Энэ видеогоор би тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна. Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх талаар ярих болно нэмэх арга- энэ бол хамгийн томуудын нэг юм энгийн аргууд, гэхдээ тэр үед хамгийн үр дүнтэй нэг юм.

Нэмэх арга нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ гурван энгийналхамууд:

1. Системийг хараад тэгшитгэл бүрт ижил (эсвэл эсрэг) коэффициент бүхий хувьсагчийг сонгох;
2. Гүйцэтгэх алгебрийн хасах(эсрэг тоонуудын хувьд - нэмэх) бие биенээсээ тэгшитгэл, дараа нь өг ижил төстэй нэр томъёо;
3. Хоёр дахь алхамын дараа олж авсан шинэ тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол гаралт дээр бид нэг тэгшитгэлийг авах болно нэг хувьсагчтай- Үүнийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш байх болно. Дараа нь олсон үндсийг анхны системд орлуулж, эцсийн хариултыг авах л үлдлээ.

Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий:

• Нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэх нь бүх мөрөнд тэнцүү/эсрэг коэффициент бүхий хувьсагчийг агуулсан байх ёстой гэсэн үг юм. Хэрэв энэ шаардлагыг хангаагүй бол яах вэ?
• Үргэлж биш, заасан аргаар тэгшитгэлийг нэмж/хасах замаар бид амархан шийдэж болохуйц сайхан бүтэцтэй болно. Тооцооллыг ямар нэгэн байдлаар хялбарчилж, тооцоог хурдасгах боломжтой юу?

Эдгээр асуултын хариултыг авахын тулд, мөн олон оюутнуудын чадаагүй байгаа хэд хэдэн нэмэлт нарийн ширийн зүйлийг ойлгохын тулд миний видео хичээлийг үзээрэй.

Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системд зориулсан цуврал лекцүүдийг эхлүүлж байна. Мөн бид тэдгээрийн хамгийн энгийнээс, тухайлбал хоёр тэгшитгэл, хоёр хувьсагч агуулсан зүйлсээс эхэлнэ. Тэд тус бүр нь шугаман байх болно.

Системүүд нь 7-р ангийн материал боловч энэ хичээл нь энэ сэдвээр мэдлэгээ сайжруулахыг хүсдэг ахлах ангийн сурагчдад бас хэрэг болно.

Ерөнхийдөө ийм системийг шийдэх хоёр арга байдаг:

1. Нэмэх арга;
2. Нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх арга.

Өнөөдөр бид эхний аргыг авч үзэх болно - бид хасах, нэмэх аргыг ашиглах болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд та дараах баримтыг ойлгох хэрэгтэй: хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлтэй бол та тэдгээрийн аль нэгийг нь авч, бие биедээ нэмж болно. Тэд гишүүнээр нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. “Х”-д “Х”-ийг нэмээд төсөөтэйг нь өгөөд, “Y”-тэй “Y”-ийг дахин адилхан, тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа зүйлийг мөн хооронд нь нэмж, ижил төстэйг нь мөн тэнд өгнө. .

Ийм заль мэхний үр дүн нь шинэ тэгшитгэл байх бөгөөд хэрэв энэ нь үндэстэй бол тэдгээр нь гарцаагүй язгууруудын дунд байх болно. анхны тэгшитгэл. Тиймээс бидний даалгавар бол хасах буюу нэмэхийг $x$ эсвэл $y$-ийн аль нэг нь алга болох байдлаар хийх явдал юм.

Үүнд хэрхэн хүрэх, ямар хэрэгсэл ашиглах вэ - бид одоо энэ талаар ярих болно.

Нэмэх аргыг ашиглан хялбар асуудлыг шийдвэрлэх

Тиймээс бид хоёр энгийн илэрхийллийн жишээг ашиглан нэмэх аргыг ашиглаж сурдаг.

Даалгавар №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(зохицуулах) \баруун.\]

$y$ нь эхний тэгшитгэлд $-4$, хоёрдугаарт $+4$-ийн коэффициенттэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр нь хоорондоо эсрэгээрээ байдаг тул хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэвэл "тоглоомууд" харилцан устах болно гэж үзэх нь логик юм. Үүнийг нэмээд аваарай:

Хамгийн энгийн барилгын ажлыг шийдье:

Гайхалтай, бид "x"-ийг олсон. Үүнийг бид одоо яах ёстой вэ? Бид үүнийг ямар ч тэгшитгэлд орлуулах эрхтэй. Эхнийх нь орлуулъя:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(2;-3 \right)$.

Асуудал №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд байгаа нөхцөл байдал нь зөвхөн "X"-тэй төстэй юм. Тэдгээрийг нэмье:

Бидэнд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл байгаа тул үүнийг шийдье:

Одоо $x$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(-3;3 \right)$.

Чухал цэгүүд

Тиймээс бид нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн хоёр энгийн системийг шийдсэн. Дахин гол цэгүүд:

1. Хэрэв нэг хувьсагчийн хувьд эсрэг коэффициент байгаа бол тэгшитгэлд байгаа бүх хувьсагчдыг нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нэг нь устгагдах болно.
2. Бид системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон хувьсагчийг орлуулж, хоёр дахьыг нь олно.
3. Эцсийн хариу бичлэгийг янз бүрийн хэлбэрээр танилцуулж болно. Жишээ нь: $x=...,y=...$, эсвэл цэгүүдийн координат хэлбэрээр - $\left(...;... \right)$. Хоёр дахь сонголт нь илүү тохиромжтой. Анхаарах гол зүйл бол эхний координат нь $x$, хоёр дахь нь $y$ юм.
4. Хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичих дүрэм үргэлж хэрэгждэггүй. Жишээлбэл, хувьсагч нь $x$ ба $y$ биш, жишээлбэл, $a$ ба $b$ үед үүнийг ашиглах боломжгүй.

Дараах бодлогод коэффициентүүд нь эсрэгээрээ биш үед хасах арга техникийг авч үзэх болно.

Хасах аргыг ашиглан хялбар бодлого бодох

Даалгавар №1

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энд эсрэг коэффициент байхгүй, гэхдээ ижил коэффициентүүд байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Одоо бид $ x $ утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэг дээр орлуулж байна. Эхлээд явцгаая:

Хариулт: $\left(2;5\right)$.

Асуудал №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\ end(эгц) \баруун.\]

Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд бид $5$-ын ижил коэффициентийг $x$-д дахин харж байна. Тиймээс эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасах шаардлагатай гэж үзэх нь логик юм.

Бид нэг хувьсагчийг тооцоолсон. Одоо жишээлбэл, $y$ утгыг хоёр дахь конструкцид орлуулах замаар хоёрдахыг олъё:

Хариулт: $\left(-3;-2 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Тэгэхээр бид юу харж байна вэ? Үндсэндээ уг схем нь өмнөх системүүдийн шийдлээс ялгаатай биш юм. Ганц ялгаа нь бид тэгшитгэлийг нэмдэггүй, харин хасдаг. Бид алгебрийн хасах үйлдлийг хийж байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг хармагцаа хамгийн түрүүнд анхаарах зүйл бол коэффициентүүд юм. Хаана ч адилхан байвал тэгшитгэлийг хасч, эсрэгээрээ байвал нэмэх аргыг хэрэглэнэ. Үүнийг үргэлж хийдэг бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн аль нэг нь алга болох ба хасахын дараа үлдэх эцсийн тэгшитгэлд зөвхөн нэг хувьсагч үлдэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бүгд биш юм. Одоо бид тэгшитгэлүүд нь ерөнхийдөө нийцэхгүй байгаа системийг авч үзэх болно. Тэдгээр. Тэдгээрийн дотор ижил эсвэл эсрэг талын хувьсагч байхгүй. Энэ тохиолдолд ийм системийг шийдэхийн тулд үүнийг ашигладаг нэмэлт тун, тухайлбал, тэгшитгэл бүрийг тусгай коэффициентээр үржүүлэх. Үүнийг хэрхэн олох, ийм системийг ерөнхийд нь хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид одоо ярих болно.

Коэффицентээр үржүүлэх замаар асуудлыг шийдвэрлэх

Жишээ №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид $x$ ч, $y$-ын хувьд ч коэффициентүүд нь хоорондоо эсрэгээрээ төдийгүй бусад тэгшитгэлтэй ямар ч хамааралгүй байгааг бид харж байна. Хэдий бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ нэмж хассан ч эдгээр коэффициентүүд ямар ч байдлаар алга болохгүй. Тиймээс үржүүлэх аргыг хэрэглэх шаардлагатай. $y$ хувьсагчаас салахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлийн $y$-ийн коэффициентээр тэмдгээ хөндөлгүй үржүүлнэ. Бид үржүүлж, шинэ системийг олж авдаг:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Үүнийг харцгаая: $y$-д коэффициентүүд эсрэгээрээ байна. Ийм нөхцөлд нэмэлт аргыг ашиглах шаардлагатай. Нэмье:

Одоо бид $y$ олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний илэрхийлэлд $x$-г орлуулна уу:

\[-9y=18\зүүн| :\left(-9 \баруун) \баруун.\]

Хариулт: $\left(4;-2 \right)$.

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Дахин хэлэхэд, аль ч хувьсагчийн коэффициентүүд тогтмол биш байна. $y$-ийн коэффициентүүдээр үржүүлье:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \баруун. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \баруун. \\\ end(align) \баруун .\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Манай шинэ системөмнөхтэй тэнцүү боловч $y$-ийн коэффициентүүд нь эсрэгээрээ байдаг тул энд нэмэх аргыг хэрэглэхэд хялбар байдаг.

Одоо эхний тэгшитгэлд $x$-г орлуулж $y$-г олъё:

Хариулт: $\left(-2;1 \right)$.

Шийдлийн нюансууд

Энд байгаа гол дүрэм бол бид үргэлж зөвхөн үржүүлдэг эерэг тоонууд- энэ нь таныг тэмдгийг өөрчлөхтэй холбоотой тэнэг, доромжилсон алдаанаас аврах болно. Ерөнхийдөө шийдлийн схем нь маш энгийн:

1. Бид системийг харж, тэгшитгэл бүрийг шинжилдэг.
2. Хэрэв бид $y$ ч, $x$ ч биш гэдгийг харвал коэффицентүүд нь тогтмол биш, i.e. тэдгээр нь тэнцүү ч биш, эсрэгээрээ ч биш, дараа нь бид дараахь зүйлийг хийнэ: бид арилгах шаардлагатай хувьсагчийг сонгоод дараа нь эдгээр тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг харна. Хэрэв бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь коэффициентээр үржүүлж, хоёр дахь нь эхнийхээс коэффициентээр үржүүлбэл эцэст нь өмнөхтэй бүрэн тэнцэх систем, $ коэффициентийг авах болно. y$ тогтвортой байх болно. Бидний бүх үйлдэл эсвэл хувиргалт нь зөвхөн нэг хувьсагчийг нэг тэгшитгэлд оруулахад чиглэгддэг.
3. Бид нэг хувьсагчийг олдог.
4. Олдсон хувьсагчийг системийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж, хоёр дахь нь олно.
5. $x$ ба $y$ хувьсагчтай бол бид хариултыг цэгийн координат хэлбэрээр бичдэг.

Гэхдээ ийм энгийн алгоритм ч гэсэн өөрийн гэсэн нарийн шинж чанартай байдаг, жишээлбэл, $ x $ эсвэл $ y $ коэффициентүүд нь бутархай болон бусад "муухай" тоонууд байж болно. Одоо бид эдгээр тохиолдлуудыг тусад нь авч үзэх болно, учир нь тэдгээрт та стандарт алгоритмаас арай өөрөөр ажиллах боломжтой.

Бутархайтай бодлого бодох

Жишээ №1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 0.8м+2.5n=-6 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Нэгдүгээрт, хоёр дахь тэгшитгэл нь бутархайг агуулж байгааг анхаарна уу. Гэхдээ та 4 долларыг 0.8 доллараар хувааж болно гэдгийг анхаарна уу. Бид 5 доллар авна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлье:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 4м-3n=32 \\& 4м+12.5м=-30 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгшитгэлүүдийг бие биенээсээ хасдаг:

Бид $n$-г оллоо, одоо $m$-г тоолъё:

Хариулт: $n=-4;м=5$

Жишээ №2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 2.5p+1.5k=-13\зүүн| 4 \баруун. \\& 2p-5k=2\зүүн| 5 \баруун. \\\төгсгөл(зохицуулах)\ зөв.\]

Өмнөх системтэй адил энд байна бутархай магадлал, гэхдээ аль нь ч биш хувьсах коэффициентүүдбүхэл тоогоор бие биедээ тохирохгүй. Тиймээс бид стандарт алгоритмыг ашигладаг. $p$-аас салах:

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 5p+3k=-26 \\& 5п-12.5к=5 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид хасах аргыг ашигладаг:

Хоёрдахь бүтцэд $k$-г орлуулах замаар $p$-г олъё:

Хариулт: $p=-4;k=-2$.

Шийдлийн нюансууд

Энэ бол бүх оновчлол юм. Эхний тэгшитгэл дээр бид юугаар ч үржүүлээгүй, харин хоёр дахь тэгшитгэлийг 5 доллараар үржүүлсэн. Үүний үр дүнд бид эхний хувьсагчийн хувьд тууштай, бүр ижил тэгшитгэлийг хүлээн авсан. Хоёр дахь системд бид стандарт алгоритмыг дагаж мөрдсөн.

Гэхдээ тэгшитгэлийг үржүүлэх тоог хэрхэн олох вэ? Эцсийн эцэст хэрэв та үржүүлбэл бутархай тоо, бид шинэ бутархай авах болно. Тиймээс бутархайг шинэ бүхэл тоо өгөх тоогоор үржүүлж, дараа нь стандарт алгоритмын дагуу хувьсагчдыг коэффициентээр үржүүлэх ёстой.

Эцэст нь хэлэхэд, хариултыг бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн энд $ x $ ба $ y $ биш, харин бусад утгууд байгаа тул бид маягтын стандарт бус тэмдэглэгээг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн тэмдэглэл болгон хэд хэдэн үнэнийг харцгаая нарийн төвөгтэй системүүд. Тэдний нарийн төвөгтэй байдал нь зүүн ба баруун талд хувьсагчтай байх явдал юм. Тиймээс тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд бид урьдчилсан боловсруулалт хийх шаардлагатай болно.

Системийн дугаар 1

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\зүүн(2x-y \баруун)+5=-2\зүүн(x+3y ​​\баруун)+4 \\& 6\зүүн(y+1) \баруун )-1=5\зүүн(2х-1 \баруун)+8 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Тэгшитгэл бүр тодорхой нарийн төвөгтэй байдлыг агуулдаг. Тиймээс илэрхийлэл бүрийг ердийн шугаман бүтээцтэй гэж үзье.

Нийтдээ бид анхны системтэй тэнцэх эцсийн системийг авдаг.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүдийг харцгаая: $3$ нь $6$-д хоёр удаа таарч байгаа тул эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлье:

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$y$-ийн коэффициентүүд одоо тэнцүү байгаа тул эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасна: $$

Одоо $y$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Системийн дугаар 2

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& 4\зүүн(a-3b \баруун)-2a=3\зүүн(b+4 \баруун)-11 \\& -3\зүүн(b-2a \баруун) )-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+b \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний илэрхийлэлийг өөрчилье:

Хоёрдахьтай нь харцгаая:

\[-3\зүүн(b-2a \баруун)-12=2\зүүн(a-5 \баруун)+б\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Нийтдээ бидний анхны систем дараах хэлбэрийг авна.

\[\зүүн\( \эхлэх(зөвшүүлэх)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

$a$-ийн коэффициентүүдийг харахад эхний тэгшитгэлийг $2$-оор үржүүлэх шаардлагатай байгааг бид харж байна.

\[\left\( \эхлэх(эгцлэх)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний бүтээн байгуулалтаас хоёр дахь хэсгийг хасна:

Одоо $a$-г олцгооё:

Хариулт: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Ингээд л болоо. Энэхүү видео заавар нь энгийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх энэ хэцүү сэдвийг ойлгоход тусална гэж найдаж байна. Энэ сэдвээр өөр олон хичээл байх болно: бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд, энд илүү олон хувьсагч байх ба тэгшитгэлүүд нь аль хэдийн шугаман бус байх болно. Дахин уулзъя!

Үүнийг ашиглаж байна математикийн програмОрлуулах арга ба нэмэх аргыг ашиглан хоёр хувьсагчийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Хөтөлбөр нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөг төдийгүй бас өгдөг нарийвчилсан шийдэлОрлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдлийн алхамуудын тайлбартай.

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй байж болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно. дүү нарэсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тэгшитгэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2

Тэгшитгэлд та зөвхөн бүхэл тоо төдийгүй бутархайг аравтын бутархай, энгийн бутархай хэлбэрээр ашиглаж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм. Бүхэл бабутархай хэсэг Варавтын бутархай
цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.

Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй. Орохдоотоон бутархай /
Тоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана.Бүхэл бүтэн хэсэг &

бутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан:
Жишээ.
-1&2/3y + 5/3x = 55

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.

Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ. Хүлээгээрэй

сек... Хэрэв ташийдэлд алдаа байгааг анзаарсан
, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно. Бүү мартямар ажлыг зааж өгнө та юуг шийднэ.

талбаруудад оруулна уу

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга
Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;

2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$
Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг олж авна.

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд x-ийн оронд 1-ийг орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах замаар шийдвэрлэх үед бид энэ системээс өөр, ижил төстэй системд шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг гишүүнээр үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициент болохын тулд хүчин зүйлсийг сонгоно. эсрэг тоо;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмбэл 3х=33 гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольж үзье. Системээ авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

1. Орлуулах арга: системийн аль ч тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг нөгөөгөөр илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг цагтдамжуулан Xба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системээ авч үзье анхныхтай дүйцэхүйц.

Авсаны дараа ижил төстэй гишүүдсистем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олно: . Энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулах цагт = 2 - 2X, бид авдаг цагт= 3. Иймд энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

2. Алгебрийн нэмэх арга: Хоёр тэгшитгэл нэмснээр нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна.

Даалгавар.Системийн тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.Хоёр дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-оор үржүүлснээр бид системийг олж авна анхныхтай дүйцэхүйц. Энэ системийн хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид системд хүрнэ

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа энэ систем нь дараах хэлбэртэй болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог. Энэ утгыг 3-р тэгшитгэлд орлуул X + 4цагт= 5, бид авна , хаана. Тиймээс энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

3. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга: бид системд дахин давтагдах илэрхийлэлүүдийг хайж байгаа бөгөөд үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар системийн харагдах байдлыг хялбарчлах болно.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Үүнийг бичээд үзье энэ системөөрөөр:

Болъё x + y = у, xy = v.Дараа нь бид системийг авдаг

Үүнийг орлуулах аргыг ашиглан шийдье. Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг удамжуулан vба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системээ авч үзье тэдгээр.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог v 1 = 2, v 2 = 3.

Эдгээр утгыг тэгшитгэлд орлуулах у = 5 - v, бид авдаг у 1 = 3,
у 2 = 2. Дараа нь бид хоёр системтэй болно

Эхний системийг шийдэж, бид хоёр хос тоо (1; 2), (2; 1) авна. Хоёр дахь систем нь ямар ч шийдэлгүй.

Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд

1. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл

Сургуулийн хүүхэд сургуульд үдийн хоол идэхийн тулд 200 рубльтэй байдаг. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. 200 рублиэр хэдэн бялуу, аяга кофе авах боломжтой вэ?

Бялууны тоог үүгээр тэмдэглэе x, мөн аяга кофе уух тоо y. Дараа нь бялууны үнийг 25 гэсэн илэрхийллээр тэмдэглэнэ x, мөн аяга кофены үнэ 10 y .

25x -үнэ xбялуу
10у -үнэ yаяга кофе

Нийт дүн нь 200 рубль байх ёстой. Дараа нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авна xТэгээд y

25x+ 10y= 200

Энэ нь хэдэн үндэстэй вэ? өгөгдсөн тэгшитгэл?

Энэ бүхэн оюутны хоолны дуршилаас хамаарна. Хэрэв тэр 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авбал тэгшитгэлийн үндэс нь 6 ба 5 тоо байх болно.

6 ба 5-ын хос утгыг 25-р тэгшитгэлийн үндэс гэнэ x+ 10y= 200. Эхний тоо нь хувьсагчийн утгыг (6; 5) гэж бичнэ x, хоёр дахь нь - хувьсагчийн утга y .

6 ба 5 нь 25-р тэгшитгэлийг буцаах цорын ганц үндэс биш юм x+ 10y= 200 нь таних. Хэрэв хүсвэл 200 рубльд оюутан 4 бялуу, 10 аяга кофе худалдаж авах боломжтой.

Энэ тохиолдолд 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь хос утгууд (4; 10).

Түүгээр ч зогсохгүй сургуулийн сурагч кофе огт худалдаж авахгүй байж магадгүй, гэхдээ бүхэл бүтэн 200 рублиэр бялуу худалдаж авдаг. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 8 ба 0 утгууд болно

Эсрэгээр нь бялуу худалдаж авахгүй, харин бүхэл бүтэн 200 рубльд кофе худалдаж аваарай. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 утгууд нь 0 ба 20 байх болно

25-р тэгшитгэлийн бүх боломжит язгууруудыг жагсаахыг хичээцгээе x+ 10y= 200. Үнэт зүйл гэдэгтэй санал нийлэе xТэгээд yбүхэл тоонуудын багцад хамаарна. Мөн эдгээр утгууд нь тэгээс их буюу тэнцүү байна:

x∈З, у∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Энэ нь оюутан өөрөө өөртөө тохиромжтой байх болно. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүхэл бүтэн бялуу, хагас бялууг бодвол бүхэл бүтэн бялуу худалдаж авах нь илүү тохиромжтой. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн аяга, хагас аяга гэхээсээ илүү бүх аяганд кофе уух нь илүү тохиромжтой.

Хачирхалтай гэдгийг анхаарна уу xямар ч нөхцөлд тэгш байдлыг хангах боломжгүй y. Дараа нь үнэт зүйлс xдараах тоонууд 0, 2, 4, 6, 8 байх болно. Мөн мэдэх xамархан тодорхойлж болно y

Тиймээс бид дараах хос утгыг хүлээн авлаа (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эдгээр хосууд нь 25-р тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс юм x+ 10y= 200. Тэд энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Маягтын тэгшитгэл сүх + by = cдуудсан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс нь хос утгууд юм ( x; y), энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Мөн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичсэн бол анхаарна уу ax + b y = c ,тэгээд дотор нь бичигдсэн гэж хэлдэг каноник(хэвийн) хэлбэр.

Хоёр хувьсагчийн зарим шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) санаанд оруулж болно сүх + by = c. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтыг онгойлгоод авцгаая 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Бид тэгшитгэлийн зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томъёог, баруун талд үл мэдэгдэх нэр томъёог бүлэглэдэг. Дараа нь бид авна 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Бид хоёр талдаа ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж, 16-р тэгшитгэлийг авна x+ 8y= 32. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав сүх + by = cба каноник юм.

25-р тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэн x+ 10y= 200 нь мөн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм каноник хэлбэр. Энэ тэгшитгэлд параметрүүд а , бТэгээд в 25, 10, 200 гэсэн утгатай тэнцүү байна.

Үнэндээ тэгшитгэл сүх + by = cтоо томшгүй олон шийдэлтэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 25x+ 10y= 200, бид түүний үндсийг зөвхөн бүхэл тооны олонлогоос хайсан. Үүний үр дүнд бид энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргасан хэд хэдэн хос утгыг олж авлаа. Гэхдээ олон дээр рационал тоотэгшитгэл 25 x+ 10y= 200 нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байх болно.

Шинэ хос утгыг олж авахын тулд та дурын утгыг авах хэрэгтэй x, дараа нь илэрхийлнэ үү y. Жишээлбэл, хувьсагчийг авч үзье xутга 7. Дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна 25×7 + 10y= 200 Үүнд хүн илэрхийлж болно y

Болъё x= 15. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × 15 болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −17,5

Болъё x= −3. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × (−3) болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −27,5

Хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем

Тэгшитгэлийн хувьд сүх + by = cта дур зоргоороо утгыг хэдэн ч удаа авах боломжтой xболон утгыг олох y. Тус тусад нь авч үзвэл ийм тэгшитгэл нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй байх болно.

Гэхдээ энэ нь бас хувьсагчид тохиолддог xТэгээд yнь нэг биш, хоёр тэгшитгэлээр холбогддог. Энэ тохиолдолд тэд гэж нэрлэгддэг үүсгэдэг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем. Ийм тэгшитгэлийн систем нь нэг хос утгатай байж болно (эсвэл өөрөөр хэлбэл: "нэг шийдэл").

Мөн системд ямар ч шийдэл байхгүй байж магадгүй юм. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ховор, онцгой тохиолдлуудад тоо томшгүй олон шийдэлтэй байж болно.

Хоёр шугаман тэгшитгэл нь утгууд нь системийг үүсгэдэг xТэгээд yэдгээр тэгшитгэл бүрд оруулна уу.

Эхний тэгшитгэл 25 руу буцаж орцгооё x+ 10y= 200. Энэ тэгшитгэлийн хос утгуудын нэг нь хос (6; 5) байв. Энэ нь 200 рубльд 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авах боломжтой тохиолдол юм.

Хос (6; 5) нь 25-р тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл болохын тулд асуудлыг томьёолъё. x+ 10y= 200. Үүнийг хийхийн тулд ижил зүйлийг холбох өөр тэгшитгэл үүсгэцгээе xбялуу болон yаяга кофе.

Асуудлын текстийг дараах байдлаар бичье.

“Сургуулийн хүү 200 рублиэр хэд хэдэн бялуу, хэдэн аяга кофе худалдаж авсан. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. Оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсан бэ, хэрэв нэг ширхэг бялууг мэддэг бол илүү тоо хэмжээаяга кофе уу?

Бидэнд эхний тэгшитгэл аль хэдийн байна. Энэ бол 25-р тэгшитгэл юм x+ 10y= 200. Одоо нөхцөлийн тэгшитгэлийг байгуулъя "Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байна" .

Бялууны тоо x, мөн аяга кофены тоо байна y. Та тэгшитгэлийг ашиглан энэ хэллэгийг бичиж болно x−y= 1. Энэ тэгшитгэл нь бялуу ба кофены ялгаа 1 байна гэсэн үг юм.

x = y+ 1. Энэ тэгшитгэл нь бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш байдлыг хангахын тулд аяга кофены тоонд нэгийг нэмнэ. Хэрэв бид хамгийн энгийн асуудлыг судлахдаа авч үзсэн масштабын загварыг ашиглавал үүнийг хялбархан ойлгож болно.

Бид хоёр тэгшитгэл авсан: 25 x+ 10y= 200 ба x = y+ 1. утгуудаас хойш xТэгээд y, тухайлбал 6 ба 5 нь эдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан бөгөөд дараа нь тэд хамтдаа систем үүсгэдэг. Энэ системийг бичье. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээр нь системийн тэмдгээр хүрээлэгдсэн байна. Системийн тэмдэг нь буржгар хаалт юм:

Энэ системийг шийдье. Энэ нь 6 ба 5 гэсэн утгуудад хэрхэн хүрч байгааг харах боломжийг бидэнд олгоно. Ийм системийг шийдэх олон арга байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Орлуулах арга

Энэ аргын нэр нь өөрөө ярьдаг. Үүний мөн чанар нь хувьсагчийн аль нэгийг өмнө нь илэрхийлсэн нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулах явдал юм.

Манай системд юу ч илэрхийлэх шаардлагагүй. Хоёр дахь тэгшитгэлд x = y+ 1 хувьсагч xаль хэдийн илэрхийлсэн. Энэ хувьсагч нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y+ 1. Дараа нь та энэ илэрхийллийг хувьсагчийн оронд эхний тэгшитгэлд орлуулж болно x

Илэрхийллийг орлуулсны дараа yОронд нь эхний тэгшитгэлд + 1 x, бид тэгшитгэлийг авна 25(y+ 1) + 10y= 200 . Энэ бол нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хялбар:

Бид хувьсагчийн утгыг олсон y. Одоо энэ утгыг нэг тэгшитгэлд орлуулж утгыг олъё x. Үүний тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x = y+ 1. Үүний утгыг орлуулъя y

Энэ нь (6; 5) хос нь бидний бодож байсанчлан тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэсэн үг юм. Бид (6; 5) хос системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгаж, шалгана.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийг орлуулъя x= 2 + yХоёр дахь тэгшитгэлд 3 x− 2y= 9. Эхний тэгшитгэлд хувьсагч x 2 + илэрхийлэлтэй тэнцүү y. Энэ илэрхийллийг оронд нь хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё x

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд утгыг орлуулъя yэхний тэгшитгэлд оруулна x= 2 + y

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утга (5; 3) гэсэн үг юм.

Жишээ 3. Орлуулах замаар шийднэ дараах системтэгшитгэл:

Энд өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь хувьсагчийн аль нэг нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна.

Нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулахын тулд эхлээд .

Нэг коэффициенттэй хувьсагчийг илэрхийлэхийг зөвлөж байна. Хувьсагч нь нэг коэффициенттэй байна x, энэ нь эхний тэгшитгэлд агуулагддаг x+ 2y= 11. Энэ хувьсагчийг илэрхийлье.

Хувьсагчийн илэрхийллийн дараа x, манай систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж утгыг олъё y

Орлуулж үзье y x

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (3; 4) гэсэн үг юм.

Мэдээжийн хэрэг та хувьсагчийг бас илэрхийлж болно y. Энэ нь үндсийг өөрчлөхгүй. Гэхдээ илэрхийлбэл у,Үр дүн нь тийм ч энгийн тэгшитгэл биш бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

Бид үүнийг харж байна энэ жишээндилэрхийлэх xилэрхийлэхээс хамаагүй илүү тохиромжтой y .

Жишээ 4. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

y

Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x. Та анхны тэгшитгэл 7-г ашиглаж болно x+ 9y= 8, эсвэл хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг ашиглана x. Энэ нь тохиромжтой тул бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно:

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (5; -3) гэсэн үг юм.

Нэмэх арга

Нэмэх арга нь системийн гишүүнчлэлд орсон тэгшитгэлүүдийг гишүүнээр нь нэмэхээс бүрдэнэ. Энэ нэмэлт нь нэг хувьсагчтай шинэ тэгшитгэлийг бий болгодог. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн.

Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь баруун талхоёр дахь тэгшитгэл. Бид дараахь тэгш байдлыг олж авна.

Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 3-р тэгшитгэлийг авсан x= 27 язгуур нь 9. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x−y= 3 . Бид 9-ийг авна y= 3 . Эндээс y= 6 .

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (9; 6) гэсэн үг юм.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Үүний үр дүнд бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 20, язгуур нь 4. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xэхний тэгшитгэлд 2 x+y= 11. 8+ авцгаая y= 11. Эндээс y= 3 .

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (4;3) гэсэн үг юм.

Нэмэх үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Үүнийг сэтгэлзүйн хувьд хийх ёстой. Нэмэхдээ хоёр тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ нь дашрамд хэлэхэд ac + by = c .

Үзсэн жишээнүүдээс харахад тэгшитгэл нэмэх гол зорилго нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм. Гэхдээ нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй байдаг. Ихэнх тохиолдолд системийг эхлээд энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмж болох хэлбэрт оруулдаг.

Жишээлбэл, систем нэмэх замаар шууд шийдэж болно. Хоёр тэгшитгэлийг нэмэхдээ нөхцөл yТэгээд −yТэдний нийлбэр тэг учраас алга болно. Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл 11 үүснэ x= 22, язгуур нь 2. Дараа нь тодорхойлох боломжтой болно y 5-тай тэнцүү.

Мөн тэгшитгэлийн систем Нэмэх аргыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь хувьсагчийн аль нэг нь алга болоход хүргэхгүй. Нэмэлт хийснээр 8-р тэгшитгэл гарч ирнэ x+ y= 28, энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна. Энэ дүрэм нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд бас үнэн юм. Тэгшитгэлийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) дурын тоогоор үржүүлж болно. Үүний үр дүнд үндэс нь өмнөхтэй давхцах ижил төстэй систем байх болно.

Сургуулийн хүүхэд хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсныг тодорхойлсон анхны систем рүүгээ буцъя. Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд байв (6; 5).

Энэ системд багтсан хоёр тэгшитгэлийг хэдэн тоогоор үржүүлье. Эхний тэгшитгэлийг 2, хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье гэж бодъё

Үүний үр дүнд бид системтэй болсон
Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд хэвээр байна (6; 5)

Энэ нь системд орсон тэгшитгэлийг нэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм.

Систем рүүгээ буцаж орцгооё , бид нэмэх аргыг ашиглан шийдэж чадаагүй.

Эхний тэгшитгэлийг 6-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлнэ

Дараа нь бид дараах системийг авна.

Энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэгтгэж үзье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх 12 xба -12 xүр дүнд нь 0, нэмэх 18 болно yба 4 y 22 өгнө y, мөн 108 ба -20-ыг нэмбэл 88 болно. Дараа нь бид 22-р тэгшитгэлийг авна. y= 88, эндээс y = 4 .

Хэрэв та эхлээд толгойдоо тэгшитгэл нэмэхэд хэцүү байвал энэ нь хэрхэн нэмэгдэж байгааг бичиж болно зүүн талЭхний тэгшитгэлийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талтай, эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай:

Хувьсагчийн утгыг мэдэх нь y 4-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x. Орлуулж үзье yтэгшитгэлийн аль нэгэнд, жишээлбэл, эхний тэгшитгэл 2 руу x+ 3y= 18. Дараа нь бид нэг хувьсагч 2-той тэгшитгэлийг авна x+ 12 = 18. Тэмдгийг өөрчилснөөр 12-ыг баруун тийш шилжүүлье, бид 2-ыг авна x= 6, эндээс x = 3 .

Жишээ 4. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх xТэгээд −x 0, нэмэх 5 гарна yба 3 y 8 өгнө y, 7 ба 1-ийг нэмбэл 8 гарна. Үр дүн нь тэгшитгэл 8 болно y= 8 язгуур нь 1. Утга гэдгийг мэдэх y 1-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x .

Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид олж авна x+ 5 = 7, тиймээс x= 2

Жишээ 5. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Ижил хувьсагч агуулсан нэр томьёо нэг дор байрлах нь зүйтэй. Тиймээс хоёр дахь тэгшитгэлд 5-р нөхцлүүд байна yба -2 xБайр сольцгооё. Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд бид 8-р тэгшитгэлийг олж авна y= 16, үндэс нь 2.

Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид 6-г авна x− 14 = 40. Тэмдгийг өөрчилснөөр −14 гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, 6-г авцгаая x= 54. Эндээс x= 9.

Жишээ 6. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бутархай хэсгүүдээс салцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 36, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үүссэн системд Эхний тэгшитгэлийг -5, хоёр дахь нь 8-аар үржүүлж болно

Гарсан систем дэх тэгшитгэлүүдийг нэмье. Дараа нь бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна -13 y= -156. Эндээс y= 12. Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x

Жишээ 7. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр тэгшитгэлийг багасгаж үзье хэвийн харагдах. Энд хоёр тэгшитгэлд пропорциональ дүрмийг хэрэглэх нь тохиромжтой. Хэрэв эхний тэгшитгэлд баруун тал нь , хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээр дүрслэгдсэн бол систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Бидэнд хувь хэмжээ бий. Түүний туйл ба дунд гишүүнийг үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг −3-аар үржүүлж, хоёр дахь хаалтыг нээцгээе.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмсний үр дүнд бид хоёр талдаа тэгтэй тэнцүү байна.

Энэ систем нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй болох нь харагдаж байна.

Гэхдээ бид тэнгэрээс дур зоргоороо үнэ цэнийг авч чадахгүй xТэгээд y. Бид утгуудын аль нэгийг нь зааж өгч болох ба нөгөө нь бидний зааж өгсөн утгаас хамаарч тодорхойлогдоно. Жишээлбэл, үзье x= 2 . Энэ утгыг системд орлуулъя:

Тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэний үр дүнд утгыг y, энэ нь хоёр тэгшитгэлийг хангана:

Үр дүнгийн хос утгууд (2; -2) нь системийг хангана:

Өөр нэг хос утгыг олъё. Болъё x= 4. Энэ утгыг системд орлуулъя:

Үнэ цэнийг нүдээр харж болно yтэгтэй тэнцүү. Дараа нь бид системд нийцсэн хос утгыг (4; 0) авна.

Жишээ 8. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Эхний тэгшитгэлийг 6, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үлдсэн зүйлийг дахин бичье:

Эхний тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд 6-р тэгшитгэл үүснэ б= 48, язгуур нь 8. Орлуулах бЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол а

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд коэффициент бүхий гурван хувьсагч, түүнчлэн таслах гишүүн орно. Каноник хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

ax + by + cz = d

Энэ тэгшитгэл тоо томшгүй олон шийдэлтэй. Хоёр хувьсагч өгөх өөр өөр утгатай, гурав дахь утгыг олж болно. Энэ тохиолдолд шийдэл нь утгын гурав дахин юм ( x; y; z) нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хэрэв хувьсагч x, y, zгурван тэгшитгэлээр хоорондоо холбогдож, гурван хувьсагчтай гурван шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Ийм системийг шийдэхийн тулд та хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд хамаарах аргуудыг ашиглаж болно: орлуулах арга ба нэмэх арга.

Жишээ 1. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Гурав дахь тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо орлуулалт хийцгээе. Хувьсагч xилэрхийлэлтэй тэнцүү байна 3 − 2y − 2z . Энэ илэрхийллийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё.

Хоёр тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.

Бид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд хүрлээ. IN энэ тохиолдолдНэмэлт аргыг ашиглах нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд хувьсагч yалга болох ба бид хувьсагчийн утгыг олж чадна z

Одоо утгыг нь олъё y. Үүнийг хийхийн тулд - тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой y+ z= 4. Түүнд утгыг орлуулна z

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x= 3 − 2y − 2z . Үүн дээр утгыг орлуулж үзье yТэгээд z

Тиймээс гурвалсан утгууд (3; −2; 2) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Жишээ 2. Нэмэх аргыг ашиглан системийг шийднэ

Эхний тэгшитгэлийг −2-оор үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −6x+ 6y − 4z = −4 . Одоо үүнийг эхний тэгшитгэлд нэмье:

Үүний үр дүнд бид үүнийг харж байна анхан шатны өөрчлөлтүүд, хувьсагчийн утгыг тодорхойлно x. Энэ нь нэгтэй тэнцүү юм.

-руу буцаж орцгооё үндсэн систем. Гурав дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье. Гурав дахь тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −4x + 5y − 2z = −1 . Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмье:

Бид тэгшитгэлийг авсан x− 2y= −1. Үүний утгыг орлуулъя xБидний өмнө нь олж мэдсэн. Дараа нь бид утгыг тодорхойлж болно y

Одоо бид утгыг нь мэдэж байна xТэгээд y. Энэ нь үнэ цэнийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно z. Системд багтсан тэгшитгэлүүдийн аль нэгийг ашиглая:

Тиймээс гурвалсан утгууд (1; 1; 1) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх асуудал

Тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх ажлыг хэд хэдэн хувьсагч оруулах замаар шийддэг. Дараа нь асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийг эмхэтгэдэг. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс тэд систем үүсгэж, үүнийг шийддэг. Системийг шийдсэний дараа түүний шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Асуудал 1. Волга машин хотоос гарч нэгдэл рүү явав. Тэр эхнийхээсээ 5 км богино байсан өөр замаар буцаж ирэв. Нийтдээ машин хоёр талдаа 35 км явсан. Зам тус бүрийн урт нь хэдэн км вэ?

Шийдэл

Болъё x -эхний замын урт, y- секундын урт. Хэрэв машин хоёр талдаа 35 км явсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+ y= 35. Энэ тэгшитгэл нь хоёр замын уртын нийлбэрийг тодорхойлдог.

Эхнийхээсээ 5 км-ээр богино замаар машин буцаж ирсэн гэдэг. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x− y= 5. Энэхүү тэгшитгэлээс харахад замын уртын зөрүү 5 км байна.

Эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x= y+ 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Учир нь хувьсагчид xТэгээд yХоёр тэгшитгэлд ижил тоог зааж өгсөн бол бид тэдгээрээс систем үүсгэж болно.

Өмнө нь судалж байсан зарим аргуудыг ашиглан энэ системийг шийдье. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэлд хувьсагч байгаа тул орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой xаль хэдийн илэрхийлсэн.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулан ол y

Олдсон утгыг орлуулъя yхоёр дахь тэгшитгэлд x= y+ 5, бид олох болно x

Эхний замын уртыг хувьсагчаар зааж өгсөн x. Одоо бид түүний утгыг олсон. Хувьсагч x 20-той тэнцүү байна.Энэ нь эхний замын урт 20 км гэсэн үг.

Мөн хоёр дахь замын уртыг зааж өгсөн y. Энэ хувьсагчийн утга нь 15. Энэ нь хоёр дахь замын урт нь 15 км гэсэн үг юм.

Шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгая:

Одоо (20; 15) шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Машин хоёр тийшээ нийтдээ 35 км зам туулсан гэж байсан. Бид хоёр замын уртыг нэмж, шийдэл (20; 15) хангасан эсэхийг шалгана энэ нөхцөл: 20 км + 15 км = 35 км

Дараах нөхцөл: машин өөр замаар буцаж буцаж ирсэн нь эхнийхээсээ 5 км богино байв . 15 км нь 20 км-ээс 5 км-ээс богино тул (20; 15) шийдэл нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 20 км - 15 км = 5 км

Системийг зохиохдоо хувьсагч нь энэ системд багтсан бүх тэгшитгэлийн ижил тоог илэрхийлэх нь чухал юм.

Тэгэхээр манай систем хоёр тэгшитгэлтэй. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь эргээд хувьсагчдыг агуулдаг xТэгээд y, энэ нь хоёр тэгшитгэлд ижил тоог илэрхийлдэг, тухайлбал 20 км ба 15 км замын урт.

Асуудал 2. Платформ дээр царс, нарс мод, нийт 300 дэр ачиж байв. Бүх царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байсан нь мэдэгдэж байна. Царс мод дэр тус бүр 46 кг, нарс дэр тус бүр 28 кг жинтэй байсан бол тус тусад нь хэдэн царс, нарс дэр байгааг тодорхойл.

Шийдэл

Болъё xцарс ба yнарс дэрнүүд тавцан дээр ачигдсан. Хэрэв нийт 300 унтагч байсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+y = 300 .

Бүх царс мод 46 жинтэй байв xкг, нарс нь 28 жинтэй байв yкг. Царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй тул хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно 28y − 46x= 1000 . Энэ тэгшитгэлээс харахад царс ба нарс модны хоорондох массын зөрүү 1000 кг байна.

Царс, нарс модны жинг килограммаар хэмжсэнээс хойш тонныг килограмм болгон хөрвүүлэв.

Үүний үр дүнд бид системийг бүрдүүлдэг хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг

Энэ системийг шийдье. Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж ол y

Орлуулж үзье yтэгшитгэлд оруулна x= 300 − yтэгээд юу болохыг олж мэдээрэй x

Энэ нь тавцан дээр 100 царс, 200 нарс дэр ачсан гэсэн үг юм.

Шийдэл (100; 200) асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Нийтдээ 300 унтдаг гэж байсан. Бид царс, нарс дэрний тоог нэмж, уусмал (100; 200) энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 100 + 200 = 300.

Дараах нөхцөл: бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байв . 46х100 кг царс мод нь 28х200 кг нарс модноос хөнгөн тул шийдэл (100; 200) нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.

Асуудал 3. Бид жингээр 2: 1, 3: 1, 5: 1 харьцаатай гурван ширхэг зэс-никель хайлш авав. Тэднээс 12 кг жинтэй хэсгийг зэс, никелийн 4: 1 харьцаатай хайлуулсан. Эхнийх нь массыг хоёр дахин нэмэгдүүлсэн тохиолдолд эх хэсэг бүрийн массыг ол илүү массхоёрдугаарт.

Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэл(SLAU) бол мэдээжийн хэрэг сургалтын хамгийн чухал сэдэв юм шугаман алгебр. Асар их тооМатематикийн бүх салбаруудын асуудлуудыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийн шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

• авах оновчтой аргашугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд,
• сонгосон аргын онолыг судлах,
• Нарийвчилсан шийдлүүдийг авч үзэх замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй ердийн жишээнүүдболон даалгавар.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Эхлээд бүгдийг нь өгье шаардлагатай тодорхойлолтууд, ойлголт, тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх.

Дараа нь бид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. цорын ганц шийдэл. Нэгдүгээрт, бид Крамерын аргад анхаарлаа хандуулах болно, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах болно, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжих болно ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцахгүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан байна. SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Кронекер-Капелли теоремыг томъёолъё. Матрицын минор суурь гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдлийг (хэрэв тэдгээр нь нийцтэй бол) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Бид нэгэн төрлийн ба ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулах нь гарцаагүй гетероген системүүдшугаман алгебрийн тэгшитгэл. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, хэрхэн бичихийг харуулъя ерөнхий шийдэлҮндсэн шийдлийн системийн векторуудыг ашиглан SLAE. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулж болох тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно янз бүрийн даалгавар, шийдэлд SLAE үүсдэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагчид - коэффициентүүд (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE бичлэгийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэр Энэ тэгшитгэлийн системийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матриц, - баганын матриц чөлөөт гишүүд.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг тусгаарладаг. босоо шугамүлдсэн баганаас, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Матрицын тэгшитгэлУчир нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгууд нь мөн адил шинж тэмдэг болдог.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй бол түүнийг дуудна хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тийм биш бол тэгтэй тэнцүү, дараа нь бид ийм SLAE гэж нэрлэх болно анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ийм SLAE-г судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэлийг авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусадтай нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь авсан. дараах тэгшитгэл, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид эдгээр аргуудын талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

Үүнд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба - орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёог ашиглан тооцоолно . Крамерын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олдог.

Жишээ.

Крамерын арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоолъё (бид А матрицын эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар тодорхойлогчийг авна) :

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

А матриц нь урвуу байдаг тул урвуу матриц байдаг. Хэрэв тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн матриц-баганыг олох томьёо гарна. Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авсан матрицын арга.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргыг ашиглан шийдэж болно. Ашиглах замаар урвуу матрицгэж энэ системийн шийдлийг олж болно .

-аас матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя алгебрийн нэмэлтүүдА матрицын элементүүд (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчийн матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц баганад (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгарч буй гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг. квадрат матрицуудГураваас дээш захиалга.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахаас бүрдэнэ: эхлээд x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасч, зөвхөн үл мэдэгдэх x n хувьсагч үлдэх хүртэл үргэлжилнэ. сүүлчийн тэгшитгэл. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш харвалт хийж дууссаны дараа сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг олж, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг тооцоолж, эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. Гауссын аргын урвуу.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлүүдийг солих замаар бид үргэлж үүнийг хийж чадна гэж бид таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь, -ээр үржүүлсэнийг нэмнэ дөрөв дэх тэгшитгэл n-р тэгшитгэлийн хоёр дахь үржвэрийг нэмье, гэх мэтээр бид хоёр дахь үржвэрийг нэмье. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлж, зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талд бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тус нэмж, үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун талд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Энэ нь Гауссын аргын урагшлах цохилтыг дуусгаж, бид урвуу цохилтыг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, улмаар Гауссын аргын урвуу үйлдлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

IN ерөнхий тохиолдол p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцахгүй байна.

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин ба дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь хэзээ нийцдэг, хэзээ нийцэхгүй вэ гэсэн асуултын хариултыг өгсөн Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. , Зэрэг(A)=Зэрэглэл(T).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Кронекер-Капелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Түүнтэй хиллэдэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Эргээд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэгтэй тул гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A), тиймээс Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ SLAE-ийн нийцтэй байдал тогтоогдвол хэрхэн шийдлийг олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн тухай теорем хэрэгтэй.

Бага хамгийн дээд тушаалтэгээс ялгаатай А матрицыг нэрлэнэ үндсэн.

Минор суурь гэсэн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн суурь минор байж болно;

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэг биш тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бол матрицын сонгосон минор суурь үүсгэдэггүй бүх мөр (ба багана) элементүүдийг шугаман байдлаар харгалзах мөр (ба багана) элементүүдээр илэрхийлнэ. суурь бага.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу хэлэх вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч бага баазыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндэслэлийг бүрдүүлэхгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх тул хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь зэрэглэлийн цорын ганц минор нь тэг учраас мөн хоёртой тэнцүү

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Rank(A)=Rank(T)=2 тул Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.

Бага зэрэг үндэслэл болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.


Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь суурь минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг.


Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг олж авсан. Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Хариулт:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо r бол бага тооүл мэдэгдэх хувьсагч n, дараа нь тэгшитгэлийн зүүн талд бид үндсэн суурь болох нөхцөлүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг системийн тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r) гэж нэрлэдэг гол.

Баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r хэсэг) гэж нэрлэдэг үнэгүй.

Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч нь дур зоргоороо утгыг авч чаддаг бол үл мэдэгдэх үндсэн r хувьсагч нь үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно гэж бид үзэж байна. Тэдний илэрхийлэлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үүссэн SLAE-ийг шийдэх замаар олж болно.

Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх аргаар. 1 1 = 1-ийг эхний эрэмбийн 0 биш минор гэж авъя. Энэ насанд хүрээгүй хоёр дахь зэрэглэлийн 0-ээс бага насны хүүхдийг хайж эхэлцгээе.


Ингэж бид хоёр дахь эрэмбийн 0-ээс бага насны хүүхдийг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хүрээтэй насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн олсон тэг биш минорыг бид суурь болгон авдаг.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.


Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн суурьт хамаарах нэр томъёог орхиж, үлдсэнийг нь шилжүүлдэг. эсрэг шинж тэмдэгбаруун талд:


Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид x 2 ба x 5 дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид хүлээн зөвшөөрнө. , Хаана - дурын тоо. Энэ тохиолдолд SLAE нь маягтыг авна


Үүссэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Тиймээс, .

Хариултдаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг тодорхойлно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид минор суурь сонгож, сонгосон минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь насанд хүрээгүй тушаал тоотой тэнцүү байнаҮл мэдэгдэх хувьсагчид бол SLAE нь бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олдог өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг өгнө. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олдог хувьсагчдыг аргаарКрамер, матрицын арга эсвэл Гауссын арга.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг эхлээд нийцтэй эсэхийг шалгахгүйгээр ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжтой бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Үзээрэй дэлгэрэнгүй тайлбарерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын тухай өгүүлэлд жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих.

Энэ хэсэгт бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн талаар ярих болно. хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд.

Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Шийдлийн үндсэн систем n үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн (n – r) шугаман бие даасан шийдлүүдийн цуглуулга бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид шугаман байдлаар тэмдэглэвэл бие даасан шийдлүүднэгэн төрлийн SLAE нь X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) нь n-ээс 1 хэмжээтэй багана хэлбэртэй матрицууд), дараа нь ерөнхий шийдэл Энэхүү нэгэн төрлийн системд дурын шийдлийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр дүрслэгддэг. тогтмол коэффициентүүд C 1, C 2, ..., C (n-r), өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тогтоодог боломжит шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмолуудын утгуудын багцыг авч томъёог ашиглан бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тодорхойлж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Үл мэдэгдэх зүйлсийг үнэгүй өгье хувьсах утгууд 1,0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцоолж, үүссэн шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан шийднэ. Үүний үр дүнд үндсэн системийн эхний шийдэл болох X (1) гарч ирнэ. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0,...,0.1 утгыг оноож, үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) -ийг авна. Ийм байдлаар нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулж, ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийд нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл ба анхны хувилбарын тодорхой шийдэл юм. гетероген SLAE, үүнийг бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,0,...,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгуудыг тооцоолох замаар олж авдаг.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг олъё:

Хоёр дахь эрэмбийн минор, тэгээс ялгаатай нь олдсон. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Авцгаая. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэе.

Анхны SLAE-ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нэр томъёог үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Үндсэн системЭнэхүү SLAE-ийн шийдлүүд нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний суурь минорын дараалал нь хоёртой тэнцүү байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 утгуудыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.