Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг буцаах үед тархалтын хуулийг гарга. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Санамсаргүй хувьсагчИжил нөхцөлд хийсэн туршилтын үр дүнд санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарч өөр өөр утгыг авч үздэг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ: тус бүрд авсан онооны тоо шоо, багц дахь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, сумны цохилтын цэгийн зорилтот цэгээс хазайлт, төхөөрөмжийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа гэх мэт Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг. ДискретДуудсан санамсаргүй хувьсагч, боломжит утгуудТоолж болох олонлог, төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй (өөрөөр хэлбэл элементүүдийг дугаарлаж болох олонлог) бүрдүүлдэг.

ТасралтгүйСанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүний боломжит утгууд нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг тасралтгүй дүүргэдэг тооны тэнхлэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тоо үргэлж хязгааргүй байдаг.

Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэнэ том үсгээртөгсгөл Латин цагаан толгой: X, Ю, . ; санамсаргүй хувьсагчийн утгууд - жижиг үсэг: X, y,. . Тиймээс, XСанамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын бүхэл бүтэн багцыг илэрхийлнэ X -Түүний тодорхой утгын зарим нь.

Хуваарилалтын хуульДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утга ба тэдгээрийн магадлалын хооронд ямар ч хэлбэрээр заасан захидал харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг үзье Xбайна . Туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь эдгээр утгуудын аль нэгийг авна, өөрөөр хэлбэл. Хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгээс нэг үйл явдал тохиолдох болно.

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг мөн мэдэгдээрэй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xнэртэй хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно Түгээлтийн ойролцооДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн:

Санамсаргүй хувьсагч. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Хүлээлт

Хоёр дахь хэсэг дээр магадлалын онолзориулав санамсаргүй хэмжигдэхүүн , энэ нь сэдвийн талаархи нийтлэл бүрт биднийг үл үзэгдэх байдлаар дагалддаг. Энэ нь юу болохыг тодорхой томъёолох мөч ирлээ:

Санамсаргүй дуудсан хэмжээ, шалгалтын үр дүнд авах болно нэг бөгөөд цорын ганцсанамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарах, урьдчилан таамаглах боломжгүй тоон утга.

Санамсаргүй хувьсагч нь ихэвчлэн байдаг тэмдэглэнэдамжуулан * , мөн тэдгээрийн утгыг доод үсэгтэй харгалзах жижиг үсгээр бичнэ, жишээлбэл, .

* Заримдаа Грек үсгийг бас ашигладаг

Бид нэг жишээтэй танилцсан магадлалын онолын эхний хичээл, бид үнэндээ дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзсэн:

– шоо шидсэний дараа гарч ирэх онооны тоо.

Энэ туршилтын үр дүнд энэ нь унах болно цорын ганцяг аль шугамыг урьдчилан таамаглах боломжгүй (бид заль мэх гэж үздэггүй); Энэ тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах утгуудын аль нэгийг авч болно.

– шинээр төрсөн 10 хүүхдийн дундах хөвгүүдийн тоо.

Энэ тоо урьдаас тодорхойгүй байгаа нь туйлын тодорхой бөгөөд дараагийн төрсөн арван хүүхдэд дараахь зүйлс орно.

Эсвэл хөвгүүд - нэг бөгөөд цорын ганцжагсаасан сонголтуудаас.

Мөн хэлбэрээ хадгалахын тулд бага зэрэг биеийн тамирын боловсрол:

- урт харайлтын зай (зарим нэгжээр).

Спортын мастер ч гэсэн таамаглаж чадахгүй :)

Гэсэн хэдий ч таны таамаглал?

Аль болох хурдан олон бодит тоо хязгааргүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн авч болно хязгааргүй олонтодорхой интервалаас авсан утгууд. Мөн энэ нь юунаас бүрддэг үндсэн ялгааөмнөх жишээнүүдээс.

Тиймээс, Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг 2 том бүлэгт хуваахыг зөвлөж байна:

1) салангид (завсрын)санамсаргүй хэмжигдэхүүн - тусдаа, тусгаарлагдсан утгыг авдаг. Эдгээр утгын тоо Мэдээжэсвэл хязгааргүй боловч тоолж болно.

... тодорхойгүй нөхцөл байна уу? Бид яаралтай давтан хэлье алгебрийн үндэс!

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн – хүлээн авна Бүгд тоон утгуудзарим төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалаас.

Анхаарна уу : В боловсролын уран зохиолалдартай товчлолууд DSV болон NSV

Эхлээд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд дүн шинжилгээ хийцгээе, дараа нь - тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

- Энэ захидал харилцааЭнэ хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хооронд. Ихэнх тохиолдолд хуулийг хүснэгтэд бичдэг.

Энэ нэр томъёо нь ихэвчлэн гарч ирдэг эгнээ хуваарилалт, гэхдээ зарим тохиолдолд энэ нь хоёрдмол утгатай сонсогддог тул би "хууль"-ыг баримтлах болно.

Тэгээд одоо Маш чухал цэг : санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хойш Заавалхүлээн зөвшөөрөх болно үнэт зүйлсийн нэг, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг ба тэдгээрийн тохиолдох магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

эсвэл хураангуй хэлбэрээр бичсэн бол:

Жишээлбэл, ган дээр өнхрөх онооны магадлалын тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн "сайн" бүхэл тоон утгыг авах боломжтой гэсэн сэтгэгдэлтэй байж магадгүй юм. Төөрөгдлийг арилгацгаая - тэд юу ч байж болно:

Зарим тоглоом байдаг дараагийн хуульялалтын хуваарилалт:

…та ийм ажлыг удаан хугацаанд мөрөөдөж байсан байх 🙂 Би чамд нэг нууц хэлье – би ч гэсэн. Ялангуяа ажил дууссаны дараа талбайн онол.

Шийдэл: учир нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн зөвхөн нэгийг нь авч болно гурван утгатай, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүснэ бүтэн бүлэг, энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг:

"Партизан"-ыг илчлэх нь:

- Тиймээс ердийн нэгжийг хожих магадлал 0.4 байна.

Хяналт: энэ нь бидэнд итгэлтэй байх ёстой зүйл юм.

Хариулт:

Хуваарилалтын хуулиа өөрөө гаргах шаардлагатай болсон тохиолдол цөөнгүй гардаг. Үүний тулд тэд ашигладаг магадлалын сонгодог тодорхойлолт, үйл явдлын магадлалын үржүүлэх/нэмэх теоремуудболон бусад чипс tervera:

Хайрцагт 50 сугалааны тасалбар байгаа бөгөөд тэдгээрийн 12 нь хожиж, 2 нь тус бүр 1000 рубль, үлдсэн нь тус бүр 100 рубль хождог. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар нэг тасалбар авсан бол хожлын хэмжээ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл: Таны анзаарсанчлан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудыг ихэвчлэн оруулдаг өсөх дарааллаар. Тиймээс бид хамгийн бага ялалт, тухайлбал рублиэр эхэлдэг.

Нийтдээ 50 ийм тасалбар байдаг - 12 = 38, дагуу сонгодог тодорхойлолт :
– санамсаргүй сугалсан тасалбар хожигдох магадлал.

Бусад тохиолдолд бүх зүйл энгийн байдаг. Рубль хожих магадлал нь:

Мөн:

Шалгах: - энэ бол онцгой юм сайхан мөчийм даалгавар!

Хариулт: хожлын хуваарилалтын хүссэн хууль:

Дараахь даалгаврыг та өөрөө шийдэх ёстой.

Буудагчийн бай онох магадлал нь . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга - 2 удаагийн цохилтын дараа.

...Чамайг санасан гэдгийг чинь мэдэж байсан :) санацгаая үржүүлэх, нэмэх теоремууд. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн дүрсэлсэн боловч бодит байдал дээр зөвхөн заримыг нь мэдэх нь ашигтай (заримдаа илүү ашигтай) байж болно. тоон шинж чанар .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Ярьж байна энгийн хэлээр, Энэ дундаж хүлээгдэж буй утгатуршилтыг олон удаа давтан хийх үед. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнд тохирох магадлал бүхий утгыг авцгаая. Дараа нь математикийн хүлээлтэнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тэнцүү байна бүтээгдэхүүний нийлбэртүүний бүх утгыг харгалзах магадлалд:

эсвэл нурсан:

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг тооцоолъё - үхэр дээр эргэлдэж буй онооны тоог:

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь юу вэ? Хэрэв та шоо хангалттай олон удаа өнхрүүлбэл дундаж утгаУнасан оноо нь 3.5-д ойртох бөгөөд та олон тест хийх тусам ойртох болно. Үнэндээ би энэ нөлөөний талаар хичээл дээр аль хэдийн дэлгэрэнгүй ярьсан статистик магадлал.

Одоо бидний таамагласан тоглоомыг санацгаая:

Асуулт гарч ирнэ: энэ тоглоомыг тоглох нь ашигтай юу? ... хэнд ямар сэтгэгдэл байна вэ? Тиймээс та үүнийг "өөрийн" гэж хэлж болохгүй! Гэхдээ энэ асуултыг математикийн хүлээлтийг тооцоолох замаар амархан хариулж болно, үндсэндээ - жигнэсэн дундажялах магадлалаар:

Тиймээс энэ тоглоомын математикийн хүлээлт алдаж байна.

Өөрийн сэтгэгдэлд бүү итгэ - тоонд итгээрэй!

Тийм ээ, энд та 10, бүр 20-30 удаа дараалан ялах боломжтой, гэхдээ урт хугацаанд бид зайлшгүй сүйрэлтэй тулгарах болно. Би чамд ийм тоглоом тоглохыг зөвлөхгүй :) За, магадгүй зөвхөн зугаацахын тулд.

Дээр дурдсан бүхнээс харахад математикийн хүлээлт нь САНАМСГҮЙ утга байхаа больсон.

Бие даасан судалгааны бүтээлч даалгавар:

Ноён X Европын рулет тоглодог дараагийн систем: "улаан" дээр 100 рубль байнга бооцоо тавьдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн - түүний ялалтын тархалтын хуулийг зур. Ялалтын математикийн хүлээлтийг тооцоолж, хамгийн ойрын копейк хүртэл дугуйл. Хэдэн дунджаарТоглогч бооцоо тавьсан зуу бүртээ хожигдох уу?

Лавлагаа : Европын рулет нь 18 улаан, 18 хар, 1 ногоон сектор (“тэг”) агуулдаг. Хэрэв "улаан" гарч ирвэл тоглогч хоёр дахин бооцоо төлнө, эс тэгвээс энэ нь казиногийн орлогод орно.

Та өөрийн магадлалын хүснэгтийг үүсгэж болох өөр олон рулет системүүд байдаг. Гэхдээ энэ нь бидэнд ямар ч хуваарилалтын хууль, хүснэгт хэрэггүй, учир нь тоглогчийн математикийн хүлээлт яг адилхан байх нь тодорхой болсон. Системээс системд өөрчлөгддөг цорын ганц зүйл бол тархалт, энэ талаар бид хичээлийн 2-р хэсэгт суралцах болно.

Гэхдээ эхлээд тооцоолуурын товчлуурууд дээр хуруугаа сунгах нь ашигтай байх болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын хуулиар тодорхойлно.

Энэ нь мэдэгдэж байгаа эсэхийг олоорой. Шалгалт хийх.

Тэгээд хичээлдээ орцгооё дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс, хэрэв боломжтой бол ЯГ ОДОО!!- сэдвийн сэдвийг алдахгүйн тулд.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3. Шийдэл: нөхцөлөөр - бай онох магадлал. Дараа нь:
- алдах магадлал.

Хоёр цохилтын цохилтын хуваарилалтын хуулийг зохиоё.

- ганц ч цохилт байхгүй. By магадлалын үржүүлэх теорем бие даасан үйл явдлууд :

- нэг цохилт. By үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлыг үржүүлэх теоремууд:

- хоёр цохилт. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:

Шалгах: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1

Хариулт :

Анхаарна уу : та тэмдэглэгээг ашиглаж болно - энэ нь хамаагүй.

Жишээ 4. Шийдэл: тоглогч 37 тохиолдлоос 18 тохиолдолд 100 рубль хожсон тул түүний хожлын хуваарилалтын хууль дараахь хэлбэртэй байна.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолъё:

Тиймээс зуун бооцоо тутамд тоглогч дунджаар 2.7 рубль алддаг.

Жишээ 5. Шийдэл: математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор:

Хэсэг сольж, хялбаршуулъя:

Тиймээс:

Шалгацгаая:

, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Хариулт :

(Үндсэн хуудас руу очих)

Хулгайн хуулбаргүй өндөр чанартай бүтээлүүд - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг том үсгээр тэмдэглэнэ латин үсгээр: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байж болно. салангидТэгээд тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн- энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэгүүд,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц).

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.

$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгууд, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$ магадлалыг зааж өгнө. Эдгээр утгуудад тохирохыг зааж өгсөн болно.

$\эхлэх
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \цэгүүд & p_n \\
\hline
\end$

Жишээ 2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ авч болно дараах утгууд$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\эхлэх
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Сэтгэгдэл. $X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульд $1,\ 2,\ \цэг,\ 6$ үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой. $\сум

2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалын эдгээр утгуудад харгалзах байдлаар тооцно. : $M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр ^n_ доллар. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

1. $M\left(X\right)$ нь хамгийн жижиг ба хоёрын хооронд байрлана хамгийн өндөр үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$.
2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . Математикийг олъё$2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт.

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=11$.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёрт оюутны бүлгүүд GPAмагадлалын онолын шалгалтын хувьд 4-тэй тэнцсэн боловч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатай оюутнууд гарч ирэв. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс$X$ нь дараахтай тэнцүү:

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ зөрүүг $D\left(X\right)=\sum^n_ томьёог ашиглан тооцдог. —^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
3. Тогтмол хүчин зүйл нь квадрат хэлбэртэй байх тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$-аас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\ зүүн(x\баруун )=P\зүүн(X 6$, дараа нь $F\зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X=1\баруун)+P\зүүн(X=2\баруун)+P\ зүүн(X=3 \баруун)+P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

$F\left(x\right)$ түгээлтийн функцийн график:

Түгээлтийн үндсэн хуулиуд

1. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль.

Хоёр тоот тархалтын хууль нь А үйл явдал n-д m удаа тохиолдох магадлалыг тодорхойлдог бие даасан туршилтууд, туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол байх нөхцөлд.

Жишээлбэл, гэр ахуйн цахилгаан барааны дэлгүүрийн борлуулалтын хэлтэс нь 10 дуудлагаас дунджаар нэг зурагт худалдан авах захиалга авдаг. m телевизор худалдан авах магадлалын хуваарилалтын хуулийг гарга. Магадлалын тархалтын олон өнцөгтийг байгуул.

Хүснэгтэнд m - зурагт худалдан авахаар компаниас авсан захиалгын тоо. C n m нь n-ээр m телевизоруудын хослолын тоо, p нь А үйл явдал тохиолдох магадлал, i.e. ТВ захиалах, q нь А үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал, өөрөөр хэлбэл. зурагт захиалахгүй, P m,n нь n-ээс m телевизор захиалах магадлал юм. Зураг 1-д магадлалын тархалтын олон өнцөгтийг харуулав.

2.Геометрийн тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний геометрийн тархалт дараах хэлбэртэй байна.

P m нь туршилтын дугаар m-д А үйл явдал тохиолдох магадлал юм.
p нь нэг туршилтанд тохиолдох А үйл явдлын магадлал.
q = 1 - х

Жишээ. Гэр ахуйн цахилгаан хэрэгсэл засварын компани угаалгын машинд зориулж 10 ширхэг сэлбэг хүлээн авлаа. Багцын 1 блок гэмтэлтэй болох тохиолдол байдаг. Гэмтэлтэй нэгж илрэх хүртэл шалгалт хийдэг. Баталгаажсан блокуудын тоог хуваарилах хууль гаргах шаардлагатай байна. Блок гэмтэлтэй байх магадлал 0.1 байна. Магадлалын тархалтын олон өнцөгтийг байгуул.

Хүснэгтээс харахад m тоо нэмэгдэх тусам гэмтэлтэй блок илрэх магадлал буурдаг. Сүүлийн мөрөнд (m=10) хоёр магадлалыг нэгтгэсэн: 1 - арав дахь блок нь алдаатай болсон - 0.038742049, 2 - шалгагдсан бүх блокууд ажиллаж байсан - 0.34867844. Нэгж гэмтэлтэй байх магадлал харьцангуй бага (p = 0.1) тул магадлал сүүлчийн үйл явдал P m (10 блок туршсан) харьцангуй өндөр байна. Зураг 2.

3. Гипергеометрийн тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний гипергеометрийн тархалт дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, 49 тооноос таамагласан 7 тоог хуваарилах хуулийг гарга энэ жишээнднийт тоо N=49, n=7 тоо хасагдсан, M - байгаа нийт тоо өмч өгсөн, өөрөөр хэлбэл зөв таасан тоонуудын m нь татан авсан тоонуудын дунд зөв таасан тоонуудын тоо юм.

Хүснэгтээс харахад нэг тоог m=1 гэж таамаглах магадлал m=0-тэй харьцуулахад өндөр байна. Гэсэн хэдий ч, дараа нь магадлал хурдацтай буурч эхэлдэг. Тиймээс 4 тоог таамаглах магадлал аль хэдийн 0.005-аас бага, 5 нь маш бага байна.

4.Пуассоны тархалтын хууль.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хууль нь дараах хэлбэртэй байвал Пуассоны тархалттай байна.

Np = const
n нь хязгааргүй хандлагатай тестийн тоо юм
p нь тэг болох хандлагатай үйл явдал тохиолдох магадлал юм
m нь А үйл явдлын тохиолдлын тоо юм

Тухайлбал, телевизор борлуулдаг компанид өдөрт дунджаар 100 орчим дуудлага ирдэг. Телевизийн А брэндийг захиалах магадлал 0.08; B - 0.06 ба C - 0.04. Зурагт худалдан авах захиалга тараах хууль гарга А, В зэрэгба C. Магадлалын тархалтын олон өнцөгтийг байгуул.

Бидэнд байгаа нөхцөлөөс: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)

(хүснэгтийг бүрэн эхээр нь өгөөгүй)

Хэрэв n нь хязгааргүйд хүрэх хангалттай том бөгөөд p-ийн утга тэг болж байвал np үржвэр нь тэг болно. тогтмол тоо, Тэр энэ хуульнь бином тархалтын хуулийн ойролцоо утгатай байна. Графикаас харахад энэ нь тодорхой байна илүү магадлалтай p, муруй нь m тэнхлэгт ойртох тусам, i.e. илүү хавтгай. (Зураг 4)

Хоёр гишүүний, геометрийн, гипергеометрийн болон Пуассоны тархалт нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг илэрхийлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

5.Нэгдмэл хуваарилалтын хууль.

Хэрэв магадлалын нягт?(x) нь тодорхой интервал дахь тогтмол утга байвал тархалтын хуулийг жигд гэнэ. Зураг 5-д магадлалын тархалтын функц ба магадлалын нягтын графикуудыг үзүүлэв нэгдсэн хуульхуваарилалт.

6.Хэвийн тархалтын хууль (Гаусын хууль).

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудын дунд хамгийн түгээмэл нь байдаг ердийн хуульхуваарилалт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэвийн тархалтын хуулийн дагуу хуваарилна, хэрэв магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана
a нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт юм
? - дундаж стандарт хазайлт

Хэвийн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын график нь x=a шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл x нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Тиймээс хэрэв x=a бол муруй хамгийн их утгатай байна:

Математикийн хүлээлтийн утга өөрчлөгдөхөд муруй нь Ox тэнхлэгийн дагуу шилжинэ. Графикаас (зураг 6) x=3 үед муруй хамгийн их утгатай болохыг харуулж байна, учир нь математикийн хүлээлт нь 3. Хэрэв математикийн хүлээлт өөр утгыг авбал жишээ нь a=6 бол муруй х=6 үед хамгийн их утгатай болно. Графикаас харахад стандарт хазайлтын тухай ярихад стандарт хазайлт их байх тусам бага байна. хамгийн их утгасанамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний (-?, x) интервал дахь тархалтыг илэрхийлдэг функцийг хэвийн тархалтын хуультай бол дараах томъёогоор Лаплас функцээр илэрхийлнэ.

Тэдгээр. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: х нь хасах хязгаараас а хүртэлх утгыг 0.5-тай тэнцүү, хоёр дахь хэсэг нь а-аас х хүртэлх утгыг авах магадлал. (Зураг 7)

Хамтдаа сурцгаая

Оюутны хэрэгцээт материал, диплом, курсын ажил захиалах

Хичээл: Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульболомжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын хамаарал гэж нэрлэдэг. Үүнийг хүснэгт, график, аналитик байдлаар тодорхойлж болно.

Энэ хичээлээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж юу болох талаар ярилцах болно.

Тодорхойлох хүснэгтийн аргын хувьд хүснэгтийн эхний мөрөнд боломжит утгууд, хоёрдугаарт тэдгээрийн магадлал, өөрөөр хэлбэл

Энэ хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн цуваа гэж нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

X=x1, X=x2, X=xn нь бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг, учир нь нэг туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн нэг боломжит утгыг авна. Тиймээс тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл p1 + p2 + pn = 1 эсвэл

Хэрэв X-ийн утгуудын багц хязгааргүй бол Жишээ 1. Бэлэн мөнгөний сугалаанд 100 ширхэг тасалбар олгосон байна. 1000 рублийн нэг хожил, 100 рублийн 10 хожлыг сугалаа. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол - нэг сугалааны тасалбар эзэмшигчийн боломжит хожлын өртөг.

Шаардлагатай хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.

Хяналт; 0.01+0.1+0.89=1.
At графикаархуваарилах хуулийг тогтоох координатын хавтгайцэгүүдийг (Xi: Pi) байгуулж, дараа нь тэдгээрийг шулуун сегментүүдээр холбоно. Хүлээн авсан эвдэрсэн шугамдуудсан түгээлтийн полигон.Жишээ нь 1, тархалтын олон өнцөгтийг Зураг 1-т үзүүлэв.

At аналитик аргатархалтын хуулийн хуваарилалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалыг түүний боломжит утгатай холбосон томьёог заана.

Дискрет хуваарилалтын жишээ

Бином тархалт

А тохиолдол бүрт тохиолдох n туршилтыг хийцгээе тогтмол магадлал p, тиймээс тогтмол магадлалтайгаар тохиолддоггүй q = 1- х. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X-эдгээр n туршилтанд А үйл явдлын тохиолдлын тоо. X-ийн боломжит утгууд нь x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n байна. Эдгээрийн боломжит магадлал

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг Windows XP Word 2003 Excel 2003 гэж нэрлэдэг Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын хоорондын холбоог тогтоодог аливаа харилцаа юм. болон […]

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч дуудсан хувьсах хэмжигдэхүүн, тухайн тохиолдлоос хамааран нэг буюу өөр утгыг авч болно. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Энэ нь тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглан түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хамгийн их тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай чухал шинж чанаруудхуваарилалтын хууль. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно.

Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. :

• Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
  M(X)=Σ x i p i
• Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2 эсвэл. X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
  Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ
• Стандарт хазайлт (стандарт хазайлт) σ(X)=√D(X).

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Даалгавар 1.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Даалгавар 3.

Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ.

Шийдэл. 1. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 =0 (төхөөрөмжийн аль ч элемент амжилтгүй болсон), x 2 =1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 =2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон). Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернулли томъёо
. n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу бид дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;

Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1. Тиймээс хүссэнбином хууль

Бид х i-ийн боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, харгалзах магадлалыг p i ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

3. F(x) = Р(Х) тархалтын функцийг олъё

F(x) функцын график

4. X бином тархалтын хувьд:
- математикийн хүлээлт M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

"Санамсаргүй хувьсагч" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Даалгавар 1 . Сугалаанд зориулж 100 ширхэг тасалбар гаргасан байна. 50 ам.долларын нэг хонжвор сугаллаа. тус бүр 10 ам.долларын арван хожил. X утгын хуваарилалтын хуулийг ол - боломжит хожлын өртөг.

Шийдэл. X-ийн боломжит утгууд: x 1 = 0; x 2 = 10 ба x 3 = 50. 89 “хоосон” тасалбар байгаа тул х 1 = 0.89, 10 доллар хожих магадлал. (10 тасалбар) - х 2 = 0.10 ба 50 ам.доллар хожих -х 3 = 0.01. Тиймээс:

Хянахад хялбар: .

Даалгавар 2. Худалдан авагч бүтээгдэхүүний сурталчилгааг урьдчилан уншсан байх магадлал 0.6 (p=0.6). Зар сурталчилгааны чанарыг сонгон хянах нь зар сурталчилгааг урьдчилан судалж үзсэн анхны худалдан авагчдын өмнө санал асуулга явуулах замаар хийгддэг. Судалгаанд хамрагдсан худалдан авагчдын тоог хуваарилах цувралыг гарга.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу p = 0.6. Эхнээс: q=1 -p = 0.4. Эдгээр утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.түгээлтийн цувралыг байгуулна:

Даалгавар 3. Компьютер нь системийн нэгж, дэлгэц, гар гэсэн гурван бие даасан элементээс бүрдэнэ. Хүчдэл нэг удаа огцом нэмэгдэхэд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал 0.1 байна. Бернуллигийн хуваарилалт дээр үндэслэн сүлжээнд хүчдэлийн өсөлтийн үед бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Ингээд авч үзье Бернуллигийн тархалт(эсвэл бином): магадлал n тестүүд, А үйл явдал яг харагдах болнок нэг удаа: , эсвэл:

IN Даалгавар руугаа буцаж орцгооё.

X-ийн боломжит утгууд (алдааны тоо):

x 0 =0 – аль ч элемент амжилтгүй болсон;

x 1 =1 – нэг элементийн эвдрэл;

x 2 =2 – хоёр элементийн эвдрэл;

x 3 =3 – бүх элементийн эвдрэл.

Нөхцөлөөр p = 0.1, тэгвэл q = 1 – p = 0.9. Бернуллигийн томъёог ашиглан бид олж авна

, ,

, .

Хяналт:.

Тиймээс шаардлагатай хуваарилалтын хууль:

Асуудал 4. 5000 дугуй үйлдвэрлэсэн. Нэг хайрцаг гэмтэлтэй байх магадлал . Бүх багцад яг 3 ширхэг гэмтэлтэй хайрцаг байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэглэх боломжтой Пуассоны тархалт: Энэ тархалт нь маш их байх магадлалыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг

А үйл явдлын магадлал маш бага байдаг туршилтын тоо (масс туршилт), А үйл явдал k удаа тохиолдох болно. , Хаана.

Энд n = 5000, p = 0.0002, k = 3. , дараа нь хүссэн магадлалыг олно: .

Асуудал 5. Онох магадлал бүхий эхний цохилт хүртэл буудах үед p = 0.6 буудах үед та гурав дахь суманд цохилт өгөх магадлалыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Геометрийн тархалтыг хэрэглэцгээе: бие даасан туршилтуудыг явуулъя, тус бүр нь А үйл явдал p тохиолдох магадлал (мөн тохиолдохгүй байх q = 1 - p) байна. А үйл явдал тохиолдсон даруйд шалгалт дуусна.

Ийм нөхцөлд k-р туршилт дээр А үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно. Энд p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. Иймд .

Асуудал 6. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар өгье.

Математикийн хүлээлтийг ол.

Шийдэл. .

Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэдгийг анхаарна уу.

Асуудал 7. Дараах тархалтын хуулиар санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дисперсийг ол.

Шийдэл. Энд .

X-ийн квадрат утгын тархалтын хууль 2 :

Шаардлагатай хэлбэлзэл: .

Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх (тархалт) хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог.

Асуудал 8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтаар өгье.

Түүний тоон шинж чанарыг ол.

Шийдэл: м, м 2 ,

М 2 , м.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний талаар бид аль нэгийг хэлж болно: түүний математик хүлээлт нь 6.4 м, 13.04 м-ийн хэлбэлзэлтэй байна. 2 , эсвэл – түүний математикийн хүлээлт нь m-ийн хазайлттай 6.4 м юм. Хоёр дахь томьёо нь илүү тодорхой байна.

Даалгавар 9. Санамсаргүй хувьсагч X түгээлтийн функцээр өгөгдсөн:
.

Туршилтын үр дүнд X утга нь интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол .

Шийдэл. Өгөгдсөн интервалаас X утгыг авах магадлал нь энэ интервал дахь интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. . Манай тохиолдолд, тиймээс

.

Даалгавар 10. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X түгээлтийн хуулиар өгөгдсөн:

Түгээлтийн функцийг ол F(x ) ба үүнийг зур.

Шийдэл. Түгээлтийн функцээс хойш,

Учир нь , Тэр

үед;

үед;

үед;

үед;

Холбогдох график:

Асуудал 11.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X дифференциал тархалтын функцээр өгөгдсөн: .

Онох магадлалыг олинтервал тутамд X

Шийдэл. Энэ нь экспоненциал тархалтын хуулийн онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу.

Томьёог ашиглая: .

Даалгавар 12. Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тоон шинж чанарыг ол:

ТАРХАЛТ, ОНЦЛОГИЙН ХУУЛЬ

Санамсаргүй хувьсагчид

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн ангилал, тайлбарлах аргууд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох боловч аль нь урьдчилж мэдэгддэггүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд та зөвхөн утгыг зааж өгөх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь туршилтын үр дүнд авах нь гарцаагүй. Дараа нь бид эдгээр утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд гэж нэрлэх болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын санамсаргүй үр дүнг тоон байдлаар тодорхойлдог тул үүнийг санамсаргүй үйл явдлын тоон шинж чанар гэж үзэж болно.

Санамсаргүй хувьсагчдыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр, жишээлбэл, X..Y..Z, тэдгээрийн боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Гурван төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг:

Салангид; Тасралтгүй; Холимог.

ДискретЭнэ нь боломжит утгуудын тоо нь тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Хариуд нь элементүүдийг дугаарлаж болох олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. "Дискрет" гэдэг үг нь "тасралтгүй, салангид хэсгүүдээс бүрдэх" гэсэн утгатай латин хэлнээс гаралтай.

Жишээ 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь n бүтээгдэхүүний багц дахь гэмтэлтэй X хэсгийн тоо юм. Үнэн хэрэгтээ энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь 0-ээс n хүртэлх бүхэл тоонуудын цуваа юм.

Жишээ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бай руу эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо юм. 1-р жишээн дээрх шиг боломжит утгуудыг дугаарлаж болно, гэхдээ хязгаарлагдмал тохиолдолд боломжит утга нь хязгааргүй их тоо байдаг.

ТасралтгүйЭнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг бөгөөд заримдаа энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний оршин байх интервал гэж нэрлэдэг. Иймээс аливаа хязгаарлагдмал интервал дээр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй их байна.

Жишээ 3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь аж ахуйн нэгжийн сарын цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ юм.

Жишээ 4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өндөр хэмжигч ашиглан өндрийг хэмжихэд гарсан алдаа юм. Өндөр хэмжигчний ажиллах зарчмаас харахад алдаа нь 0-ээс 2 м-ийн хооронд хэлбэлздэг тул энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс 2 м хүртэлх интервал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоон тэнхлэг дээр түүний боломжит утгыг зааж, тархалтын хуулийг тогтоосон тохиолдолд бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн хуулийн дагуу эсвэл өгөгдсөн тархалтын хуулийн дагуу тархсан гэж хэлдэг. Хэд хэдэн магадлал, тархалтын функц, магадлалын нягтрал, шинж чанарын функцийг тархалтын хууль болгон ашигладаг.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн магадлалын тодорхойлолтыг өгдөг. Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд аль нь илүү, аль нь бага гарч ирэхийг туршилтын өмнө шүүж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр, аналитик (томьёоны хэлбэрээр) болон график хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт (матриц) юм.

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг. 1

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x 1, x 2,...x n утгыг авахаас бүрдэх X 1, X 2,..., X n үйл явдлууд юм. Тохиромжгүй, цорын ганц боломжтой (хүснэгт санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан тул), өөрөөр хэлбэл. бүрэн бүлэг бүрдүүлэх. Иймд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Иймээс аливаа дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд

(Энэ нэгж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын хооронд ямар нэгэн байдлаар тархсан байдаг тул "тархалт" гэсэн нэр томъёо).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, тэдгээрийн харгалзах магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурвал тархалтын цувааг графикаар дүрсэлж болно. Олж авсан цэгүүдийн холболт нь магадлалын тархалтын олон өнцөгт эсвэл олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг тасархай шугам үүсгэдэг (Зураг 1).

ЖишээСугалаанд: 5000 денийн үнэтэй машин багтсан. нэгж, 250 денийн үнэтэй 4 зурагт. нэгж, 200 денийн үнэ бүхий 5 видео бичигч. нэгж Нийт 1000 тасалбар 7 хоногийн турш худалдаалагдаж байна. нэгж Нэг тасалбар худалдаж авсан сугалаанд оролцогчийн авсан цэвэр хожлыг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд - нэг тасалбарын цэвэр ялалт нь 0-7 = -7 мөнгөтэй тэнцүү байна. нэгж (хэрэв тасалбар хожоогүй бол), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. нэгж (хэрэв тасалбар нь видеомагнитофон, зурагт эсвэл автомашины хожилтой бол). 1000 тасалбараас хожоогүй хүмүүсийн тоо 990, заасан хожил нь 5, 4, 1 гэдгийг харгалзан магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид олж авна.