Kas atsitiks, jei padalinsite iš 1. Pavyzdžiai, kai reikia perkelti kablelį, bet nebelieka skaičių

Jie sako, kad galite padalyti iš nulio, jei nustatote padalijimo iš nulio rezultatą. Jums tereikia išplėsti algebrą. Dėl keisto sutapimo nepavyksta rasti bent vieno ar geriau suprantamo ir paprasto tokio pratęsimo pavyzdžio. Norint sutvarkyti internetą, reikia arba vieno iš tokio plėtinio metodų demonstravimo, arba aprašymo, kodėl tai neįmanoma.

Straipsnis buvo parašytas tęsiant tendenciją:

Atsisakymas

Supratimas apie aritmetikos, elementarių, bendrųjų ir tiesinė algebra, matematinė ir nestandartinė analizė, aibių teorija, bendroji topologija, projekcinė ir afininė geometrija – pageidautina, bet neprivaloma.

Eksperimentų metu nenukentėjo jokia begalybė.

Prologas

1. Tiesą sakant, viskas jau buvo padalinta prieš mus!

1.1 Afininis skaičių eilutės pratęsimas

Užuot stačia galva puolę į baseiną, pažiūrėkime, kas į jį patenka ir kas iš jo išeina. Tam panaudosime ribą – pagrindinį matematinės analizės įrankį. Pagrindinė „gudrybė“ yra ta, kad riba leidžia jums pereiti duotas taškas kuo arčiau „neužlipus“. Tokia „tvorelė“ prieš „baseiną“.

Originalus

Gerai, „tvora“ pastatyta. Jau nebe taip baisu. Mes turime du kelius į baseiną. Eikime kaire – staigus nusileidimas, dešine – staigus kopimas. Kad ir kiek eitum link „tvoros“, ji arčiau neprieina. Jokiu būdu negalima peržengti apatinės ir viršutinės „niekos“. Kyla įtarimų: gal einame ratu? Nors ne, skaičiai keičiasi, o tai reiškia, kad jie nėra apskritime. Pasiknaisiokime įrankių skrynioje matematinė analizė daugiau. Be apribojimų su „tvorele“, rinkinyje yra ir teigiamų, ir neigiamų begalybių. Kiekiai yra visiškai abstraktūs (ne skaičiai), gerai formalizuoti ir paruošti naudoti! Tai mums tinka. Papildykime savo „būtį“ (daug realūs skaičiai) dvi pasirašytos begalybės.

Būtent šis išplėtimas leidžia perimti ribą, kai ginčas linkęs į begalybę ir gauti begalybę dėl ribos.

Yra dvi matematikos šakos, apibūdinančios tą patį dalyką naudojant skirtingą terminiją.

Apibendrinkime:

Esmė yra. Senieji metodai nebeveikia. Padidėjo sistemos sudėtingumas, išreikštas „jeigu“, „visiems, išskyrus“ ir kt. Turėjome tik dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0 (neįvertinome galios operacijų), todėl buvo penkios. Vieno neapibrėžtumo atskleidimas sukėlė dar daugiau neaiškumų.

1.2 Ratas

Tai nesibaigė įvedus nepasirašytą begalybę. Norint išbristi iš netikrumo, reikia antro vėjo.

Taigi, turime realiųjų skaičių rinkinį ir dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0. Norėdami pašalinti pirmąjį, atlikome projekcinį skaičių eilutės išplėtimą (tai yra, įvedėme nežymėtą begalybę). Pabandykime susitvarkyti su antrąja formos 0/0 neapibrėžtimi. Darykime taip pat. Pridėkime prie skaičių aibės naują elementą, reiškiantį antrąją neapibrėžtį.

Padalinimo operacijos apibrėžimas pagrįstas daugyba. Tai mums netinka. Atsiekime operacijas viena nuo kitos, bet išsaugokime įprastą realiųjų skaičių elgesį. Apibrėžkime vienkartinę padalijimo operaciją, pažymėtą ženklu „/“.

Apibrėžkime operacijas.

Ši konstrukcija vadinama „ratu“. Terminas buvo paimtas dėl jo panašumo į topologinį skaičių tiesės projekcinio tęsinio ir 0/0 taško paveikslą.

Viskas atrodo gerai, bet velnias slypi detalėse:

Visoms ypatybėms nustatyti, be elementų rinkinio išplėtimo, pridedama ne vieno, o dviejų paskirstymo dėsnį apibūdinančių tapatybių forma.

Matematine kalba:

Bendrosios algebros požiūriu operavome su lauku. O lauke, kaip žinote, apibrėžiamos tik dvi operacijos (sudėtis ir daugyba). Padalinimo sąvoka išvedama per atvirkštinius, o dar giliau – per vienetinius elementus. Atlikti pakeitimai paverčia mūsų algebrinė sistemaį monoidą, naudojant sudėjimo operaciją (kai nulis yra neutralus elementas) ir daugybos operaciją (kai vienas yra neutralus elementas).

Pionierių darbuose ne visada naudojami simboliai ∞ ir ⊥. Vietoj to galite rasti įrašus formomis /0 ir 0/0.

Pasaulis nebėra toks nuostabus, ar ne? Visgi, skubėti nereikia. Patikrinkime, ar naujosios paskirstymo dėsnio tapatybės gali susidoroti su mūsų išplėstiniu rinkiniu .

Šį kartą rezultatas daug geresnis.

Apibendrinkime:

Esmė yra. Algebra veikia puikiai. Tačiau „neapibrėžto“ sąvoka buvo paimta kaip pagrindas, kurią jie pradėjo laikyti kažkuo egzistuojančiu ir su juo operuoti. Vieną dieną kažkas pasakys, kad viskas yra blogai ir kad šį „neapibrėžtą“ reikia suskaidyti į dar kelis „neapibrėžtus“, bet mažesnius. Bendroji algebra sakys: „Jokių problemų, broli!
Maždaug taip postuluojami papildomi (j ir k). menami vienetai in quaternions Pridėti žymų

• mokyti dalyti iš 0 ir 1, remiantis ryšiu su daugybos veiksmu; įtvirtinti žinias apie daugybos ir dalybos veiksmų komponentų ryšį;
• pakartokite išnagrinėtus daugybos ir dalybos (iš 2, 3, 4, 5) lentelės atvejus; plėtoti psichines operacijas;
• ugdyti tarpusavio kontrolę, savikontrolę, savigarbą; tikslumas, atidumas.

Priemonė: vadovėlis „Mano matematika“ 2 kl Švietimo sistema Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. „Mokykla 2100“, 3 dalis, 10–11 p. (žr. 2 priedas); pamokos pristatymas (žr 1 priedas), diagramos, užduočių kortelės.

1 užduotis

Mokytojas: Padarykite 4 galimas lygybes su skaičiais 20, 4, 5; 18, 3, 6.

Savarankiškai atliekama sąsiuviniuose ir prie lentos 2 mokinių tarpusavio patikrinimui. Be to.* a, in, with (pagal korteles)

– Kaip dalyba yra susijusi su daugyba? 1 skaidrė(Jei produktas padalintas iš vieno koeficiento, gauname kitą koeficientą).

a b = c c: c = a

2. Ugdymo uždavinio išdėstymas ir jos sprendimas

1) Pratimai 2

– Raskite antrosios išraiškos reikšmę kiekviename stulpelyje, apskaičiuodami pirmosios reikšmę.

1 ugdymo užduoties teiginys:

– Koks yra bet kurio skaičiaus dalybos koeficientas? A už vienetą?

Ugdymo problemos sprendimas:

– Dalijant bet kokį skaičių A vienetui gauname tą patį skaičių.

2 skaidrė

a: 1 = a, nes, a 1 = a

2 ugdymo užduoties teiginys:

– Ar galima pasirinkti skaičių, kurį padauginus iš 0 gautume 5 ar 7? (Nr.)
– Ar yra prasmė posakiui: 5 padalintas iš 0, 7 padalintas iš 0? (Nr.)

Ugdymo problemos sprendimas:
3 skaidrė

Negalite padalyti iš nulio.

2) 3 užduotis

– Raskite antrosios išraiškos reikšmę kiekviename stulpelyje, apskaičiuodami pirmosios reikšmę. Atliekama eilėmis sąsiuviniuose ir prie lentos abipusei ir savikontrolei.

3 ugdymo užduoties teiginys:

– Koks yra nulio koeficientas, padalytas iš bet kurio skaičiaus? A, Ne lygus nuliui?

Ugdymo problemos sprendimas:

– Kai nulis dalijamas iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gauname nulį.

4 skaidrė

0: a = 0, kai a = 0, nes a 0 = 0

3) 4 užduotis

– Raskite išraiškos reikšmę kiekviename stulpelyje, apskaičiuodami pirmojo reikšmę.

Atliekama eilėmis sąsiuviniuose ir prie lentos abipusei ir savikontrolei.

4 ugdymo užduoties teiginys:

– Koks yra bet kurio skaičiaus a, nelygaus nuliui, padalijimo iš to paties skaičiaus?

Ugdymo problemos sprendimas:

– Dalydami bet kurį skaičių a, kuris nėra lygus nuliui, gauname vieną. Paraiškos skaidrė Nr. 5

a: a = 1, jei a = 0, nes a 1 = a

4) Kūno kultūros pamoka „Mankšta“

Kiekvieną dieną ryte darome mankštą (vaikščiojimas vietoje).
Mums labai patinka tai daryti eilės tvarka:
Smagiai pasivaikščiokite (vaikščioti),
Pakelk rankas (Rankas aukštyn),
Pritūpkite ir atsistokite (pritūpimai 4-6 kartus),
Šokinėti ir šuoliuoti (5–6 šuoliai).

Ritminis skaičiavimas. Pratimai akims.

3. Pirminis konsolidavimas

1) 5 užduotis

Komandinis darbas prie lentos su paaiškinimu.

– Jei įmanoma, suraskite posakių reikšmes. Sugalvokite panašių posakių ir suraskite jų reikšmes.*

2) Savarankiškas darbas pagal galimybes

6 skaidrė

25: 25 = 37: 1 = 0: 147 = 2: 0 = 0: 1 =

52: 52 = 73: 1 = 0: 741 = 5: 0 = 1: 1 =

– Išbandykite save darydami priešingai.

Savikontrolė 7 skaidrėje. Tarpusavio peržiūra. Savigarba.

3) Kūno kultūros pamoka „Mankšta“

Kartą - pakilk, ištempk,
Du - pasilenk, išsitiesk,
Trys-trys rankų plakimai,
Trys galvos linktelėjimai.
Keturios - rankos platesnės,
Penki - mojuokite rankomis,
Šeši – ramiai sėdėkite prie savo stalo.

Akupresūra. Kvėpavimo pratimai.

– Kaip suformuluotumėte šiandienos mūsų pamokos temą? Kokios edukacinės užduotys buvo sprendžiamos? Kaip įvertintumėte savo žinias, įgytas pamokoje?

Problemos sprendimas (vadovėlis Nr. 7a)

7 skaidrė

„Iš sodo lysvės surinktos 72 morkos, dalis morkų sunaudota, kita dalis surišta į 5 kekes po 9 morkas. Kiek morkų sunaudojote?

- Perskaityk. Apie ką užduotis? Kas žinoma? Kaip pažymime surinktų morkų skaičių? (visas segmentas). Kaip žymime suvartotų morkų skaičių? (segmento dalis).

– Kaip žymime sujungtų morkų skaičių? (segmento dalis). Kurią dalį galima rasti iš karto? (rašykime tai kaip veiksmą). Ką reikia žinoti sprendžiant problemą? Kaip rasti nežinomą dalį? (iš visumos atimkite žinomą dalį). Užrašykime sprendimą ir paskaičiuokime. Prisiminkime veiksmų eiliškumą išraiškoje.

72 – 9 5 = 27 (m) – sunaudota.

– Kaip radote žinomą dalį?
– Kaip radote nežinomą dalį?

1) sustiprinti pamokos temą – kortelės;
2) tobulinti daugybos lentelių ir dalybos iš 2, 3, 4, 5 - kortelių žinias.
3) stipriems studentams lygtis ( 8 skaidrė):

1. x 1 = 45; y: y = 1; x 5 = 50
2. Nr.6 su 11, 1 ir 2 stulpeliais. (Ant lentos)

7. Namų darbai

P. 11 Nr.8, Nr.6 (3 p.).

8. Pamokos santrauka

– Ko Kolya išmoko? (11 psl., spalvų laukas) (Padalinkite iš nulio ir vieneto). O kaip tu? Kaip įvertinsite savo darbą klasėje?

(Savigarba – vaikai kelia žalius, geltonus, raudonus apskritimus)

Žalia– Esu patenkinta savimi, viskas man pavyko;
Geltona– Esu patenkintas savimi, nors man nepasisekė;
Raudona- Man reikia pagalbos.

GBPOU "Dzeržinskis" mokytojų rengimo kolegija»

Parengė:

Studentas gr. PNK-4

Martyukhina Albina

Nikolajevna

Matematikos pamokų užrašai

Tema: „Skaičiaus padalijimas iš 1 ir iš savęs“

Metodistas:

Ulanova E.V.______

Dzeržinskas, 2017 m

2 klasės „B“ matematikos pamokos santrauka

Matematika

Pamokos tema

"Skaičiaus padalijimas iš 1 ir iš savęs"

Klasė

2 "B"

UMK

„Žinių planeta“

Pamokos tipas

Pamoka mokytis naujų dalykų

Tikslas, tikslai

Tikslas:Kūrimas palankią atmosferą studijuoti temą „Dalijimas iš 1 ir iš savęs“

Švietimas:
1) Apsvarstykite atvejus, kai bet koks skaičius dalinamas iš 1, savaime, 0 dalijamas iš skaičiaus, neįmanoma padalyti iš 0;

2) Tęsti darbą, kad mokiniai suprastų ryšį tarp daugybos ir dalybos komponentų ir rezultatų;
3) Tobulinti problemų sprendimo įgūdžius;

Švietimas:
1) ugdyti raštingumą monologinė kalba

Švietimas:
1) ugdyti meilę studijuojamam dalykui.

Bendra informacija

Susiformavo UUD

Žinokite skaičiaus dalijimo iš 1 ir iš savęs taisykles

Metasubjektas UUD

Suvokti mokymosi užduotis, taupymastvisos pamokos metu.

Gebėti kompetentingai ir aiškiai suformuluoti savo mintis

Asmeninis UUD

Mokėti naudotis įsivertinimo formomis

Komunikabilus: makiažas mažas oralinis monologiniai pareiškimai

Asmeninis

klasėje naudoti įsivertinimo formas

Suplanuoti pamokos rezultatai

Literatūra ir interneto šaltiniai

Matematikos vadovėlis 2 klasei, Bashmakov M.I., Nefedova M.G.

Papildomas

Schemos, lentelės

Įranga

TCO-kompiuteris (prezentacija), vadovėlis,Protingas- lenta

Studentams:

vadovėliai

Pamokos planas:

Organizacinis momentas(2 min.)

Skaičiavimas žodžiu (5 min.)

Atnaujinti pagrindines žinias(3 min.)

Naujų žinių atradimas (14min)

Kūno kultūros minutė (2 min.)

Pirminis sutvirtinimas su tarimu išorinėje kalboje (14 min.)

Namų darbų atlikimo instrukcija (2 min.)

Atspindys (3 min.)

Pamokos eiga:

Multimedijos pristatymas

RUUD: priimkite mokymosi užduotį

2.Skaičiavimas žodžiu

Stiprinti įgūdžius

Žaidimas "Grandinė"

Vikšras nušliaužė, padėk jam rasti prasmę.

320 -300: 4 . 9 +9:9

Ką tu prisiminei?

Nežinau, negaliu patekti į " Saulėtas miestas“ Ant vartų yra kodas, kurio jis negali iššifruoti. Padėkite jam.

Užduotis skaidrėje

Jie sprendžia problemas ir padeda Dunno

Skaičiavimas žodžiu

Darbas sąsiuvinyje

demonstracija

PUUD: Gebėti daugintis oralinės technikos papildymas

Mokėti apskaičiuoti sumą ir skirtumą naudojant rašyti algoritmai papildymas.

mokėti spręsti pavyzdžius.

RUUD:

priimti mokymosi užduotį

RUUD:

priimti mokymosi užduotį

WPMP:

Žinoti daugybos ir dalybos komponentus

3.Pagrindinių žinių atnaujinimas

Uždengtos medžiagos kartojimas

Kokias taisykles naudojote?

Kaip rasti nežinomą daugiklį?

Kaip rasti daliklį? Kaip rasti dividendą?

Suradimas nežinomas daugiklis, dividendas ir daliklis.

Padalinkite produkto vertę iš žinomo koeficiento.

Dividendą reikia padalyti iš koeficiento vertės.

Dalyvio reikšmę padauginkite iš daliklio.

Apklausa

Demonstracija

4 .Naujų žinių atradimas

Naujų žinių atradimas

Maša ir Miša lentoje.

7:1=7 9:1=9

7:7=1 9:9=9

0:7=0 0:9=1

Kuo Mašos ir Mišos išraiškos panašios? Ar jau esame susidūrę su tokiais posakiais?

Kas gali mums pasakyti, ko išmoksime šiandien?

Ir mes sužinosime ką nors kita.

Kuris vaikas tai padarė teisingai? D. Maša.

Įrodyk.

Išvada:

Dalindami bet kurį skaičių iš 1, gauname tą patį skaičių; a:1=a.

Dalindami bet kurį skaičių iš savęs, gauname 1. Su sąlyga, kad a=0; a: a=1, a=0.

Dalindami 0 iš bet kurio skaičiaus, gauname 0, jei a = 0; 0:a=0, a=0.

Patikrinkite išvadą su taisyklėmis p. 54

Ar nieko nepastebėjai? Atspėk, kodėl negalite padalyti iš 0.

Abu turi koeficientą, padalijimą iš 1, padalijimą iš savęs, 0 dalijimą iš skaičiaus.

Nr.

Šiandien išmoksime padalyti bet kurį skaičių iš 1, iš savęs, padalyti 0 iš skaičiaus...

Jei mums 7 . 7=7, 0 . 7=0. Tai reiškia, kad ji buvo užpildyta, teisingai, t.y. Dalyvio vertė padauginama iš daliklio, kad būtų gautas dividendas.

Taisykles skelbiu ant ženklų, kai jas paaiškinu, ir mes jas kartu paaiškiname.

Taip pat yra ketvirta taisyklė. Negalite padalyti iš 0. a:0

Pavyzdžiui: 3:0=3, aš patikrinsiu.

3 . 0=0, bet pagal taisyklę turėtų būti 3. Taip negali atsitikti!

Todėl negalima padalyti iš 0.

Apklausa

Pokalbis

Multimedijos pristatymas

Demonstracija

RUUD:

priimti mokymosi užduotį

WPMP:

Žinokite dalijimosi iš 0, savęs ir 1 taisyklę

5. Fizinė minutė

Funkcionalumo atkūrimas

Vaizdo įrašymas

6 .Pirminis konsolidavimas su tarimu išorinėje kalboje

Įtvirtinti įgytas žinias

Dunno išsprendė visus posakius lentoje ir laukia, kol pasitarsite su juo. Užbaikite darbą sąsiuviniuose ir patikrinkite lentą.

9:1=1 9 0:5=5 0

63:1=63 0:54=0

8:8=1 0:12=0

75:75=0 1 14:0=0

ką pastebėjai?

Kas jame įkliuvo?

Ko nežino?

Išvada

Ko nežinojo?

170 uždavinys

Perskaitykite problemą. Pabrėžkite paskutinį klausimą. Ko išmoksime sprendžiant problemą? Kas žinoma apie problemą?

Kaip parodyti diagramoje?

Ką reikia žinoti?

Kas eis į valdybą ir išspręs problemą?

Sprendimas yra lentoje ir užrašų knygelėse.

48-6=42 (ok.) pagavo Sasha.

42:7=6 (ok.) pagavo Koliją.

48+42+6=96 (apytiksliai)

Atsakymas: Visi berniukai pagavo 96 ešerius.

Kas norėtų išbandyti savo žinias sprendžiant problemas? padidėjęs sudėtingumas? (vienas mokinys išsprendžia problemąProtingas-lentoje, kita - kortelėje iš kolekcijos - tema „Daugyba ir dalyba“

Spąstai.

Negalite padalyti iš 0.

Paaiškinkite likusias išraiškas.

Kiek ešerių pagavo visi trys berniukai?

Kad buvo trys berniukai Miša, Sasha ir Kolya.

Miša pagavo 48 ešerius. Sasha, mes nežinome, kiek, bet sakoma, kad tai yra 6 mažiau.

Ir Kolya - mes taip pat nežinome, kiek, bet žinome, kad tai yra 7 kartus mažiau nei Sasha.

Kiek ešerių pagavo visi trys berniukai?

Pratimai

Pokalbis

WPMP:

Žinoti dalybos iš 0, 1 ir save taisyklę, mokėti jas taikyti sprendžiant uždavinius

RUUD:

priimti mokymosi užduotį

KUUD: Gebėti tiksliai ir kompetentingai suformuluoti savo klausimus ir atsakymus, statyti kalbos pasisakymai;

LUUD: mokėti išreikšti savo nuomonę ir padėtis

6.Namų darbų atlikimo instrukcija

Namų darbų paaiškinimas

Atidarykite dienoraščius ir parašykite namų darbai

№ 167 (6 paskutinės išraiškos), Nr. 169 (5 z.)

Mokytojo žodis

7.Atspindys

Apibendrinant pamoką

Dabar grįžkime prie savo Mišos ir patikrinkime, ką jis padarė ne taip.

9:9=1 yra teisinga, nes 9 . 1=9

9:9=9 1 yra neteisingas, nes Kai skaičius yra padalintas iš savęs, gauname 1.

0:9=1 0 yra neteisingas, nes dalijant 0 iš bet kurio skaičiaus, nelygaus 0, gauname 0. Į kokius spąstus nepakliūtime?. Ačiū visiems. Pamoka baigta.

Atsakykite į mokytojų klausimus

Negalite padalyti iš 0.

Pokalbis

CUUD: klausykite kitų, laikykitės bendravimo taisyklių; ir teisingai formuluoti savo klausimus ir atsakymus, konstruoti kalbos teiginius;

išsakyti savo nuomonę ir pozicijas

LUUD: klausykite kitų, laikykitės bendravimo taisyklių

Skaičius 0 gali būti įsivaizduojamas kaip tam tikra siena, skirianti pasaulį realūs skaičiai iš įsivaizduojamo ar neigiamo. Dėl dviprasmiškos padėties daug operacijų su š skaitinė reikšmė nepaklusk matematinė logika. Puikus to pavyzdys yra tai, kad neįmanoma padalyti iš nulio. Ir leistinas aritmetinės operacijos su nuliu gali būti padaryta naudojant visuotinai priimtus apibrėžimus.

Nulio istorija

Nulis yra atskaitos taškas visame kame standartinės sistemos skaičiavimas. Europiečiai šį skaičių pradėjo naudoti palyginti neseniai, tačiau išminčiai Senovės Indija naudojo nulį tūkstantį metų prieš tai, kai Europos matematikai pradėjo naudoti tuščią skaičių. Dar prieš indėnus nulis buvo privaloma reikšmė skaitine sistema Majų. Šie amerikiečiai naudojo dvyliktainę skaičių sistemą, o pirmoji kiekvieno mėnesio diena prasidėdavo nuliu. Įdomu tai, kad tarp majų ženklas, reiškiantis „nulis“, visiškai sutapo su ženklu, reiškiančiu „begalybę“. Taigi senovės majai padarė išvadą, kad šie kiekiai yra identiški ir nežinomi.

Matematiniai veiksmai su nuliu

Standartinis matematines operacijas su nuliu gali būti sumažintas iki kelių taisyklių.

Papildymas: jei prie savavališko skaičiaus pridėsite nulį, jis nepakeis jo reikšmės (0+x=x).

Atimtis: kai iš bet kurio skaičiaus atimate nulį, atimties vertė lieka nepakitusi (x-0=x).

Daugyba: bet koks skaičius, padaugintas iš 0, gauna 0 (a*0=0).

Padalinys: Nulį galima padalyti iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui. Tokiu atveju tokios trupmenos reikšmė bus 0. O dalyti iš nulio draudžiama.

Eksponentiškumas. Šį veiksmą galima atlikti su bet kokiu numeriu. Savavališkas skaičius, pakeltas iki nulinės galios, duoda 1 (x 0 = 1).

Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus 0 (0 a = 0).

Tokiu atveju iš karto iškyla prieštaravimas: išraiška 0 0 neturi prasmės.

Matematikos paradoksai

Daugelis žmonių iš mokyklos žino, kad dalyti iš nulio neįmanoma. Tačiau paaiškinti tokio draudimo priežasties kažkodėl neįmanoma. Tiesą sakant, kodėl dalijimo iš nulio formulės nėra, bet kiti veiksmai su šiuo skaičiumi yra gana pagrįsti ir įmanomi? Atsakymą į šį klausimą pateikia matematikai.

Reikalas tas, kad įprastos aritmetinės operacijos, kurias mokosi moksleiviai pradinė mokykla Tiesą sakant, jie nėra tokie lygūs, kaip manome. Visi paprastos operacijos su skaičiais galima sumažinti iki dviejų: sudėties ir daugybos. Šie veiksmai sudaro pačios skaičiaus sąvokos esmę, o kitos operacijos yra pagrįstos šių dviejų vartojimu.

Sudėjimas ir daugyba

Paimkime standartinis pavyzdys atimti: 10-2=8. Mokykloje jie svarsto paprastai: iš dešimties dalykų atėmus du, lieka aštuoni. Tačiau matematikai į šią operaciją žiūri visiškai kitaip. Juk tokia operacija kaip atimtis jiems neegzistuoja. Šį pavyzdį galima parašyti ir kitaip: x+2=10. Matematikams nežinomas skirtumas yra tiesiog skaičius, kurį reikia pridėti prie dviejų, kad būtų aštuoni. Ir čia nereikia atimti, tereikia rasti atitinkamą skaitinę reikšmę.

Daugyba ir dalyba traktuojami vienodai. Pavyzdyje 12:4=3 galite tai suprasti mes kalbame apie apie aštuonių objektų padalijimą į dvi lygias krūvas. Tačiau iš tikrųjų tai tik apversta formulė rašant 3x4 = 12. Tokių padalijimo pavyzdžių galima pateikti be galo.

Padalinimo iš 0 pavyzdžiai

Čia tampa šiek tiek aišku, kodėl negalite padalyti iš nulio. Daugyba ir padalijimas iš nulio laikosi savo taisyklių. Visi šio dydžio padalijimo pavyzdžiai gali būti suformuluoti kaip 6:0 = x. Bet tai yra atvirkštinis išraiškos 6 * x=0 žymėjimas. Bet, kaip žinote, bet koks skaičius, padaugintas iš 0, duoda tik 0. Ši savybė būdinga pačiai nulinės vertės sąvokai.

Pasirodo, nėra tokio skaičiaus, kuris, padauginus iš 0, gautų kokią nors apčiuopiamą vertę, t. šią užduotį neturi sprendimo. Jūs neturėtumėte bijoti šio atsakymo, tai yra natūralus atsakymas į tokio tipo problemas. Tiesiog rekordas 6:0 neturi jokios prasmės ir nieko negali paaiškinti. Trumpai tariant, šią išraišką galima paaiškinti nemirtingu žodžiu „dalyti iš nulio neįmanoma“.

Ar yra 0:0 operacija? Iš tiesų, jei daugybos iš 0 operacija yra teisėta, ar nulį galima padalyti iš nulio? Juk 0x 5=0 formos lygtis yra gana teisėta. Vietoj skaičiaus 5 galite įdėti 0, produktas nepasikeis.

Iš tiesų, 0x0 = 0. Bet jūs vis tiek negalite padalyti iš 0. Kaip jau minėta, skirstymas yra paprastas. atvirkštinis veikimas daugyba. Taigi, jei pavyzdyje 0x5=0, reikia nustatyti antrąjį faktorių, gauname 0x0=5. Arba 10. Arba begalybė. Begalybės dalijimas iš nulio – kaip tau tai patinka?

Bet jei koks nors skaičius telpa į išraišką, tada jis neturi prasmės, mes negalime begalinis skaičius numeriai, pasirinkite vieną. Ir jei taip, tai reiškia, kad išraiška 0:0 neturi prasmės. Pasirodo, net paties nulio negalima padalyti iš nulio.

Aukštoji matematika

Dalyba iš nulio yra galvos skausmas Už mokyklinė matematika. Mokėsi in technikos universitetai matematinė analizė šiek tiek išplečia problemų, kurios neturi sprendimo, sampratą. Pavyzdžiui, jau garsioji išraiška 0:0 pridedami nauji, kurie neturi sprendimo mokyklos kursai matematika:

• begalybė padalinta iš begalybės: ?:?;
• begalybė minus begalybė: ???;
• įmontuotas įrenginys begalinis laipsnis: 1 ? ;
• begalybė padauginta iš 0: ?*0;
• kai kurie kiti.

Elementariais metodais tokių išraiškų išspręsti neįmanoma. Bet aukštoji matematika dėka papildomos funkcijos eilei panašių pavyzdžių duoda galutiniai sprendimai. Tai ypač akivaizdu nagrinėjant problemas iš ribų teorijos.

Netikrumo atrakinimas

Ribų teorijoje reikšmė 0 pakeičiama sąlygine begalybe kintamasis. Ir posakius, kuriais, pakeičiant norimą vertę gaunamas ir paverčiamas dalijimas iš nulio. Žemiau pateikiamas standartinis ribos atskleidimo, naudojant įprastas algebrines transformacijas, pavyzdys:

Kaip matote pavyzdyje, paprasčiausiai sumažinus trupmeną, jos vertė yra visiškai racionali.

Svarstant ribas trigonometrinės funkcijos jų išraiškos linkusios redukuotis iki pirmosios nuostabi riba. Nagrinėjant ribas, kuriose vardiklis tampa 0, kai riba pakeičiama, naudojama antra reikšminga riba.

L'Hopital metodas

Kai kuriais atvejais išraiškų ribos gali būti pakeistos jų išvestinių ribomis. Guillaume'as L'Hopitalis - prancūzų matematikas, įkūrėjas prancūzų mokykla matematinė analizė. Jis įrodė, kad posakių ribos yra lygios šių posakių išvestinių riboms. IN matematinis žymėjimas jo taisyklė tokia.

Šiuo metu L'Hopital metodas sėkmingai naudojamas 0:0 ar?: tipo neapibrėžtumams išspręsti.

Kaip padalyti ir padauginti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir tt?

Parašykite dalybos ir daugybos taisykles.

Norėdami padauginti skaičių iš 0,1, tereikia perkelti dešimtainį tašką.

Pavyzdžiui, buvo 56 , tapo 5,6 .

Norėdami padalyti iš to paties skaičiaus, turite perkelti kablelį priešinga kryptimi:

Pavyzdžiui, buvo 56 , tapo 560 .

Su skaičiumi 0,01 viskas yra tas pats, bet jums reikia jį perkelti į 2 skaitmenis, o ne vieną.

Apskritai perkelkite tiek nulių, kiek jums reikia.

Pavyzdžiui, yra numeris 123456789.

Turite jį padauginti iš 0,000000001

Skaičiuje 0,000000001 yra devyni nuliai (nulį taip pat skaičiuojame kairėje nuo kablelio), o tai reiškia, kad skaičių 123456789 perkeliame 9 skaitmenimis:

Tai buvo 123456789, o dabar yra 0,123456789.

Kad ne padaugintume, o padalytume iš to paties skaičiaus, perkeliame kita kryptimi:

Tai buvo 123456789, o dabar 123456789000000000.

Norėdami tokiu būdu perkelti sveikąjį skaičių, tiesiog pridedame prie jo nulį. O trupmenoje perkeliame kablelį.

Skaičių padalijimas iš 0,1 reiškia, kad šis skaičius padauginamas iš 10

Skaičių padalijimas iš 0,01 atitinka šio skaičiaus padauginimą iš 100

Padalijimas iš 0,001 yra dauginamas iš 1000.

Kad būtų lengviau įsiminti, perskaitome skaičių, iš kurio reikia dalyti iš dešinės į kairę, nekreipdami dėmesio į kablelį, ir padauginame iš gauto skaičiaus.

Pavyzdys: 50: 0,0001. Tai tas pats, kas 50 padaugintas iš (skaitykite iš dešinės į kairę be kablelio – 10000) 10000. Pasirodo, 500000.

Tas pats su daugyba, tik atvirkščiai:

400 x 0,01 yra tas pats, kas 400 padalyti iš (skaitykite iš dešinės į kairę be kablelio – 100) 100: 400: 100 = 4.

Tiems, kuriems dalinant patogiau perkelti kablelius į dešinę, o dauginant ir dalinant iš tokių skaičių – į kairę, galite tai padaryti.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Padalijimas po kablelio

aš. Jei norite padalyti skaičių iš dešimtainės trupmenos, turite perkelti dividendo ir daliklio po kablelio skaitmenis į dešinę, kiek yra po kablelio daliklyje, ir padalyti iš natūraliojo skaičiaus.

Primary.

Atlikite padalijimą: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Sprendimas.

Pavyzdys 1) 16,38: 0,7.

Skirstykloje 0,7 po kablelio yra vienas skaitmuo, todėl perkelkime kablelius dividende ir padalinkime vieną skaitmenį į dešinę.

Tada mums reikės skirstyti 163,8 įjungta 7 .

Padalinkime pagal padalijimo taisyklę dešimtainis iki natūraliojo skaičiaus.

Mes skirstome taip, kaip jie dalijasi natūraliuosius skaičius. Kaip pašalinti numerį 8 - pirmasis skaitmuo po kablelio (t. y. skaitmuo dešimtojoje vietoje), taigi iš karto dėkite kablelį į koeficientą ir toliau skirstyti.

Atsakymas: 23.4.

Pavyzdys 2) 15,6: 0,15.

Perkeliame kablelius dividende ( 15,6 ) ir daliklis ( 0,15 ) du skaitmenys į dešinę, nes daliklyje 0,15 po kablelio yra du skaitmenys.

Prisimename, kad prie dešimtainės trupmenos dešinėje galite pridėti tiek nulių, kiek norite, ir tai nepakeis dešimtainės trupmenos.

15,6:0,15=1560:15.

Atliekame natūraliųjų skaičių dalybas.

Atsakymas: 104.

Pavyzdys 3) 3,114: 4,5.

Perkelkite kablelius į dividendą ir padalinkite vieną skaitmenį į dešinę ir padalinkite 31,14 įjungta 45 pagal dešimtainės trupmenos dalijimo iš natūraliojo skaičiaus taisyklę.

3,114:4,5=31,14:45.

Į koeficientą dedame kablelį, kai tik pašaliname skaičių 1 dešimtoje vietoje. Tada mes tęsiame skirstymą.

Norėdami užbaigti padalijimą, turėjome paskirti nulis prie numerio 9 - skirtumai tarp skaičių 414 Ir 405 . (mes žinome, kad nuliai gali būti pridedami dešinėje dešimtainės trupmenos pusėje)

Atsakymas: 0,692.

Pavyzdys 4) 53,84: 0,1.

Perkelkite kablelius į dividendą ir daliklį į 1 numeris į dešinę.

Mes gauname: 538,4:1=538,4.

Išanalizuokime lygybę: 53,84:0,1=538,4. Šiame pavyzdyje atkreipkite dėmesį į kablelį dividende ir gautame koeficiente esantį kablelį. Pastebime, kad kablelis dividende perkeltas į 1 skaičių į dešinę, tarsi daugintume 53,84 įjungta 10. (Žr. vaizdo įrašą „Dešimtainės dalies dauginimas iš 10, 100, 1000 ir t. t.“) Taigi taisyklė, kaip padalyti dešimtainį skaičių iš 0,1; 0,01; 0,001 ir tt

II. Dešimtainę padalyti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir tt, dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis. (Dešimtainės dalies padalijimas iš 0,1, 0,01, 0,001 ir tt yra tas pats, kas tą dešimtainį skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir kt.)

Pavyzdžiai.

Atlikite padalijimą: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Sprendimas.

Pavyzdys 1) 617,35: 0,1.

Pagal taisyklę II padalijimas pagal 0,1 yra lygus padauginimui iš 10 , ir perkelkite kablelį į dividendą 1 skaitmuo į dešinę:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Pavyzdys 2) 0,235: 0,01.

Padalijimas pagal 0,01 yra lygus padauginimui iš 100 , o tai reiškia, kad dividende perkeliame kablelį įjungta 2 skaitmenys į dešinę:

2) 0,235:0,01=23,5.

Pavyzdys 3) 2,7845: 0,001.

Nes padalijimas pagal 0,001 yra lygus padauginimui iš 1000 , tada perkelkite kablelį 3 skaitmenys į dešinę:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Pavyzdys 4) 26,397: 0,0001.

Padalinkite dešimtainį iš 0,0001 - tai tas pats, kas jį padauginti iš 10000 (perkelkite kablelį 4 skaitmenimis teisingai). Mes gauname:

www.mathematics-repetition.com

Daugyba ir dalyba iš 10, 100, 0,1, 0,01 formos skaičių

Šią vaizdo pamoką galima įsigyti užsiprenumeravus

Jau turite prenumeratą? Prisijungti

Įjungta šią pamoką Pažiūrėsime, kaip atlikti daugybą ir padalijimą iš 10, 100, 0,1, 0,001 formos skaičių. Taip pat bus nuspręsta įvairių pavyzdžiųšia tema.

Skaičių padauginimas iš 10, 100

Pratimai. Kaip skaičių 25,78 padauginti iš 10?

Dešimtainis žymėjimas duotas numeris yra sutrumpinta sumos forma. Būtina tai apibūdinti išsamiau:

Taigi reikia padauginti sumą. Norėdami tai padaryti, galite tiesiog padauginti kiekvieną terminą:

Pasirodo, kad...

Galime daryti išvadą, kad dešimtainę trupmeną padauginti iš 10 yra labai paprasta: reikia perkelti kablelį į dešinę vietą.

Pratimai. 25,486 padauginkite iš 100.

Padauginti iš 100 yra tas pats, kas padauginti iš 10 du kartus.

Skaičių dalijimas iš 10, 100

Pratimai. Padalinkite 25,78 iš 10.

Kaip ir ankstesniu atveju, skaičių 25,78 turite pateikti kaip sumą:

Kadangi reikia padalyti sumą, tai prilygsta kiekvieno termino padalijimui:

Pasirodo, norint padalyti iš 10, reikia perkelti dešimtainį tašką į kairę vieną poziciją. Pavyzdžiui:

Pratimai. Padalinkite 124,478 iš 100.

Padalijimas iš 100 yra tas pats, kas du kartus iš 10, todėl kablelis po kablelio perkeliamas į kairę 2 vietomis:

Daugybos ir dalybos iš 10, 100, 1000 taisyklė

Jei dešimtainę trupmeną reikia padauginti iš 10, 100, 1000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek pozicijų, kiek daugiklyje yra nulių.

Ir atvirkščiai, jei dešimtainę trupmeną reikia padalyti iš 10, 100, 1000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į kairę tiek pozicijų, kiek daugiklyje yra nulių.

Pavyzdžiai, kai reikia perkelti kablelį, bet nebelieka skaičių

Padauginus iš 100, dešimtainis skaičius perkeliamas dviem vietomis į dešinę.

Po pamainos galite pastebėti, kad po kablelio nebėra skaičių, o tai reiškia trupmeninė dalis nėra. Tada kablelio nereikia, skaičius yra sveikasis skaičius.

Turite pasislinkti 4 pozicijomis į dešinę. Tačiau po kablelio yra tik du skaitmenys. Verta prisiminti, kad yra lygiavertis trupmenos 56,14 žymėjimas.

Dabar lengva padauginti iš 10 000:

Jei nelabai aišku, kodėl ankstesniame pavyzdyje prie trupmenos galite pridėti du nulius, tai gali padėti papildomas vaizdo įrašas nuorodoje.

Lygiaverčiai dešimtainiai ženklai

52 įrašas reiškia:

Jei priešais dedame 0, gauname įrašą 052. Šie įrašai yra lygiaverčiai.

Ar galima priekyje dėti du nulius? Taip, šie įrašai yra lygiaverčiai.

Dabar pažiūrėkime į dešimtainę trupmeną:

Jei priskirsite nulį, gausite:

Šie įrašai yra lygiaverčiai. Panašiai galite priskirti kelis nulius.

Taigi bet kuris skaičius gali turėti kelis nulius po trupmeninės dalies ir kelis nulius prieš sveikąją dalį. Šie bus lygiaverčiai įrašai tas pats numeris.

Kadangi įvyksta padalijimas iš 100, dešimtainį kablelį reikia perkelti 2 pozicijomis į kairę. Kairėje nuo kablelio neliko skaičių. Visa dalis nėra. Šį žymėjimą dažnai naudoja programuotojai. Matematikoje, jei nėra visos dalies, jos vietoje dedamas nulis.

Jį reikia perkelti į kairę trimis pozicijomis, tačiau yra tik dvi pozicijos. Jei prieš skaičių parašysite kelis nulius, tai bus lygiavertis žymėjimas.

Tai yra, kai perjungiama į kairę, jei skaičiai baigiasi, juos reikia užpildyti nuliais.

IN šiuo atveju Verta prisiminti, kad kablelis visada rašomas po visos dalies. Tada:

Padauginti ir padalyti iš 0,1, 0,01, 0,001

Padauginti ir padalyti iš skaičių 10, 100, 1000 yra labai paprasta procedūra. Lygiai tokia pati situacija yra su skaičiais 0,1, 0,01, 0,001.

Pavyzdys. 25,34 padauginkite iš 0,1.

Parašykime dešimtainę trupmeną 0,1 kaip paprastąją trupmeną. Bet dauginti iš yra tas pats, kas dalyti iš 10. Todėl reikia perkelti dešimtainį tašką 1 padėtimi į kairę:

Panašiai, padauginus iš 0,01, padalijama iš 100:

Pavyzdys. 5,235 padalytas iš 0,1.

Sprendimas šis pavyzdys konstruojamas panašiai: 0,1 išreiškiamas kaip bendroji trupmena, o dalijimas iš yra tas pats, kas padauginti iš 10:

Tai reiškia, kad norint padalyti iš 0,1, dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę vieną vietą, o tai prilygsta padauginimui iš 10.

Daugybos ir dalybos iš 0,1, 0,01, 0,001 taisyklė

Padauginti iš 10 ir padalyti iš 0,1 yra tas pats. Kablelis turi būti perkeltas į dešinę 1 vieta.