માત્ર કંઈક જટિલ: જટિલ સંખ્યાઓ. માધ્યમિક શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં

જટિલ નંબરોનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવના

જનરલ એજ્યુકેશન સ્કૂલમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં

વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક:

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

પર્વોમાઈસ્કાયા માધ્યમિક શાળા

સાથે. કિચમેંગસ્કી ટાઉન

સેન્ટ. ઝરેચનાયા 38

પ્રસ્તુત કાર્ય જટિલ સંખ્યાઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. સુસંગતતા: ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેક્નોલોજીમાં ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો થાય છે નકારાત્મક ભેદભાવ. વાસ્તવિક સંખ્યાના ડોમેનમાં આ સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ નથી. પરંતુ આવી ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલનો ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌતિક અર્થ છે.

વ્યવહારુ મહત્વ:જટિલ સંખ્યાઓઅને જટિલ ચલોના કાર્યોનો ઉપયોગ વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના ઘણા મુદ્દાઓમાં થાય છે, અને તેનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે શાળામાં થઈ શકે છે.

ઑબ્જેક્ટ વિસ્તાર: ગણિત. સંશોધનનો હેતુ: બીજગણિત વિભાવનાઓઅને ક્રિયાઓ. સંશોધનનો વિષય- જટિલ સંખ્યાઓ. સમસ્યા: ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં જટિલ સંખ્યાઓ શીખવવામાં આવતી નથી માધ્યમિક શાળા, જો કે તેનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. માં જટિલ સંખ્યાઓ રજૂ કરવાની સંભાવના યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સોંપણીઓભવિષ્યમાં પૂર્વધારણા:માધ્યમિક શાળામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો. લક્ષ્ય:માધ્યમિક શાળાના 10મા ધોરણમાં ગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનાનો અભ્યાસ કરવા. કાર્યો: 1. જટિલ સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો 2. 10મા ધોરણના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લો. 3. જટિલ સંખ્યાઓ સાથે કાર્યોનો વિકાસ અને પરીક્ષણ કરો.

ઉકેલવા માટે બીજગણિતીય સમીકરણોત્યાં પૂરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ નથી. તેથી, આ સમીકરણોને ઉકેલી શકાય તેવું બનાવવાનો પ્રયત્ન કરવો સ્વાભાવિક છે, જે બદલામાં નંબર..gif" width="10" height="65 src="> ની વિભાવનાના વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે.

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

તમારે ફક્ત સામાન્ય બીજગણિતના નિયમો અનુસાર આવા અભિવ્યક્તિઓ પર કાર્ય કરવા માટે સંમત થવાની જરૂર છે અને તે ધારે છે

1572 માં, ઇટાલિયન બીજગણિતશાસ્ત્રી આર. બોમ્બેલી દ્વારા એક પુસ્તક પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાં આવા નંબરો પર અંકગણિત કામગીરી માટેના પ્રથમ નિયમો સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા, તેમાંથી ઘનમૂળના નિષ્કર્ષણ સુધી. "કાલ્પનિક સંખ્યાઓ" નામ 1637 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઅને ફિલસૂફ આર. ડેકાર્ટેસ, અને 1777 માં ગણિતના અભ્યાસમાં જટિલ સંખ્યાઓના ઉપયોગના ઉદાહરણ તરીકે X..gif" width="58" height="19"> 8મી સદીના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક 10મી ગ્રેડ તેથી, જેનું વર્ગ -1 છે તેને કાલ્પનિક એકમ કહેવામાં આવે છે અને આ રીતે, ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ="100" height="27 src=" >8th grad" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">બીજગણિતમાં 8મો ગ્રેડ.- એમ.: એજ્યુકેશન, 1994.-P.134- 139.

2. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશયુવાન ગણિતશાસ્ત્રી / કોમ્પ. ઇ-68. - એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 19с

અમે જોડાણો પર આધારિત હોઈશું, યાંત્રિક સૂત્રો પર નહીં.
ચાલો જટિલ સંખ્યાઓને આપણી સંખ્યા પદ્ધતિના પૂરક તરીકે ગણીએ, શૂન્ય, અપૂર્ણાંક અથવા નકારાત્મક સંખ્યાઓ સમાન.
સારને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે અમે વિચારોને ગ્રાફિક્સમાં વિઝ્યુઅલાઈઝ કરીએ છીએ, અને તેમને માત્ર સૂકા ટેક્સ્ટમાં જ રજૂ કરતા નથી.

અને આપણું ગુપ્ત શસ્ત્ર: સાદ્રશ્ય દ્વારા શીખવું. આપણે જટિલ સંખ્યાઓ તેમના પૂર્વજો, નકારાત્મક સંખ્યાઓથી શરૂ કરીને મેળવીશું. અહીં તમારા માટે થોડી માર્ગદર્શિકા છે:

હમણાં માટે, આ કોષ્ટક થોડો અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ તેને ત્યાં રહેવા દો. લેખના અંત સુધીમાં બધું જ જગ્યાએ આવી જશે.

ચાલો ખરેખર સમજીએ કે નકારાત્મક સંખ્યાઓ શું છે

નકારાત્મક સંખ્યાઓ એટલી સરળ નથી. કલ્પના કરો કે તમે 18મી સદીમાં યુરોપિયન ગણિતશાસ્ત્રી છો. તમારી પાસે 3 અને 4 છે, અને તમે 4 – 3 = 1 લખી શકો છો. તે સરળ છે.

પરંતુ 3-4 શું છે? આનો ચોક્કસ અર્થ શું છે? તમે 3 થી 4 ગાય કેવી રીતે દૂર લઈ શકો? તમારી પાસે કંઈ કરતાં ઓછું કેવી રીતે હોઈ શકે?

નકારાત્મક સંખ્યાઓને સંપૂર્ણ નોનસેન્સ તરીકે જોવામાં આવી હતી, જે "સમીકરણોના સમગ્ર સિદ્ધાંત પર પડછાયો નાખે છે" (ફ્રાન્સિસ મેસેરેસ, 1759). આજે તે હશે સંપૂર્ણ બકવાસનકારાત્મક સંખ્યાઓને કંઈક અતાર્કિક અને બિનઉપયોગી તરીકે વિચારો. તમારા શિક્ષકને પૂછો કે શું નકારાત્મક સંખ્યાઓ મૂળભૂત ગણિતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

શું થયું? અમે એક સૈદ્ધાંતિક સંખ્યાની શોધ કરી જે ઉપયોગી ગુણધર્મો ધરાવે છે. નકારાત્મક સંખ્યાઓને સ્પર્શી શકાતી નથી અથવા અનુભવી શકાતી નથી, પરંતુ તે ચોક્કસ સંબંધોનું વર્ણન કરવામાં સારી હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે દેવું). આ એક ખૂબ જ ઉપયોગી વિચાર છે.

"હું તમને 30નો ઋણી છું," કહેવાને બદલે અને હું કાળો છું કે કાળો છું તે જોવા માટે શબ્દો વાંચવાને બદલે, હું ફક્ત "-30" લખી શકું છું અને તેનો અર્થ શું છે તે જાણી શકું છું. જો હું પૈસા કમાઉં અને મારા દેવાની ચૂકવણી કરું (-30 + 100 = 70), તો હું આ વ્યવહારને થોડા અક્ષરોમાં સરળતાથી લખી શકું છું. મારી પાસે +70 બાકી રહેશે.

વત્તા અને બાદબાકીના ચિહ્નો આપમેળે દિશાને પકડી લે છે - તમારે દરેક વ્યવહાર પછી ફેરફારોનું વર્ણન કરવા માટે આખા વાક્યની જરૂર નથી. ગણિત સરળ, વધુ ભવ્ય બન્યું છે. નકારાત્મક સંખ્યાઓ "મૂર્ત" છે કે કેમ તે હવે મહત્વનું નથી - તેમની પાસે છે ફાયદાકારક ગુણધર્મો, અને જ્યાં સુધી તેઓ આપણા રોજિંદા જીવનમાં નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત ન થાય ત્યાં સુધી અમે તેનો ઉપયોગ કર્યો. જો તમે જાણો છો તે કોઈ વ્યક્તિ હજી સુધી નકારાત્મક સંખ્યાઓનો સાર સમજી શક્યો નથી, તો હવે તમે તેમને મદદ કરશો.

પરંતુ ચાલો માનવ દુઃખને ઓછું ન કરીએ: નકારાત્મક સંખ્યાઓ ચેતનામાં એક વાસ્તવિક પરિવર્તન હતી. Euler પણ, પ્રતિભાશાળી વ્યક્તિ કે જેમણે e અને બીજું ઘણું બધું શોધી કાઢ્યું હતું, તે પણ નકારાત્મક સંખ્યાઓને આજની જેમ સમજી શક્યા નથી. તેઓ ગણતરીના "અર્થહીન" પરિણામો તરીકે જોવામાં આવ્યા હતા.

બાળકો શાંતિથી એવા વિચારોને સમજે તેવી અપેક્ષા રાખવી વિચિત્ર છે જે એક સમયે શ્રેષ્ઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓને પણ મૂંઝવણમાં મૂકે છે.

કાલ્પનિક નંબરો દાખલ કરી રહ્યા છીએ

તે કાલ્પનિક સંખ્યાઓ સાથે સમાન વાર્તા છે. આપણે આખો દિવસ આના જેવા સમીકરણો ઉકેલી શકીએ છીએ:

જવાબો 3 અને -3 હશે. પરંતુ ચાલો કલ્પના કરીએ કે કેટલાક સ્માર્ટ વ્યક્તિએ અહીં માઇનસ ઉમેર્યું છે:

સારું, સારું. આ તે પ્રકારનો પ્રશ્ન છે જે લોકો જ્યારે તેને પ્રથમ વખત જુએ છે ત્યારે આક્રંદ કરે છે. શું તમે શૂન્ય કરતા ઓછી સંખ્યાના વર્ગમૂળની ગણતરી કરવા માંગો છો? આ અકલ્પ્ય છે! (ઐતિહાસિક રીતે ત્યાં ખરેખર હતા સમાન પ્રશ્નો, પરંતુ મારા માટે કેટલાક ચહેરા વિનાના જ્ઞાની વ્યક્તિની કલ્પના કરવી વધુ અનુકૂળ છે, જેથી ભૂતકાળના વૈજ્ઞાનિકોને શરમ ન આવે).

તે ઉન્મત્ત લાગે છે, જેમ કે નકારાત્મક સંખ્યાઓ, શૂન્ય અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ(બિન-પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓ). આ પ્રશ્નનો કોઈ "વાસ્તવિક" અર્થ નથી, ખરું ને?

ના, તે સાચું નથી. કહેવાતી "કાલ્પનિક સંખ્યાઓ" અન્ય કોઈપણ (અથવા માત્ર અસામાન્ય) જેટલી સામાન્ય છે: તે વિશ્વનું વર્ણન કરવા માટેનું એક સાધન છે. એ જ ભાવના કે જે આપણે કલ્પના કરીએ છીએ કે -1, 0.3 અને 0 "અસ્તિત્વમાં છે", ચાલો ધારીએ કે અમુક સંખ્યા i છે, જ્યાં:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, -1 મેળવવા માટે તમે i ને જાતે જ ગુણાકાર કરો. હવે શું થઈ રહ્યું છે?

ઠીક છે, શરૂઆતમાં અમને ચોક્કસપણે માથાનો દુખાવો થાય છે. પરંતુ "ચાલો ડોળ કરીએ કે હું અસ્તિત્વમાં છું" રમત રમીને આપણે ખરેખર ગણિતને સરળ અને વધુ ભવ્ય બનાવીએ છીએ. નવા જોડાણો દેખાય છે જેને આપણે સરળતાથી વર્ણવી શકીએ છીએ.

તમે i માં માનશો નહીં, જેમ કે તે જૂના ખરાબ ગણિતશાસ્ત્રીઓ -1 ના અસ્તિત્વમાં માનતા ન હતા. મગજને ટ્યુબમાં ટ્વિસ્ટ કરતી તમામ નવી વિભાવનાઓ સમજવી મુશ્કેલ છે, અને તેજસ્વી યુલર માટે પણ તેનો અર્થ તરત જ બહાર આવતો નથી. પરંતુ નકારાત્મક સંખ્યાઓએ અમને બતાવ્યું છે તેમ, વિચિત્ર નવા વિચારો અત્યંત ઉપયોગી થઈ શકે છે.

મને "કાલ્પનિક સંખ્યાઓ" શબ્દ ગમતો નથી - એવું લાગે છે કે તે i ની લાગણીઓને ઠેસ પહોંચાડવા માટે ખાસ પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો. નંબર i અન્યની જેમ સામાન્ય છે, પરંતુ ઉપનામ "કાલ્પનિક" તેના પર ચોંટી ગયું છે, તેથી અમે તેનો ઉપયોગ પણ કરીશું.

નકારાત્મક અને જટિલ સંખ્યાઓની વિઝ્યુઅલ સમજ

સમીકરણ x^2 = 9 વાસ્તવમાં આનો અર્થ છે:

x નું કયું રૂપાંતર, બે વાર લાગુ, 1 ને 9 માં ફેરવે છે?

ત્યાં બે જવાબો છે: "x = 3" અને "x = -3". એટલે કે, તમે 3 વખત "સ્કેલ બાય" કરી શકો છો અથવા "3 વડે સ્કેલ અને ફ્લિપ" કરી શકો છો (પરિણામને ઉલટાવી અથવા લેવું એ નકારાત્મક એક વડે ગુણાકારની બધી અર્થઘટન છે).

હવે ચાલો સમીકરણ x^2 = -1 વિશે વિચારીએ, જે આ રીતે લખી શકાય છે:

x નું કયું રૂપાંતર, બે વાર લાગુ, 1 ને -1 માં ફેરવે છે? હમ.

આપણે બે વાર ગુણાકાર કરી શકતા નથી હકારાત્મક સંખ્યાકારણ કે પરિણામ હકારાત્મક આવશે.
આપણે નકારાત્મક સંખ્યાને બે વાર ગુણાકાર કરી શકતા નથી કારણ કે પરિણામ ફરીથી હકારાત્મક આવશે.

શું વિશે... પરિભ્રમણ! અલબત્ત, તે અસામાન્ય લાગે છે, પરંતુ જો આપણે x ને "90 ડિગ્રી પરિભ્રમણ" તરીકે વિચારીએ, તો x બે વાર લાગુ કરીને આપણે 180 ડિગ્રી પરિભ્રમણ બનાવીશું સંકલન અક્ષ, અને 1 -1 માં ફેરવાશે!

વાહ! અને જો આપણે તેના વિશે થોડો વધુ વિચારીએ, તો આપણે બે ક્રાંતિ કરી શકીએ છીએ વિરુદ્ધ દિશામાં, અને 1 થી -1 સુધી પણ જાઓ. આ એક "નકારાત્મક" પરિભ્રમણ અથવા -i વડે ગુણાકાર છે:

જો આપણે -i વડે બે વાર ગુણાકાર કરીએ, તો પ્રથમ ગુણાકાર પર આપણને 1 માંથી -i અને બીજા પર -i માંથી -1 મળશે. તેથી ત્યાં ખરેખર બે છે ચોરસ મૂળ-1: i અને -i.

આ ખૂબ સરસ છે! અમારી પાસે ઉકેલ જેવું કંઈક છે, પરંતુ તેનો અર્થ શું છે?

i એ સંખ્યા માપવા માટેનું "નવું કાલ્પનિક પરિમાણ" છે
i (અથવા -i) એ છે કે જ્યારે ફેરવવામાં આવે ત્યારે સંખ્યાઓ "બની" જાય છે
i વડે ગુણાકાર કરવાથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં 90 ડિગ્રી ફેરવાય છે
-i વડે ગુણાકાર એ 90 ડિગ્રી ઘડિયાળની દિશામાં પરિભ્રમણ છે.
કોઈપણ દિશામાં બે વાર ફેરવવાથી -1 મળે છે: તે આપણને સકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના "સામાન્ય" પરિમાણ (x-અક્ષ) પર પાછા લઈ જાય છે.

બધી સંખ્યાઓ 2-પરિમાણીય છે. હા, તે સ્વીકારવું મુશ્કેલ છે, પરંતુ પ્રાચીન રોમનોને સ્વીકારવું એટલું જ મુશ્કેલ હતું. દશાંશઅથવા લાંબા વિભાજન. (એ કેવી રીતે છે કે 1 અને 2 વચ્ચે વધુ સંખ્યાઓ છે?). કોઈની જેમ વિચિત્ર લાગે છે નવી રીતગણિતમાં વિચારો.

અમે પૂછ્યું "બે ક્રિયાઓમાં 1 ને -1 માં કેવી રીતે ફેરવવું?" અને જવાબ મળ્યો: 1 90 ડિગ્રી બે વાર ફેરવો. ગણિતમાં વિચારવાની તદ્દન વિચિત્ર, નવી રીત. પરંતુ ખૂબ જ ઉપયોગી. (માર્ગ દ્વારા, આ ભૌમિતિક અર્થઘટનજટિલ સંખ્યાઓ સંખ્યા iની શોધના દાયકાઓ પછી જ દેખાઈ હતી).

ઉપરાંત, ભૂલશો નહીં કે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ક્રાંતિ લેવી એ છે હકારાત્મક પરિણામ- આ એક સંપૂર્ણ માનવ સંમેલન છે, અને બધું સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે.

સેટ માટે શોધો

ચાલો વિગતોમાં થોડા ઊંડા જઈએ. જ્યારે તમે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો છો (જેમ કે -1), ત્યારે તમને એક સમૂહ મળે છે:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

કારણ કે -1 નંબરનું કદ બદલતું નથી, ફક્ત ચિહ્ન, તમને "+" ચિહ્ન સાથે અથવા "-" ચિહ્ન સાથે સમાન નંબર મળશે. નંબર x માટે તમને મળશે:

x, -x, x, -x, x, -x…

આ એક ખૂબ જ ઉપયોગી વિચાર છે. નંબર "x" સારા અને ખરાબ અઠવાડિયાનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. ચાલો તેની કલ્પના કરીએ સારું સપ્તાહખરાબને બદલે છે; તે એક સારું સપ્તાહ છે; 47મું અઠવાડિયું કેવું રહેશે?

X નો અર્થ છે કે તે અઠવાડિયું ખરાબ રહેશે. જુઓ કે કેવી રીતે નકારાત્મક સંખ્યાઓ "ચિહ્નને અનુસરે છે" - અમે ગણતરીને બદલે કેલ્ક્યુલેટરમાં ફક્ત (-1)^47 દાખલ કરી શકીએ છીએ ("અઠવાડિયું 1 સારું, અઠવાડિયું 2 ખરાબ... સપ્તાહ 3 સારું..."). જે વસ્તુઓ સતત વૈકલ્પિક હોય છે તે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ રીતે મોડેલ કરી શકાય છે.

ઠીક છે, જો આપણે i વડે ગુણાકાર કરવાનું ચાલુ રાખીએ તો શું થશે?

ખૂબ જ રમુજી, ચાલો તે બધાને થોડું સરળ બનાવીએ:

અહીં તે જ વસ્તુ ગ્રાફિકલી પ્રસ્તુત છે:

અમે દર ચોથા વળાંકને પુનરાવર્તિત કરીએ છીએ. તે ચોક્કસપણે અર્થમાં બનાવે છે, અધિકાર? કોઈપણ બાળક તમને કહેશે કે ડાબી તરફ 4 વળાંક એ બિલકુલ ન વળવા સમાન છે. હવે કાલ્પનિક સંખ્યાઓમાંથી વિરામ લો (i, i^2) અને કુલ સમૂહ જુઓ:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

બરાબર કેવી રીતે નકારાત્મક સંખ્યાઓનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે અરીસાની છબીસંખ્યાઓ, કાલ્પનિક સંખ્યાઓ કંઈપણ મોડેલ કરી શકે છે જે બે પરિમાણો "X" અને "Y" વચ્ચે ફરે છે. અથવા ચક્રીય, ગોળાકાર અવલંબન સાથે કંઈપણ - શું તમારા મનમાં કંઈ છે?

જટિલ સંખ્યાઓને સમજવી

ધ્યાનમાં લેવા માટે એક વધુ વિગત છે: શું સંખ્યા "વાસ્તવિક" અને "કાલ્પનિક" બંને હોઈ શકે છે?

તેમાં શંકા પણ ન કરો. કોણે કહ્યું કે આપણે બરાબર 90 ડિગ્રી ફેરવવાનું છે? જો આપણે એક પગ "વાસ્તવિક" પરિમાણ પર અને બીજો "કાલ્પનિક" પરિમાણ પર રાખીએ, તો તે કંઈક આના જેવું દેખાશે:

અમે 45 ડિગ્રી માર્ક પર છીએ, જ્યાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સમાન છે, અને સંખ્યા પોતે "1 + i" છે. તે હોટ ડોગ જેવું છે, જ્યાં કેચઅપ અને મસ્ટર્ડ બંને છે - કોણે કહ્યું કે તમારે એક અથવા બીજી પસંદ કરવી પડશે?

મૂળભૂત રીતે, આપણે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના કોઈપણ સંયોજનને પસંદ કરી શકીએ છીએ અને તે બધામાંથી ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ. કોણ "પરિભ્રમણ કોણ" બની જાય છે. જટિલ સંખ્યા એ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંખ્યાઓનું ફેન્સી નામ છે. તેઓ "a + bi" તરીકે લખાયેલા છે, જ્યાં:

a - વાસ્તવિક ભાગ
b - કાલ્પનિક ભાગ

ખરાબ નથી. પરંતુ એક અંતિમ પ્રશ્ન રહે છે: જટિલ સંખ્યા કેટલી "મોટી" છે? અમે વાસ્તવિક ભાગ અથવા કાલ્પનિક ભાગને અલગથી માપી શકતા નથી કારણ કે અમે મોટા ચિત્રને ચૂકી જઈશું.

ચાલો એક પગલું પાછળ લઈએ. નકારાત્મક સંખ્યાનું કદ શૂન્યથી અંતર છે:

આ શોધવાની બીજી રીત છે સંપૂર્ણ મૂલ્ય. પરંતુ જટિલ સંખ્યાઓ માટે બંને ઘટકોને 90 ડિગ્રી પર કેવી રીતે માપવા?

શું તે આકાશમાંનું પક્ષી છે... કે વિમાન... પાયથાગોરસ બચાવ માટે આવી રહ્યું છે!

આ પ્રમેય જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં પોપ અપ થાય છે, પ્રમેયના 2000 વર્ષ પછી શોધાયેલ સંખ્યામાં પણ. હા, આપણે ત્રિકોણ બનાવી રહ્યા છીએ, અને તેનું કર્ણો શૂન્યથી અંતર જેટલું હશે:

જો કે જટિલ સંખ્યાને માપવી એ "માત્ર - ચિહ્નને છોડી દેવા" જેટલું સરળ નથી, જટિલ સંખ્યાઓ ખૂબ ઉપયોગી કાર્યક્રમો. ચાલો તેમાંથી કેટલાકને જોઈએ.

વાસ્તવિક ઉદાહરણ: પરિભ્રમણ

અમે જટિલ સંખ્યાઓની પ્રેક્ટિસ કરવા માટે કૉલેજ ભૌતિકશાસ્ત્ર સુધી રાહ જોઈશું નહીં. અમે આજે આ કરીશું. જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારના વિષય પર ઘણું કહી શકાય છે, પરંતુ હમણાં માટે તમારે મુખ્ય વસ્તુ સમજવાની જરૂર છે:

જટિલ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર તેના કોણ દ્વારા ફરે છે

ચાલો જોઈએ કે તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે. કલ્પના કરો કે હું બોટ પર છું, ઉત્તર તરફ દર 4 એકમો પૂર્વમાં 3 એકમોના માર્ગ પર આગળ વધી રહ્યો છું. હું મારો અભ્યાસક્રમ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં 45 ડિગ્રી બદલવા માંગુ છું. મારો નવો કોર્સ શું હશે?

કોઈ કહેશે કે “તે સરળ છે! સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ વેલ્યુ ગુગલ કરો... અને પછી..." મને લાગે છે કે મેં મારું કેલ્ક્યુલેટર તોડી નાખ્યું છે...

ચાલો એક સરળ રસ્તો લઈએ: આપણે 3 + 4i ના કોર્સ પર છીએ (એન્ગલ શું છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, અમને હવે પરવા નથી) અને અમે 45 ડિગ્રી ફેરવવા માંગીએ છીએ. સારું, 45 ડિગ્રી 1 + i (આદર્શ કર્ણ) છે. તેથી અમે આ સંખ્યા દ્વારા અમારા દરને ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ!

અહીં ભાવાર્થ છે:

પ્રારંભિક મથાળું: 3 એકમો પૂર્વ, 4 એકમો ઉત્તર = 3 + 4i
ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં 45 ડિગ્રી ફેરવો = 1 + i વડે ગુણાકાર કરો

જ્યારે ગુણાકાર કરીએ ત્યારે આપણને મળે છે:

અમારી નવી માર્ગદર્શિકા પશ્ચિમમાં 1 એકમ (પૂર્વમાં -1) અને ઉત્તરમાં 7 એકમ છે, તમે ગ્રાફ પર કોઓર્ડિનેટ્સ દોરી શકો છો અને તેમને અનુસરી શકો છો.

પણ! અમને 10 સેકન્ડમાં જવાબ મળ્યો, કોઈપણ સાઈન અને કોસાઈન્સ વગર. ત્યાં કોઈ વેક્ટર નહોતા, કોઈ મેટ્રિસિસ નહોતા, અમે કયા ચતુર્થાંશમાં હતા તેની કોઈ ટ્રેકિંગ નહોતી. તે સમીકરણ બનાવવા માટે સરળ અંકગણિત અને થોડું બીજગણિત હતું. પરિભ્રમણ માટે કાલ્પનિક સંખ્યાઓ મહાન છે!

તદુપરાંત, આવી ગણતરીનું પરિણામ ખૂબ જ ઉપયોગી છે. અમારી પાસે કોણ (atan(7/-1) = 98.13 ને બદલે કોર્સ (-1, 7) છે, અને તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આપણે બીજા ચતુર્થાંશમાં છીએ. તમે કેવી રીતે, બરાબર, દર્શાવેલ કોણ દોરવાનું અને અનુસરવાનું આયોજન કર્યું? હાથ પર પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરો છો?

ના, તમે કોણને કોસાઈન અને સાઈન (-0.14 અને 0.99) માં રૂપાંતરિત કરશો, તેમની વચ્ચેનો અંદાજિત ગુણોત્તર (લગભગ 1 થી 7) શોધી શકશો અને ત્રિકોણનું સ્કેચ કરશો. અને અહીં જટિલ સંખ્યાઓ નિઃશંકપણે જીતે છે - સચોટ રીતે, વીજળી ઝડપી અને કેલ્ક્યુલેટર વિના!

જો તમે મારા જેવા છો, તો તમને આ શોધ આશ્ચર્યજનક લાગશે. જો નહીં, તો મને ડર છે કે ગણિત તમને બિલકુલ ઉત્તેજિત કરતું નથી. માફ કરશો!

ત્રિકોણમિતિ સારી છે, પરંતુ જટિલ સંખ્યાઓ ગણતરીઓને વધુ સરળ બનાવે છે (જેમ કે cos(a + b) શોધવી). આ માત્ર એક નાની જાહેરાત છે; નીચેના લેખોમાં હું તમને સંપૂર્ણ મેનૂ પ્રદાન કરીશ.

લિરિકલ ડિગ્રેશન: કેટલાક લોકો આના જેવું કંઈક વિચારે છે: "અરે, વહાણને અનુસરવા માટે સરળ ખૂણાને બદલે ઉત્તર / પૂર્વ મથાળું રાખવું અનુકૂળ નથી!"

શું તે સાચું છે? ઠીક છે, તમારું જુઓ જમણો હાથ. તમારી નાની આંગળીના પાયા અને ટોચ વચ્ચેનો ખૂણો શું છે તર્જની? તમારી ગણતરી પદ્ધતિ સાથે સારા નસીબ.

અથવા તમે ફક્ત જવાબ આપી શકો છો, "સારું, ટિપ X ઇંચ જમણી તરફ અને Y ઇંચ ઉપર છે," અને તમે તેના વિશે કંઈક કરી શકો છો.

જટિલ સંખ્યાઓ નજીક આવી રહી છે?

અમે ટોર્નેડો જેવી જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં મારી મૂળભૂત શોધોમાંથી પસાર થયા. પ્રથમ ચિત્ર જુઓ, તે હવે વધુ સ્પષ્ટ થવું જોઈએ.

આ સુંદર, અદ્ભુત સંખ્યામાં શોધવા માટે ઘણું બધું છે, પરંતુ મારું મગજ પહેલેથી જ થાકેલું છે. મારો ધ્યેય સરળ હતો:

તમને ખાતરી કરાવો કે જટિલ સંખ્યાઓ માત્ર "ક્રેઝી" તરીકે જોવામાં આવતી હતી, પરંતુ હકીકતમાં તે ખૂબ જ ઉપયોગી હોઈ શકે છે (નકારાત્મક સંખ્યાઓની જેમ)
જટિલ સંખ્યાઓ પરિભ્રમણ જેવી કેટલીક સમસ્યાઓને કેવી રીતે સરળ બનાવી શકે છે તે બતાવો.

જો હું આ વિષય વિશે વધુ પડતી ચિંતિત હોઉં, તો તેનું એક કારણ છે. કાલ્પનિક સંખ્યાઓ વર્ષોથી મારી છે વળગાડ- સમજણના અભાવે મને ચિડવ્યો.

પરંતુ મીણબત્તી પ્રગટાવવી એ વીજવા કરતાં વધુ સારી છે અંધકાર: આ મારા વિચારો છે, અને મને ખાતરી છે કે મારા વાચકોના મનમાં અગ્નિ પ્રગટશે.

ઉપસંહાર: પરંતુ તેઓ હજુ પણ ખૂબ વિચિત્ર છે!

હું જાણું છું કે તેઓ હજુ પણ મને વિચિત્ર લાગે છે. હું શૂન્ય વિચારની શોધ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિની જેમ વિચારવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છું.

શૂન્ય એ એક વિચિત્ર વિચાર છે, "કંઈક" "કંઈ નથી" રજૂ કરે છે, અને આ કોઈપણ રીતે સમજી શકાતું નથી પ્રાચીન રોમ. તે જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સમાન છે - તે વિચારવાની એક નવી રીત છે. પરંતુ શૂન્ય અને જટિલ બંને સંખ્યાઓ ગણિતને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. જો આપણે નવી નંબર સિસ્ટમ્સ જેવી વિચિત્ર વસ્તુઓ ક્યારેય રજૂ કરી ન હોત, તો પણ આપણે બધું આંગળીઓ પર ગણતા હોઈએ.

હું આ સામ્યતાનું પુનરાવર્તન કરું છું કારણ કે જટિલ સંખ્યાઓ "સામાન્ય નથી" એમ વિચારવાનું શરૂ કરવું એટલું સરળ છે. ચાલો નવીનતા માટે ખુલ્લા રહીએ: ભવિષ્યમાં, લોકો માત્ર એ વાતની મજાક કરશે કે કેવી રીતે 21મી સદી સુધી કોઈ વ્યક્તિ જટિલ સંખ્યાઓમાં માનતો ન હતો.

ઓક્ટોબર 23, 2015

પ્રકાશનનો ટેક્સ્ટ ભાગ

સામગ્રી
પરિચય………………………………………………………………..3 પ્રકરણ I. જટિલ સંખ્યાઓના ઇતિહાસમાંથી……………………………… ……………………… ............4 પ્રકરણ II. જટિલ સંખ્યા પદ્ધતિના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો………………………………………6 પ્રકરણ III. જટિલ સંખ્યાઓમાં ત્રિકોણની ભૂમિતિ………………………12 પ્રકરણ IV. ઉકેલ એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા સમસ્યાઓઅને જટિલ સંખ્યા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ ઓલિમ્પિયાડ્સ……………………………………………………………………….20 નિષ્કર્ષ……………………………… ……………………………………………….24 ગ્રંથસૂચિ………………………………………………………………..25

પરિચય
ગણિત અને તેના ઉપયોગોમાં જટિલ સંખ્યાઓનું મહાન મહત્વ વ્યાપકપણે જાણીતું છે. જટિલ સંખ્યાઓના બીજગણિતનો સફળતાપૂર્વક પ્રાથમિક ભૂમિતિ, ત્રિકોણમિતિ, ગતિ અને સમાનતાના સિદ્ધાંતમાં તેમજ વિદ્યુત ઇજનેરીમાં, વિવિધ યાંત્રિક અને શારીરિક સમસ્યાઓ. પ્લાનિમેટ્રીમાં, જટિલ સંખ્યાઓની પદ્ધતિ તમને તૈયાર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સીધી ગણતરી દ્વારા સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. વેક્ટર અને ની તુલનામાં આ પદ્ધતિની સરળતા છે સંકલન પદ્ધતિઓ, ભૌમિતિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ દ્વારા, વિદ્યાર્થીઓ પાસે નોંધપાત્ર બુદ્ધિ અને લાંબી શોધની જરૂર છે. કેટલાક સહસ્ત્રાબ્દીઓથી, ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક છે. તમે એમ પણ કહી શકો છો કે ત્રિકોણ એ ભૂમિતિનો અણુ છે. કોઈપણ બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ તેના ઘટકોના ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે નીચે આવે છે. ચાલો જોઈએ કે ત્રિકોણના ગુણધર્મોને સાબિત કરતી વખતે જટિલ સંખ્યા પદ્ધતિ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે શાળા અભ્યાસક્રમપ્લાનિમેટ્રી, તેમજ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની C-4 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે. 2

પ્રકરણ I. જટિલ સંખ્યાઓના ઇતિહાસમાંથી,
પ્રથમ વખત, દેખીતી રીતે, કાલ્પનિક જથ્થાનો ઉલ્લેખ પ્રખ્યાત કૃતિ "ગ્રેટ આર્ટ અથવા તેના વિશે" માં કરવામાં આવ્યો હતો. બીજગણિત નિયમો» કાર્ડાનો (1545), અંદર ઔપચારિક નિર્ણયબે સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની સમસ્યા જે 10 સુધી ઉમેરે છે અને જ્યારે ગુણાકાર થાય છે ત્યારે 40 આપે છે. આ સમસ્યા માટે, તેણે એક પદ માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવ્યું અને તેના મૂળ શોધ્યા: 5 + √ − 15 અને 5 − √ − 15. ઉકેલની ભાષ્યમાં, તેમણે લખ્યું: "આ સૌથી જટિલ માત્રા નકામી છે, જો કે ખૂબ જ બુદ્ધિશાળી" અને "અંકગણિતની વિચારણાઓ વધુને વધુ પ્રપંચી બની રહી છે, તે મર્યાદા સુધી પહોંચે છે જે તે નકામી છે તેટલી જ સૂક્ષ્મ છે." ક્યુબિક સમીકરણ ઉકેલતી વખતે કાલ્પનિક જથ્થાનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતા, કહેવાતા અફર ન થઈ શકે તેવા કિસ્સામાં (જ્યારે બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ક્યુબ મૂળકાલ્પનિક જથ્થાના), સૌપ્રથમ બોમ્બેલી (1572) દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું હતું. જટિલ સંખ્યાઓના સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમોનું વર્ણન કરનાર તે સૌપ્રથમ હતા, પરંતુ તેમ છતાં તેમને નકામી અને ઘડાયેલું "શોધ" માનતા હતા. a + b √ − 1 સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય તેવા અભિવ્યક્તિઓ, ચતુર્ભુજ ઉકેલતી વખતે દેખાય છે અને ઘન સમીકરણોમાં "કાલ્પનિક" કહેવાનું શરૂ થયું XVI-XVII સદીઓડેસકાર્ટેસની ઉશ્કેરણી પર, જેમણે તેમને કહ્યું કે, તેમની વાસ્તવિકતાને નકારી કાઢીને, અને 17મી સદીના અન્ય ઘણા મોટા વૈજ્ઞાનિકો માટે, કાલ્પનિક જથ્થાના અસ્તિત્વનો સ્વભાવ અને અધિકાર ખૂબ જ શંકાસ્પદ લાગતો હતો, જેમ કે અતાર્કિક સંખ્યાઓ, અને તે પણ નકારાત્મક મૂલ્યો. આ હોવા છતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ હિંમતભેર અરજી કરી ઔપચારિક પદ્ધતિઓવાસ્તવિક જથ્થાઓ અને જટિલ રાશિઓના બીજગણિત, મધ્યવર્તી જટિલમાંથી પણ સાચા વાસ્તવિક પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા, અને આ આત્મવિશ્વાસને પ્રેરણા આપવાનું શરૂ કરી શક્યું નહીં. લાંબા સમય સુધી તે અસ્પષ્ટ હતું કે જટિલ સંખ્યાઓ પરની તમામ ક્રિયાઓ જટિલ અથવા વાસ્તવિક પરિણામો તરફ દોરી જાય છે, અથવા શું, ઉદાહરણ તરીકે, રુટ કાઢવાથી કેટલાક અન્ય નવા પ્રકારની સંખ્યાઓની શોધ થઈ શકે છે. થી ડિગ્રી n ના મૂળને વ્યક્ત કરવાની સમસ્યા આપેલ નંબરમોઇવર (1707) અને કોટ્સ (1722) ના કાર્યોમાં ઉકેલવામાં આવ્યો હતો. હોદ્દો માટે પ્રતીક કાલ્પનિક એકમયુલર (1777, પબ્લિક. 1794) દ્વારા પ્રસ્તાવિત, જેમણે આ માટે Lat શબ્દનો પ્રથમ અક્ષર લીધો. imaginarius - કાલ્પનિક. તેણે બધું ફેલાવ્યુંપ્રમાણભૂત લક્ષણો , લોગરીધમ સહિત, જટિલ ડોમેન માટે. યુલરે 1751માં એવો વિચાર પણ વ્યક્ત કર્યો કે જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર બીજગણિતીય રીતે બંધ છે. ડી'એલેમ્બર્ટ (1747) એ જ નિષ્કર્ષ પર આવ્યા, પરંતુ પ્રથમકડક પુરાવો
વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી તરીકે જટિલ સંખ્યાઓનું અંકગણિત (પ્રમાણભૂત) મોડેલ હેમિલ્ટન (1837) દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું; આ તેમની મિલકતોની સુસંગતતા સાબિત કરે છે. ઘણા પહેલા, 1685 માં, તેમની કૃતિ "બીજગણિત," વોલિસ (ઇંગ્લેન્ડ) એ બતાવ્યું હતું કે જટિલ મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણવાસ્તવિક ગુણાંક સાથે પ્લેન પરના બિંદુઓ દ્વારા, ભૌમિતિક રીતે રજૂ કરી શકાય છે. પરંતુ તે કોઈનું ધ્યાન ગયું. આગલી વખતે જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન અને તેમના પરની કામગીરી વેસલ (1799) ના કાર્યમાં દેખાઈ. 1806 અને 1814માં જે.આર. આર્ગાન્ડની કૃતિના પ્રકાશન પછી આધુનિક ભૌમિતિક રજૂઆત, જેને કેટલીકવાર "આર્ગાન્ડ ડાયાગ્રામ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે સ્વતંત્ર રીતે વેસલના નિષ્કર્ષને પુનરાવર્તિત કરે છે. "મોડ્યુલસ", "દલીલ" અને "કન્જુગેટ નંબર" શબ્દો કોચી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. આમ, એવું જાણવા મળ્યું કે સમતલ પરના વેક્ટરના સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની સંપૂર્ણ બીજગણિતીય ક્રિયાઓ કરવા માટે જટિલ સંખ્યાઓ પણ યોગ્ય છે, જેણે વેક્ટર બીજગણિતમાં મોટા પ્રમાણમાં ફેરફાર કર્યો છે. 4

પ્રકરણ II. જટિલ સંખ્યા પદ્ધતિની મૂળભૂત બાબતો
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન એક લંબચોરસ આપેલ સેગમેન્ટની લંબાઈ કાર્ટેશિયન સિસ્ટમપ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ્સ, જટિલ સંખ્યા z = x+iy (i 2 = -1) કોઓર્ડિનેટ્સ x, y (ફિગ. 1): z = x + સાથે પ્લેનના બિંદુ M સાથે સંકળાયેલ એક-થી-એક હોઈ શકે છે. iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . પછી નંબર z ને બિંદુ M નો જટિલ સંકલન કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન સમતલના બિંદુઓનો સમૂહ જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં હોવાથી, આ સમતલને જટિલ સંખ્યાઓનો સમતલ પણ કહેવામાં આવે છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળ O ને જટિલ સંખ્યાઓના પ્લેનનો પ્રારંભિક અથવા શૂન્ય બિંદુ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે = 0 નંબર z વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ x-અક્ષ પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તેથી જ તેને કહેવામાં આવે છે વાસ્તવિક ધરી. x=0 પર, નંબર z સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક છે: z=iy. કાલ્પનિક સંખ્યાઓ y-અક્ષ પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તેથી જ તેને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય એ વાસ્તવિક અને સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા છે. O પ્લેનની શરૂઆતથી બિંદુ M(z) સુધીના અંતરને જટિલ સંખ્યા z નું મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તેને |z| દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. અથવા r: | z | = આર = | ઓમ | = √ x 2 + y 2 જો φ એ x અક્ષ સાથે વેક્ટર ⃗ OM દ્વારા રચાયેલ લક્ષી કોણ છે, તો સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનની વ્યાખ્યા દ્વારા sin φ = y r, cos φ = x r 5
જ્યાંથી x = r cos φ, y = r sin φ, અને તેથી z = r (cos φ + sin φ). જટિલ સંખ્યા z ની આ રજૂઆતને તેનું કહેવામાં આવે છે
ત્રિકોણમિતિ

cheskoe
ફોર્મ
બીજગણિત
આ નંબરનું સ્વરૂપ. ત્રિકોણમિતિ પ્રતિનિધિત્વમાં, કોણ  એ જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવાય છે અને તેને arg z દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે: φ = arg z જો જટિલ સંખ્યા z = x + iy આપવામાં આવે છે, તો સંખ્યા ´ z = x − iy કહેવાય છે.
જટિલ જોડાણ
(અથવા માત્ર
જોડાણ
) આ નંબર પર z. પછી, દેખીતી રીતે, સંખ્યા z એ સંખ્યા ´ z સાથે પણ જોડાય છે. બિંદુઓ M(z) અને M 1 (´z) x અક્ષ વિશે સમપ્રમાણતા ધરાવે છે z = ´ z થી તે y = 0 અને ઊલટું અનુસરે છે. આનો અર્થ એ છે કે
સમાન સંખ્યા

તેના જોડાણ માટે વાસ્તવિક અને ઊલટું છે.
જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ z અને -z સાથેના બિંદુઓ પ્રારંભિક બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ z અને − ´ z સાથેના બિંદુઓ y-અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. સમાનતા z = ´ z પરથી તે x = 0 અને ઊલટું અનુસરે છે. તેથી, શરત z =− ´ z એ સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા માટેનો માપદંડ છે. કોઈપણ નંબર z માટે, દેખીતી રીતે | z | = | ´ z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
સરવાળો અને ઉત્પાદન
બે સંયુક્ત જટિલ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. સંકુલ 6 ના સરવાળો, ઉત્પાદન અથવા ભાગ સાથે જોડાયેલી સંખ્યા
સંખ્યાઓ, અનુક્રમે, સંખ્યાઓનો સરવાળો, ગુણ અથવા ભાગ આપેલ જટિલ સંખ્યાઓ સાથે જોડાય છે: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આ સમાનતાઓ સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. જો a અને b - જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સબિંદુ A અને B, અનુક્રમે, પછી સંખ્યા c = a + b એ બિંદુ C નો સંકલન છે, જેમ કે ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (ફિગ. 3). જટિલ સંખ્યા d = a − b એ બિંદુ D ને અનુલક્ષે છે જેમ કે ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB. બિંદુ A અને B વચ્ચેનું અંતર છે | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) ત્યારથી ¿ z ∨ 2 = z ´ z, પછી ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
સમીકરણ
z ´ z = r 2
કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે

ત્રિજ્યા વિશે

આર.
સંબંધ AC CB = λ, (λ ≠ − 1) જેમાં બિંદુ C વિભાજીત થાય છે આ સેગમેન્ટ AB, આ બિંદુઓના જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત થાય છે: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, જ્યાંથી c = a + λb 1 + λ (3) λ = 1 માટે, બિંદુ C મધ્યબિંદુ છે સેગમેન્ટ AB ના, અને ઊલટું. પછી: c = 1 2 (a + b) (4) જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, | a b | = | a || b | , અને 7
સમાંતર અને લંબરૂપતા ત્રણ બિંદુઓની સમન્વયતા ચાલો બિંદુઓ A(a) અને B(b) જટિલ સંખ્યાઓના સમતલ પર આપવામાં આવે. વેક્ટર ⃗ OA અને ⃗ OB સહ-નિર્દેશિત થાય છે જો અને માત્ર જો arg a = arg b હોય, એટલે કે જ્યારે arg a – arg b=arg a b =0 (જટિલ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરતી વખતે, વિભાજકની દલીલ ની દલીલમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે. ડિવિડન્ડ).
તે પણ સ્પષ્ટ છે કે આ વેક્ટર વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે જો અને માત્ર જો arg a - arg b= arg a b = ± π હોય. દલીલો 0, π, - π સાથેની જટિલ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક છે.
પોઈન્ટ O, A, B માટે સમકક્ષતા માપદંડ: બિંદુઓ A(a) અને B(b) પ્રારંભિક બિંદુ O સાથે સમકક્ષ હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ભાગાંક a b હોયવાસ્તવિક સંખ્યા , એટલે કે a b = ´ a ´ b અથવા a ´ b = ´ a b (6) હવે બિંદુઓ A(a), B(b), C(c), D(d) લો. વેક્ટર ⃗ BA અને ⃗ DC કોલી બિન-એરી છે જો અને માત્ર જો જટિલ દ્વારા નિર્ધારિત બિંદુઓસંખ્યાઓ a-b
અને с-d, શરૂઆત O સાથે સમરેખા છે. નોંધ: 1. (6) ના આધારે આપણી પાસે છે: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) ( ´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c − d); (8) 2. જો બિંદુઓ A, B, C, D એકમ વર્તુળ z ´ z = 1 સાથે સંબંધિત હોય, તો ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ; ´ c = 1 c ; ´ d = 1 d અને તેથી શરત (8) ફોર્મ લે છે: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. બિંદુઓ A, B, C ની સમકક્ષતા એ વેક્ટર ⃗AB અને ⃗AC ની સમકક્ષતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. (8) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ: (a − b) ( ´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) આ A, B, C સાથે સંબંધિત બિંદુઓ માટેનો માપદંડ છે સમાન સીધી રેખા પર. તેને સપ્રમાણ સ્વરૂપ a (´b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8 માં રજૂ કરી શકાય છે. જો બિંદુ A અને B એકમ વર્તુળ z ´ z = 1 સાથે સંબંધિત છે, તો ´ a = 1 a; ´ b = 1 b અને તેથી દરેક સંબંધ (10) અને (11) રૂપાંતરિત થાય છે ((a-b) દ્વારા ઘટાડા પછી નીચેનામાં: c + ab ´ c = a + b (12) બિંદુ A અને B નિશ્ચિત છે, અને બિંદુ આપણે C ને ચલ ગણીશું, તેના કોઓર્ડિનેટને z તરીકે પુનઃડિઝાઇન કરીએ છીએ, પછી પ્રાપ્ત થયેલ દરેક સંબંધ (10), (11), (12) એ સીધી રેખા ABનું સમીકરણ હશે: (´a − ´b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b (12a) ખાસ કરીને, પ્રત્યક્ષ OA નું સમીકરણ a ´ z = ´ છે a z . − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) ખાસ કરીને, જ્યારે બિંદુ A, B, C, D એકમ વર્તુળ z ´ z = 1 સાથે સંબંધિત હોય , પછી અવલંબન (14) ને સરળ કરવામાં આવે છે: ab + cd = 0 (15) વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન દર્શાવવામાં આવે છે.વેક્ટર ⃗ OA અને ⃗ OB એ પોઈન્ટ A અને B ના જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા. a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 ને ચાલો. પછી a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. તેથી, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
હવે ચાર આપવા દો મનસ્વી બિંદુઓ A(a), B(b), C(c), D(d) તેમના જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા. પછી 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) ખૂણા ચાલો ∠ (AB , CD) દ્વારા સકારાત્મક લક્ષી કોણ દર્શાવવા માટે સંમત થઈએ. જે વેક્ટર ⃗ એ AB ને ફેરવવું જોઈએ જેથી તે વેક્ટર ⃗ CD સાથે સહ-નિર્દેશિત બને. પછી, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − c || b − a |
(18) પાપ ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − c || b − a |
(19) વર્તુળમાં સેકન્ટ્સનું આંતરછેદ બિંદુ જો A, B, C અને D વર્તુળ z ´ z = 1 પર આવેલા હોય, તો આંતરછેદ બિંદુનું જટિલ સંકલન સૂત્ર ´ z = (a + b) દ્વારા જોવા મળે છે. − (c + d) ab − cd (20) જો AB એ CD ને લંબ હોય, તો z= 1 2 (a+b+c+d) (21) વર્તુળ 10 ને સ્પર્શકોનો આંતરછેદ બિંદુ

વર્તુળ z ´ z =1 એ તેના બિંદુઓ A(a) અને B(b) પરના સ્પર્શકોના આંતરછેદના બિંદુનું જટિલ સંકલન સૂત્ર z= 2ab a + b (22) બિંદુના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ દ્વારા જોવા મળે છે એક સીધી રેખા પર બિંદુ M(m) ના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ એક સીધી રેખા AB પર, જ્યાં A(a) અને B(b) સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે તેવા કિસ્સામાં જ્યારે A અને B એકમ વર્તુળ z= 1 2 સાથે સંબંધ ધરાવે છે (a + b + m − cb m) .
પ્રકરણ III.
જ્યાં h=a+b+c આવે છે. (24) પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં સમપ્રમાણરીતે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, તેથી ત્રિકોણની ત્રીજી ઊંચાઈ પ્રથમ બે સમાન ત્રિકોણ [2,1] ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 ના આંતરછેદ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે સમાન અને સમાન લક્ષી છે (પ્રથમ પ્રકારની સમાનતા), જો B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC અને ખૂણા B 1 A 1 C 1 અને BAC સમાન છે (કોણ લક્ષી છે). જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, આ સમાનતાઓ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|, arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 = arg c − a b − a . બે સમાનતાઓ 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) જ્યાં σ એ જટિલ સંખ્યા છે, |σ|=k-સમાનતા ગુણાંક છે. જો σ વાસ્તવિક છે, તો c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , જ્યાં AC║A 1 C 1. પરિણામે, ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 હોમોથેટિક છે. સંબંધ (25) જરૂરી છે અને પૂરતી સ્થિતિજેથી ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 સમાન અને સમાન લક્ષી હોય. તેને સપ્રમાણ સ્વરૂપ આપી શકાય છે ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) સમાન ત્રિકોણ જો | σ | = 1, પછી ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 સમાન છે. પછી સંબંધ (25) સમાન લક્ષી ત્રિકોણની સમાનતાની નિશાની છે, અને સંબંધ (26) વિરોધી લક્ષી ત્રિકોણની સમાનતાની નિશાની છે. નિયમિત ત્રિકોણ જો તમને જરૂરી હોય તો લક્ષી ત્રિકોણ ABCલક્ષી ત્રિકોણ BCA જેવું જ હતું, પછી ત્રિકોણ ABC નિયમિત હશે. 12
તેથી, (25) થી આપણે ત્રિકોણ ABC માટે નિયમિત (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બનવા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ મેળવીએ છીએ. (લેખક દ્વારા સાબિત) અમે હકારાત્મક લક્ષી ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્ર S માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ: S = 1 2 | એબી || એસી | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i (c − a) ( ´ b − ´ a) − (b − a) ( ´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) અથવા S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b) )) (28) જો ત્રિકોણ ABCવર્તુળ z ´ z = 1 માં અંકિત, પછી સૂત્ર (28) ફોર્મમાં રૂપાંતરિત થાય છે: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) a ની મધ્યરેખા વિશે પ્રમેય ત્રિકોણ (લેખક દ્વારા સાબિત)
પ્રમેય
. મધ્ય રેખાત્રિકોણનો આધાર આધારની સમાંતર અને તેના અડધા જેટલો છે. પુરાવો. બિંદુઓ M અને N એ બાજુઓ AB અને BC ના મધ્યબિંદુ હોવા દો, પછી m = b 2 ; n = b + c 2 . z 2 =z ´ z થી, પછી MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, તેથી 4MN 2 = AC 2 અથવા 2MN=AC વેક્ટર MN અને ACની સમકક્ષતાની સ્થિતિ (8) પણ સંતુષ્ટ છે , અને તેથી MN ║AC. થેલ્સનું પ્રમેય (લેખક દ્વારા સાબિત)
પ્રમેય
. જો એક ખૂણાની સમાંતર રેખાઓ સમાન ભાગોને કાપી નાખે છે, તો કોણની બીજી બાજુએ તેઓ સમાન ભાગોને કાપી નાખે છે. સાબિતી ચાલો ધારીએ કે c=kb. પછી જો BD||CE, તો આપણી પાસે (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) કૌંસ ખોલીને લાવીએ છીએ. સમાન શરતો, આપણને સમીકરણ b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d c ને kb સાથે અને ´ c ને k ´ b સાથે બદલવાથી, આપણને bk ´ b -2b ´ d -dk મળે છે. ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . સમાન શબ્દોને ફરીથી લાવીને અને દરેક વસ્તુને એક બાજુએ ખસેડીએ, તો આપણને 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0 મળે છે. અમે તેને બહાર કાઢી લઈશું સામાન્ય ગુણકઅને આપણને 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0 મળે છે. તેથી k=2, એટલે કે c=2b. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે f=3b, વગેરે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય ( લેખક દ્વારા સાબિત) બી જમણો ત્રિકોણકર્ણનો ચોરસ સરવાળો સમાનચોરસ પગ 14
પુરાવો. બિંદુઓ B અને C વચ્ચેનું અંતર BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b જેટલું છે. ત્યારથી |z| 2 = z ´ z , પછી AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, એટલે કે b= ´ b, પછી -a ´ b =− ab, પછી a = - ´ a, એટલે કે - ´ ab = ab આમ, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. આ પ્રમેય સાબિત થાય છે સીધી રેખા (લેખક દ્વારા સાબિત) ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના ઓર્થોસેન્ટર, સેન્ટ્રોઇડ અને પરિઘ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે (આ સીધી રેખાને યુલર સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે), અને OG = 1/2GH 15.
સાબિતી: બિંદુ G(g) એ ત્રિકોણ ABC નું કેન્દ્ર છે, H(h) એ ઓર્થોસેન્ટર છે અને O(o) એ ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આ બિંદુઓ સમરેખીય હોવા માટે, સમાનતા (10) સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 ચાલો બિંદુ O ને આ રીતે લઈએ. મૂળ, પછી g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) The ઓર્થોસેન્ટરના જટિલ કોઓર્ડિનેટની ગણતરી સૂત્ર (24) h=a+b+c, (30a) અને સૂત્ર (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) અનુસાર (30c) સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે. 30), આપણને 1 3 (a+b +c)(´a+b+c)-(a+b+c)(´a + b + c 1 3 ¿))=0 મળે છે સંતુષ્ટ, તેથી, પરિઘવાળા ત્રિકોણનું કેન્દ્ર, ઓર્થોસેન્ટર અને કેન્દ્ર સમાન રેખા પર આવેલા છે. +b+c)= 2 3 (a+b+c) અમને મળ્યું કે OG= 1 2 GH પ્રમેય 16 સાબિત થાય છે.
યુલરનું વર્તુળ (નવ બિંદુ વર્તુળ). લેખક દ્વારા સાબિત થયેલ ત્રિકોણ એબીસીનો વિચાર કરો. ચાલો સંમત થઈએ કે | OA | = | OB |= | OC | =1, એટલે કે ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ એકમ વર્તુળ z ´ z = 1 સાથે સંબંધિત છે (વર્તુળ O નું કેન્દ્ર મૂળ છે, અને ત્રિજ્યા લંબાઈનું એકમ છે). ચાલો સાબિત કરીએ કે પાયાની ત્રણ ઊંચાઈ છે
મનસ્વી ત્રિકોણ
, તેની ત્રણ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને તેના શિરોબિંદુઓને ઓર્થોસેન્ટર સાથે જોડતા ત્રણ વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે, અને તેનું કેન્દ્ર OH સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ છે, જ્યાં H, યાદ કરો, ત્રિકોણ ABC નું ઓર્થોસેન્ટર છે. આવા વર્તુળ કહેવાય છે
કારણ કે ત્રિકોણ ABC વર્તુળ z ´ z = 1 માં અંકિત છે, પછી | a | = | b | = | c | = 1, → | a 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | a || b | | c | = 1 2 | a || c | | b | = 1 2 | b || c | | a | = 1 2 તેથી, બિંદુઓ D, E, F, K, L, M, N, Q, F સમાન વર્તુળ ગૌસના પ્રમેયના છે જો કોઈ રેખા અનુક્રમે ABC ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ BC, CA, AB ધરાવતી રેખાઓને છેદે છે. બિંદુઓ A 1, B 1 , C 1, પછી વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ AA 1, BB 1, СС 1 સમરેખા છે. (11) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c ના ત્રિગુણોની સમકક્ષતા માટેની શરતો લખીએ છીએ. - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                     b c a b, જો N ની મધ્ય (31) બિંદુ હોય સેગમેન્ટ્સ AA 1, BB 1, CC 1, પછી આપણે બતાવવાનું છે કે 0) () () (      n m p m p n p n m (32) ત્યારથી), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b b n a a m       પછી સાબિત થઈ રહેલી સમાનતા (31) આની સમકક્ષ છે: 0))())())(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  . 1 1 1 1 1 1 1                         b a સાથે b a c b a c a c b a b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) હવે તે જોવાનું સરળ છે કે ( 33) સમાનતાના ટર્મવાઇઝ ઉમેરા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે (31).

પ્રકરણ IV.

જટિલ સંખ્યા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને USE સમસ્યાઓ અને વિવિધ ઓલિમ્પિયાડ્સનું નિરાકરણ.
સમસ્યા 1. યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન-2012, P-4 કાટખૂણ C સાથેના કાટકોણ ત્રિકોણ ABC ની મધ્ય AD ધરાવતી રેખા પર, એક બિંદુ E લેવામાં આવે છે, જે શિરોબિંદુ A થી 4 ની બરાબર અંતરે છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો. ત્રિકોણ BCE જો BC=6, AC=4. પ્રથમ ઉકેલ. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ AD=5. પછી ED=1 બિંદુ E ને કિરણ AD પર રહેવા દો. મધ્યક AD AE કરતા લાંબો છે, અને બિંદુ E ત્રિકોણ ABC (આકૃતિ 1) ની અંદર આવેલું છે. આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી આપણે શોધીએ છીએ: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
તેથી, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. ચાલો હવે E અને D (ફિગ. 2) વચ્ચેના અસત્યને નિર્દેશ કરીએ. આ કિસ્સામાં ED=9 અને EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . પછી S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. જવાબ: 2.4; 21.6. જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ. કેસ I: બિંદુ E કિરણ AD પર આવેલું છે. D એ CB નો મધ્ય હોવાથી, પછી CD=3. અને CA=4 થી, તે સ્પષ્ટ છે કે AD=5, એટલે કે DE=1. ચાલો બિંદુ C ને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે અને રેખાઓ CA અને CB ને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષ તરીકે લઈએ. પછી A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). બિંદુઓ A, E અને D સમરેખા છે, પછી e − 4 3i − e = 4 એટલે કે e= 12i + 4 5 . સૂત્ર (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 કેસ II મુજબ: બિંદુ A એ બિંદુઓ D અને E વચ્ચે આવેલું છે , પછી 4 − e 3i − 4 = 4 5 , એટલે કે e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) : 2.4 અને 21.6 માં સમસ્યા હલ કરો પ્રથમ રીતે, તમારે સંખ્યાબંધ અનુમાન કરવાની જરૂર છે, જે તરત જ દેખાઈ શકે નહીં, પરંતુ લાંબા સમય સુધી તર્ક કર્યા પછી, જો વિદ્યાર્થી સારી રીતે તૈયાર હોય, તો સમસ્યા હલ કરતી વખતે તરત જ ઉકેલ રચાય છે બીજી રીતે, અમે તૈયાર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે શોધવામાં સમય બચાવે છે, જો કે, અમે સમજીએ છીએ કે ફોર્મ્યુલાને જાણ્યા વિના, તમે જોઈ શકો છો કે દરેક પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે .
કાર્ય 2 (MIOO, 2011):
“બિંદુ M એ સેગમેન્ટ AB પર આવેલો છે. AB વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર, બિંદુ C લેવામાં આવે છે, જે બિંદુ A, M અને B થી અનુક્રમે 20, 14 અને 15 ના અંતરે છે. ત્રિકોણ BMC નો વિસ્તાર શોધો." 20
ઉકેલ: AB એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી ∆ ABC લંબચોરસ છે, ∠ C = 90 ° ચાલો C તરીકે લઈએ શૂન્ય બિંદુપ્લેન, પછી A(20i), B(15), M(z). CM=14 થી, સમાનતા z ´ z = 196 માન્ય છે, એટલે કે બિંદુ M ∈ બિંદુ C અને r=14 પર કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ. ચાલો રેખા AB વડે આ વર્તુળના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ: રેખા AB (10a) નું સમીકરણ: 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 બદલીને ´ z ને 196 z સાથે અને સમગ્ર સમીકરણને (4 i − 3) વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે z માટે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 સૂત્ર (28) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે વિસ્તાર શોધીએ છીએ ∆ MBC: S = i 4 (z (´b − ´ c) + b (´ c) − ´ z) + c (´ z − ´ b)) જ્યાં c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) પૂર્ણ કર્યા પછી સમકક્ષ પરિવર્તનો, આપણને S = 54 ± 12 √ 13 ચોરસ મળે છે. એકમો જવાબ આપો. 54 ± 12 √ 13 ચો. એકમો જો તમે સમસ્યા હલ કરો ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ, તો પછી બે અલગ અલગ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે: 1 લી - બિંદુ M એ A અને D વચ્ચે આવેલું છે; 2જી - D અને B વચ્ચે. 21

જટિલ સંખ્યાઓની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, વર્તુળ અને રેખાના આંતરછેદના બે બિંદુઓની હાજરીને કારણે ઉકેલની દ્વૈતતા પ્રાપ્ત થાય છે. આ સંજોગો આપણને સામાન્ય ભૂલ ટાળવા દે છે.
સમસ્યા 3
ત્રિકોણ ABC ના મધ્યક AA 1, BB 1 અને CC 1 બિંદુ M પર છેદે છે. તે જાણીતું છે કે AB=6MC 1. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ ABC એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. ઉકેલ: C ને પ્લેનનો શૂન્ય બિંદુ થવા દો, અને બિંદુ A ને વાસ્તવિક એકમ સોંપો. પછી સમસ્યા એ સાબિત કરવા માટે ઘટે છે કે b એ એક સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા છે. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M એ સેન્ટ્રોઇડ છે, તેનું સંકલન 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) ત્યારથી AB=6MC 1, પછી (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . રૂપાંતરણો કર્યા પછી, આપણે b =− ´ b મેળવીએ છીએ, એટલે કે b એ સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા છે, એટલે કે કોણ C સીધી રેખા છે.
કાર્ય 4.
22
બિંદુ O ની આસપાસ 90° પરિભ્રમણના પરિણામે, સેગમેન્ટ AB સેગમેન્ટ A "B" માં ફેરવાય છે. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ OAB " નો મધ્યક OM એ રેખા A " B ને લંબ છે. ઉકેલ: O, A, B ને અનુક્રમે 0.1, b સમાન થવા દો. પછી બિંદુઓ A " અને B " માં કોઓર્ડિનેટ્સ a" = i અને b" = bi હશે, અને સેગમેન્ટ AB " ના મધ્ય M માં કોઓર્ડિનેટ્સ m = 1 2 (1 + bi) હશે. આપણે શોધીએ છીએ: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i સંખ્યા સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક છે. લંબ માપદંડના આધારે (એબી અને સીડી એ કાટખૂણે છે જો અને માત્ર જો સંખ્યા a − b c − d સંપૂર્ણ કાલ્પનિક હોય), રેખાઓ OM અને A ’ B કાટખૂણે છે.
સમસ્યા 5
. 23
ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા પરથી, લંબ બે બાજુઓ પર નાખવામાં આવે છે જે આ ઊંચાઈને અનુરૂપ નથી. સાબિત કરો કે આ કાટખૂણાના પાયા વચ્ચેનું અંતર ત્રિકોણની ઊંચાઈની પસંદગી પર આધારિત નથી. ઉકેલ: ચાલો ત્રિકોણ ABC આપીએ, અને તેની આસપાસના વર્તુળમાં z ´ z = 1 સમીકરણ છે. જો CD એ ત્રિકોણની ઉંચાઈ હોય, તો d = 1 2 (a + b + c − ab c) બિંદુ D થી AC અને BC સુધી નીચે પડેલા કાટખૂણાના પાયા M અને N ના જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ, અનુક્રમે, સમાન છે m = 1 2 (a + c + d −ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) આપણે શોધીએ છીએ: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab ત્યારથી | a | = | b | = 1, પછી | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4. આ અભિવ્યક્તિ a, b, c, i.e.ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. અંતર MN ત્રિકોણની ઊંચાઈની પસંદગી પર આધારિત નથી.
નિષ્કર્ષ
24
"ચોક્કસપણે! જટિલ સંખ્યાઓ વિના બધી સમસ્યાઓ ઉકેલી શકાય છે. પરંતુ આ બાબતની હકીકત એ છે કે જટિલ સંખ્યાઓનો બીજગણિત અન્ય છે અસરકારક પદ્ધતિયોજનાકીય સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. અમે ફક્ત આપેલ કાર્ય માટે વધુ અસરકારક પદ્ધતિ પસંદ કરવા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. કોઈ ચોક્કસ પદ્ધતિના ફાયદા વિશેના વિવાદો અર્થહીન છે જો આપણે આ પદ્ધતિઓને સામાન્ય રીતે ધ્યાનમાં લઈએ, કોઈ ચોક્કસ સમસ્યાનો ઉપયોગ કર્યા વિના" [2]. પદ્ધતિના અભ્યાસમાં એક મોટું સ્થાન સૂત્રોના સમૂહ દ્વારા કબજે કરવામાં આવ્યું છે. આ છે
મુખ્ય ગેરલાભ
પદ્ધતિ અને તે જ સમયે
ગૌરવ
, કારણ કે તે તમને પૂરતા પ્રમાણમાં હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે જટિલ કાર્યોપ્રાથમિક ગણતરીઓ સાથે તૈયાર ફોર્મ્યુલા અનુસાર. વધુમાં, હું માનું છું કે જ્યારે પ્લાનિમેટ્રી સમસ્યાઓ હલ કરવી આ પદ્ધતિસાર્વત્રિક છે.
ગ્રંથસૂચિ
1. માર્કુશેવિચ એ.આઈ. જટિલ સંખ્યાઓ અને કોન્ફોર્મલ મેપિંગ્સ - એમ.: ટેકનિકલ અને સૈદ્ધાંતિક સાહિત્યનું સ્ટેટ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1954. - 52 પી. 25
2. પોનારીન યા. ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં જટિલ સંખ્યાઓનું બીજગણિત: શાળાઓના ગાણિતિક વર્ગના વિદ્યાર્થીઓ, શિક્ષકો અને શિક્ષણશાસ્ત્રની યુનિવર્સિટીઓના વિદ્યાર્થીઓ માટેનું પુસ્તક - M.: MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. શ્વેત્સોવ ડી. સિમસનની લાઇનથી ડ્રોઝ-ફાર્ની પ્રમેય, ક્વાન્ટ સુધી. - નંબર 6, 2009. - પૃષ્ઠ. 44-48 4. યાગ્લોમ આઈ. એમ. ભૌમિતિક પરિવર્તનો. રેખીય અને ગોળાકાર પરિવર્તન. - ટેકનિકલ અને સૈદ્ધાંતિક સાહિત્યનું સ્ટેટ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1956. – 612 પૃષ્ઠ. 5. યાગ્લોમ આઇ.એમ. જટિલ સંખ્યાઓ અને ભૂમિતિમાં તેમની અરજી - એમ.: ફિઝમેટગીઝ, 1963. - 192 પૃષ્ઠ. 6. મોર્કોવિચ એ.જી. અને અન્ય, બીજગણિત અને 10મા ધોરણની ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર) - એમ.: મેનેમોસીન, 2012. - 343 પૃષ્ઠ. 7. એન્ડ્રોનોવ આઈ.કે. વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓનું ગણિત - એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 1975. - 158 પૃ. 26

અરજી

પ્રાથમિક ભૂમિતિના ક્લાસિકલ પ્રમેય

ન્યુટનનું પ્રમેય.
વર્તુળની આસપાસના ચતુષ્કોણમાં, કર્ણના મધ્યબિંદુઓ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે સમરેખા હોય છે. 27
પુરાવો. ચાલો વર્તુળના કેન્દ્રને મૂળ તરીકે લઈએ, તેની ત્રિજ્યા એકની બરાબર સેટ કરીએ. ચાલો આ ચતુર્ભુજ ત્રિકોણ A o B o C o D o ની બાજુઓના સંપર્કના બિંદુઓને A, B, C, D (ગોળાકાર ક્રમમાં) દ્વારા દર્શાવીએ (ફિગ. 4). M અને N ને અનુક્રમે A o C o અને B o D o કર્ણના મધ્યબિંદુ બનવા દો. પછી, વર્તુળ z = 2ab a + b, બિંદુઓ A o , B o , C o , D o ના આંતરછેદ બિંદુઓ માટેના સૂત્ર મુજબ અનુક્રમે જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ હશે: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         જ્યાં a, b, c, d એ બિંદુઓ A, B, C, D ના જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ છે. તેથી.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m                  ગણતરી કરો.)   ત્યારથી, 1 , 1 b b a a  .
પાસ્કલનું પ્રમેય

.
અંકિત ષટ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુઓ સમાન રેખા પર આવેલા છે. 28
પુરાવો. ષટ્કોણ ABCDEF અને P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (ફિગ. 6) વર્તુળમાં અંકિત થવા દો (ફિગ. 6). ચાલો વર્તુળના કેન્દ્રને સમતલના શૂન્ય બિંદુ તરીકે લઈએ, અને તેની ત્રિજ્યા પ્રતિ એકમ લંબાઈ છે, પછી આપણી પાસે છે: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n. de ab e d b a m                ગણતરી કરો) ()  (ef bc de ab fa ef de cd bc e b     અને તે જ રીતે | . આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ M, N, P સમરેખા છે.
મોંગેનું પ્રમેય.
એક વર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજમાં, બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓ અને. દરેક કર્ણ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર લંબ છે અને તે મુજબ, અન્ય કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે. તેને ચક્રીય ચતુષ્કોણનું મોંગે બિંદુ કહેવામાં આવે છે. પુરાવો. ચતુર્ભુજ ABCD ની બાજુઓ પરના લંબ દ્વિભાજકો પરિક્રમિત વર્તુળના કેન્દ્રમાં છેદે છે, જેને આપણે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લઈએ છીએ. દરેક બિંદુ M(z) માટે લંબ દ્વિભાજકથી [AB] સંખ્યા b a b a z   ) (2 1 સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક. 29
ખાસ કરીને, z=0 માટે તે બરાબર છે) (2) (b a b a   . (AB) ની બાજુની સીડી લંબ વચ્ચેથી પસાર થતી રેખાના દરેક બિંદુ N(z) માટે, સંખ્યા b a d c z   ) (2 1 સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક અને ઊલટું હોવું જરૂરી છે. પરંતુ z=) માટે (2 1 d c b a    તે સમાન છે) (2 b a b a   એટલે કે સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક. તેથી, જટિલ સંકલન સાથે બિંદુ E) ( 2 1 d c b a    દર્શાવેલ રેખા પર આવેલું છે અને આ અભિવ્યક્તિ a, b, c, d અક્ષરોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે તેથી, અન્ય પાંચ સમાન રીતે બાંધવામાં આવેલી રેખાઓ E. 30 ધરાવે છે