Opérations arithmétiques

Objectifs de l'étude du sujet :

2) Familiariser les élèves avec les règles pour effectuer des opérations sur les nombres et, conformément à celles-ci, développer la capacité à trouver les valeurs numériques des expressions.

3) Présenter aux élèves des transformations identiques d'expressions basées sur les propriétés des opérations arithmétiques.

Il y a 2 étapes principales pour travailler sur des expressions numériques :

1) Étudier les expressions les plus simples de la forme : somme (2 + 3) ; différence(5 -1); produit (3 4); privé (12:4).

2) Étudier des expressions complexes contenant deux ou plusieurs actions, avec et sans parenthèses.

1) Lorsqu'il travaille avec les expressions les plus simples conformément aux exigences du programme, l'enseignant est confronté à la tâche de développer chez les enfants la capacité de lire et d'écrire de telles expressions.

La première rencontre des élèves avec les expressions a lieu en première année dans le thème « Nombres de 1 à 10 », où les enfants se familiarisent pour la première fois avec les signes d'action « + » et « - ». A ce stade, les enfants écrivent des expressions et les lisent, en se concentrant sur la signification des signes d'action, qu'ils reconnaissent comme désignation courte les mots « ajouter » et « supprimer ». Cela se reflète dans la lecture des expressions : 3 + 2 (3 oui 2) ; 3-1 (3 moins un).

Peu à peu, les idées des enfants sur ces actions se développent. Les élèves apprendront que l’ajout de quelques unités à un nombre l’augmente du même nombre d’unités et que le soustraire le diminue. Cela se reflète à la lecture des expressions : 4 + 2 (4 augmenté de deux unités) ; 7 - 1 (7 diminution d'une unité).

Ensuite, les enfants apprennent les noms des signes d'action plus et moins. (Lors de l'étude de l'addition et de la soustraction des dix premiers nombres). Ces expressions se lisent différemment : 4 + 2 (4 "plus" 2) ; 7-1 (7 moins 1).

Et ce n'est qu'en se familiarisant avec les noms des composants et les résultats de l'action d'addition qu'une terminologie mathématique stricte est introduite, le nom de cette expression mathématique est donné - "somme", et un peu plus tard le terme "différence" est également introduit .

Les noms des deux expressions mathématiques suivantes « produit » et « quotient » sont introduits de la même manière lors de l'étude des opérations de multiplication et de division en deuxième année. Ici, en deuxième année, sont introduits les termes « expression », « sens de l'expression », qui, comme d'autres termes mathématiques, devraient être acquis par les enfants naturellement, tout comme ils acquièrent d'autres mots nouveaux pour eux, s'ils le sont. souvent utilisé par d’autres et trouve une application dans la pratique.

2) Outre les expressions mathématiques les plus simples, des expressions complexes contenant deux ou plusieurs actions, avec et sans parenthèses, sont également étudiées. De telles expressions apparaissent en fonction de la prise en compte de questions pertinentes dans le cours de mathématiques. Cependant, leur considération est principalement subordonnée à un objectif didactique– développer la capacité à trouver le sens d'une expression, et cela est directement lié aux règles d'ordre d'exécution des opérations arithmétiques.

a) La première considération est la règle sur l'ordre des opérations dans les expressions sans parenthèses, lorsqu'avec les nombres il n'y a soit que des additions et des soustractions, soit seulement des multiplications et des divisions. Les premières expressions de ce type de la forme 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 se trouvent au tout début de l'étude de l'addition et de la soustraction de nombres inférieurs à 10. Déjà ici, l'attention principale est accordée à la clarification de la question de savoir comment raison lors du calcul du sens des expressions. DANS Catégorie I-II il y a des exercices : 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19 ; en grade II il y a des exercices : 4 · 10 : 5, 60 : 10 · 3, 36 : 9 : 2. Après un examen plus approfondi d'expressions similaires, la conclusion est tirée : dans les expressions sans parenthèses, les actions d'addition et de soustraction (multiplication et division) sont exécutés dans l’ordre dans lequel ils sont écrits : de gauche à droite.

b) Ensuite, les expressions contenant des parenthèses apparaissent et encore une fois, l'attention principale est portée à la règle concernant l'ordre d'exécution des actions dans les expressions entre parenthèses. C’est ainsi que nous présentons aux enfants la deuxième règle concernant l’ordre des opérations dans les expressions contenant des parenthèses. Exercices : 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60 : (30 – 20), 90 : (2 ·5).

En deuxième année, lorsqu'on étudie les opérations de multiplication et de division, on rencontre des expressions contenant les actions d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Pour clarifier la question de l'ordre d'exécution des actions dans de telles expressions, il convient pour la première considération de prendre l'expression 3 · 5 + 3. En utilisant le sens de l'action de multiplication, on arrive à la conclusion que la valeur de cette l'expression est 18. Cela implique l'ordre d'exécution des actions. En conséquence, nous obtenons en fait la troisième règle sur l'ordre des opérations dans les expressions sans parenthèses contenant les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division : dans les expressions sans parenthèses, les opérations de multiplication ou de division sont effectuées en premier, puis les opérations d'addition ou de soustraction dans l'ordre dans lequel ils sont écrits. En même temps, un échantillon de raisonnement est donné, où l'attention est attirée sur la prononciation. résultat intermédiaire, ce qui permet d'avertir erreurs possibles enfants. Exercices : 21 + 9 : 3, 34 – 12 2, 90 : 30 – 2, 25 4 + 100.

Les règles sur l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques méritent attention particulière. C'est une des questions complexes et abstraites du cours initial de mathématiques. Y travailler nécessite de nombreux temps répartis exercices d'entraînement. La capacité d'appliquer ces règles dans la pratique des calculs est incluse dans les exigences de base du programme à la fin de chaque année, à partir de la deuxième année et à la fin de la formation en école primaire.

Exercices :

1. De paires données exemples, sélectionnez uniquement ceux où les calculs sont effectués selon les règles de l'ordre des actions : 20 + 30 : 5 = 10, 20 + 30 : 5 = 26, 42 – 12 : 6 = 40,

42 – 12 : 6 = 5, 6 5 + 40 : 2 = 50, 6 5 + 40 : 2 = 35.

Après avoir expliqué les erreurs, donnez la tâche : changer l'ordre d'action pour que l'expression ait valeur définie.

2. Placez les parenthèses pour que l'expression ait la valeur spécifiée :

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

Sur l'année dernière Dans l'enseignement primaire, les règles évoquées sont complétées par de nouvelles règles pour les enfants sur l'ordre d'exécution des actions dans des expressions contenant deux paires de parenthèses ou deux actions entre parenthèses. Par exemple : 90 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500 : (50 + (654 – 54)).

Familiarisation avec des transformations identiques d'expressions. Une transformation identique d'une expression est un remplacement expression donnée un autre dont la valeur est égale à la valeur de l’expression donnée. Ils effectuent de telles transformations d'expressions en fonction des propriétés des opérations arithmétiques et des conséquences qui en découlent (comment ajouter une somme à un nombre, comment soustraire un nombre d'une somme, comment multiplier un nombre par un produit, etc.) Par exemple : Continuez à écrire pour que le signe « = » soit conservé :

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) 5 = 10 5…

60 : (2 10) = 60 : 10…

En utilisant la connaissance des propriétés des actions pour justifier les méthodes de calcul, les élèves effectuent des transformations d'expressions de la forme :

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 30 = 18 (3 10) = (18 3) 10 = 540

Il faut comprendre que toutes ces expressions sont reliées par le signe « = » car elles ont la même signification.

Transformations identitaires les expressions sont également exécutées sur la base du sens spécifique des actions. Par exemple, la somme de termes identiques est remplacée par le produit : 6 + 6 + 6 + 6 = 6 4, et vice versa, 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6. En fonction également du sens de l'action de multiplication, ils se transforment davantage expressions complexes: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6 – 7 = 7 5.

Si dans les expressions entre parenthèses les parenthèses n'affectent pas l'ordre des actions, alors elles peuvent être omises : (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 6) : 4 = 10 6 : 4, etc.

Par la suite, en utilisant les propriétés apprises des actions et les règles pour l'ordre des actions, les élèves s'entraînent à transformer des expressions avec parenthèses en expressions identiques sans parenthèses. Par exemple : écrivez des expressions sans parenthèses pour que leurs valeurs ne changent pas : (65 + 30) – 20, (20 + 4) 3, 96 – (46 + 30)

Cours 7. Méthodes informatiques d'addition et de soustraction pour les nombres de la première et de la deuxième dizaine

1. Concepts de base.

2. Techniques de calcul pour les nombres des dix premiers.

3. Techniques de calcul pour les nombres de la deuxième dizaine.

Concepts de base

DANS école primaire Ils étudient quatre opérations arithmétiques : en 1re année, les enfants se familiarisent avec l'addition et la soustraction, en 2e année - avec la multiplication et la division.

L'addition et la soustraction sont appelées opérations de première étape. La multiplication et la division sont appelées opérations de deuxième étape.

Le symbole d'addition est le signe « + » (plus), le symbole de soustraction est le signe « - » (moins). Le symbole de multiplication est le signe « x », qui par écrit est souvent remplacé par un point au centre de la cellule « ». Le symbole de division est le signe « : ». Au lycée, une barre horizontale est également utilisée comme symbole de division (dans les textes imprimés, souvent remplacée par une barre oblique), considérant une notation de la forme 3/4, U 2 comme notation de division.

D'un point de vue de la théorie des ensembles, l'addition correspond à des actions objectives avec des agrégats (ensembles, groupes d'objets) telles que combiner et augmenter de plusieurs éléments soit un agrégat donné, soit un agrégat par rapport à un agrégat donné. A cet égard, avant de se familiariser avec la symbolique de l'enregistrement des actions et du calcul des résultats des actions, l'enfant doit apprendre à modéliser toutes ces situations sur des agrégats objectifs, les comprendre (c'est-à-dire les représenter correctement) à partir des propos de l'enseignant, être capable de montrer avec ses mains à la fois le processus et le résultat d'une action objective, puis les caractériser verbalement.

Tâches qu'un enfant doit apprendre à effectuer selon description verbale enseignant avant de se familiariser avec la symbolique de l'action d'addition :

1. Prenez trois carottes et deux pommes (visuel). Mettez-les dans votre panier. Comment savoir combien il y en a ensemble ? (Nous devons compter.)

2. Il y a 2 tasses et 4 verres sur l'étagère. Étiquetez les tasses avec des cercles et les verres avec des carrés. Montrez combien il y en a ensemble. Comptez-le.

3. 4 bonbons et 1 plaquette ont été retirés du vase. Étiquetez-les avec des chiffres et montrez combien de bonbons ont été retirés du vase. Comptez-le.

Les trois situations proposées ci-dessous modélisent l’union de deux ensembles.

1. Vanya a 3 badges. Marquez les icônes avec des cercles. Ils lui en ont donné plus et il en a reçu 2 de plus. Que devez-vous faire pour savoir combien de badges il possède désormais ? (Vous devez en ajouter 2.) Faites-le. Comptez le résultat.

2. Petya avait 2 camions jouets. Marquez les camions avec des carrés. Et le même nombre de voitures. Marquez les voitures avec des cercles. Combien de cercles as-tu fait ? Pour son anniversaire, il a reçu trois voitures supplémentaires. Quelles voitures y a-t-il de plus maintenant ? Marquez-les avec des cercles. Montre-moi combien plus.

3. Il y a 6 crayons dans une boîte et 2 autres dans l'autre. Étiquetez les crayons de la première boîte avec des bâtons verts et les crayons de la deuxième boîte avec des bâtons rouges. Montrez combien de crayons il y a dans la première boîte et combien il y en a dans la seconde. Quelle boîte contient le plus de crayons ? Lequel en a le moins ? Combien de temps?

Ces trois situations modélisent une augmentation de plusieurs unités dans une population donnée ou une population comparée à une autre donnée.

Symboliquement, ces situations sont décrites par l'action d'addition : 6 + 2 = 8.

Il existe quatre types d'actions de soustraction actions de fond:

a) élimination d'une partie de la population (ensemble) ;

b) réduire cette population de plusieurs unités ;

c) une diminution de plusieurs unités de la population par rapport à celle donnée ;

d) comparaison des différences de deux ensembles.

Voici les tâches que l’enfant doit apprendre à réaliser selon la description verbale de l’enseignant avant de se familiariser avec la symbolique de l’action de soustraction :

1. Un boa constrictor reniflait des fleurs dans une clairière. Il y avait 7 fleurs au total. Marquez les fleurs avec des cercles. Le bébé éléphant est venu et a accidentellement marché sur 2 fleurs. Que faut-il faire pour le montrer ? Montrez combien de fleurs le bébé éléphant peut sentir maintenant.

2. Le singe avait 6 bananes. Marquez-les avec des cercles. Elle a mangé quelques bananes et en a perdu 4. Que faut-il faire pour le montrer ? Pourquoi as-tu retiré 4 bananes ? (Il y en a 4 de moins.) Montre-moi les bananes restantes. Combien y en a-t-il ?

3. Le coléoptère a 6 pattes. Indiquez le nombre de pattes du coléoptère avec des bâtons rouges. Et un éléphant a 2 pattes de moins. Indiquez le nombre de pattes d'éléphant avec des bâtons verts. Montrez qui a moins de jambes. Qui a plus de jambes ? Combien de temps?

4. Il y a 5 tasses sur une étagère. Étiquetez les tasses avec des cercles. Et sur l'autre étagère il y a 8 verres. Marquez les verres avec des carrés. Placez-les de manière à voir immédiatement ce qui est le plus : des verres ou des tasses. Moins de quoi ? Combien de temps?

Les tâches suivantes sont confiées conformément aux types d'actions sujet indiquées ci-dessus.

Symboliquement, ces situations sont décrites à l'aide de l'action de soustraction : 8-5 = 3.

Une fois que l'enfant a appris à comprendre à l'oreille et à modéliser tous les types d'actions objectives désignés, il peut être initié aux signes d'actions. A ce stade, la séquence des consignes de l'enseignant est la suivante :

1) indiquer ce qui est dit dans la tâche avec des cercles (bâtons, etc.) ;

2) désigner numéro spécifié cercles (bâtons) avec des chiffres ;

3) mettre entre eux le bon signe actes. Par exemple:

Il y a 4 tulipes blanches et 3 roses dans un vase. Indiquez le nombre de tulipes blanches et le nombre de tulipes roses. Quelle pancarte mettre dans l'entrée pour indiquer que toutes les tulipes sont dans le même vase !

L'entrée se fait : 4 + 3.

Un tel enregistrement s'appelle " expression mathématique" Elle

caractérise les caractéristiques quantitatives de la situation et les relations des populations considérées.

Le nombre 7 obtenu dans la réponse est appelé la valeur de l'expression.

Une notation de la forme 3 + 4 = 7 est appelée égalité. Vous ne devez pas immédiatement demander à votre enfant de recevoir égalité complète en écrivant la valeur de l'expression :

expression\

valeur d'expression

égalité

Avant de passer à l'égalité, il est utile de proposer aux enfants des tâches :

a) corréler la situation et l'expression (choisir une expression pour une situation donnée ou changer la situation en fonction de l'expression - la situation peut être représentée dans une image, dessinée sur un tableau, calquée sur un flanelgraph) ;

b) composer des expressions pour des situations (composer une expression en fonction de la situation).

Une fois que les enfants ont appris à choisir correctement le signe d'une action et à expliquer leur choix, ils peuvent passer à l'élaboration d'une équation et à l'enregistrement du résultat de l'action.

Dans un manuel de mathématiques stable, les opérations d’addition et de soustraction sont enseignées simultanément. Dans certains manuels alternatifs (I.I. Arginskaya, N.B. Istomina), l'addition est d'abord étudiée, puis la soustraction.

Une expression de la forme 3 + 5 est appelée une somme.

Les nombres 3 et 5 dans cette notation sont appelés termes.

Une notation de la forme 3 + 5 = 8 est appelée égalité. Le nombre 8 est appelé la valeur de l'expression. Puisque le chiffre 8 est dans ce cas obtenu à la suite d'une sommation, on l'appelle aussi souvent une somme.

Par exemple:

Trouvez la somme des nombres 4 et 6. (Réponse : la somme des nombres 4 et 6 est 10.)

Une expression de la forme 8-3 s’appelle une différence.

Le nombre 8 s'appelle le minuend et le nombre 3 s'appelle le sous-trahend.

La valeur de l'expression - le chiffre 5 peut également être appelée la différence.

Par exemple:

Trouvez la différence entre les nombres 6 et 4. (Réponse : la différence entre les nombres 6 et 4 est 2.)

Étant donné que les noms des composants des actions d'addition et de soustraction sont introduits par accord (les enfants apprennent ces noms et doivent s'en souvenir), l'enseignant utilise activement des tâches qui nécessitent de reconnaître les composants des actions et d'utiliser leurs noms dans le discours. Par exemple:

1. Parmi ces expressions, trouvez celles dans lesquelles le premier terme (minué, soustrait) est égal à 3 :

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

2. Composez une expression dans laquelle le deuxième terme (minué, soustrait) est égal à 5. Trouvez sa valeur.

3. Choisissez des exemples dont la somme est 6. Soulignez-les en rouge. Choisissez des exemples où la différence est de 2. Soulignez-les en bleu.

4. Comment s'appelle le chiffre 4 dans l'expression 5 - 4 ? Comment s'appelle le chiffre 5 ? Trouvez la différence. Inventez un autre exemple dans lequel la différence est égale au même nombre.

5. Minuend 18, soustrahend 9. Trouvez la différence.

6. Trouvez la différence entre les nombres 11 et 7. Nommez la fin et la sous-traitance.

En 2e année, les enfants se familiarisent avec les règles de vérification des résultats des opérations d'addition et de soustraction :

L'addition peut être vérifiée par soustraction : 57 + 8 = 65. Vérifier : 65-8 = 57.

Soustrayez un terme de la somme et obtenez un autre terme. Cela signifie que l'ajout a été effectué correctement.

Cette règle applicable à la vérification de l'action de l'addition dans n'importe quelle concentration (lors de la vérification des calculs avec n'importe quel nombre).

La soustraction peut être vérifiée par addition : 63 - 9 =54. Vérifiez : 54 + 9 = 63.

Nous avons ajouté le sous-trahend à la différence et obtenu le minuend. Cela signifie que la soustraction a été effectuée correctement.

Cette règle s'applique également pour tester l'opération de soustraction avec n'importe quel nombre.

En 3e année, les enfants se familiarisent avec les règles de relation entre les composantes de l'addition et de la soustraction, qui sont une généralisation des idées de l'enfant sur la façon de vérifier l'addition et la soustraction : w

Si vous soustrayez un terme de la somme, vous obtenez un autre terme.

Si vous ajoutez la différence et la soustraction, vous obtenez la fin du menu.

Si vous soustrayez la différence du menu, vous obtenez le sous-trahend.

Ces règles constituent la base de la préparation à la résolution d'équations qui, à l'école primaire, sont résolues sur la base de la règle permettant de trouver la composante inconnue correspondante de l'égalité.

Par exemple:

Résolvez l'équation 24 - x=19.

Le sous-trahend dans l’équation est inconnu. Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin inférieure : x = 24 - 19, x = 5.

Pour les nombres réels, vous pouvez définir des opérations arithmétiques : addition, soustraction, multiplication et division. La manière dont cela est fait peut être trouvée dans les petits caractères ci-dessous. Le lecteur qui juge nécessaire de se familiariser avec ces arguments verra que les opérations arithmétiques sur fractions infinies sont associés à la nécessité d’effectuer des processus sans fin. En pratique, les opérations arithmétiques sur des nombres réels sont effectuées de manière approximative.

Sur ce chemin, il est possible définitions formelles ces actions. Ceci sera discuté au § 1.8.

Le paragraphe suivant répertorie les propriétés des nombres réels qui découlent des définitions faites. Nous formulons ces propriétés. Ils peuvent être prouvés, mais nous ne les prouvons que dans dans certains cas (preuve complète voir, par exemple, dans le manuel de S. M. Nikolsky « Analyse mathématique", tome I, ch. 2). Ces propriétés sont regroupées en cinq groupes (I – V). Les trois premiers contiennent des propriétés élémentaires qui nous guident lorsque calculs arithmétiques et résoudre les inégalités. Le groupe IV constitue une propriété (Archimède). Enfin, le groupe V comprend également une propriété. Cette propriété est formulée dans le langage des limites. Cela sera prouvé, mais plus tard - au § 2.5.

Nous diviserons les questions de méthodologie pour étudier les opérations arithmétiques en deux parties. Dans cette partie, nous verrons comment former les idées des élèves sur l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, le concept d'opération arithmétique et leurs propriétés, et dans la partie suivante du chapitre, comment développer des compétences informatiques.

7.3.1. Objectifs et résultats de l'étude des opérations arithmétiques. Opérations arithmétiques – notions clés théorie des nombres et caractéristiques les plus importantes des ensembles de nombres. Leur étude fait partie intégrante de la formation du concept de nombre et des compétences informatiques. En mathématiques, la généralisation des opérations arithmétiques a conduit au concept d'opération, puis à des concepts tels que structure mathématique, groupe, anneau, champ, qui jouent un rôle énorme dans les mathématiques modernes et dans son application dans divers domaines de la vie. L'apprentissage des opérations arithmétiques permet aux enfants d'entrer intuitivement en contact avec de nombreuses idées mathématiques, en particulier avec les idées de fonctionnalité, de structure mathématique, de modélisation mathématique et de principe de dualité. Les opérations arithmétiques ont un riche potentiel pour le développement de la pensée, de la parole, de la formation et du développement d'actions éducatives universelles.

Opérations arithmétiques dans formes modernes les enregistrements sont pratiques pour observer et découvrir des modèles et construire des séquences numériques. Ils permettent d'inventer des méthodes d'exécution d'actions et des algorithmes correspondants, des méthodes de conversion d'expressions numériques, et peuvent donc servir de moyen de développer une pensée indépendante et des capacités créatives. La tâche consistant à enseigner le calcul n’a pas perdu de son importance, même si le rôle des compétences informatiques a désormais changé. Les objectifs de l'étude des opérations arithmétiques et les exigences relatives aux résultats de leur étude ont également changé.

Objectifs d'apprentissage opérations arithmétiques jeunes écoliers – développement personnel et intellectuel, développement d’idées sur les nombres et opérations arithmétiques, formation de compétences informatiques, connaissance propédeutique de idées clés mathématiques, atteindre les résultats prévus.

Les résultats personnels et méta-matières sont garantis par a) la nature de la présentation par les étudiants des opérations arithmétiques, y compris la prise en compte non seulement de leurs aspects étroitement substantiels, mais également interdisciplinaires et humanitaires ; b) une attention accrue à la signification des opérations arithmétiques, aux connexions et conclusions logiques, à l'utilisation des opérations arithmétiques pour décrire le monde qui nous entoure ; c) l'inclusion dans le processus d'étude de l'expérience numérique subjective existante et émergente des enfants, l'expérience de la cognition.

Résultats personnelsétudier les opérations arithmétiques – une attitude formée envers le monde, les gens, soi-même, l’apprentissage, les nombres et les opérations arithmétiques. Résultats du méta-sujet lié aux opérations arithmétiques est la capacité de les utiliser comme modèles d'actions objectives et moyens d'obtenir nouvelles informations dans différents domaines de la connaissance et de la vie quotidienne, il s'agit de la capacité d'utiliser des dessins, des schémas, des tableaux comme moyen de comprendre les significations et les propriétés des opérations arithmétiques ; connaissance des méthodes arithmétiques générales pour résoudre des problèmes ; modéliser des situations à l’aide d’opérations arithmétiques. Les résultats méta-sujets de l'étude des opérations arithmétiques incluent également les UUD formés lors de l'étude de tout matériel pédagogique.

Résultats du sujet- c'est ce que chaque élève saura sur les opérations arithmétiques en tant qu'objets mathématiques, ce qu'il apprendra et aura l'occasion d'apprendre et d'apprendre. La responsabilité de l’enseignant est de veiller à ce que tous les élèves, à la fin de l’école primaire, atteignent les résultats prévus dans l’étude des opérations arithmétiques conformément aux exigences de la norme éducative de l’État fédéral. Une version des résultats prévus du sujet est présentée ci-dessous.

À la suite de ses études en opérations arithmétiques, un diplômé du primaire apprendra : utiliser des opérations arithmétiques pour décrire et expliquer les objets, processus, phénomènes environnants, leurs relations quantitatives et spatiales, pour résoudre problèmes de mots(en 2 à 3 étapes) ; effectuer oralement des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions de chiffres à un chiffre, à deux chiffres et nombres à trois chiffres dans les cas qui peuvent être réduits à des actions dans la limite de 100 (y compris avec zéro et le chiffre 1) ; effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres à plusieurs chiffres à l'aide d'algorithmes de calcul écrits (addition, soustraction, multiplication et division par nombres à un chiffre ou à deux chiffres inférieurs à 10 000), utiliser une calculatrice pour vérifier l'exactitude des calculs oraux et écrits ; isoler la composante inconnue d'une opération arithmétique et trouver sa valeur ; calculer la valeur expression numérique

, contenant 2-3 opérations arithmétiques, avec et sans parenthèses. Diplômé aura l'occasion d'apprendre

: utiliser les propriétés des opérations arithmétiques pour simplifier et rationaliser les calculs ; effectuer des actions avec des valeurs de valeur ; vérifier l'exactitude des calculs, y compris les calculatrices (en utilisant l'action inverse, l'estimation et l'évaluation du résultat de l'action). Après avoir formulé les résultats prévus, il est nécessaire de préciser les outils de diagnostic et le matériel de diagnostic permettant d'identifier dans quelle mesure un diplômé de l'école primaire a atteint les résultats prévus. Ci-dessous, l'un des options possibles tâches pourévaluation finale

résultats du sujet et du méta-sujet. UN..

1. Une partie du mur du modèle de maison est constituée de 5 blocs de bois identiques en forme de parallélépipède. (Les dimensions du bloc sont de 10 cm × 2 cm × 2 cm. Les barres sont empilées sur le bureau.) En mesurant les longueurs des côtés et les opérations d'addition, soustraction, multiplication et division, caractérisez cette partie du mur en répondant aux questions : 1.1. Quelle est la longueur, l'épaisseur, la hauteur de cette partie du mur ? 1.2. Quelle est la superficie de l’intérieur du mur ? 1.3. Comparez les longueurs des côtés du bloc à l'aide des questions « Sont-ils égaux ou inégaux ? », « Combien de centimètres de plus (plus petit) ? », « Combien de fois plus (plus petit) ?

2. 4 560 kg de céréales de riz en sacs de 80 kg chacun et 64 sacs de sarrasin ont été amenés à l'entrepôt. Combien de sacs de céréales ont été apportés à l’entrepôt ?

3. Trouvez la signification des expressions : (360 – 24 ∙ 5) : 40 ; 450 :50 ; 78:4 ; 73 + 89 ; 0 ∙ 256 ; (36 : 9 – 3) ∙ 17 ;

32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781) DANS..

Niveau augmenté

1. Une partie du mur du modèle de maison est constituée de 5 blocs de bois identiques en forme de parallélépipède. (Les dimensions du bar sont de 10 cm × 2 cm × 2 cm. Les barres sont empilées sur le bureau.)

En mesurant les longueurs des côtés et les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, caractérisez cette partie du mur en répondant aux questions : 1.1. Quelles sont la longueur, la largeur et l’épaisseur de cette partie du mur ? 1.2. Quelle est la superficie de l’intérieur du mur ? 1.3. Quel est le volume du bloc ? le volume du mur ? 1.4. Comparez les longueurs des côtés du bloc à l'aide des questions « Combien de centimètres de plus (plus petit) ? », « Combien de fois de plus (plus petit) ? » 1.5. Comparez le volume d'une partie du mur et le volume du bloc.

2. Dans l'entrepôt se trouvent 4 560 kg de céréales de riz en sacs de 80 kg chacun et 3 840 kg de sarrasin en 64 sacs. Quel sac de céréales est le plus lourd et de combien ? Quelle céréale contient le plus de sacs et de combien ?

3. Trouver les valeurs d'expressions numériques à l'aide de calculs mentaux et de propriétés d'opérations arithmétiques : (480 – 24 ∙ 6) : 16 ; 354 + 188 ; 162:4 ; 18∙4 – 1345∙0 ; 317 : 50 ; 45h45 ; (27 - 108 : 9) ∙ 17.

4. Trouver les valeurs d'expressions numériques à l'aide d'algorithmes de calcul écrits : 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773) « La compétence testée : la capacité d'effectuer des opérations arithmétiques à l'aide des algorithmes étudiés (addition, soustraction, multiplication et division par nombres à un chiffre et à deux chiffres inférieurs à 10 000). Définition de la ligne de base. Calculer : 2072 : 37. Tâche de niveau avancé.

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« □ 0 □ 4 □ 5 □ 6. » Compétence « La compétence testée : la capacité d'effectuer des opérations arithmétiques à l'aide des algorithmes étudiés (addition, soustraction, multiplication et division par nombres à un chiffre et à deux chiffres inférieurs à 10 000).: comprendre le sens de la division avec un reste, mettre en évidence le quotient incomplet et le reste.

Nous avons acheté des bonbons comme cadeaux. Il y a 199 bonbons au total. Vous devez mettre 5 bonbons dans chaque cadeau. Combien de bonbons restera-t-il ? Nous avons acheté 18 billets pour une voiture à compartiment pour l'équipe de football. Numéros de billets de 1 à 18. Dans combien de compartiments les footballeurs seront-ils logés si chaque compartiment peut accueillir 4 personnes ? « Capacité : estimer et vérifier le résultat d'une opération arithmétique. Tâche 31 niveau de base.

Quel nombre est le résultat de l'action 12064 : 4 ? Entourez le numéro de la réponse. 1) à deux chiffres ; 2) à trois chiffres ; 3) à quatre chiffres ; 4) à cinq chiffres. Tâche 32 niveau avancé.

Est-ce que 1 000 roubles suffisent pour acheter quatre livres au prix de 199 roubles par livre et un calendrier pour 250 roubles ? Écrivez et expliquez votre réponse. Répondre: …< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Explication. Réponse : pas assez. Un exemple d'explication : après avoir acheté quatre livres, il restera un peu plus de deux cents roubles. Cet argent ne suffit pas pour acheter un calendrier pour 250 roubles. ..." 18 Une explication possible : « Ce n'est pas suffisant. Dans 1000 roubles. contient 5 fois 200 roubles. Ils paient 4 fois pour 1 rouble. moins de 200, c'est-à-dire pour 4 r. moins de 4 fois pour 200 roubles. Après avoir payé quatre livres, il ne restera que 4 roubles. plus de 200, ce qui fait moins de 250. » Si l'explication est donnée « Ce n'est pas suffisant, car : 199 ∙ 4 = 796 (r.) ; 1000 – 796 = 204 (à droite) ; 204 La séquence d'apprentissage des opérations arithmétiques à l'école primaire.

Traditionnellement, les opérations arithmétiques sont étudiées dans la séquence : addition et soustraction, multiplication, division (entier) et division avec reste. Cet ordre est visible dans de nombreux manuels de mathématiques des écoles primaires. Il existe cependant d’autres approches pour séquencer l’apprentissage par l’action.

Il n’y a aucun désaccord concernant la séquence d’introduction de la multiplication et de la division. La multiplication est généralement introduite légèrement avant la division. La division commence à être étudiée une fois que les élèves maîtrisent le sens de la multiplication. Parfois, après avoir introduit la multiplication, ils étudient la multiplication par table, puis seulement la division. Mais le plus souvent, la division par table est envisagée simultanément avec la multiplication par table dans la même leçon ou dans des leçons consécutives après l'introduction de la division.

Il existe différents points de vue concernant séquences d'apprentissage divisions complètes Et division avec reste. Selon l'un d'eux, la division entière, ses significations et les cas tabulaires de division sont d'abord introduits. Après leur assimilation, la division avec reste est introduite comme une action spéciale, avec ses propres significations, propriétés et algorithmes basés sur la division par table dans son ensemble. Ensuite, les méthodes de base non tabulaires de division par tout et de division avec reste sont considérées, ainsi que la division écrite en tant que division avec reste, dont un cas particulier est la division par un tout - avec reste 0.

Selon un autre point de vue, la division en tout et la division avec un reste peuvent être introduites comme désignation pour diviser un groupe d'objets en parties égales à une base donnée (conformément aux significations de la théorie des ensembles et de la grandeur de l'action de division ) simultanément ou dans une série de leçons séquentielles. Le résultat d'une telle introduction sera la capacité des étudiants à désigner les actions de division selon le contenu et en parties égales par des enregistrements de la forme 12 : 3, 13 : 3, 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (reste 1), et vice versa, effectuez des actions objectives ou faites des dessins comme écrit.

Après avoir maîtrisé les significations subjectives de la division, qui sont les mêmes pour la division par tout et la division avec reste, ils discutent de la question de savoir comment trouver les résultats de la division sans actions du sujet. La réponse est recherchée en établissant le lien entre division et multiplication d'abord pour la division entière et en se concentrant sur les cas tabulaires, les propriétés de la division entière et les propriétés des tables de multiplication/division. Les cas de division avec reste sont abordés de manière accessoire au cours de cette période, consolidant la compréhension, offrant à l'étudiant la possibilité de trouver le quotient et le reste à partir d'une compréhension intuitive du lien entre la division par tout et la division avec reste. Après avoir maîtrisé la multiplication et la division des tables, les caractéristiques, propriétés, méthodes et algorithmes de division avec reste sont examinés.

La justification de ce dernier point de vue est que la présence ou l’absence d’un reste ne change pas le cours de la division pratique. Par exemple, divisons 12 et 13 cubes en parties égales de 3 cubes chacune. On procède de la même manière dans les deux cas : prenez 3 cubes et mettez-les de côté. Nous répétons cette action jusqu'à ce que nous puissions prendre 3 cubes. Désigné : 12 : 3 et 13 : 3. Dès qu'il ne reste plus de cubes ou moins de trois, on compte les pièces obtenues. Leur numéro sera privé. Dans les deux cas, 4 parties égales de 3 cubes chacune ont été formées - le quotient sera le nombre 4. Dans le cas de 12 cubes, il ne restera plus de cubes « indivis », et en divisant 13 cubes par 3, 1 cube sera restent indivis. On obtient : 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (1 restant).

Nous diviserons 12 et 13 cubes en 3 parts égales. Nous prenons autant de cubes que de parties égales nécessaires et les disposons un à la fois. Là encore, nous prenons autant d'objets qu'il y a de pièces et les disposons un à un par rapport à ceux déjà disposés. Nous continuons ainsi jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cubes ou qu'il reste moins de pièces que le nombre de pièces requis. Dans les deux cas, le quotient est de 4 (chacune des trois parties égales comporte 4 cubes). Lors de la division 12 : 3 il n'y a pas de reste, lors de la division 13 : 3 le reste est 1. Entrée : 12 : 3 = 4 et 13 : 3 = 4 (1 restant).

Dans les activités objectives, au début du processus de division, ils ne savent le plus souvent pas s'il y aura un reste. DANS expérience d'enfance Il existe de nombreuses situations de division pratique. Les enfants partagent des jouets, des bonbons, sont divisés en équipes lors de jeux et bien plus encore. Une division complète ne fonctionne pas toujours. En introduisant uniquement une division complète, il est nécessaire de protéger les enfants des situations où une division complète est impossible. Et si la période des réunions uniquement avec division est très longue, alors les enfants développent un stéréotype : lorsqu'ils divisent des nombres, ils obtiennent toujours un nombre - le quotient. Cela rend la division avec un reste difficile à comprendre. C'est en partie pourquoi la division avec un reste est considérée comme une opération difficile, et les problèmes de mots dans lesquels elle peut être utilisée ne sont pas pris en compte (à l'exception de tâches simples lors de l'introduction de la division avec un reste), ou ils sont classés comme problèmes de difficulté accrue.

Sur la base du raisonnement ci-dessus, la séquence apprendre la multiplication et la division peut ressembler à ceci : introduire la multiplication, maîtriser ses significations ; introduction de la division dans son ensemble et avec un reste, maîtrise du sens de la division ; table de multiplication et de division (entiers); algorithmes informatiques oraux pour la division avec reste basé sur la division en table ; algorithmes de multiplication et de division hors tabulation (orale), y compris la division avec un reste ; algorithmes de multiplication écrits; algorithmes division écrite

comme algorithmes de division avec reste, dont un cas particulier est la division avec reste nul - division par un nombre entier ; multiplication et division à l'aide d'une calculatrice.

L'étude de chaque opération arithmétique peut être présentée par étapes : préparation à l'introduction d'une ou plusieurs opérations arithmétiques ; introduction d'une ou plusieurs actions, motivation à étudier, planification d'un travail d'étude d'une ou plusieurs actions arithmétiques, formation du sens de l'action étudiée ; étudier les propriétés des opérations arithmétiques; étudier les algorithmes pour effectuer des actions et développer des compétences informatiques. Se préparer à introduire une ou plusieurs opérations arithmétiques

consiste à créer une base sujet-activité pour les opérations arithmétiques, qui est mise en œuvre dans des actions avec des groupes d'objets (approche théorique des ensembles) et avec des objets selon une valeur donnée (approche par grandeur), en « marchant » à travers une série de nombres, y compris le nombre 0 et la série naturelle (approche ordinale). Ici, il est nécessaire de clarifier, d'approfondir les idées sur le nombre, de mettre à jour les méthodes d'actions objectives et de les utiliser pour résoudre des problèmes de texte correspondant à des opérations arithmétiques. Les principaux objectifs des cours introduire une ou plusieurs actions arithmétiques et former le sens de l'action étudiée

sont : créer une motivation positive pour apprendre une action, isoler, exécuter et désigner avec une nouvelle action les actions objectives qui sous-tendent l'opération arithmétique introduite ; la maîtrise par les étudiants des termes et méthodes de désignation symbolique et de description verbale des actions ; inclusion d'une nouvelle opération arithmétique dans le système de représentations numériques existantes. Des motivations positives pour apprendre l’action peuvent être formées à travers l’expérience émotionnelle des enfants de l’action arithmétique comme moyen court et rapide de préserver et de transmettre des informations sur l’action avec des objets, comme moyen d’enrichissement., comme élargissement des opportunités de communication, comme moyen de modéliser des situations de tâches, comme moyen d'obtenir de nouvelles informations. Le sujet d'intérêt pour les enfants peut et doit être les propriétés des actions, les particularités du comportement des nombres individuels par rapport aux opérations arithmétiques, les méthodes de calcul inhabituelles, les séquences numériques construites sur des modèles exprimés dans le langage des opérations arithmétiques. Cela est possible grâce à la révélation du sens des opérations arithmétiques, grâce à la possibilité de générer ses propres significations personnelles.

Rappelons-le : les opérations arithmétiques sont des opérations mathématiques sur un ensemble de nombres (à l'école primaire sur l'ensemble des entiers non négatifs). Opération – correspondance entre un ensemble de paires de nombres de ensemble de numéros et des éléments d'un même ensemble. La correspondance peut être spécifiée par une énumération et une propriété caractéristique. Ces propriétés sont incluses dans la définition d'une action. Dans l'enregistrement, cela est indiqué par un signe d'action. Dans les entrées 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12 : 6, 17 : 5, les opérations sont précisées puisque des paires de nombres spécifiques sont indiquées, et le signe indique la méthode d'obtention du numéro correspondant. Dans les égalités 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12 : 6 = 2, 17 : 5 = 3 (2 restants), le ou les nombres correspondants ne sont pas seulement spécifiés par la propriété caractéristique , mais aussi par le dénombrement .

Notez que sur étape initiale maîtriser une opération arithmétique, ainsi que lors de l'étude des propriétés, lors de la généralisation de certaines caractéristiques d'une action, il est utile d'utiliser des symboles pour les nombres inventés par les enfants, par exemple : ⌂ + ○ ; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ ou ☼ +☺ ; ☼ +☺=☻. De tels enregistrements nous permettent de considérer une action et ses propriétés lorsque les enfants ne peuvent pas encore écrire les nombres nécessaires, ainsi que lorsqu'une caractéristique numérique spécifique de groupes d'objets ou d'un objet ne peut être déterminée avec précision lorsqu'il est nécessaire de montrer vue générale expressions et égalités. De plus, un tel signes conventionnels portent la composante émotionnelle de leurs auteurs ou « choix ».

Propriétés des opérations arithmétiques peuvent être découverts par les étudiants dans le cadre d'activités pédagogiques et de recherche organisées par l'enseignant. Il est important que chaque propriété soit une solution au problème accepté par les étudiants, une réponse à la question qui se pose dans leur esprit. Cela peut se produire lorsque, dès les premiers jours d'éducation, nous apprenons aux enfants à remarquer et à identifier les similitudes et les différences entre des objets, y compris entre des actions avec des objets, entre leurs notes.

Les principales questions qui conduisent à la découverte des propriétés des opérations arithmétiques sont des questions sur la possibilité de remplacer certaines expressions, et donc la suite des opérations arithmétiques, par d'autres contenant les mêmes nombres et ayant les mêmes nombres. valeur numérique, comme l'expression originale, mais des actions différentes ou une séquence d'actions différente.

La liste des propriétés des opérations arithmétiques (sur l'ensemble des nombres naturels et zéro) peut être la suivante :

Propriétés de la connexion des relations « (directement) suivre » et addition et soustraction : un + 1 = UN′ Et UN′ – 1 = un(si vous ajoutez 1 à un nombre, vous obtenez le nombre suivant ; si vous soustrayez 1, vous obtenez le nombre précédent) ; propriété commutative d'addition, multiplication 3 + 4 = 4 + 3, un + b = b + un, ab= bun; un + b) + propriété associative d'addition ( = un + (b + propriété associative d'addition ( c ab)propriété associative d'addition ( = un(), multiplications ( avant JC ) ou sous forme de règles pour ajouter un nombre à une somme et une somme à un nombre, multiplier un nombre par un produit et un produit par un nombre ; Et ), multiplications ( règles pour soustraire un nombre d'une somme et une somme d'un nombre : (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3 ; règles pour diviser un produit par un nombre et des nombres par un produit : (12  8) : 4 = (12 : 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24 : (3  4) = (24 : 3 ) : 4; règle pour diviser une somme par un nombre : si un + b) : propriété associative d'addition ( = un:propriété associative d'addition ( + b:propriété associative d'addition ( ca un + b = propriété associative d'addition ( ↔ propriété associative d'addition ( – b = un(- est complètement divisible), alors ( propriété associative d'addition ( – un = b; un : b = , (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 ; propriété distributive de multiplication relative à l'addition (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ou sous la forme des règles de multiplication d'une somme par un nombre et des nombres par une somme : ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ; règle pour multiplier la différence par un nombre : (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2 ; propriétés reflétant la relation entre addition et soustraction, multiplication et division : ↔ un = Et Et un : , (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 ; propriété distributive de multiplication relative à l'addition (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ou sous la forme des règles de multiplication d'une somme par un nombre et des nombres par une somme : ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ; règle pour multiplier la différence par un nombre : (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2 ; propriétés reflétant la relation entre addition et soustraction, multiplication et division : = b, un : b = , (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 ; propriété distributive de multiplication relative à l'addition (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ou sous la forme des règles de multiplication d'une somme par un nombre et des nombres par une somme : ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ; règle pour multiplier la différence par un nombre : (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2 ; propriétés reflétant la relation entre addition et soustraction, multiplication et division :qbq), bq < b ↔ un = Et + bq(repos. un + b = propriété associative d'addition ( (un ± r) + b = propriété associative d'addition ( ± r ; un + b = propriété associative d'addition ( ↔ (un + r) + (b – r) = propriété associative d'addition ( dépendances entre les modifications des composants et le résultat d'une action : un – b = propriété associative d'addition ( ↔ (un ± r) – (b ± r) = propriété associative d'addition ( d ab = propriété associative d'addition ( ↔ (un: r)  b = propriété associative d'addition (: r; ab = propriété associative d'addition ( ↔ (un: r)((si un terme est augmenté (diminué) d'un certain nombre, alors la somme augmentera (diminuée du même nombre) ;) = ((si un terme est augmenté et l'autre est diminué du même nombre, alors la somme ne changera pas) ;)(b: r) = propriété associative d'addition (; un : b = , (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 ; propriété distributive de multiplication relative à l'addition (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ou sous la forme des règles de multiplication d'une somme par un nombre et des nombres par une somme : ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ; règle pour multiplier la différence par un nombre : (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2 ; propriétés reflétant la relation entre addition et soustraction, multiplication et division : ↔ (si un terme est augmenté et l'autre est diminué du même nombre, alors la somme ne changera pas) ; : b = (si le minuend et le subtrahend sont augmentés (diminués) du même nombre, alors la différence ne changera pas) ;; bd .

annonce CD, ..., qui consiste dans le fait que chaque énoncé vrai de cette section correspond à un énoncé double, qui peut être obtenu à partir du premier en remplaçant les concepts qui y sont inclus par d'autres, les soi-disant. concepts qui leur sont duaux.

Le principe de dualité l'une des idées significatives importantes des mathématiques, qui élargit considérablement les possibilités de connaissance. L'idée de dualité est découverte par les enfants si l'enseignant organise l'étude d'une nouvelle action, les propriétés de cette action sur la base d'actions déjà apprises, en encourageant les enfants à prédire les propriétés, à vérifier les prédictions, par exemple à l'aide de questions simples et tâches sur les similitudes et les différences : « En quoi la soustraction est-elle similaire à l'addition ? En quoi est-ce différent ? », … « En quoi la division est-elle similaire aux autres opérations arithmétiques que vous connaissez ? En quoi la division est-elle similaire à la soustraction ? En quoi la division diffère-t-elle de la soustraction ? », « Vous savez que l’addition a des propriétés commutatives et combinatoires. Formulez les mêmes propriétés pour la multiplication. Vérifiez leur validité à l'aide de plusieurs exemples", "Formuler des propriétés commutatives et associatives pour la division. Vérifiez leur validité avec plusieurs exemples."

7.3.3. Apprentissage de l'addition et de la soustraction. Le contenu de l'étude des actions dépend largement de l'approche de la notion de nombre à laquelle adhère l'enseignant, des sens qu'il donne à cette notion. Nous suivrons une approche universelle, en examinant le nombre avec les élèves dans tous ses sens fondamentaux.

Théorique des ensembles signification actions supplémentaires dans une langue accessible aux étudiants peuvent être présentés à travers tâches, décrivant les actions du sujet correspondant et les dessins correspondants (Fig. 7.7). Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 dans l’autre. Combien y a-t-il de pommes dans les deux assiettes ? (Tâche pour trouver la somme). Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 autres pommes dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette, soit 3 pommes de moins que dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? (Problèmes avec les relations « plus (moins) par » dans lesquelles le plus grand nombre est inconnu.) ; Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes dans l'autre. De combien de façons peut-on choisir un fruit ? (Problèmes combinatoires spécifiant la règle de somme pour compter le nombre de combinaisons).

Tâches révélateur de la théorie des ensembles la signification de l'action de soustraction. a) Il y avait 4 pommes dans l'assiette, 3 pommes ont été mangées. Combien reste-t-il de pommes ? (Trouver le reste (différence)); b) Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes de moins dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette, soit 3 pommes de plus que dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes dans l'autre. Combien y a-t-il de pommes de plus dans la première assiette que dans la seconde ? Combien y a-t-il de pommes de moins dans la deuxième assiette que dans la première ? (Problèmes avec les relations « plus (moins) par ») avec un nombre inconnu plus petit ou dans quelle mesure un nombre est plus ou moins qu'un autre (par comparaison par différence. (Fig. 7.8 a, b).

Significations de l'addition et de la soustraction basées sur le concept de grandeur, exprimer les opérations de combinaison et de suppression d'objets avec une longueur, une surface, un volume, une masse et d'autres quantités pouvant être affichées action pratique ou dessin (Fig. 7.9)

Significations ordinales de l'addition et de la soustraction se manifeste par une transition séquentielle du premier terme au nombre qui le suit immédiatement, de celui-ci au suivant autant de fois que le deuxième terme. La soustraction peut être définie comme une transition séquentielle de la fin du menu au précédent autant de fois que la fin de la soustraction. Lors de l'introduction de l'addition et de la soustraction, cette signification est représentée par une règle formulée à la suite de l'observation de la position d'un nombre auquel une unité est ajoutée à l'aide d'actions avec des objets (dont une unité est soustraite) et du résultat de ces actions. : « Si vous ajoutez un à un nombre, vous obtenez le nombre suivant ; Si vous soustrayez un d’un nombre, vous obtenez le nombre précédent.

Se préparer à introduire l'addition et la soustraction Les exercices d'actions avec des objets correspondant aux actions introduites, ainsi que le comptage des objets et des mesures qui accompagnent ces actions lors de la mesure de quantités dans les cas les plus simples, sont encouragés. Par exemple, compter les pas en marchant (mesurer la longueur d'un chemin), compter les triangles identiques, les rectangles qui composent une figure (surface de mesure), compter les verres d'eau versés dans ou hors d'un bocal, les mouvements de la trotteuse sur un cadran, etc. Compter par deux, trois, quatre et cinq est utile.

Types possibles opérations objectives correspondant à l'addition et à la soustraction peut être comme ça.

Placez 3 cubes à gauche. Placez la carte avec le numéro souhaité ci-dessous. Placez 5 cubes à droite. Placez une carte avec un numéro. Combinez les cubes en les rapprochant les uns des autres. Trouvez une bande de 3 unités de longueur (3 mesures composées de trois parties égales) et une bande de 5 unités de même longueur. Faites une longue bande à partir de ces deux bandes. Que signifient les chiffres 3 et 5 pour les dés ? ...Pour les rayures ? ...Qu'as-tu fait des cubes ? ...Qu'as-tu fait des rayures ? ...

Comptez tous les triangles. (8) Comptez tous les triangles rouges. (3) Mettez-les dans une enveloppe. Ce pot contient 8 verres d'eau. Versez 3 verres d'eau. Étiquetez avec des chiffres.

Faire des additions et des soustractions. Une caractéristique des opérations arithmétiques, y compris l'addition et la soustraction, qui encourage les enfants à les étudier, est la capacité de réduire plusieurs fois l'enregistrement des informations. Pour montrer cela aux élèves, au fur et à mesure que les élèves accomplissent les tâches ci-dessus, le texte apparaît au tableau : Placez 3 cubes à gauche. Placez 5 cubes à droite. Cubes combinés. Nous avons pris une bande de 3 unités de long et une bande de 5 unités de long. Nous avons fait une longue bande à partir de deux bandes. (Si la soustraction est introduite simultanément avec l'addition, alors le texte contiendra également des phrases telles que : « Il y avait 8 triangles. 3 triangles ont été supprimés », « Il y avait 8 verres d'eau. 3 verres ont été versés »). Ci-dessous se trouvent les nombres écrits (ou disposés sur des cartes) : 3 5 (8 3).

Il est écrit au tableau ce que vous venez de faire avec des cubes, avec des rayures, (avec des triangles, avec de l'eau). Est-ce facile pour vous de lire ce texte ? (Pas facile.) – Mais si vous utilisez le langage mathématique, vous pouvez l’écrire beaucoup plus brièvement. Peut-être que quelqu'un sait déjà comment désigner nos actions en mathématiques ? Avec les enfants, nous construisons un exemple d'enregistrement (au début uniquement l'expression) : 3 + 5 (8 – 5).

Cette entrée remplace l'intégralité de ce texte. Combien y a-t-il de chiffres dans la notation mathématique ? (Total 3. Avec introduction et soustraction simultanées - 6.) - Combien de caractères y a-t-il dans le texte ?

Si l'enregistrement a été réalisé sur tableau blanc interactif, puis en sélectionnant le texte il est facile de déterminer le nombre de caractères : 163 (ou en soustrayant 236 !) : 163 ! (ou 236 !) contre 3 (ou 6 !) la notation mathématique est plus de 50 (presque 40 fois) plus courte ! Cette découverte peut être un point de surprise, qui donnera une coloration émotionnelle à ce qui est étudié et augmentera l'intérêt pour celui-ci.

Peut-être que certains d’entre vous savent déjà comment lire cette entrée et ce qu’elle signifie ? (Les enfants parlent en premier, puis l'enseignant.) – L'entrée 3 + 5 se lit généralement « ajouter cinq à trois » (et « soustraire cinq de huit »). Relisez-le avec moi. ... Cette entrée signifie qu'il y avait 3 objets et 5 objets, et qu'ils ont été combinés (Il y avait 8 objets, 5 d'entre eux ont été pris et retirés). Ou qu'à partir de deux bandes de longueur 3 et 5 unités de longueur ils formaient une bande de longueur 3 et 5 unités de longueur. On dit aussi que 3 + 5 est une notation pour l'action ajout(8 – 5 est un enregistrement d'action soustraction).

Ensuite, trois types de tâches sont organisés pour développer la capacité de passer des actions du sujet aux actions avec des nombres et des actions avec des nombres aux actions du sujet : (1) les actions du sujet sont démontrées (par l'enseignant, les élèves, dans des images dans un manuel ou cahier d'exercices, sur un tableau interactif), et les élèves les désignent avec des expressions numériques appropriées, lisent les expressions ; (2) des expressions numériques sont nommées ou affichées (ajouter deux à quatre, soustraire trois de quatre, 4 + 2 ; 4 – 3), et les élèves effectuent des actions avec des objets, dessinent ou sélectionnent des images d'actions d'objets qui pourraient être indiquées par une addition ( soustraction ); (3) une correspondance est établie entre l'image des actions objectives et les expressions numériques (les dessins et les expressions peuvent être dans des manuels, sur des feuilles séparées, sur un tableau, interactifs ou réguliers ; il peut s'agir de deux jeux de cartes - avec des dessins d'actions objectives et avec des expressions numériques, ou des cartes selon type de domino).

Faisons attention à plusieurs points importants. Bien que l’introduction à l’addition et à la soustraction vienne de l’étude des nombres dans les dix premiers, il est utile de considérer les situations représentées par l’addition et la soustraction non seulement avec les nombres dans les dix premiers, mais également avec les nombres d’autres ensembles de nombres. Par exemple, l’enseignant montre une boîte avec 14 boutons et une autre avec 26 boutons identiques. Sur chaque case le numéro correspondant est écrit en grand. Vous devez mettre les mêmes numéros sur vos bureaux avec des cartes numérotées. Puis il verse les boutons de la deuxième boîte dans la première et demande aux élèves de mettre une carte avec le signe correspondant entre les chiffres. L'entrée résultante est : 14 + 26. Avec l'aide de l'enseignant, les enfants lisent l'entrée et disent ce qu'elle signifie.

Au début de l'introduction d'une opération arithmétique, on désigne les actions objectives par une expression numérique ou une expression numérique et égalité. L'égalité nécessite de nommer et d'écrire un nombre précis, le résultat d'une action, alors que les enfants ne savent pas encore comment le trouver, autre que les actions objectives et le comptage. Une expression numérique ne nomme pas le nombre, le résultat de l'action, mais précise la méthode pour l'obtenir avec le signe de l'action. Dans ce cas, nous avons la possibilité de considérer l'action pour n'importe quel nombre et l'action avec n'importe quel modèles de sujets actes. Ceci est important pour former le sens de l’action. Les étudiants ont également la possibilité de déterminer la limite d'applicabilité des calculs utilisant des objets, ce qui les motive à inventer des méthodes et des algorithmes sans interagir avec les objets.

Lors de la première étape de l’apprentissage par l’action, il est nécessaire d’attirer l’attention des enfants sur les questions « Quoi Qu’est-ce que « l’addition » ? », « Qu’est-ce que la « soustraction ? » Ici, il est préférable d'écrire l'action sous forme d'expression numérique. Lorsque les réponses aux questions « Quoi… ? sera compris et approprié, on peut passer à la question » Comment trouver le résultat de l'action (la valeur de la somme, la différence) ? Désormais, l’addition et la soustraction peuvent être écrites et prononcées comme des égalités.

Avant de passer aux égalités, à trouver des résultats et à écrire des égalités, résumons total, donnant aux élèves l'opportunité de montrer leur compréhension de l'addition (et de la soustraction si les opérations sont introduites dans la même leçon).

Ainsi, vous savez maintenant comment désigner des actions avec des objets pour ajouter des nombres. Montrez comment vous pouvez le faire. Lire notations mathématiques et dites ce que chacun pourrait signifier : 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (Au tableau il y a des dessins correspondants, par exemple, pour l'entrée 1000 + 5000 il y a un dessin de deux billets de banque, pour l'entrée en nombres « magiques » - deux conteneurs avec une cargaison sur une plate-forme ferroviaire, indiquant la masse en tonnes Ω et ☼.).

Vous avez bien dit : cet ajout désigne des situations dans lesquelles quelque chose a été ajouté à quelque chose, combiné. Comment pouvons-nous indiquer les résultats de telles actions ? - Observez le mouvement de Dima, mesurez avec lui la longueur de chaque partie du chemin en comptant les pas. (Dima fait 4 pas du bureau au tableau, s'arrête, puis fait encore 3 pas jusqu'à la fenêtre). - Enregistrez l'action. (4 + 3). – Dima, recommence en comptant toutes les étapes. Combien y a-t-il d'étapes au total ? (7) – Comment écrire cela ? Complétez le dossier de ce que vous avez fait avec le résultat de l'action. (Après les suggestions des enfants, on écrit : 4 + 3 = 7. – Lisez cette égalité. (Avec l’aide de l’enseignant, lisez : « Nous avons ajouté trois à quatre et nous avons obtenu sept. »)

Ensuite, les enfants accomplissent des tâches des types ci-dessus (1), (2) et (3). Dans le cas où le nombre d'objets dans une combinaison ou le nombre de mesures lors de la mesure d'une quantité peut être compté, les élèves écrivent des égalités, dans d'autres cas, ils écrivent uniquement des expressions.

Au cours de la même période, les conditions ont été introduites terme, terme, somme; minuend, soustrahend, différence. Il est utile de faire précéder l’introduction des termes d’une conversation sur les noms. Chacun de nous a de nombreux noms et titres. Un groupe de noms est constitué de noms propres : Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. Des noms sont également donnés en fonction de ce que l'on fait - cycliste, piéton, passager, passant, lecteur ; par profession et profession - enseignant, étudiant, tailleur, tourneur, pilote et bien d'autres raisons - personne, employé, ami, sœur, fille, petit-fils.

Si cette approche est appliquée aux nombres, alors les noms propres sont « un », « deux », « trois cent soixante-dix », etc. Participation des nombres aux opérations arithmétiques et à leur exécution certaines fonctions ou rôles permet de les nommer en fonction de ces fonctions. Tout d’abord, laissez les enfants proposer leurs noms et les justifier. Vous pouvez même annoncer un concours ! Ce n’est que dans le contexte de leur propre création de mots que les termes généralement acceptés seront « vivants », mémorables et chargés d’émotion pour les enfants.

Lorsque les élèves passent librement des situations disciplinaires à la notation par addition et soustraction et vice versa, la question « Comment trouver le résultat d'une addition, d'une soustraction sans dessins, compter avec les doigts, mesurer ? » deviendra pertinente.

Durant cette même période, il faut déjà commencer à inclure les enfants dans planifier votre travail académique, inciter à la réflexion sur l'enseignement et ses résultats, c'est-à-dire pour former des activités éducatives, progressivement, à mesure qu'ils maîtrisent les activités d'apprentissage appropriées, les transfèrent d'activités éducatives contrôlées de l'extérieur à des activités indépendantes.

Par exemple, après avoir introduit l’addition et la soustraction, nous demandons :

Savez-vous maintenant ce qu’est une addition et une soustraction ? (Oui.) - Tout le monde, vous savez tout sur l'addition ? À propos de la soustraction ? (Non, pas tous.) - Selon vous, que devrions-nous savoir d'autre à propos de ces actions ? Que pouvoir faire ? ... - À quelles questions sur l'addition et la soustraction souhaiteriez-vous obtenir des réponses ? Que faut-il apprendre ? ...

Sur la base de ce dialogue, au cours duquel l'enseignant note au tableau les questions et suggestions des enfants, organise un échange d'opinions, les élèves, avec la participation de l'enseignant en tant qu'organisateur et porteur de connaissances sur les accords existants, construisent une séquence d'apprentissage addition et soustraction.

La prochaine tâche pédagogique est développer les compétences en calcul de table, UN tâche d'apprentissageétudiants - apprendre à trouver les résultats de l'addition et de la soustraction, de la somme et de la différence (la valeur de la somme et la valeur de la différence), expliquer les calculs, vous tester, planifier d'autres actions.

Étudier les propriétés de l'addition et de la soustraction. La particularité de l'étude des propriétés d'addition et de soustraction est que ce sont les premières opérations arithmétiques avec lesquelles les enfants se familiarisent. Les propriétés des actions sont considérées pendant la période de maîtrise du sens objectif des actions et sont justifiées par ces propriétés objectives et intuitives des actions. Toutes les propriétés peuvent être découvertes par les enfants dans un processus organisé par l'enseignant activités éducatives. Il est important que les déclarations de propriété et les notations ne soient pas encombrantes.

De nombreux calculs en première année, en particulier au cours du premier semestre, sont effectués de manière à ce que propriétés connues apparaissent à un niveau intuitif. Ces biens sont présentés avec la participation des enfants sous une forme qui leur est accessible. Par exemple, des méthodes pour ajouter et soustraire un, par un, par parties : 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2 ; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Les premières propriétés dont disposent les élèves peuvent être des propriétés qui relient les notions de « suivant », de « précédent » (« immédiatement suivant ») aux opérations d'addition et de soustraction. Ce propriétés de la série naturelle, qui manifestent la signification ordinale d'un nombre dans les opérations arithmétiques, que nous avons formulées ci-dessus. Cela a été précédé par l'invention de méthodes permettant de compter rapidement des objets dans la combinaison de deux groupes d'objets, par exemple en comptant un groupe d'objets par un autre jusqu'à un nombre connu d'objets : ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 articles.

La conséquence de cette méthode est de trouver les résultats de l'addition et de la soustraction en « parcourant » la série naturelle, d'abord par étapes simples, puis par étapes de longueur différente (addition, soustraction en groupes).

Découvrir propriété commutative d'addition ou réarrangement des termes les étudiants peuvent le faire dans plusieurs situations.

1. À l'aide d'actions objectives, calculez les valeurs des paires de la forme 4 + 3 et 3 + 4. Établissez les similitudes et les différences. Faites des hypothèses sur la valeur d'autres sommes similaires, vérifiez l'hypothèse en calculant les valeurs à l'aide des méthodes disponibles.

2. Dans le processus d'exécution d'actions objectives de combinaison de deux groupes d'objets, de deux objets, de substances, il est établi que lorsque l'emplacement des pièces ou l'ordre dans lequel la combinaison se produit change, les caractéristiques quantitatives du résultat de la combinaison ne change pas. En désignant les actions objectives par des expressions numériques, nous obtenons deux expressions avec des ordres de termes différents et des valeurs identiques.

3. Deux élèves, situés de part et d'autre de la table, ont indiqué par addition (la somme de deux termes) le nombre d'objets sur la table (Chekin A.L. Mathématiques, 1re année 2011) et ont reçu deux expressions différentes : 3 + 4 et 4 + 3. En se mettant à la place de chacun, les enfants s'assurent que les deux entrées indiquent correctement la même situation, le numéro des mêmes objets. Sur cette base, 3 + 4 = 4 + 3. Puisque n'importe quel autre nombre d'objets peut être placé sur la table, par exemple Ω et ☼, alors Ω + ☼.= ☼ + Ω, où Ω et ☼ sont des nombres arbitraires.

Une caractéristique importante de l’addition et de la soustraction est que ces les actions expriment des relations « plus (moins) par" N'importe laquelle des égalités de la forme un + b = propriété associative d'addition ( Et m – n = k définit des relations dans lesquelles trois nombres sont impliqués : le plus grand, le plus petit et un nombre qui répond à la question de savoir dans quelle mesure un nombre est plus grand (moins) que l'autre. Si une égalité est donnée, par exemple 5 + 3 = 8, alors les nombres liés par la relation « plus (moins) de » peuvent être les nombres 5 et 8, et le nombre 3 montrera à quel point 5 est inférieur à 8. , et 8 est supérieur à 5. tee, ou 3 et 8, alors 5 montrera à quel point 3 est inférieur à 8 et 8 est supérieur à 3.

D’autres propriétés des opérations d’addition et de soustraction peuvent également être découvertes par les étudiants disposant d’une organisation appropriée. Pour découvrir des biens grande valeur les tâches sont axées sur la comparaison, la classification et l’observation des changements. Avec l'introduction des opérations de multiplication et de division, des règles sur l'ordre des opérations, de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, de la règle de division d'une somme, des différences par un nombre, des produits par un nombre, des nombres par un produit, et d'autres propriétés liées à une ou plusieurs propriétés sont étudiées.

L'expansion et l'approfondissement des connaissances sur l'addition et la soustraction sont associés à l'expansion des ensembles numériques et au transfert de techniques, d'algorithmes, de termes et de propriétés précédemment étudiés, à l'étude des propriétés et à la maîtrise des compétences informatiques, à l'enrichissement de la terminologie. avec des noms de propriétés (propriété combinatoire, propriété distributive), des noms de rangs et de classes, des noms de nombres à plusieurs chiffres, des caractéristiques des nombres.

7.3.4. Apprentissage de la multiplication et de la division. Rappelons d’abord les principaux significations de la multiplication et de la division.

Théorique des ensembles signification des actions de multiplication(- est complètement divisible), alors ( Divisions Présentons-leur des problèmes de texte et des images. a) « Il y a 4 pommes dans une assiette. Combien y a-t-il de pommes dans 3 de ces assiettes ? (Fig. 7.10a) ; b) 3 équipes ont participé au tournoi d'échecs, chacune comprenant 4 joueurs d'échecs - un candidat maître des sports et des joueurs d'échecs de 1ère, 2ème et 3ème catégories. Combien de joueurs d'échecs ont participé au tournoi ?" ; c) « Il y a 4 pommes dans une assiette, et 3 fois plus dans l'autre. Combien y a-t-il de pommes dans l'autre assiette ? », « Il y a 4 pommes dans une assiette, c'est 3 fois moins que dans l'autre assiette. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? (tâches avec des relations « plus (moins) de… fois », dans lesquelles le plus grand nombre est inconnu) (Fig. 7.10, c) ; d) De combien de façons peut-on réaliser le couple « enveloppe, timbre » s'il y a 3 types d'enveloppes et 4 types de timbres ? (tâches de comptage du nombre de combinaisons, règle du produit) (Fig. 7.10, d).

Division des nombres au sens de la théorie des ensembles, est apparu comme une désignation deux types de division pratique d'un groupe d'objets en parties égales en nombre d'éléments, qui dans les méthodes d'enseignement des mathématiques sont appelés division par contenu Et division en parties égales. Division par contenu: un groupe d'objets est divisé en parties selon un nombre égal d'objets dans chaque partie et il est nécessaire de savoir combien de ces parties sont formées. Division en parties égales: un groupe d'objets est divisé en un nombre donné de parties égales (par le nombre d'objets) et il faut savoir combien d'objets il y aura dans chaque partie.

Action du sujet division par contenu- il s'agit de la mise de côté séquentielle d'un nombre donné d'éléments jusqu'à ce que tous les éléments soient disposés ou jusqu'à ce qu'il reste moins d'éléments qu'il ne devrait y en avoir dans une partie. La procédure d'ajournement correspond au sens objectif de la soustraction et peut être désignée par soustraction. La division agit comme une notation plus courte

1 Mikulina, G. G. Généralisation des connaissances en mathématiques à l'aide de personnages de contes de fées / G. G. Mikulina. – Ecole primaire, 1986. - N°6 - Du 25-29..

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dixGalanin D.D. Histoire

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11 Galanin D.D. Introduction à la méthodologie de l'arithmétique Moscou, 1911. 12 Kourganov S.Yu. Enfant et adulte en dialogue éducatif.

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16 Voir Ondar Ch. Aspects ethnoculturels dans la formation des représentations numériques // Ecole primaire, 2010. - N° 11. – P. 104 – 107 ; Tsareva S.E. Poèmes, énigmes, proverbes, dictons, contes de fées enseignement primaire nombres et les propriétés de cette série, il faut aussi s'initier aux techniques d'addition et de soustraction, basées sur cette propriété de la série naturelle des nombres. Les enfants apprennent ces techniques pour ajouter et soustraire un à un nombre, c'est-à-dire compter et décompter de 1.

Lorsque les élèves maîtrisent les techniques de comptage, l’enseignant les initie aux techniques de comptage.

Si les élèves de première année maîtrisent assez rapidement les techniques de comptage, alors les techniques de comptage sont beaucoup plus lentes.

La difficulté est que la méthode de comptage est basée sur bonne connaissance compter à rebours, et compter à rebours est difficile pour de nombreux élèves de première année. De plus, les élèves ont du mal à se rappeler combien il faut retirer, combien a déjà été retiré, combien il faut encore retirer.

En étudiant chaque nombre des dix premiers, les élèves ont également une idée de la composition de ces nombres.

Au début, il faut donner des exercices dans lesquels l'un des termes est perçu visuellement par les enfants, et ils recherchent le second par représentation.

Lors de l'exécution d'opérations d'addition et de soustraction dans numéro donné des solutions aux exemples avec un composant manquant sont introduites. Il est indiqué par des points, des cadres, des points d'interrogation, etc., par exemple :

je – 3, 4 +... = b, ? – 2 = 4.b- ? = 2.

Écrivons 1-1=0 (l'absence d'objets est indiquée par les nombres O). D'autres exemples sont résolus lorsque la différence est nulle.

Entrez le nombre zéro comme sous-traitement, puis comme ajout. grand nombre exercices. La signification des opérations avec zéro sera mieux comprise par les élèves si zéro comme sous-trahend et zéro comme addend ne sont pas introduits simultanément. Ensuite, des exercices sont réalisés pour différencier des exemples dans lesquels zéro sera ajouté et soustrait.
L'enseignant de première année doit attirer l'attention des élèves sur le fait que la somme est toujours supérieure à chacun des termes et que le reste est toujours inférieur aux minutes.

La fin du menu est supérieure ou égale à la fin de la soustraction, sinon la soustraction ne peut pas être effectuée.

Dès la première année, les élèves doivent être habitués à vérifier l'exactitude des solutions aux exemples.

Analyse du manuel de Moreau

L'étudiant saura :

Signification spécifique et le nom des opérations d'addition et de soustraction ;

Connaître et utiliser les noms des composants et les résultats d'addition et de soustraction lors de la lecture et de l'écriture d'expressions numériques ;

Connaître la propriété commutative de l'addition ;

Connaître le tableau d'addition à 10 près et les cas de soustraction correspondants ;

Unités de longueur : cm et dm, le rapport entre eux ;

Unité de masse : kg.

Trouvez la signification des expressions numériques en 1 à 2 étapes sans parenthèses ;

Appliquer les techniques de calcul :

lors de l'ajout - ajout de pièces ; réarrangement des nombres;

lors de la soustraction - soustraire un nombre par parties et soustraire en fonction de la connaissance du cas d'addition correspondant ;

Effectuez des additions et des soustractions avec le chiffre 0 ;

Trouver un nombre qui est supérieur ou inférieur de plusieurs unités à un nombre donné ;

Être capable de résoudre des problèmes d’addition et de soustraction en une étape.

Étudier à activités conjointes avec un professeur aura l'occasion d'apprendre :

- regrouper des objets selon une caractéristique donnée ;

- résoudre des énigmes, carrés magiques, exemples circulaires, tâches d'ingéniosité, énigmes, chaînes d'exemples, tâches de blague, problèmes de logique;

- Construisez des polygones et des lignes brisées.

UUD cognitive:

1. Se repérer dans les manuels (système de notation, structure du texte, titres, vocabulaire, contenu).

2. Recherche informations nécessaires exécuter missions pédagogiques en utilisant documents de référence manuel (sous la direction d'un enseignant).

3. Comprendre les informations présentées sous forme de texte, d'images, de diagrammes.

4. Comparez des objets, des objets : trouvez des points communs et des différences.

5. Regrouper, classer des éléments, des objets en fonction de fonctionnalités essentielles, selon des critères spécifiés.

UUD réglementaire:

1. Organisez votre lieu de travail sous la direction d'un professeur.

2. Effectuer un contrôle sous forme de comparaison de votre travail avec une norme donnée.

3. Apportez les ajouts et corrections nécessaires à votre travail s'il s'écarte de la norme (échantillon).

4. En collaboration avec l'enseignant, déterminer la séquence d'étude de la matière, à partir de la série illustrative de la « feuille de parcours ».

UUD communicative:

1. Suivez les normes les plus simples étiquette de discours: dites bonjour, dites au revoir, merci.

2. Engagez le dialogue (répondez aux questions, posez des questions, clarifiez tout ce qui n'est pas clair).

3. Coopérer avec les camarades lors de l'exécution de tâches en binôme : établir et suivre l'ordre des actions, signaler correctement les erreurs à un camarade.

4.Participer à une discussion collective sur un problème éducatif.

Comparer différentes méthodes de calcul, choisissez-en une qui vous convient.

Simuler situations illustrant une opération arithmétique et le déroulement de son exécution.

Utiliser terminologie mathématique lors de l'écriture et de l'exécution d'opérations arithmétiques (addition, soustraction).

Simulerétudié les dépendances arithmétiques.

Prévision résultat du calcul.

Surveiller et effectuer un contrôle étape par étape de l'exactitude et de l'exhaustivité de l'exécution de l'algorithme d'opération arithmétique.

Utiliser diverses techniques pour vérifier l'exactitude de la recherche d'une expression numérique (basées sur des algorithmes pour effectuer des opérations arithmétiques, estimer le résultat).

Plan solution au problème.

Expliquer choisir des opérations arithmétiques pour les solutions.

Acte selon un plan donné pour résoudre le problème.

Utiliser images géométriques pour résoudre le problème.

Contrôle: détecter et éliminer les erreurs de nature arithmétique (calcul).

Observer pour changer la solution à un problème lorsque ses conditions changent.

Remplir brève note de différentes manières, notamment en utilisant des images géométriques (segment, rectangle, etc.).

Recherche situations nécessitant la comparaison des quantités et leur commande.

Caractériser phénomènes et événements à l’aide de quantités.

11) Méthodologie d'étude des opérations arithmétiques. Addition et soustraction de nombres de la deuxième dizaine (tâches du sujet, cas considérés, addition et soustraction basées sur la connaissance de la numérotation, cas d'addition et de soustraction sans passer par le rang - inclure la justification des techniques !!!).

L'étude de la numérotation et des actions au sein de 20, c'est-à-dire le deuxième et 1er centre, se déroule en 2e année d'une école correctionnelle.

Objectifs de la deuxième concentration : donner la notion de dix comme nouvelle unité ; apprendre à compter jusqu'à 20, à compter et à compter par groupes de un, dix et nombres égaux (2, mais 5, 4) ; introduire la composition décimale des nombres ; développer une compréhension des nombres à un et deux chiffres ; apprendre à désigner les nombres de 1 à 20 avec des chiffres ; présenter le principe importance locale Nombres; enseigner l'addition et la soustraction dans les allées 20 ; donner la notion d'actions nouvelles : multiplication et division ; (introduire la multiplication et la division par table dans les 20.

Lors de la sélection ou de la réalisation d'aides spéciales, vous devez vous rappeler qu'elles doivent indiquer la composition décimale des nombres de la deuxième dizaine, de sorte que les dix et les uns doivent être clairement mis en évidence.

Ces avantages comprennent : 20 bâtons (10 bâtons dispersés et 10 liés en fagot, soit 1 douzaine) ; 20 cubes et 2 barres de 10 cubes ; 20 carrés et 2 bandes de 10 carrés ; règle de 20 cm de long, toutes les bandes de carton de 10 cm de long chacune, divisées en 10 parties égales ; tirelire; boulier de classe et individuel; tableau de chiffres avec chiffres des unités et des dizaines ; caisse enregistreuse numérique; un tableau avec des nombres de 1 à 20 écrits sur une et deux lignes ; des tables pour compter par groupes de nombres égaux de 2, 3, 4, 5 ; tableau avec des nombres de 1 à 20 indiquant les nombres pairs et impairs différentes couleurs; un jeu de tablettes (10 pièces) avec le chiffre 10 pour compiler et décomposer les nombres (en dizaines et en unités) de 11 à 20 ; signe avec le numéro 20.

La base pour comprendre la numérotation des nombres de la deuxième dizaine est la sélection de dix et une idée claire que dix est dix unités et en même temps c'est nouvelle unité compter, qui peut être compté de la même manière que les unités, en ajoutant un aux nombres, etc., les noms de cette unité de comptage, par exemple un dix dix.

La numérotation des nombres jusqu'à 20 comprend plusieurs étapes : 1) obtention d'un dix ; 2) obtenir la deuxième dizaine de 11 à 19 en comptant plusieurs unités jusqu'à un ; 3) obtention du nombre 20 à partir de deux dizaines 1) numérotation écrite des nombres de 11 à 20 ; 5) obtenir la deuxième dizaine en comptant un jusqu'au numéro précédent et en comptant un oiseau à partir du numéro suivant.

Le score est dans les 20.

Tout d'abord, les élèves doivent répéter la numérotation des nombres des dix premiers : obtention de nombres dans une série de nombres en ajoutant au nombre précédent et en soustrayant 1 au suivant, la relation entre les nombres voisins, le nom des nombres et leur signification. en chiffres. L'enseignant attire l'attention des élèves sur le fait que chaque nombre de 0 à 10 est désigné par un nouveau, n'est pas associé à un autre mot, et pour désigner chacun des nombres de O) 9 il y a signe spécial, qui s'appelle un nombre. Le nombre m est désigné par deux chiffres 1 et 0. L'enseignant rapporte qu'il n'y a que 10 chiffres. Tout d'abord, le comptage en unités jusqu'à 10 est répété et la réception d'un dix est affichée. Il est important de différencier les notions de « dix unités » et de « od > dix ». Dix est un tout, un.

La prochaine étape du travail sur les nombres de la deuxième dizaine consiste à compter jusqu'à 20. Les élèves doivent se souvenir des noms des chiffres dans l'ordre de la série de nombres, compter les objets, les représenter avec des sons, sauter, frapper la balle, applaudir. numéro donné plusieurs fois, compter un nombre donné d'objets dans les allées 20, le comptage s'effectue par comptage et lecture un à un. Lorsque vous vous familiarisez avec la numérotation dans la limite de 20, il est conseillé. , présentez aux élèves l’unité de mesure dm.

Ajouter et soustraire des nombres dans les 20 sans passer par la valeur de position
Répétez la composition décimale des nombres de 10 à 20, en comptant en avant et en arrière de 1 à 20

Renforcer les compétences informatiques dans les 20 sans dépasser le rang

(Série de numéros).

La série de nombres va de 10 à 20, mais certains nombres manquent de chiffres.

chacun de vous doit prendre un numéro dans mon sac, avec les yeux fermés devinez-le et remettez-le à sa place.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Répéter la composition décimale d'un nombre

L'enseignant appelle la composition décimale du nombre et les élèves montrent ce nombre.

1déc.3 unités, 1déc. 6 unités, 1 des. 9 unités, 2 des., 1 des. 2 unités, 1 des.

Combien y a-t-il de dizaines et de uns dans le nombre 15 ? (Dans 15, il y a 1 dizaines et 5 unités.)

Comment obtenir le numéro 15 ?

Dictée mathématique.

L'enseignant donne un exemple et les élèves notent uniquement la réponse.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Réponses : 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Vérifiez : un élève lit les réponses et tous les autres vérifient.

Soulignez les nombres à un chiffre sur une seule ligne.

Quels chiffres avez-vous souligné ?

Résoudre un problème de mots.

Tâche : « Les gars de la leçon de travail préparaient des décorations pour le sapin de Noël. Le premier jour, ils ont fabriqué 12 jouets et le deuxième jour, ils en ont fabriqué 2 de moins. Combien de jouets les gars ont-ils fabriqués le deuxième jour ?

Travailler sur le contenu de la tâche.

Que dit le problème ?

Qui a fabriqué les jouets ?

Combien de jours avez-vous fabriqué les jouets ?

Écrire une courte note.

Combien de jouets avez-vous fabriqué le premier jour ?

Que dit-il du deuxième jour ? (Dit 2 jouets en moins)

Que demande le problème ? (Le problème demande combien de jouets les gars ont-ils fabriqués le deuxième jour ?)

1 à 12 jeux.

2 – ? jeux., pour 2 jeux. moins.

Trouver une solution au problème.

Alors, combien de jouets ont été fabriqués le premier jour ? (12)

Que dit-on du deuxième jour ?

Que signifie « 2 jouets en moins » ? (2 jouets en moins - c'est la même chose que le premier jour, mais sans deux).

Comment pouvons-nous savoir combien de jouets il y a le deuxième jour ? (par soustraction)

Comment écrivons-nous la solution au problème ?

Avez-vous répondu à la question de la tâche ?

Enregistrer la solution à un problème.

12 jeux. – 2 jeux. = 10 jeux.

Enregistrer une réponse.

Réponse : 10 jouets.

séquence et techniques pour apprendre l’addition et la soustraction en 20.

I. Méthodes d'addition et de soustraction basées sur la connaissance de la composition décimale des nombres (10+3, 13-3, 13-10) et de la numérotation des nombres jusqu'à 20 (16+1, 17-1).

Lors de la résolution de ces exemples, la relation entre addition et soustraction, la propriété commutative de l'addition, les noms des composants et les résultats des actions sont établis. Parallèlement, les élèves arrêtent progressivement d'utiliser des aides visuelles, mais ils sont tenus d'expliquer les gestes.

II. Addition et soustraction sans passer par dix.

L'exécution des actions est basée sur la décomposition des composants en dizaines et en unités : un nombre à deux chiffres est ajouté à un nombre à un chiffre. Depuis numéro à deux chiffres un chiffre soustrait. Nous devons d’abord considérer les cas où le nombre d’unités est de 1 limace. le nombre est plus grand que dans le deuxième terme (13+2, 1+3), et alors seulement incluent les cas de la forme 11+6, 13+5, bien que leurs solutions soient les mêmes, --5

Explication suivie d'utilisation aides visuelles Et dossier détaillé solutions, par exemple : 13+2. Le premier terme (13) est constitué de 1 dix et 3 unités : 1 dix bâtons et 1e 3 bâtons. Le deuxième terme est 2. Ajoutez 2 bâtons. 3 bâtons et 2 bâtons - 5 bâtons et 1 douzaine de bâtons. Obtenez 1 dix (bâtons) et 5 unités (bâtons) - c'est le nombre 15. Shechit, 13+2=15. Vos cas sont expliqués de la même manière.

Il est important de souligner constamment que des unités sont ajoutées et soustraites lors de la résolution de tels exemples. Lors de la rédaction d'un exemple, l'élève peut mettre l'accent sur les unités : 14+2 = 16, 16-2 = 14. Parfois, il est conseillé d'écrire les unités et les dizaines dans des couleurs différentes. Vous pouvez les encercler au tableau.

Lors de la résolution d'exemples d'addition, la capacité des élèves à utiliser la loi commutative de l'addition est renforcée : la solution de l'exemple 2 + 14 est réalisée à partir de la solution de l'exemple 14 + 2. Il est utile de comparer des exemples d'addition et de soustraction dans une plage de 20 avec des exemples pour les mêmes opérations dans une plage de 10 :

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

b) obtenir la somme de 20 et soustraire un nombre à un chiffre de 20 :

La résolution d'exemples de ce type, notamment la soustraction, pose des difficultés importantes à de nombreux écoliers mentalement retardés. Les élèves sont confus par le fait que lorsqu’on ajoute les uns à la place des uns, le résultat est zéro. Diviser 20 en deux dizaines et soustraire d'une dizaine quantité spécifiée unités, les enfants oublient d'ajouter ce résultat à dix et obtiennent la mauvaise réponse : 20-3 = 7.

L'utilisation d'aides visuelles, la mise à jour des connaissances existantes et s'appuyer sur celles-ci permettent de surmonter ces difficultés. Il est nécessaire de répéter le tableau d'addition et de soustraction jusqu'à 10. ajout d'un nombre à un chiffre à dix, soustraction de 10.

L'explication de l'addition ne représente rien de nouveau par rapport à l'explication de la résolution d'exemples de la forme 13 + 2, sauf pour la formation de 1 dizaine : 5 + 5 = 10 (ou 1 dizaine) ; 1 déc. + 1 déc.=2 déc.=20. ^ "Prenons un exemple de soustraction : 20-3. Le nombre 20 a zéro unité, mais vous devez soustraire 3 unités. Nous prenons 1 dizaine, la divisons en 10 unités et soustrayons 3 unités, nous obtenons 7 unités. Au total, Il reste 1 dizaine et 7 unités, soit 17. Raisonnement mené

Le mouvement s'écrit ainsi : 20-3=17.

En cas de difficultés de compréhension et d'acceptation des calculs, une explication peut être réalisée à l'aide de bâtons attachés en fagots. Par exemple, 20 équivaut à 2 dizaines (prenez 2 paquets de bâtons) et zéro un. Nous prenons 1 dizaine et la divisons en 10 unités (déliez le paquet de bâtons). 10 unités moins 3 unités équivalent à 7 unités. Il ne reste plus que 1 dix et 7 unités, soit 17.

Des exemples de termes de réorganisation sont résolus, compilés selon le modèle, par analogie :

Les opérations d'addition et de soustraction sont comparées : 15+5=20 ; 20-5=15 ;

c) soustraire un nombre à deux chiffres d'un nombre à deux chiffres : 15-12 ; 20-15. x La solution aux exemples de ce type peut être expliquée de différentes manières :

1. décomposer le menu et le soustraire en dizaines et en uns et soustraire les dizaines des dizaines, les uns des uns ;

2. Décomposez le sous-trahend en dizaines et en unités. Soustrayez les dizaines du menu et les unités du nombre obtenu.

Il est difficile pour les étudiants de se familiariser avec deux techniques à la fois, et même difficile de se familiariser de manière cohérente avec une technique puis avec une autre. Mentalement écoliers retardés Ils ne peuvent pas choisir indépendamment quand il est plus approprié d’utiliser telle ou telle technique. Par conséquent, la familiarité avec deux techniques ne fait que les confondre. Il est préférable de bien travailler sur une méthode de calcul et d'apprendre aux élèves à l'utiliser de manière indépendante.

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12) Méthodologie d'étude des opérations arithmétiques. Addition et soustraction de nombres de la deuxième dizaine (thème problèmes, cas considérés, addition et soustraction avec passage par chiffre ; méthodes de familiarisation avec propriété combinatoire addition, règle de soustraire un nombre d'une somme et une somme d'un nombre).

Addition et soustraction dans les 20.

La maîtrise des techniques informatiques d'addition et de soustraction jusqu'à 20 repose sur une bonne connaissance de l'addition et de la soustraction jusqu'à 10, une connaissance de la numérotation et de la composition des nombres jusqu'à 20.

Lors de l'étude des opérations d'addition et de soustraction dans la limite de 20, ainsi que lors de l'étude des actions correspondantes dans la limite de 10, la clarté et activités pratiques avec des avantages pour les étudiants eux-mêmes. Par conséquent, tous les types d'aides visuelles utilisées dans l'étude de la numérotation trouveront également une application dans l'étude des opérations arithmétiques.

Il est plus approprié d'étudier les opérations d'addition et de soustraction en parallèle après s'être familiarisé avec certain cas l'addition étudie le cas correspondant de soustraction par rapport à l'addition.

En deuxième année, les élèves doivent connaître les noms des composantes de l’addition et de la soustraction.

1. Techniques d'addition et de soustraction basées sur la connaissance de la composition décimale des nombres.

2. Addition et soustraction sans passer par dix :

a) un numéro à un chiffre est ajouté à un numéro à deux chiffres. Un nombre à un chiffre est soustrait d'un nombre à deux chiffres ;

b) obtenir la somme de 20 et soustraire un nombre à un chiffre de 20 ;

c) soustraire un nombre à deux chiffres d'un nombre à deux chiffres : 15-12, 20-15.

La résolution d’exemples de ce type peut être expliquée de différentes manières :

1. Décomposez le menu et la soustraction en dizaines et en unités et soustrayez les dizaines des dizaines, les uns des uns.

2. Décomposez les sous-titres en dizaines et en unités. Soustrayez les dizaines du menu et les unités du nombre obtenu.

3. L'addition et la soustraction avec transition entre séries présentent les plus grandes difficultés pour les élèves souffrant de troubles psychophysiques. la soustraction par passage par dix nécessite également un certain nombre d'opérations ;

Divisez le menu en dizaines et en unités

Décomposez le sous-trahend en deux nombres, dont l'un est égal au numéro du minuend.

Soustraire des unités

Soustrayez le nombre d'unités restant de dix

Travaux préparatoires devrait consister en une répétition :

a) tableau d'addition et de soustraction dans les 10,

b) la composition des nombres des dix premiers (toutes les options possibles

de deux nombres)

c) addition de nombres jusqu'à 10

d) décomposition d'un nombre à deux chiffres en dizaines et unités

e) soustraction de dix nombres à un chiffre

f) examen des cas de type 17-8, 15-5.

Les élèves travaillent avec les nombres 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

élève : « 9+8=. Il faut ajouter 9 à 10, 8 fait 1 et 7. 9 et 1 fait 10. Il ne reste plus qu'à ajouter 7, 10+7=17, ce qui signifie 9+8=17. Je vais le faire d'une autre manière : 8+9=. 9 est 2 et 7, 8+2=10, 10 +7=17, ce qui signifie 8+9=17. Réorganiser les termes ne change pas la somme. Le calcul est donc fait, c'est vrai. Écrivons l'expression dans votre cahier 9+8=17.

placement de nombres à un chiffre avec transition vers dix

Faisons l'addition par parties :

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Réponse : 7 + 9 = 16.