Функцийг Фурье интеграл болгон өргөжүүлэх. Фурье интеграл

Аль хэдийн нэлээд уйтгартай байдаг. Мөн онолын стратегийн нөөцөөс шинэ лаазалсан бүтээгдэхүүн гаргаж авах цаг ирсэн гэдгийг би мэдэрч байна. Функцийг өөр аргаар цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой юу? Жишээлбэл, шулуун шугамын сегментийг синус ба косинусаар илэрхийлнэ үү? Энэ нь гайхалтай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ ийм хол мэт санагдах функцууд байж болно
"дахин нэгдэх". Онол, практикийн сайн мэддэг зэрэглэлээс гадна функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх өөр аргууд байдаг.

Асаалттай энэ хичээлБид Фурье тригонометрийн цувралтай танилцаж, түүний нийлбэр ба нийлбэрийн асуудлыг хөндөж, мэдээжийн хэрэг Фурье цуврал дахь функцуудыг өргөжүүлэх олон жишээг шинжлэх болно. Би нийтлэлийг "Даммигийн Фурье цуврал" гэж нэрлэхийг чин сэтгэлээсээ хүссэн боловч асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд математикийн шинжилгээний бусад салбаруудын мэдлэг, зарим практик туршлага шаардагддаг тул энэ нь шударга бус байх болно. Тиймээс оршил нь сансрын нисгэгчдийн сургалттай төстэй байх болно =)

Нэгдүгээрт, та хуудасны материалыг судлахад маш сайн хэлбэрээр хандах хэрэгтэй. Нойрмог, амарч, сэрүүн. Үгүй хүчтэй сэтгэл хөдлөлэвдэрсэн шишүүхэйний сарвууны тухай болон хийсвэр бодоламьдралын хүнд хэцүү байдлын тухай аквариумын загас. Гэхдээ Фурье цувралыг ойлгоход хэцүү биш юм практик даалгавартэд зүгээр л шаарддаг төвлөрөл нэмэгдсэнАнхаарал - хамгийн тохиромжтой нь та гадны өдөөлтөөс өөрийгөө бүрэн салгах хэрэгтэй. Асуудлыг шалгаад хариулах амаргүй байгаа нь нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлж байна. Тиймээс, хэрэв таны эрүүл мэнд дунджаас доогуур байвал илүү энгийн зүйл хийх нь дээр. Энэ үнэн үү.

Хоёрдугаарт, сансарт нисэхээсээ өмнө багажийн самбарыг судлах хэрэгтэй сансрын хөлөг. Машин дээр дарах ёстой функцүүдийн утгуудаас эхэлье.

Дурын хувьд байгалийн үнэ цэнэ :

1) . Үнэхээр синусоид нь x тэнхлэгийг "pi" бүрээр "оёдог":
. Хэзээ сөрөг утгуудмаргаан, үр дүн нь мэдээж ижил байх болно: .

2) . Гэхдээ хүн бүр үүнийг мэддэггүй байсан. Косинус "пи" нь "анивчдаг"-тай тэнцүү байна:

Сөрөг аргумент нь асуудлыг өөрчлөхгүй: .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх.

Гуравдугаарт, эрхэм сансрын нисгэгчдийн корпус, та чадвартай байх ёстой ... нэгтгэх.
Ялангуяа итгэлтэйгээр функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруул, хэсэгчлэн нэгтгэхмөн түүнтэй эвтэй байх Ньютон-Лейбницийн томъёо. Нислэгийн өмнөх чухал дасгалуудыг эхлүүлцгээе. Дараа нь жингүйдэхгүйн тулд би үүнийг алгасахыг зөвлөдөггүй.

Жишээ 1

Тодорхой интегралыг тооцоолох

байгалийн үнэт зүйлсийг хаана авдаг.

Шийдэл: интегралчлалыг “x” хувьсагч дээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ үе шатанд “en” дискрет хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Бүх интегралд функцийг дифференциал тэмдгийн доор тавина:

Зорилтот нь сайн байх шийдлийн богино хувилбар нь дараах байдалтай байна.

Үүнд дасцгаая:

Үлдсэн дөрвөн оноо нь өөрөө юм. Даалгавардаа ухамсартайгаар хандаж, интегралуудыг богино хэлбэрээр бичихийг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

ЧАНАРТАЙ дасгалуудыг хийсний дараа бид скафандр өмсдөг
мөн эхлэхэд бэлдэж байна!

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх

Зарим функцийг авч үзье тодорхойлсоннаад зах нь тодорхой хугацаанд (болон магадгүй илүү урт хугацаанд). Хэрэв энэ функц интервал дээр интегралдах боломжтой бол үүнийг тригонометр болгон өргөжүүлж болно Фурье цуврал:
, гэж нэрлэгддэг зүйл хаана байна Фурье коэффициентүүд.

Энэ тохиолдолд дугаарыг дуудна задралын хугацаа, мөн тоо нь байна задралын хагас задралын хугацаа.

-д байгаа нь илт байна ерөнхий тохиолдолФурье цуврал нь синус ба косинусуудаас бүрдэнэ.

Үнэнийг хэлэхэд, үүнийг нарийвчлан бичье:

Цувралын тэг гишүүнийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг.

Фурье коэффициентийг ашиглан тооцоолно дараах томъёонууд:

Энэ сэдвийг судалж эхэлсэн хүмүүс шинэ нэр томъёоны талаар тодорхойгүй хэвээр байгааг би маш сайн ойлгож байна. задралын хугацаа, хагас мөчлөг, Фурье коэффициентүүдгэх мэт. Бүү сандар, энэ нь гадагш гарахын өмнөх сэтгэл хөдлөлтэй зүйрлэшгүй зүйл юм нээлттэй орон зай. Дараах жишээн дээр бүгдийг нь олж харцгаая, хэрэгжүүлэхээсээ өмнө зарим чухал асуултуудыг асуух нь логик юм. практик асуудлууд:

Дараах ажлуудад юу хийх хэрэгтэй вэ?

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Нэмж дурдахад функцийн график, цувралын нийлбэрийн графикийг дүрслэх шаардлагатай байдаг. хэсэгчилсэн дүнмөн боловсронгуй профессорын уран зөгнөлийн хувьд өөр зүйл хий.

Функцийг Фурье цуврал болгон хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

Үндсэндээ та олох хэрэгтэй Фурье коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл гурвыг зохиож, тооцоолно тодорхой интеграл.

Фурье цувралын ерөнхий хэлбэр болон ажлын гурван томьёог дэвтэртээ хуулж авна уу. Зарим сайтын зочдод сансрын нисгэгч болох хүүхэд насны мөрөөдлөө миний нүдний өмнө биелж байгаад маш их баяртай байна =)

Жишээ 2

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүл. График, цувааны нийлбэр ба хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг байгуул.

Шийдэл: Даалгаврын эхний хэсэг нь функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх явдал юм.

Эхлэл нь стандарт тул дараах зүйлийг бичихээ мартуузай.

Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм.

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Ашиглаж байна харгалзах томъёонууд, олъё Фурье коэффициентүүд. Одоо бид гурвыг зохиож, тооцоолох хэрэгтэй тодорхой интеграл. Тохиромжтой болгох үүднээс би оноог дугаарлах болно:

1) Эхний интеграл нь хамгийн энгийн боловч нүдний алимыг шаарддаг.

2) Хоёрдахь томъёог ашиглана уу:

Энэ интеграл нь сайн мэддэг бөгөөд тэр үүнийг хэсэг хэсгээр нь авдаг:

Олдсон үед ашигласан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга.

Харж байгаа ажилд нэн даруй ашиглах нь илүү тохиромжтой тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо :

Хэд хэдэн техникийн тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, томъёог хэрэглэсний дараа илэрхийлэл бүхэлдээ том хаалтанд байх ёстой, анхны интегралын өмнө тогтмол байдаг тул. Түүнийг алдахгүй байцгаая! Цаашид ямар ч алхам хийхдээ хашилтыг өргөжүүлж болно. Эхний "хэсэгт" Таны харж байгаагаар бид орлуулалтад маш их анхаарал хандуулдаг, тогтмолыг ашигладаггүй, интеграцийн хязгаарыг бүтээгдэхүүнд орлуулдаг. Энэ үйлдэлдөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэсэн. За, та сургалтын даалгавраас томьёоны хоёр дахь "хэсэг" -ийн интегралыг мэддэг;-)

Мөн хамгийн чухал зүйл бол - төвлөрлийг хязгаарлаханхаарал!

3) Бид гурав дахь Фурье коэффициентийг хайж байна.

Өмнөх интегралын харьцангуйг олж авсан бөгөөд энэ нь мөн хэсэгчлэн нэгтгэдэг:

Энэ жишээ нь арай илүү төвөгтэй тул би цаашдын алхмуудыг алхам алхмаар тайлбарлах болно:

(1) Илэрхийлэл нь том хаалтанд бүрэн хаагдсан байна. Би уйтгартай мэт санагдахыг хүсээгүй, тэд байнга тогтмол байдлаа алддаг.

(2) В энэ тохиолдолдБи тэр даруй том хаалтуудыг нээлээ. Онцгой анхаарал Бид өөрсдийгөө эхний "хэсэг" -д зориулдаг: байнгын тамхи татдаг бөгөөд бүтээгдэхүүнд нэгтгэх (ба) хязгаарыг орлуулахад оролцдоггүй. Бичлэг эмх замбараагүй байгаа тул энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтаар дахин тодруулахыг зөвлөж байна. Хоёр дахь "хэсэг" -ээр Бүх зүйл илүү энгийн: энд том хаалт нээсний дараа бутархай гарч ирсэн ба тогтмол нь танил интегралыг нэгтгэсний үр дүнд гарч ирэв;-)

(3) Бид хувиргалтыг дөрвөлжин хаалтанд хийж, баруун интегралд интегралын хязгаарыг орлуулна.

(4) "Анивчих гэрлийг"-ээс гарга дөрвөлжин хаалт: , үүний дараа бид дотоод хаалтуудыг нээнэ: .

(5) Бид хаалтанд байгаа 1 ба –1-ийг цуцалж, эцсийн хялбаршуулалтыг хийдэг.

Эцэст нь бүх гурван Фурье коэффициент олддог.

Тэдгээрийг томъёонд орлуулж үзье :

Үүний зэрэгцээ хагасыг нь хувахаа бүү мартаарай. Сүүлийн шатанд "en"-ээс үл хамаарах тогтмолыг ("хасах хоёр") нийлбэрээс гадуур авна.

Тиймээс бид функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэв.

Фурье цувралын нийлмэл байдлын асуудлыг судалж үзье. Би онолыг ялангуяа тайлбарлах болно Дирихлетийн теорем, шууд утгаараа "хуруунд" гэсэн утгатай тул хэрэв танд хатуу найрлага хэрэгтэй бол дээрх сурах бичгийг үзнэ үү. математик шинжилгээ (жишээ нь, Боханы 2-р боть эсвэл Фихтенхольцын 3-р боть, гэхдээ энэ нь илүү хэцүү).

Асуудлын хоёр дахь хэсэгт график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийн график зурах шаардлагатай.

Функцийн график нь ердийнх юм хавтгай дээрх шулуун шугам, хар тасархай шугамаар зурсан:

Цувралын нийлбэрийг олж мэдье. Чиний мэдэж байгаачлан, функциональ цувралфункцүүдэд нийлэх. Манай тохиолдолд баригдсан Фурье цуврал "x"-ийн дурын утгын хувьднь улаанаар харуулсан функцэд нийлэх болно. Энэ функцтэсвэрлэдэг 1-р төрлийн хагаралцэгүүд, гэхдээ тэдгээрт бас тодорхойлогддог (зураг дээрх улаан цэгүүд)

Тиймээс: . Энэ нь анхны функцээс мэдэгдэхүйц ялгаатай болохыг хялбархан харж болно, ийм учраас оруулгад оруулсан болно Тэнцүү гэсэн тэмдгээр биш харин tilde ашигладаг.

Цувралын нийлбэрийг бүтээхэд тохиромжтой алгоритмыг судалцгаая.

Төвийн интервал дээр Фурье цуврал нь функцтэй нийлдэг (төв улаан сегмент нь шугаман функцийн хар тасархай шугамтай давхцдаг).

Одоо авч үзэж буй тригонометрийн тэлэлтийн мөн чанарын талаар бага зэрэг яръя. Фурье цуврал зөвхөн үечилсэн функцууд (тогтмол, синус, косинус) багтсан тул цувралын нийлбэр мөн төлөөлдөг үечилсэн функц .

Энэ нь манайд юу гэсэн үг вэ тодорхой жишээ? Мөн энэ нь цувралын нийлбэр гэсэн үг юм –мэдээж үе үемөн интервалын улаан сегмент нь зүүн, баруун талд эцэс төгсгөлгүй давтагдах ёстой.

"Задаргааны үе" гэсэн хэллэгийн утга одоо эцэст нь тодорхой болсон гэж би бодож байна. Энгийнээр хэлэхэд нөхцөл байдал дахин дахин давтагдах бүртээ.

Практикт зураг дээр үзүүлсэн шиг задралын гурван үеийг дүрслэх нь ихэвчлэн хангалттай байдаг. За, мөн хөрш зэргэлдээ үеийн "хожуул" - ингэснээр график үргэлжлэх нь тодорхой байна.

Тусгай сонирхолодоо байгаа 1-р төрлийн тасалдалтын цэгүүд. Ийм цэгүүдэд Фурье цуврал нь тусгаарлагдсан утгууд руу нийлдэг бөгөөд тэдгээр нь тасалдал (зураг дээрх улаан цэгүүд) "үсрэлт" -ийн яг дунд байрладаг. Эдгээр цэгүүдийн ординатыг хэрхэн олох вэ? Эхлээд "дээд давхрын" ординатыг олъё: үүнийг хийхийн тулд бид хамгийн баруун цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно. төв үезадрал: . "Доод давхрын" ординатыг тооцоолохын тулд ижил хугацааны хамгийн зүүн талын утгыг авах нь хамгийн хялбар арга юм. . Дундаж ординат нь дундаж юм арифметик нийлбэр"дээд ба доод": . Тааламжтай баримт бол зураг зурахдаа дундыг зөв эсвэл буруу тооцоолсон эсэхийг шууд харах болно.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг бүтээж, нэгэн зэрэг "нийцэх" гэсэн нэр томъёоны утгыг давтъя. Сэдвийг мөн тухай хичээлээс мэддэг тооны цувралын нийлбэр. Бид баялгаа дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хэсэгчилсэн нийлбэр гаргахын тулд та тэг + цувралын өөр хоёр гишүүнийг бичих хэрэгтэй. Тэр бол,

Зураг нь функцийн графикийг харуулж байна ногоон, мөн таны харж байгаагаар энэ нь бүрэн хэмжээгээр "боодог". Хэрэв бид цувралын таван гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзвэл, энэ функцийн график нь улаан шугамыг илүү нарийвчлалтай харуулах болно, хэрэв нэг зуун гишүүн байвал "ногоон могой" нь улаан сегментүүдтэй бүрэн нийлнэ; гэх мэт. Ийнхүү Фурье цуваа нийлбэртээ нийлдэг.

Ямар ч хэсэгчилсэн дүн гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм тасралтгүй функцГэсэн хэдий ч цувралын нийт нийлбэр тасархай хэвээр байна.

Практикт хэсэгчилсэн нийлбэрийн график байгуулах нь тийм ч ховор биш юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Манай тохиолдолд сегмент дээрх функцийг авч үзэх, сегментийн төгсгөл ба завсрын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолох шаардлагатай (илүү олон оноо авч үзэх тусам график илүү нарийвчлалтай байх болно). Дараа нь та эдгээр цэгүүдийг зурган дээр тэмдэглэж, тухайн үеийн графикийг сайтар зурж, дараа нь зэргэлдээх интервалд "хуулбарлах" хэрэгтэй. Өөр яаж? Эцсийн эцэст ойртох нь бас үечилсэн функц юм ... ... түүний график зарим талаараа эмнэлгийн төхөөрөмжийн дэлгэц дээрх зүрхний жигд хэмнэлийг санагдуулдаг.

Барилга угсралтын ажлыг гүйцэтгэх нь мэдээжийн хэрэг тийм ч тохиромжтой биш юм, учир нь та хагас миллиметрээс багагүй нарийвчлалыг хадгалахын тулд маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч би зураг зурахад тохиромжгүй уншигчдад таалагдах болно - "бодит" асуудалд зураг зурах нь үргэлж шаардлагатай байдаггүй, ойролцоогоор 50% -д функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг .

Зургийг дуусгасны дараа бид даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Хариулт:

Олон үүрэг даалгаврын хувьд функц нь зовдог 1-р төрлийн хагаралзадралын үед зөв:

Жишээ 3

Интервал дээр өгөгдсөн функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Функцийн график болон цувралын нийт нийлбэрийг зур.

Санал болгож буй функцийг хэсэгчилсэн байдлаар тодорхойлсон (зөвхөн сегмент дээр анхаарна уу)мөн тэсвэрлэдэг 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Фурье коэффициентийг тооцоолох боломжтой юу? Асуудалгүй. Функцийн зүүн ба баруун тал хоёулаа интервалаараа интегралдах боломжтой тул гурван томьёо тус бүрийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Жишээлбэл, тэг коэффициентийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Хоёр дахь интеграл нь болж хувирав тэгтэй тэнцүү, энэ нь ажлыг багасгасан боловч энэ нь үргэлж тийм биш юм.

Бусад хоёр Фурье коэффициентийг ижил төстэй байдлаар тайлбарлав.

Цувралын нийлбэрийг хэрхэн харуулах вэ? Зүүн талын интервал дээр бид шулуун шугамын сегментийг зурж, интервал дээр - шулуун шугамын сегментийг зурдаг (бид тэнхлэгийн хэсгийг тод, тодоор тодруулдаг). Өөрөөр хэлбэл, өргөтгөлийн интервал дээр цувралын нийлбэр нь гурван "муу" цэгээс бусад бүх функцтэй давхцдаг. Функцийн тасалдлын цэг дээр Фурье цуваа нь тасархайн "үсрэлт"-ийн яг голд байрлах тусгаарлагдсан утгад нийлнэ. Үүнийг амаар харахад хэцүү биш: зүүн талын хязгаар: , баруун талын хязгаар: мөн дунд цэгийн ординат нь 0.5 байх нь ойлгомжтой.

Нийлбэрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан зургийг хөрш зэргэлдээ үеүүдэд "үржүүлэх" ёстой, тухайлбал, ижил зүйлийг интервал болон . Үүний зэрэгцээ Фурье цуваа цэгүүдэд дундаж утгууд руу нийлнэ.

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга.

Энэ даалгаврыг өөрөө даван туулахыг хичээ. Ойролцоогоор дээжХичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайн, зураг зурах.

Функцийг дурын хугацаанд Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх

"el" нь дурын задралын хугацаанд эерэг тоо, Фурье цувралын томъёо ба Фурье коэффициентүүд нь синус ба косинусын хувьд бага зэрэг төвөгтэй аргументаар ялгаатай:

Хэрэв бол бид эхлүүлсэн интервалын томъёог авна.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм, зарчмууд бүрэн хадгалагдан үлдсэн боловч тооцооллын техникийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг.

Жишээ 4

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, нийлбэрийг зур.

Шийдэл: үнэндээ жишээ No3-ын аналог 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. Функц нь зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогддог боловч энэ нь асуудлыг өөрчлөхгүй - функцийн хоёр хэсэг хоёулаа нэгдмэл байх нь чухал юм.

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Функц нь эхэнд тасархай тул Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр бичих нь ойлгомжтой.

1) Би эхний интегралыг аль болох нарийвчлан бичих болно.

2) Бид сарны гадаргууг анхааралтай ажиглаж байна:

Хоёр дахь интеграл хэсэг хэсгээр нь ав:

Юу хайх вэ анхааралтай ажигла, бид одоор шийдлийн үргэлжлэлийг нээж дараа?

Нэгдүгээрт, бид эхний интегралыг алдахгүй , бид нэн даруй гүйцэтгэх газар дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх. Хоёрдугаарт, том хаалт болон өмнө нь муу хувь заяаны тогтмолыг мартаж болохгүй шинж тэмдгүүдэд бүү андуураарайтомъёог ашиглах үед . Том хаалт нь дараагийн алхамд нэн даруй нээхэд илүү тохиромжтой хэвээр байна.

Үлдсэн хэсэг нь техникийн асуудал бөгөөд зөвхөн интегралыг шийдвэрлэх туршлага хангалтгүйгээс л үүсдэг.

Тиймээ, алдартай хамтрагчид дэмий хоосон биш юм Францын математикчФурье ууртай байв - тэр яаж үйл ажиллагаа зохион байгуулж зүрхлэв тригонометрийн цуврал?! =) Дашрамд хэлэхэд, хүн бүр тухайн ажлын практик утгыг сонирхож байгаа байх. Фурье өөрөө ажилласан математик загвардулаан дамжилтын илтгэлцүүр, улмаар түүний нэрэмжит цувралыг хүрээлэн буй ертөнцөд харагдахуйц, үл үзэгдэх олон үечилсэн үйл явцыг судлахад ашиглаж эхэлсэн. Одоо, дашрамд хэлэхэд, хоёр дахь жишээний графикийг зүрхний үечилсэн хэмнэлтэй харьцуулсан нь санамсаргүй биш юм гэж өөрийгөө барьж авав. Сонирхсон хүмүүс танилцаж болно практик хэрэглээ Фурье хувиргалтгуравдагч талын эх сурвалжид. ...Хэдийгээр тэгээгүй нь дээр - Анхны хайр гэж дурсагдах болно =)

3) Дахин дурьдсан зүйлийг харгалзан үзэх сул холбоосууд, гурав дахь коэффициентийг харцгаая:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Олдсон Фурье коэффициентийг томъёонд орлуулъя , тэг коэффициентийг хагасаар хувахаа мартаж болохгүй.

Цувралын нийлбэрийг зуръя. Процедурыг товчхон давтан хийцгээе: бид интервал дээр шулуун шугам, интервал дээр шулуун шугам байгуулна. Хэрэв "x" утга тэг байвал бид завсарын "үсрэлтийн" дунд цэг тавьж, зэргэлдээх үеүүдийн графикийг "хуулбарлана".


Үеүүдийн "уулзвар" дээр нийлбэр нь мөн ялгааны "үсрэлтийн" дунд цэгүүдтэй тэнцүү байх болно.

Бэлэн. Функц өөрөө зөвхөн хагас интервал дээр тодорхойлогдсон нөхцлөөр тодорхойлогддог бөгөөд интервал дээрх цувааны нийлбэртэй давхцаж байгааг сануулъя.

Хариулт:

Заримдаа хэсэгчилсэн функцтохиолдож, задралын үед тасралтгүй байдаг. Хамгийн энгийн жишээ: . Шийдэл (Бохан 2-р ботийг үзнэ үү)өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй адил: хэдий ч функцийн тасралтгүй байдалцэг дээр Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Задрах интервал дээр 1-р төрлийн тасалдалтын цэгүүдба/эсвэл графикийн илүү олон "уулзвар" цэгүүд байж болно (хоёр, гурав, ерөнхийдөө аль ч эцсийнтоо хэмжээ). Хэрэв функц нь хэсэг бүр дээр интегралдах боломжтой бол энэ нь Фурье цувралд мөн нэмэгдэх боломжтой. Гэхдээ -аас практик туршлагаБи ийм харгислалыг санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч, саяхан авч үзсэнээс илүү хэцүү даалгаварууд байдаг бөгөөд өгүүллийн төгсгөлд хүн бүрт зориулсан нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх Фурье цувралын холбоосууд байдаг.

Энэ хооронд тайвширч, сандал дээрээ тулан, эцэс төгсгөлгүй зүйлийг тунгаан бодоцгооё одтой орон зай:

Жишээ 5

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, цувааны нийлбэрийг зур.

Энэ асуудалд функц Үргэлжилсэншийдлийг хялбаршуулдаг өргөтгөлийн хагас интервал дээр. Бүх зүйл 2-р жишээтэй маш төстэй. Сансрын хөлгөөс зугтах боломжгүй - та шийдэх хэрэгтэй =) Хичээлийн төгсгөлд дизайны ойролцоо загвар, хуваарийг хавсаргасан болно.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн Фурье цувралын өргөтгөл

Тэгш ба сондгой функцүүдийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц мэдэгдэхүйц хялбаршсан болно. Тийм учраас л. “Хоёр пи” үетэй Фурье цувралын функцийн өргөтгөл рүү буцъя. Тэгээд дурын хугацаа"хоёр эл" .

Бидний функц тэгш байна гэж бодъё. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь таны харж байгаагаар тэгш косинус, сондгой синусыг агуулдаг. Хэрэв бид ТЭГШ функцийг өргөжүүлж байгаа бол яагаад сондгой синусууд хэрэгтэй байна вэ? Шаардлагагүй коэффициентийг дахин тохируулъя: .

Тиймээс, тэгш функцийг Фурье цувралд зөвхөн косинусаар өргөтгөж болно:

Учир нь тэгш функцүүдийн интегралуудТэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интеграцийн сегментийн дагуу хоёр дахин нэмэгдэж, үлдсэн Фурье коэффициентийг хялбаршуулж болно.

Хоорондын хувьд:

Дурын интервалын хувьд:

Математик анализын бараг бүх сурах бичгээс олж болох сурах бичгийн жишээнд тэгш функцүүдийн өргөтгөлүүд багтсан болно. . Нэмж дурдахад тэд миний хувийн практикт хэд хэдэн удаа тулгарч байсан:

Жишээ 6

Функцийг өгсөн. Шаардлагатай:

1) функцийг үетэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх, энд дурын эерэг тоо;

2) тэлэлтийг интервал дээр бичиж, функц байгуулж, цувааны нийт нийлбэрийн графикийг зур.

Шийдэл: эхний догол мөрөнд асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна ерөнхий үзэл, мөн энэ нь маш тохиромжтой! Шаардлагатай бол үнэ цэнээ орлуулаарай.

1) Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. үед цаашдын арга хэмжээ, ялангуяа интеграцийн үед "el" нь тогтмол гэж тооцогддог

Функц нь тэгш бөгөөд энэ нь зөвхөн косинусуудаар Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой гэсэн үг юм: .

Бид томьёо ашиглан Фурье коэффициентийг хайж олдог . Тэдний болзолгүй давуу талуудад анхаарлаа хандуулаарай. Нэгдүгээрт, интеграци нь өргөтгөлийн эерэг сегмент дээр хийгддэг бөгөөд энэ нь бид модулийг аюулгүйгээр арилгана гэсэн үг юм. , хоёр ширхэгийн зөвхөн "X"-ийг авч үзвэл. Хоёрдугаарт, интеграци нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан.

Хоёр:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Тиймээс:
, харин "en"-ээс хамаарахгүй тогтмолыг нийлбэрээс гадуур авдаг.

Хариулт:

2) Үүний тулд интервал дээр өргөтгөлийг бичье ерөнхий томъёоорлуулах хүссэн үнэ цэнэхагас мөчлөг:

Асуудлыг судлах хүчирхэг хэрэгслийн нэг математик физикинтеграл хувиргалтын арга юм. f(x) функцийг (a, 6) төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалд өгье. f(x) функцийн интеграл хувиргалт нь K(x, w) нь өгөгдсөн хувиргалтанд тогтсон функцийг хувиргах цөм гэж нэрлэдэг функц юм (интеграл (*) нь зөв эсвэл үндсэндээ байдаг гэж үздэг. зохисгүй мэдрэмж). §1. Фурье интеграл Фурье цуваа руу тэлэх нөхцөлийг [-f, I] интервалаар хангадаг ямар ч f(x) функцийг энэ интервал дээр тригонометрийн цувралын a* ба 6„ коэффициентээр илэрхийлж болно. 1) Эйлер-Фурье томъёогоор тодорхойлогддог: ФУРЬЕРИЙН ХӨНГӨЛӨЛТ Фурье интеграл. Нарийн төвөгтэй хэлбэринтеграл Фурье хувиргалт Косинус ба синусын хувиргалт Далайц ба фазын спектрүүдПроперти Програмууд Тэгш байдлын (1) баруун талд байгаа цувааг өөр хэлбэрээр бичиж болно. Үүний тулд бид (2) томъёоноос a" ба op коэффициентүүдийн утгыг оруулж, cos ^ x ба sin x интегралуудын тэмдгүүдийн доор оруулна (энэ нь боломжтой, учир нь). интеграцийн хувьсагчнь m) O) ба ялгааны косинусын томъёог ашиглана. Бид /(g) функцийг интервал дээр анх тодорхойлсон бол тооны тэнхлэг, [-1,1] сегментээс том (жишээлбэл, бүхэл тэнхлэг дээр), дараа нь өргөтгөл (3) нь зөвхөн [-1,1] сегмент дээр энэ функцын утгыг хуулбарлаж, бүхэлд нь үргэлжлүүлнэ. тоон тэнхлэгийг 21 үетэй үечилсэн функцээр (Зураг 1). Иймд f(x) функц (ерөнхийдөө үечилсэн бус) бүхэл тооны мөрөнд тодорхойлогдвол (3) томъёонд I +oo-ийн хязгаарт очихыг оролдож болно. Энэ тохиолдолд дараах нөхцлүүдийг биелүүлэхийг шаардах нь зүйн хэрэг: 1. f(x) нь Фурье цувааны задралын нөхцлийг аль ч үед хангасан. эцсийн сегменттэнхлэг Ox\ 2. f(x) функц нь бүх тооны тэнхлэгт үнэмлэхүй интеграл болно 2-р нөхцөл хангагдсан үед тэгш байдлын баруун талын (3) эхний гишүүн нь I -* +oo гэж тэглэх хандлагатай байна. Үнэн хэрэгтээ, (3)-ын баруун талд байгаа нийлбэр нь I +oo-ийн хязгаарт юу болж хувирдагийг тогтоохыг хичээцгээе. Дараа нь (3)-ын баруун талд байгаа нийлбэр нь Due to хэлбэрийг авна гэж үзье үнэмлэхүй нэгдэлинтеграл, энэ их I нийлбэр нь өөрчлөлтийн интервалд (0, +oo) бүрдэх £ хувьсагчийн функцийн интеграл нийлбэртэй төстэй илэрхийллээс бага зэрэг ялгаатай тул нийлбэр (5) болно гэж хүлээх нь зүйн хэрэг интеграл руу орох нөгөө талаас, (3) томъёоноос бид (7)-ийн хүчинтэй байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 1. Хэрэв f(x) функц нь бүхэл бүтэн бодит шулуун дээр абсолют интеграл болох ба деривативтай нь хамт байвал: эцсийн тооаль ч интервал дээр эхний төрлийн тасархайн цэгүүд [a, 6], дараа нь тэгшитгэл биелнэ. Түүнээс гадна аль ч цэгт xq, энэ нь эхний төрлийн функцийн тасалдлын цэг болох /(x) дээр интегралын утга. (7)-ийн баруун тал нь Формула (7)-тай тэнцүү бол Фурьегийн интеграл томьёогоор дуудагдах ба баруун талын интеграл нь Фурьегийн интеграл юм. Хэрэв бид ялгааны косинусын томъёог ашиглавал (7) томъёог хэлбэрээр бичиж болно a(ξ), b(ζ) функцууд нь 2м үечилсэн функцын харгалзах Фурьегийн a ба bn коэффициентүүдийн аналог юм. , гэхдээ сүүлийнх нь тодорхойлогддог дискрет утгууд n, харин a(0> BUT нь тодорхойлогдсон тасралтгүй утгууд£ G (-oo, +oo). Фурьегийн интегралын нийлмэл хэлбэр. /(x) нь Окс тэнхлэгт бүрэн интеграл болно гэж үзвэл интегралыг авч үзье. интеграл нь жигд функцхувьсагч тийм болохоор интеграл томъёоФурьег дараах байдлаар бичиж болно: Тэгш байдлыг үржүүлнэ төсөөллийн нэгж i ба тэгш байдлыг нэмнэ (10). Эйлерийн томьёоны ачаар бид хаанаас авах болно Энэ бол Фурье интегралын цогц хэлбэр юм. Энд £-ээс дээш гадаад интеграци нь Кошигийн үндсэн утгын утгаар ойлгогдоно: §2. Фурье хувиргалт. Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт f(x) функцийг Ox тэнхлэгийн аль ч төгсгөлтэй сегмент дээр хэсэгчлэн гөлгөр, бүх тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралчлах боломжтой байг. Тодорхойлолт. Эйлерийн томьёоны дагуу бид авах функцийг /(r) функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг (спектр функц). Энэ нь (-oo,+oo) интервал дээрх /(r) функцийн интеграл хувиргалтыг Фурьегийн интеграл томъёог ашиглан олж авна урвуу хувиргалт F(ξ)-аас f(x) руу шилжих шилжилтийг өгдөг Фурье. Заримдаа шууд хувиргахФурьегийн хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно: Дараа нь урвуу Фурье хувирлыг томъёогоор тодорхойлно /(x) функцийн Фурьегийн хувиргалтыг мөн дараах байдлаар тодорхойлно: ФУРьегийн интеграл Фурьегийн интеграл Фурьегийн нийлмэл хэлбэр Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синусын хувиргалт Далайц ба фазын спектрүүд Properties Хэрэглээ Дараа нь эргээд, Энэ байрлалд хүчин зүйл ^ нь нэлээд дур зоргоороо байдаг: үүнийг томьёо (1") эсвэл томъёонд (2") оруулж болно. Жишээ 1. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол -4 Бидэнд байна Энэ тэгшитгэл нь интеграл тэмдгийн дор £-д хамаарах ялгах боломжийг олгодог (Ялгарал хийсний дараа олж авсан интеграл нь ( ямар ч төгсгөлтэй сегментэд хамаарах) үед жигд нийлдэг): Хэсгээр интеграци хийвэл бид дараах байдалтай болно. Интегралаас гадуурх нэр томъёо алга болж, бид хаанаас олж авдаг (C нь интегралын тогтмол юм (4)), бид (3) -ын тусламжтайгаар C = F (0) -ийг олно Бид 2-р жишээг (кодемсетаторыг копропиленээр гадагшлуулах) олж авдаг нь мэдэгдэж байна. 4 функцийг авч үзье F(ξ) функцийн спектрийн хувьд бид (Зураг 2) олж авна. Бүх тооны шулуун дээрх f(x) функцийн абсолют интегралчлалын нөхцөл маш хатуу. Энэ нь жишээлбэл, ийм зүйлийг оруулаагүй болно үндсэн функцууд, as) = ​​cos x, f(x) = e1, үүнд Фурье хувиргалт (энд авч үзсэн сонгодог хэлбэрээр) байхгүй. Зөвхөн |x| гэж хурдан тэглэх хандлагатай байдаг функцүүд Фурье хувиргалттай байдаг. -+ +oo (1 ба 2-р жишээн дээрх шиг). 2.1. Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт Косинус ба ялгааны томъёог ашиглан Фурьегийн интеграл томьёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ: f(x) тэгш функц байя. Дараа нь бид тэгш байдал (5) байна, f(x) сондгой тохиолдолд бид мөн адил авна. Үхрийн тэнхлэг нь тэгш, томъёо (7) - сондгой. (7) Тодорхойлолт. Функцийг f(x)-ийн Фурье косинусын хувиргалт гэж нэрлэдэг. (6)-аас харахад тэгш функцийн хувьд f(x) Энэ нь f(x) нь эргээд Fc(£)-ийн косинусын хувирал гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл / ба Fc функцууд нь харилцан косинусын хувиргалт юм. Тодорхойлолт. Функцийг f(x)-ийн синус Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. (7) -аас бид үүнийг олж авдаг сондгой функц f(x) өөрөөр хэлбэл f ба Fs нь харилцан синусын хувиргалт юм. Жишээ 3 (тэгш өнцөгт импульс). Дараах байдлаар тодорхойлогдсон f(t) тэгш функц байя: (Зураг 3). Олж авсан үр дүнг ашиглан интегралыг (9) томъёогоор тооцоолъё. Иймд (12")-аас бид 2.2-ыг олж авна.Фурье интегралын далайц ба фазын спектрүүд 2м-ийн үетэй үелэх функц /(x)-ийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлье.Энэ тэгшитгэлийг хаана байна хэлбэрээр бичиж болно. n давтамжтай хэлбэлзлийн далайц нь үе шат юм. Бид үечилсэн функцийн далайц ба фазын спектрийн тухай ойлголтуудад хүрдэг ), тодорхой нөхцөлд энэ функцийг бүх давтамж дээр өргөжүүлдэг Фурье интегралаар илэрхийлэх боломжтой болж байна (тасралтгүй давтамжийн спектрийн тодорхойлолт). Спектрийн функц, эсвэл спектрийн нягтФурье интегралын илэрхийлэл (f функцийн Фурьегийн шууд хувиргалтыг далайцын спектр, Ф«) = -аggSfc функцийг f(«) функцийн фазын спектр гэж нэрлэдэг. A(ξ) далайцын спектр нь f(x) функцэд ζ давтамжийн хувь нэмрийг хэмжих хэмжүүр болдог. Жишээ 4. 4-р функцийн далайц ба фазын спектрийг олно уу. Эндээс спектрийн функцийг олно уу Эдгээр функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4. §3. Фурье хувирлын шинж чанарууд 1. Шугаман байдал. Хэрэв ба G(0) нь f(x) ба d(x) функцүүдийн Фурье хувиргалт бол дурын a ба p тогтмолуудын хувьд a f(x) + p d(x) функцийн Фурье хувирал нь дараах болно. функц a Интегралын шугаман байдлын шинж чанарыг ашигласнаар Фурьегийн хувиргалт байна шугаман оператор. Үүнийг тэмдэглээд бид бичих болно. Хэрэв F(ξ) нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт абсолют интегралдах боломжтой f(x) функцийн Фурье хувирал бол F(()) нь бүгдэд нь хязгаарлагдмал байна f(x) функц бүхэлдээ абсолют интегралч байг тэнхлэг - f(x) функцийн Фурье хувиргалт Дараа нь 3«fltsJ нь Фурье хувирлын хүлцлийн функц, A нь fh(x) = f функц байна (z-h) -ийг f(x) функцийн шилжилт гэж нэрлэнэ Бодлого: f(z) функц нь F(0> h -) -ийг Фурье хувиргалттай болго. бодит тоо. 3. Фурье хувиргалт ба ялгах процессыг харуул. Үнэмлэхүй интегралч f(x) функц нь бүх Ox тэнхлэг дээр мөн абсолют интегралдах боломжтой f"(x) деривативтэй байг, ингэснээр f(x) нь |x| -» +oo гэж тэг болох хандлагатай байна. f"-ийг авч үзвэл. (x) жигд функц, бид хэсгүүдээр интеграл гэж бичвэл, бид интегралаас гадуурх нэр томьёо алга болно (үүнээс хойш, мөн бид олж авна. Иймээс /(x) функцийн дифференциал нь түүний Фурье дүрсийг ^Π/] хүчин зүйлээр үржүүлсэнтэй тохирч байвал f(x) функц нь m-ийг багтаасан гөлгөр туйлын нэгтгэгдэхүйц деривативуудтай бөгөөд тэдгээр нь f(x) функцтэй адил тэг рүү чиглэж, шаардлагатай тооны хэсгүүдийг нэгтгэснээр Фурье хувирлыг олж авна Энэ нь туйлын интегралдах функц f^k\x)-ийн Фурье хувиргалттай тул ялгах үйлдлийг утгаараа үржүүлэх үйлдлээр орлуулж, тодорхой төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн интегралчлалын асуудлыг хөнгөвчилдөг учраас маш хэрэгтэй. хязгаарлагдмал функц(2-р шинж чанар), дараа нь (2) хамаарлаас бид дараах тооцоог гаргана: ФУРЬЕРИЙН ХӨНГӨЛӨГЧ Фурье интеграл Интегралын нийлмэл хэлбэр Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синусын хувиргалт Далайц ба фазын спектр Шинж чанар Хэрэглээ Энэ тооцооноос дараах байдлаар гарна. илүү функц f(x) нь үнэмлэхүй интегралдах деривативтай байх тусам түүний Фурье хувиргалт нь тэг болох тусам хурдан болдог. Сэтгэгдэл. Фурье интегралын ердийн онол нь нэг утгаараа эхлэл, төгсгөлтэй боловч ойролцоогоор ижил эрчимтэйгээр хязгааргүй үргэлжлэхгүй процессуудыг авч үздэг тул нөхцөл байдал нь нэлээд байгалийн юм. 4. f(x) функцийн бууралтын хурдын хамаарал |z| -» -f oo ба түүний Fourm хувиргалтын жигд байдал. Зөвхөн f(x) төдийгүй түүний үржвэр нь xf(x) нь бүхэл бүтэн Окс тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралдах функц байна гэж үзье. Дараа нь Фурье хувиргалт) нь дифференциалагдах функц болно. Үнэн хэрэгтээ, интегралын £ параметрийн хувьд албан ёсны дифференциал нь параметрийн хувьд үнэмлэхүй бөгөөд жигд нийлдэг интегралд хүргэдэг. Тиймээс ялгах боломжтой бөгөөд өөрөөр хэлбэл, f(x) -ийг үржүүлэх үйл ажиллагаа. Аргумент x нь Фурье хувиргасны дараа t үйлдэлд шилждэг. Хэрэв f(x) функцтэй хамт функцүүд нь Окс тэнхлэгт бүрэн интегралдах боломжтой бол ялгах процессыг үргэлжлүүлж болно. Функц нь m-ийг багтаасан дараалалтай деривативуудыг олж авдаг бөгөөд ингэснээр f(x) функц хурдан буурах тусам функц 2-р теорем (өрөмдлөгийн тухай) жигд болно. f,(x) ба f2(x) функцүүдийн Фурье хувиргалтыг тус тус авч үзье. Тэгээд хаана байна давхар интегралбаруун талд туйлын нийлдэг. - x гэж тавья. Дараа нь бид байх болно, эсвэл, интегралчлалын дарааллыг өөрчлөх, Функцийг функцүүдийн эвдрэл гэж нэрлэдэг ба тэмдэгтээр тэмдэглэсэн Формула (1) Одоо дараах байдлаар бичиж болно: Энэ нь f функцүүдийн эргэлтийн Фурье хувирал гэдгийг харуулж байна. \(x) ба f2(x) нь y/2x-ийн үржвэрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Суулгахад хялбар дараах шинж чанаруудэргэлт: 1) шугаман байдал: 2) шилжих чадвар: §4. Фурье хувиргалтын хэрэглээ 1. P(^) шугаман байна дифференциал операторзахиалга m s тогтмол коэффициентүүд, y(x) функцийн деривативын Фурье хувиргалтын томьёог ашиглан бид "Дээр дурдсан P нь дифференциал оператор байх дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Хүссэн y(x) шийдэл нь Фурье хувиргалт y байна гэж үзье. (O. ба f(x) функц нь /(£) хувиралттай байна (1) тэгшитгэлд Фурье хувиргалтыг хэрэглэснээр дифференциалын оронд олж авна. алгебрийн тэгшитгэлТэмдэгт нь урвуу Фурье хувирлыг илэрхийлдэг газартай харьцуулахад тэнхлэг дээр. Энэ аргын хэрэглээний гол хязгаарлалт нь дараах байдалтай холбоотой юм. Ердийн шийдэл дифференциал тэгшитгэлТогтмол коэффициентүүд нь eL*, eaz cos fix хэлбэрийн функцуудыг агуулна. гэм нүгэл px. Тэдгээрийг -oo тэнхлэгт бүрэн нэгтгэх боломжгүй< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о чөлөөт чичиргээанхны хазайлтыг өгсөн үед хязгааргүй нэгэн төрлийн мөрийн<р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

FOURIER INTEGRAL

Тасралтгүй аналог Фурье цуврал.Бодит тэнхлэгийн хязгаарлагдмал интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн хувьд түүнийг Фурьегийн цуврал хэлбэрээр дүрслэх нь чухал юм. f(x) функцийн хувьд . Бүх тэнхлэгт өгөгдсөн бол f-ийн Фурье тэлэлт ижил үүрэг гүйцэтгэдэг.

Хаана

Өргөтгөл (1) нь бичигдсэн интеграл байгаа эсэхийг баталгаажуулах таамаглалын дагуу албан ёсоор бүтээгдэж болно. Жишээлбэл, гөлгөр хязгаарлагдмал f(x) функцийн хувьд энэ нь үнэн юм. . Нэг утгаараа (1) тэгш байдлыг хангадаг олон шинж чанарууд байдаг. (2)-г (1)-д орлуулснаар тухайн нэр томъёо гарч ирнэ. Фурье интеграл томъёо

тайрах үндэслэл нь дурдсан шинж чанаруудад хүргэдэг. f(x)-ийг Фурьегийн энгийн интегралаар илэрхийлэх нь маш ашигтай

Хэрэв бид гадаад интегралыг (0, N) интервалаар бичээд интегралуудыг өөрчилвөл (3) -аас гарна. Хэрэглээний шинжлэх ухаанд төлөөллийг (1) ихэвчлэн гармоник тэлэлт гэж тайлбарладаг: хэрэв

Дараа нь (1) дараах хэлбэрийг авна.

Иймээс f нь гармоникуудын суперпозици хэлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд давтамжууд нь бодит хагас тэнхлэг ба далайц D ба эхний үе шат нь дараахаас хамаарна.
Ихэнх тохиолдолд (ялангуяа нийлмэл утгатай f функцүүдийн хувьд) өргөтгөл (1) нь экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлэхэд илүү тохиромжтой байдаг:

Хаана

Функцийг дууддаг Фурье хувиргалтфункцууд е(хэрэглээний шинжлэх ухаанд ХАМТ(л) дуудсан Хэрэв f (x) нь нийлбэр байх тохиолдолд: функц нь хязгаарлагдмал, тэнхлэг дээр жигд тасралтгүй үргэлжилдэг. Функц нь нийлбэргүй, интеграл (4) байхгүй болж хувирч магадгүй. Гэсэн хэдий ч тэгш байдал (4) нь хэрэв бид интегралуудын нийлбэрийн аргуудыг ашиглавал үндэслэлтэй тайлбар хийх боломжийг олгодог [энэ тохиолдолд бид зөвхөн цэгийн нийлэлтийг төдийгүй дундаж нэгдлийг авч үзэж болно]. Жишээлбэл, тайрсан е-ийн арифметик дундажууд.

нийлбэрийн функц f(x) нь f(x)-д нийлдэг ба дунджаар үед f(x) функцэд нэмэлт хязгаарлалт байгаа тохиолдолд илүү тодорхой хэллэгүүдийг олж авна. Жишээлбэл, хэрэв та ойролцоох хязгаарлагдмал өөрчлөлттэй бол X,Тэр

Програмууд нь ихэвчлэн задралыг ашигладаг

Баруун талд байгаа интеграл нь үндсэн утга (6) гэсэн утгаар ойлгогдох төгсгөлтэй интервал бүрт хэсэгчлэн жигд байх үнэмлэхүй интегралч f(x) функцийн хувьд үнэн. F. ба. мөн f функцийн орон нутгийн нийлбэрийн таамаглал, Let дахь f-ийн зан төлөвт хязгаарлалт тавьдаг тодорхой шаардлагын дагуу судалдаг.

Хаана хязгаарыг эрэмбийн дундаж утгаар нийлэх утгаар ойлгодог [гэхдээ (7)-д байгаа хязгаар нь бараг бүх газар нэгдэх утгаар байдаг]. Энэ үр дүн нь p = 2 үед илүү энгийн хэлбэртэй байна (харна уу. Планчерелийн теорем).
n хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон функцийг өргөтгөхөд олон функцууд ижил төстэй байдлаар бүтээгддэг. F. ба тухай ойлголт. ерөнхий функцүүдэд мөн хамаарна.

Гэрэл.: Титчмарш Э., Фурье интегралын онолын танилцуулга, транс. Англи хэл, М.-Л., 1948; Бохнер С., Фурье интегралын тухай лекц, транс. Англи хэлнээс, М., 1962; 3igmund A., Trigonometric series, trans. Англи хэлнээс, 2-р боть, М., 1965.
П.И.Лизоркин.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.

Бусад толь бичгүүдээс "FOURIER INTEGRAL" гэж юу болохыг хараарай.

Фурье интеграл, Фурье интеграл (гэхдээ: Фурье интеграл) ... Зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг-лавлах ном

- (Фурье интеграл) f(x) функцийг бүхэлд нь х тэнхлэгт эсвэл хагас тэнхлэгт заасан fl-ийн бүх хагас тэнхлэгийг l дүүргэх давтамжтай гармоникуудын суперпозици болгон задлах, бусын задралыг өгөх. - үе үе. эв нэгдэлтэй дээр ажилладаг Бүрэлдэхүүн хэсгүүд, тэдгээрийн давтамж нь тасралтгүй утгын багцыг бүрдүүлдэг ... Том нэвтэрхий толь бичиг Политехникийн толь бичиг

Хувьсагчдыг салгахад суурилсан математикийн физикийн асуудлыг шийдвэрлэх арга. Дулаан дамжилтын онолын асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулж Ж.Фурье санал болгож, 1828 онд М.В.Остроградский (Остроградскийг үзнэ үү) бүрэн ерөнхий байдлаар томъёолсон. Шийдэл... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Интеграл хувиргалтын нэг нь орон зайд ажилладаг шугаман оператор F бөгөөд түүний элементүүд нь бодит хувьсагчийн f(x) функцууд юм. F тодорхойлолтын хамгийн бага мужийг хязгааргүй дифференциалын олонлог гэж үздэг... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Формула (*) хэлбэртэй, Бесселийн функцүүдийн Фурьегийн интегралын аналог Ханкелийн интегралыг Фурье Бесселийн цувралаас (0, l) интервалаас Г.Ханкел (Н. Ханкель)-ийн хязгаарт шилжүүлснээр авч болно. , 1875) теоремыг тогтоосон: хэрэв f (x) функцийг хэсэгчлэн ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Риманы интегралын ерөнхий дүгнэлт болох Курцвейл Хенсток интеграл нь дифференциал функцийг түүний деривативаас дахин бүтээх асуудлыг бүрэн шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Риманы интеграл (зөв бусыг оруулаад) эсвэл Лебесгийн интеграл аль нь ч өгөхгүй... ... Википедиа

Фурье интеграл- - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи-орос толь бичиг. М .: Төрийн аж ахуйн нэгж TsNIIS, 2003.] Мэдээллийн технологийн ерөнхий сэдвүүд EN Фурье интеграл ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

n бодит хувьсагчийн функцын орон зайд үйлчилдэг интеграл хувиргалт: Rn орон зайд нийлдэг Φ L1(Rn) функцүүдийн хувьд интеграл (*) тодорхой функцийг зөв тодорхойлно F (x) = y(x) Функцийн Фурье дүрс. j. Урвуу ...... Физик нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Хөгжилтэй математик. Фурьегийн шинжилгээ. Манга, Шибуяа Микио. Рика, Фумика, Эрина нар рок хамтлаг байгуулж, тус наадамд оролцох хүсэлтэй байгаа ч дуучин олдохгүй байна. Дараа нь Фумикагийн асуудалтай математикийн шалгалт байна. Ухаантай охин...

I. Фурье хувиргах.

Тодорхойлолт 1.Чиг үүрэг

Дуудсан Фурье хувиргалтфункцууд

Энд интеграл гэдэг нь үндсэн үнэ цэнэ гэсэн утгаар ойлгогдоно

мөн энэ нь байдаг гэж үздэг.

Хэрэв ℝ дээр үнэмлэхүй интегралдах функц байвал, оноос хойш үед, ийм функцийн хувьд Фурье хувиргалт (1) нь утга учиртай бөгөөд интеграл (1) нь ℝ бүх шулуун шугамын дагуу үнэмлэхүй бөгөөд жигд нийлдэг.

Тодорхойлолт 2. Хэрэв – Функцийн Фурье хувиргалт
, дараа нь харьцуулах интеграл

Гол утгаар нь ойлговол гэдэг Функцийн Фурье интеграл .

Жишээ 1.Функцийн Фурье хувиргалтыг ол

Өгөгдсөн функц нь дээр үнэхээр интегралдах боломжтой.

Тодорхойлолт 3.Интегралыг үндсэн үнэ цэнэ гэж ойлгодог

Үүний дагуу нэрлэсэн косинус-Тэгээд функцийн синус-Фурье хувиргалт .

Итгэж байна , , , бид Фурье цувралаас бидэнд аль хэдийн танил болсон харилцааг хэсэгчлэн олж авдаг

(3), (4) харилцаанаас харж болно.

Формула (5), (6) нь Фурье хувиргалтыг зөвхөн аргументийн сөрөг бус утгуудын хувьд мэддэг бол бүх мөрөнд бүрэн тодорхойлогддог болохыг харуулж байна.

Жишээ 2.Косинус - ба синус - Функцийн Фурье хувиргалтыг ол

Жишээ 1-д үзүүлсэнчлэн, өгөгдсөн функц нь дээр бүрэн интегралдах боломжтой.

Түүний косинусыг (3) томъёог ашиглан Фурье хувиргалтыг олцгооё:

Үүний нэгэн адил функцийн Фурье хувиргалт - синусыг олоход хэцүү биш юм е(x) томъёоны дагуу (4):

1 ба 2-р жишээг ашиглан шууд орлуулах замаар үүнийг шалгахад хялбар байдаг е(x) хамаарал (5) хангагдсан байна.

Хэрэв функц нь бодит утгатай бол энэ тохиолдолд (5), (6) томъёоноос дараахь зүйлийг авна

Энэ тохиолдолд R дээрх бодит функцууд байгаа тул тэдгээрийн тодорхойлолтоос (3), (4) харж болно. Гэсэн хэдий ч (7) тэгш байдлыг хангасан нийлмэл тэмдгийг интеграл тэмдгийн доор оруулж болно гэдгийг харгалзан Фурье хувирлын тодорхойлолтоос (1) шууд олж авна. Хамгийн сүүлийн үеийн ажиглалт нь аливаа функцийн хувьд тэгш байдал гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог

Мөн if бол бодит бөгөөд тэгш функц, i.e. , Тэр

хэрэв бол бодит ба сондгой функц, i.e. , Тэр

Хэрэв энэ нь цэвэр төсөөллийн функц юм бол, i.e. . , Тэр

Хэрэв бодит утгатай функц бол Фурье интегралыг мөн хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.

Хаана

Жишээ 3.
(тоолох )

Учир нь бид Дирихлетийн интегралын утгыг мэддэг

Жишээнд авч үзсэн функц нь бүрэн интегралчлах боломжгүй бөгөөд түүний Фурье хувиргалт нь тасалдалтай байна. Үнэмлэхүй интегралдах функцүүдийн Фурье хувиргалт нь тасалдалгүй болохыг дараах байдлаар харуулж байна.

Лемма 1. Хэрэв функц бол локал байдлаар интегралчлах ба туйлын интегралдах боломжтой , Тэр

а) түүний Фурье хувиргалт ямар ч утгын хувьд тодорхойлогдсон

б)

Үүнийг эргэн санацгаая- нээлттэй олонлог дээр тодорхойлсон бодит эсвэл нийлмэл утгатай функц; дараа нь функц дуудсан локал интегралдах боломжтой, хэрэв байгаа бол цэгфункцийг нэгтгэх боломжтой хөрштэй. Ялангуяа, хэрэв , функцийн орон нутгийн интегралчлах нөхцөл нь дараахтай тэнцүү байх нь ойлгомжтой. аль ч сегментийн хувьд.

Жишээ 4.Функцийн Фурье хувирлыг олцгооё :

Сүүлчийн интегралыг параметрийн дагуу ялгаж, дараа нь хэсгүүдээр интегралдахад бид үүнийг олж мэднэ.

эсвэл

гэсэн үг, , Эйлер-Пуассоны интегралыг ашиглан бид хамаарлаас олдог тогтмол нь хаана байна

Тиймээс бид үүнийг олж, тэр үед үүнийг харуулсан, мөн .

Тодорхойлолт 4.Тэд функц гэж хэлдэг , цэгийн цоорсон орчимд тодорхойлогдсон , хэрэв цэг дээрх Dini нөхцөлийг хангана.

a) нэг талт хязгаар хоёулаа нэг цэг дээр байдаг

б) интеграл хоёулаа

Тэд туйлын санал нэг байна.

Интегралын үнэмлэхүй нийлэлт гэдэг нь интегралын үнэмлэхүй нийлэлтийг ядаж тодорхой хэмжээгээр илэрхийлнэ.

Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлэх хангалттай нөхцөл.

Теорем 1.Хэрэв туйлын интегралдах боломжтой бол болон орон нутагт хэсэгчлэн тасралтгүй функц цэг дээр сэтгэл хангалуун байна Дини нөхцөл, дараа нь түүний Фурье интеграл нь энэ цэг дээр нийлж, утга руу нийлдэг

Энэ цэг дэх функцийн утгуудын зүүн ба баруун хязгаарын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1.Хэрэв функц бол тасралтгүй, цэг бүрт байдаг хязгаарлагдмал нэг талт дериватив ба абсолют интегралдах боломжтой , дараа нь тэр гарч ирнэ түүний Фурье интегралаар

Хаана Функцийн Фурье хувиргалт .

Функцийн Фурье интегралаар дүрслэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Сэтгэгдэл.Теорем 1 ба Үр дүн 1-д томъёологдсон функцийн нөхцөлүүд хангалттай боловч ийм дүрслэлийг бий болгоход шаардлагагүй.

Жишээ 5.Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлнэ үү

Энэ функц нь , , цэгүүдээс бусад тохиолдолд ℝ дээр сондгой ба тасралтгүй байна.

Функц нь сондгой бөгөөд бодит байдаг тул бидэнд дараах зүйлс байна:

ба (5) ба (10) тэгшитгэлээс дараах нь гарна

Функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүдэд бид дараах байдалтай байна.

Гэхдээ функц нь хачирхалтай, тиймээс

интегралыг үндсэн утгын утгаар тооцдог тул.

Функц нь тэгш, тиймээс

Хэрэв ,. Тэгш байдлыг хангах ёстой үед

Эндээс бид олдог гэж бодъё

Хэрэв бид -ийн сүүлчийн илэрхийлэлийг оруулбал, дараа нь

Эндээс бид олох болно

Бодит утгатай функц нь бодит шугамын аль ч сегмент дээр хэсэгчлэн тасралтгүй үргэлжилсэн, үнэмлэхүй интегралчлах боломжтой, цэг бүрт хязгаарлагдмал нэг талт деривативтай бол тасралтгүй байдлын цэгүүдэд функцийг Фурье интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ.

функцийн тасалдалтай цэгүүдэд тэгш байдлын зүүн талыг (1) -ээр солино.

Хэрэв тасралтгүй, үнэмлэхүй интегралч функц нь цэг бүрт хязгаарлагдмал нэг талт деривативтай бол энэ функц тэгш байх тохиолдолд тэгш байдал үнэн болно.

мөн сондгой функц байх тохиолдолд тэгш байдал

Жишээ 5'. Функцийг Фурье интегралаар илэрхийлнэ:

Үргэлжилсэн тэгш функц учраас (13.2), (13.2’) томъёог ашиглан бидэнд байна

Үндсэн утгын утгаар ойлгогдох интегралыг тэмдгээр тэмдэглэе

Дүгнэлт 2.Аливаа функцийн хувьд , Үр дүн 1-ийн нөхцлийг хангасан бүх өөрчлөлтүүд байна , , , мөн тэгш байдал үүсдэг

Эдгээр харилцааг харгалзан, өөрчлөлтийг (14) ихэвчлэн гэж нэрлэдэг урвуу Фурье хувиргалтба оронд нь тэд бичих ба тэгшитгэлүүд нь өөрөө (15) гэж нэрлэгддэг Фурье хувиргалтыг урвуулах томьёо.

Жишээ 6.Байг

гэдгийг анхаарна уу , дараа нь дурын функцийн хувьд

Одоо функцийг авч үзье. Дараа нь

Хэрэв бид функцийн сондгой үргэлжлэл болох функцийг авбал , бүхэл тоон тэнхлэг дээр, дараа нь

Теорем 1-ийг ашиглан бид үүнийг олж авна

Энд байгаа бүх интегралууд нь үндсэн утгын утгаар ойлгогддог.

Сүүлийн хоёр интеграл дахь бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгаснаар бид Лапласын интегралуудыг олно.

Тодорхойлолт . Чиг үүрэг

Бид үүнийг нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэх болно.

Тодорхойлолт . Хэрэв функцийн нормчлогдсон Фурье хувиргалт бол харьцуулж болох интеграл болно

Бид функцийг нормчлогдсон Фурье интеграл гэж нэрлэнэ.

Нормалжуулсан Фурье хувиргалтыг авч үзэх болно (16).

Тохиромжтой болгох үүднээс бид дараах тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

(тэдгээр. ).

Өмнөх тэмдэглэгээтэй харьцуулахад энэ нь зүгээр л дахин хэвийн байдал юм: Энэ нь ялангуяа харилцаа холбоо (15) нь дараахь дүгнэлтийг хийх боломжийг бидэнд олгоно.

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр,

Тодорхойлолт 5.Бид операторыг нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэх ба операторыг урвуу нормчлогдсон Фурье хувиргалт гэж нэрлэнэ.

Лемма 1-д ямар ч туйлын интегралдах функцийн Фурье хувиргалт нь хязгааргүй үед тэг рүү чиглэдэг болохыг тэмдэглэсэн. Дараагийн хоёр мэдэгдэлд Фурьегийн коэффициентүүдийн нэгэн адил Фурьегийн хувиргалт нь авсан функц нь жигдрэх тусам хурдан тэг болох хандлагатай байдаг (эхний мэдэгдэлд); Үүнтэй холбоотой баримт бол Фурье хувиргалтыг авах функц нь тэг болох тусам түүний Фурье хувиргалт (хоёр дахь мэдэгдэл) жигдрэх болно.

Мэдэгдэл 1(функцийн гөлгөр байдал ба түүний Фурье хувиргалтын бууралтын хурд хоорондын холболтын тухай). Хэрэв болон бүх функцууд дээр бүрэн нэгтгэх боломжтой , Тэр:

A) аль ч үед

б)

Мэдэгдэл 2(функцийн бууралтын хурд ба түүний Фурье хувиргалтын жигд байдлын хоорондох холболтын тухай). Хэрэв локал интегралдах функц бол : функц нь ийм байна туйлын нэгтгэх боломжтойА, Тэр:

A) Функцийн Фурье хувиргалт ангилалд хамаарна

б) тэгш бус байдал бий

Фурье хувиргалтын үндсэн техник хангамжийн шинж чанаруудыг танилцуулъя.

Лемма 2.Функцуудын хувьд Фурьегийн хувиргалт (тус бүр нь урвуу Фурьегийн хувиргалт) байг, тэгвэл ямар ч тоонууд ба -аас үл хамааран функцийн хувьд Фурьегийн хувиргалт (тус бүр нь урвуу Фурье) байна. , ба

(тус тусад нь).

Энэ шинж чанарыг Фурье хувирлын шугаман чанар гэж нэрлэдэг (тус бүр нь урвуу Фурье хувиргалт).

Үр дагавар. .

Лемма 3.Фурье хувиргалт нь урвуу хувиргалттай адил бүх тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралдах боломжтой, цэг бүр дээр нэг талт деривативтай тасралтгүй функцүүдийн багц дээр нэгийг харьцах нэг хувиргалт юм.

Энэ нь if ба нь заасан төрлийн болон if гэсэн хоёр функц байна гэсэн үг (хэрэв тус тусад нь ), дараа нь бүх тэнхлэг дээр.

Лемма 1-ийн мэдэгдлээс бид дараах леммийг олж авч болно.

Лемма 4.Хэрэв үнэмлэхүй интегралдах функцуудын дараалал болон туйлын интегралдах функц нь ийм байна

дараалал нь бүхэл тэнхлэгт жигд нийлдэг функц .

Одоо хоёр функцийн эргэлтийн Фурье хувирлыг судалцгаая. Тохиромжтой болгохын тулд нэмэлт хүчин зүйл нэмэх замаар эргэлтийн тодорхойлолтыг өөрчилье

Теорем 2.Функцууд нь бодит тэнхлэг дээр хязгаарлагдмал, тасралтгүй, абсолют интегралч байг

тэдгээр. Хоёр функцийн эргэлтийн Фурье хувиргалт нь эдгээр функцүүдийн Фурье хувиргалтын үржвэртэй тэнцүү байна.

Доор өгөгдсөн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд хэрэг болох Фурьегийн нормчлогдсон хувиргалтын шинж чанарын хураангуй хүснэгт No1-ийг эмхэтгэе.

Хүснэгт №1

Чиг үүрэг	Нормалжуулсан Фурье хувиргалт

1-4 ба 6 шинж чанаруудыг ашиглан бид олж авна

Жишээ 7.Функцийн нормчлогдсон Фурье хувирлыг ол

4-р жишээнд үүнийг харуулсан

учир нь бол

Тиймээс, 3-р өмчийн хувьд бид:

Үүний нэгэн адил та нормчлогдсон урвуу Фурье хувиргалтанд зориулж хүснэгт №2 үүсгэж болно.

Хүснэгт No2

Чиг үүрэг	Нормалжсан урвуу Фурье хувиргалт

Өмнөх шигээ 1-4 ба 6-р шинж чанарыг ашигласнаар бид үүнийг олж авдаг

Жишээ 8.Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

6-р жишээний дагуу

Бидэнд байгаа үед:

Функцийг төлөөлж байна

өмчийг ашиглах 6 үед

Тооцоолол, график ажилд зориулсан даалгаврын сонголтууд

1. Функцийн синус – Фурье хувиргалтыг ол

2. Функцийн синус – Фурье хувиргалтыг ол

3. Функцийн косинус – Фурье хувирлыг ол

4. Функцийн косинус – Фурье хувиргалтыг ол

5. Функцийн синус – Фурье хувиргалтыг ол

6. Косинусыг ол - Функцийн Фурье хувиргалт

7. Функцийн синус - Фурье хувиргалтыг ол

8. Косинусыг ол – Функцийн Фурье хувиргалт

9. Косинусыг ол – Функцийн Фурье хувиргалт

10. Функцийн синус – Фурье хувиргалтыг ол

11. Функцийн синус – Фурье хувиргалтыг ол

12. Синусыг олох - функцийн хувиргалт

13. Синусыг олох - функцийн хувиргалт

14. Косинусыг ол - функцийг хувиргах

15. Косинусыг ол - функцийг хувиргах

16. Функцийн Фурье хувирлыг олно уу:

17. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

18. Функцийн Фурье хувирлыг олно уу:

19. Функцийн Фурье хувирлыг олно уу:

20. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол, хэрэв:

21. Функцийн Фурье хувирлыг олно уу:

22. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

24. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

26. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

28. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

30. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

23. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

25. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

27. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

29. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

31. Функцийн нормчлогдсон урвуу Фурье хувирлыг ол

томъёог ашиглан

32. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

33. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

34. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

35. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

36. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

37. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

38. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

39. Функцийг Фурье интегралаар илэрхийл

40. Функцийг Фурье интегралаар илэрхийл

41. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

42. Функцийг Фурье интегралаар төлөөл

43. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж, интервал руу сондгой байдлаар өргөтгөнө, хэрэв:

44. Функцийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж, интервал руу сондгой байдлаар өргөтгөнө, хэрэв: