Куб интерполяцийн сплайн. Куб сплайн барих

Усан онгоцны үйлдвэрлэл, автомашины үйлдвэрлэл, нисэх онгоцны үйлдвэрлэл зэрэг аж үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн хувьд эцсийн хэлбэрийг эцсийн хэлбэрийг дуусгах процессоор тодорхойлдог.

Энэ үйл явцын автоматжуулалтыг харуулсан ихээхэн сонирхолУчир нь компьютер график. Математик сплайны хэлбэр нь физик сплайны контурыг дагадаг (Зураг 5-4), i.e. тодорхой цэгүүдээр дамжин өнгөрөх уян хатан модон эсвэл хуванцар захирагч. Тугалган жинг сплайн хэлбэрийг өөрчлөхөд ашигладаг. Тэдний тоо, байршлыг өөрчилснөөр тэд үүссэн муруйг илүү жигд, үзэсгэлэнтэй, "нүдэнд тааламжтай" болгохыг хичээдэг.

Хэрэв бид физик сплайныг нимгэн уян тууз гэж үзвэл түүний хэлбэр (газайлт) нь туузны дагуу гулзайлтын агшинд Эйлерийн тэгшитгэлээр (5-2) тодорхойлогдоно.

хаана байна Янгийн модуль нь тавиурын материалын шинж чанараас хамаардаг, муруйн хэлбэрээр тодорхойлогддог инерцийн момент ба муруйлтын радиус юм.

Жижиг хазайлтын хувьд радиус нь ойролцоогоор тэнцүү байна

,

Энд үндсэн тоо нь тулгуурын дагуух зайтай холбоотой деривативыг илэрхийлдэг ба таягны хазайлт юм. Эйлерийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Жингүүд нь энгийн тулгуур шиг ажиллавал тэдгээрийн хоорондох гулзайлтын момент шугаман байдлаар өөрчлөгдөнө. Орлуулах Эйлерийн тэгшитгэлийг олж авна

мөн давхар интеграцийн дараа

Тиймээс сплайны хэлбэрийг куб олон гишүүнтээр өгнө.

IN ерөнхий тохиолдолМатематикийн сплайн нь хэрчмүүдийн холболтын цэгүүд дэх зэрэглэлийн тасралтгүй дериватив бүхий хэсэгчилсэн олон гишүүнт юм. Тиймээс, жишээ нь, куб сплайнхолболтын цэгүүд дээр хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй ажиллагаатай. Бага эрэмбийн олон гишүүнтээс авсан хэсэгчилсэн сплайнууд нь их хэмжээний тооцооллын зардал шаарддаггүй, олон гишүүнтэд хамаарах тоон хазайлт үүсгэдэггүй тул муруйн интерполяцид маш тохиромжтой байдаг. өндөр захиалга. Физик сплайнуудын нэгэн адил хэд хэдэн куб сегментийг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд сегмент бүр нь хоёр цэгээр дамждаг. Куб сплайн нь мөн тохиромжтой, учир нь энэ нь хамгийн жижиг эрэмбийн муруй бөгөөд орон зайд гулзайлтын цэгүүд болон гулзайлтын боломжийг олгодог.

Нэг параметрт сплайн сегментийн тэгшитгэл нь:

, , (5-1)

хаана ба нь сегментийн эхэн ба төгсгөлд байгаа параметрийн утгууд юм. - сегментийн аль ч цэг рүү вектор. нь вектор утгатай функц бөгөөд үүнд гурван бүрэлдэхүүн хэсэг байна Декарт координатуудвектор.

Цагаан будаа. 5-5 Куб сплайны нэг сегмент.

Бүрэлдэхүүн хэсэг бүр нь -тэй төстэй хэлбэртэй, i.e.

, ,

, ,

, .

Тогтмол коэффициентийг сплайн сегментийн дөрвөн хилийн нөхцөл дээр үндэслэн тооцдог. (5-1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье

Сегментийн төгсгөлийн векторууд ба байг (5-5-р зургийг үз). Мөн ба , -тэй хамаарах деривативууд нь сегментийн төгсгөлд шүргэгч векторууд байг. Ялгах тэгшитгэл (5-1), бид олж авна

, . (5-3)

Үр дүнг нь бичье

, . (5-4)

Ерөнхий байдлаа алдалгүйгээр гэж үзээд хилийн нөхцлүүдийг хэрэгжүүлье

Бид үл мэдэгдэх дөрвөн тэгшитгэлийг олж авдаг.

, (5-6б)

, (5-6c)

. (5-6 өдөр)

Шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

(5-7а)

. (5-7б)

, , хэмжигдэхүүнүүд нь куб сплайн сегментийг тодорхойлно. Мэдээжийн хэрэг сегментийн хэлбэр нь сегментийн төгсгөлд байрлах байрлал ба шүргэгч векторуудаас хамаарна. Дараа нь үр дүн нь сегментийн төгсгөлд параметрийн утгыг агуулж байгааг анхаарна уу. Төгсгөлийн цэг ба шүргэгч вектор бүр гурван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй тул куб орон зайн муруйн параметрийн тэгшитгэл нь арван хоёр вектор бүрэлдэхүүн болон сегментийн төгсгөлд байгаа параметрийн утгаас хамаарна.

(5-6) ба (5-7) тэгшитгэлийг (5-1) орлуулснаар бид куб сплайны нэг сегментийн тэгшитгэлийг олж авна.

. (5-8)

Энэ бол нэг сегментийн тэгшитгэл юм. Муруйг бүхэлд нь авахын тулд та олон сегментийг холбох хэрэгтэй. Зураг дээр. 5-6-д хоёр зэргэлдээ сегментийг харуулав. Хэрэв , , , тангенс векторууд, , параметрүүдийн утгууд нь мэдэгдэж байгаа бол сегмент бүрийн хэлбэрийг тэгшитгэлээс (5-8) тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч холболтын цэг дээрх шүргэгч векторыг мэдэхгүй байх магадлал багатай юм. Аз болоход, энэ нь тасралтгүй байдлын нөхцлөөс үүдэлтэй байж болно.

Хэсэгчилсэн градусын сплайн нь холболтын цэгүүдэд градусын тасралтгүй байдалтай байдаг гэдгийг санаарай; куб сплайны тасралтгүй байдал нь хоёр. Үүнийг хийхийн тулд шугамын хоёр дахь дериватив буюу муруйлт тасралтгүй байх ёстой. (5-1) тэгшитгэлийг хоёр удаа ялгаж, бид олж авна

, . (5-9)

Цагаан будаа. 5-6 Хоёр хэсэгчилсэн куб сплайн сегмент.

Сплайны эхний хэсгийн хувьд параметр нь . (5-9) тэгшитгэлд орлъё:

.

Сплайны хоёр дахь хэсгийн хувьд параметр нь мужид өөрчлөгддөг. Хоёр дахь хэсгийн эхэнд байгаа утгыг (5-9) тэгшитгэлд орлъё

Хүлээн авсан үр дүнг тэнцүүлж (5-6a,b) ба (5-7a) тэгшитгэлийг ашиглан бид олж авна.

.

Энэ тэгшитгэлийн зүүн тал нь эхний сегментийн төгсгөлийн муруйлтыг, баруун тал нь хоёр дахь хэсгийн эхэнд байгаа муруйлтыг илэрхийлнэ. Нэр томъёогоор үржүүлж бүлэглээрэй:

Энэ нь холболтын цэг дээрх үл мэдэгдэх шүргэгч векторыг тодорхойлно. Эцсийн тэгшитгэл нь сегментүүдийн төгсгөлд параметрийн утгыг дахин агуулж байгааг анхаарна уу.

Үүссэн томъёог цэгүүдийн хувьд ерөнхийд нь гаргаж болох ба куб сплайны сегментүүдийн хувьд холболтын цэгүүд дээр хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй байдлыг олж авч болно.

Цагаан будаа. 5-7 Хэсэгчилсэн куб сплайн сегментүүдийн багцын тэмдэглэгээ.

Дурын хоёр зэргэлдээ сплайн сегментийн ерөнхий тэгшитгэл ба Зураг 1-ийн тэмдэглэгээ. 5-7 дараах байдалтай байна.

(5-11)

эхний сегментийн хувьд болон

(5-12)

хоёрдугаарт, сегмент бүрийн хувьд параметр нь тэгээс өөрчлөгдөж эхэлдэг тул эхний болон хоёр дахь нь - .

Хоёрдахь деривативыг зэргэлдээх сегментүүдийн нэгдэх цэгүүдэд тэгшитгэх, , өгдөг ерөнхий үр дүн, тэгшитгэлтэй тэнцэх (5-10),

үүнээс шүргэгч векторыг дурын хоёр сегментийн холболтын цэгүүдэд тодорхойлох ба .

Сплайны бүх сегментүүдэд тэгшитгэлийг (5-13) рекурсив ашиглах нь шүргэгч вектор тэгшитгэлийг үүсгэдэг , . IN матриц хэлбэр:

(5-14)

Матриц нь квадрат биш, учир нь зөвхөн векторуудад зориулсан тэгшитгэлүүд байдаг бөгөөд -ийн шийдлийг олж авахын тулд үүнийг урвуугаар эргүүлэх боломжгүй юм. Хэрэв бид муруйн төгсгөлд байгаа шүргэгч векторууд мэдэгдэж байгаа гэж үзвэл асуудал шийдэгдэнэ. Одоо матриц иймэрхүү харагдаж байна

(5-15)

матриц нь квадрат ба урвуу хэлбэртэй байна. Энэ нь гурван диагональ гэдгийг анхаарна уу, энэ нь түүний урвуу тооцооны зардлыг бууруулдаг. Цаашилбал, матриц нь диагональ давамгайлдаг. Энэ нь түүнд байгаа гэсэн үг юм цорын ганц шийдэл:

. (5-16)

Хэрэв бид мэддэг бол сплайн сегмент бүрийн коэффициентийг тодорхойлоход хялбар байдаг. (5-6)-(5-11) тэгшитгэлийг нэгтгэн бид олж авна

,

.

Түүнээс хойш мөн байна вектор хэмжигдэхүүнүүд, тэгвэл тэд бас вектор болно; Хэрэв тэдгээр нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй бол эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бас байдаг.

Матриц хэлбэрээр аливаа сплайн сегментийн тэгшитгэл нь:

. (5-17)

Төгсгөлд нь шүргэгч векторууд болон цэгүүдийг дайран өнгөрөх куб сплайныг зааж өгөх шаардлагатай. (5-16) тэгшитгэлээс бид дотоод шүргэгч векторуудыг , . Дараа нь (5-17) тэгшитгэлээс сегмент бүрийн төгсгөлийн мэдэгдэж буй координат ба сегмент бүрийн шүргэгч векторуудыг, , , тодорхойлно. Тэгшитгэлийн эцсийн ерөнхий дүгнэлт (5-1)

, , , (5-18)

сплайн сегментийг тооцоолоход ашигладаг.

Матриц хэлбэрээр тэгшитгэл (5-18) дараах байдалтай байна.

, . (5-19)

(5-17) тэгшитгэлийг орлуулж, нөхцлүүдийг дахин зохион байгуулснаар бид олж авна

, , , (5-20)

, (5-21а)

, (5-21б)

, (5-21 секунд)

, (5-21 өдөр)

жингийн функц гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 5-8 Куб сплайн жинлэх функцууд

Эдгээр тодорхойлолтыг ашиглан бид (5-20) тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичнэ

жингийн функцийн матриц хаана байна

геометрийн мэдээллийг агуулдаг. Дараахаас харахад тэгшитгэлүүд (5-22), i.e. геометрийн нөхцлүүдийн матрицаар үржүүлсэн жингийн функцийн матриц бөгөөд ихэвчлэн муруй ба гадаргууг дүрслэхэд ашигладаг.

(5-21) тэгшитгэлээс харахад жингийн функц бүр гуравдахь эрэмбтэй байна. Куб сплайн сегментийн дурын цэг нь төгсгөлийн цэг ба шүргэгч векторуудын жигнэсэн нийлбэр юм. Коэффициент нь жинлэх функцийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Зураг дээр. 5-8-ыг үзүүлэв. Зургаас харахад энэ нь тодорхой бөгөөд , i.e. муруй нь цэгийн вектороор дамждаг. Үүнтэй адил ба, i.e. муруй нь мөн цэгийн вектороор дамждаг. Дараа нь бид ба , ба ба -ийн тэгш хэмийг тэмдэглэв. Үнэндээ . Эцэст нь , , ба -ын харьцангуй дарааллыг анхаарч үзье. Хэмжээний мэдэгдэхүйц ялгаа нь ерөнхийдөө төгсгөлийн цэгүүдийн байрлал нь шүргэгч векторуудаас илүү их нөлөө үзүүлдэг болохыг харуулж байна.

Хэсэгчилсэн куб сплайныг цэгүүд, шүргэгч векторууд болон параметрийн утгуудаар, өөрөөр хэлбэл бүх сегментийн төгсгөлд тодорхойлдог гэдгийг санаарай. Сонголт нь муруйны жигд байдалд нөлөөлдөг.

Дотоод холболтын цэгүүд дэх хоёр дахь деривативын тасралтгүй байдал нь түүний дагуух хамгийн бага муруйлтын утгаараа муруйн жигд байдлыг хангаж чадахгүй. Тохиромжтой утгыг сонгосноор сегмент бүрийн коэффициентийг багасгаж, муруйг илүү жигд болгох боломжтой. Ихэвчлэн эдгээр нэмэлт тооцоо шаардлагагүй. Практик зорилгоор, илүү энгийн аргууд, энд яригдсан зүйлүүд шиг.

Тооцооллын нэг арга бол параметрийн утгыг тохируулах явдал юм тэнцүү урттайзэргэлдээх цэгүүдийн хоорондох хөвч. Үүний зэрэгцээ муруйн чанар нь ихэнх хүмүүсийн шаардлагыг хангадаг хэрэглээний асуудлууд. Өөр нэг арга бол авах замаар хэлбэлзлийг хэвийн болгох явдал юм нэгтэй тэнцүүсплайн сегмент бүрийн хувьд. Энэ сонголт нь тооцооллыг хялбаршуулдаг (5-4-р хэсгийг үзнэ үү). Дээрх тэгшитгэлээс харахад аливаа сонголтын үр дүнд өөр өөр коэффициентүүд гарч ирдэг бөгөөд ингэснээр өгөгдсөн цэгүүдээр дамждаг өөр өөр муруйг олж авдаг.

Нэг жишээ авч үзье.

Гадаргуугийн ЦЭГ ЦЭГИЙН ТОДОРХОЙЛОЛТ.

Арга нь түүнд хамаарах цэгүүдийн багц бүхий гадаргууг тодорхойлохоос бүрдэнэ. Тиймээс энэ аргын зургийн чанар нь цэгүүдийн тоо, тэдгээрийн байршлаас хамаарна.

Гадаргуу нь маш нарийн төвөгтэй, гөлгөр биш, нарийвчилсан дүрслэл бүхий тохиолдолд нэг цэгийн тайлбарыг ашигладаг. геометрийн шинж чанаруудпрактикт чухал ач холбогдолтой.

Жишээ: Бусад гариг ​​дээрх хөрсний талбай, хэлбэр селестиел биетүүд, энэ талаарх мэдээллийг хиймэл дагуулын зургийн үр дүнд олж авсан. Электрон микроскоп ашиглан авсан бичил биетүүд.

Цэгээр дүрсэлсэн объектуудын талаархи анхны мэдээллийг матриц хэлбэрээр үзүүлэв 3D координатоноо.

Сплайннь гөлгөр (хэд хэдэн тасралтгүй деривативтай) хэсэгчилсэн олон гишүүнт функцууд бөгөөд өгөгдсөн функцуудыг төлөөлөхөд ашиглаж болно. их тоонэг олон гишүүнт ойртуулах боломжгүй утгууд. Сплайн нь гөлгөр, хэмнэлттэй, ажиллахад хялбар байдаг тул тэдгээрийг дурын функц бүтээхэд ашигладаг:

o муруй загварчлал;

o муруй ашиглан өгөгдөлд ойртох;

o функциональ ойролцоо тооцоолол хийх;

o функциональ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Өгөгдсөн хилийн цэгийн дагуу гөлгөр муруй зурах бодлого буюу интерполяцийн бодлогыг авч үзье. Хоёр цэгээр хэдэн ч гөлгөр муруй зурж болох тул энэ асуудлыг шийдэхийн тулд хүссэн муруйг тодорхойлох функцүүдийн ангиллыг хязгаарлах шаардлагатай. Математикийн сплайн нь муруйг ойролцоолоход хэрэглэгддэг функцууд юм. Тэдний чухал шинж чанар нь тооцоолоход хялбар байдал юм. Практикт 3-р зэргийн олон гишүүнт хэлбэрийн сплайныг ихэвчлэн ашигладаг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар хүний ​​гөлгөр байдлын субъектив ойлголттой нийцэх муруй зурах нь маш тохиромжтой. "Spline" гэсэн нэр томъёо нь англи хэлнээс гаралтай бөгөөд энэ нь зураачид гөлгөр муруй зурах, жишээлбэл, хөлөг онгоц эсвэл онгоцны контурыг зурахад ашигладаг уян хатан ган тууз гэсэн үг юм.

Эхлээд нэг хувьсагчийн функцийг зурах сплайн функцийг авч үзье. Хавтгай дээр өгөгдсөн цэгүүдийн дараалал ба . Шаардлагатай функцийг тодорхойлж, хоёр нөхцөлийг тавьцгаая.

1) Функц нь бүх цэгээр дамжих ёстой: , ;

2) Функц нь хоёр удаа тасралтгүй дифференциалагдах ёстой, өөрөөр хэлбэл бүх интервал дээр тасралтгүй хоёр дахь дериватив байх ёстой.

, , сегмент бүр дээр бид функцээ гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт хэлбэрээр хайх болно.

.

Сплайн функц

Олон гишүүнт байгуулах даалгавар нь коэффициентийг олоход чиглэгддэг. Сегмент бүрийн хувьд 4 коэффициентийг олох шаардлагатай тул шаардагдах нийт коэффициентийн тоо нь . Бүх коэффициентийг олохын тулд бид тохирох тооны тэгшитгэлийг тодорхойлно. Эхний тэгшитгэлийг дотоод зангилаа дахь функцын утгуудын давхцах нөхцлөөс гаргаж авсан болно. Дараахь тэгшитгэлүүдБид дотоод зангилааны эхний ба хоёр дахь деривативуудын утгуудын давхцлын нөхцлөөс ижил төстэй байдлаар олж авдаг. Эхний нөхцлийн хамт бид тэгшитгэлийг олж авдаг. Алга болсон хоёр тэгшитгэлийг сегментийн төгсгөлийн цэгүүдэд эхний деривативуудын утгыг зааж өгөх замаар олж авч болно. Ингэснээр хилийн нөхцөлийг тодорхойлж болно.

Илүү дэлгэрэнгүй рүү шилжье хэцүү тохиолдол– муруй оруулах гурван хэмжээст орон зай. Муруйн функциональ тодорхойлолтын хувьд өөрөө огтлолцох тохиолдолд хоёрдмол утгатай, деривативын утга тэнцүү байх үед эвгүй байдалд орох боломжтой. Үүнийг харгалзан бид функцийг хайх болно параметрийн хэлбэр. Ийм бие даасан параметр байг. Бид үүнийг куб параметрийн сплайн гэж нэрлэдэг дараах системтэгшитгэл:

Муруй дээрх цэгүүдийн координатыг вектороор дүрслэх ба гурван дериватив нь тухайн цэг дээрх харгалзах шүргэгч векторын координатыг зааж өгдөг. Жишээлбэл, координатын хувьд:

Параметрийн куб сплайныг тодорхойлох нэг арга бол эхний ба координатыг зааж өгөх явдал юм төгсгөлийн цэгүүд, түүнчлэн тэдгээрийн шүргэгч векторууд. Тодорхойлох ийм аргыг Hermite хэлбэр гэж нэрлэдэг. Төгсгөлийн цэгүүд ба , тэдгээрийн шүргэгч векторуудыг ба . Цаашдын танилцуулгыг харгалзан индексүүдийг ийм байдлаар сонгосон.

Үлдсэн хоёр тэгшитгэлийн хувьд коэффициентүүд ижил төстэй байдлаар олддог тул бид дөрвөн коэффициентийг олох асуудлыг шийдэх болно. Сплайн байгуулах нөхцөлийг бичье.

илэрхийллийг дахин бичье вектор хэлбэр:

.

Коэффициентуудын мөрийн вектор ба баганын векторыг тэмдэглээд дараа нь .

(*)-аас үзэхэд, . Шүргэгчийн хувьд ,

Эндээс бид вектор-матрицын тэгшитгэлийг авна.

.

Энэ системийг олох замаар шийдэж болно урвуу матрицхэмжээ.

.

Энд Гермитийн матриц байна, - геометрийн векторЭрмита. Дараахыг олохын тулд илэрхийллийг орлъё. Үүнтэй адилаар бусад координатын хувьд: , .

Олдсон муруй ба гадаргуу практик асуудлууд, ихэвчлэн нэлээд байдаг нарийн төвөгтэй хэлбэр, энэ нь бүх нийтийг зөвшөөрдөггүй аналитик даалгаварерөнхийдөө тусламжтайгаар үндсэн функцууд. Тиймээс тэдгээрийг харьцангуй энгийн гөлгөр хэсгүүдээс угсардаг - сегмент (муруй) эсвэл зүсэлт (гадаргуу) бөгөөд тус бүрийг нэг эсвэл хоёр хувьсагчийн үндсэн функцийг ашиглан хангалттай тайлбарлаж болно. Энэ тохиолдолд хэсэгчилсэн муруй эсвэл гадаргууг бүтээхэд ашигладаг гөлгөр функцууд нь ижил төстэй шинж чанартай байх ёстой, жишээлбэл, олон гишүүнт байх ёстой гэсэн шаардлага тавих нь зүйн хэрэг юм. ижил түвшинд. Үүссэн муруй эсвэл гадаргуу нь хангалттай гөлгөр байхын тулд та харгалзах хэлтэрхийнүүд нийлж байгаа газарт онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Олон гишүүнтийн зэрэг нь энгийн геометрийн үндэслэлээс сонгогддог бөгөөд дүрмээр бол бага байдаг. Бүхэл бүтэн нийлмэл муруй дагуу шүргэгчийг жигд өөрчлөхийн тулд гурав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнтүүдийг ашиглан холбосон муруйг дүрслэхэд хангалттай. куб олон гишүүнт. Харгалзах нийлмэл муруйны муруйлт тасралтгүй байхаар ийм олон гишүүнтийн коэффициентийг үргэлж сонгож болно. Нэг хэмжээст асуудлыг шийдвэрлэхэд үүсдэг куб сплайныг нийлмэл гадаргуугийн хэлтэрхий барихад тохируулж болно. Энд хоёр хувьсагч бүрийн гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийг ашиглан дүрсэлсэн хоёр куб сплайн нь байгалийн жамаар гарч ирдэг. Ийм сплайнуудтай ажиллах нь илүү их хэмжээний тооцоолол шаарддаг. Гэхдээ зөв зохион байгуулалттай үйл явцтасралтгүй өсөн нэмэгдэж буй боломжуудыг харгалзан үзэх боломжийг бидэнд олгоно компьютерийн технологиВ дээд зэрэг. Spline функцууд Сегмент дээр Let, өөрөөр хэлбэл Тайлбар. a^ тоонуудын индекс (t) нь үүнийг харуулж байна. хэсэгчилсэн D сегмент бүрийн 5(x) функцийг тодорхойлох коэффициентүүдийн багц өөр байна. D1 сегмент бүр дээр сплайн 5(x) нь p зэрэгтэй олон гишүүнт бөгөөд энэ сегмент дээр p + 1 коэффициентээр тодорхойлогддог. Нийт хэсэгчилсэн сегментүүд - дараа нь. Энэ нь сплайныг бүрэн тодорхойлохын тулд (p + 1) дараа нь тоонуудыг олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Ийм зангилааны тоо m - 1. Тиймээс бүх олон гишүүнтийн коэффициентийг олохын тулд p(m - 1) нөхцөл (тэгшитгэл) олно. Учир нь бүрэн тодорхойлолтсплайн байхгүй байна (нөхцөл (тэгшитгэл). Нэмэлт нөхцлийн сонголт нь авч үзэж буй асуудлын мөн чанар, заримдаа хэрэглэгчийн хүслээр тодорхойлогддог. SPLINE ОНОЛ Шийдлийн жишээнүүд. Интерполяци, тэгшитгэх асуудлыг ихэвчлэн авч үздэг. B хавтгай дээрх өгөгдсөн массиваас нэг эсвэл өөр сплайн байгуулах шаардлагатай интерполяцийн асуудал нь сплайн графикийг цэгүүдээр дамжин өнгөрөхийг шаарддаг бөгөөд энэ нь түүний коэффициентүүдэд m + 1 нэмэлт нөхцөл (тэгшитгэл) ногдуулдаг. Сплайныг хоёрдмол утгагүй барихын тулд ихэвчлэн авч үзэж буй сегментийн төгсгөлд сплайны доод деривативуудын утгын хэлбэрээр тодорхойлогддог [a, 6] - хилийн (хязгаар) нөхцөлийг сонгох янз бүрийн хилийн нөхцлүүд нь янз бүрийн шинж чанартай сплайн үүсгэх боломжийг олгодог. Гөлгөр бодлогод сплайныг график нь (i" "Y"), * = 0, 1,..., t, цэгүүдийн ойролцоо өнгөрдөг байхаар бүтээдэг. мөн тэднээр дамжуулан биш, энэ ойрын хэмжүүрийг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болох бөгөөд энэ нь нэлээд олон төрлийн тэгшитгэхэд хүргэдэг. Сплайн функцийг бүтээхдээ тайлбарласан сонголтууд нь тэдгээрийн олон янз байдлыг шавхдаггүй. Хэрэв эхэндээ зөвхөн хэсэгчилсэн олон гишүүнт сплайн функцуудыг авч үзсэн бол тэдгээрийн хэрэглээний цар хүрээ өргөжих тусам бусад үндсэн функцүүдээс "наалагдсан" сплайнууд гарч ирэв. Интерполяцын куб сплайн Интерполяцийн бодлогын илэрхийлэл Хэсэгт w тор өгье [a, 6) тооны багц бодлого бодъё. Сүлжээний зангилааны o" хэсэгт өгөгдсөн утгыг авдаг сегмент (a, 6) дээр гөлгөр функцийг байгуул, өөрөөр хэлбэл, Тайлбар: Интерполяцийн томъёолсон асуудал нь сэргээх явдал юм.жигд функц , хүснэгтэд өгсөн (Зураг 2). Ийм асуудал олон байгаа нь ойлгомжтойянз бүрийн шийдэл . Үүсгэсэн функц дээр давхарлахнэмэлт нөхцөл , шаардлагатай хоёрдмол утгагүй байдалд хүрч болно. Аппликешнүүдэд хангалттай хэмжээний функцийг ашиглан аналитик байдлаар өгөгдсөн функцийг ойролцоогоор тооцоолох шаардлагатай байдаг.сайн шинж чанарууд . Жишээлбэл, [a, 6] сегментийн цэгүүд дэх өгөгдсөн функцийн утгыг /(x) тооцоолоход ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой ба/эсвэл өгөгдсөн функц /(x) нь шаардлагатай жигд бус байх тохиолдолд. , өөр функцийг ашиглах нь тохиромжтой бөгөөд өгөгдсөн функцтэй ойролцоо байх бөгөөд түүний сул талуудгүй байх болно. Функцийн интерполяцийн асуудал. [a, 6] интервал дээр w сүлжээний зангилаанууд дээр давхцах a(x) тэгш функцийг байгуул./(X). Интерполяцын куб сплайны тодорхойлолт w сүлжээн дэх интерполяцын куб сплайн S(x) нь 1) сегмент тус бүр дээр 3-р зэргийн олон гишүүнт, 2) [a, b сегмент дээр хоёр удаа тасралтгүй дифференциалагдах функц юм. ], өөрөөр хэлбэл C2[ a, 6] ангилалд хамаарах ба 3) сегмент тус бүр дээр сплайн S(x) нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энэ сегмент дээр дөрвөн коэффициентээр тодорхойлогддог. . Сегментийн нийт тоо m Энэ нь сплайныг бүрэн тодорхойлохын тулд 4м тоог олох шаардлагатай гэсэн үг юм. (x) бүх дотоод сүлжээний зангилаанд w. Ийм зангилааны тоо m - 1. Тиймээс бүх олон гишүүнтийн коэффициентийг олохын тулд өөр 3(m - 1) нөхцөл (тэгшитгэл) олно. Нөхцөл (2)-ын хамт нөхцөл (тэгшитгэл)-ийг олж авна. Хилийн (ирмэг) нөхцөлүүд [a, 6] интервалын төгсгөлд сплайн ба/эсвэл түүний деривативын утгыг хязгаарлах хэлбэрээр хоёр дутуу нөхцөлийг зааж өгсөн болно. Интерполяцын куб сплайныг барихдаа дараах дөрвөн төрлийн хилийн нөхцлүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. A. 1-р төрлийн хилийн нөхцөл. - [a, b] интервалын төгсгөлд хүссэн функцийн эхний деривативын утгыг зааж өгсөн болно. B. 2-р төрлийн хилийн нөхцөл. - интервалын төгсгөлд (a, 6) хүссэн функцийн хоёр дахь деривативын утгыг зааж өгсөн болно. B. 3-р төрлийн хилийн нөхцөл. үе үе гэж нэрлэдэг. Интерполяцлагдсан функц нь T = b-a үетэй үе үе байх тохиолдолд эдгээр нөхцлийг биелүүлэхийг шаардах нь зүйн хэрэг юм. D. 4-р төрлийн хилийн нөхцөл. тусгай тайлбар шаарддаг. Сэтгэгдэл. Дотоод сепси зангилааны үед S(x) функцийн гурав дахь дериватив нь ерөнхийдөө тасархай байдаг. Гэсэн хэдий ч 4-р төрлийн нөхцлүүдийг ашиглан гурав дахь деривативын тасалдлын тоог бууруулж болно. Энэ тохиолдолд бүтээгдсэн сплайн нь интерполяци хийх куб сплайныг гурван удаа тасралтгүй ялгах болно. Тодорхойлох хэмжигдэхүүнүүдийн тоо тэнцүү байх шоо сплайны коэффициентийг тооцоолох аргыг тайлбарлая. Интерполяцийн сплайн функцийг интерполяц бүр дээр дараах хэлбэрээр хайдаг. Энд SPLINE ОНОЛ шийдэл болон тоонуудын жишээ нь шугаман системийн шийд юм, хэлбэр нь хилийн нөхцлийн төрлөөс хамаарна. 1 ба 2-р төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд энэ систем нь хилийн нөхцлийн сонголтоос хамаарах коэффициентүүд нь дараах хэлбэртэй байна. 1-р төрлийн хилийн нөхцөл: 2-р төрлийн хилийн нөхцөл: 3-р төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд тоо тодорхойлох системийг дараах байдлаар бичнэ. хамгийн сүүлийн үеийн систем mn-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь үечилсэн байдлын нөхцлөөс po = nm гэсэн үг юм. 4-р төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд тоо тодорхойлох систем нь системд олсон шийдэлд үндэслэн po болон n тоог томъёогоор тодорхойлж болох хэлбэртэй байна. Гурван шугаман матрицууд алгебрийн системүүддиагональ давамгайлсан матрицууд юм. Матрицууд нь ганц бие биш тул эдгээр систем бүр нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Теорем. Дээр дурдсан дөрвөн төрлийн аль нэгнийх нь нөхцөл (2) болон хилийн нөхцөлийг хангасан интерполяцын куб сплайн байдаг бөгөөд өвөрмөц юм. Иймээс интерполяцын куб сплайн байгуулах гэдэг нь сплайны коэффициентийг олоход S(x)-ийн утгыг олно гэсэн үгдурын цэг [a, b] сегментийг (3) томъёоноос олж болно. Гэсэн хэдий ч практик тооцооллын хувьд энэ нь илүү тохиромжтойдараагийн алгоритм 5(g) утгыг олох. x 6 [x" гэж үзье. Эхлээд A ба B утгуудыг томъёогоор тооцоолж, дараа нь 5(x) утгыг олно: Энэ алгоритмыг ашиглах нь утгыг тодорхойлох тооцооллын зардлыг эрс багасгадаг. Зөвлөмж хэрэглэгч Хилийн (ирмэг) нөхцөл ба интерполяцийн зангилааг сонгох боломжийг олгодогтодорхой хэмжээгээр интерполяцийн сплайнуудын шинж чанарыг хянах. A. Хилийн (ирмэг) нөхцөлийг сонгох. Хилийн нөхцлийн сонголт нь нэг юм төвлөрсөн асуудлуудойролцоолсон f(x) функцийн зан төлөвийн талаар. Хэрэв сегментийн төгсгөлд (a, 6) эхний үүсмэл f"(x)-ийн утгууд мэдэгдэж байвал 1-р төрлийн хилийн нөхцлийг ашиглах нь зүйн хэрэг юм. Хэрэв хоёр дахь деривативын утгууд нь f"(x) нь [a, 6] сегментийн төгсгөлд мэдэгдэж байгаа бол энэ нь 2-р төрлийн байгалийн ашиглалтын хилийн нөхцөл юм. Хэрэв 1 ба 2-р төрлийн хилийн нөхцлүүдийн хооронд сонголт байгаа бол 1-р төрлийн нөхцлүүдэд давуу эрх олгоно. Хэрэв f(x) - үечилсэн функц, дараа нь бид 3-р төрлийн хилийн нөхцөл дээр зогсох ёстой. Байхгүй тохиолдолд нэмэлт мэдээлэлОйролцоогоор функцийн зан үйлийн талаар ямар ч мэдээлэл байхгүй, байгалийн хилийн нөхцлүүд ихэвчлэн ашиглагддаг, гэхдээ энэ нь хилийн нөхцлийн ийм сонголттойгоор f(x) функцийг ойртуулах нарийвчлалыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. ) сплайнаар S(x) сегментийн төгсгөлд ойрхон (a, ft] огцом буурдаг. Заримдаа тэдгээрийг 1-р эсвэл 2-р төрлийн хилийн нөхцлүүдийг ашигладаг, гэхдээ эдгээрийг ашигладаггүй. тодорхой утгуудхаргалзах деривативууд ба тэдгээрийн зөрүүний ойролцоо утгатай. Энэ аргын нарийвчлал бага байна. Тооцооллын практик туршлагаас харахад авч үзэх нөхцөл байдалд 4-р төрлийн хилийн нөхцлийн сонголт хамгийн тохиромжтой байдаг. B. Интерполяцийн зангилааны сонголт. Хэрэв функцийн гуравдахь дериватив f""(x) нь [a, b] сегментийн зарим цэгүүдэд тасалдалтай байвал ойролцоолсон чанарыг сайжруулахын тулд эдгээр цэгүүдийг интерполяцийн зангилааны тоонд оруулах шаардлагатай. Хэрэв хоёр дахь дериватив /"(x) нь тасалдалтай бол тасархайн цэгүүдийн ойролцоо сплайны хэлбэлзлээс зайлсхийхийн тулд тусгай арга хэмжээ авах шаардлагатай. Ихэвчлэн интерполяцийн зангилаанууд нь хоёр дахь деривативын тасалдлын цэгүүд унахаар сонгогддог. дотор \xif) гэсэн утгыг тоон туршилтаар сонгож болно (ихэнхдээ a = 0.01-ийг тохируулахад хангалттай байдаг. Эхний үүсмэл f". (x) нь тасалдсан. Хамгийн энгийн аргуудын нэг болохын хувьд бид үүнийг санал болгож болно: ойролцоох сегментийг дериватив тасралтгүй байх интервалд хувааж, эдгээр интервал тус бүр дээр сплайн байгуул. Интерполяцийн функцийг сонгох (давуу ба сул талууд) 1-р арга. Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт SPLINE ОНОЛ өгөгдсөн массивын шийдлийн жишээнүүдийн хувьд (Зураг 3) Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт томьёогоор тодорхойлогддог. Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт хоёр эсрэг байрлалаас авч үзэх, үндсэн давуу талуудыг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. сул талууд. 1-р аргын гол давуу талууд: 1) Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн график нь массивын цэг бүрээр дамждаг, 2) бүтээгдсэн функцийг хялбархан тайлбарладаг (тодорхойлох сүлжээн дэх Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн тоо нь: m + 1-тэй тэнцүү), 3) бүтээгдсэн функц нь ямар ч эрэмбийн тасралтгүй деривативтай, 4) интерполяцийн олон гишүүнт өгөгдсөн массиваар өвөрмөц тодорхойлогддог. 1-р аргын гол сул талууд: 1) Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн зэрэг нь сүлжээний зангилааны тооноос хамаардаг бөгөөд энэ тоо их байх тусам интерполяцийн олон гишүүнтийн зэрэг өндөр байх тул илүү их тооцоолол хийх шаардлагатай болно. ) массивын дор хаяж нэг цэгийг өөрчлөхийн тулд Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн коэффициентийг бүрэн дахин тооцоолох шаардлагатай, 3) нэмэхмассив руу орох нь Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн зэргийг нэгээр нэмэгдүүлж, түүний коэффициентийг бүрэн дахин тооцоолоход хүргэдэг, 4) торыг хязгааргүй сайжруулснаар Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийн зэрэг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгддэг. Хязгааргүй торон сайжруулалт бүхий Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт үйл ажиллагаа нь ерөнхийдөө онцгой анхаарал шаарддаг. Сэтгэгдэл A. Ойролцоогоор тасралтгүй функцолон гишүүнт. Интервал дээрх аливаа тасралтгүй (бүр илүү жигд) функцийг энэ интервалд олон гишүүнтээр ойртуулж, хүссэн ч болно гэдгийг мэддэг (Weierstrass, 1885). Энэ баримтыг томъёоны хэлээр тайлбарлая. [a, 6] интервал дээр f(x) тасралтгүй функц байя. Дараа нь дурын e > 0-ийн хувьд [a, 6] интервалаас дурын х-ийн хувьд тэгш бус байдал хангагдах Р„(x) олон гишүүнт байна (Зураг 4) Функцийг ойролцоолсон ижил зэрэгтэй олон гишүүнтүүд гэдгийг анхаарна уу. f(x) заасан нарийвчлалтайгаар , хязгааргүй олон байна. [a, 6] сегмент дээр w сүлжээ байгуулъя. Түүний зангилаа нь ерөнхийдөө Pn(x) олон гишүүнт ба f(x) функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдтэй давхцдаггүй нь тодорхой байна (Зураг 5). Тиймээс өгөгдсөн торны хувьд олон гишүүнт Pn(x) нь интерполяци биш юм. Тасралтгүй функцийг Jla-graj интерполяцын олон гишүүнтээр ойртуулах үед түүний график нь сегментийн [a, b] цэг бүрийн f(x) функцийн графиктай ойр байх албагүй, харин түүнээс хазайж болно. энэ функцийг хүссэн хэмжээгээрээ. Хоёр жишээ хэлье. Жишээ 1 (Rung, 1901). [-1, 1] интервал дээрх функцийн зангилааны тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр хязгаарын тэгш байдал хангагдана (Зураг 6) Жишээ 2 (Беристейн, 1912). Тасралтгүй функц /(x) = |x|-ийн жигд сүлжээн дээр бүтээгдсэн Лагранж интерполяцийн олон гишүүнтүүдийн дараалал. Зангилааны тоо нэмэгдэж буй сегмент дээр m нь /(x) функцэд ханддаггүй (Зураг 7).сүлжээний хувьд (1) нь 2м-тэй тэнцүү), 3) массив өгөгдсөн бол бүтээгдсэн функц нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог, 4) интерполяцийн функцийг тодорхойлоход ашигласан олон гишүүнтүүдийн зэрэг нь сүлжээний зангилааны тооноос хамаарахгүй (тэнцүү) 1), 5) массивын нэг цэгийг өөрчлөхийн тулд дөрвөн тоог тооцоолох шаардлагатай (шинэ цэгээс гарах хоёр шулуун холбоосын коэффициент), 6) нэмэх нэмэлт цэг массив руу оруулахын тулд дөрвөн коэффициентийг тооцоолох шаардлагатай. Интерполяцын куб сплайны шинж чанарууд A. Куб сплайны алпроксимацийн шинж чанарууд. Интерполяцийн сплайны ойролцоолсон шинж чанарууд нь f(x) функцийн жигд байдлаас хамаардаг - интерполяцлагдсан функцийн гөлгөр байдал өндөр байх тусам ойртох дараалал өндөр байх ба торыг боловсронгуй болгох үед нэгдэх хурд өндөр байна. Хэрэв интерполяцлагдсан f(x) функц интерполяц дээр үргэлжилсэн бол интерполялагдсан f(x) функц нь [a, 6] интервал дээр тасралтгүй эхний деривативтай байвал энэ нь интерполяцийн сплайн, 1-р эсвэл 3-р төрлийн хилийн нөхцлүүдийг хангасан тохиолдолд h O-ийн хувьд бид байна Энэ тохиолдолд зөвхөн сплайн интерполяцлагдсан функцэд нийлэхээс гадна сплайны дериватив нь энэ функцийн деривативт нийлдэг. Хэрэв сплайн S(x) нь [a, b] сегмент дээрх f(x) функцийг ойртуулж, түүний эхний болон хоёр дахь деривативууд нь куб сплайны экстремаль шинж чанарыг тус тус ойртуулдаг. Интерполяци хийх куб сплайн нь дахиад нэгтэй ашигтай эд хөрөнгө. Дараах жишээг авч үзье. жишээ. (x;, /(x,)) бүх функцүүдийн дунд массивын цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг C2 орон зайнаас функцийн ангилалд функцийг багасгасан /(x) функцийг байгуул. )) болон заасан орон зайд хамаарах, энэ нь шоо сплайн 5( x), хилийн нөхцөлийг хангаж, функциональд экстремум (хамгийн бага) өгдөг Тайлбар 1. Ихэнхдээ энэ экстремаль шинж чанарыг интерполяцийн кубын тодорхойлолт болгон авдаг сплайн. Тайлбар 2. Интерполяци хийх куб сплайн нь маш өргөн функцүүдийн ангилалд, тухайлбал |o, 5] ангилалд дээр дурдсан экстремаль шинж чанартай байдаг нь сонирхолтой юм. 1.2. Гөлгөр шоо дөрвөлжин сплайныг тэгшлэх Бодлогын томъёололын тухай Тор ба тооны багцыг өгье Анхны өгөгдлийн тайлбар Практикт массив дахь y-ийн утгуудыг зарим нэг утгуудаар зааж өгөх тохиолдол гардаг. алдаа. Үнэн хэрэгтээ энэ нь интервал тус бүрийн хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд энэ интервалаас дурын тоог y, -ийн утга болгон авч болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, y-ийн утгыг y(x) функцийн хэмжилтийн үр дүн гэж тайлбарлахад тохиромжтой.санамсаргүй алдаа агуулсан x хувьсагч. Ийм "туршилтын" утгуудаас функцийг сэргээх асуудлыг шийдэхдээ интерполяцийг ашиглахыг зөвлөдөггүй, учир нь интерполяцийн функц нь массив дахь санамсаргүй бүрэлдэхүүн хэсгээс үүссэн хачирхалтай хэлбэлзлийг дуулгавартай хуулбарлах болно (y,). Илүү байгалийн арга нь хэмжилтийн үр дүнгийн санамсаргүй байдлын элементийг ямар нэгэн байдлаар багасгах зорилготой тэгшитгэх журамд суурилдаг. Ихэвчлэн ийм асуудалд x = x, * = 0, 1, 1,.... m-ийн утгууд нь зохих интервалд багтах бөгөөд үүнээс гадна нэлээд сайн шинж чанартай функцийг олох шаардлагатай байдаг. Жишээлбэл, энэ нь үргэлжилсэн эхний болон хоёр дахь деривативтай байх эсвэл түүний график хэт хүчтэй муруй биш, өөрөөр хэлбэл хүчтэй хэлбэлзэл байхгүй байх болно. Өгөгдсөн (яг) массивыг өгвөл өгөгдсөн цэгүүдээр дамждаггүй, харин тэдгээрийн ойролцоо функцийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд үүнээс гадна нэлээд жигд өөрчлөгддөг бол ийм төрлийн асуудал үүсдэг. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай функц нь өгөгдсөн массивыг интерполяцлахын оронд жигдрүүлж байх шиг байсан. Бодлогын шийдлийн жишээг w сүлжээ ба хоёр багц тоо өгье. [a, A] сегмент дээр гөлгөр функцийг байгуул, түүний утгууд нь y тооноос өгөгдсөн утгуудаар ялгаатай байна. Тогтоосон жигдрүүлэх асуудал ньнөхөн сэргээлт хүснэгтэд заасан жигд функц. Ийм асуудал олон янзын шийдэлтэй гэдэг нь ойлгомжтой. Үүсгэсэн функцэд нэмэлт нөхцөл тавьснаар шаардлагатай хоёрдмол утгагүй байдалд хүрч болно. Гөлгөржүүлэх куб сплайны тодорхойлолт w сүлжээн дээрх тэгшлэх куб сплайн S(x) нь 1) сегмент тус бүр дээр 3-р зэргийн олон гишүүнт, 2) сегмент дээр хоёр удаа тасралтгүй дифференциалагдах функц юм [a, 6 ], өөрөөр хэлбэл C2 ангилалд хамаарах [a , b], 3) функциональд хамгийн бага хэмжээг өгдөг - өгсөн тоо, 4) доор заасан гурван төрлийн аль нэгнийх нь хилийн нөхцлийг хангана. Хилийн (ирмэг) нөхцөлүүд Хилийн нөхцөлийг w сүлжээний хилийн зангилаа дахь сплайн ба түүний деривативын утгыг хязгаарлах хэлбэрээр зааж өгсөн болно. A. 1-р төрлийн хилийн нөхцөл. - [a, b) интервалын төгсгөлд хүссэн функцийн эхний деривативын утгуудыг зааж өгсөн болно. 2-р төрлийн хилийн нөхцөл. - интервалын төгсгөлд (a, b] хүссэн функцийн хоёр дахь уламжлал нь тэгтэй тэнцүү байна. B. 3-р төрлийн хилийн нөхцөлийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Теорем. Куб сплайн S(x), функциональ (4) -ийг багасгах. ба дээрх гурван төрлийн аль нэгнийх нь хилийн нөхцлүүдийг хангаж байгаа нь онцгой тодорхойлогддог Тодорхойлолт нь функциональ J(f)-ийг багасгаж, i төрлийн хилийн нөхцлийг хангасан куб сплайныг i төрлийн тэгшитгэх сплайн гэнэ. Энэ сегментийг дөрвөн коэффициентээр тэмдэглэнэ үү сүлжээний бүх дотоод зангилааны дериватив o ". Ийм зангилааны тоо m - 1. Иймээс бүх олон гишүүнтийн коэффициентийг тооцохдоо 3(m - 1) нөхцөл (тэгшитгэл) олно. функцийг Дараах хэлбэр, мөн тоонууд нь хилийн нөхцлийн төрлөөс хамаарах шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. Эхлээд n * утгууд хэрхэн олддогийг тайлбарлая. 1 ба 2 төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд системшугаман тэгшитгэл утгыг тодорхойлохын тулд Hi гэж дараах хэлбэрээр бичнэ). Коэффициент нь хилийн нөхцлийн сонголтоос хамаарна. 1-р төрлийн хилийн нөхцөл: 2-р төрлийн хилийн нөхцөл: 3-р төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд тоо тодорхойлох системийг дараах байдлаар бичнэ: бүх коэффициентийг (5) томъёоны дагуу тооцоолно (утгууд). k ба m + k индексүүд нь тэнцүү гэж тооцогддог: Анхаарах зүйл: Системийн матрицууд доройтдоггүй тул эдгээр систем тус бүр нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Хэрэв n, - тоонууд олдвол хэмжигдэхүүнийг хялбархан тодорхойлно томъёонууд: үечилсэн хилийн нөхцлийн хувьд коэффициентүүдийн сонголт нь функциональ (4) -д багтсан жингийн коэффициентүүдийн сонголт юм цэг (x ^, Vk), дараа нь түүнд харгалзах жингийн коэффициентийг 0-тэй тэнцүү байх ёстой. Практик тооцоололд хамгийн чухал зүйл бол pi утгыг сонгох явдал юм - D хэмжилтийн алдаа байх болно. утга y. Дараа нь тэгшитгэх сплайн нөхцөлийг хангахыг шаардах нь зүйн хэрэг юм, эсвэл хамгийн энгийн тохиолдолд жингийн коэффициентийг, жишээлбэл, c нь хангалттай жижиг тогтмол хэлбэрээр зааж өгч болно. Гэсэн хэдий ч p жингийн энэ сонголт нь y, - утгын алдааны улмаас "корридор" ашиглахыг зөвшөөрдөггүй. P утгыг тодорхойлох илүү оновчтой, гэхдээ илүү их хөдөлмөр шаардсан алгоритм нь иймэрхүү харагдаж болно. Хэрэв утгууд нь fc-р давталт дээр олдвол e нь компьютерийн битийн сүлжээ, D-ийн утга, нарийвчлалыг харгалзан туршилтаар сонгосон жижиг тоо гэж үзнэ. шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Хэрэв fc-р давталт дээр i цэг дээр нөхцөл (6) зөрчигдсөн бол сүүлчийн томъёо нь жингийн харгалзах коэффициент p, буурахыг баталгаажуулна. Хэрэв дараагийн давталт дээр p-ийн өсөлт нь илүү их зүйлд хүргэдэг "коридор" (6) ба эцэст нь илүү жигд өөрчлөгдөж буй сплайн. Бяцхан онол A. Интерполяцийн куб сплайны коэффициентийг тооцоолох томъёоны үндэслэл. m нь одоогоор үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн байх тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийн тоо нь m + 1-тэй тэнцүү байна. Интерполяцийн нөхцлийг хангасан хэлбэрээр бичигдсэн сплайн нь бүхэл бүтэн интервалд [a, b\: үүнийг томъёонд оруулбал бид үүнийг олж авна [a, 6] интервал дээр үргэлжилсэн эхний дериватив: (7) хамаарлыг ялгаж, түүнийг тавих замаар бид харгалзах утгыг олж авна. үнэндээ. Сплайн функц (7) нь [a, 6] интервал дээр тасралтгүй хоёр дахь деривативтэй байхаар m тоонуудыг сонгож болохыг харуулъя. Интервал дээр сплайны хоёр дахь деривативыг тооцоод үзье: x, - 0 цэг дээр (t = 1 үед) бидэнд байна. сүлжээний дотоод зангилааны хоёр дахь дериватив a; Бид m - 1 харьцааг олж авна. Эндээс эдгээр m - 1 тэгшитгэл дээр хилийн нөхцлөөс дагасан хоёрыг нэмбэл m + I үл мэдэгдэх miy i = 0, 1 ... бүхий m + 1 шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авна. , м. 1 ба 2-р төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд rsh-ийн утгыг тооцоолох тэгшитгэлийн систем нь (1-р төрлийн хилийн нөхцөл), (2-р төрлийн хилийн нөхцөл) хэлбэртэй байна. Тогтмол хилийн нөхцлийн хувьд (3-р төрлийн хилийн нөхцөл) тор o; дахин нэг зангилаагаар сунгаж, σ*-ийн утгыг тодорхойлох систем нь хоёр дахь ба (-!)-р сүлжээний зангилааны хэлбэрийн тасралтгүй байдалтай байх болно. Сүүлийн хоёр харилцаанаас бид 4-р төрлийн хилийн нөхцлүүдэд тохирох дутуу хоёр тэгшитгэлийг олж авна: тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх goo-г, тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх pc-ийг хасч, үр дүнд нь тэгшитгэлийн системийг олж авна. Энэ систем дэх үл мэдэгдэх тоо нь th - I гэдгийг анхаарна уу. 6. Гөлгөржүүлэх дэд шатрын сплайны үр ашгийг тооцоолох томъёоны үндэслэл. Zi болон nj нь одоогоор үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн байх тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдний тоо нь 2м + 2. Маягтаар бичсэн сплайн функц нь бүхэл интервалд (a, 6] тасралтгүй байна: энэ томьёог оруулснаар бид тус бүрийг олж авна. z, ба n тоонууд боломжтой гэдгийг харуулъя. (8) хэлбэрээр бичигдсэн сплайн нь [a, 6] интервал дээр тасралтгүй эхний деривативтай байхаар сонгогдох бөгөөд S(x) интервал дээр: x цэг дээр ^ - 0 (t = 1 үед) бидэнд байна. Сплайн S(x)-ийн эхний уламжлалыг интервал дээр тооцоолъё: Бидэнд байгаа цэг дээр Сплайны эхний деривативын тасралтгүй байдлын нөхцлөөс -ийн дотоод зангилаанууд. торон ба --> бид m - 1 хамаарлыг олж авна. Энэ хамаарлыг матриц хэлбэрээр бичнэ. Үүнээс гадна, [a, 6) интервал дээр сплайн нь тасралтгүй хоёр дахь деривативтай байна: ялгах замаар (8)-ын харьцаа ба түүнийг тавиад бид функциональ (4)-ийн хамгийн бага нөхцлөөс матрицын хамаарлыг олж авна. Бидэнд байна Сүүлийн хоёр матрицын тэгшитгэлийг 2м + 2 үл мэдэгдэх 2м + 2 шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн шугаман систем гэж үзэж болно. Эхний тэгшитгэл дэх r баганыг (9) хамаарлаас олж авсан илэрхийллээр орлуулснаар бид M баганыг тодорхойлох шийдлүүдийн жишээнүүдийн SPLINE ОНОЛ матрицын тэгшитгэлд хүрнэ. Энэ тэгшитгэл нь A + 6HRH7 матриц нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. үргэлж доройтдоггүй. Үүнийг олсны дараа бид Eamsshine хотыг хялбархан тодорхойлж чадна. A ба H threadmagolal матрицын элементүүд нь зөвхөн сүлжээний параметрүүд болон (hi алхмуудаар) тодорхойлогддог бөгөөд y^-ийн утгаас хамаардаггүй. бүрэн ашиглахшугаман орон зай хэмжээсүүд m + 3: 1) торонд баригдсан хоёр куб сплайны нийлбэр u> ба торонд баригдсан куб сплайны үржвэр u>,дурын тоо илүү нууцлагдвал тэдгээр нь энэ торонд баригдсан куб сплайн юм, 2) тор болон зангилаанаас баригдсан аливаа куб сплайн нь эдгээр зангилаа ба хоёр дахь y" утгын m + 1 утгаар бүрэн тодорхойлогддог.- ердөө + 3 параметр. m + 3 шугаман бие даасан сплайнуудаас бүрдэх энэ орон зайд суурийг сонгосноор бид дурын куб сплайн a(x)-ыг тэдгээрийн шугаман хослол болгон өвөрмөц байдлаар бичиж болно. Сэтгэгдэл. Энэ төрлийн сплайн даалгавар нь тооцоолох практикт өргөн тархсан байдаг. Ялангуяа шоо B-сплайн (үндсэн, эсвэл үндсэн, сплайн) гэж нэрлэгддэг мэдээллийн бааз юм. D-spline-ийг ашиглах нь компьютерийн санах ойд тавигдах шаардлагыг мэдэгдэхүйц бууруулж чадна. L-splines. w сүлжээний дагуух тооны шулуун дээр баригдсан тэг градусын B-spline-ийг u сүлжээний тоон шугам дээр барьсан k ^ I зэрэгтэй B-spline-ийг давталтын тусламжтайгаар тодорхойлно. томъёо Эхний B, -1 "(g) ба хоёр дахь in\7\x) градусын B-сплайнуудын графикийг 11 ба 12-р зурагт тус тус үзүүлэв. Дурын k зэрэгтэй B-сплайн нь өөр байж болно. тэг нь зөвхөн тодорхой сегмент дээр (k + 2 зангилаагаар тодорхойлогддог, -3* (i) y сегмент дэх тэгээс ялгаатай байсан, -+2) -ийн хувьд бид гурав дахь зэрэглэлийн шоо сплайны томъёог үзүүлэв нэг төрлийн торны тохиолдол (А алхамтай) бусад тохиолдолд бид ердийн графиктай байдаг. куб B-splineЗурагт үзүүлэв. 13. Зээл*. a) функц нь интервал дээр хоёр удаа тасралтгүй дифференциал болно, өөрөөр хэлбэл C2[a, "), k b) дараалсан дөрвөн интервалд л тэгээс ялгаатай (w сүлжээг бүрэн дур зоргоороо авсан туслах зангилаагаар нэмж оруулъя. Өргөтгөсөн торыг w* ашиглан бид m + 3 куб В-сплайн гэр бүлийг байгуулж болно: Энэ бүлэг нь (a, b] сегмент дээрх куб сплайнуудын орон зайд суурь болдог. Тиймээс дурын куб сплайн S(z). ), сегмент дээр бүтээгдсэн |b, 6] grid o; izm+1 зангилаанууд нь энэ сегмент дээр шугаман хослол хэлбэрээр дүрслэгдэж болно Торон зангилаанууд дахь функцийн y* утгууд ба торны төгсгөлд функцийн эхний деривативын y o ба Vm утгууд өгөгдсөн тохиолдолд" (асуудал). Хилийн нөхцөлтэй интерполяци. Эхний төрлийн), эдгээр коэффициентүүдийг хассаны дараа дараах хэлбэрийн системээс тооцоолно тоо хэмжээ b-iба &m+i, бид 5q, ..., bm үл мэдэгдэх шугаман систем ба гурван хэмжээст матрицыг олж авна. Нөхцөл байдал нь диагональ давамгайллыг баталгаажуулдаг тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд шүүрдэх аргыг ашиглах боломжийг олгодог. 3MMCHMY 1. Шугаман системүүдБусад интерполяцийн асуудлыг авч үзэх үед ижил төстэй төрлүүд үүсдэг. Zmmchnm* 2. 1.1-р хэсэгт тайлбарласан алгоритмуудтай харьцуулахад * интерполяцийн асуудалд R-spline ашиглах нь хадгалагдсан мэдээллийн хэмжээг багасгах, өөрөөр хэлбэл компьютерийн санах ойд тавигдах шаардлагыг мэдэгдэхүйц бууруулах боломжийг олгодог. үйл ажиллагааны тоог нэмэгдүүлэх. Сплайн функцуудыг ашиглан сплайн муруй байгуулах Дээрх хэсэгт абсциссууд нь хатуу нэмэгдэж буй дараалал үүсгэхийн тулд цэгүүдийг дугаарласан массивуудыг авч үзсэн. Жишээлбэл, Зураг дээр үзүүлсэн тохиолдол. 14 хэзээ өөр өөр цэгүүдижил абсциссуудын массивыг зөвшөөрөхгүй. Энэ нөхцөл байдал нь ойролцоох муруйн ангиллын сонголт (хөдөлгөөний функцууд) болон тэдгээрийг барих аргыг хоёуланг нь тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч дээр санал болгож буй арга нь массивын цэгүүдийн дугаарлалт ба тэдгээрийн хавтгай дээрх байршил нь дүрмээр хамааралгүй тохиолдолд илүү ерөнхий тохиолдолд интерполяцийн муруйг амжилттай байгуулах боломжтой болгодог (Зураг 15). Түүнээс гадна интерполяцийн муруй байгуулах даалгаврыг тавихдаа бид өгөгдсөн массивыг хавтгай биш гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл үүнийг шийдэх нь тодорхой байна. нийтлэг даалгавархаалттай муруй, өөрөө огтлолцох цэг бүхий муруй, орон зайн муруй зэрэг зөвшөөрөгдөх муруйн ангиллыг мэдэгдэхүйц өргөжүүлэх шаардлагатай байна. Ийм муруйг ашиглан дүрслэх нь тохиромжтой параметрийн тэгшитгэлБид шаардах болно. Үүнээс гадна функцууд нь хангалттай жигд байхын тулд, жишээлбэл, тэдгээр нь C1 [a, /0] ангилалд эсвэл ангилалд хамаарна Массивын бүх цэгийг дараалан дамжуулдаг муруйн параметрийн тэгшитгэлийг олохын тулд дараах байдлаар ажиллана уу. . 1-р алхам. Функцийг солих шаардлагатай дур мэдэн авсан сегмент дээр е(x) том бол сплайн интерполяци хэрэглэж болно.

1.1. Куб сплайн.

Интерполяцийн сплайн 3 дахьдараалал - эдгээр нь олон гишүүнт 3-ын хэсгүүдээс бүрдэх функцууд юм thзахиалга. Интерфейсийн зангилаанууд дээр функц ба түүний эхний ба хоёр дахь деривативын тасралтгүй байдлыг хангана. Ойролцоох функц нь тус бүр нь сегментийн өөрийн хэсэгт тодорхойлогддог, ихэвчлэн ижил бага зэрэгтэй олон гишүүнтүүдээс бүрдэнэ.

Сегмент дээр тавь [ а, б] бодит тэнхлэг x утгыг тодорхойлсон зангилааны сүлжээг зааж өгсөн болно
функцууд е(x). Энэ нь сегмент дээр байгуулах шаардлагатай байна [ а, б] тасралтгүй сплайн функц С(x), дараах нөхцлийг хангасан байна:

Хүссэн сплайныг барихын тулд та коэффициентүүдийг олох хэрэгтэй
олон гишүүнт
,би=1,… n, өөрөөр хэлбэл 4 n хангадаг үл мэдэгдэх коэффициентүүд 4 n-2 тэгшитгэл (1), (2), (3). Тэгшитгэлийн систем шийдэлтэй байхын тулд хоёр нэмэлт (хязгаарын) нөхцөлийг нэмнэ. Гурван төрлийн хил хязгаарыг ашигладаг.

Нөхцөл (1), (2), (3) болон (4), (5), (6) нөхцлүүдийн аль нэг нь захиалгын SLAE-ийг бүрдүүлдэг. 4 n. Системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэж болно. Гэсэн хэдий ч куб олон гишүүнт бичих тусгай хэлбэрийг сонгосноор та шийдвэрлэх тэгшитгэлийн системийн дарааллыг мэдэгдэхүйц багасгаж чадна.

1.2. Сплайн бичих тусгай хэлбэр.

Сегментийг анхаарч үзээрэй
. Дараах хувьсагч тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Энд
- сегментийн урт
,

,
- туслах хувьсагч,

x– сегмент дээрх завсрын цэг
.

Хэзээ x интервал дахь бүх утгуудаар дамждаг
, хувьсагч 0-ээс 1 хооронд хэлбэлздэг ба
1-ээс 0 хүртэл хэлбэлздэг.

Куб олон гишүүнтийг үзье
сегмент дээр
хэлбэртэй байна:

Хувьсагч Тэгээд
тодорхой интерполяцийн сегменттэй холбоотой тодорхойлогддог.

Сплайны утгыг олцгооё
сегментийн төгсгөлд
. Цэг
сегментийн эхлэлийн цэг юм
, Тийм учраас =0,
=1 ба (3.8)-ын дагуу:
.

Сегментийн төгсгөлд
=1,
=0 ба
.

Интервалын хувьд
цэг
хязгаарлагдмал, тиймээс =1,
=0 ба (9) томъёоноос бид дараахь зүйлийг олж авна.
. Ийнхүү функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдана С(x)  i тооны сонголтоос үл хамааран куб олон гишүүнтүүдийн уулзвар цэгүүдэд.

 i коэффициентийг тодорхойлохын тулд, би=0,… n (8)-ийг нийлмэл функц гэж хоёр дахин ялгаж үзье x. Дараа нь

Сплайны хоёр дахь деривативуудыг тодорхойлъё
Тэгээд
:

Олон гишүүнтийн хувьд
цэг интерполяцийн сегментийн эхлэл ба =0,
=1, тиймээс

(15) ба (16)-аас харахад [ интервал дээр байна. а,б]3-р эрэмбийн олон гишүүнтүүдийн хэсгүүдээс "наасан" сплайн функц нь 2-р эрэмбийн тасралтгүй деривативтай.

Функцийн эхний деривативын тасралтгүй байдлыг олж авах С(x), Дотоод интерполяцийн зангилаанд дараах нөхцлүүдийг биелүүлэхийг шаардацгаая.

Байгалийн куб сплайны хувьд
Тиймээс тэгшитгэлийн систем нь дараах байдлаар харагдах болно.

тэгшитгэлийн систем (17) нь дараах байдлаар харагдах болно.

Жишээ.

Анхны өгөгдөл:

Функцийг солих
өгөгдсөн зангилааны цэгүүдийн утгууд (хүснэгтийг харна уу) нь ижил цэгүүдийн функцын утгатай давхцдаг интерполяцийн куб сплайн. Өөр өөр хилийн нөхцлийг анхаарч үзээрэй.

Зангилааны цэгүүд дээр функцийн утгыг тооцоолъё. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн утгыг өгөгдсөн функцэд орлуулна уу.

Өөр өөр хилийн нөхцлийн хувьд (4), (5), (6) бид куб сплайны коэффициентийг олно.

1. Эхний хилийн нөхцлийг авч үзье.

Манай тохиолдолд n=3,
,
,
. олохын тулд
Бид тэгшитгэлийн системийг ашигладаг (3.18):

Тооцоолъё Тэгээд , (7) ба (11) томъёог ашиглан:

Хүлээн авсан утгыг тэгшитгэлийн системд орлуулъя.

.

Системийн шийдэл:

Эхний хилийн нөхцлийг харгалзан сплайны коэффициентүүд нь:

Хилийн нөхцөлийг (3.5) харгалзан сплайн коэффициентийн тодорхойлолтыг авч үзье.

Функцийн деривативыг олъё
:

Тооцоолъё
Тэгээд
:

Тэгшитгэлийн системд (21) утгыг орлуулъя Тэгээд :

Томъёо (20) ашиглан бид  0 ба  3-ийг тодорхойлно.

Тодорхой утгыг харгалзан:

коэффициентийн вектор:

Интерполяцийн сегментүүдийн дунд цэгүүдэд куб сплайны S(x) утгыг тооцоолъё.

Сегментүүдийн дунд цэгүүд:

Интерполяцийн сегментүүдийн дунд байрлах куб сплайны утгыг тооцоолохын тулд бид (7) ба (9) томъёог ашиглана.

3.1.

Бид олох болно Тэгээд
:

(3.9) томъёонд бид коэффициентүүдийг орлуулна

3.2.

Бид олох болно Тэгээд
:

, хилийн нөхцлийн хувьд (4), (5), (6):

3.3.

Бид олох болно Тэгээд
:

(9) томъёонд бид коэффициентүүдийг орлуулна
, хилийн нөхцлийн хувьд (4), (5), (6):

Хүснэгт хийцгээе:

Хэсэгчилсэн шугаман болон олон гишүүнт интерполяцийн сул талууд нь сплайн функцийн онолыг хөгжүүлэхэд хүргэсэн (Англи хэлний spline - захирагч, өлгүүр гэсэн үгнээс). Энэ нь инженерийн практикт зангилааны цэгүүдэд бэхлэгдсэн уян металл захирагч ашиглан гөлгөр муруй зурах шаардлагатай байдагтай холбоотой юм.

Сплайн интерполяцийн хамгийн түгээмэл хувилбар болох куб сплайн интерполяцийг авч үзье.

Тэгшитгэлийг хангасан шугамын дагуу зэргэлдээх зангилааны хооронд уян хатан хэв гажилтгүй захирагч дамждаг нь тогтоогдсон.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та олон гишүүнтийг функцээр сонговол түүний зэрэг нь гурав дахь хэсгээс ихгүй байх ёстой, учир нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт дөрөв дэх дериватив нь тэгтэй ижил байна. Энэ олон гишүүнтийг нэрлэдэг куб сплайн, аль нь интервал дээр хэлбэрээр бичигдсэн байна

Хаана a i ,b i ,c i ,d i- нэмэлт нөхцлөөр тодорхойлсон сплайны коэффициент; i = 1,2,3,.....n- spline дугаар.

Интерполяцийн цэгүүдээс нэгээр цөөн тооны сплайн байна. Сплайн интерполяцийг хэсэгчилсэн олон гишүүнт гэж нэрлэж болно.

Зэргэлдээх сплайнуудыг зангилааны цэгүүдэд холбох дараах нөхцлөөс сплайн коэффициентийг тодорхойлно.

1. Сплайны утга ба функцүүдийн тэгш байдал f(x)зангилааны цэгүүд - Лагранжийн нөхцөл:

, . (6.10)

2. Зангилаа дахь сплайнуудын эхний ба хоёр дахь деривативын тасралтгүй байдал:

Жагсаалтад орсон нөхцлөөс гадна та төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл цэгүүдэд нөхцөл нэмэх хэрэгтэй x 0Тэгээд x n. Ерөнхийдөө эдгээр нөхцөлүүд нь тодорхой даалгавараас хамаардаг. Бид сплайнуудын чөлөөт төгсгөлийн нөхцлийг ашиглах болно, i.e. интервалаас гадуур функцийг нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт - шулуун шугамаар дүрсэлсэн:

, . (6.12)

(6.10)-(6.12) нөхцлүүд нь коэффициентийг олох боломжийг олгодог a i ,b i ,c i ,d iхүн бүр nсплайн. Тэдний утгыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

, (6.13)

Эхний гурван тэгшитгэлийн хаана байна i = 1,2,...n, гурав дахь нь i = 2,3,..n;

h i =x i -x i -1 - iмаргааны дах шат.

-д зориулж индексжүүлэх талаар бодож байна би-тэй, энэ коэффициентийн утгыг сплайны төгсгөлд нэмнэ

Нэгдүгээрт, систем нь шийдэгддэг n - 1шугаман тэгшитгэл би-тэй. Дараа нь шийдсэн б биТэгээд d бимэдэгдэж байгаа коэффициентээр би-тэй, мөн бимэдэгдэж байгаа - эдгээр нь функцийн утгууд юм f(x)зангилааны цэгүүдэд. Тэгшитгэл бүрт тодорхойлох би-тэйдараалсан индексийн утгууд бүхий зөвхөн гурван үл мэдэгдэх утгыг агуулдаг c i - 1 ,c i ,c i +1. Үндсэн ба хоёр зэргэлдээ диагональуудын зөвхөн тэгээс бусад элементүүдтэй ийм матрицыг гэнэ. гурван диагональ.

Үзэж буй алгоритмын програм хангамжийн хэрэгжилтийг доор өгөв (PROGRAM 6.2). Интерполяцлагдсан функцийн зангилааны утгуудаас сплайн коэффициентийг тооцоолох фрагментийг өгсөн болно.

Гурвалсан Kc матрицыг бүрдүүлэхийн тулд аргументын алхмуудын массивыг ашигладаг h i. Процедурын дагуу Гаусс c 0 ба c n +1 нь мэдэгдэж, тэгтэй тэнцүү тул c массиваас 2 элементээр бага cv туслах массивыг тооцоолно. Олон тооны тэгшитгэлийн хувьд гурвалсан матрицтай системийг шийдэхийн тулд шүүрдэх аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь дараалсан арилгах аргын хувилбар юм. Сплайн интерполяци ашиглан хийсэн тооцооллын үр дүнг Зураг 6.4-т үзүүлэв. Цахилгаан соронзон ороомгийн гүйдлийг интерполяцлагдсан функц болгон авсан.

Зураг 6.4-ээс харахад шоо сплайнтай интерполяци нь функц жигд байвал маш сайн ойролцооллыг өгдөг. Зураг дээрх тойрог нь сплайны алдаа их байгаа хэсгийг заана. Энэ нь энэ хэсэгт диодын эсэргүүцлийн өөрчлөлттэй холбоотой гүйдлийн муруйн завсарлага байгаатай холбоотой юм. Р Дшуудаас R prурвуу R арр.. Энэ тохиолдолд гүйдлийн эхний дериватив нь үсрэлт үүсгэдэг бөгөөд сплайнууд нь тодорхойлолтоор зангилааны цэгийн баруун ба зүүн талд эхний деривативуудтай тэнцүү байна.

Өмнө дурьдсанчлан интерполяци нь ойролцоолсон онцгой тохиолдол бөгөөд түүний шалгуур нь Лагранжийн нөхцөл юм. Ойролцооллын өөр нэг шалгуурыг авч үзье - ойролцоолсон функцийн язгуур-дундаж квадратын хазайлтыг ойролцоолсоноос багасгах. f(x).