Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą? plokščia figūra aplink ašį.

Geometrinės tūrinės figūros yra kietosios medžiagos, kurios Euklido (trimatėje) erdvėje užima ne nulinį tūrį. Šiuos skaičius tiria matematikos šaka, vadinama „erdvinė geometrija“. Žinios apie trimačių figūrų savybes yra naudojamos inžinerijoje ir gamtos moksluose. Straipsnyje aptarsime geometrinių trimačių figūrų ir jų pavadinimų klausimą.

Geometrinės kietosios medžiagos

Kadangi šie kūnai turi baigtinį matmenį trimis erdvinėmis kryptimis, geometrijoje jiems apibūdinti naudojama trijų kūnų sistema. koordinačių ašys. Šios ašys turi šias savybes:

Jie yra statmeni vienas kitam, tai yra, statmeni.
Šios ašys yra normalizuotos, o tai reiškia, kad kiekvienos ašies baziniai vektoriai yra vienodo ilgio.
Bet kuri koordinačių ašis yra rezultatas vektorinis produktas dar du.

Kalbant apie geometrines tūrines figūras ir jų pavadinimus, reikia pažymėti, kad jie visi priklauso vienai iš 2 didelių klasių:

Daugiakampių klasė. Šios figūros, remiantis klasės pavadinimu, turi tiesius kraštus ir plokščius veidus. Veidas yra plokštuma, kuri riboja formą. Taškas, kuriame susijungia du paviršiai, vadinamas briauna, o taškas, kuriame susijungia trys paviršiai, vadinamas viršūne. Daugiakampiai apima geometrinę kubo figūrą, tetraedrus, prizmes ir piramides. Šioms figūroms galioja Eilerio teorema, kuri nustato ryšį tarp kiekvieno daugiakampio kraštinių skaičiaus (C), briaunų (P) ir viršūnių (B). Matematiškai ši teorema parašyta taip: C + B = P + 2.
Apvalių kūnų arba revoliucijos kūnų klasė. Šios figūros turi bent vieną išlenktą paviršių. Pavyzdžiui, rutulys, kūgis, cilindras, toras.

Kalbant apie tūrinių figūrų savybes, reikėtų pabrėžti du svarbiausius iš jų:

Tam tikro tūrio, kurį figūra užima erdvėje, buvimas.
Kiekvienos trimatės figūros buvimas

Abi kiekvienos figūros savybės apibūdinamos konkrečiomis matematinėmis formulėmis.

Toliau panagrinėkime paprasčiausias geometrines tūrines figūras ir jų pavadinimus: kubas, piramidė, prizmė, tetraedras ir rutulys.

Kubo figūra: aprašymas

Geometrinės figūros kubas yra trimatis kūnas, sudarytas iš 6 kvadratinių plokštumų arba paviršių. Ši figūra dar vadinama įprastu šešiakampiu, nes turi 6 kraštines, arba stačiakampiu gretasieniu, nes susideda iš 3 porų lygiagrečios pusės, kurios yra viena kitai statmenos. Jis vadinamas kubu, kurio pagrindas yra kvadratas, o aukštis lygus pagrindo kraštinei.

Kadangi kubas yra daugiakampis arba daugiakampis, jo briaunų skaičiui nustatyti galima pritaikyti Eulerio teoremą. Žinant, kad kraštinių skaičius yra 6, o kubas turi 8 viršūnes, briaunų skaičius yra toks: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Jei kubo kraštinės ilgį pažymėsime raide „a“, tai jo tūrio ir paviršiaus ploto formulės atrodys taip: atitinkamai V = a 3 ir S = 6*a 2.

Piramidės figūra

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš paprasto daugiakampio (piramidės pagrindo) ir trikampių, kurie jungiasi su pagrindu ir turi vieną bendras viršus(piramidės viršuje). Trikampiai vadinami piramidės šoniniais paviršiais.

Geometrinės piramidės charakteristikos priklauso nuo to, kuris daugiakampis yra jos pagrindu, taip pat nuo to, ar piramidė yra tiesi ar įstriža. Tiesi piramidė suprantama kaip piramidė, kurios pagrindui statmena tiesi linija, nubrėžta per piramidės viršūnę, kerta pagrindą jos taške. geometrinis centras.

Vienas iš paprastos piramidės yra keturkampė tiesi piramidė, kurios pagrinde yra kvadratas su kraštine „a“, šios piramidės aukštis yra „h“. Šios piramidės figūros tūris ir paviršiaus plotas bus lygūs: atitinkamai V = a 2 *h/3 ir S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Taikant jį, atsižvelgiant į tai, kad veidų skaičius yra 5, o viršūnių skaičius yra 5, gauname briaunų skaičių: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Tetraedro figūra: aprašymas

Geometrinė figūra tetraedras suprantamas kaip trimatis kūnas, sudarytas iš 4 veidų. Remiantis erdvės savybėmis, tokie veidai gali vaizduoti tik trikampius. Taigi tetraedras yra ypatingas piramidės atvejis, kurio pagrindas yra trikampis.

Jei visi 4 trikampiai, sudarantys tetraedro paviršius, yra lygiakraščiai ir lygūs vienas kitam, tai toks tetraedras vadinamas taisyklingu. Šis tetraedras turi 4 paviršius ir 4 viršūnes, kraštinių skaičius yra 4 + 4 - 2 = 6. Taikant standartines formules iš plokštumos geometrijos nagrinėjamai figūrai gauname: V = a 3 * √2/12 ir S = √ 3*a 2, kur a lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis.

Įdomu pastebėti, kad gamtoje kai kurios molekulės turi formą taisyklingas tetraedras. Pavyzdžiui, metano molekulė CH 4, kurioje vandenilio atomai yra tetraedro viršūnėse ir yra kovalentiniu būdu sujungti su anglies atomu. cheminiai ryšiai. Anglies atomas yra tetraedro geometriniame centre.

Tetraedro forma, kurią lengva gaminti, taip pat naudojama inžinerijoje. Pavyzdžiui, tetraedrinė forma naudojama gaminant laivų inkarus. Atkreipkite dėmesį, kad kosminis zondas 1997 m. liepos 4 d. ant Marso paviršiaus nusileidęs NASA „Mars Pathfinder“ taip pat buvo tetraedro formos.

Prizminė figūra

Tai geometrinė figūra galima gauti paėmus du daugiabriaunius, išdėstius juos lygiagrečiai vienas kitam skirtingose erdvės plokštumose ir atitinkamai sujungus jų viršūnes. Rezultatas bus prizmė, jos pagrindais vadinami du daugiakampiai, o šiuos daugiabriaunius jungiantys paviršiai turės lygiagretainių formą. Prizmė vadinama tiesia, jei ji pusės(lygiagretainės) yra stačiakampiai.

Prizmė yra daugiakampis, todėl Eulerio teorema jai yra teisinga. Pavyzdžiui, jei prizmės pagrindas yra šešiakampis, tai prizmės kraštinių skaičius yra 8, o viršūnių skaičius yra 12. Kraštinių skaičius bus lygus: P = 8 + 12 - 2 = 18 Tiesios h aukščio prizmės, kurios pagrinde yra taisyklingas šešiakampis, kurio kraštinė yra a, tūris lygus: V = a 2 *h*√3/4, paviršiaus plotas lygus: S = 3*a*(a*). √3 + 2*h).

Kalbant apie paprastas geometrines tūrines figūras ir jų pavadinimus, reikėtų paminėti rutulį. Tūrinis kūnas, vadinamas rutuliu, suprantamas kaip kūnas, kuris yra apribotas sfera. Savo ruožtu sfera yra erdvės taškų rinkinys, esantis vienodu atstumu nuo vieno taško, kuris vadinamas sferos centru.

Kadangi rutulys priklauso apvalių kūnų klasei, jam nėra kraštinių, briaunų ir viršūnių sąvokos. Rutulio, gaubiančio rutulį, paviršiaus plotas randamas pagal formulę: S = 4*pi*r 2, o rutulio tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę: V = 4*pi*r 3 /3, čia pi yra skaičius pi (3.14), r – rutulio (rutulio) spindulys.

Tūriniai kūnai Apsidairykite aplinkui ir rasite visur tūriniai kūnai. Tai geometrinės figūros, kurios turi tris matmenis: ilgį, plotį ir aukštį. Pavyzdžiui, norint įsivaizduoti daugiaaukštį pastatą, pakanka pasakyti: „Šis namas yra trijų įėjimų, dviejų langų pločio ir šešių aukštų“. Jums žinoma nuo pradinė mokykla stačiakampis gretasienis ir kubas yra visiškai aprašyti trimis matmenimis. Visi mus supantys objektai turi tris matmenis, tačiau ne visus juos galima pavadinti ilgiu, pločiu ir aukščiu. Pavyzdžiui, medžiui galime nurodyti tik aukštį, virvei - ilgį, skylei - gylį. O dėl kamuolio? Ar jis taip pat turi tris matmenis? Sakome, kad kūnas turi tris matmenis (yra tūrinis), jei į jį galima įdėti kubą ar rutulį. Tiek sfera, tiek cilindras, tiek kūgis turi tris matmenis.

Daugiakampis Kūnas, kurį riboja plokštumos daugiakampiai, vadinamas daugiakampiu. Pavyzdžiui, kubas ribojamas vienodais kvadratais. Daugiakampiai, sudarantys daugiakampio paviršių, vadinami veidais. Šių daugiakampių kraštinės yra daugiakampių briaunos. Daugiakampių viršūnės, daugiakampių viršūnės. Pavyzdžiui, kubas turi 6 veidus (visi vienodi kvadratai), 12 briaunų ir 8 viršūnės.

Daugiakampis. Piramidė. Daugiakampis dešinėje turi specialus vardas: teisingai keturkampė piramidė. Būtent tokia yra garsiosios Cheopso piramidės forma: jos apačioje yra kvadratas ir šoniniai veidai vienodi trikampiai. Kiek paviršių, briaunų ir viršūnių turi šis daugiakampis? Kai kurios paveikslėlyje pateiktos formos yra daugiakampės, o kai kurios – ne. Kokiais skaičiais pavaizduoti daugiakampiai?

Išgaubti ir neišgaubti daugiakampiai Daugiakampiai, kaip jau žinome, gali būti išgaubti ir neišgaubti. Išgaubtas daugiakampis yra vienoje bet kurios linijos, kurioje yra bet kuri daugiakampio pusė, pusėje. O ne išgaubtam, galite rasti tokią kraštinę, kad tiesi linija, kurioje ji yra, daugiakampį „supjaustytų“ į dalis. Paveiksle geltonas daugiakampis yra išgaubtas, o mėlynas - neišgaubtas. Daugiakampiai taip pat gali būti išgaubti arba neišgaubti. Išgaubtas daugiakampis yra vienoje bet kurios plokštumos, kurioje yra bet kuris jo paviršius, pusėje. O neišgaubtam daugiakampiui galima rasti tokį veidą, kad pro jį einanti plokštuma jį „supjaustys“ į gabalus. Geltonas daugiakampis paveikslėlyje yra išgaubtas. Kurie skaičiai paveiksle rodo išgaubtus daugiabriaunius, o kurie – neišgaubtus?

Atsakykite į klausimus: 1. Koks yra kubo veidas: a) atkarpa c) kvadratas; 2.Kas yra kubo kraštas: a) atkarpa c) kvadratas; 3.Ką vaizduoja kubo viršūnė: a) atkarpą c) kvadratą; 4.Kiek veidų jis turi? stačiakampis gretasienis: a) 8b) 6c) 12 5. Daugiakampis yra a) bet koks tūrinis kūnas b) kūnas, apribotas plokščiais daugiakampiais

Atsakykite į klausimus: 6. Kas slypi bazėje taisyklinga piramidė a) stačiakampis) kvadratasc) lygiagretainis 7. Kuri figūra yra taisyklingosios piramidės paviršius a) stačiakampis) kvadratasc) taisyklingas trikampis 8. Išgaubtas daugiakampis a) yra vienoje pusėje bet kurios plokštumos, kurioje yra bet kuris jo paviršius b) bet kuris tūrinis kūnas c) yra abiejose bet kurios plokštumos, turinčios bet kurį jo paviršių, pusėse. 9.Kokie skaičiai pavaizduoti paveiksle išgaubtiems daugiakampiams?

Naudoti ištekliai: Mokyklos svetainė nuotolinis mokymasis(Maskva) nuotolinio mokymosi mokyklos (Maskva) Internetinė enciklopedija aplink pasaulį OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / nuotraukos %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8 %D0%B4 %D0 %B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Geometrijos vadovėlis 6-9

Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Meistras raštingas ir greita technologija braižymą galima atlikti naudojant mokymo medžiaga ir grafikų geometrinės transformacijos. Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje.

Paprastai į integralinis skaičiavimas yra daug įdomių programų apibrėžtasis integralas Galite apskaičiuoti figūros plotą, apsisukimo kūno tūrį, lanko ilgį, apsisukimo paviršiaus plotą ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštuma. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Bet be to ši figūra Taip pat galite pasukti ir pasukti dviem būdais:

– aplink abscisių ašį;
– aplink ordinačių ašį.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema, ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

plokščia figūra aplink ašį

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas prasideda piešiniu plokščia figūra . Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Tai yra Kinijos priminimas ir toliau šiuo momentu Aš nebestojau.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra yra nuspalvinta mėlyna spalva. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ką nors paaiškinti žinyne, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

IN praktines užduotis plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: , taigi integralas visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Kadangi dauguma universali formulė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gal kubinių kilometrų ir pan., tiek mažų žalių žmogeliukų tavo vaizduotė gali sutalpinti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidaro sukimosi būdu aplink figūros ašį, apribotą linijomis , ,

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dar du sudėtingos užduotys, su kuriais taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apskritimu žalias. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Mes naudojame standartinė formulė Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad į šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulė nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija . Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, vidutinis žmogus per visą gyvenimą išgeria 18 ploto kambario ekvivalentą. kvadratinių metrų, kurios, priešingai, atrodo per mažos apimties.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai ugdo, kaip sakė humoristas, supratimą ir moko ieškoti originalumo. nestandartiniai sprendimai problemų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po to lyrinis nukrypimas tikslinga nuspręsti kūrybinė užduotis:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos: jei argumentas yra padalintas iš dviejų: , tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Užduotis apskaičiuoti apsisukimo kūno aplink ordinačių ašį tūrį taip pat yra gana dažnas svečias. bandymai. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė mintis. gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar mes efektyvūs vadovai ir optimaliai valdyti savo darbuotojus“. Naudodamasis proga, taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab, kad naudoju įgytas žinias tiesioginis tikslas =).

Rekomenduoju visiems, net visiškiems manekenams. Be to, antroje pastraipoje išmokta medžiaga suteiks neįkainojamos pagalbos skaičiuojant dvigubus integralus.

5 pavyzdys

Suteikta plokščia figūra apribotas linijomis , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurio sritis yra nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
- segmente ;
- segmente.

Štai kodėl:

Kas šiuo atveju blogai? įprastu būdu sprendimai? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau „geresnes“ problemai.

Yra ir daugiau racionalus būdas sprendimai: tai yra persikėlimas į atvirkštinės funkcijos ir integracija išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: Turėtų būti nustatytos integravimo išilgai ašies ribos griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra daugiausia racionaliu būdu, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto apsisukimo kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris lygus skirtumui apimtis

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau , o ne pirmiausia pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau ne liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).

Išsamus dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslas:

gilinti ir plėsti vaikų supratimą apie plokščius ir trimačius objektus; jų palyginimas ir skirtumų tarp jų nustatymas;
mokinių žinių apie geometrines figūras ir jų savybes nustatymas ir apibendrinimas;
įvairių plokščių figūrų projektavimas;
ugdant įgūdžius dirbti grupėje, laikytis taisyklių, išsikelti tikslą, jo siekti, analizuoti savo ir grupės darbą.

Forma: pamoka-kelionė ar grupinis darbas užklasinėje veikloje.

Įranga: pristatymas klasei; kiekvienai grupei: konstravimo rinkinys, vokai su užduotimis ir figūromis, geometriniai kūnai, taisyklių kortelės.

Pamokos eiga

aš. Organizacinis momentas.

Atėjome čia mokytis, ne tingėti, o dirbti.
Dirbame kruopščiai ir atidžiai klausomės.
Kartu, linksmai ir draugiškai darome viską, ko reikia.

Mūsų darbas šiandien vyksta grupėse. Pakartokime savo darbo taisykles: (ant kiekvienos grupės stalų yra priminimo kortelė, priminkite kiekvieną taisyklę – vyresniosios grupės paeiliui). Taisyklės yra priede.

Ar žinojote, kad į didžiulis pasaulis Yra daug matematikų įdomi šalis gražiu pavadinimu - Geometrija. Šioje šalyje gyvena ne skaičiai, o įvairios linijos, figūros ir kūnai. (2 skaidrė)

Šiandien leisimės į kelionę po Geometrijos šalį ir aplankysime miestus, kuriuose gyvena plokščios ir trimatės figūros. Mūsų užduotis – išsiaiškinti, kurios geometrinės figūros yra plokščios, o kurios – trimatės ir kuo jos skiriasi.

Keliausime oro balionu. (3 skaidrė)

Kodėl manote? - Surinkta iš geometrinių formų.

Kelionės metu išsiaiškinsime, kuriai grupei priklauso mūsų baliono dalys.

II. Pagrindinė dalis.

Taigi, eime!

Mes matome miestą priekyje. Koks miestas? Žiūrėk!

1 stotelė – platinimo stotelė.

Taip, ne vienas miestas, o du. (4 skaidrė)

Prieš jus du miestai. Perskaitykite jų vardus.

Ant stalų taip pat matosi įvairios figūros – tai miesto gyventojai. Pažvelkite į voke esančias figūras, pavadinkite jas, papasakokite apie vieną.

Darbas grupėse.

Dabar papasakokite, kokiuose skaičiais buvote Plokščių figūrų miestas.

Vaikų atsakymai. (4 skaidrė į kairę)

Ką bendro turi visos plokščios figūros?

(Visi jie klojami ant lapo ar stalo, nekyla virš plokštumos, gali būti iškirpti iš popieriaus.)

Matematikai taip sako lėktuvas – tai dvimatė erdvė, t.y. jis turi du matmenis: ilgį ir plotį.

Kokias dar plokščias figūras žinai?

Segmentai, tiesios linijos, trikampiai, apskritimai...

Dabar įvardykite skaičius, kurie įsikūrė Tūrinių figūrų miestas.

Vaikų atsakymai. (4 skaidrė į dešinę)

Ką bendro turi šie skaičiai?

Nesvarbu, kaip juos padėsite, jie pakils virš stalo ar lentos.

Kokias kitas trimates figūras žinote? Kiekviena grupė įvardija savo trimates figūras. Vaikų atsakymai.

Geometrijoje yra specialus tūrinių figūrų pavadinimas - geometrinis kūnas.

Visi mus supantys kūnai turi trijų matmenų: ilgis, plotis ir aukštis. Tiesa, ne visi geometriniai kūnai gali turėti ilgį, plotį ir aukštį. Bet pas stačiakampis gretasienis Gali.

Mokytojo demonstravimas, vaikai apžiūri savo gretasienį ant stalų. Visi jo veidai yra stačiakampiai. Daugelis objektų turi tokią formą. Pavadinkite juos. (6 skaidrė) Vaikų atsakymai.

Grįžkime prie mūsų karšto oro balionas. Iš kokių formų jis susideda – plokščios ar trimatės? - Cilindras ir rutulys yra trimatės figūros, o juostos linijos yra plokščios. (7 skaidrė)

Saulė pakilo aukštai, o mes skrendame toli.

2 stotelė – mokslinė. Grupė Nr.1.

Dabar atspėkite, apie kokią figūrą mes kalbame.

1 mokinys: trys kampai, trys kraštinės

Gali būti įvairaus ilgio. ( trikampis). (8 skaidrė)

2 mokinys: Tai plokščia figūra. Jis turi 3 viršūnes, 3 kampus, 3 šonus. Šonai gali būti vienodo arba skirtingo ilgio.

3 mokinys: Trikampis sudarytas iš trijų trūkinės linijos atkarpų.

Kokia tai figūra, plokščia ar trimatė? Vaikų atsakymai.

(9 skaidrė) VOKAS su geometrinėmis figūromis. Kitas paveikslas...

Grupė Nr.2.

1 mokinys: kreida nubrėžkite visą plytą ant asfalto,

Ir jūs gausite figūrą - jūs, žinoma, esate susipažinę su ja.

Tai stačiakampis. („Spustelėkite“ skaidrėje )

2 mokinys: Stačiakampis turi 4 kampus, 4 viršūnes ir 4 kraštines. Poromis lygus.

3 mokinys: Modelis yra uždara laužyta 4 jungčių linija. Nuorodos yra lygios poromis.

Grupė Nr.3.

1 mokinys: visos keturios pusės yra vienodo ilgio.

Jis džiaugiasi galėdamas jums prisistatyti, bet jo vardas yra...( kvadratas).

2 mokinys: Kvadratas turi 4 viršūnes, 4 kampus ir 4 lygias kraštines.

3 mokinys: modelis – uždara linija iš 4 vienodo ilgio grandžių.

Grupė Nr.4.

1 mokinys: Trikampis įkišo nosį į reaktyvinį dulkių siurblį.

Ir jis neturi nosies – o Dieve! – tapo kaip sijonas.

Įdomiausia, koks jo vardas dabar. ( trapecijos formos)

2 mokinys: 4 kampai, 4 viršūnės, 4 šonai. Visos pusės yra skirtingos arba pusės yra lygios, bet skiriasi pagrindai.

3 mokinys: modelis – 4 uždaros linijos, kampai – 2 bukas ir 2 smailūs.

Grupė Nr.5.

1 mokinys: jei visi kvadratai stovėtų ant viršūnių kampu,

Tai, ką mes matėme, vaikinai, buvo ne kvadratai, o... ( deimantai.)

2 mokinys: 4 kampai, 4 viršūnės, 4 šonai. Pusės lygios priešingi kampai– taip pat yra lygūs.

3 mokinys: modelis – 4 uždaros linijos, apibrėžti kampai.

Saulė pakilo aukštai, o mes skrendame toli.
Sustokite į priekį. Kas tai yra? Žiūrėk!

3 stotelė – sustojimas. Kūno kultūros pamoka: „Taškas, taškas, kablelis...“ Šokio judesiai pagal muziką. (Vaizdo įrašas klasėje)

4 stotelė – dizainas. (10 skaidrė) Priešais jus yra konteineriai su dizaino dalimis. Kiekviena grupė turi surinkti figūrėles pagal užduotį. (Žr. priedą).

Raskite užduotį, sutvarkykite detales, aptarkite veiksmų planą ir kibkite į darbą: surinkite geometrines figūras. Pavadinkite juos.

Darbas poromis. Grupių vyresnieji padeda ir organizuoja. Kūrinių analizė.

III. Pamokos santrauka. Atspindys. Taigi mūsų pirmoji kelionė per Geometrijos šalį baigėsi. Bet jūs turite aplankyti šią nuostabią ir nuostabią šalį daugiau nei vieną kartą ir išmokti daug naujų dalykų Šiandien jūs visi puikiai dirbote, todėl jūs... gerai.

Grupių darbo analizė: ar užduotis atlikta, darbo kokybė, taisyklių laikymasis (darbo grupėse vertinimo kortelės).

Mūsų pamoka baigėsi. Ačiū už dėmesį. (11 skaidrė)