Гармоник осцилляторын хөдөлгөөний тэгшитгэл. Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор

Хөдлөх үед гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг биетүүдийг гармоник осциллятор гэж нэрлэдэг. Гармоник осцилляторын хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1. Пүршний дүүжин бол массын бие юмм, жингүй уян хатан хүчний нөлөөн дор хэлбэлзэх чадвартай (м булаг шанд  м бие ) булаг (Зураг 4.2).

Т

Зураг.4.3. Физик дүүжин.

Жишээ 2. Хөдөлгөөнт хэвтээ тэнхлэгийн эргэн тойронд таталцлын нөлөөгөөр хэлбэлздэг хатуу биеийг физик дүүжин гэдэг нь хүндийн төв нь С-тэй давхцдаггүй (Зураг 4. 3). Тэнхлэг нь О цэгийг дайран өнгөрдөг. Хэрвээ дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас жижиг  өнцгөөр хазайж суллагдсан бол хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийн дагуу хэлбэлзэх болно.
, Хаана Ж- инерцийн моменттэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжин, M нь физик савлуурыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хүчний момент юм. Энэ нь таталцлын нөлөөгөөр үүсдэг, түүний момент нь тэнцүү байна
(л=OS). Үүний үр дүнд бид авдаг
. Энэ бол дифференциал чичиргээний тэгшитгэл юм дурын өнцөгхазайлт. Жижиг өнцгөөр, хэзээ
,
эсвэл, авах
, бид физик дүүжингийн хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна
.
Үүний шийдэл нь хэлбэртэй байна
эсвэл
ба хугацаа
.

. Тиймээс тэнцвэрийн байрлалаас бага зэрэг хазайсан тохиолдолд физик дүүжин нь мөчлөгийн давтамжтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Жишээ 3.мМатематикийн дүүжин бол масстай материаллаг цэг юмм(жижиг хэмжээтэй хүнд бөмбөг), жингүйд өлгөөтэй (харьцуулбалл. бөмбөг), уян хатан, сунадаггүй утас урт материаллаг цэгийн инерцийн момент J = мл 2, дараа нь физик дүүжингийн томъёоноос бид математикийн дүүжингийн мөчлөгийн давтамж ба хэлбэлзлийн хугацааны илэрхийллийг олж авна.

,
.

4. 4. Норгосон хэлбэлзэл. @

Гармоник хэлбэлзлийн авч үзсэн жишээнүүдэд зөвхөн үйлчилдэг хүч материаллаг цэг(бие), байсан хагас уян хатан хүч F ба аливаа бодит системд байдаг эсэргүүцлийн хүчийг тооцоогүй. Тиймээс авч үзсэн хэлбэлзлийг хамгийн тохиромжтой унтрахгүй гармоник хэлбэлзэл гэж нэрлэж болно.

Бодит хэлбэлзлийн системд хүрээлэн буй орчны эсэргүүцлийн хүч байгаа нь системийн энерги буурахад хүргэдэг. Хэрэв энергийн алдагдлыг гадны хүчний хүчээр нөхөхгүй бол хэлбэлзэл унтарна. Дампуулсан хэлбэлзэл нь далайц нь цаг хугацааны явцад буурдаг хэлбэлзэл юм.

Чөлөөт саармагжуулсан хэлбэлзлийг авч үзье. Бага хурдтай үед чирэх хүч F C нь v хурдтай пропорциональ ба чиглэлд урвуу пропорциональ байна.
, хаана r - чирэх коэффициенторчин. Ашиглаж байна Ньютоны хоёр дахь хууль, бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна саармагжуулсан хэлбэлзэл
,
,
. гэж тэмдэглэе
,
. Дараа нь дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Зураг.4.4. Хөргөсөн хэлбэлзлийн шилжилт ба далайцын цаг хугацааны хамаарал.

Энэ бол саармагжуулсан хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл юм. Энд  0 нь системийн хэлбэлзлийн байгалийн давтамж, өөрөөр хэлбэл. r=0 дахь чөлөөт хэлбэлзлийн давтамж,  - сааруулагч коэффициент нь далайцын бууралтын хурдыг тодорхойлно. Энэ тэгшитгэлийн  0 нөхцөл дэх шийдлүүд нь байна

эсвэл
.

Сүүлийн функцийн графикийг 4.4-р зурагт үзүүлэв. Дээд тасархай шугам нь функцийн графикийг өгнө
, A 0 - далайц эхлэх мөчцаг. Экспоненциал хуулийн дагуу далайц нь цаг хугацааны явцад буурдаг,  - сулралтын коэффициент нь урвуу хэмжээтэй байна амрах цаг , өөрөөр хэлбэл далайц e дахин багасах хугацаа, оноос хойш

,
, = 1, . Норгосон хэлбэлзлийн давтамж ба хугацаа
,
; орчны маш бага эсэргүүцэл ( 2  0 2) үед хэлбэлзлийн хугацаа бараг тэнцүү байна.
.

 ихсэх тусам хэлбэлзлийн хугацаа ихсэх ба > 0 үед дифференциал тэгшитгэлийн шийдлээс харахад хэлбэлзэл үүсэхгүй, харин тэнцвэрийн байрлал руу системийн нэгэн хэвийн хөдөлгөөн явагдана. Энэ төрлийн хөдөлгөөнийг апериод гэж нэрлэдэг. Хэлбэлзлийн бууралтын хурдыг тодорхойлохын тулд өөр хоёр параметрийг ашигладаг: сааруулагчийн бууралт D ба . логарифмын бууралт

Норгосны бууралт нь нэг хугацааны Т хугацаанд хэлбэлзлийн далайц хэдэн удаа буурч байгааг харуулдаг.

Н

Учир нь , Тэр
, энд N нь цаг хугацааны хэлбэлзлийн тоо юм.

Гармоник осцилляторын хэлбэлзэл Гармоник осциллятордуудсан физик объект, хувьслыг цаг хугацааны явцад дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн

Хаана q- гармоник осцилляторын ерөнхий координат; т- цаг, ? - гармоник осцилляторын онцлог давтамж. Хувьсагчийн дээрх хоёр цэг нь цаг хугацааны хувьд хоёр дахь деривативыг заана. Хэмжээ qгармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх.
Гармоник осциллятор тоглох асуудал гол үүрэгсонгодог болон аль алинд нь квант физик.
Их хэмжээгээр физик системүүдтэнцвэрт байдлаас бага зэргийн хазайлттай гармоник осциллятор шиг ажиллах. Үүнд математик ба физик дүүжин, молекул дахь атомуудын чичиргээ болон хатуу бодис, цахилгаан хэлбэлзлийн хэлхээ болон бусад олон.
Савлуурын жижиг хэлбэлзэл нь гармоник юм

Эрчим хүч, Лагранж, Хамилтон функц
Кинетик энергигармоник осцилляторыг илэрхийллээр өгөгдсөн

Гармоник осцилляторын боломжит энергийг илэрхийлэлээр тодорхойлно

Үүний дагуу үнэ цэнийг харгалзан үздэг qерөнхий координат, гармоник осцилляторын Лагранж функцийг бичнэ

.

Ерөнхий импульс

Гамильтон функц

.

Албадан чичиргээ
Гармоник осцилляторын байгалийн давтамжтай заавал давхцдаггүй давтамжтай гадны тогтмол хүчний нөлөөн дор осциллятор нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг бөгөөд далайц нь утгаараа тодорхойлогддог. гадаад хүчба осцилляторын гадаад давтамж ба байгалийн давтамжийн харьцаа.
Давтамжтай гармоник осцилляторын албадан хэлбэлзэл? тэгшитгэлээр тодорхойлсон давтамжтай хүчний нөлөөн дор 0?

Хаана е 0 - гадаад хүчний далайц.
Албадан хэлбэлзлийг тодорхойлсон энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна

.

Гадны хүчний нөлөөн дор гармоник осциллятор нь далайцтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. . Хэзээ далайц албадан хэлбэлзэлхязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Энэ үзэгдлийг резонанс гэж нэрлэдэг.
Гармоник осцилляторсулралтай
Осцилляторын энергийг сарниулах, дулаан болгон хувиргахад хүргэдэг өөр төрлийн үрэлтийн эсвэл эсэргүүцлийн хүчийг харгалзан үзвэл гармоник осцилляторын тэгшитгэл өөрчлөгдөнө. Ялангуяа эсэргүүцлийн хүч нь хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдтай пропорциональ байх нь маш түгээмэл тохиолдол юм q.Дараа нь гармоник осцилляторын тэгшитгэл хэлбэрийг авна

Хуулийн дагуу ийм хэлбэлзэл цаг хугацааны явцад мууддаг

Норгоцтой гармоник осцилляторын албадан хэлбэлзэл
Тогтмол гадны хүчний үйл ажиллагааны дор, суларсан ч гэсэн, хэрэглэсэн хүч, давтамжийн харьцаа, мөн сулралтын хэмжээ зэргээс хамаарах далайц бүхий осцилляторт гармоник хэлбэлзэл үүсдэг.
Норгоцыг харгалзан албадан хэлбэлзлийн далайцыг томъёогоор тодорхойлно

.

Энэ нь гадны хүчний бүх давтамжийн хязгаарлагдмал утга юм.
Босоо тэнхлэгээс бага зэргийн анхны хазайлттай математик дүүжин нь давтамжтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг.

Тербеллийн хэлхээгармоник осциллятор, давтамжтай

Энд L нь индукц, C нь багтаамж юм.
Дэлгэрэнгүй мэдээллийг квант осциллятороос үзнэ үү.
Спектр хувийн үнэ цэнэболон өөрийн функцууд
Долгионы функцууд-аас квант тоо бүхий эхний зургаан төлөв n= 0-ээс 5. Ординатын тэнхлэгт ерөнхий координатыг Гамильтоны функц дэх импульсийг орлуулах замаар гармоник осцилляторын Гамильтонианыг гаргана. хдээр

.

Гармоник осцилляторын спектр нь байна суурин тэгшитгэлШредингер ба томъёогоор өгөгдсөн

.

Энд n– квант тоо, тэгээс хязгааргүй хүртэл хэлбэлздэг. Гармоник осцилляторын энергийн түвшин ижил зайд байна. Онцлог шинж чанаргармоник осциллятор нь үндсэн төлөвт байсан ч гармоник осциллятор нь тэг биш энергитэй байдаг.

Үүнийг бага энерги гэж нэрлэдэг тэг хэлбэлзлийн энерги.
Өөрийн гэсэн функцуудквант тоонд тохирох гармоник осциллятор nтомъёогоор өгөгдсөн

,

Хаана, А Hn(x)- Эрмит олон гишүүнт.
Тэгсэн үед nГармоник осцилляторын хувийн функцууд хосолсон байдаг бол Непранугийн хувьд сондгой байдаг. Гармоник осцилляторын Гамильтониан нь орлуулах оператортой хамт ажилладаг xдээр - x(паритын оператор), тиймээс энэ оператортой нийтлэг хувийн функцуудтай.
Төрөх ба устгах операторууд
Хэрэв бид төрөх операторыг тодорхойлох юм бол

Мөн устгах оператор

,

.

Үүсгэх, устгах операторууд нь солих харьцааг хангана:

Гармоник осцилляторын хувийн функцууд нь ийм хэлбэртэй байна

Эсвэл кет болон хөхний даруулганы вектор тэмдэглэгээг ашиглан:

Зохицуулалттай оператор дээр төрсөн операторын нийт үйл ажиллагаа нь мужид | n> төлөв рүү шилжихэд хүргэдэг | n +1>:

Устгах операторын улсын хэмжээнд үйл ажиллагаа | n> төлөв рүү шилжихэд хүргэдэг | n-1>:

Оператор

Бөөмийн дугаарын оператор гэж нэрлэсэн учир нь түүнд хамаарал бий.

Сонгон шалгаруулалтын дүрэм
Фотоныг ялгаруулах буюу шингээх үед гармоник осцилляторын зөвшөөрөгдсөн шилжилтүүд нь квант тоо n нэгээр өөрчлөгддөг шилжилтүүд юм. Түвшингийн ижил зайн шинж чанарыг харгалзан үзвэл энэхүү сонгон шалгаруулах дүрэм нь хэдий ч гэсэн ийм байдалд хүргэдэг хязгааргүй тоотүвшин, спектрт оптик шингээлтэсвэл давтамжтай гармоник осцилляторын цацрагийн ганц шугам байдаг уу?
Молекулуудын бодит чичиргээний спектрүүдэд атом хоорондын харилцан үйлчлэлийн бодит потенциал, квадруполь шилжилт гэх мэт ангармоник байдлаас шалтгаалан энэ дүрмээс хазайх боломжтой байдаг.

Гармоник осциллятор

Гармоник осциллятор(сонгодог механикт) - тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх үед сэргээх хүчийг мэдэрдэг систем Ф, шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ x(Хүүкийн хуулийн дагуу):

Хаана к- системийн хөшүүн байдлын коэффициент.

Хэрэв Фсистемд үйлчилж байгаа цорын ганц хүч бол системийг дуудна энгийнэсвэл консерватив гармоник осциллятор. Ийм системийн чөлөөт чичиргээ нь үе үе хөдөлгөөнтэнцвэрийн байрлалын ойролцоо (гармоник чичиргээ). Давтамж ба далайц нь тогтмол бөгөөд давтамж нь далайцаас хамаардаггүй.

Гармоник осцилляторын механик жишээ бол математик дүүжин (бага хазайлттай), мушгирах дүүжин, акустик систем юм. Гармоник осцилляторын бусад аналогуудын дотроос цахилгаан гармоник осцилляторыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй (LC хэлхээг үзнэ үү).

Чөлөөт чичиргээ

Консерватив гармоник осциллятор

Консерватив гармоник осцилляторын загвар болгон бид массын ачааллыг авдаг м, хөшүүн чанараар пүршийг бэхэлсэн к .

Болъё x- тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад ачааллын шилжилт хөдөлгөөн. Дараа нь Хукийн хуулийн дагуу нөхөн сэргээх хүч үүн дээр ажиллах болно.

Дараа нь нийт эрчим хүчтогтмол утгатай байна

Энгийн гармоник хөдөлгөөн- энэ бол энгийн хүний ​​хөдөлгөөн юм гармоник осциллятор, албадан эсвэл чийгшүүлээгүй үечилсэн хөдөлгөөн. Энгийн гармоник хөдөлгөөнд байгаа бие нь үнэмлэхүй утгаараа шилжилттэй шууд пропорциональ хувьсах хүчинд өртдөг. xтэнцвэрийн байрлалаас гарах ба эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Энэ хөдөлгөөн нь үе үе байдаг: бие нь синусоид хуулийн дагуу тэнцвэрийн байрлалыг тойрон хэлбэлздэг. Дараагийн хэлбэлзэл бүр нь өмнөхтэй ижил байх ба хэлбэлзлийн үе, давтамж, далайц тогтмол хэвээр байна. Хэрэв бид тэнцвэрийн байрлал нь координаттай цэг дээр байна гэж үзвэл, тэгтэй тэнцүү, дараа нь офсет xямар ч үед тэнцвэрийн байрлалаас биеийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Хаана А- хэлбэлзлийн далайц, е- давтамж, φ - эхний үе шат.

Хөдөлгөөний давтамжийг тодорхойлно онцлог шинж чанаруудсистем (жишээлбэл, хөдөлж буй биеийн масс), харин далайц ба эхний үе шатыг эхний нөхцлөөр тодорхойлдог - хэлбэлзэл эхлэх үеийн биеийн шилжилт ба хурд. Системийн кинетик ба боломжит энерги нь эдгээр шинж чанар, нөхцлөөс хамаарна.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн байж болно математик загварууд янз бүрийн төрөлпүршний хэлбэлзэл зэрэг хөдөлгөөнүүд. Энгийн гармоник хөдөлгөөн гэж үзэж болох бусад тохиолдлууд бол дүүжингийн хөдөлгөөн ба молекулуудын чичиргээ юм.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн нь илүү төвөгтэй хөдөлгөөнийг шинжлэх зарим аргуудын үндэс суурь болдог. Эдгээр аргуудын нэг нь Фурье хувиргалт дээр суурилсан арга бөгөөд түүний мөн чанар нь илүү ихийг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. нарийн төвөгтэй төрөлэнгийн гармоник хөдөлгөөнүүдийн цуваа болгон хөдөлгөөнүүд.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн тохиолддог аливаа систем нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг.

1. Систем тэнцвэрт байдлаас гарах үед системийг тэнцвэрт байдалд буцаах хандлагатай сэргээх хүч байх ёстой.
2. Сэргээх хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй яг эсвэл ойролцоогоор пропорциональ байх ёстой.

Ачааллын булгийн систем нь эдгээр хоёр нөхцлийг хангадаг.

Нүүлгэн шилжүүлсэн ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчинд өртсөний дараа хурдасч, анхны байрлал руугаа буцах хандлагатай байдаг. эхлэх цэг, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрийн байрлал руу. Ачаалал тэнцвэрийн байрлалд ойртох тусам сэргээх хүч буурч, тэг болох хандлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдалд x = 0 ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчний үйл ажиллагааны улмаас олж авсан тодорхой хэмжээний хөдөлгөөнтэй (импульс). Тиймээс ачаалал нь тэнцвэрийн байрлалаас давж, хавар дахин хэв гажиж эхэлдэг (гэхдээ аль хэдийн орсон байна эсрэг чиглэл). Сэргээх хүч нь хурд нь тэг болох хүртэл удаашрах хандлагатай байх болно; ба хүч дахин ачааллыг тэнцвэрт байдалд нь буцаахыг хичээх болно.

Системд эрчим хүчний алдагдал байхгүй л бол ачаалал нь дээр дурдсанчлан хэлбэлзэх болно; ийм хөдөлгөөнийг үе үе гэж нэрлэдэг.

Цаашдын дүн шинжилгээ нь ачаалал-пүршний системийн хувьд хөдөлгөөн нь энгийн гармоник болохыг харуулах болно.

Энгийн динамик гармоник хөдөлгөөн

Ньютоны хоёрдугаар хуулийг харгалзан нэг хэмжээст орон зай дахь чичиргээний хувьд ( F= м  d² x/г т² ) ба Хукийн хууль ( Ф = −kx, дээр дурдсанчлан) бид хоёр дахь дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлтэй байна:

Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь синусоид; нэг шийдэл нь:

Хаана А, ω ба φ - тогтмолууд, тэнцвэрийн байрлалыг анхны байрлал гэж авна. Эдгээр тогтмолууд тус бүр нь чухал зүйлийг илэрхийлдэг физик өмчхөдөлгөөнүүд: Ань далайц, ω = 2π е- дугуй давтамж, φ - эхний үе шат.

Бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөн

Энгийн гармоник хөдөлгөөнийг зарим тохиолдолд бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөний нэг хэмжээст проекц гэж үзэж болно. Хэрэв объект радиустай тойргийн дагуу тогтмол өнцгийн хурдаар ω хөдөлж байвал r, төв нь онгоцны гарал үүсэл юм x−y, дараа нь тус бүрийн дагуу ийм хөдөлгөөн координатын тэнхлэгүүддалайцтай энгийн гармоник юм rба дугуй давтамж ω.

Энгийн савлуур шиг жин

Жижиг өнцгийг ойртуулахад энгийн дүүжингийн хөдөлгөөн энгийн гармониктай ойролцоо байна. Урт саваагаар бэхлэгдсэн ийм савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа ℓ хурдатгалтай чөлөөт уналт gтомъёогоор өгөгдөнө

Энэ нь хэлбэлзлийн хугацаа нь дүүжингийн далайц ба массаас хамаардаггүй, харин таталцлын хурдатгалаас хамаардаг болохыг харуулж байна. g, тиймээс, ижил урттай савлуур саран дээр илүү удаан эргэлдэх болно, учир нь тэнд таталцал сул, бага үнэ цэнэчөлөөт уналтын хурдатгал.

Өнцгийн хурдатгалын илэрхийлэл нь координатын синустай пропорциональ байдаг тул энэ ойролцоо тооцоолол нь зөвхөн жижиг хазайлтын өнцгийн хувьд зөв юм.

юу хийдэг юм өнцгийн хурдатгалθ өнцөгтэй шууд пропорциональ бөгөөд энэ нь энгийн гармоник хөдөлгөөний тодорхойлолтыг хангадаг.

Норгосны гармоник осциллятор

Үүнтэй ижил загварыг үндэслэн бид наалдамхай үрэлтийн хүчийг нэмнэ. Наалдамхай үрэлтийн хүч нь орчинтой харьцуулахад ачааллын хөдөлгөөний хурдны эсрэг чиглэсэн бөгөөд энэ хурдтай пропорциональ байна. Дараа нь бүрэн хүч чадал, ачаалал дээр ажиллаж байгаа нь дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Үүнтэй төстэй үйлдлүүдийг хийснээр бид тодорхойлсон дифференциал тэгшитгэлийг олж авна чийгшүүлсэн осциллятор:

Энд тэмдэглэгээг танилцуулж байна: . Коэффицентийг сулралтын тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ нь бас давтамжийн хэмжээстэй.

Шийдэл нь гурван тохиолдолд хуваагдана.

Критик уналт нь осциллятор нь хамгийн хурдан тэнцвэрийн байрлал руу чиглэдэг нь маш чухал юм. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс бага байвал тэнцвэрийн байрлалд илүү хурдан хүрэх боловч инерцийн улмаас түүнийг "хэт давж" хэлбэлзэх болно. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс их байвал осциллятор нь тэнцвэрийн байрлал руу экспоненциал хандлагатай байх болно, гэхдээ илүү удаан байх тусам үрэлт их байх болно.

Тиймээс залгах индикаторуудад (жишээлбэл, амметрээр) ихэвчлэн уншилтыг аль болох хурдан уншихын тулд эгзэгтэй уналтыг нэвтрүүлэхийг хичээдэг.

Осцилляторын уналт нь ихэвчлэн чанарын хүчин зүйл гэж нэрлэгддэг хэмжээсгүй параметрээр тодорхойлогддог. Чанарын хүчин зүйлийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг. Тодорхойлолтоор чанарын хүчин зүйл нь дараахь байдалтай тэнцүү байна.

Чанарын хүчин зүйл өндөр байх тусам осцилляторын хэлбэлзэл удааширна.

Критик уналттай осциллятор нь чанарын коэффициент 0.5 байна. Үүний дагуу чанарын хүчин зүйл нь осцилляторын үйл ажиллагааг харуулдаг. Хэрэв чанарын хүчин зүйл 0.5-аас их байвал осцилляторын чөлөөт хөдөлгөөн нь хэлбэлзлийг илэрхийлнэ; Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ нь тэнцвэрийн байрлалыг хязгааргүй олон удаа давах болно. Чанарын коэффициент 0.5-аас бага буюу тэнцүү байх нь осцилляторын осцилляторгүй хөдөлгөөнтэй тохирч байна; В чөлөөт хөдөлгөөнЭнэ нь тэнцвэрийн байрлалыг хамгийн ихдээ нэг удаа гатлах болно.

Чанарын хүчин зүйлийг заримдаа осцилляторын ашгийн коэффициент гэж нэрлэдэг, учир нь өдөөх зарим аргуудын үед өдөөх давтамж нь резонансын давтамжтай давхцах үед хэлбэлзлийн далайц нь бага давтамжтайгаар өдөөгдсөнөөс ойролцоогоор дахин их байдаг.

Мөн чанарын хүчин зүйл нь хэлбэлзлийн далайц нь хүчин зүйлээр буурч, үржүүлсэн хэлбэлзлийн мөчлөгийн тоотой ойролцоогоор тэнцүү байна.

тохиолдолд хэлбэлзлийн хөдөлгөөнУнтралт нь дараахь параметрүүдээр тодорхойлогддог.

• Амьдралын хугацаачичиргээ (өөрөөр хэлбэл задрах хугацаа, адилхан амрах цаг) τ - хэлбэлзлийн далайц буурах хугацаа днэг удаа.

Албадан чичиргээ

Осцилляторын хэлбэлзлийг гадны нэмэлт нөлөөлөл үзүүлэх үед албадан гэж нэрлэдэг. Энэ нөлөөг үүсгэж болно янз бүрийн аргаарболон өөр янз бүрийн хууль. Жишээлбэл, хүчний өдөөлт нь тодорхой хуулийн дагуу зөвхөн цаг хугацаанаас хамаарах хүчний ачаалалд үзүүлэх нөлөө юм. Кинематик өдөөлт гэдэг нь хаврын бэхэлгээний цэгийн дагуух хөдөлгөөнөөр осцилляторт үзүүлэх нөлөө юм өгсөн хууль. Мөн үрэлтийн нөлөөгөөр, жишээлбэл, ачааны үрэлтийг мэдэрч буй орчин нь өгөгдсөн хуулийн дагуу хөдөлдөг.

Квантын талбар болон бусад салбар дахь нээлтүүд. Үүний зэрэгцээ үүнийг хийх боломжтой шинэ төхөөрөмж, төхөөрөмжүүдийг зохион бүтээж байна төрөл бүрийн судалгаамөн бичил ертөнцийн үзэгдлийг тайлбарлах. Ийм механизмуудын нэг нь үйл ажиллагааны зарчмыг эртний соёл иргэншлийн төлөөлөгчид мэддэг байсан гармоник осциллятор юм.

Төхөөрөмж ба түүний төрлүүд

Гармоник осциллятор нь механик системкоэффициент бүхий дифференциалаар тодорхойлогддог хөдөлгөөнд тогтмол утга. Ихэнх энгийн жишээнүүдийм төхөөрөмжүүд - хавар, дүүжин, акустик систем, хөдөлгөөн дээрх ачаалал молекулын тоосонцоргэх мэт.

Уламжлал ёсоор энэ төхөөрөмжийн дараах төрлүүдийг ялгаж болно.

Төхөөрөмжийн програм

Энэ төхөөрөмжийг ашиглаж байна янз бүрийн талбарууд, голчлон байгаль судлах зориулалттай хэлбэлзлийн системүүд. Фотоны элементүүдийн үйл ажиллагааг судлахын тулд квант гармоник осцилляторыг ашигладаг. Туршилтын үр дүнг янз бүрийн салбарт ашиглаж болно. Ийнхүү Америкийн хүрээлэнгийн физикчид бие биенээсээ нэлээд хол зайд байрлах бериллийн атомууд квант түвшинд харилцан үйлчлэлцдэг болохыг олж тогтоожээ. Түүгээр ч зогсохгүй эдгээр бөөмсийн үйлдэл нь макро ертөнц дэх биетүүдтэй (металл бөмбөлөгүүд) төстэй бөгөөд урагшлах дарааллаар хөдөлж, эв нэгдэлтэй осциллятортой төстэй байдаг. Хэдийгээр физикийн хувьд бериллийн ионууд хол зайд, энергийн хамгийн бага нэгжийг (квант) солилцсон. Энэхүү нээлт нь мэдээллийн технологийн технологийг ихээхэн ахиулах боломжийг олгодог бөгөөд компьютерийн тоног төхөөрөмж, электроникийн үйлдвэрлэлд шинэ шийдлийг бий болгодог.

Гармоник осцилляторыг тооцоолоход ашигладаг хөгжмийн бүтээлүүд. Энэ аргыг спектроскопийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. Хамгийн тогтвортой систем бол дөрвөн хөгжимчний (квартет) бүрэлдхүүн юм. А орчин үеийн бүтээлүүдТэдний ихэнх нь гармоник шинж чанартай байдаг.

Гармоник осциллятор нь бараг уян хатан хүчний үйлчлэлээр нэг хэмжээст хөдөлгөөнд ордог бөөмс юм. Ийм бөөмийн боломжит энерги нь хэлбэртэй байна

Томъёоны (27.1) k -ийг томъёогоор илэрхийлэх

Тиймээс нэг хэмжээст тохиолдолд осцилляторын Шредингерийн тэгшитгэл (21.5-ыг үзнэ үү) дараах байдалтай байна.

Нийт энерги, осциллятор). Онолын хувьд дифференциал тэгшитгэлтэгшитгэл (27.2) нь E параметрийн утгуудын хувьд төгсгөлтэй, хоёрдмол утгагүй, тасралтгүй шийдлүүдтэй байх нь батлагдсан.

Зураг дээр. 27.1 диаграммыг харуулав эрчим хүчний түвшингармоник осциллятор. Ойлгомжтой болгохын тулд түвшингүүдийг муруйд бичнэ боломжит энерги. Гэсэн хэдий ч дотор гэдгийг санах нь зүйтэй квант механикнийт энергийг нарийн тодорхойлсон T ба U энергийн нийлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй (өмнөх хэсгийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү).

Гармоник осцилляторын энергийн түвшин ижил зайд, өөрөөр хэлбэл бие биенээсээ ижил зайд байрладаг. Хамгийн бага боломжит утгаэнергитэй тэнцүү байна. Энэ утгыг тэг цэгийн энерги гэж нэрлэдэг.

Тэг цэгийн энерги байгаа нь гэрлийн талстуудын тархалтыг судлах туршилтаар батлагдсан. бага температур. Температур буурах тусам тархсан гэрлийн эрч хүч тэг биш, харин тодорхой хэмжээнд хүрэх хандлагатай байна. эцсийн үнэ цэнэ, хэзээ гэдгийг харуулж байна үнэмлэхүй тэгдахь атомуудын чичиргээ болор торбитгий зогсоо.

Квант механик нь магадлалыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог янз бүрийн шилжилтүүд квант системнэг мужаас нөгөө муж руу. Ийм тооцоолол нь гармоник осцилляторын хувьд зэргэлдээх түвшний хооронд шилжих боломжтой гэдгийг харуулж байна. Ийм шилжилтийн үед квант тоо нэгээр өөрчлөгддөг.

Өөрчлөлтөд тавигдах нөхцөлүүд квант тооСистемийн нэг төлөвөөс нөгөөд шилжих үед сонгох дүрэм гэж нэрлэдэг.

Тиймээс гармоник осцилляторын хувьд (27.4) томъёогоор илэрхийлсэн сонгох дүрэм байдаг.

Дүрмээс (27.4) гармоник осцилляторын энерги нь зөвхөн /rto хэсгүүдэд өөрчлөгдөж болно. Квант механикийн байгалийн жамаар олж авсан энэхүү үр дүн нь маш харийн үр дүнтэй давхцаж байна. сонгодог физикБүрэн хар биений ялгаралтыг тооцоолохын тулд Планк хийх ёстой гэсэн таамаглал (§ 7-г үзнэ үү). Планк гармоник осцилляторын энерги нь зөвхөн Ха-ийн салшгүй үржвэр байж болно гэж үзсэнийг анхаарна уу. Бодит байдал дээр бас байдаг тэг энерги, түүний оршин тогтнох нь зөвхөн квант механикийг бий болгосны дараа тогтоогдсон.