Энэхүү ерөнхий материалыг мэддэг сургуулийн курсматематик. Энд бид бутархайг авч үздэг ерөнхий үзэлтоо, хүч, үндэс, логарифм, тригонометрийн функц эсвэл бусад объекттой. Бутархайн үндсэн хувиргалтыг төрлөөс нь үл хамааран авч үзэх болно.

Бутархай гэж юу вэ?

Өөр хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг.

Тодорхойлолт 2

А ба В-г тусгаарлах хэвтээ налуу зураасыг бутархай налуу зураас эсвэл гэж нэрлэдэг бутархай бар.

Тодорхойлолт 3

Бутархай шугамаас дээш гарч ирэх илэрхийллийг дуудна тоологчба доор - хуваагч.

Энгийн бутархайгаас ерөнхий бутархай хүртэл

Бутархайн тухай танилцуулга нь 5-р ангид, тэдгээрийг авах үед тохиолддог энгийн бутархай. Тодорхойлолтоос үзэхэд хүртэгч ба хуваагч нь натурал тоонууд болох нь тодорхой байна.

Жишээ 1

Жишээлбэл, 1/5, 2/6, 12/7, 3/1 гэж бичиж болох 1 5, 2 6, 12 7, 3 1.

Энгийн бутархайтай үйлдлүүдийг судалсны дараа бид нэгээс илүү хуваагчтай бутархайтай харьцаж байна. натурал тоо, мөн натурал тоо бүхий илэрхийллүүд.

Жишээ 2

Жишээлбэл, 1 + 3 5, 9 - 5 16, 2 · 7 9 · 12.

Бид бутархайтай харьцахдаа үсэг байдаг газар эсвэл үг хэллэгүүд, дараа нь дараах байдлаар бичнэ.

a + b c , a - b c , a · c b · d .

Тодорхойлолт 4

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэх дүрмийг засъя a c + b c = a + b c, a c - b c = a - b c, a b v d = a c b d

Тооцоолохын тулд ихэвчлэн холимог тоонуудыг энгийн бутархай болгон хувиргах шаардлагатай байдаг. Бид бүхэл хэсгийг a гэж тэмдэглэхэд бутархай хэсэг нь b / c хэлбэртэй байна, бид a · c + b c хэлбэрийн бутархайг авдаг бөгөөд энэ нь ийм бутархай 2 · 11 + 3 11, 5 · 2 харагдах байдлыг тайлбарладаг. + 1 2 гэх мэт.

Бутархай шугамыг хуваах тэмдэг гэж үздэг. Тиймээс бичлэгийг өөр аргаар өөрчилж болно:

1: a - (2 b + 1) = 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 = 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, энд 4-р хэсэг : 2-ыг бутархайгаар сольж болно, дараа нь бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг авна

5 - 1, 7 3 2 3 - 4 2

-тай тооцоолж байна рационал бутархайэзлэх онцгой газарМатематикийн хувьд тоологч ба хуваагч нь зүгээр л илүү байж болно тоон утгууд, ба олон гишүүнт.

Жишээ 3

Жишээлбэл, 1 x 2 + 1, x · y - 2 · y 2 0, 5 - 2 · x + y 3.

Рационал илэрхийлэлийг ерөнхий бутархай гэж үздэг.

Жишээ 4

Жишээлбэл, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3, 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6 x.

Үндэс, хүчийг судлах оновчтой үзүүлэлтүүд, логарифм, тригонометрийн функцуудТэдний хэрэглээ нь маягтын өгөгдсөн бутархай хэсэгт гарч байгааг харуулж байна:

Жишээ 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α.

Бутархай хэсгүүдийг нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, log x + 2 log x 2 - 2 x + 1 хэлбэртэй байна.

Бутархай хувиргалтын төрлүүд

Хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүдийн хувьд хэд хэдэн төрлийг авч үздэг.

Тодорхойлолт 5

• тоологч ба хуваагчтай ажиллахад ердийн хувиргалт;
• бутархай илэрхийллийн өмнөх тэмдгийг өөрчлөх;
• хүргэж байна нийтлэг хуваагчба фракцын бууралт;
• бутархайг олон гишүүнтийн нийлбэр хэлбэрээр дүрслэх.

Тоолуур ба хуваагч илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ижил тэнцүү илэрхийллүүдийн хувьд бид үүссэн бутархай нь анхныхтай ижил тэнцүү байна.

Хэрэв A / B хэлбэрийн бутархай өгөгдсөн бол A ба B нь зарим илэрхийлэл болно. Дараа нь орлуулсны дараа бид A 1 / B 1 хэлбэрийн хэсгийг авна . A / A 1 = B / B 1 тэгш байдлын үнэн зөвийг батлах шаардлагатай ODZ-ийг хангасан хувьсагчийн дурын утгын хувьд.

Бидэнд тийм байна АТэгээд А 1Тэгээд БТэгээд Б 1ижил тэнцүү байна, дараа нь тэдний утга нь бас тэнцүү байна. Энэ нь ямар ч үнэ цэнийн хувьд үүнийг дагадаг А/БТэгээд A 1 / B 1эдгээр фракцууд тэнцүү байх болно.

Хэрэв та тоологч болон хуваагчийг тусад нь хөрвүүлэх шаардлагатай бол энэ хөрвүүлэлт нь бутархайтай ажиллах ажлыг хялбаршуулдаг.

Жишээ 6

Жишээлбэл, 2 2 · 3 · 3 болгон хувиргасан 2/18 хэлбэрийн бутархай хэсгийг авъя. Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагчийг энгийн хүчин зүйл болгон задалдаг. x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 = x x + y (x + y) 2 бутархай нь x 2 + x y хэлбэрийн тоологчтой бөгөөд энэ нь x (x + y) -ээр солих шаардлагатай гэсэн үг юм. , энэ нь нийтлэг хүчин зүйл x-ийг хаалтнаас гаргаж авах болно. Хуваагч өгөгдсөн бутархай x 2 + 2 x y + y 2 товчилсон үржүүлэх томьёог ашиглан уналт. Дараа нь бид энэ нь адилхан болохыг олж мэднэ тэнцүү илэрхийлэлнь (x + y) 2 .

Жишээ 7

Бутархай өгсөн бол нүгэл гэж бичнэ 2 3 · φ - π + cos 2 3 · φ - π φ · φ 5 6, дараа нь хялбарчлахын тулд томъёоны дагуу тоологчийг 1-ээр сольж, хуваагчийг φ 11 12 хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Дараа нь 1 φ 11 12 нь өгөгдсөн бутархайтай тэнцүү болохыг олж мэднэ.

Бутархайн урд талын тэмдгийг өөрчлөх, хуваагч, тоологч

Бутархайг хөрвүүлэх нь мөн бутархайн урд талын тэмдгийн өөрчлөлт юм. Зарим дүрмийг авч үзье:

Тодорхойлолт 7

• тоологчийн тэмдгийг өөрчлөхдөө бид өгөгдсөнтэй тэнцүү бутархайг олж авдаг бөгөөд энэ нь шууд утгаараа _ - A - B = A B шиг харагддаг, энд A ба B нь зарим илэрхийлэл юм;
• бутархайн урд болон тоологчийн урд байгаа тэмдгийг өөрчлөх үед бид үүнийг авна - - A B = A B ;
• Бутархай ба түүний хуваарийн урд талын тэмдгийг орлуулахдаа бид үүнийг авна - A - B = A B.

Баталгаа

Хасах тэмдгийг ихэнх тохиолдолд - 1 тэмдэгтэй коэффициент гэж үздэг бөгөөд бутархай тэмдэг нь хуваагдал юм. Эндээс бид үүнийг олж авна - A - B = - 1 · A: - 1 · B. Хүчин зүйлсийг бүлэглэвэл бидэнд ийм байна

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Эхний мэдэгдлийг нотолсоны дараа бид үлдсэнийг нь зөвтгөж байна. Бид авах:

A B = (- 1) · (((- 1) · A) : B) = (- 1 · - 1) · A: B = = 1 · (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) · (A: - 1 · B) = ((- 1) : (- 1)) · (A: B) = = 1 · (A: B) = A: B = A B

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 8

3/7 бутархайг - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7 хэлбэрт хөрвүүлэх шаардлагатай бол үүнийг 1 + x - x 2 2 2 3 хэлбэрийн бутархайгаар хийнэ. - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x .

Өөрчлөлтийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + нүгэл 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x · 3 x

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруулж байна

Энгийн бутархайг судлахдаа бид хуваагч ба хуваагчийг ижил натурал тоогоор үржүүлж, хуваах боломжийг олгодог бутархайн үндсэн шинж чанарыг хөндсөн. Үүнийг a · m b · m = a b ба a: m b: m = a b, a, b, m нь натурал тоонууд гэсэн тэгшитгэлээс харж болно.

Энэ тэгшитгэл нь b ≠ 0 ба m ≠ 0-ээс бусад a, b, m болон бүх a утгад хүчинтэй. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв зарим илэрхийлэл болох A ба C бүхий A / B бутархайг 0-тэй тэнцүү биш M илэрхийллээр үржүүлж эсвэл хуваавал бид эхнийхтэй ижил бутархайг авна. . Бид A · M B · M = A B ба A: M B: M = A B гэдгийг олж авдаг.

Энэ нь хувиргалтуудыг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах, багасгах гэсэн 2 хувиргалт дээр үндэслэсэн болохыг харуулж байна.

Нийтлэг хуваагч болгон багасгах үед үржүүлгийг ижил тоо эсвэл хуваагч ба хуваагчийн илэрхийллээр гүйцэтгэнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид ижил, тэнцүү хувирсан бутархайг шийдэх рүү шилждэг.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 9

Хэрэв бид x + 1 0, 5 · x 3 бутархайг аваад 2-оор үржүүлбэл шинэ хуваагч нь 2 · 0, 5 · x 3 = x 3 байх ба илэрхийлэл нь 2 · x + 1 x 3 болно. .

Жишээ 10

1 - x 2 x 2 3 1 + ln x бутархайг 6 x 1 + ln x 3 хэлбэрийн өөр хуваагч болгон багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг 3 x 1 3 (1 + ln x) -ээр үржүүлэх шаардлагатай. 2. Үүний үр дүнд бид 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3 бутархайг авна.

Хуваарийн утгагүй байдлаас ангижрах гэх мэт хувиргах нь бас хамааралтай. Энэ нь хуваарьт үндэс байх шаардлагагүй бөгөөд энэ нь шийдлийн процессыг хялбаршуулдаг.

Бутархайг багасгах

Гол өмч нь хувиргалт, өөрөөр хэлбэл түүний шууд бууралт юм. Бид багасгахад хялбаршуулсан бутархайг авна. Нэг жишээг харцгаая:

Жишээ 11

Эсвэл x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x хэлбэрийн бутархай, x 3, x 3 ашиглан бууралт хийх, 2 x 2 + 1 + 3 эсвэл x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 хэлбэрийн илэрхийлэл. Дараа нь бид x 2 3 + 1 3 x бутархайг авна

Хэзээ бутархайг багасгах нь энгийн зүйл юм нийтлэг хүчин зүйлүүднэн даруй тодорхой харагдаж байна. Практикт энэ нь тийм ч их тохиолддоггүй тул эхлээд энэ төрлийн илэрхийллийн зарим өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай байдаг. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох шаардлагатай үе байдаг.

Хэрэв танд x 2 2 3 · (1 - cos 2 x) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 хэлбэрийн хэсэг байгаа бол та ашиглах хэрэгтэй. тригонометрийн томъёоБутархайг x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд зэрэглэлийн шинж чанарууд. Ингэснээр x 1 3 · sin 2 x -ээр багасгах боломжтой болно.

Бутархайг нийлбэрээр илэрхийлэх

Тоолуур нь илэрхийллийн алгебрийн нийлбэртэй байх үед A 1 , A 2 , … , A n, мөн хуваагчийг тэмдэглэнэ Б, дараа нь энэ бутархай гэж төлөөлж болно A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Тодорхойлолт 8

Үүнийг хийхийн тулд энэ A 1 + A 2 + -ийг засъя. . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B.

Энэ хувиргалт нь бутархай тоог нэмэхээс үндсэндээ өөр юм ижил үзүүлэлтүүд. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 12

sin x - 3 x + 1 + 1 x 2 хэлбэрийн бутархай өгөгдсөн бөгөөд үүнийг бид дараах байдлаар илэрхийлнэ. алгебрийн нийлбэрбутархай. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 эсвэл sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 эсвэл sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2 гэж төсөөл.

A / B хэлбэртэй аливаа бутархайг ямар нэгэн байдлаар бутархайн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлнэ. Тоолуур дахь А илэрхийллийг дурын тоо эсвэл A 0 илэрхийллээр багасгаж эсвэл нэмэгдүүлж болох бөгөөд энэ нь A + A 0 B - A 0 B руу шилжих боломжтой болно.

Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задлах нь бутархайг нийлбэр болгон хувиргах онцгой тохиолдол юм. Ихэнхдээ үүнийг хэзээ хэрэглэдэг нарийн төвөгтэй тооцоонэгтгэх зорилгоор.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тоо нэмэх, үржүүлэх үндсэн шинж чанарууд.

Нэмэх солих шинж чанар: Нөхцөлүүдийг өөрчлөх нь нийлбэрийн утгыг өөрчлөхгүй. Аливаа a ба b тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

Нэмэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны нийлбэр дээр гурав дахь тоог нэмэхийн тулд эхний тоонд хоёр, гурав дахь тоог нэмж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

Үржүүлэхийн солилцооны шинж чанар: хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах нь бүтээгдэхүүний үнэ цэнийг өөрчлөхгүй. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

Үржүүлэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны үржвэрийг гурав дахь тоогоор үржүүлэхийн тулд эхний тоог хоёр, гурав дахь тоогоор үржүүлж болно.

Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

Хуваарилах шинж чанар: Тоог нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд тухайн тоог гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

Нэмэлтийн солилцооны болон хосолсон шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: ямар ч нийлбэрээр та нэр томьёог хүссэн хэлбэрээрээ өөрчилж, тэдгээрийг дур мэдэн бүлэг болгон нэгтгэж болно.

Жишээ 1 1.23+13.5+4.27 нийлбэрийг бодъё.

Үүнийг хийхийн тулд эхний нэр томъёог гуравдахьтай хослуулах нь тохиромжтой. Бид авах:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Үржүүлэхийн солилцооны болон хосолсон шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: аливаа бүтээгдэхүүнд та хүчин зүйлсийг ямар ч аргаар өөрчилж, тэдгээрийг дур зоргоороо бүлэг болгон нэгтгэж болно.

Жишээ 2 1.8·0.25·64·0.5 үржвэрийн утгыг олъё.

Эхний хүчин зүйлийг дөрөв дэх, хоёр дахь хүчин зүйлийг гурав дахь хүчин зүйлтэй хослуулснаар бид дараах байдалтай байна.

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

Тоог гурав ба түүнээс дээш гишүүний нийлбэрээр үржүүлэхэд хуваарилах шинж чанар мөн үнэн болно.

Жишээлбэл, a, b, c, d тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Хасалтыг хасахын эсрэг тоог нэмэх замаар нэмэх замаар сольж болно гэдгийг бид мэднэ.

Энэ нь тоон илэрхийлэлийг зөвшөөрдөг a-b төрөл a ба -b тооны нийлбэр, a+b-c-d хэлбэрийн тоон илэрхийллийг a, b, -c, -d гэх мэт тоонуудын нийлбэр гэж үзнэ. Үйлдлүүдийн авч үзсэн шинж чанарууд нь ийм нийлбэрт мөн хүчинтэй байна.

Жишээ 3 3.27-6.5-2.5+1.73 илэрхийллийн утгыг олъё.

Энэ илэрхийлэл нь 3.27, -6.5, -2.5, 1.73 тоонуудын нийлбэр юм. Нэмэлтийн шинж чанарыг ашигласнаар бид: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4 болно.

Жишээ 4 36·() үржвэрийг тооцоод үзье.

Үржүүлэгчийг тоонуудын нийлбэр ба - гэж үзэж болно. Үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

36()=36·-36·=9-10=-1.

Баримтлал

Тодорхойлолт. Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд харгалзах утга нь тэнцүү хоёр илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Хувьсагчдын аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдлыг таних тэмдэг гэж нэрлэдэг.

3(x+y) ба 3x+3y илэрхийллүүдийн утгыг x=5, y=4 үед олъё.

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Бид ижил үр дүнд хүрсэн. Түгээлтийн шинж чанараас харахад хувьсагчдын аль ч утгын хувьд 3(x+y) ба 3x+3y илэрхийллийн харгалзах утгууд тэнцүү байна.

Одоо 2x+y ба 2xy илэрхийллүүдийг авч үзье. x=1, y=2 үед тэд тэнцүү утгыг авна:

Гэсэн хэдий ч та x ба y-ийн утгыг эдгээр илэрхийллийн утгууд тэнцүү биш байхаар зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв x=3, y=4, тэгвэл

3(x+y) ба 3x+3y илэрхийллүүд ижил тэнцүү боловч 2x+y ба 2xy илэрхийллүүд ижил тэнцүү биш байна.

3(x+y)=x+3y тэгшитгэл нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.

Жинхэнэ тооны тэгш байдлыг мөн адилтгал гэж үздэг.

Тиймээс, таних тэмдэг нь тоон дээрх үйлдлүүдийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг тэгш байдал юм.

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Баримт бичгийн бусад жишээг өгч болно:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Илэрхийллийн ижил өөрчлөлтүүд

Нэг илэрхийллийг өөр ижил тэнцүү илэрхийллээр солихыг ижил хувиргалт эсвэл зүгээр л илэрхийллийн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарт үндэслэн гүйцэтгэдэг.

Хэзээ xy-xz илэрхийллийн утгыг олох өгөгдсөн утгууд x, y, z, та гурван үйлдэл хийх хэрэгтэй. Жишээлбэл, x=2.3, y=0.8, z=0.2 байвал бид дараахийг авна.

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

Хэрэв та xy-xz илэрхийлэлтэй ижилхэн x(y-z) илэрхийллийг ашиглавал энэ үр дүнг зөвхөн хоёр алхам хийснээр олж авч болно.

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

Бид xy-xz илэрхийллийг ижил x(y-z) илэрхийллээр сольж тооцооллыг хялбаршуулсан.

Илэрхийллийн ижил төстэй хувиргалтыг илэрхийллийн утгыг тооцоолох, бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Зарим таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдЖишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог багасгах, хашилтыг өргөжүүлэх ажлыг би аль хэдийн хийх ёстой байсан. Эдгээр хувиргалтыг гүйцэтгэх дүрмийг эргэн санацгаая.

удирдах ижил төстэй нэр томъёо, та тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэгээр үржүүлэх хэрэгтэй;

хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол хаалтанд орсон нэр томьёо бүрийн тэмдгийг хадгалан хаалтыг орхиж болно;

Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол хаалтанд орсон нэр томьёо бүрийн тэмдгийг өөрчилснөөр хашилтыг орхиж болно.

Жишээ 1 5x+2x-3x нийлбэрээр ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.

Ижил төстэй нэр томъёог багасгах дүрмийг ашиглая:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Энэ хөрвүүлэлт нь дээр үндэслэсэн болно хуваарилах өмчүржүүлэх.

Жишээ 2 2a+(b-3c) илэрхийллийн хаалтуудыг нээцгээе.

Дээр нэмэх тэмдэг тавьсан хаалт нээх дүрмийг ашиглах:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Гүйцэтгэсэн өөрчлөлт нь дээр тулгуурладаг хамтын өмчнэмэлт.

Жишээ 3 a-(4b-c) илэрхийллийн хаалтуудыг нээцгээе.

Хаалганы өмнө хасах тэмдэгтэй нээх дүрмийг ашиглацгаая.

a-(4b-c)=a-4b+c.

Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь үржүүлгийн тархалтын шинж чанар ба нэмэхийн хослолын шинж чанарт суурилдаг. Үүнийг үзүүлье. Ороод төсөөлцгөөе энэ илэрхийлэлхоёр дахь гишүүн -(4b-c) бүтээгдэхүүн (-1)(4b-c) хэлбэрээр:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Үйлдлийн заасан шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Бутархай

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Ахлах сургуульд бутархай тоо тийм ч их төвөг учруулдаггүй. Одоохондоо. Рационал илтгэгч болон логарифм бүхий хүчнүүдтэй таарах хүртэл. Тэгээд тэнд ... Та тооцоолуур дээр дараад дарахад энэ нь зарим тооны бүтэн дэлгэцийг харуулна. Гуравдугаар анги шиг толгойгоо бодох хэрэгтэй.

Эцэст нь бутархайг олж мэдье! За, чи тэдэнтэй хэр зэрэг андуурч чадах вэ!? Түүнээс гадна энэ бүхэн энгийн бөгөөд логик юм. Тэгэхээр, бутархайн төрлүүд юу вэ?

Бутархайн төрлүүд. Өөрчлөлтүүд.

Бутархай хэсгүүд байдаг гурван төрөл.

1. Энгийн бутархай , Жишээ нь:

Заримдаа хэвтээ шугамын оронд ташуу зураас тавьдаг: 1/2, 3/4, 19/5, худаг гэх мэт. Энд бид ихэвчлэн энэ зөв бичгийн дүрмийг ашиглах болно. Дээд дугаарыг дуудаж байна тоологч, доод - хуваагч.Хэрэв та эдгээр нэрийг байнга андуурч байвал (энэ нь тохиолддог ...) өөртөө хэлээрэй: " Zzzzzсанаж байна! Zzzzzхуваагч - харах zzzzӨө!" Хараач, бүх зүйл санаж байх болно.)

Зураас нь хэвтээ эсвэл налуу гэсэн утгатай хэлтэсдээд тоо (тоо) доод тал руу (хуваагч). Ингээд л болоо! Зураасны оронд хуваах тэмдэг тавих бүрэн боломжтой - хоёр цэг.

Бүрэн хуваах боломжтой бол үүнийг хийх ёстой. Тиймээс "32/8" бутархайн оронд "4" тоог бичих нь илүү таатай байна. Тэдгээр. 32-ыг 8-д хуваана.

32/8 = 32: 8 = 4

Би "4/1" фракцын тухай ч ярихгүй байна. Энэ нь бас зүгээр л "4" юм. Хэрэв энэ нь бүрэн хуваагдахгүй бол бид үүнийг бутархай хэлбэрээр үлдээнэ. Заримдаа та эсрэг үйлдэл хийх хэрэгтэй. Бүхэл тоог бутархай болгон хувирга. Гэхдээ энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй.

2. Аравтын тоо , Жишээ нь:

Энэ маягт дээр та "B" даалгаврын хариултыг бичих хэрэгтэй болно.

3. Холимог тоо , Жишээ нь:

Ахлах сургуульд холимог тоог бараг ашигладаггүй. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Гэхдээ та үүнийг хийх чадвартай байх нь гарцаагүй! Тэгэхгүй бол асуудалд ийм дугаартай таарч хөлдчихнө... хоосон зай. Гэхдээ бид энэ журмыг санах болно! Жаахан доогуур.

Хамгийн уян хатан энгийн бутархай. Тэднээс эхэлцгээе. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв бутархай нь бүх төрлийн логарифм, синус болон бусад үсгүүдийг агуулж байвал энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Бүх зүйл гэсэн утгаараа бутархай илэрхийлэлтэй үйлдэл нь энгийн бутархайтай үйлдлээс ялгаатай биш юм!

Бутархайн үндсэн шинж чанар.

За, явцгаая! Эхлээд би чамайг гайхшруулах болно. Бүх төрлийн бутархай хувиргалтыг нэг өмчөөр хангадаг! Үүнийг ингэж нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар. Санаж байна уу: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх (хуваах) тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөхгүй.Эдгээр нь:

Царайгаа хөхөртөл үргэлжлүүлэн бичих нь ойлгомжтой. Синус болон логарифмууд таныг төөрөгдүүлэхийг бүү зөвшөөр, бид тэдгээрийг цаашид авч үзэх болно. Хамгийн гол нь эдгээр бүх янз бүрийн илэрхийлэл гэдгийг ойлгох явдал юм ижил бутархай . 2/3.

Энэ бүх өөрчлөлтүүд бидэнд хэрэгтэй юу? Тийм ээ! Одоо та өөрөө харах болно. Эхлэхийн тулд бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглая бутархай хэсгүүдийг багасгах. Энэ нь энгийн зүйл мэт санагдах болно. Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор хуваавал ингээд л болоо! Алдаа гаргах боломжгүй! Гэхдээ... хүн бол бүтээлч амьтан. Та хаана ч алдаа гаргаж болно! Ялангуяа 5/10 гэх мэт бутархай биш, харин бүх төрлийн үсэг бүхий бутархай илэрхийллийг багасгах шаардлагатай бол.

Нэмэлт ажил хийлгүйгээр бутархайг хэрхэн зөв, хурдан багасгах талаар 555-р тусгай хэсгээс уншиж болно.

Энгийн оюутан тоологч болон хуваагчийг ижил тоогоор (эсвэл илэрхийлэл) хуваахад төвөг учруулдаггүй! Тэр зүгээр л дээр доор байгаа бүх зүйлийг зурж хаядаг! Энд ердийн алдаа, бүдүүлэг алдаа нуугдаж байдаг.

Жишээлбэл, та илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй:

Энд бодох зүйл алга, дээр нь "а" үсэг, доод талд нь "2" үсэг зур! Бид авах:

Бүх зүйл зөв. Гэхдээ та үнэхээр хуваагдсан бүгд тоологч ба бүгд хуваагч нь "a". Хэрэв та зүгээр л зурж зурж зурсан бол яаран сандран дээрх "а" тэмдгийг зурж болно.

тэгээд дахиад аваарай

Энэ нь огт худал байх болно. Учир нь энд бүгд"a" дээрх тоологч аль хэдийн байна хуваалцдаггүй! Энэ хэсгийг багасгах боломжгүй. Дашрамд хэлэхэд, ийм бууралт нь ... багшийн хувьд ноцтой сорилт юм. Үүнийг өршөөхгүй! Чи санаж байна уу? Бууруулахдаа хуваах хэрэгтэй бүгд тоологч ба бүгд хуваагч!

Бутархай тоог багасгах нь амьдралыг илүү хялбар болгодог. Та хаа нэгтээ бутархай авах болно, жишээ нь 375/1000. Би одоо яаж түүнтэй үргэлжлүүлэн ажиллах вэ? Тооны машингүй юу? Үржүүлэх, хэлэх, нэмэх, квадрат!? Хэрэв та хэтэрхий залхуу биш бол болгоомжтойгоор таваар, дахин таваар, бүр ... богиносгож байхад нь багасга. 3/8-ыг авцгаая! Илүү сайхан, тийм үү?

Бутархайн үндсэн шинж чанар нь энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжийг олгодог тооцоолуургүйгээр! Улсын нэгдсэн шалгалтад энэ чухал шүү дээ?

Бутархайг нэг төрлөөс нөгөөд хэрхэн хөрвүүлэх вэ.

Аравтын бутархайн хувьд бүх зүйл энгийн байдаг. Сонссон шиг л бичигддэг! 0.25 гэж бодъё. Энэ бол тэг цэгийн хорин таван зуу. Тиймээс бид бичнэ: 25/100. Бид багасгаж (бид тоологч ба хуваагчийг 25-аар хуваадаг), бид ердийн бутархайг авдаг: 1/4. Бүгд. Энэ нь тохиолддог, юу ч багасдаггүй. 0.3 шиг. Энэ нь аравны гурав, өөрөөр хэлбэл. 3/10.

Хэрэв бүхэл тоо нь тэг биш бол яах вэ? Зүгээр дээ. Бид бүхэл бутархайг бичнэ ямар ч таслалгүйтоологч, хуваарьт - юу сонсогдож байна. Жишээ нь: 3.17. Энэ нь гурван цэг арван долоон зуу. Бид тоологч хэсэгт 317, хуваагч дээр 100 гэж бичвэл 317/100 болно. Юу ч буураагүй, энэ нь бүх зүйл гэсэн үг юм. Энэ бол хариулт юм. Бага анги, Ватсон! Хэлсэн бүх зүйлээс ашигтай дүгнэлт: ямар ч аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргаж болно .

Гэхдээ урвуу хувиргалт, энгийнээс аравтын бутархай, зарим хүмүүс тооцоолуургүйгээр үүнийг хийж чадахгүй. Мөн энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Улсын нэгдсэн шалгалтын хариуг яаж бичих вэ!? Үүнийг анхааралтай уншиж, энэ үйл явцыг эзэмшээрэй.

Аравтын тооонцлог нь юу вэ? Түүний хуваарь нь Үргэлжзардал 10, эсвэл 100, эсвэл 1000, эсвэл 10000 гэх мэт. Хэрэв таны энгийн бутархайийм хуваагчтай, ямар ч асуудал байхгүй. Жишээлбэл, 4/10 = 0.4. Эсвэл 7/100 = 0.07. Эсвэл 12/10 = 1.2. Хэрэв "В" хэсгийн даалгаврын хариулт 1/2 болвол яах вэ? Хариуд нь бид юу бичих вэ? Аравтын тоо шаардлагатай...

Санаж үзье бутархайн үндсэн шинж чанар ! Математик нь тоологч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх боломжийг танд олгоно. Дашрамд хэлэхэд юу ч байсан! Тэгээс бусад нь мэдээж. Тиймээс энэ өмчийг өөрт ашигтайгаар ашиглацгаая! Хуваагчийг юугаар үржүүлж болох вэ, i.e. 2, тэгвэл 10, 100, 1000 болно (мэдээж бага байх нь дээр...)? 5-тай нь ойлгомжтой. Хугацагчийг үржүүлж болно (энэ нь бидшаардлагатай) 5. Гэхдээ дараа нь тоологчийг мөн 5-аар үржүүлэх ёстой. Энэ нь аль хэдийн байна математикшаардлага! Бид 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5 авна. Ингээд л болоо.

Гэсэн хэдий ч, бүх төрлийн хуваагч тааралддаг. Та жишээ нь 3/16 гэсэн бутархайтай таарах болно. 16-г юугаар үржүүлбэл 100, 1000 болохоо бодож үзээрэй... Энэ нь болохгүй байна уу? Дараа нь та 3-ыг 16-д хувааж болно. Тооны машин байхгүй тохиолдолд та цаасан дээрх шиг булангаар хуваах хэрэгтэй болно. бага ангиудзаасан. Бид 0.1875 авдаг.

Мөн маш муу хуваагч байдаг. Жишээлбэл, 1/3 бутархайг сайн аравтын бутархай болгох арга байхгүй. Тооны машин дээр ч, цаасан дээр ч 0.3333333 гарна... Энэ нь 1/3 нь яг аравтын бутархай гэсэн үг юм. орчуулаагүй. 1/7, 5/6 гэх мэт. Тэдгээр нь маш олон, орчуулагдах боломжгүй. Энэ нь биднийг өөр нэг ашигтай дүгнэлтэд хүргэж байна. Бутархай бүрийг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжгүй !

Дашрамд хэлэхэд энэ хэрэгтэй мэдээлэлөөрийгөө шалгах зорилгоор. "B" хэсэгт та хариултдаа аравтын бутархай бичих ёстой. Жишээлбэл, та 4/3 авсан. Энэ бутархай нь аравтын бутархай руу хувирдаггүй. Энэ нь та замдаа хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэсэн үг! Буцаж, шийдлийг шалгана уу.

Тиймээс бид энгийн ба аравтын бутархайг олж мэдсэн. Холимог тоонуудтай харьцах л үлдлээ. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Үүнийг яаж хийх вэ? Та зургадугаар ангийн хүүхдийг барьж аваад асууж болно. Гэхдээ зургадугаар ангийн хүүхэд үргэлж дэргэд байдаггүй ... Та үүнийг өөрөө хийх хэрэгтэй. Энэ хэцүү биш. Бутархай хэсгийн хуваагчийг бүхэлд нь үржүүлж, бутархай хэсгийн хуваагчийг нэмэх хэрэгтэй. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Хуваарилагч нь хэвээр үлдэнэ. Энэ нь төвөгтэй сонсогдож байгаа ч бодит байдал дээр бүх зүйл энгийн байдаг. Нэг жишээ авч үзье.

Асуудлын дугаарыг хараад айсан гэж бодъё:

Тайван, сандрахгүйгээр бид боддог. Бүхэл хэсэг нь 1. Нэгж. Бутархай хэсэг- 3/7. Тиймээс бутархай хэсгийн хуваагч нь 7. Энэ хуваагч нь энгийн бутархайн хуваагч болно. Бид тоологчийг тоолдог. 7-г 1-ээр үржүүлсэн ( бүхэл хэсэг) ба 3 (бутархай хэсгийн тоог) нэмнэ. Бид 10-ыг авна. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Ингээд л болоо. Энэ нь бүр ч энгийн харагддаг математик тэмдэглэгээ:

Тодорхой байна уу? Дараа нь амжилтаа баталгаажуулаарай! Энгийн бутархай руу хөрвүүлэх. Та 10/7, 7/2, 23/10, 21/4 авах ёстой.

Урвуу үйлдэл- орчуулга буруу бутархайхолимог тоогоор - ахлах сургуульд ховор шаардлагатай. Хэрэв тийм бол ... Хэрэв та ахлах сургуульд сурдаггүй бол 555-р тусгай хэсгийг үзэж болно. Дашрамд хэлэхэд, та тэнд буруу бутархайн талаар сурах болно.

За, энэ бол бараг бүх зүйл. Та бутархайн төрлийг санаж, ойлгосон Яаж тэдгээрийг нэг төрлөөс нөгөөд шилжүүлэх. Гэсэн асуулт хэвээр байна: Юуны төлөө үүнийг хийх үү? Энэхүү гүн гүнзгий мэдлэгийг хаана, хэзээ хэрэглэх вэ?

Би хариулдаг. Ямар ч жишээ танд хэлэх болно шаардлагатай арга хэмжээ. Хэрэв жишээнд энгийн бутархай, аравтын бутархай, тэгш тоо холимог тоо, бид бүгдийг энгийн бутархай болгон хувиргадаг. Үүнийг үргэлж хийж болно. За тэгээд 0.8 + 0.3 гэх мэт зүйл бичсэн бол бид үүнийг ямар ч орчуулгагүйгээр ингэж тоолдог. Бидэнд яагаад нэмэлт ажил хэрэгтэй байна вэ? Бид тохиромжтой шийдлийг сонгодог бид !

Хэрэв даалгавар бол бүх аравтын бутархай, гэхдээ аан ... ямар нэг муу санаанууд, энгийн зүйл рүү яваарай, үзээрэй! Хараач, бүх зүйл бүтнэ. Жишээлбэл, та 0.125 тоог квадрат болгох хэрэгтэй болно. Хэрэв та тооцоолуур ашиглаж дасаагүй бол энэ нь тийм ч хялбар биш юм! Та зөвхөн баганад байгаа тоог үржүүлээд зогсохгүй таслалыг хаана оруулахаа бодох хэрэгтэй! Энэ нь таны толгойд ажиллахгүй нь гарцаагүй! Хэрэв бид энгийн бутархай руу шилжвэл яах вэ?

0.125 = 125/1000. Бид үүнийг 5-аар бууруулдаг (энэ нь эхлэгчдэд зориулагдсан). Бид 25/200 авдаг. Дахин нэг удаа 5. Бид 5/40 авдаг. Өө, энэ нь багассаар л байна! 5 руу буцах! Бид 1/8-ийг авдаг. Бид үүнийг хялбархан квадрат болгож (бидний оюун ухаанд!) 1/64-ийг авах боломжтой. Бүгд!

Энэ хичээлийг тоймлон хүргэе.

1. Гурван төрлийн бутархай байдаг. Энгийн, аравтын бутархай, холимог тоо.

2. Аравтын болон холимог тоо Үргэлжэнгийн бутархай болгон хувиргаж болно. Урвуу шилжүүлэг үргэлж бишболомжтой

3. Даалгавартай ажиллах бутархайн төрлийг сонгох нь тухайн даалгавараас хамаарна. Боломжтой эсэхээс хамаарна янз бүрийн төрөлНэг даалгаварт бутархай, хамгийн найдвартай зүйл бол энгийн бутархай руу шилжих явдал юм.

Одоо та дасгал хийж болно. Эхлээд эдгээр аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлээрэй.

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Та ийм хариулт авах ёстой (замбараагүй байдалд!):

Энд дуусгая. Энэ хичээлээр бид ой санамжаа сэргээсэн гол цэгүүдбутархайгаар. Гэсэн хэдий ч сэргээхэд онцгой зүйл байхгүй байх нь тохиолддог ...) Хэрэв хэн нэгэн үүнийг бүрэн мартсан эсвэл хараахан эзэмшээгүй байгаа бол ... Дараа нь та тусгай 555-р хэсэг рүү очиж болно. Тэнд бүх үндсэн мэдээллийг нарийвчлан тусгасан болно. Олон гэнэт бүгдийг ойлгодогэхэлж байна. Мөн тэд бутархайг шууд шийддэг).

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Элсэлтийн түвшин

Илэрхийллийг хөрвүүлэх. Нарийвчилсан онол (2019)

Илэрхийлэл хөрвүүлэх

Бид "илэрхийлэлийг хялбарчлах" гэсэн таагүй хэллэгийг олонтаа сонсдог. Бид ихэвчлэн иймэрхүү мангасыг хардаг:

"Энэ нь илүү хялбар" гэж бид хэлдэг ч ийм хариулт ихэвчлэн ажилладаггүй.

Одоо би чамд юунаас ч айхгүй байхыг заах болно ижил төстэй даалгаварууд. Түүнээс гадна, хичээлийн төгсгөлд та энэ жишээг (зүгээр л!) ердийн тоо(тиймээ, эдгээр үсгүүдтэй тамд орно).

Гэхдээ энэ хичээлийг эхлүүлэхийн өмнө та бутархай болон олон гишүүнт хүчин зүйлстэй ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй. Тиймээс, хэрэв та өмнө нь хийгээгүй бол "" ба "" сэдвүүдийг сайтар эзэмшээрэй.

Та уншсан уу? Хэрэв тийм бол та одоо бэлэн байна.

Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд

Одоо илэрхийллийг хялбарчлахад ашигладаг үндсэн аргуудыг авч үзье.

Хамгийн энгийн нь

1. Ижил төстэйг авчрах

Үүнтэй төстэй зүйл юу вэ? Та үүнийг 7-р ангидаа математикт тооны оронд үсэг гарч ирэх үед авч байсан. Ижил үсэгтэй хэсэгтэй ижил нэр томъёо (мономиал) юм. Жишээлбэл, нийлбэрээр ижил төстэй нэр томъёо нь ба.

Чи санаж байна уу?

Ижил төстэй авчрах гэдэг нь өөр хоорондоо ижил төстэй хэд хэдэн нэр томъёог нэмж, нэг нэр томъёо авахыг хэлнэ.

Бид үсгүүдийг хэрхэн нийлүүлэх вэ? - чи асууж байна.

Хэрэв та үсгүүдийг ямар нэгэн объект гэж төсөөлвөл үүнийг ойлгоход маш хялбар болно. Жишээлбэл, захидал бол сандал юм. Тэгвэл илэрхийлэл нь хэдтэй тэнцүү вэ? Хоёр сандал дээр гурван сандал, энэ нь хэд болох вэ? Тийм шүү, сандал: .

Одоо энэ илэрхийллийг үзээрэй: .

Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд зөвшөөрнө үү өөр өөр үсэгөөр өөр объектуудыг төлөөлдөг. Жишээлбэл, - (ердийнх шиг) сандал, - бол ширээ. Дараа нь:

сандал ширээ сандал ширээ сандал сандал ширээ

Ийм нэр томъёоны үсгүүдийг үржүүлдэг тоонуудыг дууддаг коэффициентүүд. Жишээлбэл, мономиал дахь коэффициент нь тэнцүү байна. Мөн энэ нь тэнцүү юм.

Тиймээс ижил төстэй зүйлийг авчрах дүрэм нь:

Жишээ нь:

Үүнтэй төстэй зүйлийг өг:

Хариултууд:

2. (мөн үүнтэй төстэй, тиймээс эдгээр нэр томъёо нь ижил үсэгтэй хэсэгтэй).

2. Factorization

Энэ нь ихэвчлэн илэрхийлэлийг хялбарчлах хамгийн чухал хэсэг юм. Та ижил төстэй зүйлийг өгсний дараа ихэнх тохиолдолд үр дүнгийн илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн болгон харуулах шаардлагатай болдог. Энэ нь ялангуяа бутархайн хувьд чухал юм: бутархайг багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг үржвэр хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.

Та "" гэсэн сэдвийн хүрээнд илэрхийллийг хүчин зүйлээр ялгах аргыг нарийвчлан үзсэн тул энд сурсан зүйлээ санах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн зүйлийг шийдээрэй жишээнүүд(хүлээн авах шаардлагатай):

Шийдэл:

3. Бутархайг багасгах.

За тэгээд тоологч болон хуваагчийн нэг хэсгийг зурж, амьдралаас нь хаяхаас илүү тааламжтай зүйл юу байх вэ?

Энэ бол цомхотголын сайхан тал.

Энэ нь энгийн:

Хэрэв тоологч ба хуваагч нь ижил хүчин зүйлсийг агуулж байвал тэдгээрийг багасгаж, өөрөөр хэлбэл бутархайгаас хасаж болно.

Энэ дүрэм нь бутархайн үндсэн шинж чанараас үүсдэг.

Энэ нь бууруулах үйл ажиллагааны мөн чанар нь тэр юм Бид бутархайн тоо ба хуваагчийг ижил тоогоор (эсвэл ижил илэрхийллээр) хуваана.

Бутархайг багасгахын тулд танд хэрэгтэй:

1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх

2) тоологч болон хуваагч нь агуулж байвал нийтлэг хүчин зүйлүүд, тэдгээрийг зурж болно.

Миний бодлоор зарчим нь тодорхой байна уу?

Би нэг зүйлд та бүхний анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна ердийн алдаагэрээ байгуулах үед. Хэдийгээр энэ сэдэв нь энгийн боловч олон хүмүүс үүнийг ойлгохгүй бүх зүйлийг буруу хийдэг багасгах- энэ гэсэн үг хуваахтоологч ба хуваагч нь ижил тоо.

Хэрэв тоологч эсвэл хуваагч нь нийлбэр бол товчлол байхгүй.

Жишээ нь: бид хялбарчлах хэрэгтэй.

Зарим хүмүүс үүнийг хийдэг: энэ нь туйлын буруу юм.

Өөр нэг жишээ: багасгах.

"Хамгийн ухаантай" нь үүнийг хийх болно: .

Энд юу болоод байгааг надад хэлээч? Энэ нь: - энэ бол үржүүлэгч бөгөөд үүнийг багасгаж болно гэсэн үг юм.

Гэхдээ үгүй: - энэ нь тоологч дахь зөвхөн нэг гишүүний хүчин зүйл боловч хүртэгч өөрөө бүхэлдээ хүчин зүйлд хуваагддаггүй.

Өөр нэг жишээ энд байна: .

Энэ илэрхийлэл нь хүчин зүйлээр хуваагдсан бөгөөд энэ нь та үүнийг багасгаж болно, өөрөөр хэлбэл тоологч ба хуваагчийг хувааж, дараа нь:

Та үүнийг нэн даруй хувааж болно:

Ийм алдаа гаргахгүйн тулд санаж байх хэрэгтэй хялбар аргаИлэрхийлэл хүчин зүйлчлэгдсэн эсэхийг хэрхэн тодорхойлох вэ:

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо хамгийн сүүлд хийгддэг арифметик үйлдэл нь “мастер” үйлдэл юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та үсгийн оронд зарим (ямар ч) тоог орлуулж, илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролдвол, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь үржүүлэх юм бол бид үржвэртэй болно (илэрхийлэл нь үржвэрлэгдсэн). Хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл бол илэрхийлэл нь хүчин зүйл ангилагдаагүй (тиймээс багасгах боломжгүй) гэсэн үг юм.

Нэгтгэхийн тулд цөөн хэдэн зүйлийг өөрөө шийд жишээнүүд:

Хариултууд:

1. Та тэр даруй огтлох гэж яараагүй гэж найдаж байна? Ийм нэгжүүдийг "багасгах" нь хангалтгүй хэвээр байсан:

Эхний алхам нь хүчин зүйлчлэл байх ёстой:

4. Бутархай тоог нэмэх, хасах. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах.

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь танил үйлдэл юм: бид нийтлэг хуваагчийг хайж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах. Санаж үзье:

Хариултууд:

1. Хуваагч ба харьцангуй анхдагч, өөрөөр хэлбэл тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байхгүй. Тиймээс эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч байх болно:

2. Энд нийтлэг хуваагч нь:

3. Энд эхлээд бид холимог бутархайг зохисгүй болгон хувиргаж, дараа нь ердийн схемийн дагуу:

Бутархай нь үсэг агуулсан байвал огт өөр асуудал, жишээ нь:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

a) Хугацаа нь үсэг агуулаагүй

Энд бүх зүйл ердийнхтэй адил байна тоон бутархай: нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах:

Одоо тоологч дээр та ижил төстэй, хэрэв байгаа бол тэдгээрийг өгч, үржүүлж болно:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

б) Хугацаа нь үсэг агуулдаг

Үсэггүй нийтлэг хуваагчийг олох зарчмыг санацгаая.

· юуны түрүүнд нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· дараа нь бид бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичдэг;

· бусад нийтлэг бус бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Хуваарийн нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлохын тулд бид эхлээд тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж үзье:

Одоо нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичиж, тэдгээрт нийтлэг бус (доор зураагүй) бүх хүчин зүйлийг нэмье.

Энэ бол нийтлэг зүйл юм.

Захидалдаа буцаж орцгооё. Хуваагчдыг яг ижил аргаар өгсөн болно.

· хуваагчийг хүчин зүйл болгох;

· нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичих;

· тэдгээрийг бусад бүх нийтлэг бус хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Тиймээс, дарааллаар нь:

1) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох:

2) нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох:

3) бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичиж, бусад бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Тэгэхээр энд нэг нийтлэг зүйл байна. Эхний бутархайг үржүүлж, хоёр дахь нь:

Дашрамд хэлэхэд нэг заль мэх бий:

Жишээ нь: .

Бид хуваагчдад ижил хүчин зүйлсийг хардаг, зөвхөн бүгд өөр өөр үзүүлэлттэй байдаг. Нийтлэг хуваагч нь:

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр.

Даалгаврыг хүндрүүлье:

Бутархайг хэрхэн ижил хуваагчтай болгох вэ?

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг санацгаая.

Бутархайн хуваагч болон хуваагчаас ижил тоог хасч (эсвэл нэмж) болно гэж хаана ч байхгүй. Учир нь энэ нь үнэн биш юм!

Өөрийгөө хараарай: жишээ нь дурын бутархайг авч, тоо болон хуваагч дээр хэдэн тоог нэмнэ, жишээлбэл, . Та юу сурсан бэ?

Тиймээс өөр нэг хөдлөшгүй дүрэм:

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахдаа зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг ашиглана уу!

Гэхдээ авахын тулд юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?

Тиймээс үржүүлээрэй. Тэгээд үржүүлнэ:

Хүчин зүйлд ангилагдах боломжгүй хэллэгийг бид "элементар хүчин зүйл" гэж нэрлэх болно. Жишээлбэл, энэ бол үндсэн хүчин зүйл юм. - Адилхан. Гэхдээ үгүй: үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь анхан шатны хичээл үү?

Үгүй, учир нь үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно:

("" гэсэн сэдвээр хүчин зүйл ангилах талаар та аль хэдийн уншсан).

Тиймээс илэрхийлэлийг үсгээр өргөжүүлэх үндсэн хүчин зүйлүүд нь аналог юм үндсэн хүчин зүйлүүд, үүнд та тоонуудыг задална. Мөн бид тэдэнтэй ижил аргаар харьцах болно.

Бид хуваагч хоёулаа үржүүлэгчтэй болохыг харж байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч руу зэрэгтэй очно (яагаадыг санаж байна уу?).

Хүчин зүйл нь энгийн бөгөөд тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь эхний бутархайг зүгээр л үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Та эдгээр хуваагчдыг сандаргаж үржүүлэхээсээ өмнө тэдгээрийг хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар бодох хэрэгтэй юу? Тэд хоёулаа дараахь зүйлийг төлөөлдөг.

Гайхалтай! Дараа нь:

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Ердийнх шигээ хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилъя. Эхний хуваарьт бид зүгээр л хаалтанд оруулав; хоёр дахь нь - квадратуудын ялгаа:

Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та анхааралтай ажиглавал тэд ижил төстэй байна ... Мөн энэ нь үнэн:

Ингээд бичье:

Өөрөөр хэлбэл, ийм болсон: хаалт дотор бид нэр томъёог сольж, тэр үед бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн. Анхаарна уу, та үүнийг байнга хийх хэрэгтэй болно.

Одоо үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Ойлгосон уу? Одоо шалгаж үзье.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Хариултууд:

Энд бид өөр нэг зүйлийг санах хэрэгтэй - шоо дөрвөлжингийн ялгаа:

Хоёрдахь бутархайн хуваагч нь "нийлбэрийн квадрат" томъёог агуулаагүй болохыг анхаарна уу! Нийлбэрийн квадрат нь дараах байдалтай байна: .

A нь нийлбэрийн бүрэн бус квадрат гэж нэрлэгддэг: хоёр дахь гишүүн нь эхний ба сүүлчийнх нь үржвэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэр биш юм. Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь кубын зөрүүг тэлэх хүчин зүйлүүдийн нэг юм.

Хэрэв аль хэдийн гурван бутархай байвал яах вэ?

Тийм ээ, ижил зүйл! Юуны өмнө үүнийг баталгаажуулъя дээд хэмжээхуваагч дахь хүчин зүйлүүд ижил байсан:

Анхаарна уу: хэрэв та нэг хаалт доторх тэмдгийг өөрчилвөл бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Хоёрдахь хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг өөрчлөхөд бутархайн өмнөх тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Үүний үр дүнд энэ нь (бутархайн урд талын тэмдэг) өөрчлөгдөөгүй.

Бид эхний хуваагчийг бүхэлд нь нийтлэг хуваагч руу бичээд дараа нь хоёр дахь, гурав дахь нь (хэрэв илүү олон бутархай байвал гэх мэт) бичигдээгүй байгаа бүх хүчин зүйлийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Хмм... Бутархайг юу хийх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ хоёр яах вэ?

Энэ нь энгийн: та бутархайг хэрхэн нэмэхээ мэддэг, тийм ээ? Тиймээс бид хоёрыг бутархай болгох хэрэгтэй! Санаж үзье: бутархай нь хуваах үйлдэл юм (хэрэв та мартсан бол тоологч нь хуваагчаар хуваагдана). Мөн тоог хуваах шиг амархан зүйл байхгүй. Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй, харин бутархай болж хувирна.

Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл!

5. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

За одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа. Бидний өмнө хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хамгийн чухал нь байна.

Процедур

Тоолох ямар журамтай вэ? тоон илэрхийлэл? Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо санаарай:

Тоолсон уу?

Энэ нь ажиллах ёстой.

Тиймээс би танд сануулъя.

Эхний алхам бол зэрэглэлийг тооцоолох явдал юм.

Хоёр дахь нь үржүүлэх, хуваах явдал юм. Хэд хэдэн үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нэгэн зэрэг байгаа бол тэдгээрийг ямар ч дарааллаар хийж болно.

Эцэст нь бид нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Дахин хэлэхэд ямар ч дарааллаар.

Гэхдээ: хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ээлжлэн үнэлэгдсэн!

Хэд хэдэн хаалтыг үржүүлж эсвэл өөр хоорондоо хуваавал эхлээд хаалт тус бүр дэх илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь үржүүлж эсвэл хуваана.

Хэрвээ хаалт дотор илүү олон хаалт байвал яах вэ? За, бодъё: хаалт дотор зарим илэрхийлэл бичигдсэн байна. Илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв, хаалтуудыг тооцоол. За, бид үүнийг олж мэдэв: эхлээд дотоод хаалтуудыг тооцоолж, дараа нь бусад бүх зүйлийг тооцоолно.

Тиймээс, дээрх илэрхийлэлийн процедур дараах байдалтай байна (одоогийн үйлдлийг улаанаар тодруулсан, өөрөөр хэлбэл миний яг одоо хийж буй үйлдэл):

За, бүх зүйл энгийн.

Гэхдээ энэ нь үсэгтэй илэрхийлэлтэй адил биш гэж үү?

Үгүй ээ, адилхан! Зөвхөн оронд нь арифметик үйлдлүүдта алгебр, өөрөөр хэлбэл өмнөх хэсэгт тайлбарласан үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. ижил төстэй авчрах, бутархай нэмэх, бутархайг багасгах гэх мэт. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг факторинг хийх үйлдэл байх болно (бид үүнийг бутархайтай ажиллахдаа ихэвчлэн ашигладаг). Ихэнх тохиолдолд хүчин зүйлд хуваахын тулд та I ашиглах эсвэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй.

Ихэнхдээ бидний зорилго бол илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн эсвэл коэффициент болгон илэрхийлэх явдал юм.

Жишээ нь:

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье.

1) Эхлээд бид хаалтанд байгаа илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Тэнд бид бутархайн зөрүүтэй бөгөөд бидний зорилго бол үүнийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр харуулах явдал юм. Тиймээс бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, нэмнэ:

Энэ илэрхийлэлийг цаашид хялбарчлах боломжгүй; энд байгаа бүх хүчин зүйл нь энгийн зүйл юм (энэ нь юу гэсэн үг болохыг та санаж байна уу?).

2) Бид дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг үржүүлэх: юу илүү хялбар байж болох вэ.

3) Одоо та богиносгож болно:

За тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү?

Өөр нэг жишээ:

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Эхлээд үүнийг өөрөө шийдэхийг хичээ, зөвхөн дараа нь шийдлийг хар.

Юуны өмнө үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлъё. Эхлээд хаалтанд бутархайг нэмье, тэгэхээр хоёр бутархайн оронд нэгийг авна. Дараа нь бид бутархайг хуваах болно. За тэгээд үр дүнг сүүлийн бутархайгаар нэмье. Би алхамуудыг схемийн дагуу дугаарлах болно:

Одоо би танд үйл явцыг харуулж, одоогийн үйлдлийг улаанаар будах болно:

Эцэст нь би танд хоёр ашигтай зөвлөгөө өгөх болно.

1. Ижил төстэй зүйл байвал яаралтай авчрах ёстой. Манай улсад үүнтэй төстэй зүйл гарч ирсэн ямар ч үед яаралтай гаргаж ирэхийг зөвлөж байна.

2. Бутархайг багасгахад мөн адил хамаарна: багасгах боломж гарч ирмэгц үүнийг ашиглах ёстой. Үл хамаарах зүйл нь таны нэмэх эсвэл хасах бутархайнуудад хамаарна: хэрэв одоо байгаа бол ижил хуваагч, дараа нь бууралтыг дараа нь үлдээх хэрэгтэй.

Таны бие даан шийдвэрлэх зарим ажлууд энд байна:

Тэгээд хамгийн эхэнд юу амласан:

Шийдэл (товч):

Хэрэв та дор хаяж эхний гурван жишээг даван туулсан бол энэ сэдвийг эзэмшсэн гэсэн үг.

Одоо сурах гэж байна!

ИЛЭРХИЙЛЭЛИЙГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд:

• Үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах: ижил төстэй нэр томъёог нэмэх (багасгах) бол тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үсгийн хэсгийг оноох хэрэгтэй.
• Факторжуулалт:нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах, хэрэглэх гэх мэт.
• Бутархай хэсгийг багасгах: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс бусад ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болох бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрчлөхгүй.
  1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
  2) хэрэв тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол тэдгээрийг зурж болно.

  ЧУХАЛ: зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно!

• Бутархайг нэмэх, хасах:
  ;
• Бутархайг үржүүлэх, хуваах:
  ;

0.2 гэх мэт аравтын тоо; 1.05; 3.017 гэх мэт. Тэд сонсогдохын хэрээр бичигдсэн байдаг. Тэг цэг хоёр, бид бутархайг авна. Нэг цэгийн таван зуу, бид бутархайг авдаг. Гурван цэгийн арван долоон мянга, бид бутархайг авна. Аравтын бутархайн өмнөх тоо нь бутархайн бүхэл хэсэг юм. Аравтын бутархайн дараах тоо нь ирээдүйн бутархайн тоо юм. Хэрэв аравтын бутархайн дараа нэг оронтой тоо- хуваагч нь 10, хэрэв хоёр оронтой бол - 100, гурван оронтой - 1000 гэх мэт. Зарим үр дүнгийн фракцуудыг багасгаж болно. Бидний жишээн дээр

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх

Энэ нь өмнөх өөрчлөлтийн эсрэг тал юм. Аравтын бутархайн шинж чанар юу вэ? Түүний хуваагч нь үргэлж 10, 100, 1000, 10000 гэх мэт. Хэрэв таны энгийн бутархай ийм хуваарьтай бол ямар ч асуудал байхгүй. Жишээлбэл, эсвэл

Хэрэв бутархай бол жишээ нь . Энэ тохиолдолд бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, хуваагчийг 10 эсвэл 100, эсвэл 1000 болгон хувиргах шаардлагатай ... Бидний жишээн дээр бид хуваагч болон хуваагчийг 4-ээр үржүүлбэл бид дараахь байж болох бутархай болно. 0.12 аравтын тоогоор бичигдсэн.

Зарим бутархайг хуваах нь хуваагчийг хөрвүүлэхээс илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл,

Зарим бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх боломжгүй!
Жишээлбэл,

Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах

Жишээлбэл, холимог бутархайг буруу бутархай руу амархан хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та бүхэл хэсгийг хуваагч (доод) -аар үржүүлж, хуваагч (доод) -ийг өөрчлөхгүй байх ёстой. Тэр нь

Хөрвүүлэх үед холимог фракцбуруу бол та бутархай нэмэхийг ашиглаж болно гэдгийг санаж болно

Бутархай бутархайг холимог бутархай болгон хувиргах (бүхэл хэсгийг нь тодруулах)

Буруу бутархай хэсгийг бүхэлд нь тодруулснаар холимог бутархай болж хувирна. Нэг жишээ авч үзье. Бид "3" нь "23"-д хэдэн бүхэл тоо багтахыг тодорхойлдог. Эсвэл тооцоолуур дээр 23-ыг 3-т хуваавал аравтын бутархай хүртэлх бүхэл тоо нь хүссэн тоо юм. Энэ бол "7". Дараа нь бид ирээдүйн бутархайн тоог тодорхойлно: бид "7" -ийг хуваагч "3"-аар үржүүлж, үр дүнг "23" тоологчоос хасна. Хэрэв бид "3"-ын дээд хэмжээг хасвал "23" тоологчоос үлдсэн нэмэлтийг олох юм шиг байна. Бид хуваагчийг өөрчлөхгүйгээр үлдээдэг. Бүх зүйл хийгдсэн, үр дүнг бич