarafının esas olarak dikkate alındığı rastgele süreçlerin modellenmesi. Bu bölümde, yaygın korelasyon fonksiyonlarıyla durağan normal süreçleri modellemek için bu yöntemlerin kullanılmasının sonuçları sunulmaktadır. Aynı zamanda gereken her şey yapıldı. hazırlık çalışması ve doğrudan kullanıma uygun basit modelleme algoritmaları elde edildi. Ayrıca örnekler verilmiştir pratik uygulama modelleme algoritmaları.

Tabloda 2.2 simüle edilen süreçlerin korelasyon fonksiyonları ve enerji spektrumları türleri ve bunlara karşılık gelen algoritmalar verilmektedir. Gerekli açıklamalar aşağıda verilmiştir.

Tablo 2.2.

Tablo 2.2'nin devamı.

Tablo 2.2'nin devamı.

Tablo 2.2'nin devamı.

Durağan normal sürekli rastgele bir süreç verildiğinde korelasyon fonksiyonu dijital bir bilgisayarda zamana ilişkin değerlerinin ayrı bir dizisi olarak gösterilir; burada örnekleme adımı ve bir tamsayı argümanıdır. Burada tartışılan tüm algoritmalar, dijital bir bilgisayarda simüle edilmiş rastgele bir sürecin ayrık, zaman sınırlaması olmayan uygulamalarını elde etmek için tasarlanmıştır. Tüm bu algoritmalar, bağımsız normal dağılımlı rastgele sayılar dizisinin (0, 1) (ayrık) parametreleriyle dönüştürülmesi ilkesine dayanmaktadır. beyaz gürültü) yasaya göre ilişkilendirilen bir diziye

1-5 numaralı tabloda yer alan korelasyon fonksiyonlu rastgele süreçler, rasyonel spektral yoğunluğa sahip rastgele süreçler sınıfına aittir. Bu tür süreçleri modellemek için en uygun olanı, metodolojik hataları olmayan ve basit yineleme ilişkilerine indirgenmiş algoritmalara yol açan fark denklemlerinin (§ 2.3) kullanılmasıdır. Bu yöntem kullanılarak 1-5 numaralı algoritmalar elde edilir.

Üstel ve üstel-kosinüs korelasyon fonksiyonlarıyla modelleme süreçlerine yönelik 1 ve 2 numaralı algoritmalar, § 2.3'te zaten tartışılmıştır ve açıklama gerektirmez.

2-5 numaralı algoritmalar aynıdır ve yalnızca parametrelerin değerlerinde farklılık gösterir; bunların belirlenmesi, her özel durumda Tabloda verilen formüller kullanılarak yapılan hesaplamalara iner. 2.2. 3-5 numaralı algoritmalarda tekrarlayan formüllerin parametrelerini hesaplamak için ifadeler türetirken, üstel-kosinüs korelasyon fonksiyonu örneğini kullanarak § 2.3'te tartışılan dönüşümler kullanıldı: her bir korelasyon fonksiyonu türü için dizinin spektral yoğunluğu (2.51)'e göre yazıldığında, karşılık gelen sonsuz serilerin her iki yöndeki toplamı tek taraflı tablolara göre gerçekleştirildi ayrık dönüşümler Laplace ve elde edilen kesirli rasyonelin paylarının çarpanlarına ayrılması spektral fonksiyonlar polinomların çarpanlara ayrılması (polinomların ikinciden daha yüksek olmayan bir sırası vardı) ve ardından (2.61) ve (2.62) ifadelerine göre polinomların kökleri kullanılarak gerçekleştirildi. Spektral fonksiyonların paydaları otomatik olarak çarpanlara ayrıldı.

Rasyonel spektral yoğunluğa sahip işlemler sınıfına ait olmayan 6-8 numaralı rastgele süreçleri simüle etmek için kayan toplama yöntemi en etkili yöntem olarak kullanıldı. bu durumda.

6-8 numaralı algoritmalara göre dizi, dizinin ağırlıkla kaydırılarak toplanması yöntemiyle elde edilir. Ağırlık katsayılarına ilişkin ifadeler, süreçlerin enerji spektrumlarının formül (2.12) kullanılarak entegre edilmesiyle elde edildi. Rastgele işlem No. 6'nın [bantta tekdüze bir spektruma sahip bir işlem] örnekleme frekansının ve'den büyük veya ona eşit olduğu varsayılmıştır. 7, 8 numaralı işlemlerle ilgili olarak örnekleme frekansının yeterince yüksek olduğu varsayılmıştır, dolayısıyla üst sınır(2.12) integralinde sonsuza eşit alınabilir. Bu nedenle 7, 8 numaralı algoritmalardaki katsayı ifadeleri aşağıdaki durumlarda kullanılmalıdır: . Sonlu limiti sonsuz bir limitle değiştirmek, bu durumda (2.12) tipindeki integrallerin tablo şeklindeki integrallere indirgenmesini mümkün kıldı.

6-8 numaralı algoritmalar yaklaşıktır, ancak parametre artırılarak metodolojik hata ihmal edilebilir hale getirilebilir. Seçilen değerler ve yöntemin hatası, ağırlık katsayılarının evrilmesiyle kolayca tahmin edilir. Korelasyon fonksiyonu No. 8 ile rastgele bir süreç için katsayıların hesaplanmasına ve yöntemin hatasının hesaplanmasına ilişkin bir örnek daha önce § 2.2'de verilmiştir. Aynı paragraf, 9 numaralı rastgele sürecin modellenmesine yönelik algoritmanın bir tanımını sağlar [bkz. algoritma (2.48)].

Tabloda verilen algoritmalar. 2.2 pratik teste tabi tutuldu. Doğrulama, 1000 örnek uzunluğunda simüle edilmiş rastgele süreçlerin dijital bir bilgisayarda uygulamaları geliştirilerek gerçekleştirildi. verilen değerler parametreler ve . Bu gerçekleşmelerden örnek korelasyon fonksiyonları hesaplandı ve verilen korelasyon fonksiyonlarıyla karşılaştırıldı. Başlangıçtaki bağımsız rastgele sayılar, M-20 dijital bilgisayar için normal rastgele sayı sensörünün standart programına göre üretildi.

Üretim sırasında başlangıç ​​değerleri 1-5 numaralı rastgele süreçlerin uygulamaları (0, 1) parametreli bağımsız normal rastgele sayıların örnek değerleri alındı.

Şek. Şekil 2.5, tablodaki bazı rastgele süreçlerin 400 örnek uzunluğundaki uygulamalarının başlangıç ​​bölümlerini göstermektedir. 2.2; Uygulama kolaylığı açısından sürekli bir çizgi halinde gösterilmiştir. Uygulamaların yanında, verilen korelasyon fonksiyonları (düz çizgi) ve bu uygulamalar kullanılarak dijital bilgisayarda hesaplanan korelasyon fonksiyonları (kesikli çizgi) gösterilmektedir. Grafikler, tablodaki korelasyon fonksiyonlarıyla aynı sayılarla işaretlenmiştir. 2.2. Parametre değerleri ve . Tüm simüle edilen süreçler için korelasyon aralıkları yaklaşık olarak aynı olacak şekilde seçilir. Şekil, belirtilen ve örnek korelasyon fonksiyonları arasında iyi bir uyum olduğunu göstermektedir.

2 numaralı korelasyon fonksiyonuna sahip rastgele süreç türevlenemez, bu nedenle uygulamaları türevlenebilir rastgele süreçlerin diğer dört uygulaması kadar düzgün değildir.

2 ve 3 numaralı uygulamaların yanı sıra 6, 7 numaralı uygulamalar arasında belirli bir benzerlik fark edilebilir; bu, uygulamaların dijital bir bilgisayarda aynı ayrı beyaz gürültü uygulamasını dönüştürerek oluşturulmuş olmasıyla açıklanmaktadır. .

2, 3 numaralı uygulamaların başında oldukça büyük negatif emisyonlar görülüyor. Bu aykırı değerler, geçici süreç nedeniyle simüle edilen süreçlerin başlangıç ​​bölümlerinin bozulmasının sonucudur. Aslında başlangıç ​​koşulları, yalnızca 1 ve 5-9 numaralı rastgele süreçlerin en baştan itibaren durağan olacağı şekilde seçilmiştir.

2-4 numaralı rastgele süreçlerin modellenmesinde geçici süreçten kurtulmak için, başlangıç ​​​​değerlerini hesaplarken, yukarıda kabul edildiği gibi bağımsız rastgele sayılar yerine, korelasyonlu dört boyutlu bir rastgele vektör almak gerekir. matris

Sonuç olarak, yukarıda tartışılan algoritmaların basit dönüşümleri yoluyla simüle edilmiş durağan normal rastgele süreçler sınıfını genişletmemize izin veren bazı tekniklere dikkat çekiyoruz.

Örneğin, birkaç bağımsız durağan normal rastgele sürecin toplanması sırasında, korelasyon fonksiyonunun terimlerin korelasyon fonksiyonlarının toplamına eşit olduğu bir durağan normal rastgele sürecin oluşturulduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, bir sürecin korelasyon fonksiyonu tablodaki iki veya daha fazla korelasyon fonksiyonunun toplamı ise. 2.2'ye göre, bu sürecin ayrık uygulamaları, yukarıdaki algoritmalar kullanılarak elde edilen iki veya daha fazla bağımsız uygulamanın toplanmasıyla oluşturulabilir. Örneğin, simüle edilen sürecin korelasyon fonksiyonu şu forma sahipse:

daha sonra ayrık uygulamalarını oluşturmaya yönelik algoritma şu şekilde yazılacaktır:

Bu rastgele bir süreç

burada uygulamaları dönüştürün ve korelasyon fonksiyonu (2.83) ile rastgele bir sürecin uygulamasına dönüştürün.

Ayrık hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar ve tekrarlayan algoritmanın (1.3) kullanılması tavsiye edilir, daha sonra algoritma (2.84) şu şekilde yazılacaktır:

Kısa bilgi

Simülasyon modelleme (Monte Carlo yöntemi) tarafından incelenen rastgele süreçler, özellikle kuyrukların oluşturulması ve bakımıyla ilgili süreçleri (süreçler olarak adlandırılır) içerir. sıraya girme). Bu sınıfın en basit görevi şudur. Tek servis merkezi (tek satış elemanı olan bir mağaza, motorlu taşıt filosundaki tamir alanı, tek doktorlu acil servis odası, tek girişli telefon santralı, tek giriş kanallı sunucu vb.) içeren bir kuyruk sistemi bulunmaktadır. Müşteriler sistem hizmetlerine rastgele başvuruyorlar (ile verilen fonksiyon varışlar arasındaki zaman aralıklarının dağılımı). Sistem ücretsiz ise müşteriye hemen hizmet vermeye başlar, aksi takdirde onu kuyruğa sokar. Her müşterinin hizmet süresi, bilinen bir dağıtım yasasına sahip rastgele bir değişkendir.

Bu problemin çözümünde “Müşterinin kuyrukta bekleme süresinin olasılık dağılım fonksiyonu nedir?” gibi soruların yanıtlanması gerekmektedir. “İstemcileri bekleyen sistemin kesinti süresi nedir?”, “Bu işlevlerin kendilerinin belirlenmesi zorsa, o zaman en önemlileri nelerdir? önemli özellikler(yani matematiksel beklenti, varyans vb.)?

Bu görevin temeli, müşterilerin hizmet sistemine rastgele girme sürecidir. Herhangi bir ardışık müşteri çiftinin gelişleri arasındaki aralıklar, bazı yasalara göre dağıtılan bağımsız rastgele olaylardır. Bu yasanın gerçek niteliği ancak çok sayıda gözlem yoluyla belirlenebilir; En basit model olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak, 0'dan bazılarına kadar zaman aralığında eş olasılıklı bir dağılım alabiliriz. T - Ardışık iki müşterinin gelişi arasındaki mümkün olan maksimum aralık. Bu dağılımla iki müşterinin gelişi arasında 1 dakika, 3 dakika veya 8 dakika geçme olasılığı aynıdır (eğer T> 8 dakika).

Böyle bir dağılım elbette gerçekçi değil; Gerçekte çoğu kuyruk prosesi için dağıtım fonksiyonu T= 0, belirli bir t = τ değerinde maksimuma sahiptir ve büyük ölçüde hızla azalır T, onlar. Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 7.6.

Elbette çok şey seçebilirsiniz temel işlevler niteliksel olarak bu görünüme sahip. Kuyruk teorisinde Poisson fonksiyonları ailesi yaygın olarak kullanılmaktadır.

Nerede λ - biraz sabit P - keyfi tamsayı.

Fonksiyonların (35) x = noktasında maksimumu vardır p/λ ve normalleştirildi.

Bu problemdeki birinciyle hiçbir şekilde bağlantılı olmayan ikinci rastgele süreç, rastgele olayların sırası - her müşteri için hizmet süresi - tarafından belirlenir. Hizmet süresinin olasılık dağılımı aynıdır kaliteli görünümönceki durumda olduğu gibi.

Örneğin, sütundaki tabloda A rastgele sayılar kaydedilir - müşteri varışları arasındaki aralıklar (dakika cinsinden), sütunda İÇİNDE - rastgele sayılar - hizmet süresi (dakika cinsinden). Kesinlik için alınmıştır maksimum= 10 ve bmaks= 5.

Pirinç. .6. Bir kuyruk sistemindeki müşteri görünümleri arasındaki zaman dağılımının olasılık yoğunluğunun şematik gösterimi

Bu kısa tablodan elbette ki miktarlar için hangi dağıtım yasalarının kabul edildiğini belirlemek imkansızdır. A Ve İÇİNDE. Geriye kalan sütunlar analiz kolaylığı sağlamak amacıyla verilmiştir; İçlerinde yer alan sayılar temel hesaplama ile bulunur. C sütunu gösterir koşullu zaman müşteri gelişi; D- hizmetin başlama anı; E- hizmet sonu; F- müşterinin bir bütün olarak sistemde geçirdiği süre; G- hizmet için sırada beklerken geçirilen süre; N - sistemin istemcileri beklerken harcadığı süre (eğer yoksa). Tabloyu yatay olarak, satırdan satıra hareket ederek doldurmak uygundur. Bir sonraki müşteriye hizmetin başlangıcı, eğer sistem meşgul değilse, varış saatine veya önceki müşterinin ayrılış saatine göre belirlendiğinden, kolaylık sağlamak amacıyla sunuyoruz. karşılık gelen formüller(onlarda Ben= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c ben+1 = c ben + a i+1 ; d 1 = 0, d ben+1 = maksimum(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e ben = d ben + b ben ; f ben = e ben + c ben ; g1 = 0; g ben+1 = f ben+1 + b ben+1 h 1 = 0; h ben+1 = d ben+1 - e ben(36b)

Bu nedenle, A ve B sütunlarındaki rastgele sayı kümeleri göz önüne alındığında, müşterilerin sıraya girmesi gerekiyordu (sütun G), ve sistem istemciyi beklerken boştaydı (sütun N).

Bu tür sistemleri modellerken ortaya çıkan ilk soru şudur: Sırada beklemeniz gereken ortalama süre nedir? Cevaplaması kolay görünüyor; sadece bulmanız gerekiyor

(37)

bazı test serilerinde. Benzer şekilde h'nin ortalama değerini de bulabilirsiniz. . Elde edilen sonuçların güvenilirliği ile ilgili soruya cevap vermek daha zordur; Bunu yapmak için birkaç dizi test yapmanız ve kullanmanız gerekir. standart yöntemler matematiksel istatistikler (Öğrenci dağılımını kullanarak işlem yapmak genellikle uygundur).

Daha zor soru- rastgele değişkenlerin dağılımı nedir G Ve N en verilen dağılımlar rastgele değişkenler A Ve İÇİNDE? Simülasyon sonuçlarına göre uygun histogramlar oluşturarak buna niteliksel bir cevap almayı deneyebilirsiniz. Daha sonra dağılımın türü hakkında bir hipotez kurulur ve bu hipotezin güvenilirliğini test etmek için bir veya daha fazla istatistiksel kriter kullanılır.

Bir dağıtım işlevine sahip olarak (ampirik bile olsa, ancak oldukça güvenilir), sırada bekleme sürecinin doğasıyla ilgili her türlü soruyu yanıtlamak mümkündür. Örneğin: daha uzun süre bekleme olasılığı nedir? T dakika mı? Alan oranını bulursak cevap elde edilecektir. kavisli yamuk, programla sınırlı dağıtım yoğunluğu, düz x = t Ve y=0 tüm şeklin alanı.

Güvenlik soruları

1. “Rastgele süreç” nedir?

2. Düzgün dağıtılmış rastgele sayıların bilgisayarla üretilmesinin ilkeleri nelerdir?

3. Poisson dağılım yasasıyla rastgele sayılar dizisini nasıl elde edebilirsiniz?

4. “Kuyruk sistemi” nedir? Örnekler verin.

5. Alan hesaplamasında Monte Carlo yöntemi nedir? düz rakamlar? vücut hacimleri?

6. Rastgele süreçlere hangi örnekleri verebilirsiniz?

Makaleler için konular

1. Rastgele sayı dizilerinin bilgisayarla üretilmesinin ilkeleri ve istatistiksel kriterler Dizilerin özelliklerinin belirlenmesi.

2. Yöntemler istatistiksel işleme Rastgele süreçlerin bilgisayar modellemesinden elde edilen sonuçlar.

Ders seminerler

Belirli bir dağılım yasasıyla rastgele sayı dizilerinin elde edilmesi.

Laboratuvar çalışması

1. Bu işi gerçekleştirirken, belirli bir olasılık dağılım yasasıyla uzun sözde rasgele sayı dizileri oluşturmak gerekir. Bu diziyi istenen dağıtım yasasına sahip bir diziye dönüştürmek için prosedürlerden birini (örneğin, "seçim-başarısızlık" prosedürü) kullanarak, uygulanan programlama sistemine yerleşik, eşit şekilde dağıtılmış rastgele sayıların standart bir sensörüne dayanabilir. .

2. Rastgele süreçlerin modellenmesindeki temel görevlerden biri, modellemenin amacı olan rastgele değişkenlerin özelliklerini bulmaktır. Bu tür ana karakteristik, dağıtım fonksiyonudur. Görünüşü, simülasyon sırasında oluşturulan histogramdan ve bununla ilgili hipotezden niteliksel olarak değerlendirilebilir. işlevsel biçim kullanılan standart kriterlerden birini kullanarak kontrol edin. matematiksel istatistik(örneğin, kriter % 2). Bununla birlikte, özellikle problem bir rastgele değişkenin yalnızca bazı özelliklerinin (çoğunlukla ortalama değer ve varyansın) belirlenmesini gerektiriyorsa, bu her zaman tavsiye edilmez. Dağıtım fonksiyonunun kendisini modellemeden bulunabilirler. Aynı zamanda istatistiksel değerlendirme sonuçların güvenilirliği zorunludur.

3. Simülasyon sonuçlarının bilgisayar ekranında aşağıdaki biçimde görüntülenmesi uygundur: hesaplanan değerin değer tabloları şeklinde (genellikle birkaç örnekte), rastgele değişkenlerin dağılımının histogramları şeklinde simülasyon sırasında inşa edilmiştir.

4. Mümkün olan yerlerde simülasyon modellemeye karşılık gelen sürecin bilgisayar ekranında görsel olarak gösterilmesiyle eşlik edilmesi tavsiye edilir (kuyruk oluşumu süreci, popülasyon modelleme problemlerinde nesnelerin doğuşu ve kaybolması vb.).

Yaklaşık tamamlanma süresi 16 saattir.

atama laboratuvar çalışması

Belirtilen rastgele sürecin bir simülasyonunu gerçekleştirin ve istatistiksel kriterleri kullanarak elde edilen sonuçların güvenilirliğini değerlendirin.

Görev seçenekleri

Seçenek 1

Yukarıda açıklanan rastgele değişkenlerin eşit olasılıklı dağıtım yasaları altında bir mağazada bir satıcının olduğu kuyruğu simüle edin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre kümesi için). Kararlı özellikler elde edin: alıcının sırada beklemesinin ortalama değerleri ve alıcıların gelmesini beklerken satıcının boşta kalma süresi. Güvenilirliklerini değerlendirin. Büyüklüklerin dağılım fonksiyonunun doğasını değerlendirin G Ve H.

Seçenek 2

Girdi olaylarının olasılık dağılımına ilişkin Poisson yasalarıyla aynı modellemeyi gerçekleştirin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre kümesi için).

Seçenek 3

Aynı modellemeyi, girdi olaylarının normal olasılık dağılımı kanunu altında gerçekleştirin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre seti için).

Seçenek 4

Yukarıda ele alınan sistemde kuyruğun zamanla sınırsız büyümesi durumunda kritik bir durum ortaya çıkabilmektedir. Aslında, müşteriler mağazaya çok sık girerse (veya satıcı çok yavaşsa), kuyruk büyümeye başlar ve söz konusu sistemde son zaman hizmet krizi gelecektir.

Miktarlar arasında bir ilişki oluşturun (bir maksimum, bmaks), belirtilenin sınırını yansıtan kritik durum, girdi olaylarının eşit derecede olası bir dağılımıyla.

Seçenek 5

Şehirlerarası telefon santrali iki telefon operatörü ortak bir sipariş kuyruğuna hizmet ediyor. Bir sonraki sipariş, ilk müsait olan telefon operatörü tarafından sunulur. Siparişin alındığı sırada her ikisinin de meşgul olması durumunda arama iptal edilir ve tekrar aramanız gerekir. Girdi akışlarının Poisson olduğunu dikkate alarak süreci modelleyin.

Seçenek 6

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, ancak sipariş vermeye çalışırken her iki telefon operatörünün de meşgul olması durumunda bir kuyruk oluştuğunu varsayalım.

Seçenek 7

Tek girişli telefon santrali kullanılsın geleneksel sistem: Abone meşgulse sıra oluşmaz ve tekrar aramanız gerekir. Durumu simüle edin: Üç abone aynı numaranın sahibini aramaya çalışır ve başarılı olursa onunla bir süre (rastgele bir süre) konuşur. Aramaya çalışan birinin bunu yapamama olasılığı nedir? belirli zaman T?

Seçenek 8

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, ancak abonenin telefonuyla iletişim kurma girişimi sırasında meşgulse bir kuyruk oluştuğunu varsayalım.

Seçenek 9

Acil serviste tek doktor çalışıyor. Hastanın tedavi süresi ve hastaların başvuruları arasındaki süreler - rastgele değişkenler Poisson yasasına göre dağıtılır. Yaralanmaların ciddiyetine göre hastalar üç kategoriye ayrılır; herhangi bir kategorideki hastanın kabulü; rastgele olay eşit olasılık dağılımı ile. Doktor ilk önce en ağır yaralanmaları olan hastaları (kabul sırasına göre), daha sonra eğer yoksa orta derecede yaralanmaları olan hastaları (kabul sıralarına göre) ve ancak o zaman hafif yaralanmaları olan hastaları tedavi eder. Süreci modelleyin ve her kategorideki hastaların kuyruktaki ortalama bekleme sürelerini tahmin edin.

Seçenek 10

Önceki versiyonda anlatılan durumu, acil serviste iki doktorun çalışması ve hastaların üç yerine iki kategoriye ayrılması koşuluyla simüle edin.

Seçenek 11

Bir dokumacı, süresi rastgele değişken olan kısa vadeli müdahaleleri gerçekleştirerek bir grup dokuma tezgahına hizmet ediyor. Aynı anda iki makinenin aksama süresi olasılığı nedir? Bir makinenin ortalama arıza süresi ne kadardır?

Seçenek 12

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, eğer bir tezgah grubu iki dokumacı tarafından ortaklaşa hizmet veriyorsa.

Seçenek 13

İÇİNDEŞehir motorlu taşıt filosunun iki onarım bölgesi vardır. Bir - kısa ve kısa onarımlara hizmet eder ortalama süre, diğeri - orta ve uzun vadeli (yani, bölgelerin her biri tarafından orta vadeli onarımlar gerçekleştirilebilir). Arızalar meydana geldikçe araçlar filoya teslim edilir; teslimatlar arasındaki zaman aralığı - rastgele Poisson değeri. Onarım süresi rastgele bir değişkendir. normal hukuk dağıtımlar. Açıklanan sistemi modelleyin. Kısa vadeli, orta vadeli ve uzun vadeli onarım gerektiren araçların ortalama bekleme süreleri sırasıyla nedir?

Seçenek 14

Buffon problemini çözmek için istatistiksel modellemenin bir simülasyon modelini uygulayın (XVIII yüzyıl). Yazar analitik olarak, paralel çizgilerle grafiği çizilen bir alan üzerinde aralarındaki mesafenin L, rastgele bir iğne atar ben Bu durumda iğnenin en az bir düz çizgiyi geçme olasılığı formülle belirlenir.

Bu problem, sayının belirlenmesini simüle etmenin bir yolunu sağladı. P. Gerçekten eğer L = 2l, O . Simülasyon sırasında bu hesaplamayı gerçekleştirin.

Seçenek 15

Tek boyutlu bir rastgele yürüyüş modeli (“sarhoş” model) geliştirin. Yürüyüş şu kurala göre ayarlanır: Bir segmentteki rastgele sayı 0,5'ten azsa, o zaman bir mesafe kadar sağa doğru bir adım atılır. H, aksi halde - sola. Rastgele sayıların dağılımının eşit olasılıklı olduğu varsayılır.

Problemi çözün: Böyle bir yürüyüşün başlangıç ​​noktasından şu kadar uzaklaşma olasılığı nedir? N adımlar?

Seçenek 16

İÇİNDE Sorunun önceki versiyonundaki koşullar altında şu sorunun cevabını alın: Bir "sarhoşun" geri dönme olasılığı nedir? N içeri adım atmak başlangıç ​​noktası?

Seçenek 17

Bir nokta, kare bir ızgaranın düğümleri boyunca bir düzlem üzerinde rastgele dolaşarak şunları yapma olanağına sahiptir: eşit olasılık Sabit (tek harekette) bir adımda soldan sağa-yukarı-aşağı adımlar. Hareket kapalı bir ortamda gerçekleşir. dikdörtgen hacim ve duvarla temas ettiğinde meydana gelir ayna görüntüsü ondan.

Simülasyon sırasında şu soruyu yanıtlayın: Her bir düğüme yapılan ziyaretlerin sıklığı, hareketin başladığı düğüme olan mesafeyle nasıl ilişkilidir?

Seçenek 18

Gezinme alanının sınırsız olması koşuluyla, seçenek 17'deki görevdekiyle aynı durumu modelleyin ve sorulan soruyu yanıtlayın.

Seçenek 19

Bir arının uçuşunu simüle edin. Bir düzlemde (temizlenen) bal bitkileri belirli bir konsantrasyonda (1 m2 başına) rastgele büyür. Merkezde bir arının uçtuğu bir kovan var. Bir arı bir bitkiden diğerine uçabilir, ancak bitkiler arasındaki mesafe arttıkça (bazı kanunlara göre) seçim olasılığı monoton bir şekilde azalır. Bir arının belirli bir bitkiyi ziyaret etme olasılığı nedir? belirtilen miktar temel uçuşlar?

Seçenek 20

Düz bir model uygulayın Brown hareketi N Bir dikdörtgendeki parçacıklar. Parçacıkların sonlu büyüklükte toplar olduğunu düşünün. Parçacıkların birbirlerine ve duvarlara etkileri mutlak elastik olarak modellenmelidir. Bu modelde duvarlardaki gaz basıncının parçacık sayısına bağımlılığını belirleyin.

Seçenek 21

Kapalı bir kapta gazların karıştırılmasına (difüzyonuna) ilişkin bir modeli ayrıntılı olarak geliştirin ve uygulayın. Zamanın ilk anında her gaz kabın yarısını kaplar. Bu modeli kullanarak difüzyon hızının çeşitli girdi parametrelerine bağımlılığını inceleyin.

Seçenek 22

Aşağıdaki şemaya göre “yırtıcı-av” sisteminin simülasyon modelini uygulayın.

20x20 "adada" yabani tavşanlar, kurtlar ve dişi kurtlar yaşamaktadır. Her türün birkaç temsilcisi vardır. Tavşanlar zamanın her anında aynı 1/9 olasılıkla sekiz komşu kareden birine hareket ederler (sınırlı alanlar hariç). kıyı şeridi) veya hareketsiz oturun. Her tavşanın iki tavşana dönüşme olasılığı 0,2'dir. Her dişi kurt, avladığı tavşan bitişikteki sekiz kareden birine gelene kadar rastgele hareket eder. Dişi kurt ve tavşan aynı karede ise dişi kurt tavşanı yer ve bir puan alır. Aksi takdirde 0,1 puan kaybeder.

Sıfır puana sahip kurtlar ve dişi kurtlar ölür. Başlangıçta tüm kurtların ve dişi kurtların 1 puanı vardır. Kurt, komşu meydanlardaki tüm tavşanlar yok olana kadar dişi kurt gibi davranır; daha sonra dişi kurt yakındaki sekiz kareden birindeyse kurt onu kovalar.

Bir kurt ve bir dişi kurt aynı karedeyse ve yiyecek tavşan yoksa rastgele cinsiyette yavrular üretirler.

Belirli bir süre boyunca popülasyon değişikliklerini gözlemleyin. Model parametrelerindeki değişikliklerin popülasyonların evrimini nasıl etkilediğini izleyin.

Seçenek 23

Saçkıran enfeksiyonunun ciltte bir alana yayılma sürecini modellemek için N X p(p- tuhaf) hücreler.

Orijinal enfekte olmuş deri hücresinin merkezi hücre olduğu varsayılmaktadır. Her zaman aralığında, enfekte olmuş bir hücre, komşu sağlıklı herhangi bir hücreyi 0,5 olasılıkla enfekte edebilir. Altı birim süre sonra enfekte olan hücre enfeksiyona karşı bağışıklık kazanır, ortaya çıkan bağışıklık sonraki dört birim süre boyunca devam eder ve daha sonra hücrenin sağlıklı olduğu ortaya çıkar. Açıklanan sürecin simülasyonu sırasında çıktı mevcut durum Her zaman aralığında simüle edilmiş cilt alanı, enfekte olmuş, enfeksiyona dirençli ve sağlıklı hücreleri belirtir.

Alan boyutundaki değişikliklerin ve enfeksiyon olasılığının simülasyon sonuçlarını nasıl etkilediğini gözlemleyin.

Seçenek 24

Kirleticilerin dağılımına ilişkin ayrıntılı bir model geliştirmek ve uygulamak çevre bir fabrika bacasından atmosfere yayılan madde parçacıkları (örneğin, bir enerji santralinde kömürün yanması sonucu ortaya çıkan kül). Bir parçacığın hareketinin iki bileşenden oluştuğunu düşünün: yatay düzlem- rastgele rüzgar esintilerinin etkisi altında, dikey olarak - yerçekiminin etkisi altında.

Daha fazla okuma

1. Bailey N. Biyolojide istatistiksel yöntemler: Çev. İngilizce'den - M.: IL, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Kuyruk teorisine giriş. - M.: Nauka, 1966.

3. Saati T. Kuyruk teorisinin unsurları ve uygulamaları: Çev. İngilizce'den - M.: Sov. radyo, 1991.

4. Shannon R. Sistemlerin simülasyon modellemesi - sanat ve bilim: Çev. İngilizce'den - M.: Mir, 1978.

7. Bölüm Testleri

Rastgele süreçleri ve alanları modelleme yöntemleri. Rastgele süreçlerin ve alanların bilgisayar modellemesine uygulanan istatistiksel modelleme yöntemi (Monte Carlo yöntemi), sürekliliği simüle eden ayrık dizilerin yeniden üretilmesi problemini çözmektir. rastgele işlevler Verilen olasılıksal özelliklerle.

Durağan Gauss skaler süreçlerini ve alanlarını modellemek için en sık kullanılan algoritmaları dikkate alarak kendimizi sınırlayalım. Söz konusu tüm süreçleri ve alanları merkezde tutacağız.

Bir bilgisayarda rastgele bir sürecin ayrık uygulamalarının oluşturulabileceği iki tür algoritma vardır. Birinci türdeki algoritmalar, ayrı bir değer dizisinin, yani bir işlemdeki süreç uygulamalarının değerlerinin hesaplanmasını içerir. Ayrıklaştırma adımı genellikle sabit olarak alınır: sürecin durağanlığından dizinin durağanlığı gelir.

Bu tür algoritmalar, parametrelerle birlikte bağımsız Gauss sayıların sabit bir dizisinin, belirli bir yasaya göre korelasyonlu bir diziye doğrusal dönüştürülmesine dayanmaktadır.

modellenen sürecin korelasyon fonksiyonu nerede. Bu durumda ilgili operatörün operatörü doğrusal dönüşüm yazılı veya ağırlıklı kayan toplam olarak

veya aşağıdaki gibi tekrarlanan bir denklem biçiminde

(49), (50) ilişkileri kullanılarak üretilen rastgele sürecin korelasyon fonksiyonunun türü, katsayı değerleri kümesini belirler.

İkinci tip, simüle edilmiş süreçlerin genişletmeler şeklinde temsiline dayanan algoritmaları içerir.

bazı deterministik fonksiyonlar sistemi nerede; rastgele vektör. Bu durumda, rastgele bir sürecin modellenmesi, vektörlerin uygulamalarının yeniden üretilmesine ve ardından değerlerin aşağıdakilere göre hesaplanmasına indirgenir.

formül (51). Korelasyon teorisi çerçevesinde rastgele vektörleri modellemeye yönelik algoritmalar örneğin şurada bulunabilir.

Rastgele alanların istatistiksel modellemesinin amacı, alan değerlerinin farklı noktalardaki gerçekleşmelerini yeniden üretmektir.

Aşağıda uzaysal koordinatlar ve zaman arasında resmi bir ayrım yapmayacağız ve kendimizi homojen rastgele alanlar durumuyla sınırlayacağız. Rastgele alanları modellemeye yönelik algoritmalar, kural olarak, değişkenler durumunda rastgele süreçleri modellemeye yönelik ilgili algoritmaların bir genellemesidir.

Gauss beyaz gürültünün simülasyonu.Şu tarihte: istatistiksel modelleme Rastgele süreçler ve alanlar için, sabit delta bağlantılı Gauss sürecinin (yoğunluklu beyaz gürültü veya bunun çok boyutlu analogu) modellenmesine ihtiyaç vardır. Bir bilgisayarda, yalnızca sonlu dağılıma sahip kesik beyaz gürültü yeniden üretilebilir; spektral yoğunluk ve korelasyon fonksiyonu, Tablo 1'de verilmiştir. Modellemedeki parametre sıralamanın korelasyonsuz olması için aşağıdaki gibi seçilmiştir. Örnekleme adımının nerede şekilleneceğini seçersek bu koşul karşılanacaktır.

Rastgele süreçleri modellemek için hareketli toplama yöntemi. Algoritma (49), dizileri bilgisayarda istediğiniz gibi yeniden oluşturmanıza olanak tanır uzun uzunluk, en başından beri durağanlık özelliğine sahiptir. Ağırlık faktörleri hesaplanabilir çeşitli şekillerde. Etkili bir yöntem, simüle edilen sürecin spektral yoğunluğunun Fourier serisi genişlemesine dayanmaktadır. Dönüşüm (49) formunda alınır

ve katsayılar

Örnekleme adımı ve serinin terim sayısı koşuldan seçilir.

izin verilen hata nerede;

Kesirli-rasyonel spektral yoğunlukla durağan rastgele süreçlerin modellenmesi. Formun kesirli-rasyonel spektral yoğunluğuyla rastgele süreçleri simüle etmek için (bkz. Tablo 1, işlemler No. 3, 4, 7, 8)

polinomların sıraya göre olduğu durumlarda (50) tipinde bir algoritma etkilidir; Spektral Yoğunluk diziler

forma indirgenebilir

Katsayılar yineleme denklemlerinde kullanılır (50). İlişkiler (50), keyfi olarak büyük uzunluktaki rastgele süreçlerin ayrık uygulamalarının elde edilmesini mümkün kılar. Başlangıç ​​koşulları(50)'de, dizinin ilk değerlerini hesaplarken isteğe bağlı olanları (örneğin sıfır) seçebilirsiniz. Sonuç olarak, bir geçiş süreci meydana gelir; başlangıç ​​bölümü oluşturulan uygulama bozulacaktır. Bu satış alanının büyüklüğü şunlara bağlıdır: korelasyon özellikleri simüle edilmiş süreç.

Kanonik genişlemeyi kullanarak rastgele süreçlerin modellenmesi. Durağan Gauss rastgele süreçleri için (19)'a benzer bir genişletme geçerlidir:

burada bağımsız ve stokastik olarak dik rastgele fonksiyonlar vardır. Bunu varsayarsak ve integrali değiştirirsek nihai miktar, alıyoruz

Aşağıdaki olasılıksal özelliklere sahip Gauss rastgele değişkenleri şunlardır:

Serinin terim sayısı (58) koşulundan seçilir

(58) ile birlikte genişletme kullanılabilir.

(58), (59) ifadeleri kullanılarak elde edilen gerçekleşmeler periyodiktir ve dolayısıyla ergodiklik özelliğine sahip değildir. Genel itibar genişletmeler (58) ve (59) - modelleme algoritmasının basitliği ve dezavantajı dikkate alma ihtiyacıdır büyük sayı serinin üyeleri.

Genişletmeler (58) ve (59), eşit olmayan aralıklı noktalarda rastgele süreçlerin ayrık uygulamalarını elde etmek için kullanıma uygundur.

Rastgele süreçleri modellemek için diğer yöntemler.Çoğu durumda ayrıştırma kullanımına dayalı bir modelleme yönteminin etkili olduğu ortaya çıkıyor

İşte rastgele değişkenler eklem yoğunluğu olasılıklar

Merkezi limit teoremine göre, gerçekleşmelerin (60) dağılımı Gaussian'a eğilimlidir. Ek olarak, uygulandığında bunlar asimptotik olarak ergodik olacaktır. matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonu.

(60) ile birlikte genişletme kullanılabilir

Burada ortak olasılık yoğunluğuna sahip rastgele değişkenler

Ek olarak, miktarların dağılım kanununun (0,1) aralığı boyunca tekdüze olduğu varsayılabilir ve uygulamaları ilişkiler kullanılarak modellenir.

Burada, yazılım sensörleri kullanılarak bir bilgisayarda oluşturulan, (0,1) aralığı boyunca düzgün bir şekilde dağıtılan rastgele sayılar bulunmaktadır. Uygulamaların modellenmesi, rastgele değerlerin belirli bir dağılım yasasıyla modellenmesi yöntemlerinden biri kullanılarak gerçekleştirilir. İlgili algoritmalar örneğin içinde bulunabilir.

Tabloda Tablo 2, durağan rastgele süreçlerin en yaygın korelasyon fonksiyonları türlerini ve bunlara karşılık gelen modelleme algoritmalarını göstermektedir.

Rastgele alanların modellenmesi için hareketli toplama yöntemleri. Bu tip algoritmalar, delta ile ilişkili homojen bir alanın belirli bir korelasyon fonksiyonuna sahip bir alana dönüştürülmesiyle ilişkilidir. Bu dönüşüm şu şekildedir:

Green fonksiyonu denklemden bulunur

(bkz: tarama)

Alanın ayrık uygulamaları kayan toplama formülü kullanılarak yeniden üretilir

Burada örnekleme adımının seçimiyle belirlenen bir sabit var; - ayrık değerler uygulama alanları (52) gibi bir formül kullanılarak yeniden üretilir.