Harmoninio osciliatoriaus judėjimo lygtis. Idealus harmoninis osciliatorius

Kūnai, kurie judėdami atlieka harmoninius virpesius, vadinami harmoniniais osciliatoriais. Pažvelkime į keletą harmoninių osciliatorių pavyzdžių.

1 pavyzdys. Spyruoklinė švytuoklė yra masės kūnasm, galintis svyruoti veikiant nesvariai elastinei jėgai (m spyruoklės  m kūno ) spyruoklės (4.2 pav.).

T

4.3 pav. Fizinė švytuoklė.

2 pavyzdys. Fizinė švytuoklė yra standus kūnas, kuris, veikiamas sunkio jėgos, svyruoja aplink judančią horizontalią ašį, kuri nesutampa su jos svorio centru C (4. 3 pav.). Ašis eina per tašką O. Jei švytuoklė nukrypsta nuo pusiausvyros padėties nedideliu kampu  ir atleidžiama, ji svyruos pagal pagrindinę standaus kūno sukimosi judėjimo dinamikos lygtį.
, Kur J- inercijos momentasšvytuoklė ašies atžvilgiu, M yra jėgos momentas, grąžinantis fizikinę švytuoklę į pusiausvyros padėtį. Jį sukuria gravitacija, jo momentas lygus
(l=OS). Kaip rezultatas, mes gauname
. Tai yra diferencinės vibracijos lygtis savavališki kampai nukrypimai. Mažais kampais, kai
,
arba, imdamas
, gauname fizikinės švytuoklės svyravimo diferencialinę lygtį
.
Jo sprendimai turi formą
arba
ir laikotarpis
.

. Taigi, esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros padėties, fizinė švytuoklė atlieka harmoninius virpesius cikliniu dažniu 3 pavyzdys.mMatematinė švytuoklė yra materialus taškas, turintis masęm(sunkus mažo dydžio rutulys), pakabintas ant nesvariojo (palyginti sul. rutulinis), elastingas, neištempiamas siūlas ilgas materialaus taško inercijos momentas J = ml 2, tada iš fizinės švytuoklės formulių gauname matematinės švytuoklės ciklinio svyravimo dažnio ir periodo išraiškas

,
.

4. 4. Slopinti svyravimai. @

Nagrinėjamuose harmoninių virpesių pavyzdžiuose vienintelė jėga, veikianti materialus taškas(kūnas), buvo kvazielastinga jėga F ir neatsižvelgė į pasipriešinimo jėgas, kurios yra bet kurioje realioje sistemoje. Todėl svarstomi svyravimai gali būti vadinami idealiais neslopintais harmoniniais svyravimais.

Aplinkos pasipriešinimo jėgos buvimas tikroje virpesių sistemoje sumažina sistemos energiją. Jei energijos praradimas nebus papildytas veikiant išorinėms jėgoms, svyravimai išnyks. Slopinti virpesiai yra tie, kurių amplitudė laikui bėgant mažėja.

Panagrinėkime laisvuosius slopintus virpesius. Važiuojant mažu greičiu, pasipriešinimo jėga F C yra proporcinga greičiui v ir atvirkščiai proporcinga jam kryptimi
, kur r - pasipriešinimo koeficientas aplinką. Naudojant Antrasis Niutono dėsnis, gauname diferencialinę lygtį slopinami svyravimai
,
,
. Pažymėkime
,
. Tada diferencialinė lygtis įgauna tokią formą:

4.4 pav. Slopintų virpesių poslinkio ir amplitudės priklausomybė nuo laiko.

Tai slopintų svyravimų diferencialinė lygtis. Čia  0 – sistemos natūralusis virpesių dažnis, t.y. laisvųjų svyravimų dažnis esant r=0,  - slopinimo koeficientas lemia amplitudės mažėjimo greitį. Šios lygties sprendiniai esant sąlygai  0 yra

arba
.

Paskutinės funkcijos grafikas parodytas 4.4 pav. Viršutinė punktyrinė linija pateikia funkcijos grafiką
, A 0 - amplitudė in pradžios momentas laiko. Amplitudė laikui bėgant mažėja pagal eksponentinį dėsnį,  - slopinimo koeficientas yra atvirkštinis atsipalaidavimo laikas , t.y. laikas, per kurį amplitudė sumažėja e kartų, nes

,
, = 1, . Slopintų virpesių dažnis ir periodas
,
; esant labai mažam terpės pasipriešinimui ( 2  0 2), svyravimų periodas beveik lygus
.

Didėjant , svyravimų periodas didėja ir esant > 0 diferencialinės lygties sprendimas rodo, kad svyravimai nevyksta, o sistema monotoniškai juda link pusiausvyros padėties. Toks judėjimas vadinamas periodiniu. Svyravimų slopinimo greičiui apibūdinti naudojami dar du parametrai: slopinimo mažėjimas D ir . logaritminis mažėjimas

Slopinimo sumažėjimas parodo, kiek kartų svyravimų amplitudė sumažėja per vieną periodą T.

N

Nes , Tai
, kur N yra svyravimų skaičius per laiką.

Harmoninio osciliatoriaus virpesiai Harmoninis osciliatorius paskambino fizinis objektas, kurio raida laikui bėgant aprašoma diferencialine lygtimi

Kur q– apibendrinta harmoninio osciliatoriaus koordinatė, t- laikas,? – harmoninio osciliatoriaus būdingasis dažnis. Du taškai virš kintamojo rodo antrąją išvestinę laiko atžvilgiu. Didumas q atliekantys harmoninius virpesius.
Problema dėl harmoninio osciliatoriaus grojimo centrinis vaidmuo tiek klasikinėje, tiek kvantinė fizika.
Didelis kiekis fizinės sistemos elgiasi kaip harmoniniai osciliatoriai su nedideliais nukrypimais nuo pusiausvyros. Tai apima matematinį ir fizinės švytuoklės, atomų virpesiai molekulėse ir kietosios medžiagos, elektros virpesių grandinės ir daugelis kitų.
Maži švytuoklės svyravimai yra harmoningi

Energijos, Lagranžo ir Hamiltono funkcijos
Kinetinė energija harmoninis osciliatorius pateikiamas išraiška

Potenciali harmoninio osciliatoriaus energija pateikiama išraiška

Atitinkamai, atsižvelgiant į vertę q apibendrinta koordinatė, parašyta harmoninio osciliatoriaus Lagranžo funkcija

.

Apibendrintas impulsas

Hamiltono funkcija

.

Priverstinės vibracijos
Veikiamas išorinės periodinės jėgos, kurios dažnis nebūtinai sutampa su harmoninio osciliatoriaus natūraliu dažniu, generatorius atlieka harmoninius virpesius, kurių amplitudę lemia vertė išorinė jėga o osciliatoriaus išorinio dažnio ir natūralaus dažnio santykis.
Harmoninio osciliatoriaus priverstiniai virpesiai su dažniu? 0 veikiant jėgai, kurios dažnis aprašytas lygtimi?

Kur f 0 – išorinės jėgos amplitudė.
Specialus šios lygties sprendimas, apibūdinantis priverstinius virpesius, turi formą

.

Harmoninis osciliatorius, veikiamas išorinės jėgos, atlieka harmoninius virpesius, kurių amplitudė . Kai amplitudė priverstiniai svyravimai linkęs į begalybę. Šis reiškinys vadinamas rezonansu.
Harmoninis osciliatorius su slopinimu
Atsižvelgiant į kitos rūšies trinties ar pasipriešinimo jėgas, dėl kurių generatoriaus energija išsisklaido ir virsta šiluma, harmoninio generatoriaus lygtis pasikeičia. Visų pirma, labai dažnas atvejis, kai pasipriešinimo jėgos yra proporcingos kiekio kitimo greičiui q. Tada harmoninio osciliatoriaus lygtis įgauna formą

Tokie svyravimai laikui bėgant mažėja pagal dėsnį

Harmoninio osciliatoriaus priverstiniai virpesiai su slopinimu
Periodiškai veikiant išorinei jėgai, net ir susilpnėjus, generatoriui sukuriami harmoniniai svyravimai, kurių amplitudė priklauso nuo veikiančios jėgos, dažnio santykio, taip pat nuo slopinimo dydžio.
Priverstinių svyravimų amplitudė, atsižvelgiant į slopinimą, nustatoma pagal formulę

.

Tai yra baigtinė vertė visais išorinės jėgos dažniais.
Matematinė švytuoklė, turinti mažą pradinį nuokrypį nuo vertikalės, atlieka harmoninius virpesius, kurių dažnis

Virpesių grandinė harmoninis osciliatorius su dažniu

Kur L yra induktyvumas, C yra talpa.
Daugiau informacijos rasite Kvantinis osciliatorius.
Spektras savąsias reikšmes ir savo funkcijas
Bangų funkcijos pirmosios šešios būsenos su kvantiniais skaičiais nuo n= nuo 0 iki 5. Apibendrinta koordinatė brėžiama ant ordinačių ašies Harmoninio osciliatoriaus Hamiltono koeficientas gaunamas pakeitus impulsą Hamiltono funkcijoje. pįjungta

.

Harmoninio osciliatoriaus spektras yra su stacionari lygtis Schrödingeris ir yra pateikiamas pagal formulę

.

Čia n– kvantinis skaičius, svyruoja nuo nulio iki begalybės. Harmoninio osciliatoriaus energijos lygiai yra vienodai nutolę. Būdingas bruožas harmoninis osciliatorius yra tai, kad net ir pagrindinėje būsenoje harmoninis generatorius turi nulinę energiją

Ši maža energija vadinama nulinio taško energija.
Savos funkcijos harmoninis osciliatorius, atitinkantis kvantinį skaičių n pateikiami formulėmis

,

Kur, A Hn(x)– Ermito daugianariai.
Kai net n harmoninio osciliatoriaus savosios funkcijos yra suporuotos, o Nepranui jos yra nelyginės. Harmoninio osciliatoriaus Hamiltono signalas sujungiamas su pakaitiniu operatoriumi xįjungta – x(pariteto operatorius), todėl turi bendrų savųjų funkcijų su šiuo operatoriumi.
Gimimo ir sunaikinimo operatoriai
Jei apibrėžtume gimdymo operatorių

Ir naikinimo operatorius

,

.

Sukūrimo ir naikinimo operatoriai tenkina komutavimo ryšį:

Tada harmoninio osciliatoriaus savosios funkcijos turi formą

Arba naudojant ket ir liemenėlės vektorinį žymėjimą:

Bendras gimdymo operatoriaus veiksmas harmoningam operatoriui yra būsenoje | n> veda prie perėjimo į būseną | n +1>:

Naikinimo operatoriaus veiksmai valstybei | n> veda prie perėjimo į būseną | n-1>:

Operatorius

Jis vadinamas dalelių skaičiaus operatoriumi, nes jam galioja ryšys.

Atrankos taisyklės
Kai fotonas išspinduliuojamas arba sugeriamas, harmoninio osciliatoriaus leistini perėjimai yra tokie, kuriuose kvantinis skaičius n pasikeičia vienu. Atsižvelgiant į lygių vienodo atstumo pobūdį, ši atrankos taisyklė lemia, kad, nepaisant begalinis skaičius lygių spektre optinė sugertis ar yra tik viena harmoninio osciliatoriaus spinduliavimo linija su dažniu?
Realiuose molekulių virpesių spektruose galimi nukrypimai nuo šios taisyklės dėl tikrojo tarpatominės sąveikos potencialo anharmoniškumo, kvadrupolių perėjimų ir kt.

Harmoninis osciliatorius

Harmoninis osciliatorius(klasikinėje mechanikoje) - sistema, kuri, išstumta iš pusiausvyros padėties, patiria atkuriamą jėgą F, proporcingas poslinkiui x(pagal Huko dėsnį):

Kur k- sistemos standumo koeficientas.

Jeigu F yra vienintelė sistemą veikianti jėga, tada sistema vadinama paprastas arba konservatyvus harmoninis osciliatorius. Tokios sistemos laisvosios vibracijos yra periodinis judėjimas arti pusiausvyros padėties (harmoniniai virpesiai). Dažnis ir amplitudė yra pastovūs, o dažnis nepriklauso nuo amplitudės.

Mechaniniai harmoninio osciliatoriaus pavyzdžiai yra matematinė švytuoklė (su nedideliais nuokrypio kampais), sukimo švytuoklė ir akustinės sistemos. Tarp kitų harmoninio osciliatoriaus analogų verta išskirti elektrinį harmoninį generatorių (žr. LC grandinę).

Laisvos vibracijos

Konservatyvus harmoninis osciliatorius

Kaip konservatyvaus harmoninio osciliatoriaus modelį imame masės apkrovą m, pritvirtintas prie spyruoklės standumu k .

Leiskite x- apkrovos poslinkis pusiausvyros padėties atžvilgiu. Tada, pagal Huko dėsnį, jį veiks atkuriamoji jėga:

Tada visos energijos turi pastovią vertę

Paprastas harmoningas judesys- tai paprastas judėjimas harmoninis osciliatorius, periodinis judesys, kuris nėra nei priverstinis, nei slopinamas. Paprastame harmoningai judantį kūną veikia viena kintama jėga, kuri absoliučia verte yra tiesiogiai proporcinga poslinkiui x iš pusiausvyros padėties ir yra nukreiptas priešinga kryptimi.

Šis judėjimas yra periodiškas: kūnas svyruoja aplink pusiausvyros padėtį pagal sinusoidinį dėsnį. Kiekvienas paskesnis svyravimas yra toks pat kaip ir ankstesnis, o svyravimų periodas, dažnis ir amplitudė išlieka pastovūs. Jei darysime prielaidą, kad pusiausvyros padėtis yra taške su koordinatėmis, lygus nuliui, tada kompensacija x kūnas iš pusiausvyros padėties bet kuriuo metu pateikiamas pagal formulę:

Kur A- svyravimų amplitudė, f- dažnis, φ - pradinė fazė.

Nustatomas judėjimo dažnis būdingos savybės sistema (pavyzdžiui, judančio kūno masė), tuo tarpu amplitudę ir pradinę fazę lemia pradinės sąlygos – kūno poslinkis ir greitis tuo momentu, kai prasideda svyravimai. Nuo šių savybių ir sąlygų taip pat priklauso sistemos kinetinė ir potencinė energija.

Paprastas harmoningas judesys gali būti matematiniai modeliai įvairių tipų judesiai, tokie kaip spyruoklės virpesiai. Kiti atvejai, kuriuos galima apytiksliai laikyti paprastu harmoniniu judesiu, yra švytuoklės judėjimas ir molekulių vibracija.

Paprastas harmoninis judėjimas yra kai kurių sudėtingesnių judesių tipų analizės būdų pagrindas. Vienas iš šių metodų yra Furjė transformacija pagrįstas metodas, kurio esmė susiveda į daugiau sudėtingas tipas judesius į paprastų harmoninių judesių seriją.

Bet kuri sistema, kurioje vyksta paprastas harmoninis judėjimas, turi dvi pagrindines savybes:

1. Kai sistema išstumiama iš pusiausvyros, turi atsirasti atkuriamoji jėga, kuri linkusi grąžinti sistemą į pusiausvyrą.
2. Atkuriamoji jėga turi būti tiksliai arba apytiksliai proporcinga poslinkiui.

Apkrovos-spyruoklių sistema atitinka abi šias sąlygas.

Kai pasislinkusi apkrova veikia atkuriamąją jėgą, ji įsibėgėja ir linkusi grįžti į pradinę padėtį. pradžios taškas, tai yra, į pusiausvyros padėtį. Kai apkrova artėja prie pusiausvyros padėties, atkuriamoji jėga mažėja ir linkusi į nulį. Tačiau situacijoje x = 0 apkrova turi tam tikrą judesį (impulsą), įgyjamą veikiant atkuriamajai jėgai. Todėl apkrova viršija pusiausvyros padėtį ir vėl pradeda deformuoti spyruoklę (bet jau yra priešinga kryptimi). Atkuriamoji jėga bus linkusi ją sulėtinti, kol greitis taps nulinis; ir jėga vėl stengsis grąžinti apkrovą į pusiausvyros padėtį.

Kol sistemoje nėra energijos nuostolių, apkrova svyruos taip, kaip aprašyta aukščiau; toks judėjimas vadinamas periodiniu.

Tolesnė analizė parodys, kad apkrovos-spyruoklės sistemos atveju judėjimas yra paprastas harmoningas.

Paprasta dinamika harmoninis judėjimas

Dėl vibracijų vienmatėje erdvėje, atsižvelgiant į antrąjį Niutono dėsnį ( F= m  d² x/d t² ) ir Huko dėsnis ( F = −kx, kaip aprašyta aukščiau), turime antros eilės tiesinę diferencialinę lygtį:

Šios diferencialinės lygties sprendimas yra sinusinis; vienas sprendimas yra:

Kur A, ω ir φ - konstantos, o pusiausvyros padėtis laikoma pradine. Kiekviena iš šių konstantų yra svarbi fizinė nuosavybė judesiai: A yra amplitudė, ω = 2π f- apskritas dažnis, o φ - pradinė fazė.

Universalūs sukamieji judesiai

Paprastas harmoninis judėjimas kai kuriais atvejais gali būti laikomas universalaus apskrito judesio vienmačiu projekcija. Jei objektas juda pastoviu kampiniu greičiu ω išilgai spindulio apskritimo r, kurio centras yra plokštumos pradžia x−y, tada toks judėjimas palei kiekvieną iš koordinačių ašys yra paprasta harmonika su amplitudė r ir apskrito dažnio ω.

Svoris kaip paprasta švytuoklė

Aproksimuojant mažus kampus, paprastos švytuoklės judėjimas yra artimas paprastajai harmonikai. Tokios švytuoklės, pritvirtintos prie ilgio strypo, svyravimo laikotarpis ℓ su pagreičiu laisvasis kritimas g pateikiama pagal formulę

Tai rodo, kad svyravimo periodas nepriklauso nuo švytuoklės amplitudės ir masės, o priklauso nuo gravitacijos pagreičio g, todėl esant tokio paties ilgio švytuoklei, Mėnulyje ji svyruos lėčiau, nes ten gravitacija silpnesnė ir mažesnė vertė laisvo kritimo pagreitis.

Šis aproksimavimas yra teisingas tik esant mažiems nuokrypio kampams, nes kampinio pagreičio išraiška yra proporcinga koordinatės sinusui:

ką tai daro kampinis pagreitis tiesiogiai proporcingas kampui θ, ir tai atitinka paprasto harmoninio judėjimo apibrėžimą.

Slopinamas harmoninis osciliatorius

Remdamiesi tuo pačiu modeliu, prie jo pridėsime klampios trinties jėgą. Klampios trinties jėga nukreipta prieš krovinio judėjimo greitį terpės atžvilgiu ir yra proporcinga šiam greičiui. Tada visa jėga, veikiantis apkrovą, rašomas taip:

Atlikdami panašius veiksmus, gauname aprašančią diferencialinę lygtį slopinamas osciliatorius:

Čia įvedamas pavadinimas: . Koeficientas vadinamas slopinimo konstanta. Jis taip pat turi dažnio matmenį.

Sprendimas suskirstytas į tris atvejus.

Kritinis slopinimas yra puikus tuo, kad esant kritiniam slopinimui osciliatorius greičiausiai patenka į pusiausvyros padėtį. Jei trintis mažesnė nei kritinė, ji greičiau pasieks pusiausvyros padėtį, tačiau dėl inercijos ją „peršoks“ ir svyruos. Jei trintis yra didesnė nei kritinė, osciliatorius eksponentiškai linkęs į pusiausvyros padėtį, bet kuo lėčiau, tuo didesnė trintis.

Todėl ciferblato indikatoriuose (pavyzdžiui, ampermetrais) jie dažniausiai bando įvesti kritinį slopinimą, kad jo rodmenis būtų galima nuskaityti kuo greičiau.

Osciliatoriaus slopinimas taip pat dažnai apibūdinamas bedimensiniu parametru, vadinamu kokybės faktoriumi. Kokybės faktorius paprastai žymimas raide . Pagal apibrėžimą kokybės koeficientas yra lygus:

Kuo didesnis kokybės koeficientas, tuo lėčiau mažėja osciliatoriaus virpesiai.

Osciliatoriaus su kritiniu slopinimu kokybės koeficientas yra 0,5. Atitinkamai, kokybės koeficientas rodo osciliatoriaus elgesį. Jei kokybės koeficientas didesnis nei 0,5, tai laisvas osciliatoriaus judėjimas reiškia svyravimus; Laikui bėgant jis neribotą skaičių kartų kirs pusiausvyros padėtį. Kokybės koeficientas, mažesnis arba lygus 0,5, atitinka osciliatoriaus nesvyruojantį judėjimą; V laisvas judėjimas pusiausvyros padėtį jis kirs daugiausia vieną kartą.

Kokybės koeficientas kartais vadinamas generatoriaus stiprinimo koeficientu, nes taikant kai kuriuos sužadinimo būdus, kai sužadinimo dažnis sutampa su rezonansiniu, svyravimų amplitudė pasirodo maždaug kartų didesnė nei sužadinant žemu dažniu.

Taip pat kokybės koeficientas yra maždaug lygus virpesių ciklų, kurių metu virpesių amplitudė sumažėja koeficientu, skaičiui, padaugintam iš .

Tuo atveju svyruojantis judesys slopinimas taip pat apibūdinamas tokiais parametrais kaip:

• Gyvenimo laikas vibracijos (dar žinomas kaip skilimo laikas, tai tas pats atsipalaidavimo laikas) τ - laikas, per kurį sumažės virpesių amplitudė e vieną kartą.

Priverstinės vibracijos

Osciliatoriaus svyravimai vadinami priverstiniais, kai jam taikomas tam tikras papildomas išorinis poveikis. Šis efektas gali būti sukurtas įvairiomis priemonėmis ir pagal įvairių įstatymų. Pavyzdžiui, jėgos sužadinimas – jėgos, kuri pagal tam tikrą dėsnį priklauso tik nuo laiko, apkrova. Kinematinis sužadinimas yra spyruoklės tvirtinimo taško judėjimo išilgai osciliatoriaus poveikis duotas įstatymas. Taip pat gali būti paveikta trintis, kai, pavyzdžiui, terpė, su kuria patiria trintį, juda pagal duotą dėsnį.

Atradimai kvantiniame lauke ir kitose srityse. Tuo pačiu metu išrandami nauji prietaisai ir įrenginiai, per kuriuos galima atlikti įvairūs tyrimai ir paaiškinti mikropasaulio reiškinius. Vienas iš tokių mechanizmų – harmoninis osciliatorius, kurio veikimo principas buvo žinomas senovės civilizacijų atstovams.

Prietaisas ir jo tipai

Harmoninis osciliatorius yra mechaninė sistema, judant, kuris apibūdinamas diferencialu su koeficientais pastovią vertę. Dauguma paprasti pavyzdžiai tokie prietaisai - spyruoklės apkrova, švytuoklė, akustinės sistemos, judėjimas molekulines daleles ir tt

Paprastai galima išskirti šiuos šio įrenginio tipus:

Įrenginio programa

Šis įrenginys naudojamas įvairiose srityse, daugiausia gamtos tyrinėjimui virpesių sistemos. Fotonų elementų elgsenai tirti naudojamas kvantinis harmoninis osciliatorius. Eksperimentų rezultatai gali būti naudojami įvairiose srityse. Taigi Amerikos instituto fizikai išsiaiškino, kad berilio atomai, esantys gana dideliais atstumais vienas nuo kito, gali sąveikauti kvantiniu lygiu. Be to, šių dalelių elgesys yra panašus į kūnus (metalinius rutulius) makrokosmose, judančius pirmyn ir atgal, panašiai kaip harmoningas osciliatorius. Berilio jonai, nepaisant to, kad jie yra fiziškai dideli atstumai, apsikeitė mažiausiais energijos vienetais (kvantais). Šis atradimas leidžia gerokai pažengti į priekį IT technologijas, taip pat suteikia naują sprendimą kompiuterinės įrangos ir elektronikos gamyboje.

Vertinant naudojamas harmoninis generatorius muzikos kūrinių. Šis metodas vadinamas spektroskopiniu tyrimu. Nustatyta, kad stabiliausia sistema yra keturių muzikantų (kvarteto) kompozicija. A modernūs darbai Dauguma jų yra anharmoniniai.

Harmoninis osciliatorius – tai dalelė, kuri, veikiama kvazielastingos jėgos, patiria vienmatį judėjimą. Tokios dalelės potenciali energija turi formą

Išreikšdami k formulėje (27.1) pagal

Todėl vienmačiu atveju osciliatoriaus Schrödingerio lygtis (žr. (21.5)) atrodo taip:

Bendra energija, osciliatorius). Teoriškai diferencialines lygtisįrodyta, kad (27.2) lygtis turi baigtinius, vienareikšmius ir ištisinius parametro E reikšmių sprendinius, lygius

Fig. 27.1 parodyta diagrama energijos lygiai harmoninis osciliatorius. Aiškumo dėlei lygiai įrašyti į kreivę potenciali energija. Tačiau reikia atsiminti, kad į kvantinė mechanika bendra energija negali būti pavaizduota kaip tiksliai apibrėžtų energijų T ir U suma (žr. paskutinę ankstesnės pastraipos pastraipą).

Harmoninio osciliatoriaus energijos lygiai yra vienodai nutolę, ty nutolę vienas nuo kito tokiu pat atstumu. Mažiausiai galima prasmė energija lygi . Ši vertė vadinama nulinio taško energija.

Nulinio taško energijos egzistavimą patvirtina eksperimentai, tiriantys kristalų šviesos sklaidą žemos temperatūros. Pasirodo, kad išsklaidytos šviesos intensyvumas mažėjant temperatūrai linkęs ne į nulį, o į tam tikrą galutinė vertė, nurodant, kad kada absoliutus nulis atomų virpesiai kristalinė gardelė nesustok.

Kvantinė mechanika leidžia apskaičiuoti tikimybes įvairūs perėjimai kvantinė sistema iš vienos valstybės į kitą. Tokie skaičiavimai rodo, kad harmoniniam generatoriui galimi tik perėjimai tarp gretimų lygių. Tokių perėjimų metu kvantinis skaičius pasikeičia vienu:

Pakeitimams keliamos sąlygos kvantiniai skaičiai sistemos perėjimo metu iš vienos būsenos į kitą, vadinamos atrankos taisyklėmis.

Taigi harmoniniam generatoriui yra pasirinkimo taisyklė, išreikšta (27.4) formule.

Iš taisyklės (27.4) išplaukia, kad harmoninio osciliatoriaus energija gali keistis tik dalimis /rto. Šis rezultatas, kuris natūraliai gaunamas kvantinėje mechanikoje, sutampa su tuo, kuris yra labai svetimas. klasikinė fizika prielaida, kurią Planckas turėjo padaryti, norėdamas apskaičiuoti visiškai juodo kūno spinduliavimo koeficientą (žr. § 7). Atkreipkite dėmesį, kad Planckas manė, kad harmoninio osciliatoriaus energija gali būti tik neatskiriamas Ha kartotinis. Realybėje taip pat yra nulinės energijos, kurios egzistavimas buvo nustatytas tik sukūrus kvantinę mechaniką.