Kreivinis lėtas judėjimas. Greitis ir pagreitis lenkto judėjimo metu

Šiame straipsnyje aptarsime:

• kas yra kolineariniai vektoriai;
• kokios yra vektorių kolineariškumo sąlygos;
• kokios yra kolinearinių vektorių savybės;
• kokia yra kolinearinių vektorių tiesinė priklausomybė.

Kolineariniai vektoriai yra vektoriai, kurie yra lygiagrečiai vienai linijai arba yra vienoje tiesėje.

1 pavyzdys

Vektorių kolineariškumo sąlygos

Du vektoriai yra kolineariniai, jei yra viena iš šių sąlygų:

• 1 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei yra toks skaičius λ, kad a = λ b;
• 2 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs su vienodais koordinačių santykiais:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs esant lygybės sąlygai vektorinis produktas ir nulinis vektorius:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1 pastaba

2 sąlyga netaikoma, jei viena iš vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui.

2 pastaba

3 sąlyga taikoma tik tiems vektoriams, kurie nurodyti erdvėje.

Vektorių kolineariškumo tyrimo uždavinių pavyzdžiai

Tiriame vektorių a = (1; 3) ir b = (2; 1) kolineariškumą.

Kaip išspręsti?

IN šiuo atveju būtina naudoti 2-ąją kolinearumo sąlygą. Už duoti vektoriai atrodo taip:

Lygybė yra klaidinga. Iš to galime daryti išvadą, kad vektoriai a ir b yra nekolineariniai.

Atsakymas : a | | b

2 pavyzdys

Kokia vektoriaus a = (1; 2) ir b = (- 1; m) reikšmė yra būtina, kad vektoriai būtų kolinearūs?

Kaip išspręsti?

Naudojant antrąją kolineariškumo sąlygą, vektoriai bus kolineariniai, jei jų koordinatės yra proporcingos:

Tai rodo, kad m = -2.

Atsakymas: m = -2.

Vektorių sistemų tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės kriterijai

Vektorinė sistema vektorinė erdvė yra tiesiškai priklausomas tik tuo atveju, jei vieną iš sistemos vektorių galima išreikšti likusiais duotosios sistemos vektoriais.

Įrodymas

Tegu sistema e 1 , e 2 , . . . , e n yra tiesiškai priklausomas. Parašykime šios sistemos tiesinę kombinaciją, lygią nulinis vektorius:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurioje bent vienas iš derinių koeficientų nėra lygus nuliui.

Tegu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Abi lygybės puses padalijame iš nulinio koeficiento:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Pažymime:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Šiuo atveju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

arba e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iš to seka, kad vienas iš sistemos vektorių išreiškiamas per visus kitus sistemos vektorius. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Tinkamumas

Tegul vienas iš vektorių yra tiesiškai išreikštas visais kitais sistemos vektoriais:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektorių e k perkeliame į dešinėje pusėješi lygybė:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kadangi vektoriaus e k koeficientas lygus - 1 ≠ 0, gauname netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių e 1, e 2, sistema. . . , e n , o tai, savo ruožtu, reiškia, kad šią sistemą vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Pasekmė:

• Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, kai nė vienas jos vektorius negali būti išreikštas visais kitais sistemos vektoriais.
• Vektorių sistema, kurioje yra nulis arba du vektoriai lygus vektorius, tiesiškai priklausomas.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės

1. 2 ir 3 dimensijų vektoriams tenkinama tokia sąlyga: du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. Du kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
2. 3 dimensijų vektorių sąlyga įvykdyta: trys tiesiškai priklausomi vektoriai- lygiagrečiai. (3 koplanarinis vektorius- tiesiškai priklausomas).
3. n matmenų vektoriams tenkinama tokia sąlyga: n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Problemų, susijusių su vektorių tiesine priklausomybe arba tiesine nepriklausomybe, sprendimo pavyzdžiai

Patikrinkime vektorius a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 linijinė nepriklausomybė.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmuo yra mažesnis už vektorių skaičių.

4 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 tiesinę nepriklausomybę.

Sprendimas. Mes randame koeficientų reikšmes, kai tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Įrašymas vektoriaus lygtis tiesine forma:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Šią sistemą išsprendžiame Gauso metodu:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iš 2-osios eilutės atimame 1-ąją, iš 3-osios - 1-ąją:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Iš 1-osios eilutės atimame 2-ąją, prie 3-osios pridedame 2-ąją:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iš sprendimo matyti, kad sistemoje yra daug sprendimų. Tai reiškia, kad yra nenulinis tokių skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kurio tiesinis a, b, c derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Todėl vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieškau bendras sprendimas lygčių sistemos

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema turi tokią formą: (r A = 2, n= 3). Sistema yra bendradarbiaujanti ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Pavyzdžiui, nulinio konkretaus sprendimo buvimas rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys.

Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite vienalytę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėsta forma (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, vadinasi, turi vienintelis sprendimas. Tuo atveju vienalytė sistema– nulinis (trivialus) sprendimas. Tai reiškia, kad šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Mes patikriname, ar sistemoje nėra išsigimimo:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai nepriklausomas.

Užduotys. Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.

Greičio ir pagreičio sąvokos natūraliai apibendrinamos judėjimo atveju materialus taškas Autorius kreivinė trajektorija . Judančio taško padėtis trajektorijoje nurodoma spindulio vektoriumi r , nupieštas iki šio taško iš bet kurio fiksuotas taškas APIE, pavyzdžiui, koordinačių pradžia (1.2 pav.). Leiskite tam tikru momentu t materialus taškas yra padėtyje M su spindulio vektoriumi r = r (t). Vėliau trumpas laikas D t, jis persikels į padėtį M 1 su spinduliu - vektorius r 1 = r (t+ D t). Spindulys - materialaus taško vektorius gaus prieaugį, kurį nustato geometrinis skirtumas D r = r 1 - r . Vidutinis greitis laikui bėgant D t vadinamas kiekiu

Kryptis vidutinis greitis V trečia degtukų su vektoriaus kryptimi D r .

Vidutinis greitis ribojamas ties D t® 0, t.y. spindulio išvestinė – vektorius r pagal laiką

(1.9)

paskambino tiesa arba akimirksniu materialaus taško greitis. Vektorius V nukreiptas tangentiškaiį judančio taško trajektoriją.

Pagreitis A vadinamas vektoriumi, lygiu pirmajai greičio vektoriaus išvestinei V arba antroji spindulio išvestinė – vektorius r pagal laiką:

(1.10)

(1.11)

Atkreipkime dėmesį į tokią formalią greičio ir pagreičio analogiją. Iš savavališko fiksuoto taško O 1 nubraižysime greičio vektorių V judantis taškas visais įmanomais laikais (1.3 pav.).

Vektoriaus pabaiga V paskambino greičio taškas. Geometrinė vieta greičio taškai yra kreivė, vadinama greičio hodografas. Kai materialus taškas apibūdina trajektoriją, atitinkamas greičio taškas juda išilgai hodografo.

Ryžiai. 1.2 skiriasi nuo Fig. 1.3 tik žymėjimu. Spindulys – vektorius r pakeistas greičio vektoriumi V , materialusis taškas - į greičio tašką, trajektorija - į hodografą. Matematinės operacijos virš vektoriaus r randant greitį ir virš vektoriaus V kai randama, pagreičiai yra visiškai identiški.

Greitis V nukreiptas tangentine trajektorija. Štai kodėl pagreitisa bus nukreiptas tangentiškai į greičio hodografą. Galima sakyti, kad pagreitis – greičio taško judėjimo išilgai hodografo greitis. Vadinasi,

SU tiesinis judėjimas daugiau ar mažiau išmokome dirbti ankstesnėse pamokose, būtent išspręsti pagrindinę mechanikos problemą šiam judesių tipui.

Tačiau aišku, kad į realus pasaulis dažniausiai susiduriame su kreiviniu judėjimu, kai trajektorija yra lenkta linija. Tokio judėjimo pavyzdžiai yra kūno, mesto kampu į horizontą, trajektorija, Žemės judėjimas aplink Saulę ir net jūsų akių judėjimo trajektorija, kurios dabar seka šia pastaba.

Klausimas, kaip išspręsti pagrindinė užduotis mechanika kreivinio judėjimo atveju, ir ši pamoka bus skirta.

Pirmiausia nuspręskime, ką esminių skirtumų ar kreivinis judėjimas (1 pav.) turi tiesinį judėjimą ir ką lemia šie skirtumai.

Ryžiai. 1. Kreivinio judėjimo trajektorija

Pakalbėkime apie tai, kaip patogu apibūdinti kūno judėjimą kreivinio judėjimo metu.

Judėjimą galima suskirstyti į atskiras dalis, kurių kiekvienoje judesį galima laikyti tiesiniu (2 pav.).

Ryžiai. 2. Kreivinio judesio padalijimas į transliacinius judesius

Tačiau šis metodas yra patogesnis. Šį judesį įsivaizduosime kaip kelių judesių išilgai apskritimo lankų kombinaciją (žr. 3 pav.). Atkreipkite dėmesį, kad tokių pertvarų yra mažiau nei ankstesniu atveju, be to, judėjimas apskritimu yra kreivinis. Be to, gamtoje labai paplitę sukamųjų judesių pavyzdžiai. Iš to galime daryti išvadą:

Norėdami apibūdinti kreivinį judėjimą, turite išmokti apibūdinti judėjimą apskritime, o tada pavaizduoti savavališką judėjimą judesių rinkinių išilgai apskritimo lankų forma.

Ryžiai. 3. Kreivinio judesio padalijimas į judėjimą apskritimo lankais

Taigi, pradėkime studijuoti kreivinį judėjimą nuo studijų vienodas judesys aplink perimetrą. Išsiaiškinkime, kokie yra esminiai kreivinio ir tiesinio judėjimo skirtumai. Pirmiausia prisiminkime, kad devintoje klasėje tyrėme faktą, kad kūno greitis judant apskritimu yra nukreiptas trajektorijos liestine. Beje, šį faktą galite stebėti eksperimentiškai, jei stebėsite, kaip juda kibirkštys naudojant galandimo akmenį.

Panagrinėkime kūno judėjimą apskritime (4 pav.).

Ryžiai. 4. Kūno greitis judant ratu

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju kūno greičio modulis taške A lygus moduliui kūno greitis taške B.

Tačiau vektorius nėra lygus vektoriui. Taigi, turime greičių skirtumo vektorių (žr. 5 pav.).

Ryžiai. 5. Greičių skirtumas taškuose A ir B.

Be to, greitis pasikeitė po kurio laiko. Taigi gauname pažįstamą derinį:

,

tai ne kas kita, kaip greičio pokytis per tam tikrą laikotarpį arba kūno pagreitis. Tai galima padaryti labai svarbi išvada:

Judėjimas lenktu keliu pagreitėja. Šio pagreičio pobūdis yra nuolatinis greičio vektoriaus krypties pokytis.

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad net jei ir sakoma, kad kūnas juda apskritimu tolygiai, tai reiškia, kad kūno greičio modulis nekinta, tačiau toks judėjimas visada pagreitėja, nes keičiasi greičio kryptis.

Devintoje klasėje mokėtės, kas yra šis pagreitis ir kaip jis nukreipiamas (žr. 6 pav.). Centripetinis pagreitis visada nukreiptas į apskritimo centrą, kuriuo juda kūnas.

Ryžiai. 6.Centripetinis pagreitis

Išcentrinio pagreičio modulis gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę

Pereikime prie vienodo kūno judėjimo apskritime aprašymo. Sutikime, kad greitis, kurį naudojote apibūdindami transliacinį judesį, dabar bus vadinamas linijiniu greičiu. Ir tiesiniu greičiu mes suprasime momentinis greitis besisukančio kūno trajektorijos taške.

Ryžiai. 7. Disko taškų judėjimas

Apsvarstykite diską, kuris sukasi pagal laikrodžio rodyklę. Jo spinduliu pažymime du taškus A ir B. Ir apsvarstykite jų judėjimą. Laikui bėgant šie taškai judės apskritimo lankais ir taps taškais A' ir B'. Akivaizdu, kad taškas A padarė didesnį judėjimą nei taškas B. Iš to galime daryti išvadą, kad kuo toliau taškas yra nuo sukimosi ašies, tuo didesniu tiesiniu greičiu jis juda.

Tačiau, jei atidžiai pažvelgsite į taškus A ir B, galite pasakyti, kad kampas θ, kuriuo jie pasisuko sukimosi ašies O atžvilgiu, nepasikeitė. Atminkite, kad norėdami apibūdinti judėjimą apskritime, galite naudoti kampe charakteristikos. Pirmiausia prisiminkime kampų radianinio matavimo sąvoką.

1 radiano kampas yra toks centrinis kampas, kurio lanko ilgis lygus apskritimo spinduliui.

Taigi nesunku pastebėti, kad, pavyzdžiui, kampas ties lygus radianams. Ir atitinkamai bet kurį kampą, nurodytą laipsniais, galite konvertuoti į radianus, padauginę jį iš ir padalydami iš . Sukimosi kampas ties sukamasis judėjimas panašus į transliacinį judesį. Atkreipkite dėmesį, kad radianas yra bematis dydis:

todėl pavadinimas „rad“ dažnai praleidžiamas.

Pradėkime svarstyti judėjimą ratu nuo pat pradžių paprastas atvejis– tolygus judėjimas ratu. Prisiminkite tą uniformą judėjimas į priekį yra judėjimas, kai kūnas atlieka vienodus judesius bet kokiais vienodais laiko intervalais. Lygiai taip pat

Vienodas sukamasis judėjimas – tai judėjimas, kai kūnas sukasi vienodais kampais per bet kokius vienodus laiko intervalus.

Panašus į linijinio greičio sąvoką, sąvoka kampinis greitis.

Kampinis greitis vadinamas fizinis kiekis, lygus santykiui kampas, kuriuo kūnas pasisuko iki šio sukimosi laiko.

Kampinis greitis matuojamas radianais per sekundę arba tiesiog abipusėmis sekundėmis.

Raskime ryšį tarp taško kampinio sukimosi greičio ir šio taško tiesinio greičio.

Ryžiai. 9. Kampinio ir tiesinio greičio ryšys

Taškas A sukasi per S ilgio lanką, pasisukdamas kampu φ. Iš kampo radianinio mato apibrėžimo galime parašyti, kad

Padalinkime kairę ir dešinę lygybės puses iš laikotarpio, per kurį buvo atliktas judėjimas, tada naudokite kampinio ir tiesinio greičio apibrėžimą

.

Atkreipkite dėmesį, kad kuo toliau taškas yra nuo sukimosi ašies, tuo didesnis jo kampinis ir tiesinis greitis. O taškai, esantys pačioje sukimosi ašyje, yra nejudantys. To pavyzdys yra karuselė: kuo arčiau karuselės centro, tuo lengviau joje išlikti.

Prisiminkime, kad anksčiau mes pristatėme periodo ir sukimosi dažnio sąvokas.

Sukimosi laikotarpis yra vieno pilno apsisukimo laikas. Sukimosi periodas žymimas raide ir matuojamas sekundėmis SI sistemoje:

Sukimosi dažnis yra apsisukimų skaičius per laiko vienetą. Dažnis nurodomas raide ir matuojamas abipusėmis sekundėmis:

Juos sieja ryšys:

Yra ryšys tarp kampinio greičio ir kūno sukimosi dažnio. Jei tai prisiminsime pilnas apsisukimas yra lygus , nesunku pastebėti, kad kampinis greitis yra:

Be to, jei prisiminsime, kaip apibrėžėme radiano sąvoką, paaiškės, kaip susieti linijinis greitis kūnai su kampiniais:

.

Taip pat užrašykite ryšį tarp įcentrinio pagreičio ir šių dydžių:

.

Taigi, mes žinome ryšį tarp visų vienodo apskrito judėjimo charakteristikų.

Apibendrinkime. Šioje pamokoje pradėjome apibūdinti kreivinį judėjimą. Supratome, kaip galime sujungti kreivinį judesį su sukamuoju judesiu. Žiedinis judėjimas visada pagreitinamas, o pagreičio buvimas lemia tai, kad greitis visada keičia kryptį. Šis pagreitis vadinamas įcentriniu. Galiausiai prisiminėme kai kurias žiedinio judėjimo charakteristikas (tiesinį greitį, kampinį greitį, periodą ir sukimosi dažnį) ir nustatėme jų tarpusavio ryšius.

Nuorodos:

1. G. Ya Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Fizika 10. – M.: Išsilavinimas, 2008 m.
2. A. P. Rymkevičius. Fizika. Probleminė knyga 10-11. – M.: Bustard, 2006 m.
3. O. Ya Savčenko. Fizikos problemos. – M.: Nauka, 1988 m.
4. A. V. Peryškinas, V. V. Krauklis. Fizikos kursas. T. 1. – M.: Valst. mokytojas red. min. RSFSR išsilavinimas, 1957 m.

1. Enciklopedija ().
2. Аyp.ru ().
3. Vikipedija ().

Namų darbai:

Išsprendę problemas už šią pamoką, galite pasiruošti BIA 1 klausimams ir vieningo valstybinio egzamino A1, A2 klausimams.

1. Uždaviniai 92, 94, 98, 106, 110 sb. problemos A. P. Rymkevičius red. 10 ()
2. Apskaičiuokite laikrodžio minučių, sekundžių ir valandų rodyklės kampinį greitį. Apskaičiuokite įcentrinis pagreitis, veikiantis šių rodyklių galiukus, jei kiekvienos iš jų spindulys lygus vienam metrui.
3. Apsvarstykite šiuos klausimus ir jų atsakymai:

Klausimas: Ar yra Žemės paviršiaus taškų, kuriuose kampinis greitis, susijęs su Žemės kasdieniu sukimu, yra lygus nuliui?

Atsakymas: Valgyk. Šie taškai yra geografiniai poliaiŽemė. Greitis šiuose taškuose yra lygus nuliui, nes šiuose taškuose būsite sukimosi ašyje.