બિંદુથી આપેલ રેખા સુધીનું અંતર. પ્લેન પર એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર

ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ... સારું, તે અઘરું છે, જાણે કે તે પોતાની જાતને વાક્ય વાંચી રહ્યો હોય =) જો કે, છૂટછાટ પછીથી મદદ કરશે, ખાસ કરીને આજથી મેં યોગ્ય એસેસરીઝ ખરીદી છે. તેથી, ચાલો પ્રથમ વિભાગમાં આગળ વધીએ, મને આશા છે કે લેખના અંત સુધીમાં હું ખુશખુશાલ મૂડ જાળવીશ.

બે સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

જ્યારે પ્રેક્ષકો કોરસમાં ગાય છે ત્યારે આ કેસ છે. બે સીધી રેખાઓ કરી શકે છે:

1) મેચ;

2) સમાંતર રહો: ​​;

3) અથવા એક બિંદુ પર છેદે છે: .

ડમી માટે મદદ : મહેરબાની કરીને યાદ રાખો ગાણિતિક ચિહ્નઆંતરછેદો, તે ઘણી વાર થશે. સંકેતનો અર્થ એ છે કે રેખા બિંદુ પરની રેખા સાથે છેદે છે.

બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

ચાલો પ્રથમ કેસથી પ્રારંભ કરીએ:

બે રેખાઓ એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર જો તેમના અનુરૂપ ગુણાંક પ્રમાણસર હોય, એટલે કે, ત્યાં એક નંબર છે "લેમ્બડા" જેમ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે

ચાલો સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ અને અનુરૂપ ગુણાંકમાંથી ત્રણ સમીકરણો બનાવીએ: . દરેક સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે, તેથી, આ રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

ખરેખર, જો સમીકરણના તમામ ગુણાંક –1 વડે ગુણાકાર કરો (ચિહ્નો બદલો), અને સમીકરણના તમામ ગુણાંક 2 દ્વારા કાપો, તમને સમાન સમીકરણ મળશે:

બીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે:

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર હોય: , પરંતુ.

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અમે ચલો માટે અનુરૂપ ગુણાંકની પ્રમાણસરતા તપાસીએ છીએ:

જો કે, તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે.

અને ત્રીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ છેદે છે:

બે રેખાઓ છેદે છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર ન હોય, એટલે કે, "લેમ્બડા" નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ થાય

તેથી, સીધી રેખાઓ માટે આપણે એક સિસ્ટમ બનાવીશું:

પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે , અને બીજા સમીકરણમાંથી: , જેનો અર્થ થાય છે સિસ્ટમ અસંગત છે(કોઈ ઉકેલો નથી). આમ, ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર નથી.

નિષ્કર્ષ: રેખાઓ છેદે છે

IN વ્યવહારુ સમસ્યાઓતમે હમણાં જ ચર્ચા કરેલ ઉકેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકો છો. માર્ગ દ્વારા, તે કોલિનિયરિટી માટે વેક્ટર્સને તપાસવા માટેના અલ્ગોરિધમની ખૂબ જ યાદ અપાવે છે, જેને આપણે વર્ગમાં જોયું વેક્ટર્સની રેખીય (માં) અવલંબનનો ખ્યાલ. વેક્ટર્સનો આધાર. પરંતુ ત્યાં વધુ સંસ્કારી પેકેજિંગ છે:

ઉદાહરણ 1

શોધો સંબંધિત સ્થિતિપ્રત્યક્ષ:

ઉકેલસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના અભ્યાસના આધારે:

a) સમીકરણોમાંથી આપણે રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધીએ છીએ: .

, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા નથી અને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

માત્ર કિસ્સામાં, હું ક્રોસરોડ્સ પર ચિહ્નો સાથે એક પથ્થર મૂકીશ:

બાકીના લોકો પત્થર પર કૂદીને આગળ વધે છે, સીધા કાશ્ચેઈ ધ ઇમોર્ટલ =)

b) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે. અહીં નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાતના ગુણાંક પ્રમાણસર છે, અને .

ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ:

આમ,

c) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

ચાલો આ વેક્ટરોના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
, તેથી, દિશા વેક્ટર સમરેખા છે. રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે.

સમપ્રમાણતા ગુણાંક "લેમ્બડા" એ કોલિનિયર ડિરેક્શન વેક્ટરના ગુણોત્તરમાંથી સીધા જ જોવા માટે સરળ છે. જો કે, તે સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા પણ શોધી શકાય છે: .

હવે ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ. બંને મફત શરતો શૂન્ય છે, તેથી:

પરિણામી મૂલ્ય સંતોષે છે આ સમીકરણ(કોઈપણ સંખ્યા સામાન્ય રીતે તેને સંતોષે છે).

આમ, રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

જવાબ આપો:

બહુ જલદી તમે શીખી જશો (અથવા તો પહેલેથી જ શીખી ગયા છો) મૌખિક રીતે ચર્ચા કરેલી સમસ્યાને થોડીક સેકંડમાં ઉકેલવા માટે. આ સંદર્ભમાં, હું કંઈપણ ઓફર કરવાનો કોઈ અર્થ જોતો નથી સ્વતંત્ર નિર્ણય, ભૌમિતિક પાયામાં બીજી મહત્વપૂર્ણ ઇંટ મૂકવી વધુ સારું છે:

આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

આની અજ્ઞાનતા માટે સૌથી સરળ કાર્યનાઇટીંગેલ ધ રોબર સખત સજા કરે છે.

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખા માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ: ચાલો અક્ષર દ્વારા અજાણી રેખા દર્શાવીએ. સ્થિતિ તેના વિશે શું કહે છે? સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. અને જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા "tse" ની દિશા વેક્ટર પણ સીધી રેખા "de" બાંધવા માટે યોગ્ય છે.

અમે સમીકરણમાંથી દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ:

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ ભૂમિતિ સરળ લાગે છે:

વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ નીચેના પગલાંઓ સમાવે છે:

1) અમે તપાસીએ છીએ કે રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે (જો રેખાનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે સરળ નથી, તો વેક્ટર સમરેખા હશે).

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ સરળતાથી મૌખિક રીતે કરી શકાય છે. બે સમીકરણો જુઓ, અને તમારામાંથી ઘણા કોઈ પણ રેખાંકન વિના રેખાઓની સમાંતરતા ઝડપથી નક્કી કરશે.

સ્વતંત્ર ઉકેલો માટેના ઉદાહરણો આજે સર્જનાત્મક હશે. કારણ કે તમારે હજી પણ બાબા યાગા સાથે સ્પર્ધા કરવી પડશે, અને તે, તમે જાણો છો, તમામ પ્રકારની કોયડાઓની પ્રેમી છે.

ઉદાહરણ 3

જો રેખાની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો

એક તર્કસંગત છે અને તેથી તર્કસંગત નથી તર્કસંગત માર્ગઉકેલો સૌથી વધુ શોર્ટકટ- પાઠના અંતે.

અમે સમાંતર રેખાઓ સાથે થોડું કામ કર્યું છે અને પછીથી તેમના પર પાછા આવીશું. એકરૂપ રેખાઓનો કિસ્સો થોડો રસ ધરાવતો નથી, તેથી ચાલો એક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ જે તમને અહીંથી પરિચિત છે. શાળા અભ્યાસક્રમ:

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું?

જો સીધા બિંદુ પર છેદે છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉકેલ છે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું? સિસ્ટમ ઉકેલો.

અહીં તમે જાઓ ભૌમિતિક અર્થબે સિસ્ટમો રેખીય સમીકરણોબે અજાણ્યાઓ સાથે- આ પ્લેન પર બે છેદતી (મોટાભાગે) રેખાઓ છે.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો

ઉકેલ: ઉકેલવાની બે રીત છે - ગ્રાફિકલ અને વિશ્લેષણાત્મક.

ગ્રાફિક પદ્ધતિફક્ત આપેલ લીટીઓ દોરવા અને ડ્રોઇંગમાંથી સીધા આંતરછેદ બિંદુને શોધવાનો છે:

અહીં અમારો મુદ્દો છે: . તપાસવા માટે, તમારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને રેખાના દરેક સમીકરણમાં બદલવા જોઈએ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આવશ્યકપણે, અમે ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન તરફ જોયું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોબે સમીકરણો સાથે, બે અજાણ્યા.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, અલબત્ત, ખરાબ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર ગેરફાયદા છે. ના, મુદ્દો એ નથી કે સાતમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ આ રીતે નિર્ણય કરે છે, મુદ્દો એ છે કે સાચો અને સચોટ ચિત્ર બનાવવામાં સમય લાગશે. વધુમાં, કેટલીક સીધી રેખાઓ બાંધવી એટલી સરળ નથી, અને આંતરછેદનું બિંદુ પોતે નોટબુક શીટની બહાર ત્રીસમા રાજ્યમાં ક્યાંક સ્થિત હોઈ શકે છે.

તેથી, આંતરછેદ બિંદુને જોવાનું વધુ યોગ્ય છે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ. ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંબંધિત કુશળતા વિકસાવવા માટે, એક પાઠ લો સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

જવાબ આપો:

ચેક તુચ્છ છે - આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ.

ઉદાહરણ 5

જો લીટીઓ છેદે છે તો તેમના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. કાર્યને ઘણા તબક્કામાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે. સ્થિતિનું વિશ્લેષણ સૂચવે છે કે તે જરૂરી છે:
1) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
2) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
3) રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો.
4) જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો પછી આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

ક્રિયા અલ્ગોરિધમનો વિકાસ ઘણા લોકો માટે લાક્ષણિક છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ, અને હું વારંવાર આના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ.

સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ:

અમે પાઠના બીજા વિભાગમાં પહોંચ્યા તે પહેલાં પગરખાંની એક જોડી પણ ખરી ન હતી:

લંબ રેખાઓ. એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.
સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

ચાલો એક લાક્ષણિક અને ખૂબ સાથે શરૂ કરીએ મહત્વપૂર્ણ કાર્ય. પ્રથમ ભાગમાં, અમે આની સમાંતર સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી તે શીખ્યા, અને હવે ચિકન પગ પરની ઝૂંપડી 90 ડિગ્રી ફેરવશે:

આપેલ એકને લંબરૂપ રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પર લંબરૂપ સમીકરણ લખો.

ઉકેલશરત દ્વારા તે જાણીતું છે કે. રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને શોધવાનું સરસ રહેશે. લીટીઓ લંબરૂપ હોવાથી, યુક્તિ સરળ છે:

સમીકરણમાંથી આપણે સામાન્ય વેક્ટરને "દૂર" કરીએ છીએ: , જે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

જવાબ આપો:

ચાલો ભૌમિતિક સ્કેચને વિસ્તૃત કરીએ:

હમ્મ... નારંગી આકાશ, નારંગી સમુદ્ર, નારંગી ઊંટ.

ઉકેલની વિશ્લેષણાત્મક ચકાસણી:

1) આપણે સમીકરણોમાંથી દિશા વેક્ટર કાઢીએ છીએ અને મદદ સાથે વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનઅમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે રેખાઓ ખરેખર કાટખૂણે છે: .

માર્ગ દ્વારા, તમે સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તે વધુ સરળ છે.

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે .

ટેસ્ટ, ફરીથી, મૌખિક રીતે કરવા માટે સરળ છે.

ઉદાહરણ 7

જો સમીકરણ જાણીતું હોય તો લંબ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને સમયગાળો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. સમસ્યામાં ઘણી બધી ક્રિયાઓ છે, તેથી બિંદુ દ્વારા ઉકેલ બિંદુ ઘડવાનું અનુકૂળ છે.

અમારા રોમાંચક પ્રવાસચાલુ રહે છે:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

અમારી સામે નદીની એક સીધી પટ્ટી છે અને અમારું કાર્ય સૌથી ટૂંકા માર્ગે પહોંચવાનું છે. ત્યાં કોઈ અવરોધો નથી, અને સૌથી શ્રેષ્ઠ માર્ગ કાટખૂણે સાથે આગળ વધવાનો રહેશે. એટલે કે, એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર કાટખૂણે ભાગની લંબાઈ છે.

ભૂમિતિમાં અંતર પરંપરાગત રીતે સૂચવવામાં આવે છે ગ્રીક અક્ષર“ro”, ઉદાહરણ તરીકે: – બિંદુ “em” થી સીધી રેખા “de” સુધીનું અંતર.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

ઉદાહરણ 8

એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

ઉકેલ: તમારે ફક્ત સૂત્રમાં સંખ્યાઓને કાળજીપૂર્વક બદલવાની અને ગણતરીઓ કરવાની જરૂર છે:

જવાબ આપો:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ લાલ સેગમેન્ટની લંબાઈ બરાબર છે. જો તમે પર ડ્રોઇંગ દોરો ચેકર્ડ કાગળ 1 એકમના સ્કેલ પર. = 1 સેમી (2 કોષો), પછી અંતર સામાન્ય શાસક સાથે માપી શકાય છે.

ચાલો સમાન ડ્રોઇંગ પર આધારિત અન્ય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ:

કાર્ય એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું છે જે સીધી રેખાને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. . હું જાતે પગલાં ભરવાનું સૂચન કરું છું, પરંતુ હું સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમની રૂપરેખા આપીશ મધ્યવર્તી પરિણામો:

1) રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખા શોધો.

2) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો: .

આ પાઠમાં બંને ક્રિયાઓની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

3) બિંદુ એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે. આપણે મધ્ય અને એક છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ. દ્વારા સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેના સૂત્રોઅમે શોધીએ છીએ.

તે તપાસવું એક સારો વિચાર હશે કે અંતર પણ 2.2 એકમ છે.

અહીં ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, પરંતુ ટાવરમાં માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર એક મોટી મદદ છે, જે તમને ગણતરી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક. મેં તમને ઘણી વખત સલાહ આપી છે અને તમને ફરીથી ભલામણ કરીશ.

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 9

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

તમારા પોતાના પર નિર્ણય લેવા માટે આ બીજું ઉદાહરણ છે. હું તમને થોડો સંકેત આપીશ: આને ઉકેલવા માટે અનંત રીતે ઘણી બધી રીતો છે. પાઠના અંતે ડિબ્રીફિંગ, પરંતુ તમારા માટે અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરવો વધુ સારું છે, મને લાગે છે કે તમારી ચાતુર્ય સારી રીતે વિકસિત હતી.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

દરેક ખૂણો જામ છે:


ભૂમિતિમાં, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણોને નાનો કોણ માનવામાં આવે છે, જેમાંથી તે આપમેળે અનુસરે છે કે તે સ્થૂળ ન હોઈ શકે. આકૃતિમાં, લાલ ચાપ દ્વારા દર્શાવેલ ખૂણાને છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ ગણવામાં આવતો નથી. અને તેના "લીલા" પાડોશી અથવા વિરુદ્ધ લક્ષી"રાસ્પબેરી" ખૂણો.

જો રેખાઓ કાટખૂણે હોય, તો 4માંથી કોઈપણ ખૂણાને તેમની વચ્ચેના ખૂણા તરીકે લઈ શકાય.

ખૂણા કેવી રીતે અલગ છે? ઓરિએન્ટેશન. સૌપ્રથમ, જે દિશામાં કોણ "સ્ક્રોલ કરેલ" છે તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. બીજું, નકારાત્મક લક્ષી કોણ ઓછા ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે જો .

મેં તમને આ કેમ કહ્યું? એવું લાગે છે કે આપણે ખૂણાના સામાન્ય ખ્યાલ સાથે મેળવી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે જે સૂત્રો દ્વારા આપણે ખૂણા શોધીશું તે સરળતાથી નકારાત્મક પરિણામમાં પરિણમી શકે છે, અને આનાથી તમને આશ્ચર્ય ન થવું જોઈએ. બાદબાકી ચિહ્ન સાથેનો ખૂણો વધુ ખરાબ નથી, અને તેનો ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌમિતિક અર્થ છે. માટે ડ્રોઇંગ પર નકારાત્મક કોણતીર (ઘડિયાળની દિશામાં) વડે તેની દિશા સૂચવવાની ખાતરી કરો.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો?ત્યાં બે કાર્યકારી સૂત્રો છે:

ઉદાહરણ 10

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલઅને પદ્ધતિ એક

માં સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલી બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો સામાન્ય દૃશ્ય:

જો સીધા કાટખૂણે નથી, તે લક્ષીતેમની વચ્ચેના કોણની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

સૌથી વધુ નજીકનું ધ્યાનચાલો તેને છેદ પર ઉલટાવીએ - આ બરાબર છે ડોટ ઉત્પાદનસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટર્સ:

જો , તો સૂત્રનો છેદ શૂન્ય બને છે, અને વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હશે અને રેખાઓ લંબરૂપ હશે. તેથી જ ફોર્મ્યુલેશનમાં સીધી રેખાઓની બિન-લંબતા વિશે આરક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉપરના આધારે, ઉકેલને બે પગલામાં ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

1) ચાલો ગણતરી કરીએ ડોટ ઉત્પાદનસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટર્સ:
, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ લંબરૂપ નથી.

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:

ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત કાર્યખૂણે પોતે જ શોધવાનું સરળ છે. આ કિસ્સામાં, અમે આર્કટેન્જેન્ટની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો):

જવાબ આપો:

જવાબમાં અમે સૂચવીએ છીએ ચોક્કસ મૂલ્ય, તેમજ અંદાજિત મૂલ્ય (પ્રાધાન્ય બંને ડિગ્રી અને રેડિયનમાં), કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સારું, માઈનસ, માઈનસ, કોઈ મોટી વાત નથી. અહીં એક ભૌમિતિક ચિત્ર છે:

તે આશ્ચર્યજનક નથી કે કોણ નકારાત્મક અભિગમનો હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે સમસ્યાના નિવેદનમાં પ્રથમ નંબર સીધી રેખા છે અને કોણનું "અનસ્ક્રુઇંગ" તેની સાથે ચોક્કસપણે શરૂ થયું હતું.

જો તમે ખરેખર સકારાત્મક ખૂણો મેળવવા માંગતા હો, તો તમારે રેખાઓને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, બીજા સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. ટૂંકમાં, તમારે ડાયરેક્ટથી શરૂઆત કરવાની જરૂર છે .

આ લેખ વિષય વિશે વાત કરે છે « એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર », સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સચિત્ર ઉદાહરણો સાથે બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની વ્યાખ્યાની ચર્ચા કરે છે. અંતમાં દરેક થિયરી બ્લોકે સમાન સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો દર્શાવ્યા છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર બિંદુથી બિંદુ સુધીનું અંતર નક્કી કરીને શોધવામાં આવે છે. ચાલો નજીકથી નજર કરીએ.

ત્યાં એક રેખા a અને બિંદુ M 1 હોવા દો જે આપેલ રેખા સાથે સંબંધિત નથી. અમે તેના દ્વારા સીધી રેખા b દોરીએ છીએ, જે સીધી રેખા a પર લંબ સ્થિત છે. આંતરછેદ બિંદુ ચાલો સીધા મુદ્દાઓ લઈએ N 1 માટે. અમે મેળવીએ છીએ કે M 1 H 1 એ એક લંબ છે, જે બિંદુ M 1 થી સીધી રેખા a સુધી નીચું હતું.

વ્યાખ્યા 1

બિંદુ M 1 થી સીધી રેખા a સુધીનું અંતરબિંદુઓ M 1 અને H 1 વચ્ચેનું અંતર કહેવાય છે.

એવી વ્યાખ્યાઓ છે જેમાં કાટખૂણેની લંબાઈનો સમાવેશ થાય છે.

વ્યાખ્યા 2

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતરઆપેલ બિંદુથી આપેલ રેખા તરફ દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.

વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે. નીચેની આકૃતિનો વિચાર કરો.

તે જાણીતું છે કે બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર શક્ય તેટલું નાનું છે. ચાલો આને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

જો આપણે એક સીધી રેખા a પર પડેલો બિંદુ Q લઈએ, જે બિંદુ M 1 સાથે મેળ ખાતો નથી, તો આપણે મેળવીએ છીએ કે સેગમેન્ટ M 1 Q ને વળેલું સેગમેન્ટ કહેવાય છે, જે M 1 થી સીધી રેખા a પર નીચે આવેલું છે. તે દર્શાવવું જરૂરી છે કે બિંદુ M 1 માંથી લંબ એ બિંદુથી સીધી રેખા તરફ દોરવામાં આવેલી કોઈપણ અન્ય વલણવાળી રેખા કરતા ઓછી છે.

આ સાબિત કરવા માટે, ત્રિકોણ M 1 Q 1 H 1 ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં M 1 Q 1 એ કર્ણાકાર છે. તે જાણીતું છે કે તેની લંબાઈ હંમેશા કોઈપણ પગની લંબાઈ કરતા વધારે હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણી પાસે M 1 H 1 છે< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

એક બિંદુથી લીટી સુધી શોધવા માટેનો પ્રારંભિક ડેટા તમને ઉકેલની ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે: પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા, સાઈનનું નિર્ધારણ, કોસાઈન, કોણની સ્પર્શક અને અન્ય. આ પ્રકારના મોટાભાગના કાર્યો ભૂમિતિના પાઠ દરમિયાન શાળામાં ઉકેલવામાં આવે છે.

જ્યારે, બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધતી વખતે, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરવી શક્ય હોય, ત્યારે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ ફકરામાં, આપણે આપેલ બિંદુથી જરૂરી અંતર શોધવાની મુખ્ય બે પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું.

પ્રથમ પદ્ધતિમાં M 1 થી સીધી રેખા a સુધી દોરેલા લંબ તરીકે અંતર શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે સામાન્ય સમીકરણજરૂરી અંતર શોધવા માટે સીધી રેખા a.

જો કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1) સાથે પ્લેન પર કોઈ બિંદુ હોય, તો તે સ્થિત છે લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, સીધી રેખા a, અને અંતર M 1 H 1 શોધવા માટે જરૂરી છે, ગણતરી બે રીતે કરી શકાય છે. ચાલો તેમને જોઈએ.

પ્રથમ માર્ગ

જો ત્યાં x 2, y 2 સમાન બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો પછી બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) સૂત્રમાંથી કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. - y 1) 2.

હવે ચાલો બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા તરફ આગળ વધીએ.

તે જાણીતું છે કે O x y માં સીધી રેખા પ્લેન પરની સીધી રેખાના સમીકરણને અનુરૂપ છે. ચાલો સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ અથવા કોણીય ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ લખીને સીધી રેખા a ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની પદ્ધતિ લઈએ. અમે એક સીધી રેખાનું સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ જે બિંદુ M 1માંથી કાટખૂણે આપેલ સીધી રેખા a પર પસાર થાય છે. ચાલો બી અક્ષર દ્વારા સીધી રેખા દર્શાવીએ. H 1 એ રેખાઓ a અને b ના આંતરછેદનું બિંદુ છે, જેનો અર્થ એ છે કે તમારે જે લેખનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે તે કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે અમે વાત કરી રહ્યા છીએબે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ વિશે.

તે જોઈ શકાય છે કે આપેલ બિંદુ M 1 (x 1, y 1) થી સીધી રેખા a સુધીનું અંતર શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ બિંદુઓ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા 3

• સીધી રેખા a નું સામાન્ય સમીકરણ શોધવું, ફોર્મ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, અથવા કોણ ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ, ફોર્મ y = k 1 x + b 1 ધરાવવું;
• રેખા b નું સામાન્ય સમીકરણ મેળવવું, ફોર્મ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 અથવા કોણીય ગુણાંક y = k 2 x + b 2 સાથેનું સમીકરણ, જો રેખા b બિંદુ M 1 ને છેદે છે અને તેની લંબ છે આપેલ લીટી a;
• બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ x 2, y 2નું નિર્ધારણ, જે a અને b નું આંતરછેદ બિંદુ છે, આ હેતુ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x હલ કરવામાં આવે છે. + B 2 y + C 2 = 0 અથવા y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• સૂત્ર M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 નો ઉપયોગ કરીને બિંદુથી રેખા સુધી જરૂરી અંતરની ગણતરી કરવી.

બીજી રીત

પ્રમેય પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી આપેલ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાના પ્રશ્નના જવાબમાં મદદ કરી શકે છે.

પ્રમેય

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં O x y પાસે એક બિંદુ M 1 (x 1, y 1) છે, જેમાંથી પ્લેન પર સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે, જે પ્લેનના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનું સ્વરૂપ cos α x + cos β y હોય છે. - p = 0, સમાન રેખાના સામાન્ય સમીકરણની ડાબી બાજુએ મેળવેલ સંપૂર્ણ મૂલ્ય, x = x 1, y = y 1 પર ગણવામાં આવે છે, એટલે કે M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - પી.

પુરાવો

રેખા a એ સમતલના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે, જેમાં ફોર્મ cos α x + cos β y - p = 0 હોય છે, પછી n → = (cos α, cos β) એ રેખા a નું સામાન્ય વેક્ટર માનવામાં આવે છે. p એકમો સાથે a લાઇન માટે મૂળ. આકૃતિમાં તમામ ડેટા દર્શાવવો જરૂરી છે, કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1) સાથે એક બિંદુ ઉમેરો, જ્યાં બિંદુ M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) ની ત્રિજ્યા વેક્ટર. એક બિંદુથી સીધી રેખા તરફ સીધી રેખા દોરવી જરૂરી છે, જેને આપણે M 1 H 1 તરીકે દર્શાવીએ છીએ. n → = (cos α, cos β) ના દિશા વેક્ટર સાથે બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા પર M 1 અને H 2 બિંદુઓના M 2 અને H 2 અંદાજો દર્શાવવા જરૂરી છે. O M 1 → = (x 1, y 1) દિશા n → = (cos α , cos β) તરીકે n p n → O M 1 → તરીકે વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ.

ભિન્નતા M1 પોઈન્ટના સ્થાન પર આધારિત છે. ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

અમે ફોર્મ્યુલા M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p નો ઉપયોગ કરીને પરિણામોને ઠીક કરીએ છીએ. પછી આપણે n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 મેળવવા માટે આ ફોર્મ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p માં સમાનતા લાવીએ છીએ.

વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન ફોર્મ n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → સ્વરૂપના રૂપાંતરિત સૂત્રમાં પરિણમે છે, જેનું ઉત્પાદન છે. સંકલન સ્વરૂપસ્વરૂપ n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . આનો અર્થ એ થયો કે આપણને મળે છે કે n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . તે અનુસરે છે કે M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

અમને લાગે છે કે બિંદુ M 1 (x 1, y 1) થી પ્લેન પર સીધી રેખા a સુધીનું અંતર શોધવા માટે, તમારે ઘણી ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે:

વ્યાખ્યા 4

• સીધી રેખા a cos α · x + cos β · y - p = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ મેળવવું, જો તે કાર્યમાં ન હોય;
• અભિવ્યક્તિની ગણતરી cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, જ્યાં પરિણામી મૂલ્ય M 1 H 1 લે છે.

એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવામાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ચાલો આ પદ્ધતિઓ લાગુ કરીએ.

ઉદાહરણ 1

કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (- 1, 2) સાથેના બિંદુથી સીધી રેખા 4 x - 3 y + 35 = 0 સુધીનું અંતર શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઉકેલવા માટે પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.

આ કરવા માટે, રેખા b નું સામાન્ય સમીકરણ શોધવું જરૂરી છે, જે આપેલ બિંદુ M 1 (- 1, 2) માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા 4 x - 3 y + 35 = 0 પર લંબ છે. શરત પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા b સીધી રેખા a માટે લંબરૂપ છે, તો તેની દિશા વેક્ટર (4, - 3) ની સમાન કોઓર્ડિનેટ ધરાવે છે. આમ, અમને પ્લેન પર રેખા b નું પ્રામાણિક સમીકરણ લખવાની તક મળે છે, કારણ કે બિંદુ M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જે રેખા b સાથે સંબંધિત છે. ચાલો સીધી રેખા b ના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ. આપણને તે x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 મળે છે. પરિણામી પ્રમાણભૂત સમીકરણને સામાન્ય સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ચાલો રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ, જેને આપણે હોદ્દો H 1 તરીકે લઈશું. રૂપાંતરણો આના જેવા દેખાય છે:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ઉપર જે લખ્યું હતું તેના પરથી, આપણી પાસે બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ (- 5; 5) સમાન છે.

બિંદુ M 1 થી સીધી રેખા a સુધીના અંતરની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. અમારી પાસે બિંદુઓ M 1 (- 1, 2) અને H 1 (- 5, 5) ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, પછી આપણે અંતર શોધવા માટે તેમને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને તે મેળવીએ છીએ.

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

બીજો ઉકેલ.

બીજી રીતે ઉકેલવા માટે, લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવવું જરૂરી છે. અમે નોર્મલાઇઝિંગ ફેક્ટરના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ અને સમીકરણ 4 x - 3 y + 35 = 0 ની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે નોર્મલાઇઝિંગ ફેક્ટર બરાબર છે - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, અને સામાન્ય સમીકરણ ફોર્મનું હશે - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

ગણતરીના અલ્ગોરિધમ મુજબ, લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવવું અને તેને x = - 1, y = 2 મૂલ્યો સાથે ગણતરી કરવી જરૂરી છે. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે બિંદુ M 1 (- 1, 2) થી આપેલ સીધી રેખા 4 x - 3 y + 35 = 0 નું અંતર - 5 = 5 છે.

જવાબ: 5 .

તે સ્પષ્ટ છે કે માં આ પદ્ધતિરેખાના સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે આ પદ્ધતિ સૌથી ટૂંકી છે. પરંતુ પ્રથમ પદ્ધતિ અનુકૂળ છે કારણ કે તે સુસંગત અને તાર્કિક છે, જો કે તેમાં વધુ ગણતરીના મુદ્દાઓ છે.

ઉદાહરણ 2

પ્લેન પર બિંદુ M 1 (8, 0) અને સીધી રેખા y = 1 2 x + 1 સાથે એક લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ O x y છે. આપેલ બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધો.

ઉકેલ

પ્રથમ ઉકેલમાં કાસ્ટિંગનો સમાવેશ થાય છે આપેલ સમીકરણસામાન્ય સમીકરણ માટે ઢાળ સાથે. વસ્તુઓને સરળ બનાવવા માટે, તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો.

જો લંબરૂપ સીધી રેખાઓના કોણીય ગુણાંકના ગુણાંકનું મૂલ્ય - 1 હોય, તો ઢાળઆપેલ એકની લંબ રેખા y = 1 2 x + 1 ની કિંમત 2 છે. હવે આપણને કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (8, 0) સાથેના બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મળે છે. આપણી પાસે તે y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 છે.

અમે બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે આગળ વધીએ છીએ, એટલે કે આંતરછેદ બિંદુઓ y = - 2 x + 16 અને y = 1 2 x + 1. અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

તે અનુસરે છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (8, 0) સાથેના બિંદુથી સીધી રેખા y = 1 2 x + 1 સુધીનું અંતર એ કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (8, 0) સાથેના પ્રારંભ બિંદુ અને અંતિમ બિંદુથી અંતર જેટલું છે અને H 1 (6, 4) . ચાલો ગણતરી કરીએ અને શોધીએ કે M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

બીજી રીતે ઉકેલ એ છે કે ગુણાંક સાથેના સમીકરણમાંથી તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં ખસેડવું. એટલે કે, આપણને y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 મળે છે, તો સામાન્ય બનાવનાર પરિબળની કિંમત હશે - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. તે અનુસરે છે કે રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. ચાલો બિંદુ M 1 8, 0 થી ફોર્મની એક લીટી સુધીની ગણતરી કરીએ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. અમને મળે છે:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

જવાબ: 2 5 .

ઉદાહરણ 3

કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (- 2, 4) સાથેના બિંદુથી રેખાઓ 2 x - 3 = 0 અને y + 1 = 0 સુધીના અંતરની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

અમને સમીકરણ મળે છે સામાન્ય દેખાવસીધી રેખા 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

પછી આપણે બિંદુ M 1 - 2, 4 થી સીધી રેખા x - 3 2 = 0 સુધીના અંતરની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ છીએ. અમને મળે છે:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

સીધી રેખા y + 1 = 0 ના સમીકરણમાં -1 ની સમાન કિંમત સાથે નોર્મલાઇઝિંગ ફેક્ટર છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ ફોર્મ લેશે - y - 1 = 0. અમે બિંદુ M 1 (- 2, 4) થી સીધી રેખા - y - 1 = 0 સુધીના અંતરની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ છીએ. આપણે શોધીએ છીએ કે તે - 4 - 1 = 5 બરાબર છે.

જવાબ: 3 1 2 અને 5.

ચાલો પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી અંતર શોધવા પર નજીકથી નજર કરીએ સંકલન અક્ષો O x અને O y.

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં, O અક્ષ y એક સીધી રેખાનું સમીકરણ ધરાવે છે, જે અપૂર્ણ છે અને તેનું સ્વરૂપ x = 0, અને O x - y = 0 છે. સમીકરણો કોઓર્ડિનેટ અક્ષો માટે સામાન્ય છે, પછી કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 x 1, y 1 સાથેના બિંદુથી રેખાઓ સુધીનું અંતર શોધવાનું જરૂરી છે. આ M 1 H 1 = x 1 અને M 1 H 1 = y 1 સૂત્રોના આધારે કરવામાં આવે છે. ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

ઉદાહરણ 4

બિંદુ M 1 (6, - 7) થી O x y પ્લેનમાં સ્થિત સંકલન રેખાઓ સુધીનું અંતર શોધો.

ઉકેલ

સમીકરણ y = 0 રેખા O x સાથે સંબંધિત હોવાથી, આપણે M 1 s થી અંતર શોધી શકીએ છીએ આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ સીધી રેખા પર. આપણને તે 6 = 6 મળે છે.

કારણ કે સમીકરણ x = 0 સીધી રેખા O y નો સંદર્ભ આપે છે, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને M 1 થી આ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધી શકો છો. પછી આપણને તે મળે છે - 7 = 7.

જવાબ: M 1 થી O x ના અંતરનું મૂલ્ય 6 છે, અને M 1 થી O y સુધીનું મૂલ્ય 7 છે.

જ્યારે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં આપણી પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1, z 1) સાથેનો બિંદુ હોય, ત્યારે બિંદુ A થી સીધી રેખા a સુધીનું અંતર શોધવું જરૂરી છે.

ચાલો બે પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ જે તમને અવકાશમાં સ્થિત બિંદુથી સીધી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રથમ કિસ્સો બિંદુ M 1 થી એક રેખા સુધીના અંતરને ધ્યાનમાં લે છે, જ્યાં રેખા પરના બિંદુને H 1 કહેવામાં આવે છે અને તે બિંદુ M 1 થી રેખા a સુધી દોરવામાં આવેલા લંબરૂપનો આધાર છે. બીજો કિસ્સો સૂચવે છે કે આ પ્લેનના બિંદુઓને સમાંતરગ્રામની ઊંચાઈ તરીકે શોધવી જોઈએ.

પ્રથમ માર્ગ

વ્યાખ્યામાંથી આપણી પાસે છે કે સીધી રેખા a પર સ્થિત બિંદુ M 1 થી અંતર લંબ M 1 H 1 ની લંબાઈ છે, પછી આપણે બિંદુ H 1 ના મળેલા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે મેળવીએ છીએ, પછી આપણે M વચ્ચેનું અંતર શોધીએ છીએ. 1 (x 1, y 1, z 1 ) અને H 1 (x 1 , y 1 , z 1), સૂત્ર M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 પર આધારિત - z 1 2.

અમે શોધી કાઢ્યું છે કે સમગ્ર ઉકેલ M 1 થી સીધી રેખા a તરફ દોરેલા લંબના આધારના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા તરફ જાય છે. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: H 1 એ બિંદુ છે જ્યાં સીધી રેખા એ આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેન સાથે છેદે છે.

આનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ M 1 (x 1, y 1, z 1) થી અંતરિક્ષમાં a રેખા સુધીનું અંતર નક્કી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ કેટલાક બિંદુઓને સૂચિત કરે છે:

વ્યાખ્યા 5

• રેખાના કાટખૂણે સ્થિત આપેલ બિંદુ પરથી પસાર થતા વિમાનના સમીકરણ તરીકે χનું સમીકરણ દોરવું;
• બિંદુ H 1 સાથે જોડાયેલા કોઓર્ડિનેટ્સ (x 2, y 2, z 2) નું નિર્ધારણ, જે સીધી રેખા a અને સમતલ χનું આંતરછેદ બિંદુ છે;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી.

બીજી રીત

આપણી પાસે એક સીધી રેખા a છે તે સ્થિતિ પરથી, પછી આપણે દિશા નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ વેક્ટર a → = a x, a y, a z કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે x 3, y 3, z 3 અને ચોક્કસ બિંદુ M 3 સીધા a સાથે જોડાયેલા છે. જો તમારી પાસે બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1) અને M 3 x 3, y 3, z 3 ના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો તમે M 3 M 1 → ની ગણતરી કરી શકો છો:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

આપણે બિંદુ M 3 થી a → = a x , a y , a z અને M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 વેક્ટરને બાજુ પર મુકવા જોઈએ, તેમને જોડો અને સમાંતર લોગ્રામ મેળવો. આકૃતિ M 1 H 1 એ સમાંતરગ્રામની ઊંચાઈ છે.

ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

અમારી પાસે છે કે ઊંચાઈ M 1 H 1 એ જરૂરી અંતર છે, પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને શોધવાનું જરૂરી છે. એટલે કે, અમે M 1 H 1 શોધી રહ્યા છીએ.

ચાલો આપણે સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રને S અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ, જે વેક્ટર a → = (a x, a y, a z) અને M 3 M 1 → = x 1 - x 3 નો ઉપયોગ કરીને સૂત્ર દ્વારા મળેલ છે. y 1 - y 3, z 1 - z 3. ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર S = a → × M 3 M 1 → છે. ઉપરાંત, આકૃતિનો વિસ્તાર તેની બાજુઓની લંબાઈ અને ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલો છે, આપણે મેળવીએ છીએ કે S = a → · M 1 H 1 એ → = a x 2 + a y 2 + a z 2 સાથે, જે વેક્ટરની લંબાઈ a → = (a x, a y, a z), અસ્તિત્વ છે સમાન બાજુસમાંતરગ્રામ આનો અર્થ એ છે કે M 1 H 1 એ બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર છે. તે M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1, z 1) સાથેના બિંદુથી અવકાશમાં સીધી રેખા a સુધીનું અંતર શોધવા માટે, તમારે અલ્ગોરિધમના કેટલાક પગલાં ભરવાની જરૂર છે:

વ્યાખ્યા 6

• સીધી રેખા a - a → = (a x, a y, a z) ના દિશા વેક્ટરનું નિર્ધારણ;
• દિશા વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• સીધી રેખા a પર સ્થિત બિંદુ M 3 સાથે જોડાયેલા x 3 , y 3 , z 3 કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવા;
• વેક્ટર M 3 M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી → ;
• a → (a x , a y , a z) અને M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 એ → × M 3 M 1 → = i તરીકે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધવું → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 ફોર્મ્યુલા a → × M 3 M 1 → નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈ મેળવવા માટે;
• બિંદુથી રેખા M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → સુધીના અંતરની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ.

અવકાશમાં આપેલ બિંદુથી આપેલ રેખા સુધીનું અંતર શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 2, - 4, - 1 થી રેખા x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 સાથે બિંદુથી અંતર શોધો.

ઉકેલ

પ્રથમ પદ્ધતિ M 1 માંથી પસાર થતા પ્લેન χનું સમીકરણ લખીને શરૂ થાય છે અને તેની લંબ આપેલ બિંદુ. અમને અભિવ્યક્તિ મળે છે જેમ કે:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે, જે સ્થિતિ દ્વારા ઉલ્લેખિત રેખાના χ પ્લેન સાથે આંતરછેદનું બિંદુ છે. આપણે ત્યાંથી ખસેડવું જોઈએ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપછેદતી એક માટે. પછી આપણે ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

સિસ્ટમ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા 2 x - y + 5 z = 3, પછી આપણને તે મળે છે:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z = 0 - 60 = 0

અહીંથી આપણી પાસે તે H 1 (1, - 1, 0) છે.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

માં કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીને બીજી પદ્ધતિ શરૂ કરવાની છે પ્રામાણિક સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના છેદ પર ધ્યાન આપવાની જરૂર છે. પછી a → = 2, - 1, 5 એ રેખા x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ની દિશા વેક્ટર છે. સૂત્ર a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 બિંદુ M 3 (- 1 , 0 , - 5) ને છેદે છે, તેથી આપણી પાસે મૂળ M 3 (- 1 ,) સાથેનો વેક્ટર છે. 0 , - 5) અને બિંદુ M 1 2, - 4, - 1 પર તેનો અંત M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 છે. અમે શોધીએ છીએ વેક્ટર ઉત્પાદન a → = (2, - 1, 5) અને M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

આપણને a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મળે છે. j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

આપણે શોધીએ છીએ કે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 જેટલી છે.

સીધી રેખા માટે બિંદુથી અંતરની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે અમારી પાસે તમામ ડેટા છે, તેથી ચાલો તેને લાગુ કરીએ અને મેળવીએ:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

જવાબ: 11 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ બિંદુથી રેખા સુધી દોરેલા લંબની લંબાઈ છે. IN વર્ણનાત્મક ભૂમિતિતે નક્કી છે ગ્રાફિકલીનીચેના અલ્ગોરિધમ મુજબ.

અલ્ગોરિધમ

1. સીધી રેખા એવી સ્થિતિમાં ખસેડવામાં આવે છે જેમાં તે કોઈપણ પ્રક્ષેપણ પ્લેનની સમાંતર હશે. આ હેતુ માટે, ઓર્થોગોનલ અંદાજોને રૂપાંતરિત કરવાની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
2. એક બિંદુથી કાટખૂણે રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે. મૂળમાં આ બાંધકામનીજમણા ખૂણાના પ્રક્ષેપણ પર પ્રમેય આવેલું છે.
3. કાટખૂણેની લંબાઈ તેના અનુમાનોનું રૂપાંતર કરીને અથવા જમણો ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

નીચેનો આંકડો બતાવે છે જટિલ ચિત્રબિંદુ M અને રેખા b સેગમેન્ટ CD દ્વારા વ્યાખ્યાયિત. તમારે તેમની વચ્ચેનું અંતર શોધવાની જરૂર છે.

અમારા અલ્ગોરિધમ મુજબ, પ્રથમ વસ્તુ એ છે કે સીધી રેખાને સ્થિતિ પર ખસેડવી પ્લેનની સમાંતરઅંદાજો તે સમજવું અગત્યનું છે કે પરિવર્તનો હાથ ધરવામાં આવ્યા પછી, બિંદુ અને રેખા વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર બદલવું જોઈએ નહીં. એટલા માટે પ્લેન રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અહીં અનુકૂળ છે, જેમાં અવકાશમાં આકૃતિઓ ખસેડવાની જરૂર નથી.

બાંધકામના પ્રથમ તબક્કાના પરિણામો નીચે દર્શાવેલ છે. આકૃતિ બતાવે છે કે કેવી રીતે વધારાનું આગળનું પ્લેન P 4 b ની સમાંતર રજૂ કરવામાં આવે છે. IN નવી સિસ્ટમ(P 1, P 4) બિંદુઓ C"" 1, D"" 1, M"" 1 X અક્ષ 1 થી C"", D"", M"" X અક્ષથી સમાન અંતરે છે.

અલ્ગોરિધમનો બીજો ભાગ હાથ ધરીને, M"" 1 થી આપણે કાટખૂણે M"" 1 N"" 1 ને સીધી રેખા b"" 1 સુધી નીચે કરીએ છીએ, કારણ કે b અને MN વચ્ચેનો જમણો ખૂણો MND પ્લેન P પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. 4 પૂર્ણ કદમાં. સંચાર લાઇનનો ઉપયોગ કરીને, અમે બિંદુ N" ની સ્થિતિ નક્કી કરીએ છીએ અને MN સેગમેન્ટના પ્રક્ષેપણ M"N" ને હાથ ધરીએ છીએ.

ચાલુ અંતિમ તબક્કોતમારે તેના અંદાજો M"N" અને M"" 1 N"" 1 પરથી MN સેગમેન્ટનું કદ નક્કી કરવાની જરૂર છે. આ માટે અમે નિર્માણ કરી રહ્યા છીએ જમણો ત્રિકોણ M"" 1 N"" 1 N 0, જેની બાજુ N"" 1 N 0 છે તફાવત સમાન(Y M 1 – Y N 1) X 1 અક્ષમાંથી M" અને N" બિંદુઓને દૂર કરી રહ્યા છીએ. ત્રિકોણ M"" 1 N"" 1 N 0 ના કર્ણો M"" 1 N 0 ની લંબાઈ M થી b સુધીના ઇચ્છિત અંતરને અનુલક્ષે છે.

બીજો ઉકેલ

• સીડી સાથે સમાંતર, અમે એક નવું રજૂ કરીએ છીએ આગળનું વિમાનપૃષ્ઠ 4. તે X 1 અક્ષ સાથે P 1 અને X 1 ∥C"D" ને છેદે છે. પ્લેન બદલવાની પદ્ધતિ અનુસાર, અમે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે C"" 1, D"" 1 અને M"" 1 પોઇન્ટના અંદાજો નક્કી કરીએ છીએ.
• C"" 1 D"" 1 ને લંબરૂપ અમે એક વધારાનું નિર્માણ કરીએ છીએ આડું વિમાન P 5 જેના પર સીધી રેખા b બિંદુ C" 2 = b" 2 નો અંદાજ છે.
• બિંદુ M અને રેખા b વચ્ચેનું અંતર લાલ રંગમાં દર્શાવેલ M" 2 C" 2 સેગમેન્ટની લંબાઈ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સમાન કાર્યો:

આકારોની સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને તેમના જથ્થાની ગણતરી કરતી વખતે વિવિધ ભૌમિતિક વસ્તુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાની ક્ષમતા મહત્વપૂર્ણ છે. આ લેખમાં આપણે અવકાશમાં અને પ્લેનમાં બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્ન પર વિચારણા કરીશું.

રેખાનું ગાણિતિક વર્ણન

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે સમજવા માટે, તમારે પ્રશ્નને સમજવાની જરૂર છે ગણિત સોંપણીઆ ભૌમિતિક વસ્તુઓ.

બિંદુ સાથે બધું સરળ છે; ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેનમાં આ બે કોઓર્ડિનેટ્સ છે, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં - ત્રણ.

એક-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ માટે - એક સીધી રેખા, તેનું વર્ણન કરવા માટે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો તેમાંથી ફક્ત બે જ ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રથમ પ્રકારને વેક્ટર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. નીચે ત્રિ-પરિમાણીય અને દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યામાં રેખાઓ માટે અભિવ્યક્તિઓ છે:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

આ અભિવ્યક્તિઓમાં, શૂન્ય સૂચકાંકો સાથેના કોઓર્ડિનેટ્સ એ બિંદુનું વર્ણન કરે છે કે જેના દ્વારા આપેલ રેખા પસાર થાય છે, કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ (a; b; c) અને (a; b) અનુરૂપ રેખા માટે કહેવાતા દિશા વેક્ટર છે, α એ પરિમાણ જે કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય લઈ શકે છે.

વેક્ટર સમીકરણ એ અર્થમાં અનુકૂળ છે કે તેમાં સ્પષ્ટપણે રેખાના દિશા વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ વિવિધ ભૌમિતિક પદાર્થોની સમાંતર અથવા લંબરૂપતાની સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ.

બીજા પ્રકારનું સમીકરણ જેને આપણે લીટી માટે ધ્યાનમાં લઈશું તેને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. અવકાશમાં આ પ્રકાર આપવામાં આવે છે સામાન્ય સમીકરણોબે વિમાનો. પ્લેનમાં તેની પાસે છે નીચેના ફોર્મ:

A × x + B × y + C = 0

આલેખ બનાવતી વખતે, તે ઘણીવાર X/Y પર નિર્ભરતા તરીકે લખવામાં આવે છે, એટલે કે:

y = -A / B × x +(-C / B)

અહીં મફત સભ્ય-C/B એ y-અક્ષ સાથે રેખાના આંતરછેદના સંકલનને અનુરૂપ છે, અને ગુણાંક -A/B એ રેખાના x-અક્ષ તરફના ઝોકના કોણ સાથે સંકળાયેલ છે.

રેખા અને બિંદુ વચ્ચેના અંતરનો ખ્યાલ

સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, તમે બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નના જવાબમાં સીધા જ જઈ શકો છો. 7મા ધોરણમાં, શાળાઓ યોગ્ય મૂલ્ય નક્કી કરીને આ મુદ્દાને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરે છે.

રેખા અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ આ રેખાના કાટખૂણે રહેલા સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, જે પ્રશ્નના બિંદુમાંથી અવગણવામાં આવે છે. નીચેની આકૃતિ સીધી રેખા r અને બિંદુ A બતાવે છે. સીધી રેખા r પર લંબરૂપ સેગમેન્ટ વાદળી રંગમાં બતાવવામાં આવે છે. તેની લંબાઈ જરૂરી અંતર છે.

અહીં ચિત્રિત દ્વિ-પરિમાણીય કેસ, તેમ છતાં આ વ્યાખ્યાઅંતર ત્રિ-પરિમાણીય સમસ્યા માટે પણ માન્ય છે.

જરૂરી સૂત્રો

લીટીનું સમીકરણ કયા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવ્યું છે અને કઈ જગ્યામાં સમસ્યા હલ થઈ છે તેના આધારે, બે મૂળભૂત સૂત્રો, રેખા અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો.

ચાલો સૂચિત કરીએ જાણીતો બિંદુપ્રતીક P 2 જો લીટીનું સમીકરણ આપવામાં આવે છે વેક્ટર ફોર્મ, તો પછી d માટે વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓ વચ્ચેનું અંતર સૂત્ર માન્ય છે:

d = || / |v¯|

એટલે કે, d નક્કી કરવા માટે, તમારે સીધી રેખા વેક્ટર v¯ અને વેક્ટર P 1 P 2 ¯ માટે માર્ગદર્શિકાના વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસની ગણતરી કરવી જોઈએ, જેની શરૂઆત સીધી રેખા પર મનસ્વી બિંદુ P 1 પર આવેલું છે. , અને અંત બિંદુ P 2 પર છે, પછી આ મોડ્યુલસને લંબાઈ v ¯ દ્વારા વિભાજીત કરો. આ સૂત્ર ફ્લેટ અને માટે સાર્વત્રિક છે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા.

જો સમસ્યાને xy કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સમતલ પર ગણવામાં આવે અને રેખાનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે, તો નીચેના સૂત્રતમે આ રીતે સીધી રેખાથી બિંદુ સુધીનું અંતર શોધી શકો છો:

સીધી રેખા: A × x + B × y + C = 0;

બિંદુ: P 2 (x 2; y 2; z 2);

અંતર: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

ઉપરોક્ત સૂત્ર એકદમ સરળ છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ ઉપર જણાવેલ શરતો દ્વારા મર્યાદિત છે.

એક સીધી રેખા અને અંતર પર બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ

આપેલ સૂત્રોને યાદ રાખવાનો સમાવેશ થતો ન હોય તેવી બીજી રીતે એક બિંદુથી લીટી સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્નનો પણ તમે જવાબ આપી શકો છો. આ પદ્ધતિમાં મૂળ બિંદુના પ્રક્ષેપણની રેખા પર એક બિંદુ નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

ધારો કે ત્યાં એક બિંદુ M અને એક રેખા r છે. બિંદુ M ના r પરનું પ્રક્ષેપણ ચોક્કસ બિંદુ M 1 ને અનુરૂપ છે. M થી r સુધીનું અંતર વેક્ટર MM 1 ¯ ની લંબાઈ જેટલું છે.

M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય? ખૂબ જ સરળ. તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે રેખા વેક્ટર v¯ એ MM 1 ¯ માટે લંબરૂપ હશે, એટલે કે, તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન હોવું જોઈએ શૂન્ય બરાબર. આ શરતમાં હકીકત એ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 એ રેખા r ના સમીકરણને સંતોષવા જ જોઈએ, અમે સરળ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. તેના ઉકેલના પરિણામે, બિંદુ M થી r ના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવામાં આવે છે.

સીધી રેખાથી બિંદુ સુધીનું અંતર શોધવા માટે આ ફકરામાં વર્ણવેલ તકનીકનો ઉપયોગ પ્લેન અને અવકાશ માટે થઈ શકે છે, પરંતુ તેના ઉપયોગ માટે જ્ઞાનની જરૂર છે. વેક્ટર સમીકરણસીધી રેખા માટે.

પ્લેન સમસ્યા

ઉકેલવા માટે પ્રસ્તુત ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવવાનો હવે સમય છે વાસ્તવિક સમસ્યાઓ. ધારો કે પ્લેન પર એક બિંદુ M(-4; 5) આપવામાં આવ્યો છે. બિંદુ M થી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાનું જરૂરી છે, જે સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

એટલે કે, M એક લીટી પર જૂઠું બોલતું નથી.

સીધી રેખાનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવતું ન હોવાથી, અમે તેનો ઉપયોગ કરી શકવા માટે તેને આવા સ્વરૂપમાં ઘટાડી દઈએ છીએ. અનુરૂપ સૂત્ર, અમારી પાસે છે:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

હવે તમે અવેજી કરી શકો છો જાણીતી સંખ્યાઓડી માટેના સૂત્રમાં:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

અવકાશમાં સમસ્યા

હવે ચાલો અવકાશના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. સીધી રેખાનું વર્ણન કરવા દો નીચેના સમીકરણ:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

તેમાંથી બિંદુ M(0; 2; -3) સુધીનું અંતર કેટલું છે?

અગાઉના કેસની જેમ જ, ચાલો તપાસ કરીએ કે શું M આપેલ રેખાથી સંબંધિત છે. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણમાં કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ છીએ અને તેને સ્પષ્ટ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

પ્રાપ્ત થઈ ત્યારથી વિવિધ પરિમાણોα, તો M આ રેખા પર જૂઠું બોલતું નથી. ચાલો હવે તેનાથી સીધી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરીએ.

ડી માટે સૂત્ર વાપરવા માટે, લો મનસ્વી બિંદુસીધી રેખા પર, ઉદાહરણ તરીકે P(1; -1; 0), પછી:

ચાલો PM¯ અને સીધી રેખા v¯ ના નિર્દેશક વેક્ટર વચ્ચેના વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ. અમને મળે છે:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

હવે આપણે d માટેના સૂત્રમાં મળેલા વેક્ટર અને વેક્ટર v¯ ના મોડ્યુલોને બદલીએ છીએ, આપણને મળે છે:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

આ જવાબ ઉપર વર્ણવેલ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, જેમાં રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે. આમાં અને અગાઉના કાર્યોસીધી રેખાથી બિંદુ સુધીના અંતરના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો અનુરૂપ સંકલન પ્રણાલીના એકમોમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.